新人教A版新教材学高中数学必修第一册第一章集合与常用逻辑用语集合的概念讲义

最新课程标准：（１）通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系．（２）针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合．知识点一集合的概念１．元素：一般地，我们把研究对象统称为元素．２．集合：把一些元素组成的总体叫做集合．３．集合中元素的特征特征含义确定性集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何元素在不在这个集合里是确定的．它是判断一组对象是否构成集合的标准互异性给定一个集合，其中任何两个元素都是不同的，也就是说，在同一个集合中，同一个元素不能重复出现无序性集合中的元素无先后顺序之分只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．错误!集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么，集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物．知识点二元素与集合的表示及关系１．元素与集合的符号表示表示错误!２．元素与集合的关系错误!对元素和集合之间关系的两点说明１．符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A 而言，只有“a∈A ”与“a∉A ”这两种结果．２．∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．３．数学中一些常用的数集及其记法全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N＋；全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；全体实数组成的集合称为实数集，记作R.知识点三集合的表示１．列举法把集合中的元素一一列举出来，并用大括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．２．描述法一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P（x）}，这种表示集合的方法称为描述法．错误!１．列举法表示集合时的４个关注点（１）元素与元素之间必须用“，”隔开．（２）集合中的元素必须是明确的．（３）集合中的元素不能重复．（４）集合中的元素可以是任何事物．２．描述法表示集合时的３个关注点（１）写清楚集合中元素的符号，如数或点等；（２）说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等；（３）不能出现未被说明的字母．[教材解难]１．教材P２思考例（３）到例（6）都能组成集合例（３）中的元素为“每一个正方形”例（４）中的元素为“到直线l的距离等于定长d的所有点”例（５）中的元素为“方程x２—３x＋２＝0的所有实数根”例（6）中的元素为“地球上的四大洋”２．教材P３思考（１）能，大于等于0且小于等于9的３的倍数．（２）不能，不等式x—7<３的解集是x<１0，元素有无数个，列举不完．３．教材P５思考用自然语言、列举法和描述法表示集合时各有各的特点，自然语言只需表达出集合中元素的共同特征，不受形式的限制．列举法和描述法是集合语言，有严格的格式要求．其中列举法非常明确地列出组成集合的元素，适用于表示元素个数较少的集合，但是不易看出元素所具有的特征，且有些集合是不能用列举法表示的，如不等式x—１>0的解集；描述法清楚地表述了元素的共同特征，适用于表示无限集或元素个数较多的有限集，但是不容易看出集合的具体元素．[基础自测]１．下列能构成集合的是（）Ａ．中央电视台著名节目主持人Ｂ．我市跑得快的汽车Ｃ．上海市所有的中学生Ｄ．香港的高楼解析：A，B，D中研究的对象不确定，因此不能构成集合．答案：C２．下列各组中的两个集合M和N，表示相等集合的是（）Ａ．M＝{π}，N＝{３．１４１５9}Ｂ．M＝{２,３}，N＝{（２,３）}Ｃ．M＝{x|—１<x≤１，x∈N}，N＝{１}Ｄ．M＝{１，错误!，π}，N＝{π，１，|—错误!|}解析：选项A中两个集合的元素互不相等，选项B中两个集合一个是数集，一个是点集，选项C中集合M＝{0,１}，只有D是正确的．答案：D３．集合{x∈N*|x—３<２}的另一种表示法是（）Ａ．{0,１,２,３,４} Ｂ．{１,２,３,４}Ｃ．{0,１,２,３,４,５} Ｄ．{１,２,３,４,５}解析：∵x—３<２，x∈N*，∴x<５，x∈N*，∴x＝１,２,３,４．