26.1.4 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 课件1
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二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 课件
知
识 点
二次函数 y a(x h)2 的图象；
一
三、研读课文
探究 在同一直角坐标系中，画出函
数，y
1x
2
12
，y
1 2
x
12
的图象，并分别指出他们的开口方向、
对称轴和顶点.
三、研读课文 解：（1）列表
-3 -2 -1 1 2 3
-2
1 2
0
1 2
-2
9 2
-8
开口向上、对称轴x=2、顶点坐标（2,0）
知识点二 二次函数 y a(x h)2 的性质；
思考 抛物线 y 1 x2 与抛物线
y 1 x 1，2 y 1 x 212 有什么关系？
2
2
分y 析：1请x2在也知画识上点去一。图上把抛物线 2
知 识
y归（ 1纳）1：抛x 物12 线的形y 状为12 开x 口12向、y
二次函数 y a(x h)2 的图像和性质
一、学习目标 引导学生读懂数学书课题研究成果配套课件 课件制作：苏志朝
1、会画二次函数 y a(x h)2的图象； 2、掌握二次函数 y a(x h)2的性质；
3、比较函数 y ax2 与 y a(x h)2
的联系.
二、新课引入 1、填表：
（2）对称轴是直线 x = h
；
（3）顶点坐标是 ( h , 0 )
.
2、抛物线 y a(x h)2 与 y ax2 形状相同，位置不同，y a(x h)2 是由 y ax2 ____左__右____平移得到的. （填“上下”或“左右”）
1、抛物线 y 2(x 3)2 的开口_向__上__；
26.1.4 二次函数y=a(x-h)2 的图象和性质
1个单位，就得到抛物 线y=x2-1；
抛物线y=x2向上平移1个
单位，就得到抛物线 y=x2+1。
y=x2+1
y
8 6则：上加下减
2
-5 -2
5
x
快速抢答：
向上 向下 向下
y轴 ( 0 , 5 ) y轴 ( 0 , -2 ) y轴 ( 0 , 3 )
学习目标：
1、能用描点法画出二次函数y＝ a(x—h)2的图象。
y 1 (x 1)2 2
h>0 h<0
开口向上
h>0 h<0
开口向下
a的绝对值越大，开口越小，反之亦然
直线ｘ＝ｈ
(ｈ,0)
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
例：用配方法把下列函数化成y=a （x-h）2的形式，并说出开口方向， 顶点坐标和对称轴。
y x2 6x 9
1、若将抛物线y=-2（x-2）2的图象的 顶点移到原点，则下列平移方法正确 的是（ C ） A、向上平移2个单位 B、向下平移2个单位 C、向左平移2个单位 D、向右平移2个单位
2、如何平移：
y 3 (x 1)2 4
y 3 (x 1)2 4
y 3 (x 3)2 4
y 3 (x 5)2 4
3、抛物线y=4（x-3）2的开口方向 向上 ， 对称轴是 直线x=3，顶点坐标 是 （3，0） ，抛物线是最 低 点， 当x= 3 时，y有最 小 值，其值为 0 。 抛物线与x轴交点坐标 （3，0），与y轴交 点坐标 （0，36）。
1、二次函数 y 3(x 2)2 图像的对称轴是（ A ） （A）直线x=2 （B）直线x=-2
抛物线y=x2向上平移1个
单位，就得到抛物线 y=x2+1。
y=x2+1
y
8 6则：上加下减
2
-5 -2
5
x
快速抢答：
向上 向下 向下
y轴 ( 0 , 5 ) y轴 ( 0 , -2 ) y轴 ( 0 , 3 )
学习目标：
1、能用描点法画出二次函数y＝ a(x—h)2的图象。
y 1 (x 1)2 2
h>0 h<0
开口向上
h>0 h<0
开口向下
a的绝对值越大，开口越小，反之亦然
直线ｘ＝ｈ
(ｈ,0)
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
例：用配方法把下列函数化成y=a （x-h）2的形式，并说出开口方向， 顶点坐标和对称轴。
y x2 6x 9
1、若将抛物线y=-2（x-2）2的图象的 顶点移到原点，则下列平移方法正确 的是（ C ） A、向上平移2个单位 B、向下平移2个单位 C、向左平移2个单位 D、向右平移2个单位
2、如何平移：
y 3 (x 1)2 4
y 3 (x 1)2 4
y 3 (x 3)2 4
y 3 (x 5)2 4
3、抛物线y=4（x-3）2的开口方向 向上 ， 对称轴是 直线x=3，顶点坐标 是 （3，0） ，抛物线是最 低 点， 当x= 3 时，y有最 小 值，其值为 0 。 抛物线与x轴交点坐标 （3，0），与y轴交 点坐标 （0，36）。
1、二次函数 y 3(x 2)2 图像的对称轴是（ A ） （A）直线x=2 （B）直线x=-2
二次函数y=a(x-h)2的图象和性质课件人教版九年级数学上册
A.y1>y2 B.y1<y2
C.y1＝y2
D.无法比较
6.写出下列各组函数图象的开口方向、对称轴和顶点.
