二次函数图象性质及应用(讲义及答案)

二次函数图象性质及应用（讲义）➢课前预习回顾一次函数、反比例函数与二次函数的相关知识，回答下列问题：1.对二次函数y =ax2 +bx +c 来说，a，b，c 符号与图象的关系：a 的符号决定了抛物线的开口方向，当时，开口向；当时，开口向．c 是抛物线与交点的．b 的符号：与a ，根据可推导．判断下面函数图象的a，b，c 符号：（1）已知抛物线y =ax2 +bx +c 经过原点和第一、二、三象限，那么（）A．a > 0，b > 0，c > 0 C．a < 0，b < 0，c > 0 B．a < 0，b < 0，c = 0 D．a > 0，b > 0，c = 0（2）二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，其对称轴为直线x=-1，给出下列结论：①abc＞0；②2a-b=0．其中正确的是．2.函数y 值比大小，主要利用函数的增减性和数形结合．如点A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线y=kx+b 上，当k＞0，x1＜x2时，y1y2．1➢知识点睛1.二次函数对称性：两点对称，则相等；纵坐标相等，则两点；由(x1，y1)，(x2，y1)知，对称轴为直线．2.二次函数增减性：y 值比大小、取最值，常利用，借助求解．3.观察图象判断a，b，c 符号及组合：①确定符号及信息；②找特殊点的，获取等式或不等式；③代入不等式，组合判断残缺式符号．➢精讲精练1.若二次函数y=ax2+bx+c 的x 与y 的部分对应值如下表：x -7 -6 -5 -4 -3 -2y -27 -13 -3 3 5 3A．5 B．-3 C．-13 D．-272.抛物线y=ax2+bx+c 上部分点的横坐标x，纵坐标y 的对应值如下表：x …-2 -1 0 1 2 …y …0 4 6 6 4 …从上表可知，下列说法中正确的是．（填写序号）①抛物线与x 轴的一个交点为(3，0)；②二次函数y =ax2 +bx +c 的最大值为6；③抛物线的对称轴是直线x =1 ；2④在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大．3.已知二次函数y =x2 - 2mx + 4m - 8 ．若x ≥2 时，函数值y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是；若x≤1 时，函数值y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是．4.在二次函数y=-x2+2x+1 的图象中，若y 随x 的增大而增大，则x 的取值范围是．2 二次函数草图的画法：1. 一般草图1找准开口方向、对称轴、顶点坐标，画二次函数；2根据各点与对称轴的距离描点（或结合函数间关系画图）．2. 坐标系下画草图时，往往要根据四点一线来确定大致图象．四点：二次函数顶点，二次函数与y 轴的一个交点，二次函数与x 轴的两个交点．一线：二次函数对称轴．）5.已知二次函数 y = - 1 x 2 - 3x - 5，设自变量的值分别为 x 1，x 2，2 2x 3，且-3 < x 1 < x 2 < x 3 ，则对应的函数值 y 1，y 2，y 3 的大小关系是（）A ． y 1 > y 2 > y 3 C ． y 2 > y 3 > y 1B ． y 1 < y 2 < y 3 D ． y 2 < y 3 < y 16. 若 A (-2，y 1)，B (1，y 2)，C (2，y 3)是抛物线 y =-(x +1)2+a 上的三点，则 y 1，y 2，y 3 的大小关系为（ ）A ． y 1 > y 2 > y 3 C ． y 3 > y 2 > y 1B ． y 1 > y 3 > y 2 D ． y 3 > y 1 > y 27. 若 A ( -13 ，y )，B ( - 5 ，y )，C ( 1，y )为二次函数 y =x 2+4x -5 4 1 4 2 4 3的图象上的三点，则 y 1，y 2，y 3 的大小关系是（ ）A ． y 1 < y 2 < y 3 C ． y 3 < y 1 < y 2B ． y 2 < y 1 < y 3 D ． y 1 < y 3 < y 28.已知二次函数 y = ax 2 + bx + c （ a < 0 ）的图象如图所示，当 -5 ≤ x ≤ 0 时，下列说法正确的是（A . 有最小值-5，最大值 0B . 有最小值-3，最大值 6C . 有最小值 0，最大值 2D .有最小值 2，最大值 69.（1）已知二次函数 y =x 2-4x -3，若-1≤ x ≤ 6 ，则 y 的取值范围是；若-3＜x ≤ 4，则 y 的取值范围是；若-2＜x ≤1，则 y 的取值范围是 ．（2）已知二次函数 y =-x 2+6x -3，若-1≤ x ≤ 5 ，则 y 的取值范围是；若-3＜x ≤ 0，则 y 的取值范围是； 若-2＜x ≤1，则 y 的取值范围是．10.已知 y =x 2+(1-a )x +1 是关于 x 的二次函数，当 x 的取值范围是 1≤x ≤3 时，y 在 x =1 时取得最大值，则实数 a 的取值范围是．311.如图是 y =ax 2+bx +c 的图象，则 a 0，b 0，c0，a +b +c0，a -b +c0，2a +b0．第 11 题图第 12 题图12.二次函数 y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，小明观察得出了下面四条信息：①c ＞1；②2a -b ＜0；③a +b +c ＜0； ④ m (am + b ) < a - b （m ≠-1）．你认为其中错．误．的是 ．13.如图是二次函数 y =ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c =0；② b > 2a ；③二次函数 y =ax 2+bx +c 与 x 轴的交点坐标为(-3，0)和(1，0)；④ a - 2b + c > 0 ；⑤8a +c ＞ 0．其中正确的命题是．第 13 题图第 14 题图14.已知二次函数 y = ax 2 + bx + c （a ≠0）的图象如图所示，有下列 5 个结论：① abc > 0 ；② b < a + c ；③ 4a + 2b + c > 0 ； ④ 2c < 3b ；⑤ a + b > m (am + b )（ m ≠ 1）．其中正确结论的序 号是．15. 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴交于点(-2，0)， ( x 1 ，0)，且1 < x 1 < 2 ，与 y 轴正半轴的交点在(0，2)的下方． 下列结论：① 4a - 2b + c = 0 ；② a < b < 0 ；③ 2a + c > 0 ；④ 2a - b +1 > 0 ．其中正确的结论是．4【参考答案】➢课前预习1. a＞0；上；a＜0；下；y 轴；纵坐标；左同右异，对称轴的位置（1）D（2）②2. ＜➢知识点睛1.纵坐标；对称；x =x1+x2 22.增减性；函数图象3.①a，b，c；对称轴；②函数值；③等式➢精讲精练1. D2. ①③④3. m≤2；m≥14. x≤15. A6. A7. B8. B9. （1）-7≤y≤9；-7≤y＜18；-6≤y＜9；（2）-10≤y≤6；-30＜y≤-3；-19＜y≤210. a≥511. ＜；＜；＞；＜；＞；＜12. ①④13. ①③⑤14. ③④⑤15. ①②③④5。