故选Ｂ．答案：B４．设—５∈{x|x２—ax—５＝0}，则集合{x|x２＋ax＋３＝0}＝________.解析：由题意知，—５是方程x２—ax—５＝0的一个根，所以（—５）２＋５a—５＝0，得a＝—４，则方程x２＋ax＋３＝0，即x２—４x＋３＝0，解得x＝１或x＝３，所以{x|x２—４x＋３＝0}＝{１,３}．答案：{１,３}题型一集合的概念[经典例题]例１下列对象能构成集合的是（）Ａ．高一年级全体较胖的学生Ｂ．sin ３0°，sin ４５°，cos 60°，１Ｃ．全体很大的自然数Ｄ．平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点【解析】由于较胖与很大没有一个确定的标准，因此A，C不能构成集合；B中由于sin ３0°＝cos 60°不满足互异性；D满足集合的三要素，因此选Ｄ．【答案】D构成集合的元素具有确定性．方法归纳判断一组对象组成集合的依据判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．跟踪训练１下列各项中，不可以组成集合的是（）Ａ．所有的正数Ｂ．等于２的数Ｃ．接近于0的数Ｄ．不等于0的偶数解析：由于接近于0的数没有一个确定的标准，因此C中的对象不能构成集合．故选Ｃ．答案：CC中元素不确定．题型二元素与集合的关系[经典例题]例２（１）下列关系中，正确的有（）１错误!∈R；２错误!∉Q；３|—３|∈N；４|—错误!|∈Q.Ａ．１个Ｂ．２个Ｃ．３个Ｄ．４个（２）满足“a∈A且４—a∈A，a∈N且４—a∈N”，有且只有２个元素的集合A 的个数是（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３【解析】（１）错误!是实数，错误!是无理数，|—３|＝３是非负整数，|—错误!|＝错误!是无理数．因此，１２３正确，４错误．（２）∵a∈A且４—a∈A，a∈N且４—a∈N，若a＝0，则４—a＝４，此时A＝{0,４}满足要求；若a＝１，则４—a＝３，此时A＝{１,３}满足要求；若a＝２，则４—a＝２，此时A＝{２}不满足要求．故有且只有２个元素的集合A有２个，故选Ｃ．【答案】（１）C （２）Ca分类处理：１a＝0，a＝１，a＝２；２a＝３，a＝４还讨论吗？方法归纳判断元素和集合关系的两种方法（１）直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可．此时应首先明确集合是由哪些元素构成的．（２）推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．跟踪训练２下列说法正确的是（）Ａ．0∉NＢ．错误!∈QＣ．π∉RＤ．错误!∈Z解析：Ａ．N为自然数集，0是自然数，故本选项错误；Ｂ．错误!是无理数，Q是有理数集合，错误!∉Q，故本选项错误；Ｃ．π是实数，即π∈R，故本选项错误；Ｄ．错误!＝２,２是正整数，则错误!∈Z，故本选项正确．故选Ｄ．答案：DN自然数集；Z整数集；Q有理数集；R实数集．题型三集合的表示[教材P４例题２]例３试分别用描述法和列举法表示下列集合：（１）方程x２—２＝0的所有实数根组成的集合A；（２）由大于１0且小于２0的所有整数组成的集合B.【解析】（１）设x∈A，则x是一个实数，且x２—２＝0．因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x２—２＝0}．方程x２—２＝0有两个实数根错误!，—错误!，因此，用列举法表示为A＝{错误!，—错误!}．（２）设x∈B，则x是一个整数，即x∈Z，且１0<x<２0．因此，用描述法表示为B ＝{x∈Z|１0<x<２0}．大于１0且小于２0的整数有１１,１２,１３,１４,１５,１6,１7,１8,１9，因此，用列举法表示为B＝{１１,１２,１３,１４,１５,１6,１7,１8,１9}．找准元素，列举法是把元素一一列举．描述法注意元素的共同特征．教材反思本例题用列举法和描述法表示集合，关键是找准元素的特点，有限个元素一一列举，无限个元素的可以用描述法来表示集合，需要用一种适当方法表示．何谓“适当方法”，这就需要我们首先要准确把握列举法和描述法的优缺点，其次要弄清相应集合到底含有哪些元素．要弄清集合含有哪些元素，这就需要对集合进行等价转化．转化时应根据具体情景选择相应方法，如涉及方程组的解集，则应先解方程组．将集合的三种语言相互转化也有利于我们弄清楚集合中的元素．跟踪训练３用适当的方法表示下列集合：（１）方程组错误!的解集；（２）由所有小于１３的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；（３）方程x２—２x＋１＝0的实数根组成的集合；（４）二次函数y＝x２＋２x—１0的图象上所有的点组成的集合．