2001年江苏专转本高等数学真题(附答案)
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2001年江苏省普通高校“专转本”统一考试
高等数学
一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1、下列各极限正确的是 （ ）
A 、e x
x
x =+→)11(lim 0
B 、e x
x x =+∞→1
)1
1(lim
C 、11sin
lim =∞
→x x x D 、11
sin lim 0=→x
x x
2、不定积分
=-⎰
dx x
2
11 （ ）
A 、
2
11x
- B 、
c x
+-2
11
C 、x arcsin
D 、c x +arcsin
3、若)()(x f x f -=，且在[)+∞,0内0)('>x f 、0)('
'>x f ，则在)0,(-∞内必有 （ ）
A 、0)('
<x f ,0)('
'<x f B 、0)('
<x f ,0)('
'>x f C 、0)('
>x f ,0)('
'<x f D 、0)('
>x f ,0)('
'>x f
4、
=-⎰
dx x 2
1 （ ）
A 、0
B 、2
C 、－1
D 、1
5、方程x y x 42
2
=+在空间直角坐标系中表示 （ ） A 、圆柱面
B 、点
C 、圆
D 、旋转抛物面
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
6、设⎩⎨⎧+==2
2t
t y te x t ，则==0
t dx dy
7、0136'
'
'=+-y y y 的通解为 8、交换积分次序
=⎰
⎰dy y x f dx x x
220
),(
9、函数y
x z =的全微分=dz
10、设)(x f 为连续函数，则
=+-+⎰
-dx x x x f x f 31
1
])()([
三、计算题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 11、已知5
cos
)21ln(arctan
π
+++=x x y ，求dy .
12、计算x
x dt
e x x
t x sin lim
20
2
⎰-→.
13、求)
1(sin )1()(2
--=
x x x
x x f 的间断点，并说明其类型. 14、已知x y x y ln 2
+
=，求1
,1==y x dx
dy
.
15、计算dx e e x
x
⎰+12. 16、已知
⎰∞-=+0
2
2
1
1dx x k ，求k 的值. 17、求x x y y sec tan '=-满足00
==x y 的特解
18、计算
⎰⎰D
dxdy y 2
sin ，D 是1=x 、2=y 、1-=x y 围成的区域. 19、已知)(x f y =过坐标原点，并且在原点处的切线平行于直线032=-+y x ，若
b ax x f +=2'3)(，且)(x f 在1=x 处取得极值，试确定a 、b 的值，并求出)(x f y =的表达式.
20、设),(2
y
x x f z =，其中f 具有二阶连续偏导数，求x z ∂∂、y x z
∂∂∂2.
四、综合题（本大题共4小题，第21小题10分，第22小题8分，第23、24小题各6分，共30分）
21、过)0,1(P 作抛物线2-=x y 的切线，求
（1）切线方程； （2）由2-=
x y ，切线及x 轴围成的平面图形面积；
（3）该平面图形分别绕x 轴、y 轴旋转一周的体积。
22、设⎪⎩⎪
⎨⎧=≠=0
0)()(x a
x x
x f x g ，其中)(x f 具有二阶连续导数，且0)0(=f .
（1）求a ，使得)(x g 在0=x 处连续； （2）求)('x g .
23、设)(x f 在[]c ,0上具有严格单调递减的导数)('x f 且0)0(=f ；试证明： 对于满足不等式c b a b a <+<<<0的a 、b 有)()()(b a f b f a f +>+.
24、一租赁公司有40套设备，若定金每月每套200元时可全租出，当租金每月每套增加10元时，租出设备就会减少一套，对于租出的设备每套每月需花20元的维护费。
问每月一套的定金多少时公司可获得最大利润？
2001年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案
1、C
2、D
3、B
4、D
5、A
6、2
7、)2sin 2cos (213x C x C e y x
+=，其中1C 、2C 为任意实数 8、
dx y x f dy dx y x f dy y y y ⎰⎰⎰⎰
+2
2
42
2
20
),(),(
9、xdy x dx yx
y y ln 1
+- 10、
5
64
11、dx x x x dy x x ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++⋅+=21ln 22111
12、3
1
-
13、1-=x 是第二类无穷间断点；0=x 是第一类跳跃间断点；1=x 是第一类可去间断点.
14、1 15、C e e dx e
e e e dx e e x
x x x x x x x ++-=+-+=+⎰⎰)1ln(1122 16、π1 17、[]
C dx e
x e C dx e x e y x
x xdx xdx +⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎰⋅⎰
=⎰⎰
----cos ln cos ln tan tan sec sec x
C
x cos +=
， x
x
y C C y
x cos 00cos 000
=⇒=⇒+⇒
==.
18、解：原式2
4
cos 1sin 2
11
2
-=
=
⎰
⎰
+y
dx dy y 19、解：“在原点的切线平行于直线032=-+y x ”⇒2)
(0
'-==x x f 即2-=b
又由)(x f 在1=x 处取得极值，得0)1('=f ，即03=+b a ，得3
2
3=-=b a 故22)(2'-=x x f ，两边积分得c x x x f +-=23
2)(3
，又因曲线)(x f y =过原点， 所以0=c ，所以x x x f y 23
2)(3
-=
= 20、y f x f x
z
122'
1'⋅+⋅=∂∂， 2'222''312''22212f y
f y x f y x y x z ---=∂∂∂ 21、（1）012=+-x y ；（2）
31；（3）6π=x V ，π5
6
=y V 22、2'0'0)
()
()(lim 1)()(lim x x f x x f x f x x f x x ∆∆-∆⋅∆=∆-∆⋅∆=→∆→∆ )0(2
12)(lim 2)()()(lim ''''0''''0f x x x f x x f x f x x f x x =∆∆⋅∆=∆∆-∆+∆⋅∆=→∆→∆. 23、由拉格朗日定理知：
)()
()(1'ξf a b f b a f =-+ )(1b a b +<<ξ，
)()
0()(2'ξf a
f a f =- )(2a b <<ξ
由于)('x f 在),0(c 上严格单调递减，知)()(2'
1'ξξf f <，因0)0(=f ，故
)()()(b a f b f a f +>+.
24、解：设每月每套租金为x 10200+，则租出设备的总数为x -40，每月的毛收入为：
)40)(10200(x x -+，维护成本为：)40(20x -.于是利润为：
2102207200)40)(10180()(x x x x x L -+=-+= )400(≤≤x 110)('=⇒=x x L
比较0=x 、11=x 、40=x 处的利润值，可得)40()0()11(L L L >>， 故租金为310)1110200(=⨯+元时利润最大.。
