2020-2021学年山西省长治市第二中学校高二第一学期第一次月考数学(文)

1.4分子动能和分子势能同步练习一、单选题1．（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高二阶段练习）把一个物体竖直下抛，下列哪种情况是在下落的过程中发生的（不考虑空气阻力）（）A．物体的动能增加，分子的平均动能也增加B．物体的重力势能减少，分子势能却增加C．物体的机械能保持不变D．物体的内能增加2．（2022·山西省长治市第二中学校高二阶段练习）下列说法中不正确的是（）A．显微镜下观察到墨水中的小碳粒在不停的做无规则运动，这反映了液体分子运动的无规则性B．分子间的相互作用力随着分子间距离的增大而减小C．分子势能随着分子间距离的增大，可能先减小后增大D．在真空、高温条件下，可以利用分子扩散向半导体材料掺入其它元素3．（2022·黑龙江·兰西县榆林镇高级中学高二阶段练习）下列说法正确的是（）A．一定质量的100 ℃的水变成100 ℃的水蒸气，其分子势能不变B．分子平均速率大的物体的温度比分子平均速率小的物体的温度高C．温度相同的氧气和氢气，氢气的内能一定大D．一定质量气体的内能等于其所有分子热运动动能和分子势能的总和4．（2022·河南·襄城高中高二阶段练习）关于物体的内能，下列说法正确的是（）A．温度高的物体内能大B．物体的内能不可能为0C．物体运动得越快，内能越大D．温度相同的氢气和氧气，分子平均动能相等，内能也相等5．（2022·湖北湖北·高二阶段练习）关于分子动理论，下列说法中正确的是（）A．两个分子间的距离小于0r（0为平衡位置）时，它们之间只有引力作用r rB．分子距离越大，分子势能越大，分子距离越小，分子势能越小C．布朗运动是液体分子的无规则运动D．A、B两物体的温度相同时, A、B两物体的内能可能不同，分子热运动的平均速率也可能不同6．（2021·天津市红桥区教师发展中心高二期末）一个铁球和一个冰球的温度相同，且其质量相等，则（）A．它们的分子平均动能一定相等B．它们的分子运动的平均速率一定相等C．冰球的体积大，水的分子势能大D．它们的内能一定相等7．（2022·江苏·金陵中学高二阶段练习）关于分子动理论，下列说法中正确的是（）A．图甲“用油膜法估测油酸分子的大小”实验中，应先滴油酸酒精溶液，再撒痱子粉B．图乙为水中某花粉颗粒每隔一定时间位置的折线图，表明该花粉颗粒在每段时间内做直线运动C．图丙为分子力F与其间距r的图像，分子间距从r0开始增大时，分子力先变小后变大D．图丁为大量气体分子热运动的速率分布图，曲线℃对应的温度较高8．（2022·湖北省罗田县第一中学高二阶段练习）严冬时节，梅花凌寒盛开，淡淡的花香沁人心脾。

pH相关计算1．（上海市浦东新区2019年高中学业水平合格考）常温下，pH＝3的盐酸与pH＝5的盐酸中，H＋的物质的量浓度之比为A．3∶5B．1∶100C．100∶1D．5∶32．（海南省海南枫叶国际学校2018-2019学年高二下学期期中考试）将pH＝2和pH＝5的稀盐酸等体积混合，混合后溶液的pH约为A．7B．4.7C．3.5D．2.33．（杨镇一中2018-2019高二6月月考）常温下，将0.1mol/L的盐酸和0.06mol/LBa(OH)2溶液等体积混合，所得混合液的pH为A．1.7B．12C．12.3D．134．（吉林省白城市第一中学2018-2019学年高一6月月考）常温时，将pH为5的HCl溶液与pH为2的H2SO4溶液等体积混合后，溶液的氢氧根离子浓度最接近于A．2×10-12mol/L B．1/2(10-9+10-12)mol/LC．(10-9+10-12)mol/L D．1/2(10-5+10-2)5．（浙江省诸暨市牌头中学2018-2019学年高一下学期期中考试）将pH=1的盐酸与pH=11的NaOH溶液按体积比为1：9混合，混合后溶液的pH约为A．2B．6C．7D．106．（河南省林州市第一中学2019-2020学年高二9月月考）1体积pH＝2.5的盐酸与10体积某一元强碱溶液恰好完全反应，则该碱溶液的pH等于（）A．9.0B．9.5C．10.5D．11.57．（河北省大名县第一中学2019-2020学年高二10月月考）某温度下，溶液中由水电离出氢离子的浓度为1×10－12mol·L－1，下列说法正确的是（）A．该溶液pH＝12B．该溶液pH＝2C．该溶液pH＝12或2D．不能确定溶液pH8．（四川省遂宁市2018-2019学年高二下学期期末考试）现有pH=a和pH=b的两种强碱溶液，已知b=a+2，将两种溶液等体积混合后，所得溶液的pH接近于A．a－1g2B．b－1g2C．a+1g2D．b+1g29．（山西省长治市第二中学2019-2020学年高二上学期第一次月考）常温下，向一定体积0.01mol/L的Ba(OH)2溶液中逐滴加入一定物质的量浓度的NaHSO4溶液，当溶液中的Ba2+恰好完全沉淀时，溶液pH=11。

