高考数学总复习 第9篇 第3讲 圆的方程限时训练 理

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第3课时圆的方程1．已知一圆的圆心为点（2，－3），一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是（)A．（x－2）2＋(y＋3)2＝13 B．（x＋2）2＋（y－3）2＝13C．（x－2）2＋（y＋3)2＝52 D．(x＋2）2＋(y－3)2＝52答案A解析设该直径的两个端点分别为P（a，0），Q(0，b），则A（2，－3）是线段PQ的中点，所以P（4，0）,Q（0，－6),圆的半径r＝|PA｜＝错误!＝错误!.故圆的方程为（x－2)2＋(y＋3)2＝13.2．过点A(1，－1)，B(－1，1），且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )A．（x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．（x＋3）2＋(y－1）2＝4C．(x－1)2＋(y－1）2＝4 D．（x＋1)2＋(y＋1）2＝4答案C解析设圆心C的坐标为（a，b），半径为r.∵圆心C在直线x＋y－2＝0上，∴b＝2－a.∵|CA|2＝|CB|2，∴（a－1）2＋（2－a＋1)2＝(a＋1）2＋(2－a－1）2.∴a＝1，b＝1。

∴r＝2。

∴方程为(x－1）2＋（y－1)2＝4。

3．(2018·贵州贵阳一模)圆C与x轴相切于T(1，0)，与y轴正半轴交于A，B两点，且｜AB|＝2，则圆C的标准方程为（）A．(x－1)2＋（y－错误!)2＝2 B．(x－1）2＋（y－2）2＝2C．(x＋1)2＋(y＋错误!)2＝4 D．(x－1)2＋(y－错误!）2＝4答案A解析由题意得，圆C的半径为1＋1＝错误!，圆心坐标为（1，错误!)，∴圆C的标准方程为（x－1)2＋（y－错误!）2＝2，故选A.4．（2018·沧州七校联考）半径为2的圆C的圆心在第四象限，且与直线x＝0和x＋y＝2错误!均相切，则该圆的标准方程为( )A．(x－1)2＋(y＋2)2＝4 B．(x－2）2＋（y＋2）2＝2C．（x－2)2＋(y＋2)2＝4 D．（x－2错误!）2＋(y＋2错误!)2＝4答案C解析依题意，设圆C的圆心坐标为(2,b)，(b<0)．则圆心到直线x＋y＝22的距离d＝错误!＝2,∴b＝－2，∴该圆的标准方程为（x－2）2＋（y＋2）2＝4.选C。

第3讲 圆的方程基础知识整合1．圆的定义、方程(1)在平面内到01定点的距离等于02定长的点的轨迹叫做圆． (2)确定一个圆的基本要素：03圆心和04半径. (3)圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)． (4)圆的一般方程①一般方程：05x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0；②方程表示圆的充要条件：06D 2＋E 2－4F >0；③圆心坐标：07⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2，半径r ＝0812D 2＋E 2－4F . 2．点与圆的位置关系 (1)理论依据09点与圆心的距离与半径的大小关系． (2)三个结论圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0)，d 为圆心到点M 的距离．①10(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔点在圆上⇔d ＝r ；②11(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2⇔点在圆外⇔d >r ；③12(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2⇔点在圆内⇔d <r .求圆的方程，如果能借助圆的几何性质，能使解题思路简化减少计算量，常用的几何性质有：(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上； (2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．1．(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C ． 3D ．2答案 A解析 圆的方程可化为(x －1)2＋(y －4)2＝4，则圆心坐标为(1,4)，圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.故选A ．2．(2019·江西南昌模拟)若坐标原点在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－3，3)C ．(－2，2)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22 答案 C解析 ∵原点(0,0)在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，∴(0－m )2＋(0＋m )2<4，解得－2<m <2，故选C ．3．若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0 C ．(－2,0) D ．⎝⎛⎭⎪⎫－2，23 答案 D解析 由圆的一般方程的系数关系可得a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，化简得3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23.4．圆心在y 轴上且通过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0 D ．x 2＋y 2－10x ＝0答案 B解析 设圆心为(0，b )，半径为r ，则r ＝|b |， ∴圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2. ∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b )2＝b 2，解得b ＝5. ∴圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.5．(2019·福建厦门模拟)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 答案 A解析 设中点为A (x ，y )，圆上任意一点为B (x ′，y ′)，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x ′＋4＝2x ，y ′－2＝2y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x －4，y ′＝2y ＋2，故(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得，(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.6．(2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．答案 x 2＋y 2－2x ＝0解析 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，4＋0＋2D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝0，所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.核心考向突破考向一 求圆的方程例1 (1)(2019·海南海口模拟)已知圆M 与直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0都相切，圆心在直线y ＝－x －4上，则圆M 的方程为( )A ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝1 B ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1 D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1 答案 C解析 到两直线3x －4y ＝0,3x －4y ＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x －4y ＋5＝0，联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋5＝0，y ＝－x －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－1.又两平行线间的距离为2，所以圆M 的半径为1，从而圆M 的方程为(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1.故选C ．(2)已知圆的圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)，则圆的方程为________．答案 x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0解析 解法一：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2＋－3－b 2＝r 2，－2－a 2＋－5－b 2＝r 2，a －2b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10，故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10，即x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0.解法二：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2－3＝0，4＋9＋2D －3E ＋F ＝0，4＋25－2D －5E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝4，F ＝－5.故所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0.求圆的方程的两种方法(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设出圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值．②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设出圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．[即时训练] 1.已知圆E 经过三点A (0,1)，B (2,0)，C (0，－1)，且圆心在x 轴的正半轴上，则圆E 的标准方程为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342＋y 2＝2516C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝254答案 C解析 因为圆E 经过点A (0,1)，B (2,0)，所以圆E 的圆心在线段AB 的垂直平分线y －12＝2(x －1)上．