【精编】2017-2018年河南省南阳市高二(上)数学期中试卷和参考答案(理科)

2018学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A=，B={x|2x﹣x2≥0}，则A∩B=（）A．（0，1） B．[0，1]C．[0，1） D．（0，1]2．（5分）设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．ab2＜a2b C．D．3．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则c 等于（）A．4 B．3 C．D．4．（5分）等比数列{a n}的前n项和S n=t•3n﹣1+1，则t=（）A．﹣1 B．﹣3 C．D．15．（5分）甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食，两次粮食的价格不同，两位采购员的购粮方式也不同．其中，甲每次购粮用去1000元钱，乙每次购买1000kg的，谁的购粮方式更合算（）A．甲B．乙C．一样D．不能确定6．（5分）已知等比数列{a n}中，a2=2，则其前三项和S3的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．[6，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）7．（5分）如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（）A．20（+）海里/小时 B．20（﹣）海里/小时C．20（+）海里/小时 D．20（﹣）海里/小时8．（5分）已知a，b均为正数，且a+b=1，则+的最小值为（）A．24 B．25 C．26 D．279．（5分）已知方程x2﹣2ax+a2﹣4=0的一个实根在区间（﹣1，0）内，另一个实根大于2，则实数a的取值范围是（）A．0＜a＜4 B．1＜a＜2 C．﹣2＜a＜2 D．a＜﹣3或a＞110．（5分）小李年初向银行贷款M万元用于购房，购房贷款的年利率为P，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，问每年应还（）万元．（）A．B．C．D．11．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=x，b=，若△ABC 有两解，则x的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，2） C．D．12．（5分）设{a n}为等差数列，若，且它的前n项和S n有最小值，那么当S n取得最小正值时的n值为（）A．18 B．19 C．20 D．21二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知x，y满足，则z=x+2y的最大值是．14．（5分）设数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣7（n∈N*），则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|=．15．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，且=，则=．16．（5分）在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上一点，如图，∠BAD=75°，DC=1，AC=，则AB=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5）．（1）求f（x）的解析式；（2）若对于任意x∈R，不等式t•f（x）≤2恒成立，又已知t＜0，求t的取值范围．18．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知csinA=acosC．（1）求C；（2）若c=，且b=3a，求△ABC的面积．19．（12分）某工厂拟造一座平面为长方形，面积为200m2的三级污水处理池．由于地形限制，长、宽都不能超过16m，处理池的高度一定．如果池的四周墙壁的造价为400元/m，中间两道隔墙的造价为248元/m，池底的造价为80元m2，则水池的长、宽分別为多少米时，污水池的造价最低？最低造价为多少元？20．（12分）设S n是数列{a n}的前n项和，S n≠0，a1=1，a n+1+2S n S n+1=0．（1）求证：数列是等差数列，并求{a n}的通项；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．21．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，．已知．（1）求角B的大小；（2）设T=cos2A+cos2C，求T的取值范围．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．2018学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A=，B={x|2x﹣x2≥0}，则A∩B=（）A．（0，1） B．[0，1]C．[0，1） D．（0，1]【解答】解：集合A=={x|﹣3＜0}={x|＜0}={x|﹣1＜x＜1}，B={x|2x﹣x2≥0}={x|x（x﹣2）≤0}={x|0≤x≤2}，则A∩B={x|0≤x＜1}=[0，1）．故选：C．2．（5分）设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．ab2＜a2b C．D．【解答】解：A选项不正确，因为a=﹣2，b=1时，不等式就不成立；B选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；C选项正确，因为⇔a＜b，故当a＜b时一定有；D选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；选项正确，因为y=2x是一个增函数，故当a＞b时一定有2a＞2b，故选：C．3．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则c等于（）A．4 B．3 C．D．【解答】解：在△ABC中，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即12=4+c2﹣4c•，∴c=4，或c=﹣2 （舍去），故选：A．4．（5分）等比数列{a n}的前n项和S n=t•3n﹣1+1，则t=（）A．﹣1 B．﹣3 C．D．1【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和S n=t•3n﹣1+1，∴a1=S1=t+1，a2=S2﹣S1=（3t+1）﹣（t+1）=2t，a3=S3﹣S2=（9t+1）﹣（3t+1）=6t，∵a1，a2，a3是等比数列，∴，即（2t）2=（t+1）•6t，解得t=﹣3或t=0．（舍）故选：B．5．（5分）甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食，两次粮食的价格不同，两位采购员的购粮方式也不同．其中，甲每次购粮用去1000元钱，乙每次购买1000kg的，谁的购粮方式更合算（）A．甲B．乙C．一样D．不能确定【解答】解：假设两次购买时粮食的单价分别为m，n，则甲的平均价格为：=；乙的平均价格为：=，∵﹣==≥0恒成立，故甲的购粮方式更合算，故选：A．6．（5分）已知等比数列{a n}中，a2=2，则其前三项和S3的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．[6，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）【解答】解：∵等比数列{a n}中，a2=2，∴其前三项和S3=，当q＞0时，S3=≥2+2=6；当q＜0时，S3=≤2﹣2=2﹣4=﹣2．∴其前三项和S3的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）．故选：D．7．（5分）如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（）A．20（+）海里/小时 B．20（﹣）海里/小时C．20（+）海里/小时 D．20（﹣）海里/小时【解答】解：由题意知SM=20，∠NMS=45°，∴SM与正东方向的夹角为75°，MN与正东方向的夹角为60°∴∠SNM=105°∴∠MSN=30°，△MNS中利用正弦定理可得，．MN=∴货轮航行的速度v=海里/小时故选：B．8．（5分）已知a，b均为正数，且a+b=1，则+的最小值为（）A．24 B．25 C．26 D．27【解答】解：∵已知a，b均为正数，且a+b=1，∴+=（+）（a+b）=4+++9≥13+2=13+12=25，当且仅当2b=3a时取得等号，故+的最小值为25．故选：B．9．（5分）已知方程x2﹣2ax+a2﹣4=0的一个实根在区间（﹣1，0）内，另一个实根大于2，则实数a的取值范围是（）A．0＜a＜4 B．1＜a＜2 C．﹣2＜a＜2 D．a＜﹣3或a＞1【解答】解：令f（x）=x2﹣2ax+a2﹣4，∵方程x2﹣2ax+a2﹣4=0的一个实根在区间（﹣1，0）内，另一个实根大于2，∴，即，解得：1＜a＜2，故选：B．10．（5分）小李年初向银行贷款M万元用于购房，购房贷款的年利率为P，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，问每年应还（）万元．（）A．B．C．D．【解答】解：∵小李年初向银行贷款M万元用于购房，购房贷款的年利率为P，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，∴到第10年连本带利应还M（1+P）10元，而第k年还款x元，也还掉了这x元的（n﹣k）的利息，故有数列模型：（1+P）10M=x[（1+P）9+（1+P）8+…+（1+P）+1]，即（1+P）10M=x•，∴每年应还x=．故选：B．11．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=x，b=，若△ABC 有两解，则x的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，2） C．D．【解答】解：∵AC=b=，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，半径为的圆与BA有两个交点，当A=90°时圆与AB相切；当A=时交于B点，也就是只有一解，∴＜A＜，即＜sinA＜1，∵b=，B=，∴由正弦定理得：a=x=，又＜sinA＜1，∴2sinA∈（，2 ），则x取值范围是（，2 ）．故选：D．12．（5分）设{a n}为等差数列，若，且它的前n项和S n有最小值，那么当S n取得最小正值时的n值为（）A．18 B．19 C．20 D．21【解答】解：∵S n有最小值，∴d＞0，故可得a10＜a11，又：S20=10（a1+a20）=10（a10+a11）＞0，S19=19a10＜0∴S20为最小正值故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知x，y满足，则z=x+2y的最大值是5．【解答】解：画出x，y满足，表示的平面区域，如图所示；由解得A（﹣3，4），此时直线y=﹣x+z在y轴上的截距最大，所以目标函数z=x+2y的最大值为z max=﹣3+2×4=5．故答案为：5．14．（5分）设数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣7（n∈N*），则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|=58．【解答】解：∵a n=2n﹣7，∴n≤3时，a n＜0；n≥4时，a n＞0，∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|=5+3+1+1+3+5+…+13=58，故答案为：58．15．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，且=，则=．【解答】解：设S3=1，则S6=3，∵等差数列{a n}的前n项和为S n，则S3，S6﹣S3，S9﹣S6，S12﹣S9，成等差数列，∴S9=6，S12=10，∴=．故答案为：．16．（5分）在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上一点，如图，∠BAD=75°，DC=1，AC=，ABC中，已知B=45°，D是BC边上一点，如图，∠BAD=75°，DC=1，AC=，∴∠ADB=60°，∠ADC=120°，cos120°===﹣，解得AD=2，由正弦定理得：=，∴AB==．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5）．（1）求f（x）的解析式；（2）若对于任意x∈R，不等式t•f（x）≤2恒成立，又已知t＜0，求t的取值范围．【解答】解（1）由已知不等式f（x）＜0的解集是（0，5）．所以0，5是方程2x2+bx+c=0的两个根，由韦达定理知，，解得：∴f（x）=2x2﹣10x．（2）对任意x∈R，不等式t•f（x）≤2恒成立等价于2tx2﹣10tx≤2对x∈R恒成立即2tx2﹣10tx﹣2≤0恒成立因为t＜0，所以只需△=100t2+16t≤0所以所以t的取值范围是．18．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知csinA=acosC．（1）求C；（2）若c=，且b=3a，求△ABC的面积．【解答】解：（1）已知：csinA=acosC．由正弦定理，得，因为sinA≠0，解得，．（2）因为．由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC，解得a=1，b=3，△ABC的面积．19．（12分）某工厂拟造一座平面为长方形，面积为200m2的三级污水处理池．由于地形限制，长、宽都不能超过16m，处理池的高度一定．如果池的四周墙壁的造价为400元/m，中间两道隔墙的造价为248元/m，池底的造价为80元m2，则水池的长、宽分別为多少米时，污水池的造价最低？最低造价为多少元？【解答】解：设污水处理水池的长、宽分别为am，bm，总造价为y元，则ab=200，0＜a≤16，0＜b≤16，y=400（2a+2b）+248×2b+80×200=800a+1296b+16000=800a+1296•+16000，（0＜a≤16），易知函数是减函数，所以当时总造价最低．故最低造价为45000元．20．（12分）设S n是数列{a n}的前n项和，S n≠0，a1=1，a n+1+2S n S n+1=0．（1）求证：数列是等差数列，并求{a n}的通项；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．+2S n S n+1=0，【解答】解：（1）根据题意，a n+1﹣S n+2S n S n+1=0，则有S n+1=2S n S n+1，即S n﹣S n+1变形可得，∴数列是等差数列．由上知数列是以2为公差的等差数列，首项为，∴，∴．∴．综上，（2）由（Ⅰ）知=，∴，∴．21．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，．已知．（1）求角B的大小；（2）设T=cos2A+cos2C，求T的取值范围．【解答】解：（1）在△ABC中，，因为sinC≠0，所以sinBcosC=2sinAcosB﹣sinCcosB，所以2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，因为sinA≠0，所以，因为0＜B＜π，所以．（2），=，因为，所以，故，因此，所以：．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）S n=3n2+8n，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=6n+5，n=1时，a1=S1=11，∴a n=6n+5；∵a n=b n+b n+1，∴a n=b n﹣1+b n，﹣1=b n+1﹣b n﹣1．∴a n﹣a n﹣1∴2d=6，∴d=3，∵a1=b1+b2，∴11=2b1+3，∴b1=4，∴b n=4+3（n﹣1）=3n+1；（Ⅱ）c n========6（n+1）•2n，∴T n=6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①，∴2T n=6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1]②，①﹣②可得﹣T n=6[2•2+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1]=12+6×﹣6（n+1）•2n+1=（﹣6n）•2n+1=﹣3n•2n+2，∴T n=3n•2n+2．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

