02-NonlinearEquations

Benjamin-Ono方程的新Backlund变换与精确解作者：房春梅来源：《赤峰学院学报·自然科学版》 2013年第15期房春梅（集宁师范学院数学系，内蒙古乌兰察布 012000）摘要：扩展齐次平衡法是求非线性演化方程Backlund变换与精确解的一种十分有效的方法.本文基于软件Maple,将此方法应用到Benjamin-Ono方程中,获得了该方程新的自Backlund变换以及丰富的精确解.这些精确解均包含多个任意参数，基于不同的参数值,本文得到了一系列孤立子解、奇异行波解和周期行波解.关键词：扩展齐次平衡法；Benjamin-Ono方程；Backlund变换；精确解中图分类号：O29 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2013）08-0022-021 Benjamin-Ono方程的新自Backlund变换对于Benjamin-Ono方程[1]参考文献：〔1〕范恩贵，张鸿庆.齐次平衡法若干新的应用[J].数学物理学报，1997,19(3):286-292.〔2〕Wang Mingliang, Zhou Yubin,Li Zhibin.Application of a homogeneous balance method to exact solutions of nonlinearequations in mathematical physics[J].Phys Lett(A),1996,216(1):67-75.〔3〕Wang Zhen,Li Desheng,Lu Huifeng,Zhang Hongqing, A method for constructing exact solutions and application to Benjamin One equation[J].ChinesePhysics,2005,14:2158-2163.〔4〕Wang Mingliang.Homogeneous balance method and applications[J].PhysLett(A),1993,213(2):279-284.。

收稿日期:20181009基金项目:山东省高校科技计划资助项目(J 17K B 053);山东省教育教学研究项目(2018J X Y 3076);青岛理工大学琴岛学院教育教学研究重点项目(2018003A ).作者简介:刘明鼎(1982),男,辽宁大连人,青岛理工大学琴岛学院副教授.第31卷第2期2019年4月沈阳大学学报(自然科学版)J o u r n a l o f S h e n y a n g U n i v e r s i t y (N a t u r a l S c i e n c e )V o l .31,N o .2A pr .2019文章编号:2095-5456(2019)02-0165-04非标准有限差分法求解薛定谔方程刘明鼎,林 鑫,张艳敏(青岛理工大学琴岛学院基础部,山东青岛 266106)摘 要:结合非标准有限差分方法构造求解薛定谔方程的两种非标准有限差分格式,格式利用时间和空间的步长函数来近似逼近时间和空间的导数项,计算了两种差分格式的局部截断误差.数值实验验证了非标准有限差分格式的有效性,数值精度高于传统有限差分格式.关 键 词:薛定谔方程;非标准有限差分法;非标准有限差分格式;有限差分格式;局部截断误差中图分类号:O 241.82 文献标志码:A薛定谔方程是物理领域量子力学的一个重要方程.可以用来讨论单色波的一维自调适㊁光学的自陷现象㊁固体中的热脉冲传播㊁等离子体中的L a n gn u i 波㊁超导电子在电磁场中运动以及激光中原子的B o s e -E i n s t e i n 凝聚效应等[13],也被用于研究深水波浪理论㊁柱(球)非线性薛定谔方程[45],因此研究此类方程具有重要的意义.本文结合构造非标准有限差分格式的特点[68],给出求解薛定谔方程的一种非标准有限差分格式.通过分析,证明了构造的差分格式是无条件稳定和收敛的.数值算例验证了该方法是有效的.1 两种非标准有限差分格式的构造考虑如下初边值薛定谔方程:췍u (x ,t )i 췍t =췍2u (x ,t )췍x2+u (x ,t )+f (x ,t ),0<x <L ,0<t ɤT ,(1)初始条件u (x ,0)=φ(x ),0ɤx ɤL ,(2)边界条件u (0,t )=ϕ0(t ),u (L ,t )=ϕ1(t ),0<t ɤT .(3)这里i 为虚数单位,f ,φ,ϕ0,ϕ1为已知连续函数,L ,T 为非负常数.对区域[0,L ]ˑ[0,T ]进行分割,以h =L M为空间步长,Δt =T N为时间步长,网格点为(x m ,t n ),其中x m =m h ,m =0,1, ,M ,t n =n Δt ,n =0,1, ,N ,这里M ,N 为正整数.定义数值解u nm =u (x m ,t n ). 1.1 第一种非标准有限差分格式的构造利用M I C K E N S 方法[6],以及文献[911]在网格点处对式(1)离散后的差分方程为u n +1m-u n mi D 1=u n m +1-2u n m +u nm -1D 2+u n m +f n m .(4)其中,分母函数满足:D 1=e (Δt )-1,D 2=4s i n 2ˑh æèçöø÷2.当Δt ң0,D 1=e (Δt )-1等价于Δt .当h ң0,D 2=4s i n 2h æèçöø÷2等价于h 2.这里对时间的一阶导数离散后的分母利用函数D 1代替传统的分母Δt,对空间的二阶导数离散后的分母利用函数D 2代替传统的分母h 2.这种分母函数的选择也依据薛定谔方程解的性质[4].记D 1D 2=R 1,D 1=R 2,对式(4)整理u n +1m -u n m =i R 1(u n m +1-2u n m +u n m -1)+i R 2u n m +i R 2f nm ,(5)对式(5)进一步整理u n +1m=(1+i R 2-2i R 1)u n m +i R 1u n m +1+i R 1u nm -1+i R 2f nm .