中考数学考点跟踪训练47-方程与函数相结合型综合问题

初一数学下册综合算式专项练习题函数与方程的联系初一数学下册综合算式专项练习题：函数与方程的联系在初一数学下册中，综合算式是一个重要的学习内容，其中涉及到函数与方程的联系。

函数与方程是数学中的两个概念，它们之间有着密切的联系。

本文将通过一些综合算式专项练习题的解答，来深入探讨函数与方程的联系。

练习题一：已知函数f(f)=ff^2+ff+f，若函数的图象与直线f=f+1相交于点(2,3)，试求f、f、f的值。

解答：由于函数的图象与直线相交于点(2,3)，代入得方程3=2+1，解得方程f(2)=f(2)^2+f(2)+f=3，即4f+2f+f=3。

练习题二：求方程f^2−5f+4=0的根。

解答：将方程化为函数f(f)=f^2−5f+4=0，记为根函数f(f)。

则根函数的解为f(f)=0的f值，即f(f)=0的f值。

我们可以通过求解方程f(f)=0来求得根函数的解。

练习题三：已知函数f(f)=ff^3+ff^2+ff+f，若函数的图象与直线f=0相交于点(1,0)和点(−1,0)，求f、f、f、f的值。

解答：由于函数的图象与直线相交于点(1,0)和点(−1,0)，代入得方程0=f(1)^3+f(1)^2+f(1)+f=f+f+f+f=0，以及0=f(−1)^3+f(−1)^2+f(−1)+f=−f+f−f+f=0。

解这个方程组，可以得到f=0，f=0，f=0，f=0。

通过以上练习题的解答可以看出，函数与方程之间的联系十分紧密。

在练习题一中，通过函数与直线的交点来确定函数的参数；在练习题二中，我们将方程转化为函数来求解其根；在练习题三中，函数与直线的交点可以帮助我们求解函数的参数。

综合来说，函数与方程的联系体现在函数是方程的一种特殊形式，而方程是函数的解集。

函数通过方程来表示，在求解方程时，我们可以将它转化为函数的表达式，通过函数的性质来求解。

反过来，方程的解也是函数的零点，可以通过函数的图象与交点来求得。

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一个考向
代数几何综合题从内容上来说，是把代数中的数与式、 方程与不等式、函数、几何中的三角形、四边形、圆等图形 的性质，以及解直角三角形的方法、图形的变换、相似等内 容有机地结合在一起，同时也融入了开放性、探究性等问题， 如探究条件、探究结论、探究存在性等．经常考查的题目类 型主要有坐标系中的几何问题(简称坐标几何问题)，以及图 形运动过程中求函数解析式问题等．
【例 2】 (2012·连云港) 如图，抛物线 y＝－x2＋bx＋c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，点 O 为坐标原点， 点 D 为抛物线的顶点，点 E 在抛物线上，点 F 在 x 轴上， 四边形 OCEF 为矩形，且 OF＝2，EF＝3. (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)求△ABD 的面积； (3)将△AOC 绕点 C 逆时针旋转 90°， 点 A 对应点为点 G，问点 G 是否在 该抛物线上？请说明理由．
解答下列问题：如图②，抛物线顶点坐标为点 C(1，4)，交 x 轴于点 A(3，0)，交 y 轴于点 B. (1)求抛物线和直线 AB 的解析式； (2)点 P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连接 PA、
PB，当 P 点运动到顶点 C 时，求△CAB 的铅垂高 CD 及 S△CAB； 9
(3)是否存在一点 P，使 S△PAB＝8S△CAB？若存在，求出 P 点的坐 标；若不存在，请说明理由．
2≤x<3
2)．
故选 B.
【例 1】 阅读材料：如图①，过△ABC 的三个顶点分别作出与 水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽(a)”，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长 度叫△ABC 的“铅垂高(h)”．我们可得出一种计算三角形 1 面积的新方法：S△ABC＝2ah，即三角形面积等于水平宽与铅 垂高乘积的一半．

初三数学下册综合算式专项练习题函数方程的解法函数方程的解法是数学中的重要基础知识点，对于初三学生来说，掌握这一内容是非常重要的。

在下面的文章中，我将为大家介绍一些初三数学下册综合算式专项练习题函数方程的解法。

一、一元一次方程一元一次方程是函数方程的一种简单形式。

它的一般形式为ax + b = 0，其中a和b是已知常数，x是未知数。

解一元一次方程的基本步骤如下：1. 去括号：如果方程中有括号，需要先去括号。

2. 移项：将含有未知数x的项移到方程的一边，把常数项移到方程的另一边。

3. 合并同类项：对方程两边的同类项进行合并。

4. 系数化为1：将未知数的系数化为1，即将等号两边的未知数的系数化为1。

5. 求解方程：通过分析方程的形式，得到未知数x的值。

例如，解方程2x + 3 = 7：首先，去括号得到2x + 3 = 7。

然后，移项得到2x = 7 - 3，即2x = 4。

接着，合并同类项得到2x = 4。

然后，系数化为1得到x = 4 / 2，即x = 2。

所以，方程2x + 3 = 7的解为x = 2。

二、一元二次方程一元二次方程是函数方程中较为复杂的一种形式。

它的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c是已知常数，x是未知数。

解一元二次方程的基本步骤如下：1. 判别式：计算判别式Δ = b^2 - 4ac。

2. 讨论解的情况：根据判别式的大小，讨论方程有一组实数解、无实数解还是有两组实数解。

3. 求解方程：根据方程的形式，通过求根公式或配方法，求出方程的解。

例如，解方程x^2 - 2x - 3 = 0：首先，计算判别式Δ = (-2)^2 - 4(1)(-3)，得到Δ = 4 + 12，即Δ = 16。

然后，根据Δ的大小，讨论解的情况。

由于Δ大于0，所以方程有两组实数解。

接着，求解方程。

根据求根公式x = (-b ± √Δ) / (2a)，得到x = (2 ±√16) / (2)，即x = (2 ± 4) / 2。

中考复习之方程、不等式和函数的综合一、选择题：1.下列函数中，当x ＜0时，函数值y 随x 的增大而增大的有【 】 ①y=x ②y=－2x ＋1 ③1y=x- ④2y=3x A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个2.已知关于x 的方程22(x 1)(x b)2++-=有唯一实数解，且反比例函数1by x+=的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大，那么反比例函数的关系式为【 】 A. 3y x =-B. 1y x =C. 2y x =D. 2y x=- 3.已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么一次函数y bx c =+和反比例函数ay x=在同一平面直角坐标系中的图象大致是【 】A ．B ．C ． D4.二次函数2()y a x m n =++的图象如图，则一次函数y mx n =+的图象经过【 】 A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、三、四象限 5. 已知：M ，N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线1y=2x上，点N 在直线y=x+3上，设点M 的坐标为（a ，b ），则二次函数y=﹣abx 2+（a+b ）x 【 】A ．有最大值，最大值为92-B ．有最大值，最大值为92C ．有最小值，最小值为92D ．有最小值，最小值为92-二、解答题1.一辆警车在高速公路的A 处加满油，以每小时60千米的速度匀速行驶．已知警车一次加满油后，油箱内的余油量y （升）与行驶时间x （小时）的函数关系的图象如图所示的直线l 上的一部分． （1）求直线l 的函数关系式；（2）如果警车要回到A 处，且要求警车中的余油量不能少于10升，那么警车可2.“节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种生活方式，某家电商场计划用11.8万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共40台，三种家电的进价和售价如下表所示：（1）在不超出现有资金前提下，若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机的数量的3倍．请问商场有哪几种进货方案？（2）在“2012年消费促进月”促销活动期问，商家针对这三种节能型)品推出“现金每购满1000元送50元家电消费券一张、多买多送”的活动．在(1)的条件下若三种电器在活动期间全部售出，商家预估最多送出消费券多少张？3.在社会主义新农村建设中，衢州某乡镇决定对A、B两村之间的公路进行改造，并有甲工程队从A村向B 村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工3天，乙工程队再开始施工．乙工程队施工几天后因另有任务提前离开，余下的任务有甲工程队单独完成，直到公路修通．下图是甲乙两个工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）乙工程队每天修公路多少米？（2）分别求甲、乙工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数关系式．（3）若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需几天完成？4.温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球，某制笔企业欲将n件产品运往A，B，C三地销售，要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍，各地的运费如图所示。

