备战2019高考数学苏教版2-1提素能高效演练讲义：第3章 空间向量与立体几何 3.2.3 Word版含答案

3.1.3 空间向量基本定理 3.1.4 空间向量的坐标表示学习目标 1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解正交基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．知识点一 空间向量基本定理思考 只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底吗？答案 不一定，只需三个向量不共面，就可作为空间向量的一组基底，不需要两两垂直． 梳理 空间向量基本定理 (1)定理内容：①条件：三个向量e 1，e 2，e 3不共面．②结论：对空间中任一向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3. (2)基底：(3)推论：①条件：O ，A ，B ，C 是不共面的四点．②结论：对空间中任意一点P ，都存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →.知识点二 空间向量的坐标表示思考 若向量AB →＝(x 1，y 1，z 1)，则点B 的坐标一定为(x 1，y 1，z 1)吗？答案 不一定．由向量的坐标表示知，若向量AB →的起点A 与原点重合，则B 点的坐标为(x 1，y 1，z 1)，若向量AB →的起点A 不与原点重合，则B 点的坐标就不为(x 1，y 1，z 1)． 梳理 (1)空间向量的坐标表示：①向量a 的坐标：在空间直角坐标系O －xyz 中，分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量i ，j ，k 作为基向量，对于空间任意一个向量a ，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使a ＝x i ＋y j ＋z k ，有序实数组(x ，y ，z )叫做向量a 在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标，记作a ＝(x ，y ，z )．②向量OA →的坐标：在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任意一点A (x ，y ，z )，向量OA →是确定的，即OA →＝(x ，y ，z )． (2)空间中有向线段的坐标表示： 设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，①坐标表示：AB →＝OB →－OA →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)．②语言叙述：空间向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标． (3)空间向量的加减法和数乘的坐标表示： 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则：(4)空间向量平行的坐标表示：若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，且a ≠0，则a ∥b ⇔b 1＝λa 1，b 2＝λa 2，b 3＝λa 3(λ∈R )．1．若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{－a ，b,2c }也可构成空间的一个基底．(√) 2．若向量AP →的坐标为(x ，y ，z )，则点P 的坐标也为(x ，y ，z )．(×)3．在空间直角坐标系O －xyz 中向量AB →的坐标就是B 点坐标减去A 点坐标．(√)类型一 空间向量基本定理及应用 命题角度1 空间基底的概念例1 已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－67e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底．解 假设OA →，OB →，OC →共面，由向量共面的充要条件知存在实数x ，y ， 使OA →＝xOB →＋yOC →成立． 所以OA →＝e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y ⎝⎛⎭⎫e 1＋e 2－67e 3 ＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋⎝⎛⎭⎫2x －67y e 3. 得⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝1，x ＋y ＝2，2x －67y ＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝14，y ＝74.故OA →，OB →，OC →共面，不可以构成空间的一个基底． 反思与感悟 基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设a ＝λb ＋μc ，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．跟踪训练1以下四个命题中正确的是________．(填序号)①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量；③如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线；④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．答案②③解析因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故①不正确；②正确；由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以与另外一个向量构成基底，故③正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故④不正确．命题角度2 空间向量基本定理的应用例2 如图，在空间四边形OABC 中，点D 是边BC 的中点，点G ，H 分别是△ABC ，△OBC 的重心，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量OG →和GH →.解 因为OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋23AD →＝OA →＋23(OD →－OA →)，又点D 为BC 的中点，所以OD →＝12(OB →＋OC →)，所以OG →＝OA →＋23(OD →－OA →)＝OA →＋23×12(OB →＋OC →)－23OA →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝13(a ＋b ＋c )． 而GH →＝OH →－OG →，又因为OH →＝23OD →＝23·12(OB →＋OC →)＝13(b ＋c )，所以GH →＝13(b ＋c )－13(a ＋b ＋c )＝－13a .所以OG →＝13(a ＋b ＋c )，GH →＝－13a .引申探究若将本例中的“G 是△ABC 的重心”改为“G 是AD 的中点”，其他条件不变，应如何表示OG →，GH →？解 OG →＝12(OA →＋OD →)＝12OA →＋12×12(OB →＋OC →) ＝12a ＋14b ＋14c . OH →＝23OD →＝23×12(OB →＋OC →)＝13(b ＋c )． 所以GH →＝OH →－OG → ＝13(b ＋c )－⎝⎛⎭⎫12a ＋14b ＋14c ＝－12a ＋112b ＋112c .反思与感悟 用空间向量基本定理时，选择合适的基底是解题的关键．跟踪训练2 如图所示，在平行六面体ABCD-A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′—→＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 在CA ′上，且CQ ∶QA ′＝4∶1，用基底{a ，b ，c }表示以下向量．(1)AP →；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →. 解 连结AC ，AD ′.(1)AP →＝12(AC →＋AA ′—→)＝12(AB →＋AD →＋AA ′—→)＝12(a ＋b ＋c )． (2)AM →＝12(AC →＋AD ′—→)＝12(a ＋2b ＋c )＝12a ＋b ＋12c . (3)AN →＝12(AC ′—→＋AD ′—→)＝12[(AB →＋AD →＋AA ′—→)＋(AD →＋AA ′—→)]＝12a ＋b ＋c .(4)AQ →＝AC →＋CQ →＝AC →＋45CA ′—→＝AC →＋45(AA ′—→－AC →)＝15AC →＋45AA ′—→＝15(AB →＋AD →)＋45AA ′—→＝15a＋15b ＋45c . 类型二 空间向量的坐标表示例3 如图，在棱长为1的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E ，F ，G 分别为棱DD ′，D ′C ′，BC 的中点，以{AB →，AD →，AA ′—→}为基底，求下列向量的坐标．(1)AE →，AG →，AF →； (2)EF →，EG →，DG →.解 (1)AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋12DD ′—→＝AD →＋12AA ′—→＝⎝⎛⎭⎫0，1，12，AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋12AD →＝⎝⎛⎭⎫1，12，0， AF →＝AA ′—→＋A ′D ′—→＋D ′F —→＝12AB →＋AD →＋AA ′—→＝⎝⎛⎭⎫12，1，1. (2)EF →＝AF →－AE →＝⎝⎛⎭⎫AA ′—→＋AD →＋12AB →－⎝⎛⎭⎫AD →＋12AA ′—→ ＝12AB →＋12AA ′—→＝⎝⎛⎭⎫12，0，12， EG →＝AG →－AE →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋12AD →－⎝⎛⎭⎫AD →＋12AA ′—→ ＝AB →－12AD →－12AA ′—→＝⎝⎛⎭⎫1，－12，－12， DG →＝AG →－AD →＝AB →＋12AD →－AD →＝AB →－12AD →＝⎝⎛⎭⎫1，－12，0. 引申探究本例中，若以{DA →，DC →，DD ′—→}为基底，试写出AE →，AG →，EF →的坐标．解 AE →＝AD →＋DE →＝－DA →＋12DD ′—→＝⎝⎛⎭⎫－1，0，12， AG →＝AB →＋BG →＝DC →－12DA →＝－12DA →＋DC →＝⎝⎛⎭⎫－12，1，0， EF →＝12DC →＋12DD ′—→＝⎝⎛⎭⎫0，12，12. 反思与感悟 用坐标表示空间向量的步骤跟踪训练3 如图所示，P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且P A ＝AB ＝1.求向量MN →的坐标．解 ∵P A ＝AB ＝AD ＝1，P A ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ， ∴AB →，AD →，AP →是两两垂直的单位向量．设AB →＝e 1，AD →＝e 2，AP →＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系A －xyz . ∵MN →＝MA →＋AP →＋PN → ＝－12AB →＋AP →＋12PC →＝－12AB →＋AP →＋12(P A →＋AC →)＝－12AB →＋AP →＋12(P A →＋AB →＋AD →)＝12AP →＋12AD →＝12e 2＋12e 3，∴MN →＝⎝⎛⎭⎫0，12，12.类型三 空间向量的坐标运算及应用例4 已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)． (1)求AB →＋AC →，AB →－AC →；(2)是否存在实数x ，y ，使得AC →＝xAB →＋yBC →成立，若存在，求x ，y 的值；若不存在，请说明理由．解 AB →＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)， AC →＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)． (1)AB →＋AC →＝(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(0,1,2)． AB →－AC →＝(1,1,0)－(－1,0,2)＝(2,1，－2)． (2)假设存在x ，y ∈R 满足条件，由已知可得 BC →＝(－2，－1,2)．由题意得 (－1,0,2)＝x (1,1,0)＋y (－2，－1,2)， 所以(－1,0,2)＝(x －2y ，x －y,2y )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＝x －2y ，0＝x －y ，2＝2y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以存在实数x ＝1，y ＝1使得结论成立．反思与感悟 1.向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，即向量的坐标等于其终点的坐标减去始点的坐标．特别地，当向量的起点为坐标原点时，向量的坐标即是终点的坐标． 