武汉华师一附中2019-2020学年高一下期中考试数学试题(有答案)

华师一附中2019-2020学年度下学期高一期中诚信检测数学试题Ⅰ卷（共16小题，满分80分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知向量(1,1)a =-r，(,3)b x =r 且a b ⊥r r ，则||a b +r r 的值为（ ） A.B.C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由a b ⊥r r可求出x 的值，从而可得到a b +r r 的坐标，然后可求出模.【详解】解：因为向量(1,1)a =-r ，(,3)b x =r 且a b ⊥r r，所以1(1)30x ⋅+-⨯=，解得3x =，所以(3,3)b =r ，所以(4,2)a b +=r r，所以||a b +=r r故选：D【点睛】此题考查向量的坐标运算，向量垂直，向量的模，属于基础题. 2.已知2(2),(1)(3)M a a N a a =-=+-，则,M N 的大小关系是（ ） A. M N > B. M N ≥ C. M N < D. M N ≤【答案】A 【解析】 【分析】通过作差得到M N -，根据判别式∆和开口方向可知0M N ->，从而得到结果. 【详解】()()()2221323M N a a a a a a -=--+-=-+4120∆=-< 2230a a ∴-+>，即M N >本题正确选项：A【点睛】本题考查作差法判断大小问题，关键是通过作差得到二次函数，根据判别式和开口方向得到符号. 3.一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A B O '''，若1O B ''=，那么原ABO ∆的面积是( )A.12 B.2C.D.【答案】C 【解析】试题分析：由斜二测直观图还原原图形如图，因为边O ′B ′在x ′轴上，所以，在原图形中对应的边应在x 轴上，且长度不变， O ′A ′在y ′轴上，所以，在原图形中对应的边应在y 轴上，且长度增大到2倍，因O′B′=1，所以O ′A ′，则．则S △ABO =12OB ⨯OA=12考点：斜二测画法．4.已知等比数列{}n a 中，51183a a a =，数列{}n b 是等差数列，且68b a =，则48b b +=（ ） A. 3 B. 6C. 9D. 12【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质可将51183a a a =转化为8283a a =，从而得83a =，所以63b =，再由等差数列的性质可求出48626b b b +==.【详解】解：因为数列{}n a 为等比数列，51183a a a =，所以8283a a =，解得83a =，因68b a =，所以63b =，因为数列{}n b 是等差数列， 所以48626b b b +==， 故选：B【点睛】此题考查的是等差数列和等比数列的性质，属于基础题.5.已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos a B b A +=，1a =，b =则c =（ ）A.B. 1C.D.【答案】B 【解析】 【分析】先由正弦定理将cos cos a B b A +=中的边转化为角，可得sin()A B +=，可求出角6C π=，再利用余弦定理可求得结果.【详解】解：因为cos cos 2cos a B b A C+=，所以正弦定理得，sin cos sin cos 2cos CA B B A C+=所以sin()A B +=sin C =因为sin 0C ≠，所以cos C =，又因为(0,)C π∈，所以6C π=，因为1a =，b =所以由余弦定理得，2222cos 13211c a b ab C =+-=+-⨯=， 所以1c = 故选：B【点睛】此题考查的是利用正、余弦定理解三角形，属于中档题.6.《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配意思，通常称递减的比例为“衰分比”.如：已知,,A B C 三人分配奖金的衰分比为10%，若A 分得奖金1000元，则,B C 所分得奖金分别为900元和810元.某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得奖金59040元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金32800元，则“衰分比”与丙所获得的奖金分别为（ ） A. 20%，12800元 B. 10%，12800元 C. 20%，10240元 D. 10%，10240元【答案】A 【解析】 【分析】由题意得甲、乙、丙、丁获得奖金组成等比数列{}n a ，设“衰分比”为m ，则数列的公比为1m -，而由题意可知1234135904032800a a a a a a +++=⎧⎨+=⎩，进而计算可得3,m a 的值.【详解】解：由题意设，甲、乙、丙、丁获得奖金组成等比数列{}n a ，设“衰分比”为m ，则数列的公比为1m -，则有1234135904032800a a a a a a +++=⎧⎨+=⎩ 则有2426240a a +=，13(1)()26240m a a -+=， 解得 10.8m -=，则0.220%m ==， 因为1332800a a += 所以332328000.8a a +=，解得312800a = 的故选：A【点睛】此题考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题. 7.若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为 A. 1∶2 B. 1C. 1D.∶2【答案】C 【解析】 【分析】由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案 【详解】设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ＝∴其母线长l ＝r ＝∴S 侧＝πrl ＝πr 2＝S 底＝πr 故选C＝【点睛】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题．8.在ABC ∆中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的点，且2BD DC =u u u r u u u r，若34BE AB AD λ=+u u u r u u u r u u u r ，则λ=（ ） A. 54-B. 43-C. 45-D. 34-【答案】A 【解析】 【分析】可设AE xAC =u u u r u u u r，然后根据向量减法、加法的几何意义，以及向量的数乘运算即可得出3(1)22x x BE AB AD =-++u u u r u u u r u u u r ，从而根据平面向量基本定理即可得出(1)23324x x λ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解出λ即可．【详解】解：如图，设AE xAC =u u u r u u u r，且2BD DC =u u u r u u u r，则：BE AE AB =-u u u r u u u r u u u rxAC AB =-u u u r u u u r ()x AD DC AB =+-u u u r u u u r u u u r 1()2x AD BD AB =+-u u u r u u u r u u u r ()2x xAD AD AB AB=+--u u u r u u u r u u u r u u u r 3(1)22xx AB AD =-++u u u r u u u r ，Q 34BE AB AD λ=+u u u r u u u r u u u r ，∴(1)23324x x λ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得54λ=-，故选：A ．【点睛】本题主要考查向量加法和减法的几何意义，向量的数乘运算，平面向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题． 9.若正数a,b 满足a+b=2,则1411a b +++ 的最小值是( ) A. 1 B. 94C. 9D. 16【答案】B 【解析】 分析】 由2a b +=可得()()114a b +++=＝所以可得()()()411411411111411411411a b a b a b a b a b ⎡⎤++⎛⎫⎡⎤+=++++=+++⎢⎥ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭⎣⎦＝由基本不等式可得结果. 【详解】∵2a b +=，∴()()114a b +++=，又∵0a >，0b >， ∴()()141141111411a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()()411119145441144a b a b ⎡⎤++=+++≥⨯+=⎢⎥++⎣⎦， 当且仅当()41111a b a b ++=++， 即13a =，53b =时取等号,【1411a b +++ 的最小值是94,故选B.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.10.对于实数,[]x x 表示不超过x 的最大整数.已知正项数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则[][][]1240S S S +++=L （ ） A. 135 B. 141C. 149D. 155【答案】D 【解析】 【分析】利用已知数列的前n 项和求其n S 得通项，再求[]n S【详解】解：由于正项数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈，所以当1n =时，得11a =，当2n ≥时，111111[()]22n n n n n n n S a S S a S S --⎛⎫=+=-+⎪-⎝⎭ 所以111n n n n S S S S ---=-，所以2=n S n ，因为各项为正项，所以=n S因为[][][]1234851,1,[]1,[][]2S S S S S S =======L ,[]05911[][]3S S S ====L ,[]161724[][]4S S S ====L ,[]252635[][]5S S S ====L , []363740[][]6S S S ====L .所以[][][]1240S S S +++=L 13+25+37+49+511+65=155⨯⨯⨯⨯⨯⨯， 故选：D【点睛】此题考查了数列的已知前n 项和求通项，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题. 11.已知点C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，PC 是APB ∠的角平分线，I 为PC 上一点，满足BI BA =+u u v u u u vAC AP AC AP λ⎛⎫⎪+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v (0)λ>，4PA PB -=u u u v u u u v ，10PA PB -=u u u v u u u v ，则BI BA BA ⋅u u v u u u v u u uv 的值为（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合向量的运算法则可得点I 为三角形内切圆的圆心，结合三角形内切圆与边长关系的公式和向量的数量积运算公式整理计算即可确定BI BA BA⋅u u v u u u vu u u v 的值. 【详解】由BI BA u u v u u u v=+||||AC AP AC AP λ⎛⎫+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u ur u u u r (0)λ>可得||||AC AP AI AC AP λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u r u u u r u u u r ， 所以I 在∠BAP角平分线上，由此得I 是△ABP 的内心，过I 作IH ⊥AB 于H ，I 为圆心，IH 为半径，作△PAB 的内切圆，如图，分别切PA ，PB 于E ，F ，||||4,||10PA PB PA PB -=-=u u u r u u u r u u u r u u u rQ ，则10AB =u u u r ，11||||(||||||)[||(||||)223 ]BH BF PB AB PA AB PA PB ==+-=--=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r ，在直角三角形BIH 中,||cos ||BH IBH BI ∠=u u u r u u r ， 所以||cos 3||BI BA BI IBH BH BA ⋅=∠==u u r u u u ru ur u u u r u u u r . 故选B.【点睛】本题主要考查向量的运算法则，内切圆的性质，向量数量积的定义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.的12.设数列{}n a 的前n 项和为n S 已知()*123n n a a n n N++=+∈且1300nS=，若23a <，则n 的最大值为（ ） A. 49 B. 50 C. 51 D. 52【答案】A 【解析】 【分析】对n 分奇偶性分别讨论，当n 为偶数时，可得2+32n n nS =，发现不存在这样的偶数能满足此式，当n 为奇数时，可得21+342n n n S a -=+，再结合23a <可讨论出n 的最大值.【详解】当n 为偶数时，12341()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++(213)(233)[2(1)3]n =⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+ 2[13(1)]32n n =⨯++⋅⋅⋅+-+⨯2+32n n=，因为22485048+348503501224,132522S S ⨯+⨯====，所以n 不可能为偶数；当n 为奇数时，123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++⋅⋅⋅++1(223)(243)[2(1)3]a n =+⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+21342n n a +-=+因为2491149349412722S a a +⨯-=+=+，2511151351413752S a a +⨯-=+=+，又因为23a <，125a a +=，所以 12a > 所以当1300n S =时，n 的最大值为49 故选：A【点睛】此题考查的是数列求和问题，利用了并项求和的方法，考查了分类讨论思想，属于较难题.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案写在答题纸上的相应位置.）13.设, , a b c 为实数，且0a b <<，则下列不等式正确的是______.（仅填写正确不等式的序号） ①11a b <；＝22ac bc <；＝b a a b >；④b a a b <；⑤2211a b< 【答案】④⑤ 【解析】 【分析】利用不等式的性质分别进行验证即可得答案. 【详解】因为, , a b c 为实数，且0a b <<， 对于①因为0a b <<，所以0ab > 所以a b ab ab <，即11b a<，所以①不正确； 对于＝当0c =时，结论不成立，所以＝不正确； 对于＝④因为0a b <<，所以22a b >因为0ab >，所以22a b ab ab>，即a b b a >，所以＝不正确，④正确； 对于⑤因为220a b >>，所以2211a b <，所以⑤正确 故答案为：④⑤【点睛】此题考查了不等式的基本性质及应用，考查了推理论证的能力，属于基础题.14.已知向量,a b r r 是平面内的一组基底，若m xa yb =+u r r r，则称有序实数对(,)x y 为向量m u r 在基底,a b r r下的坐标.给定一个平面向量p u r ，已知p u r 在基底,a b r r 下的坐标为(1,2)，那么p u r 在基底a b -r r，a b +r r 下的坐标为______. 【答案】13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】由题可知2p a b =+u r r r ，若将a b -r r，a b +r r 作为基底，则设()()p m a b n a b =-++u r r r r r ，然后展开化简得，()()p m n a n m b =++-u r r r ，从而得12m n n m +=⎧⎨-=⎩，解出,m n 的值就得到所求的坐标【详解】解：由p u r 在基底,a b r r 下的坐标为(1,2)，得2p a b =+u r r r ，设p u r 在基底a b -r r ，a b +r r 下的坐标为(,)m n ，则()()p m a b n a b =-++u r r r r r所以()()p m n a n m b =++-u r r r所以12m n n m +=⎧⎨-=⎩解得1232m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以p u r 在基底a b -r r ，a b +r r 下的坐标为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故答案为：13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【点睛】此题考查的平面向量基本定理及应用，属于基础题15.已知函数()1ee xf x x =+（e 是自然对数的底数），设(),2020,1,2020,4041n f n n a f n n ≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪-⎝⎭⎩，*n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4039S 的值是______. 【答案】40392【解析】【分析】由题意可得， 1()11()111()e e e x f x x x==++，且11(1)112f ==+，进而可得1()()1f x f x+=，结合数列的通项公式可得4039111(1)(2)(2020)()()()202020192f f f f f S f =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ 111(1)[(2)()][(3)()](2020)()232020f f f f f f f =+++++⋅⋅⋅++， 从而可得答案.【详解】根据题意，因为()1e ex f x x =+，所以1()11()111()e e e x f x x x==++，11(1)112f ==+， 所以1()()1f x f x+=， 因为(),2020,1,2020,4041n f n n a f n n ≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪-⎝⎭⎩ 所以4039111(1)(2)(2020)()()()202020192f f f f f S f =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ 111(1)[(2)()][(3)()](2020)()232020f f f f f f f =+++++⋅⋅⋅++ 14039201922=+= 故答案为：40392 【点睛】此题考查数列的求和以及数列与函数的关系，关键是分析1()()1f x f x+=，属于中档题. 16.如图，在平面四边形ABCD 中，135A ∠=︒，75B C ∠=∠=︒，2BC =，则CD 的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】如图，延长,BA CD 交于点E ，设1,,,22AD x DE x AE x AB m ====，求出+x m CD 的取值范围. 【详解】解：如图，延长,BA CD 交于点E ，则在ADE ∆中，105,45,30ADE DAE E ∠=︒∠=︒∠=︒,所以设1,,,224AD x DE x AE x AB m ====， 因为2BC =，所以()sin1514x m +︒=，+x m 所以04x <<，因为CD x m x x =+-=，所以CD 的取值范围为，故答案为：【点睛】此题考查三角形中的几何计算，考查学生的计算能力，属于中档题.Ⅱ卷（共6小题，满分70分）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答案写在答题纸上的相应位置.）17.已知向量3x ka b =-r r r 和y a b =+u r r r ，其中(1,3)a =-r ，(4,2)b =r ，k ∈R（1）当k 为何值时，有x r 、y u r平行； （2）若向量x r 与y u r 的夹角为钝角，求实数k 的取值范围.【答案】（1）3k =-，（2）112k <且3k ≠- 【解析】【分析】（1）根据题意，设x t y =r u r ，则有3()ka b t a b -=+r r r r ，再结合(1,3)a =-r ，(4,2)b =r ，可求出k 的值；（2）根据题意，若向量x r 与y u r 的夹角为钝角，则有0x y ⋅<r u r，由数量积的计算公式可得3(12)5(36)0x y k k ⋅=--+-<r u r ，再结合向量不共线分析可得答案.【详解】解：（1）因为x r 、y u r 平行，所以设x t y =r u r ，所以3()ka b t a b -=+r r r r ，即()(3)k t a t b -=+r r因为(1,3)a =-r ，(4,2)b =r ，得a r 与b r不共线，所以30k t t -=+=，得3k =-， （2）因为向量x r 与y u r 的夹角为钝角，所以0x y ⋅<r u r ，因为向量3x ka b =-r r r 和y a b =+u r r r ，其中(1,3)a =-r ，(4,2)b =r所以(12,36)x k k =---r ，(3,5)y =u r ，所以 3(12)5(36)0k k --+-<，解得112k <， 又因为向量x r 与y u r 不共线，所以由（1）可知3k ≠- 所以112k <且3k ≠- 【点睛】此题考查向量的数量积运算，涉及向量平行的判定，关键是掌握向量数量积与向量夹角的关系，属于中档题.18.在数列{}n a ，{}n b 中，111a b ==，1421n n n a b a n +=-+-，*1421,n n n b a b n n N +=--+∈.等差数列{}n c 的前两项依次为23,a b .（1）求{}n c 的通项公式；（2）求数列(){}n n n a b c +的前n 项和n S .【答案】（1）73n c n =-，（2）(1413)3132n n n S -+= 【解析】【分析】（1）由已知递推式可得23,a b ，即为12,c c ，由等差数列的定义可得公差，从而得到所求的通项公式；（2）由1421n n n a b a n +=-+-，1421n n n b a b n +=--+，.两式相加，结合等比数列的定义可得n n a b +，从而可得数列(){}n n n a b c +的通项公式，再由数列的错位相减法求和即可【详解】解：（1）因为111a b ==，1421n n n a b a n +=-+-，*1421,n n n b a b n n N +=--+∈，可得21142114a b a =-+⨯-=，21142112b a b =--⨯+=，所以322422111b a b =--⨯+=，所以124,11c c ==，等差数列{}n c 的公差为7所以47(1)73n c n n =+-=-（2）因为1421n n n a b a n +=-+-，1421n n n b a b n +=--+，所以两式相加得，113()n n n n a b a b +++=+，所以数列{}n n a b +是以3为公比，2为首项的等比数列，所以123n n n a b -=⨯+，所以11)23(73)(1)3(46n n n n n c n n a b --=⨯⨯-=-⨯+，所以0122183223363(1420)3(146)3n n n n n S --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，123183223363(1420)3(14633)n n n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，两式相减得，123181431431431432(146)3n n n n S -=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--⨯-1231814(3333)(146)3n n n -=++++⋅⋅⋅+--⨯13(1413)3n n =--- 所以(1413)3132n n n S -+= 【点睛】此题考查等差数列的通项公式和等比数列的定义和通项公式，求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题19.如图，已知在东西走向上有甲、乙两座小山，一辆测量车在甲山山底M 的正南方向的P 点处测得山顶A的仰角为30°，该测量车在水平面上向北偏西60︒方向行驶后到达点Q ，在点Q 处测得乙山山顶B 的仰角为θ，且BQA θ∠=，经计算，tan 2θ=，若甲、乙山高分别为100m 、200m ，求两山山顶,A B 之间的距离.【答案】【解析】【分析】先在Rt AMP ∆中，利用已知条件求得PM ，进而连接QM ，在PQM ∆中，60QPM ∠=︒，求得PQ ，可推断出PQM ∆为等边三角形，进而求出QM ，从而在Rt AMQ ∆中利用勾股定理求得AQ ，Rt BNQ ∆中，利用tan 2θ=，200BN =，求得BQ ，最后在BQA ∆中，利用余弦定理求得BA【详解】解：在Rt AMP ∆中，30,100APM AM ∠=︒=，所以PM =连接QM ，在PQM ∆中，60QPM ∠=︒，PQ =，所以PQM ∆为等边三角形，所以QM =在Rt AMQ ∆中，由222AQ AM QM =+，得200AQ =，在Rt BNQ ∆中，tan 2θ=，200BN =，得BQ =在BQA ∆中，22222cos BA BQ AQ BQ AQ θ=+=⋅=所以BA =【点睛】此题考查了解三角形的实际应用，考查了学生解决实际际问题的能力，属于中档题20.已知ABC V 的内角、、A B C 所对应的边分别为a b c 、、，(sin sin )1R A B +=（其中R 为ABC V 的外接圆的半径）且ABC V 的面积22()S c a b =--.（1）求tan C 的值；（2）求ABC V 的面积S 的最大值.【答案】（1）815，（2）417【解析】【分析】 （1）利用三角形面积计算公式、余弦定理、倍角公式可得，（2）利用正弦定理、三角形面积计算公式、基本不等式的性质即可得出【详解】解：（1）因为22()S c a b =--， 所以2221sin 222cos 2ab C c a b ab ab ab C =--+=-， 所以1sin 2(1cos )2C C =- 2sin cos 4sin 222C C C =， 因为sin 02C ≠，所以cos 4sin 22C C =， 所以1tan 24C =， 所以22tan 82tan 151tan 2CC C ==- （2）因为(sin sin )1R A B +=，所以由正弦定理得，2a b +=， 由8tan 15C =，得8sin 17C =， 所以21444sin 21717217a b S ab C ab +⎛⎫==≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时，取等号， 所以ABC V 的面积S 的最大值为417【点睛】此题考查了三角形面积计算公式、余弦定理、倍角公式、正弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21.如图，在△ABC 中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．