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考点跟踪训练57 方程、函数与几何相结合型综合问题Ａ组基础过关练一、选择题1．(2013苏州）如图，菱形OABC的顶点C的坐标为(3,4)，顶点A在x轴的正半轴上,反比例函数y=错误!(x>0）的图象经过顶点B,则k的值为( )Ａ. 12 B．20Ｃ。

24 D. 32２. (2012福州)如图,过点C(1，２)分别作x轴、y轴的平行线,交直线y=-x＋6于A、B两点,若反比例函数y=＼f（ｋ,x）(x>0)的图像与△AＢＣ有公共点,则k的取值范围是（)A。

2≤k≤９B。

2≤k≤８C. 2≤k≤5D. 5≤k≤83．（2０14铜仁）如图所示,在矩形ＡBCD中，Ｆ是DＣ上一点,AE平分∠BＡF交BC于点E，且DＥ⊥AF，垂足为点M，BＥ＝3,AE＝2６，则ＭＦ的长是( )A。

错误!B。

错误!C．1 D。

错误!４。

(２0１4丽水)如图，AB=４，射线BＭ和ＡB互相垂直,点Ｄ是AB上的一个动点,点E在射线BM上，BE＝＼f(1，2)DB,作EF⊥ＤE并截取EF=DE，连接AF并延长交射线BM于点C．设ＢE＝x,BC＝ｙ,则ｙ关于x的函数解析式是( )A。

y＝-＼f(1２x,ｘ－4) B. y＝-＼f（2ｘ,x-1)Ｃ．y=-错误! D. y＝－错误!二、填空题５. (２01４黔东南）在如图所示的平面直角坐标系中,点P是直线y=x上的动点,A(1，0），B(2，０）是x轴上的两点,则PＡ+PＢ的最小值为＿＿__＿_＿_.6. (2014孝感)如图,Rt△ＡOＢ的一条直角边OB在x轴上,双曲线ｙ=错误!经过斜边OA的中点Ｃ，与另一直角边交于点D.若S△OＣD＝9，则S△ＯBD的值为____＿_＿_．７。

3.
【例 3】（2013·宁波）如图，在平面直角坐标系中， O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标 为（4，0），点C的坐标为（－4，0），点P在射线 AB上运动，连接CP与y轴交于点D，连接BD.过P，D， B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q 于点F，连接EF，BF.
（1）求直线AB的函数解析式；
解 (1)当 k＝－2 时，A(1，－2)， ∵点 A 在反比例函数图象上， m ∴设反比例函数的解析式为：y＝ ， x m 将 A(1，－2)代入得，－2＝ ，解得 m＝－2， 1 2 ∴反比例函数的解析式为：y＝－ . x
(2)要使反比例函数和二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大， 则 k＜0， 1 2 5 2 ∵二次函数 y＝k(x ＋x－1)＝k(x＋ ) － k， 2 4 1 对称轴为直线 x＝－ ， 2 2 要使二次函数 y＝k(x ＋x－1)满足上述条件， 在 k＜0 的情况下，x 必须在对称轴的左边， 1 即 x＜－ 时，才能使得 y 随着 x 的增大而增大． 2 1 ∴综上所述，k＜0 且 x<－ . 2
对应训练
（1）求抛物线的解析式； （2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O，B重 合），直线PC与抛物线交于D，E两点（点D在y轴右 侧），连接OD，BD. ①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标； ②求△BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标.
（1）若OA=10，求反比例函数解析式；
（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=12，求 OA的长和点C的坐标；
（3）在（2）中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于 点E（如图②），点P为直线EF上的一个动点，连接PA， PO.是否存在这样的点P，使以P，O，A为顶点的三角 形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标； 若不存在，请说明理由.

九年级数学下册综合算式专项练习题方程与函数的综合运用九年级数学下册综合算式专项练习题——方程与函数的综合运用一、简介方程与函数是九年级数学中的重要内容，是数学学习中的核心概念之一。

本文将针对九年级数学下册综合算式专项练习题进行分析和解答，旨在帮助同学们加深对方程与函数的理解和应用能力。

二、方程的应用1.问题一：苹果的单价问题描述：苹果市场价的1/4小于32元，求苹果的单价。

解答过程：设苹果的单价为x元，则根据题目中的条件可以建立方程：1/4x < 32解这个方程可得x < 32 × 4 = 128，因此苹果的单价小于128元。

2.问题二：年龄之和问题描述：某人今年的年龄是去年的2/3，求今年和去年的年龄之和。

解答过程：设去年的年龄为x岁，今年的年龄为2/3x岁，根据题目中的条件可以建立方程：x + 2/3x = x(1 + 2/3) = 5/3x因此，今年和去年年龄之和为5/3x岁。

三、函数的应用1.问题一：线性函数问题描述：某商店促销活动中，商品售价与销量之间的关系可以用线性函数y = 50 - 2x表示，其中x为商品销量（单位：件），y为商品售价（单位：元）。

求当销量为30件时商品售价为多少。

解答过程：代入x = 30到函数中，可得y = 50 - 2 × 30 = 50 - 60 = -10因此，当销量为30件时，商品售价为10元。

2.问题二：二次函数问题描述：投掷一个石子，其高度（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系可以用二次函数y = -5t^2 + 10t + 20表示。

求石子达到的最高高度和达到最高高度的时间点。

解答过程：由二次函数的顶点公式可知，最高点的坐标为(t, y) = (-b/2a, f(-b/2a))，其中a = -5，b = 10。

代入到公式中，可得：t = -10 / (2 × -5) = 1（秒）y = -5 × 1^2 + 10 × 1 + 20 = 25（米）因此，石子达到的最高高度为25米，达到最高高度的时间点为1秒。

