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线性代数大一知识点一、线性方程组线性方程组是线性代数的基础，它是解决线性关系的重要工具。
线性方程组由若干个线性方程组成，其中每个方程都是关于未知数的线性等式。
解线性方程组的方法包括高斯消元法、矩阵法等。
二、矩阵与向量矩阵是线性代数中的重要概念，它由数个数排列成的矩形阵列组成。
矩阵可以进行加法、减法、数乘以及矩阵乘法等运算。
向量是矩阵的一种特殊形式，它是只有一列的矩阵。
三、矩阵的运算矩阵的运算包括矩阵的加法、减法、数乘以及矩阵乘法。
矩阵的加法和减法要求相应位置上的元素进行加减运算。
数乘是指将矩阵的每个元素都乘以一个常数。
矩阵乘法是将一个矩阵的每一行与另一个矩阵的每一列对应元素相乘后再求和。
四、行列式行列式是矩阵的一个标量值，用于描述矩阵线性方程组的性质。
对于一个n阶方阵，它的行列式可以通过递归地计算n-1阶子阵的行列式来求解。
行列式的值可以判断矩阵是否可逆，以及矩阵的秩等性质。
五、向量空间与子空间向量空间是一组向量的集合，它满足线性运算封闭性和加法、数乘的结合律等性质。
子空间是向量空间的一个子集，它是满足向量空间的性质的子集。
六、基与维数基是向量空间中的一个向量组，它可以通过线性组合得到向量空间中的任意向量。
向量空间的维数是基中向量的个数，也是向量空间的一个重要性质。
七、线性变换线性变换是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的线性映射。
它保持向量空间的线性性质，可以通过矩阵的乘法来表示。
八、特征值与特征向量特征值和特征向量是描述线性变换的重要概念。
特征向量是指在线性变换下，经过缩放后仍然保持方向不变的向量。
特征值是特征向量对应的倍数。
九、内积与正交内积是定义在向量空间上的一种运算，它满足线性性质、对称性和正定性。
内积可以用来定义向量的长度、夹角、正交性等概念。
十、最小二乘法最小二乘法是一种数学优化方法，用于求解线性方程组中的最优解。
它通过最小化误差的平方和来确定方程组的解。
以上是线性代数大一知识点的简要介绍，线性代数是数学的重要分支，对于理解和应用许多其他学科都具有重要意义。
大一线代重要知识点在线性代数的学习中，大一学生会接触到一些重要的知识点，这些知识点对于理解线性代数的基本概念和方法至关重要。
本文将介绍一些大一线性代数的重要知识点，帮助读者更好地掌握线性代数的基础知识。
一、向量及其运算在线性代数中，向量是一个基本的概念。
向量可以用来表示空间中的点、力、速度等物理量。
向量的运算包括向量的加法、减法、数乘等。
其中，向量的加法满足交换律和结合律，即无论向量相加的顺序如何，结果都是相同的。
二、矩阵及其运算矩阵是线性代数中另一个重要的概念。
矩阵可以看作是一个二维数组，它由行和列组成。
矩阵的运算包括矩阵的加法、减法、数乘以及矩阵乘法等。
其中，矩阵乘法不满足交换律，注意矩阵乘法的顺序对结果有影响。
三、线性方程组线性方程组是线性代数的重要应用之一。
线性方程组由若干个线性方程组成，其中每个方程都是关于未知量的线性函数。
求解线性方程组的方法有很多，包括高斯消元法、矩阵求逆法等。
解线性方程组的关键是找到合适的消元顺序，使得方程组的解容易求得。
四、行列式行列式是线性代数中的重要工具，它可以用来判断矩阵是否可逆、求解线性方程组的解等。
行列式的计算公式比较复杂，但可以利用一些性质和规律简化计算过程。
行列式的值可以为零，当且仅当矩阵不可逆，即奇异矩阵。
五、特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵的重要性质。
矩阵的特征值和特征向量可以描述矩阵的运动以及变换的特性。
求解矩阵的特征值和特征向量可以通过求解矩阵的特征方程得到。
特征值和特征向量在物理、工程等领域有广泛的应用。
六、内积与正交内积是线性代数中的重要概念，它可以用来度量两个向量之间的夹角和长度。
内积具有对称性、线性性和正定性等性质。
特别地，当两个向量的内积为零时，它们被称为正交向量。
正交向量在几何学、信号处理等领域有重要应用。
七、线性相关与线性无关线性相关和线性无关是向量集合的重要特性。
当向量集合中存在某个向量，可以线性表示为其他向量的线性组合时，这些向量集合就是线性相关的。
大一线性代数必考知识点线性代数是大一学生学习的一门重要的数学课程。
掌握线性代数的基础知识对于后续学习高等数学、概率论、统计学等学科都非常重要。
接下来，本文将介绍大一线性代数必考的知识点，以帮助大一学生有效备考。
一、向量和矩阵1. 向量的概念和运算：向量的定义、数量积、向量的代数运算等。
2. 矩阵的概念和运算：矩阵的定义、矩阵的乘法、矩阵的转置和逆等。
3. 向量和矩阵的性质：向量和矩阵的加法和乘法满足的性质，线性相关和线性无关的概念等。
二、线性方程组1. 线性方程组的概念和解法：齐次线性方程组和非齐次线性方程组的定义、高斯消元法、矩阵的秩等。
2. 向量空间和子空间：向量空间的定义、子空间的定义、线性无关组和基、维数的概念等。
三、特征值和特征向量1. 特征值和特征向量的定义：特征值和特征向量的概念和基本性质等。
2. 对角化和相似矩阵：对角化的概念、相似矩阵的性质等。
四、内积空间和正交性1. 内积的定义和性质：内积的定义、内积的基本性质等。
2. 正交向量和正交投影：正交向量的定义、正交投影的概念等。
五、线性变换1. 线性变换的定义和基本性质：线性变换的定义、线性变换的基本性质等。
2. 线性变换的矩阵表示：线性变换与矩阵的关系、矩阵的相似和对角化等。
六、向量空间的维数和秩1. 向量空间的维数和秩的定义和性质：向量空间的维数的定义、秩的定义与性质等。
2. 雅可比矩阵和秩-零度定理：雅可比矩阵的定义和性质、秩-零度定理等。