（1）y=
1 3
x2+3;
（2）y=-3x2-4.
解：（1）开口向上,对称轴为y轴,顶点为（0，3）. （2）开口向下,对称轴为y轴,顶点为（0，-4）.
拓展延伸
7.求抛物线y=2x2-1关于x轴对称的抛物线的解析式. 解：抛物线y=2x2-1关于x轴对称的抛物线的解析式为 y=-2x2+1.
个单位后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移
3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”．
(1)抛物线y=ax2＋c与y=－５x2的形状大小，开
口方向都相同，且其顶点坐标是（０，３）， 则其表达式为 y=－５x2＋３ ，它是由抛物线y= －５x2向 上 平移 ３ 个单位得到的．
(2)抛物线y=ax2＋c与y=３x2的形状相同，且
移|k|个单位
y=ax2 向上(下)平 y=ax2+k 向左(右)平 y=a(x-h)2+k
移|k|个单位
移|h|个单位
抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时，开口向下; (2)对称轴是直线x=h; (3)顶点是(h,k).
同学们，这节课你有什么收获？
2
解:先列表 描点
x
… -4 -3
y 1 (x 1)2 … -4.5
-2
2
y 1 (x 1)2 …
2
(1)抛物线
y 1 (x 1)2
与y
1 2
(x
1)2
2
的开口方向、
九年级数学《二次函数y=a(x-h)2的图象和性质》课件
7.点P1(－3,y1),P2(3,y2),P3(5,y3)均在二次函数y＝－6(x＋1)2的图
象上,则y1,y2,y3的大小关系是 y1>y2>y3 (用“>”或“<”表示).
8.将抛物线y＝ax2向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为－3,
且新抛物线经过点(1,8),求a的值.
解:∵将抛物线 y＝ax2 向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为－3,
12.(几何直观、应用意识、创新意识)(潍坊中考)已知二次函
数y＝－(x－h)2(h为常数),当自变量x的值满足2≤x≤5时,与
其对应的函数值y的最大值为－1,则h的值为( B )
A.3或6
B.1或6
C.1或3
D.4或6
C.对称轴右侧的部分是下降的
D.顶点坐标是(－1,0)
D
)
3.某抛物线和y＝－3x2的图象形状相同,开口方向相同,对称轴
平行于y轴,且顶点坐标是(1,0),则此抛物线的解析式为
y＝－3(x－1)2 .
4.抛物线y＝2(x－3)2的对称轴是 直线x＝3 ,与y轴的交点坐
标是 (0,18) .
1 2
抛物线顶点之间的一点,连接AD,AC,EC,ED,求四边形ACED
的面积.(用含a的代数式表示)
解:∵抛物线 y＝ax2(a>0)与 y＝a(x－2)2 交于点 B,
∴BD＝BC＝2,∴DC＝4.
∵y＝a(x－2)2＝ax2－4ax＋4a,∴E(0,4a),
1
1
2
2
∴S 四边形 ACED＝S△ACD＋S△CDE＝ DC·OE＝ ×4×4a＝8a.
∴M点的纵坐是2,
∴M(2,2),把M(2,2)代入y＝a(x－1)2,
二次函数y=a(x-h)2的图象与性质.
(即x<-1时),函数y=3(x+1)2
的值随x的增大而减少,. 顶点是最低点,函数
有最小值.当x=-1时,
二次函数y=3(x+1)2
最小值是0..
与y=3x2的增减性类似.