2022—2023学年第一学期高二第一次月考语文试题【本试题分第Ⅰ卷（阅读题）和第Ⅰ卷（表达题）两部分。

满分150分，考试时间150分钟。

】第I卷（阅读题共72分）一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1～3题。

儒学作为一种社会意识或学术形态，是不断演变和发展的。

先秦时期的儒学，只是诸子百家中的一家。

到了汉代，儒学成了经学的支柱。

魏晋时期的儒学则受了玄学的影响。

宋明时期的儒学，主因经以识义理，被称为宋学。

清代儒学在发展过程中，又演变为汉学，但又不同于汉代的经学。

近代的儒学，因受西学的影响，又有自己的特点。

纵观两千多年的学术史，从来就没有一成不变的儒学。

每一时期的儒学，又分化为许多流派，相互争论。

我们不能依儒学中的某一流派的思想谈儒学的特点，也不能脱离与其对立的学派谈儒学的特质。

儒学特质的具体表现为：第一，厚人生，黜彼岸。

儒学总是关心或重视人间即生人的生活，而不追求或向往死后或来世的幸福。

此种现实主义人生观始于孔子。

如关于鬼神，孔子说：“未能事人，焉能事鬼？”“未知生，焉知死。

”（《论语•先进》）他认为应致力于生人之事，不必追问死后之事。

第二，明伦理，主自律。

无论哪一派儒学都提倡伦理教化和道德修养，以此来调整人际关系，并以圣人为人格的最高标准。

儒家所推崇的圣人，是指道德境界最高尚的人。

孔子、孟子、荀子都以此自勉，并教育其学生。

儒家学者，都是伦理学家，其著述皆谈道德问题。

在儒家看来，道德是人与动物的根本区别，“饱食暖衣，逸居而无教则近于禽兽”（《孟子•滕文公上》）。

就维持生产和生活来说，道德贵于刑罚或法律的制裁，“德教行而民康乐”，“法令极而民哀戚”（《大戴礼记•礼察》）。

这两条为后来儒家学者所发扬。

第三，合人群，辨等差。

儒学各派都将社会看成是集合体，认为个人总是生活在群体之中，或为家族或为国家或为天下中之一员，群体受到损坏，个人的生活也就失去了保障。

2020-2021学年高一数学上学期第一次月考试题文（含解析）时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷选择题（请将该卷答案写在答题纸上）一、单选题（共12题，每题5分，总分60分）1. 集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的定义域与值域，分别求得集合，再结合集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，，，根据集合的交集的概念及运算，可得.故选：B.【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合的交集的概念及运算，其中解答中根据函数的定义域与值域求得集合是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.2. “”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】试题分析：由指数函数的单调性可知，但由于的符号不能确定是否一致，所以不能推出，同理也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D.考点：充分条件与必要条件．3. 下列函数中，是奇函数且在区间内单调递减的函数是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】奇函数的B、C、D，在区间内单调递减的函数是B4. 已知，则的单调增区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】函数在满足的条件下，函数的减区间即为所求，利用二次函数的性质，得出结论．【详解】因为在递减，所以的单调增区间，即为函数在满足的条件下，函数的减区间．由可得或，所以函数在满足的条件下，的减区间为，所以的单调增区间是，故选：B．【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．5. 函数在R上满足，则曲线在处的切线方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据求出函数的解析式，然后对函数进行求导，进而可得到在点，（1）处的切线的斜率，最后根据点斜式可求导切线方程．【详解】，设，则，．．得，在，（1）处的切线斜率为．函数在，（1）处的切线方程为，即．故选：．【点睛】本题主要考查求函数解析式的方法和函数的求导法则以及导数的几何意义．函数在某点的导数值等于该点处的切线的斜率．6. 函数，的最小值为（）A. B. C. 1 D.【答案】D【解析】【分析】换元法：令，可得，，由二次函数在闭区间求解最小值即可．【详解】函数，令，由可得，，由二次函数可知当时，单调递增，当时，函数取最小值，故选：．【点睛】本题考查三角函数的最值，换元并利用二次函数区间上的最值是解决问题的关键，属中档题．7. 函数在定义域R内可导，若且，若，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】确定函数关于对称，再确定函数的单调性，综合两者判断大小得到答案.【详解】，即，函数关于对称，当时，，即，函数单调递减；当时，，即，函数单调递增.，，，故.故选：C.【点睛】本题考查了利用函数的单调性和对称性判断函数值的大小关系，意在考查学生对于函数性质的综合应用能力.8. 已知，则的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用已知条件求出正切函数值，化简所求表达式为正切函数的形式，即可求出结果．【详解】由，可得．则．故选：C．【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．属于基础题.9. 若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程一个近似根（精确到0.1）为（）A. 1.4 B. 1.3 C. 1.2 D. 1.5【答案】A【解析】【分析】由表格中参考数据可得，，结合题中要求精确到0.1可得答案．【详解】由表格中参考数据可得，，又因为题中要求精确到0.1，所以近似根为 1.4故选：A．【点睛】本题主要考查用二分法求区间根的问题，属于基础题型．在利用二分法求区间根的问题上，如果题中有根的精确度的限制，在解题时就一定要计算到满足要求才能结束．10. 若定义在R的奇函数满足，当时，，则（）A. B. C. 3 D. 2【答案】A【解析】【分析】利用求出函数的周期，然后由周期性求解函数值即可．【详解】定义在上的奇函数满足，可得，所以函数的周期是4，当时，，则（1）．故选：．【点睛】本题考查函数的奇偶性以及函数的周期性，函数值的求法，考查计算能力，属于基础题．11. 已知函数是定义在上的增函数，且，，则不等式（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据且可得，，则可化为，然后根据单调性求解.【详解】根据可得，可转化为，又，所以，即，因为是定义在上的增函数，所以只需满足，解得：.故选：D.【点睛】本题考查抽象函数的应用，考查利用函数的单调性解不等式，难度一般，根据题目条件将问题灵活转化是关键.12. 若在上是减函数，则b的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出原函数的定义域，要使原函数在内是单调减函数，则其导函数在定义域内恒小于等于0，原函数的导函数的分母恒大于0，只需分析分子的二次三项式恒大于等于0即可，根据二次项系数大于0，且对称轴在定义域范围内，所以二次三项式对应的抛物线开口向上，只有其对应二次方程的判别式小于等于0时导函数恒小于等于0，由此解得b的取值范围.【详解】由，得，所以函数的定义域为，再由，得：，要使函数在内是单调减函数，则在上恒小于等于0，因为，令，则在上恒大于等于0，函数开口向上，且对称轴为，所以只有当，即时，恒成立，所以，使函数在其定义域内是单调减函数的b的取值范围是.故选：D.【点睛】本题考查了函数的单调性与导数之间的关系，一个函数在其定义域内的某个区间上单调减，说明函数的导函数在该区间内恒小于等于0，是中档题.第Ⅱ卷非选择题（请将该卷答案写在答题纸上）二、填空题（共4题，每题5分，总分20分）13. 命题“对任意，都有”的否定为__________．【答案】存在，使得【解析】全称命题的否定为其对应的特称命题，则：命题“对任意，都有”的否定为存在，使得. 14. 函数的零点有__________个．【答案】1【解析】【分析】求导得到，得到函数的单调区间，再计算极值的正负判断得到答案.【详解】，故，故函数在和上单调递增，在上单调递减，函数的极大值，函数的极小值，当时，，故函数共有1个零点故答案为：1.【点睛】本题考查了利用导数计算函数零点问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，属于常考题型.15. 条件，条件，则p是q的__________条件．【答案】必要不充分【解析】【分析】根据一元二次不等式和分式不等式解法，分别求得对应的集合，结合集合间的包含关系，即可求解.【详解】由不等式可化为，解得，即不等式的解集为，又由，解得，即不等式的解集为，可得是的真子集，所以p是q的必要不充分条件.故答案为：必要不充分.【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定，以及一元二次不等式和分式不等式的求解，其中解答中结合不等式的解法，求得是解答的关键，着重考查推理与运算能力.16. 已知，若，则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】【分析】判断函数的单调性，利用单调性转化为自变量的不等式，即可求解.【详解】在区间都是增函数，并且在处函数连续，所以在上是增函数，等价于，解得.故答案为:【点睛】本题考查函数的单调性，并利用单调性解不等式，属于中档题.三、解答题（简答题）（共6题，总分70分）17. 已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点．（1）求的值；（2）若角就是将角的终边顺时针旋转得到，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）直接利用三角函数定义结合诱导公式计算得到答案.（2），带入式子利用诱导公式化简，带入数据得到答案.【详解】（1）根据题意：，，，.（2）根据题意：，故.【点睛】本题考查了三角函数定义，诱导公式，意在考查学生的计算能力和转化能力.18. 已知函数，.（1）若函数是单调函数，求实数的取值范围；（2）若函数的最大值是2，求实数的值.【答案】(1)；(2)3或.【解析】试题分析：(1)二次函数开口向下，对称轴为，据此可得实数的取值范围是；(2)分类讨论，，三种情况可得实数的值3或.试题解析：(1)二次函数开口向下，对称轴为，结合题意可得或，即实数的取值范围是；（2）分类讨论：当时，函数在区间上单调递减，函数的最大值：；当时，函数在区间上单调递增，函数的最大值：；当时，函数在对称轴处取得最大值，即：，解得：或，不合题意，舍去；综上可得实数的值3或.点睛：二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．19. 已知函数，其中.（1）讨论函数的单调区间；（2）若存在，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）时，减区间是，时，减区间是，增区间是；（2）.【解析】试题分析：（1）这是一个利用导数研究函数的单调区间的问题，应先确定函数的定义域，然后再对函数求导，并分别针对的不同取值进行讨论，就可得到的单调区间；（2）首先根据关系式把从中分离出来，再通过构造函数并求出其最值，即可得到实数的取值范围.试题解析：（1）因为若则对恒成立，所以，此时的单调递减区间为；若，则时，所以，单调递减区间为，单调递增区间为；（2）因为，所以，，即若存在，使得成立，只需的最小值设，则时，所以在上减，在上增，所以时，取最小值所以.考点：1、导数在函数研究中的应用；2、单调区间；3、最值.【思路点晴】本题是一个利用导数研究函数的单调区间、求极值等方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路是，首先应根据函数关系式求出函数的定义域，再对函数进行求导，并针对实数的不同取值加以讨论，就可以得到函数的单调区间；至于第二问求的取值范围，解决问题的切入点是不等在上有解，然后再结合构造函数并求其最值即可得到的范围.20. 对于企业来说，生产成本、销售收入和利润之间的关系是个重要的问题．对一家药品生产企业的研究表明：该企业的生产成本（单位：万元）和生产收入（单位：万元）都是产量（单位：）的函数，它们分别为和，试求出该企业获得的生产利润（单位：万元）的最大值．【答案】当产量为时，该企业可获得最大利润，最大利润为万元．【解析】【分析】生产利润，列出关于的表达式，然后利用导数分析的最大值.【详解】解：，即，，令，得或，当变化时，，的变化情况如下表：1极小值↗极大值由上表可知：是函数w的唯一极大值点，也是最大值点．所以，当时，w取得取最大值．【点睛】本题考查利润最值问题，考查利用导数分析求解函数的最值问题,难度一般.21. 已知函数．（1）设是的极值点．求a的值，并讨论的零点个数；（2）证明：当时，．【答案】（1），有两个零点；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求导得到，根据得到，再计算函数单调区间，计算极值得到函数零点个数.（2）设，求导得到单调区间，计算最值得到证明.【详解】（1）的定义域为，．由题设知，，所以．从而，．当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．，∵，，所以有两个零点．（2）当时，，设，则．当时，；当时，．所以是的最小值点，故当时，．因此当时，．【点睛】本题考查了根据函数的极值求参数，函数的零点问题，证明不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.选做题（本小题满分12分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号．）22. 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求直线的直角坐标方程与曲线C的普通方程；（2）若曲线C上到直线的距离为1的点有3个，求m的值．【答案】（1）直线的直角坐标方程为，圆C的普通方程为；（2）或．【解析】【分析】（1）将直线的极坐标方程利用余弦的两角差的公式展开，再将代入便可得到的直角坐标方程；将曲线的参数方程消去便可得到普通方程.（2）若曲线上到直线距离为的点有个，则圆心到直线的距离为，然后利用点到线距离公式求解.【详解】解：（1）由（为参数）得:，而，即．所以直线的直角坐标方程为，圆C的普通方程为．（2）由于圆C的半径为3，根据题意，若圆C上到直线的距离为的点有个，则圆心到直线的距离为，可得，解得或．【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的转化，考查圆上的点到直线的距离问题，考查点到线距离公式的运用，难度一般.23. 选修4－5：不等式选讲设函数．（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）如果，，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）当时，利用零点分段法，分三段去绝对值解不等式；（Ⅱ）利用绝对值的三角不等式，令最小值求的取值范围.试题解析：解：（Ⅰ）当时，.由得.当时，不等式可化为，即，其解集为；当时，不等式可化为，不可能成立，其解集为；当时，不等式可化为，即，其解集为.综上所述，的解集为.（Ⅱ）∵，∴要，成立.则，∴或.即的取值范围是.2020-2021学年高一数学上学期第一次月考试题文（含解析）时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷选择题（请将该卷答案写在答题纸上）一、单选题（共12题，每题5分，总分60分）1. 集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的定义域与值域，分别求得集合，再结合集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，，，根据集合的交集的概念及运算，可得.故选：B.【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合的交集的概念及运算，其中解答中根据函数的定义域与值域求得集合是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.2. “”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】试题分析：由指数函数的单调性可知，但由于的符号不能确定是否一致，所以不能推出，同理也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D.考点：充分条件与必要条件．3. 下列函数中，是奇函数且在区间内单调递减的函数是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】奇函数的B、C、D，在区间内单调递减的函数是B4. 已知，则的单调增区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】函数在满足的条件下，函数的减区间即为所求，利用二次函数的性质，得出结论．【详解】因为在递减，所以的单调增区间，即为函数在满足的条件下，函数的减区间．由可得或，所以函数在满足的条件下，的减区间为，所以的单调增区间是，故选：B．【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．5. 函数在R上满足，则曲线在处的切线方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据求出函数的解析式，然后对函数进行求导，进而可得到在点，（1）处的切线的斜率，最后根据点斜式可求导切线方程．【详解】，设，则，．．得，在，（1）处的切线斜率为．函数在，（1）处的切线方程为，即．故选：．【点睛】本题主要考查求函数解析式的方法和函数的求导法则以及导数的几何意义．函数在某点的导数值等于该点处的切线的斜率．6. 函数，的最小值为（）A. B. C. 1 D.【答案】D【解析】【分析】换元法：令，可得，，由二次函数在闭区间求解最小值即可．【详解】函数，令，由可得，，由二次函数可知当时，单调递增，当时，函数取最小值，故选：．【点睛】本题考查三角函数的最值，换元并利用二次函数区间上的最值是解决问题的关键，属中档题．7. 函数在定义域R内可导，若且，若，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】确定函数关于对称，再确定函数的单调性，综合两者判断大小得到答案.【详解】，即，函数关于对称，当时，，即，函数单调递减；当时，，即，函数单调递增.，，，故.故选：C.【点睛】本题考查了利用函数的单调性和对称性判断函数值的大小关系，意在考查学生对于函数性质的综合应用能力.8. 已知，则的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用已知条件求出正切函数值，化简所求表达式为正切函数的形式，即可求出结果．【详解】由，可得．则．故选：C．【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．属于基础题.9. 若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程一个近似根（精确到0.1）为（）A. 1.4B. 1.3C. 1.2D. 1.5【答案】A【解析】【分析】由表格中参考数据可得，，结合题中要求精确到0.1可得答案．【详解】由表格中参考数据可得，，又因为题中要求精确到0.1，所以近似根为 1.4故选：A．【点睛】本题主要考查用二分法求区间根的问题，属于基础题型．在利用二分法求区间根的问题上，如果题中有根的精确度的限制，在解题时就一定要计算到满足要求才能结束．10. 若定义在R的奇函数满足，当时，，则（）A. B. C. 3 D. 2【答案】A【解析】【分析】利用求出函数的周期，然后由周期性求解函数值即可．【详解】定义在上的奇函数满足，可得，所以函数的周期是4，当时，，则（1）．故选：．【点睛】本题考查函数的奇偶性以及函数的周期性，函数值的求法，考查计算能力，属于基础题．11. 已知函数是定义在上的增函数，且，，则不等式（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据且可得，，则可化为，然后根据单调性求解.【详解】根据可得，可转化为，又，所以，即，因为是定义在上的增函数，所以只需满足，解得：.故选：D.【点睛】本题考查抽象函数的应用，考查利用函数的单调性解不等式，难度一般，根据题目条件将问题灵活转化是关键.12. 若在上是减函数，则b的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出原函数的定义域，要使原函数在内是单调减函数，则其导函数在定义域内恒小于等于0，原函数的导函数的分母恒大于0，只需分析分子的二次三项式恒大于等于0即可，根据二次项系数大于0，且对称轴在定义域范围内，所以二次三项式对应的抛物线开口向上，只有其对应二次方程的判别式小于等于0时导函数恒小于等于0，由此解得b的取值范围.【详解】由，得，所以函数的定义域为，再由，得：，要使函数在内是单调减函数，则在上恒小于等于0，因为，令，则在上恒大于等于0，函数开口向上，且对称轴为，所以只有当，即时，恒成立，所以，使函数在其定义域内是单调减函数的b的取值范围是.故选：D.【点睛】本题考查了函数的单调性与导数之间的关系，一个函数在其定义域内的某个区间上单调减，说明函数的导函数在该区间内恒小于等于0，是中档题.第Ⅱ卷非选择题（请将该卷答案写在答题纸上）二、填空题（共4题，每题5分，总分20分）13. 命题“对任意，都有”的否定为__________．【答案】存在，使得【解析】全称命题的否定为其对应的特称命题，则：命题“对任意，都有”的否定为存在，使得.14. 函数的零点有__________个．【答案】1【解析】【分析】求导得到，得到函数的单调区间，再计算极值的正负判断得到答案.【详解】，故，故函数在和上单调递增，在上单调递减，函数的极大值，函数的极小值，当时，，故函数共有1个零点故答案为：1.【点睛】本题考查了利用导数计算函数零点问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，属于常考题型.15. 条件，条件，则p是q的__________条件．【答案】必要不充分【解析】【分析】根据一元二次不等式和分式不等式解法，分别求得对应的集合，结合集合间的包含关系，即可求解.【详解】由不等式可化为，解得，即不等式的解集为，又由，解得，即不等式的解集为，可得是的真子集，所以p是q的必要不充分条件.故答案为：必要不充分.【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定，以及一元二次不等式和分式不等式的求解，其中解答中结合不等式的解法，求得是解答的关键，着重考查推理与运算能力.16. 已知，若，则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】【分析】判断函数的单调性，利用单调性转化为自变量的不等式，即可求解.【详解】在区间都是增函数，并且在处函数连续，所以在上是增函数，等价于，解得.故答案为:【点睛】本题考查函数的单调性，并利用单调性解不等式，属于中档题.三、解答题（简答题）（共6题，总分70分）17. 已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点．（1）求的值；（2）若角就是将角的终边顺时针旋转得到，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）直接利用三角函数定义结合诱导公式计算得到答案.（2），带入式子利用诱导公式化简，带入数据得到答案.【详解】（1）根据题意：，，，.（2）根据题意：，故.【点睛】本题考查了三角函数定义，诱导公式，意在考查学生的计算能力和转化能力.18. 已知函数，.（1）若函数是单调函数，求实数的取值范围；（2）若函数的最大值是2，求实数的值.【答案】(1)；(2)3或.【解析】试题分析：(1)二次函数开口向下，对称轴为，据此可得实数的取值范围是；(2)分类讨论，，三种情况可得实数的值3或.试题解析：(1)二次函数开口向下，对称轴为，结合题意可得或，即实数的取值范围是；（2）分类讨论：当时，函数在区间上单调递减，函数的最大值：；当时，函数在区间上单调递增，函数的最大值：；当时，函数在对称轴处取得最大值，即：，解得：或，不合题意，舍去；综上可得实数的值3或.点睛：二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．19. 已知函数，其中.（1）讨论函数的单调区间；（2）若存在，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）时，减区间是，时，减区间是，增区间是；（2）.【解析】试题分析：（1）这是一个利用导数研究函数的单调区间的问题，应先确定函数的定义域，然后再对函数求导，并分别针对的不同取值进行讨论，就可得到的单调区间；（2）首先根据关系式把从中分离出来，再通过构造函数并求出其最值，即可得到实数的取值范围.试题解析：（1）因为若则对恒成立，所以，此时的单调递减区间为；若，则时，所以，单调递减区间为，单调递增区间为；（2）因为，所以，，即若存在，使得成立，只需的最小值设，则时，所以在上减，在上增，所以时，取最小值所以.考点：1、导数在函数研究中的应用；2、单调区间；3、最值.【思路点晴】本题是一个利用导数研究函数的单调区间、求极值等方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路是，首先应根据函数关系式求出函数的定义域，再对函数进行求导，并针对实数的不同取值加以讨论，就可以得到函数的单调区间；至于第二问求的取值范围，解决问题的切入点是不等在上有解，然后再结合构造函数并求其最值即可得到的范围.20. 对于企业来说，生产成本、销售收入和利润之间的关系是个重要的问题．对一家药品生产企业的研究表明：该企业的生产成本（单位：万元）和生产收入（单位：万元）都是产量（单位：）的函数，它们分别为和，试求出该企业获得的生产利润（单位：万元）的最大值．【答案】当产量为时，该企业可获得最大利润，最大利润为万元．【解析】【分析】生产利润，列出关于的表达式，然后利用导数分析的最大值.【详解】解：，即，，令，得或，当变化时，，的变化情况如下表：1。

