勾股定理的应用专项训练题及答案

勾股定理的实际应用（人教版）一、单选题(共8道，每道10分)1.如图,这是一个供滑板爱好者使用的U型池,该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成,中间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆,其边缘AB=CD=16,点E在CD上,CE=4,一滑板爱好者从A点滑到E点,则他滑行的最短距离为( )(π按3计算)A.15B.C. D.21答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面展开最短路径问题2.如图,圆柱底面半径为,高为9cm,点A,B分别是圆柱两底面圆周上的点,且点A,B在同一母线上,用一根棉线从点A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点,则这根棉线的长度最短为( )A.12cmB.C.15cmD.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面展开最短路径问题3.如图是一个三级台阶,它的每一级的长,宽和高分别为50寸,30寸和10寸,A和B是这个台阶的两个相对端点,A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物,则它所走的最短路线长是( )A.13寸B.40寸C.130寸D.169寸答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面展开最短路径问题4.如图,一只蚂蚁从长、宽都是6,高是16的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点,那么它所爬行的最短路线的长为( )A.20B.22C.28D.18答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面展开最短路径问题5.如图,一个直径为8cm的杯子,在它的正中间竖直放一根筷子,筷子露出杯子外1cm.当筷子倒向杯壁时(筷子底端不动),若筷子顶端刚好触到杯口,则筷子长度和杯子的高度分别为( )cm.A.8,7B.8.5,7.5C.9,8D.10,9答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用6.如图,将一根木棒垂直或倾斜的放进长、宽、高分别为12cm,4cm,3cm的水箱中,能放入水箱内木棒的最大长度为( )cm.A.13B.12C.15D.16答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用7.一辆卡车装满货物后宽3.2米,这辆卡车要通过如图所示的隧道(上方是一个半圆,下方是边长为4米的正方形),则装满货物后卡车的最大高度为( )米.A.5.2B.5.8C.7.6D.5.4答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理应用之拱桥问题8.某工厂大门形状如图所示,其上部分为半圆,工厂门口的道路为双行道(双行道中间隔离带忽略不计).要想使宽为1.5米,高为3.1米的卡车安全通过,那么此大门的宽度至少应增加( )米.A.1.7B.2C.0.3D.1答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理应用之拱桥问题二、填空题(共2道，每道10分)9.如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为16cm，BC是上底面的直径．一只昆虫从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则昆虫爬行的最短路程为____cm．答案：20解题思路：试题难度：知识点：平面展开最短路径问题10.如图，长方体的长、宽、高分别为4cm，2cm，5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为____cm．答案：13解题思路：试题难度：知识点：平面展开最短路径问题。

勾股定理中的常考问题6种类型48道【类型一用勾股定理解决折叠问题】1．如图，将长方形ABCD沿着AE折叠，点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，则EC的长为（）A．4B．3C．5D．2【答案】B【分析】长方形ABCD沿着AE折叠，得AD=AF=BC=10，EF=ED，根据勾股定理得BF=6，则CF=4，设EC=x，ED=8−x，根据勾股定理得EF2=EC2+CF2，即可解得EC的长．【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD=BC=10，DC=AB=8，∵长方形ABCD沿着AE折叠，∴AD=AF=BC=10，EF=ED，∴BF=√AF2−AB2=√100−64=6，CF=BC−BF=4，设EC=x，ED=8−x，∴EF2=EC2+CF2，即(8−x)2=x2+42，解得x=3，所以EC=3，故选：B．【点睛】本题主要考查了图形折叠以及勾股定理等知识内容，掌握图形折叠的性质是解题的关键．2．如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=4，BC=3，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为（）【答案】C【分析】利用勾股定理求得AB=5，由折叠的性质可得AB=AE=5，DB=DE，求得CE=1，设DB=DE=x，则CD=3−x，根据勾股定理可得12+(3−x)2=x2，进而求解即可．【详解】解：∵∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=√32+42=5，由折叠的性质得，AB=AE=5，DB=DE，∴CE=1，设DB=DE=x，则CD=3−x，在Rt△CED中，12+(3−x)2=x2，，解得x=53故选：C．【点睛】本题考查勾股定理、折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【答案】B【分析】根据图形翻折变换的性质可知，AE=BE，设AE=x，则BE=x，CE=8−x，再Rt△BCE中利用勾股定理即可求出CE的长度．【详解】解：∵△ADE翻折后与△BDE完全重合，∴AE=BE，设AE=x，则BE=x，CE=8−x，∵在Rt△BCE中，CE2=BE2−BC2，即(8−x)2=x2−62，解得，x=7，4．∴CE=74故选：B【点睛】本题考查了图形的翻折变换，解题中应注意折叠是一种对称变换，属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，AD为∠BAC的平分线，将△DAC沿AD向上翻折得到△DAE，使点E在射线AB上，则DE的长为（）【答案】B【分析】根据勾股定理求得BC，进而根据折叠的性质可得AE=AC，可得BE=2，设DE=x，表示出BD,DE，进而在Rt△BDE【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，∴BC=√AC2−AB2=√52−32=4，∵将△DAC沿AD向上翻折得到△DAE，使点E在射线AB上，∴AE=AC，设DE=x，则DC=DE=x,BD=BC−CD=4−x，BE=AE−AB=5−3=2，在Rt△BDE中，BD2+BE2=DE2，即(4−x)2+22=x2，解得：x=52，即DE的长为52故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．5．如图，矩形纸片ABCD的边AB长为4，将这张纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，已知折痕EF长为2√5，则BC长为（）A．4.8B．6.4C．8D．10【答案】C【分析】过点F作FG⊥BC于点G，则四边形ABGF是矩形，从而FG=AB=4，在Rt△EFG中，利用勾股定理求得EG=√EF2−FG2=√(2√5)2−42=2．设BE=x，则BG=BE+EG=x+2．由∠AFE=∠CEF=∠AEF 得到AE=AF=BG=x+2，从而在Rt△ABE中，有AB2+BE2=AE2，代入即可解得x的值，从而得到BE，CE的长，即可得到BC．【详解】过点F作FG⊥BC于点G∵在矩形ABCD中，∠DAB=∠B=90°∴四边形ABGF是矩形∴FG=AB=4∴在Rt△EFG中，EG=√EF2−FG2=√(2√5)2−42=2设BE=x，则BG=BE+EG=x+2∵在矩形ABCD中，BC∥AD∴∠AFE=∠CEF由折叠得∠CEF=∠AEF∴AE=AF∵在矩形ABGF中，AF=BG=x+2∴AE=AF=x+2∵在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2∴42+x2=(x+2)2解得x=3即BE=3，AE=5∴由折叠可得CE=AE=5∴BC=BE+EC=3+5=8故选：C【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理的应用，利用勾股定理构造方程是解决折叠问题的常用方法．A．7B．136【答案】B【分析】根据题意可得AD=AB=2，∠B=∠ADB，CE=DE，∠C=∠CDE，可得∠ADE=90°，继而设AE=x，则CE=DE=3−x，根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，∴AD=AB=2，∠B=∠ADB，∵折叠纸片，使点C与点D重合，∴CE=DE，∠C=∠CDE，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠ADB+∠CDE=90°，∴AD2+DE2=AE2，设AE=x，则CE=DE=3−x，∴22+(3−x)2=x2，，解得x=136即AE=13，6故选：B【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，连接CF交AB于点D，则FD的最大值为（）【答案】D【分析】根据将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，可得FD=CF−CD=4−CD，即知当CD最小时，FD最大，此时CD⊥AB，用面积法求出CD，即可得到答案．【详解】解：如图：∵将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，∴CF=BC=4，∴FD=CF−CD=4−CD，当CD最小时，FD最大，此时CD⊥AB，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB=√AC2+BC2=√32+42=5，∵2S△ABC=AC⋅BC=AB⋅CD，∴CD=AC⋅BCAB =3×45=125，∴FD=CF−CD=4−125=85，故选：D．【点睛】本题考查直角三角形中的翻折问题，涉及勾股定理及应用，解题的关键是掌握翻折的性质．A．73B．154【答案】B【分析】先求出BD=2，由折叠的性质可得DN=CN，则BN=8−DN，利用勾股定理建立方程DN2= (8−DN)2+4，解方程即可得到答案．【详解】解：∵D是AB中点，AB=4，∴AD=BD=2，∵将Rt△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，∴DN=CN，∴BN=BC−CN=8−DN，在Rt△DBN中，由勾股定理得DN2=BN2+DB2，∴DN2=(8−DN)2+4，∴DN=17，4，∴BN=BC−CN=154故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确理解题意利用方程的思想求解是解题的关键．【类型二杯中吸管问题】9．如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为5cm，高为12cm，今有一支15cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．不能确定【答案】B【分析】吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答．【详解】解∶∵CD=5cm,AD=12cm，∴AC=√CD2+AD2=√52+122，露出杯口外的长度为=15−13=2(cm)．故答案为：B．【点睛】本题考查勾股定理的应用，所述问题是一个生活中常见的问题，与勾股定理巧妙结合，可培养同学们解决实际问题的能力．10．如图，一支笔放到圆柱形笔筒中，笔筒内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支笔长18cm，则这支笔在笔筒外面部分的长度是()A．6cm B．5cm C．3cm D．2cm【分析】根据勾股定理求得AC的长，进而即可求解．【详解】解：根据题意可得图形：AB=12cm，BC=9cm，在Rt△ABC中：AC=√AB2+BC2=√122+92=15(cm)，所以18−15=3(cm)．则这只铅笔在笔筒外面部分长度为3cm．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．11．如图，一支笔放到圆柱形笔筒中，笔筒内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支笔长18cm，则这支笔在笔筒外面部分的长度是（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【答案】D【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长度．然后求其差．【详解】解：根据题意可得：AB BC=9cm，在Rt△ABC中∶AC=√AB2+BC2=√122+92=15(cm)，所以18−15=3(cm),则这只铅笔在笔筒外面部分长度为3cm．故选：D．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键．12．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度ℎcm，则ℎ的取值范围是（）A．ℎ≤17cm B．ℎ≥16cm C．5cm<ℎ≤16cm D．7cm<ℎ≤16cm【分析】根据勾股定理及直径为最大直角边时即可得到最小值，当筷子垂直于底面时即可得到最大值即可得到答案；【详解】解：由题意可得，当筷子垂直于底面时ℎ的值最大，ℎmax=24−8=16cm，当直径为直角边时ℎ的值最小，根据勾股定理可得，ℎmin=24−√82+152=7cm，∴7cm<ℎ≤16cm，故选D．【点睛】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是找到最大与最小距离的情况．13．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度ℎcm，则ℎ的取值范围是（）A．ℎ≤17cm B．ℎ≥16cm C．5cm<ℎ≤16cm D．7cm≤ℎ≤16cm【答案】D【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围．【详解】解：如图1所示，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，=24−8=16cm，∴ℎ最大如图2所示，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在Rt△ABD中，AD=15cm，BD=8cm，∴AB=√AD2+BD2=17cm，=24−17=7cm，∴此时ℎ最小∴的取值范围是7cm≤h≤16cm．故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．A．5B．7C．12D．13【答案】A【分析】根据勾股定理求出h的最短距离，进而可得出结论．【详解】解：如图，当吸管、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时，h最短，此时AB=√92+122=15（cm），故ℎ＝20−15＝5（cm）；最短故选：A．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．15．如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻璃棒斜放入了一只盛满水的烧杯中，已知烧杯高8cm，玻璃棒被水淹没部分长10cm，这只烧杯的直径约是（）A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm【答案】D可．【详解】解：由题意，可得这只烧杯的直径是：√102−82=6（cm）．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能够将实际问题转化为数学问题是解题的关键．16．如图，一根长18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（）A．4＜h＜5B．5＜h＜6C．5≤h≤6D．4≤h≤5【答案】C【分析】根据题意，求出牙刷在杯子外面长度最小与最大情况即可得出取值范围．【详解】解：根据题意，当牙刷与杯底垂直时，ℎ最大，如图所示：故ℎ最大=18−12=6cm；∵当牙刷与杯底圆直径、杯高构成直角三角形时，ℎ最小，如图所示：在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，则AB=√BC2+AC2=√52+122=13cm，∵牙刷长为18cm，即AD=18cm，∴ℎ最小=AD−AB=18−13=5cm，∴h的取值范围是5≤h≤6，故选：C．【点睛】本题考查勾股定理解实际应用题，读懂题意，根据牙刷的放置方式明确牙刷在杯子外面长度最小与最大情况是解决问题的关键．【类型三楼梯铺地毯问题】17．如图在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（）．A．3米B．4米C．5米D．7米【答案】D【分析】当地毯铺满楼梯时的长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，即可求得地毯的长度．【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度=√52−32=4（米），∵地毯铺满楼梯的长度应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，∴地毯的长度至少是3+4=7（米）．故选：D．【点睛】此题考查了生活中的平移现象以及勾股定理，属于基础题，利用勾股定理求出水平边的长度是解答本题的关键．18．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度=√132−52=12m，∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，∴地毯的长度至少是12+5=17(m)．故选B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．