二次函数与y=a的图像和性质【知识要点梳理】知识点1:二次函数y=a图象的特征①图象是抛物线;②对称轴是直线x=h;③顶点是(h,0)。

当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是最低点。

当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是最高点。

知识点2:二次函数y=a图象的性质从二次函数y=a图象可知:①如果a>0,当x<h时,y随x的增大而减小,当x>h时,y随x的增大而增大;②如果a<0,当x<h时,y随x的增大而增大,当x>h时,y随x的增大而减小知识点3: 二次函数y=a图象与二次函数y=a图象的关系当h>0时,可将抛物线y=a向右平移个单位得到y=a;当h<0时,可将抛物线y=a向左平移个单位得到y=a。

〖名师点拨〗解二次函数y=a的问题要注意两点:1.将抛物线y=a沿x轴左右平移可以得到抛物线y=a, 可简记为“左加右减”。

抛物线y=a的顶点坐标是(0,0),抛物线y=a的顶点坐标是(h,0),顶点始终在x轴上。

2.对于函数y=a,若a>0,则x<h时,y随x的增大而减小,x>h时,y随x的增大而增大,函数有最小值0;若a<0,则x<h时,y随x的增大而增大,x>h时,y随x的增大而减小,函数有最大值0。

【知识点过关训练】知识点1:二次函数y=a的图象1. 抛物线y=-5的顶点坐标是( )A.（-2，0）B.（2，0）C.（0，-2）D.（0，2）2. 二次函数y=3图象的对称轴是( )A. 直线x=2B. 直线x=−2C. y轴D. x轴3.对于抛物线y=2,下列说法正确的有( )①开口向上，②顶点为(0,-1)③对称轴为直线m=1④与轴的交点坐标系为(1,0)A.1个B.2个C.3个D.4个4. 平行于x轴的直线与抛物线y=a的一个交点坐标为(−1,2),则另一个交点坐标为( )A. (1,2)B. (1,−2)C. (5,2)D. (−1,4)5. 在平面直角坐标系中，函数y=-x+1与y=的图象大致是 ( )6. 在同一直角坐标系中，一次函数 y ＝ ax ＋ c 和二次函数 y ＝ a 的图象大致为（）A. B. C. D.知识点2:二次函数y=a的性质1. 关于二次函数y= -2，下列说法中正确的是（）A.其图象的开口向上B.其图象的对称轴是x=3C.其图象的顶点坐标是(0，3)D.当x＞-3时，y随x的增大而减小2. 已知抛物线y= -上的两点A(,)和B(,),如果<<−1,）那么下列结论一定成立的是（）A. <<0B. 0<<C. 0<<D. <<03. 已知二次函数y= -2,当x<−3时,y随x的增大而增大,当x>−3时,y随x的增大而减小,则当x=1时,y的值为( )A. −12B. 12C. 32D. −324. 二次函数y= 3和y=3，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是y轴,顶点坐标都是原点(0,0)；③当x>0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们的开口的大小是一样的。