这些是大一线性代数课程中必考的知识点，通过学习这些知识点，掌握了线性代数的基础知识，将能够更好地理解和应用其他数学知识，为今后的学习打下坚实的基础。
在备考过程中，建议多做习题和练习，加深对这些知识点的理解，并且理论联系实际，将其与实际问题进行结合，提高解决实际问题的能力。
祝大家在线性代数的学习中取得优异的成绩！。
大一线性代数必过知识点一、矩阵和行列式线性代数的基础知识点之一就是矩阵和行列式。
矩阵代表了一个有限维度的数组，可以进行加法、减法、乘法等运算。
而行列式是一个数值，可以用来判断矩阵的性质。
在学习线性代数的过程中，我们必须掌握矩阵和行列式的基本性质，例如矩阵的转置、逆矩阵的存在性以及行列式的计算方法等。
二、向量空间和线性变换向量空间是线性代数中的一个重要概念，它描述了由多个向量组成的空间。
在向量空间中，我们可以定义向量之间的运算，例如加法和标量乘法。
线性变换是一种将一个向量空间映射到另一个向量空间的操作，它保持向量空间中的向量运算性质不变。
学习线性代数的过程中，我们需要熟悉向量空间和线性变换的基本性质，例如向量空间的维度、线性变换的矩阵表示等。
三、特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中重要的概念之一。
对于一个给定的线性变换，特征向量是指在该变换下保持方向不变的非零向量，而特征值则表示特征向量在该变换下的缩放比例。
我们需要学习特征值和特征向量的求解方法，例如特征方程的求解和特征值的计算。
四、线性方程组和解空间线性方程组是线性代数中的核心内容之一。
线性方程组是由多个线性方程组成的方程组，我们需要求解方程组的解集。
解空间指的是线性方程组的所有解构成的向量空间。
在学习线性方程组的解法时，我们需要掌握高斯消元法、矩阵的秩和系数矩阵的行最简形等解题方法。
五、内积和正交性内积是线性代数中的重要概念，它定义了向量之间的夹角和长度。
内积可以用来判断向量是否正交、计算向量的长度以及求解投影等。
正交性是指向量之间的内积为零，正交矩阵则是指满足正交性质的方阵。
在学习内积和正交性时，我们需要了解内积的定义和性质，例如内积的线性性质和正交矩阵的特点。
六、最小二乘法最小二乘法是线性代数中的一种数值计算方法，用于求解超定方程组的最优近似解。
当线性方程组存在无解或者有多个解时，最小二乘法可以找到一个在平方误差意义下最接近原始数据的解。
大一线性代数知识点概述一、矩阵与行列式1.矩阵：矩阵是由一系列的数按照规则排列成的矩形阵列。
矩阵有加法、数乘和乘法等运算，还有转置等操作。
2.行列式：行列式是一个数，它可以通过矩阵的排列组合计算得出。
行列式的计算包括代数余子式、代数余子式的代数余子式等步骤。
二、向量空间1.向量：向量是由一组有序数按照一定规则组成的有方向和大小的量。
向量有加法和数乘等运算，还有长度、夹角和投影等性质。
2.向量空间：向量空间是一种由向量构成的集合，满足加法和数乘运算的封闭性，以及满足加法运算的交换律、结合律和数乘运算的结合律、分配律等性质。
3.线性相关与线性无关：向量空间中的向量可以通过线性组合来表示。
若存在一组不全为零的系数，使得线性组合等于零向量，则这组向量线性相关；否则，它们线性无关。
三、线性变换1.线性变换：线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，满足加法和数乘运算的保持。
2.线性变换的矩阵表示：线性变换可以通过矩阵来表示，线性变换后的向量等于矩阵与原向量的乘积。
3.线性变换的性质：线性变换保持向量空间的加法和数乘运算，还保持向量空间中向量之间的线性相关性。
四、特征值与特征向量1.特征值与特征向量：线性变换后，仍然与原向量方向相同或相反的非零向量称为特征向量，特征向量对应的比例因子称为特征值。
2.特征值与特征向量的计算：特征向量可以通过求解线性方程组得到，由此可以计算出特征值。
这些是大一线性代数的主要知识点概述。
通过学习这些内容，你可以理解矩阵和行列式的相关计算方法，掌握向量空间的基本概念和性质，了解线性变换及其矩阵表示以及特征值与特征向量的应用。
线性代数是数学基础学科，对于后续的高等数学、概率论和统计学等学科具有重要的作用。
线性代数大一上知识点线性代数是一门研究向量空间、线性变换和线性方程组的数学学科。
作为一门基础学科，线性代数在大一上是必修课之一。
本文将为您介绍线性代数大一上的一些重要知识点。
一、向量与向量空间1. 向量的定义与表示方法向量是由若干个数构成的有序数组，通常用加粗的小写字母表示。
可以采用坐标表示法、分量表示法或单位向量表示法表示向量。
向量具有平移、缩放和取反等运算性质。
2. 向量的线性组合与线性相关向量的线性组合是指将向量乘以一定的实数后相加的过程。
若存在非零的实数使得向量的线性组合为零向量，则称这些向量线性相关。
3. 向量空间的定义与性质向量空间是指由一组向量构成的集合，满足加法和数乘运算封闭、满足各种运算的性质。
向量空间具有唯一的零向量和各向量的加法逆元素。
二、矩阵与矩阵运算1. 矩阵的定义与表示方法矩阵是一个按照矩形排列的数，通常用大写字母表示。
矩阵的元素可以是实数或复数。
矩阵的维数指的是它的行数和列数。
2. 矩阵的运算矩阵的运算包括矩阵的加法、矩阵的数乘和矩阵的乘法。
矩阵的加法和数乘满足交换律和结合律；矩阵的乘法要求左矩阵的列数等于右矩阵的行数。
3. 矩阵的转置与逆矩阵矩阵的转置是指行与列互换的操作，用上标T表示。
一个方阵若存在逆矩阵，则称其为可逆矩阵，逆矩阵可以用于解线性方程组和求解矩阵的特征值与特征向量。
三、线性方程组与矩阵的应用1. 线性方程组的表示与解法线性方程组是由一系列线性方程组成的方程组，通过矩阵的形式可以简洁地表示。