19．如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，AC=5米，AB=13米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（）A．65m2B．85m2C．90m2D．150m2【答案】B【分析】勾股定理求出BC，平移的性质推出防滑毯的长为AC+BC，利用面积公式进行求解即可．【详解】解：由图可知：∠C=90°，∵AC=5米，AB=13米，∴BC=√AB2−AC2=12米，由平移的性质可得：水平的防滑毯的长度=BC=12（米），铅直的防滑毯的长度=AC=5（米），∴至少需防滑毯的长为：AC+BC=17（米），∵防滑毯宽为5米∴至少需防滑毯的面积为：17×5=85（平方米）．故选：B．【点睛】本题考查勾股定理．解题的关键是利用平移，将防滑毯的长转化为两条直角边的边长之和．A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm【答案】A【分析】根据勾股定理即可得出结论．【详解】如图，由题意得AC=1×5=5(cm)，BC=2×6=12(cm)，故AB=√122+52=13(cm)．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．21．如图所示：某商场有一段楼梯，高BC＝6m，斜边AC是10米，如果在楼梯上铺上地毯，那么需要地毯的长度是（）A．8m B．10m C．14m D．24m【答案】C【分析】先根据直角三角形的性质求出AB的长，再根据楼梯高为BC的高＝6m，楼梯的宽的和即为AB的长，再把AB、BC的长相加即可．【详解】∵△ABC是直角三角形，BC＝6m，AC＝10m∴AB＝√AC2−BC2＝√102−62＝8（m），∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC＝8+6＝14（米）．故选C【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是找出楼梯的高和宽与直角三角形两直角边的等量关系.22．某酒店打算在一段楼梯面上铺上宽为2米的地毯，台阶的侧面如图所示，如果这种地毯每平方米售价为80元，则购买这种地毯至少需要（）A．2560元B．2620元C．2720元D．2840元【答案】C【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．【详解】利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为√132−52=12米、5米，∴地毯的长度为12+5=17米，地毯的面积为17×2=34平方米，∴购买这种地毯至少需要80×34=2720元．故选C.【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的应用，生活中的平移现象，解题关键是要注意利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．23．如图所示：是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（）A．5m B．6m C．7m D．8m【答案】C【详解】楼梯竖面高度之和等于AB的长．由于AB=√AC2−BC2=√52−32=4，所以至少需要地毯长4＋3＝7（m）．故选C24．如图，是一段楼梯，高BC是1.5m，斜边AC是2.5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（）A．2.5m B．3m C．3.5m D．4m【答案】C【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得AB，然后求得地毯的长度即可．【详解】解：由勾股定理得：AB=√2.52−1.52=2因为地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和所以地毯的长度至少是1.5+2=3.5（m）故选C．【点睛】本题考查了图形平移性质和勾股定理，解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理.【类型四最短路径问题】25．如图，透明圆柱的底面半径为6厘米，高为12厘米，蚂蚁在圆柱侧面爬行．从圆柱的内侧点A爬到圆柱的外侧点B处吃食物，那么它爬行最短路程是厘米．(π≈3)【答案】30【分析】把圆柱的侧面展开，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵透明圆柱的底面半径为6厘米，∴透明圆柱的底面周长为2×6π=厘米≈36厘米，作点A关于直线EF的对称点A′，连接A′B，则A′B的长度即为它爬行最短路程，×36=18厘米，∴A′A=2AE=24厘米，AB=12∴A′B=√AB2+A′A2=√182+242=30(cm)，故答案为：30．【点睛】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算．【答案】10【分析】将圆柱侧面展开，由图形可知蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程即为AB的长，再由勾股定理求出．【详解】解：根据圆柱侧面展开图，cm，高为8cm，∵圆柱的底面半径为6π∴底面圆的周长为2×6×π=12cm，π×12=6cm，∴BC=8cm，AC=12由图形可知蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程即为AB的长，AB=√AC2+BC2=10cm，故答案为：10．【点睛】本题考查了平面展开最短路线问题，勾股定理，将立体图形转化成平面图形求解是解题的关键．27．如图有一个棱长为9cm的正方体，一只蜜蜂要沿正方体的表面从顶点A爬到C点（C点在一条棱上，距离顶点B 3cm处），需爬行的最短路程是cm．【答案】15【分析】首先把正方体展开，然后连接AC，利用勾股定理计算求解即可．【详解】解：如图，连接AC，由勾股定理得，AC=√92+(9+3)2=15，故答案为：15．【点睛】本题考查了正方体的展开图、勾股定理的应用，解题的关键在于明确爬行的最短路线．28．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的内壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是厘米．【答案】10【分析】将杯子侧面展开，作A关于杯口的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′P的长度即为所求，再结合勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示：将杯子侧面展开，作A关于杯口的对称点A′，连接PA′，最短距离为PA′的长度，)2+(6−1.5+1.5)2=10(厘米)，PA′=√PE2+EA′2=√(162最短路程为PA ′=10厘米．故答案为：10．【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．【答案】20【分析】先把圆柱的侧面展开，连接AS ，利用勾股定理即可求得AS 的长．【详解】解：如图，∵在圆柱的截面ABCD 中，AB =24π，BC =32，∴AB =12×24π×π=12，BS =12BC =16， ∴AS =√AB 2+BS 2=20，故答案为：20．【点睛】本题考查平面展开图−最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解题的关键．30．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm ，底面周长为16cm ，在杯内壁离杯底4cm 的点A 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm ，且与蜂蜜相对的点B 处，则蚂蚁从外壁B 处到内壁A 处所走的最短路程为 cm ．（杯壁厚度不计）【答案】10【分析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B′，根据两点之间线段最短可知AB′的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B′，作B′D⊥AE，交AE延长线于点D，连接AB′，BB′=1cm,AE=9−4=5(cm)，由题意得：DE=12∴AD=AE+DE=6cm，∵底面周长为16cm，×16=8(cm)，∴B′D=12∴AB′=√AD2+B′D2=10cm，由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为AB′=10cm，故答案为：10．【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．31．如图所示，ABCD是长方形地面，长AB=20m，宽AD=10m．中间竖有一堵砖墙高MN=2m．一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它要走的路程s取值范围是．【答案】s≥26m【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长，再把中间的墙平面展开，使原来的长方形长度增加而宽度不变，求出新长方形的对角线长即可得到范围．【详解】解：如图所示，将图展开，图形长度增加4m，原图长度增加4m，则AB=20+4=24m，连接AC，∵四边形ABCD是长方形，AB=24m，宽AD=10m，∴AC=√AB2+BC2=√242+102=26m，∴蚂蚱从A点爬到C点，它要走的路程s≥26m．故答案为：s≥26m．【点睛】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键．【答案】5【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．【详解】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，则彩灯带长为2个长方形的对角线长，∵圆柱高3米，底面周长2米，∴AC2=22+1.52=6.25，∴AC=2.5，∴每根柱子所用彩灯带的最短长度为5m．故答案为5．【点睛】本题考查了平面展开−最短路线问题，勾股定理的应用．圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．【类型五旗杆高度问题】【答案】6m【分析】设AD=x，在△ABC中，利用勾股定理列出方程，解之即可．【详解】解：∵BF=2m，∴CE=2m，∵DE=1m，∴CD=CE−DE=1m，设AD=x，则AB=x，AC=AD−CD=x−1，由题意可得：BC⊥AE，在△ABC中，AC2+BC2=AB2，即(x−1)2+32=x2，解得：x=5，即AD=5，∴旗杆AE的高度为：AD+DE=5+1=6m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的关键．34．荡秋千是深受人们喜爱的娱乐项目，如图，小丽发现，秋千静止时踏板离地面的垂直高度DE=0.5m，将它往前推送至点B，测得秋千的踏板离地面的垂直高度BF=1.1m，此时水平距离BC=EF=1.8m，秋千的绳索始终拉的很直，求绳索AD的长度．【答案】3m【分析】设绳索AD的长度为xm=(x−0.6)m，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】解：设秋千的绳索AD长为xm，则AB为xm，∵四边形BCEF是矩形，∴BF=CE=1.1m，∵DE=0.5m，∴CD=0.6m则AC为(x−0.6)m在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，即：(x−0.6)2+1.82=x2解得：x=3∴绳索AD的长度为3m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键．35．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），聪明的小红发现：先测出垂到地面的绳子长，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离n，利用所学知识就能求出旗杆的长，若m=1米，n=5米，求旗杆AB的长．【答案】12米【分析】设旗杆的高为x米，在Rt△ABC中，推出x2+52=(x+1)2，可得x=12，由此解决问题.【详解】解：设AB=x米，因为∠ABC=90°，所以在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：x2+52=(x+1)2，解之，得：x=12，所以，AB的长为12米，答：旗杆AB的长为12米．【点睛】本题考查直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程.【答案】风筝的高度CE为61.68米．【分析】利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度．【详解】解：在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD=√CB2−BD2=√652−252=60(米)．∴CE=CD+DE=60+1.68=61.68(米)．答：风筝的高度CE为61.68米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．37．看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．【答案】17米【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为xm，可得AC=AD=x m，AB=(x−2)m，BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．【详解】解：如图所示设旗杆高度为x m，则AC=AD=x m，AB=(x−2)m，BC=8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2(x−2)2+82=x2解得：x=17，答：旗杆的高度为17m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形．38．同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度．爱动脑的小华设计了这样一个方案：如图，将升旗的绳子拉直刚好触底，此时测得绳子末端C到旗杆AB的底端B的距离为1米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5米的点E处，此时测得绳子末端E距离地面的高度DE为1米．请你根据小华的测量方案和测量数据，求出学校旗杆的高度．【答案】12.5米【分析】过点E作EF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC和Rt△AEF中，根据勾股定理得出AC2=AB2+BC2，AE2= AF2+EF2，根据AC=AE，得出AB2+12=(AB−1)2+52，求出AB的长即可．【详解】解：过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图所示：由题意可知：四边形BDEF是长方形，△ABC和△AEF是直角三角形，∴DE=BF=1，BD=EF=5，BC=1，在Rt△ABC和Rt△AEF中，根据勾股定理可得：AC2=AB2+BC2，AE2=AF2+EF2，即AC2=AB2+12，AE2=(AB−1)2+52，又∵AC=AE，∴AB2+12=(AB−1)2+52，解得：AB=12.5．答：学校旗杆的高度为12.5米．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理列出关于AB方程AB2+12= (AB−1)2+52．39．学过《勾股定理》后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为6米（如图2）．根据以上信息，求旗杆AB的高度．【答案】9米【分析】设AB=x，则AC=x+1，AE=x−1，再根据勾股定理可列出关于x的等式，解出x即得出答案．【详解】解：设AB=x依题意可知：在Rt△ACE中，∠AEC=90°，AC=x+1，AE=x−1，CE=6，根据勾股定理得：AC2=AE2+CE2，即：(x+1)2=(x−1)2+62，解得：x=9答：旗杆AB的高度是9米．【点睛】本题考查勾股定理的实际应用．结合题意，利用勾股定理列出含未知数的等式是解题关键．40．如图，学校要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，求旗杆的高度．【答案】12米【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．【详解】解：设旗杆的高度AB为x米，则绳子AC的长度为(x+1)米，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52=(x+1)2，解得，x=12，答：旗杆的高度为12米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟知勾股定理是解题关键．【类型六航海问题】【答案】30海里/小时【分析】先根据题意结合方位角的描述求出∠ABC=90°以及AB、BC的长，再利用勾股定理求出AC的长即可得到答案．【详解】解：如图所示，由题意得，∠HAB=90°−60°=30°，∠MBC=90°−∠EBC=60°，∵AH∥BM，∴∠ABM=∠BAH=30°，∴∠ABC=∠ABM+∠MBC=90°，∵巡逻艇沿直线追赶，半小时后在点C处追上走私船，∴BC=18×0.5=9海里，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12海里，BC=9海里，∴AC=√AB2+BC2=15海里，∴我军巡逻艇的航行速度是15=30海里/小时，0.5答：我军巡逻艇的航行速度是30海里/小时．【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长是解题的关键．(1)求点A与点B之间的距离；(2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为处有一艘轮船准备沿直线向点多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）【答案】(1)AB=1000海里(2)最多能收到14次信号【分析】（1）由题意易得∠ACB是直角，由勾股定理即可求得点A与点B之间的距离；（2）过点C作CH⊥AB交AB于点H，在AB上取点M，N，使得CN＝CM＝500海里，分别求得NH、MH的长，可求得此时轮船过MN时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数；【详解】（1）由题意，得：∠NCA＝54°，∠SCB＝36°；。