第06讲利用导数研究函数的零点（方程的根）(精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：判断、证明或讨论函数零点的个数高频考点二：证明唯一零点问题高频考点三：根据零点情况求参数①利用最值（极值）研究函数零点问题②利用数形结合法研究函数的零点问题③构造函数研究函数零点问题第四部分：高考真题感悟第五部分：第06讲利用导数研究函数的零点（方程的根）（精练）1、函数的零点（1）函数零点的定义：对于函数()y f x=，把使()0f x=的实数x叫做函数()y f x=的零点．（2）三个等价关系方程0)(=xf有实数根⇔函数)(xfy=的图象与x轴有交点的横坐标⇔函数)(xfy=有零点．2、函数零点的判定如果函数()y f x=在区间[,]a b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b⋅<，那么函数()y f x=在区间(,)a b内有零点，即存在(,)c a b∈，使得()0f c=，这个c也就是()0f x=的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．注意：单调性+存在零点=唯一零点1．（2022·全国·高二）已知函数()f x的定义域为[]15-，，部分对应值如下表：()f x的导函数()y f x='的图象如图所示，则下列关于函数()f x的命题：① 函数()y f x=是周期函数；② 函数()f x在[]02，是减函数；③ 如果当[]1,x t∈-时，()f x的最大值是2，那么t的最大值为4；④ 当12a<<时，函数()y f x a=-有4个零点．其中真命题的个数是A．4个B．3个C．2个D．1个2．（2022·甘肃·金昌市教育科学研究所高三阶段练习（文））已知函数()2e1xf x x a=+-()a R∈有两个极值点，则实数a的取值范围为（）A．1,0e⎛⎫- ⎪⎝⎭B．2,0e⎛⎫- ⎪⎝⎭C．1,e⎛⎫-+∞⎪⎝⎭D．2,e⎛⎫-+∞⎪⎝⎭3．（2022·全国·高二）若函数()3239f x x x x m =--+仅有一个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()5,-+∞B ．(,27)(5,)-∞-⋃+∞C ．(,27)-∞D ．(,5)(27,)-∞-⋃+∞4．（2022·甘肃武威·模拟预测（文））函数()326f x x x m =-+有三个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣4，4）B ．[﹣4，4]C ．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）D ．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）5．（2022·江苏淮安·高二期末）已知函数()e x f x =与()1g x x =+，则它们的图象交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．不确定高频考点一：判断、证明或讨论函数零点（根）的个数1．（2022·全国·高二）设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )（ ）A ．在区间1(,1)e，(1，e )内均有零点 B ．在区间1(,1)e，(1，e )内均无零点C ．在区间1(,1)e 内有零点，在区间(1，e )内无零点D ．在区间1(,1)e 内无零点，在区间(1，e )内有零点2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()()12xx e f x e=-+，其中e 为自然对数的底数， 2.7182818e =……，则()f x 的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．33．（2022·全国·高三专题练习（理））函数()()1ln 03f x x x x =->的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．（2022·全国·高二课时练习）求函数3()231f x x x =-+零点的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．（2022·江苏淮安·高二期末）已知函数()e x f x =与()1g x x =+，则它们的图象交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．不确定6．（2022·江苏苏州·模拟预测）方程3269100x x x -+-=的实根个数是______ ．7．（2022·全国·高三专题练习）函数()1x f x e x =-+的零点个数是__________．8．（2022·广东佛山·高二阶段练习）已知函数()()1ln 2af x x a x x=+---，其中R a ∈． (1)若()f x 存在唯一极值点，且极值为0，求a 的值； (2)若2e a <，讨论()f x 在区间2[1,e ]上的零点个数．9．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二阶段练习（文））给定函数()()1e xf x x =+．(1)判断函数()f x 的单调性，并求出()f x 的极值； (2)求出方程()()f x a a R =∈的解的个数．高频考点二：证明唯一零点（根）问题1．（2022·山西省长治市第二中学校高二阶段练习）已知函数321()(1)3=-++f x x a x x ．(1)若1a =，求()f x 的单调区间及相应区间上的单调性； (2)证明:()f x 只有一个零点．2．（2022·陕西渭南·高二期末（文））已知函数()ln x axf x x+=，R a ∈. (1)若0a =，求()f x 的最大值；(2)若01a <<，求证：()f x 有且只有一个零点.3．（2022·广西玉林·模拟预测（文））已知函数217()ln 4,()2ln 22f x x x xg x x x =-=++. (1)求函数()f x 的最小值；(2)证明：函数()()()h x f x g x =+仅有一个零点.高频考点三：根据零点（根）情况求参数①利用最值（极值）研究函数零点（根）问题1．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）已知函数32()34f x x ax bx =+++在1x =-时有极值0． (1)求函数()f x 的解析式；(2)记()()21g x f x k =-+，若函数()g x 有三个零点，求实数k 的取值范围．2．（2022·山东师范大学附中高二阶段练习）已知函数()21xx x f x e+-=. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()y f x a =-（a 为常数）有3个不同的零点，求实数a 的取值范围.3．（2022·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（理））已知函数3()91f x ax x =-+，0a >． (1)若3a =，求函数()f x 的极值；(2)若函数()f x 恰有三个零点，求实数a 的取值范围．4．（2022·北京丰台·一模）已知函数()f x = (1)当1a =时，求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； (2)若函数2()()3ag x f x =-恰有两个不同的零点，求a 的取值范围．5．（2022·广西桂林·二模（理））已知函数()()()211e 2xf x x ax a R =--∈ (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.②利用数形结合法研究函数的零点（根）问题1．（2022·宁夏·银川二中高二期末（理））已知函数ln ()xf x x= (1)填写函数()f x 的相关性质；2．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（文））设函数3()65f x x x x R =-+∈，. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若关于x 的方程()f x a =有三个不等实根，求实数a 的取值范围.3．（2022·全国·信阳高中高三阶段练习（理））已知函数()2e xf x a x =-（R a ∈，e 为自然对数的底数）.(1)若()0f x =有两个不相等的实数根，求a 的取值范围；4．（2022·四川·雅安中学高二阶段练习（文））已知函数()322f x x ax bx =++-在2x =-时取得极值，且在点()()1,1f --处的切线的斜率为3- . (1)求()f x 的解析式；(2)若函数()y f x λ=-有三个零点，求实数λ的取值范围.5．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数()()2x x f x e ae a =+∈R(1)讨论()f x 的单调性；(2)设()()21x g x a x e x =-+，若方程()()g x f x =有三个不同的解，求a 的取值范围.6．（2022·四川绵阳·二模（文））已知函数()2()ln 1R f x x ax a =+-∈(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 有且只有一个零点，求实数a 的取值范围．③构造函数研究函数零点（根）问题1．（2022·江苏宿迁·高二期末）已知函数()e xf x =（e 为自然对数的底数），()sing x a x =（,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦），a R ∈.(1)若直线:l y kx =与函数()f x ，()g x 的图象都相切，求a 的值； (2)若方程()()f x g x =有两个不同的实数解，求a 的取值范围.2．（2022·重庆南开中学高二期末）已知函数()()2ln ,f x x x g x x ax b ==++.(1)若()f x 与()g x 在1x =处有相同的切线，求实数,a b 的取值；(2)若2b =时，方程()()f x g x =在()1,+∞上有两个不同的根，求实数a 的取值范围.3．（2022·四川·成都七中高三阶段练习（理））已知函数()(1)f x a x =-，()e (1)x g x bx =-，R a ∈． (1)当2b =时，函数()()y f x g x =-有两个零点，求a 的取值范围； (2)当b a =时，不等式()()f x g x >有且仅有两个整数解，求a 的取值范围．4．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数()()11ln e f x a x x=+++，()()e x g x x a a =++∈R ．(1)试讨论函数()f x 的单调性；(2)若当1≥x 时，关于x 的方程()()f x g x =有且只有一个实数解，求实数a 的取值范围．5．（2022·河南·三模（理））已知函数()()ln 1f x x =+，()e 1xg x =-.(1)判断函数()()()h x f x g x =-的零点个数；6．（2022·江苏南京·高三开学考试）已知函数()(1)x f x e a x =+-，()sin cos g x ax x x =++ (1)求函数()f x 的最值；(2)令()()()h x f x g x =-，求函数()h x 在区间(,)4π-+∞上的零点个数，并说明理由．1．（2021·全国·高考真题（理））已知0a >且1a ≠，函数()(0)a x x f x x a=>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围．2．（2021·全国·高考真题）已知函数2()(1)x f x x e ax b =--+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：()f x 只有一个零点 ①21,222e a b a <≤>；②10,22a b a <<≤．3．（2021·浙江·高考真题）设a ，b 为实数，且1a >，函数()2R ()x f x a bx e x =-+∈（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意22b e >，函数()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围；（3）当a e =时，证明：对任意4b e >，函数()f x 有两个不同的零点()1221,,x x x x >，满足2212ln 2b b ex x e b>+.(注： 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数)一、单选题1．（2022·江苏·南京师大附中高三开学考试）已知a ∈R ，则函数()()32113f x x a x x =-++零点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．与a 有关2．（2022·浙江省浦江中学高二阶段练习）已知函数()22x f x xe x x m =---在()0,∞+上有零点，则m 的取值范围是（ ）A ．)21ln 2,-+∞⎡⎣B ．)2ln 21,--+∞⎡⎣C ．)2ln 2,-+∞⎡⎣D ．21ln 2,2-+∞⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．（2022·全国·高二）函数32()2f x x x x =-++-的零点个数及分布情况为（ ） A ．一个零点，在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭内B ．二个零点，分别在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()0,∞+内C ．三个零点，分别在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,+∞内D ．三个零点，分别在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()0,1，()1,+∞内4．（2022·全国·高二）直线y a =与函数33y x x =-的图象有三个不同的交点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(2,2)-B ．[2,2]-C ．[2,)+∞D ．(,2]-∞-5．（2022·全国·高二）已知函数20()210x e x f x x x x -⎧≤=⎨--+>⎩，若函数()()g x f x kx =-有两个零点，则实数k 等于（e 为自然对数的底数）（ ） A ．e -B ．1-C ．2D ．2e6．（2022·河南·襄城高中高二阶段练习（理））已知函数()2ln f x x =，()322g x x ex ax =-+，其中e 为自然对数的底数，若方程()()f x g x =存在两个不同的实根，则a 的取值范围为（ ） A ．2,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．22,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭C ．()2,e -∞D ．22,e e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭7．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知函数22()2(2)e (1)e x x f x a a x x =+-++有三个不同的零点123,,x x x ，且1230x x x <<<，则3122312222e e e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．368．（2022·全国·高三专题练习）已知方程|ln |2x kx =+在区间()50,e 上恰有3个不等实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．5331,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5331,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．4221,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．4221,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题9．（2022·河南焦作·二模（理））函数1()e ln 1x f x a x -=--在(0,)+∞上有两个零点，则实数a 的取值范围是_______. 10．（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））已知函数()3112,21ln ,2x m x f x x x m x ⎧--<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是________．11．（2022·浙江·镇海中学高二期末）已知不等式21e 0x x a +-≥有且只有两个整数解，则实数a 的范围为___________．12．（2022·全国·高二）已知函数3211()(2)1()32xf x ax ax e x a R =---+∈在区间1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上有3个不同的极值点，则实数a的取值范围是__________. 三、解答题13．（2022·河南·栾川县第一高级中学高二阶段练习（理））已知()2()e ()x f x x a a =+∈R ．(1)若2是函数()f x 的极值点，求a 的值，并判断2是()f x 的极大值点还是极小值点； (2)若关于x 的方程()2ln e x f x x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围．参考数据：ln 20.693≈14．（2022·陕西宝鸡·二模（文））已知函数()1e x f x ax =--，a ∈R ． (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若方程()ln f x x x =在(1,e)上有实根，求实数a 的取值范围．15．（2022·河南·沈丘县第一高级中学高二期末（文））已知函数()ln f x x =. (1)当[)1,x ∞∈+时，证明：函数()f x 的图象恒在函数()322132=-g x x x 的图象的下方； (2)讨论方程()0f x kx +=的根的个数.16．（2022·吉林·长春外国语学校高二阶段练习）若函数()32113f x x ax bx =++-，当2x =时，函数()f x 有极值13-.(1)求函数的解析式；(2)若关于x 的方程()f x k =有三个解，求实数k 的取值范围.17．（2022·浙江浙江·二模）已知函数2()ln (2)f x x a x a =+<． (1)若2a =-，求函数()f x 的极小值点；(2)当2(]0,x ∈时，讨论函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象公共点的个数，并证明你的结论．。

2020—2021学年第一学期高二期末考试语文试题【本试题满分150分，考试时间150分钟。

】一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）咏史诗是融文学与史学特质于一体的重要诗歌体类，其创作的素材乃立足于史事。

《史记》作为历史上第一部纪传体通史，又是史学与文学完美结合的经典之作，自然成为咏史创作取材的渊薮之一。

咏史诗人的创作结合时代特征和审美趋向，选取《史记》中的人和事，通过批判或褒扬，以寄寓抱负或针砭时弊。

在现存的文学史料中，最早的咏史诗的素材出自《史记·扁鹊仓公列传》，该诗在咏史创作史乃至文学史上都有着极其重要的影响。

班固依据此传叙写的“缇萦救父”史实，创作传体《咏史》诗，将二百字的故事，缩写为八十字的五言诗，传承了《史记》“寓论断于序事”的叙事方式和“实录”的著史精神。

魏晋南北朝时期，《史记》的传播形式和流传途径更为广泛，更便于咏史诗人从《史记》中选取适合个人创作的题材。

左思《咏史》八首开创了“名为咏史，实为咏怀”的咏史变体即论体咏史，通过吟咏冯唐、主父偃、司马相如等人，将叙事、议论和抒情有机结合起来，抒发个人处于门阀森严时代而才华不能得到施展的痛苦和愤懑。

