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高考数学知识点:变量间的相关关系-统计案例2016-04-22 15:15一、变量间的相关关系1．常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．2．从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．典型例题1：某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：1.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．2．由回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．3．使用K2统计量作2×2列联表的独立性检验时，要求表中的4个数据都要大于5，在选取样本容量时一定要注意．二、两个变量的线性相关1．从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．2．回归方程为3．求最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．4．相关系数，当r＞0时，表明两个变量正相关；当r＜0时，表明两个变量负相关．r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．典型例题2：1．相关关系的判断方法一是利用散点图直观判断，二是利用相关系数作出判断．2．对于由散点图作出相关性判断时，若散点图呈带状且区域较窄，说明两个变量有一定的线性相关性，若呈曲线型也是有相关性．3．由相关系数r判断时|r|越趋近于1相关性越强．三、独立性检验典型例题3：。
1122211()()()n ni i i i i i n ni ii i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑学 校： 年 级： 教学课题：统计案例 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：王光明教学目标 变量间的相关关系与统计案例教学内容考情分析从近三年高考试题分析，高考对本部分的考察多以散点图和相关关系为主，另外对线性回归方程与独立性检验在实际应用中的考察。
基础知识1.两个变量的线性相关：(1)正相关：在散点图中,点散布在从左下角到右上角的区域.对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为正相关.(2)负相关：在散点图中,点散布在从左上角到右下角的区域,两个变量的这种相关关系称为负相关.(3)线性相关关系、回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.2.最小二乘法：求回归直线使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法.3.回归方程方程ˆybx a =+是两个具有线性相关关系的变量的一组数据1122(,),(,),(,)n n x y x y x y 的回归方程,其中 4．回归分析的基本思想及其初步应用 (1)回归分析是对具有相关关系的两个 变量进行统计分析的方法，其常用的 研究方法步骤是画出散点图，求出回归直线方程，并利用回归直线方程进行预报．(2)对n 个样本数据(x 1，y 1)、(x 2，y 2)、…、(xn ，yn )，(,)x y 称为样本点的中心． (3)除用散点图外，还可以用样本相关系数r 来衡量两个变量x ，y 相关关系的强弱，1222211()()ni ii nni i i i x y nx yr x nx y n y ===-•=--∑∑∑当r ＞0，表明两个变量正相关，当r ＜0，表明两个变量负相关，r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系，通常|r |0.75>时，认为这两个变量具有很强的线性相关关系．5、用相关指数2R 来刻画回归的效果，公式是22121()1()niii nii y y R y y ==-=--∑∑2R的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果好5．独立性检验的基本思想及其初步应用(1)若变量的不同“值”表示个体所属的不同类型，则这类变量称为分类变量．(2)列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．(3)利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验独立性检验公式2K＝2()()()()()n ad bca b a c b d c d-++++注意事项1.(1)函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系．事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．(2)当K2≥3.841时，则有95%的把握说事A与B有关；当K2≥6.635时，则有99%的把握说事件A与B有关；当K2≤2.706时，则认为事件A与B无关．2.(1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义．(2)线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本数据估计而来的，存在误差，这种误差会导致预报结果的偏差；而且回归方程只适用于我们所研究的样本总体．(3)独立性检验的随机变量K2＝3.841是判断是否有关系的临界值，K2≤3.841应判断为没有充分证据显示事件A与B有关系，而不能作为小于95%的量化值来判断．题型一相关关系的判断【例1】对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是( )A. r2<r4<0<r3<r1B. r4<r2<0<r1<r3C. r4<r2<0<r3<r1D. r2<r4<0<r1<r3答案：A解析：由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知r 2<r 4<0<r 3<r 1.故选A.【变式1】 根据两个变量x ，y 之间的观测数据画成散点图如图所示，这两个变量是否具有线性相关关系________(填“是”与“否”)．