在对称轴(直线:x=-1)右侧 (即x>-1时),函数y=3(x+1)2 的值随x的增大而增大,.
在同一坐标系中作出下列二次函数:
(4)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的 增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的 值随x的增大而减少？
3.抛物线y=ax2+k有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向下;
(2)对称轴是y轴;
(3)顶点是(0,k).
抛物线y=a(x－h)2有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向上;
(2)对称轴是x=h; (3)顶点是(h,0).
二次函数y=a（x-ｈ）2的性质
﹙x+1﹚2
－2
－4
y 1 x2 2
－6
24
y=－
1 2
﹙x-1﹚2
－4 －2 －2
y=－
1 2
﹙x+1﹚2
－4
－6
24
y=－ 21﹙x-1﹚2
可以看出，抛物线 y 1x12的开口向下，对称轴
2
是经过点（－1，0）且与x轴垂直的直线，我们把它记住
x=－1，顶点是（－1，0）；抛物线 y 1x12
(3)函数y=3(x-1)2的图象 与y=3x2的图象有什么关 系?它是轴对称图形吗?它 的对称轴和顶点坐标分别 是什么?
y 3x2
第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
活动 四： 课堂 总结 反思【教学反思】 ①[授课流程反思]新课导入环节中, 引导学生在观察函数图象上下功夫, 同时给学生设置有悬念的问题, 使学生积极思考问题；在探究新知过程中, 让学生经历类比联想、归纳总结的过程, 应用由特殊到一般的思想, 增强学生的观察、分析、归纳和表达能力. ②[讲授效果反思] 引导学生注意三点: (1)明确记忆函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；(2)函数图象的平移规律；(3)掌握函数的性质. ③[师生互动反思] 教学过程中, 教师对学生进行引导, 使他们能够积极投入到对数学知识的探索过程中来, 养成探索的好习惯. ④[习题反思]好题题号__________________________________________ 错题题号__________________________________________反思教学过程和教师表现, 进一步提升操作流程和自身素质. 一、知识回顾: 画出二次函数y ＝－ (x ＋1)2, y ＝－ (x －1)2的图象, 并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点以及最值、函数值的变化情况．先列表：x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …y ＝－12(x ＋1)2… … y ＝－12(x －1)2……在坐标纸上描点并画图:(1)观察图象, 填开口方向顶点对称轴最值对称轴右侧的增(2)请在图上把抛物线y＝－x2也画上去(草图).①抛物线y＝－ (x＋1)2, y＝－ x2, y＝－ (x－1)2的形状大小________.②把抛物线y＝－ x2向______平移________个单位, 就得到抛物线y＝－ (x＋1)2；把抛物线y＝－ x2向______平移________个单位, 就得到抛物线y＝－ (x－1)2.(2)对于抛物线y＝a(x－h)2与y＝ax2的图象, 形状________, 位置__________.当h>0时, 抛物线y＝a(x－h)2的图象可由y＝ax2的图象向________平移________个单位得到；当h<0时, 抛物线y＝a(x－h)2的图象可由y＝ax2的图象向________平移________个单位得到．小试牛刀:2.抛物线y ＝4(x －2)2与y 轴的交点坐标是________, 与x 轴的交点坐标为________.3. (1)把抛物线y ＝3x2向右平移4个单位后, 得到的抛物线的表达式为________. (2)把抛物线y ＝3x2向左平移6个单位后, 得到的抛物线的表达式为________.4.(1)将抛物线y ＝－ (x －1)2向右平移2个单位后, 得到的抛物线表达式为__________． (2)将抛物线y ＝－13(x －4)2向________平移________个单位得到y ＝－13x 2.5. 写出一个顶点是(5, 0), 形状、开口方向与抛物线y ＝－2x2都相同的二次函数表达式__________.当堂巩固检测(1)二次函数y ＝2(x ＋5)2的图象是________, 开口________, 对称轴是________, 当x ＝____________时, y 有最________值, 是________.(2)二次函数y ＝－3(x －4)2的图象是由抛物线y ＝－3x2向________平移________个单位得到的；开口________, 对称轴是________, 当x ＝________时, y 有最__________值, 是__________.(3)将二次函数y ＝2x2的图象向右平移3个单位后得到函数________的图象, 其对称轴是________, 顶点是________, 当x________时, y 随x 的增大而增大；当x________时, y 随x 的增大而减小.(4)将二次函数y ＝－3(x －2)2的图象向左平移3个单位后得到函数____________的图象, 其顶点坐标是________, 对称轴是__________, 当x ＝________时, y 有最________值, 是________.