又圆E 的圆心在x 轴的正半轴上，所以圆E 的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0.则圆E 的半径为EB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－342＋0－02＝54，所以圆E 的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516. 2．(2019·江苏镇江模拟)圆心在直线y ＝－4x 上，并且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)的圆的方程为________.答案 (x －1)2＋(y ＋4)2＝8解析 设圆心A 的坐标为(x ，－4x )，则k AP ＝2－4xx －3，k l ＝－1，又圆A 与直线l 相切，∴k AP ·k l ＝－1，∴x ＝1，∴A (1，－4)，r ＝1－32＋－4＋22＝22，∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.考向二 与圆有关的轨迹问题例2 (2019·内蒙古模拟)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ．(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．解 (1)由x 2＋y 2－6x ＋5＝0，得(x －3)2＋y 2＝4，所以圆C 1的圆心坐标为(3,0)． (2)设点M (x ，y )，因为点M 为线段AB 的中点，所以C 1M ⊥AB ， 所以kC 1M ·k AB ＝－1，当x ≠3时，可得y x －3·yx＝－1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94，又当直线l 与x 轴重合时，M 点坐标为(3,0)，代入上式成立．设直线l 的方程为y ＝kx ，与x 2＋y 2－6x ＋5＝0联立，消去y 得，(1＋k 2)x 2－6x ＋5＝0. 令其判别式Δ＝(－6)2－4(1＋k 2)×5＝0，得k 2＝45，此时方程为95x 2－6x ＋5＝0，解上式得x ＝53，因此53<x ≤3.所以线段AB 的中点M 的轨迹的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53<x ≤3.求与圆有关的轨迹方程的方法[即时训练] 3.已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．解 (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1(x ≠2)．(2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON (图略)，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.精准设计考向，多角度探究突破 考向三 与圆有关的最值问题角度1 例3 (1)圆A ：x 2＋y 2－4x ＋4y ＋6＝0上的动点M 到坐标原点O 的距离的最大值、最小值分别是________，________.答案 3 22解析 ∵⊙A ：(x －2)2＋(y ＋2)2＝2，∴圆心A (2，－2)，半径r ＝2，∴|OA |＝22，则|OM |max ＝22＋2＝32，|OM |min ＝22－2＝ 2.(2)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. ①求y x的最大值和最小值； ②求y －x 的最大值和最小值； ③求x 2＋y 2的最大值和最小值．解 ①原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆，y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3. 所以y x的最大值为3，最小值为－ 3.②y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2± 6. 所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.③x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2－02＋0－02＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.角度2 构建目标函数求最值例 4 (2019·江西新余模拟)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m >0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4答案 B解析 解法一：由(x －3)2＋(y －4)2＝1，知圆上点P (x 0，y 0)可化为⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3＋cos θ，y 0＝4＋sin θ.∵∠APB ＝90°，即AP →·BP →＝0， ∴(x 0＋m )(x 0－m )＋y 20＝0， ∴m 2＝x 20＋y 20＝26＋6cos θ＋8sin θ ＝26＋10sin(θ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝34， ∴4<m ≤6，即m 的最大值为6.故选B ．解法二：∵在Rt △APB 中，原点O 为斜边中点，|AB |＝2m (m >0)， ∴m ＝|OP |≤|OC |＋r ，C (3,4)，r ＝1，∴|OP |≤6， 即m ≤6.故选B ．与圆有关的最值问题的求解方法(1)借助几何性质求最值 ①形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； ②形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．(2)建立函数关系式求最值根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的．[即时训练] 4.(2018·全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2，32]D ．[22，32]答案 A解析 ∵直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于点A ，B ，∴A (－2,0)，B (0，－2)，则|AB |＝2 2.∵点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，圆心为(2,0)，∴圆心到直线的距离d 1＝|2＋0＋2|2＝22，故点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离d 2的范围为[2，32]，则S △ABP ＝12|AB |d 2＝2d 2∈[2,6]．故选A ．5．设点P (x ，y )是圆x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2,0)，B (－2,0)．则PA →·PB →的最大值为________．答案 12解析 由题意，得PA →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，所以PA →·PB →＝x 2＋y 2－4，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1，故x 2＝－(y －3)2＋1，所以PA →·PB →＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12.易知2≤y ≤4，所以，当y ＝4时，PA →·PB →的值最大，最大值为6×4－12＝12.1、在最软入的时候，你会想起谁。

圆_的_方_程[知识能否忆起]1．圆的定义及方程2．点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.[小题能否全取]1．(教材习题改编)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( ) A.14＜m ＜1 B ．m ＜14或m ＞1C ．m ＜14D ．m ＞1解析：选B 由(4m )2＋4－4×5m ＞0得m ＜14或m ＞1.2．(教材习题改编)点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选A ∵点(1,1)在圆的内部， ∴(1－a )2＋(1＋a )2＜4， ∴－1＜a ＜1.3．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：选A 设圆心坐标为(0，b )，则由题意知0－12＋b －22＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.4．(2012·潍坊调研)圆x 2－2x ＋y 2－3＝0的圆心到直线x ＋3y －3＝0的距离为________． 解析：圆心(1,0)，d ＝|1－3|1＋3＝1.答案：15．(教材习题改编)圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为 ____________________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＝a 2(a ＞0) ∴|2|1＋1＝a ，∴a ＝2， ∴x 2＋y 2＝2. 答案：x 2＋y 2＝21.方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是： (1)B ＝0；(2)A ＝C ≠0；(3)D 2＋E 2－4AF ＞0.2．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．典题导入[例1] (1)(2012·顺义模拟)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长之比为1∶2，则圆C 的方程为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝43B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝13 C ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43D ．x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ±332＝13(2)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为________________． [自主解答] (1)由已知知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，b )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|b |，解得r ＝23，|b |＝33，即b ＝±33.故圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43. (2)圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧26＋5D ＋F ＝0，10＋D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，F ＝－6.圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －6＝0. [答案] (1)C (2)x 2＋y 2－4x －6＝0由题悟法1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组．2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．以题试法1．(2012·浙江五校联考)过圆x 2＋y 2＝4外一点P (4,2)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则△ABP 的外接圆的方程是( )A ．(x －4)2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y －2)2＝4 C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5D ．(x －2)2＋(y －1)2＝5解析：选D 易知圆心为坐标原点O ，根据圆的切线的性质可知OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，因此P ，A ，O ，B 四点共圆，△PAB 的外接圆就是以线段OP 为直径的圆，这个圆的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝5.与圆有关的最值问题典题导入[例2] (1)(2012·湖北高考)过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0(2)P (x ，y )在圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上移动，则x 2＋y 2的最小值为________．[自主解答] (1)当圆心与P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件．圆心O 与P 点连线的斜率k ＝1，∴直线OP 垂直于x ＋y －2＝0.(2)由C (1,1)得|OC |＝2，则|OP |min ＝2－1，即(x 2＋y 2)min ＝2－1.所以x 2＋y 2的最小值为(2－1)2＝3－2 2.[答案] (1)A (2)3－2 2由题悟法解决与圆有关的最值问题的常用方法(1)形如u ＝y －bx －a的最值问题，可转化为定点(a ，b )与圆上的动点(x ，y )的斜率的最值问题(如A 级T 9)； (2)形如t ＝ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题(如以题试法2(2))； (3)形如(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题(如例(2))．以题试法2．(1)(2012·东北三校联考)与曲线C ：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0相内切，同时又与直线l ：y ＝2－x 相切的半径最小的圆的半径是________．(2)已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y ＋1)2＝1则2x －y 的最大值为________，最小值为________． 解析：(1)依题意，曲线C 表示的是以点C (－1，－1)为圆心，2为半径的圆，圆心C (－1，－1)到直线y ＝2－x 即x ＋y －2＝0的距离等于|－1－1－2|2＝22，易知所求圆的半径等于22＋22＝322.(2)令b ＝2x －y ，则b 为直线2x －y ＝b 在y 轴上的截距的相反数，当直线2x －y ＝b 与圆相切时，b 取得最值．由|2×2＋1－b |5＝1.解得b ＝5±5，所以2x －y 的最大值为5＋5，最小值为5－ 5.答案：(1)322 (2)5＋ 5 5－ 5与圆有关的轨迹问题典题导入[例3] (2012·正定模拟)如图，已知点A (－1,0)与点B (1,0)，C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，连接BC 并延长至D ，使得|CD |＝|BC |，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程．[自主解答] 设动点P (x ，y )，由题意可知P 是△ABD 的重心． 由A (－1,0)，B (1,0)，令动点C (x 0，y 0)， 则D (2x 0－1,2y 0)，由重心坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋1＋2x 0－13，y ＝2y 03，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ＋12，y 0＝3y2y 0≠0，代入x 2＋y 2＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋y 2＝49(y ≠0)，故所求轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋y 2＝49(y ≠0)．由题悟法求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程． (3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．以题试法3．(2012·郑州模拟)动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝32 B ．x 2＋y 2＝16 C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：选B 设P (x ，y )，则由题意可得2x －22＋y 2＝x －82＋y 2，化简整理得x 2＋y 2＝16.1．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点P (0,0)对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2＝5C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝5解析：选A 圆上任一点(x ，y )关于原点对称点为(－x ，－y )在圆(x ＋2)2＋y 2＝5上，即(－x ＋2)2＋(－y )2＝5.即(x －2)2＋y 2＝5.2．(2012·辽宁高考)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0解析：选C 要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A ，B ，C ，D 四个选项中，只有C 选项中的直线经过圆心．3．(2012·青岛二中期末)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －732＝1B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －1)2＝1 解析：选B 依题意设圆心C (a,1)(a ＞0)，由圆C 与直线4x －3y ＝0相切，得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，则圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1.4．(2012·海淀检测)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：选 A 设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5．(2013·杭州模拟)若圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0，关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，0)C ．(－4，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选A 将圆的方程变形为(x －1)2＋(y ＋3)2＝10－5a ，可知，圆心为(1，－3)，且10－5a ＞0，即a ＜2.∵圆关于直线y ＝x ＋2b 对称，∴圆心在直线y ＝x ＋2b 上，即－3＝1＋2b ，解得b ＝－2，∴a －b ＜4.6．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( )A.95 B ．1 C.45D.135解析：选C 圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45. 7．如果三角形三个顶点分别是O (0,0)，A (0,15)，B (－8,0)，则它的内切圆方程为________________． 解析：因为△AOB 是直角三角形，所以内切圆半径为r ＝|OA |＋|OB |－|AB |2＝15＋8－172＝3，圆心坐标为(－3,3)，故内切圆方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝9.答案：(x ＋3)2＋(y －3)2＝98．(2013·河南三市调研)已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为__________．解析：设所求圆的半径是R ，依题意得，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋－32＝1，则R 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝10，因此圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10.答案：x 2＋(y －1)2＝109．(2012·南京模拟)已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值为________． 解析：y －2x －1表示圆上的点P (x ，y )与点Q (1,2)连线的斜率，所以y －2x －1的最小值是直线PQ 与圆相切时的斜率．设直线PQ 的方程为y －2＝k (x －1)即kx －y ＋2－k ＝0.由|2－k |k 2＋1＝1得k ＝34，结合图形可知，y －2x －1≥34，故最小值为34. 答案：3410．过点C (3,4)且与x 轴，y 轴都相切的两个圆的半径分别为r 1，r 2，求r 1r 2. 解：由题意知，这两个圆的圆心都在第一象限， 且在直线y ＝x 上，故可设两圆方程为(x －a )2＋(y －a )2＝a 2，(x －b )2＋(y －b )2＝b 2， 且r 1＝a ，r 2＝b .由于两圆都过点C ，则(3－a )2＋(4－a )2＝a 2，(3－b )2＋(4－b )2＝b 2即a 2－14a ＋25＝0，b 2－14b ＋25＝0. 