最新牛吃草的五种题型问题教学文案

牛吃草数量常见题型一、牛吃草问题的基本概念牛吃草问题呢，就是说有一片草地，草在匀速生长，然后有牛来吃草。

这里面涉及到几个关键的量，像原有草量、草的生长速度、牛的头数还有吃草的时间。

这就像是一场草和牛的“战争”，草在不断地长，牛在不停地吃。

二、常见题型1. 求牛的头数比如说，一片草地，原有草量是100份，草每天生长10份，如果每头牛每天吃5份草，问多少头牛可以在10天内把草吃完。

这时候呢，我们得先算出10天内总共的草量，原有草量100份加上10天生长的草量（10×10 = 100份），那就是200份草。

然后每头牛10天吃5×10 = 50份草，所以牛的头数就是200÷50 = 4头牛。

2. 求吃草的天数就像有一块草地，原有草量60份，草每天长5份，有5头牛，每头牛每天吃4份草。

那我们先算出每天实际减少的草量，5头牛每天吃20份草，草每天长5份，所以每天净减少15份草。

原有60份草，那吃草的天数就是60÷15 = 4天。

3. 求原有草量已知一片草地，有3头牛，每头牛每天吃2份草，吃了5天，草每天生长1份。

我们可以先算出这5天里牛一共吃了多少草，3×2×5 = 30份草。

然后这5天里草生长了1×5 = 5份草。

那么原有草量就是30 - 5 = 25份草。

4. 草地面积不同的问题假如有两块草地，一块大草地面积是小草地面积的2倍。

大草地的草每天生长速度是10份，小草地的草每天生长速度是5份。

有5头牛在大草地吃草，3头牛在小草地吃草，每头牛每天吃2份草。

这时候我们可以把两块草地转化成相同面积来计算，大草地就相当于两块小草地，那大草地的草量和生长速度都要乘以2。

然后再按照前面的方法去计算牛吃草的相关问题。

5. 牛的数量变化的问题像一开始有10头牛在吃草，吃了一段时间后，又增加了5头牛。

原有草量是80份，草每天生长8份，每头牛每天吃4份草。

我们要先算出10头牛吃的时候每天草的净减少量，10头牛每天吃40份草，草每天长8份，净减少32份草。

3牛吃草问题第一篇：3牛吃草问题一、例题精讲例1．有一个牧场，牧场上的牧草每天都在匀速生长，这片牧场可供15头牛吃20天，或可供20头牛吃10天。

那么，这片牧场每天新生的草量可供几头牛吃一天？例2．牧场上长满了牧草，可供24头牛吃6周，或可供23头牛吃9周。

如果牧草每周均匀地生长。

问原有草量可供几头牛吃1周？例3．一块草地，每天生长的速度相同，现在这片牧草可供16头牛吃20天，或供80只羊吃12天，如果一头牛一天吃的草量等于4只羊一天吃的草量，那么10头牛和60只羊一起吃，可以吃多少天？例4．一片牧场，草每天生长的速度相同，现在，这片牧草可供20头牛吃12天，或可供60只羊吃24天。

如果一头牛每天吃草量等于4只羊每天吃草量，那么，12头牛与88只羊一起可以吃多少天？例5．由于天气渐冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少，经计算，现有牧场上的草可供20头牛吃5天，也供16头牛吃6天，那么，11头牛可吃几天？例6．由于天气渐冷，牧场上的草每天以固定的速度减少。

已知某牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供12头牛吃7天，那么可供6头牛吃几天？例7．假设旅客在检票进站前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。

若同时开4个检票口，从开始检票到等候检票的队伍消失，需30分钟；同时开5个检票口，需20分钟，如果同时打开7个检票口，那么需要多少分钟队伍就消失？例8．某火车站的检票口在开始检票前已有945名旅客排队等待检票。

此时，每分钟还有固定的若干人前来进口处准备进站。

如果开放4个检票口，15分钟可放完旅客；如果开放8个检票口，7分钟可以放完旅客。

照此放人的速度，现要想在5分钟内放完所有旅客，需要开放几个检票口？例9．甲、乙、丙三个仓库各存放着数量相同的面粉，甲仓库用一台皮带轮输送机和12个工人，5小时可将甲仓库里的面粉搬完；乙仓库用一台皮带轮输送机和28个工人，3小时可将仓库内面粉搬完；丙仓库现有2台皮带轮输送机，如果要用2小时把丙仓库内面粉搬完，同时还要多少个工人？（每个工人每小时工效相同，每台皮带轮输送机每小时工效相同，另外皮带轮输送机与工人一起往外搬运面粉）。