经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。

解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?【答案】∵∠ACD=90°AD=13, CD=12∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25∴AC=5又∵∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得AB2=AC2－BC2=52－32=16∴AB= 4∴AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.解析：作于D，则因，∴（的两个锐角互余）∴（在中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.根据勾股定理，在中，.根据勾股定理，在中，.∴.举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：.解析：连结BM，根据勾股定理，在中，.而在中，则根据勾股定理有.∴又∵（已知），∴.在中，根据勾股定理有，∴.【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：四边形ABCD的面积。

分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。

勾股定理及应用 题集一、勾股定理与逆定理A. B. C. D.1.如图所示的一块地，，，，，，这块地的面积为（ ）．【答案】B 【解析】连接，在中，，∴，∵，，，∴是直角三角形，．【标注】【知识点】勾股逆定理的应用2.如图，在四边形中，，，，．求的度数．【答案】．【解析】连接，在中，，，∴，∴，∴，∵，，∴．在中，，∴是直角三角形，即，∵，∴．【标注】【知识点】勾股定理的逆定理【知识点】勾股定理的证明A.尺B.尺C.尺D.尺3.如图，有一个水池，其底面是边长为尺的正方形，一根芦苇生长在它的正中央，高出水面部分的长为尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则这根芦苇的长是（ ）．【答案】C 【解析】苇长尺，则水深尺，∵尺，∴尺，∵中，．∴．【标注】【知识点】勾股定理与实际问题（1）（2）4.如图，一架云梯长米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面米．这个梯子底端离墙有多少米．如果梯子的顶端下滑米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了米吗？【答案】（1）（2）米．不是．【解析】（1）（2）由题意得此时米，米，根据，∴可求米．设滑动后梯子的底端到墙的距离为米，得方程，，解得，所以梯子向后滑动了米．综合得：如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底部在水平方向不是滑米．【标注】【知识点】勾股定理的综合应用A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5.若的三边长，，满足，则是（ ）．【答案】D【解析】∵，∴或．∴或．∴为等腰三角形或直角三角形．【标注】【知识点】勾股逆定理的应用A. B. C. D.6.如图，已知在中，，分别以、为直径作半圆，面积分别记为、，则等于（ ）．【答案】A【解析】由勾股定理可知：．，，∴．【标注】【知识点】勾股定理与几何问题（1）（2）7.下表中给出的每行三个数、、满足，根据表中已有的数的规律填空：当时， ， ．用含字母的代数式分别表示、，，．【答案】（1）（2）;; 【解析】（1）（2）∵，∴，．∵，，；，，；，，；∴，．【标注】【知识点】勾股树（1）（2）（3）8.若一个直角三角形的两条直角边长为、，斜边为，斜边上的高为．求证：．．以、、为边构成的三角形是直角三角形．【答案】（1）（2）（3）证明见解析证明见解析证明见解析【解析】（1）（2）（3）∵，，∴，代入得，∴．由，，则，∴，即，∴略【标注】【知识点】解直角三角形的综合应用二、勾股定理的方程思想1.如图，已知等腰的底边，是腰上一点，且，，求的周长．【答案】．【解析】由勾股定理逆定理得，是直角三角形．在中，应用勾股定理，设，代入数值得，.所以的周长=．【标注】【知识点】方程思想在勾股定理的应用2.如图，在中，，平分，，，求的长．【答案】．【解析】过作，∵平分，∴，∵，∴由勾股定理得，设，则，在由勾股定理得：，解得，∴．【标注】【知识点】方程思想在勾股定理的应用（1）（2）3.如图，在中，，，，的平分线与相交于点，过点作，垂足为．求的长．求的长．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）∵平分，，，∴，在和中，（2），∴≌，∴．∵，，，∴在中，，∴，．设，则，，在中，，，解得，∴．【标注】【知识点】方程思想在勾股定理的应用4.如图，在中，，，，求边上的高．【答案】．【解析】设为，则，∵为的高，∴在中，，在中，，∴．即，解得：．∴．∴在中，．【标注】【知识点】方程思想在勾股定理的应用（1）（2）5.如图，在中，，，，点为边上的动点，点从点出发，沿边往运动，当运动到点时停止，设点运动的时间为秒，速度为每秒个单位长度．若是直角三角形，求的值．若是等腰三角形，求的值．【答案】（1）（2）或．，或．【解析】（1）（2）当时，是直角三角形，，，故．∵，∴，即，，．当时，是直角三角形，此时与重合，∴，，综上所述，或．当时，即，解得，当时，取中点，连接．∵，∴，∴，∴，∴，即．当时，过点作于点．∵，，，∴，在中，，即，综上所述，的值为，或．【标注】【知识点】方程思想在勾股定理的应用6.如图，是一张直角三角形纸片，，两直角边、，现将折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为 ．【答案】【解析】依题可知≌，∴．设，则，在中，，，∴，解得，，∴．【标注】【知识点】翻折问题与勾股定理7.如图，在中，，，，将折叠，使点恰好落在斜边上，与点重合，为折痕，则 ．【答案】 或【解析】在中，，∵将折叠得到，∴，，∴．设，则．在中，，∴，解得．∴．【标注】【知识点】解直角三角形的综合应用A. B. C. D.8.如图，在矩形中，，，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则线段的长为（ ）．【答案】A【解析】设，则，∵四边形为矩形，∴，，，∴，由题意得：，∴，∴，由勾股定理得，即，解得：，∴，∴．【标注】【知识点】其它翻折问题9.如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，的长为 ．【答案】或【解析】当为直角三角形时，有两种情况：图图①当点落在矩形内部时，如答图所示．连接，在中，，，，沿折叠，使点落在点处，，当为直角三角形时，只能得到，点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，，，，设，则，，在中，，，解得，；②当点落在边上时，如答图所示．此时为正方形，．综上所述，的长为或．故答案为：或．【标注】【知识点】四边形与折叠问题三、勾股定理与最短路径问题A. B. C. D.1.如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（ ）．【答案】B【解析】将长方体展开，连接、，根据两点之间线段最短，（）如图，，，由勾股定理得：．（）如图，，，由勾股定理得，．（）只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：∵长方体的宽为，高为，点离点的距离是，∴，，在直角三角形中，根据勾股定理得：∴．由于，故最短距离为．【标注】【知识点】勾股定理与展开图最短路径问题2.如图所示，无盖玻璃容器，高，底面周长为，在外侧距下底的点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口的处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度．【答案】最短路线长为．【解析】如下图可知，最短路线的长度为线段的长度，作于，则，，∵底面周长为，∴，∴．∴最短路线长为．【标注】【知识点】勾股定理与展开图最短路径问题。

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--勾股定理的应用一、综合题1．如图1，对称轴为直线x= 12的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与x轴的另一交点为A（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；（3）如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE 2．如图①，在△ABC中，△A＝90°，AB＝AC＝13√22，连接DE，把△ADE绕点A顺时针方向旋转α（0°＜α＜360°）.＝7√22（1）如图②，当0°＜α＜180°时，判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由；（2）如图③，若180°＜α＜360°，当C、D、E三点在同一直线时，BD与CE具有怎样的位置关系，请说明理由，并求出此时线段BE的长；（3）在旋转过程中，求△BCD的面积的最大值，并写出此时的旋转角α的度数.3．问题提出（1）如图①，AD是△ABC的中线，则AB+AC 2AD；（填“>”“<”或“=”）（2）问题探究如图②，在矩形ABCD中，CD=3，BC=4，点E为BC的中点，点F为CD上任意一点，当△AEF的周长最小时，求CF的长；（3）问题解决如图③，在矩形ABCD中，AC=4，BC=2，点O为对角线AC的中点，点P为AB上任意一点，点Q为AC上任意一点，连接PO、PQ、BQ，是否存在这样的点Q，使折线OPQB的长度最小？若存在，请确定点Q的位置，并求出折线OPQB的最小长度；若不存在，请说明理由。

4．如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A（-3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC。