2017-2018学年上期高二期中考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知8a =，60B =°，75c =°，则b =（ ）A ．B ．C ．D ．3232.等比数列{}n a 中，若234a a +=，4516a a +=，则67a a +=（ ）A ．64B ．-64C ．32D ．-323.已知等差数列{}n a 中，公差2d =，11n a =，35n S =，则1a =（ ）A ．5或7B ．3或5C ．7或-1D ．3或-14.ABC ∆中，3AB =，4BC =，5CA =,则BA CA = （ ）A ．15B ．9 C.-15 D ．-95.已知a b c d 、、、成等比数列，且曲线247y x x =-+的顶点是(,)b c ，则ad 等于（ ）A ．5B ．6 C.7 D ．126.已知等差数列{}n a 的公差d 为整数，首项为13，从第五项开始为负，则d 等于（ ）A ．-4B ．-3 C.-2 D ．-17.已知ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知2a =，45A =°，若三角形有两解，则边b 的取值范围是（ ）A ．2b >B ．2b < C.2b << D ．2b <<8. ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知22tan tan a B b A =，则ABC ∆的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D ．等腰直角三角形9. 已知ABC ∆中，222sin sin sin sin sin B C A B C +-=-，则A =（ ）A ．60°B ．90° C.150° D ． 120°10.《九章算术》中有“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”这个问题中，甲所得为（ ）A ．54钱B ．43钱 C.32 钱 D ．53钱 11.设{}n a 为等差数列，39||||a a =，公差0d <，则使前n 项和n S 取得最大值时正整数n 等于（ ）A.4或5B.5或6C.6或7D.8或912.已知锐角ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若2a =，224b c bc +-=，则ABC ∆的面积的取值范围是（ ）A．(3 B．C. (3 D．(3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若3sin cos cos a b c A B C ===，则此三角形面积为 ．14. 数列{}n a 的首项12a =，123(2)n n a a n -=-≥，则7a = ．15.已知等差数列{}n a ，{}n b 前n 项和分别为n S 和n T ，若2113n n S n T n -=+，则1591326812a a a ab b b b ++++++= ． 16. 如图半圆O 的半径为1，P 为直径MN 延长线上一点，且2OP =，R 为半圆上任意一点，以PR 为一边作等边三角形PQR ，则四边形OPQR 面积最大值为___________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且满足cos 23cos()1A B C -+=.（1）求角A ；（2）若ABC ∆的面积S =5b =，求边a .18.已知等比数列{}n a 满足1192n n n a a -++= ，*n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不等式1n n S t a >- ，对一切*n N ∈恒成立，求实数t 的取值范围.19. 在等差数列{}n a 中，912213a a =+，25a =，其前n 项和为n S .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列1{}nS 的前n 项和n T ，并证明34n T <.20. 在锐角ABC ∆中，a b c 、、分别为角A B C 、、2sin c A =.（1）确定角C 的大小；（2）当1c =时，求ABC ∆周长的最大值.21. 轮船A 从某港口将一些物品送到正航行的轮船B 上，在轮船A 出发时，轮船B 位于港口O 北偏西30°且与O 相距20海里的P 处，并正以30海里的航速沿正东方向匀速行驶，假设轮船A 沿直线方向以V 海里/小时的航速匀速行驶，经过t 小时与轮船B 相遇.（1）若使相遇时轮船A 航距最短，则轮船A 的航行速度大小应为多少？（2）假设轮船A 的最高航速只能达到30海里/小时，则轮船A 以多大速度及什么航行方向才能在最短时间与轮船B 相遇，并说明理由.22.已知数列{}n a 及212()n n n f x a x a x a x =+++ ，且(1)(1)n n f n -=- ,1,2,3,n = .（1）求123a a a ，，的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证:11()133n f ≤<.理科数学（参考答案）一、选择题1-5:CADBB 6-10:ACCDB 11、12：BC二、填空题 13. 94 14. -61 15. 151616. 2+ 三、解答题17.解：（1）∵2(2cos 1)3(cos )1A A ---=解得cos 2A =-或12， ∵0A π<<， ∴1cos 2A =，∴3A π=. （2）∵1sin 2S bc A =，即15sin 23c π=⨯⨯， ∴8c =，∴22258a =+-258cos 3π⨯⨯⨯，解得7a =.18.解：设等比数列{}n a 公比为q ，∵1192n n n a a -++= ，*n N ∈，∴219a a +=，3218a a +=，∴32211829a a q a a +===+，∴1129a a +=，∴13a =， ∴132n n a -= . （2）由（1）知3(12)3(21)12n n n S -==--，∴13(21)321n n t -->⨯⨯-，即 12232n t -<-⨯对一切*n N ∈恒成立. 令12()232n f n -=-⨯，则()f n 随n 的增大而增大. ∴min 24()(1)233f n f ==-=， ∴43t <，∴实数t 的取值范围是4(,)3-∞. 19.解：（1）设等差数列的公差为d ，则由92213a a =+及等差数列的通项公式，得1512a d +=，又214a a d =+=，解得13a =，2d =，则21n a n =+；（2）由（1）知22n S n n =+， 即2112n S n n =+1111()(2)22n n n n ==⨯-++， 则1211111n n n T S S S S -=++++ 1111[(1)()2324=⨯-+-++ 1111()()]112n n n n -+--++ 1111(1)2212n n =⨯+--++3111()4212n n =-⨯+++. 所以34n T <. 20.解：（12sin c A =及正弦定理得，sin sin a A c c ==. ∵sin 0A ≠，∴sin C =. ∵ABC ∆是锐角三角形，∴3C π=. （2）∵2sin sin sin a b c A B C===，∴2(sin sin )a b c A B ++=+)6A π=+. ∵ABC ∆是锐角三角形，∴62A ππ<<，故sin()126A π<+≤， 所以ABC ∆周长的取值范围是(3.21.解：（1）设相遇时轮船A 航行的距离为S 海里，则S ==∴当13t =时，min S =3V == 即轮船A以/小时的速度航行，相遇时轮船A 航距最短.（2）设轮船A 与轮船B 在Q 处相遇，则222400900v t t =+-23020cos(9030)t ⨯⨯⨯-°°， 即22600400900v t t=-+. ∵030V <≤， ∴2600400900900t t -+≤，即2230t t -≤，解得23t ≥，又23t =时30V =， ∴30V =时，t 最小且为23，此时POQ ∆中20OP OQ PQ ===， ∴航向为北偏东30°，航速为30海里/小时，轮船A 能在最短时间与轮船B 相遇.22.解：（1）由已知11(1)1f a -=-=-，所以11a =.212(1)2f a a -=-+=，所以23a =.3123(1)3f a a a -=-+-=-，所以35a =.（2）令1x =-，则212(1)(1)(1)(1)n n n f a a a -=-+-++- ，①211121(1)(1)(1)(1)(1)n n n n n f a a a a +++-=-++-++-+- ，②两式相减，得111(1)(1)(1)n n n n a f f +++-=---= 1(1)(1)(1)n n n n +-+--， 所以1(1)n a n n +=++,即121n a n +=+，又11a =也满足上式，所以数列{}n a 的通项公式为21(1,2,3,)n a n n =-= .（3）2335(21)n n f x x x x n x =++++- ， 所以2311111()3()5()(21)()33333n n f n =++++- ，③ 2341111111()()3()5()(21)()333333n n f n +=++++- ，④ ①-②得2312111111()2()2()2()(21)()3333333n n n f n +=++++-- ， 所以11()133n n n f +=-.又1,2,3,n = ，∴103n n +>，故1()13n f <. 又111121()()0333n n n n f f +++--=>， 所以1{()}3n f 是递增数列，故1111()()333n f f ≥=. 所以11()133n f ≤<.。

