下载文档原格式
banach空间中的积分算子不动点定理及其应用下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如教育随笔、日记赏析、句子摘抄、古诗大全、经典美文、话题作文、工作总结、词语解析、文案摘录、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of practical materials, such as educational essays, diary appreciation, sentence excerpts, ancient poems, classic articles, topic composition, work summary, word parsing, copy excerpts, other materials and so on, want to know different data formats and writing methods, please pay attention!在数学领域中，Banach空间是一种非常重要的空间概念，它是一个完备的赋范空间。
第17卷第2期数学研究与评论V o l .17N o .21997年5月JOU RNAL O F M A TH E M A T I CAL R ESEA RCH AND EXPO S IT I ONM ay 1997Banach 空间中复合算子的不动点定理Ξ李 凤 友(天津师范大学数学系,300074)摘 要 本文给出Banach 空间中集值与单位增算子的不动点定理,它推广了文[1]—[4]中相应的结果.关键词 Banach 空间,集值复合增算子,弱上半闭,拟弱紧集,不动点.分类号 AM S (1991)47H 10 CCL O 177.91定义1[1] 设X 是具有半序结构的H au sdo rff 拓扑空间.若对于X 中任意两个网{x Α Α∈+},{y Α Α∈+},x Α→Σx ,y Α→Σy 且x Α≤y Α,ΠΑ∈+,就有x ≤y ,则称X 是一个半序拓扑空间.注 文中x Α→Σx 表按X 中拓扑Σ网收敛于x .定义2 设E 是Banach 空间,P 是E 中锥,E 中半序由P 导出,D <E .若对于D 中网{x Α Α∈+},x Α→w x ,且x Α≤x ,ΠΑ∈+,蕴含x ∈D ,则称D 为X 中弱上半闭集.定义3 设E 是B anach 空间,P 是E 中锥,D <E .若对于D 中每一可数全序子集{x n },都存在子列{x n k }<{x n },使得x n k →w x ∈E ,则称D 是E 中拟弱紧集.定义4 设E 是Banach 空间,P 是E 中锥,D <E .若对于D 的每一全序子集N ,都存在N 的至多可数子集{x n }在N 中弱稠(即对于任一x ∈N ,存在{x n k }<{x n },使得x n k →w x ),则称D 是E 中拟弱可分集.注 文中x n →wx 表{x n }弱收敛于x .定义5[2] 设X 是半序集,D <X ,A :D →2D 是集值算子.若Πx ,y ∈D ,x ≤y 及u ∈A y ,都存在v ∈A y ,使得u ≤v ,则称A 是一个集值增算子.引理1 设E 是Banach 空间,P 是E 中锥,E 中半序由P 导出,则E 按弱拓扑是一半序拓扑空间.定理1 设X 是半序集,Y 是Banach 空间,P 是Y 中锥.D <X 非空,B :D →Y 是增算子,C :BD →2B D 是集值增算子,T :B D →D 是增算子且B D 是Y 中弱上半闭集,令A =T CB .若i ) B D 是Y 中拟弱可分的拟弱紧集;ii ) Πx ∈D ,B A (x )是Y 中弱序列紧集;iii ) ϖx 0∈D 及u 0∈A x 0,使得B x 0≤B u 0,则A 在D 中有不动点.Ξ1994年2月18日收到.1996年6月6日收到修改稿.在单值映射下可得下面定理定理2 设X是半序集,Y是Banach空间,P是Y中锥,D是X中非空子集,B:D→Y是增算子,C:B D→D是增算子且B D是Y中弱上半闭集.令A=CB.若i) B D是Y中拟弱可分的拟弱紧集;ii) ϖx0∈D,使得x0≤A x0,则A在D中有不动点.推论 设X是半序集,D=[u0,v0]是X中序区间,Y是Banach空间,B:D→Y是增算子,C:[B u0,B v0]→X,A=CB.若i) u0≤A u0,A v0≤v0;ii) B D是Y中拟可分的拟紧集,则A在D中有不动点.注 定理1和定理2是文[1]-[4]在Banach空间中相应定理的推广.参 考 文 献[1] 孙经先,非连续的增算子的不动点定理及其含间断项的非线性方程的应用,数学学报,31:1(1988),101-107.