2．进行空间向量的加减、数乘的坐标运算的关键是运用好其运算性质．跟踪训练4 已知四边形ABCD 的顶点坐标分别是A (3，－1,2)，B (1,2，－1)，C (－1,1，－3)，D (3，－5,3)，求证：四边形ABCD 是一个梯形．证明 ∵AB →＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，CD →＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)，∴－24＝3－6＝－36， ∴AB →与CD →共线，即AB ∥CD ，又∵AD →＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)， BC →＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)， ∴0－2≠－4－1≠1－2，∴AD →与BC →不平行． ∴四边形ABCD 为梯形．1．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标是________． 答案 (12,14,10)解析 设点A 在基底{a ，b ，c }下对应的向量为p ，则p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8i ＋8j ＋6j ＋6k ＋4k ＋4i ＝12i ＋14j ＋10k ，故点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(12,14,10)． 2．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b ＝________. 答案 (2，－4,2)解析 依题意，得b ＝a －(－1,2，－1) ＝a ＋(1，－2,1)＝2(1，－2,1)＝(2，－4,2)．3．已知向量a ＝(3，－2,1)，b ＝(－2,4,0)，则4a ＋2b ＝________. 答案 (8,0,4)解析 4a ＋2b ＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0) ＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．4.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中建立空间直角坐标系．已知AB ＝AD ＝2，BB 1＝1，则AD 1—→的坐标为________，AC 1—→的坐标为________．答案 (0,2,1) (2,2,1)解析 根据已建立的空间直角坐标系知，A (0,0,0)，C 1(2，2,1)，D 1(0,2,1)，则AD 1—→的坐标为(0,2,1)，AC 1—→的坐标为(2,2,1)．5．在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示) 答案 12a ＋14b ＋14c解析 OE →＝OA →＋12AD →＝OA →＋12×12(AB →＋AC →)＝OA →＋14×(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c .1．用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则，逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示． 2．用空间向量的坐标运算解决问题的前提是建立恰当的空间直角坐标系，为便于坐标的求解及运算，在建立空间直角坐标系时，要充分分析空间几何体的结构特点，应使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内．一、填空题1．有下列三个命题：①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面； ②不两两垂直的三个不共面的向量也可以作为空间向量的一组基底；③若a ，b 是两个不共线的向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底．其中为真命题的是________．(填序号)答案 ①②解析 ①正确．作为基底的向量必须不共面；②正确；③不正确．a ，b 不共线，当c ＝λa ＋μb 时，a ，b ，c 共面，故只有①②正确．2．若四边形ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则顶点D 的坐标为____________． 答案 (5,13，－3)解析 由四边形ABCD 是平行四边形知AD →＝BC →，设D (x ，y ，z )，则AD →＝(x －4，y －1，z －3)，BC →＝(1,12，－6)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝1，y －1＝12，z －3＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝13，z ＝－3，即D 点坐标为(5,13，－3)．3.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则AB →的坐标为________，DC 1—→的坐标为________，B 1D —→的坐标为________.答案 (1,0,0) (1,0,1) (－1,1，－1)解析 由题图可知，A (0,0,0)，B (1,0,0)，D (0,1,0)，C 1(1,1,1)，B 1(1,0,1)，所以AB →＝(1,0,0)，DC 1—→＝(1,0,1)，B 1D —→＝(－1,1，－1)．4．已知a ＝(3,5,7)，b ＝(6，x ，y )，若a ∥b ，则xy 的值为________． 答案 140解析 显然x ≠0，y ≠0. 因为a ∥b ，所以36＝5x ＝7y ，即x ＝10，y ＝14，所以xy ＝140.5．若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，d ＝αa ＋βb ＋γc ，则α，β，γ的值分别为________． 答案 52，－1，－12解析 ∵d ＝α(e 1＋e 2＋e 3)＋β(e 1＋e 2－e 3)＋γ(e 1－e 2＋e 3)＝(α＋β＋γ)e 1＋(α＋β－γ)e 2＋(α－β＋γ)e 3＝e 1＋2e 2＋3e 3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＋γ＝1，α＋β－γ＝2，α－β＋γ＝3，∴⎩⎨⎧α＝52，β＝－1，γ＝－12.6．若A (m ＋1，n －1,3)，B (2m ，n ，m －2n )，C (m ＋3，n －3,9)三点共线，则m ＋n ＝________. 答案 0解析 因为AB →＝(m －1,1，m －2n －3)，AC →＝(2，－2,6)， 由题意得AB →∥AC →，所以m －12＝1－2＝m －2n －36，所以m ＝0，n ＝0，所以m ＋n ＝0.7．已知A (2,3－μ，－1＋v )关于x 轴的对称点是A ′(λ，7，－6)，则λ，μ，v 的值分别为________． 答案 2,10,7解析 ∵A 与A ′关于x 轴对称， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，3－μ＝－7，－1＋v ＝6，⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝10，v ＝7.8．已知向量a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，若a 与b 为共线向量，则x ＝________，y ＝________. 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 16 －32解析 ∵a ＝(2x,1,3)与b ＝(1，－2y,9)共线， ∴2x 1＝1－2y ＝39(y ≠0)， ∴x ＝16，y ＝－32.9．已知A (3,4,5)，B (0,2,1)，O (0,0,0)，若OC →＝25AB →，则C 的坐标是________．考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 ⎝⎛⎭⎫－65，－45，－85 解析 设点C 的坐标为(x ，y ，z )，则OC →＝(x ，y ，z )． 又AB →＝(－3，－2，－4)，OC →＝25AB →，∴x ＝－65，y ＝－45，z ＝－85.10.如图，点M 为OA 的中点，以{OA →，OC →，OD →}为基底，DM →＝xOA →＋yOC →＋zOD →，则实数组(x ，y ，z )＝________.答案 ⎝⎛⎭⎫12，0，－1 解析 因为DM →＝OM →－OD →＝12OA →＋0OC →－OD →，所以实数组(x ，y ，z )＝⎝⎛⎭⎫12，0，－1. 11.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，点O 为空间任一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则向量OD →＝________.(用a ，b ，c 表示)答案 12a －12b ＋c解析 ∵AB →＝－2CD →， ∴OB →－OA →＝－2(OD →－OC →)， ∴b －a ＝－2(OD →－c )， ∴OD →＝12a －12b ＋c .二、解答题12．已知向量p 在基底a ，b ，c 下的坐标是(2,3，－1)，求p 在基底{a ，a ＋b ，a ＋b ＋c }下的坐标．解 由已知p ＝2a ＋3b －c ，设p ＝x a ＋y (a ＋b )＋z (a ＋b ＋c )＝(x ＋y ＋z )a ＋ (y ＋z )b ＋z c ， 则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝2，y ＋z ＝3，z ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4，z ＝－1，故p 在基底{a ，a ＋b ，a ＋b ＋c }下的坐标为(－1,4，－1)．13．已知O ，A ，B ，C 四点的坐标分别是(0,0,0)，(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求分别满足下列条件的P 点坐标：(1)OP →＝12(AB →－AC →)；(2)AP →＝12(AB →－AC →)．解 AB →＝OB →－OA →＝(2,6，－3)， AC →＝OC →－OA →＝(－4,3,1)． (1)设P 点坐标为(x ，y ，z )，则OP →＝(x ，y ，z )，12(AB →－AC →)＝⎝⎛⎭⎫3，32，－2， 所以OP →＝⎝⎛⎭⎫3，32，－2，即P 点坐标为⎝⎛⎭⎫3，32，－2. (2)设P 点坐标为(x ，y ，z )，则AP →＝OP →－OA →＝(x －2，y ＋1，z －2)，由(1)知12(AB →－AC →)＝⎝⎛⎭⎫3，32，－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3，y ＋1＝32，z －2＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝12，z ＝0，所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫5，12，0. 三、探究与拓展14．已知向量a ，b ，c 是空间的一个基底，下列向量中可以与p ＝2a －b ，q ＝a ＋b 构成空间的另一个基底的是________．(填序号) ①2a ；②－b ；③c ；④a ＋c . 答案 ③④解析 ∵p ＝2a －b ，q ＝a ＋b ， ∴p 与q 共面，a ，b 共面． 而c 与a ，b 不共面，∴c 与p ，q 可以构成另一个基底，同理a ＋c 与p ，q 也可构成一组基底．15．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知△ABC 的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，并写出AA 1—→，AB 1—→，AC 1—→的坐标．解 分别取BC ，B 1C 1的中点D ，D 1，以D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系D －xyz ，如图所示，则A ⎝⎛⎭⎫32，0，0，A 1⎝⎛⎭⎫32，0，2，B 1⎝⎛⎭⎫0，－12，2，C 1⎝⎛⎭⎫0，12，2，所以AA 1—→＝(0,0,2)，AB 1—→＝⎝⎛⎭⎫－32，－12，2，AC 1—→＝⎝⎛⎭⎫－32，12，2.。