2017-2018学年秋南阳市高二理科数学期中试题一、选择题（本大题满分60分，每小题5分）：1、已知：全集{}12>=x x U ，集合{}0342<+-=x x x A ，则=A C U （ C ） A 、(1,3) B 、),3[)1,(+∞-∞ C 、),3[)1,(+∞--∞ D 、),3()1,(+∞--∞3、已知：1>x ，则1-+x x 的最小值为（ B ） A 、4 B 、5 C 、6 D 、7 提示：5114)1(21]14)1[(14=+-⋅-≥+-+-=-+x x x x x x 4、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 4＋a 6＝15，则S 7的值是(B ) A 、28B 、35C 、42D 、7提示：4622a a a =+，54=a ，3572)(74717==+=a a a S 5、已知：数列}{n a 为等比数列，其前n 项和t S n n +=-13，则t 的值为（ C ）A 、1-B 、3-C 、31- D 、1 提示：t t S n n n +⋅=+=-33131，31-=t 或者利用t S n n +=-13求出数列前三项。

6、在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ D ） A 、b = 10，A = 45°，B = 60° B 、a = 60，c = 48，B = 120°C 、a = 7，b = 5，A = 75°D 、a = 14，b = 16，A = 45° 提示：A 选择支是“AAS ”，B 选择支是“SAS ”，显然只有一解。

7无理数表示有理数的一个范例。

由此，=5a （B ）A 、3B 、5C 、8D 、13提示：斐波那契数列：21--+=n n n a a a ，所以，只须求出1,121==a a8、已知在正项等比数列{a n }中，a 1＝1，a 2a 4＝16，则|a 1－12|＋|a 2－12|＋…＋|a 8－12|＝(B)． A 、224 B 、225 C 、226 D 、256 9、不等式11>++bx ax 的解集为),3()1,(+∞--∞ ，则不等式022<-+b ax x 的解集为（ A ）A 、)2,3(--B 、)31,21(--C 、),2()3,(+∞---∞D 、),31()21,(+∞---∞提示：11>++bx ax 得0)]1()1)[((>-+-+b x a b x ，由题知方程0)]1()1)[((=-+-+b x a b x 的二根为-1和3 ，易得：3,5-==b a10、在△ABC 中，若2222sin )sin(ba b a C B A +-=-，则△ABC 的形状是( D )． A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、等腰三角形 D 、等腰或直角三角形提示：)sin(sin B A C +=，易得B A b A B a cos sin cos sin 22=，所以B A 2sin 2sin =，故π=+=B A B A 2222或者11、某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天． 甲说：我在1日和3日都有值班; 乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是(C) A 、2日和5日 B 、5日和6日 C 、6日和11日 D 、2日和11日提示：1~12日期之和为78，三人各自值班的日期之和相等，故每人值班四天的日期之和是26，甲在1日和3日都有值班，故甲余下的两天只能是10号和12号；而乙在8日和9日都有值班，8+9=17，所以11号只能是丙去值班了。