二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）【学习目标】1．经历探索二次函数y=ax2和y=ax2＋c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．2．会作出y=ax2和y=ax2＋c的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响．3．能说出y=ax2＋c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．4．体会二次函数是某些实际问题的数学模型．【要点梳理】要点一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象二次函数y=ax2的图象（如图），是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.抛物线y=ax2（a≠0）的对称轴是y轴，它的顶点是坐标原点.当a＞ 0时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点.2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法——描点法描点法画图的基本步骤：列表、描点、连线.（1）列表：选择自变量取值范围内的一些适当的x的值，求出相应的y值，填入表中.（自变量x 的值写在第一行，其值从左到右，从小到大.）（2）描点：以表中每对x和y的值为坐标，在坐标平面内准确描出相应的点.一般地，点取的越多，图象就越准确.（3）连线：按照自变量的值由小到大的顺序，把所描的点用平滑的曲线连结起来.要点诠释：（1）用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值.（2）二次函数y=ax2(a≠0)的图象，是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数.（3）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.3.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象的性质二次函数y=ax 2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值y=ax 2a ＞0向上 （0，0） y 轴 x ＞0时，y 随x 增大而增大； x ＜0时，y 随x 增大而减小.当x=0时，y 最小=0y=ax 2a ＜0向下 （0，0） y 轴 x ＞0时，y 随x 增大而减小； x ＜0时，y 随x 增大而增大.当x=0时，y 最大=0要点诠释：顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a │相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a │越大，开口越小，图象两边越靠近y 轴，│a │越小，开口越大，图象两边越靠近x 轴. 要点二、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象与性质 1.二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象 （1）0a >（2）0a <j xOy()0y ax c c =+>cjyxOc()0y ax c c =+<j yxOcj y xOc2.二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象的性质关于二次函数2(0)y ax c a =+≠的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数2(0,0)y ax c a c =+>> 2(0,0)y ax c a c =+<>图象开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴y 轴y 轴函数变化当0x >时，y 随x 的增大而增大；当0x <时，y 随x 的增大而减小.当0x >时，y 随x 的增大而减小；当0x <时，y 随x 的增大而增大.最大（小）值当0x =时，y c =最小值当0x =时，y c =最大值【典型例题】类型一、二次函数y=ax 2（a ≠0）的图象与性质1．(2014秋•青海校级月考）二次函数y=ax 2与直线y=2x ﹣1的图象交于点P （1，m ） （1）求a ，m 的值；（2）写出二次函数的表达式，并指出x 取何值时该表达式y 随x 的增大而增大？ （3）写出该抛物线的顶点坐标和对称轴． 【思路点拨】（1）把点P （1，m ）分别代入二次函数y=ax 2与直线y=2x ﹣1即可求出未知数的值； （2）把a 代入二次函数y=ax 2与即可求出二次函数表达式； 根据二次函数的对称轴及增减性判断出x 的取值． （3）根据二次函数的性质直接写出即可．【答案与解析】解：（1）点P （1，m ）在y=2x ﹣1的图象上∴m=2×1﹣1=1代入y=ax 2 ∴a=1（2）二次函数表达式：y=x 2因为函数y=x 2的开口向上，对称轴为y 轴，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大； （3）y=x 2的顶点坐标为（0，0），对称轴为y 轴．【总结升华】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，及二次函数的增减性． 举一反三：【变式1】二次函数2y ax =与22y x =-的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则a = ． 【答案】2.【变式2】（•山西模拟）抛物线y=﹣x 2不具有的性质是（ ）．A.开口向上B. 对称轴是y 轴C. 在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大D. 最高点是原点 【答案】A.2．已知y=(m+1)x 2m m+是二次函数且其图象开口向上,求m 的值和函数解析式.【思路点拨】根据二次函数的定义以及函数y=ax 2（a≠0）的图象性质来解答. 【答案与解析】由题意，2210m m m ⎧+=⎨+⎩＞，解得m=1，∴二次函数的解析式为：y=22x .【总结升华】本题中二次函数还应该有m+1≠0的限制条件，但当10m +＞时，一定存在m+1≠0，所以就不再考虑了.类型二、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象与性质3．求下列抛物线的解析式： （1）与抛物线2132y x =-+形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0，-5）的抛物线； （2）顶点为（0，1），经过点（3，-2）并且关于y 轴对称的抛物线．【思路点拨】抛物线形状相同则||a 相同，再由开口方向可确定a 的符号，由顶点坐标可确定c 的值，从而确定抛物线的解析式2y ax c =+． 【答案与解析】（1）由于待求抛物线2132y x =-+形状相同，开口方向相反，可知二次项系数为12， 又顶点坐标是（0，-5），故常数项5k =-，所以所求抛物线为2152y x =-． （2）因为抛物线的顶点为（0，1），所以其解析式可设为21y ax =+，又∵该抛物线过点（3，-2），∴912a +=-，解得13a =-． ∴所求抛物线为2113y x =-+． 【总结升华】本题考察函数2(0)y ax c a =+≠的基本性质，并考察待定系数法求简单函数的解析式.4．在同一直角坐标系中，画出2y x =-和21y x =-+的图象，并根据图象回答下列问题．