点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m。

专题01 勾股定理的基本应用题型一 求面积1．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设“赵爽弦图”中直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若2()24a b +=，大正方形的面积为14，则小正方形的面积为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：设大正方形的边长为c ，则22214c a b ==+，2()24a b +=Q ，22224a ab b \++=，解得5ab =，\小正方形的面积是：1441425141042ab -´=-´=-=，故选：C ．2．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、D 的面积依次为6、10、24，则正方形C 的面积为( )A ．4B ．6C ．8D ．12【解答】解：由题意：A B E S S S +=正方形正方形正方形，D C E S S S -=正方形正方形正方形，A B D CS S S S \+=-正方形正方形正方形正方形Q 正方形A 、B 、D 的面积依次为6、10、24，24610C S \-=+正方形，8C S \=正方形．故选：C ．3．如图，点C 是线段AB 上的一点，分别以AC 、BC 为边向两侧作正方形．设6AB =，两个正方形的面积和1220S S +=，则图中BCD D 的面积为( )A ．4B ．6C ．8D ．10【解答】解：设AC a =，BC b =，由题意得：6a b +=，2220a b +=，222()2a b a b ab +=+-Q ，22062ab \=-，8ab \=，BCD \D 的面积118422ab ==´=．图中BCD D 的面积为4．故选：A ．4．正方形ABCD 的边长为1，其面积记为1S ，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为2S ，L 按此规律继续下去，则2022S 的值为( )A ．20221()2B ．20211()2C ．2022D ．2021【解答】解：在图中标上字母E ，如图所示．Q 正方形ABCD 的边长为1，CDE D 为等腰直角三角形，222DE CE CD \+=，DE CE =，221S S S \+=．观察，发现规律：2111S ==，211122S S ==，321124S S ==，431128S S ==，¼，11()2n n S -\=．当2022n =时，202212021202211()()22S -==，故选：B ．5．如图，以正方形ABCD 的边AD 为直径作一个半圆，点M 是半圆上一个动点，分别以线段AM 、DM 为边各自向外作一个正方形，其面积分别为1S 和2S ，若正方形的面积为10，随点M 的运动12S S +的值为( )A ．大于10B ．小于10C ．等于10D ．不确定【解答】解：AB Q 为半圆的直径，90AMD \Ð=°，22210AM DM AD \+==，21S AM =Q ，22S DM =，1210S S \+=．故选：C ．6．如图，在四边形ABDE 中，//AB DE ，AB BD ^，点C 是边BD 上一点，BC DE a ==，CD AB b ==，AC CE c ==．下列结论：①ABC CDE D @D ；②90ACE Ð=°；③四边形ABDE 的面积是21()2a b +；④22111()2222a b c ab +-=´；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是( )A ．5B ．4C ．3D ．2【解答】解：//AB DE Q ，AB BD ^，DE BD \^，90B D \Ð=Ð=°．在ABC D 和CDE D 中，90AB CD B D BC DE =ìïÐ=Ð=°íï=î，()ABC CDE SAS \D @D，A DCE \Ð=Ð，ACB E Ð=Ð．90A ACB Ð+Ð=°Q ，90DCE ACB \Ð+Ð=°．180DCE ACB ACE Ð+Ð+Ð=°Q ，90ACE \Ð=°，故①②正确；//AB DE Q ，AB BD ^，\四边形ABDE 的面积是21()2a b +；故③正确；Q 梯形ABDE 的面积-直角三角形ACE 的面积=两个直角三角形的面积，\22111()2222a b c ab +-=´，222a b c \+=．故③④⑤都正确．故选：A ．7．如图，Rt ABC D 中，90C Ð=°，AD 平分BAC Ð，交BC 于点D ，6CD =，12AB =，则ABD D 的面积是( )A ．18B ．24C ．36D ．72【解答】解：作DH AB ^于D ，如图，AD Q 平分BAC Ð，DH AB ^，DC AC ^，6DH DC \==，1126362ABD S D \=´´=．故选：C ．8．如图，Rt ABC D 中，90C Ð=°，5AC =，12BC =，分别以AB 、AC 、BC 为边在AB 的同侧作正方形ABEF 、ACPQ 、BCMN ，四块阴影部分的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，则1234S S S S +++等于( )A ．60B ．80C ．90D ．120【解答】解：连接PF ，过点F 作FD AK ^于点D ，AB EB =Q ，90ACB ENB Ð=Ð=°，而90CBA CBE EBN CBE Ð+Ð=Ð+Ð=°，CBA EBN \Ð=Ð，()CBA NBE AAS \D @D ，故4ABC S S D =；同理ADF ABC D @D ，AC DF AQ CP \===，90QAC KDF PCD Ð=Ð=Ð=°Q ，//AQ DF \，\四边形CDFP 是矩形，90CPF \Ð=°，180QPC CPF \Ð+Ð=°，Q \，P ，F 三点共线，又FA AB =Q ，90FDA ACB Ð=Ð=°，而90FAD CAB CAB ABC Ð+Ð=Ð+Ð=°，FAD ABC \Ð=Ð，()FAD ABC AAS \D @D ，同理可证ACT FDK D @D ，2FDA ABC S S S D D \==，同理可证TPF KME D @D ，AQF ABC D @D ，13ADF ABC S S S S D D \+==，综上所证：1234133125902ABC S S S S S D +++==´´´=．故选：C ．9．如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为4和10，则b 的面积为　14　．【解答】解：如图，a Q 、b 、c 都为正方形，BC BF \=，90CBF Ð=°，24AC =，210DF =，1290Ð+Ð=°Q ，2390Ð+Ð=°，13\Ð=Ð，在ABC D 和DFB D 中，13BAC FDB BC FB Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，ABC DFB \D @D ，AB DF \=，在ABC D 中，2222241014BC AC AB AC DF =+=+=+=，b \的面积为14．故答案为14．10．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，90BAC Ð=°，3AB =，4AC =，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则空白部分的面积为 60　．【解答】解：如图，延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，所以，四边形AOLP 是正方形，90BAC Ð=°Q ，3AB =，4AC =，347AO AB AC \=+=+=，3710KL \=+=，4711LM =+=，因此，矩形KLMJ 的面积为1011110´=，\空白部分的面积为22211034560---=，故答案为：60．11．我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图，若勾6AE =，弦10AD =，则小正方形EFGH 的面积是　4　．【解答】解：如图，Q 勾6AE =，弦AD =弦10AB =，\股8BE ==，\小正方形的边长862=-=，\小正方形的面积224==．故答案是：4．12．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A 、C 、D 的面积依次为4、6、18，则正方形B 的面积为　8　．【解答】解：由题意：A B E S S S +=正方形正方形正方形，D C E S S S -=正方形正方形正方形，A B D CS S S S \+=-正方形正方形正方形正方形Q 正方形A 、C 、D 的面积依次为4、6、18，4186B S \+=-正方形，8B S \=正方形．故答案为：8．13．如图，在同一平面内，直线l 同侧有三个正方形A ，B ，C ，若A ，C 的面积分别为9和4，则阴影部分的总面积为 6　．【解答】解：如图，作LM FE ^交FE 的延长线于点M ，交JI 的延长线于点N ，Q 四边形A 、B 、C 都是正方形，且正方形A 、C 的面积分别为9、4，90EKI EDR IHG \Ð=Ð=Ð=°，29DE =，24HI =，3DE \=，2HI =，1809090EDK KHI Ð=Ð=°-°=°Q ，90DKE KHI HIK \Ð=°-Ð=Ð，在EDK D 和KHI D 中，EDK KHI DKE HIK EK KI Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()EDK KHI AAS \D @D ，2DK HI \==，3DE HK ==，13232EDK KHI S S D D \==´´=；90DEF HIJ Ð=Ð=°Q ，18090DEM DEF \Ð=°-Ð=°，18090HIN HIJ Ð=°-Ð=°，90KEL KIL Ð=Ð=°Q，90MEL DEK KEM \Ð=Ð=°-Ð，90NIL HIK KIN Ð=Ð=°-Ð，//EF l Q ，//IJ l ，//EF IJ \，90EML EMN N \Ð=Ð=Ð=°，在EML D 和EDK D 中，MIL DEK EML EDK EL EK Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()EML EDK AAS \D @D ，EM ED EF \==，3EFL EML EDK S S S D D D \===；在LNI D 和KHI D 中，NIL HIK N KHI IL IK Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()LNI KHI AAS \D @D ，IN IE IJ ==Q ，3LJI LNI KHI S S S D D D \===，336EFL LJI S S D D \+=+=，\阴影部分的总面积为6．14．如图，正方形ABDE 、CDFI 、EFGH 的面积分别为25、9、16，AEH D 、BDC D 、GFI D 的面积分别为1S 、2S 、3S ，则123S S S ++=　18　．【解答】解：DF DC =Q ，DE DB =，且180EDF BDC Ð+Ð=°，过点A 作AJ EH ^，交HE 的延长线于点J ，90J DFE \Ð=Ð=°，90AEJ DEJ DEJ DEF Ð+Ð=Ð+Ð=°Q ，AEJ DEF \Ð=Ð，AE DE =Q ，()AEJ DEF AAS \D @D ，AJ DF \=，EH EF =Q ，AHE DEF S S D D \=，同理：BDC GFI DEF S S S D D D ==，1233AHE BDC GFI DEF S S S S S S S D D D D ++=++=´，13462DEF S D =´´=，12318S S S \++=．故答案为：18．题型二 求线段长15．一个大正方形，被两条线段分割成两个小正方形和两个小长方形，若两个小正方形的面积分别为10和6，则小长方形的对角线AB 的长为( )A ．4B ．6C ．10D ．16【解答】解：如图，Q 两个小正方形的面积分别为10和6，26AC \=，210BC =，由勾股定理得，4AB ===．故选：A ．16．如图，在Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，以AB 为边在ABC D 外作正方形，其面积为9，以BC 为斜边在ABC D 外作等腰直角三角形，其面积为4，过点B 作BD AC ^交AC 于点D ，则(AD = )A ．85B ．94C ．95D ．2【解答】解：Q 以AB 为边的正方形的面积为9，29AB \=，Q 以BC 为斜边的等腰直角三角形的面积为4，\等腰直角三角形的腰长为216BC \=，在Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，则5AC ===，1122ABC S AB AC AC BD D =´´=´´Q ，\1134522BD ´´=´´，解得：125BD =，由勾股定理得：95AD ===，故选：C ．17．如图，在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，CD AB ^于D ．已知15AB =，Rt ABC D 的周长为15+，则CD 的长为( )A ．5BC ．D ．6【解答】解：如图所示：Rt ABC D Q 的周长为15+，90ACB Ð=°，15AB =，AC BC \+=，222215225AC BC AB +===，22()AC BC \+=，即222405AC AC BC BC +´+=，2405225180AC BC \´=-=，90AC BC \´=，Q 1122AB CD AC BC ´=´，90615AC BC CD AB ´\===；故选：D ．18．若ABC=，高24=，则BC的长为( )cm．AD cmAC cmD中，30AB cm=，26A．28或8B．8C．28D．以上都不对Q为边BC上的高，【解答】解：AD\Ð=Ð=°．90ADB ADCBD===，在Rt ABDD中，18CD===．在Rt ACDD中，10当点D在线段BC上时，如图1，181028=+=+=；BC BD CD当点D在线段CB的延长线上时，如图2，18108=-=-=．BC BD CD\的长为28或8．BC故选：A．19．如图，在ABCBC=，6AB=，4AC=，则DE的^于D，且5D中，CE是AB边上的中线，CD AB长　2　．【解答】解：设BD x=-，=，则5AD x在Rt ACD D 中，222CD AC AD =-，在Rt BCD D 中，222CD BC BD =-，2222AC AD BC BD \-=-，即22226(5)4x x --=-，解得，12x =，则12BD =，2DE BE BD \=-=，贵答案为：2．20．如图，锐角三角形ABC 中，2C B Ð=Ð，AB =，8BC CA +=，则ABC D 的面积为　【解答】解：过A 作AE BC ^于E ，延长BC 到D 使CD AC =，则CAD D Ð=Ð，ACB D CAD Ð=Ð+ÐQ ，2ACB D \Ð=Ð，2C B Ð=ÐQ ，B D \Ð=Ð，AB AD \=，BE DE \=，8BC CA +=Q ，8BD BC CD BC AC \=+=+=，4BE \=，AE \==，222AE CE AC \+=，即228(4)(8)BC BC +-=-，解得：5BC =，ABC \D 的面积11522BC AE ==´´=g故答案为：．21．如图所示，ABC D 的顶点A 、B 、C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD AC ^于点D ，则BD 的长为　3　．【解答】解：由图形可知，5BC =，BC 边上的高为3，ABC \D 的面积1155322=´´=，由勾股定理得，5AC ==，则115522BD ´´=，解得，3BD =，故答案为：3．22．如图，在Rt ABC D 中，90B Ð=°，3AB =，6BC =，AC 的中垂线DE 交AC 于点D ，交BC 于点E ．延长DE 交AB 的延长线于点F ，连接CF ．（1）求出CD 的长；（2）求出CF 的长．【解答】解：（1）在Rt ABC D 中，90B Ð=°，3AB =，6BC =，则AC ===，DE Q 是AC 的中垂线，12CD AC \==（2）DF Q 是AC 的中垂线，FA FC \=，3AB =Q ，33FB FA CF \=-=-，在Rt FBC D 中，222CF BC FB =+，即2226(3)CF CF =+-，解得：152CF =．23．如图，在ABC D 中，AB AC =，AD BC ^于点D ，45CBE Ð=°，BE 分别交AC ，AD 于点E 、F ．（1）如图1，若13AB =，10BC =，求AF 的长度；（2）如图2，若AF BC =，求证：222BF EF AE +=．【解答】（1）解：如图1，AB AC =Q ，AD BC ^，BD CD \=，10BC =Q ，5BD \=，Rt ABD D 中，13AB =Q ，12AD \==，Rt BDF D 中，45CBE Ð=°Q ，BDF \D 是等腰直角三角形，5DF BD \==，1257AF AD DF \=-=-=；（2）证明：如图2，在BF 上取一点H ，使BH EF =，连接CF 、CH 在CHB D 和AEF D 中，Q 45BH EFCBH AFE BC AF=ìïÐ=Ð=°íï=î，()CHB AEF SAS \D @D ，AE CH \=，AEF BHC Ð=Ð，CEF CHE \Ð=Ð，CE CH \=，BD CD =Q ，FD BC ^，CF BF \=，45CFD BFD \Ð=Ð=°，90CFB \Ð=°，EF FH \=，Rt CFH D 中，由勾股定理得：222CF FH CH +=，222BF EF AE \+=．24．如图，在ABC D 中，AD BC ^，垂足为点D ，13AB =，5BD =，15AC =．（1）求AD 的长；（2）求BC的长．【解答】解：（1）AD BC ^Q ，90ADB CDA \Ð=Ð=°．在Rt ADB D 中，90ADB Ð=°Q ，222AD BD AB \+=，222144AD AB BD \=-=．0AD >Q ，12AD \=．（2）在Rt ADC D 中，90CDA Ð=°Q ，222AD CD AC \+=，22281CD AC AD \=-=．0CD >Q ，9CD \=．5914BC BD CD \=+=+=．题型三 通过勾股定理设方程25．如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD 和正方形EFGH ，即赵爽弦图．连接AC ，分别交EF 、GH 于点M ，N ，连接FN ．已知3AH DH =，且21ABCD S =正方形，则图中阴影部分的面积之和为( )A ．214B ．215C ．225D ．223【解答】解：21ABCD S =Q 正方形，221AB \=，设DH x =，则33AH DH x ==，22921x x \+=，22110x \=，根据题意可知：AE CG DH x ===，3CF AH x ==，32FE FG CF CG x x x \==-=-=，2FGN CGNS S D D \=AEM CGN S S D D =Q ，FGN AEM CGN S S S D D D \=+，\阴影部分的面积之和为：()12NGFM S NG FM FG =+×梯形1()2EM MF FG =+×12FE FG =×21(2)2x =´22x =215=．故选：B ．26．如图，在ABC D 中，90C Ð=°，点M 是AB 的中点，点N 在AC 上，MN AB ^．若8AC =，4BC =，则NC 的长为( )A ．3B ．4C ．5D ．【解答】解：如图，连接BN ，AB Q 的垂直平分线交AB 、AC 于点M 、N ，AN BN \=，设NC x =，则8AN BN x ==-，在Rt BCN D 中，由勾股定理得：222BN BC CN =+，即222(8)4x x -=+，解得：3x =，即3NC =，故选：A ．27．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE a =，HG b =，则斜边BD 的长是()A B C ．a b +D ．a b-【解答】解：设CD x =，则DE a x =-，HG b =Q ，AH CD AG HG DE HG a x b x \==-=-=--=，2a bx -\=，22a b a bBC DE a -+\==-=，2222222()()222a b a b a b BD BC CD +-+\=+=+=，BD \=，故选：B ．28．在长方形ABCD 中，52AB =，4BC =，CE CF =，延长AB 至点E ，连接CE ，CF 平分ECD Ð，则BE =　76　．【解答】解：如图，延长CF ，BA 交于点G ，连接EF ，过点F 作FH CE ^于H ，过点E 作EM CF ^于M ，Q 四边形ABCD 是矩形，且52AB =，4BC =，//AB CD \，52AB CD ==，90D ABC CBE Ð=Ð=Ð=°，DCF G \Ð=Ð，CF Q 平分ECD Ð，DCF FCE \Ð=Ð，FH DF =，G ECF \Ð=Ð，EC EG \=，ECG \D 是等腰三角形，CM MG \=，CE CF =Q ，ECF \D 是等腰三角形，EM CF ^Q ，FH CE ^，EM \和FH 是等腰三角形腰上的高，EM FH DF \==，Rt CDF Rt CME(HL)\D @D ，52CM CD \==，5CG \=，Rt CBG D 中，3BG ===，设BE x =，则3EC EG x ==+，Rt CBE D 中，222(3)4x x +=+，解得：76x =，76BE \=．故答案为：76．29．如图是“赵爽弦图”， ABH D ，BCG D ，CDF D 和DAE D 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，如果10AB =，且:3:4AH AE =．那么AH 等于　6　．【解答】解：10AB =Q ，:3:4AH AE =，设AH 为3x ，AE 为4x ，由勾股定理得：222222(3)(4)(5)AB AH AE x x x =+=+=，510x \=，2x \=，6AH \=，故答案为：6．30．[阅读理解]如图，在ABC D 中，4AB =，6AC =，7BC =，过点A 作直线BC 的垂线，垂足为D ，求线段AD 的长．解：设BD x =，则7CD x =-．AD BC ^Q ，90ADB ADC \Ð=Ð=°．在Rt ABD D 中，222AD AB BD =-，在Rt ACD D 中，222AD AC CD =-，2222AB BD AC CD \-=-．又4AB =Q ，6AC =，222246(7)x x \-=--．解得2914x =，2914BD \=．AD \==．[知识迁移]（1）在ABC D 中，13AB =，15AC =，过点A 作直线BC 的垂线，垂足为D ．)i 如图1，若14BC =，求线段AD 的长；)ii 若12AD =，求线段BC 的长．（2）如图2，在ABC D 中，AB =，AC =，过点A 作直线BC 的垂线，交线段BC 于点D ，将ABD D 沿直线AB 翻折后得到对应的ABD D ¢，连接CD ¢，若252AD =，求线段CD ¢的长．【解答】解：（1）)i 设BD x =，则14CD x =-，AD BC ^Q ，90ADB ADC \Ð=Ð=°，在Rt ABD D 中，222AD AB BD =-，在Rt ACD D 中，222AD AC CD =-，2222AB BD AC CD \-=-，13AB =Q ，15AC =，22221315(14)x x \-=--，5x \=，5BD \=，12AD \===；)ii 在Rt ABD D 中，5BD ===，在Rt ACD D 中，9CD ===，当ABC Ð为锐角时，如图11-，5914BC BD CD =+=+=，当ABC Ð为钝角时，如图12-，954BC BD CD =-=-=；（2）如图2，连接DD ¢交AB 于点N ，则DD AB ¢^，过点D ¢作D H BD ¢^于H ，在Rt ABD D 中，254BD ==；在Rt ACD D 中，5CD ==，AB Q 垂直平分DD ¢，254D B DB ¢\==，2D D DN ¢=，1122ABD S AD BD AB DN D =×=×Q ，\252524DN ´=，DN \=2D D DN ¢\==，设HB m =，则254HD HB BD m =+=+，22222D H D D HD D B HB ¢¢¢=-=-Q ，22222525(()44m m \-+=-，154m \=，154HB \=，152541544HC HB BD CD \=++=++=，5D H ¢===，D C ¢\===．。