2017-2018学年高二（上）期中数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．请将答案填涂在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效）1．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．512．（5分）以下赋值语句书写正确的是（）A．2=a B．a=a+1 C．a*b=2 D．a+1=a3．（5分）某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为（）A．12 B．13 C．14 D．154．（5分）有下面的程序，运行该程序，要使输出的结果是30，在处应添加的条件是（）A．i＞12 B．i＞10 C．i=14 D．i=105．（5分）在样本方差的计算公式s2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]中，数字10和20分别表示样本的（）A．样本容量，方差 B．平均数，样本容量C．标准差，平均数 D．样本容量，平均数6．（5分）如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均分为91，现场做的7个得分的茎叶图（如图）后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x表示，则x的值为（）A．0 B．4 C．5 D．78．（5分）在区间[1，6]上随机取一个实数x，使得2x∈[2，4]的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）从有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黒球与都是黒球B．至少有一个红球与都是红球C．至少有一个黒球与至少有1个红球D．恰有1个黒球与恰有2个黒球10．（5分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：若根据上表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，则表中m的值为（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.511．（5分）学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数和平均成绩分别是（）A．45，67 B．50，68 C．55，69 D．60，7012．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4时的值时，V3的值为（）A．﹣845 B．220 C．﹣57 D．34二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号（下面摘取了随机数表第7行至第9行）．84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．14．（5分）将二进制数101101（2）化为十进制数，结果为；再将结果化为8进制数，结果为．15．（5分）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于．16．（5分）某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填，输出的s=．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填在答题卡上对应题号的指定区域内）17．（10分）如图，在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，点P在边BC上沿B→C运动，求△ABP的面积小于4的概率．18．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．19．（12分）甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．20．（12分）某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如图该种产品日需求量的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值，并估计日需求量的众数；（Ⅱ）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天的需求量为x件（100≤x≤150），纯利润为S元．（ⅰ）将S表示为x的函数；（ⅱ）根据直方图估计当天纯利润S不少于3400元的概率．21．（12分）运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．22．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y 关于x 的线性回归方程=x +a ，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式：b=，a=﹣b ．参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．请将答案填涂在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效）1．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．51【分析】用459除以357，得到商是1，余数是102，用357除以102，得到商是3，余数是51，用102除以51得到商是2，没有余数，得到两个数字的最大公约数是51．【解答】解：∵459÷357=1…102，357÷102=3…51，102÷51=2，∴459和357的最大公约数是51，故选D．【点评】本题考查辗转相除计算最大公约数，本题是一个基础题，是在算法案例中出现的一个案例，近几年在新课标中出现，学生掌握的比较好，若出现一定会得分．2．（5分）以下赋值语句书写正确的是（）A．2=a B．a=a+1 C．a*b=2 D．a+1=a【分析】根据赋值语句的格式，逐一进行分析，即可得到答案．【解答】解：由赋值语句的格式我们可知，赋值语句的赋值号左边必须是一个变量，而右边的运算符号与平常书写的运算符号有所不同．A中左侧是常数，不是变量，格式不对；B中满足赋值语句的格式与要求，正确；C与D中左侧是运算式，不对；故选：B．【点评】本题考查赋值语句，通过对赋值语句定义和格式的把握直接进行判断即可，属于基础题．3．（5分）某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为（）A．12 B．13 C．14 D．15【分析】根据分层抽样的定义，即可得到结论．【解答】解：∵高一240人，高二260人，高三300人，∴按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为×40=13，故选：B．【点评】本题考查了分层抽样的定义和应用问题，是基础题．4．（5分）有下面的程序，运行该程序，要使输出的结果是30，在处应添加的条件是（）A．i＞12 B．i＞10 C．i=14 D．i=10【分析】先根据输出的结果推出循环体执行的次数，再根据s=2+4+6+…+10=30得到程序中UNTIL后面的“条件”．【解答】解：因为输出的结果是30，即s=2+4+6+…+10，需执行5次，则程序中UNTIL后面的“条件”应为i＞10．故选B．【点评】本题主要考查了直到型循环语句，语句的识别问题是一个逆向性思维，一般认为学习是从算法步骤（自然语言）至程序框图，再到算法语言（程序）．如果将程序摆在我们的面前时，从识别逐个语句，整体把握，概括程序的功能．5．（5分）在样本方差的计算公式s2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]中，数字10和20分别表示样本的（）A．样本容量，方差 B．平均数，样本容量C．标准差，平均数 D．样本容量，平均数【分析】方差计算公式：S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，n表示样本容量，为平均数，根据此公式即可得到答案．【解答】解：由于S2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]，所以样本容量是10，平均数是20．故选：D．【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．6．（5分）如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有43种，对于A、B两个方格，由于其大小有序，则可以在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A 方格，小的放进B方格，由组合数公式计算可得其填法数目，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，由分步计数原理可得其填法数目，最后由分步计数原理，计算可得填入A方格的数字大于B方格的数字的填法种数，利用古典概型的概率计算公式求概率．【解答】解：根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有44=256种，对于A、B两个方格，可在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，有C42=6种情况，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，则共有4×4=16种情况，则填入A方格的数字大于B方格的数字的不同的填法共有16×6=96种，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为p=．故选D．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，考查排列、组合的运用，注意题意中数字可以重复的条件，这是易错点，此题是基础题，也是易错题．7．（5分）将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均分为91，现场做的7个得分的茎叶图（如图）后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x表示，则x的值为（）A．0 B．4 C．5 D．7【分析】根据茎叶图提供的数据，去掉1个最高分和1个最低分后，利用公式求平均数可得x的值．【解答】解：选手的7个得分中去掉1个最高分96，去掉1个最低分86，剩余5个得分为88，93，90，94，（90+x）；它们的平均分为=91，∴x=0；故选：A．【点评】本题考查了利用茎叶图求平均数的问题，是基础题．8．（5分）在区间[1，6]上随机取一个实数x，使得2x∈[2，4]的概率为（）A．B．C．D．【分析】使2x∈[2，4]的区间为[1，2]，由此能求出使得2x∈[2，4]的概率．【解答】解：∵2=2¹，4=22∴使2x∈[2，4]的区间为[1，2]，∵x∈[1，6]，且[1，6]长为5，[1，2]长为1∴使得2x∈[2，4]的概率p=．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意几何概型的合理运用．9．（5分）从有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黒球与都是黒球B．至少有一个红球与都是红球C．至少有一个黒球与至少有1个红球D．恰有1个黒球与恰有2个黒球【分析】利用互斥事件和对立事件的概念求解．【解答】解：在A中，至少有一个黒球与都是黒球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在B中，至少有一个红球与都是红球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在C中，至少有一个黒球与至少有1个红球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在D中，恰有1个黒球与恰有2个黒球不能同时发生，可以同时不发生，两个事件是互斥而不对立事件．故选：D．【点评】本题考查互斥而不对立的两个事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件和对立事件的概念的合理运用．10．（5分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：若根据上表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，则表中m的值为（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.5【分析】先求样本中心点，再代入回归直线方程，即可求得m的值．【解答】解：由题意，，∵y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，∴2.5+0.25m=3.15+0.35，∴m=4．故选A．【点评】本题考查回归直线方程，解题的关键是利用回归直线方程恒过样本中心点，属于基础题．11．（5分）学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数和平均成绩分别是（）A．45，67 B．50，68 C．55，69 D．60，70【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，求出该班的学生数，再计算平均成绩．【解答】解：根据频率分布直方图，得；低于60分的频率是（0.005+0.01）×20=0.3，所以该班的学生人数为=50，；所以，该班的平均成绩为：30×0.005×20+50×0.01×20+70×0.02×20+90×0.015×20=68．故选：B．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，考查了求平均数的计算问题，是基础题目．12．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4时的值时，V3的值为（）A．﹣845 B．220 C．﹣57 D．34【分析】由于多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，可得当x=﹣4时，v0=3，v1=3×（﹣4）+5=﹣7，v2，v3即可得出．【解答】解：∵多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，当x=﹣4时，∴v0=3，v1=3×（﹣4）+5=﹣7，v2=﹣7×（﹣4）+6=34，v3=34×（﹣4）+79=﹣57．故选：C．【点评】本题考查了秦九韶算法计算多项式的值，考查了计算能力，属于基础题．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号785，667，199，507，175（下面摘取了随机数表第7行至第9行）．84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．【分析】找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，第二个数916要舍去，第三个数955也要舍去，第四个数667合题意，这样依次读出结果．【解答】解：找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，第二个数916它大于800要舍去，第三个数955也要舍去，第四个数667合题意，这样依次读出结果．故答案为：785、667、199、507、175【点评】抽样方法，随机数表的使用，考生不要忽略．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．14．（5分）将二进制数101101（2）化为十进制数，结果为45；再将结果化为8进制数，结果为55（8）．【分析】根据二进制转化为十进制的方法，分别用每位数字乘以权重，累加后即可得到结果；根据“除8取余法”的方法转化为对应的八进制数即可得到结果．【解答】解：101101（2）=1×20+0×21+1×22+1×23+0×24+1×25=1+4+8+32=45．．又45=8×5+5，∴45=55（8）故答案为：45，55．（8）【点评】本题以进位制的转换为背景考查算法的多样性，解题的关键是熟练掌握进位制的转化规则，属于基础题．15．（5分）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于60．【分析】根据比例关系设出各组的频率，在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，求出前三组的频率，再频数和建立等量关系即可．【解答】解：设第一组至第六组数据的频率分别为2x，3x，4x，6x，4x，x，则2x+3x+4x+6x+4x+x=1，解得，所以前三组数据的频率分别是，故前三组数据的频数之和等于=27，解得n=60．故答案为60．【点评】本小题考查频率分布直方图的基础知识，熟练基本公式是解答好本题的关键，属于基础题．16．（5分）某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填i＜7（或i≤6），输出的s=51．【分析】由题意该程序框图实际上是求该6名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故循环次数为6，由于第一次进行循环时，循环变量的初值为1，步长为1，故最后一次进入循环的终值应为6，故不难得到判断框中的条件及输出结果．【解答】解：由题意该程序框图实际上是求该6名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故判断框应填i≤6或i＜7，输出s的值为：9+13+11+7+5+6=51．故答案为：i＜7（或i≤6），51．【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填在答题卡上对应题号的指定区域内）17．（10分）如图，在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，点P在边BC上沿B→C运动，求△ABP的面积小于4的概率．【分析】利用线段的长度与面积的关系，直接利用几何概型求解即可．【解答】解：点P在BC边上沿B→C运动，落在BC上的任何一点都是等可能的．全部基本事件可用BC表示．…（2分）设事件M 为“△ABC面积小于4”，则事件M包含的基本事件可用长度为2的线段BP 表示，…（4分）由几何概型可知：即所求事件的概率为．…（10分）【点评】本题主要考查了几何概型．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解．18．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．【分析】（Ⅰ）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；（Ⅱ）先求基本事件总数，即从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出“A1被选中，而B1未被选中”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）设“至少参加一个社团”为事件A；从45名同学中任选一名有45种选法，∴基本事件数为45；通过列表可知事件A的基本事件数为8+2+5=15；这是一个古典概型，∴P（A）=；（Ⅱ）从5名男同学中任选一个有5种选法，从3名女同学中任选一名有3种选法；∴从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人的选法有5×3=15，即基本事件总数为15；设“A1被选中，而B1未被选中”为事件B，显然事件B包含的基本事件数为2；这是一个古典概型，∴．【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率的求法，分步计数原理的应用．19．（12分）甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60}做出集合对应的面积是边长为60的正方形的面积，写出满足条件的事件A═{（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60，|x﹣y|≤15}对应的集合和面积，根据面积之比得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，∵试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60}集合对应的面积是边长为60的正方形的面积SΩ=60×60，而满足条件的事件对应的集合是A={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60，|x﹣y|≤15}得到S A=60×60﹣（60﹣15）×（60﹣15）∴两人能够会面的概率P==，∴两人能够会面的概率是．【点评】本题的难点是把时间分别用x，y坐标来表示，从而把时间长度这样的一维问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型的几何概型问题．20．（12分）某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如图该种产品日需求量的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值，并估计日需求量的众数；（Ⅱ）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天的需求量为x件（100≤x≤150），纯利润为S元．（ⅰ）将S表示为x的函数；（ⅱ）根据直方图估计当天纯利润S不少于3400元的概率．【分析】（I）根据所有小矩形的面积之和为1，求得第四组的频率，再根据小矩形的高=求a的值；（II）利用分段函数写出S关于x的函数；根据S≥3400得x的范围，利用频率分布直方图求数据在范围内的频率及可得概率．【解答】解：（Ⅰ）由直方图可知：（0.013+0.015+0.017+a+0.030）×10=1，∴a=0.025，∵，∴估计日需求量的众数为125件；（Ⅱ）（ⅰ）当100≤x＜130时，S=30x﹣20（130﹣x）=50x﹣2600，当130≤x≤150时，S=30×130=3900，∴；（ⅱ）若S≥3400由50x﹣2600≥3400得x≥120，∵100≤x≤150，∴120≤x≤150，∴由直方图可知当120≤x≤150时的频率是（0.030+0.025+0.015）×10=0.7，∴可估计当天纯利润S不少于3400元的概率是0.7．【点评】本题考查了由频率分布直方图求频率与众数，考查了分段函数的值域与定义域，在频率分布直方图中小矩形的高=，所有小矩形的面积之和为1．21．（12分）运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．【分析】（I）算法的功能是求f（x）=的值，根据输入实数x 的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7求得a 、b ；（II ）分别在不同的段上求得函数的值域，再求并集．【解答】解：（Ⅰ）由程序框图知：算法的功能是求f （x ）=的值，∵输入x=﹣1＜0，输出f （﹣1）=﹣b=2，∴b=﹣2．∵输入x=3＞0，输出f （3）=a 3﹣1=7，∴a=2． ∴． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：①当x ＜0时，f （x ）=﹣2x ＞1，∴； ②当x ≥0时，f （x ）=2x ﹣1＞1，∴x ＞1．综上满足不等式f （x ）＞1的x 的取值范围为或x ＞1}．【点评】本题借助考查选择结构程序框图，考查了分段函数求值域，解题的关键是利用程序框图求得分段函数的解析式．22．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y 关于x 的线性回归方程=x +a ，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式：b=，a=﹣b ．【分析】（1）利用题目条件直接画出散点图即可．（2）利用条件求解回归直线方程的参数，即可．（3）利用回归直线方程求解推出结果即可．【解答】解：（1）散点图如图所示，…（3分）（2）由表中数据得：=52.5，=3.5，=3.5；=54，∴===0.7，，==3.5﹣0.7×3.5=1.05，∴=0.7x+1.05 …（8分）（3）将x=10代入回归直线方程，得=0.7×10+1.05=8.05（小时）预测加工10个零件需要8.05小时．…（12分）【点评】本题考查回归直线方程的求法，散点图的画法，考查计算能力．。