考点跟踪训练47 方程与函数相结合型综合问题一、选择题(每一小题6分，一共30分)1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－1与x轴的交点的个数是( ) A．3 B．2C．1 D．02．(2021·)如下图的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：(1)b2－4ac>0；(2)c>1；(3)2a错误．．的有( )A．2个 B．3个C．4个 D．1个3．(2021·)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的两个实数根x1、x2满足x1＋x2＝4和 x1·x2＝3，那么二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象有可能是( )4．(2021·)如图为反比例函数y ＝1x在第一象限的图象，点A 为此图象上的一动点，过( )A ．4B ．3C ．2D ．15．(2021·)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1(a≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点(－1，0)．设 t ＝a ＋b ＋1，那么t 值的变化范围是( )A ．0＜t ＜1B ．0＜t ＜2C ．1＜t ＜2D ．－1＜t ＜1二、填空题(每一小题6分，一共30分)6.(2021·)如图，直线y ＝kx ＋b 经过A(3，1)和B(6，0)两点，那么不等式组0＜kx ＋b ＜13x 的解集为________．7．关于x 的分式方程 a ＋2x ＋1＝1的解是非正数，那么a 的取值范围是________．8．(2021·)新定义：[a ，b]为一次函数y ＝ax ＋b(a≠0，a 、b 为实数)的“关联数〞．假设“关联数〞[1，m －2]的一次函数是正比例函数，那么关于x 的方程1x －1＋1m＝1的解为 ______________．9．(2021·黔东南)设函数y ＝x －3与y ＝2x 的图象的两个交点的横坐标为a 、b ，那么1a ＋1b＝ ________．10．(2021·)如图，第一象限内的图象是反比例函数y ＝1x图象的一个分支，第二象 限内的图象是反比例函数y ＝－2x图象的一个分支，在x 轴的上方有一条平行于x 轴的 直线l 与它们分别交于点A 、B ，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D.假设四边 形ABCD 的周长为8且AB ＜AC ，那么点A 的坐标为________．三、解答题(每一小题20分，一共40分)11．假如一个二次函数的图象经过点A(6，10)，与x 轴交于B 、C 两点，点B 、C 的横坐标 为x 1、x 2，且x 1＋x 2＝6，x 1·x 2＝5.求这个二次函数的解析式．12．(2021·)关于x 的一元二次方程(x －m)2＋6x ＝4m －3有实数根．(1)求m 的取值范围；(2)设方程的两实根分别为x1与x2，求代数式x1·x2－x21－x22的最大值．四、附加题(一共20分)13．(2021·)(1)一元二次方程x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0)的两根为x1、x2.求证：x1＋x2＝－p，x1·x2＝q；(2)抛物线y＝x2＋px＋q与x轴交于A、B两点，且过点(－1，－1)，设线段AB的长为d，当p为何值时，d2获得最小值，并求出最小值．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

考点跟踪训练57 方程、函数与几何相结合型综合问题A 组 根底过关练一、选择题1. (2021)如图，菱形OABC 的顶点C 的坐标为(3，4)，顶点A 在x 轴的正半轴上，反比例函数y ＝kx(x ＞0)的图象经过顶点B ，那么k 的值是( )A. 12B. 20C. 24D. 322. (2021)如图，过点C(1，2)分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y ＝－x ＋6于A 、B 两点，假设反比例函数y ＝kx(x ＞0)的图像与△ABC 有公一共点，那么k 的取值范围是( )A. 2≤k ≤9B. 2≤k ≤8C. 2≤k ≤5D. 5≤k ≤83. (2021)如下图，在矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，AE 平分∠BAF 交BC 于点E ，且DE⊥AF，垂足为点M ，BE ＝3，AE ＝26，那么MF 的长是( )A. 15B. 1510C. 1D.15154. (2021)如图，AB ＝4，射线BM 和AB 互相垂直，点D 是AB 上的一个动点，点E 在射线BM 上，BE ＝12DB ，作EF⊥DE 并截取EF ＝DE ，连接AF 并延长交射线BM 于点C.设BE ＝x ，BC＝y ，那么y 关于x 的函数解析式是( )A. y ＝－12x x －4B. y ＝－2xx －1C. y ＝－3x x －1D. y ＝－8xx －4二、填空题5. (2021黔东南)在如下图的平面直角坐标系中，点P 是直线y ＝x 上的动点，A(1，0)，B(2，0)是x 轴上的两点，那么PA ＋PB 的最小值为________．6. (2021)如图，Rt △AOB 的一条直角边OB 在x 轴上，双曲线y ＝kx经过斜边OA 的中点C ，△OCD＝9，那么S △OBD 的值是________．7. (2021)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝16cm ，AD 为BC 边上的高．动点P从点A 出发，沿A→D 方向以2cm /s 的速度向点D 运动．设△ABP 的面积为S 1，矩形PDFE 的面积为S 2，运动时间是为t 秒(0＜t ＜8)，那么t ＝________秒时，S 1＝2S 2.8. (2021)如图，边长为n 的正方形OABC 的边OA 、OC 在坐标轴上，点A 1、A 2…A n －1为OA 的n 等分点，点B 1、B 2…B n －1为CB 的n 等分点，连接A 1B 1、A 2B 2…A n －1B n －1，分别交曲线y ＝n －2x (x ＞0)于点C 1、C 2…C n －1.假设C 15B 15＝16C 15A 15，那么n 的值是________．(n 为正整数)B 组 才能提升练1. (2021)如图，直线y ＝12x 与双曲线y ＝k x (k ＞0，x ＞0)交于点A ，将直线y ＝12x 向上平移4个单位长度后，与y 轴交于点C ，与双曲线y ＝kx (k ＞0，x ＞0)交于点B ，假设OA ＝3BC ，那么k 的值是( )A. 3B. 6C. 94D. 922. (2021)如图，在以点O 为原点的平面直角坐标系中，一次函数y ＝－12x ＋1的图象与x轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 在直线AB 上，且OC ＝12AB ，反比例函数y ＝kx 的图象经过点C ，那么所有可能的k 值为________．3. (2021)如图，将透明三角形纸片PAB 的直角顶点P 落在第四象限，顶点A 、B 分别落在反比例函数y ＝kx 图象的两支上，且PB⊥x 于点C ，PA ⊥y 于点D ，AB 分别与x 轴、y 轴相交于点E 、F.B(1，3)． (1)k ＝________； (2)试说明AE ＝BF ；(3)当四边形ABCD 的面积为214时，求点P 的坐标．4. (2021)如图，△ABC 中，AB ＝BC ，AC ＝8，tan A ＝k ，P 为AC 边上一动点，设PC ＝x ，作PE∥AB 交BC 于E ，PF ∥BC 交AB 于F. (1)证明：△PCE 是等腰三角形；(2)EM 、FN 、BH 分别是△PEC、△AFP、△ABC 的高，用含x 和k 的代数式表示EM 、FN ，并探究EM 、FN 、BH 之间的数量关系；(3)当k＝4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式；x为何值时，S有最大值？并求出S的最大值．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

知能迁移 1 (2012·北京通州二模) 已知关于 x 的方程 mx － (3m－1)x＋2m－2＝0. (1)求证：无论 m 取任何实数时，方程恒有实数根； 2 (2)若关于 x 的二次函数 y＝mx －(3m－1)x＋2m－2 的图象 经过坐标原点(0，0)，求抛物线的解析式； (3)在直角坐标系 xoy 中，画出(2)中的函数图象，结合图 象回答问题：当直线 y＝x＋b 与(2)中的函数图象只有 两个交点时，求 b 的取值范围．
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一个联系
函数与方程虽是两个不同的数学概念，但它们之间相 互联系、相互渗透，一个函数若有表达式，那么这个表达 式就可以看成是一个方程，它的两端可以分别看成函数， 因此，许多有关方程的问题可用函数的方法解决；反之， 许多有关函数的问题也可以用方程的方法解决．
两个思想
方程思想、函数思想的实质是提取问题的数学特征， 用联系和变化的观点研究数学对象，抽象其数量特征，以 建立函数关系．很明显，只有在对问题的观察、分析、判 断等一系列的思维过程中，具备深刻、独特的思维品质， 才能构造出函数模型，化归为方程的问题，实现函数与方
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解 (1)分两种情况讨论： ①当 m＝0 时，方程为 x－2＝0， ∴x＝2，方程有实数根； ②当 m≠0 时，一元二次方程的根的判别式为： 2 2 2 △ ＝[－(3m－1)] －4m(2m－2)＝9m －6m＋1－8m ＋8m 2 2 ＝m ＋2m＋1＝(m＋1) ≥0， 不论 m 为何实数，△≥0 成立， ∴方程恒有实数根． 综合①、②可知，m 取任何实数， 2 方程 mx －(3m－1)x＋2m－2＝0 恒有实数根．
2
当点 P 为(－1，3)时，根据题意， 3＝－k1－1， k1＝－4， 得 k2 解得 k2＝－3， 3＝－1， 3 ∴y＝－4x－1，y＝－ . x 当点 P 为(1，1)时，根据题意， 1＝k1－1， k1＝2， 得 k2 解得 k2＝1， 1＝ 1 ， 1 ∴y＝2x－1，y＝ . x ∴一次函数的解析式为 y＝－4x－1 或 y＝2x－1， 3 1 对应的反比例函数的解析式为 y＝－ 或 y＝ . x x

