Mathg2w9_1

matlab实⽤教程郑阿奇,MATLAB实⽤教程（第2版）[郑阿奇主编][电⼦教案]MATLAB实⽤教程(第2版)[郑阿奇主编][电⼦教案]MATLAB 实⽤教程第3章 MATLAB符号计算 Using Symbolic Math Toolbox3.1 符号表达式的建⽴ 3.2符号表达式的代数运算 3.3符号表达式的操作和转换 3.4 符号极限、微积分和级数求和 3.5 符号积分变换 3.6符号⽅程的求解 MATLAB 实⽤教程MATLAB具有符号数学⼯具箱(Symbolic Math Toolbox) 。

符号计算是可以对未赋值的符号对象(可以是 常数、变量、表达式)进⾏运算和处理。

与数值运算的区别: 数值运算中必须先对变量赋值，然后才能参 与运算。

符号运算⽆须事先对独⽴变量赋值，运算结 果以标准的符号形式表达。

MATLAB 实⽤教程符号运算的功能符号线性代数(linear algebra) 因式分解、展开和简化(simplification and substitution) 符号代数⽅程求解(solving equations) 符号微积分(Calculus)符号微分⽅程MATLAB 实⽤教程3.1 符号表达式的建⽴3.1.1 创建符号常量符号常量是不含变量的符号表达式。

sym(常量) %创建符号常量 sym(常量,参数) %按某种格式转换为符号常量 说明：参数可以选择为d、f、e或r 四种 格式，也可省略。

EX: a=sym(sin(2) a=sym(sin(2),r)MATLAB 实⽤教程3.1.2 创建符号变量和表达式(Creating Symbolic Variables and Expression)1. 使⽤sym命令创建符号变量和表达式 sym(变量,参数) %把变量定义为符号对 象2.使⽤syms命令创建符号变量和符号表达式 syms(arg1, arg2, ,参 数) syms arg1 arg2 ,参数 MATLAB 实⽤教程例如： f1=sym(a*x2+b*x+c) %创建表达式syms a b c x %创建变量 f2=a*x2+b*x+c %创建表达式 syms(a,b,c,x) f3=a*x2+b*x+c 符号表达式()中的参数⼀定要⽤ 单引 号括起来。

第40卷第2期2021年4月兰州交通大学学报Joumal cf Lanzhou Jiaotony Uni v ersipVcd40N c,2Apo2021文章编号:1001^373(2021)02-0141-03DOA11i3966//isso.10014373.0021.02.021单圈图的Steiner(n-1)-Wiener指标来金花，刘蒙蒙(兰州交通大学数理学院，兰州730979)摘要:令G是一个连通图.当2W)W n-1时，图G的Steioer)-Wieser指标表示V(G)中所有)子集S的Steioer距离之和.如果一个连通图具有相同的顶点数和边数，则称为单圈图.通过对单圈图做变换，给出了单圈图Steioer(n-1)-Wieser指标的计算式，确定了单圈图Steioer(n-1)-Wiser指标的上、下界，并刻画了达到上、下界时的极图.关键词：单圈图；Steioer(n-1)-Wieser指标；Steioer距离；极图中图分类号：0157.5文献标志码:AThe Steiner(n-1、-Wiener Inden of Unicyclie GraphsLA)Jis-hue,LIN Mesg-mesg(School cf Mathematics and Physics,Lanzhou Jiaotony Univeoip,Lanzhou732977,China) AbstracU:Let G be a co/cected-wh-For2W-W n-I,the Steioer--Wiener indee SW k(G)is the sum of Steioer distances of all--suUsets S of7(G).A yrapP is called unicyclic if it is co/cected and has the same nomber of vedices and Sys.By using some WwsUpm/Ucs of unicyclic,thB paper hva a fomule of Steioer (n-1)-Wiser indee of as unicyclic yraph,2ete/nioe lipper and lower bounds of Steioer(n-I)-Wiser indee among all unicyclic yraphs and characte/se the extremal-whs that attains the bounds.Key wcrps:unicyclic yraph;Steioer(n-I)-Wiener indee;Steioer distaoce;extremal yraph拓扑指标是从化合物的结构图中衍生出来的一种数学不变量，常常被用来描述有机化合物的药理特征、物理特征以及化学特征•其中Wiener指标和Steioer--Wmver指标是两个非常重要的拓扑指标. Wiener指标是由化学家Wies7］提出来的，作为一个重要的拓扑指标应用于化学研究中,它是研究有机化合物构造性关系的有用工具•大约在1072年，Wiener指标开始应用于数学文献中⑵•自此以后，Wiener指标就得到了广泛的关注和研究，参见文献［3-19］.