波利亚解题方法
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题目：
1
,,,,,,
2
,
6
ABC A B C a b c a B
C b
π
== =
设的内角的对边分别为若则
求.
第一，弄清问题
问题1：你要求解的是什么？
要求解的是ABC的一条边b的长度。
问题2：你有些什么？
一方面是题目条件中给出的3个已知量,sin,.
a B C
另一方面是已学过的正弦定理
和余弦定理,
将边和角联系起来。
第二，拟定计划
问题3：怎样求得b?
由正弦定理可得
sin
sin
a B
b
A
=，题目已知,sin
a B，只需求出A
∠的度数即可求得b，于是将求边b的长度转化为求A
∠的度数。
问题4：怎样求得A
∠的度数?
根据三角形内角和等于180°，可得180
A B C
∠+∠+∠=︒，所以180
A B C
∠=︒-∠-∠，题目已知C
∠的度数，因此只要求得B
∠的度数即可。
问题5：怎样求得B
∠的度数。
题目已知
15
sin,0.
266
B B B
ππ
=<<∠=
，求得
第三，实现计划
15sin ,0,.266
2.63
1sin sin , 1.2sin B B B C A B C a B A b A πππππ=<<∠==∠=-∠-∠=====因为所以又因为所以所以所以 第四，回顾
（1）正面检验每一步，推理是有效的，演算是准确的。
再作检验，将过程中求得的未知量以及题目的已知量代到正弦定理或者余弦定理中，检验未知量的正确性。
（2）回顾这个解题过程可以看到，解题首先要弄清题意，从中捕捉有用的信息（13,sin ,26a B C π===）
，同时又要及时提取记忆网络中的有关信息(如回想：正弦定理，余弦定理
，正弦定理变形公式，余弦定理变形公式，三角形内角和
等于180°，将求边问题转化为求角问题的经验积累等不下6条信息)，并相应地将两组信息资源作合乎逻辑的有效组合。
这当中，起调控作用的关键是如何去构思出一个成功的计划(包括解题策略)。
（3）在解题方法上，这个案例是分析法的一次成功应用，从结论出发由后往前找成立的充分条件。
为了求b ，只需求A ∠的度数。
（求边转化为求角）
为了求A ∠的度数，只需求B ∠的度数。
为了求B ∠的度数，只需根据15sin ,026
B B π=<<这两个已知条件即可求得。
（利用三角函数关系）
这个过程显示了分析与综合的关系：“分析自然先行，综合后继；分析是创造，综合是执行；分析是制定一个计划，综合是执行这个计划。
”
（4）在心理机制上，这个案例呈现出“激活——扩散”的基本过程．
首先在已知三角形一边长，一角度数以及一角的正弦值的启引下，激活了记忆网络中正
弦定理，余弦定理，三角形内角和等于180°等知识。
然后，逐渐将求边问题转化为求角问题，……直到条件与结论之间的网络沟通。
这种“扩散——激活”的观点，正是数学证明思维中心理过程的一种解释。
（5） “你能否用别的方法导出这个结果?” 在信念上我们应该永远而坚定地做出肯定的回答，而操作上未实现只是能力问题或暂时现象。
对于本例，可以有下面的解法：
15sin ,0,cos 26cos 1.cos cos 2211sin sin()sin cos cos sin 22222
1sin =, 1.sin sin sin 2
B B x B B B A B
C B C B C a b a B b A B A ππ=<<<<==±==+=+=⋅+⋅====5因为又在（0，）上单调递减。
6
所以-
2
又所以所以又所以。