(1)抛物线21y x =-+向________平移________个单位得到抛物线2y x =-；(2)抛物线21y x =-+开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________；(3)抛物线21y x =-+，当x________时，随x 的增大而减小；当x________时，函数y 有最________值，其最________值是________．【思路点拨】利用描点法画出函数图象，根据图象进行解答. 【答案与解析】函数2y x =-与21y x =-+的图象如图所示：(1)下； l ； (2)向下； y 轴； (0，1)； (3)＞0； ＝0； 大； 大 ； 1. 【总结升华】本例题把函数21y x =-+与函数2y x =-的图象放在同一直角坐标系中进行对比，易得出二次函数2(0)y ax c a =+≠与2(0)y ax a =≠的图象形状相同，只是位置上下平移的结论．2(0)y ax c a =+≠可以看作是把2(0)y ax a =≠的图象向上(0)k >或向下(0)k <平移||k 个单位得到的． 举一反三：【变式】函数23y x =可以由231y x =-怎样平移得到？【答案】向上平移1个单位.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象与性质—巩固练习（基础）【巩固练习】 一、选择题1.关于函数y=2x 的图象,则下列判断中正确的是( ) A.若a 、b 互为相反数,则x=a 与x=b 的函数值相等； B.对于同一个自变量x,有两个函数值与它对应； C.对任一个实数y,有两个x 和它对应； D.对任意实数x,都有y ＞0.2.下列函数中，开口向上的是（ ）A.23y x =- B.212y x =-C. 2y x =-D.216y x = 3.把抛物线2y x =向上平移1个单位，所得到抛物线的函数表达式为( )．A ．21y x =+ B ．2(1)y x =+ C ．21y x =- D ．2(1)y x =-4.下列函数中，当x ＜0时，y 值随x 值的增大而增大的是（ ）A.25y x = B.212y x =-C. 2y x =D.213y x = 5.在同一坐标系中，作出22y x =，22y x =-，212y x =的图象，它们的共同点是（ ）．A ．关于y 轴对称，抛物线的开口向上B ．关于y 轴对称，抛物线的开口向下C ．关于y 轴对称，抛物线的顶点都是原点D ．关于原点对称，抛物线的顶点都是原点 6.（•黄陂区校级模拟）抛物线y=2x 2+1的对称轴是（ ） A ．直线x=B ． 直线x=﹣C ． y 轴D ． x 轴二、填空题7.已知抛物线的解析式为y ＝-3x 2，它的开口向________，对称轴为________，顶点坐标是________， 当x ＞0时，y 随x 的增大而________．8.若函数y ＝ax 2过点(2，9)，则a ＝________．9.已知抛物线y ＝x 2上有一点A ，A 点的横坐标是-1，过点A 作AB ∥x 轴，交抛物线于另一点B ，则△AOB 的面积为________．10．（•巴中模拟）对于二次函数y=ax 2，已知当x 由1增加到2时，函数值减少4，则常数a 的值是 ． 11.函数2y x =，212y x =、23y x =的图象大致如图所示，则图中从里向外的三条抛物线对应的函数关系式是_____________________．12.若对于任意实数x ，二次函数21x a y ）（+=的值总是非负数，则a 的取值范围是____________． 三、解答题13．已知2(2)mmy m x +=+是二次函数，且当x ＞0时，y 随x 的增大而增大．(1)求m 的值；(2)画出函数的图象． 14. 已知抛物线2y ax =经过A （-2，-8）. （1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断B （-1，-4）是否在此抛物线上？（3）求此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.15．（春·牙克石市校级月考）函数y=ax 2(a ≠0)的图象与直线y=2x-3交于点(1，b)． (1)求a 和b 的值；(2)求抛物线y=ax 2的解析式，并求顶点坐标和对称轴； (3)x 取何值时，y 随x 的增大而增大?(4)求抛物线与直线y=-2的两个交点及其顶点所构成的三角形的面积．【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】A. 2．【答案】D ；【解析】开口方向由二次项系数a 决定，a ＞0，抛物线开口向上；a ＜0，抛物线开口向下. 3．【答案】A ； 【解析】由抛物线2y x =的图象知其顶点坐标为(0，0)，将它向上平移1个单位后，抛物线的顶点坐标为(0，1)，因此所得抛物线的解析式为21y x =+． 4．【答案】B ；【解析】根据抛物线2(0)y ax a =≠的图象的性质，当a ＜0时，在对称轴（x=0）的左侧，y 值随x 值的增大而增大，所以答案为B. 5.【答案】C ；【解析】y ＝2x 2，y ＝-2x 2，212y x =的图象都是关于y 轴对称的，其顶点坐标都是(0，0)． 6.【答案】C ；【解析】∵抛物线y=2x 2+1中一次项系数为0， ∴抛物线的对称轴是y 轴． 故选C ．二、填空题 7．【答案】下 ； y 轴； (0，0)； 减小； 8．【答案】94； 【解析】将点(2，9)代入解析式中求a. 9．【答案】 1 ；【解析】由抛物线的对称性可知A(-1，1)，B(1，1)，则1121122AOB A S AB y ==⨯⨯=△.10．【答案】43-； 【解析】当x=1时，y=ax 2=a ；当x=2时，y=ax 2=4a ，所以a ﹣4a=4，解得a=43-．故答案为：43-. 11．【答案】23y x =，2y x =，212y x =． 【解析】先比较12，|1|，|3|的大小关系，由|a|越大开口越小，可确定从里向外的三条抛物线所对应的函数依次是y ＝3x 2，y ＝x 2，212y x =． 12．【答案】a ＞-1；【解析】二次函数21x a y ）（+=的值总是非负数，则抛物线必然开口向上，所以a+1＞0. 三、解答题 13.【解析】解：(1)∵2(2)mmy m x +=+为二次函数，且当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，∴ 2220m m m ⎧+=⎨+>⎩，∴ 122m m m ==-⎧⎨>-⎩或，∴m=1.(2)由(1)得这个二次函数解析式为23y x =，自变量x 的取值范围是全体实数，可以用描点法画出这个函数的图象．如图所示．14.【解析】解：（1）∵抛物线2y ax =经过A （-2，-8），∴-8=4a ，∴a=-2，抛物线的解析式为：22y x =-.（2）当x=-1时，y=-2()21⨯-=-2≠-4，∴点B （-1，-4）不在此抛物线上.（3）当y=-6时，即226x -=-，得3x =∴此抛物线上纵坐标为-6-6）和（-6）. 15.【解析】解：（1）将x=1，y=b 代入y=2x-3，得b=-1，所以交点坐标是(1，-1)．将x=1，y=-1代入y=ax 2，得a=-1，所以a=-1，b=-1．(2)抛物线的解析式为y=-x 2，顶点坐标为(0，0)，对称轴为直线x=0(即y 轴)． (3)当x ＜0时，y 随x 的增大而增大．(4)设直线y=- 2与抛物线y=-x 2相交于A 、B 两点，抛物线顶点为O(0，0)．由22y y x =-⎧⎨=-⎩,，得112x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩222x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ ∴A(，-2)，，-2)．∴，高=|-2|=2．∴122AOBS =⨯=。