作为对经典距离定义的推广，Chahrand 等75提出了StUoer距离这一概念,910年Li等〔⑵用Steioer距离的定义将Wiener指标拓展为Steioer --Wiener指标.自此国内外专家对Steioer--W Pner 指标问题作了大量的研究.2016年,Mao等72得到了图乘积的Steioer)-Wiener指标的计算式.Li等72］在2010年确定了一些特殊图类的Steioer d-W Pner指标的计算式及树的Steioer d-W iener指标的上下界，并给出了树的Steioer(n-I、-Wiener指标的计算式.对于给定直径的树,2018年Ln等75］给出了Steioer d-WPne r指标的一个紧的下界,并刻画了达到此下界的极图•基于此，本文研究单圈图的Steioer(n-8、-Wiene r指标,通过对S中不包含的点分情况讨论给出了单圈图Steioer(n-I)-WPner指标的计算式，并对单圈收稿日期：2922-18-17学报网址：http：//Wu.cbpl.end*oe-基金项目：国家自然科学基金(11961949)；甘肃高等学校创新能力提升项目(2919A37)；兰州交通大学天佑青年托举人才计划第一作者:来金花(1995-),女，山西晋城人，硕士研究生，主要研究方向为图论.E-mail:LaiPH9920@.通信作者:刘蒙蒙(1786--，女，甘肃兰州人，副教授，主要研究方向为图论.E-mail：/umm25@.102兰州交通大学学报第 40 卷图做变换确定单圈图Steiner (n - 4 ) -Wiener 指标的 上界和下界，进而刻画达到上界和下界的极值图.1基本概念本文中所有图都是简单连通图，定义G 是点集为 卩(G ),边集为E(G)的简单连通图，其中I Gl =1 F(G )I.对于V " a e F( G ) 4g ("A )表示"a 两点之间的 距离,即连接u,e 最短路的长度•此外用C ,P ” 4”分别表示n 阶的圈、路和星图.定义1 G 的Wiener 指标定义表示图G 中任意 两点的距离之和，即：W(G ) =X 如"，"、(4)Uol 匸玖)定义2 对于S C 卩(G ),点集S 的Steiner 距离4g (S)表示G 中包含点集S 的最小连通子树的边数, 即：〃g (S、= min j I ^(^) I ： 丁是 G 的子树4 U卩(T) }.(2)特别地，当S = {u,e}时4(S)=毗("，3).因此Steiner 距离就是经典距离的一个自然推广.定义3 对于正整数k,2 W k W ”_4,G 的Steiner k - Wiener 指标 SW k ( G )表示卩(G )中所有 k子集S 的Steiner 距离之和,即：S 兀(G) =X〃g (S).(7)S U U(G ) 7 SI =k当 k= 2 时,Steiner 2 - Wiener 指标就是 Wiener 指 标1定义4 设G 为一个"阶单圈图，其中，圈C ="心…"円，G - E( C -的连通分支T , T ,…，T 都是树，则单圈图表示为g = C 2T A 0,…，7；)；当非平凡连通分支数为4时记G = C (；).2 单圈图Steiner ( n - 1) -Wiener 指标的计算式定理2.1 设G = C (；1A 2,…，；、是一个” 阶单圈图，0 ；丨M -A = 42,…A 则有S1F ”_1(G )=”(”-4)-m-p,(4)其中9为G 中悬挂点的个数;m 为丨；I = 4的个数.证明因为ISI=”-4,即去掉G 中任意一个点，剩余所有的点都包含在S 中.下面分3种情况讨 论.情形1：中不包含的点是悬挂点.显然，要把点集S 中的点连接为一个边数最小 的连通树需要” -2条边，即〃g (S、=”-2.此时G中有P 个悬挂点，则对S1F …_1(G )的贡献为P (n-2).情形2 ：S 中不包含的点是圈上的点",且I ； I = 9显然，要把点集S 中的点连接为一个边数最小 的连通树需要” -2条边，即d G (S ) =”-2.此时G中I ； I = 4的点有m 个，则对S1F…-- (G -的贡献为m (” - 2).情形3：其他情况.要把点集S 连接为一个边数最小的连通树，则 需要包含G 中所有的点，即〃g (S - =”-4 -这样的点共有” -p - m 个，则对SW H -- (G -的贡献为(” -P -m - (” -4 - •综上所述，可得SW ” _ 9 (G - = p (” - 2 - + m (” - 2 - + (” _p_m - (” - 4 - = ”(” - 4 - + (m+p) (” - 2 - - ( m + p) (” - 4 - =”(”-4 - _m_p.注意在单圈图阶数给定的情况下4W ” 一 1 (G -的大小只与 m 和 )的大小有关1引理2.1 令G = C (；A 2,…，；-是”阶单 圈图丨；丨=厶8 = 4 , 2,…4・贝0SW ”_(C (S ，S ，…，S )- W SW ”_(G - W SW ”_1(C(PS 5,…，丿-,(5 -当且仅当 G m c /S 514；5，-4；5 - (G ± C (P5，P 5,…,P 5-)时，左(右、边等号成立.