余弦定理的10种证明方法

证明余弦定理的方法余弦定理是三角学中的一个重要定理，用于求解三角形的边长或角度。

它可以通过几何方法或代数方法来证明。

下面将以几何方法为例，详细介绍如何证明余弦定理。

假设有一个三角形ABC，其中边长分别为a、b、c，而角A、B、C的对边分别为a、b、c。

要证明余弦定理，我们需要根据几何性质来推导。

首先，我们可以在三角形ABC内部构造一个高（垂直于底边BC），并以h表示这个高的长度。

然后，我们将底边BC延长到一点M，使得AM与对边a垂直相交。

这样，我们可以得到两个小三角形：MBC和AMC。

根据勾股定理，我们可以得到以下两个等式：1. BM²= BC²- CM²（1）2. AM²= AC²- CM²（2）接下来，我们要考虑如何将h表示为a、b、c的函数。

我们发现，三角形ABC 的面积可以用三条边以及高h来表示，即S = (1/2)×a×h = (1/2)×b×h = (1/2)×c×h。

由此可得到以下等式：3. a×h = 2S（3）4. b×h = 2S（4）5. c×h = 2S（5）现在，我们可以通过将等式（3）、（4）和（5）代入等式（1）和（2）中，来推导出余弦定理。

将（3）代入（1）得到BM²= BC²- (2S/a)²，即BM²= BC²- (4S²/a²)。

同样地，将（4）代入（2）得到AM²= AC²- (4S²/b²)。

接下来，我们要观察AMC，通过它我们可以使用余弦公式来推导余弦定理。

根据余弦公式，我们有cos(∠AMC) = (AC²+ AM²- CM²) / (2×AC×AM)。

余弦定理的八种证明方法1500字余弦定理是高中数学中一个非常重要的定理，它可以描述三角形边长和角度之间的关系。

余弦定理有很多种证明方法，以下我们简单介绍其中的八种证明方法。

方法一：向量法证明推导过程如下：设三角形ABC的顶点坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。

根据向量的定义和运算法则，可以得到向量AB=a，向量AC=b，向量BC=c。

由向量的点积公式可知，向量a·b=|a||b|cos(∠{向量AB，向量AC})，即(a-b)·(a-c)=-|a|²cosA。

对称地，还可以得到(b-c)·(b-a)=-|b|²cosB，(c-a)·(c-b)=-|c|²cosC。

进一步推导可知，(a-b)·(a-c)+(b-c)·(b-a)+(c-a)·(c-b)=-(|a|²+|b|²+|c|²)，即2(a·b+b·c+c·a)=|a|²+|b|²+|c|²，最终可得到余弦定理的向量形式。

方法二：面积法证明推导过程如下：设∠ACB=C，根据三角形的面积公式可知，△ABC的面积S=1/2|AC||BC|sinC。

又根据正弦定理可知，sinC=a/2R，其中R为△ABC的外接圆半径。

将sinC带入上述公式可得S=1/4R|AC||BC|a。

同样地，也可以得到S=1/4R|AB||BC|c和S=1/4R|AB||AC|b。

将这三个式子相加，并将△ABC的面积用△ABC的周长p和半周长s表示，可得2S/abc=(ac+ab-bc)/2sb+(ab+bc-ac)/2sc+(ac+bc-ab)/2sa。

经过化简可以得到余弦定理的面积形式。

方法三：勾股定理证明推导过程如下：考虑△ABC的边AB与边AC之间的夹角∠BAC=A，根据勾股定理可得AB²=BC²+AC²-2BC·ACcosA。

余弦定理的证明方法篇一：余弦定理的证明方法集锦余弦定理的证明方法集錦江苏省泗阳县李口中学沈正中余弦定理和勾股定理一样，证明方法也有很多种,下面给出比较经典的几种证明方法，供大家参考！余弦定理：三角形任一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边与其夹角余弦的积的二倍。