[来源:学科网]解析 从散点图看，散点图的分布成团状，无任何规律，所以两个变量不具有线性相关关系． 答案 否题型二 独立性检验【例2】通过随机询问110名性别不同的行人，对过马路是愿意走斑马线还是愿意走人行天桥进行抽样调查，得到如下的列联表：男 女 总计 走天桥 40 20 60 走斑马线 20 30 50 总计60 50110由K 2＝n ad －dc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，算得K 2＝110×40×30－20×20260×50×60×50≈7.8.附表：P (K 2≥k )0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828对照附表，得到的正确结论是( )A. 有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”B. 有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别无关”C. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别无关”答案：A解析：∵K2＝110×40×30－20×20260×50×60×50≈7.8>6.635，∴有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”．【变式2】某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表：甲厂：分组[29.86，29．90)[29.90，29．94)[29.94，29．98)[29.98，30．02)[30.02，30．06)[30.06，30．10)[30.10，30．14)频数1263861829261 4 乙厂：分组[29.86，29．90)[来源:学。
高考文科数学变量间的相关关系统计案例课时跟踪练A组基础巩固1．对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1，2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(u i，v i)(i＝1，2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断()A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关解析：由题图(1)可知y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，故变量x与y负相关，由题图(2)知v随u的增大而增大，各点整体呈上升趋势，故变量v与u正相关．答案：C2．(2019·广东七校联考)某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得回归直线方程y＝b x＋a中的b＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量度数为()A．68B．67C．65 D．64解析：回归直线过点(x－，y－)，根据题意知x－＝18＋13＋10＋（－1）4＝10，y－＝24＋34＋38＋644＝40，将(10，40)代入y－＝－2x＋a^中，解得a^＝60，则y^＝－2x＋60，当x＝－4时，y^＝(－2)×(－4)＋60＝68，即当气温为－4 ℃时，用电量约为68度．答案：A3．(2019·石家庄一模)下列说法错误的是()A．回归直线过样本点的中心(x－，y－)B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1 C．对分类变量X与Y，随机变量K2的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小D．在回归直线方程y^＝0.2x＋0.8中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量y^平均增加0.2个单位解析：根据相关定义分析知A，B，D正确；C中对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越大，判断“X与Y有关系”的把握程度越大，故C错误．答案：C4．(2019·张家界模拟)已知变量x，y之间的线性回归方程为y^＝－0.7x＋10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是()A.变量x，yB．可以预测，当x＝20时，y^＝－3.7C．m＝4D．该回归线直线必过点(9，4)解析：由－0.7<0，得变量x，y之间呈负相关关系，故A正确；当x＝20时，y ^＝－0.7×20＋10.3＝－3.7，故B 正确；由表格数据可知x －＝14×(6＋8＋10＋12)＝9，y －＝14(6＋m ＋3＋2)＝11＋m 4，则11＋m 4＝－0.7×9＋10.3，解得m ＝5，故C 错误；由m ＝5，得y －＝6＋5＋3＋24＝4，所以该回归直线必过点(9，4)，故D 正确．答案：C5．通过随机询问110名性别不同的学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由K 2＝（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）算得，K 2＝110×（40×30－20×20）260×50×60×50≈7.8.附表：A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”解析：根据独立性检验的定义，由K2≈7.8＞6.635，可知我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关．”答案：A6．某车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y^＝0.67x＋54.9.6275．解析：由x－＝30，得y－＝0.67×30＋54.9＝75.设表中的“模糊数字”为a，则62＋a＋75＋81＋89＝75×5，即a＝68.答案：687．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K2≈3.918，经查临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.