则a 、b 是方程x 2－14x ＋25＝0的两个根． 故r 1r 2＝ab ＝25.11．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)． 则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)， 即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又∵直径|CD |＝410，∴|PA |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)． ∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40 或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.12．(2012·吉林摸底)已知关于x ，y 的方程C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0.(1)当m 为何值时，方程C 表示圆；(2)在(1)的条件下，若圆C 与直线l ：x ＋2y －4＝0相交于M 、N 两点，且|MN |＝455，求m 的值． 解：(1)方程C 可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，显然只要5－m ＞0，即m ＜5时方程C 表示圆． (2)因为圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，其中m ＜5，所以圆心C (1,2)，半径r ＝5－m ， 则圆心C (1,2)到直线l ：x ＋2y －4＝0的距离为d ＝|1＋2×2－4|12＋22＝15， 因为|MN |＝455，所以12|MN |＝255，所以5－m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2552， 解得m ＝4.1．(2012·常州模拟)以双曲线x 26－y 23＝1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋y 2＝1 B ．(x －3)2＋y 2＝3 C ．(x －3)2＋y 2＝3D ．(x －3)2＋y 2＝9解析：选B 双曲线的渐近线方程为x ±2y ＝0，其右焦点为(3,0)，所求圆半径r ＝|3|12＋±22＝3，所求圆方程为(x －3)2＋y 2＝3.2．由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT (T 为切点)，当|PT |最小时，点P 的坐标是( )A ．(－1,1)B ．(0,2)C ．(－2,0)D ．(1,3)解析：选B 根据切线长、圆的半径和圆心到点P 的距离的关系，可知|PT |＝|PC |2－1，故|PT |最小时，即|PC |最小，此时PC 垂直于直线y ＝x ＋2，则直线PC 的方程为y ＋2＝－(x －4)，即y ＝－x ＋2，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，y ＝－x ＋2，解得点P 的坐标为(0,2)．3．已知圆M 过两点C (1，－1)，D (－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上．(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．解：(1)设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)． 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2＋－1－b 2＝r 2，－1－a 2＋1－b2＝r 2，a ＋b －2＝0.解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.(2)因为四边形PAMB 的面积S ＝S △PAM ＋S △PBM＝12|AM |·|PA |＋12|BM |·|PB |， 又|AM |＝|BM |＝2，|PA |＝|PB |，所以S ＝2|PA |，而|PA |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，即S ＝2|PM |2－4.因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小，所以|PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，所以四边形PAMB 面积的最小值为S ＝2|PM |2min －4＝232－4＝2 5.1．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2 解析：选B 由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)，半径是10，且点E (0,1)位于该圆内，故过点E (0,1)的最短弦长|BD |＝210－12＋22＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E (0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC |＝210，且AC ⊥BD ，因此四边形ABCD 的面积等于12|AC |×|BD |＝12×210×25＝10 2.2．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是________． 解析：l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l 的距离d ＝32， 则AB 边上的高的最小值为32－1. 故△ABC 面积的最小值是12×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝3－ 2. 答案：3－ 23．(2012·抚顺调研)已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1，1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．解：(1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )．因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.。

2021年高考数学总复习 第9章 第3节 圆的方程课时跟踪检测 理（含解析）新人教版1．若a ∈⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－2，0，1，34，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B 要使方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则应有a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)＞0，即3a 2＋4a －4＜0，解得－2＜a ＜23，故符合条件的a 只有一个，即a ＝0，所以原方程只能表示一个圆．故选B.2．(xx·济南模拟)已知圆x 2＋y 2－2x ＋my －4＝0上两点M ，N 关于直线2x ＋y ＝0对称，则圆的半径为( )A ．9B ．3C ．23D ．2解析：选B 据题意可知圆心⎝⎛⎭⎫1，－m2在直线2x ＋y ＝0上，代入可得m ＝4，故圆方程即为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，所以圆的半径为3.故选B.3．已知圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，则圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－4x ＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2－2x －3＝0D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0解析：选A 设圆心为C (m,0)(m ＞0)，因为所求圆与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，所以|3m ＋4×0＋4|32＋42＝2，整理得|3m ＋4|＝10，解得m ＝2或m ＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y 2＝22，即x 2＋y 2－4x ＝0，故选A.4．若圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0，关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，0)C ．(－4，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选A 圆的方程即为(x －1)2＋(y ＋3)2＝10－5a ，可知，圆心为(1，－3)，且10－5a ＞0，得a ＜2.由圆关于直线y ＝x ＋2b 对称，知圆心在直线y ＝x ＋2b 上，所以－3＝1＋2b ，解得b ＝－2，所以a －b ＜4.故选A.5．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：选B 设点(x ，y )与圆C 1的圆心(－1,1)关于直线x －y －1＝0对称，则⎩⎪⎨⎪⎧y －1x ＋1＝－1，x －12－y ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，从而可知圆C 2的圆心坐标为(2，－2)，又知其半径为1，故所求圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.故选B.6．已知从点(－2,1)发出的一束光线，经x 轴反射后，反射光线恰好平分圆：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的圆周，则反射光线所在的直线方程为( )A ．3x －2y －1＝0B ．3x －2y ＋1＝0C ．2x －3y ＋1＝0D ．2x －3y －1＝0解析：选C 由题意可知，反射光线经过圆心(1,1)，点(－2,1)关于x 轴的对称点(－2，－1)在反射光线的反向延长线上，所以反射光线所在的直线方程为y ＋11＋1＝x ＋21＋2，即2x －3y＋1＝0，故选C.7．(xx·南京模拟)如果三角形三个顶点为O (0,0)，A (0,15)，B (－8,0)，那么它的内切圆方程是________．解析：(x ＋3)2＋(y －3)2＝9 易知△AOB 是直角三角形，所以其内切圆半径r ＝|OA |＋|OB |－|AB |2＝8＋15－172＝3.又圆心坐标为(－3,3)，故所求内切圆方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝9.8．(xx·重庆三校联考)已知A 、B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6，若以AB 的长为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________．