唐代诗人对《史记》的接受为咏史诗增加了新的审美情趣，唐初咏史创作仍沿袭班固的《咏史》体式，叙多于咏，事大于赞。

当盛世不再，咏史诗人试图在历史往事中寻找社会成败治乱的根由，其创作有着深刻的历史反思性和强烈的现实指向性。

因此，诗人多借对《史记》中人、事的评价，来表达其与前人不同的史识和史观，一时翻案成风。

唐代晚期，还出现了以七绝为主要创作形式的咏史诗人,他们一写就是百十首，如汪遵、罗隐等。

他们创作了许多短短的四句二十八字史论，并借此再现了一幅幅生动的《史记》画面，其论史的角度、观点都有新意。

宋代诗歌好议论说理，贯彻到以《史记》人物为原型的咏史诗创作中，就是翻案之风更甚于唐，且比唐人翻得更有深度。

王安石的《商鞅》《贾生》等诗，就以古鉴今，用古喻今，巧妙而有针对性地创作咏史诗为当时政治服务。

第8讲 抽象函数7种导函数构造【知识点梳理】类型一 导数和差，构造和差型函数：()[()]f x c f x cx ''+=+；()()[()()]f x g x f x g x '''+=+；()()[()()]f x g x f x g x '''-=-；和与积联系，构造乘积型函数； 差与商联系，构造分式型函数： ()()()()[()()]f x g x f x g x f x g x '''+=；2()()()()()[]()()f xg x f x g x f x g x g x ''-'=．类型二 幂函数及其抽象构造定理1 ()()0[()]0xf x f x xf x ''+>⇔>；()()()0[]0f x xf x f x x''->⇔> 证明：因为()()[()]xf x f x xf x ''+=；2()()()[]xf x f x f x x x'-'=，所以()()0xf x f x '+>，则函数()y xf x =单调递增；()()0xf x f x '->，则()f x y x=单调递增． 定理2 当0x >时，()()0[()]0n xf x nf x x f x ''+>⇔>；()()()0[]0n f x xf x nf x x''->⇔> 证明 因为1()()[()]nn nx f x nxf x x f x -''+=；12()()()[]n n n nx f x nx f x f x x x -'-'=，所以()()0xf x nf x '+>，则函数()n y x f x =单调递增；()()0xf x nf x '->，则()nf x y x =单调递减． 类型三 指数函数与抽象构造定理3 ()()0[()]0x f x f x e f x ''+>⇔>；()()0[()]0x f x f x e f x ''+<⇔<()()()0[]0x f x f x f x e ''->⇔>；()()()0[]0xf x f x f x e''-<⇔< 证明： 因为[]()()+()x xf x e e f x f x ''=⎡⎤⎣⎦，()()()[]xx f x f x ef x e '-'=，所以()()0f x f x '+>，则()x y f x e =单调递增；反之()x y f x e =单调递减；()()0f x f x '->，则()xf x y e =单调递增；反之()x f x y e=单调递减． 定理4 ()()[(())]0x f x f x a e f x a ''+>⇔->；(())()()[]0xf x a f x f x a e+''->⇔>． 证明： 因为[(())]()()x xe f x a f x f x a e '-'+-=；2(())()()[]x xf x a f x f x a e e +''--=，所以()()f x f x a '+>，则(())x y e f x a =-单调递增；()()f x f x a '+<，(())x y e f x a =-单调递减；若()()f x f x a '->，则()xf x a y e +=单调递增，若()()f x f x a '-<，则()xf x a y e +=单调递减．定理5 正弦同号，余弦反号定理()sin ()cos 0[()sin ]0f x x f x x f x x ''+>⇔>，当()22x ππ∈-，，()tan ()0[()sin ]0f x x f x f x x ''+>⇔>； ()()sin ()cos 0[]0sin f x f x x f x x x ''->⇔>， 当()22x ππ∈-，，()()tan ()0[]0sin f x f x x f x x''->⇔>；cos ()()sin 0[()cos ]0xf x f x x f x x ''->⇔>，当(,)22x ππ∈-，()()tan 0[()cos ]0f x f x x f x x ''->⇔>；()()cos ()sin 0[]0cos f x f x x f x x x ''+>⇔>， 当()22x ππ∈-，，()()()tan 0[]0cos f x f x f x x x''+>⇔>．遇正切时化切为弦，请自己证明相关结论．【典例例题】题型一：具体函数抽象化解不等式【例1】（2022·广东·南海中学高二阶段练习）已知()2cos ,R f x x x x =+∈，若()()1120f t f t ---≥成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．()2,0,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭D ．()20,,03⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】由奇偶性的定义得出函数()y f x =为偶函数，利用导数知函数()y f x =在区间[)0,∞+上为增函数，由偶函数的性质将不等式()()1120f t f t ---≥变形为()()112f t f t -≥-，利用单调性得出112t t -≥-，从而可解出实数t 的取值范围. 【详解】解：函数()y f x =的定义域为R ，关于原点对称，()()()2cos 2cos f x x x x x f x -=-+-=+=，∴函数()y f x =为偶函数，当0x ≥时，()2cos f x x x =+，()2sin 0f x x '=->， 则函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数， 由()()1120f t f t ---≥得()()112f t f t -≥-，由偶函数的性质得()()112f t f t -≥-，由于函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，则112t t -≥-，即()()22112t t -≥-，整理得2320t t -≤，解得203t ≤≤，因此，实数t 的取值范围是20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：B. 【题型专练】1．（2022·贵州遵义·高二期末（理））已知函数()ln e xxf x x =-，设()3log 2a f =，()0.2log 0.5b f =，()ln 4c f =，则a ，b ，c 的大小为（ ） A ．c a b >> B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c b a >>【答案】A 【解析】 【分析】利用函数解析式求导数，判断导数大于零恒成立，故确定函数单调性，比较自变量大小确定函数值a ，b ，c 的大小即可. 【详解】解：因为()ln ex x f x x =-，则,()0x ∈+∞，所以()2211e 11e e e ()4e 2x x x x x xf x x x x x x x +--+-'==-=- 又,()0x ∈+∞时，21111,()24e 4xx >--≥-，所以()0f x '>恒成立所以()ln e xxf x x =-在,()0x ∈+∞上单调递增； 又30log 21<<，0.215351log 0.5log log 2log 22==<，ln 41> 所以30.2ln 4log 2log 0.5>>，则c a b >>. 故选：A.2．（2022·上海·复旦附中高二期末）设()2sin f x x x =+，若()()20221120210f x f x ++-≥，则x 的取值范围是___________. 【答案】2x ≥- 【解析】 【分析】奇偶性定义判断()f x 奇偶性，利用导数研究()f x 的单调性，再应用奇偶、单调性求x 的范围. 【详解】由()2sin (2sin )()f x x x x x f x -=--=-+=-且R x ∈，易知：()f x 为奇函数，所以(20221)(20211)f x f x +≥-，又()2cos 0f x x =+>'，故()f x 在R x ∈上递增， 所以2022120211x x +≥-，可得2x ≥-. 故答案为：2x ≥-题型二：构造幂函数型解不等式【例1】（2022·黑龙江·哈师大附中高二期末）已知定义在（0，+∞）上的函数()f x 满足()()0xf x f x '-<，其中()f x '是函数()f x 的导函数，若()()()202220221f m m f ->-，则实数m 的取值范围为（ ） A ．（0，2022） B ．（2022，+∞）C ．（2023，+∞）D ．（2022，2023）【答案】D 【解析】 【分析】构造函数()g x ，使得()()2()0xf x f x g x x'-=<，然后根据函数()g x 的单调性解不等式即可. 【详解】 由题设()()2()()()0xf x f x f x g x g x x x '-'=⇒=<，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，又()()()()()2022120222022120221f m f f m m f m -->-⇒>-，即(2022)(1)202212023g m g m m ->⇒-<⇒<，又函数()f x 的定义域为()0,∞+，所以202202022m m ->⇒>，综上可得：20222023m <<.故选：D.【例2】（2022·四川雅安·高二期末（理））设奇函数()()0f x x ≠的导函数是()f x '，且()20f -=，当0x >时，()()20xf x f x '-<，则不等式()0f x <的解集为______．【答案】()()2,02,-+∞【解析】 【分析】 设()()2f xg x x =，利用导数求得()g x 在(0,)+∞为单调递减函数，进而得到函数()g x 为奇函数，且()g x 在(,0)-∞为单调递减函数，结合函数()g x 的单调性，即可求解. 【详解】 设()()2f x g x x =，可得()()()32xf x f x g x x'-'=，因为当0x >时，()()20xf x f x '-<，可得()0g x '<， 所以()g x 在(0,)+∞为单调递减函数，又因为函数()f x 为奇函数，且()20f -=，可得()20f =， 则满足()()()()22()f x f x g x g x x x --==-=--，所以函数()g x 也为奇函数， 所以()g x 在(,0)-∞为单调递减函数，且()()220g g -==，当0x >时，由()0f x <，即()0g x <，即()()2g x g <，可得2x >； 当0x <时，由()0f x <，即()0g x <，即()()2g x g <-，可得20x -<<； 所以不等式()0f x <的解集为()()2,02,-+∞.故答案为：()()2,02,-+∞.【例3】（2022·河南信阳·高二期中（理））已知定义域为R 的函数()f x 满足()()1f x xf x '+>（()f x '为函数()f x 的导函数），则不等式()()()2111x f x f x x +->-+的解集为（ ）A ．()0,∞+B ．(]0,1C ．(],1-∞D ．()[),01,-∞⋃+∞【答案】A 【解析】 【分析】构造函数()()g x xf x x =-，由题意可知()g x 在R 上单调递增，再对x 分情况讨论，利用函数()g x 的单调性即可求出不等式的解集. 【详解】由2(1)(1)(1)x f x f x x +->-+，（1）当1x <时，可得2(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x f x x f x x x -+->--+-， 即222(1)(1)(1)(1)x f x x f x x x -->--+-， 即222(1)(1)(1)(1)(1)(1)x f x x x f x x ---->----， 构造函数()(),()()()10g x xf x x g x f x xf x ''=-=+->， 所以函数()g x 单调递增，则211x x ->-，此时01x <<，即01x <<满足；（2）当1x >时，可得222(1)(1)(1)(1)(1)(1)x f x x x f x x ----<----， 由函数()g x 递增，则211x x -<-，此时0x <或1x >，即1x >满足； （3）当1x =时，2(0)(0)1f f >+，即(0)1f >满足()()1f x x f x '+⋅>. 综上，,()0x ∈+∞. 故选：A.【例4】已知定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数为()'f x ，当0x ≥时，恒有())03(xf f x x '+>．则不等式33()(12)(12)0x f x x f x -++<的解集为（ ）． A ．{|31}x x -<<- B ．1{|1}3x x -<<-C ．{|3x x <-或1}x >-D ．{|1x x <-或1}3x >-【答案】D 【解析】先通过())03(x f f x x '+>得到原函数()()33x f x g x =为增函数且为偶函数，再利用到y 轴距离求解不等式即可. 【详解】构造函数()()33x f x g x =，则()()()()()322'''33x x g x x f x f x x f x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭由题可知())03(x f f x x '+>，所以()()33x f x g x =在0x ≥时为增函数；由3x 为奇函数，()f x 为奇函数，所以()()33x f x g x =为偶函数；又33()(12)(12)0x f x x f x -++<，即33()(12)(12)x f x x f x <++ 即()()12g x g x <+又()g x 为开口向上的偶函数所以|||12|x x <+，解得1x <-或13x >-故选：D 【点睛】此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目. 【例5】函数()f x 是定义在区间()0,∞+上的可导函数，其导函数为()f x '，且满足()()20xf x f x '+>，则不等式(2020)(2020)3(3)32020x f x f x ++<+的解集为A ．{}|2017x x >-B ．{}|2017x x <-C ．{}|20200x x -<<D ．{}|20202017x x -<<-【答案】D【解析】设函数()()()2,0g x x f x x =>，根据导数的运算和题设条件，求得函数()g x 在()0,∞+上为增函数，把不等式转化为22(2020)(2020)3(3)x f x f ++<，即()()20203g x g +<，利用单调性，即可求解. 【详解】由题意，设函数()()()20g x x f x x =>，则()()()()()222()2g x x f x x f x x f x xf x ''''=⋅+⋅=+，因为()f x 是定义在区间()0,∞+上的可导函数，且满足()()20xf x f x '+>， 所以()0g x '>，所以函数()g x 在()0,∞+上为增函数， 又由(2020)(2020)3(3)32020x f x f x ++<+，即22(2020)(2020)3(3)x f x f ++<，即()()20203g x g +<，所以020203x <+<，解得20202017x -<<-， 即不等式的解集为{}|20202017x x -<<-. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了函数的导数与函数的单调性的关系及应用，其中解答中根据题设条件，构造新函数()()()20g x x f x x =>是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与计算能力.【题型专练】1．（2021·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高三阶段练习（理））定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，且当0x >时，()()20xf x f x '+<.则（ ） A ．()()2e 24ef f > B ．()()931f f >C ．()()2e 39ef f -<D ．()()2e 39ef f ->【答案】D 【解析】 【分析】由题构造函数()()2g x x f x =，利用导函数可得函数()()2g x x f x =在(0，+∞)上为减函数，且为偶函数，再利用函数的单调性即得. 【详解】设()()2g x x f x =，则()()()()()222g x xf x x f x x f x xf x ⎡⎤=+='+'⎣'⎦，又当0x >时，()()20xf x f x '+<，∴()()()()()2220g x xf x x f x x f x xf x '''=+=+<⎡⎤⎣⎦，则函数()()2g x x f x =在(0，+∞)上为减函数，∴()f x 是定义在R 上的偶函数， ∴()()()()()22g x x f x x f x g x -=--==， 即g (x )为偶函数， 所以()()e 2g g <，即()()2e 24e f f <，故A 错误；()()31g g <，即()()931f f <，故B 错误；()()e 3g g >，即()()2e 39ef f >因为()f x 为偶函数，所以()()33f f -=， 所以()()2e 39ef f ->，故C 错误，D 正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数()()2g x x f x =，结合条件可判断函数的单调性及奇偶性，即得.2．（2022·黑龙江·哈尔滨市阿城区第一中学校高二期末）已知()f x 是定义在()(),00,∞-+∞上的奇函数，当0x >时，()()0f x xf x '+>且()122f =，则不等式()1f x x>的解集是______． 