考点跟踪训练：方程、函数与几何相结合型综合问题一、选择题1．(2010·南充)如图，小球从点A运动到点B，速度v(米/秒)和时间t(秒)的函数关系式是v＝2t.如果小球运动到点B时的速度为6米/秒，小球从点A到点B的时间是()A． 1 B.2 C．3秒D．4秒2．(2010·鄂尔多斯)某移动通讯公司提供了A、B两种方案的通讯费用y(元)与通话时间x(分)之间的关系，如图所示，则以下说法错．误．的是()（第1题图）（第2题图）A．若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元B．若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜C．若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多D．若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分3．(2010·宿迁)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点Q.BP＝x，CQ＝y，那么y与x之间的函数图象大致是()4．如图，直线y＝－2x＋4与x轴、y轴分别相交于A、B两点，C为OB上一点，且∠1＝∠2，则S＝()△ABC第5题图A ．1B ．2C ．3D ．45．(2011·烟台)如图，AB 为半圆的直径，点P 为AB 上一动点，动点P 从点A 出发，沿AB 匀速运动到点B ，运动时间为t ，分别以AP 与PB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积S 与时间t 之间的函数图象大致为( )二、填空题6．已知平面上四点A (0,0)，B (10,0)，C (10,6)，D (0,6)，直线y ＝mx －3m ＋2将四边形分成面积相等的两部分，则m 的值为__________7．阅读材料：设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca .根据该材料填空：已知x 1，x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两实数根，则x 2x 1＋x 1x 2的值为________．8．如图为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，在下列说法中： ①ac ＜0；②方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根是x 1＝－1, x 2＝3；③a ＋b ＋c ＞0；④当x ＞1时，y 随x 的增大而增大．正确的说法有_____________．(把正确的答案的序号都填在横线上)（第9题图）9．利用图象解一元二次方程x2＋x－3＝0时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线y＝x2和直线y＝－x＋3，两图象交点的横坐标就是该方程的解．(1)填空：利用图象解一元二次方程x2＋x－3＝0，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y＝________和直线y＝－x，其交点的横坐标就是该方程的解；(2)已知函数y＝－6x的图象(如图所示)，利用图象求方程的近似解为：____________________(结果保留两个有效数字)．10．如图，水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，(1) 请分别找出与各容器对应的水的高度h和时间t的函数关系图象，用直线段连接起来；(2) 当容器中的水恰好达到一半高度时，请在函数关系图的t轴上标出此时t值对应点T的位置．三、解答题11．(2011·芜湖)如图，已知直线P A交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径．点C为⊙O上一点，且AC平分∠P AE，过C作CD⊥P A，垂足为D.(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若DC＋DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长度．12．(2011·淮安)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC ＝6，点P在AB上，AP＝2.点E、F同时从点P出发，分别沿P A、PB 以每秒1个单位长度的速度向点A 、B 匀速运动，点E 到达点A 后立即以原速度沿AB 向点B 运动，点F 运动到点B 时停止，点E 也随之停止．在点E 、F 运动过程中，以EF 为边作正方形EFGH ，使它与△ABC 在线段AB 的同侧，设E 、F 运动的时间为t 秒(t ＞0)，正方形EFGH 与△ABC 重叠部分面积为S .(1)当t ＝1时，正方形EFGH 的边长是__________； 当t ＝3时，正方形EFGH 的边长是__________； (2)当0＜t ≤2时，求S 与t 的函数关系式； (3)直接答出：在整个运动过程中．．．．．．．，当t 为何值时，S 最大？最大面积是多少？13．(2011·襄阳)如图，在平面直角坐标系xOy 中，AB 在x 轴上，AB ＝10，以AB 为直径的⊙O ′与y 轴正半轴交于点C ，连接BC 、AC ，CD 是⊙O ′的切线，AD ⊥CD 于点D ，tan ∠CAD ＝12，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过A 、B 、C 三点．(1)求证：∠CAD ＝∠CAB ； (2)①求抛物线的解析式；②判定抛物线的顶点E 是否在直线CD 上，并说明理由；(3)在抛物线上是否存在一点P ，使四边形PBCA 是直角梯形．若存在，直接写出点P 的坐标(不写求解过程)；若不存在，请说明理由．考点跟踪训练：方程、函数与几何相结合型综合问题参考答案1.答案 C 解析 当v ＝6时，2t ＝6，t ＝3.2.答案 D 解析 A 、B 、C 正确，可排除，错误的是D.3.答案 D 解析 因为BP ＝x ，CQ ＝y ，则AP 2＝42＋x 2，PQ 2＝(6－x )2＋y 2，AQ2＝(4－y )2＋62.在Rt△APQ 中，有AP 2＋PQ 2＝AQ 2，即(42＋x 2)＋[]6－x 2＋y 2＝(4－y )2＋62，化简，得y ＝－14x 2＋32x ＝－14(x －3)2＋94，根据函数关系式，可知抛物线的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，94，选D.4.答案 C 解析 ∵直线y ＝－2x ＋4与x 轴交于点A 、B 两点，∴A (2,0)，B (0,4)，∴OA ＝2，OB ＝4.又∵∠1＝∠2，∠AOC ＝∠BOA ，∴△OAC ∽△OBA ，∴OC OA ＝OAOB， ∴OC ＝OA 2OB ＝1，BC ＝OB －OC ＝3，S △ABC ＝12×2×3＝3.5.答案 D 解析 设P 点运动速度为v (常量)，AB ＝a (常量)，则AP ＝vt ，PB＝a －vt . 则阴影部分面积S ＝12π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－12π⎝ ⎛⎭⎪⎫vt 22－12π⎝ ⎛⎭⎪⎫a －vt 22＝－πv 24t 2＋avt 4， 由函数关系式可知，抛物线开口向下，选D.6.答案 12解析 ∵直线y ＝mx －3m ＋2将四边形ABCD 分成面积相等的两部分，∴直线必经过矩形的中心对称点O ′. ∵根据矩形中心对称，可知O ′(5,3)，将它代入y ＝mx －3m ＋2中，得：3＝5m －3m ＋2，即m ＝12.7.答案 10 解析 由题意，得x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝3，所以x 2x 1＋x 1x 2＝x 12＋x 22x 1x 2＝x 1＋x 22－2x 1x 2x 1x 2＝－62－2×33＝36－63＝10.8.答案 ①②④ 解析 当－1<x <3时，y <0；当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c <0，所以说法③错误9答案 (1)x 2－3；(2)x 1≈－1.4，x 2≈4.4 10.答案解析图象(1)是均匀变化的，为B；图象(2)是先慢后快，为A；图象(3)是先快后慢，为D；图象(4)是先快后慢，最后再变快，为C.11.解(1)证明：连接OC，∵点C在⊙O上，OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC.∵CD⊥PA，∴∠CDA＝90°，∴∠CAD＋∠DCA＝90°.∵AC平分∠PAE，∴∠DAC＝∠CAO.∴∠DCO＝∠DCA＋∠ACO＝∠DCA＋∠CAO＝∠DCA＋∠DAC＝90°.又∵点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，∴CD为⊙O的切线．(2)解：过O作OF⊥AB，垂足为F，∴∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，∴四边形OCDF为矩形，∴OC＝FD，OF＝CD.∵DC＋DA＝6，设AD＝x，则OF＝CD＝6－x.∵⊙O的直径为10，∴DF＝OC＝5，∴AF＝5－x.在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2＋OF2＝OA2.即(5－x)2＋(6－x)2＝25，化简得：x2－11x＋18＝0，解得x＝2或x＝9.由AD<DF，知0<x<5，故x＝2. ∴AD＝2, AF＝5－2＝3.∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，∴AB＝2AF＝6.12.解(1)2；4.(2)当0＜t≤611时(如图)，S与t的函数关系式是：S＝S矩形EFGH＝(2t)2＝4t2；当611＜t ≤65时(如图)，S 与t 的函数关系式是： S ＝S 矩形EFGH －S △HMN ＝4t 2－12×43×[2t －34(2－t )] 2＝－2524t 2＋112t －32；当65＜t ≤2时(如图)，S 与t 的函数关系式是： S ＝S △ARF －S △AQE ＝12×34(2＋t ) 2－12×34(2－t ) 2＝3t .(3)由(2)知：若0＜t ≤611，当t ＝611时S 最大，其最大值S ＝144121；若611＜t ≤65，当t ＝65时S 最大，其最大值S ＝185； 若65＜t ≤2，当t ＝2时S 最大，其最大值S ＝6. 综上所述，当t ＝2时S 最大，最大面积是6.13.解 (1)证明：连接O ′C .∵CD 是⊙O ′的切线，∴O ′C ⊥CD .∵AD ⊥CD ，∴O ′C ∥AD ，∴∠O ′CA ＝∠CAD .∵O ′C ＝O ′A ，∴∠O ′CA ＝∠CAB .∴∠CAD ＝∠CAB . (2)①∵AB 是⊙O ′的直径，∴∠ACB ＝90°.∵OC ⊥AB ， ∴∠CAB ＝∠OCB ，∴△CAO ∽△BCO ， ∴OC OA ＝OBOC， 即OC 2＝OA ·OB . ∵tan∠CAO ＝tan∠CAD ＝12， ∴OA ＝2OC .又∵AB ＝10，∴OC 2＝2OC ×(10－2OC )． ∵OC ＞0，∴OC ＝4，OA ＝8，OB ＝2. ∴A (－8,0)，B (2,0)，C (0,4)．∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过A 、B 、C 三点，由题意得⎩⎨⎧4a ＋2b ＋c ＝0，64a －8b ＋c ＝0，c ＝4，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－14，b ＝－32，c ＝4.∴y ＝－14x2－32x ＋4.②设直线DC 交x 轴于点F ，易证△AOC ≌△ADC ，∴AD ＝AO ＝8.∵O ′C ∥AD ， ∴△FO ′C ∽△FAD ， ∴O ′F AF ＝O ′CAD.∴5＋BF 10＋BF ＝58，∴BF ＝103，∴F (163，0)． 设直线DC 的解析式为y ＝kx ＋m ， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，163k ＋m ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－34，m ＝4.∴y ＝－34x ＋4.由y ＝－14x 2－32x ＋4＝－14(x ＋3)2＋254， 得顶点E 的坐标为E (－3，254)．将E (－3，254)横坐标代入直线DC 的解析式y ＝－34x ＋4中，右边＝－34×(－3)＋4＝254. ∴抛物线的顶点E 在直线CD 上． (3)存在．P 1(－10，－6)，P 2(10，－36)．。

