第七章 复数式章末测试(解析版)

高一数学必修第二册第七章《复数》单元练习题卷9（共22题）一、选择题（共10题）1.设z=−3+2i，则在复平面内z对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.已知a,b∈R，复数a+bi=2i1+i，则a+b=( )A．2B．1C．0D．−23.设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=3+4i，则z1z2=( )A．−25B．25C．7−24i D．−7−24i4.已知复数z=x+yi(x,y∈R)满足∣z−2∣=√3，则yx最大值为( )A．12B．√33C．√32D．√35.复数z=1−i（i为虚数单位）的三角形式为( )A．z=√2(sin45∘−icos45∘)B．z=√2(cos45∘−isin45∘)C．z=√2[cos(−45∘)−isin(−45∘)]D．z=√2[cos(−45∘)+isin(−45∘)]6.已知x∈R，当复数z=√2x+(x−3)i的模最小时，z的虚部为( )A．√2B．2C．−2D．−2i7.设复数z=a+2i(a∈R)的共轭复数为z，且z+z=2，则复数∣z∣2−ai在复平面内对应点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8.已知复数z满足(1+√3i)z=i，则z=( )A．√32−i2B．√32+i2C．√34−i4D．√34+i49. 当 z =√2时，z 100+z 50+1 的值是 ( )A ． 1B ． −1C ． iD ． −i10. 若 1+√2i 是关于 x 的实系数方程 x 2+bx +c =0 有一个复数根，则 ( ) A ． b =2，c =3 B ． b =2，c =−1 C ． b =−2，c =−1D ． b =−2，c =3二、填空题（共6题）11. 已知复数 z =(2a +i )(1−bi ) 的实部为 2，其中 a ，b 为正实数，则 4a+(12)1−b的最小值为 ．12. 已知 i 是虚数单位，若复数 z 满足 (z −i )(1−i )=2，则 ∣z ∣= ．13. 若 z =1+√3i，则 1+z +z 2+⋯+z 2000的值为 ．14. 如果一个复数与它的模的和为 5+√3i ，那么这个复数是 ．15. 设复数 2019z−25z−2019=3+4i 满足（i 是虚数单位），则 ∣z ∣= ．16. 在复平面内，复数 z 对应的点的坐标是 (2,1)，则复数 z = ．三、解答题（共6题）17. 已知复数 z 1=a +3i ，z 2=2−ai （a ∈R ，i 是虛数单位）．(1) 若 z 1−z 2 在复平面内对应的点落在第一象限，求实数 a 的取值范围； (2) 若虚数 z 1 是实系数一元二次方程 x 2−6x +m =0 的根，求实数 m 的值．18. 已知两个复数集合 A ={z∣ ∣ z −2∣ ≤2}，B ={z∣ z =iz 12+b,z 1∈A,b ∈R}．(1) 若 A ∩B =∅，求 b 的取值范围； (2) 若 A ∩B =B ，求 b 的取值范围．19. 计算：(1)(1+2i )2+3(1−i )2+i；(2) 1−i(1+i)2+1+i(1−i)2；(3) 1−√3i(√3+i)2．20.已知复数z1=1+2i，z2=−2+i，z3=−1−2i，它们在复平面内的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．21.复数z1=a+5+(10−a2)i，z2=1−2a+(2a−5)i，其中a∈R．(1) 若a=−2，求z1的模；(2) 若z1+z1是实数，求实数a的值．22.m为何实数时，复数z=(2+i)m2−3(i+1)m−2(1−i)是：(1) 实数；(2) 虚数；(3) 纯虚数．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】C【解析】由 z =−3+2i ，得 z =−3−2i ，则 z 在复平面内对应的点 (−3,−2) 位于第三象限．故选C ．【知识点】复数的几何意义2. 【答案】A【解析】由题意得 a +bi =2i (1−i )2=1+i ，所以 a =b =1，a +b =2． 【知识点】复数的乘除运算3. 【答案】A【知识点】复数的几何意义、复数的乘除运算4. 【答案】D【解析】因为 ∣z −2∣=√3，故 ∣(x −2)+yi ∣=√3，即 (x −2)2+y 2=3． 又 yx 的几何意义为 (x,y ) 到 (0,0) 的斜率．故当过原点的直线与 (x −2)2+y 2=3 切于第一象限时 yx 取得最大值． 此时设切线的倾斜角为 θ 则 sinθ=√32，易得 θ=π3．故 yx 的最大值为 tan π3=√3． 故选：D ．【知识点】复数的几何意义5. 【答案】D【解析】依题意得 r =√12+(−1)2=√2，复数 z =1−i 对应的点在第四象限，且 cosθ=√22，因此 argz =315∘，结合选项知D 正确． 【知识点】复数的三角形式、复数的乘除运算6. 【答案】C【解析】依题意可得，∣z ∣=√(√2x)2+(x −3)2=√3x 2−6x +9=√3[(x −1)2+2]，当 x =1 时，∣z ∣ 取得最小值，此时 z =√2−2i ，所以 z 的虚部为 −2． 【知识点】复数的几何意义7. 【答案】A【解析】 z +z =2a =2⇒a =1，∣z∣2−ai=∣1+2i∣2−i=√5(2+i )5= 2√55+√55i ， 所以对应点位于第一象限．【知识点】复数的乘除运算、共轭复数、复数的几何意义8. 【答案】D【解析】因为 (1+√3i)z =i ， 所以 z =1+√3i=√3i)(1+√3i)(1−√3i)=√3+i4． 【知识点】复数的乘除运算9. 【答案】D【知识点】复数的乘除运算10. 【答案】D【解析】由题意 1+√2i 是关于 x 的实系数方程 x 2+bx +c =0， 所以 1+2√2i −2+b +√2bi +c =0，即 −1+b +c +(2√2+√2b)i =0， 所以 {−1+b +c =0,2√2+√2b =0,解得 b =−2，c =3． 故选：D ．【知识点】复数的乘除运算二、填空题（共6题）11. 【答案】 2√2【解析】复数 z =(2a +i )(1−bi )=2a +b +(1−2ab )i 的实部为 2，其中 a ，b 为正实数，所以 2a +b =2, 所以 b =2−2a. 则 4a+(12)1−b=4a +21−2a =4a +24a ≥2√4a ×24a =2√2,当且仅当 a =14，b =32时取等号．【知识点】复数的乘除运算12. 【答案】 √5【解析】设 z =a +bi ，(a +bi −i )(1−i )=a +bi −i −ai +b −1=a +b −1+(b −a −1)i =2，所以 {a +b −1=2,b −a −1=0, 解得，{a =1,b =2,所以 ∣z ∣=∣1+2i ∣=√5．【知识点】复数的乘除运算13. 【答案】 0【知识点】复数的乘除运算14. 【答案】115+√3i【解析】设这个复数为 x +yi (x,y ∈R )， 则 x +yi +√x 2+y 2=5+√3i ， 所以 {x +√x 2+y 2=5,y =√3,所以 {x =115,y =√3,所以 x +yi =115+√3i ．【知识点】复数的加减运算、复数的几何意义15. 【答案】 5【解析】设 z =a +bi （a,b ∈R ）， 因为2019z−25z−2019=3+4i ，所以 ∣∣2019z−25z−2019∣∣=∣3+4i ∣，即 5√(a −2019)2+b 2=√(2019a −25)2+(2019b )2，25×(a 2−4038a +20192+b 2)=20192a 2−50×2019a +625+20192b 2， 25(a 2+b 2)+25×20192=20192(a 2+b 2)+625，√a 2+b 2=√25×20192−62520192−25=5，即 ∣z ∣=5， 故答案为 5．【知识点】复数的乘除运算16. 【答案】 2−i【知识点】共轭复数、复数的几何意义三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 由题意得，z 1−z 2=a −2+(3−a )i ， 因为 z 1−z 2 在复平面内对应的点落在第一象限， 所以 {a −2>0,3−a >0,解得 a ∈(2,3)．(2) 由 z 12−6z 1+m =0 得 (a +3i )2−6(a +3i )+m =0，即 a 2−6a +m −9+(6a −18)i =0， 所以 {a 2−6a +m −9=0,6a −18=0,解得 {a =3,m =18.【知识点】实系数一元二次方程（沪教版）、复数的几何意义18. 【答案】(1) 若 A ∩B =∅，则两圆圆心 d =√(b −2)2+1>2+1，即 b >2+2√2 或 b <2−2√2．(2) 若 A ∩B =B ，则两圆圆心 d =√(b −2)2+1≤1，即 b =2． 【知识点】复数的乘除运算、复数的几何意义19. 【答案】(1)(1+2i )2+3(1−i )2+i=−3+4i+3−3i 2+i=i 2+i =i (2−i )5=15+25i.(2)1−i (1+i )2+1+i(1−i )2=1−i 2i +1+i−2i =1+i −2+−1+i 2=−1.(3)1−√3i (√3+i)2=(√3+i)(−i )(√3+i)2=√3+i=(−i )(√3−i)4=−14−√34i.【知识点】复数的乘除运算20. 【答案】设复数 z 1，z 2，z 3 在复平面内所对应的点分别为 A ，B ，C ，正方形的第四个顶点 D对应的复数为 x +yi (x,y ∈R )，如图．则 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y )−(1,2)=(x −1,y −2)． BC⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2)−(−2,1)=(1,−3)． 因为 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 {x −1=1,y −2=−3, 解得 {x =2,y =−1,故点 D 对应的复数为 2−i ． 【知识点】复数的加减运算21. 【答案】(1) 由 a =−2，得 z 1=3+6i ， 则 ∣z 1∣=√32+62=√45=3√5， 所以 z 1 的模为 3√5．(2) z 1+z 2=a +5+(10−a 2)i +1−2a +(2a −5)i =(6−a )+[(10−a 2)+(2a −5)]i=(6−a )+(−a 2+2a +5)i. 因为 z 1+z 2 是实数，所以 −a 2+2a +5=0，解得 a =1±√6． 【知识点】复数的加减运算22. 【答案】(1) 因为z =(2+i )m 2−3(i +1)m −2(1−i )=2m 2+m 2i −3mi −3m −2+2i =(2m 2−3m −2)+(m 2−3m +2)i,所以（1）由 m 2−3m +2=0，得 m =1，或 m =2， 即 m =1 或 2 时，z 为实数，(2) 由 m 2−3m +2≠0，得 m ≠1，且 m ≠2， 即 m ≠1，且 m ≠2 时，z 为虚数．(3) 由 {2m 2−3m −2=0,m 2−3m +2≠0,得 m =−12，即m=−1时，z为纯虚数．2【知识点】复数的加减运算。

第七章章末检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．(2024年南充模拟)12－i ＝( )A ．－25＋15iB ．－25－15iC ．25＋15iD ．25－15【答案】C 【解析】12－i ＝2＋i (2－i )(2＋i )＝25＋15i.故选C ．2．i 是虚数单位，则i1＋i 的虚部是( )A ．12iB ．－12iC ．12D ．－12【答案】C 【解析】i1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋12i.故选C ．3．已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i.若(a ＋b i)2＝2i ，则a ＝b ＝－1或a ＝b ＝1.故“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件．故选A ．4．(2024年海口月考)若复数z ＝i1－i ，其中是i 虚数单位，则z ＝( )A ．12＋12iB ．12－12iC ．－12＋12iD ．－12－12i【答案】D 【解析】由z ＝i1－i ＝i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－12＋12i ，得z ＝－12－12i.故选D ．5．(2024年景德镇月考)已知i 为虚数单位，若21＋i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则a 2 019＋b 2 020＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】由21＋i ＝1－i ＝a ＋b i ，得a ＝1，b ＝－1，∴a 2 019＋b 2 020＝12 019＋(－1)2 020＝2.故选C ．6．(2024年宜宾模拟)已知i 是虚数单位，复数m ＋1＋(2－m )i 在复平面内对应的点在其次象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,2)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)【答案】A 【解析】∵复数m ＋1＋(2－m )i 在复平面内对应的点在其次象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，2－m >0，解得m ＜－1.∴实数m 的取值范围是(－∞，－1)．故选A ．7．(2024年汉中月考)z ＝5i1－2i (i 是虚数单位)，则z 的共轭复数为( )A ．2－iB ．2＋iC ．－2－iD ．－2＋i【答案】C 【解析】∵z ＝5i1－2i ＝5i (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝5i (1＋2i )5＝－2＋i ，∴z ＝－2－i.故选C ．8．已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0151＋i ，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．其次象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】因为i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，i 5＋i 6＋i 7＋i 8＝0，…，i 2009＋i 2010＋i 2011＋i 2012＝0，i 2013＋i 2014＋i 2015＝i －1－i ＝－1，所以z ＝－11＋i ＝－12＋12i ，所以对应点⎝⎛⎭⎫－12，12在其次象限．故选B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．已知复数z ＝2－1＋i，则( ) A ．|z |＝2 B ．z 2＝2iC ．z 的共轭复数为1＋iD ．z 的虚部为－1【答案】BD 【解析】∵z ＝2－1＋i ＝2(－1－i )(－1＋i )(－1－i )＝－1－i ，∴A ：|z |＝2，B ：z 2＝2i ，C ：z 的共轭复数为－1＋i ，D ：z 的虚部为－1.故选BD ．10．已知复数z ＝1＋i ，则下列命题中正确的为( ) A ．|z |＝ 2 B ．z ＝1－i C ．z 的虚部为iD ．z 在复平面上对应点在第一象限【答案】ABD 【解析】复数z ＝1＋i ，则|z |＝2，故A 正确；z ＝1－i ，故B 正确；z 的虚部为1，故C 错误；z 在复平面上对应点的坐标为(1,1)，在第一象限，故D 正确．故选ABD ．11．已知z 1与z 2互为共轭复数，以下四个命题为真命题的是( )A ．z 21＜|z 2|2B ．z 1z 2＝|z 1z 2|C ．z 1＋z 2∈RD ．z 1z 2∈R【答案】BC 【解析】z 1与z 2互为共轭复数，设z 1＝a ＋b i ，z 2＝a －b i(a ，b ∈R )．z 21＝a2－b 2＋2ab i ，复数不能比较大小，因此A 不正确；z 1z 2＝|z 1z 2|＝a 2＋b 2，B 正确；z 1＋z 2＝2a ∈R ，C 正确；z 1z 2＝a ＋b i a －b i ＝(a ＋b i )2(a －b i )(a ＋b i )＝a 2－b 2a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2i 不肯定是实数，因此D 不肯定正确．故选BC ．12．设z 1，z 2是复数，则下列命题中是真命题的是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22【答案】ABC 【解析】对A ，若|z 1－z 2|＝0，则z 1－z 2＝0，z 1＝z 2，所以z 1＝z 2为真；对B ，若z 1＝z 2，则z 1和z 2互为共轭复数，所以z 1＝z 2为真；对C ，设z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，若|z 1|＝|z 2|，则a 21＋b 21＝a 22＋b 22，z 1·z 1＝a 21＋b 21，z 2·z 2＝a 22＋b 22，所以z 1·z 1＝z 2·z 2为真；对D ，若z 1＝1，z 2＝i ，则|z 1|＝|z 2|，而z 21＝1，z 22＝－1，所以z 21＝z 22为假．故选ABC ．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上) 13．已知复数z ＝3＋2i 2－3i ，i 为虚数单位，则z 的共轭复数z ＝________.【答案】－i 【解析】(方法一)z ＝3＋2i 2－3i ＝i (2－3i )2－3i ＝i ，所以z 的共轭复数为－i.(方法二)z ＝3＋2i 2－3i ＝(3＋2i )(2＋3i )(2－3i )(2＋3i )＝13i13＝i ，所以z 的共轭复数为－i.14．已知m ∈R ，复数m ＋i 1＋i －12的实部和虚部相等，则m ＝________.【答案】12 【解析】m ＋i 1＋i －12＝(m ＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )－12＝(m ＋1)＋(1－m )i 2－12＝m ＋(1－m )i 2，由已知得m 2＝1－m 2，则m ＝12.15．已知复数z 1，z 2满意|z 1|＝1，|z 2|＝5，则|z 1－z 2|的取值范围是________．【答案】[4,6] 【解析】(方法一)设z 1，z 2在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，则易得z 1，z 2对应的点的轨迹分别是以坐标原点为圆心，1和5为半径的圆，易得|z 1－z 2|的最小值为4，最大值为6，故|z 1－z 2|的取值范围是[4,6]．(方法二)因为||z 1|－|z 2||≤|z 1－z 2|≤|z 1|＋|z 2|，所以|1－5|≤|z 1－z 2|≤|1＋5|，即4≤|z 1－z 2|≤6，则|z 1－z 2|的取值范围是[4,6]．16．复数z ＝21＋i(i 是虚数单位)，其共轭复数z ＝________.【答案】1＋i 【解析】∵z ＝21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－i ，∴z ＝1＋i. 四、解答题(本大题共6小题，17题10分，其余小题为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知z ∈C ，解方程z ·z －3i z ＝1＋3i.解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i.依据复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.∴z ＝－1或z＝－1＋3i.18．已知复数z 的模为1，求|z －1－2i|的最大值和最小值．解：∵复数z 的模为1，∴z 在复平面内的对应点是以原点为圆心，1为半径的圆．而|z －1－2i|＝|z －(1＋2i)|可以看成圆上的点Z 到点A (1,2)的距离，如图．∴|z －1－2i|min ＝|AB |＝|OA |－|OB |＝5－1，|z －1－2i|max ＝|AC |＝|OA |＋|OC |＝5＋1. 19．(2024年重庆月考)实数m 取什么数值时，复数z ＝m 2＋m －2m ＋1＋(m 2－1)i 分别是下列数？(1)实数； (2)纯虚数．解：(1)由m 2－1＝0且m ＋1≠0，得m ＝1，∴当m ＝1时，z 是实数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2m ＋1＝0，m 2－1≠0，解得m ＝－2.∴当m ＝－2时，z 是纯虚数．20．(2024年重庆月考)已知复数z 满意(z －2)·(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)． (1)求复数z ；(2)求|(3＋i)·z |.解：(1)由(z －2)·(1＋i)＝1－i ，得z ＝1－i 1＋i ＋2＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2＝2－i.(2)由z ＝2－i ，得|(3＋i)·z |＝|(3＋i)(2－i)|＝|7－i|＝72＋(－1)2＝5 2.21．(2024年聊城高二期末)四边形ABCD 是复平面内的平行四边形，A ，B ，C ，D 四点对应的复数分别为1＋3i ，2i,2＋i ，z ，(1)求复数z ；(2)z 是关于x 的方程2x 2－px ＋q ＝0的一个根，求实数p ，q 的值．解：(1)复平面内A ，B ，C 对应的点坐标分别为(1,3)，(0,2)，(2,1)，设D 的坐标(x ，y )，由于AD →＝BC →，∴(x －1，y －3)＝(2，－1)．∴x －1＝2，y －3＝－1，解得x ＝3，y ＝2，故D (3，2)，则点D 对应的复数z ＝3＋2i.(2)∵3＋2i 是关于x 的方程2x 2－px ＋q ＝0的一个根，∴3－2i 是关于x 的方程2x 2－px ＋q ＝0的另一个根，则3＋2i ＋3－2i ＝p 2，(3＋2i)(3－2i)＝q2，即p ＝12，q ＝26.22．已知关于x 的方程x 2＋4x ＋p ＝0(p ∈R )的两个根是x 1，x 2. (1)若x 1为虚数且|x 1|＝5，求实数p 的值； (2)若|x 1－x 2|＝2，求实数p 的值．解：(1)由题意知Δ<0，∴16－4p <0，解得p >4. 又x 1x 2＝p ，x 1x 2＝x 1x 1＝|x 1|2＝25，∴p ＝25.(2)x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝p .若方程的判别式Δ≥0，即p ≤4时，方程有两个实数根x 1，x 2，则|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝16－4p ＝4，解得p ＝3；若方程的判别式Δ<0，即p >4时，方程有一对共轭虚根x 1，x 2，则|x 1－x 2|＝|4p －16|＝4p －16＝2，解得p ＝5.故实数p 的值为3或5.。

