2020届高考数学(理)一轮复习模拟题汇练：考点12指数和指数函数

2020年高考理科数学一轮总复习：《指数与指数函数》[基础题组练]1．函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )解析：选A.将函数解析式与图象对比分析，因为函数f (x )＝1－e |x |是偶函数，且值域是 (－∞，0]，只有A 满足上述两个性质．2．设2x ＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则x ＋y 的值为( )A ．18B ．21C ．24D ．27解析：选D.因为2x ＝8y ＋1＝23(y＋1)，所以x ＝3y ＋3，因为9y ＝3x －9＝32y ，所以x －9＝2y ， 解得x ＝21，y ＝6，所以x ＋y ＝27. 3．已知a ＝(2)43，b ＝225，c ＝913，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <aD ．c <a <b解析：选A.a ＝(2)43＝212×43＝223，b ＝225，c ＝913＝323，由2<3得a <c ，由23>25，得a >b ，故c >a >b .故选A. 4．设x >0，且1<b x <a x ，则( ) A ．0<b <a <1 B ．0<a <b <1 C ．1<b <aD ．1<a <b解析：选C.因为1<b x ，所以b 0<b x ， 因为x >0，所以b >1， 因为b x<a x，所以⎝⎛⎭⎫a b x >1，因为x >0，所以ab >1，所以a >b ，所以1<b <a .故选C.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2－x，x ≥0，2x －1，x <0，则函数f (x )是( )A ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增B ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减解析：选C.易知f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，－f (x )＝2－x －1，此时－x <0，则f (－x )＝2－x －1＝－f (x )；当x <0时，f (x )＝2x －1，－f (x )＝1－2x ，此时－x >0，则f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x ＝－f (x )．即函数f (x )是奇函数，且单调递增，故选C. 6．已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a＝⎝⎛⎭⎫13b，下列五个关系式： ①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b . 其中不可能成立的关系式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B.函数y 1＝⎝⎛⎭⎫12x与y 2＝⎝⎛⎭⎫13x的图象如图所示．由⎝⎛⎭⎫12a＝⎝⎛⎭⎫13b得，a ＜b ＜0或0＜b ＜a 或a ＝b ＝0. 故①②⑤可能成立，③④不可能成立．7．函数f (x )＝a x ＋b －1(其中0<a <1且0<b <1)的图象一定不经过第________象限． 解析：由0<a <1可得函数y ＝a x 的图象单调递减，且过第一、二象限， 因为0<b <1，所以－1<b －1<0， 所以0<1－b <1，y ＝a x 的图象向下平移1－b 个单位即可得到y ＝a x ＋b －1的图象，所以y ＝a x ＋b －1的图象一定在第一、二、四象限，一定不经过第三象限．答案：三8．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．解析：由f (1)＝19得a 2＝19.又a >0， 所以a ＝13，因此f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|.因为g (x )＝|2x －4|在[2，＋∞)上单调递增， 所以f (x )的单调递减区间是[2，＋∞)． 答案：[2，＋∞)9．不等式⎝⎛⎭⎫12x 2＋ax <⎝⎛⎭⎫122x ＋a －2恒成立，则a 的取值范围是________． 解析：由题意，y ＝⎝⎛⎭⎫12x是减函数， 因为⎝⎛⎭⎫12x 2＋ax <⎝⎛⎭⎫122x ＋a －2恒成立， 所以x 2＋ax >2x ＋a －2恒成立， 所以x 2＋(a －2)x －a ＋2>0恒成立， 所以Δ＝(a －2)2－4(－a ＋2)<0， 即(a －2)(a －2＋4)<0， 即(a －2)(a ＋2)<0，故有－2<a <2，即a 的取值范围是(－2，2)． 答案：(－2，2)10．已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________．解析：由题意得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e |x |，x ≥1，e |x －2|，x <1.当x ≥1时，f (x )＝e |x |＝e x ≥e(当x ＝1时，取等号)； 当x <1时，f (x )＝e |x －2|＝e 2－x >e.故f (x )的最小值为f (1)＝e. 答案：e11．设f (x )＝x （1－2x ）1＋2x .(1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)讨论函数f (x )在区间(0，＋∞)上的单调性． 解：(1)根据题意，f (x )＝x （1－2x ）1＋2x，则f (－x )＝（－x ）（1－2－x ）1＋2－x ＝（－x ）（2x －1）2x ＋1＝x （1－2x ）1＋2x＝f (x )， 所以函数f (x )为偶函数．(2)因为f (x )＝x （1－2x ）1＋2x＝－x ＋2x2x ＋1， 所以f ′(x )＝－1＋2（2x ＋1）－2x （2x ln 2）（2x ＋1）2＝－1＋22x ＋1－2x （2x ln 2）（2x ＋1）2，因为x ＞0，所以2x ＋1＞2， 所以22x ＋1＜1，所以－1＋22x ＋1＜0，所以f ′(x )＜0，故函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减． 12．已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈[－3，0]上的值域； (2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1 ＝2(2x )2－2x －1，令t ＝2x ，x ∈[－3，0]，则t ∈⎣⎡⎦⎤18，1. 故y ＝2t 2－t －1＝2⎝⎛⎭⎫t －142－98， t ∈⎣⎡⎦⎤18，1， 故值域为⎣⎡⎦⎤－98，0. (2)关于x 的方程2a (2x )2－2x －1＝0有解， 设2x ＝m >0，等价于方程2am 2－m －1＝0在(0，＋∞)上有解， 记g (m )＝2am 2－m －1，当a ＝0时，解为m ＝－1<0，不成立． 当a <0时，开口向下，对称轴m ＝14a <0，过点(0，－1)，不成立． 当a >0时，开口向上，对称轴m ＝14a>0，过点(0，－1)，必有一个根为正，综上得a >0.[综合题组练]1．(应用型)已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( )A ．a <0，b <0，c <0B ．a <0，b ≥0，c >0C ．2－a <2cD ．2a ＋2c <2解析：选D.作出函数f (x )＝|2x －1|的图象，如图，因为a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )， 结合图象知，0<f (a )<1，a <0，c >0， 所以0<2a <1.