线性方程组的解可以通过高斯消元法、矩阵求逆法或克拉默法则等方法求解。
2. 矩阵的行列式与特征值矩阵的行列式是一个用于判断矩阵可逆性和求解特征值的重要工具。
矩阵的特征值和特征向量可以用于描述矩阵的性质和变换。
3. 线性方程组的几何意义线性方程组可以表示为向量的线性组合，通过解线性方程组可以得到向量组的几何性质。
线性方程组的解空间可以用于描述向量组的几何特征。
结语本文介绍了线性代数大一上的一些重要知识点，包括向量与向量空间、矩阵与矩阵运算、线性方程组与矩阵的应用等内容。
大一线代重点知识点线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于各个领域。
在大一线性代数课程中，有一些知识点被认为是非常重要的。
本文将重点介绍大一线性代数课程中的重要知识点，帮助你更好地理解和掌握线性代数。
1. 向量与矩阵向量是线性代数中最基本的概念之一。
在二维情况下，向量可以表示为一个具有两个元素的有序数组，而在三维情况下，向量可以表示为一个具有三个元素的有序数组。
向量可以进行加法、减法、数量乘法等运算，这些运算满足一定的性质，如交换律、结合律等。
矩阵是线性代数中另一个重要的概念。
矩阵可以看作是一个由m行n列元素组成的二维数组。
矩阵可以进行加法、减法、数量乘法等基本运算。
矩阵还具有转置、逆矩阵等重要性质，这些性质在解线性方程组和矩阵变换等问题中起着重要的作用。
2. 行列式行列式是由矩阵表示的一个特征数值。
行列式在线性代数中扮演着重要的角色，它可以用来判断矩阵的奇偶性、可逆性以及计算矩阵的逆等。
行列式的计算方法有多种，如按行展开法、按列展开法和拉普拉斯展开法等。
掌握这些计算方法，可以帮助我们更好地理解和应用行列式的性质。
3. 线性方程组线性方程组是线性代数中的一个重要话题。
线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，其中每个方程都是一个关于未知数的线性方程。
解线性方程组的问题可以转化为求解矩阵方程的问题。
通过矩阵的消元、求逆矩阵等方法，我们可以求解线性方程组的解，并且可以判断方程组的解的情况。
4. 特征值与特征向量特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念。
对于一个方阵A，如果存在一个非零向量x和一个实数λ，使得Ax=λx成立，那么λ被称为A的特征值，x被称为A的对应于特征值λ的特征向量。
特征值与特征向量在矩阵对角化、矩阵相似和矩阵变换等问题中起着重要的作用。
掌握求解特征值与特征向量的方法，对于理解矩阵的性质和解决实际问题非常重要。
5. 线性空间与基线性空间是线性代数中的一个重要概念。
线性空间是一个向量集合，其中的元素可以进行加法和数量乘法运算，并且满足一定的性质。
大一线性代数重要知识点文库线性代数是数学中的一个重要分支，也是大一学生必修的一门课程。
在学习线性代数的过程中，掌握一些重要的知识点对于深入理解和应用线性代数具有至关重要的作用。
本文将介绍一些大一线性代数的重要知识点，供大家参考和学习。
1. 向量与矩阵在线性代数中，向量和矩阵是最基本的概念。
向量是有方向和大小的量，在数学中用箭头表示。
矩阵是由数个元素按照行和列组成的二维数组。
向量和矩阵在线性代数中是广泛使用的工具，用于描述和计算线性关系。
2. 线性方程组线性方程组是线性代数中的核心概念之一。
它是一组含有未知数的线性方程的集合。
在解线性方程组的过程中，可以使用矩阵和向量的表示法，应用高斯消元法或矩阵的逆等方法，求解未知数的值。
3. 矩阵运算矩阵运算是线性代数中的重要内容之一。
常见的矩阵运算包括矩阵的加法、减法、乘法和转置等操作。
矩阵的运算规则和性质对于解决线性方程组、矩阵的特征值和特征向量等问题具有重要作用。
4. 向量空间向量空间是研究线性代数的基本对象之一。
它是由一组向量组成的集合，在满足一定条件下，可以进行加法和数乘运算。
向量空间的性质和结构对于分析线性方程组的解空间、矩阵的秩和特征空间等问题有着深刻的影响。
5. 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念。
特征值是一个数，表示矩阵在线性变换下的伸缩比例；特征向量是一个非零向量，表示在某个特征值下的不变方向。
矩阵的特征值和特征向量在解决线性方程组、矩阵的对角化和相似矩阵等问题时起到了重要的作用。
6. 行列式行列式是线性代数中的一个重要概念。
它是矩阵的一个标量，表示矩阵的行与列的线性关系。
行列式可以用来判断矩阵是否可逆，计算矩阵的秩和求解线性方程组。
7. 线性变换线性变换是线性代数中的核心概念之一。
它是一种特殊的函数，将向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的向量。
线性变换在几何变换、信号处理和计算机图形学等领域有广泛的应用。
大一期末线代知识点线性代数是数学中的一门基础学科，对于大一学生来说，线性代数是一个重要的课程。
在期末考试中，了解和掌握各个知识点是取得好成绩的关键。
下面是大一期末线代知识点的详细介绍。
1. 向量和向量空间向量是线性代数中最基本的概念之一。
向量具有大小和方向，可以进行加法和数乘运算。
向量空间是由一组向量构成的集合，满足一定的运算规则。
2. 线性方程组线性方程组是线性代数中的核心内容之一。
线性方程组可以写成矩阵乘以向量的形式，其中矩阵是由方程组的系数构成的。
解线性方程组的方法有高斯消元法、矩阵的逆等。
3. 矩阵和矩阵运算矩阵是线性代数中的另一个重要概念。
矩阵是由数按矩形排列而成的矩形阵列。
矩阵之间可以进行加法、减法和乘法等运算。
4. 行列式行列式是一个与矩阵相对应的数。
它是一个用于描述矩阵性质的重要工具。
行列式的计算方法有代数余子式展开法、三角形法等。