专题05勾股定理的应用十种最常考类型（解析版）类型一大树折断问题【典例1】（2023春•德庆县期末）如图，一棵高为16m的大树被台风刮断，若树在离地面6m处折断，树顶端刚好落在地面上，此处离树底部8m处．【思路引领】首先设树顶端落在离树底部x米处，根据勾股定理可得62+x2＝（16﹣6）2，再解即可．【解答】解：设树顶端落在离树底部x米处，由题意得：62+x2＝（16﹣6）2，解得：x1＝8，x2＝﹣8（不合题意舍去）．故答案为：8．【总结提升】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式训练】1．（2023•南宁模拟）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面（）尺．A．4B．3.6C．4.5D．4.55【思路引领】画出图形，设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：如图，由题意得：∠ACB＝90°，BC＝3尺，AC+AB＝10尺，设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝4.55，即折断处离地面4.55尺．故选：D．【总结提升】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理得出方程是解题的关键．类型二水杯中的筷子问题及类似问题【典例2】（2023春•陕州区期中）如图是一个饮料罐，下底面半径是5，上底面半径是8，高是12，上底面盖子的中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）的取值范围是（）A．12≤a≤13B．12≤a≤15C．5≤a≤12D．5≤a≤13【思路引领】如图，过A作AB⊥BC于B，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：如图，过A作AB⊥BC于B，∵下底面半径是5，高是12，∴AB＝12，BC＝5，∴AC=B2+B2=122+52=13，∴a的长度的取值范围是12≤a≤13，故选A．【总结提升】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息，正确理解题意是解题的关键．【变式训练】1．（2023春•盐山县期末）如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（）尺．A．10B．12C．13D．14【思路引领】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x2+（102）2＝（x+1）2，解得：x＝12，芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），答：芦苇长13尺．故选：C．【总结提升】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．2．（2022秋•安阳县期末）从前有一个人拿着竹竿进城，横拿竖拿都进不去，横着比城门宽43，竖着比城门高23，另一个人告诉他沿着城门的两对角斜着拿竿，这个人一试，不多不少刚好进去了，则竹竿的长度为103．【思路引领】设竹竿的长为x米，根据门框的边长的平方和等于竹竿的长的平方列方程，解一元二次方程即可．【解答】解：设竹竿的长为x米，由题意得：(−43)2+(−23)2=2，解得：1=103，2=23（舍去），故答案为：103．【总结提升】本题考查一元二次方程的应用；得到门框的边长和竹竿长的等量关系是解决本题的关键．类型三梯子滑动问题【典例3】（2020春•硚口区期中）如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝8米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯子AB的长度为（）A．10米B．6米C．7米D．8米【思路引领】首先设BO＝x米，则DO＝（x+2）米，利用勾股定理可列出方程，再解可得BO长，然后再利用勾股定理计算出AB长．【解答】解：由题意得：AC＝BD＝2米，∵AO＝8米，∴CO＝6米，设BO＝x米，则DO＝（x+2）米，由题意得：62+（x+2）2＝82+x2，解得：x＝6，AB=82+62=10（米），故选：A．【总结提升】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式训练】1．（2023秋•新泰市期中）如图，一架梯子若靠墙直立时比窗户的下沿高1m．若斜靠在墙上，当梯子的下端离墙5m时，梯子的上端恰好与窗户的下沿对齐．则梯子的长度为（）A．13m B．12m C．15m D．172【思路引领】设梯子的长度为x m，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：设梯子的长度为x m，根据勾股定理得，52+（x﹣1）2＝x2，解得x＝13，答：梯子的长度为13m，故选：A．【总结提升】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．2．（2023秋•北京期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度CE是2.2米．一架梯子AB斜靠在左墙时，梯子顶端A与地面点C距离是2.4米．如果保持梯子底端B位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端D与地面点E距离是2米．求此时梯子底端B到右墙角点E的距离是多少米．【思路引领】设此时梯子底端B到右墙角点E的距离是x米，则BC为（2.2﹣x）米，在Rt△ABC和Rt △DBE中，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：设此时梯子底端B到右墙角点E的距离是x米，则BC为（2.2﹣x）米，由题意可知，AC＝2.4米，DE＝2米，AB＝DB，在Rt△ABC和Rt△DBE中，由勾股定理得：AB2＝BC2+AC2，DB2＝BE2+DE2，∴BC2+AC2＝BE2+DE2，即（2.2﹣x）2+2.42＝x2+4，解得：x＝1.5，答：此时梯子底端B到右墙角点E的距离是1.5米．【总结提升】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键．3．（2023秋•宝丰县期末）如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，如果梯子的底端P不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB．（1）当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角B处，若MA＝1.6米，AP＝1.2米，则甲房间的宽度AB＝ 3.2米．（2）当他在乙房间时，测得MA＝2.4米，MP＝2.5米，且∠MPN＝90°，求乙房间的宽AB；（3）当他在丙房间时，测得MA＝2.8米，且∠MPA＝75°，∠NPB＝45°．①求∠MPN的度数；②求丙房间的宽AB．【思路引领】（1）根据勾股定理即可得到结论；（2）证明△AMP≌△BPN，从而得到MA＝PB＝2.4米，PA＝NB＝0.7米，即可求出AB＝PA+PB；（3）①根据平角的定义即可求出∠MPN＝60°；②根据PM＝PN以及∠MPN的度数可得到△PMN为等边三角形．利用相应的三角函数表示出MN，MP的长，可得到房间宽AB和AM长相等．【解答】解：（1）在Rt△AMP中，∵∠A＝90°，MA＝1.6米，AP＝1.2米，∴PM=B2+B2=1．62+1．22=2，∵PB＝PM＝2，∴甲房间的宽度AB＝AP+PB＝3.2米，故答案为：3.2；（2）∵∠MPN＝90°，∴∠APM +∠BPN ＝90°，∵∠APM +∠AMP ＝90°，∴∠AMP ＝∠BPN ．在△AMP 与△BPN 中，∠B =∠B ∠B =∠B =90°B =B，∴△AMP ≌△BPN ，∴MA ＝PB ＝2.4，∵PA =B2−B 2=0.7，∴AB ＝PA +PB ＝0.7+2.4＝3.1；（3）①∠MPN ＝180°﹣∠APM ﹣∠BPN ＝60°；②过N 点作MA 垂线，垂足点D ，连接NM ．设AB ＝x ，且AB ＝ND ＝x ．∵梯子的倾斜角∠BPN 为45°，∴△BNP 为等腰直角三角形，△PNM 为等边三角形（180°﹣45°﹣75°＝60°，梯子长度相同），∠MND ＝15°．∵∠APM ＝75°，∴∠AMP ＝15°．∴∠DNM ＝∠AMP ，∵△PNM 为等边三角形，∴NM ＝PM ．∴△AMP ≌△DNM （AAS ），∴AM ＝DN ，∴AB ＝DN ＝AM ＝2.8米，即丙房间的宽AB 是2.8米．【总结提升】此题考查了勾股定理的应用，全等三角形的应用，解直角三角形的应用，根据PM＝PN以及∠MPN的度数得到△PMN为等边三角形是解题的关键．类型四立体图形中的最短距离问题【典例4】（2021春•饶平县期末）如图，长方体的底面边长均为3cm，高为5cm，如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要13cm．【思路引领】把立体图形转化为平面图形解决即可．【解答】解：将长方体展开，连接AB，根据两点之间线段最短，AB=52+122=13cm；故答案为：13【总结提升】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决．【变式训练】1．（2023秋•沙坪坝区期中）如图，圆柱形容器中，高为12cm，底面周长为32cm，在容器内壁离容器底部2cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿2cm与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为20cm．（容器厚度忽略不计）【思路引领】将容器侧面展开，建立A关于EC的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【解答】解：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点A′，连接A′B交EC于F，则A′B即为最短距离．∵高为12cm，底面周长为32cm，在容器内壁离容器底部2cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿2cm与蚊子相对的点A处，∴A′D＝16cm，BD＝12cm，∴在直角△A′DB中，A′B=162+122=20（cm）．故答案为：20．【总结提升】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．2．（2022春•桦甸市期末）如图，是一块长，宽，高分别为6cm，4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的外表面，到长方体的另一个顶点B处吃食物，则它需要爬行的最短路径长是85cm．【思路引领】把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．【解答】解：第一种情况：把我们所看到的左面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是9和4，则所走的最短线段是AB=92+42=97（cm）．第二种情况：把我们看到的前面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是7和6，所以走的最短线段是AB=72+62=85（cm）．第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是10和3，所以走的最短线段是AB=102+32=109（cm）．∴它需要爬行的最短路径是85cm．故答案为：85cm．【总结提升】本题主要考查的是平面展开﹣最短路径问题，解决此题的关键是明确线段最短这一知识点，然后把长方体的一些面展开到一个平面内，求出最短的线段．3．（荆州中考）如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A．42dm B．22dm C．25dm D．45dm【思路引领】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，∴AB＝2dm，BC＝BC′＝2dm，∴AC2＝22+22＝4+4＝8，∴AC＝22dm，∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝42dm．故选：A．【总结提升】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．类型五选址满足条件问题【典例5】（2023春•永善县期中）如图，河CD的同侧有A、B两个村，且AB=213km，A、B两村到河的距离分别为AC＝2km，BD＝6km．现要在河边CD上建一水厂分别向A、B两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需2000元．请你在河岸CD上选择水厂位置0，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用w（元）．【思路引领】作A点关于CD的对称点为A'，连接A'B交CD于点O，过点A作AF⊥BD于点F，过点A'作A'E⊥BD交BD的延长线于点E，分别利用勾股定理求出AF和A'B的长即可．【解答】解：如图所示，作A点关于CD的对称点为A'，连接A'B交CD于点O，过点A作AF⊥BD于点F，过点A'作A'E⊥BD交BD的延长线于点E，此时AO+BO最小，∵AC＝2km，BD＝6km，∴BF＝4km，DE＝2km，∵AB＝213km，∴AF=(213)2−42=6（km），在Rt△BA'E中，由勾股定理得：A'B=′2+B2=62+(6+2)2=10（km），∴AO+BO＝10（km），∴铺设水管的总费用W＝10×2000＝20000（元）．【总结提升】本题主要考查了勾股定理的应用，构造直角三角形运用勾股定理是解题的关键．【变式训练】1．（2023春•红塔区期中）如图，在笔直的铁路上A，B两点相距20km，C、D为两村庄，DA＝8km，CB＝14km，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求AE＝13.3km．【思路引领】设AE＝x km，即可得到EB＝（20﹣x）km，结合DA⊥AB于点A，CB⊥AB于B根据勾股定理列式求解即可得到答案．【解答】解：设AE＝x km，则EB＝（20﹣x）km，∵DA⊥AB，CB⊥AB，DA＝8km，CB＝14km，∴DE2＝x2+82＝x2+64，DE2＝（20﹣x）2+142＝x2﹣40x+596，∵C、D两村到E站的距离相等，∴x2﹣40x+596＝x2+64，解得：x＝13.3，故答案为：13.3．【总结提升】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是根据相等列等式求解．类型六航海问题【典例6】（2023春•黄陂区期中）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一小时后分别位于点Q，R处，且相距20海里．如果知道“远航”号沿北偏东50°方向航行，你能判断“海天”号沿哪个方向航行吗？请说明理由．【思路引领】利用勾股定理逆定理以及方向角得出答案．【解答】解：由题意可得：RP＝12海里，PQ＝16海里，QR＝20海里，∵162+122＝202，∴△RPQ是直角三角形，∴∠RPQ＝90°，∵“远航”号沿北偏东50°方向航行，∴∠RPN＝40°，∴“海天”号沿北偏西40°方向航行．【总结提升】此题主要考查了勾股定理的逆定理以及解直角三角形的应用，正确得出各线段长是解题关键．【变式训练】1．（2023秋•泰山区期末）如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时30分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇C以8海里/时的速度偷偷向我领海驶来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是20海里，A、B两艇的距离是12海里；反走私艇B测得距离C艇16海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？【思路引领】由勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°，再由三角形面积求出BE=485海里，然后由勾股定理得CE=645海里，即可解决问题．【解答】解：由题意可知，∠BEC＝90°，∵AB2+BC2＝122+162＝202＝AC2，∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°，∵MN⊥AC，∴走私艇C进入我国领海的最短距离是CE，=12AB•BC=12AC•BE，∵S△ABC∴BE=B⋅B B=12×1620485（海里），∴CE=B2−B2==645（海里），∴645÷8=85（小时）＝96分，∴9时30分+96分＝11时6分．答：走私艇C最早在11时6分进入我国领海．【总结提升】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．类型七受台风或噪声影响问题【典例7】（2022秋•清水县月考）如图，A城气象台测得台风中心在A城的正西方300千米处，以每小时107千米的速度向北偏东60°的BF方向移动，距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域．（1）问A城是否会受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响的时间有多长？【思路引领】（1）作AC⊥BF，则距点A最近的点即为C点，计算AC的长，若AC＞200千米，则不受影响，反之，则受影响．（2）求出A城所受影响的距离DE，又有台风移动的速度，即可求解出其影响的时间．【解答】解：（1）A城市受影响．如图，过点A作AC⊥BF，则距离点C最近的距离为AC，∵AB＝300，∠ABC＝30°，∴AC=12AB＝150＜200，所以A城会受到这次台风的影响；（2）如图，∵距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域，则AD＝AE＝200，即DE为A城遭受这次台风的距离，CD=A2−B2=507，∴DE＝1007，则t===10小时．故A城遭受这次台风影响的时间10小时．【总结提升】本题主要考查了方向角问题以及解直角三角形的简单运用，能够熟练掌握．【变式训练】1．（2022春•紫云县期末）如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON的方向行驶时，以P为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大，若重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为5米/秒．（1）求卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间．【思路引领】（1）过点A作AH⊥ON于H，利用含30°角的直角三角形的性质可得答案；（2）当AC＝AN＝50米时，则卡车在CD段对学校A有影响，利用勾股定理求出CH的长，再根据等腰三角形的性质可得CD的长，从而求出时间．【解答】解：（1）过点A作AH⊥ON于H，∵∠O＝30°，OA＝80米，∴AH=12OA＝40米，∴卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离为40米；（2）当AC＝AN＝50米时，则卡车在CD段对学校A有影响，由（1）知AH＝40米，∴CH=B2−B2=502−402=30（米），∴CN＝2CH＝60（米），∴t＝60÷5＝12（秒），∴卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间为12秒．【总结提升】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，根据题意，构造出直角三角形是解题的关键．类型八求旗杆（大树）高度问题【典例8】（2023秋•开封期末）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）（）A．14m B．15m C．16m D．17m【思路引领】根据题意画出示意图，设旗杆高度为x m，可得AC＝AD＝x m，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．【解答】解：设旗杆高度为x m，过点C作CB⊥AD于B，则AC＝AD＝x m，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即（x﹣2）2+82＝x2，解得：x＝17，即旗杆的高度为17米．故选：D．【总结提升】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．【变式训练】1．（2023春•岳阳楼区期末）小华和小侨合作，用一块含30°的直角三角板，旗杆顶端垂到地面的绳子，测量长度的工具，测量学校旗杆的高度，如图，测得AD＝0.5米，绳子部分长CD＝6米，则学校旗杆AB的高度为（）A．6.5米B．(63+0.5)米C．12.5米D．(65+0.5)米【思路引领】根据含30°角的直角三角形的性质得出2DC＝BC，进而利用勾股定理解答即可．【解答】解：由题意知∠ABC＝30°，CD⊥AB，∴BC＝2CD＝12米，A=63米，∵AD＝0.5米，∴B=(63+0.5)米，故选：B．【总结提升】本题考查了含30度直角三角形的性质及勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．2．（2023秋•岱岳区期中）学习完《勾股定理》后，张老师要求数学兴趣小组的同学测量学校旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面并多出了一段，但这条绳子的长度未知．如图，经测量，绳子多出的部分长度为2米，将绳子拉直，且绳子底端与地面接触，此时绳子端点距离旗杆底端5米，则旗杆的高度为214米．【思路引领】在Rt△ABC中，由勾股定理得出关于AB的方程求解即可．【解答】解：如图，由题意可知，BD＝2米，BC＝5米，AC＝AB+BD＝（AB+2）米，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2+BC2＝AC2，即AB2+52＝（AB+2）2，解得AB=214，∴旗杆的高度为214米．故答案为：214．【总结提升】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．3．（2023秋•秦安县期末）如图，在一棵树的10米高B处，有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A处，另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树的高度为15米．【思路引领】根据两只猴子所经过的距离相等，将两只猴子所走的路程表示出来，根据勾股定理列出方程求解．【解答】解：如图，设树的高度为x米，因两只猴子所经过的距离相等都为30米．由勾股定理得：x2+202＝[30﹣（x﹣10）]2，解得x＝15m．故这棵树高15m．【总结提升】把实际问题转化为数学模型，构造直角三角形，然后利用勾股定理解决．类型九小鸟飞行距离问题【典例9】（2022秋•嵩县期末）如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（）米．A．6B．8C．10D．12【思路引领】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【解答】解：两棵树的高度差为8﹣2＝6m，间距为8m，根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离=82+62=10m．故选：C．【总结提升】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．【变式训练】1．（2023秋•青羊区期中）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度AB＝20米，A点到地面C 点（B，C两点处于同一水平面）的距离AC＝25米．（1）求出BC的长度；（2）若小鸟竖直下降到达D点（D点在线段AB上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离．【思路引领】（1）在直角三角形中运用勾股定理即可求解；（2）在Rt△BDC中，根据勾股定理即可求解．【解答】解：（1）由题意知∠B＝90°，∵AB＝20米，AC＝25米．∴BC=252−202=15米，（2）设AD＝x，则CD＝x，BD＝20﹣x，在Rt△BDC中，DC2＝BD2+BC2，∴x2＝（20﹣x）2+152，解得x=1258，∴小鸟下降的距离为1258米．【总结提升】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．类型十利用勾股定理表示无理数【典例10】（2022春•武昌区期末）平面直角坐标系中，点P（﹣4，2）到坐标原点的距离是（）A．2B．4C．23D．25【思路引领】利用勾股定理计算可得结论．【解答】解：由题意得，点P到坐标原点的距离为：42+22=20=25．故选：D．【总结提升】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理的内容是解决本题的关键．【变式训练】1．（2023•大连）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，0）和（0，2），连接AB，以点A为圆心、AB的长为半径画弧，与x轴正半轴相交于点C，则点C的横坐标是+1．【思路引领】由勾股定理求出AB的长，进而得到AC的长，再求出OC的长，得出点C的坐标，即可解决问题．【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（1，0）和（0，2），∴OA＝1，OB＝2，∵∠AOB＝90°，∴AB=B2+B2=12+22=5，∵以点A为圆心，以AB长为半径画弧，∴AC＝AB=5，∴OC＝AC+OA=5+1，∵交x轴正半轴于点C，∴点C的坐标为（5+1，0）．故答案为：5+1．【总结提升】本题考查了勾股定理以及坐标与图形性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．2．（2022秋•芗城区月考）用尺规作图在数轴上作出表示实数=10的点P（保留作图痕迹，不写作法）．【思路引领】过表示1的点A作数轴的垂线AB，在垂线上截取AB＝3，连接OB，以O为圆心，OB为半径作弧交数轴于P，则P即为所求的点．【解答】解：如图：点P表示的数即为10．【总结提升】此题主要考查了勾股定理以及作图，关键是掌握10是两直角边长分别为1和3的直角三角形的斜边长．3．（2023•长阳县一模）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C，D均为格点，以A为圆心，AB长为半径作弧，交网格线CD于点E，则C，E两点间的距离为（）A．3B．3−3C．3+12D．3−12【思路引领】如图：连接AE，则AE＝2、AD＝1，由勾股定理可求出DE，然后运用线段的和差即可解答．【解答】解：如图：连接AE，则AE＝2，AD＝1，∴DE=B2−A2=22−12=3，∴CE＝CD﹣DE=3−3．故选B．【总结提升】本题主要考查了勾股定理的应用以及线段的和差，根据题意运用勾股定理求得DE是解答本题的关键．4．（2022秋•埇桥区期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（）A．3−1B．3−5C．5D．22【思路引领】连接AD，则AD＝AB＝3，在Rt△AED中，利用勾股定理求出DE即可得出答案．【解答】解：连接AD，由题意知：AD＝AB＝3，在Rt△AED中，由勾股定理得：ED=A2−B2=32−22=5，∴CD＝CE﹣DE＝3−5，故选：B．【总结提升】本题主要考查了勾股定理，求出DE的长是解题的关键．。