证明为了方便，令G - =C (S 5，S 5,…，S ),G 2 = 4(5,5,…，5)•由定理 2-1 知4W ”_1(G ) 的大小只与P 的大小有关•令G 、G 2、G 中悬挂点的个数分别为P1、P 2、p.显然21 M P M P 则有SW ”_1(G 1) W SW ”_(G - W SW ”_1(G 2). 当且仅当G = G(G = G 2 -时，左(右-边等号成立.3 单圈图Steiner (n -1) -Wiener 指标的下界及其极图这部分给出”阶单圈图的最小Steiner (” - 4 --Wiener 指标，并刻画了达到下界时的极图.引理3.1令G = c (S 12,…2、是"阶单 圈图，则有SW ”_(G - M SW ”_1(C (S ”_,1) - ,(4 -当且仅当G = C (S ”_,1)(如图4所示-时等号成立1证明 当g = ”时，有G = C (S ”_+1)，结论显然成立1当g< ”时，由定理2-1知，在G ，C (S ”_,--中 悬挂点的个数相同,SW ”_ - (G -的大小只与m 有关.令 G 、C (S ”__，+1)中丨 S ^I = 42 = 4 , 2,…4、的个数分别为m -、m 2.显然,m - W m 2 = g - 4 -则有第5期来金花等:单圈图的Steiner(“-1-Wiener指标13S1F”_)(G)M S1F…_)(CXS^+))),图1图Cg(S”_g+1)Fig-1The graph of C/S”一卄1)当单圈图圈长固定时，由引理2.3?-3直接可得单圈图的下界•即定理3.1令G=Cm，…,)是一个n 阶单圈图•则有S1F”_)(G)M S阵1(C g.(S”_,))),(7)当且仅当G=C g(S”_,-)时等号成立.引理3.2令C g(S”_g+))是“阶单圈图n 则有s肥一-((陥+-))=sW n-(一-(S”-g+2))-(5)证明因为g老n在Cg(S”_,1),C,)(Sr+2)中m+p=n-4为定值.则由定理2.4知，SW”_)(C g(S…_g+)))=SW”_)(C g-)n(n-4)_(n-4)=(n-4)2.定理3.2令G=C g(7\?0,…？g)是一个n 阶单圈图则有SW”_-(G)M n(n-2),(7)当且仅当G=C”时等号成立.证明当g=”时,m+p=”则有SW-(G M(--=(-2,当且仅当G=C”时等号成立.当3W g<”时，由引理2.4、3.4、3.2,定理3.2知:SW”_)(G)M SW”_-(C g(S”_g+-))=(”-4)2,当且仅当G=C g(S”_g+-)时等号成立.显然3”-4)2>”(”-2).综上,0W”_-(G)M”(n-2),当且仅当G=C”时等号成立24单圈图Steiner(”-1)-Wieder指标的上界及其极图这一部分中给出”阶单圈图的最大Steiner(n-4)-Wiener指标，并刻画了达到上界时的极图•定理42令G=C g(g,g2,…,g、是”阶单圈图，且I g l=厶2=4,2,…？.当单圈图圈长固定时则有SW”_)(G)W n(n-4)-g,(16)当且仅当G=C g(耳,仇,…,化)时,等号成立.证明当单圈图圈长固定且图中的悬挂分支为路时,m+p=g为定值•则由定理2.2,引理2.2知SW n_-(G)W n(n-4)-g,当且仅当G=C g(P”,P,5,…，仇)时，等号成立.定理4.2设G=C g(g,g2,…，g)是一个n 阶单圈图则有SW n_)(G)W n(n-4)-3,(44)当且仅当G±C5(耳,P5,5)(如图7所示)时等号成立2证明由引理2.2,定理d知：S W”_)(G)W n(n-41-g W n(n-41-3,图2具有最大Steiner(”-1)-Wieder指标的单圈图Fig.2The maximum unicyclic grcph of Steiner(”一1)-Wiener index5结论在现有国内外专家对此问题研究的基础上,首先给出了单圈图Sudhh(n-4)-Winer指标的计算式；其次,确定了单圈图Sudhh(n-4)-Winer指标的上、下界，并刻画了达到上、下界时的极图,对下一步研究简单连通图的Sudhh应-Winer指标具有很好的借鉴意义.(下转第15页)第7期刘国华等:漠代双Shame型Zo((I)配合物的合成、结构及荧光性质855nPbeW(I)complep de/ved from as asymmetric saWmc-type N O7cbeWto Wand:syathesis：structure and o/Ucaipopedies[J].Zeitschrift fiir NatuOoochum B,2017,72：415420.[21]CHAI L Q,WANG G,SUN Y X,ct el.Sypthesis,crystalstructure；and dgooscesce of as uoexpected dialkoxe-b/dyed dioncWar co/per((I)complep with Pis(saWs)-type tetraoxime7]•Jouoel of Coordioahos Chemist—,2117,5:1271-1635[22]AKINE S,TANIGUCHI T,DONG W K,et el.Oxime ybased sales-type UWadesUto liyands with high sudi/tyayainst imioe meUthesis oactioo[J].Jouroel of Orya/icChemiBo,20/5,/(5):1744-1711.