2017-2018学年河南省南阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本卷共12小题每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请将所选答案填在答题卷上）1．（5分）已知命题p：∃x＜0，x2＞0，那么￢p是（）A．∀x≥0，x2≤0B．∃x≥0，x2≤0C．∀x＜0，x2≤0D．∃x≥0，x2≤0 2．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a3=0，则公差d等于（）A．﹣1B．1C．2D．﹣23．（5分）设a，b∈R，则a＞b是（a﹣b）b2＞0的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）不等式≥3的解集是（）A．（0，1]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，0）C．（0，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）5．（5分）如图所示，为了测量某障碍物两侧A，B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A，B间距离的是（）A．α，a，b B．α，β，a C．a，b，γD．α，β，b 6．（5分）在空间直角坐标系中，给定点M（2，﹣1，3），若点A与点M关于xOy平面对称，点B与点M关于x轴对称，则|AB|=（）A．2B．4C．D．7．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．6B．7C．8D．238．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a2=2+3，a3=4+5+6，a4=7+8+9+10，…，则a10=（）A．610B．510C．505D．7509．（5分）如果椭圆+=1的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．x﹣2y=0B．x+2y﹣4=0C．2x+3y﹣12=0D．x+2y﹣8=0 10．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1、CD的中点，则点B到直线EF的距离为（）A．B．C．D．11．（5分）过椭圆C：的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F2，若，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．∪12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（﹣5，0）和C（5，0），顶点B在双曲线﹣=1，则的值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题每小题5分，共20分.）13．（5分）已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣10x+9=0的两个根，则S6=．14．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知sinAcosC=3cosAsinC且a2﹣c2=2b，则b=15．（5分）设x，y均为正数，且+=，则xy的最小值为．16．（5分）若直线y=k（x+1）（k＞0）与抛物线y2=4x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线的准线上的射影分别是M，N，若|BN|=2|AM|，则k的值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3.答非选择题时，必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．5.本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分110分，考试时间90分钟。

