(完整版)高中数学导数知识点归纳总结

§14. 导 数 知识要点

1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x是函数)(xfy定义域的一点，如果自变量x在0x处有增量x，则函数值y也引起相应的增量)()(00xfxxfy；比值xxfxxfxy)()(00称为函数)(xfy在点0x到xx0之间的平均变化率；如果极限xxfxxfxyxx)()(limlim0000存在，则称函数)(xfy在点0x处可导，并把这个极限叫做)(xfy在0x处的导数，记作)(0'xf或0|'xxy，即)(0'xf=xxfxxfxyxx)()(limlim0000.

注：①x是增量，我们也称为“改变量”，因为x可正，可负，但不为零.

②以知函数)(xfy定义域为A，)('xfy的定义域为B，则A与B关系为BA.

2. 函数)(xfy在点0x处连续与点0x处可导的关系：

⑴函数)(xfy在点0x处连续是)(xfy在点0x处可导的必要不充分条件.

可以证明，如果)(xfy在点0x处可导，那么)(xfy点0x处连续.

事实上，令xxx0，则0xx相当于0x.

于是)]()()([lim)(lim)(lim0000000xfxfxxfxxfxfxxxx

).()(0)()(limlim)()(lim)]()()([lim000'0000000000xfxfxfxfxxfxxfxfxxxfxxfxxxx⑵如果)(xfy点0x处连续，那么)(xfy在点0x处可导，是不成立的.

例：||)(xxf在点00x处连续，但在点00x处不可导，因为xxxy||，当x＞0时，1xy；当x＜0时，1xy，故xyx0lim不存在.

注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.

②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 导

数 导数的概念

导数的运算

导数的应用 导数的几何意义、物理意义

函数的单调性

函数的极值

函数的最值 常见函数的导数

导数的运算法则

3. 导数的几何意义：

函数)(xfy在点0x处的导数的几何意义就是曲线)(xfy在点))(,(0xfx处的切线的斜率，也就是说，曲线)(xfy在点P))(,(0xfx处的切线的斜率是)(0'xf，切线方程为).)((0'0xxxfyy

4. 求导数的四则运算法则：

''')(vuvu)(...)()()(...)()(''2'1'21xfxfxfyxfxfxfynn

''''''')()(cvcvvccvuvvuuv（c为常数）

)0(2'''vvuvvuvu

注：①vu,必须是可导函数.

②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.

例如：设xxxf2sin2)(，xxxg2cos)(，则)(),(xgxf在0x处均不可导，但它们和)()(xgxf

xxcossin在0x处均可导.

5. 复合函数的求导法则：)()())(('''xufxfx或xuxuyy'''

复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.

6. 函数单调性：

⑴函数单调性的判定方法：设函数)(xfy在某个区间内可导，如果)('xf＞0，则)(xfy为增函数；如果)('xf＜0，则)(xfy为减函数.

⑵常数的判定方法；

如果函数)(xfy在区间I内恒有)('xf=0，则)(xfy为常数.

注：①0)(xf是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如32xy在),(上并不是都有0)(xf，有一个点例外即x=0时f（x） = 0，同样0)(xf是f（x）递减的充分非必要条件.

②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.

7. 极值的判别方法：（极值是在0x附近所有的点，都有)(xf＜)(0xf，则)(0xf是函数)(xf的极大值，极小值同理）

当函数)(xf在点0x处连续时，

①如果在0x附近的左侧)('xf＞0，右侧)('xf＜0，那么)(0xf是极大值；

②如果在0x附近的左侧)('xf＜0，右侧)('xf＞0，那么)(0xf是极小值.

也就是说0x是极值点的充分条件是0x点两侧导数异号，而不是)('xf=0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.

注①： 若点0x是可导函数)(xf的极值点，则)('xf=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点0x是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.

例如：函数3)(xxfy，0x使)('xf=0，但0x不是极值点.

②例如：函数||)(xxfy，在点0x处不可导，但点0x是函数的极小值点.

8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.

注：函数的极值点一定有意义.

9. 几种常见的函数导数：

I.0'C（C为常数） xxcos)(sin' 2'11)(arcsinxx

1')(nnnxx（Rn） xxsin)(cos' 2'11)(arccosxx

II. xx1)(ln' exxaalog1)(log' 11)(arctan2'xx

xxee')( aaaxxln)(' 11)cot(2'xxarc

III. 求导的常见方法：

①常用结论：xx1|)|(ln'.

②形如))...()((21naxaxaxy或))...()(())...()((2121nnbxbxbxaxaxaxy两边同取自然对数，可转化求代数和形式.

③无理函数或形如xxy这类函数，如xxy取自然对数之后可变形为xxylnln，对两边求导可得xxxxxyyxyyxxxyylnln1ln'''.

导数知识点总结复习

经典例题剖析

考点一：求导公式。

例1. ()fx是31()213fxxx的导函数，则(1)f的值是 。

考点二：导数的几何意义。

例2. 已知函数()yfx的图象在点(1(1))Mf，处的切线方程是122yx，则(1)(1)ff 。

例3.曲线32242yxxx在点(13)，处的切线方程是 。

点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。

考点三：导数的几何意义的应用。

例4.已知曲线C：xxxy2323，直线kxyl:，且直线l与曲线C相切于点00,yx00x，求直线l的方程及切点坐标。

点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。

考点四：函数的单调性。

例5.已知1323xxaxxf在R上是减函数，求a的取值范

点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题，要有求导意识。

考点五：函数的极值。

例6. 设函数32()2338fxxaxbxc在1x及2x时取得极值。

（1）求a、b的值；

（2）若对于任意的[03]x，，都有2()fxc成立，求c的取值范围。

点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数xf的极值步骤：

①求导数xf'；

②求0'xf的根；③将0'xf的根在数轴上标出，得出单调区间，由xf'在各区间上取值的正负可确定并求出函数xf的极值。

考点六：函数的最值。

例7. 已知a为实数，axxxf42。求导数xf'；（2）若01'f，求xf在区间2,2上的最大值和最小值。

点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数xf在区间ba,上的最值，要先求出函数xf在区间ba,上的极值，然后与af和bf进行比较，从而得出函数的最大最小值。

考点七：导数的综合性问题。

例8. 设函数3()fxaxbxc(0)a为奇函数，其图象在点(1,(1))f处的切线与直线670xy垂直，导函数'()fx的最小值为12。（1）求a，b，c的值；

（2）求函数()fx的单调递增区间，并求函数()fx在[1,3]上的最大值和最小值

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力。