[2] 孙经先,增算子的不动点和广义不动点,数学学报,32:4(1989),457-463.[3] Sun J ingx ian and Sun Yong,S o m e f ix ed p oin t theore m s of increasing op era tors,A pp l.A nal.23(1986),23-27.[4] 郭大钧,非线性泛函分析,山东科技出版社,1985.Som e F ixed Po i n t Theorem s for Com positeOperators i n Banach SpacesL i F engy ou(D ep t.of M ath.,T ianjin N o rm al U niversity)AbstractIn th is p ap er,w e give som e fixed po in t theo rem s fo r m u lti2valued and single valued in2 creasing op erato rs in B anach sp aces,w h ich generalizes the co rresponding resu lts of[1]-[4].Keywords B anach sp ace,m u lti2valued com po site increasing op erato r,w eak ly upp er2sem i2 clo sed set,quasi2w eak ly com p act,set fixed po in t.。
前言不动点理论的研究兴起于20世纪初,荷兰数学家布劳维在1909年创立了不动点理论[1]．在此基础上，不动点定理有了进一步的发展，并产生了用迭代法求不动点的迭代思想．美国数学家莱布尼茨在1923年发现了更为深刻的不动点理论，称为莱布尼茨不动点理论[2]．1927年，丹麦数学家尼尔森研究不动点个数问题，并提出了尼尔森数的概念[3]．我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人则大大推广了可计算尼森数的情形，并得出了莱布尼茨不动点理论的逆定理[4]．最后给出结果的是波兰数学家巴拿赫(Bananch)[6]，他于1922年提出的压缩映像（俗称收缩映射）原理发展了迭代思想，并给出了Banach不动点定理[6]．这一定理有着及其广泛的应用，像代数方程、微分方程、许多着名的数学家为不动点理论的证明及应用作出了贡献.例如，荷兰数学家布劳威尔在1910年发表的《关于流形的映射》[2]一文中就证明了经典的不动点定理的一维形式.即,设连续函数()fx()fx把单位闭区间[0,1]映到[0,1][0,1]中，则有0[0,1]x，使00()fxx.波利亚曾经说过：“在问题解决中，如果你不能解答所提的问题，那么就去考虑一个适当的与之相关联的辅助问题”.“不动点”就是一个有效的可供选择的辅助问题。
作为Brouwer不动点定理从有限维到无穷维空间的推广，1927年Schauder 证明了下面不动点定理，我们称其为Sehauder不动点定理I：定理2设E是Banach 空间，X为E中非空紧凸集，XXf:是连续自映射，则f在X中必有不动点.Sehauder 不动点定理的另一表述形式是将映射的条件加强为紧映射(即对任意Xx，xf是紧的)，这时映射的定义域可不必是紧集，甚至不必是闭集。
1935年，Tyehonoff进一步将Sehauder不动点定理I推广到局部凸线性拓扑空间，得到了下面的不动点定理，我们称其为Tyehonoff不动点定理（吉洪诺夫不动点定理）。
锥b-banach空间上非扩张映射的不动点定理不动点定理：1、Banach空间上的非扩张映射：Banach空间是定义域与值域都为实数的函数f，它满足：(1) 存在常数c≥0，使得f所有输出的距离都不超过c个数量级；(2) f在定义域中有界；(3) f有叉和一致的微分；(4) f是连续的。
2、不动点定理：设K是一个Banach空间，f为K上的非扩张映射，x*是K上的一个点，若当x既不到x*身上，也不超过x*身上时，都有f(x)=x，则称x*为f在K上的不动点。
若K上存在不动点，则此不动点为f在K上的全局不动点，而K上的任意其他点都不会是K上不动点。
3、不动点定理的证明：设K为一个Banach空间，f为K上的一个非扩张映射。
首先，假设K上存在不动点x*，由于f是非扩张映射，所以f(x)与x的距离不超过c个数量级，其中c是f的一个常数。
假设存在K上的点x，使得它在x*身上或者超过x*身上，则由前面式知，此时f(x)的距离至少与x*的距离是c个数量级的，也就是说，此时f(x)和x*不可能再相等，即x*不可能是K上的不动点。