(5)抛物线y ＝4(x －3)2的开口方向__________, 对称轴是__________, 顶点坐标是__________, 抛物线有最________点, 当x ＝__________时, y 有最________值, 其值为__________, 抛物线与x 轴的交点坐标为________, 与y 轴的交点坐标为________．三、课时小结1. 抛物线y ＝2(x ＋3)2的开口__________；顶点坐标为________；对称轴是________； 当x ＞－3时, y 随x 的增大而__________；当x ＝－3时, y 有最________值是________. 2．抛物线y ＝m(x ＋n)2向左平移2个单位后, 得到的函数表达式是y ＝－4(x －4)2, 则m ＝________, n ＝________．3．二次函数y ＝a(x ＋h)2(a ≠0)的图象由y ＝ x2向右平移得到的, 且过点(1, 2), 试说明向右平移了几个单位？。
二次函数y = a﹙x-h﹚2图像和性质ppt
y x2
y 2 x2
8
6
4
2 －4 －2 2
y
1 2 x 2
廊坊市第三中学 初三备课组
4
y=ax2 (a≠0) 图 象
O
a>0 y
O
a<0 y x
x
开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0 ,0) (0 ,0) 对称轴 y轴 y轴 当x<0时, 增 当x<0时， y随着x的增大而增大。 y随着x的增大而减小。 减 当x>0时， 当x>0时， y随着x的增大而减小。 性 y随着x的增大而增大。 x=0时,y最小=0 x=0时,y最大=0 极值 抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,抛物线的开口口方向 向上 ，
对称轴是 直线x=3，顶点坐标 是 （3，0） ，抛物线是最 低 点， 当x= 3 时，y有最 小 值，其值为 0 抛物线与x轴交点坐标 ，与y轴交
。
点坐标
（0，36）
。 （3，0）
抛物线 y = 2(x+3)2 y = -3(x-1)2 y = -4(x-3)2
即:
1 2 向左平移 1 y x y ( x 1) 2 2 1个单位 2 1 2 向右平移 1 y x y ( x 1) 2 2 1个单位 2
1 y
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 1 y ( x 1) 2 -3 2 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 2 1 y x -10 y ( x 1) 2
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上
向下 向下
直线x=-3
直线x=1 直线x=3
( -3 , 0 )
y 2 x2
8
6
4
2 －4 －2 2
y
1 2 x 2
廊坊市第三中学 初三备课组
4
y=ax2 (a≠0) 图 象
O
a>0 y
O
a<0 y x
x
开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0 ,0) (0 ,0) 对称轴 y轴 y轴 当x<0时, 增 当x<0时， y随着x的增大而增大。 y随着x的增大而减小。 减 当x>0时， 当x>0时， y随着x的增大而减小。 性 y随着x的增大而增大。 x=0时,y最小=0 x=0时,y最大=0 极值 抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,抛物线的开口口方向 向上 ，
对称轴是 直线x=3，顶点坐标 是 （3，0） ，抛物线是最 低 点， 当x= 3 时，y有最 小 值，其值为 0 抛物线与x轴交点坐标 ，与y轴交
。
点坐标
（0，36）
。 （3，0）
抛物线 y = 2(x+3)2 y = -3(x-1)2 y = -4(x-3)2
即:
1 2 向左平移 1 y x y ( x 1) 2 2 1个单位 2 1 2 向右平移 1 y x y ( x 1) 2 2 1个单位 2
1 y
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 1 y ( x 1) 2 -3 2 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 2 1 y x -10 y ( x 1) 2
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上
向下 向下
直线x=-3
直线x=1 直线x=3
( -3 , 0 )
初三数学课件 二次函数y=a(x-h)2 的图像与性质
画出二次函数
y
1 2
(x
1) 2 、
y
1 2
(x
1)2
的图像,
并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点.:
解: 先列表 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
描点
y 1 (x 1)2 …
2
-2 -0.5
0 -0.5
-2 -4.5 -8
…
y 1 (x 1)2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 …
2.抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下平移 |k|得到. (k>0,向上平移;k<0向下平移.)
抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平 移|h|得到. (h>0,向右平移;h<0向左平移.)
3.抛物线y=ax2+k有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向下;
h>0
h<0
h>0
h<0
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
直线ｘ＝ｈ
(ｈ,0)
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
例1. 填空题
（1）二次函数y=2（x+5）2的图像是 抛物线，开 口 向上 ，对称轴是直线x= -，5 当x= -5 时，y有最 小 值， 是0 .
2
2个单位
2
2个-2 单位
2
顶点(－2,0)
向左平移 2个单位
顶点(0,0)
向右-3 平移 2个-4 单位
顶点(2,0)
直线x=－2
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2 1
-3 -2 -1 0-1 1 2 3 x -2 -3 -4 1 x 2 y -5 2 1 1 2 y ( x 1) -6 y ( x 1) 2 2 -7 2 -8
探究
三、观察三条抛物线： (4)顶点各是什么？ y
2 1
-3 -2 -1 0-1 1 2 3 x -2 -3 -4 1 x 2 y -5 2 1 1 2 y ( x 1) -6 y ( x 1) 2 2 -7 2 -8
·· -4 -3 -2 -1 0 · ·· · ·· ·
9 2
1 －2 0
1 2
2
9 2 1 2
3 －2
9 2
4
9 2
·· · ·· · ·· ·
－2
9 2
1 2 9 2
0 －2
1 2
1 2 1 2
·· ·
－2
0
－2
·· ·
1 1 ( x 1) 2 y 可以看出，抛物线 y ( x 1) 2 2 2
2
5、二次函数 y 2( x 3) 是由二次函 数 向左平移3个单位得到的。
2
探究
三、观察三条抛物线： (1)开口方向是什么？ y
2 1
-3 -2 -1 0-1 1 2 3 x -2 -3 -4 1 x 2 y -5 2 1 1 2 y ( x 1) -6 y ( x 1) 2 2 -7 2 -8
归纳 用平移观点看函数： 抛物线 y a( x h) 可以看作是由 2 抛物线 y ax 平移得到。 y
2
(1)当h>0时，向右平移 h 个单位； (2)当h<0时，向左平移 h 个单位。
o
x
巩固
4、二次函数 y ( x 2) 是由二次函 2 数 y x 向 平移 个单位得到的。
2
(1)形状、对称轴、顶点坐标；
(2)开口方向、极值、开口开口方向：当a＞0时，开口向上; 当a＜0时，开口向下； （2）对称轴： 对称轴直线x=h; （3）顶点坐标： 顶点坐标是（h，0） （4）函数的增减性： 当a＞0时， 对称轴左侧y随x增大而减小， 对称轴右侧y随x增大而增大； 当a＜0时， 对称轴左侧y随x增大而增大， 对称轴右侧y随x增大而减小。
做一做:
抛物线
y =2(x+3)2
开口方向 向上 向下 向下
对称轴 直线x=-3 直线x=1 直线x=3
y = -3(x-1)2 y = -4(x-3)2
顶点坐标 ( -3 , 0 ) (1,0) ( 3, 0)
填空： 1、由抛物线y=2x² 左 平移 1 个单位可得 向 到y= 2(x+1)2 2、函数y= -5(x -4)2 的图象。可以由抛物线 y=-5x2 向 右 平移 4 个单位而得到的。它 （4，0） 的顶点坐标为 ;对称轴为 直线x=4 .