[23]DONG X Y,LI X Y,LIN L Z,et el.Tri-and hexa/ncWarheUromeUllic Ni((I) -M((I)(M二Ce,Sr wd Be、bis(saWmc)1t ype complexes：sypthesis,stmetuo and dgc-owesce pro/er/es7]■RSC Adva/ce；2017,7:48394-43443.(责任编辑:赵冬艳)(上接第123页)参考文献：[1]WIENER H.Swucturvi deUrmioahos of parahis boikngpoints[J].Jouruel of the Americas Chemicoi Society,1742,62(1):17-20.[2]ENTRINGER R C,JACKSON D E,SNYDER D A.Dis-U/ce is yophs[J].Czechoslovad Mathemahe Jouroel,1976,26:283-296.7]DOBRYNIN A A,ENTRINGER R,GUTMAN C Wieser indep of Wees:theo—and appncatUss[J].Acta Appll-ca/dae MethemeUcy,2001,66(3)：711-249.[4]DOBRYNIN A A,GUTMAN I：KLAVZAR S,el at.Wieserindep of hexavosal systems[J].Acte Applica/dve Math-emsUo,2012,72(3):707-224.7]HONG Y,LIN比WU X.0/the Wieser indep P irnmn-cUc y—phs7]■HaceOepe Univeoity Bulletis of Naturalesces and Engineedny Series B:Mathematics and Sutis-U u,2011,0(1)：63_68.[6]RAMANE H S,REVANKAR D S,GANAGI A B.0/theWP/er indep of a y—ph[J].Jouruel of the IndosesiasMshemSicel Sccimp,2012,18(1、：57_66.[7]GUTMAN I)FURTULA B,LI X.Mul/cesUr Wieser indi­ces and their app/cahoss[J].Jouroel of the Serbia/Chemicoi S/imp,2015,0：15-15.[8]GUTMAN I.A formula for the Wieser/umber of Wees andits exU/sios to y—phs costaining cpcles-J].Graph Thec-—Notes of New Y/d,1994,27：7-15.7]LUO P,ZHANG C Q,ZHANG X D.Wieser indep P uol-cpclc y—phs with yives/umber of eves/eq—e vertices[J].Discrete Mathematics:Alyo/thms and App/cahoss:2120,12(4):145-117.[14]YU G,FENG L.0/the WP/er indep of ugicycUc ymphswith yives yirth[J].Ao Combimtoda-WaterWc the/Wimipeq,2010,4：361-369.[11]CHARTRAND G,OELLERMANN0R,TIAN S,et el.Stei/er dista/ce is y—phs[J].Casopis Pro Pestova/iMsemsika,19—,114(4)：399414.[12]LI X,MA0Y,GUTMAN I.The Stei/er Wieser Uds Pa y—ph7]■DiscussPses Mathemahcae Graph Theory,2112,32(2)：455465.[3]MAO Y,WANG Z,GUTMAN I.Stei/er Wieser indep PSaph aro/ncW[J].Transactioss os ComPimto/cs,2012,5(3)：32-51.[14]LU L, HUANG Q,HOU J,el el.A Wsy lower b/m osStei/er WP/er indep for trees with yives diameter[J].Discrete MathematPs,013,41(3)：723-731.(责任编辑:赵冬艳)。

最新版的Mathematica 9.0三个种子中的Mathematica 9的安装文件都是来自Wolfram官网，填入算号器算出来的Activation Key和Password之后就是正式版了。