【答案】()()2,02,-+∞【解析】 【分析】根据已知条件构造函数()()g x xf x =并得出函数()g x 为偶函数，利用导数与单调性的关系得出函数()g x 的单调性进而可以即可求解. 【详解】设()()g x xf x =，则()()()g x f x xf x ''=+ 因为()f x 是定义在()(),00,∞-+∞上的奇函数，所以()()()()g x xf x xf x g x -=--==， 所以()g x 是()(),00,∞-+∞上的偶函数，当0x >时，()()()0g x f x xf x ''=+>，所以()g x 在()0,+∞上单调递增， 所以()g x 在(),0-∞上单调递减．因为()122f =，所以()()1222212g f ==⨯=， 所以()()221g g -==． 对于不等式()1f x x>， 当0x >时，()1xf x >，即()()2g x g >，解得2x >； 当0x <时，()1xf x <，即()()2g x g <-，解得20x -<<， 所以不等式()1f x x>的解集是()()2,02,-+∞．故答案为：()()2,02,-+∞【点睛】解决此题的关键是构造函数，进而讨论新函数的单调性与奇偶性，根据函数的性质即可求解不等式的解集.3.设函数()f x 是定义在(,0)-∞上的可导函数，其导函数为()'f x ，且有()()22'f x xf x x +>则不等式()()()220192019420x f x f ++--<的解集为（ ）A ．()20192017--，B ．20211()209--， C ．()20192018--， D ．(2020,2019)--【答案】B 【解析】 【分析】令()()2F x x f x =，确定()F x 在(,0)-∞上是减函数，不等式等价为()()201920F x F +--<，根据单调性解得答案. 【详解】由()()()22',0f x xf x x x +><，得()()232'xf x x f x x +<， 即()23'0x f x x ⎡⎤⎣⎦<<，令()()2F x x f x =， 则当0x <时，得()F'0x <，即()F x 在(,0)-∞上是减函数，()()()2201920192019f F x x x +∴+=+，()()242F f -=-， 即不等式等价为()()201920F x F +--<，()F x 在(),0-∞是减函数，∴由()()20192F x F +<-得20192x +>-，即2021x >-，又20190x +<，解得2019x <-，故 20212019x -<<-. 故选:：B .【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式，构造函数()()2F x x f x =，确定其单调性是解题的关键.4.已知()f x 是定义在()(),00,-∞+∞上的奇函数，且0x >时，()()20f x f x x'+<，又()10f =，则()0f x >的解集为（ ）A ．()()1,00,1-⋃B ．()(),11,-∞-⋃+∞C ．()(),10,1-∞-D ．()()1,01,-⋃+∞【答案】C 【解析】 【分析】令2()()g x x f x =，则()[()2()]g x x xf x f x ''=+，由题设易知0x >上()2()0xf x f x '+<，且()g x 在()(),00,-∞+∞上是奇函数，即()g x 在0x >、0x <都单调递减，同时可知(1)(1)0=-=g g ，利用单调性求()0>g x 的解集，即为()0f x >的解集. 【详解】令2()()g x x f x =，则2()()2()[()2()]g x x f x xf x x xf x f x '''=+=+， 由0x >时，()()20f x f x x'+<知：()2()0xf x f x '+<， ∴在0x >上，()0g x '<，()g x 单调递减，又()(),00,-∞+∞上()f x 为奇函数，∴22()()()()()g x x f x x f x g x -=--=-=-，故()g x 也是奇函数， ∴()g x 在0x <上单调递减，又()10f =，即有(1)(1)0=-=g g ， ∴()0f x >的解集，即()0>g x 的解集为(,1)(0,1)-∞-. 故选：C5.设函数()f x '是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，()10f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x <成立的x 的取值范围是（ ） A ．()(),10,1-∞-⋃ B ．()()1,01,-⋃+∞ C ．()(),11,0-∞-- D ．()()0,11,+∞【答案】B 【解析】 【分析】 设()()f x F x x=，求其导数结合条件得出()F x 单调性，再结合()F x 的奇偶性，得出()F x 的函数值的符号情况，从而得出答案. 【详解】 设()()f x F x x =，则()()()2xf x f x F x x '-'=， ∵ 当0x >时，()()0xf x f x '-<，当0x >时，()0F x '<，即()F x 在()0,∞+上单调递减. 由于()f x 是奇函数，所以()()()()f x f x F x F x x x--===-,()F x 是偶函数，所以()F x 在(),0∞-上单调递增.又()()110f f =-=，所以当1x <-或1x >时，()()0=<f x F x x； 当10x -<<或01x <<时，()()0f x F x x=>. 所以当10x -<<或1x >时，()0f x <. 故选：B.题型三：构造指数函数型解不等式【例1】（2022·四川省资阳中学高二期末（理））已知定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()(),41f x f x f '>=，则不等式()224e xf x ->的解集为___________.【答案】()2,2- 【解析】 【分析】 令()()xf xg x =e，利用导数说明函数的单调性，则原不等式等价于()()24g x g >，再根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可； 【详解】 解：令()()x f x g x =e ，R x ∈，则()()()exf x f xg x '-'=，因为()()f x f x '>，即()()0f x f x '-<， 所以()0g x '<，即()g x 在R 上单调递减，又()41f =，所以()()4444e ef g -==，所以不等式()224ex f x->，即()242eex f x ->，即()()24g xg >，即24x <，解得22x -<<，所以原不等式的解集为()2,2-. 故答案为：()2,2-【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意的R x ∈，都有()()2f x f x >'+，且()12022f =，则不等式()12020e 2x f x --<的解集为（ ）A ．()0,∞+B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．(),1-∞【答案】C 【解析】 【分析】 设函数()()2e xf xg x -=，根据题意可判断()g x 在R 上单调递减，再求出()01202eg =，不等式()12020e 2x f x --<整理得()22020eexf x -<，所以()()1g x g <，利用()g x 单调性解抽象不等式即可. 【详解】 设函数()()2e xf xg x -=，所以()()()()()2e 2e2eex xxxf x f x f x f xg x '⎡⎤⨯--⨯'-+⎣⎦'==，因为()()2f x f x >'+，所以()()20f x f x '-+<，即()0g x '<，所以()g x 在R 上单调递减，因为()12022f =， 所以()()122020e1e f g -==，因为()12020e 2x f x --<，整理得()22020e ex f x -<， 所以()()1g x g <，因为()g x 在R 上单调递减，所以1x >. 故选：C. 【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()'f x ，满足()()f x f x '<且()3f x +为偶函数，(1)f x +为奇函数，若(9)(8)1f f +=，则不等式()exf x <的解集为（ ） A ．()3,-+∞ B ．()1,+∞C ．(0,)+∞D ．()6,+∞【答案】C 【解析】先证明出()f x 为周期为8的周期函数，把(9)(8)1f f +=转化为(0)1f =.记()()xf xg x =e ，利用导数判断出()g x 在R 上单调递减，把原不等式转化为()()0g x g <，即可求解. 【详解】因为()3f x +为偶函数，(1)f x +为奇函数， 所以()()33f x f x +=-+，(1)(1)0f x f x ++-+=.所以()()6f x f x =-+，()(2)0f x f x +-+=，所以(6)(2)0f x f x -++-+=. 令2t x =-+，则(4)()0f t f t ++=.令上式中t 取t -4，则()(4)0f t f t +-=，所以(4)(4)f t f t +=-. 令t 取t +4，则()(8)f t f t =+，所以()(8)f x f x =+. 所以()f x 为周期为8的周期函数.因为(1)f x +为奇函数，所以(1)(1)0f x f x ++-+=，令0x =，得：(1)(1)0f f +=，所以(1)0f =，所以(9)(8)1f f +=，即为(1)(0)1f f +=，所以(0)1f =.记()()x f x g x =e ，所以()()()e xf x f xg x '-'=. 因为()()f x f x '<，所以()0g x '<，所以()()xf xg x =e 在R 上单调递减. 不等式()xf x e <可化为()1exf x <，即为()()0g x g <. 所以0x >. 故选：C 【点睛】解不等式的常见类型：(1)一元二次不等式用因式分解法或图像法；(2)指对数型不等式化为同底的结构，利用单调性解不等式； (3)解抽象函数型不等式利用函数的单调性.【例4】（2022·山西省长治市第二中学校高二期末）已知可导函数f （x ）的导函数为()'f x ，f （0）=2022，若对任意的x ∈R ，都有()()f x f x '<，则不等式()2022e x f x <的解集为（ ）A ．()0,∞+B ．22022,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．22022,e ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(),0∞-【答案】D 【解析】根据题意，构造函数()()xf xg x =e ，求导可知()g x 在x ∈R 上单调递增，利用单调性求解即可. 【详解】 令()(),e xf xg x =对任意的x ∈R ，都有()()()()(),0e xf x f x f x f xg x -<∴=''>'，()g x ∴在x ∈R 上单调递增，又()()()()()02022,02022,2022e 0xf g f x g x g =∴=∴<⇔<，0,x ∴<∴不等式()2022e x f x <的解集(),0∞-，故选：D.【例5】（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知奇函数()f x 的定义域为R ，当0x >讨，()()20f x f x '+>，且()20f =，则不等式()0f x >的解集为___________.【答案】()(2,02,)-⋃+∞ 【解析】 【分析】构造函数2()e ()=x g x f x ,利用导函数判断出当x >0时, ()g x 单调递增，得到当x >2时()0g x >，从而()0f x >；当02x <<时，()0g x <，从而()0f x <.由()f x 为奇函数得到不等式()0f x >的解集.【详解】构造函数2()e ()=x g x f x ，则当0x >时，[]2()e 2()()0xg x f x f x ''=+>，所以当x >0时()g x 单调递增.因为f (2)=0，所以()()42e 20g f ==，所以当x >2时()0g x >，从而()0f x >.当02x <<时，()0g x <，从而()0f x <.又奇函数()f x 的图像关于原点中心对称，所以()0f x >的解集为()(2,02,)-⋃+∞. 故答案为: ()(2,02,)-⋃+∞.【题型专练】1.（2022·陕西榆林·三模（理））已知()f x 是定义在R 上的函数，()'f x 是()f x 的导函数，且()()1f x f x '+>，(1)2f =，则下列结论一定成立的是（ ）A ．12(2)f +<eeB ．1(2)f +<eeC ．12(2)f +>eeD ．1(2)f +>ee【答案】D 【解析】 【分析】构造()()e e x xg x f x =-利用导数研究其单调性，即可得()()21g g >，进而可得答案.【详解】令()()e e x xg x f x =-，则()()()e 10x g x f x f x ⎡⎤=+->⎣⎦''，则()g x 是增函数，故()()21g g >，即22e (2)e e (1)e e f f >--=，可得()1e2ef +>. 故选：D2.（2022·江西·萍乡市上栗中学高二阶段练习（理））定义在R 上的函数()f x 满足()()e 0x f x f x '-+<（e 为自然对数的底数），其中()'f x 为()f x 的导函数，若3(3)3e f =，则()e x f x x >的解集为（ ）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(3),-∞D ．(3,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】构造新函数，并利用函数单调性把抽象不等式()e x f x x >转化为整式不等式即可解决. 【详解】 设()()e x f x g x x =-，则3(3)(3)30ef g =-=，所以()e x f x x >等价于()0(3)g x g >=， 由()()e 0x f x f x '-+<，可得()()e 0x f x f x '->> 则()()()10exf x f xg x '-'=->， 所以()g x 在R 上单调递增，所以由()(3)g x g >，得3x >． 故选：D3.（2022·安徽省蚌埠第三中学高二开学考试）已知可导函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意的x ∈R ，都有()()1f x f x '-<，且()02021f =，则不等式()12022e xf x +>的解集为（ ） A ．(),0∞- B ．()0,∞+ C ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞【解析】 【分析】 构造函数()()1exf x F x +=，通过导函数研究其单调性，利用单调性解不等式. 【详解】构造函数()()1e x f x F x +=，则()()()()()2e 1e 1e e x x x xf x f x f x f x F x '⋅-+⋅⎡⎤'--⎣⎦'==，因为()()1f x f x '-<，所以()0F x '<恒成立，故()()1e xf x F x +=单调递减，()12022e xf x +>变形为()12022e x f x +>，又()02021f =，所以()()00102022e f F +==，所以()()0F x F >，解得：0x <，故答案为：(),0∞-. 故选：A4.若()f x 在R 上可导且()00f =，其导函数()f x '满足()()0f x f x '+<，则()0f x <的解集是_________________ 【答案】()0,∞+ 【解析】 【分析】由题意构造函数()()e xg x f x =，利用导数判断出()g x 单调递减，利用单调性解不等式.【详解】设()()e xg x f x =，则()()()()()()e e e x x x g x f x f x f x f x '''=+=+，因为()()0f x f x '+<，所以()0g x '<在R 上恒成立，所以()g x 单调递减， 又()00f =得()00g =，由()0f x <等价于()0g x <， 所以0x >，即()0f x <的解集是()0,∞+. 故答案为：()0,∞+5.若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>，()04f =，则不等式()31xf x e >+(e 为自然对数的底数)的解集为（ ） A ．(0,)+∞ B ．(,0)(3,)-∞⋃+∞ C ．(,0)(0,)-∞+∞ D ．(3,)+∞【答案】A 【解析】把不等式()31x f x e>+化为()3x x e f x e >+，构造函数令()()3x x F x e f x e =--，利用导数求得函数()F x 的单调性，结合单调性，即可求解. 【详解】由题意，不等式()31x f x e>+，即()3x x e f x e >+， 令()()3x x F x e f x e =--，可得()()()()()[1]x x x xF x e f x e f x e e f x f x '''=+-=+-，因为()()1f x f x '+>且0x e >，可知()0F x '>，所以()F x 在R 上单调递增，又因为()()()00003040F e f e f =--=-=，所以()0F x >的解集为(0,)+∞. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，以及导数的四则运算的逆用，其中解答中结合题意构造新函数，利用导数求得新函数的单调性是解答的关键，着重考查构造思想，以及推理与运算能力.题型四：构造对数函数型解不等式【例1】（2022·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习（文））定义在（0，+∞）的函数f（x ）满足()10xf x '-<，()10f =，则不等式()e 0xf x -<的解集为（ ）A ．（－∞，0）B ．（－∞，1）C ．（0，+∞）D ．（1，+∞）【答案】C 【解析】 【分析】根据题干条件构造函数()()ln F x f x x =-，0x >，得到其单调递减，从而求解不等式. 