(6)Copyright©博看网 . All Rights Reserved.则式(6)即为式(1)第一种非标准有限差分格式.1.2 第一种非标准有限差分格式的局部截断误差记u nm =u (x m ,t n ),利用T a y l o r 展开公式计算得到非标准有限差分格式(6)的局部截断误差.定义差分符号췍t u n m=u n +1m-u nmi D 1,췍x 췍췍xu n m =u nm +1-2u n m +u nm -1D 2.利用T a y l o r 展开得到局部截断误差τn m[11],得到τn m =췍t u n m -췍x 췍췍x u n m -u n m =(췍t u n m -u t (x m ,t n ))-(췍x 췍췍x u n m -u x x (x m ,t n ))-(u n m -u (x m ,t n ))=Δt i D 1æèçöø÷-1u t (x m ,t n ))+(Δt )22i D 1u t t (x m ,췍t n )-h 2D 2æèçöø÷-1u x x (x m ,t n )-h 412D 2u x x x x (췍x m ,t n )=O (Δt +h 2).这里췍t n ɪ(t n ,t n +1),췍x m ɪ(x m ,x m +1),当Δt ң0,h ң0时,局部截断误差τnm ң0.1.3 第二种非标准有限差分格式的构造采用与第一种非标准有限差分格式构造同样的原理,对于u (x ,t)采用非局部的离散方式.在点(x m ,t n )处,令u n m =12(u n m +1+u nm -1),则式(1)离散后的差分方程为u n +1m-u n mi D 1=u n m +1-2u n m +u nm -1D 2+12(u n m +1+u n m -1)+f nm .(7)其中,分母函数D 1㊁D 2与式(4)所对应的分母函数相同.对式(7)进行整理得u n +1m=(1-2i R 1)u nm +i R 1+i R 2æèçöø÷2ˑ(u n m +1+u n m -1)+i R 2f nm .(8)则式(8)即为式(1)第二种非标准有限差分格式.1.4 第二种非标准有限差分格式的局部截断误差使用与第一种非标准有限差分格式计算局部截断误差相同的记号,对式(8)利用T a yl o r 展开得到局部截断误差τn m .τn m =췍t u n m -췍x 췍췍x u n m -12(u n m +1+u n m -1)=(췍t u n m -u t (x m ,t n ))-(췍x 췍췍x u n m -u x x (x m ,t n ))-12((u n m +1-u (x m ,t n )+(u n m -1-u (x m ,t n ))=Δt i D 1-æèçöø÷1u t (x m ,t n )+(Δt )22i D 1u t t (x m ,췍t n )-h 2D 2+h 22-æèçöø÷1u x x (x m ,t n )-h 412D 2+h 4æèçöø÷24u x x x x (췍x m ,t n )=O (Δt +h 2).这里췍t n ɪ(t n ,t n +1),췍x m ɪ(x m ,x m +1),当Δt ң0,h ң0时,局部截断误差τnm ң0.1.5 标准有限差分格式利用标准的有限差分方法构造的显示有限差分格式为u n +1m -u n m i (Δt )=u n m +1-2u n m +u nm -1h2+u n m +f nm .2 数值算例考虑如下初边值问题:췍u i 췍t =췍2u 췍x2+u -e x +i t ,0<x <1,0<t ɤ1,u (x ,0)=e x,0ɤx ɤ1,u (0,t )=e i t ,u (1,t )=e 1+i t ,0<t ɤ1.精确解为u (x ,t )=e x +i t .取时间步长为0.05,空间步长为0.1.D 1=e (Δt )-1,D 2=4s i n2h æèçöø÷2,分别对非标准有限差分格式一㊁格式二与传统标准有限差分格式进行数值比较,结果见表1.表1 数值解误差T a b l e1 E r r o r o f n u m e r i c a l s o l u t i o n(x ,t)精确解实部虚部格式一误差实部虚部格式二误差实部虚部标准差分格式误差实部虚部(0.1,1.0)0.597130.929973.548ˑ10-42.681ˑ10-42.030ˑ10-44.128ˑ10-52.618ˑ10-33.044ˑ10-3(0.2,1.0)0.659931.027778.268ˑ10-43.411ˑ10-44.443ˑ10-41.592ˑ10-45.319ˑ10-42.852ˑ10-3(0.3,1.0)0.729331.135874.368ˑ10-43.584ˑ10-45.361ˑ10-53.234ˑ10-43.559ˑ10-34.981ˑ10-3(0.4,1.0)0.806041.255335.148ˑ10-56.125ˑ10-55.990ˑ10-44.621ˑ10-54.698ˑ10-36.128ˑ10-4(0.5,1.0)0.890811.387358.269ˑ10-47.158ˑ10-46.128ˑ10-56.716ˑ10-47.224ˑ10-45.489ˑ10-3661沈阳大学学报(自然科学版) 第31卷Copyright©博看网 . All Rights Reserved.续表1(x,t)精确解实部虚部格式一误差实部虚部格式二误差实部虚部标准差分格式误差实部虚部(0.6,1.0)0.984491.533264.125ˑ10-45.891ˑ10-46.102ˑ10-47.048ˑ10-48.698ˑ10-47.162ˑ10-4 (0.7,1.0)1.088041.694513.266ˑ10-54.125ˑ10-53.000ˑ10-54.059ˑ10-58.123ˑ10-38.168ˑ10-4 (0.8,1.0)1.202461.872733.200ˑ10-43.128ˑ10-44.159ˑ10-42.618ˑ10-45.136ˑ10-45.126ˑ10-3 (0.9,1.0)1.328932.069682.981ˑ10-45.269ˑ10-42.782ˑ10-42.998ˑ10-43.025ˑ10-36.024ˑ10-4从表1可以看出,利用非标准有限差分方法构造的格式一和格式二的数值精度明显优于传统的有限差分格式.