3.2.2 空间线面关系的判定(二)——垂直关系学习目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.能用向量法判断一些简单的线线、线面、面面垂直关系．知识点一 向量法判断线线垂直设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，a 2，a 3)，直线m 的方向向量为b ＝(b 1，b 2，b 3)，则l ⊥m ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0. 知识点二 向量法判断线面垂直思考 若直线l 的方向向量为μ1＝⎝⎛⎭⎫2，43，1，平面α的法向量为μ2＝⎝⎛⎭⎫3，2，32，则直线l 与平面α的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？答案 垂直，因为μ1＝23μ2，所以μ1∥μ2，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直线l 与平面α垂直．判断直线与平面的位置关系的方法：(1)直线l 的方向向量与平面α的法向量共线⇒l ⊥α.(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直⇒直线与平面平行或直线在平面内． (3)直线l 的方向向量与平面α内的两相交直线的方向向量垂直⇒l ⊥α.梳理 设直线l 的方向向量a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量μ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔a ∥μ⇔a ＝k μ(k ∈R )．知识点三 向量法判断面面垂直思考 平面α，β的法向量分别为μ1＝(x 1，y 1，z 1)，μ2＝(x 2，y 2，z 2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？ 答案 x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0.梳理 若平面α的法向量为μ＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为ν＝(a 2，b 2，c 2)，则α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)． 判断下面结论的对错： 1．AP ⊥AB ；(√) 2．AP ⊥AD .(√)3.AP →是平面ABCD 的法向量．(√) 4.AP →∥BD →.(×)类型一 证明线线垂直例1 如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求证：AB 1⊥MN .证明 设AB 的中点为O ，连结OC ，作OO 1∥AA 1.以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，OO 1所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得A ⎝⎛⎭⎫－12，0，0，B ⎝⎛⎭⎫12，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，32，0， N ⎝⎛⎭⎫0，32，14，B 1⎝⎛⎭⎫12，0，1， ∵M 为BC 的中点， ∴M ⎝⎛⎭⎫14，34，0.∴MN →＝⎝⎛⎭⎫－14，34，14，AB 1—→＝(1,0,1)，∴MN →·AB 1—→＝－14＋0＋14＝0.∴MN →⊥AB 1—→，∴AB 1⊥MN .反思与感悟 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．跟踪训练1 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，求证：AC ⊥BC 1.证明 ∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC ⊥BC ，AC ，BC ，C 1C 两两垂直．如图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．则C (0,0,0)，A (3,0,0)，C 1(0,0,4)，B (0,4,0)， ∴AC →＝(－3,0,0)，BC 1—→＝(0，－4,4)， ∴AC →·BC 1—→＝0，∴AC ⊥BC 1.类型二 证明线面垂直例2 如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点．求证：EF ⊥平面B 1AC .证明 方法一 设正方体的棱长为2，以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)， E (2,2,1)，F (1,1,2)． ∴EF →＝(1,1,2)－(2,2,1) ＝(－1，－1，1)． AB 1—→＝(2,2,2)－(2,0,0) ＝(0,2,2)，AC →＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)． 而EF →·AB 1—→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0.EF →·AC →＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0， ∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC .又AB 1∩AC ＝A ，AB 1⊂平面B 1AC ，AC ⊂平面B 1AC ， ∴EF ⊥平面B 1AC .方法二 设AB →＝a ，AD →＝c ，AA 1—→＝b ，则EF →＝EB 1—→＋B 1F —→＝12(BB 1—→＋B 1D 1—→)＝12(AA 1—→＋BD →)＝12(AA 1—→＋AD →－AB →)＝12(－a ＋b ＋c )，∵AB 1—→＝AB →＋AA 1—→＝a ＋b ， ∴EF →·AB 1—→＝12(－a ＋b ＋c )·(a ＋b )＝12(b 2－a 2＋c ·a ＋c ·b ) ＝12(|b |2－|a |2＋0＋0)＝0. ∴EF →⊥AB 1—→，即EF ⊥AB 1， 同理，EF ⊥B 1C . 又AB 1∩B 1C ＝B 1，AB 1⊂平面B 1AC ，B 1C ⊂平面B 1AC ， ∴EF ⊥平面B 1AC .反思与感悟 用向量法证明线面垂直的方法及步骤 (1)基向量法：①设出基向量，然后表示直线的方向向量； ②找出平面内两条相交直线的向量并用基向量表示； ③利用数量积计算．(2)坐标法：①建立空间直角坐标系，将直线的方向向量用坐标表示； ②求平面内任意两条相交直线的方向向量或平面的法向量；③证明直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量垂直或与平面的法向量平行． 跟踪训练2 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，点P 为DD 1的中点．求证：直线PB 1⊥平面P AC .证明 如图，以D 为坐标原点，DC →，DA →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则C (1,0,0)，A (0,1,0)，P (0,0,1)，B 1(1,1,2)，PC →＝(1,0，－1)，P A →＝(0,1，－1)，PB 1—→＝(1,1,1)， B 1C —→＝(0，－1，－2)， B 1A —→＝(－1,0，－2)．PB 1—→·PC →＝(1,1,1)·(1,0，－1)＝0， 所以PB 1—→⊥PC →，即PB 1⊥PC . 又PB 1—→·P A →＝(1,1,1)·(0,1，－1)＝0， 所以PB 1—→⊥P A →，即PB 1⊥P A .又P A ∩PC ＝P ，P A ，PC ⊂平面P AC ， 所以PB 1⊥平面P AC . 类型三 证明面面垂直例3 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，E 为BB 1的中点，求证：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .证明 由题意知直线AB ，BC ，B 1B 两两垂直，以点B 为坐标原点，分别以BA ，BC ，BB 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0)，A 1(2,0,1)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)， E ⎝⎛⎭⎫0，0，12， 故AA 1—→＝(0,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，AC 1—→＝(－2,2,1)，AE →＝⎝⎛⎭⎫－2，0，12. 设平面AA 1C 1C 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AA 1—→＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，－2x ＋2y ＝0.令x ＝1，得y ＝1，故n 1＝(1,1,0)． 设平面AEC 1的法向量为n 2＝(a ，b ，c )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AC 1—→＝0，n 2·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b ＋c ＝0，－2a ＋12c ＝0. 令c ＝4，得a ＝1，b ＝－1，故n 2＝(1，－1,4)． 因为n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，所以n 1⊥n 2.所以平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C . 反思与感悟 证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．跟踪训练3 如图，底面ABCD 是正方形，AS ⊥平面ABCD ，且AS ＝AB ，E 是SC 的中点．求证：平面BDE ⊥平面ABCD .证明 设AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝AS ＝1，以A 为坐标原点，AB →，AD →，AS →的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则B (1,0,0)，D (0,1,0)，A (0,0,0)，S (0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫12，12，12，连结AC ，设AC 与BD 相交于点O ，连结OE ，则点O 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，12，0. 因为AS →＝(0,0,1)，OE →＝⎝⎛⎭⎫0，0，12， 所以OE →＝12AS →，所以OE →∥AS →.又因为AS ⊥平面ABCD ，所以OE ⊥平面ABCD ， 又OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABCD .1．若直线l 1的方向向量为a ＝(2，－4,4)，l 2的方向向量为b ＝(4,6,4)，则l 1与l 2的位置关系是________．(填“平行”“垂直”) 答案 垂直解析 因为a ·b ＝2×4＋(－4)×6＋4×4＝0， 所以l 1⊥l 2.2．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为μ＝(－2,0，－4)，则l 与α的位置关系是________．(填“平行”“垂直”) 答案 垂直解析 ∵a ∥μ，∴l ⊥α.3．平面α的一个法向量为m ＝(1,2,0)，平面β的一个法向量为n ＝(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是________．(填“平行”“垂直”) 答案 垂直解析 ∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0， ∴两法向量垂直，从而两平面垂直．4．已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1,0,5)，ν＝(t,5,1)，则t 的值为________． 答案 5解析 ∵平面α与平面β垂直，∴平面α的法向量μ与平面β的法向量ν垂直， ∴μ·ν＝0，即(－1)×t ＋0×5＋5×1＝0，解得t ＝5.5．在菱形ABCD 中，若P A →是平面ABCD 的法向量，则下列等式中可能不成立的是________．(填序号)①P A →⊥AB →；②P A →⊥CD →；③PC →⊥BD →；④PC →⊥AB →. 答案 ④解析 由题意知P A ⊥平面ABCD ，所以P A与平面上的线AB，CD都垂直，①②正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面P AC，故PC⊥BD，③正确．证明垂直问题的方法：(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．(2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．一、填空题1．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝________. 答案10解析因为a⊥b，故a·b＝0，即－2×3＋2×(－2)＋m＝0，解得m＝10.2．若平面α，β的法向量分别为a＝(－1,2,4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为________．答案－10解析因为α⊥β，则它们的法向量也互相垂直，所以a·b＝(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0，解得x＝－10.3．已知直线l 的方向向量为e ＝(－1,1,2)，平面α的法向量为n ＝⎝⎛⎭⎫12，λ，－1(λ∈R )．若l ⊥α，则实数λ的值为________． 答案 －12解析 ∵l ⊥α，∴e ∥n ，∴－112＝1λ＝2－1，∴λ＝－12.4．已知点A (0,1,0)，B (－1,0，－1)，C (2,1,1)，P (x,0，z )，若P A ⊥平面ABC ，则点P 的坐标为________． 