小学数学五年级下册《牛吃草问题》奥数教材教案(总4页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除小学五年级奥数教案：牛吃草问题有这样的问题.如：牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周.那么它可供21头牛吃几周？这类问题称为“牛吃草”问题。

解答这类问题，困难在于草的总量在变，它每天，每周都在均匀地生长，时间愈长，草的总量越多.草的总量是由两部分组成的：①某个时间期限前草场上原有的草量；②这个时间期限后草场每天（周）生长而新增的草量.因此，必须设法找出这两个量来。

下面就用开头的题目为例进行分析.（见下图）从上面的线段图可以看出23头牛9周的总草量比27头牛6周的总草量多，多出部分相当于3周新生长的草量.为了求出一周新生长的草量，就要进行转化.27头牛6周吃草量相当于27×6＝162头牛一周吃草量（或一头牛吃162周）.23头牛9周吃草量相当于23×9=207头牛一周吃草量（或一头牛吃207周）.这样一来可以认为每周新生长的草量相当于（207-162）÷（9-6）=15头牛一周的吃草量。

需要解决的第二个问题是牧场上原有草量是多少用27头牛6周的总吃草量减去6周新生长的草量（即15×6=90头牛吃一周的草量）即为牧场原有草量。

所以牧场上原有草量为27×6-15×6=72头牛一周的吃草量（或者为23×9-15×9=72）。

牧场上的草21头牛几周才能吃完呢解决这个问题相当于把21头牛分成两部分.一部分看成专吃牧场上原有的草.另一部分看成专吃新生长的草.但是新生的草只能维持15头牛的吃草量，且始终可保持平衡（前面已分析过每周新生的草恰够15头牛吃一周）.故分出15头牛吃新生长的草，另一部分21-15=6（头）牛去吃原有的草.所以牧场上的草够吃72÷6=12（周），也就是这个牧场上的草够21头牛吃12周.问题得解。

牛吃草及其变异问题汇总（附清晰的思路答案）1、有一片牧场，草每天都在匀速生长（草每天的增长量相等），如果放24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天可以吃完牧草，设每头牛每天的吃草量相等，问：（1）如果放牧36头牛，几天可以吃完牧草？（2）要使牧草永远都吃不完，至多放牧多少头牛？解：假设1头牛1天吃1个单位的草，那么 24头牛6天所吃的牧草为：24×6＝144 （这144包括牧场原有的草和6天新长的草。

）21头牛8天所吃的牧草为：21×8＝168 （这168包括牧场原有的草和8天新长的草。

）1天新长的草为：（168－144）÷（8－6）＝12牧场上原有的草为：24×6－12×6＝72（1）方法一：36头牛减去12头，剩下24头吃原牧场的草：72÷（36－12）＝72÷24＝3（天）方法二、假设36头牛X天吃完草：36X=12X+7236X-12X=72X=72÷24X=3 （ 36头牛3天吃完草）（2）要是草永远吃不完，必须新长的草足够吃，每天新长的草是12，12÷1=12（头）所以要使这片草永吃不完，最多只能放12头牛吃这片草2、牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天．供25头牛可吃几天？解：假设1头牛1天吃1个单位的草，那么 10头牛20天所吃的牧草为：10×20＝200 （这200包括牧场原有的草和20天新长的草。

）15头牛10天所吃的牧草为：15×10＝150 （这150包括牧场原有的草和10天新长的草。

）1天新长的草为：（200－150）÷（20－10）＝5牧场上原有的草为：10×20－20×5＝1001天新长的草为5，只够5头牛吃， 25头牛减去5头，剩下20头吃原牧场的草： 100÷（25－5）＝100÷20＝5（天）答：供25头牛吃5天3、牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头牛吃18周？解：假设1头牛1天吃1个单位的草，那么27头牛6天所吃的牧草为：27×6＝162 （这162包括牧场原有的草和6天新长的草。

第四讲牛吃草问题一．知识梳理1.解决”牛吃草”问题的主要依据：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。