一．选择题(共12小题，每小题4分，满分48分，在每小题给出的四个选项中，1～8题只有一个选项正确，9～12题有多个选项正确，全部选对得4分，选不全的得2分，选错或不答得0分)1.下列说法中正确的是A.电荷在某处不受电场力的作用，则该处电场强度为零B.一小段通电导线在某处不受磁场力作用，则该处磁感应强度为零C.平行板电容器的电容与电容器所带的电荷量成正比，与两板间电压成反比D.一小段通电导线放在磁场中，导线受到的磁场力与该小段导线长度和电流乘积的比值，就是导线所在位置的磁感应强度大小2.下列说法正确的是A.电阻率仅与材料种类有关，与温度、压力等无关B.电阻率大的导体电阻一定大C.电动势越大的电源，储存的电能越多D.电动势越大的电源，单位电荷通过电源时有越多其它形式的能转化为电能3.如图所示，为电动机的简化模型，线圈abcd可绕轴O1O2自由转动，当线圈中通入如图所示的电流时，顺着O1O2的方向看去，线圈将A.逆时针转动B.顺时针转动C.仍然保持静止D.既可能顺时针转动，也可能逆时针转动4.如图所示，将三个质量相等的带电微粒分别以相同的水平速度由P 点射入水平放置的平行金属板间，已知上板带正电，下板接地，三个微粒分别落在图中A 、B 、C 三点，不计重力作用，则A.三个微粒在电场中运动时间相等B.三个微粒的带电量相同C.三个微粒所受电场力的大小关系A B C F F F >>D.三个微粒到达下板时的动能关系是kA KB KC E E E << 5.在如图所示电路中，当变阻器R 3的滑动头P 向a 端移动时A.电压表示数变大，电流表示数变小B.电压表示数变小，电流表示数变大C.电压表示数变大，电流表示数变大D.电压表示数变小，电流表示数变小6.如图，E =10V ，R 1=4Ω，R 2=6Ω，C =30μF ，电池内阻可忽略.闭合开光K ，稳定后通过R 1的电流为I ；然后将开关K 断开，断开后通过R 1的总电量为Q .则A.I =1A ，Q =1.2×10-4C B.I =2A ，Q =2×10-4C C. I =1.5A ，Q =3×10-4C D. I =1A ，Q =2×10-4C7.如图为三根通电平行直导线的断面图.它们的电流大小都相同，且ab =ac =ad ，则a 点的磁感应强度的方向是A.垂直纸面指向纸里B.垂直纸面指向纸外C.沿纸面由a 指向bD.沿纸面由a 指向d8.如图所示，带电粒子被加速电场加速后，进入速度选择器，速度选择器内的匀强磁场和匀强电场相互正交，磁场的磁感应强度为B ，电场的电场强度为E .平板S 上有可让粒子通过的狭缝P 和记录粒子位置的胶片A 1A 2．平板S 下方有磁感应强度为B 0的匀强磁场．下列表述正确的是A. 速度选择器中的磁场方向垂直纸面向内B.速度选择器中的磁场方向沿纸面向下C.能通过狭缝P 的带电粒子的速率等于EBD.粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P ，粒子的比荷越小9.如图所示，在点电荷Q 产生的电场中，实线MN 是一条方向未标出的电场线，虚线AB 是一个电子只在静电力作用下的运动轨迹．设电子在A 、B 两点的加速度大小分别为a A 、a B ，电势能分别为E pA 、E pB ．下列说法正确的是A.电子一定从A 向B 运动B.若a A ＞a B ，则Q 靠近M 端且为正电荷C.无论Q 为正电荷还是负电荷一定有E pA ＜E pBD. B 点电势可能高于A 点电势10.如图所示，电动势为E 、内阻为r 的电源与定值电阻R 0、滑动变阻器R 串联，已知R 0=r ，滑动变阻器的最大阻值是2r .当滑动变阻器的滑片P 由a 端向b 端滑动时，下列说法中正确的是A.电源的输出功率先变大后变小B.定值电阻R 0上消耗的功率先变大后变小C.滑动变阻器消耗的功率变小D.电源的效率变小11.如图所示是一个由电池、电阻R 、开关S 与平行板电容器组成的串联电路，S 闭合。

河南省南阳市八校2017-2018学年高二上学期期中联考数学试题（理科）1. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】得，，所以由正弦定理可知，，故选D。

2. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，其中，则角的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由余弦定理可知，，得，所以角最大值为，故选B。

3. 设，，若，则下列结论成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，则B、D错，排除；令，则C错，排除；故选A。

4. 如图，要测出山上信号发射塔的高，从山脚测得，塔顶的仰角为，塔底的仰角为，则信号发射塔的高为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知，，的、得，由正弦定理可知，，解得，故选B。

5. 已知数列的前项和为，且满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，得，，，又时，得，，所以，故选D。

6. 若数列满足，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，，故选C。

7. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，的面积为，则的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】A【解析】由得，，又，得，，所以，故选A。

8. 2017年国庆节期间，某数学教师进行了一次“说走就走”的登山活动，从山脚处出发，沿一个坡角为的斜坡直行，走了后，到达山顶处，是与在同一铅垂线上的山底，从处测得另一山顶点的仰角为，与山顶在同一铅垂线上的山底点的俯角为，两山，的底部与在同一水平面，则山高（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，由题可知，，所以，，，故选D。

点睛：解三角形的实际应用题型，首先是模型的建立，本题要根据题目条件，画出正确的几何图形模型，再根据题目的条件，利用解三角形的知识，进行目标的求解。

在本题中，可以根据条件的特殊性，直接利用三角形的几何特征求解。

9. 某船开始看见灯塔时在南偏东方向，后来船沿南偏东的方向航行后，看见灯塔在正西方向，则此时船与灯塔的距离是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设船开始位置为，最后位置为，灯塔位置为，则，，由正弦定理得：，即，解得，则这时船与灯塔的距离是，故选D.10. 已知数列为等差数列，，，则数列的前项和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，得，，所以时，；时，所以，故选C。