答案 (－1,0,2)解析 由题意知AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2,0,1)，AP →＝(x ，－1，z )，又P A ⊥平面ABC ，所以有AB →·AP →＝(－1，－1，－1)·(x ，－1，z )＝0，得－x ＋1－z ＝0，① AC →·AP →＝(2,0,1)·(x ，－1，z )＝0，得2x ＋z ＝0，② 联立①②得x ＝－1，z ＝2，故点P 的坐标为(－1,0,2)．5．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则下列结论成立的是________．(填序号)①CE ⊥BD ；②A 1C 1⊥BD ；③AD ⊥BC 1；④CD ⊥BE . 答案 ①②解析 以D 点为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0，1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0，1)，C 1(0,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫12，12，1，∴CE →＝⎝⎛⎭⎫12，－12，1，AC →＝(－1,1,0)， BD →＝(－1，－1,0)，A 1D —→＝(－1,0，－1)，A 1A —→＝(0,0，－1)，∵CE →·BD →＝(－1)×12＋(－1)×⎝⎛⎭⎫－12＋0×1＝0， ∴CE ⊥BD .显然A 1C 1⊥BD ，故只有①②正确．6．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，若AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)，则给出下列结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的一个法向量；④AP →∥BD →.其中正确的结论是________．(填序号) 答案 ①②③解析 因为AB →·AP →＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0， 则AB →⊥AP →，即AP ⊥AB ； AP →·AD →＝(－1)×4＋2×2＋0＝0， 则AP →⊥AD →，即AP ⊥AD ，又AB ∩AD ＝A ，∴AP ⊥平面ABCD ， 故AP →是平面ABCD 的一个法向量．BD →＝AD →－AB →＝(4,2,0)－(2，－1，－4)＝(2,3,4)， 所以AP →与BD →不平行．7.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 的位置关系为________．答案 垂直解析 以D 点为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，依题意可得D (0,0,0)，P (0,1，3)，C (0,2,0)，A (22，0,0)， M (2，2,0)．∴PM →＝(2，2,0)－(0,1，3)＝(2，1，－3)， AM →＝(2，2,0)－(22，0,0)＝(－2，2,0)， ∴PM →·AM →＝(2，1，－3)·(－2，2,0)＝0， 即PM →⊥AM →，∴AM ⊥PM .8．在空间直角坐标系O －xyz 中，已知点P (2cos x ＋1，2cos2x ＋2,0)和点Q (cos x ，－1,3)，其中x ∈[0，π]．若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________． 答案 π2或π3解析 由题意得OP →⊥OQ →， ∴cos x ·(2cos x ＋1)－(2cos2x ＋2)＝0. ∴2cos 2x －cos x ＝0， ∴cos x ＝0或cos x ＝12.又∵x ∈[0，π]， ∴x ＝π2或x ＝π3.9．在△ABC 中，A (1，－2，－1)，B (0，－3,1)，C (2，－2,1)．若向量n 与平面ABC 垂直，且|n |＝21，则n 的坐标为________________． 答案 (－2,4,1)或(2，－4，－1)解析 据题意，得AB →＝(－1，－1,2)，AC →＝(1,0,2)．设n ＝(x ，y ，z )， ∵n 与平面ABC 垂直，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＋2z ＝0，x ＋2z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4z ，x ＝－2z .∵|n |＝21，∴x 2＋y 2＋z 2＝21，解得z ＝1或z ＝－1. 当z ＝1时，y ＝4，x ＝－2； 当z ＝－1时，y ＝－4，x ＝2， ∴n ＝(－2,4,1)或n ＝(2，－4，－1)．10．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则(x ，y ，z )＝________. 答案 ⎝⎛⎭⎫407，－157，4 解析 AB →·BC →＝3＋5－2z ＝0，故z ＝4.BP →·AB →＝x －1＋5y ＋6＝0，且BP →·BC →＝3(x －1)＋y －12＝0，得x ＝407，y ＝－157.所以(x ，y ，z )＝⎝⎛⎭⎫407，－157，4. 二、解答题11.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是B 1B ，DC 的中点，求证：AE ⊥平面A 1D 1F .证明 设正方体的棱长为1，如图所示，以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫1，1，12， A 1(1,0,1)，D 1(0,0,1)， F ⎝⎛⎭⎫0，12，0. ∴AE →＝⎝⎛⎭⎫0，1，12，A 1D 1—→＝(－1,0,0)，D 1F —→＝⎝⎛⎭⎫0，12，－1， ∴AE →·A 1D 1—→＝0×(－1)＋1×0＋12×0＝0，AE →·D 1F —→＝12－12＝0，∴AE →⊥A 1D 1—→，AE →⊥D 1F —→，即AE ⊥A 1D 1，AE ⊥D 1F ，又A 1D 1∩D 1F ＝D 1， A 1D 1，D 1F ⊂平面A 1D 1F ， ∴AE ⊥平面A 1D 1F .12.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，用向量法证明：(1)平面A 1BD ∥平面CB 1D 1； (2)AC 1⊥平面A 1BD .证明 以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标，设正方体的棱长为1.则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，B 1(1,1,1)，C (0,1,0)，A (1,0,0)，C 1(0,1,1)． (1)∴A 1D —→＝(－1,0，－1)， A 1B —→＝(0,1，－1)， D 1B 1—→＝(1,1,0)， D 1C —→＝(0,1，－1)，设平面A 1BD 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1D —→＝0，n 1·A 1B —→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1－z 1＝0，y 1－z 1＝0.令z 1＝1，得x 1＝－1，y 1＝1.∴平面A 1BD 的一个法向量为n 1＝(－1,1,1)． 设平面CB 1D 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·D 1B 1—→＝0，n 2·D 1C →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝0，y 2－z 2＝0.令y 2＝1，得x 2＝－1，z 2＝1， ∴n 2＝(－1,1,1)， ∴n 1＝n 2，即n 1∥n 2. ∴平面A 1BD ∥平面CB 1D 1. (2)又AC 1—→＝(－1,1,1)，∴AC 1—→∥n 1. ∴AC 1—→是平面A 1BD 的法向量， ∴AC 1⊥平面A 1BD .13.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝1，AD ＝3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．求证：无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF .证明 以A 为坐标原点，AD →，AB →，AP →的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，P (0,0,1)，B (0,1,0)，F ⎝⎛⎭⎫0，12，12，D ()3，0，0，设BE ＝x (0≤x ≤3)， 则E (x,1,0)，PE →·AF →＝(x,1，－1)·⎝⎛⎭⎫0，12，12＝0，即PE →⊥AF →. 所以当x ∈[0， 3 ]时都有PE ⊥AF ，即无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF . 三、探究与拓展14．已知直线l 1的方向向量a ＝(2,4，x )，直线l 2的方向向量b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值是______． 答案 －3或1 解析 ∵|a |＝22＋42＋x 2＝6，∴x ＝±4，又∵a ⊥b ，∴a·b ＝2×2＋4y ＋2x ＝0， ∴y ＝－1－12x ，∴当x ＝4时，y ＝－3，当x ＝－4时，y ＝1，∴x ＋y ＝1或－3.15．已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点． (1)求证：A 1E ⊥BD ；(2)若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试确定E 点的位置．(1)证明 以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设正方体棱长为a ，则A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )．设E (0，a ，e )(0≤e ≤a )， A 1E —→＝(－a ，a ，e －a )， BD →＝(－a ，－a ，0)，A 1E —→·BD →＝a 2－a 2＋(e －a )·0＝0， ∴A 1E —→⊥BD →，即A 1E ⊥BD .(2)解 设平面A 1BD ，平面EBD 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)． ∵DB →＝(a ，a,0)，DA 1—→＝(a,0，a )，DE →＝(0，a ，e )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ax 1＋ay 1＝0，ax 1＋az 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋ay 2＝0，ay 2＋ez 2＝0.取x 1＝x 2＝1，得n 1＝(1，－1，－1)，n 2＝⎝⎛⎭⎫1，－1，ae ， 由平面A 1BD ⊥平面EBD ，得n 1⊥n 2， ∴2－a e ＝0，即e ＝a2.∴当E 为CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .。

苏版高中数学2-1第三章空间向量与立体几何3 ____________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ ______________________1了解空间向量的概念，了解空间向量的差不多定理及其意义，把握空间向量的正交分解及其坐标表示；2把握空间向量的线性运算及其坐标表示；3把握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判定向量的共线和垂直.2.共线向量、共面向量定理和空间向量差不多定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb．(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯独的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．(3)空间向量差不多定理：假如三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范畴是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b.②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b ，则|a||b|cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉．(2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b ＝λ(a ·b)； ②交换律：a ·b ＝b ·a ；③分配律：a ·(b ＋c)＝a ·b ＋a ·c ． 4．空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a1，a2，a3)，b ＝(b1，b2，b3).规律方法：1.选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的差不多要求．