解析：(x －1)2＋(y ＋1)2＝9 设圆心坐标为M (x ，y )， 则(x －1)2＋(y ＋1)2＝⎝⎛⎭⎫|AB |22＝9， 故所求轨迹方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝9.9．(xx·南通调研)在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆C ：(x －1)2＋y 2＝4上的任意一点，点Q (2a ，a －3)(a ∈R)，则线段PQ 长度的最小值为________．解析：5－2 因为点Q (2a ，a －3)在直线x －2y －6＝0上运动，圆心(1,0)到直线x －2y －6＝0的距离是|1－6|5＝5，圆的半径为2，所以线段PQ 长度的最小值为5－2.10．若圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的斜率的取值范围是________．解析：[2－3，2＋3] 圆方程即为(x －2)2＋(y －2)2＝18，所以圆心为(2,2)，半径为3 2.若此圆上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则满足|2a ＋2b |a 2＋b 2≤2，整理得a 2＋4ab ＋b 2≤0，即(a b )2＋4·a b ＋1≤0，解得－2－3≤ab ≤－2＋ 3.而直线l 的斜率为k ＝－ab，所以2－3≤－ab≤2＋3，故所求范围为[2－3，2＋3].11．圆C 通过不同的三点P (k,0)，Q (2,0)，R (0,1)，已知圆C 在点P 处的切线斜率为1，试求圆C 的方程．解：设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则k 、2为x 2＋Dx ＋F ＝0的两根， ∴k ＋2＝－D,2k ＝F ，即D ＝－(k ＋2)， F ＝2k ，又圆过R (0,1)，故1＋E ＋F ＝0. ∴E ＝－2k －1.故所求圆的方程为x 2＋y 2－(k ＋2)x －(2k ＋1)y ＋2k ＝0，圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k ＋22，2k ＋12.∵圆C 在点P 处的切线斜率为1， ∴k CP ＝－1＝2k ＋12－k ，∴k ＝－3.∴D ＝1，E ＝5，F ＝－6.∴所求圆C 的方程为x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0. 12．(xx·太原模拟)已知圆A ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(1)若直线l ：ax ＋by －4＝0平分圆A 的周长，求原点O 到直线l 的距离的最大值； (2)若圆B 平分圆A 的周长，圆心B 在直线y ＝2x 上，求符合条件且半径最小的圆B 的方程．解：(1)圆A 的方程即(x －1)2＋(y －1)2＝4，其圆心为A (1,1)，半径为r ＝2. 由题意知直线l 经过圆心A (1,1)，所以a ＋b －4＝0，得b ＝4－a . 原点O 到直线l 的距离d ＝4a 2＋b 2.因为a 2＋b 2＝a 2＋(4－a )2＝2(a －2)2＋8，所以当a ＝2时，a 2＋b 2取得最小值8. 所以d 的最大值为48＝ 2.(2)由题意知圆B 与圆A 的相交弦为圆A 的一条直径，它经过圆心A . 设圆B 的圆心为B (a,2a )，半径为R .如图所示，在圆B 中，由垂径定理并结合图形可得R 2＝22＋|AB |2＝4＋(a －1)2＋(2a －1)2＝5⎝⎛⎭⎫a －352＋215. 所以当a ＝35时，R 2取得最小值215.故所求圆B 的方程为⎝⎛⎭⎫x －352＋⎝⎛⎭⎫y －652＝215.1．已知两点A (0，－3)、B (4,0)，若点P 是圆x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 面积的最小值为( )A ．6 B.112 C ．8D.212解析：选B 如图，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ，这时△ABP 的面积最小，直线AB 的方程为x 4＋y－3＝1，即3x －4y －12＝0，圆心C 到直线AB 的距离为d ＝|3×0－4×1－12|32＋(－4)2＝165，所以△ABP 的面积的最小值为12×5×⎝⎛⎭⎫165－1＝112.故选B.2．圆心在曲线y ＝3x (x ＞0)上，且与直线3x ＋4y ＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为________．解析：(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝9 设圆心坐标为⎝⎛⎭⎫a ，3a (a ＞0)，则圆心到直线3x ＋4y ＋3＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪3a ＋12a ＋35＝35⎝⎛⎭⎫a ＋4a ＋1≥35×(4＋1)＝3，当且仅当a ＝2时等号成立．此时圆心坐标为⎝⎛⎭⎫2，32，圆的半径为3.故所求圆的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝9. 3．设圆C 同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y ＝x 上；③截y 轴所得的弦长为4.则圆C 的方程为________．解析：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝8或(x －2)2＋(y －2)2＝8 如图，由题意可设圆心A (a ，a )，则22＋22＝2a 2，解得a ＝±2，r 2＝2a 2＝8.所以圆C 的方程是(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝8或(x －2)2＋(y －2)2＝8.4．已知圆M 过两点C (1，－1)，D (－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上．(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形P AMB 面积的最小值．解：(1)设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(－1－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a ＋b －2＝0.解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. (2)因为四边形P AMB 的面积S ＝S △P AM ＋S △PBM ＝12|AM |·|P A |＋12|BM |·|PB |， 又|AM |＝|BM |＝2，|P A |＝|PB |， 所以S ＝2|P A |， 而|P A |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，所以S ＝2|PM |2－4.因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可． 即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小，所以|PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，因此四边形P AMB 面积的最小值为S ＝2|PM |2min －4＝232－4＝2 5.38116 94E4 铤26953 6949 楉40795 9F5B 齛\ 39986 9C32 鰲&22934 5996 妖S32226 7DE2 緢35352 8A18 記(。

第3讲圆的方程一、知识梳理1．圆的方程标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心(a,b)半径为r 一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0条件:D2＋E2－4F＞0圆心:⎝⎛⎭⎪⎫－D2－E2半径:r＝12D2＋E2－4F2.点M(x0,y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系．(1)若M(x0,y0)在圆外,则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0,y0)在圆上,则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0,y0)在圆内,则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.常用结论1．以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 2．二元二次方程表示圆的条件对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F＞0这一条件．二、教材衍化1．圆x2＋y2－2x＋4y－6＝0的圆心坐标________,半径________．答案:(1,－2)112．若圆的圆心为(－8,3),且经过点(－5,0),则圆的标准方程为________．答案:(x＋8)2＋(y－3)2＝183．在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为________．答案:x2＋y2－2x＝0一、思考辨析判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)方程x 2＋y 2＝a 2表示半径为a 的圆．( ) (3)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆．( )(4)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0,B ＝0,D 2＋E 2－4AF ＞0.( )答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√ 二、易错纠偏常见误区| (1)忽视方程表示圆的条件D 2＋E 2－4F ＞0; (2)错用点与圆的位置关系判定．1．方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( ) A ．14＜m ＜1B ．m ＜14或m ＞1C ．m ＜14D ．m ＞1解析:选B ．由(4m )2＋4－4×5m ＞0,得m ＜14或m ＞1.2．点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4内,则实数a 的取值范围是________． 解析:因为点(1,1)在圆的内部, 所以(1－a )2＋(1＋a )2＜4, 所以－1＜a ＜1. 答案:(－1,1)考点一 求圆的方程(基础型)复习指导| 回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程与一般方程．核心素养:数学运算(1)圆心在x 轴上,半径长为2,且过点A (2,1)的圆的方程是( ) A ．(x －2－3)2＋y 2＝4 B ．