请注意：这个算号器（for_windows和for_Linux这2个种子中那个）是针对Mathematica 8的，且是个Windows程序（必须在Windows中算号），但是其算出来的Activation Key和Password在三大平台中的Mathematica 9中也能正确注册。

在for_mac的种子中还有一个算号器（Mathematica 7-8-9 keygen.exe.zip）其实是个Mathematica 7的算号器，我使用了之后无用，请忽略。

其他两个种子中带的那个算号器（Mathematica_8_kg.exe）是可以用的，如果算出来的号不能用，请多算几次！目前网上还没有能一次性算出正确的号的算号器！算号及激活方法（以Windows平台为例）：1、安装并运行对应平台的Mathematica 9，启动后会提示激活产品2、点“Other ways to activate”，并点“Manual Activation”3、右键“MathID"后面的数字，并选择”Copy“复制下来备用4、运行Mathematica_8_kg.exe（如果你不下载Windows和Linux版本，请单独下载附件中的算号器，因为for mac种子里面的那个算号器不能用），在第一行粘贴刚才复制的MathID，然后下面的”Computer Name“等等随便填，最后点”Save mathpass“，并点击成功生成提示框的”确定“按钮5、复制算出来的”Activation Key“和”Password“，粘贴到Mathematica 9产品激活窗口中对应的框中，并点击”activate“按钮完成注册6、如果成功注册，则会进入Mathematica 9的界面（屏幕上方的标题栏和菜单栏以及屏幕中间的Welcome Screen）7、如果出现以下窗口，则说明算出来的号无效，需要重新在算号器中点”Save mathpass“来再算一次，（我算了5次才算了一对能用的号。

多项式各种算法学习笔记1.FFT(快速傅⾥叶变换)1.前置技能复数:基本表⽰法及性质:\[i=\sqrt{-1} \]\(i\)是虚数单位1.坐标(代数)形式：\[z=a+bi \]当b为0是z为实数，当a为0时为纯虚数注:复数包括实数和虚数，虚数下有纯虚数虚数z对应了复平⾯上的⼀点(a,b)运算法则：设复数\(z_1,z_2,z_1=a+bi,z_2=c+di\)加法:\(z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i\)减法:\(z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i\)乘法:\(z_1*z_2=(ac-bd)+(bc+ad)i\)除法:\(\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{(c^2+d^2)}\)2.三⾓形式\[z=r(cos \theta+isin\theta) \]\(\theta\)是复数\(z\)的幅⾓,\(r\)是该复数的模长这种形式下的乘法和除法运算更⽅便，通过和⾓公式，对于复数\(z_1=r_1(cos\theta_1+isin\theta_1),z_2=r_2(cos\theta_2+isin\theta_2)\)那么：\[z_1z_2=r_1r_2(cos(\theta_1+\theta_2)+isin(\theta_1+\theta_2))\\ \dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{r_1}{r_2}(cos(\theta_1-\theta_2)+isin(\theta_1-\theta_2))\\ \]⼏何意义:相当于把该复数拉长/缩短到另⼀个复数模长倍/分之⼀ ,然后顺时针/逆时针旋转另⼀个复数的幅⾓⼤⼩的⾓度于是有了如下⾮常有⽤的公式:\[z^n=(r(cos\theta+isin\theta))^n=r^n(cos\ n\theta+isin\ n\theta) \]3.指数形式\[z=re^{i\theta} \]于是我们知道了:\(e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta\)可以发现:$$e^{i\pi}=-1$$(优美)这个算乘除法就更好算了:有:\[z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}\\ \dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{r_1}{r_2}e^{i(\theta)}\\ \]上⾯的那个公式就可写成这样：\[z^n=r^ne^{i(n\theta)} \]4.单位复数根学FFT最重要的就这个了吧设有如下⽅程:\[z^n=1 \]这⽅程的复数根\(z\)为\(n\)次单位根,通常记为\(w\)这样的根\(w\)有n个，也就是说\(n\)次单位根有\(n\)个,记为\(w_k (k=0,1,2,\dots n-1)\)其中:\[w_k=cos\frac{2k\pi}{n}+isin\frac{2k\pi}{n}=e^{\frac{2\pi ki}{n}} \]不难发现其实\(n\)次单位复数根就是把复平⾯上的单位圆 \(n\) 等分后的那些\(n\)等分点⼀些次数单位的单位根举例:1次单位根: \(1\)2次单位根: \(1,-1\)3次单位根: \(1,\frac{-1+\sqrt{3}i}{2},\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\)\(\dots\)其实就是个解⼆元n次⽅程可以发现1是任意次的单位复数根，-1是任意偶数次单位复数根某些引理:1.