如本例用OA →，OB →，OC →表示OG →，MG →等，另外解题时应结合已知和所求观看图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量．(2.首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．因此在求若干向量的和，能够通过平移将其转化为首尾相接的向量求和．3.数量积的应用：求夹角，设向量a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝a ·b|a||b|，进而可求两异面直线所成的角；(2)求长度(距离)，运用公式|a|2＝a ·a ，可使线段长度的运算问题转化为向量数量积的运算问题；(3)解决垂直问题，利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的运算问题．类型一 空间向量的线性运算例１：如图3-1-6,已知平行六面体ABCD A B C D ''''-. 求证:2.AC AB AD AC '''++=【解析】:由于在平行六面体中,每个面差不多上平行四边形,故可结合空间向量加法的平行四边形法则进行向量的运算,从而证明结论.【答案】∵平行六面体的六个面均为平行四边形, 又∵,,AA CC AD BC ''==练习１：如图所示，在平行六面体ABCD －A1B1C1D1中，设AA →1＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA1，BC ，C1D1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：AP →,A1N →【答案】(1)AP →=a+c+2b ；(2)A1N →=-a+b+2c练习2： 设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________．【答案】12类型二 共线定理、共面定理的应用例2：射线AB 、AC 、AD 不共面,连结BC 、CD 、DB,取AB 、BC 、CD 、DA 的中点E 、F 、G 、H,如图3-1-20,试判定四边形EFGH 的图形形状,并用向量的方法证明.【答案】解法1:四边形EFGH 是平行四边形..EH FG ∴=∵E 点不在FG 上,∴EH ∥FG,且EH=FG,∴四边形EFGH 是平行四边形.解法2:∵11(),22HG HD DG AD DC AC =+=+=∴.HG EF =又H 点不在EF 上, ∴HG ∥EF,且HG=EF.∴四边形EFGH 是平行四边形.练习1： 已知向量a=)1,2(，b=)2,1(-,若ma+nb=)8,9(-(R n m ∈,),则n m -的值为______.【解析】由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=- 【答案】3-类型三 空间向量数量积的应用例3：已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是AB ，CD 的中点．(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ； (2)求MN 的长；(3)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值． 【解析】（1）设AB =p,AC =q ，AD =r.由题意可知：|p|=|q|=|r|=a ，且p 、q 、r 三向量两两夹角均为60°. MN =AN -AM =12（AC +AD ）-12AB =12（q+r -p ），∴MN ·AB =12（q+r -p ）·p =12（q ·p+r ·p -p2）=12（a2·cos60°+a2·cos60°-a2）=0.∴MN ⊥AB,同理可证MN ⊥CD.（2）由（1）可知MN =12（q+r -p ） ∴|MN |2=MN 2=14（q+r -p ）2=14［q2+r2+p2+2（q ·r -p ·q -r ·p ）］ =14[a2+a2+a2+2（22a -22a -22a 14×2a2=22a .∴|MN |=2a,∴MN 的长为2 a.(3)解 设向量AN →与MC →的夹角为θ.∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r)，MC →＝AC →－AM →＝q －12p ，∴AN →·MC →＝12(q ＋r)·(q －12p) ＝12(q2－12q ·p ＋r ·q －12r ·p) ＝12(a2－12a2cos60°＋a2cos60°－12a2cos60°)＝22a .又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ， ∴AN →·MC →＝|AN →||MC →|cos θ＝32a ×32a ×cos θ＝22a .∴cos θ＝23.∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23. 【答案】（1）见解析（2）MN 的长为2 a.（3）异面直线AN 与CM所成角的余弦值为23练习1：在平行六面体ABCD －A1B1C1D1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.求BD →1与AC →夹角的余弦值．【答案】设AB =a,AD =b.1AA =c BD1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ，∴|BD1→|＝2，|AC →|＝3， BD1→·AC →＝(b ＋c －a)·(a ＋b)＝b2－a2＋a ·c ＋b ·c ＝1.∴cos 〈BD1→，AC →〉＝BD1→·AC →|BD1→|·|AC →|＝66.1． 已知向量a ＝(1，0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( )A ．(－1，1，0)B ．(1，－1，0)C ．(0，－1，1)D ．(－1，0，1) 【答案】B2．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则关于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝xa ＋yb ＋zc.其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】A3.在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直【答案】B 4.O 为空间任意一点，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则A ，B ，C ，P 四点( )A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判定【答案】B__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固（1）1．已知a ＝(－2，1，3)，b ＝(－1，2，1)，若a ⊥(a －λb)，则实数λ的值为( )A ．－2B ．－143 C.145 D ．2 【答案】D2.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a2 B.12a2 C.14a2 D.34a2【答案】C3．若向量c 垂直于不共线的向量a 和b ，d ＝λa ＋μb(λ，μ∈R ，且λμ≠0)，则( )A ．c ∥dB ．c ⊥dC ．c 不平行于d ，c 也不垂直于dD ．以上三种情形均有可能【答案】B4．已知{a ，b ，c}是空间的一个基底，{a ＋b ，a －b ，c}是空间的另一个基底，一向量p 在基底{a ，b ，c}下的坐标为(4，2，3)，则向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c}下的坐标是( )A ．(4，0，3)B ．(3，1，3)C ．(1，2，3)D ．(2，1，3)【答案】B5.已知2a ＋b ＝(0，－5，10)，c ＝(1，－2，－2)，a ·c ＝4，|b|＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为________．【答案】60°6.已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ等于________．【答案】657 能力提升（2）7.在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示)．【答案】111244a b c ++8.A ，B ，C ，D 是空间不共面四点，且AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 的形状是________三角形(填锐角、直角、钝角中的一个)．【答案】锐角9.已知空间中三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)若|c|＝3，且c ∥BC →，求向量c.(2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值．【答案】解 (1)∵c ∥BC →，BC →＝(－3，0，4)－(－1，1，2)＝(－2，－1，2)，∴c ＝mBC →＝m(－2，－1，2)＝(－2m ，－m ，2m)， ∴|c|＝（－2m ）2＋（－m ）2＋（2m ）2＝3|m|＝3， ∴m ＝±1.∴c ＝(－2，－1，2)或(2，1，－2)． (2)∵a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)， ∴a ·b ＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1， 又∵|a|＝12＋12＋02＝2，|b|＝（－1）2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a|·|b|＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010. 因此异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.。

第3章 空间向量与立体几何空间向量的基本概念及运算【例的正方形，S 到A 、B 、C 、D 的距离都等于2.给出以下结论：①SA →＋SB →＋SC →＋SD →＝0； ②SA →＋SB →－SC →－SD →＝0； ③SA →－SB →＋SC →－SD →＝0； ④SA →·SB →＝SC →·SD →； ⑤SA →·SC →＝0.其中正确结论的序号是________．[解析] 容易推出SA →－SB →＋SC →－SD →＝BA →＋DC →＝0，所以③正确；又因为底面ABCD 是边长为1的正方形，SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2，所以SA →·SB →＝2·2·cos∠ASB ，SC →·SD →＝2·2·cos∠CSD ，而∠ASB ＝∠CSD ，于是SA →·SB →＝SC →·SD →，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.[答案] ③④1．空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量．2．空间向量的数量积(1)空间向量的数量积的定义表达式a ·b ＝|a |·|b |·cos〈a ，b 〉及其变式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a | ·|b |是两个重要公式．(2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如a 2＝|a |2，a 在b 上的投影a ·b|b |＝|a |·cos θ等．1.如图，已知ABCD ­A ′B ′C ′D ′是平行六面体． 的34设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC ′B ′对角线BC ′上分点，设MN →＝αAB →＋βAD →＋γAA ′→，则α＋β＋γ＝________.32[连接BD ，则M 为BD 的中点， MN →＝MB →＋BN →＝12DB →＋34BC ′→＝12(DA →＋AB →)＋34(BC →＋CC ′→)＝12(－AD →＋AB →)＋34(AD →＋AA ′→)＝12AB →＋14AD →＋34AA ′→.∴α＝12，β＝14，γ＝34.∴α＋β＋γ＝32.]空间向量的坐标运算【例2】 (1)已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝2x －2a ，则x ＝( )A ．(0,3，－6)B ．(0,6，－20)C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6)(2)已知向量a ＝(x,1,2)，b ＝(1，y ，－2)，c ＝(3,1，z )，a ∥b ，b ⊥c . ①求向量a ，b ，c ；②求a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值． (1)B [由b ＝12x －2a 得x ＝4a ＋2b ，又4a ＋2b ＝4(2,3，－4)＋2(－4，－3，－2)＝(0,6，－20)， 所以x ＝(0,6，－20)．](2)[解] ①∵向量a ＝(x,1,2)，b ＝(1，y ，－2)，c ＝(3,1，z )，且a ∥b ，b ⊥c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1y ＝2－23＋y －2z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，z ＝1，∴向量a ＝(－1,1,2)，b ＝(1，－1，－2)，c ＝(3,1,1)． ②∵a ＋c ＝(2,2,3)，b ＋c ＝(4,0，－1)， ∴(a ＋c )·(b ＋c )＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5，|a ＋c |＝22＋22＋32＝17，|b ＋c |＝42＋02＋(－1)2＝17， ∴a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值为(a ＋c )·(b ＋c )|a ＋c ||b ＋c |＝517.