5. 特征值与特征向量特征值和特征向量是描述矩阵特性的重要概念。
通过特征值和特征向量可以判断矩阵的相似性、对角化等性质。
6. 矩阵的秩矩阵的秩是描述矩阵中线性无关的向量个数。
矩阵的秩可以判断矩阵是否可逆、解线性方程组的情况等。
7. 线性变换线性变换是线性代数中的另一个重要概念。
线性变换是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的变换。
线性变换可以用矩阵来表示。
8. 内积空间和正交内积空间是线性代数中的一个重要概念。
内积空间中定义了一个内积运算，内积满足一定的运算规则。
正交是内积空间中的一个概念，指的是两个向量的内积为零。
9. 特征分解和奇异值分解特征分解和奇异值分解是对于矩阵的一种分解方法。
特征分解可以将一个矩阵分解成特征值和特征向量的乘积形式，奇异值分解可以将一个矩阵分解成奇异值矩阵的乘积形式。
10. 线性代数的应用线性代数在很多领域都有广泛的应用，如计算机图形学、密码学、信号处理等。
了解线性代数的知识点可以为以后的学习和应用打下坚实的基础。
以上是大一期末线代的主要知识点的简要介绍。
大一线性代数必考知识点pdf 线性代数是大学理工科类专业中的一门重要课程，它具有广泛的应用领域和实际意义。
对于大一学生而言，线性代数作为入门课程，是为后续学习打下基础的重要一环。
本文将介绍大一线性代数必考的知识点，并提供一个PDF文档供学生们下载参考。
1. 数与向量运算1.1 实数与复数的性质与运算1.2 向量的定义与性质1.3 向量的线性组合与线性相关性1.4 向量的点乘与叉乘2. 矩阵与矩阵运算2.1 矩阵的定义与性质2.2 矩阵的运算法则（加法、数乘、乘法）2.3 矩阵的转置与逆矩阵2.4 矩阵的秩与行列式3. 线性方程组3.1 线性方程组的定义与解的存在性3.2 线性方程组解的唯一性与可解性3.3 高斯消元法与矩阵的初等变换3.4 齐次与非齐次线性方程组的解4. 特征值与特征向量4.1 特征值与特征向量的定义4.2 特征值与特征向量的性质4.3 对角化与相似矩阵4.4 对称矩阵的特征值与特征向量5. 线性映射与线性变换5.1 线性映射与线性变换的定义5.2 线性映射与线性变换的基本性质5.3 线性映射与矩阵的关系5.4 线性变换的核与像、线性变换的矩阵表示6. 正交基与正交投影6.1 正交基与正交子空间6.2 向量组的正交化与标准正交化6.3 Gram-Schmidt正交化过程6.4 正交投影的定义与性质以上是大一线性代数必考的知识点的简要概括，希望能对大一学生的学习起到一定的指导作用。
为了方便学生们的复习和查阅，我们特别制作了一个PDF文档，供大家下载使用。
该PDF文档包含了以上所有知识点的详细说明、公式推导以及典型例题的解析，是复习线性代数的必备资料。
大一线性代数必考知识点PDF下载地址：（避免在正文中出现网址链接，请将下载地址通过其他方式提供给读者，如附件、站内私信等方式）总结：线性代数作为大一学生的必修课程，对于后续学习和专业发展具有重要作用。
掌握好线性代数的基本知识点，对于培养学生的逻辑思维和数学分析能力十分重要。
2012年线性代数必考的知识点1、行列式1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；2. 代数余子式的性质：①、ij A 和ij a 的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)21(1)n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)22(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；⑤、拉普拉斯展开式：A O A C AB CB O B==、(1)m n CA OA AB B OB C==-⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)nnk n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；7. 证明0A =的方法：①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1.A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）；⇔()r A n =（是满秩矩阵） ⇔A 的行（列）向量组线性无关；⇔齐次方程组0Ax =有非零解； ⇔n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解； ⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ⇔A 的特征值全不为0；⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；3.1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== ***111()()()T T TAB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则： Ⅰ、12s A A A A =；Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； ②、111A O A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（主对角分块） ③、111O A O B B O A O ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（副对角分块） ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） ⑤、11111A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nEO F OO ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ⇔ ； 2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(,)(,)rA E E X ，则A 可逆，且1X A -=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ；③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x ，则A 可逆，且1x A b -=； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭λλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，iλ乘A 的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k-=，例如：1111(0)11kk k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；5. 矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤；②、()()T r A r A =； ③、若AB ，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001a c b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：01111110()nnnn m n mmn n n nm m n mnnnnnn m a b C a C a b C ab Ca bC b C a b -----=+=++++++=∑；注：Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项；Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====-m n n n n n n n m n C C C m m n mⅢ、组合的性质：111102---+-===+==∑nmn m mm m r nr r nnn n nnn n r C C CC CCrC nC ；③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nr A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩； ②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =；③、*1A A A -=、1*n A A-=8. 关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话）②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0； ③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ⨯矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程；10. 线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩； ②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（向量方程，A 为m n ⨯矩阵，m 个方程，n 个未知数）③、()1212n n x x aa a x β⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭（全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）； ④、1122n n a x a x a x β+++=（线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数） 4、向量组的线性相关性 1.m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,m ααα构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A =ααα；m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T TTmβββ构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14)4. ()()T r A A r A =；(101P 例15)5.n 维向量线性相关的几何意义：①、α线性相关⇔0α=； ②、,αβ线性相关 ⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）；③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若12,,,s ααα线性相关，则121,,,,s s αααα+必线性相关；若12,,,s ααα线性无关，则121,,,s