基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；关键问题：确定两个不变的量。

基本公式：生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；原有草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；（1）草的生长速度=（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；（2）原有草量=牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`（3）吃的天数=原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；（4）牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。

2.解决”牛吃草”问题通常分为以下4步：①设一头牛单位时间吃一份草②再求出草生长的速度③然后求出原草量④求出牛头数或者吃草时间二．例题精讲例1.有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供25头牛吃多少天？例2.有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供多少头牛吃5天？例3 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。

已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。

照此计算，可供多少头牛吃10天？例4 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。

已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。

问：该扶梯共有多少级？例5 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。

从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。

如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？达标练习1.假设地球上新生成的资源的增长速度是一定的，照此测算，地球上的资源可供110亿人生活90年，或可供90亿人生活210年。

【教师寄语：跟着张老师的思路走，最棒的成绩，你值得拥有！】奥数讲解——牛吃草问题一、复习旧知1、知识点复习典型的牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。

由于吃的天数不同，草又是天天在生长，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。

解决牛吃草问题常用的四个基本公式，分别是：设定一头牛一天吃草量为“1”1草的生长速度=（对应的牛头数×吃的较多的天数－相应的牛头数×吃的较少的天数）÷（吃的较多的天数－吃得较少的天数）2原有草量=牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数3吃的天数=原有草量÷（牛头数－草的生长速度）4牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度二、新课讲解重难点：由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。

牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。

正由于这个不变量，才能导出上面的四个基本公式。

牛吃草的问题经常给出不同头数的牛吃同一片草地，这地既有原有的草，又有每天新长出的草。

由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。

解题的关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有的草量，进而解答问题。

易混点：这类题的基本数量关系是：1（牛头数×吃的较多的天数－相应的牛头数×吃的较少的天数）÷（吃的较多的天数－吃得较少的天数）=草地每天新长出的草2牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数=原有草量解决多块草地的方法多块草地的“牛吃草”问题，一般情况下找多块草地的最小公倍数，这样可以减少运算难度，但如果数据较大时，我们一般把面积统一为“1”相对简单些。

思维拓展三. 典型例题例5 有一牧场长满牧草，牧草每天匀速生长，这个牧场可供17头牛吃30天，可供19头牛吃24天，现在有若干头牛在吃草，6天后，4头牛死亡，余下的牛吃了2天将草吃完，问原来有牛多少头？【分析】“牛吃草”问题的特点是随时间的增长，所研究的量也等量地增加。

小学数学牛吃草问题知识点总结:牛吃草问题：牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。

典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。

由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。

小升初冲刺第2讲牛吃草问题基本公式:1) 设定一头牛一天吃草量为“1”2）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；3）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`4）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；5)牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。

例1、牧场上长满了牧草，牧草每天匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。

问：这片牧草可供25头牛吃多少天？（200-150）÷（20-10）解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份草每天的生长量：=5份10×20=200份……原草量+20天的生长量原草量：200-20×5=100 或150-10×5=100份15×10=150份……原草量+10天的生长量 100÷（25-5）=5天[自主训练] 牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长，这片牧场上的草可供9头牛吃20天，可供15头牛吃10天，如果要供18头牛吃，可吃几天？（180-150）÷（20-10）解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份草每天的生长量：=3份9×20=180份……原草量+20天的生长量原草量：180-20×3=120份或150-10×3=120份15×10=150份……原草量+10天的生长量 120÷（18-3）=8天例2、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。