【详解】设()()ln F x f x x =-，0x > 则()()()110xf x F x f x x x-=-=''<'， 所以()()ln F x f x x =-在()0,∞+上单调递减， 因为()10f =，所以()()11ln10F f =-=， 且()()ee xxF f x =-，所以由()e 0xf x -<得：()()e 1x F F <结合单调性可得：e 1x >，解得：0x >， 故选：C【例2】已知函数()f x 的定义域为R ，图象关于原点对称，其导函数为()f x '，若当0x >时()()ln 0x x f x f x +⋅'<，则不等式()()44x f x f x ⋅>的解集为______．【答案】()(),10,1-∞-⋃ 【解析】 【分析】依据函数单调性和奇偶性把抽象不等式转化为整式不等式去求解即可. 【详解】当0x >时，()()()()()ln 0ln 0ln 0f x f x x x f x x f x x f x x'''+⋅<⇔+⋅<⇔⋅<⎡⎤⎣⎦， 故函数()()ln g x x f x =⋅在()0,∞+上单调递减，易知()10g =， 故当()0,1x ∈时，()0g x >，()0f x <， 当()1,x ∈+∞时，()0g x <，()0f x <；而()()()44440x xf x f x f x ⎡⎤⋅>⇔⋅->⎣⎦， 而()()44xh x f x ⎡⎤=⋅-⎣⎦为奇函数，则当0x >时，当()440xf x ⎡⎤⋅->⎣⎦的解为01x <<， 故当x ∈R 时，()440xf x ⎡⎤⋅->⎣⎦的解为1x <-或01x <<，故不等式()()44xf x f x ⋅>的解集为()(),10,1-∞-⋃．故答案为：()(),10,1-∞-⋃【例3】已知()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，()'f x 是()f x 的导函数，(1)0,f ≠且满足:()()ln 0,f x f x x x⋅+<'则不等式(1)()0x f x -⋅<的解集为（ ） A ．(1,)+∞ B ．(,1)(0,1)-∞-C ．(),1-∞D ．()(,01),-∞⋃+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据给定含导数的不等式构造函数()()ln g x f x x =，由此探求出()f x 在(0,)+∞上恒负，在(,0)-∞上恒正，再解给定不等式即可.【详解】令()()ln g x f x x =，0x >，则()()()ln 0f x g x f x x x''=+<，()g x 在(0,)+∞上单调递减，而(1)0g =，因此，由()0>g x 得01x <<，而ln 0x <，则()0f x <，由()0g x <得1x >，而ln 0x >，则()0f x <，又(1)0f <，于是得在(0,)+∞上，()0f x <，而()f x 是(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，则在(,0)-∞上，()0f x >，由(1)()0x f x -⋅<得：10()0x f x ->⎧⎨<⎩或10()0x f x -<⎧⎨>⎩，即10x x >⎧⎨>⎩或10x x <⎧⎨<⎩，解得0x <或1x >，所以不等式(1)()0x f x -⋅<的解集为(,0)(1,)-∞⋃+∞. 故选：D 【题型专练】1.（2022·陕西汉中·高二期末（文））定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()()110,2ln 2f x f x '+>=，则不等式()e 0x f x +>的解集为___________. 【答案】(ln2,)+∞ 【解析】 【分析】令()()ln (0)g x f x x x =+>，根据题意得到函数()g x 在(0,)+∞上为单调递增，把不等式()e 0xf x +>，可得()()e 2x g g >，结合函数()g x 的单调性，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 满足()()110,2ln 2f x f x '+>=， 令()()ln (0)g x f x x x =+>，可得()()10g x f x x''=+> 所以函数()g x 在(0,)+∞上为单调递增，且()()22ln 20g f =+=，又由不等式()e 0x f x +>，可得()()e 2xg g >，所以e 2x >，解得ln 2x >，即不等式()e 0xf x +>的解集为(ln2,)+∞.故答案为：(ln2,)+∞.2.（2022·河北·石家庄二中高二期末）已知定义域为R 的函数()f x 满足()()114f x f x ++-=，且当1x >时()0f x '≥，则不等式()()2ln 10f x x ⎡⎤-->⎣⎦的解集为（ ） A ．()2,+∞ B ．()1,+∞C ．()1,2D ．()22,e【答案】A 【解析】【分析】由条件得出()f x 关于()1,2成中心对称，进一步得出函数的单调性，然后再根据题意可得()()ln 102x f x ⎧->⎪⎨>⎪⎩，或()()ln 102x f x ⎧-<⎪⎨<⎪⎩，从而可得出答案. 【详解】由()()114f x f x ++-=得()f x 关于()1,2成中心对称． 令0x =，可得()12f =当1x >时()0f x '≥，则()f x 在[)1,∞+上单调递增.由()f x 关于()1,2成中心对称且()12f =，故()f x 在R 上单调递增 由()()2ln 10f x x ⎡⎤-->⎣⎦，则()()ln 102x f x ⎧->⎪⎨>⎪⎩，或()()ln 102x f x ⎧-<⎪⎨<⎪⎩解得21x x >⎧⎨>⎩，或121x x <<⎧⎨<⎩，故2x >故选：A3.（多选）已知函数()f x 的定义域是()0,∞+，其导函数是()f x ' ，且满足()()1ln 0x f x f x x'⋅+⋅>，则下列说法正确的是（ ）A ．10e f ⎛⎫> ⎪⎝⎭B ．10e f ⎛⎫< ⎪⎝⎭C ．()e 0f >D ．()e 0f <【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，构造()()ln g x f x x =⋅，由题意，得到()g x 单调递增，进而利用()g x 的单调性，得到1(1)()eg g >，再整理即可求解【详解】设()()ln g x f x x =⋅，可得()()1'()ln 0g x x f x f x x'=⋅+⋅>，()g x 单调递增，又因为(e)(e)ln e (e)g f f =⋅=，1111()()ln ()e e e e g f f =⋅=-，(1)(1)ln10g f =⋅=，且1e 1e>>，1(e)(1)()e g g g ∴>>，得(e)0f >，110()()e eg f >=-，整理得1()0e f >，AC 正确；故选：AC题型五：构造三角函数型解不等式【例1】已知偶函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其导函数为()'f x ，当02x π<<时，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<成立，则关于x的不等式()cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．,0,442πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】 由题意，设()()cos f x g x x =，利用导数求得()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，且为偶函数，再把不等式()cos 4f x x π⎛⎫< ⎪⎝⎭，转化为()()4g x g π<，结合单调性，即可求解.【详解】 由题意，设()()cos f x g x x =，则2()cos ()sin ()cos f x x f x xg x x'+'=， 当02x π<<时，因为()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则有()0g x '<，所以()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，又因为()f x 在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是偶函数，可得()()()()cos()cos f x f x g x g x x x --===-， 所以()g x 是偶函数，由()cos 4f x x π⎛⎫< ⎪⎝⎭，可得()()cos 4f x x π<，即()()4cos cos 4ππ<f f x x ，即()()4g x g π< 又由()g x 为偶函数，且在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，且定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则有||4x π>，解得24x ππ-<<-或42x ππ<<，即不等式的解集为,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B. 【点睛】本题主要考查了导数在函数中的综合应用，其中解答中构造新函数，求得函数的奇偶性和利用题设条件和导数求得新函数的单调性，结合函数的单调性求解是解答的关键，着重考查构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.【例2】已知函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其导函数是()'f x .有()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则关于x()2cos 6x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,63ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】 令()()cos f x F x x=，根据题设条件，求得()F'0x <，得到函数()()cos f x F x x=在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的单调递减函数，再把不等式化为()6cos cos 6f f x x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭<，结合单调性和定义域，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 满足()()'cos sin 0f x x f x x +<， 令()()cos f x F x x=，则()()()2'cos sin '0cos f x x f x xF x x+=< 函数()()cos f x F x x=是定义域,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的单调递减函数，由于cos 0x >，关于x()2cos 6x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭可化为()6cos cos 6f f x x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭<，即()6F x F π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以22x ππ-<<且6x π>，解得26x ππ>>，()2cos 6x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】方法点睛：构造法求解()f x 与()f x '共存问题的求解策略：对于不给出具体函数的解析式，只给出函数()f x 和()f x '满足的条件，需要根据题设条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题，常见类型：（1）()()()()f x g x f x g x ''±型；（2）()()xf x nf x '+型；（3）()()(f x f x λλ±为常数)型.【题型专练】1.已知可导函数()f x 是定义在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数．当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()tan 0f x f x x '+>，则不等式()πcos sin 02x f x x f x ⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．ππ,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．ππ,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】构造函数()sin xf x ，并依据函数()sin xf x 的单调性去求解不等式()πcos sin 02x f x x f x ⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭的解集.【详解】当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()tan 0f x f x x '+>，则()()cos sin 0xf x f x x '+>则函数()sin xf x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又可导函数()f x 是定义在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数则()sin xf x 是ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的偶函数，且在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，由πππ222ππ22x x ⎧-<+<⎪⎪⎨⎪-<-<⎪⎩，可得π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则ππ0,22x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，π0,2x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭则π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，不等式()πcos sin 02x f x x f x ⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭可化为()()ππsin sin 22x f x x f x ⎛⎫⎛⎫+⋅+>-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又由函数()sin xf x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且π0,2x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，ππ0,22x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则有ππ022x x >+>->，解之得π04x -<<故选：D2.已知函数()f x 是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数.当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()'()tan 0f x f x x +>，则不等式cos sin ()02x f x x f x π⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．,42ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】构造函数()()sin g x f x x =，则经变形后得[]'()()'()tan cos g x f x f x x x =+⋅，进而得到()g x 在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时单增，结合()f x 单调性证出()g x 是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的偶函数，再去“f ”，即可求解 【详解】令()()sin g x f x x =，[]'()()cos '()sin ()'()tan cos g x f x x f x x f x f x x x =+=+⋅， 当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()'()tan 0f x f x x +>，'()0g x ∴>，即函数()g x 单调递增．又(0)0g =，0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭∴时，()()sin 0g x f x x =>，()f x 是定义在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上的奇函数，()g x ∴是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的偶函数． 不等式cos sin ()02x f x x f x π⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭，即sin sin ()22x f x xf x ππ⎛⎫⎛⎫++> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()2g x g x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，||2x x π∴+>，4x π∴>-①，又222x πππ-<+<，故0x π-<<②，由①②得不等式的解集是,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：C 【点睛】本题考查利用构造函数法解不等式，导数研究函数的增减性的应用，一般形如()()()()0f a g a f b g b ±>的式子，先构造函数()()()h x f x g x =⋅，再设法证明()h x 的奇偶性与增减性，进而去“f ”解不等式 3.奇函数()f x 定义域为()(),00,ππ-，其导函数是()f x '，当0πx <<时，有。