第七章 复数 章末测试(基础)一、单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分) 1．(2021·江苏高邮)复数5i 2-的共轭复数是( ) A ．i 2+ B ．i 2- C ．2i -- D ．2i -【答案】B 【解析】因为()()()5i 252i i 2i 2i 2+==----+，所以复数5i 2-的共轭复数是2i -+.故选：B. 2．(2021·河北·深州长江中学高一期中)已知()12i z +=，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】由题意22(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i --====-++-，对应点为(1,1)-，在第四象限．故选：D ． 3．(2021·河南·辉县市第一高级中学 )设(12)16i x y i -+=--，,x y R ∈，则||x yi -=( ) A ．6 B ．5C ．4D ．3【答案】B【解析】因为()1216i x y i -+=--，所以261x x y =-⎧⎨-=-⎩，解得34x y =-⎧⎨=⎩，所以=|34|5x yi i --+==.故选：B.4．(2021·吉林·长春市第二十中学高一期末)设复数()311z i =--，则z =( )A ．1B ．2CD 【答案】D【解析】()()()211112112232z i i i i i i =---=+-=++=+，所以z == D.5．(2021·湖南·雅礼中学 )欧拉公式cos sin i e i θθθ=+(e 为自然底数，i 为虚数单位)是瑞士数学家欧拉最早发现的，是数学界最著名､最美丽的公式之一根据欧拉公式，复数2i e 在复平面内对应点所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】由题意知：2cos 2sin 2i e i =+，而22ππ<<，∴cos 20,sin 20<>，故2i e 对应点在第二象限.故选：B6．(2021·浙江)已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a +bi )2＝2i ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当“a ＝b ＝1”时，“(a +bi )2＝(1+i )2＝2i ”成立， 故“a ＝b ＝1”是“(a +bi )2＝2i ”的充分条件；当“(a +bi )2＝a 2﹣b 2+2abi ＝2i ”时，“a ＝b ＝1”或“a ＝b ＝﹣1”， 故“a ＝b ＝1”是“(a +bi )2＝2i ”的不必要条件；综上所述，“a ＝b ＝1”是“(a +bi )2＝2i ”的充分不必要条件； 故选：A7．(2021·全国·高一课时练习).已知()()5,1,3,2OA OB =-=，AB 对应的复数为z ，则z =( ) A ．5i - B ．32i + C ．23i -+ D ．23i --【答案】D【解析】由题可知()2,3AB =-，故AB 对应的复数为23z i =-+，则23z i =--，故选：D.8．(2021·全国)若复数()2321a a a i -++-(a R ∈)不是纯虚数，则A ．2a ≠B ．1a ≠C ．1a =D ．1a ≠且2a ≠【答案】A【解析】若复数()2321a a a i -++-(a R ∈)是纯虚数，根据纯虚数的定义有：2110=2=1=232=0a a a a a a a ≠⎧-≠⎧⇒⇒⎨⎨-+⎩⎩或， 则复数()2321a a a i -++-(a R ∈)不是纯虚数，2a ≠故选A二、多选题(每题至少有2个选项为正确答案，每题5分，4题共20分) 9．(2021·江苏·滨海县八滩中学高一期中)已知复数21iz =-+，则( ) A ．||2z =B ．22i z =C ．z 的共轭复数为1i +D ．z 的虚部为1-【解析】()()()21i 21i 1i 1i 1i z --===---+-+--，所以||z A 错误；()221i 112i 2i z =--=-+=，故选项B 正确；z 的共轭复数为1i -+，故选项C 错误； z 的虚部为1-，故选项D 正确.故选：BD.10．(2021·河北·藁城新冀明中学 )已知复数z 满足(2i)i z -=(i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，则( ) A ．3||5z =B ．12i5z +=-C ．复数z 的实部为1-D ．复数z 对应复平面上的点在第二象限【答案】BD【解析】因为复数z 满足(2i)i z -=， 所以()(2)1222(2)55i i i z i i i i +===-+--+所以z =A 错误；1255z i =--，故B 正确；复数z 的实部为15- ，故C 错误；复数z 对应复平面上的点12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故D 正确.故选：BD11．(2021·广东·揭阳第一中学高一期末)已知复数122,2z i z i =-=则( ) A ．2z 是纯虚数 B ．12z z -对应的点位于第二象限C ．123z z +=D ．12z z =【答案】AD【解析】利用复数的相关概念可判断A 正确；对于B 选项，1223z z i -=-对应的点位于第四象限，故B 错；对于C 选项，122+=+z z i ，则12z z +=C 错；对于D 选项，()122224z z i i i ⋅=-⋅=+，则12z z ==D 正确. 故选：AD12．(2021·湖南省邵东市第三中学高一期中)已知复数1z =-(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，若复数zw z =，则下列结论正确的有( )A ．w 在复平面内对应的点位于第二象限B ．1w =C ．w 的实部为12-D ．w 【答案】ABC【解析】对选项,A 由题得1,z =-12w ∴=-.所以复数w 对应的点为1(2-，在第二象限，所以选项A 正确；对选项B ，因为1w ==，所以选项B 正确； 对选项,C 复数w 的实部为12-，所以选项C 正确；对选项D ,w 所以选项D 错误. 故选：ABC三、填空题(每题5分，共20分)13．(2021·重庆第二外国语学校 )若i 是虚数单位，复数z 满足()12z i i +=，则z =___________.【解析】由题意，复数满足(1)2i z i +=，则()()()2122211112i i i i z i i i i ⋅-+====+++-,所以z =.14．(2021·浙江·高一单元测试)设a ∈R ，且(a ＋i )2·i 为正数，则a ＝________. 【答案】1-【解析】()()()2222121a i i a ai i a a i +⋅=+-=-+-，因为该复数为正数且a R ∈，故21020a a ⎧-=⎨->⎩，故1a =-，故答案为：1-.15．(2021·全国)已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是_____. 【答案】2.【解析】2(a 2)(1i)222(2)i a ai i i a a i ++=+++=-++，令20a -=得2a =. 16．(2021·全国))复数11iz =+(i 为虚数单位)，则||z =________.【解析】1|||1|z i =+四、解答题(17题10分，其余每题12分，共70分)17．(2021·广东·佛山市南海区狮山高级中学)已知i 是虚数单位，复数z ＝m 2(1＋i )－m (2＋3i )－4(2＋i )，当m 分别取何实数时，z 满足如下条件？(1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数； (4)零.【答案】(1)m ＝－1或m ＝4；(2)m ≠－1且m ≠4；(3)m ＝－2；(4)m ＝4.【解析】z ＝m 2(1＋i )－m (2＋3i )－4(2＋i )化为()()222834z m m m m i =--+--(1)由2340m m --=，得4m =，或1m =-，∴当4m =，或1m =-时，z 是实数；(2)由2340m m --≠，得4m ≠且1m ≠-，∴当4m ≠且1m ≠-时，z 为虚数；(3)由2280m m --=，且2340m m --≠，解得2m =-，∴当2m =-时，z 为纯虚数；(4)由22280340m m m m ⎧--=⎨--=⎩，解得4m =，∴当4m =时，z 为零．18．(2021·河北安平中学高一月考)已知z 是复数，3i z -为实数，5i2iz --为纯虚数(i 为虚数单位). (1)求复数z ； (2)求i1z-的模.【答案】(1)13i z =-+；【解析】(1)设i z a b =+(),a b ∈R ，由3i (3)i z a b -=+-为实数，可得30b -=，即3b =. ∵()()()()2i 2i 5i 2i 22(4)i2i 2i 2i 2i 5a z a a a -+--++-===---+为纯虚数， ∴220,40a a +=-≠，即1a =-， ∴13i z =-+. (2)13i (13i)(1i)42i2i 1i 1i (1i)(1i)2z -+-++-+====-+---+，∴1iz==- 19．(2021·湖北十堰 )已知复数()3z bi b R =+∈，且()13i z +⋅为纯虚数. (1)求复数z ； (2)若2izω=+，求复数ω以及模ω.【答案】(1)3i z =+;(2)7155i ω=-，ω 【解析】(1)将3z bi =+代入()13i z +⋅得()()()()13133339i z i bi b b i +⋅=++=-++，因为()13i z +⋅为纯虚数,所以330,90,b b -=⎧⎨+≠⎩ 解得1b =，所以复数3i z =+.(2)由(1)知3i z =+，所以3(3)(2)772i 2(2)(2)555z i i i i i i i i ω++--=====-+++-，ω=20．(2021·广东·广州大学附属中学南沙实验学校)已知：复数()2211iz i i=++-，其中i 为虚数单位． (1)求z 及z ；(2)若223z az b i ++=+，求实数a ，b 的值．【答案】(1)13z i =-+，z (2)37a b =-⎧⎨=⎩【解析】(1)()()22121131iz i i i i i i=++=++=-+-，z ==(2)由223z az b i ++=+得：()()2131323i a i b i -++--+=+，即()()86323a b a i i --++--=+所以82633a b a --+=⎧⎨--=⎩，解之得37a b =-⎧⎨=⎩21．(2021·全国·高一单元测试)实数m 取什么值时,复数22(56)(215)z m m m m i =+++-- (1)与复数212i -相等(2) 与复数1216i +互为共轭复数 (3)对应的点在x 轴上方. 【答案】(1)m ＝－1 (2)m ＝1 (3)m<－3或m>5.【解析】(1)根据复数相等的充要条件得22562{21512m m m m ++=--=-解得m ＝－1. (2)根据共轭复数的定义得225612{21516m m m m ++=--=-解得m ＝1. (3)根据复数z 的对应点在x 轴的上方可得m 2－2m －15>0，解得m<－3或m>5.22．(2021·安徽省郎溪中学 )已知i 为虚数单位，关于x 的方程()()2690x i x ai a R -+++=∈有实数根b .(1)求实数a ，b 的值；(2)若复数z 满足20z a bi z ---=，求z 为何值时，z 有最小值，并求出z 的最小值.【答案】(1)3a b ==；(2)min z 【解析】(1)b 是方程()()26i 90x x ai a R -+++=∈的实数根，()()2690b b a b i ∴-++-=，2690b b a b ⎧-+=∴⎨=⎩，解得3a b ==.(2)设i z x y =+(x ，y R ∈)，由332z i z --=，得()()()2222334x y x y -+-+=+⎡⎤⎣⎦，=z 对应的点Z 到点()1,1-的距离为构成的图形是以()11,1O -为圆心，.当点Z 在1OO 所在的直线上时，z 有最大值或最小值，1OO =r =∴当1z i =-时，z 有最小值，且minz。

单元素养检测(二)(第七章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.= ( )A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i【解析】选D.===2-i.2.若复数z-2+3i=1-i,则∣z∣=( )A.3B.4C.5D.6【解析】选C.由z-2+3i=1-i,得z=3-4i,|z|=5.3.复数z=在复平面上对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.因为复数z===-1-i,所以复数在复平面上对应的点(-1,-1)位于第三象限.【补偿训练】(2019·天津高二检测)在复平面上,复数对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选A.由题意,复数=1+i,所以复数对应的点的坐标为位于第一象限.4.(2019·全国卷Ⅲ)若z(1+i)=2i,则z= ( )A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i【解题指南】等式两边同除以(1+i),表示出z,再利用复数的除法计算.【解析】选D.z(1+i)=2i,z===i(1-i)=1+i.5.z是纯虚数的一个充要条件是( )A.z+≠0B.z-≠0C.z·≠0D.=-z(z≠0)【解析】选D.(1)设z=bi(b≠0),则=-bi,所以z+=0,所以=-z(z≠0).(2)设z=a+bi(z≠0),则=a-bi,因为=-z,所以a-bi=-(a+bi),即a=0,又z≠0,所以b≠0,所以z是纯虚数,由(1),(2)知z是纯虚数的一个充要条件是=-z(z≠0).6.若关于x的方程x2+(1+2i)x+3m+i=0有实根,则实数m等于( )A. B. C.- D.-【解析】选A.设方程的实数根为x=a(a为实数),则a2+(1+2i)·a+3m+i=0,所以所以7.若i为虚数单位,图中复平面内点Z表示复数z,则表示复数的点是( )A.EB.FC.GD.H【解析】选D.由图可知z=3+i,所以====2-i,对应复平面内的点H.8.已知i为虚数单位,a为实数,复数z=(a-2i)(1+i)在复平面内对应的点为M,则“a=1”是“点M在第四象限”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.z=(a-2i)(1+i)=(a+2)+(a-2)i,则点M的坐标为(a+2,a-2),当a=1时,坐标为(3,-1),即点M在第四象限,若点M在第四象限,而a=1却不一定成立,故“a=1”是“点M在第四象限”的充分而不必要条件.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.已知复数z=,则下列结论正确的是( )A.z的虚部为iB.|z|2=2C.z2为纯虚数D.=-1+i【解析】选BC.因为复数z===1+i,则z的虚部为1,A不正确.|z|2=2,B正确.z2=(1+i)2=2i为纯虚数,C正确.=1-i,D不正确.10.设z是复数,则下列命题中的真命题是( )A.若z2≥0,则z是实数B.若z2<0,则z是虚数C.若z是虚数,则z2≥0D.若z是纯虚数,则z2<0【解析】选ABD.设z=a+bi,a,b∈R⇒z2=a2-b2+2abi.对选项A:若z2≥0,则b=0⇒z为实数,所以z为实数正确.对选项B:若z2<0,则a=0,且b≠0⇒z为纯虚数,所以z为虚数正确.对选项C:若z为虚数,则z2不一定为实数,所以z2≥0错误.对选项D:若z为纯虚数,则a=0,且b≠0⇒z2<0,所以z2<0正确.11.已知i为虚数单位,z∈C,下列命题为真命题的是( )A.若z-(3+2i)=i,则z=3+3iB.若z(3+4i)=25i,则z=4+3iC.若z+|z|=2+i,则z=+iD.若z·(2+i)=10-5i,则=3-4i【解析】选ABC.若z-(3+2i)=i,则z=3+2i+i=3+3i,选项A是真命题.若z(3+4i)=25i,则z====4+3i,选项B是真命题.设z=x+yi(x,y∈R),则由z+|z|=2+i,得x+yi+=2+i,所以解得所以z=+i,所以选项C是真命题.若z·(2+i)=10-5i,则z====3-4i,=3+4i,选项D是假命题.12.下列复数不可能与复数+i(a∈R)相等的是( )A.-2iB.a2+iC.3-a2iD.3+a2i【解析】选ACD.由于+i不可能是纯虚数,而-2i是纯虚数,故-2i和+i不可能相等;当a2=,即a=1时,a2+i和+i相等;因为复数3-a2i的虚部-a2≤0,而+i的虚部为1,故二者不可能相等;若3+a2i和+i相等,则而此方程组无解,故二者不相等.三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.定义运算=ad-bc,若复数x=,y=,则y=________.【解析】依题意,y=4i(x+i)-2xi=4i2+2xi=-4+=-4+=-4+2=-2.答案:-214.若(a-2i)i=b-i,其中a,b∈R,i是虚数单位,z=(a+bi)2,则=________.【解析】由(a-2i)i=b-i,得ai+2=b-i,即(2-b)+(a+1)i=0,得a=-1,b=2,所以z=(a+bi)2=(-1+2i)2=-3-4i,=5.答案:515.已知=b+i(a,b∈R),其中i为虚数单位,则a+b=________.【解析】因为=b+i,所以a+2i=bi-1,所以所以a+b=1.答案:116.已知+i是实系数一元二次方程ax2+bx+1=0的一个根,则a=________, b=________. 【解析】把+i代入方程得a+b+1=0,即+i=0.所以即解得答案:1 -四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)复平面内有A,B,C三点,点A对应的复数是3+i,向量对应的复数是-2-4i,向量对应的复数是-4-i,求B点对应的复数.【解析】因为向量对应的复数是-2-4i,向量对应的复数是-4-i,所以表示的复数是(4+i)-(2+4i)=2-3i,故=+对应的复数为(3+i)+(2-3i)=5-2i,所以B点对应的复数为5-2i.18.(12分)已知z是复数,z+2i,均为实数(i为虚数单位),对于复数w=(z+ai)2,当a为何值时,w为:(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.【解析】设z=x+yi(x,y∈R),z+2i=x+(y+2)i,由题意得y=-2,==(x-2i)(2+i)=(2x+2)+(x-4)i.由题意得x=4,所以z=4-2i.因为w=(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,(1)当w为实数时,令a-2=0,所以a=2,(2)w为虚数,只要a-2≠0,所以a≠2.(3)w为纯虚数,只要12+4a-a2=0且a-2≠0,所以a=-2或a=6.19.(12分)已知复数z=(1+2m)+(3+m)i(m∈R).(1)若复数z在复平面上所对应的点在第二象限,求m的取值范围;(2)求当m为何值时,|z|最小,并求|z|的最小值.【解析】(1)因为复数z=(1+2m)+(3+m)i(m∈R)在复平面上所对应的点在第二象限,所以解得-3<m<-,所以m的取值范围是.(2)|z|2=(1+2m)2+(3+m)2=5m2+10m+10=5(m+1)2+5,所以当m=-1时,|z|min=.20.(12分)已知z1=cos θ+isin 2θ,z2=sin θ+icos θ,当θ为何值时:(1)z1=z2;(2)z1,z2对应点关于实轴对称;(3)|z2|<.【解析】(1)因为z1=z2,所以即解得θ=2kπ+(k∈Z).(2)因为z1与z2对应点关于实轴对称,所以即解得θ=2kπ+π(k∈Z).(3)因为|z2|<,所以<,即3sin2θ+cos2θ<2,化简得sin2θ<,解得-<sin θ<,所以kπ-<θ<kπ+(k∈Z).21.(12分)已知复数z=(2+i)-(其中i是虚数单位,x∈R).(1)若复数z是纯虚数,求x的值;(2)若函数f(x)=|z|2与g(x)=-mx+3的图象有公共点,求实数m的取值范围. 【解析】(1)因为z=(2+i)-=(2-x)+(1-x)i,且复数z为纯虚数,所以解得x=2.(2)由(1)知函数f(x)=|z|2=(2-x)2+(1-x)2=2x2-6x+5,又函数f(x)与g(x)=-mx+3的图象有公共点,所以方程2x2-6x+5=-mx+3有解,即方程2x2+(m-6)x+2=0有解,所以Δ=(m-6)2-4×2×2≥0,所以m≤2或m≥10.所以实数m的取值范围是(-∞,2]∪[10,+∞).【补偿训练】已知z1=x2+i,z2=x2+ai对于任意实数x,都有>恒成立,试求实数a的取值范围.【解析】依题意,得|z1|=,|z2|=,|z1|>|z2|⇒|z1|2>|z2|2⇒x4+x2+1>x4+a2⇒x2+1>a2⇒-1<a<1.所以实数a的取值范围是(-1,1).22.(12分)已知关于x的方程x2-(tan θ+i)x-(i+2)=0(θ∈R,x∈C)(1)若此方程有实数根,求锐角θ的值;(2)求证:对任意的实数θ(θ≠+kπ),原方程不可能有纯虚数根.【解析】(1)设x∈R是方程x2-(tan θ+i)x-(i+2)=0的根,则x2-xtan θ-2-i(x+1)=0.所以由②得x=-1,代入①得tan θ=1,所以锐角θ=.(2)反证法.若方程有纯虚数根,设为x=ai(a≠0),代入原方程并整理得(-a2+a-2)-(atan θ+1)i=0.所以(*)因为方程-a2+a-2=0无实根,所以方程组(*)无解.故假设不成立,因此原方程无纯虚数根.。

2020-2021学年高一数学同步讲练测（人教A 版2019必修第二册）第七章复数章节测试(B 卷)一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知复数z =√3+i(1−√3i)2，z̅是z 的共轭复数，则z •z̅=A ．14 B ．12C ．1D ．2【答案】Az =√3+i (1−√3i)2=(√3+i)i i(1−√3i)2=√3i−1)i(1−√3i)2=i(√3i−1)=√3i+1)ii 2(√3i−1)(√3i+1)=−−√3+i4=√34−14i ，z̅=√34+14i ，z •z̅=(√34−14i)(√34+14i)=14，故答案为：A.2．设m R ∈，复数()()1z i m i =+-在复平面内对应的点位于实轴上，又函数()ln f x m x x =+，若曲线()y f x =与直线l ：21y kx =-有且只有一个公共点，则实数k 的取值范围为（ ）A ．{}1,12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(]{},01-∞C ．(]{},02-∞D ．()(),02,-∞+∞【答案】A由题意，复数()()()()111z i m i m m i =+-=++-在复平面内对应的点位于实轴上， 所以10m -=，即1m =，所以()ln ,0f x x x x =+>，则()110f x x'=+>，所以函数()f x 单调递增，且当0x →时，()f x →-∞，作出函数()ln f x x x =+的图象，如图所示： 又由直线:21l y kx =-过点(0,1)-，设切点为000(,ln )x x x +，则在切点处的切线方程为00001ln (1)()y x x x x x --=+-，把(0,1)-代入，可得0001ln 1x x x ---=--，即0ln 0x =，即01x =， 即切线的坐标为(1,1)，代入:21l y kx =-，可得22k =，即1k =， 又由图象可知，当2(,1]k ∈-∞，即1(,]2k ∈-∞时， 曲线()y f x =与直线:21l y kx =-有且只有一个公共点， 综上所述，当{}1(,]12k ∈-∞时，曲线()y f x =与直线:21l y kx =-有且只有一个公共点，故选A ．3．已知a 为实数，若复数2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，则复数z 的虚部为（ ） A ．1 B ．2iC ．±1D ．2【答案】D由已知21010a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得1a =，故2z i =，其虚部为2，故选：D.4．已知复数z 对应的向量为OZ （O 为坐标原点），OZ 与实轴正方向的夹角为120︒，且复数z 的模为2，则复数z 为（ ）A ．1+B ．13i -+C ．13i --D ．1-±【答案】D 【解析】设复数在复平面内对应的点的坐标为(),Z a b ，根据题意可画图形如图所示，2z =，且OZ 与x 轴正方向的夹角为120︒，1a ∴=-，b =即点Z 的坐标为(-或(1,-.1z ∴=-+或1z =--. 故选：D5．若复数()2321a a a i -++-（a R ∈）不是纯虚数，则（ ） A ．2a ≠ B ．1a ≠C ．1a =D ．1a ≠且2a ≠【答案】A若复数()2321a a a i -++-（a R ∈）是纯虚数，根据纯虚数的定义有：2110=2=1=232=0a a a a a a a ≠⎧-≠⎧⇒⇒⎨⎨-+⎩⎩或， 则复数()2321a a a i -++-（a R ∈）不是纯虚数，2a ≠ 故选A6．.已知()()5,1,3,2OA OB =-=，AB 对应的复数为z ，则z =（ ） A ．5i - B ．32i +C ．23i -+D ．23i --【答案】D由题可知()2,3AB =-，故AB 对应的复数为23z i =-+， 则23z i =--， 故选：D.7．计算1+i +i 2+i 3+…+i 89的值为（ ） A ．1 B ．iC ．﹣iD ．1+i【答案】D解：由等比数列的求和公式可得：1+i +i 2+i 3+…+i 89()90111i i⨯-=-，而i 90＝i 88•i 2＝i 2＝﹣1， 故1+i +i 2+i 3+…+i 89()()()()90112121111i i ii i i ⨯-+====---+1+i ， 故选：D.8．已知i 是虚数单位，设()()()222log 33log 3z m m i m m R =--+-∈，若z 对应的点在直线1122y x =+上，则m 的值是（ ）A ．BC ．D ．15【答案】B由题意，得()()222332log lo 3g 10m m m ----+=，即()22233log 13m m m --=--，()2233123m m m --∴=-，解得m =233030m m m ⎧-->⎨->⎩，解得32m >，m ∴=.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