（1）求|AB u u u v |；（2）已知点D 是AB 上一点，满足AD uuu v =λAB u u u v ，点E 是边CB 上一点，满足BE u u u v =λBC uuu v ．①当λ=12时，求AE u u u v •CD uuu v ； ②是否存在非零实数λ，使得AE u u u v ⊥CD uuu v ？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．【答案】（1（2）①14② 23 【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出AB 的长即得|AB u u u v |；（2）①12λ= 时，D E 、分别是BC AB ，的中点，表示出AE u u u v ，CD uuu v ，利用向量的数量积计算即可； ②假设存在非零实数λ，使得AE u u u v ⊥CD uuu v ，利用 C B CA u u u v u u u v 、分别表示出CD uuu r 和 AE u u u v ，求出 0AE CD ⋅=u u u v u u u v 时的λ值即可．【详解】（1）AB CB CA =-u u u v u u u v Q u u u v 且22=4=1=21cos60=1CB CA CB CA ⋅⨯⨯o u u u v u u u v u u u v u u u v ，，AB CB CA ∴=-==u u u v u u u v u u u v （2）①λ=时， =， =， ⊥D 、E 分别是BC ，AB 的中点，⊥=+=+，=（+）， ⊥•=（+）•（+） =•+•+•+=﹣×12+×1×2×cos120°+×2×1×cos60°+×22 =； ②假设存在非零实数λ，使得⊥， 由=λ，得=λ（﹣），⊥=+=+λ（﹣）=λ+（1﹣λ）； 又=λ， ⊥=+=（﹣）+λ（﹣）=（1﹣λ）﹣； ⊥•=λ（1﹣λ）﹣λ•+（1﹣λ）2•﹣（1﹣λ）=4λ（1﹣λ）﹣λ+（1﹣λ）2﹣（1﹣λ）=﹣3λ2+2λ=0，解得λ=23或λ=0（不合题意，舍去）； 即存在非零实数λ=23，使得⊥． 【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与数量积的应用问题，也考查了余弦定理的应用问题，是综合性题目．22.已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤，*n N ∈，11a =.（1）若23a =，3a x =，46a =，求x 的取值范围；（2）若{}n a 是公比为q 的等比数列，12n n S a a a =+++L ，1133n n S S S +≤≤，*n N ∈，求q 的取值范围； （3）若12,,,k a a a L 成等差数列，且122020k a a a ++⋯+=，求正整数k 的最大值.【答案】（1）92x ≤≤，（2）123q ≤≤，（3）4039 【解析】【分析】（1）由题意得232133a a a ≤≤，又343133a a a ≤≤，将已知代入可求出x 的范围；（2）先求出通项1n n a q -=，由121133a a a ≤≤求出133q ≤≤，对q 分类讨论求出n S ，分别代入不等式1133n n n S S S +≤≤，得到关于q 的不等式组，解不等式组求出q 的范围；（3）由题意得到关于k 的不等式，得出k 的最大值，并得出k 取最大值时12,,,k a a a L 的公差【详解】解：（1）由题意得，232133a a a ≤≤，所以19x ≤≤， 又因为343133a a a ≤≤，所以1633x x ≤≤，得218x ≤≤， 综上所述，92x ≤≤（2）由已知得，1n n a q-=，121133a a a ≤≤ 所以133q ≤≤， 当1q =时，n S n =，1133n n n S S S +≤≤，即1133n n n ≤+≤，成立， 当13q <≤时，11n n q S q -=-，1133n n n S S S +≤≤，即1111133111n n n q q q q q q +---⋅≤≤⋅---， 111331n n q q +-≤≤-，得11320320n n n n q q q q ++⎧--≥⎨-+≤⎩， 因为1q >，故132(31)2220n n n n qq q q q +--=-->->， 对于不等式1320n n q q +-+≤，令1n =，得2320q q -+≤， 解得12q ≤≤，又当12q ≤≤，30q -<，所以132(3)2(3)2(1)(2)0n n n q q q q q q q q +-+=-+≤-+=--≤成立 所以12q <≤， 当113q ≤<时，11n n q S q -=-，1133n n n S S S +≤≤， 即1111133111n n nq q q q q q+---⋅≤≤⋅---， 所以11320320n n n n q q q q ++⎧--≤⎨-+≥⎩， 因为310,30q q ->-<，所以132(31)2220n n n n q q q q q +--=--<-<，132(3)2(3)2(1)(2)0n n n q q q q q q q q +-+=-+≥-+=-->， 所以当113q ≤<时，不等式恒成立， 综上所述，q 的取值范围为123q ≤≤ （3）设12,,,k a a a L 的公差为d ，由1133n n n a a a +≤≤，且11a =， 得1[1(1)]13[1(1)],1,2,3,,13n d nd n d n k +-≤+≤+-=⋅⋅⋅-， 即(21)2,1,2,,1(23)2n d n k n d +≥-⎧=⋅⋅⋅-⎨-≥-⎩， 当1n =时，223d -≤≤， 当2,,1n k =⋅⋅⋅-时，由222123n n -->+-，得221d n -≥+， 所以22213d k -≥≥--， 所以1(1)(1)220202221k k k k ka d k k ---=+≥+⋅-， 即2404020200k k -+≤，得4039k ≤，所以k 的最大值为4039【点睛】此题考查等比数列的通项公式及前n 项和的求法，考查不等式组的解法，属于难题。

2019-2020华中师大一附中数学中考试题(及答案)一、选择题1．已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是（）A．9B．8C．7D．62．小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是（）A．110B．19C．16D．153．如果一组数据6、7、x、9、5的平均数是2x，那么这组数据的方差为（）A．4B．3C．2D．14．某商店有方形、圆形两种巧克力，小明如果购买3块方形和5块圆形巧克力，他带的钱会差8元，如果购买5块方形和3块圆形巧克力，他带的钱会剩下8元.若他只购买8块方形巧克力，则他会剩下（）元A．8B．16C．24D．325．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y=kx+43与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P 在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（）A．6B．8C．10D．126．将一个矩形纸片按如图所示折叠，若∠1=40°，则∠2的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°7．10+1的值应在（）A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间8．甲种蔬菜保鲜适宜的温度是1℃~5℃，乙种蔬菜保鲜适宜的温度是3℃~8℃，将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是（）A．1℃~3℃B．3℃~5℃C．5℃~8℃D．1℃~8℃9．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，若AC＝8，BD＝6，则菱形的周长为（）A．40B．30C．28D．2010．下列二次根式中的最简二次根式是（）A．30B．12C．8D．0.511．如图中的几何体是由一个圆柱和个长方体组成的，该几何体的俯视图是( )A．B．C．D．12．下列各式化简后的结果为32的是（）A．6B．12C．18D．36二、填空题13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为_____．14．如图，直线a、b被直线l所截，a∥b，∠1=70°，则∠2= ．15．分解因式：x3﹣4xy2=_____．16．如图：在△ABC 中，AB=13，BC=12，点D ，E 分别是AB ，BC 的中点，连接DE ，CD ，如果DE=2.5，那么△ACD 的周长是_____．17．若a ，b 互为相反数，则22a b ab +=________.18．分式方程32xx 2--+22x-=1的解为________. 19．二元一次方程组627x y x y +=⎧⎨+=⎩的解为_____． 20．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若EF=4，BC=10，CD=6，则tanC=________．三、解答题21．为响应珠海环保城市建设，我市某污水处理公司不断改进污水处理设备，新设备每小时处理污水量是原系统的1.5倍，原来处理1200m 3污水所用的时间比现在多用10小时． （1）原来每小时处理污水量是多少m 2？（2）若用新设备处理污水960m 3，需要多长时间？22．光明中学全体学生900人参加社会实践活动，从中随机抽取50人的社会实践活动成绩制成如图所示的条形统计图，结合图中所给信息解答下列问题：()1填写下表：中位数 众数随机抽取的50人的社会实践活动成绩(单位：分)()2估计光明中学全体学生社会实践活动成绩的总分．23．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．24．已知：如图，点E，A，C在同一条直线上，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．求证：BC=ED．25．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一座隧道（A、B在同一水平面上），为了测量A、B两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从B地出发，垂直上升100米到达C处，在C处观察A地的俯角为39°，求A、B两地之间的距离．（结果精确到1米）（参考数据：sin39°=0.63，cos39°=0.78，tan39°=0.81）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】分析：根据多边形的内角和公式计算即可.详解：.答:这个正多边形的边数是9.故选A.点睛：本题考查了多边形，熟练掌握多边形的内角和公式是解答本题的关键.2．A解析：A【解析】∵密码的末位数字共有10种可能（0、1、 2、 3、4、 5、 6、 7、 8、 9、 0都有可能），∴当他忘记了末位数字时，要一次能打开的概率是1 10.故选A.3．A解析：A【解析】分析：先根据平均数的定义确定出x的值，再根据方差公式进行计算即可求出答案．详解：根据题意，得：67955x++++=2x解得：x=3，则这组数据为6、7、3、9、5，其平均数是6，所以这组数据的方差为15[（6﹣6）2+（7﹣6）2+（3﹣6）2+（9﹣6）2+（5﹣6）2]=4，故选A．点睛：此题考查了平均数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以数据的个数．方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数．4．D解析：D【解析】【分析】设每块方形巧克力x元，每块圆形巧克力y元，根据小明身上的钱数不变得出方程3x+5y-8=5x+3y+8，化简整理得y-x=8．那么小明最后购买8块方形巧克力后他身上的钱会剩下（5x+3y+8）-8x，化简得3（y-x）+8，将y-x=8代入计算即可．【详解】解：设每块方形巧克力x元，每块圆形巧克力y元，则小明身上的钱有（3x+5y-8）元或（5x+3y+8）元．由题意，可得3x+5y-8=5x+3y+8，，化简整理，得y-x=8．若小明最后购买8块方形巧克力，则他身上的钱会剩下：（5x+3y+8）-8x=3（y-x）+8=3×8+8=32（元）．故选D．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，得出每块方形巧克力与每圆方形巧克力的钱数之间的关系是解决问题的关键．5．A解析：A【解析】试题解析：∵直线l：y=kx+43与x轴、y轴分别交于A、B，∴B（0，43），∴OB=43，在RT△AOB中，∠OAB=30°，∴OA=3OB=3×43=12，∵⊙P与l相切，设切点为M，连接PM，则PM⊥AB，∴PM=12 PA，设P（x，0），∴PA=12-x，∴⊙P的半径PM=12PA=6-12x，∵x为整数，PM为整数，∴x可以取0，2，4，6，8，10，6个数，∴使得⊙P成为整圆的点P个数是6．故选A．考点：1．切线的性质；2．一次函数图象上点的坐标特征．6．D解析：D【解析】【分析】根据折叠的知识和直线平行判定即可解答.【详解】解：如图可知折叠后的图案∠ABC=∠EBC ，又因为矩形对边平行，根据直线平行内错角相等可得∠2=∠DBC ，又因为∠2+∠ABC=180°，所以∠EBC+∠2=180°，即∠DBC+∠2=2∠2=180°-∠1=140°.可求出∠2=70°.【点睛】掌握折叠图形的过程中有些角度是对称相等的是解答本题的关键.7．B解析：B【解析】 解：∵3104<<，∴41015<<．故选B ． 10 的取值范围是解题关键．8．B解析：B【解析】【分析】根据“1℃～5℃”，“3℃～8℃”组成不等式组，解不等式组即可求解．【详解】解：设温度为x ℃，根据题意可知1538x x x x ≥⎧⎪≤⎪⎨≥⎪⎪≤⎩ 解得35x ≤≤．故选：B ．【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．9．D解析：D【解析】【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO＝OD，AO＝OC，在Rt△AOB中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求出菱形ABCD的周长．【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝OD＝3，AO＝OC＝4，AC⊥BD，∴AB＝＝5，∴菱形的周长为4×5＝20．故选D．【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等和对角线互相垂直且平分的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键．10．A解析：A【解析】【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【详解】A30B12=23C8=22，不是最简二次根式；D2 0.5=故选：A．【点睛】此题考查最简二次根式的概念，解题关键在于掌握（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．11．D解析：D【解析】【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【详解】解：从上边看是一个圆形，圆形内部是一个虚线的正方形.故选：D．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．12．C解析：C【解析】A不能化简；B C，故正确；D，故错误；故选C．点睛：本题主要考查二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．二、填空题13．60°【解析】试题解析：∵∠ACB=90°∠ABC=30°∴∠A=90°-30°=60°∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C时点A′恰好落在AB上∴AC=A′C∴△A′AC是等边三角形∴∠ACA解析：60°【解析】试题解析：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠A=90°-30°=60°，∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C时点A′恰好落在AB上，∴AC=A′C，∴△A′AC是等边三角形，∴∠ACA′=60°，∴旋转角为60°．故答案为60°.14．110°【解析】∵a∥b∴∠3=∠1=70°∵∠2+∠3=180°∴∠2=110°解析：110°【解析】∵a∥b，∴∠3=∠1=70°，∵∠2+∠3=180°，∴∠2=110°15．x（x+2y）（x﹣2y）【解析】分析：原式提取x再利用平方差公式分解即可详解：原式=x（x2-4y2）=x（x+2y）（x-2y）故答案为x（x+2y）（x-2y）点睛：此题考查了提公因式法与公式解析：x（x+2y）（x﹣2y）【解析】分析：原式提取x，再利用平方差公式分解即可．详解：原式=x（x2-4y2）=x（x+2y）（x-2y），故答案为x（x+2y）（x-2y）点睛：此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．16．18【解析】【分析】根据三角形中位线定理得到AC=2DE=5AC∥DE 根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°根据线段垂直平分线的性质得到DC=BD 根据三角形的周长公式计算即可【详解】∵DE 分别是A解析：18【解析】【分析】根据三角形中位线定理得到AC=2DE=5，AC ∥DE ，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根据线段垂直平分线的性质得到DC=BD ，根据三角形的周长公式计算即可．【详解】∵D ，E 分别是AB ，BC 的中点，∴AC=2DE=5，AC ∥DE ，AC 2+BC 2=52+122=169，AB 2=132=169，∴AC 2+BC 2=AB 2，∴∠ACB=90°，∵AC ∥DE ，∴∠DEB=90°，又∵E 是BC 的中点，∴直线DE 是线段BC 的垂直平分线，∴DC=BD ，∴△ACD 的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=18，故答案为18．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、线段垂直平分线的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．17．0【解析】【分析】先提公因式得ab （a+b ）而a+b=0任何数乘以0结果都为0【详解】解：∵=ab（a+b ）而a+b=0∴原式=0故答案为0【点睛】本题考查了因式分解和有理数的乘法运算注意掌握任何数解析：0【解析】【分析】先提公因式得ab （a+b ），而a+b=0，任何数乘以0结果都为0．【详解】解：∵22a b ab = ab （a+b ），而a+b=0，∴原式=0.故答案为0，【点睛】本题考查了因式分解和有理数的乘法运算，注意掌握任何数乘以零结果都为零．18．【解析】【分析】根据解分式方程的步骤即可解答【详解】方程两边都乘以得：解得：检验：当时所以分式方程的解为故答案为【点睛】考查了解分式方程解分式方程的基本思想是转化思想把分式方程转化为整式方程求解解分 解析：x 1=【解析】【分析】根据解分式方程的步骤，即可解答．【详解】方程两边都乘以x 2-，得：32x 2x 2--=-，解得：x 1=，检验：当x 1=时，x 21210-=-=-≠，所以分式方程的解为x 1=，故答案为x 1=．【点睛】考查了解分式方程，()1解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解().2解分式方程一定注意要验根．19．【解析】【分析】由加减消元法或代入消元法都可求解【详解】②﹣①得③将③代入①得∴故答案为：【点睛】本题考查的是二元一次方程组的基本解法本题属于基础题比较简单解析：15x y =⎧⎨=⎩【解析】【分析】由加减消元法或代入消元法都可求解．【详解】627x y x y +=⎧⎨+=⎩①②， ②﹣①得1x =③将③代入①得5y =∴15x y =⎧⎨=⎩故答案为：15x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的基本解法，本题属于基础题，比较简单．20．【解析】【分析】连接BD 根据中位线的性质得出EFBD 且EF=BD 进而根据勾股定理的逆定理得到△BDC 是直角三角形求解即可【详解】连接BD 分别是ABAD 的中点EFBD 且EF=BD 又△BDC 是直角三角形 解析：43 【解析】 【分析】连接BD ，根据中位线的性质得出EF //BD ，且EF=12BD ，进而根据勾股定理的逆定理得到△BDC 是直角三角形，求解即可．【详解】连接BD ,E F 分别是AB 、AD 的中点∴EF //BD ，且EF=12BD 4EF =8BD ∴=又8106BD BC CD ===，，∴△BDC 是直角三角形，且=90BDC ∠︒∴tanC=BD DC =86=43. 故答案为：43.三、解答题21．（1）原来每小时处理污水量是40m 2；（2）需要16小时．【解析】试题分析：()1设原来每小时处理污水量是x m 2，新设备每小时处理污水量是1.5x m 2，根据原来处理1200m 3污水所用的时间比现在多用10小时这个等量关系，列出方程求解即可. ()2根据()960 1.54016÷⨯=即可求出.试题解析：()1设原来每小时处理污水量是x m 2，新设备每小时处理污水量是1.5x m 2，根据题意得：1200120010,1.5x x-= 去分母得：1800120015x ，-= 解得：40x =，经检验40x = 是分式方程的解，且符合题意，则原来每小时处理污水量是40m 2；（2）根据题意得：()960 1.54016÷⨯=（小时），则需要16小时．22．()14，4；()2 3150分．【解析】【分析】()1根据抽取的人数可以确定中位数的位置，从而确定中位数，小长方形最高的小组的分数为该组数据的众数；()2算出抽取的50名学生的平均分乘以全校的总人数即可得到光明中学全体学生社会实践活动成绩的总分．【详解】解：()1由题意，将50人的成绩从小到大排序后，第25和第26个的平均数就是中位数，∵2+9+13=24∴第25和第26个成绩都是4，故本组数据的中位数为4∵成绩在4分的同学人数最多∴本组数据的众数是4故填表如下：2随机抽取的50人的社会实践活动成绩的平均数是：1229313414512x 3.5(50⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==分)． 估计光明中学全体学生社会实践活动成绩的总分是：3.59003150(⨯=分)． 【点睛】考查了条形统计图的知识，题目相对比较简单，解题的关键是正确的识图，并从图形中整理出有关的解题的信息．23．（1）DE=3；（2）ADB S 15∆=.【解析】【分析】（1）根据角平分线性质得出CD=DE ，代入求出即可；（2）利用勾股定理求出AB 的长，然后计算△ADB 的面积.【详解】（1）∵AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB ，∠C=90°，∴CD=DE ，∵CD=3，∴DE=3；（2）在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AB 10===， ∴△ADB 的面积为ADB 11S AB DE 1031522∆=⋅=⨯⨯=. 24．见解析【解析】【分析】首先由AB ∥CD ，根据平行线的性质可得∠BAC=∠ECD ，再由条件AB=CE ，AC=CD 可证出△BAC 和△ECD 全等，再根据全等三角形对应边相等证出CB=ED.【详解】证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAC=∠ECD ，∵在△BAC 和△ECD 中，AB=EC ，∠BAC=∠ECD ，AC=CD ，∴△BAC ≌△ECD （SAS ）.∴CB=ED.【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质.25．123米．【解析】【分析】在Rt △ABC 中，利用tan BC CAB AB∠=即可求解． 【详解】解：∵CD ∥AB ，∴∠CAB=∠DCA=39°．在Rt △ABC 中，∠ABC=90°， tan BC CAB AB ∠=． ∴100123tan 0.81BC AB CAB ==≈∠． 答：A 、B 两地之间的距离约为123米．【点睛】本题考查解直角三角形，选择合适的锐角三角函数是解题的关键．。

湖北省武汉市部分重点中学2019-2020学年度下学期高一年级期中测试数 学 试 卷（理科）全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共６０分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1． 已知向量a =(－１ ,２)，且向量,b a ⊥ 则b 等于（ ）A. (２，１)B. (－１，２)C. (－２，１)D.(－２，－２)2．设ABC ∆的内角Ａ,Ｂ,Ｃ所对的边分别为a, b, c ；且三内角Ａ,Ｂ,Ｃ依次成等差数列， 三边a, b, c 依次成等比数列，则ABC ∆ 的形状为（ ）A.正三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形3． 已知数列{a n }和{n b }均为等差数列，其前n 项和分别为Ｓn 和Ｔn ，并且37n n S n T n +=，则55a b 等于（ ）A.17B.421C.835D.324．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；且a=3,c=45O．则角Ｂ等于（ ） A.600B. 600或1200C.150D.150或7505．设12345,,,,A A A A A 是平面中给定的5个不同的点，则同一平面内使123450MA MA MA MA MA ++++=成立的点M 的个数为（ ）A.0B.1C.5D.106．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b （０<a<b ），其全程的平均时速为v ，则（ ）<v<2a b+ D. v=2a b+ 7. 设点Ｏ在ABC ∆的内部，且有230OA OB OC ++= ，则ABC ∆的面积与ABC ∆的面积之比为（ ）A.32B.53C.2 D ．38．已知数列{a n }为等差数列，若13121a a <- 且它的前n 项和n S 有最大值，那么n S 取最小正数时n 的值是（ ）A.22B.23C.24D.259．已知的平面向量a 和b ，且≠0a ，a ≠ b ，1b =，a 和b －a 夹角为1３5o ，则a 的取值范围为( )A.0,1⎡⎤⎣⎦B.()1,2C.(D.,12⎤⎥⎢⎥⎣⎦10．已知函数(x)xf e x =+，对于曲线y=f （x ）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形； ②△ABC 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形； ④△ABC 不可能是等腰三角形其中，正确的判断是（ ） A.①④B.②③C.①③D.②④11．设a + b = 2, b >0，则1||2||a a b+的最小值为（ ） A.12B.34C.1D.5412．设a 是已知的平面向量且≠0a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题： ①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ； 上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A.4B.3C ．2D.1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共２０分，把答案写在题中横线上) 13．如图4，在平行四边形ABCD 中 ，AP ⊥BD ，垂足为P ，=AP =14．已知Ｏ为坐标原点，向量(sin ,1)OA θ=,(cos ,0)OB θ=，(sin ,2)OC θ=-,()02cos sin ,1P αα=--．若Ｏ,Ｐ,Ｃ三点共线，求得OA OB + 的值为 .15．已知数列{n b }的通项公式为12,n n b -= 数列{a n }(n N *∈)满足222,,na nb b b + 成等比数列，若12340m a a a a a ++++≤ ，则m 的最大值是 ．16．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；则下列命题正确的序号是 ①若cos ２Ａcos ２Ｂ≤ ，则b a ≤； ②若sinA cosB,=，则＝２πC ；③若sin sin ２Ａ２Ｂ=；则ＡＢ= ； ④若2ab c >，则3C π< ；⑤若(3n)+=≤nnna b c ，则ABC ∆为锐角三角形． 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.（本小题满分12分）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，()00,f = 当0≤x 时，2()0＋b =+≤f x x x c 的解集为4,0x ⎡⎤∈-⎣⎦(Ⅰ)求()f x 的解析式；(Ⅱ) 求不等式(x 1)5+≤f 的解集．18．（本小题满分12分）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。