典型例题知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理例1:如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB CD EF、GH四条线段, 其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A.CD、EF、GHC. AB、CD GHB.AB、EF、GHD. AB、CD EF愿路分乐屮1）題意分析’本题考查幻股定理及勾股定理的逆定理.亠2）解題思器；可利用勾脸定理直接求出各边长，再试行判断•』解答过整屮在取DEAF中，Af=l, AE=2,根据勾股定理，得昇EF = Q抡於十£尸° = Q +F二艮同理HE = 2百* QH. = 1 CD = 2^5计算发现W十◎血尸=（鸥31即血+曲=GH2,根据勾股定理的逆宦理得到UAAE、EF\ GH为辺的三角形是直毎三角形.故选B. *縮題后KJ思专：*1.勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于说角三角形和钝角三角形・因此」辭题时一宦妾认真分析题目所蛤■条件■,看是否可用勾股定理来解口*2.在运用勾股左理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认为就是斜迫而“固执”地运用公式川二/十就其实，同样是S6"不一罡就等于餌，疋不一罡就昱斜辺，KABC不一定就是直角三祐3.直角三第形的判定条件与勾股定理是互逆的.区别在于勾股定理的运用是一个从卅形s—个三角形是直角三角形）到懺 y =沖十沪）的过程，而直角三角形的判定是一①从嗦（一个三角形的三辺满足X二护+酹的条件）到偲个三角形是直角三角形）的过程.a4•在应用勾股定理解题叭聲全面地琴虑间题.注意m题中存在的多种可能性，遊免漏辭.初例玉如圏，有一块直角三角形®椀屈U,两直角迫4CM5沁丸m・现将直角边AC沿直绘AD折蠡便它落在斜边AB上.且点C落到点E处, 则切等于（、*C/) "禎B. 3cm G-Icnin題童分析，本题着查勾股定理的应用刎：）解龜思路；車题若直接在△MQ中运用勾股定理是无法求得仞的长的，因为貝知遒一条边卫0的长，由题意可知，AACD和心迓门关于直线KQ对称.因而^ACD^hAED ・进一歩则有应RUm CZAED ED 丄AB,设UD=E2＞黄泱，则在Rt A ABO中，由勾股定理可得^=^（^+^=^83=100,得AB=10cm,在松迟DE 中,W ClO-fl）2= d驚解得尸九4解龜后的思琴尸勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。

勾股定理课时练（1）8. 一个部件的形状以下图，已知AC=3cm， AB=4cm，BD=12cm。

求 CD的长 .1. 在直角三角形 ABC 中，斜边 AB=1 ，则 AB 2 BC 2 AC 2的值是（）2.如图 18－2－ 4 所示 ,有一个形状为直角梯形的部件ABCD ，AD ∥ BC，斜腰 DC 的长为10 cm，∠ D=120°，则该部件另一腰 AB 的长是 ______ cm（结果不取近似值） . 第 8 题图3. 直角三角形两直角边长分别为 5 和 12，则它斜边上的高为 _______．9. 如图，在四边形 ABCD中，∠ A=60°，∠ B=∠ D=90°， BC=2，CD=3，求 AB 的长 .4.一根旗杆于离地面12 m处断裂，如同装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16 m，旗杆在断裂以前高多少m ？第 9 题图10. 如图，一个牧童在小河的南4km 的 A 处牧马，而他正位于他的小屋 B 的西 8km 北 7km 处，5. 如图，以以下图，今年的冰雪灾祸中，一棵大树在离地面 3 米处折断，树的顶端落在离树杆底部4 他想把他的马牵到小河畔去饮水，而后回家. 他要达成这件事情所走的最短行程是多少？米处，那么这棵树折断以前的高度是米 .“路”3m4m第 5 题图第 2 题图11 如图，某会展中心在会展时期准备将高5m, 长 13m，宽 2m 的楼道上铺地毯 , 已知地毯平方米 18 6. 飞机在空中水平飞翔, 某一时辰恰巧飞到一个男孩子头顶正上方4000 米处 , 过了 20 秒, 飞机距离元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道起码需要多少元钱?这个男孩头顶 5000 米, 求飞机每小时飞翔多少千米 ?13m 5m第 11 题12. 甲、乙两位探险者到荒漠进行探险，没有了水，需要找寻水源．为了不致于走散，他们用两部7. 以下图，无盖玻璃容器，高18 cm，底面周长为 60 cm，在外侧距下底 1 cm的点 C 处有一对话机联系，已知对话机的有效距离为15 千米．清晨 8：00 甲先出发，他以 6 千米 / 时的速度向蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距张口 1 cm的 F 处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，东行走， 1 小时后乙出发，他以 5 千米 / 时的速度向北前进，上午10： 00，甲、乙二人相距多远？所走的最短路线的长度 . 还可以保持联系吗？第 7 题图第一课时答案：1.A ，提示：依据勾股定理得BC 2 AC 2 1，所以AB 2BC 2 AC 2 =1+1=2 ；2.4 ，提示：由勾股定理可得斜边的长为 5 m，而 3+4-5=2 m ，所以他们少走了 4 步.3. 60 ，提示：设斜边的高为x ，依据勾股定理求斜边为122 52 169 13 ，再利13用面积法得，15 12 1 13 x, x 60 ；2 2 134.解：依题意， AB=16 m， AC=12 m，在直角三角形 ABC 中 ,由勾股定理 ,BC 2AB 2AC 216 212 220 2,所以 BC=20 m ,20+12=32( m ),故旗杆在断裂以前有32 m高.6. 解: 如图 , 由题意得 ,AC=4000 米 , ∠C=90° ,AB=5000 米 , 由勾股定理得BC=50002400023000(米),3所以飞机飞翔的速度为540 (千米/小时)2036007.解：将曲线沿 AB睁开，以下图，过点 C 作 CE⊥ AB于 E.在R t CEF , CEF90 ，EF=18-1-1=16（ cm ），1CE=30(cm) ，2. 60CE 2 EF 2 30 2 16 2 34( ) 由勾股定理，得CF=8.解：在直角三角形ABC中，依据勾股定理，得在直角三角形 CBD中，依据勾股定理，得2 2 2 2CD=BC+BD=25+12 =169，所以 CD=13.9.解：延伸 BC、AD交于点 E. （以下图）∵∠ B=90°，∠ A=60°，∴∠ E=30°又∵ CD=3，∴ CE=6，∴ BE=8，设 AB=x，则 AE=2x，由勾股定理。