但是格式一和格式二在数值精度方面差别不大.分析其中的原因,主要是因为当方程中具有非线性项的时候,采用非局部的离散方式效果会更好.u2可以通过u2ңu n m+1u n m离散方式来逼近,或者u3ң12(u n m+1+u n m-1)(u n m)2来逼近效果会好于传统的有限差分格式.3结论非标准有限差分格式的构造需要考虑偏微分方程解的特征.非标准格式在保持原偏微分方程的性质方面比传统的差分格式更有效[1113].目前还没有研究薛定谔方程的精确差分格式的相关文献.在接下来的工作中,将利用文献[67]的方法讨论深水波浪非线性薛定谔方程的精确有限差分格式.参考文献:[1]员保云,庞晶.求解非线性薛定谔方程的几种方法[J].激光与光电子学进展,2014,51(4):6166.Y U A N B Y,P A N G J.S e v e r a l m e t h o d s f o r s o l v i n gn o n l i n e a r S c h röd i n g e r e q u a t i o n[J].L a s e r&O p t o e l e c t r o n i c sP r o g r e s s,2014,51(4):6166. [2]张凯瑞,姜子文.一维薛定谔方程的紧致有限体积方法[J].山东师范大学学报(自然科学版),2018,33(2):150153.Z HA N G K R,J I A N G Z W.C o m p a c tf i n i t e v o l u m em e t h o df o r o n e-d i m e n s i o n a l S c h röd i n g e r e q u a t i o n[J].J o u r n a l o f S h a n d o n g N o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e),2018,33(2):150153.[3]郑春雄.薛定谔方程的整体几何光学近似[J].计算数学,2018,40(2):241226.Z H E N GCX.G l o b a l g e o m e t r i c a l o p t i c s a p p r o x i m a t i o n t ot h e S c h röd i n g e r e q u a t i o n[J].M a t h e m a t i c a N u m e r i c aS i n i c a,2018,40(2):241226.[4]张义丰,李瑞杰,罗锋,等.深水波浪非线性薛定谔方程及其精确解[J].水科学进展,2009,20(3):361365.Z HA N G YF,L I RJ,L U OF,e t a l.N o n l i n e a r S c h röd i n g e re q u a t i o nf o r d e e p-w a t e r a n d i t s e x a c t s o l u t i o n s[J].A d v a n c e s i n W a t e r S c i e n c e,2009,20(3):361365.[5]李景美,张金良,王飞.柱(球)非线性薛定谔方程的精确解[J].河南科技大学学报(自然科学版),2018,39(2):8386.L IJ M,Z H A N G J L,WA N G F.E x a c ts o l u t i o n s o fc y l i nd r i c a l l y(s p he r i c a l l y)n o n l i n e a rS c h röd i n g e re q u a t i o n[J].J o u r n a l o f H e n a n U n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n dT e c h n o l o g y(N a t u r a l S c i e n c e),2018,39(2):8386.[6]M I C K E N S R E.A n o n s t a n d a r df i n i t e-d i f f e r e n c es c h e m ef o rt h e L o t k a-V o l t e r r as y s t e m[J].A p p l i e d N u m e r i c a lM a t h e m a t i c s,2003,45(2):309314.[7]M I C K E N SR E.C o n s t r u c t i o no f an o v e l f i n i t e-d i f f e r e n c es c h e m e f o ran o n l i n e a rd i f f u s i o ne q u a t i o n[J].N u m e r i c a lM e t h o d s f o rP a r t i a lD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n s,1991,7(3):299302.[8]L A R S S O NS,T H OMÉE V.P a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t hn u m e r i c a lm e t h o d s[M].B e r l i n:S p r i n g e rS c i e n c e&B u s i n e s s,2008:131.