熟记空间向量的坐标运算公式设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，1．加减运算：a ±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2，z 1±z 2)． 2．数量积运算：a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2. 3．向量夹角：cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2x 21＋y 21＋z 21x 22＋y 22＋z 22. 4．向量长度：设M 1(x 1，y 1，z 1)，M 2(x 2，y 2，z 2)，则|M 1M 2→|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2. 提醒：在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算．2．在空间直角坐标系中，已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 一定是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形C [∵AB →＝(3,4，－8)，AC →＝(5,1，－7)，BC →＝(2，－3,1)，∴|AB →|＝32＋42＋(－8)2＝89，|AC →|＝52＋12＋(－7)2＝75，|BC →|＝22＋(－3)2＋1＝14，∴|AC →|2＋|BC →|2＝|AB →|2，∴△ABC 一定为直角三角形．]利用空间向量证明平行、垂直问题M 为PC 的中点．(1)求证：BM ∥平面PAD ；(2)平面PAD 内是否存在一点N ，使MN ⊥平面PBD ？若存在，确定N 的位置；若不存在，说明理由．[思路探究] (1)证明向量BM →垂直于平面PAD 的一个法向量即可；(2)假设存在点N ，设出其坐标，利用MN →⊥BD →，MN →⊥PB →，列方程求其坐标即可． [解] 以A 为原点，以AB ，AD ，AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则B (1,0,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，C (2,2,0)，M (1，1,1)，(1)证明：∵BM →＝(0,1,1)，平面PAD 的一个法向量为n ＝(1,0,0)， ∴BM →·n ＝0，即BM →⊥n ，又BM ⊄平面PAD ，∴BM ∥平面PAD . (2)BD →＝(－1,2,0)，PB →＝(1,0，－2)， 假设平面PAD 内存在一点N ，使MN ⊥平面PBD . 设N (0，y ，z )，则MN →＝(－1，y －1，z －1)， 从而MN ⊥BD ，MN ⊥PB ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧MN →·BD →＝0，MN →·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋2(y －1)＝0，－1－2(z －1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12，z ＝12，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，∴在平面PAD 内存在一点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，使MN ⊥平面PBD .利用空间向量证明空间中的位置关系1．线线平行：证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． 2．线线垂直：证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直． 3．线面平行：(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；(2)证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；(3)利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示．4．线面垂直：(1)证明直线的方向向量与平面的法向量平行； (2)利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． 5．面面平行：(1)证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)； (2)转化为线面平行、线线平行问题． 6．面面垂直：(1)证明两个平面的法向量互相垂直； (2)转化为线面垂直、线线垂直问题．3．如图，长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别在BB 1，DD 1上，且AM ⊥A 1B ，AN ⊥A 1D .(1)求证：A 1C ⊥平面AMN .(2)当AB ＝2，AD ＝2，A 1A ＝3时，问在线段AA 1上是否存在一点P 使得C 1P ∥平面AMN ，若存在，试确定P 的位置．[解] (1)证明：因为CB ⊥平面AA 1B 1B ，AM ⊂平面AA 1B 1B ， 所以CB ⊥AM ，又因为AM ⊥A 1B ，A 1B ∩CB ＝B ， 所以AM ⊥平面A 1BC ，所以A 1C ⊥AM ，同理可证A 1C ⊥AN ， 又AM ∩AN ＝A ，所以A 1C ⊥平面AMN .(2)以C 为原点，CD 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，CC 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，因为AB ＝2，AD ＝2，A 1A ＝3，所以C (0,0,0)，A 1(2,2,3)，C 1(0,0,3)，CA 1→＝(2,2,3)， 由(1)知CA 1⊥平面AMN ，故平面AMN 的一个法向量为CA 1→＝(2,2,3)．设线段AA 1上存在一点P (2,2，t )，使得C 1P ∥平面AMN ，则C 1P →＝(2,2，t －3)， 因为C 1P ∥平面AMN ，所以C 1P →·CA 1→＝4＋4＋3t －9＝0， 解得t ＝13.所以P ⎝⎛⎭⎪⎫2，2，13，所以线段AA 1上存在一点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，2，13，使得C 1P ∥平面AMN .利用空间向量求空间角【例4】 如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，CD ＝BE ＝2，O 为BC 的中点．将△ADE 沿DE 折起，得到如图(2)所示的四棱锥A ′­BCDE ，其中A ′O ＝ 3.(1) (2) (1)证明：A ′O ⊥平面BCDE ；(2)求二面角A ′­CD ­B 的平面角的余弦值．[思路探究] (1)利用勾股定理可证A ′O ⊥OD ，A ′O ⊥OE ，从而证得A ′O ⊥平面BCDE ；(2)用“三垂线”法作二面角的平面角后求解或用向量法求两个平面的法向量的夹角．[解] (1)证明：由题意，得OC ＝3，AC ＝32，AD ＝2 2. 如图，连接OD ，OE ，在△OCD 中，由余弦定理，得OD ＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos 45°＝ 5.由翻折不变性，知A ′D ＝22， 所以A ′O 2＋OD 2＝A ′D 2，所以A ′O ⊥OD . 同理可证A ′O ⊥OE .又因为OD ∩OE ＝O ，所以A ′O ⊥平面BCDE .(2)如图，过点O 作OH ⊥CD 交CD 的延长线于点H ，连接A ′H . 因为A ′O ⊥平面BCDE ，OH ⊥CD ， 所以A ′H ⊥CD .所以∠A ′HO 为二面角A ′­CD ­B 的平面角． 结合图(1)可知，H 为AC 的中点，故OH ＝322，从而A ′H ＝OH 2＋A ′O 2＝302. 所以cos ∠A ′HO ＝OH A ′H ＝155.所以二面角A ′­CD ­B 的平面角的余弦值为155.用向量法求空间角的注意点1．异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解．2．直线与平面所成的角：要求直线a 与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n 与直线a 的方向向量a 夹角的余弦cos 〈n ，a 〉，易知θ＝〈n ，a 〉－π2或者π2－〈n ，a 〉．3．二面角：如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n 1与n 2，则平面α与β所成的角跟法向量n 1与n 2所成的角相等或互补，所以首先应判断二面角是锐角还是钝角．4．在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O ′的直径，FB 是圆台的一条母线．(1)已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC . (2)已知EF ＝FB ＝12AC ＝23，AB ＝BC ，求二面角F ­BC ­A 的余弦值．[解] (1)证明：设CF 的中点为I ，连接GI ，HI .在△CEF 中，因为点G ，I 分别是CE ，CF 的中点， 所以GI ∥EF .又EF ∥OB ，所以GI ∥OB .在△CFB 中，因为H ，I 分别是FB ，CF 的中点， 所以HI ∥BC .又HI ∩GI ＝I ，BC ∩OB ＝B ， 所以平面GHI ∥平面ABC . 因为GH ⊂平面GHI ，所以GH ∥平面ABC .(2)连接OO ′，则OO ′⊥平面ABC .又AB ＝BC ，且AC 是圆O 的直径， 所以BO ⊥AC .以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意得B (0,23，0)，C (－23，0,0)． 过点F 作FM ⊥OB 于点M ， 所以FM ＝FB 2－BM 2＝3， 可得F (0，3，3)．故BC →＝(－23，－23，0)，BF →＝(0，－3，3)． 设m ＝(x ，y ，z )是平面BCF 的法向量． 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC →＝0，m ·BF →＝0可得⎩⎨⎧－23x －23y ＝0，－3y ＋3z ＝0.可得平面BCF 的一个法向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，33. 因为平面ABC 的一个法向量n ＝(0,0,1)，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝77，所以二面角F ­BC ­A 的余弦值为77.。

