微积分一练习题及答案
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A. x a是f x的极小值点； B . x a是f x的极大值点;
《微积分（1）》练习题
一. 单项选择题
1 •设f X。存在，则下列等式成立的有（ ）
3 .设f（x）的一个原函数是e2x，则f（x）（
A. 当f a f b 0时，至少存在一点 a,b，使 f 0 ；
B. 对任何 a,b，有lim f x f
x 0 ；
C. 当fa f b时，至少存在一点 a,b，使 f 0;
D. 至少存在一点 a, b，使f b fa f b a ;
6. 已知f x的导数在x a处连续， f x
右lim 1，则下列结论成立的有
x0 x0 -T
o limx0 -T x0
o limx0 x0 -T 叫 Hh x0 x0
叫 Hh
)
.lim x2 2x
x x 1
2 3
.lim 3x 1
x 2x6 x 2.下列极限不存在的有（
1
A. lim xsin 2 B
1
C. lim ex
x 0 D
A. 2e 2x B 2x 4e 2x D 2xe 2x
2、x, 0 x 1
4.函数 f(x) 1, x 1 在 0,
1 x, x 1 上的间断点x 1为（ ）间断点
A.跳跃间断点; B •无穷间断点;
C.可去间断点; D .振荡间断点
5. 设函数f x在a,b上有定义，在 a,b内可导，则下列结论成立的有（ x0 C. a, f a是曲线y f x的拐点;
D. x a不是f x的极值点，a, f a也不是曲线y f x的拐点;
填空:
山 i
1 .设 y f arcsin , f 可微，贝U y x ________________________________
x
2 .若 y 3x5 2x2 x 3，贝卩 y 6 ______________________
3.过原点0,1作曲线y e2x的切线，则切线方程为 _________________________________
4 x 1
4 .曲线y ——2— 2的水平渐近线方程为 ________________________________________
x
铅垂渐近线方程为 __________________________________
5 .设 f (ln x) 1 x，贝卩 f x _____________________ f x __________________________
计算题:
于零，求证F x在a, 内单调递增 (1) x2
1
x2 2x 3 (2) lim
x
(3) ln(1 x ) lim (4)
y ln 1
x 0 xs in 3x
(5) exy y3 5x 0 求 dy
x 0
dx
四. 试确定a， b， 使函数 f x b 1 si nx
ax 1, a 2, x
e x
五. 试证明不等 式: 当x 1时， x
e x e 1 xe x e
2
六. 设F x丄 x f a x a ，其中f x 在 a, 上连续, x在a, 内存在且大
x a 0在x 0处连续且可导。
0 2x 2 求 dy x
《微积分》练习题参考答案
七. 单项选择题 1. ( B ) 2. ( C ) 3. ( A ) 4. ( C ) 5 . ( B ) 6. ( B )
八. 填空：(每小题3分，共15分)
1
xJx2 1 1 arcsin — x 2.
整理得:
4. y 2 , x 0
5. f x 1 x
e , f x x
x e c
三,计算题： (1) lim 2 x2 1 (2) lim -
x 1 x2 2x 3 x
(3) lim ln(1 x2) 2
(4) y In 1 2x
x 0 xsin 3x
(5) exy y 3 5x 0 求気%。
dx
又x 0 y 1 y
求dy x 3
x 2
x
（8分）
解：f 0 0 lim b 1 sinx a 2 a b
x 0 2
f 0 0 lim
x 0 eax 1 0 , 函数 f x 在x 0处连续f 0
(1)
函数f x 在x 0处可导f 0 f 0，故a b (2)
a b 1 0 f 0 0 3. 2x
九. 试确定a 使函数f bl sin x
ax e a
1, 2, x 0
x0在x 0处连续且可导。
由( 1) (2) 知
十. 试证明不等式：当 1时, 1 xe'、 e 2 (8 分)
证：（法一） 1,x 则由拉格朗日中值定理有
法二: ex ex x
ex ex在x 1时，为增函数,
ex 0,即 ex ex 设 f x ex — xex e
2 证：F x f x x a f x f a
(x a)2 x
f x x 1
e x e x 1
xe e x 1 x 0 x 1 故f x ex 1 xex
2 e在x 1时，为减函数，
f x x 1
e x e xex f 1 0,即 ex 1 xex
2 e
综上， e x x e 1 xex e
2
十— 设F x f x f a -x a，其中 f x 在a, 上连续，f x 在 a, 内存在且大于 1 ・ x a
零 :，求证 F x在a, 内单调递增。 （5分）
故F x在a, 内单调递增