Байду номын сангаас
②当 M 点在 x 轴的负半轴上，N 点在 y 轴的负半轴上时， 设 M2 点坐标为(x2,0)，N2 点坐标为(0，y2)． ∵AB∥N1M1，AB∥M2N2，AB＝N1M1，AB＝M2N2， ∴N1M1∥M2N2，N1M1＝M2N2. ∴线段 M2N2 与线段 N1M1 关于原点 O 成中心对称． ∴M2 点坐标为(－3,0)，N2 点坐标为(0，－2)． 设直线 M2N2 的函数表达式为 y＝k2x－2， 2 把 x＝－3，y＝0 代入，解得 k2＝－ ， 3 2 ∴直线 M2N2 的函数表达式为 y＝－ x－2. 3 2 2 所以，直线 MN 的函数表达式为 y＝－ x＋2 或 y＝－ x－2. 3 3 (3) (9,2)；(4,5)．
第47课
方程与函数相结合型
综合问题
基础知识
考题分析
自主学习
方程与函数相结合型综合题，历来是各地中考试题中的
热点题型，主要是以函数图象，建立函数的图象及性质和方 程的有关理论的综合，解题时要注意函数的图象信息与方程 的代数信息的相互转化．例如：函数图象与x轴交点的横坐 标即为相应的方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函
解
(1)∵点 A(m－4,0)和 C(2m－4，m－6)在直线 y＝－x＋p 上，
m＝3， 解得： p＝－1.
0＝－m－4＋p， ∴ m－6＝－2m－4＋p，
∴A(－1,0)，B(3,0)，C(2，－3)． 设抛物线 y＝ax2＋bx＋c＝a(x－3)(x＋1)， ∵过 C(2，－3)，∴a＝1. ∴抛物线解析式为： y＝x2－2x－3.
(其中a>b)的图象如下图所示，则函数
y＝ax＋b的图象可能正确的是( )

初三数学下册综合算式专项练习题函数方程运算初三数学下册综合算式专项练习题：函数方程运算一、函数与方程的概念数学中，函数和方程是常见的概念。

函数通常表示两个变量之间的关系，表示为y=f(x)，其中y表示因变量，x表示自变量，f(x)表示函数关系。

方程则是等式的形式，通过求解方程可以找到满足等式的未知数的值。

二、函数的运算1. 函数的加法运算对于给定的两个函数f(x)和g(x)，它们的加法运算表示为h(x) = f(x) + g(x)。

具体运算时，我们将两个函数中的对应的项进行相加，即将f(x)和g(x)的同次幂的系数进行相加。

例如，已知f(x) = 2x² + 3x， g(x) = x² - 5x，则h(x) = f(x) + g(x)为：h(x) = (2x² + x²) + (3x - 5x) = 3x² - 2x。

2. 函数的减法运算对于给定的两个函数f(x)和g(x)，它们的减法运算表示为h(x) = f(x) - g(x)。

具体运算时，我们将两个函数中的对应的项进行相减，即将f(x)和g(x)的同次幂的系数进行相减。

例如，已知f(x) = 2x² + 3x， g(x) = x² - 5x，则h(x) = f(x) - g(x)为：h(x) = (2x² - x²) + (3x + 5x) = x² + 8x。

3. 函数的乘法运算对于给定的两个函数f(x)和g(x)，它们的乘法运算表示为h(x) = f(x) * g(x)。

具体运算时，我们将f(x)中的每一项与g(x)中的每一项进行相乘，并将结果进行合并。

例如，已知f(x) = 2x + 3， g(x) = x² - 5x，则h(x) = f(x) * g(x)为：h(x) = (2x * x²) + (2x * -5x) + (3 * x²) + (3 * -5x) = 2x³ - 10x² + 3x² - 15x = 2x³ - 7x² - 15x。

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考点跟踪训练57 方程、函数与几何相结合型综合问题A组基础过关练一、选择题1. （2013苏州）如图，菱形OABC的顶点C的坐标为(3,4），顶点A在x轴的正半轴上，反比例函数y＝错误!(x＞0）的图象经过顶点B,则k的值为（）A. 12B. 20C。

24 D. 322. (2012福州)如图，过点C（1，2)分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝－x＋6于A、B两点，若反比例函数y＝错误!(x＞0）的图像与△ABC有公共点，则k的取值范围是（）A。