数学试卷试卷满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题卡上.) 1. 数列{}n a 是等差数列，23a =，59a =，则6S =（ ）． A ．12B ．24C ．36D ．722.若向量a v ，b v 满足()5a a b ⋅-=vv v ，||2a =v ，1b =v ，则向量a v ，b v 的夹角为（ ）A ．6π B ．3πC ． 23πD ． 56π3.在ABC ∆中，4a b B π===，则A 等于 （ ）A ．6πB ．3πC ．3π或23πD ．6π或56π4. 在ABC V 中，12BD DC =u u u r u u u r，则AD u u u r =（ ）A ．1344AB AC +u u u r u u u r B ．2133AB AC +u u u r u u u r C ．1233AB AC +u u u r u u u rD ．2133AB AC -u u ur u u u r5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，此日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见此日行数里，请公仔细算相还”，其意思为：“有一个人要去378里外的地方，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第四天走了（ ） A. 96里B. 24里C. 192 里D. 48里6. 已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若1598a a a ⋅⋅=-，2583b b b π++=，则4637sin1b b a a +-的值是（ ）A.12 B.12-D.-7. 钝角三角形ABC 2AB =，3BC =，则AC = ( )B.C.D.8.已知ABC V 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos a B c =，则该三角形一定是（ ） A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形9.如图，已知等腰ABC V 中，3AB AC ==，4BC =，点P 是边BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+u u u r u u u r u u u r( )A ．为定值10B ．为定值6C ．最大值为18D ．与P 的位置有关（第9题图）10.在ABC V 中，三边长可以组成公差为1的等差数列，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为( ) A ．1516 B ．153 C ．154D ．15311.如图所示，为了测量A 、B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A 、B 分别在D 处的北偏西15o 、北偏东45o 方向，再往正东方向行驶10海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60o 方向，则A 、B 两岛屿的距离为（ ）海里.A ．56B ．106C ．102D ．202（第11题图）12.数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()1211n n n n a a n +++=⋅-，20211001S =，则2a 的值为（ ）A ．9-B ．8C ．1019-D ．1018 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卡相应位置上.)13.已知a r ，b r 均为单位向量，它们的夹角为23π，则a b -=r r ．14.在数列{}n a 中，13a =，212n n n a a +=+，则n a =15.设等比数列{}n a 满足1330a a +=，2410a a +=，则123n a a a a ⋅⋅⋅……的最大值为 16. 已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，3c =且(sin sin )(3)()sin C B b a b A -+=+，则ABC ∆面积的最大值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知()1,2a =-r ，()3,4b =r.（Ⅰ）若()()3a b a kb -+r r r r∥，求实数k 的值；（Ⅱ）若()a tb b -⊥r r r，求实数t 的值.18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，1=10a -，公差0d ≠，且245,,a a a 是等比数列； （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）求数列{}||n a 的前n 项和n T ．19.（本小题满分12分）在四边形ABCD 中，90ADC ∠=o，45A ∠=o，1AB =，3BD =． （Ⅰ）求cos ADB ∠；（Ⅱ）若DC =，求BC ．20.（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知17a =-，公差d 为整数，且4n S S ≥； （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .21.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222cos sin sin cos sin A A B C B +=+.（Ⅰ）求角C ； （Ⅱ）若c =ABC ∆的面积是，求ABC ∆的周长.22.（本小题满分12分）设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：24a =，21444n n a S n +=++，n N *∈.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若正项等比数列{}n b 满足11b a =，34b a =，且1nn n c a b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意n N *∈，均有2828n T m n n ⋅≥-恒成立，求实数m 的取值范围．高一数学试题答案14. n 453+15. 729 16. 三、解答题：本大题共6小题，共70分 17.（本题10分）（Ⅰ）()1,2a =-rQ ，()3,4b =r ，()()()331,23,40,10a b ∴-=--=-r r ， ()()()1,23,431,42a kb k k k +=-+=+-r r，()()3//a b a kb -+r r r r Q ，()10310k ∴-+=，解得13k =-……………………………5分（Ⅱ）()()()1,23,413,24a tb t t t -=--=---r r，()a tb b -⊥r r r Q ，()()()3134242550a tb b t t t ∴-⋅=⨯-+⨯--=--=r r r，解得15t =-. ……………………………………………………………………………10分18.（本小题满分12分） （Ⅰ）由题意：()()()210104103d d d -+-+=-+ 计算得：()20d =或0舍去所以212n a n =-；………………………………………………………6分（Ⅱ）当16n ≤≤时，0n a ≤，即有211n n T S n n =-=-； 当7n ≥时，0n a >，6621160n n T S S S n n =--=-+，即有2211,161160,7n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+≥⎩．………………………………………………12分19.（本小题满分12分）（Ⅰ）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠．由题设知，31sin 45sin ADB=︒∠，所以sin ADB ∠=．由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos 6ADB ∠==．…………6分（Ⅱ）由题设及(1)知，cos sin 6BDC ADB ∠=∠=． 在BCD △中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠92236=+-⨯9=． 所以3BC =．………………………………………………………………12分20.（本小题满分12分）(1) 由 等差数列{}n a 的前n 项n S 满足4n S S ≥，170a =-<， 得 a 4≤0，a 5≥0，于是-7＋3d ≤0，-7＋4d ≥0， 解得74≤d ≤73，因为公差d 为整数， 因此d ＝2.故数列{a n }的通项公式为29n a n =- ……………………………………6分 (2) ()()1111292722927n b n n n n ⎛⎫==- ⎪----⎝⎭,于是12n n T b b b =+++……1111111275532927n n ⎛⎫=⨯-+-++- ⎪------⎝⎭…… ()1112727727nn n ⎛⎫=--=- ⎪--⎝⎭ ∴n T =()727nn --…………………………………………………………12分21.（本小题满分12分）（1）由222cos sin sin cos sin A A B C B +=+，得21sin sin sin A A B -+221sin sin C B =-+，即2sin sin sin C A B +22sin sin A B =+. 由正弦定理可得222a b c ab +-=， 由余弦定理可得cos 12C =， ∵C ∈（0，π）， 所以3C π=. ………………………………………………6分（2）1sin 2ABC S ab C ∆===20ab =，因为222c a b ab =+-，c =2241a b +=，()2222414081a b a ab b +=++=+=，9a b +=所以ABC ∆的周长为9……………………………………………………12分22.（本小题满分12分）（1）因为21444n n a S n +=++，所以()214414n n a S n -=+-+（n ≥2），两式相减得：a n +12﹣a n 2＝4a n +4，即a n +12＝（a n +2）2（n ≥2）， 又因为数列{a n }的各项均为正数，所以a n +1＝a n +2（n ≥2）， 又因为a 2＝4，16＝a 12+4+4，可得a 1＝2，所以当n ＝1时上式成立，即数列{a n }是首项为1、公差为2的等差数列， 所以a n ＝2+2（n ﹣1）＝2n ；……………………………………………………4分 （2）由（1）可知b 1＝a 1＝2，b 3＝a 4＝8，所以b n ＝2n；c n ＝()112n n ++⋅．()2312232212n n n T n n +=⋅+⋅++⋅++⋅……① ()341222232212n n n T n n ++=⋅+⋅++⋅++⋅……②① —②得：()3412822212n n n T n ++-=++++-+⋅……()()()()232122242232124421122n n nn n n n n ++++=+++++-+⋅=+--+⋅=-⋅……22n n T n +=⋅…………………………………………………………………………8分2828n T m n n ⋅≥-恒成立，等价于()2247n n m n n +⋅≥-恒成立，所以272nn m -≥恒成立， 设k n ＝272n n -，则k n +1﹣k n ＝1252n n +-﹣272nn -＝1922n n +-， 所以当n ≤4时k n +1＞k n ，当n ＞4时k n +1＜k n ， 所以123456k k k k k k <<<<>>……所以当k n 的最大值为k 5＝332，故m ≥332， 即实数m 的取值范围是：[332，+∞）．…………………………………………12分。

2019-2020年高一下学期期中数学试卷含解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．一枚硬币连掷三次至少出现一次正面的概率为（）A． B． C． D．2．从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是（）A．3个都是正品B．至少有1个是次品C．3个都是次品D．至少有1个是正品3．某公司xx～xx年的年利润x（单位：百万元）与年广告支出y（单位：百万元）的统计资料如表所示：年份xx xx xx xx xx xx利润x 12.2 14.6 16 18 20.4 22.3支出y 0.62 0.74 0.81 0.89 1 1.11根据统计资料，则（）A．利润中位数是16，x与y有正线性相关关系B．利润中位数是18，x与y有负线性相关关系C．利润中位数是17，x与y有正线性相关关系D．利润中位数是17，x与y有负线性相关关系4．程序框图如图所示：如果输入x=5，则输出结果为（）A．325 B．109 C．973 D．2955．用“更相减损术”求98和63的最大公约数，要做减法的次数是（）A．3次B．4次C．5次D．6次6．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）125 120 122 105 130 114 116 95 120 134，则样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.57．从学号为1号至50号的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是（）A．1，2，3，4，5 B．5，15，25，35，45C．2，4，6，8，10 D．4，13，22，31，408．给出以下四个问题：①输入一个正数x，求它的常用对数值；②求面积为6的正方形的周长；③求三个数a，b，c中的最大数；④求函数的函数值．其中不需要用条件语句来描述其算法的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．向顶角为120°的等腰三角形ABC（其中AC=BC）内任意投一点M，则AM小于AC的概率为（）A． B． C． D．10．某大学共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（）A．80 B．40 C．60 D．2011．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．1112．甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的横线上.）13．把xx转化为二进制数为．14．如图是某学校抽取的n个学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第3小组的频数为18，则n的值是．15．用秦九韶算法求多项式：f（x）=1+x+2x2+3x3+4x4+5x5+7x7在x=2的值时，v3的值为．16．日前，广佛肇城际轨道已开通投入运营，假设轻轨列车每15分钟一班，在车站停2分钟，则乘客到达站台能立即上车的概率是．三、解答题（本大题共6小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．若二进制数100y011和八进制数x03相等，求x+y的值．18．（1）函数，编写出求函数的函数值的程序（使用嵌套式）；（2）“求的值．”写出用基本语句编写的程序（使用当型）．19．在某幼儿园的美术课上，老师带领小朋友用水彩笔为本子上两个大小不同的气球涂色，要求一个气球只涂一种颜色，两个气球分别涂不同的颜色．小朋友豆豆可用的有暖色系水彩笔红色、橙色各一支，冷色系水彩笔绿色、蓝色、紫色各一支．（1）豆豆从他可用的五支水彩笔中随机取出两支按老师要求给气球涂色，求两个气球同为冷色的概率．（2）一般情况下，老师发出开始指令到涂色活动全部结束需要10分钟，豆豆至少需要2分钟完成该项任务．老师发出开始指令1分钟后随时可能来到豆豆身边查看涂色情况．求当老师来到豆豆身边时，豆豆已经完成任务的概率．20．已知集合A=[﹣2，2]，B=[﹣1，1]，设M={（x，y）|x∈A，y∈B}，在集合M内随机取出一个元素（x，y）．（1）求以（x，y）为坐标的点落在圆x2+y2=1内的概率；（2）求以（x，y）为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于的概率．21．运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．22．为调查我校学生的用电情况，学校后勤部门组织抽取了100间学生宿舍某月用电量调查，发现每间宿舍用电量都在50度到350度之间，其频率分布直方图如图所示．（1）为降低能源损耗，节约用电，学校规定：每间宿舍每月用电量不超过200度时，按每度0.5元收取费用；超过200度，超过部分按每度1元收取费用．以t表示某宿舍的用电量（单位：度），以y表示该宿舍的用电费用（单位：元），求y与t的函数关系式？（2）求图中月用电量在（200，250]度的宿舍有多少间？（3）在直方图中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，宿舍用电量落入该区间的频率作为宿舍用电量取该区间中点值的频率（例如：若t∈[150，200），则取t=175，且t=175发生的频率等于落入[150，200）的频率），试估计我校学生宿舍的月均用电费用．xx学年湖南省娄底市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．一枚硬币连掷三次至少出现一次正面的概率为（）A． B． C． D．【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【专题】计算题．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是将一枚硬币连续抛掷三次共有23=8种结果，满足条件的事件的对立事件是三枚硬币都是反面，有1种结果，根据对立事件的概率公式得到结果【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是将一枚硬币连续抛掷三次共有23=8种结果，满足条件的事件的对立事件是三枚硬币都是反面，有1种结果，∴至少一次正面向上的概率是1﹣=，故选A．【点评】本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是对于比较复杂的事件求概率时，可以先求对立事件的概率．2．从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是（）A．3个都是正品B．至少有1个是次品C．3个都是次品D．至少有1个是正品【考点】随机事件．【分析】任意抽取3个一定会发生的事：最少含有一个正品，根据题目条件选出正确结论，分清各种不同的事件是解决本题的关键．【解答】解：任意抽取3个一定会发生的事：最少含有一个正品，故选D【点评】我们学过的事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件．3．某公司xx～xx年的年利润x（单位：百万元）与年广告支出y（单位：百万元）的统计资料如表所示：年份xx xx xx xx xx xx利润x 12.2 14.6 16 18 20.4 22.3支出y 0.62 0.74 0.81 0.89 1 1.11根据统计资料，则（）A．利润中位数是16，x与y有正线性相关关系B．利润中位数是18，x与y有负线性相关关系C．利润中位数是17，x与y有正线性相关关系D．利润中位数是17，x与y有负线性相关关系【考点】变量间的相关关系；众数、中位数、平均数．【专题】计算题．【分析】求出利润中位数，而且随着利润的增加，支出也在增加，故可得结论．【解答】解：由题意，利润中位数是=17，而且随着利润的增加，支出也在增加，故x与y有正线性相关关系故选C．【点评】本题考查变量间的相关关系，考查中位数，解题的关键是理解正线性相关关系，属于基础题．4．程序框图如图所示：如果输入x=5，则输出结果为（）A．325 B．109 C．973 D．295【考点】程序框图．【专题】计算题；数形结合；定义法；算法和程序框图．【分析】方法一：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量x的值，并输出．模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．方法二：由程序框图可知：此问题相当于先求出满足以下条件：数列{a n}的a1=5，a n+1=3a n﹣2，要求其通项公式第一次大于或等于200时即输出其值．【解答】解：方法一：程序在运行过程中各变量的值如下表示：x 是否继续循环循环前5/第一圈13 是第二圈37 是第三圈109 是第四圈325 否故最后输出的x值为325，方法二：由序框图可知：此问题相当于先求出满足以下条件数列的通项公式，数列{a n}的a1=5，a n+1=3a n﹣2，当a n≥200时，即输出a n．∵a n+1=3a n﹣2，∴a n+1﹣1=3（a n﹣1），∵a1﹣1=5﹣1=4≠0，∴数列{a n}是以4为首项，3为公比的等比数列，∴an﹣1=4×3n﹣1，∴an=4×3n﹣1+1，令4×3n﹣1+1≥200，解得n≥5．故当n=5时，输出的x应是4×34+1=325．选：A．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．5．用“更相减损术”求98和63的最大公约数，要做减法的次数是（）A．3次B．4次C．5次D．6次【考点】用辗转相除计算最大公约数．【专题】计算题；算法和程序框图．【分析】我们根据“以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止．”的原则，易求出98和63的最大公约数．统计减法次数可得答案．【解答】解：用“更相减损术”求98和63的最大公约数，98﹣63=35，63﹣35=28，35﹣28=7，28﹣7=21，21﹣7=14，14﹣7=7，共需要6次减法运算，故选：D【点评】本题考查的知识点是最大公因数和更相减损术，更相减损术的方法和步骤是：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止．6．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）125 120 122 105 130 114 116 95 120 134，则样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【考点】频率分布表．【专题】计算题．【分析】从所给的十个数字中找出落在所要求的范围中的数字，共有4个，利用这个频数除以样本容量，得到要求的频率．【解答】解：∵在125 120 122 105 130 114 116 95 120 134十个数字中，样本数据落在[114.5，124.5）内的有116，120，120，122共有四个，∴样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为=0.4，故选C【点评】本题考查频率分布表，频数、频率和样本容量三者之间的关系是知二求一，这种问题会出现在选择和填空中，有的省份也会以大题的形式出现，把它融于统计问题中．7．从学号为1号至50号的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是（）A．1，2，3，4，5 B．5，15，25，35，45C．2，4，6，8，10 D．4，13，22，31，40【考点】系统抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】计算系统抽样的抽取间隔，由此可得答案．【解答】解：系统抽样的抽取间隔为=10，由此可得所选5名学生的学号间隔为10，由此判定B正确，故选：B．【点评】本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统抽样方法的特征是解题的关键．8．给出以下四个问题：①输入一个正数x，求它的常用对数值；②求面积为6的正方形的周长；③求三个数a，b，c中的最大数；④求函数的函数值．其中不需要用条件语句来描述其算法的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】条件语句；设计程序框图解决实际问题．【专题】阅读型．【分析】对于选项①，②值，代入相应的公式求即可，对于选项③，④值域代入相应的公式时需要分类讨论，故要用到条件语句来描述其算法．【解答】解：对于①输入一个正数x，求它的常用对数值，代入lgx求即可；对于②，求面积为6的正方形的周长，代入a2求即可；对于③，求三个数a，b，c中的最大数，必须先进行大小比较，要用条件语句；对于④，求函数的函数值，必须对所给的x进行条件判断，也要用条件语句．其中不需要用条件语句来描述其算法的有2个．故选B．【点评】本题考查算法适宜用条件结构的问题，是在解决时需要讨论的问题．属于基础题．9．向顶角为120°的等腰三角形ABC（其中AC=BC）内任意投一点M，则AM小于AC的概率为（）A． B． C． D．【考点】几何概型．【专题】数形结合；定义法；概率与统计．【分析】根据几何概型的概率公式求出满足条件的区域对应的面积即可得到结论．【解答】解：若AM小于AC，则M位于阴影部分，∵∠C=120°，∴∠A=30°，则三角形ABC的面积为S△ABC==×AC2=AC2，扇形的面积S=AC2=πAC2，则对应的概率P===，故选：B．【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出对应区域的面积是解决本题的关键．10．某大学共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（）A．80 B．40 C．60 D．20【考点】分层抽样方法．【专题】计算题．【分析】要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，根据一、二、三、四年级的学生比为4：3：2：1，利用三年级的所占的比例数除以所有比例数的和再乘以样本容量即得抽取三年级的学生人数．【解答】解：∵要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，一、二、三、四年级的学生比为4：3：2：1，∴三年级要抽取的学生是=40，故选B．【点评】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三年级学生所占的比例，本题也可以先做出三年级学生数和每个个体被抽到的概率，得到结果．11．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11【考点】程序框图．【专题】计算题；整体思想；定义法；推理和证明．【分析】算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，根据条件确定跳出循环的i值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，∵S=lg+lg+…+lg=lg＞﹣1，而S=lg+lg+…+lg=lg＜﹣1，∴跳出循环的i值为9，∴输出i=9．