中考数学复习专题20应用题综合(函数、不等式、方程)

1 / 25 专题20 应用题综合（函数、不等式、方程）

一．解答题

1．（2021·浙江台州市）电子体重科读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1， R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km＋b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0 ，该读数可以换算为人的质量m，

温馨提示：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝UR；

②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．

（1）求k，b的值；（2）求R1关于U0的函数解析式；（3）用含U0的代数式表示m；

（4）若电压表量程为0~6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．

【答案】（1）2402bk；（2）1024030RU；I（3）0120135mU；（4）该电子体重秤可称的最大质量为115千克．

【分析】（1）根据待定系数法，即可求解；（2）根据“串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压”，列出等式，进而即可求解；（3）由R1＝12m＋240，1024030RU，即可得到答案；

（4）把06U时，代入0480540mU，进而即可得到答案．

【详解】解：（1）把（0，240），（120，0）代入R1＝km＋b，得2400120bkb，解得：2402bk； 2 / 25 （2）∵001830UUR，∴1024030RU；

（3）由（1）可知：2402bk，∴R1＝2m＋240，

又∵1024030RU，∴024030U=2m＋240，即：0120135mU；

（4）∵电压表量程为0~6伏，∴当06U时，1201351156m

答：该电子体重秤可称的最大质量为115千克．

【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的实际应用，熟练掌握待定系数法，是解题的关键．

2．（2021·江苏扬州市）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：

甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．

乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．

说明：①汽车数量为整数．．；

②月利润=月租车费-月维护费；

③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润．

在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：

（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是_______元；当每个公司租出的汽车为_______辆时，两公司的月利润相等；（2）求两公司月利润差的最大值；（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元0a给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围．

【答案】（1）48000，37；（2）33150元；（3）50150a

【分析】（1）用甲公司未租出的汽车数量算出每辆车的租金，再乘以10，减去维护费用可得甲公司的月利润；设每个公司租出的汽车为x辆，根据月利润相等得到方程，解之即可得到结果；

（2）设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y，同（1）可得y甲和y乙的表达式，再分甲公司的利润大于乙公司和甲公司的利润小于乙公司两种情况，列出y关于x的表达式，根据二次函数的性质，结合x的范围求出最值，再比较即可； 3 / 25 （3）根据题意得到利润差为25018001850yxax，得到对称轴，再根据两公司租出的汽车均为17辆，结合x为整数可得关于a的不等式180016.517.5100a，即可求出a的范围．

【详解】解：（1）50105030001020010=48000元，

当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；

设每个公司租出的汽车为x辆，由题意可得：5050300020035001850xxxx，

解得：x=37或x=-1（舍），∴当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等；

（2）设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y，

则y甲=50503000200xxx，y乙=35001850x，

当甲公司的利润大于乙公司时，0＜x＜37，

y=y甲-y乙=5050300020035001850xxxx=25018001850xx，

当x=1800502=18时，利润差最大，且为18050元；

当乙公司的利润大于甲公司时，37＜x≤50，

y=y乙-y甲=3500185050503000200xxxx=25018001850xx，

∵对称轴为直线x=1800502=18，

当x=50时，利润差最大，且为33150元；

综上：两公司月利润差的最大值为33150元；

（3）∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，

则利润差为25018001850yxxax=25018001850xax，对称轴为直线x=1800100a，

∵x只能取整数，且当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大，

∴180016.517.5100a，解得：50150a．

【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的图像和性质，解题时要读懂题意，列出二次函数关系式，尤其（3）中要根据x为整数得到a的不等式．

3．（2021·吉林长春市）《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水查流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，某学校STEAM小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究： 4 / 25 （实验观察）实验小组通过观察，每2小时记录次箭尺读数，得到下表：

供水时间x（小时） 0 2 4 6 8

箭尺读数y（厘米） 6 18 30 42 54

（探索发现）(1)建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x．纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点．(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．

（结论应用）应用上述发现的规律估算：(3)供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？(4)如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当箭尺读数为90厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）