第七章复数单元测试一、单选题（共8小题）1．已知a∈R，若复数z=a2+2a+ai是纯虚数，则a=（）A．0B．2C．−1D．−22．已知复数z=1+3i，i为虚数单位，则|z|=（）1−iA．√2B．√5C．√10D．2√53．若复数z=(1+ai)⋅(1−i)的模等于2，其中i为虚数单位，则实数a的值为（）A．−1B．0C．1D．±14．设复数z=i，则复数z的共轭复数z̅在复平面内对应的点位于（）1+iA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．已知z=1+i，则z(z+1)=（）A．3+i B．3−i C．1+i D．1−i6．已知复数z=(3−4i)(2−i)，则z的虚部为（）A．2B．11C．−11D．−11i7．若z=2−i，则z2−4z=（）A．-5B．-3C．3D．58．在复平面内，复数z1,z2所对应的点关于虚轴对称，若z1=1+2i，则复数z2=（）A．−1−2i B．−1+2iC．1−2i D．2+i二、多选题（共4小题）9．已知复数z=1+i（其中i为虚数单位），则以下说法正确的有（）A．复数z的虚部为i B．|z|=√2C．复数z的共轭复数z=1−i D．复数z在复平面内对应的点在第一象限10.下列命题中，真命题为（）A．复数z=a+bi为纯虚数的充要条件是a=0B．复数z=1−3i的共轭复数为z=1+3iC．复数z=1−3i的虚部为−3D．复数√2z=1+i，则z2=i=i，则下列结论正确的是（）11．已知复数z满足z+1zA ．复数z 的共轭复数为−12+12iB ．z 的虚部为12C ．在复平面内z 对应的点在第二象限D ．|z |=√2212．下列命题中正确的是（ ）A ．已知平面向量a ⃑满足|a ⃑|=1，则a ⃑⋅a ⃑=1B ．已知复数z 满足|z |=1，则z ⋅z =1C ．已知平面向量a ⃑，b ⃑⃑满足|a ⃑+b ⃑⃑|=|a ⃑−b ⃑⃑|，则a ⃑⋅b ⃑⃑=0D ．已知复数z 1，z 2满足|z 1+z 2|=|z 1−z 2|，则z 1⋅z 2=0三、填空题（共4小题）13．已知复数z 满足z ⋅(1−2i )=|3+4i |，则z =___________. 14．已知i 为虚数单位，则i 2020+i 2021=___________.15．复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ 与OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 表示的复数是________． 16．已知1＋2i 是方程x 2－mx ＋2n ＝0(m ，n ∈R )的一个根，则m ＋n ＝____.四、解答题（共5小题） 17．计算：(1)(1−4i )(1+i )+2+4i3+4i；(2)(1+i )51−i+(1−i )51+i；(3)(1+2i)2+3(1−i)2+i．18. 已知复数z =m 2−2m −15+(m 2−9)i ，其中m ∈R ，i 为虚数单位． (1)若z 为实数，求m 的值； (2)若z 为纯虚数，求z1+i 的虚部．19．已知复数z =(m 2−2m −3)+(m 2+m −2)i ，(m ∈R)． (1)若z >0，求m 的值； (2)若z 是纯虚数，求z ⋅z̅的值．⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为1+2i，20．已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2+i，向量BA⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为3−i，求：向量BC(1)点D对应的复数；(2)平行四边形ABCD的面积．−isinθ，其中i为虚数单位，θ∈R．求|z1⋅z2|的21．已知复数z1=3cosθ+isinθ，z2=√24值域．22．已知复数z=3x−(x2−x)i(x∈R)的实部与虚部的差为f(x)．(1)若f(x)=8，且x>0，求复数iz的虚部；(2)当f(x)取得最小值时，求复数z的实部．1+2i第七章 复数单元测试一、单选题（共8小题）1．已知a ∈R ，若复数z =a 2+2a +ai 是纯虚数，则a =（ ） A ．0 B ．2 C ．−1 D ．−2【答案】D【分析】结合复数的概念得到{a 2+2a =0a ≠0，解之即可求出结果.【详解】∵z =a 2+2a +ai 是纯虚数，∴{a 2+2a =0,a ≠0,解得a =−2. 故选：D.2．已知复数z =1+3i 1−i，i 为虚数单位，则|z |=（ ） A ．√2 B ．√5C ．√10D ．2√5【答案】B【分析】利用复数除法运算进行化简，再求得|z |. 【详解】z =(1+3i )(1+i )(1−i )(1+i )=−2+4i 2=−1+2i ，∴|z |=√(−1)2+22=√5. 故选：B3．若复数z =(1+ai)⋅(1−i)的模等于2，其中i 为虚数单位，则实数a 的值为（ ） A ．−1 B ．0 C ．1 D ．±1【答案】D【分析】先根据复数的乘法法则得z =(1+a)+(a −1)i ,再根据模的公式列方程求解即可. 【详解】∵z =(1+ai)⋅(1−i)=1−i +ai −ai 2=(1+a)+(a −1)i 则|z|=√(1+a)2+(a −1)2=√2a 2+2=2，解得：a =±1. 故选:D. 4．设复数z =i1+i ，则复数z 的共轭复数z̅在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【分析】先求出z ，再求出z ̅，直接得复数z ̅在复平面内对应的点. 【详解】z =i 1+i=i (1-i )(1+i )(1-i )=12+12i ，则z =12−12i ，∴z ̅在复平面内对应的点为(12,−12)，位于第四象限；故选：D.5．已知z =1+i ，则z (z +1)=（ ） A ．3+i B ．3−iC ．1+iD ．1−i【答案】B【分析】根据复数的四则运算法则计算即可.【详解】z ̅(z +1)=(1−i)(1+i +1)=(1−i)(2+i)=3−i ，故选：B. 6．已知复数z =(3−4i)(2−i)，则z 的虚部为（ ）A．2B．11C．−11D．−11i【答案】C【分析】利用复数乘法求出z，即可确定其虚部.【详解】∵z=(3−4i)(2−i)=2−11i，∴z的虚部−11，故选：C7．若z=2−i，则z2−4z=（）A．-5B．-3C．3D．5【答案】A【分析】依据复数的运算法则直接求解即可；【详解】z2−4z=z(z−4)=(2−i)⋅(−2−i)=i2−4=−5，故选：A8．在复平面内，复数z1,z2所对应的点关于虚轴对称，若z1=1+2i，则复数z2=（）A．−1−2i B．−1+2iC．1−2i D．2+i【答案】B【分析】根据对应的点的特征直接求出即可.【详解】∵z1=1+2i对应的点为(1,2)，z1,z2所对应的点关于虚轴对称，∴z2对应的点为(−1,2)，∴z2=−1+2i. 故选：B.二、多选题（共4小题）9．已知复数z=1+i（其中i为虚数单位），则以下说法正确的有（）A．复数z的虚部为i B．|z|=√2C．复数z的共轭复数z=1−i D．复数z在复平面内对应的点在第一象限【答案】BCD【分析】根据复数的概念判定A错，根据复数模的计算公式判断B正确，根据共轭复数的概念判断C正确，根据复数的几何意义判断D正确.【详解】∵复数z=1+i，∴其虚部为1，即A错误；|z|=√12+12=√2，故B正确；复数z的共轭复数z=1−i，故C正确；复数z在复平面内对应的点为(1,1)，显然位于第一象限，故D正确.故选：BCD.【点睛】本题主要考查复数的概念，复数的模，复数的几何意义，以及共轭复数的概念，属于基础题型.11.下列命题中，真命题为（）A．复数z=a+bi为纯虚数的充要条件是a=0B．复数z=1−3i的共轭复数为z=1+3iC．复数z=1−3i的虚部为−3D ．复数√2z =1+i ，则z 2=i 【答案】BCD【分析】对A,根据纯虚数的定义，可知a =0，b ≠0，故A 错.根据共轭复数，虚部的定义，可判断B,C.运用复数的四则运算，可判断D. 【详解】复数z =a +bi 为纯虚数的充要条件是a =0，b ≠0,故A 错. 复数z =1−3i 的共轭复数为z =1+3i ,复数z =1−3i 的虚部为−3,故B,C 对. 复数√2z =1+i ，则z =√2,z 2=(√2)2=2i 2=i ，故D 对.故选:BCD 11．已知复数z 满足z+1z=i ，则下列结论正确的是（ ）A ．复数z 的共轭复数为−12+12i B ．z 的虚部为12 C ．在复平面内z 对应的点在第二象限 D ．|z |=√22【答案】AD【分析】先由已知求出复数z ，然后再逐个分析判断即可 【详解】由z+1z=i ，得z +1=zi ，∴z =−11−i =−(1+i)(1−i)(1+i)=−12−12i ， ∴复数z 的共轭复数为−12+12i ，复数z 的虚部为−12，复数z 在复平面内对应的点在第三象限，|z |=√(−12)2+(−12)2=√22，∴AD 正确，BC 错误，故选：AD 12．下列命题中正确的是（ ）A ．已知平面向量a ⃑满足|a ⃑|=1，则a ⃑⋅a ⃑=1B ．已知复数z 满足|z |=1，则z ⋅z =1C ．已知平面向量a ⃑，b ⃑⃑满足|a ⃑+b ⃑⃑|=|a ⃑−b ⃑⃑|，则a ⃑⋅b ⃑⃑=0D ．已知复数z 1，z 2满足|z 1+z 2|=|z 1−z 2|，则z 1⋅z 2=0 【答案】ABC【分析】结合选项逐个验证，向量的模长运算一般利用平方处理，复数问题一般借助复数的运算来进行.【详解】∵a ⃑⃑⋅a ⃑⃑=|a ⃑⃑|2=1，∴A 正确；设z =a +bi ，则z =a −bi ，∵|z |=1，∴a 2+b 2=1， ∴z ⋅z =(a +bi )(a −bi )=a 2+b 2=1，∴B 正确；∵|a ⃑⃑+b ⃑⃑|=|a ⃑⃑−b ⃑⃑|，∴a ⃑⃑2+2a ⃑⃑⋅b ⃑⃑+b ⃑⃑2=a ⃑⃑2−2a ⃑⃑⋅b ⃑⃑+b ⃑⃑2，即a ⃑⃑⋅b ⃑⃑=0，∴C 正确； ∵|1+i |=|1−i |，然而1⋅i =i ≠0，∴D 不正确. 故选：ABC.三、填空题（共4小题）13．已知复数z 满足z ⋅(1−2i )=|3+4i |，则z =___________. 【答案】1+2i【分析】根据复数的四则运算进行整理化简即可. 【详解】解：∵z ⋅(1−2i )=|3+4i |=5 ∴z =51−2i=5(1+2i )(1−2i )⋅(1+2i )=1+2i ，故答案为：1+2i.14．已知i 为虚数单位，则i 2020+i 2021=___________. 【答案】1+i【分析】根据i n 的周期性求得正确结论. 【详解】i 2020+i 2021=i 4×505+i 4×505+1=1+i . 故答案为：1+i15．复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ 与OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 表示的复数是________． 【答案】－6－8i【分析】由复数的几何意义得出向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ 与OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标，再由向量的运算得出AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标，进而得出其复数.【详解】∵复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA⃑⃑⃑⃑⃑ 与OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，∴OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(4,3),OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2,−5) 又AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ −OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2,−5)−(4,3)=(−6,−8)，∴向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 表示的复数是－6－8i ． 故答案为：－6－8i16．已知1＋2i 是方程x 2－mx ＋2n ＝0(m ，n ∈R )的一个根，则m ＋n ＝____. 【答案】92【分析】将x =1+2i 代入方程，根据复数的乘法运算法则，得到(−3−m +2n )+(4−2m )i =0，再由复数相等的充要条件得到方程组，解得即可；【详解】解：将x =1+2i 代入方程x2－mx ＋2n ＝0，有(1＋2i)2－m(1＋2i)＋2n ＝0，即1+4i −4−m −2mi +2n =0，即(−3−m +2n )+(4−2m )i =0， 由复数相等的充要条件，得{−3−m +2n =04−2m =0解得{n =52m =2 ，故m +n =2+52=92. 故答案为：92 四、解答题（共5小题） 17．计算：(1)(1−4i )(1+i )+2+4i3+4i；(2)(1+i )51−i+(1−i )51+i；(3)(1+2i)2+3(1−i)2+i．【答案】(1)1−i ；(2)0；(3)15+25i 【分析】根据复数四则运算法则计算即可. 【详解】（1）原式=5−3i+2+4i 3+4i=7+i3+4i =(7+i )(3−4i )(3+4i )(3−4i )=25−25i 25=1−i .（2）原式=(1+i )6+(1−i )6(1−i )(1+i )=[(1+i )2]3+[(1−i )2]32=(2i )3+(−2i )32=−8i+8i2=0.（3）(1+2i)2+3(1−i)2+i=−3+4i+3−3i2+i=i 2+i=i(2−i)5=15+25i18. 已知复数z =m 2−2m −15+(m 2−9)i ，其中m ∈R ，i 为虚数单位． (1)若z 为实数，求m 的值； (2)若z 为纯虚数，求z1+i 的虚部． 【答案】(1)m =±3；(2)8【分析】（1）由题意得m 2−9=0，求解即可；（2）先由题意求得z =16i ，再根据复数的除法法则化简复数z 1+i，由此可求得答案.(1)解：若z 为实数，则m 2−9=0，解得m =±3． (2)解：由题意得{m 2−2m −15=0,m 2−9≠0,解得m =5，∴z =16i ，故z 1+i=16i 1+i=16i (1−i )(1+i )(1−i )=8+8i ，∴z1+i的虚部为8．19．已知复数z =(m 2−2m −3)+(m 2+m −2)i ，(m ∈R)． (1)若z >0，求m 的值； (2)若z 是纯虚数，求z ⋅z̅的值． 【答案】(1)m =−2；(2)4或100【分析】（1）根据复数z >0，可知z 为实数，列出方程，解得答案；（2）根据z 是纯虚数，列出相应的方程或不等式，再结合共轭复数的概念以及复数的乘法运算，求得答案. 【详解】（1）∵z >0，∴z ∈R ，∴m 2+m −2=0，∴m =−2或m =1． ①当m =−2时，z =5>0，符合题意； ②当m =1时，z =−4<0，舍去． 综上可知：m =−2．（2）∵z 是纯虚数，∴{m 2−2m −3=0m 2+m −2≠0，∴m =−1或m =3,∴z =−2i ，或z =10i ,∴z ⋅z ̅=−2i ×2i =4或z ⋅z ̅=10i ×(−10i)=100, ∴z ⋅z ̅=4或100．20．已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2+i ，向量BA ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为1+2i ，向量BC⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为3−i ，求： (1)点D 对应的复数； (2)平行四边形ABCD 的面积． 【答案】(1)5；(2)7【分析】（1）根据复数与向量间的关系运算得BD ⃑⃑⃑⃑⃑ =(4,1)，OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,−1)，则OD ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +BD ⃑⃑⃑⃑⃑ =(5,0)，从而得到其对应的复数； （2）cosB =BA⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |BA⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ||BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=5√2，则sinB =5√2，利用平行四边形面积公式即可得到答案.【详解】（1）∵向量BA ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为1+2i ,∴向量BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,2)， BC⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为3−i ,∴向量BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(3,−1)， BD ⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,2)+(3,−1)=(4,1)， OB⃑⃑⃑⃑⃑ =OA ⃑⃑⃑⃑⃑ −BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,1)−(1,2)=(1,−1)， ∴OD ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +BD ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,−1)+(4,1)=(5,0)， ∴点D 对应的复数为5 .（2）∵BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =|BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ||BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |cosB ，∴cosB =BA⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |BA⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ||BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=√5×√10=5√2， ∵B ∈[0,π]，∴sinB =5√2，∴S =|BA⃑⃑⃑⃑⃑ ||BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |sinB =√5×√10×5√2=7.故平行四边形ABCD 面积为7.21．已知复数z 1=3cosθ+isinθ，z 2=√24−isinθ，其中i 为虚数单位，θ∈R ．求|z 1⋅z 2|的值域． 【答案】[3√24,5√24] 【分析】由复数模的定义，结合三角函数值域的求法即可求解.【详解】|z 1⋅z 2|=|(3cosθ+isinθ)⋅(√24−isinθ)|=|(3cosθ+isinθ)||(√24−isinθ)| =√(1+8cos 2θ)(18+sin 2θ)=√18+sin 2θ+cos 2θ+8sin 2θcos 2θ=√98+2sin 22θ. ∵sin 22θ∈[0,1]，∴ √98+2sin 22θ∈[3√24,5√24]，即|z 1⋅z 2|∈[3√24,5√24]. 22．已知复数z =3x −(x 2−x )i(x ∈R)的实部与虚部的差为f(x)． (1)若f(x)=8，且x >0，求复数iz 的虚部； (2)当f(x)取得最小值时，求复数z 1+2i的实部．【答案】(1)6；(2)−75【分析】（1）由复数的实部、虚部的运算，可得f(x)=x 2+2x ，再结合题意可得x =2，再确定iz 在复平面内对应的点的坐标即可；（2）先求出函数取最小值时x 对应的值，再结合复数的除法运算即可得解.【详解】（1）由题意可得f(x)=3x +(x 2−x )=x 2+2x ， ∵f(x)=8，∴x 2+2x =8， 又x >0，∴x =2，即z =6−2i ， 则iz =i(6−2i)=2+6i ， ∴复数iz 的虚部为6．（2）∵f(x)=x 2+2x =(x +1)2−1，∴当x =−1时，f(x)取得最小值， 此时，z =−3−2i ，则z 1+2i=−3+2i 1+2i=−(3+2i)(1−2i)5=−75+45i ，∴z1+2i 的实部为−75．。