故选：B【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．12．甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为（）A． B． C． D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】白球没有减少的情况有：①抓出黑球，抓入任意球，概率是：．抓出白球，抓入白球，概率是，再把这2个概率相加，即得所求．【解答】解：白球没有减少的情况有：①抓出黑球，抓入任意球，概率是：．抓出白球，抓入白球，概率是=，故所求事件的概率为=，故选C ．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的横线上.） 13．把xx 转化为二进制数为 11111100000（2） ．【考点】进位制．【专题】计算题；转化思想；转化法；算法和程序框图．【分析】利用“除k 取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．【解答】解：xx ÷2=1008 01008÷2=504 0504÷2=252 0252÷2=126 0126÷2=63 063÷2=31 (1)31÷2=15 (1)15÷2=7 (1)7÷2=3 (1)3÷2=1 (1)1÷2=0 (1)故xx （10）=11111100000（2）故答案为：11111100000（2）【点评】本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k 取余法”的方法步骤是解答本题的关键，属于基础题．14．如图是某学校抽取的n 个学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第3小组的频数为18，则n 的值是 48 ．【考点】频率分布直方图．【专题】应用题；概率与统计．【分析】根据频率和为1，求出前3个小组的频率和以及第3小组的频率，再求样本容量n的值．【解答】解：根据频率分布直方图，得从左到右的前3个小组的频率和为：1﹣（0.0375+0.0125）×5=0.75；又这三组频率之比为1：2：3，∴第3小组的频率为×0.75=0.375，且对应的频数为18，∴样本容量n==48．故答案为：48．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，是基础题目．15．用秦九韶算法求多项式：f（x）=1+x+2x2+3x3+4x4+5x5+7x7在x=2的值时，v3的值为70．【考点】秦九韶算法．【专题】算法和程序框图．【分析】根据秦九韶算法先别多项式进行改写，然后进行计算即可．【解答】解：根据秦九韶算法，把多项式改成如下形式解：f（x）=7x7+0x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x+1=（（（（（（7x+0）x+5）x+4）x+3）x+2）x+1）x+1 当x=2时，v1=7×2+0=14，v2=14×2+5=33，v3=33×2+4=70，故答案为：70【点评】本题主要考查秦九韶算法的应用，根据秦九韶算法的步骤把多项式进行改写是解决本题的关键．16．日前，广佛肇城际轨道已开通投入运营，假设轻轨列车每15分钟一班，在车站停2分钟，则乘客到达站台能立即上车的概率是．【考点】几何概型．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是轻轨列车每15分钟一班，共有15分钟，满足条件的事件是乘客到达站台立即乘上车，只有2分钟，根据概率等于时间长度之比，得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是轻轨列车每15分钟一班，共有15分钟满足条件的事件是乘客到达站台立即乘上车，只要2分钟，记“乘客到达站台立即乘上车”为事件A，∴事件A发生的概率P=，故答案为：．【点评】本题是一个等可能事件的概率，概率之比是时间长度之比，是一个不能列举出的事件数，是一个几何概型，注意解题的格式．三、解答题（本大题共6小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．若二进制数100y011和八进制数x03相等，求x+y的值．【考点】进位制．【专题】计算题；规律型；分类讨论；转化思想；算法和程序框图．【分析】直接利用进位制运算法则化简求解即可．【解答】解：100y011=1×26+y×23+1×2+1=67+8y，x03=x×82+3=64x+3，∴67+8y=64x+3，∵y=0或1，x可以取1、2、3、4、5、6、7，y=0时，x=1；y=1时，64x=72，无解；∴x+y=1．【点评】本题考查进位制的应用，函数与方程思想的应用，考查计算能力．18．（1）函数，编写出求函数的函数值的程序（使用嵌套式）；（2）“求的值．”写出用基本语句编写的程序（使用当型）．【考点】绘制简单实际问题的流程图．【专题】算法和程序框图．【分析】（1）根据题目已知中分段函数的解析式，根据分类标准，设置两个选择语句的并设置出判断的条件，再由函数各段的解析式，确定判断条件的“是”与“否”分支对应的操作，由此即可编写满足题意的程序．（2）这是一个累加求和问题，共99项相加，可设计一个计数变量，一个累加变量，用循环结构实现这一算法．【解答】解：（1）INPUT“x=”；xIF x＞=0 and x＜=4 THENy=2*xELSE IF x＜=8 THENy=8ELSEy=2*（12﹣x）END IFEND IFPRINT yEND …（2）．S=0K=1DOs=s+1/k（k+1）k=k+1LOOP UNTIL k＞99PRINT sEND …【点评】本题考查了设计程序框图解决实际问题，（1）主要考查编写程序解决分段函数问题．（2）主要考查利用循环结构进行累加．19．在某幼儿园的美术课上，老师带领小朋友用水彩笔为本子上两个大小不同的气球涂色，要求一个气球只涂一种颜色，两个气球分别涂不同的颜色．小朋友豆豆可用的有暖色系水彩笔红色、橙色各一支，冷色系水彩笔绿色、蓝色、紫色各一支．（1）豆豆从他可用的五支水彩笔中随机取出两支按老师要求给气球涂色，求两个气球同为冷色的概率．（2）一般情况下，老师发出开始指令到涂色活动全部结束需要10分钟，豆豆至少需要2分钟完成该项任务．老师发出开始指令1分钟后随时可能来到豆豆身边查看涂色情况．求当老师来到豆豆身边时，豆豆已经完成任务的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；简单线性规划．【专题】概率与统计．【分析】（1）由题意得到两个气球共20种涂色方案，其中有6种全冷色方案．由此能求出两个气球同为冷色的概率为；（2）老师发出开始指令起计时，设豆豆完成任务的时刻为x，老师来到豆豆身边检查情况的时刻为y，利用几何概率能求出老师来到豆豆身边时豆豆完成任务的概率．【解答】答案：（1）如下表格，假设非同冷色为1，同为冷色为2，红色橙色绿色蓝色紫色红色0 1 1 1 1橙色1 0 1 1 1绿色1 1 0 2 2蓝色1 1 2 0 2紫色1 1 2 2 0易知两个气球共20种涂色方案，其中有6种全冷色方案，故所求概率为：．（2）老师发出开始指令起计时，设豆豆完成任务的时刻为x，老师来到豆豆身边检查情况的时刻为y，则由题有…式①，若当老师来到豆豆身边时豆豆已经完成任务，则…式②，如图所示，所求概率为几何概型，阴影部分（式②）面积为×（10﹣2）×（10﹣2）=32，可行域（式①）面积为（10一1）×（10﹣2）=72，所求概率为．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意可行域的合理运用．20．已知集合A=[﹣2，2]，B=[﹣1，1]，设M={（x，y）|x∈A，y∈B}，在集合M内随机取出一个元素（x，y）．（1）求以（x，y）为坐标的点落在圆x2+y2=1内的概率；（2）求以（x，y）为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于的概率．【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】（1）画出区域，其面积表示所有基本事件，此圆x2+y2=1的面积表示满足条件的基本事件，所求为面积比；（2）由以（x，y）为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于，求出x，y满足的关系，得到区域面积，求面积比．【解答】解：（1）由题意，画出区域，如图，所求概率满足几何概型，所以所求为圆的面积与矩形面积比，所以以（x，y）为坐标的点落在圆x2+y2=1内的概率为；（2）由以（x，y）为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于，所以，即|x+y|≤1，满足条件的事件是图中阴影部分，所以以（x，y）为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于的概率为．【点评】本题考查了几何概型的概率求法，关键是将所求的概率利用基本事件的集合度量即区域的长度或者面积或者体积表示，求比值．21．运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．【考点】程序框图．【专题】综合题；算法和程序框图．【分析】（I）算法的功能是求f（x）=的值，根据输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7求得a、b；（II）分别在不同的段上求得函数的值域，再求并集．【解答】解：（Ⅰ）由程序框图知：算法的功能是求f（x）=的值，∵输入x=﹣1＜0，输出f（﹣1）=﹣b=2，∴b=﹣2．∵输入x=3＞0，输出f（3）=a3﹣1=7，∴a=2．∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：①当x＜0时，f（x）=﹣2x＞1，∴；②当x≥0时，f（x）=2x﹣1＞1，∴x＞1．综上满足不等式f（x）＞1的x的取值范围为或x＞1}．【点评】本题借助考查选择结构程序框图，考查了分段函数求值域，解题的关键是利用程序框图求得分段函数的解析式．22．为调查我校学生的用电情况，学校后勤部门组织抽取了100间学生宿舍某月用电量调查，发现每间宿舍用电量都在50度到350度之间，其频率分布直方图如图所示．（1）为降低能源损耗，节约用电，学校规定：每间宿舍每月用电量不超过200度时，按每度0.5元收取费用；超过200度，超过部分按每度1元收取费用．以t表示某宿舍的用电量（单位：度），以y表示该宿舍的用电费用（单位：元），求y与t的函数关系式？（2）求图中月用电量在（200，250]度的宿舍有多少间？（3）在直方图中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，宿舍用电量落入该区间的频率作为宿舍用电量取该区间中点值的频率（例如：若t∈[150，200），则取t=175，且t=175发生的频率等于落入[150，200）的频率），试估计我校学生宿舍的月均用电费用．【考点】频率分布直方图．【专题】应用题；概率与统计．【分析】（1）按分段函数求出宿舍的用电费用函数；（2）利用频率=，计算对应的频数即可；（3）利用频率分布直方图估算我校学生宿舍的月均用电费用是多少．【解答】解：（1）根据题意，得；当0≤t≤200时，用电费用为y=0.5x；当t＞200时，用电费用为y=200×0.5+（t﹣200）×1=t﹣100；综上：宿舍的用电费用为y=；（2）∵月用电量在（200，250]度的频率为50x=1﹣（0.0060+0.0036+0.0024+0.0024+0.0012）×50=1﹣0.0156×50=0.22，∴月用电量在（200，250]度的宿舍有100×0.22=22（间）；（3）估计我校学生宿舍的月均用电费用为75×0.0024×50+125×0.0036×50+175×0.0060×50+225×0.22+275×0.0024×50+325×0.0012×50=186（度）．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了利用直方图求平均数的应用问题，是基础题目．。

2023-2024学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z 满足z(1−i)=|1+i |2，则z =( )A. 1−iB. 1+iC. −1−iD. −1+i2.下列说法正确的是( )A. 空间中两直线的位置关系有三种：平行、垂直和异面B. 若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面C. 和两条异面直线都相交的两直线是异面直线D. 若两直线分别是正方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则这两直线可能相交，也可能异面3.已知a ,b ,c 均为单位向量，且2a =3b +4c ，则a 与b 的夹角的余弦值为( )A. 13B. −13C. 14D. −144.毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子，内部木架结构，外部毛毡围拢，建造和搬迁都很方便，适合牧业和游牧生活.如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合体，下半部分圆柱的高为2.5米；上半部分圆锥的母线长为2 3米，轴截面(过圆锥轴的截面)是面积为33平方米的等腰钝角三角形，则建造该毡帐(不含底面)需要毛毡( )平方米．A. (63+15)π B. (53+6)π C. (123+15)π D. (103+6)π5.设复数z 1，z 2对应的向量分别为OZ 1,OZ 2,O 为坐标原点，且z 1=− 2+2i ，若把OZ 1绕原点顺时针旋转3π4，把OZ 2绕原点逆时针旋转4π3，所得两向量的终点重合，则z 2=( )A. 1−3iB. −1+3iC.3−iD. −3+i6.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,B =π6,c =6，若△ABC 有两解，则b 的取值范围是( )A. (3,6)B. (3 3,63)C. (33,6)D. (3,63)7.如图，在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，∠BAD =∠BCD =π3，AB =8，AD =16，点E 在边AD 上，且BE ⊥AD ，点F 为边BC(含端点)上一动点，则DF ⋅EF 的最小值为( )A. 36B. 39C. 45D. 488.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c b +2b c =3cosA ，1tanA +1tanC =2tanB ，则sinB =( )A.64B.105C.156D.217二、多选题：本题共3小题，共18分。

2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中高一(下)期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC=5:11:13，则()A. sinA=5，sinB=11，sinC=13B. a=5，b=11，c=13C. A:B:C=5:11:13D. a:b:c=5:11:132.若各项均不为零的数列{a n}满足a n+1=2a n(n∈N+)，则a4⋅a3a2⋅a1的值等于()A. 4B. 8C. 16D. 643.若关于的不等式的解集是空集，则实数a的取值范围是()A. B. C. D.4.下列说法正确的是()A. 有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫作棱柱B. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥C. 用平行于圆台底面的平面截圆台，其截面是圆面D. 直角三角形绕它的一边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥5.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，则异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为()A. √55B. 2√55C. 2√25D. −2√256.已知：α，β是不同的平面，l，m，n是不同的直线，则下列说法正确的是()A. l//ml⊥αm//β}⇒α⊥β B. l⊥mm⊂α}⇒l⊥αC. l⊥ml⊥nm⊂αn⊂α}⇒l⊥α D. l//βm//β l⊂α m⊂α}⇒α//β7.已知从2开始的连续偶数构成以下数表，如图所示，在该数表中位于2第m行、第n列的数记为a mn，如a21=4，a42=16.若a mn=248，则m+n=()A. 20B. 21C. 29D. 308.下列说法中正确的个数是()(1)从一批产品取出三件产品，设事件A=“三件产品全是次品”，事件B=“三件产品全是正品”，事件C=“三件产品不全是次品”，A，B，C中任何两个均互斥；(2)已知a，b都是实数，那么“√a>√b”是“lna>lnb”的充要条件；(3)若命题p：∃x∈(0,π2)，x−sinx<0，则￢p：∀x∈(0,π2)，x−sinx≥0．A. 0B. 1C. 2D. 39.将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为()A. π6B. √23π C. 43π D. √32π10.如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则下列结论正确的是()A. 二面角D−BC−E是直二面角B. 直线BM，EN是异面直线C. CM⊥END. 直线EN与平面MCB所成角的正弦值为√3411.下列说法中，正确的是()A. 棱柱的侧面可以是三角形B. 棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形C. 棱柱的各条棱都相等D. 正方体和长方体都是特殊的四棱柱12.在△ABC中，若sinAcosB=sinC，则△ABC的形状是A. 等腰三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 直角三角形二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知非零向量满足0，向量的夹角为，且，则向量与的夹角为．14.函数值sin3π5，sin4π5，sin9π10从大到小的顺序为______ (用“>”连接)．15.如图所示，正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M，N，设BM=x，x∈[0,1]，给出以下五个命题：①当且仅当x=0时，四边形MENF的周长最大；②当且仅当x=12时，四边形MENF的面积最小；③多面体ABCD−MENF的体积为12④四棱锥C′−MENF的体积V=V(x)为常函数；⑤直线MN与直线CC′的夹角正弦值的范围是[√63,1]以上命题中正确的有______ (天上所有正确命题的序号)16.已知a1=5，a n=2a n−1+3(n≥2)，则a6=______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(本题满分13分)如图，某巡逻艇在处发现北偏东相距海里的处有一艘走私船，正沿东偏南的方向以海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里/小时的速度沿着直线追击．(Ⅰ)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里?(Ⅱ)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船?18. 如图所示，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，AB=AC=AE=2ED=2a，F是BC的中点．(1)求证：DF//平面EAB；(2)设动点P从F出发，沿棱BC，CD按照F→C→D的线路运动到点D，求这一运动过程中形成的三棱锥P−EAB体积的最小值．19. 设二次函数满足条件：(1)当时，都有且成立;(2)当时，；(3)在上的最小值为0．(1)求的值及的解析式；(2)求最大的实数，使得存在，只要，就有成立．20. 在三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，已知AB=AC=AA 1=，BC=4，点A 1在底面ABC的投影是线段BC的中点O．(1)证明在侧棱AA 1上存在一点E，使得OE⊥平面BB 1C 1C，并求出AE的长；(2)求平面A 1B 1C与平面BB 1C 1C夹角的余弦值．21. 如图，平面ABCF⊥平面FCDE，四边形ABCF和FCDE是全等的等腰梯形，其中AB//FC//ED，FC=2，点O为FC的中点，点G是AB的中点．且AB=BC=12(Ⅰ)求证：OG⊥平面FCDE；(Ⅱ)请在图中所给的点中找出两个点，使得这两点所在的直线与平面EGO垂直，并给出证明；(Ⅲ)在线段CD上是否存在点，使得BH//平面EGO？如果存在，求出DH的长度；如果不存在，请说明理由．22. 已知数列{a n}、{b n}、{c n}，对于给定的正整数k，记b n=a n−a n+k，c n=a n+a n+k(n∈N∗).若对任意的正整数n满足：b n≤b n+1，且{c n}是等差数列，则称数列{a n}为“H(k)”数列．(1)若数列{a n}的前n项和为S n=n2，证明：{a n}为H(k)数列；(2)若数列{a n}为H(1)数列，且a1=1，b1=−1，c2=5，求数列{a n}的通项公式；(3)若数列{a n}为H(2)数列，证明：{a n}是等差数列．【答案与解析】1.答案：D解析：本题主要考查正弦定理在三角形中的应用，是基础题．直接运用正弦定理求解即可．解：由正弦定理可知sinA=a2R ，sinB=b2R，sinC=c2R，(其中R为△ABC外接圆的半径)，sinA:sinB:sinC=a2R:b2R:c2R=a:b:c=5:11:13，故选：D．2.答案：C解析：解：∵各项均不为零的数列{a n}满足a n+1=2a n(n∈N+)，∴a n+1a n=2，∴a n=a1⋅2n−1，∴a4⋅a3a2⋅a1=a1⋅23⋅a1⋅22a1⋅2⋅a1=16．故选C．由各项均不为零的数列{a n}满足a n+1=2a n(n∈N+)，知a n+1a n =2，所以an=a1⋅2n−1，由此能求出a4⋅a3a2⋅a1．本题考查数列的综合运用，解题时要认真审题，注意等比数列的通项公式的灵活运用．3.答案：A解析：试题分析：设，因为，所以的最小值为；由的解集为空集知．故选B．考点：绝对值不等式的性质．4.答案：C解析：解：在A中，如图的几何体，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不是棱柱，故A错误；在B 中，由棱锥的定义得：有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体不一定是棱锥， 由三棱锥的定义可知：其余各面都是共有同一个顶点的三角形的多面体，故B 不正确； 在C 中，根据平行于圆台底面的平面截圆台截面的性质可知：截面是圆面，C 正确； 在D 中，直角三角形绕它的一条直角边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥，而直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个对底面的两个圆锥，故不正确．因此D 不正确． 故选：C ．在A 中，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不一定是棱柱；在B 中，由三棱锥的定义可知：其余各面都是共有同一个顶点的三角形的多面体；在C 中，根据平行于圆台底面的平面截圆台截面的性质可知：截面是圆面；在D 中，分直角三角形绕它的一条直角边和斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体可能是圆锥，可能是两个对底面的两个圆锥，进而可判断出，本题考查命题真假的判断，考查棱柱、棱台等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：C解析：本题考查的知识点是异面直线夹角问题.建立空间坐标系，属于简单题．建立空间坐标系，求出异面直线AC 1与B 1C 的方向向量，代入向量夹角公式，可得答案． 解：∵直三棱锥ABC −A 1B 1C 1底面三边长AC =3，BC =4，AB =5，AC ，BC ，CC 1两两垂直．如图建立坐标系，则C(0,0，0)，A(3,0，0)，C 1(0,0，4)，B 1(0,4，4)， ∴AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,0，4)，CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4，4)， 设异面直线AC 1与B 1C 所成角为θ， 则cosθ=|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=20√2=2√25， ∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为2√25， 故选：C ．6.答案：A解析：本题考查了面面垂直、面面平行、线面垂直的判定定理的运用；熟练掌握定理的条件是关键．利用面面垂直、面面平行、线面垂直的判定定理对四个选项分别分析选择正确答案．解：对于A，设过m的平面与β交于直线n，则m//n，又l//m，则l//n，又l⊥α，所以n⊥α，n⊂β，所以α⊥β；故A正确；对于B，l⊥m，m⊂α，直线l有可能在α内，所以B错误；对于C，如果直线m，n平行，直线l可能在α内；故C 错误；对于D，如果直线m，l平行，平面α，β可能相交；故D错误；故选A．7.答案：A解析：解：前15行共有15×162=120个数，最后一个数为240，所以248在第16行，第4列，所以m+n=16+4=20，故选：A．前15行共有15×162=120个数，最后一个数为240，所以248在第16行，第4列，根据规律求出即可．考查归纳推理，基础题．8.答案：B解析：解：(1)事件C=“三件产品不全是次品”，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件，B⊂C，故B，C不互斥，(1)错误；(2)当a=1，b=0时，有√a>√b此时ln b无意义，故(2)错误；(3)若命题p：∃x∈(0,π2)，x−sinx<0，则￢p：∀x∈(0,π2)，x−sinx≥0，故(3)正确．∴正确的说法只有(3)．故选：B．由互斥事件的概念判断(1)；举例说明(2)错误；写出全程命题的否定判断(3)．本题考查命题的真假判断与应用，考查互斥事件的概念，考查充分必要条件的判定方法，注意全称命题的否定的格式，是基础题．9.答案：A解析：解：将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球时，球的直径等于正方体的棱长1，则球的半径R =12则球的体积V =43⋅π⋅R 3=π6 故选：A ．将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，结合正方体和球的结构特征，可以求出球的半径，代入球的体积公式即可求出答案．本题考查的知识点是球的体积，其中根据正方体和圆的结构特征，求出球的半径，是解答本题的关键．10.