3.2.3 空间的角的计算学习目标 1.理解直线与平面所成角、二面角的概念.2.掌握向量法解决空间角的计算问题.3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲．知识点一 空间角的计算(向量法) 空间三种角的向量求法知识点二 向量法求线面角、二面角的原理 1．向量法求直线与平面所成角的原理2.向量法求二面角的原理1．两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．(×)2．若向量n 1，n 2分别为二面角的两个半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|.(×) 3．直线与平面所成角的范围为⎝⎛⎭⎫0，π2.(×)类型一 求两条异面直线所成的角例1 如图，在三棱柱OAB-O 1A 1B 1中，平面OBB 1O 1⊥平面OAB ，∠O 1OB ＝60°，∠AOB ＝90°，且OB ＝OO 1＝2，OA ＝3，求异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值的大小．解 以O 为坐标原点，OA →，OB →的方向为x 轴，y 轴的正方向．建立如图所示的空间直角坐标系，则O (0,0,0)，O 1(0,1，3)， A (3，0,0)，A 1(3，1，3)， B (0,2,0)，∴A 1B —→＝(－3，1，－3)， O 1A —→＝(3，－1，－3)． ∴|cos 〈A 1B —→，O 1A —→〉| ＝|A 1B —→·O 1A —→||A 1B —→ ||O 1A —→|＝|(－3，1，－3)·(3，－1，－3)|7×7＝17.∴异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值为17.反思与感悟 在解决立体几何中两异面直线所成角的问题时，若能构建空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，利用向量法求解．但应用向量法时一定要注意向量所成角与异面直线所成角的区别．跟踪训练1 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1D 1，A 1C 1的中点，求异面直线AE 与CF 所成角的余弦值．解 不妨设正方体的棱长为2，以D 点为坐标原点，分别取DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，E (1,0,2)，F (1,1,2)，则AE →＝(－1,0,2)，CF →＝(1，－1,2)， ∴|AE →|＝5，|CF →|＝6，AE →·CF →＝－1＋0＋4＝3. 又AE →·CF →＝|AE →||CF →|cos 〈AE →，CF →〉 ＝30cos 〈AE →，CF →〉， ∴cos 〈AE →，CF →〉＝3010，∴异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为3010. 类型二 求直线和平面所成的角例2 已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角．解 以A 点为坐标原点，AB ，AA 1所在直线分别为y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (0，a,0)，A 1(0,0，2a )， C 1⎝⎛⎭⎫－32a ，a 2，2a ， 方法一 取A 1B 1的中点M ， 则M ⎝⎛⎭⎫0，a2，2a ，连结AM ，MC 1， 有MC 1—→＝⎝⎛⎭⎫－32a ，0，0，AB →＝(0，a,0)，AA 1—→＝(0,0，2a )．∴MC 1—→·AB →＝0，MC 1—→·AA 1—→＝0，∴MC 1—→⊥AB →，MC 1—→⊥AA 1—→，则MC 1⊥AB ，MC 1⊥AA 1， 又AB ∩AA 1＝A ，AB ，AA 1⊂平面ABB 1A 1，∴MC 1⊥平面ABB 1A 1.∴∠C 1AM 是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角．由于AC 1—→＝⎝⎛⎭⎫－32a ，a 2，2a ，AM →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，2a ， ∴AC 1—→·AM →＝0＋a 24＋2a 2＝9a 24，|AC 1—→|＝3a 24＋a 24＋2a 2＝3a ， |AM →|＝a 24＋2a 2＝32a ， ∴cos 〈AC 1—→，AM →〉＝9a 243a ×3a 2＝32. ∵〈AC 1—→，AM →〉∈[0°，180°]，∴〈AC 1—→，AM →〉＝30°， 又直线与平面所成的角在[0°，90°]范围内， ∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°. 方法二 AB →＝(0，a,0)，AA 1—→＝(0,0，2a )， AC 1—→＝⎝⎛⎭⎫－32a ，a 2，2a .设侧面ABB 1A 1的法向量为n ＝(λ，y ，z )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AA 1—→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ay ＝0，2az ＝0，∴y ＝z ＝0.故n ＝(λ，0,0)． ∵AC 1—→＝⎝⎛⎭⎫－32a ，a 2，2a ，∴cos 〈AC 1—→，n 〉＝n ·AC 1—→|n ||AC 1—→|＝－λ2|λ|，∴|cos 〈AC 1—→，n 〉|＝12.又直线与平面所成的角在[0°，90°]范围内， ∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.反思与感悟 用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面角．方法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角，再进行换算．跟踪训练2 如图所示，已知直角梯形ABCD ，其中AB ＝BC ＝2AD ，AS ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，且AS ＝AB .求直线SC 与底面ABCD 的夹角θ的余弦值．解 由题设条件知，以点A 为坐标原点，分别以AD ，AB ，AS 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系(如图所示)．设AB ＝1，则A (0,0,0)，B (0,1,0)，C (1,1,0)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0，S (0,0,1)，∴AS →＝(0,0,1)， CS →＝(－1，－1,1)．显然AS →是底面ABCD 的法向量，它与已知向量CS →的夹角β＝90°－θ， 故有sin θ＝cos β＝AS →·CS →|AS →||CS →|＝11×3＝33，∵θ∈[0°，90°]， ∴cos θ＝1－sin 2θ＝63. 类型三 求二面角例3 在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD 中，AB ⊥AC ，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝AB ，E 是PD 的中点，求平面EAC 与平面ABCD 的夹角．解 方法一 如图，以A 为坐标原点，分别以AC ，AB ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设P A ＝AB ＝a ，AC ＝b ，连结BD 与AC 交于点O ，取AD 的中点F ，则C (b,0,0)，B (0，a,0)，BA →＝CD →.∴D (b ，－a,0)，P (0,0，a )， ∴E ⎝⎛⎭⎫b 2，－a 2，a 2，O ⎝⎛⎭⎫b2，0，0， OE →＝⎝⎛⎭⎫0，－a 2，a 2，AC →＝(b,0,0)． ∵OE →·AC →＝0， ∴OE →⊥AC →，∵OF →＝12BA →＝⎝⎛⎭⎫0，－a 2，0，OF →·AC →＝0， ∴OF →⊥AC →.∴∠EOF 为平面EAC 与平面ABCD 的夹角(或补角)． cos 〈OE →，OF →〉＝OE →·OF →|OE →||OF →|＝22.又∵〈OE →，OF →〉∈[0°，180°]， ∴平面EAC 与平面ABCD 的夹角为45°. 方法二 建系如方法一， ∵P A ⊥平面ABCD ，∴AP →＝(0,0，a )为平面ABCD 的法向量， AE →＝⎝⎛⎭⎫b 2，－a 2，a 2，AC →＝(b,0,0)． 设平面AEC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )．由⎩⎪⎨⎪⎧m ·AE →＝0，m ·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b 2x －a 2y ＋a 2z ＝0，bx ＝0.∴x ＝0，y ＝z ，∴取m ＝(0,1,1)， cos 〈m ，AP →〉＝m ·AP →|m ||AP →|＝a 2·a ＝22.又∵〈m ，AP →〉∈[0°，180°]， ∴平面AEC 与平面ABCD 的夹角为45°.反思与感悟 1.当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角．只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的.2.注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角．跟踪训练3 如图，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值； (2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．解 (1)以A 为坐标原点，分别以AB ，AC ，AA 1所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0,0,4)，C 1(0,2,4)，所以A 1B —→＝(2,0，－4)，C 1D —→＝(1，－1，－4)．因为cos 〈A 1B —→，C 1D —→〉 ＝A 1B —→·C 1D —→|A 1B —→||C 1D —→|＝1820×18 ＝31010，又异面直线所成角的范围为⎝⎛⎦⎤0，π2， 所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.(2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 因为AD →＝(1,1,0)，AC 1—→＝(0,2,4)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AD →＝0，n 1·AC 1—→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2， 所以n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的法向量． 同理，取平面ABA 1的法向量为n 2＝(0,1,0)． 设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ， 由|cos θ|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝29×1＝23，得sin θ＝53. 所以平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53.1．在一个二面角的两个半平面内，与二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为________． 答案 ±156解析 由(0，－1，3)·(2，2，4)1＋9×4＋4＋16＝－2＋1210×24＝156，可知这个二面角的余弦值为156或－156. 2．已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a 与b 所成的角是________． 答案 60°解析 AB →＝AC →＋CD →＋DB →，∴AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝AC →·CD →＋CD →2＋DB →·CD →＝0＋12＋0＝1，又|AB →|＝2，|CD →|＝1.∴cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝12×1＝12.∵异面直线所成的角是锐角或直角， ∴a 与b 所成的角是60°.3．已知在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值是________． 答案 23解析 以D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AA 1＝2AB ＝2，则B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，C 1(0,1,2)， 故DB →＝(1,1,0)，DC 1—→＝(0,1,2)，DC →＝(0,1,0)， 设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0，n ·DC 1—→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0，令z ＝1，则y ＝－2，x ＝2， 所以n ＝(2，－2,1)．设直线CD 与平面BDC 1所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n ，DC →〉|＝|n ·DC →||n ||DC →|＝23.4．在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝1，则PC 与平面ABCD 所成的角是________． 答案 30°解析 以点A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0,0,1)，C (1，2，0)，PC →＝(1，2，－1)，平面ABCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1), 所以cos 〈PC →，n 〉＝PC →·n |PC →||n |＝－12，又因为〈PC →，n 〉∈[0°，180°]，所以〈PC →，n 〉＝120°，所以斜线PC 与平面ABCD 的法向量所在直线所成的角为60°，所以斜线PC 与平面ABCD 所成的角是30°.向量法求角(1)两条异面直线所成的角θ可以借助这两条直线的方向向量的夹角φ求得，即cos θ＝|cos φ|. (2)直线与平面所成的角θ可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角φ求得，即sin θ＝|cos φ|或cos θ＝sin φ.(3)二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角．一、填空题1．若直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角是150°，则l 1与l 2这两条异面直线所成的角为________． 答案 30°解析 异面直线所成角的范围是(0°，90°]，所以l 1与l 2这两条异面直线所成的角为180°－150°＝30°.2．