则下列结论中，正确结论的序号是________．①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③这种血清预防感冒的有效率为95%；④这种血清预防感冒的有效率为5%.解析：K2≈3.918>3.841，而P(K2≥3.814)≈0.05，所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．要注意我们检验的是假设是否成立和该血清预防感冒的有效率是没有关系的，不是同一个问题，不要混淆．答案：①8．在2019年1月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：归方程是y ^＝－3.2x ＋40，且m ＋n ＝20，则其中的n ＝________．解析：x －＝9＋9.5＋m ＋10.5＋115＝8＋m 5，y －＝11＋n ＋8＋6＋55＝6＋n 5，回归直线一定经过样本点中心(x －，y －)，即6＋n 5＝－3.2⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋m 5＋40，即3.2m ＋n＝42.又因为m ＋n ＝20，即⎩⎪⎨⎪⎧3.2m ＋n ＝42，m ＋n ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝10，n ＝10，故n ＝10.答案：109．(2019·惠州模拟)某市春节期间7家超市广告费支出x i (万元)和销售额y i (万元)，数据如下表：(1) (2)若用二次函数回归模型拟合y 与x 的关系，可得回归方程：y ^＝－0.17x 2＋5x ＋20，经计算，二次函数回归模型和线性回归模型的R 2分别约为0.93和0.75，请用R 2说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测A 超市广告费支出3 万元时的销售额．解：(1)b^＝＝2 794－7×8×42708－7×82＝1.7，所以a^＝y－－b^x－＝28.4，故y关于x的线性回归方程是y^＝1.7x＋28.4.(2)因为0.75＜0.93，所以二次函数回归模型更合适．当x＝3时，y^＝33.47.故选择二次函数回归模型更合适，并且用此模型预测A超市广告费支出3 万元时的销售额为33.47 万元．10．(2019·江门模拟)为探索课堂教学改革，江门某中学数学老师用“传统教学”和“导学案”两种教学方式分别在甲、乙两个平行班进行教学实验．为了解教学效果，期末考试后，分别从两个班级各随机抽取20名学生的成绩进行统计，得到如下茎叶图．记成绩不低于70分者为“成绩优良”．(1)请大致判断哪种教学方式的教学效果更佳，并说明理由；(2)构造一个教学方式与成绩优良的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”．独立性检验临界值表：解：(1)“理由1：乙班样本数学成绩大多在70分以上，甲班样本数学成绩70分以下的明显更多．理由2：甲班样本数学成绩的平均分为70.2；乙班样本数学成绩的平均分为79.05.理由3：甲班样本数学成绩的中位数为68＋722＝70；乙班样本数学成绩的中位数为77＋782＝77.5(2)2×2列联表如下：由上表可得K2＝20×20×26×14≈3.956>3.841，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”．B组素养提升11．(2019·肇庆模拟)已知x与y之间的一组数据：若y关于x的线性回归方程为y＝b x＋a，则a的值为()A．1.25 B．－1.25C．1.65 D．－1.65解析：由表中数据得x－＝2.5，y－＝4，x i2＝12＋22＋32＋42＝30, x i y i＝51.3，所以b^＝＝51.3－4×2.5×430－4×2.52＝2.26，a^＝y－－b^x－＝4－2.26×2.5＝－1.65，故选D.答案：D12．下列说法错误的是()A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好解析：根据相关关系的概念知A正确；当r>0时，r越大，相关性越强，当r<0时，r越大，相关性越弱，故B不正确；对于一组数据拟合程度好坏的评价，一是残差点分布的带状区域越窄，拟合效果越好；二是R2越大，拟合效果越好，所以R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好，C，D正确，故选B.答案：B13．(2019·青岛模拟)针对时下的“韩剧热”，某校团委对“学生性别和喜欢韩剧是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的12，男生喜欢韩剧的人数占男生人数的16，女生喜欢韩剧的人数占女生人数的23.若有95%的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有________人．解析：若有95%则k>3.841，即k＝3x2⎝⎛⎭⎪⎫x6·x6－5x6·x32x·x2·x2·x＝3x8>3.841.解得x>10.243.因为x6，x2为整数，所以若有95%的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有12人．答案：1214．(2017·全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；(3)附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）.解：(1)旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62. 因此，事件A的概率估计值为0.62.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表：K 2＝200×100×100×96×104≈15.705. 由于15.705＞6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50 kg 到55 kg 之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg 到50 kg 之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法．。