消去引理\[w_{dn}^{dk}=w_n^k \]把复数的指数形式带进去就可以了说⼈话就是不同次数的单位根可以互相转化2.折半引理假设\(n\)是⼤于0的偶数:\[(w_n^{k+\frac{n}{2}})^2=w_n^{2k+n}=w_n^{2k}*w_n^n=(w_n^{k})^2 \]说⼈话就是n次单位复数根的前后两半平⽅后是对应相等的3.求和引理对于⼤于1的整数n和⼩于等于n的整数k有:\[\sum_{i=0}^{n-1}(w_n^k)^i=0 \]这就是个等⽐数列求和2.步⼊正题常规的⼀个最⾼次数为n-1的多项式的表⽰形式是系数表⽰法,如:\[A(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\dots+a_{n-1}x^{n-1} \]⼀共有n项按照朴素的多项式乘法(卷积),就是每⼀项两两相乘，复杂度为\(O(n^2)\)如果我们把多项式看成⼀个函数，我们取图像上的n个点来表⽰这个函数也即该多项式，这样的表⽰法叫做点值表⽰法对于两个n-1次多项式,由于我们最后卷积出来的多项式是2n-2次的,如果我们知道了卷积后的多项式函数图像上的⾄少2n-1个点，那么我们就可以确定这个多项式了所以有如下想法：现在原来的两个多项式上选取好x值相同的点(个数为原来两多项式次数的和加1)，⽤\(O(n)\)的时间将选的点的y值相乘，得到的值⽤某种⽅法(待定系数法)转化为多项式系数的形式如果选取的x都是n次单位复数根的k次⽅，那么以上两个过程就是\(DFT\)和\(IDFT\)了1.\(DFT\)离散傅⾥叶变换：对于\(k\in [0,n-1],\)和n-1次多项式\(A(x),\)定义:\[y_k=A(w_n^k)=\sum_{i=0}^{n-1}a_i(w_n^k)^i \]这个叫做离散傅⾥叶变换，记做\(y=DFT_n(a)\)朴素求\(DFT\),是\(O(n^2)\)的2.\(IDFT\)逆离散傅⾥叶变换:就是\(DFT\)的逆运算，⽤于求出多项式的系数a，记为\(DFT^{-1}\)本⼈太弱不会证，丢个式⼦:\[a_k=\dfrac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}y_i(w_n^{-k})^i \]由于写的时候系数表达式和点值表达式是共⽤的数组，所以写起来和\(DFT\)没什么差别3.\(FFT\)快速傅⾥叶变换:是⼀种快速求出\(DFT\)和\(DFT^{-1}\)的算法，利⽤了单位复数根的优良性质我们先列出朴素求\(DFT\)的步骤,为了⽅便这⾥先不妨假设多项式次数为2的幂:1.求出n次单位复数根的幂:\(w_n^0,w_n^1,w_n^2.....w_n^{n-1}\)2.代⼊多项式\(A(x)\),求得以下式⼦:\[A(w_n^0)=a_0+a_1w_n^0+a_2(w_n^0)^2+a_3(w_n^0)^3+\dots a_{n-1}(w_n^0)^{n-1}\\A(w_n^1)=a_0+a_1w_n^1+a_2(w_n^1)^2+a_3(w_n^1)^3+\dots a_{n-1}(w_n^1)^{n-1}\\ A(w_n^2)=a_0+a_1w_n^2+a_2(w_n^2)^2+a_3(w_n^2)^3+\dots a_{n-1}(w_n^2)^{n-1}\\ A(w_n^3)=a_0+a_1w_n^3+a_2(w_n^3)^2+a_3(w_n^3)^3+\dots a_{n-1}(w_n^3)^{n-1}\\\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\\ A(w_n^{n-1})=a_0+a_1w_n^{n-1}+a_2(w_n^{n-1})^2+a_3(w_n^{n-1})^3+\dots a_{n-1}(w_n^{n-1})^{n-1}\\ \]根据折半引理,我们可以发现:对于⼀个\(A(w_n^k)\),\((k<\frac{n}{2})\)它的每⼀个偶数次⽅项与\(A(w_n^{k+\frac{n}{2}})\)是对应相同的以n=4的情况来考虑:就是要求:\[A(w_4^0)=a_0+a_1w_4^0+a_2(w_4^0)^2+a_3(w_4^0)^3\\ A(w_4^1)=a_0+a_1w_4^1+a_2(w_4^1)^2+a_3(w_4^1)^3\\A(w_4^2)=a_0+a_1w_4^2+a_2(w_4^2)^2+a_3(w_4^2)^3\\ A(w_4^3)=a_0+a_1w_4^3+a_2(w_4^3)^2+a_3(w_4^3)^3\\ \]把每⼀个多项式的偶数次数项的系数提出来组成的多项式记为\(A^{[0]}(x)\),奇数项记为\(A^{[1]}(x)\)那么有:\[A^{[0]}((w_4^0)^2)=A^{[0]}((w_4^2)^2)\\ a_0=a_0\\ a_1(w_4^0)^2=a_1(w_4^2)^2\\ \]\[A^{[0]}((w_4^1)^2)=A^{[0]}((w_4^3)^2)\\ a_0=a_0\\ a_1(w_4^1)^2=a_1(w_4^3)^2\\ \dots\\ \]奇数项就没有这么优美的性质,但是我们可以提出来⼀个x使得它变成偶数项所以我们现在考虑把⼀个多项式奇偶分组:显然会有如下结论:\[A(x)=A^{[0]}(x^2)+xA^{[1]}(x^2) \]就是\[A(w_4^0)=A^{[0]}((w_4^0)^2)+w_4^0A^{[1]}((w_4^0)^2)\\ A(w_4^1)=A^{[0]}((w_4^1)^2)+w_4^1A^{[1]}((w_4^1)^2)\\ A(w_4^2)=A^{[0]}((w_4^2)^2)+w_4^2A^{[1]}((w_4^2)^2)\\ A(w_4^3)=A^{[0]}((w_4^3)^2)+w_4^3A^{[1]}((w_4^3)^2)\\ \]折半引理化简⼀下:\[A(w_4^0)=A^{[0]}(w_2^0)+w_4^0A^{[1]}(w_2^0)\\ A(w_4^1)=A^{[0]}(w_2^1)+w_4^1A^{[1]}(w_2^1)\\ A(w_4^2)=A^{[0]}(w_2^0)+w_4^2A^{[1]}(w_2^0)\\ A(w_4^3)=A^{[0]}(w_2^1)+w_4^3A^{[1]}(w_2^1)\\ \]那么我们知道如果把上⾯的分成两半,根据折半引理:前后两半对应的只有后⾯要乘上的单位复数根不⼀样,所以其实我们已经把问题的规模缩⼩了⼀半了,因为我们只需求解如下东西:\[A^{[0]}(w_2^0)\\ A^{[1]}(w_2^0)\\ A^{[0]}(w_2^1)\\ A^{[1]}(w_2^1)\\ \]\(P.S.\)其实我们还可以发现:\[因为ω_n^\frac{n}{2}=e^{k\pi i}=coskπ+isinkπ=−1\\ 所以A(ω^{k+\frac{n}{2}}_n)=A^{[0]}(ω^k_\frac{n}{2})−ω^k_nA^{[1]}(ω^k_\frac{n}{2})\\ \]所以说其实只是后⾯的系数的符号不⼀样再来观察⼀下现在要求的东西,可以发现如果把整个⼦问题也进⾏奇偶分组的话,每⼀组其实要求的是长度为原来⼀半的\(DFT\),如果采⽤递归进⾏处理,那么递归分组⼀次之后要求的⼦问题是:\[A^{[0]}(w_2^0)=a_0+a_2w_2^0\\ A^{[0]}(w_2^1)=a_0+a_2w_2^1\\ ---------------\\ A^{[1]}(w_2^0)=a_1+a_3w_2^0\\ A^{[1]}(w_2^1)=a_1+a_3w_2^1\\ \]于是我们只要计算这4个⼦问题原\(DFT\)的两边就都可以直接算出来了并且对于该⼦问题,我们也只需求解\(A^{[0]}(w_2^0)和A^{[1]}(w_2^0)\),另⼀半也是和上⾯的⼀样由这⼀半推出,因为这是⼀个长度为原来⼀半的\(DFT\)我们先看看递归版应该怎么实现:1.不停将要求的\(DFT\)进⾏奇偶分组并递归下去2.如果只有⼀个元素,显然这时\(x=w_1^0=1\),直接返回当前的系数就可以了3.合并答案:把每层要求的东西写出来:\[A(w_4^0)\;\;\;\;A(w_4^1)\;\;\;\;A(w_4^2)\;\;\;\;A(w_4^3)\\ A^{[0]}(w_2^0)\;\;A^{[0]}(w_2^1)\;\;A^{[1]}(w_2^0)\;\;A^{[1]}(w_2^1)\\a_0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;a_2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;a_1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;a_3\\ \]根据上⾯的公式就很容易知道每个元素是由下⼀层的哪⼀个得来的了,这很像个蝴蝶,于是被成为蝴蝶操作还没有理解的话可以看看8的情况,建议⾃⼰⼿画⼀下,标出贡献来源,这样就很容易理解了\[A(w_8^0)\;\;\;\;\;\;A(w_8^1)\;\;\;\;\;\;A(w_8^2)\;\;\;\;\;\;A(w_8^3)\;\;\;\;\;\;A(w_8^4)\;\;\;\;\;\;A(w_8^5)\;\;\;\;\;\;A(w_8^6)\;\;\;\;\;\;A(w_8^7) \]\[A^{[0]}(w_4^0)\;\;\;\;\;\;A^{[0]}(w_4^1)\;\;\;\;\;\;A^{[0]}(w_4^2)\;\;\;\;\;\;A^{[0]}(w_4^3)\;\;\;\;\;\;A^{[1]}(w_4^0)\;\;\;\;\;\;A^{[1]}(w_4^1)\;\;\;\;\;\;A^{[1]}(w_4^2)\;\;\;\;\;\;A^{[1]}(w_4^3) \]\[A^{[0]^{[0]}}(w_2^0)\;\;\;\;A^{[0]^{[0]}}(w_2^1)\;\;\;\;A^{[0]^{[1]}}(w_2^0)\;\;\;\;A^{[0]^{[1]}}(w_2^1)\;\;\;\;A^{[1]^{[0]}}(w_2^0)\;\;\;\;A^{[1]^{[0]