如图1所示，在△ABC中，若AB＝c，BC＝a，CA＝b，则c2＝a2＋b2－2abcosC（或a2＝b2＋c2－2bccosA或b2＝c2＋a2－2cacosB）。

证法1如图2，在锐角△ABC中，作AD⊥BC于D，则CD＝bcosC，AD＝bsinC，在△ABD中，由勾股定理，得AB2＝BD2＋AD2，即AB2＝(a－bcosC)2＋(bsinC)2＝a2－2abcosC＋b2cos2C＋b2sinC2＝a2－2abcosC＋b2，即c2＝a2＋b2－2abcosC。

当C重合于D时，在Rt△ABC中，∠C＝90°，因cosC＝0，所以c2＝a2＋b2。

当C在D左侧时，△ABC为钝角三角形，如图3所示，∠ACD＝180°－C，cos∠ACD＝cos(180°－C)＝－cosC，sin∠ACD＝sin(180°－C)＝sinC，所以CD＝bcos(180°－C)＝－bcosC，AD＝bsin(180°－C)＝b sinC，在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB2＝BD2＋AD2，即AB2＝(a－bcosC)2＋(bsinC)2＝a2－2abcosC＋b2cos2C＋b2sinC2＝a2－2abcosC＋b2，即c2＝a2＋b2－2abcosC。

证法2将△ABC的顶点C置于原点，CA落在x轴的正半轴上，如图4所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(b，0)，B(acosC，asinC)，C(0，0)。

由此得|AB|2＝(acosC－b)2＋(asinC－0)2＝a2cos2C－2abcosC＋b2＋a2sin2C＝a2＋b2－2abcosC，即c2＝a2＋b2－2abcosC 。

余弦定理的十一种证明方法余弦定理和勾股定理一样，证明方法也有很多种,下面给出比较经典的十一种证明方法，供大家参考！余弦定理：三角形任一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边与其夹角余弦的积的二倍。

如图1所示，在△ABC中，若AB＝c，BC＝a，CA＝b，则有：c2＝a2＋b2－2ab cosCa2＝b2＋c2－2bc cosAb2＝c2＋a2－2c a cosB.【证法1】如图2，在锐角△ABC中，作AD⊥BC于D，则CD＝b cosC，AD＝b sinC，在△ABD中，由勾股定理，得AB2＝BD2＋AD2，即AB2＝(a－b cosC)2＋(b sinC)2＝a2－2ab cosC＋b2cos2C＋b2sinC2＝a2－2ab cosC＋b2，即c2＝a2＋b2－2ab cosC。

当C重合于D时，在Rt△ABC中，∠C＝90°，因cosC＝0，所以c2＝a2＋b2。

当C在D左侧时，△ABC为钝角三角形，如图3所示，∠ACD＝180°－C，cos∠ACD＝cos(180°－C)＝－cosC，sin∠ACD＝sin(180°－C)＝sinC，所以CD＝b cos(180°－C)＝－b cosC，AD＝b sin(180°－C)＝b sinC，在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB2＝BD2＋AD2，即AB2＝(a－b cosC)2＋(b sinC)2＝a2－2ab cosC＋b2cos2C＋b2sinC2＝a2－2ab cosC＋b2，即c2＝a2＋b2－2ab cosC。

【证法2】将△ABC 的顶点C 置于原点，CA 落在x 轴的正半轴上，如图4所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (b ，0)，B (a cosC ，a sinC)，C (0，0).由此得|AB|2＝(a cosC －b )2＋(a sinC －0)2＝a 2cos 2C －2ab cosC ＋b 2＋a 2sin 2C＝a 2＋b 2－2ab cosC ，即c 2＝a 2＋b 2－2ab cosC 。