河南省南阳市数学高二上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）以下说法错误的是（）A . 直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是B . 空间内二面角的平面角的取值范围是C . 平面内两个非零向量的夹角的取值范围是D . 空间两条直线所成角的取值范围是2. （2分） (2019高三上·齐齐哈尔月考) 设直线：，：，若与平行，则的值为（）A .B . 0或C . 0D . 63. （2分） (2016高二上·武城期中) 圆（x+2）2+y2=5关于直线x﹣y+1=0对称的圆的方程为（）A . （x﹣2）2+y2=5B . x2+（y﹣2）2=5C . （x﹣1）2+（y﹣1）2=5D . （x+1）2+（y+1）2=54. （2分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BC1 ， CD1的中点，则下列说法错误的是（）A . MN与CC1垂直B . MN与AC垂直C . MN与BD平行D . MN与A1B1平行5. （2分）已知圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0与圆C2:x2+y2-4x-4y-2=0相交，则圆C1与圆C2的公共弦所在的直线的方程为（）A . x+2y+1=0B . x+2y-1=0C . x-2y+1=0D . x-2y-1=06. （2分）直线，当此直线在轴的截距和最小时，实数的值是（）A . 1B .C . 2D . 37. （2分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A . 17πB . 18πC . 60πD . 68π8. （2分） (2018高二上·铜梁月考) 一个直角梯形的两底长分别为2和5，高为4，绕其较长的底旋转一周，所得的几何体的体积为（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高二下·赤峰期末) 三棱锥的棱长全相等，是中点，则直线与直线所成角的正弦值为（）A .B .C .D .10. （2分）(2019·随州模拟) 已知圆C的方程为， .过点P作圆C的切线,切点分别为A,B两点.则最大为（）A .B .C .D .11. （2分）已知直线a∥平面α，直线a∥平面β，α∩β=b，直线a与直线b（）A . 相交B . 平行C . 异面D . 不确定12. （2分）对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线l1：ax＋3y＋6＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋6＝0与圆C：x2＋y2＋2x＝b2－1(b>0)的位置关系是“平行相交”，则实数b 的取值范围为（）A . ( ，)B . (0， )C . (0， )D . ( ，)∪( ，＋∞)二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2016·上海文) 已知平行直线，则的距离________.14. （1分） (2016高二下·安吉期中) 如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA=AB，则PB与AC所成的角是________．15. （1分）(2019·浙江模拟) 已知圆：（为正实数）上任意一点关于直线：的对称点都在圆上，则的最小值为________．16. （1分）(2018·邢台模拟) 若一个底面半径为1，高为2的圆柱的两个底面的圆周都在球的表面上，则球的表面积为________．三、解答题 (共6题；共52分)17. （10分） (2019高二上·青海月考) 已知圆经过，两点，且圆心在轴上.（1）求直线的方程；（2）圆的方程；18. （10分） (2018高二上·衢州期中) 在△ 中，已知，直线经过点．(Ⅰ)若直线 : 与线段交于点，且为△ 的外心，求△ 的外接圆的方程；(Ⅱ)若直线方程为，且△ 的面积为，求点的坐标．19. （10分） (2018高三上·昆明期末) 在三棱柱中，，侧棱平面ABC ，且分别是棱的中点，点F在棱AB上，且．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．20. （10分） (2019高三上·深圳月考) 如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形，平面PAB,, .M为PB的中点.（1）求证：PD//平面AMC；（2）求锐二面角B-AC-M的余弦值.21. （10分） (2019高一下·桂林期中) 已知是圆O：上两动点，且直线AB 与圆C：相切．（1）求与的夹角；（2）求的取值范围．22. （2分） (2019高三上·禅城月考) 在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程为 ( 为参数， )．（1）求直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程；（2）证明：直线l和曲线C相交，并求相交弦的长度．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共52分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。