人教版高中数学必修第二册第七章复数单元测试卷考试时间：45分钟；满分100分一、单项选择题（共10题，每小题5分，共50分）1.已知复数512i z =-+(i 是虚数单位),则下列说法正确的是()A.复数z 的实部为5B.复数z 的虚部为12iC.复数z 的共轭复数为512i +D.复数z 的模为132．设复数z 1＝a ＋2i，z 2＝－2＋i，且|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－1,1)C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)3.已知在复平面内，复数z 对应的点是(1,2)Z -,则复数z 的共轭复数z =()A.2i - B.2i + C.12i - D.12i+4、已知复数满足z（1+i）=i,则复数=()A、1+iB、1-iC、1122i +D、1122i -5、已知复数01cos 23sin 23z i =+和复数02cos37sin 37z i =+,则12z z ∙为()A、122+B、122i +C 、122i -D、122i -6、若2(12)(3)0x i x m i +-+->，求实数m 的取值范围（）A 、（1，+∞）B 、（1,12+∞）B 、（—∞，2）D 、（1,3-∞）7、设复数z ＝1＋b i(b ∈R)，且z 2＝－3＋4i ，则z 的共轭复数z －的虚部为()A．－2B．2i C．2D．－2i8、若复数z ＝a1＋i＋1为纯虚数，则实数a ＝()A．－2B．－1C．1D．29、若复数z 满足z (1－i)＝|1－i|＋i，则z 的实部为()A.2－12B.2－1C．1 D.2＋1210、设z ∈C，且10z z i +--=，则z i +的最小值为（）A、0B、1C、2D、12二、多项选择题（共2题，每小题5分，全部选对得5分，选不全得3分，选错0分）11、有下面四个命题，真命题的是A ：210i +=B ：若a,b ∈R,且a>b,则a+i>b+i C ：220x y +=,则x=y=0D ：两个虚数不能比较大小12、对任意复数z=x+yi（x，y ∈R），i 为虚数单位，则下列结论错误的是（）A、2z z y--=B、222z x y=+C、2z z x--≥D、z x y≤+三、填空题（共4题，每小题5分，共20分）13、复平面内三点A、B、C,点A 对应的复数2+i,BA 对应的复数为1+2i,向量BC 对应的复数为3-i,求点C 对应的复数.________14、已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．15、81+i =1-i（）________．16、设复数z 满足_______．341,z i z --=求的最大值四、解答题（每题10分，共20分.，解答应写出必要的文字说明、演算步骤）17、已知复数22(815)(918)z m m m m i =-++-+，实数取什么值时，（1）复数是实数；（2复数是纯虚数；（3）复数对应的点位于第三象限.18、1z w =z +-zz z 设是虚数，是实数，且1<w <2(1)求的值及的实部的取值范围1-z(2)u=u 1+z 设，证明为纯虚数参考答案与解析考试时间：45分钟；满分100分一、单项选择题（共10题，每小题5分，共50分）1.选D 解析：512i z =-+的实部是-5,虚部是12,z 的共轭复数为512i,z --的模是13，所以选项A,B,C 均错误.故选D.2.选B 解析：∵|z 1|＝a 2＋4，|z 2|＝5，∴a 2＋4<5，即a 2＋4<5，∴a 2<1，即－1<a <1.3.选D 解析：由复数的几何意义可知,12i z =-，则复数z 的共轭复数12i z =+,故选D.4.选C 解析：.考点：复数的除法运算.5.选A 解析：试题分析:∵,,∴,故选A6.选B 解答：由题意知，22(12)(3)3(21)0x i x m i x x m x i +-+-=++-+>，故221030,x x x m +=⎧⎪++>⎨⎪⎩解得12112x m ⎧=-⎪⎪⎨⎪>⎪⎩所以实数m的取值范围为112m >7选A.解析：由题意得z 2＝(1＋b i)2＝1－b 2＋2b i＝－3＋4i，b 2＝－3，b ＝4，∴b＝2，故z ＝1＋2i，z －＝1－2i，虚部为－2.故选A.8.选A 解析：因为复数z ＝a 1＋i ＋1＝(1)(1)(1)a i i i -+-＋1＝a 2＋1－a 2i 为纯虚数，所以a 2＋1＝0，且－a2≠0，解得a ＝－2.故选A.9.选A 解析：由z (1－i)＝|1－i|＋i，得z ＝2＋i 1－i ＝2＋i 1＋i 1－i 1＋i ＝2－12＋2＋12z 的实部为2－12，故选A.10.选C 解答：由1z z i +=-知，在复平面内，复数z 对应的点的轨迹是以（-1,0）和（0,1）为端点的线段的垂直平分线，即直线y=-x，而z i +表示直线y=-x 上的点到点（0，-1）的距离，其最小值等于点（0，-1）到直线y=-x 的距离，即为2二、多项选择题（共2题，每小题5分，全部选对得5分，选不全得3分，选错0分）11.选AD 解析：对于A，因为2i =-1，所以1+2i =0，故A 正确。

第七章 复数 单元测试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(共40分)1、(4分)已知1i z =+, 则i i z z +=-( )A. 34i 55+ B. 34i 55+ C. 41i 5+ D. 41i 5-2、(4分)若23i z z +=+, 则 z =( )A. 1i +B. 1i -C. 1i -+D. 1i--3、(4分)已知复数()211i z a a =-++，其中R a Î，i 是虚数单位，若z 为纯虚数，则a 的值为( )A.1-B. 0C. 1D.1-或14、(4分)若复数(3)i x z =-+是（i 虚数单位，R x Î）为纯虚数，则在复平面内复数1i z x =-对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5、(4分)若复数 i i 1i a z -=-+()a ÎR 在复平面内对应的点位于实轴上, 则 a =( )A. 4 B. 2C. 3-D. 4-6、(4分)已知复数2i 1z =-, 则 5z z += ( )A. 4i B. 4i - C. 2 D. 2-7、(4分)ABC △的三个顶点所对应的复数分别为123,,z z z 复数z 满足123z z z z z z -=-=-,则z 对应的点是ABC △的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心8、(4分)复数i(,)a b a b +ÎR 的平方是一个实数的充要条件是( ).A.0a =且0b ¹B.0a ¹且0b =C.0a b ==D.0ab =9、(4分)已知i 为虚数单位，复数()()2i 1i z a =++，a ÎR ，若z 为纯虚数，则a =（ ）A ．12 B ．12- C ．2 D ．2-10、(4分)已知复数2()1ai z a R i +=Î+在复平面内对应的点在第四象限，则a 的取值范围是( )A.(2，＋∞) B.(－∞，2) C.(－2，1) D.(－2，2)二、填空题(共25分)11、(5分)已知,,3i a b R a Î+是关于x 的方程220x x b ++=的根，则a b +=________.12、(5分)若复数()i z a a =+ÎR 与它的共轭复数z 所对应的向量互相垂直，则a =________.13、(5分)已知2i z =-，则z =_____________，i z +=_____________．14、(5分)欧拉公式cos sin (ix e x i x i =+为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，5i e p 表示的复数的虚部为_________.15、(5分)已知复数12i 2iz -=+在复平面内对应的点为A ，复数2z 在复平面内对应的点为B ，若向量AB uuu v 与虚轴垂直，则2z 的虚部为_________.三、解答题(共35分)16、(8分)已知关于x 的方程()2250x px p -+=ÎR 在复数范围内的两根为1x 、2x ．（1）若8p =，求1x 、2x ；（2）若134i x =+，求p 的值．17、(9分)已知复数()()2223232i z m m m m =--+-+.当实数m 取什么值时，复数z 是：（1）实数；（2）纯虚数；18、(9分)已知1i,,z a b =+为实数.(1)若234z z w =+-，求||w .(2)若221i 1z az b z z ++=--+，求a ，b 的值.19、(9分)已知(){}221,2,3156i ,{1,3},{3}A a a a a B A B =--+--=-Ç=，求实数a 的值.参考答案1、答案：A 解析：()()()()12i 12i i 12i 34i i 12i 12i 12i 55z z ++++===-+---+. 故选A 2、答案：A解析：设(),i R z a b a b =+Î, 因为()2i 2i 3i 3i z z a b a b a b +=-++=+=+, 所以1a b ==, 故1i z =+.3、答案：C 解析：由复数z 为纯虚数可知21010a a ì-=í+¹î，解得1a =4、答案： D解析：5、答案：C解析：()()i 1i i 13i i i 1i 222a a a a z ----+=-=-=-+, 由题意可得 z 为实数, 所以30,a +=3a =-.6、答案：D解析：()5512i 12i 12i i 212iz z +=-++=-++--=--+, 故选 D 7、答案：A解析：设复数z 与复平面内的点Z 相对应,由ABC △的三个顶点所对应的复数分别为123,,z z z 及123z z z z z z -=-=-可知点Z 到ABC △的三个顶点的距离相等,由三角形外心的定义可知,点Z 即为ABC △的外心.8、答案：D解析：因为22222(i)2i (i)2a b a ab b a b ab +=++=-+为实数，所以0ab =，反之，当0ab =时，复数i(,)a b a b +ÎR 的平方是一个实数，所以复数(,)a bi a b +ÎR 的平方是一个实数的充要条件是0ab =，故选D.9、答案：C解析：10、答案：B解析：11、答案：9解析：由题可知()2(3i)23i 0a a b ++++=，即()()22966i 0a a b a +-+++=，所以2290,660,a a b a ì+-+=í+=î解得110,a b =-ìí=î所以9.a b += 12、答案：1±解析： i z a =-，因为复数z 与它的共轭复数z 所对应的向量互相垂直，所以21a =，所以1a =±13、答案：2i +；解析：14、答案：12解析：15、答案：45-解析：16、答案：（1）143i x =+，243i x =-；（2）6p =解析：（1）由题意得，2100360p D =-=-<，∴86i 43i 2x ±====±，∴143i x =+，243i x =-．（2）已知关于x 的方程()2250x px p R -+=Î的一根为134i x =+，所以()()()()234i 34i 25183244i 0p p p +-++=-+-=，所以1832440p p -=-=，解得6p =．17、答案：(1) 即1m =或2m =时,复数z 为实数(2) 12m =-复数z 为纯虚数解析：(1)当2320m m -+=时，即1m =或2m =时，复数z 为实数；(2)若z 为纯虚数，则222320320m m m m ì--=í-+¹î，解得12212m m m m ì=-=ïíï¹¹î或且，12m \=-，即12m =-时，复数z 为纯虚数；18、答案：(1)||w =(2)12a b =-ìí=î解析：(1)2(1i)3(1i)41i w =++--=--，所以||w =.(2)由条件，得()(2)i 1i ia b a +++=-，所以()(2)i 1i a b a +++=+，所以1,21,a b a +=ìí+=î解得1,2.a b =-ìí=î19、答案：1a =-解析：由题意知，()223156i 3()a a a a a --+--=ÎR ，所以22313,560,a a a a ì--=í--=î即 4 1,6 1,a a a a ==-ìí==-î或或所以1a =-.。

第七章 复数单元测试卷一、单选题1．（辽宁省葫芦岛市2021-2022学年高三上学期期末数学试题）已知i 为虚数单位，则复数()i 12i z =-的虚部是（ ） A ．i B ．1 C ．2 D ．2i【答案】B 【分析】化简复数2i z =+即得解. 【详解】解：由题得()i i 122i z =-=+， 所以复数的虚部为1. 故选：B2．（山东省德州市2021-2022学年高三上学期期末数学试题）已知复数z 满足()121i iz +=-，其中i 为虛数单位，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【分析】根据复数的模长公式以及四则运算得出55z =，最后确定复数z 在复平面内所对应的点的象限. 【详解】 221i 22|2i |2(1)5i i +=+=-=+-=，55(1i)55z +=== 则复数z 在复平面内所对应的点坐标为55⎝⎭，在第一象限.故选：A3．（山东省淄博市2021-2022学年高三上学期期末数学试题）已知复数z 是纯虚数，11i z+-是实数，则z =（ ）A ．－iB ．iC ．－2iD ．2i【答案】B 【分析】由题意设i()z b b R =∈，代入11iz+-中化简，使其虚部为零，可求出b 的值，从而可求出复数z ，进而可求得其共轭复数 【详解】由题意设i()z b b R =∈， 则11i (1i)(1i)(1)(1)i1i 1i (1i)(1i)2z b b b b ++++-++===---+， 因为11iz+-是实数，所以10b +=，得1b =-， 所以i z =-， 所以i z =， 故选：B4．（2022·广东茂名·一模）已知,a b 为实数，且2ii 1ib a +=++(i 为虚数单位)，则i a b +=（ ） A ．34i + B ．12i + C ．32i -- D ．32i +【答案】A 【分析】利用复数的乘除运算化简，再利用复数相等求得,a b ，进而得解. 【详解】()()2i 1i 2i 22i i 22i 1i 2222b b b b b b +-+-+++-===++ 由题意知222=12b a b +⎧=⎪⎪⎨-⎪⎪⎩，解得34a b =⎧⎨=⎩，所以i 34i a b +=+故选：A5．（2022·江苏无锡·高三期末）已知3i1ia ++（i 为虚数单位，a ∈R ）为纯虚数，则=a （ ） A ．1- B ．1C ．3-D ．3【答案】C 【分析】先利用复数除法法则进行化简，结合纯虚数条件列出方程，求出a 的值. 【详解】3i (3i)(1i)i 3i+31i 22a a a a ++--+==+3(3)i2a a ++-=为纯虚数， 30a ∴+=，3a ∴=-，故选：C.6．（2022·内蒙古包头·高二期末（文））对于非零实数a ，b ，以下四个式子均恒成立，对于非零复数a ，b ，下列式子仍然恒成立的是（ ） A ．||||||ab a b = B ．10a a+≠ C ．()20a b +≥D ．22a a =【答案】A 【分析】对于选项A ：结合复数的乘法和模长公式即可判断；选项B ：计算1a a+，然后根据复数运算结果举出反例即可；选项CD ：复数的平方可能为虚部不为0的复数，而虚部不为0的复数与实数既不能比较大小也不相等. 【详解】不妨令11i a x y =+，22i b x y =+，选项A ：112212121221(i)(i)()i ab x y x y x x y y x y x y =++=-++，从而222222121212211122||()()||||ab x x y y x y x y x y x y a b =-++++，故A 正确； 选项B ：111111222211111111i ()i i x y a x y x y a x y x y x y +=++=++-+++， 当10x =，11y =时，10a a+=，故B 错误； 因为复数的平方可能还是虚部不为0的复数，而虚部不为0的复数不能与实数比较大小且不等于实数，故CD 错误. 故选：A7．（2022·湖北·武钢三中高三阶段练习）已知202120221i i 1i z +⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【分析】先利用复数的除法和乘方化简复数z ，再利用复数的几何意义求解. 【详解】21i 12i i i 1i 2+++==-，且i 的乘方运算是以4为周期的运算 所以202120222021202221i i 1i 1i i i i i z +⎛⎫=+++ ===-⎝-⎪+⎭，所以复数z 所对应的点()1,1-，在第二象限. 故选：B8．（2022·全国·高一）复数()()cos2isin3cos isin θθθθ+⋅+的模为1，其中i 为虚数单位，[]0,2πθ∈，则这样的θ一共有（ ）个. A ．9 B ．10 C ．11 D ．无数【答案】C 【分析】先根据复数()()cos2isin3cos isin θθθθ+⋅+的模为1及复数模的运算公式，求得22cos 2sin 31θθ+=即22cos 2cos 3θθ=，接下来分cos2cos3θθ=与cos2cos3θθ=-两种情况进行求解，结合[]0,2πθ∈，求出θ的个数. 【详解】()()cos2isin3cos isin =cos2isin3cos isin 1θθθθθθθθ+⋅++⋅+=，其中cos isin 1θθ+=，所以cos2isin31θθ+=，即22cos 2sin 31θθ+=，222cos 21sin 3cos 3θθθ=-=，当cos2cos3θθ=时，①1232πk θθ=+，1k Z ∈，所以12πk θ=-，1k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以0θ=或2π；②2232πk θθ=-+，2k Z ∈，所以22π5k θ=，2k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以0θ=，2π5，4π5，6π5，8π5或2π；当cos2cos3θθ=-时，①()32321πk θθ=++，3k Z ∈，即()321πk θ=-+，3k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以πθ=，②()42321πk θθ=-++，4k Z ∈，即()421π5k θ+=，4k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以π5θ=，3π5，π，7π5，9π5，综上：π5mθ=，0,1,10m =，一共有11个. 故选：C二、多选题9．（2022·广东东莞·高三期末）已知复数123,,z z z ，1z 是1z 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A ．若120z z +=，则12=z zB ．若21z z =，则12=z zC ．若312z z z =，则312z z z =D ．若1211z z +=+，则12=z z【答案】ABC 【分析】若i z a b =+ ，则i z a b =-，22z z a b ==+，利用复数代数运算，可以判断AB ；利用复数的三角运算，可以判断C ；利用数形结合，可以判断D. 【详解】 对于A ：若120z z += ，则12z z =-，故122z z z =-=， 所以A 正确； 对于B ：若21z z =，则12=z z ， 所以B 正确； 对于C ：设11(cos i sin )z r αα=+ ，22(cos i sin )z r ββ=+则()()31212cos()i sin z z z r r αβαβ==+++ ，故312z z z = ， 所以C 正确； 对于D ：如下图所示，若11OA z =+ ，21OB z =+，则1OC z =，2OD z =，故12z z ≠ ， 所以D 错误.故选：ABC10．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知复数z 满足()12i 5z -=（其中i 为虚数单位），则下列选项正确的是（ ） A ．5z =B ．复数z 的共轭复数为12i z =+C ．复数z 在复平面表示的点位于第一象限D ．复数z 的虚部为2 【答案】CD 【分析】利用复数代数形式的乘除运算求出复数z ，然后逐一核对四个选项即可得出答案. 【详解】解：因为()12i 5z -=，所以()()()512i 512i 12i 12i 12i z +===+--+， 所以145z +A 错误； 复数z 的共轭复数为12i z =-，故B 错误；复数z 在复平面表示的点的坐标为()1,2，位于第一象限，故C 正确； 复数z 的虚部为2，故D 正确. 故选：CD.11．（2021·福建福州·高三期中）复数132z =-，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的有（ ）A ．1z z ⋅=B ．210z z ++=C ．21z z= D ．2021132z = 【答案】ABC 【分析】根据共轭复数的概念，复数的运算法则，逐一求解验证即可． 【详解】解：因为132z =-，所以132z =-，对于A ： 2131313i 12244z z ⎛⎫⎛⎫⋅=-+-=-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确； 对于B ：22201131313133i 222414z z ⎛⎫⎛⎫--=+= ⎪ ⎪ ⎭⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎝+=++⎝⎭⎭ ⎪ ⎪，故B 正确； 对于C ：2131132213213i i44z -===---+，2221313313i 2442z ⎛⎫-=+=- ⎪ ⎪⎝=⎭， 所以21z z=，即选项C 正确；对于D ：132z =-+，2132z -=，2231313131222z ⎛⎫⎛⎫⎫⎛⎫-⋅-+=--= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎭⎝，4z z =，所以20212132z z -==，故D 错误．故选：ABC ．12．（2021·重庆·万州纯阳中学校高二阶段练习）欧拉公式i cos isin x e x x =+是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A ．复数2i e 对应的点位于第二象限 B ．i 2e π为纯虚数C i 3ix +12D ．i 6e π的共轭复数为132-【答案】ABC【分析】利用欧拉公式把选项A ，B ，D 化成复数的代数形式即可计算判断；利用欧拉公式把选项C 的分子化成复数的代数形式，再进行除法运算判断即得. 【详解】对于A ，2i cos 2isin 2e =+，因22ππ<<，即cos20,sin20<>，复数2i e 对应的点位于第二象限，A 正确；对于B ，i2cos isini 22e πππ=+=，i 2e π为纯虚数，B 正确；对于C i (cos isin )(3i)3cos sin 3sin cos 3i 3i(3i)(3i)x x x x x x x+-+-+++-，于是得i 223cos sin 3sin cos 1()()4423ix x x x x +-++，C 正确； 对于D ，6i31cos isini 662e πππ=+=31i 2，D 不正确. 故选：ABC三、填空题13．（2021·天津市第四中学高三阶段练习）已知方程()20R x x m m ++=∈有两个虚根α，β，若3αβ-=，则m 的值是___________. 【答案】52【分析】由已知结合实系数一元二次方程两个虚根互为共轭复数，设出α的代数形式，代入计算作答. 【详解】因α，β是方程()20R x x m m ++=∈有两个虚根，设i(,R)a b a b α=+∈，则i a b β=-，由3αβ-=得：|i (i)||2|3a b a b b +--==，解得3||2b =， 又2(i)(i)0a b a b m ++++=，即22()(2)i 0a b a m ab b -++++=，因R m ∈，于是得：22020a b a m ab b ⎧-++=⎨+=⎩，解得12a =-，52m =，所以m 的值是52.故答案为：5214．（2021·上海长宁·一模）在复平面xoy 内，复数12z ,z 所对应的点分别为12Z Z 、，对于下列四个式子：（1）2211 z z =；（2）1212z z z z ⋅=⋅；（3）2211OZ OZ =；（4）1212OZ OZ OZ OZ ⋅=⋅，其中恒成立的是____________（写出所有恒成立式子的序号） 【答案】（2）（3） 【分析】结合复数运算对四个式子进行分析，由此确定正确答案. 【详解】221111i,2i,2z z z =+==，所以（1）错误.()()121,1,1,1Z Z -，12120,2OZ OZ OZ OZ ⋅=⋅=，所以（4）错误.设()()1212i,i,,,,z a b z c d Z a b Z c d =+=+，()()()2212i z z ac bd ad bc ac bd ad bc ⋅=-++=-++22222222a c b d a d b c =+++22222222222212z z a b c d a c b d a d b c ⋅+++++2）正确.222211OZ OZ a b ==+，所以（3）正确. 故答案为：（2）（3）15．（2021·浙江·模拟预测）已知平面直角坐标系xOy 中向量的旋转和复数有关，对于任意向量x →=(a ，b )，对应复数z =a +ib ，向量x 逆时针旋转一个角度θ，得到复数'(i )(cos isin )cos sin i(sin cos )z a b a b a b θθθθθθ=++=-++，于是对应向量'(cos sin ,sin cos )x a b a b θθθθ→=-+.这就是向量的旋转公式.根据此公式，已知正三角形ABC 的两个顶点坐标是A (1，2)，B (3，4)，则C 的坐标是___________.(任写一个即可) 【答案】(23,33)-(答案不唯一) 【分析】首先设出C 的坐标，然后分别写出AB →，AC →，利用向量的旋转公式即可求解. 【详解】不妨设C 的坐标为00(,)x y ，且AC →是AB →逆时针旋转60得到， 因为A (1，2)，B (3，4)，所以(2,2)AB →=，00(1,2)AC x y →=--， 从而AB →对应的复数为22i z =+，AC →对应的复数为'(22i)(cos 60isin 60)13(13)i z =++=-，所以00(1,2)(13,13)AC x y →=--=+，解得023x =033y = 故C 的坐标是(23,33). 故答案为：(23,33).16．（2021·福建·厦门市湖滨中学高三期中）若复数z 满足32i 1z -+=，则62i z --的最小值为__________． 【答案】4 【分析】根据复数模的几何意义得出复数z 对应的点Z 的轨迹是以()3,2C -为圆心，半径为1的圆，然后再根据62i z --的几何意义求最小值即可.【详解】因为复数z 满足32i 1z -+=，则复数z 对应的点Z 的轨迹是以()3,2C -为圆心，半径为1的圆， 又62i z --表示复数z 对应的点Z 与点()6,2P 之间的距离， 所以62i z --的最小值为()()22163221514PC -=-++=-=．故答案为：4．四、解答题17．（2021·贵州遵义·高三阶段练习）已知复数i()z b b =∈R ，31iz +-是实数. （1）求复数z ；（2）若复数2()8m z m --在复平面内所表示的点在第二象限，求实数m 的取值范围. 【答案】 （1）3i z =-（2）(0,9)【分析】 （1）先将i z b =代入31iz +-化简，再由其虚部为零可求出b 的值，从而可求出复数z ， （2）先对2()8m z m --化简，再由题意可得2890,60,m m m ⎧--<⎨>⎩从而可求得结果 （1） 因为i z b =，所以33i (3i)(1i)3(3)i 1i 1i 22z b b b b ++++-++===--， 因为31iz +-是实数，所以30b +=，解得3b =-. 故3i z =-.（2）因为3i z =-，所以()222()8(3i)8896i m z m m m m m m --=+-=--+.因为复数2()8m z m --所表示的点在第二象限，所以2890,60,m m m ⎧--<⎨>⎩解得09m <<，即实数m 的取值范围是(0,9).18．（2021·全国·高一课时练习）求复数1i +，1i --2，2i -的辐角主值．【答案】π4，5π4，0，3π2 【分析】计算12r =11cos 2sin 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩结合102πθ≤<，得到辐角主值，同理可得其他答案． 【详解】设这4个复数的模分别为1r ，2r ，3r ，4r ，辐角主值分别为1θ，2θ，3θ，4θ．因为221112r =+11cos 2sin 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩，又102πθ≤<，故1π4θ=． 同理，可以求得：5π5π1i 2cos isin 44⎫--=+⎪⎭， )22cos0isin 0+，3π3π2i 2cos isin 22⎫-=+⎪⎭， 故4个复数的辐角主值分别为π4，5π4，0，3π2． 19．（2021·西藏·拉萨那曲高级中学高二期中（理））已知复数11i z =+，23i z =-.（1）求21z z ； （2）若4i()z a a R =+∈满足2z z +为纯虚数，求||z .【答案】（1）12i -（2）5【分析】（1）根据复数代数形式的运算法则即可求出；（2）根据纯虚数的概念即可求出参数a ，再根据复数模的计算公式即可求出．（1）213i (3i)(1i)33i i 112i 1i (1i)(1i)2z z ------====-++-． （2）因为2(3)3i z z a +=++为纯虚数，∴30a +=，∴3a =-.即34i z =-+，22||(3)45z =-+=．20．（2021·全国·高一课时练习）在复数范围内分解因式：（1）28x +；（2）223x x -+；（3）2321x x -+.【答案】（1）28(22i)(22i)x x x +=+-（2）223(12i)(12i)x x x x -+=--- （3）212123213((x x x x -+-+=） 【分析】利用完全平方公式平方差公式将所给的表达式分解因式. （1）2228=8i (2i)(2i)x x x x +-=+- （2）()22223=12i (12i)(12i)x x x x x -+--=-- （3）∵ 22222112321=3)3[()i ]3339x x x x x -+-+=--( ∴ 212123213[()33x x x x -+=-- ∴ 212123213((x x x x -+-+=） 21．（2021·湖北·高一期末）已知12i +是关于x 的方程20(,)x px q p q R ++=∈的一个根，其中i 为虚数单位． （1）求,p q 的值；（2）记复数i z p q =+，求复数1iz +的模． 【答案】（1）2,5p q =-=（258【分析】（1）由题知()()212i 12i 0p q ++++=，即()()342i 0p q p +-++=，再根据复数相等求解即可； （2）由（1）得25i z =-+，故37i 1i 2z +=+，再求模即可. （1）解：知12i +是关于x 的方程20(,)x px q p q R ++=∈的一个根， 所以()()212i 12i 0p q ++++=，即()()342i 0p q p +-++=， 所以30420p q p +-=⎧⎨+=⎩，解得2,5p q =-=. 所以2,5p q =-=（2）解：由（1）得复数25i z =-+， 所以()()()()25i 1i 25i 37i 1i 1i 1i 1i 2z -+--++===+++- 所以复数1i z +9495844+= 22．（2021·全国·高一课时练习）已知复数()31i 1i z =-． （1）求1arg z 及1z ；（2）当复数z 满足1z =，求1z z -的最大值．【答案】（1）17arg 4z π=，122z = （2）221【分析】（1）化简复数为代数形式后，再化为三角形式，即可求解． （2）z 设为三角形式，和复数1z 的代数形式，共同代入1z z -，化简后可求最大值． （1）解：()31i 1i 22i z =-=-，将1z 化为三角形式，得1772cos isin 44z ππ⎫⎪=⎭+， ∴17arg 4z π=，122z = （2） 解：由于复数z 满足1z =，设cos isin z αα=+，则()()1cos 2sin 2i z z αα-=-++， ()()2221cos 2sin 2924z z πααα⎛⎫-=-++=+- ⎪⎝⎭，当sin 14πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，21z z -取得最大值942+ 所以1z z -的最大值为221．。