答案：D解析：解：点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，如图，构造长方体ABCD −PQGH ，则E 是GH 中点，在A 中，∵二面角D −BC −G 是直二面角，∴二面角D −BC −E 是锐二面角，故A 错误；在B 中，连结BD ，MN ，则N 是BD 中点，∴MN//BE ，∴BM 与EN 是相交线，故B 错误； 在C 中，以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，CG 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设AB =2，则B(0,2，0)，C(0,0，0)，D(2,0，0)，E(1,0，√3)，M(32,0，√32)，E(1,0，√3)，N(1,1，0)，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,0,√32)，EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，−√3)， CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−32≠0，∴CM 与EN 不垂直，故C 错误； 在D 中，EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，−√3)，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,0,√32)，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)， 设平面MCB 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32x +√32y =0n⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0，取x =1，得n ⃗ =(1,−√3,0)，设直线EN 与平面MCB 所成角为θ， 则sinθ=|EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√34． ∴直线EN 与平面MCB 所成角的正弦值为√34.故D 正确．故选：D ．构造长方体ABCD −PQGH ，则E 是GH 中点．在A 中，二面角D −BC −E 是锐二面角；在B 中，连结BD ，MN ，则N 是BD 中点，MN//BE ，从而BM 与EN 是相交线；在C 中，以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，CG 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法推导出CM 与EN 不垂直；在D 中，求出平面MCB 的法向量，利用向量法能求出直线EN 与平面MCB 所成角的正弦值．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.答案：D解析：本题考查了棱柱的定义，几何性质，属于基础题． 运用棱柱的定义，性质判断即可．解：∵棱柱的侧面可以是四边形，不能是三角形， ∴棱柱的侧面是平行四边形，而底面可以是平行四边形，棱柱的各条棱不一定都相等，因为底面的边长与侧棱不一定相等， 故ABC 都是错的； 故选：D ．12.答案：D解析：由于sinAcosB =sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB ，化简可得cosAsinB =0，又sinB ≠0，故有cosA =0，解得A =90°，即三角形为直角三角形，故选D ．13.答案：解析：试题分析：，所以所以夹角为考点：1.向量的数量积公式；2.夹角公式．14.答案：sin3π5>sin4π5>sin9π10解析：解：∵π2<3π5<4π5<9π10<π，且函数y=sinx在[π2,π]上单调递减，∴sin3π5>sin4π5>sin9π10，故答案为：sin3π5>sin4π5>sin9π10，利用y=sinx在[π2,π]上单调性进行判断即可．本题主要考查三角函数单调性的应用，结合y=sinx的单调性是解决本题的关键．比较基础．15.答案：②③④⑤解析：本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本题巧妙的把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高．①判断周长的变化情况．②四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可．③计算两个多面体的体积关系．④求出四棱锥的体积，进行判断．⑤当x=0或x=1时，直线MN与直线CC′的夹角最小，x=12时，直线MN与直线CC′的夹角最大．解：①易证EF⊥面BDD′B′因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．当x∈[0,12]时，EM的长度由大变小．当x∈[12,1]时，EM的长度由小变大．所以当x=0或x=1时周长都为最大值．所以①错误．②连结MN，因为EF⊥平面BDD′B′，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x=12时，此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小．所以②正确．③因为E，F是固定的中点，所以当M在运动时，AM=D′N，DN=B′M，所以被截面MENF平分成的两个多面体是完全相同的，所以它们的体积也是相同的．所以③正确．④连结C′E，C′M，C′N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C′EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C′EF的面积是个常数．M，N到平面C′EF的距离是个常数，所以四棱锥C′−MENF的体积V=ℎ(x)为常函数，所以④正确．⑤当x=0或x=1时，直线MN与直线CC′的夹角最小，正弦值为√2√3=√63，x=12时，直线MN与直线CC′的夹角最大，正弦值为1，所以⑤正确．故答案为：②③④⑤．16.答案：253解析：由已知数列递推式可得数列{a n+3}是以8为首项，以2为公比的等比数列，求出等比数列的通项公式后可得a n，则a6可求．本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，考查等比数列通项公式的求法，是中档题．解：由a n=2a n−1+3(n≥2)，得a n+3=2(a n−1+3)(n≥2)，又a1+3=5+3=8≠0，∴数列{a n+3}是以8为首项，以2为公比的等比数列，则a n+3=8×2n−1=2n+2，∴a n=2n+2−3．∴a6=28−3=253．故答案为：253．17.答案：解：如图，由题意知，在三角形BCD中，所以当走私船发现巡逻艇时，两船相距海里；因为所以设追击时间为t，则所以即巡逻艇被骗东15º方向才能最快追上走私船．解析：本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，(1)先在三角形ABC中根据余弦定理求出BC的长，然后在三角形BCD中利用余弦定理求出CD的长；(2)先求出，然后在三角形CDE中利用正弦定理求出，即可求解．18.答案：(1)证明：取AB的中点N，连接DF、NF、EN，则FN//AC，NF=12AC，取AC的中点M，连接EM、EC，∵AE=AC且∠EAC=60°，∴△EAC是正三角形，∴EM⊥AC．∴四边形EMCD为矩形，∴ED=MC=12AC.又∵ED//AC，∴ED//NF且ED=NF，四边形ENFD是平行四边形．∴DF//EN，而EN⊂平面EAB，DF⊄平面EAB，∴DF//平面EAB．(2)解：过B作AC的平行线l，过C作l的垂线交l于G，连接DG，∵ED//AC，∴ED//l，l是平面EBD与平面ABC所成二面角的棱．∵平面EAC⊥平面ABC，DC⊥AC，∴DC⊥平面ABC，又∵l⊂平面ABC，∴l⊥平面DGC，∴l⊥DG，当P在CD上时，V P−EAB=V E−PAB=13×AB×S△PAE≥13×2a×12×√3a×a=√33a3，当P在FC上时，V P−EAB=V E−PAB=13×DC×S△PAE=√33×12×AB×y P≥√33a×12×2a×a=√33a3．∴三棱锥P−EAB体积的最小值为√33a3．解析：(1)取AB的中点N，连接DF、NF、EN，则FN//AC，NF=12AC，取AC的中点M，连接EM、EC，由已知得四边形EMCD为矩形，四边形ENFD是平行四边形，由此能证明DF//平面EAB．(2)当P在CD上时，V P−EAB=V E−PAB=13×AB×S△PAE≥√33a3，当P在FC上时，V P−EAB=V E−PAB=1 3×DC×S△PAE≥√33a3.由此能求出三棱锥P−EAB体积的最小值．本题考查直线与平面的平行、线面所成角、探索性问题等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．19.答案：(1)；；(2)9．解析：试题分析：(1)由当x∈(0,5)时，都有恒成立可得f(1)=1；由可得二次函数的对称轴为x=−1，于是b=2a，再由，可得c=a，从而可求得函数f(x)的解析式；(2)可由，求得：−4≤t≤0，再利用平移的知识求得最大的实数m．试题解析：(1)因为且，所以．由得对称轴，由(1)(2)(3)解得：所以6分(2)由，因为，所以于是有，即因为当时恒有，所以显然，所以由题意知：使上式成立，所以即的最大值是9 14分．考点：二次函数的性质．20.答案：(1)证明：连接AO，在△AOA 1中，作OE⊥AA 1于点E，因为AA 1//BB 1，得OE⊥BB 1，因为A 1O⊥平面ABC，所以A 1O⊥BC．因为AB=AC，OB=OC，得AO⊥BC，所以BC⊥平面AA 1O，所以BC⊥OE，所以OE⊥平面BB 1C 1C.又，，得．(2)解：如图，分别以OA，OB，OA 1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A(1,0，0)，B(0,2，0)，C(0,−2,0)，A 1(0,0，2)，由得点E的坐标是，由(1)得平面BB 1C 1C的法向量是，设平面A 1B 1C的法向量n=(x，y，z)，由得令y=1，得x=2，z=−1，即n=(2,1，−1)，所以，即平面BB 1C 1C与平面A 1B 1C的夹角的余弦值是．解析：略21.答案：证明：(Ⅰ)∵四边形ABCF是等腰梯形，点O为FC的中点，点G是AB的中点，∴OG⊥FC，又平面ABCF⊥平面FCDE，平面ABCF∩平面FCDE=FC，∴OG⊥平面FCDE．解：(Ⅱ)F、D点为所求的点．∵FD⊂平面FCDE，∴OG⊥FD，又ED.//FO，且EF=ED，∴EFOD为菱形，∴FD⊥EO，∵EO∩OG=O，∴FD⊥平面EGO．(Ⅲ)假设存在点H，使得BH//平面EOG，由ED.//OC，得EOCD是平行四边形，∴EO//DC，∵EO⊂平面EOG，∴DC//平面EOG，又BH∩DC=H，∴平面EOG//平面BCD，∴BC//平面EOG，∴BC//OG，∴GBCO是平行四边形，∴GB=CO，矛盾，∴不存在点H，使得BH//平面EOG．解析：(Ⅰ)推导出OG⊥FC，由此利用平面ABCF⊥平面FCDE，能证明OG⊥平面FCDE．(Ⅱ)F、D点为所求的点，推导出OG⊥FD，FD⊥EO，由此能证明FD⊥平面EGO．(Ⅲ)假设存在点H，使得BH//平面EOG，推导出EO//DC，从而DC//平面EOG，进而平面EOG//平面BCD，推导出GBCO是平行四边形，从而GB=CO，矛盾，由此得到不存在点H，使得BH//平面EOG．本题考查线面垂直的证明，考查满足线面垂直的两点的判断与证明，考查满足线面平行的点是否存在的与求法，考查线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．22.答案：证明：(1)当n≥2时，a n=S n−S n−1=n2−(n−1)2=2n−1．当n=1时，a1=S1=1符合上式，则：a n=2n−1所以：b n=a n−a n+k，整理得：b n=−2k，c n=a n+a n+k=4n−2k−2．则b n≤b n+1，c n+1−c n=4．对任意的正整数n满足b n≤b n+1，且数列{c n}，是公差为4的等差数列，所以：数列{a n}为H(k)数列；(2)由于a1=1，b1=−1，c2=5，由数列{a n}为H(1)数列，则数列{c n}是等差数列，且c1=3，c2=5，所以：c n=2n+1．即a n+a n+1=2n+1所以：a n+1−(n+1)=a n−n，则{a n−n}是常数列所以：a1−1=0，则：a n=n．验证：b n=a n−a n−1=−1，所以：b n≤b n+1对任意正整数n都成立所以：a n=n．附：a n+a n+1=2n+1①，a n+1+a n+2=2n+3②，②−①得：a n+2−a n=2所以：a2k−1=a1+2(k−1)=2k−1．a2k=a2+2(k−1)=2k，所以：a n=n．证明：(3)由数列{a n}为H(2)数列可知：{c n}是等差数列，记公差为dc n+2−c n=(a n+2+a n+4)−(a n+a n+2)=−b n−b n+2=2d，所以：−b n+1−b n+3=2d．则：(b n−b n+1)+(b n+2−b n+3)=2d−2d=0又b n≤b n+1，所以：b n=b n+1，所以：数列{b n}为常数列，则b n=a n−a n+2=b1所以：c n=a n+a n+2=2a n−b1．由c n+1−c n=2(a n+1−a n)=d，．所以：a n+1−a n=d2所以：{a n}是等差数列．解析：(1)直接利用定义法证明数列为H(k)数列．(2)利用赋值法和定义法进行证明，进一步求出数列的通项公式．(3)直接利用代换法和定义法证明数列为等差数列．本题考查的知识要点：数列的定义的应用，赋值法的应用，定义性数列的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．。

湖北省武汉市华科附中、育才高中、19中、吴家山中学2020学年度高一下期中联考数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.++化简后等于A. B. 3 C. D.【答案】A【解析】++=++，故选A．2.已知数列则是它的第（）项.A. 19B. 20C. 21D. 22【答案】C【解析】试题分析：观察式子,其中根式里面的数字为以6为公差的等差数列.而，所以答案为C.考点：等差数列3.已知是等差数列的前项和，，则 =（）A. 20B. 28C. 36D. 4【答案】B【解析】【分析】结合等差数列的性质和得出，利用等差数列前项和公式解出。

【详解】故选B【点睛】本题考查了等差数列的角标之和的性质，属于基础题。

4.已知中，满足，则这样的三角形有A. 0个B. 1个C. 2个D. 无数个【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理和三角形的边角关系，即可判断这样的三角形的个数，得到答案.【详解】由题意，在中，满足，..所以这样的三角形有2个，故选C.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理判定三角形的个数问题，其中解答中合理利用正弦定理和三角形的边角关系是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5.在中，，，，，则（）A. 或B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由三角形面积公式可得，进而可得解.【详解】在中，，，,，可得，所以，所以【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，属于基础题.6.在中，，，，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若，则A. 1B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】通过解直角三角形得到，利用向量的三角形法则及向量共线的充要条件表示出利用向量共线的充要条件表示出，根据平面向量就不定理求出，值． 【详解】中，又所以为AD 的中点故选：D ．【点睛】本题考查解三角形、向量的三角形法则、向量共线的充要条件、平面向量的基本定理．7.已知等差数列的各项均为正数，，且成等比数列，若，则A. 12B. 13C. 14D. 15【答案】A 【解析】 【分析】设等差数列公差为，由题意知，由，，成等比数列列式求得公差，再由等差数列的通项公式求得．【详解】设等差数列公差为，由题意知，，，成等比数列，，，即，解得或（舍去），，则．故答案为：A．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础题．8.已知向量、，满足，，且，则在上的投影为A. B. C. D. 4【答案】C【解析】【分析】根据可得，进而可求出，利用投影公式即可得结果.【详解】，；；；又；；在上的投影为．故选：C．【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量的数量积运算，向量投影的计算公式，属于基础题.9.已知非零向量和满足，且，则为（）A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 三边均不相等三角形【答案】A【解析】即方向上的单位向量，即方向上的单位向量，向量在的平分线上，由可知，由，所以三角形为等边三角形.点睛：本题主要考查向量的数量积运算，考查两个向量数量积为零的几何意义，考查三角形形状的判断.首先要知道即方向上的单位向量这一概念，由此得到向量在的平分线上，根据数量积为零可知角平分线和垂直也即三角形为等腰三角形，再根据向量数量积运算得到夹角为，由此推出三角形为等边三角形.10.在等差数列中，已知，且，则中最大的是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知结合等差数列的性质可判断出a6＞0，a7＜0，从而可得和取最大值时的条件．【详解】∵等差数列{a n}中，a3+a10＜0，∴a6+a7＝a3+a10＜0，∵S110，∴a1+a11＞0，∴a1+a11＝2a6＞0，∴a6＞0，a7＜0，则当n＝6时，S n有最大值．故选：B．【点睛】本题考查了等差数列的性质与求和公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.等比数列的各项均为正数，已知向量，，且，则A. 12B. 10C. 5D.【答案】C【解析】【分析】利用数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质即可得出．【详解】向量＝（，），＝（，），且•＝4，∴+＝4，由等比数列的性质可得：＝……＝＝＝2，则log2（•）＝．故选：C．【点睛】本题考查数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．12.在中，内角，，所对应的边分别为，，，若，且，则（）A. B. C. 2 D. 0【答案】D【解析】【分析】由，利用正弦定理可得，由求得，由两角和的余弦公式可得，由两角差的余弦公式可得，可得，从而可得结果.【详解】因为，所以，由正弦定理可得，即，因为，因为，所以，，所以，，，又因为，所以，所以，故选D.【点睛】本题主要考查两角和与差的余弦公式，以及正弦定理的应用，属于难题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，，若向量与向量共线，则实数k的值为______．【答案】【解析】【分析】先由，得出向量的坐标表示，再由向量与向量共线，即可求出结果.【详解】因为向量，，所以；又，向量与向量共线，所以，解得.故答案为【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，熟记共线向量定理即可，属于基础题型.14.在锐角三角形ABC中，已知内角所对的边分别为，，则 ______．【答案】【解析】【分析】由得到,利用平方关系得到。

2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1．已知向量，且，则的值为（）A．B．C．D．2．设M＝2a（a﹣2），N＝（a+1）（a﹣3），则有（）A．M＞N B．M≥N C．M＜N D．M≤N3．如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A'B'O'，若O'A'＝1，那么原三角形ABO面积是（）A．B．C．D．4．已知等比数列{a n}中，a5a11＝3a8，数列{b n}是等差数列，且b6＝a8，则b4+b8＝（）A．3B．6C．9D．125．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，a＝1，，则c＝（）A．B．1C．D．6．《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为10%，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为900元和810元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得奖金59040元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金32800元，则“衰分比”与丙所获得的奖金分别为（）A．20%，12800元B．10%，12800元C．20%，10240元D．10%，10240元7．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为（）A．1：2B．1：C．1：D．：28．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的点，且，若，则λ＝（）A．B．﹣C．﹣D．﹣9．若正数a，b满足a+b＝2，则+的最小值是（）A．1B．C．9D．1610．对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数．已知正项数列{a n}满足，n∈N*，其中S n为数列{a n}的前n项和，则[S1]+[S2]+…+[S40]＝（）A．135B．141C．149D．15511．已知点C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，PC是∠APB角的平分线，I为PC 上一点，满足＝+λ（+）（λ＞0），，，则的值为（）A．2B．3C．4D．512．设数列{a n}的前n项和为S n，已知a n+1+a n＝2n+3（n∈N*）且S n＝1300，若a2＜3，则n的最大值为（）A．49B．50C．51D．52二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案写在答题纸上的相应位置．）13．设a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列不等式正确的是．（仅填写正确不等式的序号）①；②ac2＜bc2；③；④；⑤14．已知向量是平面内的一组基底，若，则称有序实数对（x，y）为向量在基底下的坐标．给定一个平面向量，已知在基底下的坐标为（1，2），那么在基底，下的坐标为．15．已知函数（e是自然对数的底数），设，n∈N*，数列{a n}的前n项和为S n，则S4039的值是．16．如图，在平面四边形ABCD中，∠A＝135°，∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则CD的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸上的相应位置．）17．已知向量和，其中，，k∈R．（1）当k为何值时，有、平行；（2）若向量与的夹角为钝角，求实数k的取值范围．18．在数列{a n}，{b n}中，a1＝b1＝1，a n+1＝4b n﹣a n+2n﹣1，．等差数列{c n}的前两项依次为a2，b3．（1）求{c n}的通项公式；（2）求数列{（a n+b n）c n}的前n项和S n．19．如图，已知在东西走向上有甲、乙两座小山，一辆测量车在甲山山底M的正南方向的P点处测得山顶A的仰角为30°，该测量车在水平面上向北偏西60°方向行驶后到达点Q，在点Q处测得乙山山顶B的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经计算，tanθ＝2，若甲、乙山高分别为100m、200m，求两山山顶之间的距离．20．已知△ABC的内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，R（sin A+sin B）＝1（其中R 为△ABC的外接圆的半径）且△ABC的面积S＝c2﹣（a﹣b）2．（1）求tan C的值；（2）求△ABC的面积S的最大值．21．如图，在△ABC中，已知CA＝1，CB＝2，∠ACB＝60°．（1）求||；（2）已知点D是AB上一点，满足＝λ，点E是边CB上一点，满足＝λ．①当λ＝时，求•；②是否存在非零实数λ，使得⊥？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．22．已知数列{a n}满足，n∈N*，a1＝1．（1）若a2＝3，a3＝x，a4＝6，求x的取值范围；（2）若{a n}是公比为q的等比数列，S n＝a1+a2+…+a n，≤3S n，n∈N*，求q 的取值范围；（3）若a1，a2，…，a k成等差数列，且a1+a2+…+a k＝2020，求正整数k的最大值．参考答案一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知向量，且，则的值为（）A．B．C．D．解：∵，∴，∴x＝3，，，∴．故选：D．2．设M＝2a（a﹣2），N＝（a+1）（a﹣3），则有（）A．M＞N B．M≥N C．M＜N D．M≤N解：∵M﹣N═2a（a﹣2）﹣（a+1）（a﹣3）＝（a﹣1）2+2＞0，∴M＞N．故选：A．3．如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A'B'O'，若O'A'＝1，那么原三角形ABO面积是（）A．B．C．D．解：由斜二测直观图还原原图形如图所示，因为边O′B′在x′轴上，所以在原图形中对应的边应在x轴上，且长度不变；O′A′在y′轴上，所以在原图形中对应的边应在y轴上，且长度增大到2倍；因为O′A′＝1，所以O′B′＝，所以OA＝2，OB＝；所以△AOB的面积为S△ABC＝×OB×OA＝××2＝．故选：B．4．已知等比数列{a n}中，a5a11＝3a8，数列{b n}是等差数列，且b6＝a8，则b4+b8＝（）A．3B．6C．9D．12解：在等比数列{a n}中，由等比数列的性质可得a5a11＝，又a5a11＝3a8，∴，∵a8≠0，∴a8＝3．又数列{b n}是等差数列，∴b4+b8＝2b6＝2a8＝6．故选：B．5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，a＝1，，则c＝（）A．B．1C．D．解：∵，∴由正弦定理得：sin A•cos B+sin B•cos A＝，∴sin（A+B）＝sin C＝，∵A+B+C＝π，A、B、C∈（0，π），∴sin（A+B）＝sin C＞0，∴2cos C＝，即cos C＝，∵a＝1，b＝，∴由余弦定理可得：c＝＝＝1．故选：B．6．《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为10%，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为900元和810元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得奖金59040元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金32800元，则“衰分比”与丙所获得的奖金分别为（）A．20%，12800元B．10%，12800元C．20%，10240元D．10%，10240元解：由题意，可知甲、乙、丙、丁分配的奖金构成等比数列，设此等比数列为{a n}，且公比为q，设甲、乙、丙、丁按照的“衰分比”的值为x，则x＝1﹣q．依题意，a1+a2+a3+a4＝59040，a1+a3＝32800，则a2+a4＝59040﹣32800＝26240，∴q＝＝＝0.8，∴“衰分比”的值x＝1﹣0.8＝0.2＝20%，∵a1+a3＝a1+a1q2＝a1（1+q2）＝a1（1+0.82）＝1.64a1＝32800，∴a1＝＝20000，∴a3＝a1q2＝20000×0.82＝12800，∴丙所获得的奖金为12800元．故选：A．7．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为（）A．1：2B．1：C．1：D．：2解：若圆锥的高等于底面直径，则h＝2r，则母线l＝＝r，而圆锥的底面面积为πr2，圆锥的侧面积为πrl＝πr2，故圆锥的底面积与侧面积之比为1：，故选：C．8．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的点，且，若，则λ＝（）A．B．﹣C．﹣D．﹣解：如图，设，且，则：＝＝＝＝＝，∵，∴，解得．故选：A．9．若正数a，b满足a+b＝2，则+的最小值是（）A．1B．C．