二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值2+ax c)2h4.()2y a x h k=-+的性质：二、二次Array函数图象的平移平移步骤：)k，；⑴caxy+=2变成bx+=2沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，caxbxy++++y+=2（或maxcmbx+=2）y-+axcbx⑵caxy+=2变成+bxy+=2沿轴平移：向左（右）平移m个单位，caxbx++++)y+(=)(2（或cmaxcxmb-+=))-(2）(axy+bmmx三、二次函数()2=-+与2y a x h k=++的比较y ax bx c从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为b ．2bx a=- 2. 2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-2b x a=-时，y 有0a ≠）；0a ≠）；x 轴两交点的横坐标）.240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，0b -<，即抛物线的对称轴在y0，在y 轴的右侧则0<ab ，总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶当0c<时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要a b c，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：有如下几种情况：．2=---；y ax bx c()2=---；y a x h k2=-+；y ax bx cy ax bx c=++关于y轴对称后，得到的解析式是2()2=++；y a x h k=-+关于y轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k3. 关于原点对称2=-+-；y ax bx cy ax bx c=++关于原点对称后，得到的解析式是2()2=-+-；y a x h ky a x h k=-+关于原点对称后，得到的解析式是()24. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a =--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。

高中数学二次函数及其图像性质的分析与解答一、二次函数的定义与性质二次函数是指具有形式为y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。

二次函数的图像是一条抛物线，其开口方向由a的正负决定。

当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。

二、二次函数的图像特点1. 零点：二次函数的零点是函数图像与x轴交点的横坐标。

求二次函数的零点可以通过解方程ax^2+bx+c=0来实现。

例如，对于函数y=x^2-3x+2，解方程x^2-3x+2=0，得到x=1和x=2，因此函数的零点为x=1和x=2。

2. 对称轴：二次函数的对称轴是函数图像的中心轴线，对称轴的方程为x=-b/2a。

例如，对于函数y=2x^2+4x-3，对称轴的方程为x=-4/(2*2)=-1，因此对称轴为x=-1。

3. 顶点：二次函数的顶点是函数图像的最高点（当抛物线开口向下时）或最低点（当抛物线开口向上时）。

顶点的横坐标为对称轴的横坐标，纵坐标可以通过将对称轴的横坐标代入函数得到。

例如，对于函数y=-x^2+2x+3，对称轴的横坐标为x=2/(-2)=-1，将x=-1代入函数得到y=-(-1)^2+2*(-1)+3=4，因此顶点为(-1, 4)。