2020-2021学年高中数学必修第二册第七章《复数》测试卷一．单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．设i 为虚数单位，复数z =2+3i i ，则z 的共轭复数是（ ）A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i【解答】解：∵z =2+3i i =(2+3i)(−i)−i 2=3−2i ，∴z =3+2i ．故选：B ．2．设2i 1+i =x +yi （x ，y ∈R ，i 为虚数单位），则|x ﹣yi |＝（ ）A ．1B ．12C ．√2D ．√22【解答】解：∵2i 1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i =x +yi ，∴x ＝y ＝1，∴|x ﹣yi |＝|1﹣i |=√(1)2+(−1)2=√2．故选：C ．3．若z （1+i ）＝1﹣i ，则z ＝（ ）A ．1﹣iB ．1+iC ．﹣iD ．i【解答】解：由z （1+i ）＝1﹣i ，得z =1−i 1+i =(1−i)2(1+i)(1−i)=−i ，∴z ＝i ．故选：D ．4．已知复数z 1对应复平面上的点（﹣1，1），复数z 2满足z 1z 2＝﹣2，则|z 2|＝（）A ．√10B ．2C ．√2D ．10【解答】解：由题意，z 1＝﹣1+i ，又z 1z 2＝﹣2，∴z 2=−2z 1=−2−1+i =−2(−1−i)(−1+i)(−1−i)=1+i ．∴|z 2|=√2．故选：C ．5．若z =i 2020+3i 1+i ，则z 的虚部是（ ）A ．iB ．2iC ．﹣1D ．1【解答】解：z =i 2020+3i 1+i =1+3i 1+i =(1+3i)(1−i)(1+i)(1−i)=2+i ，∴z 的虚部是1．故选：D ．6．（1﹣i ）4＝（ ）A ．﹣4B ．4C ．﹣4iD ．4i【解答】解：（1﹣i ）4＝[（1﹣i ）2]2＝（﹣2i ）2＝﹣4．故选：A ．7．已知i 为虚数单位，若21+i =a +bi(a ，b ∈R)，则a 2019+b 2020＝（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：由21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i =a +bi ，得a ＝1，b ＝﹣1，∴a 2019+b 2020＝12019+（﹣1）2020＝2．故选：C ．8．已知i 为虚数单位，复数z 满足（2i +1）z ＝1﹣i ，则z 在平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解答】解：由（2i +1）z ＝1﹣i ，得z =1−i 1+2i =(1−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−15−35i ，∴z =−15+35i ，则z 在平面内对应的点的坐标为（−15，35），位于第二象限．故选：B ．二．多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分）9．已知复数z 满足z 2＝﹣7﹣24i ，在复平面内，复数z 对应的点可能在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），代入z 2＝﹣7﹣24i ，得（a +bi ）2＝a 2﹣b 2+2abi ＝﹣7﹣24i ，∴{a 2−b 2=−72ab =−24，解得{a =3b =−4或{a =−3b =4．∴复数z 对应的点的坐标为（3，﹣4）或（﹣3，4），可能在第二、四象限．故选：BD ．10．下列说法正确的是（ ）A ．若|z |＝2，则z ⋅z =4B ．若复数z 1，z 2满足|z 1+z 2|＝|z 1﹣z 2|，则z 1z 2＝0C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虛部相等D ．“a ≠1”是“复数z ＝（a ﹣1）+（a 2﹣1）i （a ∈R ）是虚数”的必要不充分条件【解答】解：A ．若|z |＝2，则z ⋅z =|z|2=4，故A 正确；B ．设z 1＝a 1+b 1i （a 1，b 1∈R ），z 2＝a 2+b 2i （a 2，b 2∈R ）．由|z 1+z 2|＝|z 1﹣z 2|，得|z 1+z 2|2＝（a 1+a 2）2+（b 1+b 2）2＝|z 1﹣z 2|2＝（a 1﹣a 2）2+（b 1﹣b 2）2，则a 1a 2+b 1b 2＝0，而z 1•z 2＝（a 1+b 1i ）（a 2+b 2i ）＝a 1a 2﹣b 1b 2＝2a 1a 2不一定等于0，故B 错误；C ．z ＝1﹣i ，z 2＝（1﹣i ）2＝﹣2i 为纯虚数，其实部与虚部不等，故C 错误；D ．复数z ＝（a ﹣1）+（a 2﹣1）i （a ∈R ）是虚数则a 2﹣1≠0，即a ≠±1，故“a ≠1”是“复数z ＝（a ﹣1）+（a 2﹣1）i （a ∈R ）是虚数”的必要不充分条件，故D 正确．故选：AD ．11．已知复数z =i 1−i ，则以下说法正确的是（ ）A ．复数z 的虚部为i 2B ．|z|=√22C ．z 的共轭复数z =12−i 2D ．在复平面内与z 对应的点在第二象限【解答】解：∵z =i 1−i =i(1+i)(1−i)(1+i)=−12+12i ，∴复数z 的虚部为12，故A 错误； |z |=√(−12)2+(12)2=√22，故B 正确； z 的共轭复数z =−12−12i ，故C 错误；在复平面内与z 对应的点的坐标为（−12，12），在第二象限，故D 正确． 故选：BD ．12．设复数z =−12+√32i ，则以下结论正确的是（ ）A ．z 2≥0B ．z 2=zC ．z 3＝1D ．z 2020＝z 【解答】解：∵z =−12+√32i ， ∴z 2=(−12+√32i)2=14−√32i −34=−12−√32i ，故A 错误；z 2=z ，故B 正确；z 3=z 2⋅z =(−12−√32i)(−12+√32i)=14−√34i +√34i +34=1，故C 正确；z 2020＝z 3×673•z ＝z ，故D 正确．故选：BCD ．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知i 为虚数单位，z =21−i ，则|z |＝ √2 ． 【解答】解：∵z =21−i =2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i ， ∴|z |=√2．故答案为：√2．14．复数z =2+4i(1+i)2，则|z |＝ √5 ．【解答】解：∵z =2+4i(1+i)2=2+4i 2i =1+2i i =(1+2i)(−i)−i 2=2−i ， ∴|z |=√22+(−1)2=√5．故答案为：√5．15．i 是虚数单位，则|i 1+i |的值为 √22． 【解答】解：|i 1+i |=|i||1+i|=2=√22， 故答案为：√22． 16．若z 是复数，z =1−2i 1+i ，则z •z = 52 ． 【解答】解：∵z =1−2i 1+i， ∴z •z =|z |2=(|1−2i 1+i |)2=(|1−2i||1+i|)2=(√5√2)2=52． 故答案为：52． 四．解答题（共6小题，第17题10分，18-22每小题12分，共70分）17．已知复数z 满足|z |＝1+3i ﹣z ，求(1+3i)3(3+4i)z ．【解答】解：设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），由|z |＝1+3i ﹣z ，得√a 2+b 2=(1−a)+(3−b)i ，∴{√a 2+b 2=1−a 3−b =0，解得a ＝﹣4，b ＝3． ∴(1+3i)3(3+4i)z =(1+3i)3(3+4i)−4+3i =(1+3i)2(1+3i)(3+4i)i(3+4i) =(−8+6i)(1+3i)i =−8−24i+6i−18i =−26−18i i =(−26−18i)(−i)−i 2=−18+26i ． 18．已知i 是虚数单位，z 1=3−i 1+i ． （Ⅰ）求|z 1|；（Ⅱ）若复数z 2的虚部为2，且z 1z 2的虚部为0，求z 2．【解答】解：（Ⅰ）∵z 1=3−i 1+i =(3−i)(1−i)(1+i)(1−i)=2−4i 2=1−2i ， ∴|z 1|=√12+(−2)2=√5；（Ⅱ）设z 2＝a +2i （a ∈R ），则z 1z 2＝（1﹣2i ）（a +2i ）＝（a +4）+（2﹣2a ）i ，∵z 1z 2的虚部为0，∴2﹣2a ＝0，即a ＝1．∴z 2＝1+2i ．19．已知x 2﹣（3﹣2i ）x ﹣6i ＝0．（1）若x ∈R ，求x 的值．（2）若x ∈C ，求x 的值．【解答】解：（1）x ∈R 时，由方程x 2﹣（3﹣2i ）x ﹣6i ＝0，得（x 2﹣3x ）+（2x ﹣6）i ＝0，即{x 2−3x =02x −6=0，解得x ＝3； （2）x ∈C 时，设x ＝a +bi （a ，b ∈R ），代入x 2﹣（3﹣2i ）x ﹣6i ＝0，整理得（a 2﹣b 2﹣3a ﹣2b ）+（2ab ﹣3b +2a ﹣6）i ＝0，则{a 2−b 2−3a −2b =02ab −3b +2a −6=0，解得{a =0b =−2或{a =3b =0． 故x ＝3或x ＝﹣2i ．20．已知z ＝（m 2﹣8m +15）+（m 2﹣5m +6）i ，其中i 是虚数单位，m 为实数．（1）当z 为纯虚数时，求m 的值；（2）当复数z •i 在复平面内对应的点位于第二象限时，求m 的取值范围．【解答】解：（1）∵z 为纯虚数，∴{m 2−8m +15=0m 2−5m +6≠0，解得m ＝5； （2）∵z •i ＝﹣（m 2﹣5m +6）+（m 2﹣8m +15）i 在复平面内对应的点位于第二象限，∴{−m 2+5m −6＜0m 2−8m +15＞0，解得m ＜2或m ＞5． ∴m 的取值范围是（﹣∞，2）∪（5，+∞）．21．若复数z ＝（m 2+m ﹣6）+（m 2﹣m ﹣2）i ，当实数m 为何值时（1）z 是实数；（2）z 是纯虚数；（3）z 对应的点在第二象限．【解答】解：（1）由题意可得：m 2﹣m ﹣2＝0，解得：m ＝﹣1或2；（2）由题意可得：m 2+m ﹣6＝0，且m 2﹣m ﹣2≠0，∴m ＝2或﹣3，且m ≠﹣1且m ≠2，∴m ＝﹣3；（3）由题意可得：{m 2+m −6＜0m 2−m −2＞0， 解得：﹣3＜m ＜﹣1．22．已知复数z 满足z •z =2，且z 的虚部为﹣1，z 在复平面内所对应的点在第四象限．（1）求z ；（2）求|z 2﹣z |．【解答】解：（1）由题意设z ＝x ﹣i （x ∈R ）．∵z ⋅z =2，∴x 2+1＝2，解得x ＝±1．∵z 在复平面内所对应的点在第四象限，∴x ＝﹣1．则z ＝1﹣i ；（2）∵z 2＝（1﹣i ）2＝﹣2i ，∴z 2﹣z ＝﹣2i ﹣（1﹣i ）＝﹣1﹣i ，∴|z2−z|=√(−1)2+(−1)2=√2．。