所以f (a )＝|2a －1|＝1－2a <1， 所以f (c )<1，所以0<c <1.所以1<2c <2，所以f (c )＝|2c －1|＝2c －1， 又因为f (a )>f (c )， 所以1－2a >2c －1， 所以2a ＋2c <2，故选D.2．(创新型)设y ＝f (x )在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤K ，K ，f （x ）>K .给出函数f (x )＝2x ＋1－4x ，若对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则( )A ．K 的最大值为0B ．K 的最小值为0C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为1解析：选D.根据题意可知，对于任意x ∈(－∞，1]，若恒有f K (x )＝f (x )，则f (x )≤K 在x ≤1上恒成立，即f (x )的最大值小于或等于K 即可．令2x ＝t ，则t ∈(0，2]，f (t )＝－t 2＋2t ＝－(t －1)2＋1，可得f (t )的最大值为1，所以K ≥1，故选D.3．设a >0，且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1，1]上的最大值是14，则实数a 的值为________．解：令t ＝a x (a >0，且a ≠1)，则原函数化为y ＝f (t )＝(t ＋1)2－2(t >0)． ①当0<a <1，x ∈[－1，1]时，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ， 此时f (t )在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上为增函数．所以f (t )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14.所以⎝⎛⎭⎫1a ＋12＝16，解得a ＝－15(舍去)或a ＝13. ②当a >1时，x ∈[－1，1]，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，此时f (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上是增函数．所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍去)．综上得a ＝13或3.答案：13或34．(应用型)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围． 解：(1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0， 即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1， 所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k . 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0， 从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－13.。

绝密 ★ 启用前2020年高考模拟试题（一）理科数学时间：120分钟 分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a ，b 都是实数，那么“22a b>”是“22a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．抛物线22(0)x py p =>的焦点坐标为（ ）A ．,02p ⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,08p ⎛⎫⎪⎝⎭C ．0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8p ⎛⎫ ⎪⎝⎭此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号3．十字路口来往的车辆，如果不允许掉头，则行车路线共有（ ） A ．24种B ．16种C ．12种D ．10种4．设x ，y 满足约束条件36020 0,0x y x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩---≤≥≥≥，则目标函数2z x y =-+的最小值为（ ）A ．4-B ．2-C ．0D ．25．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为（ ）A ．5B ．34C ．41D ．526． ()()()()sin ,00,xf x x x=∈-ππU 大致的图象是（ ） A ． B ． C ． D ．7．函数()sin cos (0)f x x x ωωω=->在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值不可能为（ ）A ．14B ．15C ．12D ．348．运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ，则函数ay x =，()0,x ∈+∞是增函数的概率为（ ）A ．35B ．45C ．34D ．37开始输出y结束是否3x =-3x ≤22y x x=+1x x =+9．已知A ，B 是函数2xy =的图象上的相异两点，若点A ，B 到直线12y =的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（ ） A ．(),1-∞-B ．(),2-∞-C ．(),3-∞-D ．(),4-∞-10．在四面体ABCD 中，若AB CD ==，2AC BD ==，AD BC ==体ABCD 的外接球的表面积为（ ） A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π11．设1x =是函数()()32121n n n f x a x a x a x n +++=--+∈N 的极值点，数列{}n a 满足11a =，22a =，21log n n b a +=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018b b b b b b ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦L =（ ） A ．2017B ．2018C ．2019D ．202012．已知函数()()e exx af x a =+∈R 在区间[]0,1上单调递增，则实数a 的取值范围（ ） A ．()1,1- B ．()1,-+∞ C ．[]1,1-D ．(]0,+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13．命题“00x ∃>，20020x mx +->”的否定是__________．14．在ABC △中，角B 2π3C =，BC =，则AB =__________．15．抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且满足4AFBF =，点O 为原点，则AOF △的面积为__________．16．已知函数()()2cos 2cos 0222x xxf x ωωωω=+>的周期为2π3，当π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，函数()()g x f x m=+恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是__________．三、解答题：共70分。