余弦定理的证明方法篇一：余弦定理的六种证法余弦定理的六种证法法一(平面几何)：在△中，已知?,?,及?，求。

过作?于，是＝?，??,在?中，2?2?2?()2?(?)2?2?2?2，法二（平面向量）：????????????????????????????2????????????2????2??????????(?)?(?) ??2????2||?||????222222(180?)???2?，即：???2?法三（解析几何）：把顶点置于原点，落在轴的正半轴上，由于△的=，=，=，则，，点的坐标分别为(，0)，(，)，(0，0)．||2=(－)2+(－0)2=22－2+2+22=2+2－2，即2=2+2－2．法四（利用正弦定理）：先证明如下等式：证明：22?22??2⑴2?2??1?2212?1?22?1?2222???2?2??1?2????????????????????2故⑴式成立，再由正弦定理变形，得??2???2??2?(2)结合⑴、(2)有???42222????222?4?2?22即???2同理可证???2；???2222222222法五（用相交弦定理证明余弦定理）如图，在三角形中，∠=α，=，=，=。

现在以为圆心，以长边为半径做圆，这里要用长边的道理在于，这样能保证点在圆内。

的延长线交圆于点和这样以来，=-，=+，=。

因为=2α，所以=2α-。

根据相交弦定理有：×=×，带入以后就是(-)(+)=(2α-)化简以后就得2=2+2+2α。

也就是我们的余弦定理。

法六（面积解释）：如图9，以△的三边为边长向外作三个正方形，说欧几里德就是利用此图形证明勾股定理的。

易证旋转而成)，进而可得；同理形面积等于两直角边上两正方形面积之和。

，(最好是将交于。

据看作是，所以直角三角形斜边上的正方此处还有一个副产品：影定理。

等价于，无需用到相似，轻松可得射图9图10假若不是直角三角形呢？如图10，△的三高的延长线将三个正方形分为6个矩形，而且两两相等，，，，轻松可得余弦定理。

余弦定理的证明方法大全共十法余弦定理是解决三角形边长和角度之间关系的重要定理之一、下面将为您介绍十种余弦定理的证明方法。

2.利用勾股定理证明余弦定理。

假设有一个三角形ABC，其中∠C为直角。

利用勾股定理可以得到AB²=AC²+BC²。

将AC表示为向量a，BC表示为向量b，AB表示为向量c，并将这些向量投影到相应的轴上，即可得到余弦定理。

3.使用数学归纳法证明余弦定理。

首先，证明当n=1时余弦定理成立，即两边长相等的情况。

然后，假设当n=k时余弦定理成立，即k个边长相等的情况。

再证明当n=k+1时余弦定理也成立，即k+1个边长相等的情况。

4. 利用三角函数证明余弦定理。

假设三角形的两条边长分别为a和b，夹角为θ。

利用正弦函数和余弦函数的关系，可以得到a² + b² -2abcosθ = c²，即余弦定理。

5. 引入垂线证明余弦定理。

假设三角形中∠C为直角，CD为∠C的垂线。

通过利用勾股定理和几何性质可以得到c² = a² + b² - 2abcosC，即余弦定理。

6.利用平面几何证明余弦定理。

假设三角形中∠C为直角，连接AC和BC的垂直平分线交于点D。

通过平面几何知识可以得到∠ADC=∠BDC=θ/2、然后，利用正弦定理和余弦定理可以得到余弦定理的证明。

7.利用平行四边形的性质证明余弦定理。

假设有一个平行四边形ABCD，分别连接AC和BD的垂线交于点E。

通过平行四边形的性质可以得到BE=AD和CE=AF。

利用余弦定理可以得到余弦定理的证明。

8. 使用三角形的面积证明余弦定理。

假设在三角形ABC中，AD为边BC的高，a = BC，b = AC，c = AB。

利用三角形的面积公式可以得到c² = a² + b² - 2abcosθ，即余弦定理。

9.利用球面三角形证明余弦定理。

将平面上的三角形放置在一个球体的表面上。

余弦定理的证明方法余弦定理的证明方法在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b则c^2=a^2+b^2-2ab*cosCa^2=b^2+c^2-2bc*cosAb^2=a^2+c^2-2ac*cosB下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。