勾股定理专题训练试题精选（一）一. 选择题（共30小题）1．（2014•十堰）如图, 在四边形ABCD中, AD∥BC, DE⊥BC, 垂足为点E, 连接AC交DE于点F, 点G为AF的中点, ∠ACD=2∠ACB．若DG=3, EC=1, 则DE的长为（）A．2B．C．2D．2. （2014•吉林）如图, △ABC中, ∠C=45°, 点D在AB上, 点E在BC上. 若AD=DB=DE, AE=1, 则AC的长为（）A．B．2C．D．3. （2014•湘西州）如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, CA=CB, AB=2, 过点C作CD⊥AB, 垂足为D, 则CD的长为（）A．B．C．1D．24. （2013•和平区二模）如图, 线段AB的长为2, C为AB上一个动点, 分别以AC.BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE, 那么DE长的最小值是（）A．B．1C．D．5. （2012•威海）如图, a∥b, 点A在直线a上, 点C在直线b上, ∠BAC=90°, AB=AC, 若∠1=20°, 则∠2的度数为（）A．25°B．65°C．70°D．75°6. （2011•衢州）一个圆形人工湖如图所示, 弦AB是湖上的一座桥, 已知桥AB长100m, 测得圆周角∠ACB=45°, 则这个人工湖的直径AD为（）A．B．C．D．7. （2011•惠山区模拟）梯形ABCD中AB∥CD, ∠ADC+∠BCD=90°, 以AD.AB.BC为斜边向外作等腰直角三角形, 其面积分别是S1.S2.S3, 且S1+S3=4S2, 则CD=（）A．2.5AB B．3AB C．3.5AB D．4AB8. （2011•白下区二模）如图, △A1A2B是等腰直角三角形, ∠A1A2B=90°, A2A3⊥A1B, 垂足为A3, A3A4⊥A2B, 垂足为A4, A4A5⊥A3B, 垂足为A5, …, An+1An+2⊥AnB, 垂足为An+2（n为正整数）, 若A1A2=A2B=a, 则线段An+1An+2的长为（）A．B．C．D．9. （2010•西宁）矩形ABCD中, E, F, M为AB, BC, CD边上的点, 且AB=6, BC=7, AE=3, DM=2, EF⊥FM, 则EM 的长为（）A．5B．C．6D．10.A．B．C．D．2（2010•鞍山）正方形ABCD中, E、F两点分别是BC.CD上的点.若△AEF是边长为三角形,则正方形ABCD的边长为（）11. （2010•鼓楼区二模）小明将一张正方形包装纸, 剪成图1所示形状, 用它包在一个棱长为10的正方体的表面（不考虑接缝）, 如图2所示. 小明所用正方形包装纸的边长至少为（）A．40 B．30+2C．20D．10+1012.A．132 B．121 C．120 D．以上答案都不对（2009•鄞州区模拟）直角三角形有一条直角边的长是11, 另外两边的长都是自然数, 那么它的周长是（）A．有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形13.（2009•宝安区一模）下列命题中,是假命题的是（）B．在直角三角形中, 斜边上的高等于斜边的一半C．在直角三角形中, 最大边的平方等于其他两边的平方和D．三角形两个内角平分线的交点到三边的距离相等14. （2008•江西模拟）已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形, 以Rt△ABC的斜边AC为直角边, 画第二个等腰Rt△ACD, 再以Rt△ACD的斜边AD为直角边, 画第三个等腰Rt△ADE, …, 依此类推, 第n个等腰直角三角形A．2n﹣2B．2n﹣1C．2n D．2n+115. （2007•台湾）以下是甲、乙两人证明+ ≠的过程:（甲）因为＞=3, ＞=2, 所以+ ＞3+2=5且=＜=5所以+＞5＞故+≠（乙）作一个直角三角形, 两股长分别为、利用商高（勾股）定理（）2+（）2=15+8得斜边长为因为、、为此三角形的三边长所以+＞故+≠A．两人都正确B．两人都错误C．甲正确, 乙错误D．甲错误, 乙正确对于两人的证法,下列哪一个判断是正确的（）16. （2007•宁波二模）如图, A.B是4×5网格中的格点, 网格中的每个小正方形的边长都是1, 图中使以A.B.C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C有（）A．2个B．3个C．4个D．5个17.A．1B ．C ．D．（2006•郴州）在△ABC中, ∠C=90°,AC, BC的长分别是方程x2﹣7x+12=0根, △ABC内一点P到三边的距离都相等. 则PC为（）18. （2002•南宁）如图, 直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为S1.S2.S3, 则S1.S2.S3之间的关系是（）A．S l+S2＞S3B．S l+S2＜S3C．S1+S2=S3D．S12+S22=S3219. （2001•广州）已知点A和点B（如图）, 以点A和点B为其中两个顶点作位置不同的等腰直角三角形, 一共可作出（）A．2个B．4个C．6个D．8个20. 设直角三角形的A．2B．3C．4D．5三边长分别为a、b、c, 若c﹣b=b﹣a＞0,则=（）21. （1999•A．4B．6C．8D．温州）已知△ABC中,AB=AC=10,BD是AC边上的高线,DC=2, 那么BD等于（）22. 如图, 在四边形ABCD中, ∠B=135°, ∠C=120°, AB= , BC= , CD= , 则AD边的长为（）A．B．C．D．A．16 B．18 C．12D．1223. 在△ABC中,∠A=15°,AB=12,则△ABC的面积等于（）24. 如图, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, DE⊥AB, AC=BE=15, BC=20. 则四边形ACED的面积为（）A．54 B．75 C．90 D．9625. 如图, 在△ABC中, 分别以AB.BC为直径的⊙O1.⊙O2交于AC上一点D, 且⊙O1经过点O2, AB.DO2的延长线交于点E, 且BE=BD. 则下列结论不正确的是（）A．A B=AC B．∠BO2E=2∠E C．A B=BE D．E O2=BE26. 如图, 在正方形网格中, cosα的值为（）A．1B．C．D．27. 直角A．10 B．2C．4或10 D．10或2三角形一边长为8,另一条边是方程x2﹣2x﹣24=0的一解, 则此直角三角形的第三条边长是（）28. 如图是2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽, 它由4个相同的直角三角形拼成, 已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4, 则大正方形ABCD和小正方形EFGH的面积比是（）A．1：5 B．1: 25 C．5：1 D．25: 129. 如图, 已知△ABC中, AB=AC, ∠BAC=90°, 直角∠EPF的顶点P是BC中点, 两边PE、PF分别交AB.AC于点E、F, 给出以下四个结论:①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF=S△ABC；④当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A.B重合）BE+CF=EF.上述结论中始终正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个30. 如图, △ABC中, AC=BC, ∠ACB=90°, AE平分∠BAC交BC于E, BD⊥AE于D, DM⊥AC于M, 连CD. 下列结论: ①AC+CE=AB；②；③∠CDA=45°；④=定值.其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个勾股定理专题训练试题精选（一）参考答案与试题解析一. 选择题（共30小题）1．（2014•十堰）如图, 在四边形ABCD中, AD∥BC, DE⊥BC, 垂足为点E, 连接AC交DE于点F, 点G为AF的中点, ∠ACD=2∠ACB．若DG=3, EC=1, 则DE的长为（）A．2B．C．2D．考点：勾股定理；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线. 菁优网版权所有专题：几何图形问题.分析：根据直角三角形斜边上的中线的性质可得DG=AG, 根据等腰三角形的性质可得∠GAD=∠GDA, 根据三角形外角的性质可得∠CGD=2∠GAD, 再根据平行线的性质和等量关系可得∠ACD=∠CGD, 根据等腰三角形的性质可得CD=DG, 再根据勾股定理即可求解．解答：解: ∵AD∥BC, DE⊥BC,∴DE⊥AD, ∠CAD=∠ACB, ∠ADE=∠BED=90°,又∵点G为AF的中点,∴DG=AG,∴∠GAD=∠GDA,∴∠CGD=2∠CAD,∵∠ACD=2∠ACB=2∠CAD,∴∠ACD=∠CGD,∴CD=DG=3,在Rt△CED中, DE= =2 ．故选：C.故选: C．故选：C．点评：综合考查了勾股定理, 等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线, 解题的关键是证明CD=DG=3．2. （2014•吉林）如图, △ABC中, ∠C=45°, 点D在AB上, 点E在BC上. 若AD=DB=DE, AE=1, 则AC的长为（）A．B．2C．D．考点：等腰直角三角形；等腰三角形的判定与性质. 菁优网版权所有专题：几何图形问题.分析：利用AD=DB=DE, 求出∠AEC=90°, 在直角等腰三角形中求出AC的长．解答：解: ∵AD=DE,∴∠DAE=∠DEA,∵DB=DE,∴∠B=∠DEB,∴∠AEB=∠DEA+∠DEB= ×180°=90°,∴∠AEC=90°,∵∠C=45°, AE=1,∴AC= .故选：D.故选: D．故选：D．点评：本题主要考查等腰直角三角形的判定与性质, 解题的关键是利用角的关系求出∠AEC是直角．3. （2014•湘西州）如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, CA=CB, AB=2, 过点C作CD⊥AB, 垂足为D, 则CD的长为（）A．B．C．1D．2考点：等腰直角三角形. 菁优网版权所有分析：由已知可得Rt△ABC是等腰直角三角形, 得出AD=BD= AB=1, 再由Rt△BCD是等腰直角三角形得出CD=BD=1．解答：解: ∵∠ACB=90°, CA=CB,∴∠A=∠B=45°,∵CD⊥AB,∴AD=BD= AB=1, ∠CDB=90°,∴CD=BD=1.故选：C.故选: C．故选：C．点评：本题主要考查了等腰直角三角形, 解题的关键是灵活运用等腰直角三角形的性质求角及边的关系．4. （2013•和平区二模）如图, 线段AB的长为2, C为AB上一个动点, 分别以AC.BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE, 那么DE长的最小值是（）A．B．1C．D．考点：等腰直角三角形；垂线段最短；平行线之间的距离. 菁优网版权所有分析：利用等腰直角三角形的特点知道AD=CD, CE=BE, ∠ACD=∠A=45°, ∠ECB=∠B=45°, ∠DCE=90°．利用勾股定理得出DE的表达式, 利用函数的知识求出DE的最小值．解答：解: 在等腰RT△ACD和等腰RT△CBE中AD=CD, CE=BE, ∠ACD=∠A=45°, ∠ECB=∠B=45°∴∠DCE=90°∴AD2+CD2=AC2, CE2+BE2=CB2∴CD2= AC2, CE2= CB ,∵DE2=DC2+EC2,∴DE===∴当CB=1时, DE的值最小, 即DE=1.故选：B.故选: B．故选：B．点评：此题考察了等腰直角三角形的特点及二次函数求最值的方法.5. （2012•威海）如图, a∥b, 点A在直线a上, 点C在直线b上, ∠BAC=90°, AB=AC, 若∠1=20°, 则∠2的度数为（）A．25°B．65°C．70°D．75°考点：等腰直角三角形；平行线的性质. 菁优网版权所有专题：计算题.分析：根据等腰直角三角形性质求出∠ACB, 求出∠ACE的度数, 根据平行线的性质得出∠2=∠ACE, 代入求出即可．解答：解: ∵∠BAC=90°, AB=AC,∴∠B=∠ACB=45°,∵∠1=20°,∴∠ACE=20°+45°=65°,∴∠2=∠ACE=65°,故选B．点评：本题考查了三角形的内角和定理、等腰直角三角形、平行线的性质, 关键是求出∠ACE的度数．6. （2011•衢州）一个圆形人工湖如图所示, 弦AB是湖上的一座桥, 已知桥AB长100m, 测得圆周角∠ACB=45°, 则这个人工湖的直径AD为（）A．B．C．D．考点：等腰直角三角形；圆周角定理. 菁优网版权所有专题：证明题.分析：连接OB．根据圆周角定理求得∠AOB=90°；然后在等腰Rt△AOB中根据勾股定理求得⊙O的半径AO=OB=50 m, 从而求得⊙O的直径AD=100 m．解答：解: 连接OB.∵∠ACB=45°, ∠ACB= ∠AOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）,∴∠AOB=90°；在Rt△AOB中, OA=OB（⊙O的半径）, AB=100m,∴由勾股定理得, AO=OB=50 m,∴AD=2OA=100m；故选B．点评：本题主要考查了等腰直角三角形、圆周角定理．利用圆周角定理求直径的长时, 常常将直径置于直角三角形中, 利用勾股定理解答．7. （2011•惠山区模拟）梯形ABCD中AB∥CD, ∠ADC+∠BCD=90°, 以AD.AB.BC为斜边向外作等腰直角三角形, 其面积分别是S1.S2.S3, 且S1+S3=4S2, 则CD=（）A．2.5AB B．3AB C．3.5AB D．4AB考点：勾股定理；等腰直角三角形；相似三角形的判定与性质. 菁优网版权所有专题：计算题；证明题；压轴题.分析：过点B作BM∥AD, 根据AB∥CD, 求证四边形ADMB是平行四边形, 再利用∠ADC+∠BCD=90°, 求证△MBC为Rt△, 再利用勾股定理得出MC2=MB2+BC2, 在利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求出MC即可．解答：解: 过点B作BM∥AD,∵AB∥CD, ∴四边形ADMB是平行四边形,∴AB=DM, AD=BM,又∵∠ADC+∠BCD=90°,∴∠BMC+∠BCM=90°, 即△MBC为Rt△,∴MC2=MB2+BC2,∵以AD.AB.BC为斜边向外作等腰直角三角形,∴△AED∽△ANB, △ANB∽△BFC,= , = ,即AD2= , BC2= ,∴MC2=MB2+BC2=AD2+BC2= += = ,∵S1+S3=4S2,∴MC2=4AB2, MC=2AB,CD=DM+MC=AB+2AB=3AB.故选B．点评：此题涉及到相似三角形的判定与性质, 勾股定理, 等腰直角三角形等知识点, 解答此题的关键是过点B作BM∥AD, 此题的突破点是利用相似三角形的性质求得MC=2AB, 此题有一定的拔高难度, 属于难题．8. （2011•白下区二模）如图, △A1A2B是等腰直角三角形, ∠A1A2B=90°, A2A3⊥A1B, 垂足为A3, A3A4⊥A2B, 垂足为A4, A4A5⊥A3B, 垂足为A5, …, An+1An+2⊥AnB, 垂足为An+2（n为正整数）, 若A1A2=A2B=a, 则线段An+1An+2的长为（）A．B．C．D．考点：等腰直角三角形；勾股定理. 菁优网版权所有专题：计算题；规律型.分析：先根据勾股定理及等腰三角形的性质求出A2A3及A3A4的长, 找出规律即可解答．解答：解: ∵△A1A2B是直角三角形, 且A1A2=A2B=a, A2A3⊥A1B,∴A1B= = a,∵△A1A2B是等腰直角三角形,∴A2A3⊥A1B,∴A2A3=A1A3= A1B= = ,同理, A4A5= ×= ,∴线段An+1An+2的长为.故选B.故选B．点评：此题属规律性题目, 涉及到等腰三角形及直角三角形的性质, 解答此题的关键是求出A2A3及A3A4的长找出规律．灵活运用等腰直角三角形的性质, 得到等腰直角三角形的斜边是直角边的倍, 从而准确得出结论．9. （2010•西宁）矩形ABCD中, E, F, M为AB, BC, CD边上的点, 且AB=6, BC=7, AE=3, DM=2, EF⊥FM, 则EM 的长为（）A．5B．C．6D．考点：勾股定理；矩形的性质. 菁优网版权所有专题：压轴题.分析：过E作EG⊥CD于G, 利用矩形的判定可得, 四边形AEGD是矩形, 则AE=DG, EG=AD, 于是可求MG=DG ﹣DM=1, 在Rt△EMG中, 利用勾股定理可求EM．解答：解: 过E作EG⊥CD于G,∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠D=90°,又∵EG⊥CD,∴∠EGD=90°,∴四边形AEGD是矩形,∴AE=DG, EG=AD,∴EG=AD=BC=7, MG=DG﹣DM=3﹣2=1,∵EF⊥FM,∴△EFM为直角三角形,∴在Rt△EGM中, EM= = = =5 ．故选B．点评：本题考查了矩形的判定、勾股定理等知识, 是基础知识要熟练掌握．10.A．B．C．D．2（2010•鞍山）正方形ABCD中, E、F两点分别是BC.CD上的点.若△AEF是边长为的等边三角形,则正方形ABCD的边长为（）考点：勾股定理；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质. 菁优网版权所有分析：根据正方形的各边相等和等边三角形的三边相等, 可以证明△ABE≌△ADF, 从而得到等腰直角三角形CEF, 求得CF=CE=1．设正方形的边长是x, 在直角三角形ADF中, 根据勾股定理列方程求解．