最小二乘法解超定方程组

求超定方程组的最小二乘解最小二乘法是一种常用的数学方法，用于求解超定方程组的近似解。

超定方程组指方程的个数多于未知数的个数，因此无法直接求解精确解。

而最小二乘法通过将方程组中的每个方程的残差平方之和最小化，找到一个最接近解的估计值。

最小二乘法的应用非常广泛，尤其在数据拟合和回归分析中被广泛使用。

举个例子来说，假设我们有一组观测数据，表示了某个物理过程的实际情况。

而我们想要通过一个数学模型来描述这个物理过程。

但是由于观测误差等原因，我们无法通过这组数据直接得到精确的解。

这时，我们可以使用最小二乘法来逼近这个数学模型。

首先，我们假设这个数学模型是一个线性方程组。

然后，我们根据观测数据，使用最小二乘法来找到一个最接近的解。

具体的求解步骤如下：1. 假设我们的线性方程组可以表示为 Ax = b 的形式，其中 A是一个 m 行 n 列的系数矩阵，x 是一个 n 维列向量表示未知数，b是一个 m 维列向量表示观测数据。

2. 我们的目标是找到一个最小二乘解 x*，使得 ||Ax - b||^2 = min。

其中，||.|| 表示向量的模（即向量的长度的平方）。

3. 通过数学推导可以得到，最小二乘解可以通过求解正规方程组ATAx = ATb 得到。

其中，AT 是 A 的转置矩阵，A^T 表示 A 的伪逆矩阵。

4. 求解正规方程组的方法有多种，最常见的是使用矩阵的分解方法，如QR分解或奇异值分解等。

通过以上步骤，我们可以得到最小二乘解 x*，并使用它来逼近我们的数学模型。

最小二乘法的优点在于它能够处理带有误差的观测数据，提供一个最优的近似解。

它在实际应用中具有广泛的指导意义。

举个实际案例来说，假设我们要估计一辆汽车的燃油消耗量与其速度的关系。

我们首先收集了一组汽车在不同速度下的燃油消耗数据。

然后，我们可以使用最小二乘法来拟合一个线性模型，得到一个最优的近似解。

通过最小二乘法，我们可以得到一个线性关系的方程，表示速度与燃油消耗量之间的关系。

opencv 最小二乘求解超定方程组最小二乘法是一种常用的数值优化方法，它可以用于求解超定方程组的最优解。

在计算机视觉领域中，最小二乘法在图像处理和计算机视觉算法中应用广泛。

OpenCV是一个开源的计算机视觉库，提供了丰富的函数和工具，可以用于最小二乘求解超定方程组。

超定方程组指的是方程的数量多于未知数的数量。

在超定方程组中，我们往往无法精确地求解满足所有方程的解。

最小二乘法的目标是找到一个尽可能接近满足所有方程的解的解。

在最小二乘法中，我们通过最小化残差的平方和来定义一个代价函数，然后通过优化这个代价函数来求解超定方程组的最优解。

在OpenCV中，可以使用cv::solve函数来求解超定方程组的最优解。

cv::solve函数可以接受一个包含多个方程的矩阵和一个包含右侧常数的矩阵作为输入，然后返回一个解向量。

求解超定方程组的最优解需要满足以下条件：1.方程组必须是线性的。

如果方程组包含非线性方程，则需要使用非线性最小二乘法来求解。

2.方程组必须是超定的，即方程的数量多于未知数的数量。

3.方程组必须是可解的，即方程组必须存在至少一个解。

4.方程组必须是稳定的，即求得的最优解不能对输入数据的微小变化过于敏感。

在应用最小二乘法求解超定方程组之前，我们需要将方程组转化为矩阵形式。

设超定方程组的矩阵为A，未知数的向量为x，右侧常数的向量为b，则超定方程组可以表示为Ax=b。

在求解最优解之前，我们首先需要判断矩阵A的秩是否满秩，即A的行向量是否线性无关。

如果矩阵A的秩不满秩，意味着方程组不满足可解的条件，无法求得最优解。

在OpenCV中，可以使用cv::rank函数来计算矩阵的秩。

cv::rank函数接受一个矩阵作为输入，并返回矩阵的秩。

通过判断矩阵的秩是否等于矩阵的列数，我们可以判断方程组是否满足可解的条件。

如果方程组满足可解的条件，我们可以使用最小二乘法来求解超定方程组的最优解。

在OpenCV中，可以使用cv::solve函数来求解最小二乘问题。

0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。

【解】 由于210)(-+=x e x f x，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。

【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。

超定方程组，又称为过定方程组，是线性代数中的一个概念。

当方程组的未知数数量少于方程数量时，该方程组就被称为超定方程组。

由于超定方程组通常没有精确解，我们常常会寻求一个近似解，使得所有方程的残差平方和最小。

这就是最小二乘解的原理。

一、最小二乘解的基本概念最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。

利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和最小。

最小二乘法还可用于曲线拟合，其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。

二、超定方程组的性质对于超定方程组，由于方程数量多于未知数数量，因此通常不存在一个解能够使得所有方程同时成立。

这种情况下，我们需要寻找一个近似解，即一个解，使得所有方程的残差（即方程的实际值与解代入方程后得到的计算值之间的差）的平方和最小。

三、最小二乘解的原理最小二乘解的原理就是基于上述思想，通过最小化残差平方和来寻找超定方程组的近似解。

具体步骤如下：构建残差平方和函数：首先，我们需要构建一个表示残差平方和的函数。

假设超定方程组有(m) 个方程，(n) 个未知数（(m > n)），未知数的向量记作(\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)^T)，方程组的系数矩阵记作(\mathbf{A} = (a_{ij})_{m \times n})，常数项向量记作(\mathbf{b} = (b_1, b_2, \ldots, b_m)^T)。