人教A 版（2019）必修第二册第七章复数单元测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设21i z i=+，则z 的共轭复数为 A ．1? i + B ．1? i - C ．2? i + D ．2i -2．设i 是虚数单位，则复数21i i -在复平面内所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知i 是虚数单位，复数2(12)i -的共轭复数虚部为A ．4iB ．3C ．4D ．4- 4．已知复数21i z i =-，则z 的共轭复数在复平面对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．复数z 满足()11z i i -=--，则2z +=（ ）A ．3B ．1CD 6．复数41i i ++的共轭复数的虚部是（ ） A ．1B ．-1C ．iD ．-i 7．定义运算a b ad bc c d =-，若复数z 满足012z i i i-=--（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．已知复数()22(z i i i i =++为虚数单位)，则z =（ ）A ．1i --B ．1i +C ．1i -D ．1i -+ 9．复数201911i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭（i 为虚数单位）的虚部是（ ） A ．i B ．-i C ．1 D ．-110．已知复数z 满足z i=2+i ，i 是虚数单位，则|z |=( )A B C ．2 D二、填空题11．已知复数z 满足(12)1z i -=（其中i 是虚数单位），则复数z 的虚部为_______.12．关于x 的方程()()()225220i x i x i +-++-=有实数解，则x =__________．13．设i 是虚数单位，若复数z 满足2z i -=，则z 的最大值为______.三、双空题14．已知复数()()2136z m i m i =+-+为纯虚数，则实数m =__________；z =__________． 15．在复平面内，复数()2211i z i i =+-+对应的点位于第__________象限；z =__________． 16．已知11iz =+，则z =__________，z =__________． 17．若复数z 满足23iz i =-，则在复平面内，z 对应的点坐标是__________；z =__________．四、解答题18．设1OZ 及2OZ 分别与复数113z i =+及复数22z i =+对应，计算12z z +，并在复平面内作出12OZ OZ +．19．已知复数()()2276561a a z a a i a R a -+=+--∈+．试求实数a 分别为什么值时，z 分别为：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．20．已知复数1z ，2z 满足121z z ==，1212z z +=，求1z ，2z 值． 21．设复数z ：满足432243z i z i +--=-+-，求z 的最大值和最小值．22．已知关于x 的方程()()2690x i x ai a -+++=∈R 有实数根b ．（1）求实数a ，b 的值；（2）若复数满足20z a bi z ---=，求z 的最小值．参考答案1．B【详解】211i z i i==++,z 的共轭复数为1i -. 故答案为B.2．B【详解】 试题分析：由题意得()()()2121111i i i i i i i +==-+--+ ，所以在复平面内表示复数1i -+的点为()1,1-在第二象限．故选B ．考点：复数的运算；复数的代数表示以及几何意义.3．C【分析】先化复数为代数形式，再根据共轭复数概念以及虚部概念得结果.【详解】因为()21234i i -=--，所以复数()212i -的共轭复数为34i -+，因此虚部为4，选C.【点睛】本题考查共轭复数概念以及虚部概念，考查基本分析求解能力，属基础题.4．C【详解】分析：根据复数的运算，求得复数z ，再利用复数的表示，即可得到复数对应的点，得到答案． 详解：由题意，复数()()()2121111i i i z i i i i +===-+--+，则1z i =-- 所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,1)--，位于复平面内的第三象限，故选C ． 点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数的表示，其中根据复数的四则运算求解复数z 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．5．D【分析】首先根据复数代数形式的乘法求出复数z ，再求模即可；【详解】解：∵()11z i i -=--，∴()()()2111z i i i -+=-+， ∴22z i =-，∴z i =-，∴22z i +=-，∴2z +故选：D【点睛】本题考查复数的代数形式的乘法运算以及复数的模，属于基础题.6．A【分析】先根据复数除法法则化简，再根据共轭复数以及虚部概念的结果.【详解】()()()414222111i i i i i i i i i -+=+=-+=-+-+，则复数41i i ++的共轭复数的虚部是：1． 故选：A【点睛】本题考查复数除法、共轭复数以及虚部，考查基本分析求解能力，属基础题.7．A【分析】由已知得()210iz i i -+-=，变形后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】 由题意，()21012z i iz i i i i-=-+-=--， ∴()()211112222i i i z i i i +-+===--， 则1122z i =+，∴z 在复平面内对应的点的坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，在第一象限． 故选A ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．8．A【分析】根据复数的乘法与乘方运算，即可得到z ，写出共轭复数即可.【详解】由()22(1)1z i i ii i i =++=+=-+. 则1z i =--.故选：A .【点睛】本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念，属于容易题.9．C【分析】 先化简可得()()()21121112i i i i i i i ---===-++-，找到周期，即可得解. 【详解】 化简可得()()()2221112211112i i i i i i i i i i ---+-====-++--， ∴()2019201911i i i i -⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭，复数的虚部为1．故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算，考查了复数计算的周期性，在解题时注意虚部不含i ，属于简单题. 10．D【解析】由题意得2i 12i iz +==-，所以|z |D ． 11．25 【解析】 由题得1121212(12)(12)5i i z i i i ++===--+，所以复数的虚部为25.故填25. 12．2【分析】根据复数相等概念列方程组，解得结果.【详解】因为方程()()()225220i x i x i +-++-=有实数解，所以x 可以看成实数，方程可整理成()2225220x x x x i -++--=， 根据复数相等的条件得22252020x x x x ⎧-+=⎨--=⎩，解得2x =． 故答案为：2【点睛】本题考查复数相等、复系数方程，考查基本分析求解能力，属基础题.13．3【分析】先设复数z 所对应坐标为(,)x y ，根据2z i -=得到,x y 所满足关系式，再由z =示点(,)x y 到原点的距离，进而可求出结果.【详解】设复数z 所对应坐标为(,)x y ，由2z i -=2，即22(1)4x y +-=，所以z =22(1)4x y +-=上的点(,)x y 到原点的距离，因此，max 123z r =+=（其中r 为圆22(1)4x y +-=的半径）.故答案为3【点睛】本题主要考查复数的几何意义，熟记复数与复平面内的点一一对应，即可求解，属于基础题型.14．3 9【分析】根据纯虚数的概念，可得实部为0，虚部不为0，即可得解.【详解】由复数()()2136z m i m i =+-+为纯虚数，即()()2236z m m m m i =-+-为纯虚数，∴223060m m m m ⎧-=⎨-≠⎩，解得3m =，9z i =-，9z =． 【点睛】本题考查了纯虚数的概念，考查了实部和虚部的范围，计算量不大，属于基础题.15．四【分析】先根据复数运算法则化简，再根据复数几何意义确定点所在象限，最后根据共轭复数概念以及模的定义求结果.【详解】 由()()2211211i z i i i i i i =+-=--=-+，∴对应的点的坐标为()1,1-，位于第四象限，1z i =+，∴z【点睛】本题考查复数运算、复数几何意义、共轭复数概念以及模的定义，考查基本分析求解能力，属基础题.16．1122i + 【分析】先根据复数除法法则化简,z 再根据共轭复数概念得第一空，根据复数模的性质求解第二空.【详解】∵()()1111112i i z i i i --===++-，则1122z i =+，z故答案为：1122i +【点睛】本题考查复数除法、共轭复数概念、复数模，考查基本分析求解能力，属基础题.17．()3,2--【分析】先求复数z ，再根据复数几何意义得点坐标，最后根据复数模的定义求结果.【详解】∵23iz i =-， ∴()232332i i i z i i i i-⋅-===--⋅，∴在复平面内z 对应的点坐标是()3,2--，z =故答案为：()3,2--【点睛】本题考查复数除法、复数几何意义、复数的模，考查基本分析求解能力，属基础题. 18．1234+=+z z i ，作图见解析.【分析】根据复数几何意义以及复数加法直接计算12z z +，并作图.【详解】()()()()12132123134z z i i i i +=+++=+++=+．如图所示：【点睛】本题考查复数几何意义以及复数加法，考查基本分析求解能力，属基础题.19．（1）；（2）且；（3） 【详解】试题分析：当时，若z 是实数，则虚部，若z 是虚数，则虚部不等于0，若z 是纯虚数，则实部为0，虚部不等于0，还要注意实部的分母的条件. 试题解析：解：（1）当z 为实数时，2560{10a a a --=+≠， 6,6.a a z ∴=∴=当时，为实数（2）当z 为虚数时，2560{10a a a --≠+≠， 16,16.a a a R a a z ∴≠-≠∴∈≠-≠且当，且时，为虚数（3）当z 为纯虚数时，22560{76010a a a a a --≠-+=+≠，1,1.a a z ∴=∴=当时，为纯虚数考点：复数20．11z =，212z =-；或112z =-，21z =． 【分析】先设()1,z a bi a b =+∈R，再根据1212z z +=求2z ，最后根据121z z ==列方程组，解得结果.【详解】设()1,z a bi a b =+∈R ，则221a b +=．∵1212z z +=，∴212z a b i ⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． ∵21z =，∴22112a b ⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．解得：1a =，0b =或12a =-，b =．∴11z =，212z =-；或112z =-，21z =． 【点睛】本题考查复数的模、复数加法，考查基本分析求解能力，属基础题.21．最大值7；最小值3．【分析】先根据绝对值定义得不等式，再根据绝对值三角不等式求最值.【详解】由已知等式得()4320z i --+-≤()|||43|4322||523||7z i z i z z ∴--+≤--+≤∴-≤-≤∴≤≤ 所以z 最大值为7； z 最小值为3．【点睛】本题考查复数模、绝对值三角不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.22．（1）3a b ==；（2【分析】（1）复数方程有实根，方程化简为0(a bi a +=、)b R ∈，利用复数相等，即00a b =⎧⎨=⎩解方程组即可．（2）先把a 、b 代入方程，同时设复数z x yi =+，化简方程，根据表达式的几何意义，方程表示圆，再数形结合，求出z ，得到||z ．【详解】解：（1）b 是方程2(6)90()x i x ai a R -+++=∈的实根，2(69)()0b b a b i ∴-++-=，∴2690b b a b ⎧-+=⎨=⎩解得3a b ==．本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

第七章 复数一、单选题1．已知复数1312i z i-=+，则z =（ ）A ．2B C D ．5 【答案】B 【解析】()()()()1312135511212125i i i i z i i i i -----====--++- z ∴的实部为1-，虚部为1-，z ==故选B2．m ∈R ，i 为虚数单位，若()(23)5m i i i +-=-，则m 的值为（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-2【答案】A【解析】由（m +i ）（2﹣3i ）＝（2m +3）+（2﹣3m ）i ＝5-i ， 得235231m m +=⎧⎨-=-⎩，即m ＝1．故选A ．3．(cos π6+i sin π6)×2(cos π3+i sin π3)=（ ） A ．2B ．-2C ．2iD ．i - 【答案】C【解析】(cos π6+i sin π6)×2(cos π3+i sin π3)=2cos (π6+π3)+2i sin (π6+π3)=cos π2+i sin π2=2i. 故选：C. 4．如图，在复平面内，复数z 1和z 2对应的点分别是A 和B ，则=（ ）A ．+iB ．+iC ．﹣﹣iD ．﹣﹣i【答案】C【解析】由给出复平面坐标系，，，则.5．复数ii 21+的共轭复数是),(R b a bi a ∈+，i 是虛数单位，则点),(b a 为（ ） A ．()2,1 B ．()1,2- C ．()1,2 D ．()2,1-【答案】C 【解析】122i i i+=-，共轭复数为2i +，所以),(b a 为(2,1)，故选C ． 6．将复数(1,√3)对应的向量ON 绕原点按顺时针方向旋转2π，得到的向量为1ON ，那么1ON 对应的复数是（ ）A i -B 3i +C ．i -D ．i +【答案】A【解析】复数1的三角形式是2cos sin 33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,向量1ON 对应的复数是2cos sin 332cos sin 66cos sin 22i i i ππππππ⎛⎫+ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦+ 故选：A7．设a ∈R ，若（为虚数单位）为正实数，则a =( )A ．2B ．1C ．0D ．−1【答案】B【解析】(a −i)2i =(a 2−2ai +i 2)i =a 2i −2ai 2−i =2a +(a 2−1)i ，因为2a +(a 2−1)i 为正实数，所以{2a >0a 2−1=0⇒a =1，故选B 8．已知i 是虚数单位，则2015)21(i +在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【解析】由于2015210071007]22i i i ===-=-，可知点位于第四象限，故选D ．二、多选题 9．已知i 为虚数单位,下列命题中正确的是( )A ．若0a ≠,则ai 是纯虚数B ．虚部为的虚数有无数个C ．实数集是复数集的真子集D ．两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等【答案】BCD 【解析】对于A ,若a i =,则21ai i ==-,不是纯虚数,故A 错误；对于B ,虚部为2-的虚数可以表示为)m m ∈R ,有无数个,故B 正确；根据复数的分类,判断C 正确；两个复数相等一定能推出实部相等,必要性成立,但两个复数的实部相等推不出两个复数相等,充分性不成立,故D 正确.故选:BCD.10．设复数z 满足12z i =--,i 为虚数单位,则下列命题正确的是( )A ．|z |=B ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限C ．z 的共轭复数为12i -+D ．复数z 在复平面内对应的点在直线2y x =-上 【答案】AC【解析】||z ==正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)--,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为12i -+,C 正确;复数z 在复平面内对应的点(1,2)--不在直线2y x =-上,D 不正确. 故选:AC11．设()()2225322z t t t t i =+-+++，t ∈R ，i 为虚数单位，则以下结论正确的是（ ）A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C ．z 一定不为实数D ．对应的点在实轴的下方 【答案】CD 【解析】22549492532488t t t ⎛+⎫= ⎪⎝⎭+-->-，()2222110t t t ++=++>， 所以，复数z 对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误；当222530220t t t t ⎧+-=⎨++≠⎩，即3t =-或12t =时，z 为纯虚数，故B 错误； 因为2220t t ++>恒成立，所以z 一定不为实数，故C 正确；由选项A 的分析知，z 对应的点在实轴的上方，所以z 对应的点在实轴的下方，故D 正确.故选：CD.12．已知i 为虚数单位，下列说法中正确的是（ ）A ．若复数z满足||z i -=z 对应的点在以(1,0)为半径的圆上B ．若复数z 满足||28z z i +=+，则复数158z i =+C ．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模D ．复数1z 对应的向量为1OZ ，复数2z 对应的向量为2OZ ，若1212z z z z +=-，则12OZ OZ ⊥【答案】CD【解析】满足||z i -=z 对应的点在以(0,1)A 错误；在B 中，设(,)z a bi a b R =+∈，则||z =由||28z z i +=+，得28a bi i +=+，2,8,a b ⎧⎪+=∴⎨=⎪⎩解得15.8,a b =-⎧⎨=⎩158z i ∴=-+，B 错误；由复数的模的定义知C 正确；由1212z z z z +=-的几何意义知，以1OZ ，2OZ 为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D 正确. 故选：CD三、填空题13．则复数32i z i +=，（i 为虚数单位），则z 的虚部等于 . 【答案】3- 【解析】因32i z i+=i 32-=.故应填答案3-. 14．若复数2z i =-（i 为虚数单位），则z z z ⋅+=______________.【答案】7i -【解析】为2z i =-，所以2z i =+.因此22(2)(2)2227z z z i i i i i i ⋅+=-++-=-+-=-. 故答案为：7i -15．在复平面上，设点A 、B 、C ，对应的复数分别为,1,42i i +，顺次过A 、B 、C 做平行四边形ABCD,则点D 的坐标为_______________．【答案】()3,3．【解析】设),(y x D ，由复数的几何意义，得=,即i y x i )2()4(1-+-=--，即⎩⎨⎧-=--=-1214y x ，解得⎩⎨⎧==33y x ，即D 的坐标为()3,3．16．若z C ∈，4z =，则24u z z =-+的最大值是______.【答案】24【解析】设(,)z x yi x y R =+∈，因为4z =222241616x y y x =⇒+=⇒=-，显然有44x -≤≤.224()4u z z x yi x yi =-+=+--+=把2216y x =-代入上式得：u ==因为44x -≤≤，所以当54x =时，u 当4x =-时，u 有最大值，最大值为24.故答案为： 24四、解答题17．计算: (1)2(12)3(1)2i i i++-+ ； (2)2211(1)(1)i i i i -+++- . 【答案】（1）1255i +；（2）1-. 【解析】(1)()()()212312343312222555i i i i i i i i i i i ++---++-====++++ (2)()()2211112122211i i i i i i i i i i -+-+-+=-==-+- 18．已知复数z =(2+i )m 2−3m(1+i)−2+2i .当实数m 取什么值时，复数z 是：（1）实数；（2）纯虚数；（3）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.【答案】(1) m =1或m =2.（2）m =−12.（3）m =0或m =2.【解析】z =2m 2−3m −2+(m 2−3m +2)i ，（1）z 为实数，则m 2−3m +2=0，则m =1或m =2（2）z 为纯虚数，则{2m2−3m −2=0m 2−3m +2≠0，则m =−12. （3）2m 2−3m −2+(m 2−3m +2)=0，则m =0或m =2.19．已知复数z 满足()()1314z i i =-+--.（1）求复数z 的共轭复数；（2）若z ai ω=+，且复数ω对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，求实数a 的取值范围.【答案】（1）24i --（2）80a -≤≤【解析】⑴133424z i i i =-+++-=-+，所以复数z 的共轭复数为24i --⑵ ()24w a i =-++ ∴复数w 对应向量为()2,4w a =-+此时(44w =+= 又复数z 对应的向量()2,4z =- ∴ 25z =w z ≤∴ ≤即()80a a +≤ ∴实数a 的取值范围为80a -≤≤20．已知复数21(4)()z m m i m R =+-∈和22cos (3sin )()z i R θλθλ=++∈，若12z z =，试求λ的取值范围. 【答案】9716λ-≤≤. 【解析】∵12z z =，∴()()242cos 3sin m m i i θλθ+-=++， ∴22{43m cos m sin θλθ=-=+，消去m 得：24cos 3sin θλθ-=+， ∴22394sin 3sin 4sin 816λθθθ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， ∵1sin 1θ-≤≤，∴当3sin 8θ=时，min 916λ=-. 当sin 1θ=-时，max 7λ=.所以λ的取值范围为：9716λ-≤≤.21．设12,z z ∈C ，已知121z z ==，12z z +=，求12z z -.【答案】12z z -=【解析】（方法一）设1z a bi =+，2(,,,)z c di a b c d =+∈R ， 由题设知221a b +=，221c d +=，22()()2a c b d +++=.又由222222()()22a c b d a ac c b bd d +++=+++++， 可得220ac bd +=.∴222222212()()(22)2z z a c b d a c b d ac bd -=-+-=+++-+=.∴12z z -=. （方法二）∵()22221212122z z z z z z ++-=+，将已知数值代入，可得2122z z -=，∴12z z -=.（方法三）作出1z ，2z 对应的向量1OZ ，2OZ ， 以1OZ ，2ZZ 为邻边作平行四边形12OZ ZZ ，如图所示.∵121z z ==，又∵1OZ ，2OZ 不共线（若1OZ ，2OZ 共线，则122z z +=或0）， ∴平行四边形12OZ ZZ 为菱形.又∵12z z +=，∴1290Z OZ ︒∠=，∴平行四边形12OZ ZZ 为正方形，∴12z z -=. 22．在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为123,,Z Z Z ，O （其中O 为原点）.已知点2Z对应的复数21z =，求1Z 和3Z 分别对应的复数13,z z .【答案】1z =+，3z =. 【解析】根据题意画出草图，如图所示.由复数运算的几何意义知12cos sin 44z z i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦)1222⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭1122i +=+，32cos sin 44z z i ππ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭)1⎫=⎪⎪⎝⎭1122+=+.。