已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为________． 答案 45°或135°解析 cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝11×2＝22，即〈m ，n 〉＝45°.所以两平面所成的二面角为45°或135°.3．设直线l 与平面α相交，且l 的方向向量为a ，α的法向量为n ，若〈a ，n 〉＝3π4，则l与α所成的角为________． 答案 π4解析 线面角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.∵〈a ，n 〉＝3π4，∴l 与法向量所在直线所成角为π4，∴l 与α所成的角为π4.4．已知在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则AB 1与ED 1所成角的余弦值为________．答案1010解析 ∵A (2,2,0)，B 1(2,0,2)，E (0,1,0)，D 1(0,2,2)， ∴AB 1—→＝(0，－2,2)，ED 1—→＝(0,1,2)， ∴|AB 1—→|＝22，|ED 1—→|＝5， AB 1—→·ED 1—→＝0－2＋4＝2，∴cos 〈AB 1—→，ED 1—→〉＝AB 1—→·ED 1—→|AB 1—→||ED 1—→|＝222×5＝1010，∴AB 1与ED 1所成角的余弦值为1010. 5．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为________． 答案63解析 设正方体的棱长为1，以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系如图．则D (0,0,0)，B (1,1,0)， B 1(1,1,1)．平面ACD 1的一个法向量为DB 1—→＝(1,1,1)． 又BB 1—→＝(0,0,1)，则cos 〈DB 1—→，BB 1—→〉＝DB 1—→·BB 1—→|DB 1—→||BB 1—→|＝13×1＝33.故BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为1－⎝⎛⎭⎫332＝63. 6．已知在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱A 1B 1的中点，则直线AE 与平面BDD 1B 1所成角的正弦值为________． 答案1010解析 以A 1为坐标原点，A 1B 1，A 1D 1，A 1A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则A (0,0,2)，C (2,2,2)，E (1,0,0)，AC →＝(2,2,0)，AE →＝(1,0，－2)． ∵AC ⊥BD ，AC ⊥BB 1，BD ∩BB 1＝B ，∴AC ⊥平面BDD 1B 1，则AC →＝(2,2,0)是平面BDD 1B 1的一个法向量．设直线AE 与平面BDD 1B 1所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈AC →，AE →〉|＝1010.7．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为________． 答案 90°解析 以A 1为坐标原点，A 1C 1—→，A 1A —→的方向为y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设BB 1＝1，则A (0,0,1)，B 1⎝⎛⎭⎫62，22，0，C 1(0，2，0)， B ⎝⎛⎭⎫62，22，1. ∴AB 1—→＝⎝⎛⎭⎫62，22，－1，C 1B —→＝⎝⎛⎭⎫62，－22，1，∴AB 1—→·C 1B —→＝64－24－1＝0，∴AB 1—→⊥C 1B —→.即AB 1与C 1B 所成角的大小为90°.8．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB 1与平面AB 1C 1所成的角的大小为________．答案 π6解析 如图所示，取AC 的中点O ，连结OB ，取A 1C 1的中点O 1，连结OO 1，以O 为坐标原点，OC ，OO 1所在直线分别为y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，易得B (－3，0,0)，A (0，－1,0)，C 1(0,1,3)，B 1(－3，0,3)， ∴BB 1—→＝(0,0,3)，AB 1—→＝(－3，1,3)，AC 1—→＝(0,2,3)， 设平面AB 1C 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB 1—→＝0，n ·AC 1—→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＋3z ＝0，2y ＋3z ＝0，∴n ＝⎝⎛⎭⎫1，－3，233，设BB 1与平面AB 1C 1所成的角为θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∵sin θ＝|cos 〈BB 1—→，n 〉|＝233×433＝12，∴θ＝π6.9.如图，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，∠P AD ＝90°，且P A ＝AD ＝2，E ，F分别是线段P A ，CD 的中点，则异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为________．答案36解析 以点A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则E (0,0,1)，F (1,2,0)，B (2,0,0)，D (0,2,0)．EF →＝(1,2，－1)， BD →＝(－2,2,0)，故cos 〈EF →，BD →〉＝243＝36.10．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值为________． 答案 23解析 如图，以点D 1为坐标原点，D 1A 1－D 1C 1，D 1D 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设AB ＝a ，则AA 1＝2a ，所以D (0,0,2a )，C 1(0，a,0)，B (a ，a,2a )，C (0，a,2a )． 设平面BDC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·DC 1—→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y ，z )·(－a ，－a ，0)＝0，(x ，y ，z )·(0，a ，－2a )＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＝2z ，∴n ＝⎝⎛⎭⎫1，－1，－12， ∴CD →·n ＝(0，－a,0)·⎝⎛⎭⎫1，－1，－12＝a ， ∴cos 〈CD →，n 〉＝a a ·1＋1＋14＝23，设CD 与平面BDC 1所成角为α， ∴sin α＝23.二、解答题11．二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，求该二面角的大小． 解 由条件，知CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0，CD →＝CA →＋AB →＋BD →. ∴|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝62＋42＋82＋2×6×8cos 〈CA →，BD →〉＝(217)2. ∴cos 〈CA →，BD →〉＝－12，又∵〈CA →，BD →〉∈[0°，180°]， ∴〈CA →，BD →〉＝120°， ∴二面角的大小为60°.12．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F ，G 分别是CC 1，D 1A 1，AB 的中点，求GA 与平面EFG 所成角的正弦值．解 如图，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (2,0,0)，E (0,2,1)，F (1,0,2)，G (2,1,0)． ∴EF →＝(1，－2,1)， EG →＝(2，－1，－1)， GA →＝(0，－1,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面EFG 的一个法向量， 则由n ⊥EF →，n ⊥EG →，得⎩⎪⎨⎪⎧n ·EF →＝0，n ·EG →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋z ＝0，2x －y －z ＝0，解得x ＝y ＝z .令x ＝1，得n ＝(1,1,1)． 设GA 与平面EFG 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈GA →，n 〉|＝|－1|1×3＝33，∴GA 与平面EFG 所成角的正弦值为33. 13.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C1D 1中，E 为AB 的中点．(1)求异面直线BD 1与CE 所成的角的余弦值； (2)求二面角A 1－EC －A 的余弦值．解 如图所示，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设AB ＝1，则B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，C (0,1,0)，E ⎝⎛⎭⎫1，12，0，A 1(1,0,1)， (1)BD 1—→＝(－1，－1,1)，CE →＝⎝⎛⎭⎫1，－12，0，故cos 〈BD 1—→，CE →〉＝BD 1—→·CE →|BD 1—→||CE →|＝－123×52＝－1515， 又异面直线所在角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2， 所以异面直线BD 1与CE 所成的角的余弦值是1515. (2)因为DD 1⊥平面AEC ，所以DD 1—→为平面AEC 的一个法向量，DD 1—→＝(0,0,1)，设平面A 1EC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，又A 1E —→＝⎝⎛⎭⎫0，12，－1，A 1C —→＝(－1,1，－1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·A 1E —→＝0，n ·A 1C —→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12y －z ＝0，－x ＋y －z ＝0，取n ＝(1,2,1)，所以cos 〈DD 1—→，n 〉＝11×6＝66，结合图形知，二面角A 1－EC －A 的余弦值为66. 三、探究与拓展14．在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为________．答案 0解析 OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →) ＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →|·|OC →|·cos π3－|OA →|·|OB →|·cos π3＝12|OA →|(|OC →|－|OB →|)＝0.∴cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →|·|BC →|＝0.15.如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，P A ＝AD ＝2，AC ＝1.(1)证明：PC ⊥AD ；(2)求二面角A －PC －D 的正弦值；(3)设E 为棱P A 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长．(1)证明 如图，以点A 为坐标原点，AD ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，D (2,0,0)，C (0,1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－12，12，0，P (0,0,2)．可得PC →＝(0,1，－2)，AD →＝(2,0,0)，则PC →·AD →＝0，所以PC ⊥AD .(2)解 由(1)可得PC →＝(0,1，－2)，CD →＝(2，－1,0)．设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·PC →＝0，n ·CD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y －2z ＝0，2x －y ＝0. 令z ＝1，可得n ＝(1,2,1)．又AD →＝(2,0,0)是平面P AC 的一个法向量，所以cos 〈AD →，n 〉＝AD →·n |AD →||n |＝66， 从而sin 〈AD →，n 〉＝306. 所以二面角A －PC －D 的正弦值为306. (3)解 由(2)可得CD →＝(2，－1,0)．设AE ＝h ，h ∈[0,2]，则E (0,0，h )，所以BE →＝⎝⎛⎭⎫12，－12，h . 所以cos 〈BE →，CD →〉＝BE →·CD →|BE →||CD →|＝3212＋h 2×5＝32，解得h＝1010，即AE＝1010.。