小学数学牛吃草问题吃草问题是小学奥数五年级的内容,学过的同学都知道这是一类比较复杂的应用题,还有一些相应的变形题：排队买票、大坝泄洪、抽水机抽水等等;那么在这里讲下牛吃草问题的解题思路和解题方法、技巧供大家学习;一、解决此类问题,孩子必须弄个清楚几个不变量：1、草的增长速度不变2、草场原有草的量不变 ;草的总量由两部分组成,分别为：牧场原有草和新长出来的草;新长出来草的数量随着天数在变而变;因此孩子要弄清楚三个量的关系：第一：草的均匀变化速度是均匀生长还是均匀减少第二：求出原有草量第三：题意让我们求什么时间、牛头数;注意问题的变形：如果题目为抽水机问题的话,会让求需要多少台抽水机二、解题基本思路1、先求出草的均匀变化速度,再求原有草量;2、在求出“每天新增长的草量”和“原有草量”后,已知头数求时间时,我们用“原有草量÷每天实际减少的草量即头数与每日生长量的差”求出天数;3、已知天数求只数时,同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”;4、根据“原有草量”+若干天里新生草量÷天数”,求出只数三、解题基本公式解决牛吃草问题常用到的四个基本公式分别为：1、草的生长速度＝对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数÷吃的较多天数－吃的较少天数2、原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数3、吃的天数＝原有草量÷牛头数－草的生长速度4、牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度四、下面举个例子例题：有一牧场,已知养牛27头,6天把草吃尽；养牛23头,9天把草吃尽;如果养牛21头,那么几天能把牧场上的草吃尽呢并且牧场上的草是不断生长的;一般方法：先假设1头牛1天所吃的牧草为1,那么就有：127头牛6天所吃的牧草为：27×6＝162 这162包括牧场原有的草和6天新长的草;223头牛9天所吃的牧草为：23×9＝207 这207包括牧场原有的草和9天新长的草;31天新长的草为：207－162÷9－6＝154牧场上原有的草为：27×6－15×6＝725每天新长的草足够15头牛吃,21头牛减去15头,剩下6头吃原牧场的草：72÷21－15＝72÷6＝12天所以养21头牛,12天才能把牧场上的草吃尽公式解法：1草的生长速度=207－162÷9－6＝152牧场上原有草=27－15×6＝72再把题目中的21头牛分成两部分,一部分15头牛去吃新长的草因为新长的草每天长15份,刚好可供15头牛吃,剩下21-15=6头牛吃原有草：72÷21－15＝72÷6＝12天所以养21头牛,12天才能把牧场上的草吃完;方程解答：设草的生长速度为每天x份,利用牧场上的原有草是不变的列方程,则有27×6-6x =23×9-9x解出x=15份再设21头牛,需要x天吃完,同样是根据原有草不变的量来列方程：27×6-6×15 =23×9-9×15=21-15x解出x=12天所以养21头牛;12天可以吃完所有的草;牛吃草问题在普通工程问题的基础上,工作总量随工作时间均匀的变化,这样就增加了难度．牛吃草问题的关键是求出工作总量的变化率.下面给出几例牛吃草及其相关问题．1. 草场有一片均匀生长的草地,可供27头牛吃6周,或供23头牛吃9周,那么它可供21头牛吃几周这类问题由牛顿最先提出,所以又叫“牛顿问题”．分析与解27头牛吃6周相当于27×6=162头牛吃1周时间,吃了原有的草加上6周新长的草；23头牛吃9周相当于23×9=207头牛吃1周时间,吃了原有的草加上9周新长的草；于是,多出了207-162=45头牛,多吃了9-6=3周新长的草．所以45÷3=15头牛1周可以吃1周新长出的草．即相当于给出15头牛专门吃新长出的草．于是27-15=12头牛6周吃完原有的草,现在有21头牛,减去15头吃长出的草,于是21-15=6头牛来吃原来的草；所以需要12×6÷6=12周,于是2l头牛需吃12周．评注：我们求出单位“1”面积的草需要多少头年来吃,这样就把问题化归为一般工程问题了．一般方法：先求出变化的草相当于多少头牛来吃：甲牛头数×时间甲-乙牛头数×时间乙÷时间甲-时间乙；再进行如下运算：甲牛头数-变化草相当头数×时问甲÷丙牛头数-变化草相当头数=时间丙．或者：甲牛头数-变化草相当头数×时间甲÷时间丙+变化草相当头数丙所需的头数． 2．有三块草地,面积分别是4公顷、8公顷和10公顷．草地上的草一样厚而且长得一样快．第一块草地可供24头牛吃6周,第二块草地可供36头牛吃12周．