第七章 复数1、数系的扩充和复数的概念 ........................................................................................ - 1 -2、复数的几何意义 ........................................................................................................ - 5 -3、复数的加、减运算及其几何意义 ............................................................................ - 9 -4、复数的乘、除运算 .................................................................................................. - 14 -5、复数的三角表示 ...................................................................................................... - 19 - 章末综合测验................................................................................................................ - 23 -1、数系的扩充和复数的概念一、选择题 1．下列命题：(1)若a ＋b i ＝0，则a ＝b ＝0； (2)x ＋y i ＝2＋2i ⇔x ＝y ＝2；(3)若y ∈R ，且(y 2－1)－(y －1)i ＝0，则y ＝1. 其中正确命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3B [(1)，(2)所犯的错误是一样的，即a ，x 不一定是复数的实部，b ，y 不一定是复数的虚部；(3)正确，因为y ∈R ，所以y 2－1，－(y －1)是实数，所以由复数相等的条件得⎩⎨⎧y 2－1＝0，－(y －1)＝0，解得y ＝1.]2．若复数z ＝(m ＋2)＋(m 2－9)i(m ∈R )是正实数，则实数m 的值为 ( ) A ．－2 B ．3 C ．－3D ．±3B [由题知⎩⎨⎧m 2－9＝0，m ＋2>0，解得m ＝3，故选B ．]3．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2iD ．2＋2iA [3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，故选A ．]4．4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．1或－4 C ．－4D ．0或－4C [由题意知⎩⎨⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.]5．设a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件B [因为a ，b ∈R ，“a ＝0”时“复数a ＋b i 不一定是纯虚数”．“复数a ＋b i 是纯虚数”，则“a ＝0”一定成立．所以a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要不充分条件．]二、填空题6．设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________.－2 [⎩⎨⎧m 2＋m －2＝0，m 2－1≠0，∴m ＝－2.]7．(一题两空)已知z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝________，n ＝________.2 ±2 [由复数相等的充要条件有 ⎩⎨⎧ n 2－3m －1＝－3，n 2－m －6＝－4⇒⎩⎨⎧m ＝2，n ＝±2.]8．下列命题：①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；②若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i(x ∈R )是纯虚数，则x ＝±1； ③两个虚数不能比较大小． 其中正确命题的序号是________．③ [当a ＝－1时，(a ＋1)i ＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对；若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则⎩⎨⎧x 2－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0，即x ＝1，故②错．]三、解答题9．若x ，y ∈R ，且(x －1)＋y i ＞2x ，求x ，y 的取值范围． [解] ∵(x －1)＋y i ＞2x ，∴y ＝0且x －1＞2x ， ∴x ＜－1，∴x ，y 的取值范围分别为x ＜－1，y ＝0.10．实数m 为何值时，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．[解] (1)要使z 是实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m (m ＋2)m －1有意义，即m －1≠0，解得m ＝－3.(2)要使z 是虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m (m ＋2)m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 是纯虚数，m 需满足m m ＋2m －1＝0，m －1≠0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.11．(多选题)下列命题正确的是( ) A ．1＋i 2＝0B ．若a ，b ∈R ，且a >b ，则a ＋i>b ＋iC ．若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0D ．两个虚数不能比较大小AD [对于A ，因为i 2＝－1，所以1＋i 2＝0，故A 正确．对于B ，两个虚数不能比较大小，故B 错．对于C ，当x ＝1，y ＝i 时，x 2＋y 2＝0成立，故C 错．D 正确．]12．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R )有实根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z ＝( )A ．3＋iB ．3－iC ．－3－iD ．－3＋iB [由题意，知n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0，即n 2＋mn ＋2＋(2n ＋2)i ＝0. 所以⎩⎨⎧n 2＋mn ＋2＝0，2n ＋2＝0，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝－1.所以z ＝3－i.]13．(一题两空)定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，如果(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1，则实数x ＝________，y ＝________.－1 2 [由定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc 得⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1＝3x ＋2y ＋y i ， 故有(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝3x ＋2y ＋y i.因为x ，y 为实数，所以有⎩⎨⎧x ＋y ＝3x ＋2y ，x ＋3＝y ，解得x ＝－1，y ＝2.]14．已知复数z 1＝4－m 2＋(m －2)i ，z 2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i 是虚数单位，m ，λ，θ∈R )．(1)若z 1为纯虚数，求实数m 的值； (2)若z 1＝z 2，求实数λ的取值范围． [解] (1)∵z 1为纯虚数， ∴⎩⎨⎧4－m 2＝0，m －2≠0，解得m ＝－2. (2)由z 1＝z 2，得⎩⎨⎧4－m 2＝λ＋2sin θ，m －2＝cos θ－2，∴λ＝4－cos 2θ－2sin θ ＝sin 2θ－2sin θ＋3 ＝(sin θ－1)2＋2.∵－1≤sin θ≤1，∴当sin θ＝1时，λmin ＝2， 当sin θ＝－1时，λmax ＝6， ∴实数λ的取值范围是[2,6]．2、复数的几何意义一、选择题1．复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限C [z ＝－1－2i 对应点Z (－1，－2)，位于第三象限. ] 2．已知z 1＝5＋3i ，z 2＝5＋4i ，则下列各式正确的是( ) A ．z 1＞z 2 B ．z 1＜z 2 C ．|z 1|＞|z 2|D ．|z 1|＜|z 2|D [z 1，z 2不能比较大小，排除选项A ，B ，又|z 1|＝52＋32，|z 2|＝52＋42，故|z 1|＜|z 2|.]3．已知平行四边形OABC ，O ，A ，C 三点对应的复数分别为0,1＋2i,3－2i ，则AB →的模|AB →|等于( )A ． 5B ．2 5C ．4D ．13D [由于OABC 是平行四边形，故AB →＝OC →，因此|AB →|＝|OC →|＝|3－2i|＝13.] 4．当23＜m ＜1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限D [∵23<m <1，∴3m －2>0，m －1<0，∴点(3m －2，m －1)在第四象限．] 5．如果复数z 满足条件z ＋|z |＝2＋i ，那么z ＝( ) A ．－34＋i B ．34－i C ．－34－iD ．34＋iD [设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，b ＝1，即z ＝34＋i.] 二、填空题6．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________. 12 [由条件，知⎩⎨⎧m 2＋2m －3≠0，m 2－9＝0，所以m ＝3，因此z ＝12i ，故|z |＝12.]7．复数z ＝x －2＋(3－x )i 在复平面内的对应点在第四象限，则实数x 的取值范围是________．(3，＋∞) [∵复数z 在复平面内对应的点位于第四象限， ∴⎩⎨⎧x －2＞0，3－x ＜0.解得x ＞3.] 8．设z 为纯虚数，且|z －1|＝|－1＋i|，则复数z ＝________. ±i [因为z 为纯虚数， 所以设z ＝a i(a ∈R ，且a ≠0)， 则|z －1|＝|a i －1|＝a 2＋1. 又因为|－1＋i|＝2， 所以a 2＋1＝2，即a 2＝1， 所以a ＝±1，即z ＝±i.] 三、解答题9．已知复数z ＝a ＋3i(a ∈R )在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，求复数z .[解] 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限， 所以a <0，由|z |＝2知，a 2＋(3)2＝2，解得a ＝±1， 故a ＝－1， 所以z ＝－1＋3i.10．在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 对应的点． (1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上． 分别求实数m 的取值范围．[解] 复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的实部为m 2－m －2，虚部为m 2－3m ＋2.(1)由题意得m 2－m －2＝0. 解得m ＝2或m ＝－1. (2)由题意得⎩⎨⎧m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2>0，∴⎩⎨⎧－1<m <2，m >2或m <1， ∴－1＜m ＜1.(3)由已知得m 2－m －2＝m 2－3m ＋2，∴m ＝2.11．(多选题)设复数z 满足z ＝－1－2i ，i 为虚数单位，则下列命题正确的是( )A ．|z |＝ 5B ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限C ．z 的共轭复数为－1＋2iD ．复数z 在复平面内对应的点在直线y ＝－2x 上AC [|z |＝(－1)2＋(－2)2＝5，A 正确；复数z 在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，在第三象限，B 不正确；z 的共轭复数为－1＋2i ，C 正确；复数z 在复平面内对应的点(－1，－2)不在直线y ＝－2x 上，D 不正确．故选AC ．]12．已知复数z 的模为2，则|z －i|的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．5D ．3D [∵|z |＝2，∴复数z 对应的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，而|z －i|表示圆上一点到点(0,1)的距离，∴|z －i|的最大值为圆上点(0，－2)到点(0,1)的距离，易知此距离为3，故选D ．] 13．(一题两空)已知复数z ＝lg(m 2＋2m －14)＋(m 2－m －6)i(i 为虚数单位)，若复数z 是实数，则实数m ＝______；若复数z 对应的点位于复平面的第二象限，则实数m 的取值范围为________．3 (－5，－1－15) [若复数z 是实数， 则⎩⎨⎧m 2－m －6＝0，m 2＋2m －14＞0，解得m ＝3. 若复数z 对应的点位于复平面的第二象限， 则⎩⎨⎧lg (m 2＋2m －14)＜0，m 2－m －6＞0，即⎩⎨⎧0＜m 2＋2m －14＜1，m 2－m －6＞0，即⎩⎨⎧m 2＋2m －14＞0，m 2＋2m －15＜0，m 2－m －6＞0，解得－5＜m ＜－1－15.]14．已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，求yx 的最大值． [解] ∵|x －2＋y i|＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3，故(x ，y )在以C (2,0)为圆心，3为半径的圆上，yx 表示圆上的点(x ，y )与原点连线的斜率．如图，由平面几何知识，易知yx 的最大值为 3. 15．已知复数z 1＝3＋i ，z 2＝－12＋32i. (1)求|z 1|及|z 2|并比较大小；(2)设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的轨迹是什么图形？ [解] (1)|z 1|＝(3)2＋12＝2， |z 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1，∴|z 1|＞|z 2|. (2)由|z 2|≤|z |≤|z 1|及(1)知1≤|z |≤2.因为|z |的几何意义就是复数z 对应的点到原点的距离，所以|z |≥1表示|z |＝1所表示的圆外部所有点组成的集合，|z |≤2表示|z |＝2所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周)，如图所示．3、复数的加、减运算及其几何意义一、选择题1．若(－3a ＋b i)－(2b ＋a i)＝3－5i ，a ，b ∈R ，则a ＋b ＝( ) A ．75B ．－115 C ．－185D ．5B [(－3a ＋b i)－(2b ＋a i)＝(－3a －2b )＋(b －a )i ＝3－5i ，所以⎩⎨⎧－3a －2b ＝3，b －a ＝－5，解得a ＝75，b ＝－185，故有a ＋b ＝－115.] 2．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( ) A ．－2 B ．4 C ．3D ．－4B [z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i ，故选B ．]3．若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，且z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．－1D [z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝(2＋3)＋(1＋a )i ＝5＋(1＋a )i.∵z 1＋z 2所对应的点在实轴上，∴1＋a ＝0，∴a ＝－1.]4．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量OA →，OB →对应的复数分别是3＋i ，－1＋3i ，则CD →对应的复数是( )A ．2＋4iB ．－2＋4iC ．－4＋2iD ．4－2iD [依题意有CD →＝BA →＝OA →－OB →，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i ，即CD →对应的复数为4－2i.故选D ．]5．若z ∈C ，且|z ＋2－2i|＝1，则|z －2－2i|的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5B [设z ＝x ＋y i ，则由|z ＋2－2i|＝1得(x ＋2)2＋(y －2)2＝1，表示以(－2,2)为圆心，以1为半径的圆，如图所示，则|z －2－2i|＝(x －2)2＋(y －2)2表示圆上的点与定点(2,2)的距离，数形结合得|z －2－2i|的最小值为3.]二、填空题6．已知复数z 1＝a 2－3－i ，z 2＝－2a ＋a 2i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a ＝________.3 [由条件知z 1＋z 2＝a 2－2a －3＋(a 2－1)i ，又z 1＋z 2是纯虚数，所以⎩⎨⎧a 2－2a －3＝0，a 2－1≠0，解得a ＝3.]7．在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，则BC →对应的复数为________．4－4i [BC →＝OC →－OB →＝OC →－(OA →＋AB →)，对应的复数为3＋2i －(－2＋i ＋1＋5i)＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i ＝4－4i.]8．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝________. －1＋10i [∵z 1＋z 2＝5－6i ，∴(x ＋2i)＋(3－y i)＝5－6i ， ∴⎩⎨⎧ x ＋3＝5，2－y ＝－6，即⎩⎨⎧x ＝2，y ＝8，∴z 1＝2＋2i ，z 2＝3－8i ，∴z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.] 三、解答题 9．计算：(1)(2－i)＋(－3＋5i)＋(4＋3i)； (2)4－(5＋12i)－i ；(3)若z －(－3＋5i)＝－2＋6i ，求复数z .[解] (1)(2－i)＋(－3＋5i)＋(4＋3i)＝(2－3＋4)＋(－1＋5＋3)i ＝3＋7i. (2)4－(5＋12i)－i ＝(4－5)＋(－12－1)i ＝－1－13i.(3)法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，因为z －(－3＋5i)＝－2＋6i ，所以(x ＋y i)－(－3＋5i)＝－2＋6i ，即(x ＋3)＋(y －5)i ＝－2＋6i ，因此⎩⎨⎧x ＋3＝－2，y －5＝6，解得⎩⎨⎧x ＝－5，y ＝11，于是z ＝－5＋11i.法二：由z －(－3＋5i)＝－2＋6i 可得z ＝－2＋6i ＋(－3＋5i)， 所以z ＝(－2－3)＋(6＋5)i ＝－5＋11i.10．在复平面内，A ，B ，C 分别对应复数z 1＝1＋i ，z 2＝5＋i ，z 3＝3＋3i ，以AB ，AC 为邻边作一个平行四边形ABDC ，求D 点对应的复数z 4及AD 的长．[解] 如图所示. AC →对应复数z 3－z 1， AB →对应复数z 2－z 1， AD →对应复数z 4－z 1.由复数加减运算的几何意义，得AD →＝AB →＋AC →， ∴z 4－z 1＝(z 2－z 1)＋(z 3－z 1)，∴z 4＝z 2＋z 3－z 1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i.∴AD 的长为|AD →|＝|z 4－z 1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝210. 11．(多选题)已知i 为虚数单位，下列说法中正确的是( )A ．若复数z 满足|z －i|＝5，则复数z 对应的点在以(1,0)为圆心，5为半径的圆上B ．若复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，则复数z ＝15＋8iC ．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模D ．复数z 1对应的向量为OZ 1→，复数z 2对应的向量为OZ 2→，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则OZ 1→⊥OZ 2→CD [满足|z －i|＝5的复数z 对应的点在以(0,1)为圆心，5为半径的圆上，A 错误；在B 中，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2.由z ＋|z |＝2＋8i ，得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，∴⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8.解得⎩⎨⎧a ＝－15，b ＝8.∴z ＝－15＋8i ，B 错误；由复数的模的定义知C 正确；由|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|的几何意义知，以OZ 1→，OZ 2→为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D 正确．故选CD ．]12．设z ∈C ，且|z ＋1|－|z －i|＝0，则|z ＋i|的最小值为( ) A ．0 B ．1 C ．22D ．12C [由|z ＋1|＝|z －i|知，在复平面内，复数z 对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y ＝－x ，而|z ＋i|表示直线y ＝－x 上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y ＝－x 的距离，即为22.]13．若复数z 满足z ＝|z |－3－4i ，则z ＝________. 76－4i [设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则⎩⎨⎧a ＝a 2＋b 2－3，b ＝－4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝76，b ＝－4，所以z ＝76－4i.]14．在复平面内，A ，B ，C 三点所对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i ，其中i 为虚数单位．(1)求AB →，BC →，AC →对应的复数； (2)判断△ABC 的形状； (3)求△ABC 的面积．[解] (1)AB →对应的复数为2＋i －1＝1＋i ， BC →对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ， AC →对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i. (2)∵|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝8＝22， ∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2，∴△ABC 为直角三角形． (3)S △ABC ＝12×2×22＝2.15．设z 为复数，且|z |＝|z ＋1|＝1，求|z －1|的值． [解] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＋1＝(a ＋1)＋b i ， 又|z |＝|z ＋1|＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，(a ＋1)2＋b 2＝1，即⎩⎨⎧a 2＋b 2＝1，a 2＋b 2＋2a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b 2＝34，故|z －1|＝|(a ＋b i)－1|＝|(a －1)＋b i|＝(a －1)2＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－12＋34＝ 3.4、复数的乘、除运算一、选择题 1.(1＋i )3(1－i )2＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋iD ．－1－iD [(1＋i )3(1－i )2＝2i (1＋i )－2i ＝－1－i ，选D ．]2．已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－iD ．2＋iC [z －1＝1＋ii ＝1－i ，所以z ＝2－i ，故选C ．] 3．在复平面内，复数i1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限B [i 1＋i＋(1＋3i)2＝12＋12i ＋(－2＋23i)＝－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋12i ，对应点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，23＋12在第二象限．] 4．若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45 C ．4D ．45D [∵(3－4i)z ＝|4＋3i|， ∴z ＝53－4i ＝5(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝35＋45i. 故z 的虚部为45，选D ．]5．设复数z 的共轭复数是 z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z －2是实数，则实数t 等于( )A ．34B ．43C ．－43D ．－34A [∵z 2＝t ＋i ，∴z －2＝t －i.z 1·z －2＝(3＋4i)(t －i)＝3t ＋4＋(4t －3)i ， 又∵z 1·z －2∈R ，∴4t －3＝0，∴t ＝34.]二、填空题6．i 为虚数单位，若复数z ＝1＋2i2－i ，z 的共轭复数为z ，则z ·z ＝________.1 [∵z ＝1＋2i 2－i ＝(1＋2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝5i5＝i ，∴z ＝－i ，∴z ·z ＝1.]7．已知a ＋2ii ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝________. 1 [∵a ＋2ii ＝b ＋i ，∴a ＋2i ＝(b ＋i)i ＝－1＋b i ， ∴a ＝－1，b ＝2，∴a ＋b ＝1.]8．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点分别为A ，B ，点A 与B 关于x 轴对称，若z 1(1－i)＝3－i ，则|z 2|＝________.5 [∵z 1(1－i)＝3－i ， ∴z 1＝3－i 1－i ＝(3－i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2＋i ，∵A 与B 关于x 轴对称，∴z 1与z 2互为共轭复数， ∴z 2＝z 1＝2－i ，∴|z 2|＝ 5.] 三、解答题 9．已知复数z ＝52－i. (1)求z 的实部与虚部；(2)若z 2＋m z ＋n ＝1－i(m ，n ∈R ，z 是z 的共轭复数)，求m 和n 的值．[解] (1)z ＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＝5(2＋i )5＝2＋i ，所以z 的实部为2，虚部为1.(2)把z ＝2＋i 代入z 2＋m z ＋n ＝1－i ， 得(2＋i)2＋m (2－i)＋n ＝1－i ， 即2m ＋n ＋3＋(4－m )i ＝1－i ， 所以⎩⎨⎧2m ＋n ＋3＝1，4－m ＝－1.解得m ＝5，n ＝－12.10．把复数z 的共轭复数记作z ，已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z 及z z .[解] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，由已知得：(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的定义知，⎩⎨⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3.得a ＝2，b ＝1，∴z ＝2＋i. ∴zz ＝2＋i2－i ＝2＋i 22－i 2＋i＝3＋4i 5＝35＋45i.11．(多选题)下面是关于复数z ＝2－1＋i(i 为虚数单位)的命题，其中真命题为( )A ．|z |＝2B ．z 2＝2iC ．z 的共轭复数为1＋iD ．z 的虚部为－1BD [∵z ＝2－1＋i ＝2(－1－i )(－1＋i )(－1－i )＝－1－i ，∴|z |＝2，A 错误；z 2＝2i ，B 正确； z 的共轭复数为－1＋i ，C 错误； z 的虚部为－1，D 正确．故选BD ．]12．(多选题)设z 1，z 2是复数，则下列命题中的真命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22ABC [A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，真命题；B ，z 1＝z 2⇒z 1＝z 2＝z 2，真命题；C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2＝|z 2|2⇒z 1·z 1＝z 2·z 2，真命题；D ，当|z 1|＝|z 2|时，可取z 1＝1，z 2＝i ，显然z 21＝1，z 22＝－1，即z 21≠z 22，假命题．]13．(一题两空)若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________，z 1z 2＝________.83 16－143i [z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝(a ＋2i )(3＋4i )9＋16＝3a ＋4a i ＋6i －825＝(3a －8)＋(4a ＋6)i25，∵z 1z 2为纯虚数， ∴⎩⎨⎧3a －8＝0，4a ＋6≠0， ∴a ＝83.∴z 1·z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83＋2i (3－4i)＝8－323i ＋6i ＋8 ＝16－143i.]14．已知3＋2i 是关于x 的方程2x 2＋px ＋q ＝0的一个根，求实数p ，q 的值． [解] 因为3＋2i 是方程2x 2＋px ＋q ＝0的根， 所以2(3＋2i)2＋p (3＋2i)＋q ＝0， 即2(9＋12i －4)＋(3p ＋2p i)＋q ＝0， 整理得(10＋3p ＋q )＋(24＋2p )i ＝0，所以⎩⎨⎧ 10＋3p ＋q ＝0，24＋2p ＝0，解得⎩⎨⎧p ＝－12，q ＝26.]15．设z 是虚数，ω＝z ＋1z 是实数，且－1＜ω＜2， (1)求|z |的值及z 的实部的取值范围； (2)设u ＝1－z1＋z，证明u 为纯虚数． [解] (1)因为z 是虚数，所以可设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，且y ≠0. 所以ω＝z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i. 因为ω是实数且y ≠0，所以y －yx 2＋y 2＝0，所以x 2＋y 2＝1，即|z |＝1. 此时ω＝2x . 因为－1＜ω＜2， 所以－1＜2x ＜2， 从而有－12＜x ＜1，即z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1.(2)证明：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，且y ≠0， 由(1)知，x 2＋y 2＝1， ∴u ＝1－z 1＋z ＝1－(x ＋y i )1＋(x ＋y i )＝(1－x －y i )(1＋x －y i )(1＋x )2＋y 2＝1－x 2－y 2－2y i (1＋x )2＋y 2＝－y 1＋x i.因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，y ≠0，所以y1＋x≠0， 所以u 为纯虚数.5、复数的三角表示一、选择题1．复数12－32i 的三角形式是( ) A ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3B ．cos π3＋isin π3 C ．cos π3－isin π3 D ．cos π3＋isin 5π6A [12－32i ＝cos 53π＋isin 53π ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3.] 2．复数sin 50°－isin 140°的辐角的主值是( ) A ．150° B ．40° C ．－40°D ．320°D [sin 50°－isin 140°＝cos(270°＋50°)＋isin(180°＋140°)＝cos 320°＋isin 320°.]3．复数sin 4＋icos 4的辐角的主值为( ) A ．4B ．3π2－4C ．2π－4D ．5π2－4D [sin 4＋icos 4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π－4＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π－4.] 4．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ的值为( ) A ．π4B ．π4或5π4C ．2k π＋π4(k ∈Z )D ．k π＋π4(k ∈Z )D [因为cos θ＋isin θ＝sin θ＋icos θ， 所以cos θ＝sin θ，即tan θ＝1， 所以θ＝π4＋k π，(k ∈Z )．]5．如果θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，那么复数(1＋i)(cos θ－isin θ)的三角形式是( )A ．2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π4－θ＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π4－θB ．2[]cos ()2π－θ＋isin ()2π－θC ．2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θD ．2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋θ＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋θA [因为1＋i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4，cos θ－isin θ＝cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)， 所以(1＋i)(cos θ－isin θ)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2π－θ＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2π－θ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π4－θ＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π4－θ.]二、填空题6．已知z ＝cos 2π3＋isin 2π3，则arg z 2＝________. 43π [因为arg z ＝2π3，所以arg z 2＝2arg z ＝2×2π3＝4π3.]7．把复数1＋i 对应的向量按顺时针方向旋转π2，所得到的向量对应的复数是________．1－i [(1＋i)⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π2＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π2 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝1－i.]8．设复数z 1＝1＋3i ，z 2＝3＋i ，则z 1z 2的辐角的主值是________．π6 [由题知，z 1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3， z 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6，所以z 1z 2的辐角的主值为π3－π6＝π6.]三、解答题9．设复数z 1＝3＋i ，复数z 2满足|z 2|＝2，已知z 1z 22的对应点在虚轴的负半轴上，且arg z 2∈(0，π)，求z 2的代数形式．[解] 因为z 1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6，设z 2＝2(cos α＋isin α)，α∈(0，π)， 所以z 1z 22＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6. 由题设知2α＋π6＝2k π＋3π2(k ∈Z )，所以α＝k π＋2π3(k ∈Z )， 又α∈(0，π)，所以α＝2π3，所以z 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3＋isin 2π3＝－1＋3i.10．已知z ＝－1＋i i －2i ，z 1－z z 2＝0，arg z 2＝7π12，若z 1，z 2在复平面内分别对应点A ，B ，且|AB |＝2，求z 1和z 2.[解] 由题设知z ＝1－i ，因为|AB |＝2，即|z 1－z 2|＝2，所以|z 1－z 2|＝|z z 2－z 2|＝|(1＋i)z 2－z 2|＝|i z 2|＝|z 2|＝2，又arg z 2＝7π12， 所以z 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 7π12＋isin 7π12＝1－32＋3＋12i ，z 1＝z z 2＝(1＋i)z 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4·2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 7π12＋isin 7π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π6＋isin 5π6＝－3＋i. 11．若复数z ＝(a ＋i)2的辐角的主值是3π2，则实数a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－ 2D ．－3B [因为z ＝(a ＋i)2＝(a 2－1)＋2a i ，arg z ＝3π2， 所以⎩⎨⎧a 2－1＝0，a ＜0，所以a ＝－1，故选B ．]12．设π＜θ＜5π4，则复数cos 2θ＋isin 2θcos θ－isin θ的辐角的主值为( )A ．2π－3θB ．3θ－2πC ．3θD ．3θ－πB [cos 2θ＋isin 2θcos θ－isin θ＝cos 2θ＋isin 2θcos (－θ)＋isin (－θ)＝cos 3θ＋isin 3θ.因为π＜θ＜5π4，所以3π＜3θ＜15π4， 所以π＜3θ－2π＜7π4，故选B ．]13．已知复数z 满足z 2＋2z ＋4＝0，且arg z ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则z 的三角形式为________．z ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3＋isin 2π3 [由z 2＋2z ＋4＝0，得z ＝12(－2±23i)＝－1±3i. 因为arg z ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以z ＝－1－3i 应舍去，所以z ＝－1＋3i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3＋isin 2π3.]14．设O 为复平面的原点，A 、B 为单位圆上两点，A 、B 所对应的复数分别为z 1、z 2，z 1、z 2的辐角的主值分别为α、β.若△AOB 的重心G 对应的复数为13＋115i ，求tan(α＋β)．[解] 由题意可设z 1＝cos α＋isin α，z 2＝cos β＋isin β. 因为△AOB 的重心G 对应的复数为13＋115i ， 所以z 1＋z 23＝13＋115i ，即⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝1，sin α＋sin β＝15，所以⎩⎪⎨⎪⎧2cos α＋β2cos α－β2＝1，2sin α＋β2cos α－β2＝15，所以tan α＋β2＝15，故tan(α＋β)＝2tan α＋β21－tan 2α＋β2＝512.章末综合测验(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知z ＝11－20i ，则1－2i －z 等于( ) A ．z －1 B ．z ＋1 C ．－10＋18iD ．10－18iC [1－2i －z ＝1－2i －(11－20i)＝－10＋18i.] 2.3＋i 1＋i ＝( ) A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－iD [3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－3i ＋i ＋12＝2－i.故选D ．] 3．若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋iA [由已知得z ＝i(1－i)＝i ＋1， 则z ＝1－i ，故选A ．]4．若复数z 满足i z ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( ) A ．(2,4) B ．(2，－4) C ．(4，－2)D ．(4,2)C [z ＝2＋4ii ＝4－2i 对应的点的坐标是(4，－2)，故选C ．] 5．若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2B [∵(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，∴4a ＋(a 2－4)i ＝－4i. ∴⎩⎨⎧4a ＝0，a 2－4＝－4.解得a ＝0.故选B ．] 6．若复数2－b i1＋2i (b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b ＝( )A ． 2B ．23 C ．－23 D ．2C [因为2－b i 1＋2i ＝(2－b i )(1－2i )5＝2－2b 5－4＋b 5i ，又复数2－b i1＋2i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，所以2－2b 5＝4＋b 5，即b ＝－23.]7．设z ∈C ，若z 2为纯虚数，则z 在复平面上的对应点落在( )A ．实轴上B ．虚轴上C ．直线y ＝±x (x ≠0)上D ．以上都不对C [设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z 2＝(x ＋y i)2＝x 2－y 2＋2xy i.∵z 2为纯虚数，∴⎩⎨⎧x 2－y 2＝0，xy ≠0.∴y ＝±x (x ≠0)．] 8．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是( ) A ．(1,5) B ．(1,3) C ．(1，5)D ．(1，3)C [由已知，得|z |＝a 2＋1. 由0<a <2，得0<a 2<4， ∴1<a 2＋1<5.∴|z |＝a 2＋1∈(1，5)．故选C ．]二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)9．给出下列复平面内的点，这些点中对应的复数为虚数的为( ) A ．(3,1) B ．(－2,0) C ．(0,4)D ．(－1，－5) ACD [易知选项A 、B 、C 、D 中的点对应的复数分别为3＋i 、－2、4i 、－1－5i ，因此A 、C 、D 中的点对应的复数为虚数．]10．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，且a ＋b ＝1，下列命题正确的是( )A ．z 不可能为纯虚数B ．若z 的共轭复数为z ，且z ＝z ，则z 是实数C ．若z ＝|z |，则z 是实数D ．|z |可以等于12BC [当a ＝0时，b ＝1，此时z ＝i 为纯虚数，A 错误；若z 的共轭复数为z ，且z ＝z ，则a ＋b i ＝a －b i ，因此b ＝0，B 正确；由|z |是实数，且z ＝|z |知，z 是实数，C正确；由|z|＝12得a2＋b2＝14，又a＋b＝1，因此8a2－8a＋3＝0，Δ＝64－4×8×3＝－32<0，无解，即|z|不可以等于12，D错误．故选BC．]11．已知复数z0＝1＋2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0，复数z满足|z－1|＝|z－i|，下列结论正确的是()A．P0点的坐标为(1,2)B．复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称C．复数z对应的点Z在一条直线上D．P0与z对应的点Z间的距离的最小值为2 2ACD[复数z0＝1＋2i在复平面内对应的点为P0(1,2)，A正确；复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称，B错误；设z＝x＋y i(x，y∈R)，代入|z－1|＝|z－i|，得|(x－1)＋y i|＝|x＋(y－1)i|，即(x－1)2＋y2＝x2＋(y－1)2，整理得，y ＝x，即Z点在直线y＝x上，C正确；易知点P0到直线y＝x的垂线段的长度即为P0、Z之间距离的最小值，结合平面几何知识知D正确．故选ACD．] 12．对任意z1，z2，z∈C，下列结论成立的是()A．当m，n∈N*时，有z m z n＝z m＋nB．当z1，z2∈C时，若z21＋z22＝0，则z1＝0且z2＝0C．互为共轭复数的两个复数的模相等，且|z|2＝|z|2＝z·zD．z1＝z2的充要条件是|z1|＝|z2|AC[由复数乘法的运算律知A正确；取z1＝1，z2＝i，满足z21＋z22＝0，但z1＝0且z2＝0不成立，B错误；由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C正确；由z1＝z2能推出|z1|＝|z2|，但|z1|＝|z2|推不出z1＝z2，因此z1＝z2的必要不充分条件是|z1|＝|z2|，D错误．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________．21 [复数z ＝(5＋2i)2＝21＋20i ，其实部是21.]14．a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝________. 3 [a ＋i i ＝(a ＋i )·(－i )i·(－i )＝1－a i ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|1－a i|＝a 2＋1＝2， 所以a 2＝3.又a 为正实数，所以a ＝ 3.]15．设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．8 [a ＋b i ＝11－7i 1－2i ＝(11－7i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝25＋15i5＝5＋3i ，依据复数相等的充要条件可得a ＝5，b ＝3.从而a ＋b ＝8.]16．设z 的共轭复数是z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则|z |＝________，z－z ＝________(本题第一空2分，第二空3分)．22 ±i [设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＝x －y i ，由z ＋z ＝4，z ·z ＝8得， ⎩⎨⎧ x ＋y i ＋x －y i ＝4，(x ＋y i )(x －y i )＝8，⇒⎩⎨⎧ x ＝2，x 2＋y 2＝8，⇒⎩⎨⎧x ＝2，y ＝±2.∴|z |＝2 2.所以zz ＝x －y i x ＋y i ＝x 2－y 2－2xy ix 2＋y 2＝±i.]四、简答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，当m 为何值时，(1)z 是实数？ (2)z 是纯虚数？ [解] (1)要使复数z 为实数， 需满足⎩⎨⎧m 2－2m －2>0，m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－2或－1.即当m ＝－2或－1时，z 是实数．(2)要使复数z 为纯虚数， 需满足⎩⎨⎧m 2－2m －2＝1，m 2＋3m ＋2≠0，解得m ＝3.即当m ＝3时，z 是纯虚数．18．(本小题满分12分)已知复数z 1＝1－i ，z 1·z 2＋z 1＝2＋2i ，求复数z 2. [解] 因为z 1＝1－i ，所以z 1＝1＋i ， 所以z 1·z 2＝2＋2i －z 1＝2＋2i －(1＋i)＝1＋i. 设z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z 1·z 2＝1＋i ， 得(1－i)(a ＋b i)＝1＋i ， 所以(a ＋b )＋(b －a )i ＝1＋i ，所以⎩⎨⎧a ＋b ＝1，b －a ＝1，解得a ＝0，b ＝1，所以z 2＝i.19．(本小题满分12分)已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z .[解] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i 且|z |＝a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1.① 因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i ，而(3＋4i)z 是纯虚数， 所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0.② 由①②联立， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝35，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－45，b ＝－35.所以z ＝45－35i ，或z ＝－45＋35i.20．(本小题满分12分)复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋az ＜0，求纯虚数a .[解] 由z 2＋a z ＜0可知z 2＋az 是实数且为负数． z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i ＝1－i.因为a 为纯虚数，所以设a ＝m i(m ∈R ，且m ≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i 1－i ＝－2i ＋m i －m 2＝－m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－2i ＜0，故⎩⎪⎨⎪⎧－m 2＜0，m2－2＝0，所以m ＝4，即a ＝4i.21．(本小题满分12分)已知等腰梯形OABC 的顶点A ，B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC ．求顶点C 所对应的复数z .[解] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，C (x ，y )， 因为OA ∥BC ，|OC |＝|BA |， 所以k OA ＝k BC ，|z C |＝|z B －z A |， 即⎩⎨⎧21＝y －6x ＋2，x 2＋y 2＝32＋42，解得⎩⎨⎧ x 1＝－5，y 1＝0或⎩⎨⎧x 2＝－3，y 2＝4.因为|OA |≠|BC |，所以x 2＝－3，y 2＝4(舍去)， 故z ＝－5.22．(本小题满分12分)已知复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i. (1)求复数z ；(2)若复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． [解] (1)∵(1＋2i)z ＝4＋3i ，∴z ＝4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝10－5i 5＝2－i ，∴z ＝2＋i.(2)由(1)知z ＝2＋i ，则(z ＋a i)2＝(2＋i ＋a i)2＝[2＋(a ＋1)i]2＝4－(a ＋1)2＋4(a ＋1)i ， ∵复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限， ∴⎩⎨⎧4－(a ＋1)2＞0，4(a ＋1)＞0，解得－1＜a＜1，即实数a的取值范围为(－1,1)．。