解析：（１）解方程组错误!得错误!故解集可用描述法表示为错误!，也可用列举法表示为{（４，—２）}．（２）小于１３的既是奇数又是素数的自然数有４个，分别为３,５,7,１１．可用列举法表示为{３,５,7,１１}．（３）方程x２—２x＋１＝0的实数根为１，因此可用列举法表示为{１}，也可用描述法表示为{x∈R|x２—２x＋１＝0}．（４）二次函数y＝x２＋２x—１0的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对（x，y），其中x，y满足y＝x２＋２x—１0，由于点有无数个，则用描述法表示为{（x，y）|y＝x２＋２x—１0}．易错点忽略集合中元素的互异性出错例含有三个元素的集合错误!，也可表示为集合{a２，a＋b,0}，求a，b的值．【错解】∵错误!＝{a２，a＋b,0}，∴错误!解得错误!或错误!【正解】∵错误!＝{a２，a＋b,0}，∴错误!解得错误!或错误!由集合中元素的互异性，得a≠１．∴a＝—１，b＝0．【易错警示】方法归纳选用列举法或描述法的原则要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法．列举法的特点是能清楚地展现集合的元素，通常用于表示元素个数较少的集合，当集合中元素较多或无限时，就不宜采用列举法；描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法.课时作业１一、选择题１．已知集合A中元素x满足—错误!≤x≤错误!，且x∈N*，则必有（）Ａ．—１∈AＢ．0∈AＣ．错误!∈AＤ．１∈A解析：x∈N*，且—错误!≤x≤错误!，所以x＝１,２．所以１∈A.答案：D２．将集合错误!用列举法表示，正确的是（）Ａ．{２,３} Ｂ．{（２,３）}Ｃ．{（３,２）} Ｄ．（２,３）解析：解方程组错误!得错误!所以答案为{（２,３）}．答案：B３．已知集合A含有三个元素２,４,6，且当a∈A，有6—a∈A，那么a为（）Ａ．２Ｂ．２或４Ｃ．４Ｄ．0解析：集合A含有三个元素２,４,6，且当a∈A，有6—a∈A，a＝２∈A,6—a＝４∈A，所以a＝２，或者a＝４∈A,6—a＝２∈A，所以a＝４，综上所述，a＝２或４．故选Ｂ．答案：B４．下列集合的表示方法正确的是（）Ａ．第二、四象限内的点集可表示为{（x，y）|xy≤0，x∈R，y∈R}Ｂ．不等式x—１＜４的解集为{x＜５}Ｃ．{全体整数}Ｄ．实数集可表示为R解析：选项A中应是xy＜0；选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；选项C的“{}”与“全体”意思重复．答案：D二、填空题５．给出下列关系：（１）错误!∈R；（２）错误!∈Q；（３）—３∉Z；（４）—错误!∉N，其中正确的是________．解析：错误!是实数，（１）正确；错误!是无理数，（２）错误；—３是整数，（３）错误；—错误!是无理数，（４）正确．答案：（１）（４）6．设集合A＝{１，—２，a２—１}，B＝{１，a２—３a,0}，若A，B相等，则实数a ＝________.解析：由集合相等的概念得错误!解得a＝１．答案：１7．已知集合A＝错误!，用列举法表示集合A为________．解析：（6—x）是１２的因数，并且x∈N，解得x为0,２,３,４,５．答案：{0,２,３,４,５}三、解答题8．已知集合A含有两个元素a—３和２a—１，若—３∈A，试求实数a的值．解析：因为—３∈A，A＝{a—３,２a—１}，所以—３＝a—３或—３＝２a—１．若—３＝a—３，则a＝0．此时集合A含有两个元素—３，—１，符合题意．若—３＝２a—１，则a＝—１，此时集合A含有两个元素—４，—３，符合题意．综上所述，满足题意的实数a的值为0或—１．9．用适当的方法表示下列集合．（１）方程x（x２＋２x＋１）＝0的解集；（２）在自然数集中，小于１000的奇数构成的集合．解析：（１）因为方程x（x２＋２x＋１）＝0的解为0或—１，所以解集为{0，—１}．（２）在自然数集中，奇数可表示为x＝２n＋１，n∈N，故在自然数集中，小于１000的奇数构成的集合为{x|x＝２n＋１，且n<５00，n∈N}．[尖子生题库]１0．下列三个集合：１{x|y＝x２＋１}；２{y|y＝x２＋１}；３{（x，y）|y＝x２＋１}．（１）它们是不是相同的集合？（２）它们各自的含义是什么？解析：（１）它们是不相同的集合．（２）集合１是函数y＝x２＋１的自变量x所允许的值组成的集合．因为x可以取任意实数，所以{x|y＝x２＋１}＝R.集合２是函数y＝x２＋１的所有函数值y组成的集合．由二次函数图象知y≥１，所以{y|y＝x２＋１}＝{y|y≥１}．集合３是函数y＝x２＋１图象上所有点的坐标组成的集合．。