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牛吃草问题一、知识框架：1、英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题,即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长.后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题"。
2、“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定.“牛吃草"问题是小学应用题中的难点。
3、解“牛吃草”问题的主要依据：草的每天生长量不变；每头牛每天的食草量不变;草的总量，草场原有的草量，新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值新生的草量，每天生长量，天数。
4、同一片牧场中的“牛吃草"问题，一般的解法可总结为:⑴设定1头牛1天吃草量为“1”;⑵草的生长速度＝对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数÷（吃的较多天数－吃的较少天数)⑶原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数⑷吃的天数＝原有草量÷(牛头数－草的生长速度)⑸牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度5、“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草"问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题.重难点：（1）理解牛吃草这类题目的解题步骤，掌握牛吃草问题的对比的解题思路。
(2）初步了解牛吃草的变式题,会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系。
6、典型例题:考点一：一块草地的牛吃草例1、牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头牛吃18周？【巩固】有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天,或可供24头牛吃10天．那么它可供几头牛吃20天？例2、一牧场长满青草，27头牛6个星期可以吃完,或者23头牛9个星期可以吃完。
若是21头牛，要几个星期才可以吃完？(注：牧场的草每天都在生长）【巩固】牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天．供25头牛可吃几天？例3、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长,反而以固定的速度在减少.已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天．照此计算，可以供多少头牛吃10天？【巩固】由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。
小学奥数之牛吃草问题牛吃草问题是小学奥数五年级的内容，学过的同学都知道这是一类比较复杂的应用题，还有一些相应的变形题：排队买票、大坝泄洪、抽水机抽水等等。
那么在这里讲下牛吃草问题的解题思路和解题方法、技巧供大家学习。
一、解决此类问题，孩子必须弄个清楚几个不变量：1、草的增长速度不变 2、草场原有草的量不变。
草的总量由两部分组成，分别为：牧场原有草和新长出来的草。
新长出来草的数量随着天数在变而变。
因此孩子要弄清楚三个量的关系：第一：草的均匀变化速度（是均匀生长还是均匀减少）第二：求出原有草量第三：题意让我们求什么（时间、牛头数）。
注意问题的变形：如果题目为抽水机问题的话，会让求需要多少台抽水机二、解题基本思路1、先求出草的均匀变化速度，再求原有草量。
2、在求出“每天新增长的草量”和“原有草量”后，已知头数求时间时，我们用“原有草量÷每天实际减少的草量（即头数与每日生长量的差）”求出天数。
3、已知天数求只数时，同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。