（3）它们的 1 2 位置由什么 y x 决定的？ 2 它们的位置 是由h决定的。
1 y ( x 1) 2 2
4
6
x 8
1 y ( x 1) 2 2
探究
二、关于三条抛物 线，你有什么看法？ 左右平移得到
y
2 1 -4 -3 -2 -1-1 1 2 3 4 0 x -2 -3 -4 1 x 2 y -5 2 1 1 2 2 y ( x 1) -6 y ( x 1) 2 -7 2 -8
和顶点。 先列表：
x
1 y ( x 1) 2 2 1 y ( x 1) 2 2
·· -4 -3 -2 -1 0 ·
·· · ·· ·
9 2
1
－2
2
9 2 1 2
3
4
·· ·
·· ·
－2
1 2 9 2
0
－2
1 2 1 2
0
－2
9 2
·· ·
x
1 y ( x 1) 2 2 1 y ( x 1) 2 2 1 2 y x 2
1 1 2 y x 向左平移1个单位，就得到抛物线 y ( x 1) 2 把抛物线 2 2 1 1 2 y ( x 1) 2 把抛物线 y x 向右平移1个单位，就得到抛物线 2 y 2
1 0 -8 -6 -4 -2 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 2
探究
三、观察三条抛物线： (5)增减性怎么样？ y
2 1
-3 -2 -1 0-1 1 2 3 x -2 -3 -4 1 x 2 y -5 2 1 1 2 y ( x 1) -6 y ( x 1) 2 2 -7 2 -8
归纳与小结
二次函数y = a﹙x-h﹚2的性质:
26.1.3 2 二次函数y=a(x-h) 的图象及其性质
复习
1 2 1、抛物线 y x 向上平移3个单位， 3 得到抛物线 ；
2、抛物线 y 2 x 4 向 平移 2 单位，得到抛物线 y 2 x 3。
2
个
复习 用平移观点看函数： 抛物线 y ax c 可以看作是由 2 2 抛物线 y ax 平移得到。 y ax c y (c 0) (1)当c>0时，向上平移 2 y ax c 个单位； 2 y ax c (2)当c<0时，向下平移 (c 0) c 个单位； o x
拓展提高
1、将抛物线 y ax 向左平移后，所得 新抛物线的顶点横坐标为-2，且新抛物 线经过点(1，3)，求a的值。
2
2、将抛物线 y 2 x 左右平移，使得 它与x轴相交于点A，与y轴相交于点B。 若△ABO的面积为8，求平移后的抛物 线的解析式。
2
小结
二次函数 y a( x h) 的图象及性质：
2
复习
3、指出下列函数的开口方向、顶点坐 、 标、对称轴及增减性：
3 (1) y 2 x 4 1 2 (2) y 3x 2
2
1 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 y ( x 1) 2 2 1 y ( x 1) 2 的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴 和 2
探究
三、观察三条抛物线：
y
2 1
(2)开口大小有没有 -3 -2 -1 0-1 1 2 3 变化？
x
-2 -3 -4 1 x 2 y -5 2 1 1 2 y ( x 1) -6 y ( x 1) 2 2 -7 2 -8
探究
三、观察三条抛物线： (3)对称轴是什么？ y
y
向下 的开口方向____、对称轴是经 过点(－1，0)且与x轴垂直的直 (1，0)
线，我们把它记作xx 1 ，顶点
●
1
●
● ●
o● ●
● ● ● ●
x
●
(－1，0) (1，0) 是__________。
●
●
●
1 2 1 1 2 2与抛物线 （2）抛物线 y ( x 1) , y ( x 1) y x 2 2 有什么位置关系？ 2
3、将抛物线y=ax2向右平移3个单位，且经过点 （1，4），求函数解析式。
1.函数y=-2（x+3）2的图象的对称轴是 ， 顶点坐标是 ，当x= 时，y有最 值 为 。 2.把二次函数y=-3x2往左平移2个单位，再与x轴 对称后，所形成的二次函数的解析式为 。
3、已知抛物线y=a(x+h)2的顶点是（-3，0）它是 由抛物线y=-4x2平移得到的，则a= ， h= 。 4、把抛物线y=(x+1)2向 平移 个 单位 后，得到抛物线y=(x-3)2 5、把抛物线y=x2+mx+n向左平移4个单位，得到抛 物线y=(x-1)2,则m= ,n= .
6.写出一个开口向上，对称轴为 x=-2，顶点在x轴上，并且与y轴交于点 （0，8）的抛物线解析式为 . 7.抛物线y=3(x-8)2最小值 .
8.抛物线y= -3(x+2)2与x轴y轴的交点 坐标分别为 . 9.已知二次函数y=8(x -2)2 当 时,y随x的增大而增大, 当 时，y随x的增大而减小.