9D．16解：∵正数a，b满足a+b＝2，∴（a+1）+（b+1）＝4∴+＝（+）[（a+1）+（b+1）]＝[5++]≥（5+2）＝当且仅当＝即a＝且b＝时取等号．故选：B．10．对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数．已知正项数列{a n}满足，n∈N*，其中S n为数列{a n}的前n项和，则[S1]+[S2]+…+[S40]＝（）A．135B．141C．149D．155解：由，令n＝1，得a1＝S1＝（a1+），∵a n＞0，得a1＝1．当n≥2时，S n＝（a n+）＝（S n﹣S n﹣1+），即S n2﹣S n﹣12＝1，因此，数列{S n2}是首项为1，公差为1的等差数列，∴S n2＝n，即S n＝，[S1]＝1，[S2]＝1，[S3]＝1，[S4]＝…＝[S8]＝2，[S9]＝…＝[S15]＝3，…，[S36]＝…＝[S40]＝6，则[S1]+[S2]+…+[S40]＝1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×5＝155．故选：D．11．已知点C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，PC是∠APB角的平分线，I为PC 上一点，满足＝+λ（+）（λ＞0），，，则的值为（）A．2B．3C．4D．5解：∵，PC是∠APB角的平分线，又满足＝+λ（+）（λ＞0），即＝λ，所以I在∠BAP的角平分线上，由此得I是△ABP的内心，过I作IH⊥AB于H，I为圆心，IH为半径，作△PAB的内切圆，如图，分别切PA，PB于E、F，∵，，＝＝＝＝3，在直角三角形BIH中，cos∠IBH＝，所以＝cos∠IBH＝＝3．故选：B．12．设数列{a n}的前n项和为S n，已知a n+1+a n＝2n+3（n∈N*）且S n＝1300，若a2＜3，则n的最大值为（）A．49B．50C．51D．52解：a n+1+a n＝2n+3（n∈N*），可得数列{a n}中，每隔两项求和是首项为5，公差为4的等差数列，则S48＝5×24+×24×23×4＝1224＜1300，又S50＝5×25+×25×24×4＝1325＞1300，则n的最大值可能为49．由a n+1+a n＝2n+3（n∈N*），可得a n+2+a n+1＝2n+5，两式相减可得a n+2﹣a n＝2，可得数列{a n}中的奇数项和偶数项均为公差为2的等差数列，若S49＝1300，可得a49＝1300﹣1224＝76，由a2＜3，可得a1＞2，则a49＝a1+2×24＞50，故n的最大值为49．故选：A．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案写在答题纸上的相应位置．）13．设a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列不等式正确的是④⑤．（仅填写正确不等式的序号）①；②ac2＜bc2；③；④；⑤解：（1）由于a＜b＜0，所以b﹣a＞0，ab＞0，，所以，整理得，故，所以①错误．（2）当c＝0时，ac2＝bc2，故②错误．（3）由（1）知：，且a＜b＜0，所以，﹣a＞﹣b＞0，则，故③错误④正确．（4）由（1）知：，且a＜b＜0，所以，所以，故⑤正确．故答案为：④⑤14．已知向量是平面内的一组基底，若，则称有序实数对（x，y）为向量在基底下的坐标．给定一个平面向量，已知在基底下的坐标为（1，2），那么在基底，下的坐标为（）．解：由已知：＝，∵，．∴，所以在基底，下的坐标为（）．故答案为：（）．15．已知函数（e是自然对数的底数），设，n∈N*，数列{a n}的前n项和为S n，则S4039的值是．解：根据题意，函数，则f（）＝＝，且f（1）＝＝，则有f（x）+f（）＝+＝1，又由则S4039＝f（1）+f（2）+……+f（2020+f（）+f（）+……+f（）＝f（1）+[f（2）+f（）]+[f（3）+f（）]+……+f（2020）+f（）＝+2019＝．故答案为：．16．如图，在平面四边形ABCD中，∠A＝135°，∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则CD的取值范围是（）．解：根据题意延长BA，CD交于点E，如图所示：则：在△ADE中，∠ADE＝105°，∠DAE＝45°，∠E＝30°，所以：设AD＝，DE＝，AE＝，AB＝m，由于BC＝2，所以（）sin15°＝1，整理得：，所以0＜x＜4，由于CD＝x+m﹣＝所以：CD的取值范围是（）．故答案为：（）三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸上的相应位置．）17．已知向量和，其中，，k∈R．（1）当k为何值时，有、平行；（2）若向量与的夹角为钝角，求实数k的取值范围．解：（1），，所以：＝（﹣k，3k）﹣（12，6）＝（﹣k﹣12，3k﹣6）．＝（﹣1，3）+（4，2）＝（3，5）．由于共线，所以5（﹣k﹣12）﹣3（3k﹣6）＝0，解得k＝﹣3．（2）向量与的夹角为钝角所以，即：3×（﹣k﹣12）+5×（3k﹣6）＜0，解得．由于方向相反时，即：cos＜，＞＝，解得，即当k＝时，方向相反，此时不合题意．故实数k的取值范围（﹣）．18．在数列{a n}，{b n}中，a1＝b1＝1，a n+1＝4b n﹣a n+2n﹣1，．等差数列{c n}的前两项依次为a2，b3．（1）求{c n}的通项公式；（2）求数列{（a n+b n）c n}的前n项和S n．解：（1）由题意，可知：a2＝4b1﹣a1+2×1﹣1＝4﹣1+2﹣1＝4，b2＝4a1﹣b1﹣2×1+1＝4﹣1﹣2+1＝2，则b3＝4a2﹣b2﹣2×2+1＝4×4﹣2﹣4+1＝11，设等差数列{c n}的公差为d，则：c1＝a2＝4，d＝b3﹣a2＝11﹣4＝7，故c n＝4+7（n﹣1）＝7n﹣3，n∈N*．（2）由题意，将a n+1＝4b n﹣a n+2n﹣1与b n+1＝4a n﹣b n﹣2n+1相加，可得：a n+1+b n+1＝4b n﹣a n+2n﹣1+4a n﹣b n﹣2n+1＝3（a n+b n），∵a1+b1＝1+1＝2，∴数列{a n+b n}是以2为首项，3为公比的等比数列，∴a n+b n＝2•3n﹣1，∴（a n+b n）c n＝2（7n﹣3）•3n﹣1，∴S n＝（a1+b1）c1+（a2+b2）c2+（a3+b3）c3+…+（a n﹣1+b n﹣1）c n﹣1+（a n+b n）c n＝2•4•1+2•11•31+2•18•32+…+2•（7n﹣10）•3n﹣2+2•（7n﹣3）•3n﹣1，则3S n＝2•4•31+2•11•32+…+2•（7n﹣10）•3n﹣1+2•（7n﹣3）•3n，两式相减，可得：﹣2S n＝2•4•1+2•7•31+2•7•32+…+2•7•3n﹣1﹣2•（7n﹣3）•3n＝8+14•（31+32+…+3n﹣1）﹣2•（7n﹣3）•3n＝8+14•﹣2•（7n﹣3）•3n＝8+7（3n﹣3）﹣2•（7n﹣3）•3n＝﹣（14n﹣13）•3n﹣13∴S n＝•3n+．19．如图，已知在东西走向上有甲、乙两座小山，一辆测量车在甲山山底M的正南方向的P点处测得山顶A的仰角为30°，该测量车在水平面上向北偏西60°方向行驶后到达点Q，在点Q处测得乙山山顶B的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经计算，tanθ＝2，若甲、乙山高分别为100m、200m，求两山山顶之间的距离．解：在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，所以PM＝100；连接QM，在△PQM中，∠QPM＝60°，又PQ＝100，所以△PQM为等边三角形，所以QM＝100 ；在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2+QM2得AQ＝200又在Rt△BNQ中，tanθ＝2，BN＝200，所以BQ＝100；在△BQA中，BA2＝BQ2+AQ2﹣2BQ•AQ cosθ＝50000+40000﹣2×100×200×＝50000；解得BA＝100．所以A，B两山顶间的距离是100m．20．已知△ABC的内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，R（sin A+sin B）＝1（其中R 为△ABC的外接圆的半径）且△ABC的面积S＝c2﹣（a﹣b）2．（1）求tan C的值；（2）求△ABC的面积S的最大值．解：（1）∵，∴a＝2R sin A，b＝2R sin B．代入R（sin A+sin B）＝1整理后得a+b＝2．由面积S＝c2﹣（a﹣b）2＝得，两边同除以2ab得：，代入sin2C+cos2C＝1得，因为sin C≠0，所以．∴，∴．（2）由（1）得，当且仅当a＝b＝1时取等号．∴．所以面积的最大值为．21．如图，在△ABC中，已知CA＝1，CB＝2，∠ACB＝60°．（1）求||；（2）已知点D是AB上一点，满足＝λ，点E是边CB上一点，满足＝λ．①当λ＝时，求•；②是否存在非零实数λ，使得⊥？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．解：（1）△ABC中，CA＝1，CB＝2，∠ACB＝60°，由余弦定理得，AB2＝CA2+CB2﹣2CA•CB•cos∠ACB＝12+22﹣2×1×2×cos60°＝3，∴AB＝，即||＝；（2）①λ＝时，＝，＝，∴D、E分别是BC，AB的中点，∴＝+＝+，＝（+），∴•＝（+）•（+）＝•+•+•+＝﹣×12+×1×2×cos120°+×2×1×cos60°+×22＝；②假设存在非零实数λ，使得⊥，由＝λ，得＝λ（﹣），∴＝+＝+λ（﹣）＝λ+（1﹣λ）；又＝λ，∴＝+＝（﹣）+λ（﹣）＝（1﹣λ）﹣；∴•＝λ（1﹣λ）﹣λ•+（1﹣λ）2•﹣（1﹣λ）＝4λ（1﹣λ）﹣λ+（1﹣λ）2﹣（1﹣λ）＝﹣3λ2+2λ＝0，解得λ＝或λ＝0（不合题意，舍去）；即存在非零实数λ＝，使得⊥．22．已知数列{a n}满足，n∈N*，a1＝1．（1）若a2＝3，a3＝x，a4＝6，求x的取值范围；（2）若{a n}是公比为q的等比数列，S n＝a1+a2+…+a n，≤3S n，n∈N*，求q 的取值范围；（3）若a1，a2，…，a k成等差数列，且a1+a2+…+a k＝2020，求正整数k的最大值．解：（1）由题意可得a2≤a3≤3a2，a3≤a4≤3a3，又a2＝3，a3＝x，a4＝6，即有1≤x≤9，x≤6≤3x，即2≤x≤18，可得2≤x≤9；（2）a n＝q n﹣1，由a1≤a2≤3a1，可得≤q≤3，当q＝1时，S n＝n，≤3S n，即n≤n+1≤3n，成立；当1＜q≤3时，S n＝，≤3S n，即•≤≤3•，即≤≤3，可得，由q＞1可得3q n+1﹣q n﹣2＝q n（3q﹣1）﹣2＞2q n﹣2＞0，对于不等式q n+1﹣3q n+2≤0，令n＝1，可得q2﹣3q+2≤0，解得1≤q≤2，又当1≤q≤2，q﹣3＜0，所以q n+1﹣3q n+2＝q n（q﹣3）+2≤q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q ﹣2）≤0成立，所以1＜q≤2；当≤q＜1时，S n＝，≤3S n，即•≤≤3•，可得≤≤3，所以，因为3q﹣1＞0，q﹣3＜0，所以3q n+1﹣q n﹣2＝q n（3q﹣1）﹣2＜2q n﹣2＜0，q n+1﹣3q n+2＝q n（q﹣3）+2≥q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）＞0成立，所以当≤q ＜1时，不等式恒成立，综上所述，q的取值范围是[，2]；（3）设a1，a2，…，a k成公差为d的等差数列，由a n≤a n+1≤3a n，且a1＝1，可得[1+（n﹣1）d]≤1+nd≤3[1+（n﹣1）d]，n＝1，2，…，k﹣1，即，n＝1，2，…，k﹣1，当n＝1时，﹣≤d≤2，当n＝2，3，…，k﹣1时，由＞，可得d≥，所以d≥≥﹣，所以2020＝ka1+•≥k+•，即k2﹣4040k+2020≤0，解得k≤4039，所以k的最大值为4039．。

2019-2020学年武汉市华科附中高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC ⇀=λAM ⇀+μBD ⇀，则λ+μ=A. 43 B. 53 C. 158 D. 22. 等差数列中，已知，使得的最大正整数为( )A.B.C. D.3. 《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈．问半月积几何？”其意思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月(按30天计)共织布9匹3丈．问：前半个月(按15天计)共织多少布？”已知1匹=4丈，1丈=10尺，可估算出前半个月一共织的布约有( )A. 195尺B. 133尺C. 130尺D. 135尺4. 4.在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 若则b 等于A.B.C.D.5. 在△ABC 中，D 是BC 边上一点，∠BAD =∠CAD =60°，BD =2CD =4，则tan∠ABC =( )A. √35B. √33C. 4−√313D. 4+√3136. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60°，且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数λ的值为( )A. 12B. 1C. 2D. −127. 已知甲乙两车间的月产值在2011年元月份相同，甲以后每个月比前一个月增加相同的产值，乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到2011年7月份发现两车间的月产值又相同，比较甲乙两个车间2011年4月月产值的大小，则有( )A. 甲大于乙B. 甲等于乙C. 甲小于乙D. 不确定8. 已知向量a ⃗ ,b ⃗ 满足a ⃗ ⋅b ⃗ =1,|b ⃗ |=2，则(3a ⃗ −2b ⃗ )⋅b ⃗ =( )A. 5B. −5C. 6D. 69. 已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC =30°，设OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n ∈R)，若|OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12，则mn =( ) A. √36B. 4C. 2√3D. 1410. 若等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ，且AnB n=7n+14n+27，则a6b 6等于( )A. 43B. 74C. 32D. 787111. 已知向量a ⃗ =(1,3)，b ⃗ =(3,x)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则实数x 的值为( )A. 9B. −9C. 1D. −112. 在△ABC 中，两直角边和斜边分别为a ，b ，c ，若a +b =cx ，试确定实数x 的取值范围( )A. (1,√2]B. (0,√2]C. [√2,2)D. [√2,√3]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设向量a ⃗ =(2,−6)，b ⃗ =(1,m)，若a ⃗ //b ⃗ ，则实数m 的值为______．14. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C =π3，且acosA =bcosB ，则角A = ______ ． 15. 设数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n =2a n −3(n ∈N ∗)，则数列{a n }通项为a n =______． 16. 若数列{a n }各项均不为零，前n 项和为S n ，且a 1=2，2S n =a n ⋅a n+1，则S 2n−1=______ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. (本小题满分12分)已知、、是同一平面内的三个向量，其中．(1)若，且 //，求的坐标；(2)若| |=且 +2与垂直，求与的夹角．18.已知数列{a n}的前n项和为S n，对一切正整数n，点P n(n,S n)都在函数f(x)=x2+2x的图象上．(1)求a1，a2；并求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=1a n a n+1a n+2=k(1a n a n+1−1a n+1a n+2)，求k，(3)证明数列{b n}的前n项和T n<160．19.已知m⃗⃗⃗ =(cos(π3+x),0)，n⃗=(cos(π3−x),2)，函数f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗，g(x)=12sin2x−14．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)求函数ℎ(x)=f(x)−g(x)的最大值，并求使ℎ(x)取得最大值的x的集合．20.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：)来近似描述这个港口的水深和时间(1)若用函数f(t)=Asin(ωt+φ)+ℎ(A>0,ω>0,|φ|<π2之间的对应关系，根据表中数据确定函数表达式；(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，安全条例规定要有2.25米的安全间隙(船底与洋底的距离)，该船何时能进入港口？21.若a⃗、b⃗ 是两个不共线的非零向量，t∈R．(a−+b⃗ )三向量的终点在条直线上？(1)若a⃗、b⃗ 起点相同，t为何值时，a⃗、t b⃗ 、13(2)若|a⃗|=|b⃗ |且a⃗与b⃗ 的夹角为60°，t为何值时，|a⃗−t b⃗ |的值最小，并求出最小值(用含|a⃗|的式子表示)．22.已知数列{a n}的前n项和为S n.已知a1=2，S n+1=4a n+2．(1)求a2的值；(2)设b n=a n+1−2a n，数列{b n}的通项公式．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，相等向量的概念，平面向量基本定理．根据向量加法、减法及数乘的几何意义便可得出．AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，带入AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 并进行向量的数乘运算便可得出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ−μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ2+μ)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，而AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，这样根据平面向量基本定理即可得出关于λ，μ的方程组，解出λ，μ便可得出λ+μ的值． 解：AC⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μBD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(λ−μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ2+μ)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴由平面向量基本定理得：{λ−μ=1λ2+μ=1；解得λ=43,μ=13； ∴λ+μ=53． 故选B ．2.答案：A解析：试题分析：由，设公差为，则有，解得，所以，由，故的最大正整数为6，选A ．考点：1.等差数列的通项公式及其前项和公式；2.一次不等式．3.答案：B解析：解：9匹3丈为390尺，每天的织布数成等差数列，首项a 1=5，记公差为d ， 则S 30=5×30+30×292d =390，所以d =1629， 所以S 15=15×5+15×142×1629=75+105×1629≈132.9故选：B ．由已知结合等差数列的求和公式可求公差d ，然后代入到求和公式中即可求解． 本题主要考查了等差数列的求和公式在实际问题中的应用，属于基础试题．4.答案：A解析：本题主要考查了正弦定理的应用，先根据三角形内角和求得A ，进而利用正弦定理以及a ，sin A 和sin B 求得b ．解：A =180°−60°−75°=45° 由正弦定理可知，．故选：A ．5.答案：A解析：解：依题意，AD 为∠BAC 的平分线，所以ABAC =BD CD=2，设AC =x ，则AB =2x ，在△ABC 中，由余弦定理得，BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅ACcos∠BAC ， 即(4+2)2=4x 2+x 2−2⋅2x ⋅xcos120°=7x 2， 解得x =√7.在△ABC 中，由正弦定理得，ACsinB =BC sin∠BAC ， 即√7sinB =6sin120∘，解得sinB =√327， 又0°<B <60°，可得cosB =2√7，所以tanB =sinB cosB =√35． 故选：A ．AD 为∠BAC 的平分线，由角平分线定理可得AB =2AC ，设AC =x ，则AB =2x ，在△ABC 中，运用余弦定理可得x ，在三角形ABC 中运用正弦定理可得sin B ，再由同角的基本关系式可得所求值． 本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查化简运算能力，属于基础题．6.答案：B解析：解：∵向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60°，且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2， ∴向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos60°=2×2×12=2， ∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则λAB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0， 即λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 则2λ−4λ+4−2=0， 2λ=2，解得λ=1， 故选：B ．根据向量的数量积以及向量垂直的定义和关系建立方程关系即可得到结论．本题主要考查平面向量的数量积的应用以后平面向量的基本定理的应用，根据向量垂直的等价关系建立方程是解决本题的关键．7.答案：A解析：解：设甲以后每个月比前一个月增加相同的产值a ，乙每个月比前一个月增加产值的百分比为x ，甲乙两车间的月产值在2011年元月份相同为m ，则 由题意得m +6a =m ×(1+x)6 ①，4月份甲的产值为m +3a ，4月份乙的产值为m ×(1+x)3， 由①知，(1+x)6=1+6am，即4月份乙的产值为m√1+6a m=√m 2+6ma ，∵(m +3a)2−(m 2+6ma)=9a 2>0，∴m +3a >√m 2+6ma ，即4月份甲的产值大于乙的产值， 故选A ．设甲、乙两间工厂元月份的产值都是m ，甲以后每个月比前一个月增加相同的产值a ，乙每个月比前一个月增加产值的百分比为x ，由7月份的产值相同列出等式，由此得到4月份乙的产值，将甲、乙两间工厂4月份的产值平方相减得到差值的符号，从而判断甲、乙两间工厂4月份产值的大小． 本题考查指数函数的性质，以及比较两个式子大小的方法，考查等差数列与等比数列的结合，体现了转化的数学思想．8.答案：B解析：解：∵a ⃗ ⋅b ⃗ =1,|b ⃗ |=2，∴(3a ⃗ −2b ⃗ )⋅b ⃗ =3a ⃗ ⋅b ⃗ −2b ⃗ 2=3−2×22=−5， 故选：B ．展开直接求解即可．本题考查向量的数量积运算，属于基础题．9.答案：C解析：解：∵|OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12，∴|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即OA ⊥OB ，故可以OA ，OB 为x 轴，y 轴建立直角坐标系， 设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2)， ∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,2n)， ∵∠AOC =30°， ∴2n m =tan30°=√33， 则mn =2√3． 故选：C ．由已知可以OA ，OB 为x 轴，y 轴建立直角坐标系，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2)，然后结合OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可求C ，结合三角函数可求． 本题主要考查了向量的坐标表示的简单应用，建立直角坐标可以简化基本运算．10.答案：D解析：解：利用等差数列的性质可得：a6b6=11(a1+a11)211(b1+b11)2=A11B11=7×11+14×11+27=7871．故选：D．利用等差数列的性质可得：a6b6=A11B11，即可得出．本题考查了等差数列的性质、求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.答案：D解析：解：∵向量a⃗=(1,3)，b⃗ =(3,x)，a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =1×3+3x=0，解得x=−1故选：D由斜率垂直可得数量积为0，解方程可得x值．本题考查向量的数量积和垂直关系，属基础题．12.答案：A解析：由a+b=cx得，x=a+bc ，由正弦定理得a+bc=√2sin(A+45°)，由此能确定实数x的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、三角函数性质的合理运用．解：由a+b=cx得，x=a+bc，由题意得在△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°，由正弦定理得：a+bc =sinA+sinBsinC=sinA+sin(90°−A)sin90°=sinA+cosA=√2sin(A+45°)，由A∈(0,90°)得，A+45°∈(45°,135°)，所以sin(A+45°)∈(√22,1]，即√2sin(A+45°)∈(1,√2]，∴a+bc∈(1,√2]，∴x =a +b c∈(1,√2]. 故选A ． 13.答案：−3解析：解：∵a ⃗ //b ⃗ ；∴2m +6=0；∴m =−3．故答案为：−3．根据a ⃗ //b⃗ 即可得出2m +6=0，解出m 即可． 考查向量坐标的概念，向量平行时的坐标关系．14.答案：π3解析：解：由题意得a cosA =b cosB ，则acosB =bcosA ，由正弦定理得，sinAcosB =sinBcosA ，则sin(A −B)=0，又A 、B ∈(0,π)，则A −B ∈(−π,π)，所以A −B =0，即A =B ，因为C =π3，所以A =B =π3，故答案为：π3．根据正弦定理和两角差的正弦公式化简式子，根据内角的范围判断A 与B 的关系，结合条件和内角和定理求出A 的值．本题考查正弦定理，两角差的正弦公式，注意内角的范围，属于中档题． 15.答案：3⋅2n−1解析：解：数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n =2a n −3①，当n =1时，a 1=3．则：S n+1=2a n+1−3②，②−①得：a n+1=2a n ，即：a n+1a n =2(常数)，所以：数列{a n}是以a1=3为首项，2为公比的等比数列．故：a n=3⋅2n−1．当n=1时，首项符合通项．故：a n=3⋅2n−1．故答案为：3⋅2n−1直接利用递推关系式求出数列的通项公式．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用．16.