4、根据（“原有草量”+若干天里新生草量）÷天数”，求出只数三、解题基本公式解决牛吃草问题常用到的四个基本公式分别为：1、草的生长速度＝对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数÷（吃的较多天数－吃的较少天数）2、原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数3、吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）4、牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度四、下面举个例子例题：有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。
如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。
一般方法：先假设1头牛1天所吃的牧草为1，那么就有：（1）27头牛6天所吃的牧草为：27×6＝162 （这162包括牧场原有的草和6天新长的草。
奥数讲座五年级牛吃草问题解决这类问题我们通常假设1头牛一天的吃草量为“1”。
牛在一定时间内所食的草量包括两类：一类是一定规模的牧场原有的草量，另一类是一定时间段内新生长的草量。
这类问题的解决还可以推广到合理开放火车站检票口问题，合理调度运输车辆运送仓库货物问题，预测地球固有资源的消耗速度及人口消耗地球资源速度与控制人口增长问题等等。
例1 有一个牧场，牧场上的牧草每天都在匀速生长，这片牧场可供15头牛吃20天，或者可供20头牛吃10天，那么这片牧场每天新增的草量可供几头牛吃1天？分析与解解决这类问题的关键是利用牛吃的草量，最终求出这片牧场每天新生长的草量。
由于这类问题一般不给出草量的单位，为此，我们总是设1单位的草量=1头牛1天（或者1周）吃的草量于是，我们可以算出15头牛20天吃的草量为1520300(1)⨯=单位300单位的草量包含这片牧场原有的草量和20天内这片牧场新生长的草量。
而20头牛10天所吃的草量为2010200(1)⨯=单位200单位的草量包含这片牧场原有的草量和10天内这片牧场新生长的草量。
上述两种情况的差300-200=100意味着20天新增长的草量与10天新增长的草量之差。
所以牧草每天新增长的草量为(300200)(2010)10(1)-÷-=单位由单位1的意义可以知道，一天新增长的草量可以供1头牛吃1天。
为了方便，草量“单位1”三个字经常省略。
例如10意味着10个单位的草量，它既可以表示10头牛吃1天的草量，也可以表示1头牛吃10天的草量。
随堂练习：有一个牧场上长满了牧草，可以供27头牛吃6周，或者可以供23头牛吃9周，如果牧草每周均匀的生长，问原有牧草可以供几头牛吃1周？例2 牧场上有一片牧草，可以供24头牛吃6周，或者供18头牛吃10周，假设牧草的生长速度均匀，那么可以供19头牛吃几周？分析与解设1头牛每周的吃草量为1，则每周新生长的草量为(1810246)(106)9⨯-⨯÷-=从而原有草量为：2469690⨯-⨯=设19头牛吃完这片牧草用时为x周，则有19x=90+9x，即19x-9x=90，x=9(周) 随堂练习：某牧场长满了草，若17人30天可以割完，19人24天可以割完，假设草生长匀速，每人每天的割草量相同，问49人几天可以将草割完?例3 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草每天均匀的减少，经计算，现有牧场上的草可供20头牛吃5天或可供16头牛吃6天。
牛吃草问题五年级奥数牛吃草问题解决问题的技巧：解决这个问题的关键是牧场上的饲料总量在不断变化。
因此，为了解决这类问题，我们必须首先分析清草量的变化，这通常被称为新量。
然后找出牧场上原始草的数量。
只要你注意这两点，你就能很好地解决问题。
例1牧场上有一片匀速生长的牧草，可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天，那么这片牧草可供多少头牛吃12天？练习1一个牧场可以饲养58头牛7天，或者50头牛9天。