范例
例1、已知抛物线 y a( x 2) 经过点 (1，3)，求： (1)抛物线的关系式； (2)抛物线的对称轴、顶点坐标； (3)x=3时的函数值； (4)当x取何值时，y随x的增大而增大。
2
• 说出下列二次 函数的开口方向、 对称轴、顶点坐标及增减性 (1) y=2(x+3)2 向上, x= - 3, ( - 3, 0) (2) y=-3(x -1)2 向下, x= 1, ( 1, 0) (3) y=5(x+2)2 向上, x= - 2, ( - 2, 0) (4) y= -(x-6)2 向下, x= 6, ( 6, 0) (5) y=7(x-8)2 向上, x= 8, ( 8, 0)
-3 -2 -1 0-1 1 2 3 x -2 -3 -4 1 x 2 y -5 2 1 1 2 y ( x 1) -6 y ( x 1) 2 2 -7 2 -8
探究
三、观察三条抛物线： (4)顶点各是什么？ y
2 1
-3 -2 -1 0-1 1 2 3 x -2 -3 -4 1 x 2 y -5 2 1 1 2 y ( x 1) -6 y ( x 1) 2 2 -7 2 -8
·· -4 -3 -2 -1 0 · ·· · ·· ·
9 2
1 －2 0
1 2
2
9 2 1 2
3 －2
9 2
4
9 2
·· · ·· · ·· ·
－2
9 2
1 2 9 2
0 －2
1 2
1 2 1 2
·· ·
－2
0
－2
·· ·
1 1 ( x 1) 2 y 可以看出，抛物线 y ( x 1) 2 2 2
2
5、二次函数 y 2( x 3) 是由二次函 数 向左平移3个单位得到的。
2
探究
三、观察三条抛物线： (1)开口方向是什么？ y
2 1
-3 -2 -1 0-1 1 2 3 x -2 -3 -4 1 x 2 y -5 2 1 1 2 y ( x 1) -6 y ( x 1) 2 2 -7 2 -8
归纳 用平移观点看函数： 抛物线 y a( x h) 可以看作是由 2 抛物线 y ax 平移得到。 y
2
(1)当h>0时，向右平移 h 个单位； (2)当h<0时，向左平移 h 个单位。
o
x
巩固
4、二次函数 y ( x 2) 是由二次函 2 数 y x 向 平移 个单位得到的。
2
(1)形状、对称轴、顶点坐标；
(2)开口方向、极值、开口开口方向：当a＞0时，开口向上; 当a＜0时，开口向下； （2）对称轴： 对称轴直线x=h; （3）顶点坐标： 顶点坐标是（h，0） （4）函数的增减性： 当a＞0时， 对称轴左侧y随x增大而减小， 对称轴右侧y随x增大而增大； 当a＜0时， 对称轴左侧y随x增大而增大， 对称轴右侧y随x增大而减小。
做一做:
抛物线
y =2(x+3)2
开口方向 向上 向下 向下
对称轴 直线x=-3 直线x=1 直线x=3
y = -3(x-1)2 y = -4(x-3)2
顶点坐标 ( -3 , 0 ) (1,0) ( 3, 0)
填空： 1、由抛物线y=2x² 左 平移 1 个单位可得 向 到y= 2(x+1)2 2、函数y= -5(x -4)2 的图象。可以由抛物线 y=-5x2 向 右 平移 4 个单位而得到的。它 （4，0） 的顶点坐标为 ;对称轴为 直线x=4 .