答案：2n2解析：解：由题意，可知：2S n=a n⋅a n+1，①2S n+1=a n+1⋅a n+2，②②−①，可得：2S n+1−2S n=a n+1⋅a n+2−a n⋅a n+1，即有：2(S n+1−S n)=a n+1⋅(a n+2−a n)，∴2a n+1=a n+1⋅(a n+2−a n)，∵a n+1≠0，∴a n+2−a n=2，∵a1=2，a2=2S1a1=2．∴数列{a n}的奇数项是以2为首项，2为公差的等差数列；数列{a n}的偶数项也是以2为首项，2为公差的等差数列．∴a n={n+1,n为奇数n,n为偶数．∴S2n−1=a1+a2+⋯+a n+a n+1+a n+2+⋯+a2n−1=(a1+a3+⋯+a2n−1)+(a2+a4+⋯+a2n−2)=[2+4+⋯+(2n−2)+2n]+[2+4+⋯+(2n−2)]=2×[2+4+⋯+(2n−2)]+2n=4×[1+2+⋯+(n−1)]+2n=4×n(n−1)2+2n=2n2．故答案为：2n2．本题根据2S n=a n⋅a n+1可得到2S n+1=a n+1⋅a n+2然后两式相减再整理化简发现数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，然后再求和时可奇数项与偶数项分别求和即可得出结果．本题主要考查将递推公式转化为通项公式，并考查了数列的奇偶项分别分析，在求和时可采用奇偶项分别求和的方法．本题属中档题．17.答案：解析：18.答案：(1)解：∵点P n(n,S n)都在函数f(x)=x2+2x的图象上．∴S n=n2+2n,n∈N∗，∴a1=S1=3，(2分)又a 1+a 2=S 2=22+2×2=8，∴a 2=5.(4分)由(1)知，S n =n 2+2n,n ∈N ∗，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n +1，(6分)由(1)知，a 1=3=2×1+1满足上式，(7分)∴数列{a n }的通项公式为a n =2n +1.(8分)(2)解：由(1)得b n =1(2n+1)(2n+3)(2n+5)=14[1(2n+1)(2n+3)−1(2n+3)(2n+5)]，∵b n =1an a n+1a n+2=k(1a n a n+1−1a n+1a n+2)， ∴k =14． (3)证明：T n =14[13×5−15×7+15×7−17×9+⋯+1(2n+1)(2n+3)−1(2n+3)(2n+5)](12分)=14[13×5−1(2n+3)(2n+5)]=160−14(2n+3)(2n+5)<160． ∴T n <160.(14分)解析：(1)由已知条件得S n =n 2+2n,n ∈N ∗，由此推导出a 1=S 1=3，a 2=5，a n =S n −S n−1=2n +1，由此能求出数列{a n }的通项公式．(2)由(1)得b n =1(2n+1)(2n+3)(2n+5)=14[1(2n+1)(2n+3)−1(2n+3)(2n+5)]，由此能求出k ．(3)利用裂项求和法求出T n =14[13×5−1(2n+3)(2n+5)]=160−14(2n+3)(2n+5)，由此能证明T n <160．本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．19.答案：解：(Ⅰ)由已知，f(x)=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =cos(π3+x)cos(π3−x)=(12cosx −√32sinx)(12cosx +√32sinx)=14cos 2x −34sin 2x =1+cos2x 8−3−3cos2x 8=12cos2x −14，所以f(x)的最小正周期为2π2=π；(Ⅱ)函数ℎ(x)=f(x)−g(x)=12cos2x −12sin2x =√22cos(2x +π4)，当2x +π4=2kπ，k ∈Z 时，ℎ(x)取最大值为√22，此时x =kπ−π8，所以ℎ(x)取最大值时x 的集合为{x|x =kπ−π8,k ∈Z}．解析：(Ⅰ)由已知，利用向量的数量积求出函数f(x)的解析式化简求周期；(Ⅱ)求出函数ℎ(x)=f(x)−g(x)的解析式化简求最值．本题考查了向量的数量积的坐标运算以及三角函数解析式的化简，正确利用两角和与差的关系式以及倍角公式化简解析式为最简形式是关键．20.答案：解：(1)水深和时间之间的对应关系，周期T=12．∴ω=2π12=π6，可知A=7.5−2.52=52，ℎ=7.5+2.52=5．∴f(t)=52sin(ωt+φ)+5．当t=3时f(3)=7.5．即sin(3×π6+φ)=1．∵|φ|<π2，∴φ=0．∴函数表达式为∴f(t)=52sinπ6t+5.(0<t≤24)(2)船底与水面的距离为4米，船底与洋底的距离2.25米，∴y≥6.25，即52sinπ6t+5≥6.25可得sinπ6t≥12．∴5π6+2kπ≥π6t≥π6+2kπ，k∈Z．解得：1≤t≤5或13≤t≤17．故得该船1≤t≤5或13≤t≤17.能进入港口满足安全要求．解析：(1)根据时间与水深关系表，即可计算；(2)船底与水面的距离为4米，船底与洋底的距离2.25米，可知y≥6.25的时间段t，即可求解．本题考查了三角函数在实际问题中的应用，需对题目的理解，属于中档题．21.答案：解：(1)a⃗、t b⃗ 、13(a−+b⃗ )三向量的终点在条直线上，即a⃗−t b⃗ =λ[a⃗−13(a⃗+b⃗ )]，即(1−2λ3)a ⃗ =(t −λ3)b ⃗ ， 又a ⃗ 、b ⃗ 是两个不共线的非零向量，所以{1−2λ3=0t −λ3=0， 解得t =12，故答案为：12(2)|a ⃗ −t b ⃗ |2=a ⃗ 2−2t a ⃗ ⋅b ⃗ +t 2b ⃗ 2=a ⃗ 2(t 2−t +1)=[(t −12)+34]a ⃗ 2， 当t =12时，|a ⃗ −t b ⃗ |2取最小值34a⃗ 2， 故t =12时，|a ⃗ −t b ⃗ |取最小值√32|a ⃗ |，解析：(1)由三点共线得：a ⃗ 、t b ⃗ 、13(a −+b ⃗ )三向量的终点在条直线上，即a ⃗ −t b ⃗ =λ[a ⃗ −13(a ⃗ +b ⃗ )]，即(1−2λ3)a ⃗ =(t −λ3)b ⃗ ，由平面向量基本定理得：因为a ⃗ 、b ⃗ 是两个不共线的非零向量，所以{1−2λ3=0t −λ3=0，解得t =12， (2)由向量模的运算可得：|a ⃗ −t b ⃗ |2=a ⃗ 2−2t a ⃗ ⋅b ⃗ +t 2b ⃗ 2=a ⃗ 2(t 2−t +1)=[(t −12)+34]a ⃗ 2，由二次函数的性质可得：当t =12时，|a ⃗ −t b ⃗ |2取最小值34a ⃗ 2，故t =12时，|a ⃗ −t b ⃗ |取最小值√32|a ⃗ |， 本题考查了三点共线、平面向量基本定理、向量模的运算及二次函数的性质，属中档题． 22.答案：解：(1)∵a 1=2，S n+1=4a n +2．∴a 1+a 2=4a 1+2，即a 2=3×2+2=8．(2)∵S n+1=4a n +2，∴当n ≥2时，S n =4a n−1+2，相减可得：a n+1=4a n +2−(4a n−1+2)，化为a n+1−2a n =2(a n −2a n−1)，∵b n =a n+1−2a n ，∴b n+1=2b n ，b 2=8−2×2=4．∴数列{b n }是等比数列，首项为4，公比为2．∴b n=4×2n−1=2n+1．解析：(1)由a1=2，S n+1=4a n+2.令n=1代入即可得出．(2)由S n+1=4a n+2，可得：当n≥2时，S n=4a n−1+2，相减可得：a n+1−2a n=2(a n−2a n−1)，于是b n+1=2b n，利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了递推关系的应用、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（下）期中数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知向量a⃗=(1，−1)，b⃗⃗=(x，3)且a⃗⊥b⃗⃗，则|a⃗+b⃗⃗|的值为（）A. √2B. √7C. 2√2D. 2√52.（单选题，5分）设M=2a（a-2），N=（a+1）（a-3），则有（）A.M＞NB.M≥NC.M＜ND.M≤N3.（单选题，5分）如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A'B'O'，若O'A'=1，那么原三角形ABO面积是（）A. 12B. √22C. √2D. 2√24.（单选题，5分）已知等比数列{a n}中，a5a11=3a8，数列{b n}是等差数列，且b6=a8，则b4+b8=（）A.3B.6C.9D.125.（单选题，5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB+bcosA=√3c，a=1，b=√3，则c=（）2cosCA. √6C. √2D. √36.（单选题，5分）《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．如：已知A ，B ，C 三人分配奖金的衰分比为10%，若A 分得奖金1000元，则B ，C 所分得奖金分别为900元和810元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得奖金59040元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金32800元，则“衰分比”与丙所获得的奖金分别为（ ）A.20%，12800元B.10%，12800元C.20%，10240元D.10%，10240元7.（单选题，5分）若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为（ ）A.1：2B.1： √3C.1： √5D. √3 ：28.（单选题，5分）在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的点，且 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若 BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=（ ） A. −54B.- 43C.- 45D.- 349.（单选题，5分）若正数a ，b 满足a+b=2，则 1a+1 + 4b+1 的最小值是（ ）A.1B. 94C.9D.1610.（单选题，5分）对于实数x ，[x]表示不超过x 的最大整数．已知正项数列{a n }满足 S n =12(a n +1a n) ，n∈N *，其中S n 为数列{a n }的前n 项和，则[S 1]+[S 2]+…+[S 40]=（ ） A.135C.149D.15511.（单选题，5分）已知点C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，PC 是∠APB 角的平分线，I 为PC 上一点，满足 BI ⃗⃗⃗⃗⃗ = BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ（ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| + AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|）（λ＞0）， |PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|−|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=4 ， |PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=10 ，则 BI ⃗⃗⃗⃗⃗BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 的值为（ ） A.2B.3C.4D.512.（单选题，5分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a n+1+a n =2n+3（n∈N *）且S n =1300，若a 2＜3，则n 的最大值为（ ）A.49B.50C.51D.5213.（填空题，5分）设a ，b ，c 为实数，且a ＜b ＜0，则下列不等式正确的是___ ．（仅填写正确不等式的序号）① 1a ＜1b ； ② ac 2＜bc 2； ③ b a ＞a b ； ④ b a ＜a b ； ⑤ 1a 2＜1b 214.（填空题，5分）已知向量 a ⃗，b ⃗⃗ 是平面内的一组基底，若 m ⃗⃗⃗=xa ⃗+yb⃗⃗ ，则称有序实数对（x ，y ）为向量 m ⃗⃗⃗ 在基底 a ⃗，b ⃗⃗ 下的坐标．给定一个平面向量 p ⃗ ，已知 p ⃗ 在基底 a ⃗，b⃗⃗ 下的坐标为（1，2），那么 p ⃗ 在基底 a ⃗−b ⃗⃗ ， a ⃗+b⃗⃗ 下的坐标为___ ． 15.（填空题，5分）已知函数 f (x )=x e 1+x e （e 是自然对数的底数），设 a n ={f (n )，n ≤2020，f (14041−n )，n ＞2020，，n∈N *，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4039的值是___ ． 16.（填空题，5分）如图，在平面四边形ABCD 中，∠A=135°，∠B=∠C=75°，BC=2，则CD 的取值范围是___ ．17.（问答题，10分）已知向量x⃗=ka⃗−3b⃗⃗和y⃗=a⃗+b⃗⃗，其中a⃗=(−1，3)，b⃗⃗=(4，2)，k∈R．（1）当k为何值时，有x⃗、y⃗平行；（2）若向量x⃗与y⃗的夹角为钝角，求实数k的取值范围．18.（问答题，12分）在数列{a n}，{b n}中，a1=b1=1，a n+1=4b n-a n+2n-1，b n+1=4a n−b n−2n+1，n∈N∗．等差数列{c n}的前两项依次为a2，b3．（1）求{c n}的通项公式；（2）求数列{（a n+b n）c n}的前n项和S n．19.（问答题，12分）如图，已知在东西走向上有甲、乙两座小山，一辆测量车在甲山山底M的正南方向的P点处测得山顶A的仰角为30°，该测量车在水平面上向北偏西60°方向行驶100√3m后到达点Q，在点Q处测得乙山山顶B的仰角为θ，且∠BQA=θ，经计算，tanθ=2，若甲、乙山高分别为100m、200m，求两山山顶之间的距离．20.（问答题，12分）已知△ABC的内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，R（sinA+sinB）=1（其中R为△ABC的外接圆的半径）且△ABC的面积S=c2-（a-b）2．（1）求tanC的值；（2）求△ABC的面积S的最大值．21.（问答题，12分）如图，在△ABC 中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．（1）求| AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |；（2）已知点D 是AB 上一点，满足 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，点E 是边CB 上一点，满足 BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． ① 当λ= 12时，求 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； ② 是否存在非零实数λ，使得 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．22.（问答题，12分）已知数列{a n }满足 13a n ≤a n+1≤3a n ，n∈N *，a 1=1．（1）若a 2=3，a 3=x ，a 4=6，求x 的取值范围；（2）若{a n }是公比为q 的等比数列，S n =a 1+a 2+…+a n ， 13S n ≤S n+1 ≤3S n ，n∈N *，求q 的取值范围；（3）若a 1，a 2，…，a k 成等差数列，且a 1+a 2+…+a k =2020，求正整数k 的最大值．2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知向量a⃗=(1，−1)，b⃗⃗=(x，3)且a⃗⊥b⃗⃗，则|a⃗+b⃗⃗|的值为（）A. √2B. √7C. 2√2D. 2√5【正确答案】：D【解析】：根据a⃗⊥b⃗⃗即可得出a⃗•b⃗⃗=0，从而得出x=3，从而可求出a⃗+b⃗⃗的坐标，进而可求出|a⃗+b⃗⃗|的值．【解答】：解：∵ a⃗⊥b⃗⃗，∴ a⃗•b⃗⃗=x−3=0，∴x=3，b⃗⃗=(3，3)，a⃗+b⃗⃗=(4，2)，∴ |a⃗+b⃗⃗|=√20=2√5．故选：D．【点评】：本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积和加法的坐标运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．2.（单选题，5分）设M=2a（a-2），N=（a+1）（a-3），则有（）A.M＞NB.M≥NC.M＜ND.M≤N【正确答案】：A【解析】：比较两个数的大小，通常采用作差法，分别计算M-N的结果，判断结果的符号．【解答】：解：∵M-N=2a（a-2）-（a+1）（a-3）=（a-1）2+2＞0，∴M＞N．故选：A．【点评】：本题考查了比较两数大小的方法．当a-b＞0时，a＞b，当a-b=0时，a=b，当a-b＜0时，a＜b．3.（单选题，5分）如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A'B'O'，若O'A'=1，那么原三角形ABO面积是（）A. 12B. √22C. √2D. 2√2【正确答案】：B【解析】：由斜二测直观图还原原图形，得出△AOB是直角三角形，求出两直角边长，再计算三角形的面积．【解答】：解：由斜二测直观图还原原图形如图所示，因为边O′B′在x′轴上，所以在原图形中对应的边应在x轴上，且长度不变；O′A′在y′轴上，所以在原图形中对应的边应在y轴上，且长度增大到2倍；因为O′A′=1，所以O′B′= √22，所以OA=2，OB= √22；所以△AOB的面积为S△ABC= 12 ×OB×OA= 12× √22×2= √22．故选：B．【点评】：本题考查了斜二测画直观图的与应用问题，运用斜二侧画法画水平放置的平面图形的直观图时，在原坐标系下平行于坐标轴或在坐标轴上的线段在新系下仍然平行于坐标轴或在坐标轴上，平行于x轴或在x轴上的长度不变，平行于y轴或在y轴上的，长度变为原来的一半，该类问题有个常用结论，即原平面图形的面积和其直观图的面积比为 2 √2，是基础题．4.（单选题，5分）已知等比数列{a n}中，a5a11=3a8，数列{b n}是等差数列，且b6=a8，则b4+b8=（）A.3B.6C.9D.12【正确答案】：B【解析】：在等比数列{a n}中，由等比数列的性质结合已知求得a8=3，再由数列{b n}是等差数列，利用等差数列的性质可得b4+b8=2b6=2a8=6．【解答】：解：在等比数列{a n}中，由等比数列的性质可得a5a11= a82，又a5a11=3a8，∴ a82=3a8，∵a8≠0，∴a8=3．又数列{b n}是等差数列，∴b4+b8=2b6=2a8=6．故选：B．【点评】：本题考查等差数列与等比数列的通项公式及性质，是基础的计算题．5.（单选题，5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB+bcosA=√3c，a=1，b=√3，则c=（）2cosCA. √6B.1C. √2D. √3【正确答案】：B【解析】：利用正弦定理结合两角和的正弦函数化简已知条件，然后求cosC的值，根据余弦定理即可计算得解c的值．，【解答】：解：∵ acosB+bcosA=√3c2cosC，∴由正弦定理得：sinA•cosB+sinB•cosA= √3sinC2cosC∴sin（A+B）=sinC= √3sinC，2cosC∵A+B+C=π，A、B、C∈（0，π），∴sin（A+B）=sinC＞0，，∴2cosC= √3，即cosC= √32∵a=1，b= √3，∴由余弦定理可得：c= √a2+b2−2abcosC = 1+3−2×1×√3×√3=1．2故选：B．【点评】：本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．6.（单选题，5分）《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为10%，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为900元和810元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得奖金59040元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金32800元，则“衰分比”与丙所获得的奖金分别为（）A.20%，12800元B.10%，12800元C.20%，10240元D.10%，10240元【正确答案】：A【解析】：本题可根据题意将问题甲、乙、丙、丁分配的奖金构建成一个等比数列，且公比q与“衰分比”的和为1，然后根据等比数列的性质计算出q的值，即可得到“衰分比”的值，以及计算出首项a1的值，再根据a1+a3=32800，可计算出丙所获得的奖金．【解答】：解：由题意，可知甲、乙、丙、丁分配的奖金构成等比数列，设此等比数列为{a n}，且公比为q，设甲、乙、丙、丁按照的“衰分比”的值为x，则x=1-q．依题意，a1+a2+a3+a4=59040，a1+a3=32800，则a2+a4=59040-32800=26240，∴q= a 2+a 4a 1+a 3 = 2624032800 =0.8， ∴“衰分比”的值x=1-0.8=0.2=20%，∵a 1+a 3=a 1+a 1q 2=a 1（1+q 2）=a 1（1+0.82）=1.64a 1=32800，∴a 1= 328001.64=20000， ∴a 3=a 1q 2=20000×0.82=12800，∴丙所获得的奖金为12800元．故选：A ．【点评】：本题主要考查根据实际问题构建数学模型的问题．考查了转化思想，等比数列的基本计算与性质应用，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．7.（单选题，5分）若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为（ ）A.1：2B.1： √3C.1： √5D. √3 ：2【正确答案】：C【解析】：由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案．【解答】：解：若圆锥的高等于底面直径，则h=2r ，则母线l= √ℎ2+r 2 = √5 r ，而圆锥的底面面积为πr 2，圆锥的侧面积为πrl= √5 πr 2，故圆锥的底面积与侧面积之比为1： √5 ，故选：C ．【点评】：本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，难度不大，属于基础题．8.（单选题，5分）在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的点，且 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若 BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=（ ） A. −54B.- 43D.- 34【正确答案】：A【解析】：可设 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后根据向量减法、加法的几何意义，以及向量的数乘运算即可得出 BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−(x 2+1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+3x 2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而根据平面向量基本定理即可得出 {λ=−(x2+1)3x 2=34 ，解出λ即可．【解答】：解：如图，设 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则： BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = xAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = x(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = x (AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗= xAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+x 2(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −(x 2+1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+3x2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵ BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴ {λ=−(x2+1)3x 2=34 ，解得 λ=−54 ．故选：A ．【点评】：本题考查了向量加法和减法的几何意义，向量的数乘运算，平面向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题．9.（单选题，5分）若正数a ，b 满足a+b=2，则 1a+1 + 4b+1 的最小值是（ ） A.1C.9D.16【正确答案】：B【解析】：由题意可得（a+1）+（b+1）=4，可得 1a+1 + 4b+1 = 14 （ 1a+1 + 4b+1 ）[（a+1）+（b+1）]= 14 [5+ b+1a+1 + 4(a+1)b+1]，由基本不等式可得．【解答】：解：∵正数a ，b 满足a+b=2， ∴（a+1）+（b+1）=4∴ 1a+1 + 4b+1 = 14 （ 1a+1 + 4b+1 ）[（a+1）+（b+1）] = 14 [5+ b+1a+1 +4(a+1)b+1 ]≥ 14 （5+2 √b+1a+1•4(a+1)b+1 ）= 94当且仅当 b+1a+1 = 4(a+1)b+1即a= 13 且b= 53 时取等号．故选：B ．【点评】：本题考查基本不等式求最值，整体代换是解决问题的关键，属中档题． 10.（单选题，5分）对于实数x ，[x]表示不超过x 的最大整数．已知正项数列{a n }满足 S n =12(a n +1a n) ，n∈N *，其中S n 为数列{a n }的前n 项和，则[S 1]+[S 2]+…+[S 40]=（ ）A.135B.141C.149D.155【正确答案】：D【解析】：求得数列的首项，由数列的递推式可得S n 2-S n-12=1，数列{S n 2}是首项为1，公差为1的等差数列，求得S n ，结合新定义分别求得各项的值，相加可得所求和．【解答】：解：由 S n =12(a n +1a n) ，令n=1，得a 1=S 1= 12 （a 1+ 1a 1），∵a n ＞0，得a 1=1．当n≥2时，S n = 12 （a n + 1a n）= 12 （S n -S n-1+ 1Sn −S n−1）， 即S n 2-S n-12=1，因此，数列{S n 2}是首项为1，公差为1的等差数列， ∴S n 2=n ，即S n = √n ，[S 1]=1，[S 2]=1，[S 3]=1，[S 4]=…=[S 8]=2，[S 9]=…=[S 15]=3， …，[S 36]=…=[S 40]=6，则[S 1]+[S 2]+…+[S 40]=1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×5=155． 故选：D ．【点评】：本题考查数列的通项和求和的关系，注意运用数列的递推式，考查等差数列的定义和通项公式，考查新定义的理解和运用，以及化简运算能力，属于中档题．11.