2≤k≤9 B。

2≤k≤8C. 2≤k≤5D. 5≤k≤83. （2014铜仁）如图所示，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE＝3，AE＝26，则MF的长是（)A。

错误! B。

错误!C. 1 D。

错误!4。

（2014丽水)如图,AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE＝错误!DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C.设BE＝x，BC＝y,则y关于x的函数解析式是( )A。

y＝－错误! B. y＝－错误!C. y＝－错误!D. y＝－错误!二、填空题5. (2014黔东南）在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y＝x上的动点，A（1，0)，B（2，0）是x轴上的两点,则PA＋PB的最小值为________．6. (2014孝感)如图,Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y＝错误!经过斜边OA的中点C，与另一直角边交于点D.若S△OCD＝9，则S△OBD的值为________．7。

专题复习1 方程与函数◆考点链接方程与函数综合题，历年来是中考热点，主要是以函数为主线，将函数图象、性质和方程的相关知识进行综合运用，渗透数形结合的思想方法．◆典例精析【例题1】（吉林）如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，在对称中心O 处有一钉子，动点P 、Q 同时从点A 出发，点P 沿A→B→C 方向以每秒2cm 的速度运动，到点C 停止；•点Q 沿A→D 方向以每秒1cm 的速度运动，到点D 停止．P 、Q •两点用一条可伸缩的细像皮筋联结，设x （s ）后橡皮筋扫过的面积为y （cm 2）．（1）当0≤x≤1时，求y 与x 之间的函数关系式；（2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x 值；（3）当1≤x≤2时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时，∠POQ 的变化范围；（4）当0≤x≤2时，请在给出的直角坐标系中画出y 与x 之间的函数图象．解题思想：不能利用待定系数确定函数解析式时，常常可以通过列方程的思想，•建立两个变量间的关系，而等量关系则是沟通它们之间的桥梁．解：（1）当0≤x≤1时，AP=2x ，AQ=x ，而y=12AP·AQ ．即y=x 2； （2）当S 四边形ABPQ =12S 正方形ABCD 时，橡皮筋刚好触及钉子， 这时BP=2x －2，AQ=x ，12（2x －2+x ）×2=12×22．∴x=43；（3）当1≤x≤43时，AB=2，BP=2x －2，AQ=x ． ∴y=2AQ BP ×AB=3x －2，即y=3x －2． 当43≤x≤2时，BP=2x －2，AQ=x ，过O 点作OE ⊥AB ，E 为垂足， 这时OE=1，y=S 梯形BEOP +S 梯形OEAQ ．∴y=32x ，90°≤∠POQ≤180°； （4）作图略．评析：根据时间确定几何图形面积是建立函数关系式的关键，不规则图形面积用规则图形的面积表示，则是求解问题的突破口．【例题2】（哈尔滨）2006年春，我市为美化市容，开展城市绿化活动，要种植一种新品种树苗，甲、乙两处育苗基地均以每株4元的价格出售这种树苗，•并对一次性购买该种树苗不低于1 000株的用户实行优惠：甲处的优惠政策是每株树苗按原价的八折出售；乙处的优惠政策是免收所购树苗中150株的费用，•其余树苗按原价的九折出售．（1）规定购买该树苗只能在甲、•乙两处中的一处购买，•设一次性购买x （•x •≥1000，则x 为整数）株该种树苗，若在甲处育苗基地购买，所花费用为y 1元，写出y 1与x 之间的函数关系式；若在乙处育苗基地购买，所花的费用为y 2元，写出y 2与x 之间的函数关系式（均不要求写出自变量x 的取值范围）．（2）若在甲、乙两处分别一次性购买1 500株该种树苗，•在哪一处购买所花的费用少？为什么？（3）若在甲育苗基地以相应的优惠方式购买一批该种树苗，又在乙育苗基地以相应的优惠方式购买另一批该种树苗，两批树苗共2 500株，购买这2 500株树苗所花的费用至少需要多少元？这时应在甲、乙两处分别购买该种树苗多少株？解：（1）y 1=0.8×4x=3.2x ，即y 1=3.2x ；y 2=0.9×4（x －150），即y 2=3.6x －540．（2）当x=1 500时，y 1=3.2×1 500=4 800，y2=3.6×1 500－540=4 860，y1<y2．∴在甲处购买所花的费用少．（3）设在乙处购买a株该种树苗，所花费用为w元．则w=3.2（2 500－a）+3.6a－540，即w=0.4a+7 460．∵10002500 100025002500,aa≤≤⎧⎨≤-≤⎩∴1 000≤a≤1 500，且a为整数．∵0.4>0，∴w随a增大而增大．∴当a=1 000时，w最小=7 860．2 500－1 000=1 500（株）．答：至少需花费7 860元，应在甲处购买1 500株，在乙处购买1 000株．评析：有关函数型的实际问题，也是考察数学建模的一种形式．它常常可以根据实际问题的意义通过建立一个二元方程的思想来获取函数解析式：这种函数与方程相结合的思想也是中考中的一个热点．探究实践【问题】（海淀）已知：抛物线y=x2－mx+m－2（1）求证：此抛物线与x轴有两个不同的交点；（2）若m是整数，抛物线y=x2－mx+m－2与x轴交于整数点，求m的值．（3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为A，抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为B．若M为坐标轴上一点，且MA=MB，求点M的坐标．解题思路：（1）证△>0；（2）求方程x2－mx+m－2=0的整数解；（3）要考虑M点在x•轴与y轴上两种情形．解：（1）△=m2－4m+8=（m－2）2+4>0，所以此抛物线与x轴有两个不同的交点．（2）方程x 2－mx+m －2=0的根为 由m 为整数，当（m －2）2+4为完全平方数时，此抛物线与x 轴才可能交于整数点． 设（m －2）2+4=n 2（其中n 为整数）．所以[n+（m －2）][n －（m －2）]=4．因为n+（m －2）与n －（m －2）的奇偶性相同，所以2222222 2.n m n m n m n m +-=+-=-⎧⎧⎨⎨-+=-+=-⎩⎩或解得m=2． 经检验，m=2合题意．（3）当m=2时，抛物线y=x 2－2x ，顶点A （1，－1），与x 轴交点为O （0，0），B （2，0），•易知△AOB 为等腰直角三角形．∴M 1（1，0）为所求的点．若满足条件的点M 2在y 轴上时，设M 2（0，y ），作AN ⊥y 轴于N ．由M 2A=M 2B ，得（y+1）2+12=y 2+22，得y=1，∴M 2（0，1）也为所求的点．