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年江苏省苏州市高中数学人教A版 必修二第七章 复数章节测试(7)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟 满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）05i 1i 1. 复数的虚部是（ ）A . B .C .D .1+2i 1 2i 2. 若复数z满足其中i为虚数单位，则z=（ ）A . B . C . D .第一象限第二象限第三象限第四象限 3. 若复数z满足 ， 则z在复平面内对应的点位于（ ） A . B . C .D .4. 设复数 满足： ，则 的虚部为（ ）A . B . C . D .第一象限第二象限第三象限第四象限5. 在复平面内，复数 对应的点位于（ ）A .B .C .D .6. 设 ， ， ， 则复数 为实数的充要条件是（ ）A .B .C .D .7. 若z=1+2i，则 =（ ）1﹣1i ﹣iA .B .C .D .第一象限第二象限第三象限第四象限8. 在复平面内，复数 对应的点位于（ ）A .B .C .D .129. 复数z满足 ，则 =（ ）A .B .C .D .-2-11210. 已知复数， 是z的共轭复数，若 ·a=2+bi，其中a，b均为实数，则b的值为（ ）A . B . C . D .11. 在复平面内，已知复数 对应的点与复数 对应的点关于实轴对称，则 （ ）A .B .C .D .12. 已知 ，则复数 的共轭复数 的虚部为（ ）A .B .C .D .13. 若复数在复平面内对应的点为 ， 则 ．14. 若复数， 的共轭复数 对应的点在第一象限，则实数m的取值范围为.15. 复数 ．16. 已知复数 的实部为3，则的虚部为17. 综合题。

第七章一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数错误!等于（B)A．－1 B．－i C．1 D．i解析:由题意得，复数1－i1＋i＝错误!＝错误!＝－i，故选B。

2.错误!＝(D）A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i解析：错误!＝错误!＝错误!＝－1－i.3．若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位）,则错误!＝（A）A．2－3i B．2＋3i C．3＋2i D．3－2i解析:因为z＝i（3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，所以z＝2－3i。

4．设a是实数，且错误!＋错误!是实数，则a等于(B)A。

错误!B．1 C.错误!D．2解析：错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!i，由题意可知错误!＝0，即a＝1.5．若a为实数，且(2＋a i)·（a－2i)＝－4i，则a＝（B）A．－1 B．0 C．1 D．2解析：∵（2＋a i）（a－2i）＝4a＋（a2－4)i＝－4i，∴｛4a＝0，a2－4＝－4解之得a＝0。

6．已知复数z满足z(1＋i)2＝2－i(i为虚数单位），则|z｜为（C）A．2 B.错误!C。

错误!D．1解析：由z（1＋i）2＝2－i，得z＝2－i1＋i2＝错误!＝错误!＝－错误!－i，∴|z|＝错误!＝错误!，故选C.7．若复数z满足i(z－1）＝1＋i（i为虚数单位），则z＝(A）A．2－i B．2＋i C．1－2i D．1＋2i解析:由i(z－1）＝1＋i，得z－1＝1＋ii＝错误!＝1－i,∴z＝2－i。

故选A.8．若将复数错误!表示为a＋b i（a，b∈R，i是虚数单位）的形式，则错误!的值为（A）A．－2 B．－错误!C．2 D。

错误!解析：因为错误!＝1－2i，所以a＝1，b＝－2。

所以错误!＝－2。

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分,有选错的得0分．9．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，则下列各式中不正确的是(ABC）A．z1＞z2B．z1＜z2C．|z1｜＞｜z2｜D．|z1｜＜|z2｜解析：∵虚数不能比较大小，∴A,B错误；∵|z1｜＝52＋32＝错误!，｜z2｜＝错误!＝错误!，∴｜z1｜＜｜z2|。

第七章复数式章末测试一、单项选择题〔每题5分，共60分〕1．复数，那么复数在复平面内对应的点位于〔〕A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限中学高三上学期第二次模拟考试数学试题〔理科【答案】C【解析】由，选择C2．复数为虚数单位的模是〔〕A B2021-2021学年高三9月联考数学〔理试题【答案】B【解析】因为，所以，选B。

3．假设，那么复数的实部与虚部之和为〔〕尔滨市第六中学第二次调研考试数学〔文试题【答案】D【解析】，所以复数实部为，虚部为，所以和为，应选D4．复数，那么〔〕B9-2021学年度高三上学期段性考试〔三数学文科试题【答案】B【解析】依题意，所以应选：B5．关于的实系数一元二次方程的一个根在复平面上对应点是，那么这个方程可以是〔〕A BC D19学年高二下学期期末统考数学试题【答案】A【解析】因为方程的根在复平面内对应的点是，可设根为：，为虚数单位，所以方程必有另一根，又，，根据选项可得，该方程为应选：A6．集合，〔为虚数单位〕，那么集合与集合的关系是〔〕A B C D2021-2021学年高二下学期期中数学试题【答案】B【解析】因此，应选：B7．设复数满足，那么复数在复平面内对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限市天河区高考数学一模〔理试题【答案】B【解析】设复数，，；，；复数，，复数在复平面内对应的点位于第二象限．应选：．8．假设复数满足〔其中为虚数单位〕，那么〔〕B D5月学习质量针对性检测理科数学试题【答案】D【解析】由复数满足，那么，那么，应选D．9．设复数满足，那么A C毕业班第一次调研考试数学〔理试题【答案】C【解析】，，10．设i为虚数单位，表示复数的共轭复数，假设，那么〔〕A C9-2021学年高三上学期10月月考数学〔文试题【答案】A【解析】依题意，故，应选A11．设有下面四个命题:1假设复数满足那么2假设复数满足那么3假设复数满足那么4假设复数满足那么那么正确命题的个数为〔〕-2021学年高二上学期期末数学试题【答案】B【解析】设复数，那么，对于1,因为所以，那么,故1正确；，因为所以或，当时，为纯虚数，故2不正确；因为所以，，故3正确；设，因为所以，当，显然满足条件，但，故4不正确，所以正确命题的个数为2应选：B12．假设是虚数单位,那么的最小值是〔〕A B C D019学年高二下学期3月质量监控数学试题【答案】D【解析】由复数的几何意义可知：表示的点在单位圆上，而|−2−2i|表示该单位圆上的点到复数表示的点的距离，由图象可知：的最小值应为点到的距离，而，圆的半径为1，故的最小值为，应选：D．二、填空题〔每题5分，共202113．为虚数单位，那么集合中元素的个数为______下学期期中〔二模教学质量监测数学试题【答案】4【解析】〔4个一周期〕共4个元素故答案为：4 14．假设复数，，〔为虚数单位〕那么实数__________．019学年高二下学期期末数学试题【答案】【解析】由题得,所以故答案为：15．复数满足，那么________019学年高三上学期第一次月考数学试题【答案】【解析】由题意，复数，可得，所以，又由故答案为：16．计算:______-2021学年高二上学期期末数学试题【答案】【解析】故答案为：三、解答题〔17题10分，其余12分，共70分〕17．复数的实部大于零，且满足，的虚部为2．〔1〕求复数；〔2〕设在复平面上的对应点分别为，求的值．三下学期数学测试2数学试题【答案】〔1〕〔2〕-2【解析】〔1〕由及条件得：，,所以，又复数的实部大于零，，〔2〕由〔1〕知，所以，所以，故得解18．虚数满足〔1〕求的取值范围；〔2〕求证：是纯虚数19学年高二下学期期末统考数学试题【答案】〔1〕；〔2〕证明见解析【解析】设，〔且〕，因为，所以，因此可看作以坐标原点为圆心的单位圆上的点；〔1〕表示点与定点之间的距离；又点到坐标原点的距离为，所以〔为单位圆半径〕，因此；〔2〕，因此是纯虚数19．复数〔是虚数单位〕〔1〕复数是实数，求实数的值；〔2〕复数是虚数，求实数的取值范围；〔3〕复数是纯虚数，求实数的值-2021学年高二上学期期末数学试题【答案】〔1〕；〔2〕且；〔3〕或【解析】〔1〕复数是实数，那么，解得；〔2〕复数是虚数，那么，解得且；〔3〕复数是纯虚数，那么，解得或。

…○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○…………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________绝密★启用前第七单元 复数单元测试卷高一数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．测试范围：人教必修二2019第七单元 复数。

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．（2022·全国·高三专题练习（文））复数5i 2-的共轭复数是（ ） A ．i 2+ B ．i 2-C ．2i --D ．2i -【答案】B 【解析】 【分析】先利用复数的除法化简，再求共轭复数. 【详解】因为()()()5i 252i i 2i 2i 2+==----+，所以复数5i 2-的共轭复数是2i -+. 故选：B.2．（2021·河北·深州长江中学高一期中）已知()12i z +=，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】由复数除法求得z 后可得其对应点坐标，从而得出正确选项． 【详解】 由题意22(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i --====-++-，对应点为(1,1)-，在第四象限． 故选：D ．3．（2022·全国·高三专题练习）设复数()311z i =--，则z =（ ） A ．1 B ．2C 5D 13【答案】D 【解析】 【分析】先运用复数运算法则化简，再求模即可.【详解】()()()211112112232z i i i i i i =---=+-=++=+，所以223213z +=故选：D.4．（2021·浙江·高三专题练习）已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝3－4i ，则z 1＋z 2＝（ ） A ．8i B ．6 C ．6＋8i D ．6－8i【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的加法法则即可求出. 【详解】z 1＋z 2＝(3＋4i )＋(3－4i )＝(3＋3)＋(4－4)i ＝6. 故选：B.5．（2021·江苏·沛县教师发展中心高二阶段练习）计算312i i+-的值是 （ ） A ．715i - B ．715i + C ．713i - D ．713i +…○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○…………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则可得结果. 【详解】312i i +-＝(31)(2)(2)(2)i i i i ++-+＝26325i i i +++＝715i -. 故选：A6．（2021·湖南·雅礼中学高三阶段练习）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是()2,1-，则i z ⋅=（ ） A ．12i + B ．2i -+C ．12i -D ．12i --【答案】D 【解析】由题可得2z i =-+，再由复数乘法计算即可. 【详解】复数z 对应的点的坐标是()2,1-，2z i ∴=-+，()212i z i i i ∴⋅=-+=--.故选：D.7．（2020·陕西·西安市庆华中学高三阶段练习（理））若2z i =-，则2z z -=（ ） A ．3 B ．2 C 10D 26【答案】C 【解析】 【分析】由复数的四则运算求2z z -，然后求模即可. 【详解】依题意，()22234z i i =-=-，故23421310z z i i i -=--+=-=故选：C 【点睛】本题考查了复数的四则运算，根据已知复数求复数的模，属于简单题. 8．（2021·山东·枣庄八中高一期中）复数212iz i+=-则在复平面内，z 对应的点的坐标是（ ） A ．()1,0 B ．()0,1C ．54(,)33--D ．45(,)33--【答案】B 【解析】 【分析】先通过复数的除法运算化简复数z i ，然后利用复数的几何意义求解. 【详解】 因为()()()()2122121212+++===--+i i i z i i i i ， 所以在复平面内，z 对应的点的坐标是()0,1. 故选：B 【点睛】本题主要考查复数的运算及几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。