所以，如果K上存在不动点x*，那么x*即是K上的全局不动点。
4、不动点定理的应用：不动点定理是拓扑学中一个非常重要的定理，在数学、物理和工程等各个领域都有其重要应用领域。
例如，在物理学中，由于粒子或者其他物体系统的自发运动可能会进入到稳定的不动点，而这时候用不动点定理去研究物体的运动可以模拟物理场景的运动规律，从而达到事半功倍的效果；在工程学中，控制理论中也有不动点定理的应用，用于模拟各种系统的稳态行为；在经济学中，由于经济系统也可能像物理和工程系统一样进入到稳定的不动点，因此可以用不动点模型去分析经济行为的可能性和规律性，从而便于经济的决策制定。
banach 不动点定理
Banach不动点定理是数学中的一个重要定理，它是函数分析学中的基本定理之一。
该定理的核心思想是，对于某些特定的函数，它们总是存在一个不动点，即一个点在函数作用下不发生变化。
这个定理在实际应用中有着广泛的应用，例如在微积分、物理学、经济学等领域中都有着重要的应用。
Banach不动点定理的证明过程比较复杂，但其基本思想是通过构造一个逐步逼近的过程，使得函数序列趋近于一个不动点。
具体来说，假设有一个函数f(x)，我们可以通过不断迭代f(x)来逼近其不动点。
具体来说，我们可以从一个任意的起始点x0开始，然后通过不断迭代f(x)来得到一个序列{x0, f(x0), f(f(x0)), ...}。
如果这个序列收敛于一个极限值x*，那么x*就是f(x)的一个不动点。
Banach不动点定理的重要性在于它为我们提供了一种通用的方法来证明某些函数存在不动点。
这个定理的应用非常广泛，例如在微积分中，我们可以通过Banach不动点定理来证明某些微分方程存在解；在物理学中，我们可以通过该定理来证明某些物理模型存在稳定的平衡点；在经济学中，我们可以通过该定理来证明某些经济模型存在稳定的均衡点。
Banach不动点定理是数学中的一个重要定理，它为我们提供了一种通用的方法来证明某些函数存在不动点。
该定理的应用非常广泛，它在微积分、物理学、经济学等领域中都有着重要的应用。
因此，
深入理解和掌握该定理对于我们的学术研究和实际应用都有着重要的意义。
Banach不动点定理是一个非常重要的结果，它描述了以下情况：给定一个赋范线性空间，如果一个连续线性算子在这个空间上有一个不动点，那么这个不动点就是唯一的。
换句话说，Banach不动点定理表明，如果一个函数在某个空间上的定义域内有一个不动点，那么这个不动点就是该函数在该空间上的唯一驻点。
让我们来看看这个定理的证明。
假设X是一个赋范线性空间，T是X上的一个线性算子。
设P是T的不动点。
我们首先需要证明P是唯一的。
为此，我们需要构造一个等价关系（或者说是有序关系）π(x) = π(y)当且仅当x-y = ε时与P有关的等价关系。
为了实现这一点，我们需要使用线性映射的极限性质。
假设T的限制TT(x)和T的限制TT(y)都存在。
由于T是连续的，我们可以得出x-y属于T的定义域，即存在ε> 0使得T(x-y) = ε。
由于T是线性的，我们可以得出TT(x-y) = T(ε) = 0。
因此，如果π(x) = π(y)，那么x-y = ε成立。
因此，我们得到了一个等价关系π(x) = π(y)当且仅当x-y = ε，这与我们的定义相符。
现在假设存在另一个点Q属于T的定义域，并且Q与P不等价。
这意味着存在ε> 0使得Q-P = ε成立。
这意味着存在两个不同的点x和y满足x-y = ε。
这意味着存在ε/2 > 0使得x-y的补集与π(x)的补集与π(y)的补集都不相等。
根据我们的假设T的定义域的定义和π的定义，我们有Tx -Ty = ε/2，这意味着x-y=ε/2并不成立，这显然是矛盾的。
因此Q不能属于T的定义域，这证明了唯一性P和Q不唯一π的实例点定义集合σπ表示所有的实例点的集合它构成π的一度划分所以所有P与T都重合不含有异类的其他成员σπ对每个pi也这样根据前一个论证显然这已经说明了我们的第一步骤的所有关键要素——X的一个赋范线性子空间S=XT且该子空间对π是第一度划分π对S的所有实例点构成σπ并且所有实例点都属于S这就是Banach不动点定理的证明过程。
巴拿赫不动点定理的理解
巴拿赫不动点定理是数学中的一个重要定理，它说的是：任何一个连续的自映射在某个点上必定存在一个不动点。
这个定理的意义在于，它提供了一种可以找到不动点的方法。
在实际问题中，我们经常需要找到某个自映射的不动点，以便解决实际问题。
使用巴拿赫不动点定理，我们可以将寻找不动点的过程简化为寻找连续自映射的某个特定点的过程。
要理解这个定理，我们需要首先了解什么是自映射和不动点。
自映射是指从一个集合映射到自身的映射。
例如，一个平面上的旋转变换就是一个自映射。
而不动点则是指在映射之后，某个点的位置不发生改变的点。