综上所述满足条件的M 点坐标为（1，0）或（0，1）．评析：一元二次方程有整数根，必须判别式△为完全平方数．用因式分解法、整数性质，求一元二次方程整数根是常用技巧．◆中考演练一、填空题1．已知：反比例函数y=k x与一次函数y=2x+k 的图象的一个交点的横坐标是－4，•则k 的值是________．2．函数y=x 2+2（a+2）x+a 2的图象与x 轴有两个交点，且都在x 轴的负半轴上，则a 的取值范围是________．二、选择题1．点P （a ，b ）是直线y=－x+5与双曲线y=6x的一个交点，则以a 、b •为两实数根的一元二次方程是（ ）． A ．x 2－5x+6=0 B ．x 2+5x+6=0 C ．x 2－5x －6=0 D ．x 2+5x －6=02．关于x 的一元二次方程x 2－x －n=0没有实数根，则抛物线y=x 2－x －n 的顶点在（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限三、解答题1．（济南）已知：抛物线y=－12x 2+（6x+m －3与x 轴有A 、B 两个交点，且A 、B •两点关于y 轴对称．（1）求m 的值；（2）写出抛物线解析式及顶点坐标；（3）根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来．2．已知c<0，抛物线y=ax2+bx+c经过正比例函数y=－4x与反比例函数y=－4x的图象的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线顶点在直线y=mx+n上，此直线与x轴、y轴分别交于点A、•B，•且OA：OB=1：2，求作一个以m和n为根的二次项系数为1的一元二次方程．◆实战模拟一、填空题1．点P（a，b）在第二象限内，a，b是方程4x2－2x－15=0的两个实数根，则直线y=ax+•b不经过第______象限．2．已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点坐标（－1，－3.2）•及部分图象如图所示，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3•和x2=_______．3．已知：二次函数y=2x2－4mx+m2的图象与x轴的两交点为A、B，顶点为C，若S△ABC•则m=________．二、选择题1．抛物线y=x 2－（2m －1）x －2m 与x 轴交于不同的两点A （x 1，0），B （x 2，0），且12x x =1，则m •的值为（ ）． A ．－12 B ．0 C ．±12 D ．12 2．抛物线y=x 2+bx+c 交x 轴正半轴于A 、B 两点，交y 轴于C ，若∠OBC=45°，则下列各式成立的是（ ）．A ．b －c －1=0B ．b+c+1=0C ．b －c+1=0D ．b+c －1=03．（武汉）已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=3的一个根为x 1=2，•且二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为（ ）．A ．（2，－3）B ．（2，1）C ．（2，3）D ．（3，2）三、解答题1．（海南）如图9－1－4，已知二次函数图象的顶点坐标为C （1，0），直线y=x+m 与该二次函数的图象交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（3，4），B 点在y 轴上．（1）求m 的值及这个二次函数的关系式；（2）P 为线段AB 上一个动点（点P 与A 、B 不重合），过P 作x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于E 点，设线段PE 的长为h ，点P 的横坐标为x ，求h 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）D 为直线AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB 上是否存在一点P ，•使得四边形DCEP 是平行四边形？若存在，请求出此时P 点的坐标；若不存在，•请说明理由．2．（四川）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于不同的两点A（x1，0）和B（x2，0），•与y轴的正半轴交于点C，如果x1、x2是方程x2－x－6=0的两个根（x1<x2），且△ABC的面积为152．（1）求此抛物线解析式；（2）求直线AC和BC的方程；（3）如果P是线段AC上的一个动点（不与点A、C重合）过点P作直线y=m（m 为常数），与直线BC交于点Q，则在x轴上是否存在点R，使得△PQR为等腰直角三角形？若存在，•求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．答案:中考演练一、1．－8 2．a>－1且a≠0二、1．A 2．A三、1．（1）m=6 （2）y=－12x 2+3，顶点（0，3）（3）方程－12x 2+（6x+m －3=0的两根互为相反数（或两根之和为零等） 2．（1）=2x 2－4x －2 （2）易得m+n=－4，A （n m，0），B （0，n ），m=±2，所求一元二次方程为x 2+4x －12=0或x 2+4x+4=0实战模拟一、1．三 2．－3．3 3．±2二、1．D 2．B 3．C三、1．（1）点A （3，4）在直线y=x+m 上，∴4=3+m ，m=1．设二次函数为y=a （x －1）2，4=a （3－1）2，a=1∴y=（x －1）2，即y=x 2－2x+1（2）设P 、E 两点的纵坐标分别为y P ，y E ，PE=h=y P －y E =（x+1）－（x 2－2x+1）=－x 2+3x即h=－x 2+3x （0<x<3）（3）∵PE=DC ，点D 在y=x+1上，∴点D 坐标为（1，2）∴－x 2+3x=2，解得x 1=2，x 2=1（舍去）∴当P 点坐标为（2，3）时，四边形DCEP 是平行四边形2．（1）y=－12x 2+12x+3 （2）直线AC 方程为y=32x+3，直线BC 方程为y=－x+3 （3）存在，设直线y=m 与y 轴交于点E （0，m ），易知0<m<3．①当PQ 为等腰Rt △PQR 的一腰时，作PR 1⊥x 轴于R 1（如图1），由△CPQ ∽△CAB ，315315915,,,(,),(,)5384888PQ EC m m m P Q AB OC -===-有易求得， ∴R 1（－34，0），作QR 2⊥x 轴于R 2，则R 2（98，0），• 经检验知R 1、R 2是满足条件的点．②当PQ 为等腰Rt △PQR 的底边时，取PQ 的中点S ，•过点S 作SR 3⊥PQ 于R 3（如图2），由△CPQ ∽△CAB ，有32315121518153,,,(,),(,),(53111111111111PQ EC m m m P Q R AB OC -===-即易得可得，0），经检验可知R 3合题意．。