解答：解: ∵AB=AD, AE=AF,∴Rt △ABE≌Rt△ADF.∴BE=DF.∴CE=CF=1.设正方形的边长是x.在直角三角形ADF中, 根据勾股定理, 得x2+（x﹣1）2=2,解, 得x= （负值舍去）．即正方形的边长是.故选A．点评：此题综合运用了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理.11. （2010•鼓楼区二模）小明将一张正方形包装纸, 剪成图1所示形状, 用它包在一个棱长为10的正方体的表面（不考虑接缝）, 如图2所示. 小明所用正方形包装纸的边长至少为（）A．40 B．30+2C．20D．10+10考点：等腰直角三角形. 菁优网版权所有分析：所求正方形的边长即为AB的长, 在等腰Rt△ACF、△CDE中, 已知了CE、DE、CF的长均为10, 根据等腰直角三角形的性质, 即可求得AC、CD的长, 由AB=AC+CD+BD即可得解．解答：解: 如图；连接AB, 则AB必过C.D；Rt△ACF中, AC=AF, CF=10；则AC=AF=5；同理可得BD=5；Rt△CDE中, DE=CE=10, 则CD=10 ；所以AB=AC+CD+BD=20 ；故选C.点评：理清题意, 熟练掌握直角三角形的性质是解答此题的关键．A．132 B．121 C．120 D．以上答案都不对12.（2009•鄞州区模拟）直角三角形有一条直角边的长是11, 另外两边的长都是自然数, 那么它的周长是（）考点：勾股定理. 菁优网版权所有分析：假设另外两边后, 根据勾股定理适当变形, 即可解答．解答：解: 设另外两边是a、b（a＞b）则根据勾股定理, 得：a2﹣b2=121∵另外两边的长都是自然数∴（a+b）（a﹣b）=121=121×1即另外两边的和是121,故三角形的周长是132.故选A.故选A．点评：注意熟练进行因式分解和因数分解, 根据另外两边的长都是自然数分析结论．A．有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形13.（2009•宝安区一模）下列命题中,是假命题的是（）B．在直角三角形中, 斜边上的高等于斜边的一半C．在直角三角形中, 最大边的平方等于其他两边的平方和D．三角形两个内角平分线的交点到三边的距离相等考点：勾股定理；角平分线的性质；等边三角形的判定；直角三角形斜边上的中线. 菁优网版权所有专题：计算题；证明题.分析：A.根据等腰三角形的性质求解；B.根据直角三角形的面积计算方法求斜边的高；C、根据勾股定理求解；D、求证角平分线和过角平分线交点作垂线所分的3对小三角形全等即可.C.根据勾股定理求解；D、求证角平分线和过角平分线交点作垂线所分的3对小三角形全等即可．C、根据勾股定理求解；D.求证角平分线和过角平分线交点作垂线所分的3对小三角形全等即可．C、根据勾股定理求解；D、求证角平分线和过角平分线交点作垂线所分的3对小三角形全等即可．解答：解: A.等腰三角形底角相等, 若底角为60°, 则顶角为180°﹣60°﹣60°=60°, 若顶角为60°, 则底角为=60°, 所以有一个角为60°的等腰三角形即为等边三角形, 故A选项正确；B.直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半, 只有在等腰直角三角形中斜边的高与斜边的中线才会重合,故B选项错误；C.在直角三角形中, 最大的边为斜边, 根据勾股定理可知斜边长的平方的等于两直角边长平方的和, 故C选项正确；D.过三角形角平分线的交点作各边的垂线, 则三角形分成3对小三角形, 其中各顶点所在的两个直角三角形全等, 即过角平分线作的高线相等, 故D选项正确；即B选项中命题为假命题,故选B.故选B．点评：本题考查了全等三角形的证明, 考查了直角三角形中勾股定理的运用, 考查了等腰三角形的性质, 考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边长一半的性质．14. （2008•江西模拟）已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形, 以Rt△ABC的斜边AC为直角边, 画第二个等腰Rt△ACD, 再以Rt△ACD的斜边AD为直角边, 画第三个等腰Rt△ADE, …, 依此类推, 第n个等腰直角三角形的面积是（）A．2n﹣2B．2n﹣1C．2n D．2n+1考点：等腰直角三角形. 菁优网版权所有专题：规律型.分析：根据△ABC是边长为1的等腰直角三角形分别求出Rt△ABC、Rt△ACD、Rt△ADE的面积, 找出规律即可．解答：解: ∵△ABC是边长为1的等腰直角三角形,∴S△ABC=×1×1==21﹣2；AC= = , AD= =2…,∴S△ACD=××=1=22﹣2；S△ADE=×2×2=1=23﹣2…∴第n个等腰直角三角形的面积是2n ﹣2.故选A.故选A．点评：此题属规律性题目, 解答此题的关键是分别计算出图中所给的直角三角形的面积, 找出规律即可．15. （2007•台湾）以下是甲、乙两人证明+ ≠的过程:（甲）因为＞=3, ＞=2, 所以+ ＞3+2=5且=＜=5所以+＞5＞故+≠（乙）作一个直角三角形, 两股长分别为、利用商高（勾股）定理（）2+（）2=15+8得斜边长为因为、、为此三角形的三边长所以+＞故+≠对于两人A．两人都正确B．两人都错误C．甲正确, 乙错误D．甲错误, 乙正确的证法,下列哪一个判断是正确的（）考点：勾股定理；实数大小比较；三角形三边关系. 菁优网版权所有专题：压轴题；阅读型.分析：分别对甲乙两个证明过程进行分析即可得出结论.解答：解: 甲的证明中说明+ 的值大于5, 并且证明小于5, 一个大于5的值与一个小于5的值一定是不能相等的.乙的证明中利用了勾股定理, 根据三角形的两边之和大于第三边．故选A.故选A．点评：本题解决的关键是正确理解题目中的证明过程, 阅读理解题是中考中经常出现的问题．16. （2007•宁波二模）如图, A.B是4×5网格中的格点, 网格中的每个小正方形的边长都是1, 图中使以A.B.C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C有（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点：勾股定理；等腰三角形的判定. 菁优网版权所有专题：探究型.分析：先根据勾股定理求出AB的长, 再根据等腰三角形的性质分别找出以AB为腰和以AB为底边的等腰三角形即可．解答：解: ∵A.B是4×5网格中的格点,∴AB= = ,同理可得, AC=BD=AC= ,∴所求三角形有：△ABD, △ABC, △ABE．故选B．点评：本题考查的是勾股定理及等腰三角形的性质, 先根据勾股定理求出AB的长是解答此题的关键．17.A．1B．C．D．（2006•郴州）在△ABC中, ∠C=90°,AC, BC的长分别是方程x2﹣7x+12=0的两个根, △ABC内一点P到三边的距离都相等. 则PC为（）考点：勾股定理；解一元二次方程-因式分解法；三角形的内切圆与内心. 菁优网版权所有专题：压轴题.分析：根据AC、BC的长分别是方程x2﹣7x+12=0的两个根, 根据根与系数的关系求出．解答：解: 根据“AC, BC的长分别是方程x2﹣7x+12=0的两个根”可以得出:AC+BC=7, AC•BC=12,AB2=AC2+BC2=25,AB=5,△ABC内一点P到三边的距离都相等, 即P为△ABC内切圆的圆心,设圆心的半径为r, 根据三角形面积表达式:三角形周长×内切圆的半径÷2=三角形的面积,可得出, AC•BC÷2=（AC+BC+AB）×r÷2,12÷2=（7+5）×r÷2,r=1，根据勾股定理PC= = ,故选B.故选B．点评：本题中考查了勾股定理和一元二次方程根与系数的关系. 本题中三角形内心与三角形周长和面积的关系式是本题中的一个重点.18. （2002•南宁）如图, 直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为S1.S2.S3, 则S1.S2.S3之间的关系是（）A．S l+S2＞S3B．S l+S2＜S3C．S1+S2=S3D．S12+S22=S32考点：勾股定理. 菁优网版权所有专题：压轴题.分析：依据半圆的面积公式, 以及勾股定理即可解决．解答：解: 设直角三角形三边分别为a, b, c, 则三个半圆的半径分别为, ,由勾股定理得a2+b2=c2, 即（）2+（）2=（）2两边同时乘以π得π（）2+π（）2=π（）2即S1.S2.S3之间的关系是S1+S2=S3故选C.故选C．点评：根据勾股定理, 然后变形, 得出三个半圆之间的关系．19. （2001•广州）已知点A和点B（如图）, 以点A和点B为其中两个顶点作位置不同的等腰直角三角形, 一共可作出（）A．2个B．4个C．6个D．8个考点：等腰直角三角形. 菁优网版权所有专题：压轴题.分析：利用等腰直角三角形的性质来作图, 要注意分不同的直角顶点来讨论．解答：解: 此题应分三种情况:①以AB为腰, 点A为直角顶点；可作△ABC1.△ABC2, 两个等腰直角三角形；②以AB为腰, 点B为直角顶点；可作△BAC3.△BAC4, 两个等腰直角三角形；③以AB为底, 点C为直角顶点；可作△ABC5.△ABC6, 两个等腰直角三角形；综上可知, 可作6个等腰直角三角形, 故选C．点评：等腰直角三角形两腰相等, 顶角为直角, 据此可以构造出等腰直角三角形．关键是以AB为腰和以AB为底来讨论．A．2B．3C．4D．520. 设直角三角形的三边长分别为a、b、c,若c﹣b=b﹣a＞0, 则=（）考点：勾股定理. 菁优网版权所有分析：根据已知条件判断c是斜边, 并且得到c+a=2b, 然后根据勾股定理得到c2﹣a2=b2, 然后因式分解可以求出c﹣a, 代入要求的式子可以求出结果了．解答：解: ∵c﹣b=b﹣a＞0∴c＞b＞a, c+a=2b根据勾股定理得, c2﹣a2=b2, （c+a）（c﹣a ）=b2,∴c﹣a= b∴=4故选C.故选C．点评：此题主要利用了勾股定理和因式分解解题, 题目式子的值不能直接求出, 把它的分子分母分别用b表示才能求出．A．4B．6C ．8D．21. （1999•温州）已知△ABC中,AB=AC=10,BD是AC边上的高线,DC=2, 那么BD等于（）考点：勾股定理. 菁优网版权所有分析：由CD的长, 可求得AD的值, 进而可在Rt△ABD中, 由勾股定理求得BD的长．解答：解: 如图；△ABC中, AB=AC=10, DC=2；∴AD=AC﹣DC=8；Rt△ABD中, AB=10, AD=8；由勾股定理, 得：BD= =6；故选B．点评：此题主要考查了等腰三角形的性质及勾股定理的应用.22. 如图, 在四边形ABCD中, ∠B=135°, ∠C=120°, AB= , BC= , CD= , 则AD边的长为（）A．B．C．D．考点：勾股定理. 菁优网版权所有专题：计算题.分析：作AE⊥BC, DF⊥BC, 构建直角△AEB和直角△DFC, 根据勾股定理计算BE, CF, DF, 计算EF的值, 并根据EF求AD．解答：解: 如图, 过点A, D分别作AE, DF垂直于直线BC, 垂足分别为E, F.由已知可得BE=AE= , CF= , DF=2 ,于是EF=4+ .过点A作AG⊥DF, 垂足为G．在Rt△ADG中, 根据勾股定理得AD= = = = = .故选D.点评：本题考查了勾股定理的正确运用, 本题中构建直角△ABE和直角△CDF是解题的关键．A．16 B．18 C．12D．1223. 在△ABC中,∠C=90°,∠A=15°,AB=12,则△ABC的面积等于（）考点：勾股定理；三角形的面积. 菁优网版权所有专题：计算题.分析：作∠ABD=∠A=15°, 则∠BDC=30°；设BC=x, 则BD=2x, CD= x, 计算AC=AD+CD=（2+ ）x, BC=x, AB=12, 根据勾股定理计算AC, BC的长度, △ABC的面积为根据•BC•AC计算可得．解答：解: 如图, 作∠ABD=∠A=15°BD交AC于D, 则∠DBC=75°﹣15°=60°在Rt△BCD中, 因为∠BDC=90°﹣∠DBC=30°所以BD=2BC, CD= BC设BC=x,所以BD=2x, CD= x因为∠A=∠ABD, 所以AD=BD=2x所以AC=AD+DC=（2+）x在Rt △ABC中AC2+BC2=AB2∴∴，故选B.点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用, 考查了直角三角形面积的计算, 本题中设BC=x, 根据直角△ABC求x的值, 是解题的关键．24. 如图, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, DE⊥AB, AC=BE=15, BC=20. 则四边形ACED的面积为（）A．54 B．75 C．90 D．96考点：勾股定理；相似三角形的判定与性质. 菁优网版权所有分析：先利用勾股定理求出AB的长, 再根据相似三角形对应边成比例求出DE、BD的长, 然后代入面积公式即可求解．解答：解: ∵∠BDE=∠C=90°, ∠B=∠B∴△BDE∽△BCA∴BE: BA=BD: BC∵AC=BE=15, BC=20∴AB==25∴15: 25=BD: 20∴BD=12∴DE=9∴S△BDE=×12×9=54；S△ABC=×15×20=150∴四边形ACED的面积=S△ABC﹣S△BDE=150﹣54=96故选D.故选D．点评：此题主要考查了学生对相似三角形的性质及勾股定理的运用.25. 如图, 在△ABC中, 分别以AB.BC为直径的⊙O1.⊙O2交于AC上一点D, 且⊙O1经过点O2, AB.DO2的延长线交于点E, 且BE=BD. 则下列结论不正确的是（）A．A B=AC B．∠BO2E=2∠E C．A B=BE D．E O2=BE考点：勾股定理；对顶角、邻补角；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理. 菁优网版权所有专题：证明题；压轴题.分析：根据等腰三角形的性质证出∠BO2E=2∠BDE, 即可得出答案B错误, 假设A成立证出C也正确, 即可判断A、C都错误, 即可选出选项．解答：解: A.∵∠ABC+∠EDA=180°, ∠ADB=90°,∴∠EDB+∠ABC=90°.∵∠BDE+∠EDC=90°, 且∠EDC=∠BCA．∴∠ABC=∠BCA.∴AB=AC. 正确, 故本选项错误；B.∵O2B=O2D,∴∠DBO2=∠EDB,∴∠BO2E=2∠BDE,∵BE=BD,∴∠BDE=∠E,∴∠BO2E=2∠E, 正确, 故本选项错误；C.∵AC=AB,∴∠C=∠ABC,∵∠BO2E=2∠BDE, ∠ABC=∠BO2E+∠E,∴∠ABC=3∠E,∵BC为⊙O2的直径,∴∠CDB=90°,∴4∠E=90°,∠E=22.5°∴∠C=∠ABC=67.5°,∴∠A=180°﹣2×67.5°=45°,在Rt△ABD中由勾股定理得：AB= BD= BE, 正确, 故本选项错误；D.故本选项正确；故选D.故选D．点评：本题主要考查了勾股定理, 三角形的内角和定理, 等腰三角形的性质, 圆周角定理, 对顶角, 邻补角等知识点, 综合运用性质进行证明是解此题的关键．26. 如图, 在正方形网格中, cosα的值为（）A ．1B ．C ．D．考点：勾股定理；锐角三角函数的定义. 菁优网版权所有专题：网格型.分析：cosα的值可以转化为直角三角形的边的比的问题, 先根据勾股定理求出AB的长, 再在Rt△ABC中根据三角函数的定义求解．解答：解: 在Rt△ABC中, BC=3, AC=4,则AB= =5,则cosα= = .故选D．点评：本题考查勾股定理和锐角三角函数的概念：在直角三角形中, 正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．27. 直角A．10 B．2C．4或10 D．10或2三角形一边长为8,另一条边是方程x2﹣2x﹣24=0的一解, 则此直角三角形的第三条边长是（）考点：勾股定理；解一元二次方程-因式分解法. 菁优网版权所有专题：分类讨论.分析：先解方程x2﹣2x﹣24=0, 得x1=6, x2=﹣4, 所以另一条边是6, 再分两种情况考虑：①若8为斜边, 则用勾股定理得第三条边长是2 ；②若8和6是两条直角边, 再用勾股定理求斜边得10．解答：解: 根据题意得解方程x2﹣2x﹣24=0, 得x1=6, x2=﹣4,所以另一条边是6,①若8为斜边, 则用勾股定理得第三条边长是=2 ；②若8和6是两条直角边, 则此直角三角形的第三条边长是=10．故选：D.故选: D．故选：D．点评：本题考查了勾股定理、解方程. 解题的关键是要注意分情况讨论.28. 如图是2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽, 它由4个相同的直角三角形拼成, 已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4, 则大正方形ABCD和小正方形EFGH的面积比是（）A．1：5 B．1: 25 C．5：1 D．25: 1考点：勾股定理的证明. 菁优网版权所有分析：根据勾股定理可得大正方形ABCD的边长, 再根据和差关系得到小正方形EFGH的边长, 根据正方形的面积公式可得大正方形ABCD和小正方形EFGH的面积, 进一步即可求解．解答：解: 如图, 设大正方形的边长为xcm,由勾股定理得32+42=x2,解得：x=5,则大正方形ABCD的面积为: 52=25；∵小正方形的边长为: 4﹣3=1,∴小正方形EFGH的面积为: 12=1.则大正方形ABCD和小正方形EFGH的面积比是25：1.故选：D.故选: D．故选：D．点评：本题考查勾股定理及正方形的面积公式, 比较容易解答, 关键是求出大小正方形的边长．29. 如图, 已知△ABC中, AB=AC, ∠BAC=90°, 直角∠EPF的顶点P是BC中点, 两边PE、PF分别交AB.AC于点E、F, 给出以下四个结论:①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；。