三、二次函数图像的平移与伸缩1. 平移：二次函数的图像可以通过平移来改变其位置。

平移的方式有两种：水平平移和垂直平移。

水平平移是指将整个图像沿x轴平行移动，垂直平移是指将整个图像沿y轴平行移动。

平移的规律为：y=a(x-h)^2+k，其中(h, k)为平移的距离。

2. 伸缩：二次函数的图像可以通过伸缩来改变其形状。

伸缩的方式有两种：水平伸缩和垂直伸缩。

水平伸缩是指将整个图像沿x轴方向拉伸或压缩，垂直伸缩是指将整个图像沿y轴方向拉伸或压缩。

伸缩的规律为：y=a(bx-c)^2+d，其中a为垂直伸缩的比例因子，b为水平伸缩的比例因子，c为水平方向的平移距离，d为垂直方向的平移距离。

第一讲 二次函数的图像与性质目录必备知识点.....................................................................................................................................................1考点一 y=ax 2（a ≠0）图像与性质............................................................................................................3考点二 y=a(x-h)2+k （a ≠0）的图像与性质...............................................................................................5考点三 y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图像与性质 (13)必备知识点1.的图像)0(a 2≠=a x y 函数2x y =2x y -=225x y x y ==与大致图像开口方向向上向下向上对称轴0=x （y 轴）0=x （y 轴）0=x （y 轴）增减性当x ＜0时，y 随x 的增大而减小当x ＞0时，y 随x 的增大而增大当x ＜0时，y 随x 的增大而增大当x ＞0时，y 随x 的增大而减小当x ＜0时，y随x 的增大而减小当x＞0时，y 随x 的增大而增大顶点（0，0）（0，0）（0，0）最值最小值y=0最大值y=0最小值y=0【总结】：①a ＞0，开口方向向上，有最小值；a ＜0，开口方向向下，有最大值 ②|a|越大，开口越小，函数值变化越快2.的图像)0()(a 2≠-=a h x y 函数22)2(22-==x y x y 与22)2(22+==x y x y 与22)2(2--2+==x y x y 与知识导航大致图像开口方向向上向上向下对称轴2=x -2=x -2=x 增减性当x ＜2时，y 随x 的增大而减小当x ＞2时，y 随x 的增大而增大当x ＜-2时，y 随x 的增大而减小当x ＞-2时，y 随x 的增大而增大当x ＜-2时，y 随x 的增大而减大当x ＞-2时，y 随x 的增大而增小顶点（2，0）（-2，0）（-2，0）最值最小值y=0最大值y=0最小值y=0【总结】：①函数的对称轴为x=h②仍满足函数的平移规则：左加右减3.的图像)0()(a 2≠+-=a k h x y 函数21-22+==）（与x y x y 4-122）（与+==x y x y 41--22++==）（与x y x y大致图像开口方向向上向上向上对称轴1=x -1=x -1=x 顶点（1，2）（-1，-4）（-1，4）最值最小值y=2最小值y=-4最大值y=4【总结】：①函数的对称轴为x=h ，最大值为k ，顶点为（h ，k ）②仍满足函数的平移规则：左加右减，上加下减4.的图像)0(a 2≠++=a c bx x y 函数32-2+=x x y 3-22x x y +=32--2+=x x y大致图像开口方向向上向上向下对称轴1=x -1=x -1=x 与y 轴交点（0，3）（0，-3）（0，3）顶点（1，2）（-1，-4）（-1，4）最值最小值y=2最小值y=-4最大值y=4将32-2+=x x y 转化为k h x y +-=2)(a 的形式为：2)1(2+-=x y ，那么将)0(a 2≠++=a c bx x y 转化为）（0a )(a 2≠+-=k h x y 的形式为：）（0a 442b (a 22≠-++=a b ac a x y 即）（）（0a 442b --a 22≠-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=a b ac a x y 【总结】：①a 决定抛物线开口方向及大小 ②c 决定抛物线与y 轴交点③抛物线的对称轴：ax 2b -=④抛物线的顶点)442b -(2ab ac a -，考点一 y=ax 2（a ≠0）图像与性质1．关于函数y＝3x2的性质表述，正确的一项是（ ）A．无论x为何实数，y的值总为正B．当x值增大时，y的值也增大C．它的图象关于y轴对称D．它的图象在第一、三象限内【解答】解：∵y＝3x2，∴函数图象的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，∴函数图象在第一、二象限内，当x＞0时，y随x的增大而增大，故C正确，A、B、D错误．故选：C．2．抛物线y＝﹣2x2不具有的性质是（ ）A．对称轴是y轴B．开口向下C．当x＜0时，y随x的增大而增大D．顶点是抛物线的最低点【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2，∴该函数的对称轴是直线x＝0，也就是y轴，故选项A不符合题意，a＝﹣2，该函数图象开口向下，故选项B不符合题意，当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C不符合题意，顶点式抛物线的最高点，故选项D符合题意，故选：D．3．抛物线y＝x2，y＝﹣2x2，y＝x2共有的性质是（ ）A．开口向下B．顶点是坐标原点C．都有最低点D．当x＞0时，y随x的增大而增大【解答】解：抛物线y＝x2，开口向上，对称轴y轴，有最低点，在对称轴左侧y随着x的增大而减小，右侧y随着x的增大而增大；抛物线y＝﹣2x2，开口向下，对称轴y轴，有最高点，在对称轴左侧y随着x的增大而增大，右侧y 随着x 的增大而减小；抛物线y ＝x 2，开口向上，对称轴y 轴，有最低点，在对称轴左侧y 随着x 的增大而减小，右侧y随着x 的增大而增大．故选：B ．4．如图为221x y =图像，那么251-x y =可能是如下（ ）图A ．B ．C ．D ．【解答】解：开口方向向下，且|51-|＜21，所以开口越大，故选：C ．考点二 y=a(x-h)2+k （a ≠0）的图像与性质1．抛物线y ＝﹣（x ﹣1）2+3的顶点坐标是（ ）A ．（﹣1，3）B ．（1，3）C ．（﹣1，﹣3）D ．（1，﹣3）【解答】解：∵y ＝﹣（x ﹣1）2+3，∴抛物线顶点坐标为（1，3），故选：B．2．若二次函数y＝2（x﹣1）2﹣1的图象如图所示，则坐标原点可能是（ ）A．点A B．点B C．点C D．点D【解答】解：∵y＝2（x﹣1）2﹣1，∴抛物线顶点坐标为（1，﹣1），∴坐标原点可能是点A，故选：A．3．关于二次函数y＝3（x+1）2﹣7的图象及性质，下列说法正确的是（ ）A．对称轴是直线x＝1B．当x＝﹣1时，y取得最小值，且最小值为﹣7C．顶点坐标为（﹣1，7）D．当x＜﹣1时，y的值随x值的增大而增大【解答】解：∵y＝3（x+1）2﹣7，∴函数的对称轴为直线x＝﹣1，故选项A错误，不符合题意；顶点坐标为（﹣1，﹣7），故选项C错误，不符合题意；∵开口向上，∴当x＝﹣1时，y取得最小值，且最小值为﹣7，故选项B正确，符合题意；当x＜﹣1时，y的值随x的增大而减小，故选项D错误，不符合题意；故选：B．4．顶点为（﹣2，1），且开口方向、形状与函数y＝﹣2x2的图象相同的抛物线是（ ）A．y＝﹣2（x﹣2）2﹣1B．y＝2（x+2）2+1C．y＝﹣2（x+2）2﹣1D．y＝﹣2（x+2）2+1【解答】解：根据题意得y＝﹣2（x+2）2+1．故选：D．5．对于任何实数h，抛物线y＝﹣x2与抛物线y＝﹣（x﹣h）2的相同点是（ ）A．顶点相同B．对称轴相同C．形状与开口方向相同D．都有最低点【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2是由抛物线y＝﹣（x﹣h）2向右平移h个单位得到，∴抛物线y＝﹣x2与抛物线y＝﹣（x﹣h）2的开口方向及形状相同，故选：C．6．抛物线y＝（x﹣a）2+a﹣1的顶点一定不在（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵y＝（x﹣a）2+a﹣1，∴该抛物线的顶点坐标为（a，a﹣1），当a﹣1＞0时，a＞0，此时顶点在第一象限，故选项A不符合题意；当0＜a＜1时，此时顶点在第四象限，故选项D不符合题意；当a＜0时，a﹣1＜0，此时顶点在第三象限，故选项C不符合题意；故选：B．7．一次函数y＝hx+k的图象过一、三、四象限，则二次函数y＝a（x﹣h）2+k的顶点在（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵一次函数y＝hx+k的图象过一、三、四象限，∴h＞0，k＜0，∵二次函数y＝a（x﹣h）2+k的顶点为（h，k），∴二次函数y＝a（x﹣h）2+k的顶点在第四象限，故选：D．8．抛物线y＝x2+1的图象大致是（ ）A．B．C．D．【解答】解：抛物线y＝x2+1的图象开口向上，且顶点坐标为（0，1）．故选C．9．在平面直角坐标系中，二次函数y＝a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（ ）A．B．C．D．【解答】解：二次函数y＝a（x﹣h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，故选：D．10．已知函数y＝a（x﹣h）2+k，其中a＜0，h＞0，k＜0，则下列图象正确的是（ ）A．B．C．D．【解答】解：∵y＝a（x﹣h）2+k，a＜0，∴图象开口向下，A、B选项错误；∵对称轴x＝h＞0，顶点坐标（h，k），k＜0，∴C选项错误，D选项正确．故选：D．11．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象如图所示，直线y＝ax+hk的图象经过第几象限（ ）A．一、二、三B．一、二、四C．一、三、四D．