2018年春期高中二年级期中质量评估数学试题（理）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知为虚数单位，复数，则以下为真命题的是（）A. 的共轭复数为B. 的虚部为C. D. 在复平面内对应的点在第一象限【答案】D【解析】,的共轭复数为,的虚部为, ,在复平面内对应的点为,故选D.2. 设，，都是正数，则三个数，，（）A. 都大于2B. 至少有一个大于2C. 至少有一个不小于2D. 至少有一个不大于2【答案】C【解析】分析：利用均值不等式，求解，即可得到结论．详解：由题意都是正数，则，当且仅当时，等号是成立的，所以中至少有一个不小于，故选C．点睛：本题主要考查了均值不等式的应用，其中解答中构造均值不等式的条件是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．3. 当在上变化时，导函数的符号变化如下表：14-0+0-则函数的图像大致形状为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：根据上表中导函数的取值，得到函数的单调性，即可选出图象．详解：由上表可知，当时，，所以函数在单调递减；当时，，所以函数在单调递增，所以函数如选项C所示，故选C．点睛：本题主要考查了函数的导数与函数图象的关系，正确理解导函数与原函数的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．4. 直线与曲线相切于点，则的值为（）A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】A【解析】由直线与曲线相切于点，则点满足直线的方程，即，即由，则，则，解得，故选A．5. 已知函数在处取得极大值10，则的值为（）A. B. C. -2或 D. -2【答案】B【解析】分析：由函数，求得，根据函数在处取得极大值，得方程组，即可求解的值，进而得到的值．详解：由函数，可得，因为函数在处取得极大值，则，即，解得或，经验证，当时，时取得极小值，不符合题意（舍去）所以，故选B．点睛：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值的应用，其中利用题设条件，列出方程组是解答的关键，其中对的值进行验证是解答的一个易错点，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．6. 利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由变到时，左边增加了（）A. 1项B. 项C. 项D. 项【答案】D【解析】试题分析：时左面为，时左面为，所以增加的项数为考点：数学归纳法7. 若曲线与曲线在交点处由公切线，则（）A. -1B. 0C. 2D. 1【答案】D【解析】分析：由曲线与曲线在交点出有公切线，根据斜率相等，求解，根据点在曲线上，求得，进而求得的值，即可求解．详解：由曲线，得，则，由曲线，得，则，因为曲线与曲线在交点出有公切线，所以，解得，又由，即交点为，将代入曲线，得，所以，故选D．点睛：本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中根据在点处的公切线，建立方程求解是解答的关键，，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．8. 若函数（）有最大值-4，则的值是（）A. 1B. -1C. 4D. -4【答案】B【解析】分析：由函数，得，要使得函数有最大值，则，进而得函数的单调性，得当时，函数取得最大值，即可求解．详解：由函数，则，要使得函数有最大值，则，则当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以当时，函数取得最大值，即，解得，故选B．点睛：本题主要考查了导数在函数问题中的应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数求解函数的最值等知识点的综合运用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．9. 函数在上有最小值，则实数的范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由函数，得，得到函数的单调性，再由，令，解得或，结合函数的图象，即可求解实数的取值范围；详解：由函数，得，当时，，所以在区间单调递增，当时，，所以在区间单调递减，又由，令，即，解得或，要使得函数在上有最小值，结合函数的图象可得，实数的取值范围是，故选C．点睛：本题主要考查了导数在函数中的应用，其中解答中利用导数研究函数的单调性和极值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．10. 将正奇数1,3,5,7，…排成五列（如下表），按此表的排列规律，2019所在的位置是（）A. 第一列B. 第二列C. 第三列D. 第四列【答案】C【解析】分析：由题意，得数字是第个奇数，又由数表可知，每行个数字，得第个奇数位于第行的第2个数，即可判定，得到结论．详解：由题意，令，解得，即数字是第个奇数，又由数表可知，每行个数字，则，则第个奇数位于第行的第2个数，所以位于第三列，故选C．点睛：本题主要考查了归纳推理和数列知识的应用，其中认真审题，读懂题意是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．11. 设定义在上的函数的导函数满足，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：由题意的，设，则，所以函数在上为单调递增函数，由，即可得到结果．详解：由定义在上的函数的导函数满足，则，即，设，则，所以函数在上为单调递增函数，则，即，所以，故选A．点睛：本题主要考查了函数值的比较大小问题，其中解答中根据题意构造新函数，利用导数得到新函数的单调性，利用单调性比较是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．12. 一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进3步，然后再后退2步的规律移动.如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上移动(1步的距离为1个单位长度).令表示第秒时机器人所在位置的坐标，且记,则下列结论中错误的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：由题意，按“前进步，然后再后退步”的步骤，发现机器人每秒为周期的移动方式，解出相应的数值，根据规律推导，即可得到结果．详解：由题意可知，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进步，然后再后退步的规律移动，所以机器人的移动方式具有以秒为周期的移动方式，且每秒前进个单位，所以是正确的；由，，所以是正确的；由，，所以是不正确，故选D．点睛：本题主要考查了数列的实际应用问题，其中解答中得到机器人的移动方式具有以秒为周期，且每秒前进个单位的移动规律是解答的关键，同时注意数轴上点的移动规律“左减右加”，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. __________．【答案】【解析】分析：先根据定积分的几何意义求出，再根据定积分计算出的值，即可求解结果．详解：因为表示以为圆心，以为半径的圆的四分之一，所以，所以．点睛：本题主要考查了定积分的几何意义及微积分基本定理的应用，其中熟记定积分的几何意义和微积分基本定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．14. 我们知道，在边长为的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，在棱长为的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值__________．【答案】【解析】类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，得棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，如图，不妨设O为正四面体ABCD外接球球心，F为CD中点，E为A在平面BCD上的射影，由棱长为a可以得到BF＝a，BO＝AO＝a－OE，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到BO2＝BE2＋OE2，把数据代入得到OE＝a，所以棱长为a的正四面体内任一点到各个面的距离之和为4×a＝a15. 已知函数（），若函数在上为单调函数，则的取值范围是__________．【答案】∪[1，＋∞)【解析】分析：求出原函数的导数，由函数在上为单调函数，得到时，或恒成立，分类参数引入新函数，即可求解．详解：由函数，得，因为函数在上为单调函数，所以时，或恒成立，即或在上恒成立，且，设，因为函数在上单调递增，所以或，解得或，即实数的取值范围是．点睛：本题主要考查了导数在函数中的应用，以及函数的恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．16. 定义：如果函数在区间上存在，（），满足，，则称函数在区间上市一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：根据题意得到，即方程在区间上有两个解，利用二次函数的性质即可求出的取值范围．详解：因为，所以，因为函数是区间上的双中值函数，所以区间上存在满足，所以方程在区间上有两个不相等的解，令，则，解得，所以实数的取值范围是．点睛：本题主要考查了函数的解得个数问题的应用，考查了导数在函数中的综合应用，把函数是区间上的双中值函数，方程在区间上有两个不相等的解是解答关键，着重考查了转化与化归思想，及函数与方程思想与推理与论证能力，试题有一定难度，属于中档试题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知是虚数单位，复数满足.（1）求；（2）若复数的虚部为2，且是实数，求.【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）根据题意，利用复数的除法运算，求解复数，进而求得复数的模；（2）设,由是实数，求解的值，即可求解复数．详解：（1）．（2）设,则,是实数∴．∴．点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数相等、复数的模等问题，其中熟记复数的基本概念和复数的四则运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．18. 设点在曲线上，从原点向移动，如果直线，曲线及直线所围成的两个阴影部分的面积分别记为，，如图所示.（1）当时，求点的坐标；（2）当有最小值时，求点的坐标.【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）设点的横坐标为，得点的坐标，利用定积分求解，利用，求得的值，即可求得点的坐标．（2）由（1）可求当，化简后，为的函数，再利用导数求得的最小值．详解：（1）设点P的横坐标为t（0＜t＜2），则P点的坐标为（t，t2），直线OP的方程为y=txS1=∫0t（tx﹣x2）dx=，S2=∫t2（x2﹣tx）dx=，因为S1=S2，，所以，点P的坐标为（2）S=S1+S2=S′=t2﹣2，令S'=0得t2﹣2=0，t=因为0＜t＜时，S'＜0；＜t＜2时，S'＞0所以，当t=时，S1＋S2有最小值，P点的坐标为．点睛：本题主要考查了定积分的应用及利用导数求解函数的最值问题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．19. 已知函数在与时都取得极值.（1）求，的值与函数的单调区间；（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】分析：（1）由，求得，由，求得的值，得到函数的解析式，利用导数即可求解函数的单调区间．（2）由题意，设，分和两种情况分类讨论，即可求解实数的取值范围．详解：（1）由，得，随着变化时，的变化情况如下表：↑极大值↓极小值↑所以函数的递增区间是与,递减区间是；（2），当时，由（1）知在上的最大值为所以只需要，得当时，由（1）知在上的最大值为所以只需要，解得所以综上所述，的取值范围为点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及恒成立问题的奇迹诶，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．20. 已知数列，，…，，为该数列的前项和.（1）计算，，，；（2）根据计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法证明.【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】试题分析：(1)由题中所给的条件计算可得：；(2)由题意归纳推理猜想，然后利用数学归纳法证得该结论成立即可.试题解析：（1）．（2）猜想，用数学归纳法证明如下：①当时，，猜想成立；②假设当时，猜想成立，即，当时，故当时，猜想成立．由①②可知，对于任意的，都成立．21. 已知函数.（1）证明；（2）如果对恒成立，求的范围.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】分析：（1）由题意，求得，又由，即可证得；由题意知恒成立，设，求得，可分和两种情况分类讨论，即可求解的取值范围．详解：（1）证明：故由题意知恒成立，设，则，符合题意，即，单调递减，不合题意，综上，的取值范围为．点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，其中利用导数求函数的单调性与最值(极值)，是解决函数的恒成立与有解问题常考点，同时注意数形结合思想的应用．22. 已知函数（为自然对数的底数）.（1）求函数的单调区间；（2）设函数，存在实数，，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；(2).【解析】分析：（1）确定函数的定义域，求到数，利用导数的正负，即可求解函数的单调区间；（2）假设存在，使得成立，则，分类讨论求最值，即可求实数的取值范围．详解：(1)∵函数的定义域为R，f′(x)＝－，∴当x<0时，f′(x)>0，当x>0时，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．(2)存在x1，x2∈[0,1]，使得2φ(x1)<φ(x2)成立，则2[φ(x)]min<[φ(x)]max.∵φ(x)＝xf(x)＋tf′(x)＋e－x＝，∴.①当t≥1时，φ′(x)≤0，φ(x)在[0,1]上单调递减，∴2φ(1)<φ(0)，即t>3－>1；②当t≤0时，φ′(x)>0，φ(x)在[0,1]上单调递增，∴2φ(0)<φ(1)，即t<3－2e<0；③当0<t<1时，若x∈[0，t)，φ′(x)<0，φ(x)在[0，t)上单调递减，若t∈(t,1]，φ′(x)>0，φ(x)在(t,1)上单调递增，∴2φ(t)<max{φ(0)，φ(1)}，即2·<max{1，}．(*)由(1)知，g(t)＝2·在[0,1]上单调递减，故≤2·≤2，而≤≤，∴不等式(*)无解．综上所述，存在t∈(－∞，3－2e)∪(3－，＋∞)，使得命题成立．点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用，其中解答中涉及到利用导数求解函数的单调区间，利用导数求解函数的最值及其应用，本题解答中把使得成立，转化为是解答的难点，着重考查了分类讨论的数学思想，及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．。