过A作AD⊥BC于D，则BD+CD=a由勾股定理得：c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2=(a-CD)^2-(CD)^2+b^2=a^2-2a*CD +(CD)^2-(CD)^2+b^2=a^2+b^2-2a*CD因为cosC=CD/b所以CD=b*cosC所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC在任意△ABC中, 作AD⊥BC.∠C对边为c，∠B对边为b，∠A对边为a -->BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c勾股定理可知：AC=AD+DCb=(sinB*c)+(a-cosB*c)b=sinB*c+a+cosB*c-2ac*cosBb=(sinB+cosB)*c-2ac*cosB+ab=c+a-2ac*cosB所以，cosB=(c+a-b)/2ac2如右图，在ABC中，三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c . 以A 为原点，AC所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是C点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得B点坐标是(ccosA，csinA) . ∴CB = (ccosA-b，csinA). 现将CB平移到起点为原点A，则AD = CB . 而|AD| = |CB| = a ，∠DAC = π-∠BCA = π-C ，根据三角函数的定义知D点坐标是 (acos(π-C)，asin(π-C)) 即 D点坐标是(-acosC，asinC), ∴ AD = (-acosC，asinC) 而 AD = CB ∴ (-acosC，asinC) = (ccosA-b，csinA) ∴ asinC = csinA …………① -acosC = ccosA-b ……②由①得 asinA = csinC ，同理可证 asinA = bsinB ，∴ asinA = bsinB = csinC . 由②得 acosC = b-ccosA ，平方得： a2cos2C = b2-2bccosA + c2cos2A ，即 a2-a2sin2C = b2-2bccosA + c2-c2sin2A . 而由①可得 a2sin2C = c2sin2A ∴ a2 = b2 + c2-2bccosA . 同理可证 b2 = a2 + c2-2accosB ， c2 = a2 + b2-2abcosC . 到此正弦定理和余弦定理证明完毕。

余弦定理的十种证明方法余弦定理是解决任意三角形的重要定理之一，可以用来求解三角形的边长、角度等问题。

下面将介绍十种证明余弦定理的方法。

1.平面向量法：设三角形的三边向量分别为a、b、c，则有a²=b²+c²-2bc*cosA，b²=a²+c²-2ac*cosB，c²=a²+b²-2ab*cosC。

将这些公式转化为三角形的边长形式即为余弦定理。

2.向量的模长法：设向量a、b、c的模长分别为A、B、C，夹角分别为α、β、γ，则有A²=B²+C²-2BC*cosα，B²=A²+C²-2AC*cosβ，C²=A²+B²-2AB*cosγ。