【答案】(1)见解析；(2)在同一直线上，解析式为66yx；(3)78()cm；(4)当天晚上的22:00．

【分析】(1)将各点在坐标系中直接描出即可；(2)观察发现，供水时间每增加2小时，箭尺读数增加12cm，由此可判断它们在同以直线上，设直线解析式为ykxb，再代入两个点坐标即可求解；(3)当12x时代入(2)中解析式即可求出箭尺的读数；(4)当90y时代入(2)中解析式即可求出供水时间，再结合实验开始时间为8:00即可求解．

【详解】解：(1)将表格中各点在直角坐标系中描出来如下图所示：

(2)分析表格中数据发现，供水时间每增加2小时，箭尺读数增加12cm，观察(1)中直角坐标系点的特点，发 5 / 25 现它们位于同一直线上，设直线解析式为ykxb，代入点(0，6)和点(2，18)，

得到60182bkb，解得66kb，∴直线的表达式为：66yx；

(3)当供水时间达到12小时时，即12x时，代入66yx中，

解得612678ycm，∴此时箭尺的读数为78cm；

(4)当箭尺读数为90厘米时，即90y时，代入66yx中，

解得(906)614x(小时)，∴经过14小时后箭尺读数为90厘米，

∵实验记录的开始时间是上午8:00，

∴箭尺读数为90厘米时对应的时间为8+14=22，即对应当天晚上的22:00．

【点睛】本题考查待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的实际应用问题，读懂题目，掌握一次函数的图形及性质是解决本题的关键．

4．（2021·黑龙江鹤岗市）已知A、B两地相距240km，一辆货车从A地前往B地，途中因装载货物停留一段时间．一辆轿车沿同一条公路从B地前往A地，到达A地后（在A地停留时间不计）立即原路原速返回．如图是两车距B地的距离kmy与货车行驶时间hx之间的函数图象，结合图象回答下列问题：

（1）图中m的值是__________；轿车的速度是________km/h；

（2）求货车从A地前往B地的过程中，货车距B地的距离kmy与行驶时间hx之间的函数关系式；

（3）直接写出轿车从B地到A地行驶过程中，轿车出发多长时间与货车相距12km？

【答案】（1）5；120；（2）66240(02.5)75(2.53.5)50250(3.55)xxyxxx；（3）1h或27h31．

【分析】（1）由图象可知轿车从B到A所用时间为2h，即可得出从A到B的时间，进而可得m的值，根据 6 / 25 速度=距离÷时间即可得轿车速度；（2）由图象可知货车在2.5h~3.5h时装载货物停留1h，分1≤x<2.5；2.5≤x<3.5；3.5≤x<5三个时间段，分别利用待定系数法求出y与x的关系式即可得答案；

（3）分两车相遇前和相遇后相距12km两种情况，分别列方程求出x的值即可得答案．

【详解】（1）由图象可知轿车从B到A所用时间为3-1=2h，

∴轿车从A到B的时间为2h，∴m=3+2=5，

∵A、B两地相距240km，∴轿车速度=240÷2=120km/h，故答案为：5；120

（2）由图象可知货车在2.5h~3.5h时装载货物停留1h，

①设1110(02.5)MNykxbkx

∵图象过点(0,240)M和点(2.5,75)N∴1112402.575bkb解得：1124066bk，

∴66240(02.5)MNyxx

②∵货车在2.5h~3.5h时装载货物停留1h，∴75(2.53.5)NGyx，

③设2220(3.55)GHykxbkx，

∵图象过点(3.5,75)G和点(5,0)H∴2222503.575kbkb解得：2225050bk，

∴50250(3.55)GHyxx，∴66240(02.5)75(2.53.5)50250(3.55)xxyxxx．

（3）设轿车出发xh与货车相距12km，则货车出发（x+1）h，

①当两车相遇前相距12km时：66(1)24012012xx，解得：2731x,

②当两车相遇后相距12km时：12066(1)240xx=12，解得：x=1，

答：轿车出发1h或27h31与货车相距12km．

【点睛】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式的运用，认真分析函数图象，读懂函数图象表示的意义是解题关键．