问：第三块草地可供50头牛吃几周分析与解我们知道24×6=144头牛吃一周吃2个2公顷+2公顷周长的草.36×12=432头牛吃一周吃4个2公顷+2公顷12周长的草．于是144÷2=72头牛吃一周吃2公顷+2公顷6周长的草．432÷4=108头牛吃一周吃2公顷+2公顷12周长的草．所以108-72=36头牛一周吃2公顷12—6=6周长的草．即36÷6=d头牛1周吃2公顷1周长的草．对每2公顷配6头牛专吃新长的草,则正好．于是4公顷,配4÷2×6=12头牛专吃新长的草,即24-12=12头牛吃6周吃完4公顷,所以1头牛吃6×1÷4÷2=36周吃完2公顷．所以10公顷,需要10÷2×6=30头牛专吃新长的草,剩下50-30=20头牛来吃10公顷草,要36 ×10÷2÷20=9周．于是50头牛需要9周吃10公顷的草．3．如图,一块正方形的草地被分成完全相等的四块和中间的阴影部分,已知草在各处都是同样速度均匀生长．牧民带着一群牛先在①号草地上吃草,两天之后把①号草地的草吃光．在这2天内其他草地的草正常生长之后他让一半牛在②号草地吃草,一半牛在③号草地吃草,6天后又将两个草地的草吃光．然后牧民把13的牛放在阴影部分的草地中吃草,另外号的牛放在④号草地吃草,结果发现它们同时把草场上的草吃完．那么如果一开始就让这群牛在整块草地上吃草,吃完这些草需要多少时间分析与解一群牛,2天,吃了1块+1块2天新长的；一群牛,6天,吃了2块+2块2+6=8天新长的；即3天,吃了1块+1块8天新长的.即16群牛,1天,吃了1块1天新长的.又因为,13的牛放在阴影部分的草地中吃草,另外23的牛放在④号草地吃草,它们同时吃完.所以,③=2⨯阴影部分面积.于是,整个为19422+=块地.那么需要193624⨯=群牛吃新长的草,于是19 1262 -⨯⨯（）=现在314⨯-（）.所以需要吃：19312130624-⨯⨯÷-（）（）=天.所以,一开始将一群牛放到整个草地,则需吃30天.4．现在有牛、羊、马吃一块草地的草,牛、马吃需要45天吃完,于是马、羊吃需要60天吃完,于是牛、羊吃需要90天吃完,牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度,求马、牛、羊一起吃,需多少时间分析与解我们注意到：牛、马45天吃了原有+45天新长的草① →牛、马90天吃了2原有+90天新长的草⑤马、羊60天吃了原有+60天新长的草②牛、羊90天吃了原有+90天新长的草③马 90天吃了原有+90天新长的草④所以,由④、⑤知,牛吃了90天,吃了原有的草；再结合③知,羊吃了90天,吃了90天新长的草,所以,可以将羊视为专门吃新长的草．所以,②知马60天吃完原有的草,③知牛90天吃完原有的草．现在将牛、马、羊放在一起吃；还是让羊吃新长的草,牛、马一起吃原有的草.所需时间为l÷11()9060+=36天.所以,牛、羊、马一起吃,需36天．5. 有三片牧场,场上草长得一样密,而且长得一样快．它们的面积分别是133公顷、10公顷和24公顷．已知12头牛4星期吃完第一片牧场的草,21头牛9星期吃完第二片牧场的草,那么多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草分析与解由于三片牧场的公顷数不一致,给计算带来困难,如果将其均转化为1公顷时的情形．所以表1中,头牛吃4星期吃完l公顷原有的草,那么18星期吃完1公顷原有的草需要÷18÷4=头牛,加上专门吃新长草的O．9头牛,共需+=头牛,18星期才能吃完1公顷牧场的草．所以需×24=36头牛18星期才能吃完第三片牧场的草．一个牧场长满青草,牛在吃草而草又不断匀速生长,27头牛6天可以把牧场上的草全部吃完；23头牛吃完牧场全部的草则要9天,若21头牛来吃,几天吃完最佳答案这种问题叫:牛顿问题完整解题思路: 假设每头牛每天的吃草量为1,则27头6天的吃草量为27×6=162；23头牛9天的吃草量为23×9=207;207与162的差就是9-6天新长出的草,所以牧场每天新长出的草量是207-162÷9-6=15 因为27头牛6天吃草量为162,这6天新长出的草之和为15×6=90,从而可知牧场原有的划量为162-90=72 牧场每天新长的草够15头牛吃一天,每天都让21头牛中的15头牛吃新长出的草,其余的21-15=6头专吃原来的草;所以牧场上的草够吃72÷6=12天,也就是这个牧场上的草够21头牛吃12天;综合算式：27×6-23×9-27×6÷9-6×6÷21-23×9-27×6÷9-6=12天牛吃草问题是小学奥数的一类难题,记得在某本书上看到过：“牛吃草问题就是追及问题,牛吃草问题就是工程问题;”对于前半句很好理解,给孩子讲的时候,也是按追及问题的思路来讲的;而对于后半句,直到上周才算明白;这个问题是在仁华学校课本六年级下册第六讲最大与最小问题中出现的;现暂且把这个题放下,看看以前我是如何讲牛吃草问题的;例1 