例如，在平面上进行旋转变换时，旋转中心就是一个不动点。
巴拿赫不动点定理告诉我们，只要一个自映射是连续的，那么它就必定存在一个不动点。
这个定理的证明是比较复杂的，涉及到了一些拓扑学的知识。
但是，我们可以通过一个简单的例子来理解它的应用。
假设我们要找到一个函数f(x)的不动点。
我们可以将这个函数看作一个自映射，将其应用到自身上面。
也就是说，我们要找到一个数x，使得f(x)=x。
如果我们能够证明f(x)是连续的，那么根据巴拿赫不动点定理，我们就可以得到一个不动点。
这个方法对于解决一些实际问题非常有用。
例如，在计算机科学中，巴拿赫不动点定理被广泛应用于解决搜索、优化等问题。
在物理
学、经济学、生物学等领域中，也有很多应用。
因此，理解巴拿赫不动点定理对于深入理解数学和解决实际问题都非常有帮助。
巴拿赫压缩不动点定理巴拿赫压缩不动点定理是泛函分析中的一个重要定理，它研究了压缩映射的不动点存在性和唯一性问题。
该定理不仅在数学中有广泛应用，也在计算机科学、经济学等领域有着重要的应用价值。
巴拿赫压缩不动点定理的内容比较抽象，但是它实际上是在研究一个特殊的映射，即压缩映射。
压缩映射是一种将一个空间中的元素映射到另一个空间中的映射，它具有某种紧缩性质，即能将空间中的元素“压缩”到较小的范围内。
巴拿赫压缩不动点定理的核心问题就是：对于一个给定的压缩映射，是否存在一个不动点，即映射的输出等于输入的点。
在理解巴拿赫压缩不动点定理之前，我们先来看一个简单的例子。
假设有一个函数f(x) = x/2，它将实数集合[0,1]中的每个元素映射到[0,1]中的另一个元素。
我们可以发现，无论我们从[0,1]中的哪个点开始，经过多次迭代，最终都会收敛到f(x)的不动点x=1/2。
这个例子中的函数f(x)就是一个压缩映射，而不动点就是这个压缩映射的一个特殊点。
巴拿赫压缩不动点定理的严格表述是：在一个完备度量空间中，任何压缩映射都存在唯一的不动点。
这里的完备度量空间指的是一个具有度量的空间，使得其中的柯西序列都能收敛到该空间中的某个元素。
这个定理的证明比较复杂，需要用到一些泛函分析的基本概念和技巧。
巴拿赫压缩不动点定理的应用非常广泛。
在数学中，它被广泛应用于函数逼近、微分方程的求解等领域。
在计算机科学中，它被用于设计迭代算法，求解各种优化问题。
在经济学中，它被用于研究均衡状态和经济模型的稳定性。
除了巴拿赫压缩不动点定理，还有一些相关的定理和方法也被用于研究压缩映射的不动点问题。
例如，泛函分析中的开映射定理和闭图像定理可以用于判断一个映射是否为压缩映射。
而迭代法和牛顿法等方法则是常用的求解压缩映射的不动点的数值算法。
巴拿赫压缩不动点定理是泛函分析中的一个重要定理，它研究了压缩映射的不动点存在性和唯一性问题。
这个定理在数学、计算机科学和经济学等领域都有着广泛的应用。
不动点定理和Banach压缩映像定理的应用一、引言在数学中，不动点定理和Banach压缩映像定理是两个非常重要的定理。
不动点定理是一个基本定理，它能够帮助我们证明很多问题。
而Banach压缩映像定理则是一个实用定理，它能够帮助我们求解很多实际问题。
本文将重点讨论这两个定理的应用。
二、不动点定理不动点定理（Fixed point theorem）是数学中一种基本的定理，也是一个非常重要的定理。
它的实质是给定一个运算，能够保证这个运算至少有一个不变点。
例如，在一维空间中，一条直线与 x 轴的交点就是一个不动点。
不动点定理的常用形式有 Banach定理，Brouwer定理和Kakutani定理等。
这三种定理都是确保在一定条件下，给定一个映射，必定存在一个不动点。
其中，Banach定理是应用最广泛的一种不动点定理。
三、Banach压缩映像定理Banach压缩映像定理（Banach contraction mapping theorem）是应用最广泛的不动点定理之一。
它是一种强化的不动点定理，能够给出一个更加精确的结论。
该定理的实质是，给定一个映射，如果它能够将任意两个点映射到更靠近一起的两个点，那么这个映射一定存在不动点。
具体来说，设 (X,d) 是一个非空完备度量空间，f:X → X是一个压缩映像，即存在常数0≤s<1，使得对于任意x,y∈ X，有：$d(f(x),f(y))≤s\times d(x,y)$则 f 存在唯一的不动点 z，即 f(z)=z。
在实际中，Banach压缩映像定理被广泛应用于求解非线性方程组的根。
例如，对于一个形如 f(x)=0 的方程组，可以通过适当的转化，将它表示成 g(x)=x 的形式，然后应用Banach压缩映像定理求解。
此外，Banach压缩映像定理还在优化算法、控制论等领域得到广泛应用。
四、应用举例下面我们通过两个具体的例子来说明不动点定理和Banach压缩映像定理的应用。