}}(w_2^1)\;\;\;\;A^{[1]^{[1]}}(w_2^0)\;\;\;\;A^{[1]^{[1]}}(w_2^1) \]\[a_0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;a_4\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;a_2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;a_6\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;a_1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;a_5\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;a_3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;a_7 \]从下往上蝴蝶的跨度不断增⼤,倒数第2层就是相邻的两个元素宽度半径为1,然后往上不断倍增,每⼀次只是改变两个位置对应的数,所以其实也可以写成⾮递归的但是我们需要最后分组后的最下⾯⼀层其实每个数最后在的位置是他的⼆进制反序数,所以是⼀个Rader排序(⼆进制反转),这个并不是⾮常重要,记⼀下就差不多了贴个⾮递归的板⼦:#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>#include<algorithm>#include<cstdlib>using namespace std;inline int read(){int x=0;char ch=getchar();int t=1;for(;ch>'9'||ch<'0';ch=getchar()) if(ch=='-') t=-1;for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch-48);return x*t;}typedef long long ll;typedef double db;const db PI=acos(-1);struct Complex{//⼿写复数db x,y;Complex(db x1=0.0,db y1=0.0){x=x1,y=y1;}inline Complex operator +(const Complex &b)const{return Complex(x+b.x,y+b.y);}inline Complex operator -(const Complex &b)const{return Complex(x-b.x,y-b.y);}inline Complex operator *(const Complex &b)const{return Complex(x*b.x-y*b.y,x*b.y+y*b.x);}inline void init(){x=read();}inline void out(){printf("%lf %lf\n",x,y);}};typedef Complex C;const int N=4e6+10;int r[N],l;int n,m;C a[N],b[N];inline void FFT(C *P,int f){for(register int i=0;i<n;++i) if(i<r[i]) swap(P[i],P[r[i]]);for(register int i=1;i<n;i<<=1){//枚举每⼀层蝴蝶操作的跨度C W(cos(PI/i),f*sin(PI/i));//同层所需要的单位根是相同的(是蝴蝶操作直径次单位根)for(register int p=i<<1,j=0;j<n;j+=p){//两倍当前蝴蝶操作半径为⼀组(这⾥是多项式系数奇偶分组后的组数)C w(1,0);for(register int k=0;k<i;++k,w=w*W){//每组内有蝴蝶操作直径个⼦DFT,但是蝴蝶操作每次处理两个,只要枚举到半径的长度C X=P[j+k],Y=w*P[j+k+i];P[j+k]=X+Y,P[j+k+i]=X-Y;}}}}int main(){n=read();m=read();for(register int i=0;i<=n;++i) a[i].init();for(register int i=0;i<=m;++i) b[i].init();m+=n;l=0;for(n=1;n<=m;n<<=1) ++l;//补成2的幂for(register int i=1;i<n;++i) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<l-1);//RaderFFT(a,1); FFT(b,1);for(register int i=0;i<n;++i) a[i]=a[i]*b[i];FFT(a,-1);for(register int i=0;i<=m;++i) printf("%d ",(int)(a[i].x/n+0.5));//IDFT最后除nreturn 0;}注意事项:1.由于FFT有⼤量实数运算,不仅常数⼤,精度也会有很⼤问题,转化为整数时要四舍五⼊。