小军家的一片牧场上长满了草,每天草都在匀速生长,这片牧场可供10头牛吃20天,可供12头牛吃15天;如果小军家养了24头牛,可以吃几天草速：10×20－12×15÷20－15=4老草路程差：根据：路程差=速度差×追及时间10－4×20=120 或12－4×15=120追及时间=路程差÷速度差：120÷24－4=6天例2 一个牧场可供58头牛吃7天,或者可供50头牛吃9天;假设草的生长量每天相等,每头牛的吃草量也相等,那么,可供多少头牛吃6天草速：50×9－58×7÷9－7=22老草路程差：50－22×9=252 或58－22×7=252求几头牛就是求牛速,牛速=路程差÷追及时间＋草速252÷6＋22=64头现在回头看看仁华学校课本那道题吧例3 一个水池,底部安有一个常开的排水管,上部安有若干个同样粗细的进水管,当打开4个进水管时需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时,需要15小时才能注满水池；现在需要在2小时内将水池注满,那么至少要打开多少个进水管分析本题没给出排水管的排水速度,因此必须找出排水管与进水管之间的数量关系,才能确定至少要打开多少个进水管.解：本题是具有实际意义的工程问题,因没给出注水速度和排水速度,故需引入参数.设每个进水管1小时注水量为a,排水管1小时排水量为b,根据水池的容量不变,我们得方程4a-b ×5=2a-b×15,化简,得：4a-b=6a-3b,即a=b.这就是说,每个进水管1小时的注水量等于排水管1小时的排水量.再设2小时注满水池需要打开x个进水管,根据水池的容量列方程,得xa-a×2＝2a-a×15,化简,得2ax-2a=15a,即2xa=17a.a≠0所以x=因此至少要打开9个进水管,才能在2小时内将水池注满.注意：x=,这里若开8个水管达不到2小时内将水池注满的要求；开个水管不切实际.因此至少开9个进水管才行.以上是书中给出的解法,考虑到此解法不适合给小学孩子讲,所以把此题当作牛吃草问题来讲的.把进水管看成"牛",排水管看成"草",满池水就是“老草”排水管速：2×15－4×5÷15－5=1满池水路程差：2－1×15=15 或4－1×5=15几个进水管：15÷2＋1=个我和学生都有个好习惯,解完一道题后要反思,这道题既然是工程问题,那么,可不可以用工程问题的解法来做呢之后在课堂上当时做了尝试,结果答案是肯定的当打开4个进水管时,需要5小时才能注满水池,那么4个进水管和1个排水管的效率就是1/5;当打开2个进水管时,需要15小时才能注满水池,那么2个进水管和1个排水管的效率就是1/15;两者之间差了4－2=2个进水管的效率,于是1个进水管的效率是：1/5－1/15÷4－2=1/151个排水管的效率是：4×1/15－1/5=1/15 或者2×1/15－1/15=1/15现在需要在2小时内将水池注满,那么至少要打开多少个进水管1/2＋1/15÷1/15=个让我们用这个方法验证一下例2吧例2 一个牧场可供58头牛吃7天,或者可供50头牛吃9天;假设草的生长量每天相等,每头牛的吃草量也相等,那么,可供多少头牛吃6天牛速：1/7－1/9÷58－50=1/252草速：58×1/252－1/7=11/126 或者50×1/252－1/9=11/126多少头牛：1/6＋11/126÷1/252=64头有这样的问题,如：牧场上有一片匀速生长的草地,可供27头牛吃6周,或供23头牛吃9周;那么它可供21头牛吃几周这类问题称为“牛吃草”问题;解答这类问题,困难在于草的总量在变,它每天、每周都在均匀地生长,时间越长,草的总量越多;草的总量是由两部分组成的：1某个时间期限前草场上原有的草量；2这个时间期限后草场每天周生长而新增的草量;因此,必须设法找出这两个量来;下面就用开头的题目为例进行分析;见下图从上面的线段图可以看出23头牛9周的总草量比27头牛6周的总草量多,多出部分相当于3周新生长的草量;为了求出一周新生长的草量,就要进行转化;27头牛6周吃草量相当于27×6=162头牛一周吃草量或一头牛吃162周;23头牛9周吃草量相当于23×9=207头牛一周吃草量或一头牛吃207周;这样一来可以认为每周新生长的草量相当于207－162÷9－6=15头牛一周的吃草量;需要解决的第二个问题是牧场上原有草量是多少用27头牛6周的总吃草量减去6周新生长的草量即15×6=90头牛吃一周的草量即为牧场原有的草量;所以牧场上原有草量为26×6－15×6=72头牛一