(x －2＋3)2＋y 2＝4 C ．(x －2±3)2＋y 2＝4D ．(x －2)2＋(y －1)2＝4(2)(一题多解)圆心在直线x －2y －3＝0上,且过点A (2,－3),B (－2,－5)的圆的方程为________．【解析】 (1)根据题意可设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝4,因为圆过点A (2,1),所以(2－a )2＋12＝4,解得a ＝2±3,所以所求圆的方程为(x －2±3)2＋y 2＝4.(2)法一:设点C 为圆心,因为点C 在直线x －2y －3＝0上,所以可设点C 的坐标为(2a ＋3,a )．又该圆经过A ,B 两点,所以|CA |＝|CB |, 即(2a ＋3－2)2＋(a ＋3)2＝(2a ＋3＋2)2＋(a ＋5)2,解得a ＝－2, 所以圆心C 的坐标为(－1,－2),半径r ＝10, 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 法二:设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋(－3－b )2＝r 2(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2a －2b －3＝0解得a ＝－1,b ＝－2,r 2＝10,故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 法三:设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0,则圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2－E 2,由题意得⎩⎨⎧－D2－2×⎝⎛⎭⎫－E 2－3＝04＋9＋2D －3E ＋F ＝04＋25－2D －5E ＋F ＝0解得D ＝2,E ＝4,F ＝－5.故所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0.【答案】 (1)C (2)x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0求圆的方程的两种方法(1)直接法根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ,b )和半径r 有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a ,b ,r 的方程组,从而求出a ,b ,r 的值;②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D ,E ,F 的方程组,进而求出D ,E ,F 的值．[提醒] 解答圆的有关问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质．1．(2020·内蒙古巴彦淖尔月考)在平面直角坐标系中,点O (0,0),A (2,4),B (6,2),则三角形OAB 的外接圆方程是________．解析:设三角形OAB 的外接圆方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0,由点O (0,0),A (2,4),B (6,2)在圆上可得⎩⎪⎨⎪⎧F ＝04＋16＋2D ＋4E ＋F ＝036＋4＋6D ＋2E ＋F ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0D ＝－6E ＝－2故三角形的外接圆方程为x 2＋y 2－6x －2y ＝0.答案:x 2＋y 2－6x －2y ＝02．若圆C 经过坐标原点与点(4,0),且与直线y ＝1相切,则圆C 的方程是________． 解析:因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0),设圆心为(2,m ),又因为圆与直线y ＝1相切,所以22＋m 2＝|1－m |,解得m ＝－32,所以圆C的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254. 答案:(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254考点二 与圆有关的最值问题(综合型)复习指导| 求解此类问题常利用数形结合思想或函数思想． 角度一 借助几何性质求最值已知实数x ,y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. (1)求yx 的最大值和最小值;(2)求y －x 的最大值和最小值; (3)求x 2＋y 2的最大值和最小值．【解】 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3,表示以(2,0)为圆心,3为半径的圆． (1)yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率, 所以设yx＝k ,即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时,斜率k 取最大值或最小值,此时|2k －0|k 2＋1＝3,解得k ＝±3(如图1)．所以yx的最大值为3,最小值为－ 3.(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距,当直线y ＝x ＋b 与圆相切时,纵截距b 取得最大值或最小值,此时|2－0＋b |2＝3,解得b ＝－2±6(如图2)．所以y －x 的最大值为－2＋6,最小值为－2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)．又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2,所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43,x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.与圆有关的最值问题的三种几何转化法(1)形如μ＝y －bx －a 形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如m ＝(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．角度二 建立函数关系求最值设点P (x ,y )是圆:(x －3)2＋y 2＝4上的动点,定点A (0,2),B (0,－2),则|P A →＋PB →|的最大值为________．【解析】 由题意,知P A →＝(－x ,2－y ),PB →＝(－x ,－2－y ),所以P A →＋PB →＝(－2x ,－2y ),由于点P (x ,y )是圆上的点,故其坐标满足方程(x －3)2＋y 2＝4,故y 2＝－(x －3)2＋4,所以|P A →＋PB →|＝4x 2＋4y 2＝26x －5.由圆的方程(x －3)2＋y 2＝4,易知1≤x ≤5,所以当x ＝5时,|P A →＋PB →|的值最大,最大值为26×5－5＝10.【答案】 10建立函数关系式求最值根据已知条件列出相关的函数关系式,再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单调性等方法求最值．1．(2020·厦门模拟)设点P (x ,y )是圆:x 2＋(y －3)2＝1上的动点,定点A (2,0),B (－2,0),则P A →·PB →的最大值为________．解析:由题意,知P A →＝(2－x ,－y ),PB →＝(－2－x ,－y ),所以P A →·PB →＝x 2＋y 2－4,由于点P (x ,y )是圆上的点,故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1,故x 2＝－(y －3)2＋1,所以P A →·PB →＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12.易知2≤y ≤4,所以,当y ＝4时,P A →·PB →的值最大,最大值为6×4－12＝12.答案:122．已知实数x ,y 满足(x －2)2＋(y －1)2＝1,则z ＝y ＋1x 的最大值与最小值分别为________和________．解析:由题意,得y ＋1x 表示过点A (0,－1)和圆(x －2)2＋(y －1)2＝1上的动点P (x ,y )的直线的斜率．当且仅当直线与圆相切时,直线的斜率分别取得最大值和最小值．设切线方程为y ＝kx －1,即kx －y －1＝0,则|2k －2|k 2＋1＝1,解得k ＝4±73,所以z max ＝4＋73,z min ＝4－73. 答案:4＋73 4－73考点三 与圆有关的轨迹问题(综合型)已知A (2,0)为圆x 2＋y 2＝4上一定点,B (1,1)为圆内一点,P ,Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程;(2)若∠PBQ ＝90°,求线段PQ 中点的轨迹方程． 【解】 (1)设AP 的中点为M (x ,y ),由中点坐标公式可知,P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上, 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ,y ), 在Rt △PBQ 中,|PN |＝|BN |,设O 为坐标原点,连接ON ,则ON ⊥PQ , 所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2, 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.与圆有关的轨迹问题的四种求法已知Rt △ABC 的斜边为AB ,且A (－1,0),B (3,0)．求:(1)直角顶点C 的轨迹方程;(2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程． 解:(1)法一:设C (x ,y ),因为A ,B ,C 三点不共线,所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ,所以k AC ·k BC ＝－1, 又k AC ＝y x ＋1,k BC ＝y x －3,所以y x ＋1·yx －3＝－1,化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此,直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．法二:设AB 的中点为D ,由中点坐标公式得D (1,0),由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知,动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心,2为半径的圆(由于A ,B ,C 三点不共线,所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)． (2)设M (x ,y ),C (x 0,y 0),因为B (3,0),M 是线段BC 的中点, 由中点坐标公式得x ＝x 0＋32,y ＝y 0＋02,所以x 0＝2x －3,y 0＝2y .