假设每天草的生长量相等，每头牛的草消耗量相等，那么6天内能吃多少头牛？2．一片牧场长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧场可供10头牛吃20天，或可供15头牛吃10天，问：可供多少头牛吃5天？一例2一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内。
如果派10人淘水，6小时淘完；如果派6人淘水，18小时淘完。
如果派22人淘水，多少小时可以淘完？例3：一个车站在办理登机手续前几分钟开始排队，每分钟来的乘客人数相同。
从开始办理登机手续到等待办理登机手续的队伍消失，同时打开四个登机门需要30分钟，同时打开五个登机门需要20分钟。
如果同时打开七个登机口，需要多少分钟？例4由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少．已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天．照此计算，可供多少头牛吃10天？例5小军家的一片草地上长满了草，草每天都在以恒定的速度生长。
该牧场可饲养10头牛20天，12头牛15天。
如果小军有24头牛，他能吃多少天？2练习1牧场上有一片草地，6周内可供24头牛食用，10周内可供18头牛食用。
假设草的生长速度保持不变，19头牛需要多少周才能吃草？练习2一片均匀生长的牧草，如果9头牛吃,12天吃光所有的草,如果8头牛吃16天吃完所有的草。
如果13头牛吃，多少天可以把草吃完？练习3：20匹马可以在72天内吃掉32公顷的草，16匹马可以在54天内吃掉24公顷的草。
假设每公顷草地上有等量的草，每公顷草的生长速率每天都是相同的。
小学奥数专题一牛吃草问题牛吃草概念及公式：设定一头牛一天吃草量为“1”1草的生长速度＝对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数÷吃的较多天数－吃的较少天数；2原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；3吃的天数＝原有草量÷牛头数－草的生长速度；4牛头数＝原有草量÷吃的天数+草的生长速度一、奥数导引例1．一块牧场长满草,每天牧草都均匀生长;这片牧场可供10头牛吃20天,可供15头牛吃10天,那么1可供25头牛吃多少天 2可供多少头牛吃4天例1.解析：假设一头牛一天吃1份草,10天长出草10×20-15×10=50份,每天长出草50÷20-10=5份,原有草10×20-20×5=100份,25头牛吃的草,减去每天长的草,一天消耗草25-5=20份,够吃100÷25-5=5天;可供25头牛吃5天; 解法二：110-x×20=15-x×10=25-x×210-x×20=15-x×10= -x×4例2．如果22头牛吃33公亩牧场的草,54天后可以吃完,17头牛吃28公亩牧场的草,84天后可以吃完,那么要在24天内吃完40公亩牧场的草,需要多少头牛A.50B.46C.38D.35例2解法1：牧场的面积发生变化,所以每天长出的草量不再是常量;设每头牛每天的吃草量为1份,则每亩54天的总草量为：22×54÷33=36份；每亩84天的总草量为：17×84÷28=51份,那么每亩每天的新生长草量为51-36÷84-54=0.5份,每亩原有草量为36-0.5×54=9份,那么40亩原有草量为9×40=360份,40亩24天新生长草量为24×0.5×40=480份,40亩24天共有草量360+480=840,可供牛数为840÷24=35头;解法2：利用列方程解问题;二、历年真题三、奥数拔高训练100分1.一个牧场可供58头牛吃7天,或者可供50头牛吃9天;假设草的生长量每天相等,每头牛的吃草量也相等,那么可供多少头牛吃6天10分2.现要将一池塘水全部抽干,但同时又有水流进池塘;若用8台抽水机10天可以抽干；用6台抽水机20天可以抽干;若要5天抽干水,需要多少台同样的抽水机抽水 15分3.一个蓄水池装有9根水管,1根进水管,8根相同的出水管;先放进一些水再排水;排水时进水管不关;如果把8根出水管全部打开,需3小时把池内的水全部排光；如果仅打开5根出水管,需6小时把池内的水全部排光;要想在4.5小时内把池内的水全部排光,需同时打开几个出水管 15分4．旅客在车站候车室等车,并且排队的乘客按一定速度增加,检查速度也一定,当车站开放一个检票口,需用半小时把所有乘客解决完毕,当开放2个检票口时,只要10分钟就把所有乘客解决完毕;1求增加人数的速度；2原来的人数;30分5.