令边长等于向量的模长，将这些公式转化为三角形的边长形式即为余弦定理。

3.正弦定理扩展法：在一个三角形的条边上延长一边，并在延长边上取一点，使得三角形分为两个相似三角形。

利用相似三角形的关系可以推导出余弦定理。

4.科学结算法：这种方法将余弦定理看作三角形面积公式的一种特殊情况。

通过证明三角形的面积公式和余弦定理是等价的，就证明了余弦定理的正确性。

5.高中数学综合证明法：利用高中教材中的已知定理和公式，如三角形内角和定理、三角形的面积公式等，可以通过一系列的推导和变形，最终得到余弦定理。

6.解析几何法：将三角形的顶点与坐标系关联，根据顶点的坐标，可以得到三角形的边长、角度等信息。

通过求解三角形的边长和角度，可以得到余弦定理。

7.直角三角形法：将三角形分解为两个直角三角形，利用直角三角形的性质和勾股定理，可以推导出余弦定理。

8.球面三角形法：在球面上考虑三角形的问题，利用球面三角形的性质和球面上的几何关系，可以推导出余弦定理。

9.微积分法：将三角形分解为一组小三角形，并使用微积分的方法求解这些小三角形的边长和角度。

( 经典 ) 最全余弦定理的10 种证明方法——王彦文青铜峡一中一、余弦定理余弦定理 : 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍 , 即在 ABC 中, 已知 AB c , BC a , CA b, 则有a2b2c22bc cos A ,b2c2a22ca cos B ,c2a2b22ab cosC .二、定理证明为了表达的方便与一致 , 我们证明以下问题即可 :在 ABC中, 已知 AB c , AC b , 及角 A , 求证 : a2b2c22bc cos A.uuur uuur uuur证法一:如图 1,在 ABC中,由CB AB AC 可得:uuur uuur uuur uuur uuur uuurCB CB( AB AC) (AB AC)uuur 2uuur 2uuur uuurAB AC2AB ACb2c22bc cos A即 , a2b2c22bc cos A .证法二 : 本方法要注意对A 进行谈论 .(1) 当 A 是直角时 , 由b2c22bc cos A b2c22bc cos90 b2c2a2知结论建立.(2) 当 A 是锐角时 , 如图 2-1, 过点 C 作 CD AB,交AB于点D,则在 Rt ACD 中 , AD bcos A , CD b sin A .从而, BD AB AD c b cos A .在 Rt BCD 中 , 由勾股定理可得 :BC 2BD 2CD 2(c bcos A)2(b sin A)2c22cb cos A b2即, a2b2c22bc cos A .明 : 2-1 中只 B 是角吻合 , 而 B 可以是直角或角 . 若 B 是直角 , 中的点 D 就与点 B 重合；若 B 是角 , 中的点 D 就在 AB 的延上 .(3) 当 A 是角 , 如 2-2, 点 C 作 CD AB, 交BA延于点 D,在Rt ACD 中, AD b cos( A) b cos A , CD b sin(A) bsin A .从而 , BD AB AD c bcos A .在 Rt BCD 中 , 由勾股定理可得 :BC2BD2CD2(c bcos A)2(b sin A)2c22cb cos A b2即, a2b2c22bc cos A .上 (1),(2),(3)可知 , 均有a2b2c22bc cos A建立.法三 : 点 A作 AD BC,交 BC于点 D,在 Rt ABD 中, sin BD, cos AD .c c在 Rt ACD 中, sin CD, cos AD .b b由 cos A cos()cos cos sin sin可得 :cos A AD AD BD CD AD 2BD CDc b c b bc2AD 22BD CD c2BD 2b2CD 22BD CD 2bc2bcb2c2(BD CD )2b2c2a22bc2bc整理可得 a2b2c22bc cos A .法四 : 在 ABC 中, 由正弦定理可得a b c c. sin A sin B sin C sin( A B)从而有 b sin A a sin B , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①csin A a sin( A B) a sin A cos B a cos Asin B .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②将① 入②, 整理可得 a cosB c b cosA .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯③将① , ③平方相加可得a2(c bcos A) 2(b sin A)2b2c22bc cos A.即 ,a2b2c22bc cos A .法五 : 建立平面直角坐系( 如4),由意可得点A(0,0),B(c,0), C (b cos A,b sin A) ,再由两点距离公式可得a2(c b cos A)2(b sin A)2c22cb cos A b2.即 ,a2b2c22bc cos A .法六:在ABC 中,由正弦定理可得a2Rsin A , b2R sin B , c2Rsin C .于是 ,a24R2sin2A4R2 sin 2 ( B C )4R2 (sin 2B cos2 C cos2B sin 2 C2sin B sin C cos B cosC )4R2 (sin 2B sin 2 C2sin 2B sin2 C2sin B sin C cosB cosC )4R2 (sin 2B sin 2 C2sin B sin C cos(B C ))4R2 (sin 2B sin 2 C2sin B sin C cos A)(2 R sin B)2(2 R sin C )22(2 R sin B)(2 R sin B)cos Ab2c22bc cos A即, 建立 .a2Rsin A ,b2R sin B , c2Rsin C.法七 : 在ABC 中, 由正弦定理可得于是 ,a2b2c22bc cos A4R2sin2A4R2 sin2B4R2 sin 2 C8R2 sin B sin C cos A2sin2A2sin 2B2sin 2 C4sin B sin C cos A2sin2A2cos 2B cos2C4sin B sin C cos A2 2cos2A 2 2cos( B C )cos( B C)4sin B sin C cos A由于cos( B C)cos(A)cos A ,因此cos2A cos( B C )cos( B C )2sin B sin C cos Acos A cos(B C )2sin B sin Ccos A cos B cosC sin B sin C cos( B C ).这 , 显然建立.即, 结论建立 .证法八 : 如图 5, 以点 C 为圆心 , 以 CA b为半径作 e C , 直线 BC 与 e C 交于点D , E , 延长AB 交 e C 于 F , 延长 AC 交 e C 于 G .则由作图过程知AF2b cos A ,故 BF 2b cosA c .由订交弦定理可得 : BA BF BD BE ,即 , c (2b cos A c)(b a) (b a) ,整理可得 : a2b2c22bc cos A .证法九:如图 6,过C作CD∥ AB,交 ABC的外接圆于 D,则 AD BC a , BD AC b .分别过 C,D 作AB的垂线,垂足分别为 E, F ,则AE BF b cos A , 故 CD c2bcos A .由托勒密定理可得 AD BC AB CD AC BD,即 , a a c (c2b cos A) b b .整理可得 : a2b2c22bc cos A .证法十 : 由图 7-1 和图 7-2 可得a2(c b cos A)2(b sin A)2,整理可得 : a2b2c22bc cos A .余弦定理的证明方法还有很多 , 比方可以用物理方法证明、可以构造相似三角形证明、可以利用图形面积证明等 . 感兴趣的读者可以到图书馆或互联网中进行盘问 .。