2.5 指数与指数函数A组基础题组1.函数y=a x-(a>0,且a≠1)的图象可能是( )答案 D 令f(x)=a x-,当a>1时,f(0)=1-∈(0,1),所以A与B均错;当0<a<1时,f(0)=1-<0,所以C错D对,故选D.2.若函数f(x)=(2a-5)·a x是指数函数,则f(x)在定义域内( )A.为增函数B.为减函数C.先增后减D.先减后增答案 A 由指数函数的定义知2a-5=1,解得a=3,所以f(x)=3x,所以f(x)在定义域内为增函数,故选A.3.已知实数a,b满足等式=,下列五个关系式:①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.其中不可能．．．成立的关系式有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案 B 如图,令y 1=,y2=,由=得a<b<0或0<b<a或a=b=0.故选B.4.(2017浙江高考模拟训练冲刺)已知函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=a x(a>0且a≠1),且f(lo4)=-3,则a的值为( )A. B.3 C.9 D.答案 A 由f(lo 4)=-3,得f(-2)=-3,又f(x)是奇函数,则有f(2)=3,即a2=3,又a>0,故a=.5.(2018浙江宁波效实中学高三质检)若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是( )A.(-∞, ]B.[ ,+∞)C.[- ,+∞)D.(-∞,-2]答案 B 由f(1)=得a2=.又a>0,所以a=,因此f(x)=-.设g(x)=|2x-4|,因为g(x)=|2x-4|在[ ,+∞)上单调递增,所以f(x)的单调递减区间是[ ,+∞).6.已知a∈R,则“|a-1|+|a|≤1”是“函数y=a x在R上为减函数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B 由绝对值的几何意义知,|a-1|+|a|≤1的解集是{a|0≤a≤1};函数y=a x在R上为减函数,则a的取值构成的集合是{a|0<a<1},所以B⫋A,根据充分条件与必要条件的定义知选B.7.已知4a=2,lgx=a,则a= ,x= .答案; 0解析由4a=2,得a=,由lgx=,得x= 0.8.计算:·)= ,= .答案1;6解析·)=··-=-=m0=1;=× = × = .9.(2019衢州质检)已知函数f(x)=a x+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b= .答案-解析①当a>1时,f(x)在[-1,0]上单调递增,则-b- ,0b0,无解.②当0<a<1时,f(x)在[-1,0]上单调递减,则-b0,0b- ,解得,- ,∴a+b=-.10.已知函数f(x)=-.(1)若a=-1,求函数f(x)的单调区间;(2)若f(x)有最大值3,求a的值;(3)若f(x)的值域是 0,+∞),求实数a的取值范围.解析(1)当a=-1时,f(x)=--,令g(x)=-x2-4x+3,由于g(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(- ,+∞)上单调递减,而y=在R上单调递减,因此f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(- ,+∞)上单调递增, 即函数f(x)的单调递增区间为(- ,+∞),单调递减区间为(-∞,-2).(2)令h(x)=ax2-4x+3,则f(x)=),由于f(x)有最大值3,因此h(x)应有最小值-1,所以-=-1,解得a=1.(3)由指数函数的性质知,要使函数f(x)的值域是 0,+∞),则需函数h(x)=ax2-4x+3的值域为R,因为二次函数的值域不可能为R,所以a=0.B组提升题组1.无论a为何值,函数y=(a-1)2x-恒过定点,则这个定点的坐标是( )A. ,-B. ,C.- ,-D.- ,答案 C y=(a-1)2x-=a--2x,令2x-=0,得x=-1,故函数y=(a-1)2x-恒过定点- ,-,故选C.2.(2017浙江温州十校期末)设函数f(x)=- ), 0,, 0,若关于x的方程f2(x)-af(x)=0恰有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是( )A.[0,+∞)B. 0,+∞)C. ,+∞)D.[ ,+∞)答案 D 作出函数y=f(x)的图象,如图所示.由f2(x)-af(x)=0,得f(x)=0或f(x)=a.显然f(x)=0只有1个实数根,所以只需f(x)=a有2个不同的实根即可.利用图象可得实数a的取值范围是[ ,+∞).3.设n∈N*,x=,y=,则下列结论成立的是( )A.y x>x yB.y x<x yC.y x=x yD.x,y的大小关系与n的取值有关答案 C 由x=,得lnx=(n+1)ln,由y=,得lny=nln,则=,又==,因而=,xlny=ylnx,即y x=x y,故选C.4.已知函数y=9x+m·3x-3在区间[-2,2]上单调递减,则m的取值范围为.答案(-∞,-18]解析设t=3x,则y=9x+m·3x-3=t2+mt-3.因为x∈[-2,2],所以t∈, .又函数y=9x+m·3x-3在区间[-2,2]上单调递减,即y=t2+mt-3在区间, 上单调递减,故有-≥9,解得m≤-18.所以m的取值范围为(-∞,-18].。

《指数与指数函数》专题1．根式(1)根式的概念：若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *.式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(2)a 的n 次方根的表示；x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝ n a (当n 为奇数且n >1时)，x ＝±n a (当n 为偶数且n >1时).2．有理数指数幂画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . （2）指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b .由此我们可得到以下规律：在y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大． 4．指数函数的性质题型一 指数幂的化简与求值1．计算：π0＋2－2×⎝⎛⎭⎫21412＝________. 解析：1182．设a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂的形式，其结果是________．解析：a 2a ·3a 2＝a 2a ·a23＝a 2a53＝a 2a51×32＝a 2·a-56＝a-526＝a 76.3．若(2a －1)2＝3(1－2a )3，则实数a 的取值范围为________．解析：(2a －1)2＝|2a －1|，3(1－2a )3＝1－2a .因为|2a －1|＝1－2a .故2a －1≤0，所以a ≤12.4．a 3a ·5a 4(a >0)的值是________解析：a 3a ·5a 4＝a 3a 12·a 45＝a 143--25＝a 1710.5．⎝⎛⎭⎫2 350＋2－2·⎝⎛⎭⎫2 14-12－(0.01)0.5＝________. 解析：原式＝1＋14×⎝⎛⎭⎫4912－⎝⎛⎭⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.6．