5.5三角恒等变换（基础+提升+拔高）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．（2021·山西省长治市第二中学校高三月考（文））若角π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则cos θθ的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ．[0,2]C ．[1,2]-D ．[1,2]2．（2021·全国·高一课时练习）已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若()3sin 5αβ+=-，5cos 13β=-，则sin α的值为（ ）A ．1665B ．3365C ．5665D ．63653．（2021·浙江·宁波市北仑中学高一期中）已知11tan(),tan ,,(0,)27αββαβπ-==-∈，则2αβ-=（ ）A ．34π-B ．4π-C ．4π D ．54π4．（2021·福建宁德·高三期中）已知1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos(2)3πα-=（ ）A ．79-B ．79C ．29-D ．295．（2021·全国·高三月考（文））已知1sin 263θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．79-B ．79C． D6．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））中国古代数学家赵爽设计的弦图（如图1）是由四个全等的直角三角形拼成，四个全等的直角三角形也可拼成图2所示的菱形，已知弦图中，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则图2中菱形的一个锐角的余弦值为（ ）A ．725B ．35C ．45D ．24257．（2021·新疆喀什·模拟预测）已知角θ满足()sin cos sin cos θθθθ+=3tan 28θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．12BC．D ．1-8．（2021·福建·福清西山学校高三期中）若tan 2x =，则2sin 2sin cos 2sin sin2x x x xx --=（ ）A ．45B ．45-C ．85D ．85-9．（2021·广东顺德·一模）cos1875︒=（ ）A B C D 10．（2021·天津二十中高三月考）已知函数()sin2sin 213f x x x π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的有（ ）个①()()33ππ+=-f x f x ；①,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心； ①任取方程()1f x =的两个根1x ，2x ，则12x x -是π的整数倍； ①对于任意的123,,0,4x x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()()123f x f x f x +恒成立.A ．1B ．2C ．3D ．411．（2021·安徽·六安一中高三月考（理））在平面直角坐标系xOy 中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O 交于点00(,)P x y ，若π4cos()65α+=，则 0x =（ ）A B C D 12．（2019·西藏·拉萨中学高二月考（文））在ABC 中，已知cos cos b A a B =，判断ABC 的形状（ ） A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形13．（2021·浙江·宁波市北仑中学高一期中）当0x x =时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则0tan x =（ ） A ．12B ．2C ．12-D ．2-14．（2021·安徽·六安一中高三月考（文））已知函数2()sin 22cos 1f x x x =+-，下列四个结论正确的是（ ） A ．函数()f x 在区间3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数 B ．点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心C ．函数()f x 的图象可以由函数2y x =的图象向左平移4π个单位长度得到D ．若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的值域为15．（2021·广西桂林·模拟预测（理））在同一平面直角坐标系中，画出三个函数()sin 2cos 2f x x x =+，5()sin 2g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π，()co 7s h x x ⎛⎫=- ⎝π⎪⎭的部分图象如图所示，则（ ）A ．a 为()f x 的图象，b 为()g x 的图象，c 为()h x 的图象B ．a 为()h x 的图象，b 为()f x 的图象，c 为()g x 的图象C ．a 为()g x 的图象，b 为()f x 的图象，c 为()h x 的图象D ．a 为()h x 的图象，b 为()g x 的图象，c 为()f x 的图象16．（2021·云南大理·模拟预测（理））已知,,0,,sin sin sin ,cos cos cos 2παβγαγββγα⎛⎫∈+=+= ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．1cos()3βα-=-B ．1cos()3βα-=C ．3πβα-=-D ．3πβα-=17．（2021·全国·高三月考）已知函数()()2sin ),2(f x x o πωϕωϕ=+>≤图象相邻两条对称轴间的距离为π，且对任意实数x ，都有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．将函数()y f x =图象向左平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则关于函数()()y f x g x =+描述不正确的是（ ）A ．最小正周期是2πBC ．函数在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．图象关于直线4x π=对称18．（2021·全国·高三月考（理））已知(0,)απ∈，且2cos2cos 1αα+=，则tan α=（ ）A B ．53C D 19．（2021·陕西·西安中学高三期中（理））已知31sin()23πα+=，则cos2α=（ ） A ．79-B ．79C ．13-D ．1320．（2021·河南·高三月考（文））将函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则函数()cos2y g x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A B ．2-C ．D ．32-21．（2021·上海市延安中学高一期中）当函数3cos 4sin y x x =-取得最大值时，tan x 的值是（ ）A ．43B ．34C ．43-D ．34-22．（2021·贵州遵义·高三月考（文））已知函数()()cos 33f x a x x a ππ⎛⎫⎛⎫=-+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 是偶函数.若将曲线()2y f x =向左平移12π个单位长度后，再向上平移1个单位长度得到曲线()y g x =，若关于x 的方程()g x m =在70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个不相等实根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[)0,3C ．[)2,3D ．)1,323．（2021·全国·高一单元测试）已知ABC ，则“sin cos A B >”是“tan tan 1A B >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件24．（2021·安徽淮南·一模（理））在平面直角坐标系xOy 中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O 交于点P (x 0，y 0)，若cos(6πα+)=45，则x 0=（ ）A B C D 25．（2021·全国·高一单元测试）在ABC 中，已知()2sin sin sin sin A B C C θλ-=，其中1tan 3θ=（其中π02θ<<），若112tan tan tan A B C++为定值，则实数λ的值是（ ）A B C D26．（2020·黑龙江齐齐哈尔·高一期中）设锐角ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若,3A a π==，则2b 2c bc ++的取值范围为（ ）A ．(1，9]B ．(3，9]C ．(5，9]D ．(7，9]27．（2021·江西·浮梁县第一中学高一期中）已知把函数()πsin cos 3f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π3个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若()()1214g x g x ⋅=，若1x ，[]2π,πx ∈-，则12x x -的最大值为（ ） A ．πB ．3π4C ．3π2D ．2π28．（2021·上海·高一课时练习）若24sin 3k x x k -=+，则k 的取值范围是（ ） A ．13,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．()3,-+∞D ．()1,33,2⎛⎤-∞--- ⎥⎝⎦29．（2020·浙江·台州市新桥中学高三月考）已知,x y R +∈，满足21x y +=，则x 的最小值为（ ）A ．45B ．25C ．1 D30．（2022·上海·高三专题练习）在ABC 中，若sin A =cos B C 的取值范围是（ ） A ．(0,1] B ．(0,1](2,5] C ．3(0,1](2,5]2D ．以上答案都不对二、多选题31．（2021·广东·湛江二十一中高三月考）已知sin 3cos 3cos sin αααα+=-5，下列计算结果正确的是（ ）A ．1tan 2α=B ．tan α=2C ．213cos sin225αα+=D ．26sin cos25αα-=32．（2021·湖北·高三期中）已知函数()22sin f x x =，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 是奇函数C ．()f x 的单调递增区间为,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，k ∈ZD ．()f x 的图象关于点,14π⎛⎫⎪⎝⎭对称33．（2021·山东省实验中学高三月考）下列式子正确的是（ ）A ．sin15cos15+︒︒=B ．cos 75︒=C ．2tan 151︒+︒=D ．tan12tan33tan12tan331︒+︒+︒︒=34．（2021·浙江·宁波市北仑中学高一期中）在①ABC 中，3sin 4cos 6,3cos 4sin 1A B A B +=+=，则C 的大小不可能为（ ） A ．6πB ．3π C ．23πD ．56π35．（2021·福建宁德·高三期中）已知函数()2sin 2x x f x =+ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．曲线()f x 关于,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．曲线()f x 关于6x π=对称36．（2021·湖南· ）A B ．22cos sin 1212ππ-C ．cos15 sin 45 sin15cos45︒︒-︒︒D ．2tan151tan 15︒-︒37．（2021·江苏扬州·高三月考）已知函数()|||cos |f x x x =+，下列说法正确的有（ ）A ．函数()f x 在27[,]36ππ上单调递减B ．函数()f x 是最小正周期为2π的周期函数C ．若12m <<，则方程()=f x m 在区间[0,]π内，最多有4个不同的根D ．函数()f x 在区间[10,10]-内，共有6个零点38．（2021·浙江·高二开学考试）设ABC 中角A ，B ，C 所对应的边长度分别为a ，b ，c ，满足sin 2:sin 2:sin 24:5:6A B C =，则以下说法中正确的有（ ）A ．ABC 为钝角三角形B ．若a 确定，则ABC 的面积确定 C ．3cos 24A =-D ．sin :sin :sin 5:A B C =39．（2021·江苏南京·三模）已知函数()3sin 24cos 2f x x x =+，()()|()|g x f x f x =+.若存在0x R ∈，使得对任意x ∈R ，()0()f x f x ≥，则（ ）A ．任意()()00,x R f x x f x x ∈+=-B ．任意0,()2x R f x f x π⎛⎫∈≤+ ⎪⎝⎭C ．存在0θ>，使得()g x 在()00,x x θ+上有且仅有2个零点D ．存在512πθ>-，使得()g x 在005,12x x πθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递减 40．（2021·广东实验中学高一期末）已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中, a b R ∈，且的0ab ≠，若()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，则（ ） A ．56f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．5()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．4f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭是奇函数D ．4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数三、填空题41．（2021·全国·高一课时练习）若sin 2θθ=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则θ=________．42．（2021·全国·高一课时练习）化简：44sin cos cos 2ααα-=________．43．（2021·全国·高一课时练习）sin 21cos39cos21sin39︒︒+︒︒=________． 44．（2020·北京八中高三期中）若角α的终边过点()2,1，则cos2α的值为______．45．（2020·陕西·泾阳县教育局教学研究室高三期中（理））若1tan 2θ=，则2cos sin 2θθ+=___________.46．（2021·贵州·凯里一中高二期中（理））2()2sin cos 2cos 1(0)f x x x x ωωωω=+->有五条顺次相邻的对称轴，首尾两条对称之间的距离是π，则()f x 的最小正周期是_______．47．（2021·河南·高二月考（文））已知函数()sin 2cos f x x x =+在x θ=时取得最大值，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.48．（2021·广西·罗城仫佬族自治县高级中学高二开学考试）若tan 2α=，则2cos 2sin 22αα+-=______． 49．（2021·北京·东直门中学高三期中）若sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭35=，则sin 2α = _____________．50．（2021·广东·湛江二十一中高三月考）若33sin π3sin π44x x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2sin 2sin cos 2sin cos2x x x xx ++=__________． 51．（2021·安徽·六安一中高三月考（理））已知1sin 3α=，1cos()65πβ+=，5,(0,)4παβ∈，则cos()3παβ-+=________. 52．（2021·全国·高一课时练习）已知3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若4cos 5α=，则cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．53．（2021·宁夏·吴忠中学高三月考（理））当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式sin (cos )2m x x x m <+恒成立，则实数m 的取值范围为____．54．（2021·北京市第十三中学高三期中）若点(cos ,sin )A θθ关于x 轴对称点为(cos(),sin())33B ππθθ++，则θ的一个取值为_____.55．（2021·河南·高二期中（理））已知函数()sin 2cos f x x x =-在x θ=时取得最大值，则tan 24πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.56．（2021·天津二中高三期中）已知()()()sin 2πωx φωx φf x φ⎛⎫=++< ⎪⎝⎭是奇函数，则ϕ=_______．57．（2021·黑龙江·高三期中（理））已知函数2()2sin 24f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．若关于x 的方程()2f x m -=在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，则实数m 的取值范围是________． 58．（2021·全国·高一课时练习）已知4cos 5θ=-，且tan 0θ>，则3cos tan 1sin θθθ-的值为______．59．（2021·广东顺德·高三月考）在①ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b ＝a cos C 12+c ，则角A 为_____．60．（2021·四川绵阳·高三月考（文））已知,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 13β=，若()3sin 2sin αβα+=，则()tan αβ+=______．61．（2021·云南大理·模拟预测（理））已知函数()sin ||cos |f x x x =-，则下列说法正确的有________．（将所有正确的序号填在答题卡横线上） ①π是函数()f x 的一个周期；①()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称；①()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减①()f x 的值域为[1,2]-．62．（2021·浙江省桐庐中学高一月考）()f x =________．63．（2020·上海市奉贤中学高三月考）在①ABC 中，已知2sin sin sin()sin A B C C θλ-=，其中1tan 022πθθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭.若112tan tan tan A B C++为定值，则实数λ=_________. 64．（2021·广西南宁·模拟预测（理））已知函数()sin 2sin 3f x a x x b πωω⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭的图象的相邻两个对称轴之间的距离为2π，且x R ∀∈恒有()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，若存在()()()123123,,0,,2x x x f x f x f x π⎡⎤∈+≤⎢⎥⎣⎦成立，则b 的取值范围为________．65．（2021·福建·高三月考）已知()f x 不是常数函数，写出一个同时具有下列四个性质的函数()f x ：___________.①定义域为R ；①()2f x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；①()21(2)2f x x f +=；①14f π⎛⎫≠- ⎪⎝⎭. 66．（2021·全国·高二单元测试）一直线过点()2,3A 且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于B 、C 两点，O 为坐标原点．则OB OC BC +-的最大值为__．67．（2021·上海市延安中学高一期中）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β的终边关于y 轴对称，若1sin 3α=，则cos()αβ-=_________68．（2021·江苏铜山·高一期中）已知函数22()2cos cos 2sin f x x x x x =+-，则函数()f x 的一条对称轴的方程为______.69．（2021·全国·高一单元测试）111sin 45sin 46sin 46sin 47sin89sin90++⋯+=︒︒︒︒︒︒___________.70．（2021·上海市实验学校高一期中）若[],x ππ∈-，则函数()f x =的值域为__________.四、解答题71．（2021·全国·高一课时练习）（1）求()()1tan11tan 44+︒+︒的值；（2）求()()()()()1tan11tan 21tan31tan 441tan 45+︒+︒+︒+︒+︒的值．72．（2021·全国·高一课时练习）设m为实数，已知sin 1m αα=-，求m 的取值范围． 73．（2021·全国·高一课时练习）已知函数22sin 2sin cos 3cos y x x x x =+-，x ∈R ． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的最大值．74．（2021·全国·高一课时练习）求函数cos 22cos 1y x x =-+的值域． 75．（2021·全国·高一课时练习）求下列各函数的周期和值域： （1）sin cos y x x =； （2）sin y x x +．76．（2021·全国·高一课时练习）求值：sin15cos5sin 20cos15cos5cos 20︒︒-︒︒︒-︒．77．（2021·全国·高一课时练习）如图，在等腰直角三角形ABC 中，90B ∠=︒，点E ，F 将BC 三等分，求EAF ∠，FAC ∠的正切值．78．（2021·全国·高一课时练习）已知α是第一象限角，且5cos 13α=，求()πsin 4cos 24παα⎛⎫+ ⎪⎝⎭+的值． 79．（2021·全国·高一课时练习）证明：（1）()()22sin sin sin sin αβαβαβ+-=-；（2）2222π4π3cos cos cos 332x x x ⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 80．（2021·全国·高一课时练习）已知3cos 5θ=-，且180270θ︒<<︒，求sin 2θ，cos 2θ的值．81．（2021·全国·高一课时练习）由倍角公式2cos 22cos 1x x =-，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．对于cos3x ，我们有()cos3cos 2cos2cos sin 2sin =+=-x x x x x x x()()22cos 1cos 2sin cos sin x x x x x =--()322cos cos 21cos cos x x x x =--- 34cos 3cos x x =-．可见cos3x 可以表示为cos x 的三次多项式．一般地，存在一个n 次多项式()n P t ，使得()cos cos n nx P x =，这些多项式()4P t 称为切比雪夫（P ．L ．Tschebyscheff ）多项式．请尝试求出()n P t ，即用一个cos x 的四次多项式来表示cos4x ．利用结论3cos34cos 3cos x x x =-，求出sin18︒的值．（提示：31890218⨯=︒-⨯︒︒）82．（2021·全国·高一课时练习）在ABC 中，已知tan tan tan tan 1A B A B ++=，求角C 的大小． 83．（2021·全国·高一课时练习）已知()2cos 23cos 0αββ++=，求()tan tan αβα+的值． 84．（2021·全国·高一课时练习）化简： （1）ππsin sin 44x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()()cos cos 120cos 120A A A +-+︒+︒； （3）sin 2cos 1cos 21cos αααα⋅++．85．（2021·全国·高一课时练习）已知sin α=α是第二象限角，且()tan 1αβ+=，求tan β的值． 86．（2021·全国·高一课时练习）证明：（1）()()()()cos cos cos cos sin sin sin sin αβγαβγαβγαβγ+-+=+-+； （2）1sin 21tan 1cos 2sin 22θθθθ++=++．87．（2021·安徽·六安一中高三月考（理））已知函数2()sin(2)4sin 2(0)6f x x x ωπωω=++->，其图象与x 轴相邻两个交点的距离为2π. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若将()f x 的图象向右平移(0)m m >个长度单位得到函数()g x 的图象恰好经过点5(,0)24π，求当m 取得最小值时，()g x 的单调区间和对称轴方程.88．（2021·全国·高一课时练习）证明：()()()()()()sin sin sin sin sin sin 0αβαββγβγγαγα+-++-++-=． 89．（2021·全国·高一课时练习）把1sin cos θθ++化成积的形式． 90．（2021·全国·高一课时练习）试用不同的方法求tan15的值．91．（2021·河南·高三月考（文））如图，在矩形ABCD 中，2,AB AD ==点E 为AB 的中点，,F G 分别为线段,AD BC 上的点，且,EF EG AEF θ⊥∠=．（1）若EFG 的周长为f，求f 的解析式及θ的取值范围；（2）求f 的最值． 92．（2021·湖北·高二月考）已知函数()53sin 22sin cos 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (1)解不等式()12f x ≥-； (2)若,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且()()4cos 43F x f x x πλ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭的最小值是32-，求实数λ的值.93．（2021·云南·高二月考）已知函数()23sin cos 2f x x x x =+. （1）求()f x 的单调递减区间；（2）0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，cos 03a x f x π⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，求a 的取值范围. 94．（2021·上海·高一专题练习）对于集合{}12,,,n A θθθ=⋅⋅⋅和常数0θ，定义：()()()22210200cos cos cos n n θθθθθθμ-+-++-=为集合A 相对0θ的“余弦方差”． （1）若集合ππ,34A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，00θ=，求集合A 相对0θ的“余弦方差”； （2）求证：集合π2π,,π33A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭相对任何常数0θ的“余弦方差”是一个与0θ无关的定值，并求此定值； （3）若集合π,,4A αβ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，[)0,πα∈，[)π,2πβ∈，相对任何常数0θ的“余弦方差”是一个与0θ无关的定值，求出α、β．95．（2021·江西·九江一中高一月考）已知函数()2sin cos f x x x x = （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()()()212h x f x g x =+在7,612x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域. 96．（2021·全国·高三专题练习）设πA B C ++=，求证：222sin sin 2sin sin cos sin B C B C A A +-=．97．（2021·全国·高三专题练习）已知0απ<<，0βπ<<，且()3cos cos cos 2αβαβ+-+=，求α、β的值.98．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三月考（理））定义在(1,1)-上的函数)()22()log log 1aa f x a x =+--，若方程()0f x =恰有两个不等实根1x ，2x ，且12x x <，设2122()2g a x x x =--. （1）求函数()g a 的定义域；（2）证明：函数()g a 在定义域内为增函数.99．（2021·黑龙江齐齐哈尔·高一期末）依据《齐齐哈尔市城市总体规划（2011﹣2020）》，拟将我市建设成生态园林城、装备工业基地、绿色食品之都、历史文化名城．计划将图中四边形区域CDEF 建成生态园林城，CD ，DE ，EF ，FC 为主要道路（不考虑宽度）．已知90FCD ∠=︒，120CDE ∠=︒，333FE ED CD ===km ．（1）求道路CF 的长度；（2）如图所示，要建立一个观测站A ，并使得60FAC ∠=︒，AB DC ⊥，求AB 两地的最大距离．100．（2021·全国·高一课时练习）如图，某人身高1.73m ，他站的地点A 和云南大理文笔塔塔底O 在同水平线上，他直立时，测得塔顶M 的仰角22.8MCE ∠=︒（点E 在线段MO 上，忽略眼睛到头顶之间的距离，下同）.他沿线段AO 向塔前进100m 到达点B ，在点B 直立时，测得塔顶M 的仰角48.3MDE ∠=︒：塔尖MN 的视角 3.3MDN ∠=︒（N 是塔尖底，在线段MO 上）.（1）求塔高MO ；（2）此人在线段AO 上离点O 多远时，他直立看塔尖MN 的视角最大？说明理由.参考数据：sin 22.8sin 48.30.674sin 25.5︒︒=︒，tan 22.80.42125︒=，263.5967.460=⨯.。