有三块草地,面积分别是5、15、24亩;草地上的草一样厚,而且长得一样快;第一块草地可供10头牛吃30天,第二块草地可供28头牛吃45天,问第三块地可供多少头牛吃80天 30分1.解析：50×9-58×7÷9-7=22份,58×7-22×7=252份,252+6×22÷6=64头可供64头牛吃6天;2.解析：假设一台抽水机一天抽水1份;6×20-8×10÷20-10=4份,8×10-4×10=40份, 40+4×5÷5=12台,需要12台同样的抽水机抽水;3.解析：假设打开一根出水管每小时可排水“一份”,那么8根出水管开3小时共排出水8×3＝24份；5根出水管开6小时共排出水5×6＝30份;两种情况比较,可知3小时内进水管放进的水是30-24=6份；进水管每小时放进的水是6÷3=2份;3小时排水24份,3小时进水6份,可见打开排水管前,水池中有水24-6=18份;4.5小时再进水4.5×2=9份,4.5小时排完需打开18+9÷4.5=6根排水管;4.解析：设一个检票口一分钟通过一个人1个检票口30分钟30个人1个检票口10分钟20个人30-20÷30-10=0.5个人原有1×30-30×0.5=15人或者2×10-10×0.5=15人5.解析：设每头牛每天的吃草量为1份,则每亩30天的总草量为：10×30÷5=60份；每亩45天的总草量为：28×45÷15=84份,那么每亩每天的新生长草量为84-60÷45-30=1.6份,每亩原有草量为60-1.6×30=12份,那么24亩原有草量为12×24=288份,24亩80天新生长草量为24×1.6×80=3072,24亩80天共有草量3072+288=3360,可供牛数为3360÷80=42头;例 1 一片茂盛的草地,每天的生长速度相同,现在这片青草16头牛可吃15天,或者可供100只羊吃6天,而4只羊的吃草量相当于l头牛的吃草量,那么8头牛与48只羊一起吃,可以吃多少天例 22008年“陈省身杯”国际青少年五年级数学邀请赛有一个水池,池底存了一些水,并且还有泉水不断涌出;为了将水池里的水抽干,原计划调来8台抽水机同时工作;但出于节省时间的考虑,实际调来了9台抽水机,这样比原计划节省了8小时;工程师们测算出,如果最初调来10台抽水机,将会比原计划节省12小时;这样,将水池的水抽干后,为了保持池中始终没有水,还应该至少留下台抽水机;例3 甲、乙、丙三车同时从A地出发到B地去．甲、乙两车的速度分别是每小时60千米和每小时48千米．有一辆卡车同时从B地迎面开来,分别在它们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙车相遇,求丙车的速度．巩固小新、正南、妮妮三人同时从学校出发到公园去．小新、正南两人的速度分别是每分钟20米和每分钟16米．在他们出发的同时,风间从公园迎面走来,分别在他们出发后6分钟、7分钟、8分钟先后与小新、正南、妮妮相遇,求妮妮的速度．例 4 一片匀速生长的牧草,如果让马和牛去吃,15天将草吃尽；如果让马和羊去吃,20天将草吃尽；如果让牛和羊去吃,30天将草吃尽．已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量．现在让马、牛、羊一起去吃草,几天可以将这片牧草吃尽巩固现在有牛、羊、马吃一块草地的草,牛、马吃需要45天吃完,于是马、羊吃需要60天吃完,于是牛、羊吃需要90天吃完,牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度,求马、牛、羊一起吃,需多少时间。
第十二讲牛吃草问题引言：牛顿在《普通算术》这一本书中有一道著名的题目：12头牛4周吃了3格尔，同样牧草，21头牛9周吃了18格尔，问24格尔牧草，多少头牛要18周吃完？（格尔：牧场的面积单位）。
【知识导航】由于牧场的草是不断的生长的，即使是同样大小的牧场草量也会随着天数不断变化，从而使这一类问题的解答复杂。
人们通常把这一类问题称为“牛吃草” 或“牛顿问题”。
草的总量是由两部分组成的：①某个时间期限前牧场上原有的草；②这个时间期限后牧场上每天（周）新长出的草。
因此，设法找出这两个量是解题的关键。