已知14a＝7b＝4c＝2，则1a－1b＋1c＝________.解析：由题设可得21a＝14,21b＝7,21c＝4，则2-11a b＝147＝2，∴2-+111a b c＝2×4＝23，∴1a－1b＋1c＝3.7．若x>0，则(2x 14＋332)(2x14－332)－4x-12(x－x12)＝________.解析：因为x>0，所以原式＝(2x 14)2－(332)2－4x-12·x＋4x-12·x12＝4x⨯124－33×22－4x-1+12＋4x-11+22＝4x12－33－4x12＋4x0＝－27＋4＝－23.题型二指数函数的图象及应用类型一与指数函数有关的图象辨析1．函数y＝e－|x－1|的大致图象是()解析：因为－|x－1|≤0，所以0<e－|x－1|≤e0，即0<y＝e－|x－1|≤1，故选B.2．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是()解析：选A由f(x)＝1－e|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，排除B、D.又e|x|≥1，所以f(x)的值域为(－∞，0]，排除C.3．函数y＝2x＋1的图象是________(填序号)．解析：由y ＝2x 的图象向左平移1个单位可得y ＝2x ＋1的图象．答案：①类型二 指数函数图象的应用1．函数y ＝a x －b (a >0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a b 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,1)D ．无法确定解析：选C ；因为函数y ＝a x －b 的图象经过第二、三、四象限，所以函数y ＝a x －b 单调递减且其图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴上．令x ＝0，则y ＝a 0－b ＝1－b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，1－b <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，b >1，故a b ∈(0,1)，故选C. 2．函数y ＝a x －3＋3(a >0，且a ≠1)的图象过定点________．解析：因为指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y ＝a x －3＋3中，令x －3＝0，得x ＝3，此时y ＝1＋3＝4，即函数y ＝a x －3＋3的图象过定点(3,4)．3．已知函数f (x )＝4＋2a x－1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是________．解析：由于函数y ＝a x 的图象过定点(0,1)，当x ＝1时，f (x )＝4＋2＝6， 故函数f (x )＝4＋2a x－1的图象恒过定点P (1,6)．4．若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．解析：曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图可知：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．5．函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与函数y ＝(a －1)x 2－2x －1在同一个坐标系内的图象可能是( )解析：选C ；两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数过点(0，－1)，故排除A 、D ；二次函数的对称轴为直线x ＝1a －1，当0<a <1时，指数函数递减，1a －1<0，C 符合题意；当a >1时，指数函数递增，1a －1>0，B 不符合题意，选C. 6．已知函数y ＝⎝⎛⎭⎫12a －4x 的图象与指数函数y ＝a x 的图象关于y 轴对称，则实数a 的值是___解析：由两函数的图象关于y 轴对称，可知12a －4与a 互为倒数，即a 2a －4＝1，解得a ＝4.7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f (x －1)>1的x 的取值范围是________．解析：画出函数f (x )的大致图象如图所示，易知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．又x >x －1，且x －(x －1)＝1，f (0)＝1，所以要使f (x )＋f (x －1)>1成立，结合函数f (x )的图象知只需x －1>－1， 解得x >0.故所求x 的取值范围是(0，＋∞)．题型三 指数函数的性质及应用类型一 比较指数式大小1．已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b解析：选D ；a ＝0.80.7>0.80.9＝b ，a ＝0.80.7<0.80＝1，∴b <a <1，而c ＝1.20.8>1.20＝1，∴c >a >b . 2．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a解析：选A ；由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b ＞c ；因为a ＝20.2＞1，b ＝0.40.2＜1，所以a ＞b .综上，a ＞b ＞c .3．已知a ＝21.2，b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.2，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <a <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．b <c <a解析：选C ∵b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.2＝20.2<21.2＝a ，∴a >b >1.又∵c ＝2log 52＝log 54<1，∴c <b <a . 4．已知a ＝21.2，b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8，c ＝ln 2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a 解析：B ；a ＝21.2＞b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8＝20.8＞1＞c ＝ln 2，故a ＞b ＞c 故选B. 5．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．b <c <a解析：选C ；因为函数y ＝0.6x 在R 上单调递减，所以b ＝0.61.5<a ＝0.60.6<1.又c ＝1.50.6>1，所以b <a <c .6．若－1<x <0，a ＝2－x ，b ＝2x ，c ＝0.2x ，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：因为－1<x <0，所以由指数函数的图象和性质可得：2x <1,2－x >1,0.2x >1，又因为0.5x <0.2x ，所以b <a <c .7．已知f (x )＝2x－2－x，a ＝⎝⎛⎭⎫79-14，b ＝⎝⎛⎭⎫9715，c ＝log 279，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( ) A ．f (b )<f (a )<f (c ) B ．f (c )<f (b )<f (a ) C ．