专题一 压轴选择题第三关 以棱柱、棱锥与球的组合体为背景的选择题【名师综述】球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点．要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，以及与球有关的最值问题,更应特别加以关注的．试题一般以小题的形式出现,有一定难度．解决问题的关键是画出正确的截面，把空间“切接”问题转化为平面“问题”处理．类型一 四面体的外接球问题典例1．已知三棱锥P ABC -的顶点P 在底面的射影O 为ABC 的垂心，若ABC 的面积为,ABC S OBC 的面积为,OBC S PBC 的面积为PBC S ，满足2ABC OBC PBC S S S ⋅=△△△，当,,PAB PBC PAC 的面积之和的最大值为8时，则三棱锥P ABC -外接球的体积为（ ）A ．43πB ．83πC ．163πD ．323π 【来源】山西省晋中市2022届高三上学期1月适应性调研数学（理）试题【举一反三】在四边形ABCD 中（如图1所示），AB AD =，45ABD ∠=，2BC BD CD ===，将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A BCD '（如图2所示），使得90A BC ∠='，E ，F ，G 分别为棱BC ，A D '，A B '的中点，连接EF ，CG ，则下列结论错误的是（ ）．A ．A C BD '⊥B ．直线EF 与CG 45C ．C ，E ，F ，G 四点不共面D ．四面体A BCD '外接球的表面积为8π【来源】陕西省2022届高三上学期元月联考理科数学试题类型二 三棱柱的外接球问题典例2．已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的底边长为a ，高为h ，球的体积为86π，则这个正四棱柱的侧面积的最大值为（ ） A ．482 B ．242 C ．962 D ．122【来源】内蒙古包头市2020-2021学年高三上学期期末考试数学（文）试题【举一反三】在平面内，已知动点P 与两定点A ，B 的距离之比为()0,1λλλ>≠，那么点P 的轨迹是圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.在空间中，也可得到类似结论.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，2AB BC ==，12BB π=，90ABC ∠=︒，点M 为AB 的中点，点P 在三棱柱内部或表面上运动，且2PA PM =，动点P 形成的曲面将三棱柱分成两个部分，体积分别为1V ，()212V V V <，则12V V =（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【来源】贵州省贵阳市2021届高三适应性考试数学（理）试题（一）类型三 四棱锥的外接球问题典例3．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，PB ⊥底面ABCD .若1PB AB CD AD ====， 2BC =，则这个四棱锥的外接球表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π【来源】四川省成都市第七中学2021-2022学年高三下学期入学考试文科数学试题【举一反三】已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧面PAD 是正三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，2AB =，若四棱锥P ABCD -82π，则该四棱锥的表面积为（ ） A ．3B ．63C ．83D ．103【来源】山西省吕梁市2021届高三上学期第一次模拟数学（理）试题类型四 几何体的内切球问题典例4．已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为54，6AB =，记三棱柱111ABC A B C -的外接球和内切球分别为球1O ，球2O ，则球1O 上的点到球2O 上的点的距离的最大值为（ ）A ．3B 153C 153D 153【来源】江西省乐平市第一中学2021届高三上学期联考理科数学试题【举一反三】由棱长都为1的4个正四面体和1个正八面体，组合成一个正四面体，再将此正四面体削切、打磨成最大的球，则该球体积为（ ）A 6B 6C ．354D 646 【来源】湖南省长沙市雅礼中学2020届高三下学期5月质量检测文科数学试题【精选名校模拟】1．已知三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，6AB =，8AC =，D 是线段AB 上一点，且2AD DB =.过点D 作球O 的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为25π，则球O 的表面积为（ ）A ．128πB ．132πC ．144πD ．156π【来源】湖北省武汉市武昌区2020-2021学年高三上学期1月质量检测数学试题2．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -，其底面ABCD 是平行四边形，外接球体积为36π，若1AC BD ⊥，则其外接球被平面11AB D 截得图形面积的最小值为（ ）A ．8πB ．24310πC ．8110πD ．6π【来源】安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检查理科数学试题3．已知三棱锥P ABC -的底面是正三角形，PA a =，点A 在侧面PBC 内的射影H 是PBC 的垂心，当三棱锥P ABC -体积最大值时，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．343aB ．23a πC ．332a πD ．212a【来源】安徽省黄山市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测理科数学试题4．在三棱锥P ABC -中，22AB AC ==，120BAC ∠=，26PB PC ==，25PA =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．40πB ．20πC ．80πD ．60π【来源】江西省名校2021届高三上学期第二次联考数学（理）试题5．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，23AB =，D 是侧面11BCC B 的中心，球O 与该三棱柱的所有面均相切，则直线AD 被球O 截得的弦长为（ ）A ．1010B ．105C ．31010D ．31056．如图，在三棱锥P ABC -，PAC △是以AC 为斜边的等腰直角三角形，且22CB =，6AB AC ==，二面角P AC B --的大小为120︒，则三棱锥P ABC -的外接球表面积为（ ）A 510B ．10πC ．9πD ．(423π+7．已知三棱锥P ABC -的顶点P 在底面的射影O 为ABC 的垂心，若2ABC OB PBC C S S S ⋅=，且三棱锥P ABC -的外接球半径为3，则PAB PBC PAC S S S ++△△△的最大值为（ ）A ．8B ．10C ．18D ．22【来源】吉林省梅河口市第五中学2020-2021学年高三上学期第三次月考数学（理）试题8．已知三棱锥P ABC -的各顶点都在同一球面上，且PA ⊥平面ABC ，若该棱锥的体积为233，2AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，则此球的表面积等于（ ）A ．5πB ．8πC ．16πD ．20π【来源】河南省河南大学附属中学2021-2022学年高三上学期11月月考数学文科试题9．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱111ABC A B C -为一个“堑堵”，底面ABC 是以AB 为斜边的直角三角形且5AB =，3AC =，点P 在棱1BB 上，且1PC PC ⊥，当1APC 的面积取最小值时，三棱锥P ABC -的外接球表面积为（ ）A ．45π2B 455πC ．30πD ．45π【来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（文）期末试题10．在菱形ABCD 中，3A π=，3AB =△ABD 沿BD 折起到△PBD 的位置，二面角P BD C--的大小为23π，则三棱锥P BCD -的外接球的表面积为（ ） A ．23πB ．27πC ．72πD ．112π 【来源】山西省长治市第二中学校2021届高三上学期9月质量调研数学（文）试题多选题11．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（biēnào ）.如图，三棱锥D ABC -为一个鳖臑，其中DA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2DA AB BC ===，AM DC ⊥，M 为垂足，则（ ）A ．AM ⊥平面BCDB ．DC 为三棱锥D ABC -的外接球的直径C ．三棱锥M ABD -的外接球体积为43πD ．三棱锥M ABC -的外接球体积与三棱锥M ABD -的外接球体积相等【来源】河北省张家口市2022届高三上学期期末数学试题12．已知边长为a 的菱形ABCD 中，3ADC π∠=，将ADC 沿AC 翻折，下列说法正确的是（ ）A ．在翻折的过程中，直线AD ，BC 始终不可能垂直B ．在翻折的过程中，三棱锥D ABC -体积最大值为38a C ．在翻折过程中，三棱锥D ABC -表面积最大时，其内切球表面积为2(1483)a π-D ．在翻折的过程中，点D 在面ABC 上的投影为D ，E 为棱CD 上的一个动点，ED '3 【来源】江苏省南京市第二十九中学2021-2022学年高三上学期12月月考数学试题。