二、三、四【解答】解：由函数图象可知，y＝a（x﹣h）2+k中的a＜0，h＜0，k＞0，∴直线y＝ax+hk中的a＜0，hk＜0，∴直线y＝ax+hk经过第二、三、四象限，故选：D．12．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k为常数）在坐标平面上的图象通过（0，5）、（15，8）两点．若a＜0，0＜h＜10，则h之值可能为下列何值？（ ）A．5B．6C．7D．8【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝h，而（0，5）、（15，8）两点在抛物线上，∴h﹣0＞15﹣h，解得h＞7.5．故选：D．13．在平面直角坐标系中，直线y＝ax+h与抛物线y＝a（x﹣h）2的图象不可能是（ ）A．B．C．D．【解答】解：A、∵直线y＝ax+h经过第一、二、四象限，∴a＜0，h＞0，∴抛物线y＝a（x﹣h）2开口向下，对称轴为直线x＝h在y轴的右侧，顶点为（h，0），∴该选项图象符合题意；B、直线y＝ax+h经过第一、二、三象限，∴a＞0，h＞0，∴抛物线y＝a（x﹣h）2开口向上，称轴为直线x＝h在y轴的右侧，顶点为（h，0），∴该选项图象符合题意；C、直线y＝ax+h经过第一、二、三象限，∴a＞0，h＞0，∴抛物线y＝a（x﹣h）2开口向上，称轴为直线x＝h在y轴的右侧，顶点为（h，0），∴该选项图象不符合题意；D、∵直线y＝ax+h经过第一、三、四象限，∴a＞0，h＜0，∴抛物线y＝a（x﹣h）2开口向上，称轴为直线x＝h在y轴的左侧，顶点为（h，0），∴该选项图象符合题意；故选：C．14．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（ ）A．B．C．D．【解答】解：由y＝x2+k可知抛物线的开口向上，故B不合题意；∵二次函数y＝x2+k与y轴交于负半轴，则k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y＝﹣kx+1的图象经过经过第一、二、三象限，A选项符合题意，C、D不符合题意；故选：A．15．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n与二次函数y＝nx2+m的大致图象可以是（ ）A．B．C．D．【解答】解：A、由直线过一、二、三象限可知，m＞0，由抛物线可知，图象与y轴交于负半轴，则m＜0，矛盾，故此选项错误；B、由直线过二、三、四象限可知，n＜0，由抛物线可知，开口向上，n＞0，矛盾，故此选项错误；C、由直线过一、三、四象限可知，n＜0，由抛物线可知，开口向上，n＞0，矛盾，故此选项错误；D、由直线过一、三、四象限可知，m＞0，n＜0，由抛物线可知，开口向上，n＞0，图象与y轴交于正半轴，则m＜0，一致，故此选项正确；故选：D．16．二次函数y＝a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y＝mx+n的图象经过（ ）象限．A．一、二、三B．一、二、四C．二、三、四D．一、三、四【解答】解：∵抛物线的顶点（﹣m，n）在第四象限，∴﹣m＞0，n＜0，∴m＜0，∴一次函数y＝mx+n的图象经过二、三、四象限，故选：C．17．已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a、h、k为常数，a≠0）经过图中A（2，2）和B（9，9）两点，则下列判断正确的是（ ）A．若h＝3，则a＜0B．若h＝6，则a＞0C．若h＝4，则k＜2D．若h＝5，则k＞9【解答】解：由四个选项中h的取值可知，A、B在抛物线的对称轴的两侧，当a＞0时，∵抛物线的对称轴为直线x＝h，而A（2，2）和B（9，9）两点在抛物线上，∴h﹣2＜9﹣h，解得h＜5.5，k＜2，当a＜0时，∵抛物线的对称轴为直线x＝h，而A（2，2）和B（9，9）两点在抛物线上，∴h﹣2＞9﹣h，解得h＞5.5，k＞9，故选：C．18．设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（ ）A．若h＝4，则a＜0B．若h＝5，则a＞0C．若h＝6，则a＜0D．若h＝7，则a＞0【解答】解：当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式得：，∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7，整理得：a（9﹣2h）＝1，若h＝4，则a＝1，故A错误；若h＝5，则a＝﹣1，故B错误；若h＝6，则a＝﹣，故C正确；若h＝7，则a＝﹣，故D错误；故选：C．考点三y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与性质1．用配方法将二次函数y＝x2﹣2x﹣4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）A．y＝（x﹣2）2﹣4B．y＝（x﹣1）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣5D．y＝（x﹣2）2﹣6【解答】解：y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣2）2﹣6，故选：D．2．二次函数y＝﹣x2+4x+7的顶点坐标和对称轴分别是（ ）A．（2，11），x＝2B．（2，3），x＝2C．（﹣2，11），x＝﹣2D．（﹣2，3），x＝2【解答】解：∵y＝﹣x2+4x+7＝﹣（x﹣2）2+11，∴抛物线对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，11）．故选：A．3．已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是（ ）A．0，4B．1，5C．1，﹣5D．﹣1，5【解答】解：∵抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，∴﹣＝2，解得m＝﹣4，∴方程x2+mx＝5可以写成x2﹣4x＝5，∴x2﹣4x﹣5＝0，∴（x﹣5）（x+1）＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，故选：D．4．已知二次函数y＝mx2﹣4mx（m为不等于0的常数），当﹣2≤x≤3时，函数y的最小值为﹣2，则m的值为（ ）A．±B．﹣或C．﹣或D．或2【解答】解：∵二次函数为y＝mx2﹣4mx，∴对称轴为x＝＝＝2，①当m＞0时，∵二次函数开口向上，∴当﹣2≤x≤3时，函数在x＝2取得最小值﹣2，将x＝2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，解得：m＝，②当m＜0时，∵二次函数开口向下，∴当﹣2≤x≤3时，函数在x＝﹣2取得最小值﹣2，将x＝﹣2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，解得：m＝﹣，综上，m的值为或﹣，故选：B．5．已知二次函数y＝﹣x2+2x+1，当a≤x≤0时，y取得最小值为﹣2，则a的值为（ ）A．﹣1B．0C．1D．2【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，∴二次函数图像的对称轴为x＝1，∵﹣1＜0，开口向下，∴在对称轴x＝1的左侧，y随x的增大而增大，∵当a≤x≤0时，即在对称轴左侧，y取得最小值为﹣2，∴当x＝a时，y＝﹣2，∴﹣a2+2a+1＝﹣2，解得：a＝﹣1或a＝3（舍去），故a的值为﹣1．故选：A．6．二次函数y＝ax2+b的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象可能是（ ）A．B．C．D．【解答】解：如图所示：抛物线开口向下，交y轴的正半轴，则a＜0，b＞0，故一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限．故选：C．7．一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）A．B．C．D．【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不符合题意；B、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项符合题意；C、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＞0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不符合题意；D、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＞0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项不符合题意．故选：B．8．一次函数y＝kx+k与二次函数y＝ax2的图象如图所示，那么二次函数y＝ax2﹣kx﹣k的图象可能为（ ）A．B．C．D．【解答】解：由二次函数y＝ax2的图象知：开口向上，a＞0，一次函数y＝kx+k图象可知k＞0，∴二次函数y＝ax2﹣kx﹣k的图象开口向上，对称轴x＝﹣在y轴的右侧，交y轴的负半轴，∴B选项正确，故选：B．9．已知二次函数y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，则该函数的图象可能为（ ）A．B．C．D．【解答】解：∵c＞0，∴﹣c＜0，故A，D选项不符合题意；当a＞0时，∵b＞0，∴对称轴x＝＜0，故B选项不符合题意；当a＜0时，b＞0，∴对称轴x＝＞0，故C选项符合题意，故选：C．10．二次函数y＝4ax2+4bx+1与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A．B．C．D．【解答】解：∵二次函数y＝4ax2+4bx+1，∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣，∵一次函数y＝2ax+b，∴当y＝0，则x＝﹣，∴直线y＝2ax+b与二次函数y＝4ax2+4bx+1的对称轴交于x轴上同一点，故A、B、C不合题意，D、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项正确；故选：D．。