f (c )<f (a )<f (b ) D ．f (b )<f (c )<f (a )解析：易知f (x )＝2x－2－x在R 上为增函数，又a ＝⎝⎛⎭⎫79-14＝⎝⎛⎭⎫9714>⎝⎛⎭⎫9715＝b >0，c ＝log 279<0， 则a >b >c ，所以f (c )<f (b )<f (a )． 类型二 解不等式1．不等式a 2x －7>a 4x －1(0<a <1)的解集为____________．解析：因为y ＝a x (0<a <1)为减函数，所以2x －7<4x －1，解得x >－3；答案为(－3，＋∞) 2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 解析：当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝⎛⎭⎫12a－7<1，即⎝⎛⎭⎫12a <8，即⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12－3， 因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1，所以0≤a <1.故a 的取值范围是(－3,1)．3．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－4,3)C ．(－3,4)D ．(－1,2)解析：选D ；∵(m 2－m )·4x －2x <0在(－∞，－1]上恒成立．∴(m 2－m )<12x 在x ∈(－∞，－1]上恒成立．∵y ＝12x 在(－∞，－1]上单调递减，∴当x ∈(－∞，－1]时，y ＝12x ≥2，∴m 2－m <2，∴－1<m <2.类型三 与指数函数有关的函数最值问题 1．函数y ＝3x 2－2x的值域为________．解析：设u ＝x 2－2x ，则y ＝3u ，u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，所以y ＝3u ≥3－1＝13，所以函数y ＝3x 2－2x的值域是⎣⎡⎭⎫13，＋∞. 2．函数y ＝⎝⎛⎭⎫122x －x 2的值域为( ) A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ B.⎝⎛⎦⎤－∞，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2] 解析：选A 设t ＝2x －x 2，则t ≤1，所以y ＝⎝⎛⎭⎫12t，t ≤1，所以y ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 3．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋2x ＋1的递减区间是________，值域是________．解析：令u ＝－x 2＋2x ＋1，则u ＝－(x －1)2＋2.又y ＝⎝⎛⎭⎫12u在R 上是减函数，则函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋2x ＋1的递减区间为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．由此函数f (x )的递减区间为(－∞，1]．因为u ≤2，则f (x )≥⎝⎛⎭⎫122＝14，即函数f (x )的值域为⎣⎡⎭⎫14，＋∞.] 4．函数y ＝16－2x 的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4)解析：选C ；函数y ＝16－2x 中，因为16－2x ≥0，所以2x ≤16.因为2x ∈(0,16]， 所以16－2x ∈[0,16)．故y ＝16－2x ∈[0,4)．5．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图像经过点(2,1)，则f (x )的值域为( )A ．[9,81]B ．[3,9]C ．[1,9]D ．[1，＋∞) 解析：由f (x )过点(2,1)可知b ＝2，因为f (x )＝3x－2在[2,4]上是增函数，所以f (x )min ＝f (2)＝32－2＝1，f (x )max ＝f (4)＝34－2＝9.故选C ． 6．函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x＋1在区间[－3,2]上的值域是________．解析：令t ＝⎝⎛⎭⎫12x，因为x ∈[－3,2]，所以t ∈⎣⎡⎦⎤14，8，故y ＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34. 当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.故所求函数的值域为⎣⎡⎦⎤34，57. 7．已知集合A ＝{x |(2－x )(2＋x )>0}，则函数f (x )＝4x －2x ＋1－3(x ∈A )的最小值为( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4解析：集合A ＝{x |－2<x <2}．又f (x )＝(2x )2－2×2x －3，设2x ＝t ，则14<t <4，所以f (x )＝g (t )＝t 2－2t －3＝(t －1)2－4，且函数g (t )的对称轴为直线t ＝1，所以最小值为g (1)＝－4.故选D. 类型四 与指数函数有关的函数单调性问题 1．函数y ＝⎝⎛⎭⎫121－x的单调递增区间为________． 解析：(－∞，＋∞) 2．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，12B.⎣⎡⎦⎤0，12C.⎣⎡⎭⎫12，＋∞D.⎣⎡⎦⎤12，1 解析：选D ；令x －x 2≥0，得0≤x ≤1，所以函数f (x )的定义域为[0,1]，因为y ＝⎝⎛⎭⎫12t是减函数，所以函数f (x )的增区间就是函数y ＝－x 2＋x 在[0,1]上的减区间⎣⎡⎦⎤12，1.3．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2] 解析：由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|. 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增， 所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B.4．若函数f (x )＝a x (a x －3a 2－1)(a >0，且a ≠1)在区间[0，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，23B.⎣⎡⎭⎫33，1 C ．(1， 3 ] D.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 解析：令t ＝a x(t >0)，则原函数转化为y ＝t 2－(3a 2＋1)t ，其图象的对称轴为直线t ＝3a 2＋12.若a >1，则t ＝a x ≥1，由于原函数在区间[0，＋∞)上是增函数， 则3a 2＋12≤1，解得－33≤a ≤33，与a >1矛盾；若0<a <1，则0<t ≤1，由于原函数在区间[0，＋∞)上是增函数，则3a 2＋12≥1，解得a ≥33或a ≤－33，所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫33，1.故选B.5．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0.解析：(1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x＋12x ＋1＋a .又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1)．所以t 2－2t >－2t 2＋1即3t 2－2t －1>0.解得t >1或t <－13，所以该不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫t |t >1或t <－13.。