（单选题，5分）已知点C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，PC 是∠APB 角的平分线，I 为PC 上一点，满足 BI ⃗⃗⃗⃗⃗ = BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ（ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+ AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|）（λ＞0）， |PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗|−|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=4 ， |PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=10 ，则 BI ⃗⃗⃗⃗⃗BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 的值为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5【正确答案】：B【解析】：利用角平分线的性质、三角形内切圆的性质、向量的运算性质即可得出．【解答】：解：∵ |PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=10 ，PC 是∠APB 角的平分线， 又满足 BI ⃗⃗⃗⃗⃗ = BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ（ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+ AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|）（λ＞0），即 AI ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ (AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗|) ， 所以I 在∠BAP 的角平分线上，由此得I 是△ABP 的内心，过I 作IH⊥AB 于H ，I 为圆心，IH 为半径，作△PAB 的内切圆，如图，分别切PA ，PB 于E 、F ，∵ |PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|−|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=4 ， |PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=10 ， |BH⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = |BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = 12(|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|−|PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|) = 12[|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|−(|PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗|−|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|)] =3， 在直角三角形BIH 中，cos∠IBH= |BH⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||BI⃗⃗⃗⃗⃗| ， 所以BI ⃗⃗⃗⃗⃗BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = |BI ⃗⃗⃗⃗⃗| cos∠IBH= |BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| =3． 故选：B ．【点评】：本题主要考查向量运算、数量积及其几何意义、圆的切线长等，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于难题．12.（单选题，5分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a n+1+a n=2n+3（n∈N*）且S n=1300，若a2＜3，则n的最大值为（）A.49B.50C.51D.52【正确答案】：A【解析】：由题意可得数列{a n}中，每隔两项求和是首项为5，公差为4的等差数列，运用等差数列的求和公式，分别计算S48，S50，可判断n的最大值可能为49．再由数列{a n}中的奇数项和偶数项均为公差为2的等差数列，结合等差数列的通项公式和已知a2＜3，即可判断．【解答】：解：a n+1+a n=2n+3（n∈N*），可得数列{a n}中，每隔两项求和是首项为5，公差为4的等差数列，×24×23×4=1224＜1300，则S48=5×24+ 12×25×24×4=1325＞1300，又S50=5×25+ 12则n的最大值可能为49．由a n+1+a n=2n+3（n∈N*），可得a n+2+a n+1=2n+5，两式相减可得a n+2-a n=2，可得数列{a n}中的奇数项和偶数项均为公差为2的等差数列，若S49=1300，可得a49=1300-1224=76，由a2＜3，可得a1＞2，则a49=a1+2×24＞50，故n的最大值为49．故选：A．【点评】：本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算求解能力和推理能力，属于中档题．13.（填空题，5分）设a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列不等式正确的是___ ．（仅填写正确不等式的序号）① 1a ＜1b；② ac2＜bc2；③ ba＞ab；④ ba＜ab；⑤ 1a2＜1b2【正确答案】：[1] ④ ⑤【解析】：直接利用不等式的性质的应用，不等式的乘法的应用求出结果．【解答】：解：（1）由于a＜b＜0，所以b-a＞0，ab＞0，1ab＞0，所以b−aab ＞0，整理得1a−1b＞0，故1a＞1b，所以① 错误．（2）当c=0时，ac2=bc2，故② 错误．（3）由（1）知：0＞1a ＞1b，且a＜b＜0，所以−1b＞−1a＞0，-a＞-b＞0，则ab＞ba，故③错误④ 正确．（4）由（1）知：0＞1a ＞1b，且a＜b＜0，所以−1b＞−1a＞0，所以1b2＞1a2，故⑤ 正确．故答案为：④ ⑤【点评】：本题考查的知识要点：不等式性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．14.（填空题，5分）已知向量a⃗，b⃗⃗是平面内的一组基底，若m⃗⃗⃗=xa⃗+yb⃗⃗，则称有序实数对（x，y）为向量m⃗⃗⃗在基底a⃗，b⃗⃗下的坐标．给定一个平面向量p⃗，已知p⃗在基底a⃗，b⃗⃗下的坐标为（1，2），那么p⃗在基底a⃗−b⃗⃗，a⃗+b⃗⃗下的坐标为___ ．【正确答案】：[1]（−12，32）【解析】：根据定义，先将p⃗表示成a⃗+2b⃗⃗的形式，然后再利用整体思想将a⃗+2b⃗⃗用a⃗+b⃗⃗与a⃗−b⃗⃗整体表示，即可得到p⃗的新坐标．【解答】：解：由已知：p⃗ = (1，2)=a⃗+2b⃗⃗，∵ a⃗=(a⃗⃗+b⃗⃗)+(a⃗⃗−b⃗⃗)2，2b⃗⃗=(a⃗+b⃗⃗)−(a⃗−b⃗⃗)．∴ p⃗=32(a⃗+b⃗⃗)−12(a⃗−b⃗⃗)，所以p⃗在基底a⃗−b⃗⃗，a⃗+b⃗⃗下的坐标为（- 12，32）．故答案为：（−12，32）．【点评】：本题考查平面向量基本定理及新定义问题．能够准确理解新定义的含义是本题的关键．属于中档题．15.（填空题，5分）已知函数 f (x )=x e1+x e（e 是自然对数的底数），设 a n ={f (n )，n ≤2020，f (14041−n )，n ＞2020， ，n∈N *，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4039的值是___ ． 【正确答案】：[1]40392【解析】：根据题意，由函数的解析式分析可得f （ 1x ）= (1x )e 1+(1x )e = 11+x e ，且f （1）= 11+1 = 12 ，进而可得f （x ）+f （ 1x）=1，结合数列的通项公式可得S 4039=f （1）+f （2）+……+f （2020+f （ 12020 ）+f （ 12019 ）+……+f （ 12 ）=f （1）+[f （2）+f （ 12 ）]+[f （3）+f （ 13 ）]+……+f （2020）+f （ 12020 ），进而分析可得答案．【解答】：解：根据题意，函数 f (x )=x e1+x e，则f （ 1x ）= (1x )e 1+(1x )e = 11+x e ，且f （1）= 11+1 = 12 ，则有f （x ）+f （ 1x ）= x e 1+x e + 11+xe =1，又由 a n ={f (n )，n ≤2020，f (14041−n)，n ＞2020，则S 4039=f （1）+f （2）+……+f （2020+f （12020 ）+f （ 12019 ）+……+f （ 12） =f （1）+[f （2）+f （ 12 ）]+[f （3）+f （ 13 ）]+……+f （2020）+f （ 12020 ） = 12 +2019= 40392． 故答案为： 40392．【点评】：本题考查数列的求和以及数列与函数的关系，关键是分析f （x ）+f （ 1x ）的值． 16.（填空题，5分）如图，在平面四边形ABCD 中，∠A=135°，∠B=∠C=75°，BC=2，则CD 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（ √6−√2，√6+√2 ）【解析】：直接利用构造三角形知识的应用和解三角形知识的应用及三角函数值的应用求出结果．【解答】：解：根据题意延长BA ，CD 交于点E ， 如图所示：则：在△ADE 中，∠ADE=105°，∠DAE=45°，∠E=30°， 所以：设AD= 12x ，DE= √22x ，AE= √6+√24x ，AB=m ， 由于BC=2， 所以（√6+√24x +m ）sin15°=1， 整理得：√6+√24x +m =√6+√2 ，所以0＜x ＜4， 由于CD=√6+√24 x+m- √22x = √6+√2−√22x 所以：CD 的取值范围是（ √6−√2，√6+√2 ）． 故答案为：（ √6−√2，√6+√2 ）【点评】：本题考查的知识要点：解三角形知识的应用，构造三角形知识的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．17.（问答题，10分）已知向量 x ⃗=ka ⃗−3b ⃗⃗ 和 y ⃗=a ⃗+b ⃗⃗ ，其中 a ⃗=(−1，3) ， b ⃗⃗=(4，2) ，k∈R ．（1）当k 为何值时，有 x ⃗ 、 y ⃗ 平行；（2）若向量 x ⃗ 与 y ⃗ 的夹角为钝角，求实数k 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用向量的坐标运算求出x⃗和y⃗，进一步利用向量的共线的充要条件的应用求出结果．=−1除去，（2）利用向量的夹角为钝角的充要条件的应用x⃗•y⃗＜0，且cos＜x⃗，y⃗＞= x⃗•y⃗⃗|x⃗||y⃗⃗|求出参数k的取值范围．【解答】：解：（1）a⃗=(−1，3)，b⃗⃗=(4，2)，所以：x⃗=ka⃗−3b⃗⃗ =（-k，3k）-（12，6）=（-k-12，3k-6）．y⃗=a⃗+b⃗⃗ =（-1，3）+（4，2）=（3，5）．由于x⃗和y⃗共线，且方向相反时，所以5×（-k-12）-3×（3k-6）=0，解得k=-3．（2）向量x⃗与y⃗的夹角为钝角所以x⃗•y⃗＜0，即：3×（-k-12）+5×（3k-6）＜0，．解得k＜112由于x⃗和y⃗方向相反时，即利用（1）的结论，解得k=-3，即当k=-3时，x⃗和y⃗方向相反，此时不合题意．)．故实数k的取值范围(−∞，−3)∪(−3，112【点评】：本题考查的知识要点：向量的坐标运算的应用，向量共线的充要条件的应用，向量的夹角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．18.（问答题，12分）在数列{a n}，{b n}中，a1=b1=1，a n+1=4b n-a n+2n-1，b n+1=4a n−b n−2n+1，n∈N∗．等差数列{c n}的前两项依次为a2，b3．（1）求{c n}的通项公式；（2）求数列{（a n+b n）c n}的前n项和S n．【正确答案】：【解析】：本题第（1）题先根据题干中的递推关系式分别计算出a2、b2、b3，然后设等差数列{c n}的公差为d，再根据c1=a2，d=b3-a2即可计算出等差数列{c n}的首项和公差，从而可得等差数列{c n}的通项公式；第（2）题先将题干中的两个递推关系式相加，化简整理可得a n+1+b n+1=3（a n+b n），即可发现数列{a n+b n}是以2为首项，3为公比的等比数列，计算出数列{a n+b n}的通项公式，再计算出数列{（a n+b n）c n}的通项公式，最后运用错位相减法可计算出前n项和S n．【解答】：解：（1）由题意，可知：a2=4b1-a1+2×1-1=4-1+2-1=4，b2=4a1-b1-2×1+1=4-1-2+1=2，则b3=4a2-b2-2×2+1=4×4-2-4+1=11，设等差数列{c n}的公差为d，则：c1=a2=4，d=b3-a2=11-4=7，故c n=4+7（n-1）=7n-3，n∈N*．（2）由题意，将a n+1=4b n-a n+2n-1与b n+1=4a n-b n-2n+1相加，可得：a n+1+b n+1=4b n-a n+2n-1+4a n-b n-2n+1=3（a n+b n），∵a1+b1=1+1=2，∴数列{a n+b n}是以2为首项，3为公比的等比数列，∴a n+b n=2•3n-1，∴（a n+b n）c n=2（7n-3）•3n-1，∴S n=（a1+b1）c1+（a2+b2）c2+（a3+b3）c3+…+（a n-1+b n-1）c n-1+（a n+b n）c n=2•4•1+2•11•31+2•18•32+…+2•（7n-10）•3n-2+2•（7n-3）•3n-1，则3S n=2•4•31+2•11•32+…+2•（7n-10）•3n-1+2•（7n-3）•3n，两式相减，可得：-2S n=2•4•1+2•7•31+2•7•32+…+2•7•3n-1-2•（7n-3）•3n=8+14•（31+32+…+3n-1）-2•（7n-3）•3n=8+14• 3−3n1−3-2•（7n-3）•3n=8+7（3n-3）-2•（7n-3）•3n=-（14n-13）•3n-13∴S n= 14n−132•3n+ 132．【点评】：本题主要考查数列由递推公式求通项公式，以及运用错位相减法计算前n项和问题．考查了转化与化归思想，等比数列的判别及求和公式的运用，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．19.（问答题，12分）如图，已知在东西走向上有甲、乙两座小山，一辆测量车在甲山山底M的正南方向的P点处测得山顶A的仰角为30°，该测量车在水平面上向北偏西60°方向行驶100√3m后到达点Q，在点Q处测得乙山山顶B的仰角为θ，且∠BQA=θ，经计算，tanθ=2，若甲、乙山高分别为100m、200m，求两山山顶之间的距离．【正确答案】：【解析】：在Rt△AMP中求得PM，连接QM，在△PQM中求得PQ，推出△PQM为等边三角形，得出QM；在Rt△AMQ中求得AQ，在Rt△BNQ中求得BQ，最后在△BQA中利用余弦定理求得BA．【解答】：解：在Rt△AMP中，∠APM=30°，AM=100，所以PM=100 √3；连接QM，在△PQM中，∠QPM=60°，又PQ=100 √3，所以△PQM为等边三角形，所以QM=100 √3；在Rt△AMQ中，由AQ2=AM2+QM2得AQ=200又在Rt△BNQ中，tanθ=2，BN=200，所以BQ=100 √5；=50000；在△BQA中，BA2=BQ2+AQ2-2BQ•AQcosθ=50000+40000-2×100 √5 ×200×√22+12解得BA=100 √5．所以A，B两山顶间的距离是100 √5 m．【点评】：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了分析问题与解决实际问题的能力．20.（问答题，12分）已知△ABC的内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，R（sinA+sinB）=1（其中R为△ABC的外接圆的半径）且△ABC的面积S=c2-（a-b）2．（1）求tanC的值；（2）求△ABC的面积S的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）利用正弦定理，将R（sinA+sinB）=1化为边长之间的关系，再根据面积S=c2-（a-b）2= 12absinC，推出C角；（2）利用余弦定理，结合基本不等式求解即可．【解答】：解：（1）∵ asinA =bsinB=2R，∴a=2RsinA，b=2RsinB．代入R（sinA+sinB）=1整理后得a+b=2．由面积S=c2-（a-b）2= 12absinC得c2−(a2+b2)=(12sinC−2)ab，两边同除以2ab得：cosC=1−14sinC，代入sin2C+cos2C=1得17 16sin2C=12sinC，因为sinC≠0，所以sinC=817．∴ cosC=1517，∴ tanC=815．（2）由（1）得ab≤(a+b2)2=1，当且仅当a=b=1时取等号．∴ S=12absinC=12×817ab≤417．所以面积的最大值为417．【点评】：本题主要考查了正余弦定理、面积公式，以及学生利用转化思想、函数与方程思想解决问题的能力，同时考查了学生的运算能力和逻辑推理等核心素养．属于中档题．21.（问答题，12分）如图，在△ABC 中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．（1）求| AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |；（2）已知点D 是AB 上一点，满足 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，点E 是边CB 上一点，满足 BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． ① 当λ= 12 时，求 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； ② 是否存在非零实数λ，使得 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）利用余弦定理求出AB 的长即得| AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |；（2） ① λ= 12 时，D 、E 分别是BC ，AB 的中点，求出 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的数量积即可；② 假设存在非零实数λ，使得 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用 CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别表示出 CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0时的λ值即可．【解答】：解：（1）△ABC 中，CA=1，CB=2，∠ACB=60°，由余弦定理得，AB 2=CA 2+CB 2-2CA•CB•cos∠ACB=12+22-2×1×2×cos60°=3，∴AB= √3 ，即| AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √3 ； （2） ① λ= 12 时， AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 12 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 12BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴D 、E 分别是BC ，AB 的中点，∴ AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 12CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 12 （ CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）， ∴ AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 12 CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）• 12（ CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）= 12 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 12 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 14 CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 14CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 =- 12 ×12+ 12 ×1×2×cos120°+ 14 ×2×1×cos60°+ 14 ×22= 14 ；② 假设存在非零实数λ，使得 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ（ CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - CA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）， ∴ CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ（ CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）=λ CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +（1-λ） CA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； 又 BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴ AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）+λ（- CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）=（1-λ） CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - CA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴ AE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ（1-λ） CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 -λ CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +（1-λ）2 CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -（1-λ） CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 =4λ（1-λ）-λ+（1-λ）2-（1-λ）=-3λ2+2λ=0，解得λ= 23 或λ=0（不合题意，舍去）；即存在非零实数λ= 23 ，使得 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．【点评】：本题考查了平面向量的线性表示与数量积的应用问题，也考查了余弦定理的应用问题，是综合性题目．22.（问答题，12分）已知数列{a n }满足 13a n ≤a n+1≤3a n ，n∈N *，a 1=1．（1）若a 2=3，a 3=x ，a 4=6，求x 的取值范围；（2）若{a n }是公比为q 的等比数列，S n =a 1+a 2+…+a n ， 13S n ≤S n+1 ≤3S n ，n∈N *，求q 的取值范围；（3）若a 1，a 2，…，a k 成等差数列，且a 1+a 2+…+a k =2020，求正整数k 的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可得 13 a 2≤a 3≤3a 2， 13 a 3≤a 4≤3a 3，将已知数据代入可得到x 的范围；（2）先求得a n =q n-1，由 13 a 1≤a 2≤3a 1，求出 13 ≤q≤3，对q 讨论求出S n ，分别代入 13S n ≤S n+1 ≤3S n ，得到关于q 的不等式组，解不等式求出q 的范围；（3）设a 1，a 2，…，a k 成公差为d 的等差数列，由等差数列的通项公式可得关于d 的不等式，得到d 的最小值，再由等差数列的求和公式，解关于k 的不等式，可得k 的最大值．【解答】：解：（1）由题意可得 13 a 2≤a 3≤3a 2， 13 a 3≤a 4≤3a 3，又a 2=3，a 3=x ，a 4=6，即有1≤x≤9， 13 x≤6≤3x ，即2≤x≤18，可得2≤x≤9；（2）a n =q n-1，由 13 a 1≤a 2≤3a 1，可得 13 ≤q≤3，当q=1时，S n =n ， 13S n ≤S n+1 ≤3S n ，即 13 n≤n+1≤3n ，成立；当1＜q≤3时，S n = q n −1q−1 ， 13S n ≤S n+1 ≤3S n ，即13 • q n −1q−1 ≤ q n+1−1q−1 ≤3• q n −1q−1 ，即 13 ≤ q n+1−1q n −1 ≤3，可得 {3q n+1−q n −2≥0q n+1−3q n +2≤0，由q ＞1可得3q n+1-q n -2=q n （3q-1）-2＞2q n -2＞0， 对于不等式q n+1-3q n +2≤0，令n=1，可得q 2-3q+2≤0，解得1≤q≤2，又当1≤q≤2，q-3＜0，所以q n+1-3q n +2=q n （q-3）+2≤q （q-3）+2=（q-1）（q-2）≤0成立，所以1＜q≤2；当 13 ≤q ＜1时，S n = q n −1q−1 ， 13S n ≤S n+1 ≤3S n ，即 13 • 1−q n 1−q ≤ 1−q n+11−q ≤3• 1−q n 1−q， 可得 13 ≤ 1−q n+11−q n ≤3，所以 {3q n+1−q n −2≤0q n+1−3q n +2≥0， 因为3q-1＞0，q-3＜0，所以3q n+1-q n -2=q n （3q-1）-2＜2q n -2＜0， q n+1-3q n +2=q n （q-3）+2≥q （q-3）+2=（q-1）（q-2）＞0成立，所以当 13 ≤q ＜1时，不等式恒成立，综上所述，q 的取值范围是[ 13 ，2]；（3）设a 1，a 2，…，a k 成公差为d 的等差数列，由 13 a n ≤a n+1≤3a n ，且a 1=1，可得 13 [1+（n-1）d]≤1+nd≤3[1+（n-1）d]，n=1，2，…，k-1，即 {(2n +1)d ≥−2(2n −3)d ≥−2，n=1，2，…，k-1， 当n=1时，- 23 ≤d≤2，当n=2，3，…，k-1时，由−22n+1 ＞ −22n−3 ，可得d≥ −22n+1 ，所以d≥ −22k−1 ≥- 23 ， 所以2020=ka 1+ k (k−1)2 • −22k−1 ≥k+ k (k−1)2 • −22k−1， 即k 2-4040k+2020≤0，解得k≤4039，所以k的最大值为4039．【点评】：此题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查不等式组的解法，主要考查化简运算能力和推理能力，属于难题．。