周的吃草量或者为23×9－15×9=72;牧场上的草21头牛几周才能吃完呢解决这个问题相当于把21头牛分成两部分;一部分看成专吃牧场上原有的草,另一部分看成专吃新生长的草;但是新生的草只能维持15头牛的吃草量,且始终保持平衡前面已分析过每周新生的草恰够15头牛吃一周;故分出15头牛吃新生长的草,另一部分21－15=6头牛去吃原有的草;所以牧场上的草够吃72÷6=12周,也就是这个牧场上的草够21头牛吃12周;例2：一只船发现漏水时,已经进了一些水,水匀速进入船内;如果10人淘水,3小时淘完；如5人淘水8小时淘完;如果要求2小时淘完,要安排多少人淘水分析与解答：这类问题,都有它共同的特点,即总水量随漏水的延长而增加;所以总水量是个变量;而单位时间内漏进船的水的增长量是不变的;船内原有的水量即发现船漏水时船内已有的水量也是不变的量;对于这个问题我们换一个角度进行分析;如果设每个人每小时的淘水量为“1个单位”,则船内原有水量与3小时内漏水总量之和等于每人每小时淘水量×时间×人数,即1×3×10=30;船内原有水量与8小时漏水量之和为1×5×8=40;每小时的漏水量等于8小时与3小时总水量之差÷时间差,即40－30÷8－3=2即每小时漏进水量为2个单位,相当于每小时2人的淘水量;船内原有的水量等于10人3小时淘出的总水量－3小时漏进水量,3小时漏进水量相当于3×2=6人1小时淘水量;所以船内原有水量为30－2×3=24;如果这些水24个单位要2小时淘完,则需24÷2=12人;但与此同时,每小时的漏进水量又要安排2人淘出,因此共需要12＋2=14人;从以上这两个例题看出,不管从哪一个角度来分析问题,都必须求出原有的量及单位时间内增加的量,这两个量是不变的量;有了这两个量,问题就容易解决了;例3：12头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草,21头牛63天可以吃完30公亩牧场上全部牧草;多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全部牧草每公亩牧场上原有草量相等,且每公亩牧场每天生长草量相等分析：解量的关键在于求出一公亩一天新生长的草量可供几头牛吃一天,一公亩原有的草量可供几头牛吃一天;12头牛28天吃完10公亩牧场上的牧草,相当于1公亩原来的牧草加上28天新生产的草可供头牛吃一天12×28÷10=;21头牛63天吃完30公亩牧场上的牧草,相当于1公亩原有的草加上63天新生长的草可供头牛吃一天63×21÷30=;1公亩一天新生长的牧草可供头牛吃一天,即：－÷63－28 = 头1公亩原有的牧草可供头牛吃一天,即：－×28=头72公亩原有牧草可供头牛吃126天,即：72×÷126=头72公亩每天新生长的草量可供头牛吃一天,即：72×=头所以72公亩牧场上的牧草可供36=＋头牛吃126天,问题得解;解：一公亩一天新生长草量可供多少头牛吃一天63×21÷30－12×28÷10÷63－28=头一公亩原有牧草可供多少头牛吃一天12×28÷10－×28=头72公亩的牧草可供多少头牛吃126天72×÷126＋72×= 36头例4：一块草地,每天生长的速度相同;现在这片牧草可供16头牛吃20天,或者供80只头吃12天;如果一头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量,那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天分析：由于1头牛每天的吃草量等于4只羊每天的吃草量,故60只羊每天的吃草量和15头牛每天的吃草量相等,80只羊每天吃草量与20头牛每天吃草量相等;解：60只羊每天吃草量相当于多少头牛每天的吃草量60÷4=15头草地原有草量与20天新生长草量可供多少头牛吃一天16×20=320天80只羊12天的吃草量可供多少头牛吃一天80÷4×12=240头每天新生长的草量够多少头牛吃一天320－240÷20－12=10头原有草量可够多少头牛吃一天320－20×10=120头原有草量可供10头牛与60只羊吃多少天120÷60÷4＋10－10=8天例5：一水库原有存水量一定,河水每天均匀入库;5台抽水机连续20天可抽干,6台同样的抽水机连续15天可抽干;若要求6天抽干,需要多少台同样的抽水机解：水库原有的水与20天流入水可供多少台抽水机抽1天 