2020届理科高考数学专题练习含解析（指数与指数函数）1、下列运算中正确的是（ ）A ．236a a a ⋅=B ．2332()()a a -=-C ．01)1=D ． 2510()a a -=-2、函数()21,x f x =-使()0f x ≤成立的 x 的集合是( )A. {|0}x x <B. {}=0x xC. {|1}x x <D. {}|1x x =3、如果指数函数()y f x =的图象经过点12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭,那么()()42f f ⋅等于( )A.8B.16C.32D.644、若函数1()2x f x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象经过一、二、四象限,则()f a 的取值范围为( ) A. ()0,1B. 1,12⎛⎫-⎪⎝⎭ C. ()1,1-D. 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭5、已知函数1()2x f x a +=-（0a >且1a ≠），且函数()y f x =-的图像经过定点()1,2-，则实数a 的值是（ ）A.1B.2C.3D.46、下列函数中,与函数22x x y -=-的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是( )A.sin y x =B.3y x =C.1()2x y = D.2log y x =7、函数2212x x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为( )A. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ D. (]0,28、已知函数()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则()f x ( ) A.是偶函数,且在R 上是增函数B.是奇函数,且在R 上是增函数C.是偶函数,且在R 上是减函数D.是奇函数,且在R 上是减函数9、函数()log (1)x a f x a x =++ (0a >且1a ≠)在[]0,1上的最大值与最小值之和为a ,则a 的值为( )A.12B. 14C. 2D. 410、已知函数()(0,1)x x f x a a a a -=->≠,且(1)0f >,则关于 x 的不等式的解集为( )A.()2,1- B.()(),21,-∞-⋃+∞ C.()1,2- D. ()(),12,-∞-⋃+∞11、已知5.0log 2=a ，6.03=b ，36.0=c ，c b a ,,大小关系为_______.12、若集合{}31log ,1,,1,2||x A y y x x B y y x ⎛⎫==>==> ⎪⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎭⎪⎪⎩⎭⎝则A B ⋂=__________ 13、若2510a b ==,则11a b +=__________ 14、已知函数()()0,1x f x a a a =>≠是定义在R 上的单调递减函数,则函数()()log 1a g x x =+的图像大致是__________.15、已知函数()()()()log 1log 301a a f x x x a =-++<< 1.求函数()f x 的定义域 2.若函数()f x 的最小值为4-,求a 的值答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：2答案及解析：解析：3答案及解析：答案：D解析：设()(0x f x a a =>且1)a ≠ 由已知得221,44a a -== ∴2a =于是()2x f x =所以()()4264222264f f ⋅=⋅==.4答案及解析：答案：B解析：依题意可得(0)1,0,f a a =-⎧⎨-<⎩解得01a <<,1()2a f a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 设函数1()2xg x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则()g x 在()0,1上为减函数,故1(),12f a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.5答案及解析：答案：B解析：6答案及解析：答案：B解析：7答案及解析：答案：D8答案及解析：答案：B解析：()f x 的定义域是R ,关于原点对称,由11()33()33x xx x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得()f x 为奇函数.单调性:函数 3?x y =是R 上的增函数,函数13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭是R 上的减函数,根据单调性的运算,增函数减去减函数所得新函数是增函数,即1()33xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是R 上的增函数.综上选B9答案及解析：答案：A解析：10答案及解析：答案：A解析：11答案及解析：答案：a c b <<解析：12答案及解析： 答案：10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭解析：13答案及解析：解析：14答案及解析：答案：④解析：根据指数函数的单调性先确定a 的范围,然后得出对数函数log a yx =的图像,最后利用平移变换得到()()log 1a gx x =+的图像. 由函数()()0,1x f x a a a =>≠是定义在R 上的单调递减函数,得01a <<,将log a y x =的图像向左平移1个单位长度得到()()log 1a gx x =+的图像.故填④.15答案及解析： 答案：1.要使函数有意义,则有10{30x x ->+>解之得31x -<<,所以函数的定义域为()3,1-2.()()()()()22log 13log 23log 14a a a f x x x x x x =-+⎡⎤=--+=-++⎣⎦∵31x -<<∴()20144x <-++≤∵01a <<∴()2log 14log 4aa x ⎡⎤-++≥⎣⎦∴()min log 4a f x =由log 44a =-得44a -=∴1442a -==解析：。