那么，残差向量可以表示为(\mathbf{r} = \mathbf{A}\mathbf{x} - \mathbf{b})，残差平方和函数可以写为(S(\mathbf{x}) = \mathbf{r}^T\mathbf{r} = (\mathbf{A}\mathbf{x} - \mathbf{b})^T(\mathbf{A}\mathbf{x} - \mathbf{b}))。

超定方程用最小二乘法求解根据解的存在情况，线性方程可以分为:有唯一解的恰定方程组，解不存在的超定方程组，有无穷多解的欠定方程组。

对于方程组Ax=b，A为n×m矩阵，如果A列满秩，且n>m。

则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组。

线性超定方程组经常遇到的问题是数据的曲线拟合。

对于超定方程，在MATLAB 中，利用左除命令（x=A\b）来寻求它的最小二乘解；还可以用广义逆来求，即x=pinv(A),所得的解不一定满足Ax=b，x只是最小二乘意义上的解。

左除的方法是建立在奇异值分解基础之上，由此获得的解最可靠；广义逆法是建立在对原超定方程直接进行householder变换的基础上，其算法可靠性稍逊与奇异值求解，但速度较快；独立方程个数大于独立的未知参数的个数的方程，称为超定方程，在matlab里面有三种方法求解，一是用伪逆法求解，x=pinv(A)*b,二是用左除法求解，x=A\b,三是用最小二乘法求解,x=lsqnonneg(A,b)(3)矩阵求逆行数和列数相等的矩阵称为方阵，只有方阵有逆矩阵。

方阵的求逆函数为：B=inv(A)该函数返回方阵A的逆阵。

如果A不是方阵或接近奇异的，则会给出警告信息。

在实际应用中，很少显式的使用矩阵的逆。

在MATLAB中不是使用逆阵x=inv(A)*B来求线性方程组Ax=B的解，而是使用矩阵除法运算x=A\B来求解。

因为MATLAB设计求逆函数inv时，采用的是高斯消去法，而设计除法解线性方程组时，并不求逆，而是直接采用高斯消去法求解，有效的减小了残差，并提高了求解的速度。

因此，MATLAB推荐尽量使用除法运算，少用求逆运算。

(4)除法运算在线性代数中，只有矩阵的逆的定义，而没有矩阵除法的运算。

而在MATLAB 中，定义了矩阵的除法运算。

矩阵除法的运算在MATLAB中是一个十分有用的运算。

根据实际问题的需要，定义了两种除法命令：左除和右除。

矩阵左除：C=A\B或C=mldivide(A,B)矩阵右除；C=A/B或C=mrdivide(A,B)通常矩阵左除不等于右除，如果A是方阵，A\B等效于A的逆阵左乘矩阵B。

0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。

【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。

【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。

Matlab中的最小二乘法在解决超定方程组问题时起到了很大的作用。

下面我们将以实际的例子来说明Matlab如何使用最小二乘法解决超定方程组问题。

1. 我们需要明确什么是超定方程组。

超定方程组是指方程的数目大于未知数的数目，这样的方程组往往没有精确解。

在实际问题中，经常会遇到这样的情况，例如在数据拟合、信号处理、控制系统等领域。

2. 我们需要了解最小二乘法的原理。

最小二乘法是一种数学优化方法，通过最小化误差的平方和来求解未知参数。

在超定方程组中，最小二乘法可以用来寻找方程组的最佳拟合解，即使得方程组的误差最小化的解。

3. 接下来，我们以一个简单的线性拟合问题来演示Matlab中最小二乘法的应用。

假设我们有一组数据点(x,y)，其中x是自变量，y是因变量。

我们希望找到一条直线y=ax+b来最佳拟合这组数据点。

这意味着我们需要找到参数a和b使得数据点到直线的误差最小。

4. 在Matlab中，我们可以使用polyfit函数来进行最小二乘拟合。

该函数的调用方式为：``` matlabp = polyfit(x, y, 1);```其中x和y是数据点的坐标，1表示拟合的多项式次数，这里是一次直线拟合。

调用polyfit函数后，我们可以得到拟合出的直线的系数。

5. 为了验证拟合的效果，我们可以使用polyval函数来计算拟合出的直线在自变量x处的预测值。

该函数的调用方式为：``` matlaby_fit = polyval(p, x);```y_fit就是拟合出的直线在对应x处的预测值。

6. 我们可以将原始数据点和拟合出的直线一起绘制在同一张图上，以直观地看出拟合效果如何。

我们可以使用plot函数来绘制数据点和直线，使用legend函数来加上图例，方便对比。

通过以上步骤，我们可以在Matlab中使用最小二乘法来解决超定方程组问题，例如进行数据拟合、信号处理等。

这种方法可以帮助我们找到最佳拟合方程，从而更好地理解数据的特性，或者用于预测未知数据点的结果。