20×5=100台水库原有水与15天流入的水可供多少台抽水机抽1天6×15=90台每天流入的水可供多少台抽水机抽1天100－90÷20－15=2台原有的水可供多少台抽水机抽1天100－20×2=60台若6天抽完,共需抽水机多少台60÷6＋2=12台例6：有三片草场,每亩原有草量相同,草的生长速度也相同;三片草场的面积分别为313亩、10亩和24亩;第一片草场可供12头牛吃4周,第二片草场可供21头牛吃9周;问：第三片草场可供多少头牛吃18周用方程解：解：设每亩草场原有的草量为a,每周每亩草场新生长草量为b;依题意 第一片草场313亩原有的草与4周新生长的草量之和为：313a ＋4×313 b 每头牛每周的吃草量为第一片草场313亩： b a )313(4)313(⨯+÷12×4=4123)4(10⨯⨯+b a =72)4(5b a + 1 第二片草场10亩原有的草与9周生长出来的草为：10a ＋10×9b每头牛每周的吃草量为：第二片草场921)910(10⨯⨯+b a 2 由于每头牛每周吃草量相等,列方程为：72)4(5921)910(10b a b a +=⨯⨯+ 3 5a=60ba=12b 表示1亩草场上原有草量是每周新生长草量的12倍将a=12b 代入3的两边得到每头牛每周吃草量为b 910; 设第三片草场24亩可供x 头牛吃18周吃完,则由每头牛每周吃草量可列出方程为：91018)2418(24b x b a =⨯⨯+ 4 x=36答：第三片草场可供36头牛18周食用;这道题列方程时引入a、b两个辅助未知数,在解方程时不一定要求出其数值,在本题中只需求出它们的比例关系即可;习题九1．一场牧场长满草,每天牧草都均匀生长;这片牧场可供10头牛吃20天,可供15头牛吃10天;问：可供25头牛吃多少天2．22头牛吃33亩草地上的草,54天可以吃完；17头牛吃28亩同样的草地上的草,84天可以吃完;问：同样的牧草40亩可供多少头牛食用24天每亩草地原有草量相等,草生长速度相等3．有一牧场,17头牛30天可将草吃完；19头牛则24天可以吃完;现有若干头牛吃了6天后,卖掉了4头牛,余下的牛再吃两天便将草吃完;问：原来有多少头牛吃草草均匀生长4．现欲将一池塘水全部抽干,但同时有水匀速流入池塘;若用8台抽水机10天可以抽干；用6台抽水机20天能抽干;问：若要5天抽干水,需多少台同样的抽水机来抽水。

牛吃草的五种题型问题“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间。

难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定。

“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．解“牛吃草”问题的主要依据：①草的每天生长量不变；②每头牛每天的食草量不变；③草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值④新生的草量＝每天生长量×天数同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；⑵草的生长速度＝(对应牛的头数×较多天数－对应牛的头数×较少天数)÷(较多天数－较少天数)；⑶原来的草量＝对应牛的头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；⑷吃的天数＝原来的草量÷(牛的头数－草的生长速度)；⑸牛的头数＝原来的草量÷吃的天数＋草的生长速度．“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．题型1、一块地的“牛吃草问题”例1 牧场上有一片匀速生长的牧草，可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天，那么这片牧草可供多少头牛吃12天？解：27头牛6周的吃草量27×6＝162 23头牛9周的吃草量23×9＝207★每天新生的草量(207－162)÷(9－6)＝15★原有的草量207－15×9＝72 ★吃12天，牛的头数：72÷12+15=21(头)1、牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天．供25头牛可吃几天？2、由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少．经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天．那么，可供11头牛吃几天？3、两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3级梯级，女孩每秒可走2级梯级，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。