《指数与指数函数》专题1．根式(1)根式的概念：若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *.式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(2)a 的n 次方根的表示；x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝ n a (当n 为奇数且n >1时)，x ＝±n a (当n 为偶数且n >1时).2．有理数指数幂画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . （2）指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b .由此我们可得到以下规律：在y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大． 4．指数函数的性质题型一 指数幂的化简与求值1．计算：π0＋2－2×⎝⎛⎭⎫21412＝________.2．设a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂的形式，其结果是________．3．若(2a －1)2＝3(1－2a )3，则实数a 的取值范围为________． 4．a 3a ·5a 4(a >0)的值是________5．⎝⎛⎭⎫2 350＋2－2·⎝⎛⎭⎫2 14-12－(0.01)0.5＝________.6．已知14a ＝7b ＝4c ＝2，则1a －1b ＋1c ＝________.7．若x >0，则(2x 14＋332)(2x 14－332)－4x -12(x －x 12)＝________.题型二指数函数的图象及应用类型一与指数函数有关的图象辨析1．函数y＝e－|x－1|的大致图象是()2．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是()3．函数y＝2x＋1的图象是________(填序号)．类型二指数函数图象的应用1．函数y＝a x－b(a>0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a b的取值范围为() A．(1，＋∞)B．(0，＋∞) C．(0,1) D．无法确定2．函数y＝a x－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．3．已知函数f(x)＝4＋2a x－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．4．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．5．函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与函数y ＝(a －1)x 2－2x －1在同一个坐标系内的图象可能是( )6．已知函数y ＝⎝⎛⎭⎫12a －4x 的图象与指数函数y ＝a x 的图象关于y 轴对称，则实数a 的值是___7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f (x －1)>1的x 的取值范围是________．题型三 指数函数的性质及应用类型一 比较指数式大小1．已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b2．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a3．已知a ＝21.2，b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.2，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <a <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．b <c <a4．已知a ＝21.2，b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8，c ＝ln 2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a5．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．b <c <a6．若－1<x <0，a ＝2－x ，b ＝2x ，c ＝0.2x ，则a ，b ，c 的大小关系是________．7．已知f (x )＝2x－2－x，a ＝⎝⎛⎭⎫79-14，b ＝⎝⎛⎭⎫9715，c ＝log 279，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( ) A ．f (b )<f (a )<f (c ) B ．f (c )<f (b )<f (a ) C ．f (c )<f (a )<f (b ) D ．f (b )<f (c )<f (a )类型二 解不等式1．不等式a 2x －7>a 4x －1(0<a <1)的解集为____________．2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)3．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－4,3)C ．(－3,4)D ．(－1,2)类型三 与指数函数有关的函数最值问题 1．函数y ＝3x 2－2x的值域为________．2．函数y ＝⎝⎛⎭⎫122x －x2的值域为( ) A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ B.⎝⎛⎦⎤－∞，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]3．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋2x ＋1的递减区间是________，值域是________．4．函数y ＝16－2x 的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4)5．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图像经过点(2,1)，则f (x )的值域为( )A ．[9,81]B ．[3,9]C ．[1,9]D ．[1，＋∞)6．函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x＋1在区间[－3,2]上的值域是________．7．已知集合A ＝{x |(2－x )(2＋x )>0}，则函数f (x )＝4x －2x ＋1－3(x ∈A )的最小值为( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4类型四 与指数函数有关的函数单调性问题 1．函数y ＝⎝⎛⎭⎫121－x 的单调递增区间为________．2．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，12B.⎣⎡⎦⎤0，12C.⎣⎡⎭⎫12，＋∞D.⎣⎡⎦⎤12，13．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]4．若函数f (x )＝a x (a x －3a 2－1)(a >0，且a ≠1)在区间[0，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，23B.⎣⎡⎭⎫33，1 C ．(1， 3 ] D.⎣⎡⎭⎫32，＋∞5．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0.。