余弦定理的证明方法大全余弦定理是解析几何中常用的定理，用于计算三角形中一个角的余弦值。

下面将介绍十种常见的余弦定理证明方法。

1.方法一：向量法证明余弦定理我们假设三角形的三个顶点分别为A、B、C，以向量AB和AC为两条边，设向量AB为a，向量AC为b。

根据向量的定义，可以得出向量AB与向量AC的夹角θ。

那么，根据向量的内积公式，可以得到：a·b = ，a，b，cosθ其中，a，和，b，分别表示向量a和b的长度。

由此可得余弦定理的向量形式：c^2 = ，a，^2 + ，b，^2 - 2，a，b，cosθ2.方法二：平面向量法证明余弦定理我们可以将三角形的三个顶点A、B、C的坐标表示为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。

设向量AB为a，向量AC为b。

根据向量的定义，可以得出向量AB与向量AC的夹角θ。

那么，根据向量的模长和夹角的余弦值的关系，可以得到：cosθ = (a·b)/(，a，b，)将向量的定义带入上式，可得余弦定理的平面向量形式：c^2=，a，^2+，b，^2-2a·b3.方法三：直角三角形法证明余弦定理假设ΔABC是一个直角三角形，且∠B为直角。

根据勾股定理，可以得到：a^2=b^2+c^2将上式改写为：c^2=a^2-b^24.方法四：海伦公式证明余弦定理我们知道，海伦公式可以用于计算三角形的面积。

设ΔABC的三条边分别为a，b，c，半周长为s，面积为S。

那么，根据海伦公式可以得出：S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))将面积的表达式展开，再利用ΔABC的面积公式，可得余弦定理的表达式。

5.方法五：向量叉乘法证明余弦定理我们可以使用向量的叉乘来计算三角形的面积。

设三角形的三个顶点A、B、C的坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。

根据向量的叉乘公式，可以得到：2S=，AB×AC展开上式，并利用向量模长的定义，可以得到余弦定理的表达式。