（3）它们的 1 2 位置由什么 y x 决定的？ 2 它们的位置 是由h决定的。
1 y ( x 1) 2 2
4
6
x 8
1 y ( x 1) 2 2
探究
二、关于三条抛物 线，你有什么看法？ 左右平移得到
y
2 1 -4 -3 -2 -1-1 1 2 3 4 0 x -2 -3 -4 1 x 2 y -5 2 1 1 2 2 y ( x 1) -6 y ( x 1) 2 -7 2 -8
和顶点。 先列表：
x
1 y ( x 1) 2 2 1 y ( x 1) 2 2
·· -4 -3 -2 -1 0 ·
·· · ·· ·
9 2
1
－2
2
9 2 1 2
3
4
·· ·
·· ·
－2
1 2 9 2
0
－2
1 2 1 2
0
－2
9 2
·· ·
x
1 y ( x 1) 2 2 1 y ( x 1) 2 2 1 2 y x 2
1 1 2 y x 向左平移1个单位，就得到抛物线 y ( x 1) 2 把抛物线 2 2 1 1 2 y ( x 1) 2 把抛物线 y x 向右平移1个单位，就得到抛物线 2 y 2
1 0 -8 -6 -4 -2 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 2
探究
三、观察三条抛物线： (5)增减性怎么样？ y
2 1
-3 -2 -1 0-1 1 2 3 x -2 -3 -4 1 x 2 y -5 2 1 1 2 y ( x 1) -6 y ( x 1) 2 2 -7 2 -8
归纳与小结
二次函数y = a﹙x-h﹚2的性质:
26.1.3 2 二次函数y=a(x-h) 的图象及其性质
复习
1 2 1、抛物线 y x 向上平移3个单位， 3 得到抛物线 ；
2、抛物线 y 2 x 4 向 平移 2 单位，得到抛物线 y 2 x 3。
2
个
复习 用平移观点看函数： 抛物线 y ax c 可以看作是由 2 2 抛物线 y ax 平移得到。 y ax c y (c 0) (1)当c>0时，向上平移 2 y ax c 个单位； 2 y ax c (2)当c<0时，向下平移 (c 0) c 个单位； o x
拓展提高
1、将抛物线 y ax 向左平移后，所得 新抛物线的顶点横坐标为-2，且新抛物 线经过点(1，3)，求a的值。
2
2、将抛物线 y 2 x 左右平移，使得 它与x轴相交于点A，与y轴相交于点B。 若△ABO的面积为8，求平移后的抛物 线的解析式。
2
小结
二次函数 y a( x h) 的图象及性质：
2
复习
3、指出下列函数的开口方向、顶点坐 、 标、对称轴及增减性：
3 (1) y 2 x 4 1 2 (2) y 3x 2
2
1 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 y ( x 1) 2 2 1 y ( x 1) 2 的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴 和 2
探究
三、观察三条抛物线：
y
2 1
(2)开口大小有没有 -3 -2 -1 0-1 1 2 3 变化？
x
-2 -3 -4 1 x 2 y -5 2 1 1 2 y ( x 1) -6 y ( x 1) 2 2 -7 2 -8
探究
三、观察三条抛物线： (3)对称轴是什么？ y
y
向下 的开口方向____、对称轴是经 过点(－1，0)且与x轴垂直的直 (1，0)
线，我们把它记作xx 1 ，顶点
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1
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o● ●
● ● ● ●
x
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(－1，0) (1，0) 是__________。
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1 2 1 1 2 2与抛物线 （2）抛物线 y ( x 1) , y ( x 1) y x 2 2 有什么位置关系？ 2
3、将抛物线y=ax2向右平移3个单位，且经过点 （1，4），求函数解析式。
1.函数y=-2（x+3）2的图象的对称轴是 ， 顶点坐标是 ，当x= 时，y有最 值 为 。 2.把二次函数y=-3x2往左平移2个单位，再与x轴 对称后，所形成的二次函数的解析式为 。
3、已知抛物线y=a(x+h)2的顶点是（-3，0）它是 由抛物线y=-4x2平移得到的，则a= ， h= 。 4、把抛物线y=(x+1)2向 平移 个 单位 后，得到抛物线y=(x-3)2 5、把抛物线y=x2+mx+n向左平移4个单位，得到抛 物线y=(x-1)2,则m= ,n= .
6.写出一个开口向上，对称轴为 x=-2，顶点在x轴上，并且与y轴交于点 （0，8）的抛物线解析式为 . 7.抛物线y=3(x-8)2最小值 .
8.抛物线y= -3(x+2)2与x轴y轴的交点 坐标分别为 . 9.已知二次函数y=8(x -2)2 当 时,y随x的增大而增大, 当 时，y随x的增大而减小.
范例
例1、已知抛物线 y a( x 2) 经过点 (1，3)，求： (1)抛物线的关系式； (2)抛物线的对称轴、顶点坐标； (3)x=3时的函数值； (4)当x取何值时，y随x的增大而增大。
2
• 说出下列二次 函数的开口方向、 对称轴、顶点坐标及增减性 (1) y=2(x+3)2 向上, x= - 3, ( - 3, 0) (2) y=-3(x -1)2 向下, x= 1, ( 1, 0) (3) y=5(x+2)2 向上, x= - 2, ( - 2, 0) (4) y= -(x-6)2 向下, x= 6, ( 6, 0) (5) y=7(x-8)2 向上, x= 8, ( 8, 0)