第五讲 指数及指数函数一．根式 1.根式的概念2.两个重要公式①na n＝⎩⎨⎧a (n 为奇数)，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a <0)(n 为偶数)；②(na )n＝a (注意a 必须使na 有意义)． 二．有理指数幂 (1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是mna ＝na m(a >0，m ，n ∈N *，n >1)；②正数的负分数指数幂是m na-＝1m na＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，n >1)；③0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理指数幂的运算性质 ①a s a t＝as ＋t(a >0，t ，s ∈Q )；②(a s )t ＝a st(a >0，t ，s ∈Q )； ③(ab )t＝a t b t(a >0，b >0，t ∈Q )．三．指数函数的图象与性质（1）指数函数的定义一般地，函数y＝a x(a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R. （2）指数函数的图象与性质考向一指数的运算【例1】计算化简(1)(12)−1+823+(2019)0= .（2）(278)13−(30.5)2+(0.008)−23×425=______．（3）已知x 12+x −12=3，求下列各式的值： ①x +x−1；②x 2+x −2；③x 32−x −32x 12−x −12.【答案】（1）7 （2）52（3）－6a b（4）①7②47③8【解析】(1)(12)−1+823+(2019)0=2+4+1=7 （2）(278)13−(30.5)2+(0.008)−23×425，=(32)3×13−312×2+(15)3×(−23)×425=32−3+4=52．（3）①因为x 12+x −12=3，所以(x 12+x −12)2=x +2+x −1=9,即x +x −1=7.②因为x +x −1=7所以(x +x −1)2=x 2+2x ⋅x −1+x −2=x 2+2+x −2=49，即x 2+x −2=47. ③x 32−x −32x 12−x −12=(x 12)3−(x −12)3x 12−x −12=(x 12−x −12)(x +1+x −1)x 12−x −12=x +1+x −1=8.【举一反三】 1．0.027−13−(−16)−2+2560.75+(125729)−13+(59)−1−729−16＝__________.【答案】31 【解析】原式＝0.3−1−36+25634−(125729)−13+95−93×(−16)=103−36+43−95+95−13=31.故答案为：312．化简：(√3+√2)2015×(√3−√2)2016＝_________________________________. 【答案】√3−√2【解析】(√3+√2)2015×(√3−√2)2016=[(√3+√2)(√3−√2)]2015×(√3−√2)=√3−√2. 故答案为：√3−√2 3．(0.25)12−[−2×(37)0]2×[(-2)3]43+(√2-1)-1-212＝________．【答案】−1252【解析】原式=(14)12−(−2)2×(−2)42−1−√2=12−4×16+(√2−1)−√2=12−4×16+(√2+1)−√2=−1252，故答案为−1252.4.已知x ＋x －1＝3，则3322x x -+的值为．【答案】 2 5【解析】11222()x x-+＝x ＋2＋x －1＝5，1122x x-\+=331112222()(1)x xx x x x ---\+=+-+＝5(3－1)＝2 5.5.已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，则a －ba ＋b＝. 【答案】55【解析】由已知得，a ＝3＋5，b ＝3－5，所以a ＋b ＝6，ab ＝4， 所以⎝⎛⎭⎪⎫a －b a ＋b 2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－246＋24＝15.因为a >b >0，所以a >b ，所以a －b a ＋b ＝55. 6．设2x＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则x ＋y 的值为．【答案】 27 【解析】 ∵2x＝8y ＋1＝23(y ＋1)，∴x ＝3y ＋3，∵9y ＝3x －9＝32y，∴x －9＝2y ，解得x ＝21，y ＝6，∴x ＋y ＝27.7．已知a －1a＝3(a >0)，则a 2＋a ＋a －2＋a －1的值为．【答案】 11＋13【解析】由a －1a＝3，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＝9，即a 2＋1a2－2＝9，故a 2＋a －2＝11.又(a ＋a －1)2＝a 2＋a －2＋2＝11＋2＝13，且a >0，所以a ＋a －1＝13.于是a 2＋a ＋a －2＋a －1＝11＋13.考向二 指数函数的判断【例2】函数f(x)＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则有（ ） A ．a ＝1或a ＝2 B ．a ＝1 C ．a ＝2 D ．a>0且a ≠1 【答案】C【解析】函数f(x)＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数,根据指数函数的定义得到a 2－3a ＋3=1，且a>0,解得a=1或2，因为指数函数的底数不能为1，故结果为2.故答案为：C.【举一反三】1．函数y =（a 2–3a +3）⋅a x 是指数函数，则a 的值为 A ．1或2 B ．1 C ．2 D ．a >0且a ≠1的所有实数 【答案】C【解析】∵y =（a 2–3a +3）⋅a x是指数函数，∴{x 2−3x +3=1x >0且x ≠1，解得a =2．故选C ．2．函数f （x ）=（2a –3）a x是指数函数，则f （1）= A ．8 B ．32C ．4D ．2 【答案】D【解析】函数f （x ）=（2a-3）a x 是指数函数，∴2a-3=1，解得a=2；∴f （x ）=2x ，∴f （1）=2．故选：D ． 3．函数x (x )=(x 2−x −1)x x 是指数函数，则实数x =（ ） A ．2 B ．1 C ．3 D ．2或−1 【答案】D【解析】由指数函数的定义，得x 2−x −1=1，解得x =2或−1，故选D.考向三 指数函数的单调性【例3】函数x (x )=51−|2x +4|的单调递增区间为（ ） A ．[−2,+∞) B ．[−32,+∞)C ．(−∞,−32]D ．(−∞,−2]【答案】D【解析】由题意，函数x (x )的定义域为x ， 设x =x (x )=1−|2x +4|={−2x −32x +5 x >−2x ≤−2，则x (x )在(−2,+∞)上单调递减，在(−∞,−2]上单调递增， 又因为x =5x 在x 上单调递增，根据复合函数的单调性， 可得函数x (x )的单调递增区间为(−∞,−2].【举一反三】1.函数x（x）=x −x 2+4x −9的单调递增区间是（ ）A ．(−2,+∞)B ．(2,+∞)C ．(−∞,−2)D ．(−∞,2)【答案】D【解析】因为x =x x ，是指数函数，是增函数，x =−x 2+4x −9是开口向下的二次函数， 所以x＜2时，二次函数x =−x 2+4x −9是增函数，x＞2时，x =−x 2+4x −9是减函数， 由复合函数的单调性可知：函数x（x）=x −x 2+4x −9的单调递增区间是（−∞，2）．故选：D ．2.函数f (x )＝4x－2x ＋1的单调增区间是________．【答案】 [0，＋∞)【解析】 设t ＝2x (t >0)，则y ＝t 2－2t 的单调增区间为[1，＋∞)，令2x ≥1，得x ≥0，又y ＝2x在R 上单调递增，所以函数f (x )＝4x －2x ＋1的单调增区间是[0，＋∞)．3．若函数f (x )＝a|2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．【答案】 [2，＋∞)【解析】 由f (1)＝19，得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增， 所以f (x )在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．考向四 指数函数的定义域和值域【例4】（1）函数x =√4−2x 的定义域为_______．（2）设函数f （x ）=√4−4x ，则函数f （x4）的定义域为 。