由(1)知,点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0), 将x 0＝2x －3,y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4, 即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．[基础题组练]1．已知圆C 的圆心为(2,－1),半径长是方程(x ＋1)(x －4)＝0的解,则圆C 的标准方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝4B ．(x －2)2＋(y －1)2＝4C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝16D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝16解析:选C ．根据圆C 的半径长是方程(x ＋1)(x －4)＝0的解,可得半径长为4,故要求的圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝16.2．(2020·河北九校第二次联考)圆C 的半径为2,圆心在x 轴的正半轴上,直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切,则圆C 的方程为( )A ．x 2－y 2－2x －3＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2－4x ＝0D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0解析:选C ．由题意设所求圆的方程为(x －m )2＋y 2＝4(m ＞0),则|3m ＋4|32＋42＝2,解得m ＝2或m ＝－143(舍去),故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4,即x 2＋y 2－4x ＝0,故选C ．3．方程|x |－1＝1－(y －1)2所表示的曲线是( ) A ．一个圆 B ．两个圆 C ．半个圆D ．两个半圆解析:选D ．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(|x |－1)2＋(y －1)2＝1|x |－1≥0即⎩⎨⎧(x －1)2＋(y －1)2＝1x ≥1或⎩⎨⎧(x ＋1)2＋(y －1)2＝1x ≤－1.故原方程表示两个半圆．4．(2020·湖南长沙模拟)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( )A ．1＋ 2B ．2C ．1＋22D ．2＋2 2解析:选A ．将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1,圆心坐标为(1,1),半径为1,则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2,故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1,选A ．5．点P (4,－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析:选A ．设圆上任一点为Q (x 0,y 0),PQ 的中点为M (x ,y ),则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x 02y ＝－2＋y 02解得⎩⎨⎧x 0＝2x －4y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上,所以x 20＋y 20＝4,即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4,化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.6．已知a ∈R ,方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆,则圆心坐标是________,半径是________．解析:已知方程表示圆,则a 2＝a ＋2, 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时,方程不满足表示圆的条件,故舍去． 当a ＝－1时,原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0, 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25, 表示以(－2,－4)为圆心,半径为5的圆． 答案:(－2,－4) 57．过两点A (1,4),B (3,2)且圆心在直线y ＝0上的圆的标准方程为________．解析:设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.因为圆心在直线y ＝0上,所以b ＝0,所以圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2.又因为该圆过A (1,4),B (3,2)两点,所以⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋16＝r 2(3－a )2＋4＝r 2解得⎩⎨⎧a ＝－1r 2＝20.所以所求圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝20.答案:(x ＋1)2＋y 2＝208．若圆C 与圆x 2＋y 2＋2x ＝0关于直线x ＋y －1＝0对称,则圆C 的方程是________． 解析:设C (a ,b ),因为已知圆的圆心为A (－1,0),由点A ,C 关于x ＋y －1＝0对称得⎩⎪⎨⎪⎧ba ＋1×(－1)＝－1a －12＋b2－1＝0解得⎩⎨⎧a ＝1b ＝2.又因为圆的半径是1,所以圆C 的方程是(x －1)2＋(y －2)2＝1, 即x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0. 答案:x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0 9．求适合下列条件的圆的方程．(1)圆心在直线y ＝－4x 上,且与直线l :x ＋y －1＝0相切于点P (3,－2); (2)过三点A (1,12),B (7,10),C (－9,2)．解:(1)法一:设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2,则有⎩⎨⎧b ＝－4a(3－a )2＋(－2－b )2＝r2|a ＋b －1|2＝r解得a ＝1,b ＝－4,r ＝2 2.所以圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.法二:过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3,与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1,－4)．所以半径r ＝(1－3)2＋(－4＋2)2＝22,所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.(2)设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0),则⎩⎨⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝049＋100＋7D ＋10E ＋F ＝081＋4－9D ＋2E ＋F ＝0.解得D ＝－2,E ＝－4,F ＝－95.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0.10．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4),线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ,且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程; (2)求圆P 的方程．解:(1)由题意知,直线AB 的斜率k ＝1,中点坐标为(1,2)． 则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1),即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ,b ),则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又因为直径|CD |＝410,所以|P A |＝210, 所以(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝6或⎩⎨⎧a ＝5b ＝－2.所以圆心P (－3,6)或P (5,－2)．所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.[综合题组练]1．自圆C :(x －3)2＋(y ＋4)2＝4外一点P (x ,y )引该圆的一条切线,切点为Q ,PQ 的长度等于点P 到原点O 的距离,则点P 的轨迹方程为( )A ．8x －6y －21＝0B ．8x ＋6y －21＝0C ．6x ＋8y －21＝0D ．6x －8y －21＝0解析:选D ．由题意得,圆心C 的坐标为(3,－4),半径r ＝2,如图．因为|PQ|＝|PO|,且PQ⊥CQ,所以|PO|2＋r2＝|PC|2,所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2,即6x－8y－21＝0,所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0,故选D．2．设点P是函数y＝－4－(x－1)2的图象上的任意一点,点Q(2a,a－3)(a∈R),则|PQ|的最小值为()A．855－2 B． 5C．5－2 D．755－2解析:选C．如图所示,点P在半圆C(实线部分)上,且由题意知,C(1,0),点Q在直线l:x－2y －6＝0上．过圆心C作直线l的垂线,垂足为点A,则|CA|＝5,|PQ|min＝|CA|－2＝5－2.故选C．3．(应用型)已知平面区域⎩⎨⎧x≥0y≥0x＋2y－4≤0恰好被面积最小的圆C:(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖,则圆C的方程为________．解析:由题意知,此平面区域表示的是以O(0,0),P(4,0),Q(0,2)所构成的三角形及其内部,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．因为△OPQ为直角三角形,所以圆心为斜边PQ的中点(2,1),半径r＝|PQ|2＝5,因此圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.答案:(x－2)2＋(y－1)2＝54．(应用型)已知A (0,2),点P 在直线x ＋y ＋2＝0上,点Q 在圆C :x 2＋y 2－4x －2y ＝0上,则|P A |＋|PQ |的最小值是________．解析:因为圆C :x 2＋y 2－4x －2y ＝0,故圆C 是以C (2,1)为圆心,半径r ＝5的圆．