初三数学下册综合算式专项练习题解函数与方程组的实际问题综合算式专项练习题是数学学科中常见的题型之一，简单来说，它是通过综合应用数学中的各个知识点，来解决实际生活中的问题。

在初三数学下册中，数学综合算式专项练习题涵盖了函数和方程组的实际问题，本文将对其进行详细解析。

一、函数与方程组的实际问题概述函数与方程组是数学学科中的重要概念，在实际生活中有着广泛的应用。

函数是一种关系，它能够将一个数集的每个元素都对应到另一个数集的唯一元素上。

方程组则是由多个方程组成的集合，求解方程组就是找到满足所有方程的变量值。

在初三数学下册的综合算式专项练习题中，经常会遇到涉及函数与方程组的实际问题。

这些问题往往包含了对于函数和方程组的理解，需要学生运用所学的知识来求解。

下面，将通过解题的方式来进一步阐述函数和方程组在实际问题中的应用。

二、解题示例题目1：已知函数f(x) = 3x + 5，求解f(x) = 10的解。

解析：该题目要求求解函数f(x) = 10的解，首先要明确解的含义，即将函数f(x)中的x替换为满足等式的数值。

将函数f(x) = 3x + 5中的x替换为10，得到f(10) = 3 * 10 + 5 = 35。

所以该方程的解为x = 10，满足f(x) = 10。

题目2：某市一天的最高气温和最低气温之间的差值等于15摄氏度。

已知最高气温为x摄氏度，则最低气温为多少摄氏度？解析：该题目涉及到函数和方程组的实际问题。

设最低气温为y摄氏度，则根据题目中的条件，得到方程组：x - y = 15其中，x为最高气温，y为最低气温。

解这个方程组可以使用消元法，将第一个方程两边同时加上y，得到 x = y + 15。

将两个方程合并为一个方程，得到 y + 15 - y = 15，化简后得到 x = 30。

所以最低气温为30摄氏度。

题目3：甲乙两个城市之间的距离为240公里，甲从乙出发，走了x公里后，两地之间的距离等于x的2倍减去30。

考点跟踪训练47 方程与函数相结合型综合问题一、选择题1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－1与x轴的交点的个数是( )A．3 B．2 C．1 D．0答案 B解析令y＝0，得x2－1＝0，x＝1或－1，抛物线交x轴于点(1,0)，(－1,0)．2．(2011·兰州)如图所示的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：(1)b2－4ac>0；(2)c>1；(3)2a－b<0；(4)a＋b＋c<0.你认为其中错误．．的有( )A．2个B．3个C．4个D．1个答案 D解析由抛物线与x轴交于两点，可知关于x的二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则b2－4ac>0；又抛物线的对标轴直线x＝－b2a>－1，而a<0，所以b>2a,2a－b<0；当x＝1时，函数值y＝a＋b＋c<0，信息(1)，(3)，(4)正确；抛物线与y轴交于点(0，c )，在点(0,1)下方，c <1，信息(2)错误．3．(2011·潍坊)已知一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的两个实数根x 1、x 2满足x 1＋x 2＝4和x 1·x 2＝3，那么二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a >0)的图象有可能是( )答案 C解析 由x 1＋x 2＝4和x 1x 2＝3，可解得两根为1、3，抛物线与x 轴交点为(1,0)，(3,0)，选C.4．(2011·呼和浩特)已知一元二次方程x 2＋bx －3＝0的一根为－3，在二次函数y ＝x 2＋bx －3的图象上有三点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，y1、⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，y2、⎝ ⎛⎭⎪⎫16，y3，y 1、y 2、y 3的大小关系是( )A ． y 1<y 2<y 3B ．y 2<y 1<y 3C ． y 3<y 1<y 2D ．y 1<y 3<y 2答案 A解析 当方程的一根为x ＝－3时，(－3)2－3b －3＝0，b ＝2，所以y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4，∴对称轴x ＝－1，∴x ＝－54与x ＝－34时y 值相同，∵在x ＝－1右侧，y 随x 增大而增大，∴y 1<y 2<y 3，选A.5．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，那么关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＋2＝0的根的情况是( )A ．无实数根B ．有两个相等实数根C ．有两个异号实数根D ．有两个同号不等实数根答案 D解析 画直线y ＝－2，与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交于两点，且在第四象限，故方程ax 2＋bx ＋c ＝－2，有两个不等的正数根．二、填空题6．(2008·义乌)李老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位学生分别指出这个函数的一个特征．甲：它的图象经过第一象限；乙：它的图象也经过第二象限；丙：在第一象限内函数值y随x增大而增大．在你学过的函数中，写出一个满足上述特征的函数解析式__________ __________．答案形如y＝kx＋b(k>0，b>0)或y＝ax2＋bx＋c(a>0，b>0)7．要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短？小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，测得A点的坐标为(0,3)，B点的坐标为(6,5)，则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是__________．答案10解析如图，画点A关于x轴的对称点A1，其坐标为(0，－3)，根据两点之间线段最短，可知AC、BC距离之和的最小值为线段A1B，画BD⊥y轴于D，在Rt△A1BD中，A1D＝3＋5＝8，BD＝6，所以A1B＝62＋82＝10.8．(2010·绥化)已知关于x的分式方程a＋2 x＋1＝1的解是非正数，则a 的取值范围是____________．答案 a ≤－1且a ≠－2解析 去分母，a ＋2＝x ＋1，∵x ≠－1，a ≠－2，x ＝a ＋1≤0，∴a ≤－1且a ≠－2.9．(2008·西宁)如图所示的是函数y ＝kx ＋b 与y ＝mx ＋n 的图象，则方程组⎩⎨⎧ y ＝kx ＋b ，y ＝mx ＋n 的解关于原点对称的点的坐标是___________．答案 (－3，－4)解析 两直线y ＝kx ＋b 与y ＝mx ＋n 交于点(3,4)，所以关于原点对标的点的坐标为(－3，－4)．10．如图，点D 的纵坐标等于______________；点A 的横坐标是方程______________的解；大于点B 的横坐标是不等式______________的解集；点C 的坐标是方程组______________的解；小于点C 的横坐标是不等式______________的解集．答案b ；k 1x ＋b 1＝0；kx ＋b ＜0；⎩⎨⎧ y ＝k1x ＋b1，y ＝kx ＋b ；kx ＋b ＞k 1x ＋b 1三、解答题11．如果一个二次函数的图象经过点A (6,10)，与x 轴交于B 、C 两点，点B 、C 的横坐标为x 1、x 2，且x 1＋x 2＝6，x 1·x 2＝5.求这个二次函数的解析式．解 ∵这个二次函数的图象与x 轴交于B (x 1,0)、C (x 2,0)两点， ∴这个二次函数的解析式是y ＝a (x －x 1)(x －x 2)，即y ＝a [x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2]．∵x 1＋x 2＝6，x 1·x 2＝5，∴y ＝a (x 2－6x ＋5)．∵这个二次函数的图象经过点A (6,10)，∴a ×(62－6×6＋5)＝10，解之，得a ＝2，∴所求二次函数的解析式为：y ＝2x 2－12x ＋10.12．如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为5的等腰直角三角尺ABC 放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C 的坐标为(－1,0)，点B 在抛物线y ＝ax 2＋ax －2上．(1)点A 的坐标为________，点B 的坐标为________；(2)抛物线的关系式为________________；(3)设(2)中抛物线的顶点为D ，求△DBC 的面积；(4)将三角尺ABC 绕顶点A 逆时针方向旋转90°，到达△AB ′C ′的位置．请判断点B ′、C ′是否在(2)中的抛物线上，并说明理由．解 (1)A (0,2)，B (－3,1)．(2)y ＝12x 2＋12x －2.(3)如图①，可求得抛物线的顶点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－178.设直线BD 的关系式为y ＝kx ＋b ，将点B 、D 的坐标代入，求得k ＝－54，b ＝－114，∴BD 的关系式为y ＝－54x －114.设直线BD 和x 轴交点为E ，则点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－115，0，CE ＝65. ∴△DBC 的面积为12×65×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋178＝158. (4)如图②，过点B ′作B ′M ⊥y 轴于点M ，过点B 作BN ⊥y轴于点N ，过点C ′作C ′P ⊥y 轴于点P .在Rt △AB ′M 与Rt △BAN 中，∵AB ＝AB ′，∠AB ′M ＝∠BAN ＝90°－∠B ′AM ， ∴Rt △AB ′M ≌Rt △BAN .∴B ′M ＝AN ＝1，AM ＝BN ＝3，∴B ′(1，－1)．同理：△AC ′P ≌△CAO ，C ′P ＝OA ＝2，AP ＝OC ＝1， ∴C ′(2,1)．将点B ′、C ′的坐标代入y ＝12x 2＋12x －2，可知点B ′、C ′在抛物线上(事实上，点P 与点N 重合)．13．已知抛物线y ＝(9－m 2)x 2－2(m －3)x ＋3m 的顶点D 在双曲线y ＝－5x上，直线y ＝kx ＋c 过点D 和点C (a ，b )，且y 随x 的增大而减小，a、b 满足方程组⎩⎨⎧ a2－b2－3＝0，2a2－5ab ＋2b2＝0.求直线y ＝kx ＋c 的解析式．解 ∵y ＝(9－m 2)x 2－2(m －3)x ＋3m ，∴抛物线的顶点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1m ＋3，3m2＋10m －3m ＋3. ∵点D 在双曲线y ＝－5x 上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m ＋3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3m2＋10m －3m ＋3＝－5， 整理得：m 2＋10m ＋24＝0，解之，得m 1＝－4，m 2＝－6，∴D 点的坐标为D 1(1，－5)或D 2⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－15. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a2－b2－3＝0，2a2－5ab ＋2b2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a1＝－2，b1＝－1，，⎩⎪⎨⎪⎧ a2＝2，b2＝1，∴C 点的坐标为C 1(－2，－1)或C 2(2,1)．∵直线y ＝kx ＋c 经过D 、C 两点，且y 随x 的增大而减小， ∴点C 2(2,1)不合题意，舍去．∴直线x 1y ＝kx ＋c 经过点D 1(1，－5)和点C 1(－2，－1)或点D 2⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－15和C 1(－2，－1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋c ＝－5，－2k ＋c ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧13k ＋c ＝－15，－2k ＋c ＝－1， 解之，得⎩⎨⎧ k ＝－43，c ＝－113，或⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－6，c ＝－13.∴这条直线的解析式为y ＝－43x －113或y ＝－6x －13.。