[9]L IC,A N C,Y EJ.N u m e r i c a la p p r o a c h e st of r a c t i o n a lc a l c u l u s a n df r a c t i o n a lo rd i n a r y d i f fe r e n t i a le q u a t i o n[J].J o u r n a lo fC o m p u t a t i o n a lP h y s i c s,2011,230(9):33523368.[10]F O R S Y T H E G E,WA S OW W R.F i n i t e-d i f f e r e n c em e t h o d sf o r p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s[M].N e wY o r k:W i l e y P u b l i s h i n g,1960:102104. [11]张蕾.几类偏微分方程非标准有限差分格式的研究[D].哈尔滨:哈尔滨工业大学,2014.Z HA N G L.R e s e a r c h o n n o n s t a n d a r d f i n i t e d i f f e r e n c es c h e m e sf o r s e v e r a l p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s[D].H a r b i n:H a r b i n I n s t i t u t e o fT e c h n o l o g y,2014.[12]马亮亮.变系数空间分数阶对流-扩散方程的有限差分解法[J].沈阳大学学报(自然科学版),2013,25(4):341-344.MA L L.F i n i t ed i f f e r e n c e m e t h o d sf o rs p a c ef r a c t i o n a lc o n v e c t i o n-d i f f u s i o ne q u a t i o nw i t h v a r i a b l e c o ef f i c i e n t s[J].J o u r n a l o f S h e n y a n g U n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c e),2013,25(4):341344.[13]马亮亮,刘冬兵.一类变时间分数阶含源项非定常奇异摄动对流扩散方程的数值分析[J].沈阳大学学报(自然科学版),2013,25(5):424427.MA L L,L I U D B.N u m e r i c a la n a l y s i sf o rac l a s so fv a r i a b l e o r d e r t i m e f r a c t i o n a l n o n-c o n s t a n t s i n g u l a r l yp e r t u r b e dc o n v e c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n w i t hs o u r c et e r m[J].J o u r n a lo fS h e n y a n g U n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c e),2013,25(5):424427.(下转第172页)761第2期刘明鼎等:非标准有限差分法求解薛定谔方程Copyright©博看网 . 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u1=u2=u；
i=i1+i2
i i i1 i i2 i1 u u i2
+ i u
i1 + u1
i2 + u2
二、曲线相交法
Decomposition of a circuit into linear and nonlinear parts
If in a nonlinear circuit the nonlinear element can be isolated from the linear part, the linear part can be replaced by its Thevenin equivalent circuit. The analysis is thus simplified.
例：电路如图所示，其中非线性电阻的伏安特性关系为u3 20i3 ，列出求解支路电流的方程。 i1 R1 解： i3 + u 1 i2 + + 0.5 u1 R1i1 , u2 R2i2 , u3 20i3 US R2 u 2 R3 u3
i1 i2 i3 , u1 u2 U S , u2 u3
i U0 R0 + u R i=g(u)
U0 R0i u , u U0 R0i
i g (u )
i U0 R0 + u R i=g(u)
i U0 /R 0 A Q
( U Q, IQ) B U0 u
0
U0 R0 IQ UQ , IQ g (UQ )
The operating point is the intersection of the load line and the i-u characteristic of the nonlinear resistor. (静态工作点) The straight AB line is called the load line. (负载线)

科研热词 高斯-塞德尔 预条件矩阵 非共形区域分解法 雅可比 雅克比超松弛 迭代法 贴近度 试验模拟 表面质量平衡 表面能量平衡 相容次序矩阵 烧蚀 混合边界条件 比较定理 有限元 损伤本构 损伤变量 损伤准则 应力更新 对等网 完全匹配层 图形处理器 化学非平衡流 信任 一致切线模量 t-s模糊 sor迭代 nsv姿态系统 newton型迭代法 l-m算法 jacobi迭代法 jacobi迭代 dhts can
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