设点A (0,2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为A ′(m ,n ),故⎩⎪⎨⎪⎧m ＋02＋n ＋22＋2＝0n －2m －0＝1 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4n ＝－2故A ′(－4,－2)． 连接A ′C 交圆C 于Q ,由对称性可知|P A |＋|PQ |＝|A ′P |＋|PQ |≥|A ′Q |＝|A ′C |－r ＝2 5.答案:2 55．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C :y 2＝4x 的焦点为F ,过F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于A ,B 两点,|AB |＝8.(1)求l 的方程;(2)求过点A ,B 且与C 的准线相切的圆的方程．解:(1)由题意得F (1,0),l 的方程为y ＝k (x －1)(k ＞0)．设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)．由⎩⎨⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16＞0,故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2. 所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2. 由题设知4k 2＋4k 2＝8,解得k ＝－1(舍去),k ＝1. 因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2),所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3),即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0,y 0),则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5(x 0＋1)2＝(y 0－x 0＋1)22＋16. 解得⎩⎨⎧x 0＝3y 0＝2或⎩⎨⎧x 0＝11y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.6．已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝1,直线l 的方程为2x －y ＝0,点P 在直线l 上,过点P 作圆C 的切线P A ,PB ,切点分别为A ,B .(1)若∠APB ＝60°,求点P 的坐标;(2)求证经过A ,P ,C (其中点C 为圆C 的圆心)三点的圆必经过定点,并求出所有定点的坐标．解:(1)由条件可得圆C 的圆心坐标为(0,4),|PC |＝2,设P (a ,2a ),则a 2＋(2a －4)2＝2,解得a ＝2或a ＝65, 所以点P 的坐标为(2,4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫65125. (2)证明:设P (b ,2b ),过点A ,P ,C 的圆即是以PC 为直径的圆,其方程为x (x －b )＋(y －4)(y －2b )＝0,整理得x 2＋y 2－bx －4y －2by ＋8b ＝0,即(x 2＋y 2－4y )－b (x ＋2y －8)＝0. 由⎩⎨⎧x 2＋y 2－4y ＝0x ＋2y －8＝0解得⎩⎨⎧x ＝0y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85y ＝165所以该圆必经过定点(0,4)和⎝ ⎛⎭⎪⎫85165.。

2021年高考数学一轮复习第九章解析几何9.3圆的方程真题演练集训理新人教A 版 1．[xx·新课标全国卷Ⅰ]一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 解析：由题意知，a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知，圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0＜m ＜4，r ＞0)，则⎩⎨⎧ m 2＋4＝r 2，4－m 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，r 2＝254. 所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254. 2．[xx·陕西卷]若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________． 答案：x 2＋(y －1)2＝1 解析：因为点(1,0)关于直线y ＝x 对称的点的坐标为(0,1)，所以所求圆的圆心为(0,1)，半径为1，于是圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.3．[xx·江苏卷]如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程；(3)设点T (t,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围．解：圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6,7)，半径为5. (1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)．因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，于是圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0，则圆心M 到直线l 的距离 d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5. 因为BC ＝OA ＝22＋42＝25，而MC 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22， 所以25＝m ＋525＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.(3)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．因为A (2,4)，T (t,0)，TA →＋TP →＝TQ →，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝x 1＋2－t ，y 2＝y 1＋4.①因为点Q 在圆M 上，所以(x 2－6)2＋(y 2－7)2＝25.②将①代入②，得(x 1－t －4)2＋(y 1－3)2＝25.于是点P (x 1，y 1)既在圆M 上，又在圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25上，从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25有公共点，所以5－5≤[t ＋4－6]2＋3－72≤5＋5，解得2－221≤t ≤2＋221.因此，实数t的取值范围是[2－221，2＋221 ]．课外拓展阅读圆中避免求“交点”的几种策略有关圆锥曲线与圆的交点问题，若用解方程组的方法求出交点坐标，往往比较繁琐，有些甚至没有必要，下面举例介绍如何避免求“交点”的几种策略：1．整体代入法[典例1] 已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交于两点A，B，则公共弦AB所在的直线方程为________．[解析]设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0任一交点的坐标是(x0，y0)，则x20＋y20＋D1x0＋E1y0＋F1＝0，①x20＋y20＋D2x0＋E2y0＋F2＝0.②①－②，得(D1－D2)x0＋(E1－E2)y0＋(F1－F2)＝0，因为A，B的坐标都满足方程(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0，③所以③是过A，B两点的直线方程．而过A，B两点的直线是唯一的，故方程③就是公共弦AB所在的直线方程．[答案](D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝02．数形结合法[典例2] 已知曲线xy＝1与圆M：x2＋y2－4x－4y＋3＝0相交于A，B两点，则AB的中垂线方程为________．[解析]曲线xy＝1是反比例函数，其图象关于直线y＝x对称，而圆M的圆心(2,2)在直线y＝x上，就是说圆M也关于直线y＝x对称，故AB的中垂线方程为y＝x.[答案]y＝x方法点睛数形结合思想，通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，往往能起到化繁为简，化难为易的作用，使一些看似复杂的问题通过作图得以轻松解决．3．根与系数之间的关系[典例3] 过点A(0,3)作直线l与圆C：x2＋y2－2x－4y－6＝0交于P，Q两点，且OP⊥OQ，则直线l的方程为________．[解析]由题意，斜率不存在的直线不符合题意，设直线l：y＝kx＋3，代入圆的方程式整理，得(1＋k2)x2＋2(k－1)x－9＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x 1x 2＝－91＋k 2，x 1＋x 2＝－2k －11＋k2.① 所以y 1y 2＝(kx 1＋3)(kx 2＋3)＝k 2x 1x 2＋3k (x 1＋x 2)＋9＝－6k 2＋6k ＋91＋k2.② 而OP ⊥OQ ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，联立①②解得，k ＝0或k ＝1，故所求直线为y ＝3或x －y ＋3＝0.[答案] y ＝3或x －y ＋3＝04．巧设方程法[典例4] 过点A (0,1)，B (4，m )且与x 轴相切的圆有且只有一个，求实数m 的值和这个圆的方程．[解] 设所求的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，其中r 2＝b 2.将A ，B 的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋1－2b ＝0，a 2－8a ＋16＋m 2－2mb ＝0. 消去b ，得(1－m )a 2－8a ＋(m 2－m ＋16)＝0.(*)由题设，得知方程(*)只有一解．因此(1)当1－m ＝0，即m ＝1时，方程(*)只有一解，此时a ＝2，b ＝52. 故所求方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522. (2)当m ≠1时，方程(*)为关于a 的一元二次方程，故Δ＝0，解得m ＝0，此时a ＝4，b ＝172. 故所求方程(x －4)2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －1722＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1722.。