九年级数学竞赛专题 ---二次函数的图像与性质一、内容概述二次函数有丰富的内容，下面从四个方面加以总结1．定义： 形如函数2(0)y ax bx c a =++≠称为二次函数，对实际问题二次函数也有定义域.2．图像二次函数的图像为抛物线，一般作二次函数图像，取五个点，先确定顶点的横坐标，再以它为中心向左、向右对称取点.3．性质 对2(0)y ax bx c a =++≠的图像来讲，（1）开口方向：当0a >时，抛物线开口向上；当0a <时，抛物线开口向下。

（2）对称轴方程：2bx a=-（3）顶点坐标：24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（4）抛物线与坐标轴的交点情况： 若240bac -<，则抛物线与x 轴没有交点；若240b ac -=，则抛物线与x 轴有一个交点；若240b ac ->，则抛物线与x 轴有两个交点，分别为，；另外，抛物线与y 轴的交点为()0,c .（5）抛物线在x a=（6）y 与x 的增减关系：当0a >，2b x a >-时，y 随x 的增大而增大，2bx a <-时，y 随x 的增大而减小；当0a <，2b x a >-时，y 随x 的增大而减小，2bx a<-时，y 随x 的增大而增大.（7）最值：当0a >时，y 有最小值，当2b x a =-时，244ac b y a -最小值＝；当0a <时，y 有最大值，当2b x a =-时，244ac b y a-最大值＝（8）若抛物线与x 轴两交点的横坐标为1x 、2x （12x x <），则：当0a >时，12x x x <<时，0y <；12x x x x <>或时，0y >；当0a<时，12x x x <<时，0y >；12x x x x <>或时，0y <.4．求解析式抛物线的解析式常用的有三种形式：（1）一般式：2(0)y ax bx c a =++≠（2）顶点式：2()(0)y a x h k a =-+≠，其中(,)h k 是抛物线的顶点坐标。

2018年中考数学专题复习 二次函数的图象和性质【基础知识回顾】一、 二次函数的定义：一般地如果y= （a 、b 、c 是常数a ≠0）那么y 叫做x 的二次函数名师提醒： 二次函数y=kx 2+bx+c(a ≠0)的结构特征是：1、等号左边是函数，右边是 关 于 自 变 量x 的 二 次 式，x 的 最 高 次 数 是 ， 按 一次排列2、强调二次项系数a 0二、二次函数的同象和性质：1、二次函数y=kx 2+bx+c(a ≠0)的同象是一条 ，其定点坐标为 对称轴式2、在抛物y=kx 2+bx+c(a ≠0)中：（1）当a>0时，y 口向 ，当x<-2ba 时，y 随x 的增大而 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，（2）当a<0时，开口向 当x<-2ba时，y 随x 增大而增大，当x 时，y 随x 增大而减小.名师提醒：注意几个特殊形式的抛物线的特点1、y=ax 2 ,对称轴 定点坐标2、y= ax 2 +k ，对称轴 定点坐标3、y=a(x-h) 2对称轴 定点坐标4、y=a(x-h) 2 +k 对称轴 定点坐标三、二次函数同象的平移名师提醒：二次函数的平移本质可看作是定点问题的平移，固然要掌握整抛物线的平移，只要关键的顶点平移即可四、二次函数y= ax 2+bx+c 的同象与字母系数之间的关系：a:开口方向 向上则a 0,向下则a 0 ｜a ｜越大，开口越b:对称轴位置，与a 联系一起，用 判断b=0时，对称轴是 c:与y 轴的交点：交点在y 轴正半轴上，则c 0负半轴上则c 0，当c=0时，抛物点过 点名师提醒：在抛物线y= ax 2+bx+c 中，当x=1时，y= 当x=-1时y= ,经常根据对应的函数值判考a+b+c 和a-b+c 的符号【重点考点例析】考点一：二次函数图象上点的坐标特点例1 （2012•常州）已知二次函数y=a （x-2）2+c （a ＞0），当自变量x 分别取2、3、0时，对应的函数值分别：y 1，y 2，y 3，，则y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是（ ） A ．y 3＜y 2＜y 1 B ．y 1＜y 2＜y 3 C ．y 2＜y 1＜y 3 D ．y 3＜y 1＜y 2 对应训练1．（2012•衢州）已知二次函数y=12-x 2-7x+152，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是（ ）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＜y 2＜y 3C ．y 2＞y 3＞y 1D ．y 2＜y 3＜y 1 考点二：二次函数的图象和性质例2 （2012•咸宁）对于二次函数y=x 2-2mx-3，有下列说法： ①它的图象与x 轴有两个公共点；②如果当x ≤1时y 随x 的增大而减小，则m=1；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1；④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3．其中正确的说法是 ．（把你认为正确说法的序号都填上）考点：二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；抛物线与x 轴的交点． 对应训练2．（2012•河北）如图，抛物线y1=a （x+2）2-3与y 2=12（x-3）2+1交于点A （1，3），过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点B ，C ．则以下结论：①无论x 取何值，y 2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y 2-y 1=4；④2AB=3AC ；其中正确结论是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④考点三：抛物线的特征与a 、b 、c 的关系例3 （2012•玉林）二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，有如下结论：①c ＜1；②2a+b=0；③b 2＜4ac ；④若方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=2，则正确的结论是（ ） A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④ 对应训练3．（2012•重庆）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示对称轴为x=12-．下列结论中，正确的是（ ）A ．abc ＞0B ．a+b=0C ．2b+c ＞0D ．4a+c ＜2b 考点四：抛物线的平移例4 （2012•桂林）如图，把抛物线y=x 2沿直线y=x 平移2个单位后，其顶点在直线上的A 处，则平移后的抛物线解析式是（ ） A ．y=（x+1）2-1 B ．y=（x+1）2+1。