解答牛吃草问题，主权涉及以下两组基本数量关系：牛吃草的草=原有的草+新长出来的草每头牛每天吃的草X天数X牛的头数=吃草总量由于每头牛吃草量是一定的，可看为1份，因此第二个数量关系可简化为：牛的头数X牛吃草的天数=草的总量【例1】牧场上长满了牧草，而且每天还要匀速生长，这片牧场上的草可供9头牛吃20天，可供15头牛吃10天，如果要供18头牛吃，可吃几天？练一练：牧场上有一片青草，每天匀速生长，这片青草可供10头牛吃20天, 可供15头牛吃10天，问供25头牛可以吃几天？【例2】有一口井，用同样功率的3台抽水机恰好抽干要40分钟，如果用6台抽水机恰好抽干要16分钟，现在用9台抽水机恰好抽干要几分钟？练一练：一只船发现漏水时，巳经进了一些水，现在匀速进入船内，如果10人淘水，3小时可淘完，5人淘水8小时可淘完。
如果要2小时淘完，要安排多少人？【例3】某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。
从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。
如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？【分析与解】认真读完后，将“牛吃草问题”联系起来。
可想到“检票前来的人”是“原草量”，“每分钟来的旅客人数”是“草每天生长量” “检票口” 是“牛”。
4个检票口30分钟经过的人比5个检票口20分钟经过的人多，多的部分相当于（30-20）分钟来的人数，从而求出1分钟来的人数，原有人数和问题便可以求出。
年 级五年级 授课日期 授课主题 第8讲——牛吃草问题教学内容i.检测定位有这样一类问题，例如“牧场上有一片牧草，这些牧草每天都均匀生长.这片牧场可供15头牛吃20天，或可供20头牛吃10天，新生草量可供几头牛吃1天？”，类似的问题成为“牛吃草”问题.解决这类问题我们通常假设1头牛一天的吃草量为“1”.牛在一定时间（天、周）内所食的草量包含两类：一定规模的牧场原有的草量；一定时段内新生的草量.解决这类问题的思维模式及数量关系常可应用到相似生活中某种场合下所发生的问题中去.例如合理开放火车站检票口问题；合理调度运输车辆运送仓库货物问题；甚至预测地球固有资源的消耗速度及人口消耗地球资源速度而必须控制人口的增长等问题.【例1】有一个牧场，牧场上的牧草每天都在匀速生长.这片牧场可供15头牛吃20天，或可供20头牛吃10天.那么，这片牧场每天新生的草量可供几头牛吃1天？分析与解 解决这类问题的关键是利用牛吃草的草量，最终求出这片牧场每天新生长的草量.由于这类问题一百年不给出草量的单位.为此，我们可以设周）吃的草量天（或头牛单位的草量1111=.于是15头牛20天所食的草量为）（单位13002015=⨯， ①300单位的草量包含这片牧场原有的草量加上20天内这片牧场新生长的草量.而20头牛吃10天所食的草量为）（单位12001020=⨯， ②200单位的草量包含这片牧场原有的草量加上10天内这片内这片牧场新生长的草量.由 ①- ②，得100200-300=，这意味着20天新生长的草量与10天新生长草量只差（因为这片牧场原有的草量是固定的）是100（单位1）.，）（6030330=-+x ，6090330=-+x，60603=-x,1203=x.40=x 因此，所有的饮料40天后可售完.随堂练习6仓库里有一批存货，以后不断有车运货金仓，且每天运进的货一样多，用同样的货车运货出仓.若每天用4辆车，则9天恰好运完；若每天用5辆货车，则6天恰好运完.仓库里原有的货若用一辆货车运，则需要多少天运完？想一想平均分配如图1是16个盛有不同水量的杯子（用○表示）.圆的数字表示该杯中的水量.摆成4行4列的正方形形状.箭头上的数所指的行、列、对角上4个杯中水量的总和，现在这10个总和不完全相等.请你只动一只杯子，将其中的水（部分或全部）适当分配到某几个杯中，使箭头上的10个总量全部相等.解答 .10440,40101398=÷=+++每行、每列及对角线上4个杯中水的总量是10.如图2，将盛有水量为5的杯中水如箭头所示分配到3个杯中，即可使每行、每列及对角线上的4个杯中水的总量都变成10，如图3所示.ii.针对培养1. 有一片牧草，草每天匀速地生长.这片牧草可供100头牛吃3周，可供50头牛吃8周.那么可供多少头牛吃两周？2. 一个牧场，草每天匀速地生长，每头牛每天吃草量相同.17头牛30天可将草吃完，19头牛只需24天就可将草吃完.现有一群牛，吃了6天后，卖掉4头牛，余下的再吃2天就可将草吃完.问没有卖掉4头牛前，这一群牛共有多少头？。