ααα-必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤；向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤； 向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解；()(,)r A r A B ⇔= 向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ，使12l A P P P =；①、矩阵行等价：~rA B PA B ⇔=（左乘，P 可逆）0Ax ⇔=与0Bx =同解②、矩阵列等价：~cA B AQ B ⇔=（右乘，Q 可逆）； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=（P 、Q 可逆）； 9.对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩； 10.若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵；②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置）11.齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； ①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解；②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解；12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯线性表示为：1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =（B AK =）其中K 为s r ⨯，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ⇔=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性） （必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=；充分性：反证法）注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；13. ①、对矩阵m n A ⨯，存在n m Q ⨯，m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关；②、对矩阵m n A ⨯，存在n m P ⨯，n PA E = ()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关； 14. 12,,,s ααα线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=成立；（定义）⇔1212(,,,)0s s x xx ααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解，即0Ax =有非零解；⇔12(,,,)s r s ααα<，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15. 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为：()r S n r =-； 16. 若*η为Ax b =的一个解，12,,,n r ξξξ-为0Ax =的一个基础解系，则*12,,,,n r ηξξξ-线性无关； 5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵T A A E ⇔=或1T A A -=（定义），性质：①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)0T i j i j a a i j n i j=⎧==⎨≠⎩；②、若A 为正交矩阵，则1T A A -=也为正交阵，且1A =±； ③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：12(,,,)r a a a11b a =；1222111[,][,]b a b a b b b =-121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----;3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、A 与B 等价 ⇔A 经过初等变换得到B ；⇔=PAQ B ，P 、Q 可逆； ()()⇔=r A r B ，A 、B 同型；②、A 与B 合同 ⇔=T C AC B ，其中可逆； ⇔T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数； ③、A 与B 相似 1-⇔=P AP B ； 5. 相似一定合同、合同未必相似；若C 为正交矩阵，则T C AC B =⇒A B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6. A 为对称阵，则A 为二次型矩阵；7.n 元二次型T x Ax 为正定： A ⇔的正惯性指数为n ；A ⇔与E 合同，即存在可逆矩阵C ，使T C AC E =；A ⇔的所有特征值均为正数； A ⇔的各阶顺序主子式均大于0；0,0ii a A ⇒>>；(必要条件)。
