江苏省海安高级中学2020届高三3月线上考试数学试题(含答案)

数学（理科）附加题说明：1．以下题目的答案请直接填写在答卷上． 2．本卷总分40分，考试时间30分钟．21．A ．连结AC ．…………………………………………………1分因为EA 切圆O 于A ， 所以∠EAB ＝∠ACB ． …………3分因为弧AB 与弧AD 长度相等，所以∠ACD ＝∠ACB于是∠EAB ＝∠ACD ． 分又四边形ABCD内接于圆O ，所以∠ABE ＝∠D 所以ABE ∆∽CDA ∆．于是ABBECD DA =，即AB DA BE CD ⋅=⋅．………………9分 所以2AB BE CD =⋅．…………………………………10分21.B 解：由=A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2312，det()=22-31=10⨯⨯≠A ，所以A 可逆，从而=-1A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2312.………………………………………5分 由BAX =得到⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==-217423121B A X .⎩⎨⎧==,2,1y x ……………………10分（第21-A 题）（也可由B AX =得到⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡742312y x ，即⎩⎨⎧=+=+,723,42y x y x 解得⎩⎨⎧==,2,1y x 也得5分）C ．解：将直线l 化为普通方程为：x －y －6＝0．则P (4cos θ，3sin θ) 到直线l 的距离d ＝|4cos θ－3sin θ－6|2＝|5cos(θ＋φ)－6|2，其中tan φ＝34．所以当cos(θ＋φ)＝1时，d min ＝22，即点P 到直线l 的距离的最小值为22．…10分．D ．因为x ，y ，z 无为正数．所以12()x y x y yz zx z y x z+=+≥， …………………………4分同理可得22y z z x zx xy x xy yz y++≥，≥， (7)分当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111x y z yz zx xy x y z++++≥． ……10分22.解：（1）以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CC 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (4,0,0)，A 1(4,0,22)，B 1(0,4，22).(1)因为A 1M ＝3MB 1，所以M (1,3,22). 所以CA 1→＝(4,0,22)，AM →＝(－3,3,22).所以cos 〈CA 1→，AM →〉＝CA 1→·AM →|CA 1→||AM →|＝－424·26＝－3939.所以异面直线AM 和A 1C 所成角的余弦值为3939.-------------------------4分 (2)由A (4,0,0)，B (0,4,0)，C 1(0,0,22)，知AB →＝(－4,4,0)，AC 1→＝(－4,0,22).设平面ABC 1的法向量为n ＝(a ，b ，c )，由⎩⎨⎧n ·AB→＝0，n ·AC 1→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4a ＋4b ＝0，－4a ＋22c ＝0，令a ＝1，则b ＝1，c ＝2，所以平面ABC 1的一个法向量为n ＝(1,1，2).因为点M 在线段A 1B 1上，所以可设M (x,4－x,22)，所以AM →＝(x －4,4－x,22).因为直线AM 与平面ABC 1所成角为30°，所以|cos 〈n ，AM→〉|＝sin 30°＝12.由|n ·AM →|＝|n ||AM →||cos 〈n ，AM →〉|，得|1·(x －4)＋1·(4－x )＋2·22| ＝2·x －42＋4－x2＋8·12， 解得x ＝2或x ＝6.因为点M 在线段A 1B 1上，所以x ＝2，即点M (2,2,22)是线段A 1B 1的中点. ------------------------10分23．（1）.解：设)4,(),4,(222211x x B x x A Θ焦点F （0,1）∴)14,(),41,(222211-=--=x x FB x x AF Θ FB AF λ=∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-)14(41222121x x x x λλ 消λ得0)41()14(212221=-+-x x x x 化简整理得0)14)((2121=+-x x x x 21x x ≠Θ421-=∴x x 144222121=⋅=∴x x y y ∴32121-=+=⋅y y x x （定值）（4分）（2）抛物线方程为241x y =xy 21='∴∴过抛物线A 、B 两点的切线方程分别为4)(212111x x x x y +-=和4)(212222x x x x y +-=即421211x x x y -=和421222x x x y -=联立解出两切线交点M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-+1,221x x⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⋅∴4,2.221221221x x x x x x AB FM =022********=---x x x x （定值）（10分）。

2020届江苏省南通市海安高级中学高三阶段测试三数学试题一、填空题1．设全集{1,2,3,4,5}U =,若{1,2,4}U A =ð，则集合A =_________. 【答案】{3,5}.【解析】直接求根据{1,2,4}U A =ð求出集合A 即可. 【详解】解：因为全集{1,2,3,4,5}U =若{1,2,4}U A =ð， 则集合A ={3,5}. 故答案为：{3,5}. 【点睛】本题考查补集的运算，是基础题.2．已经复数z 满足(2)1z i i -=+（i 是虚数单位），则复数z 的模是________． 10 【解析】【详解】(2)1z i i -=+Q ，11323,i iz i i i++∴=+==- 10z =10.3．已知一组数据123,,a a a ，…，n a 的平均数为a ，极差为d ，方差为2S ，则数据121,a +221,a +321a +，…，21n a +的方差为___________.【答案】24S【解析】根据在一组数据的所有数字上都乘以同一个数字，得到的新数据的方差是原来数据的平方倍，得到结果． 【详解】解： ∵数据123,,a a a ，…，n a 的方差为2S ，∴数据121,a +221,a +321a +，…，21n a +的方差是22224S S ⨯=， 故答案为：24S . 【点睛】此题主要考查了方差，关键是掌握方差与数据的变化之间的关系． 4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______．【答案】1011【解析】由题设提供的算法流程图可知:1111101122310111111S =++⋅⋅⋅+=-=⨯⨯⨯，应填答案1011． 5．从0,2 中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为______。

【答案】18【解析】试题分析：分类讨论：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位；从0、2中选一个数字2，则2排在十位或百位，由此可得结论．解：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有23A =6种；从0、2中选一个数字2，则2排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有23A =6种； 2排在百位，从1、3、5中选两个数字排在个位与十位，共有23A =6种；故共有323A =18种，故答案为18． 【考点】计数原理点评：本题考查计数原理的运用，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>10，则双曲线C 的渐近线方程为_______． 【答案】3y x =±【解析】10，可以得到10ca=222a b c +=求出,a b 的关系，从而得出渐近线的方程. 【详解】解：因为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>10，所以10ca= 故2210c a=， 又因为222a b c +=，所以22210a b a +=，即229b a=，即3=b a ， 所以双曲线的渐近线3y x =±. 【点睛】本题考查了双曲线渐近线的问题，解题的关键是由题意解析出,a b 的关系，从而解决问题. 7．将函数f(x)的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的图象，则()π4f 为 ．【答案】4【解析】试题分析：将函数f(x)的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的图象，即将函数()π4sin 23y x =-的图象向左平移π6个单位得y=4sin[2（x+π6）π3-]=4sin2x ，所以()π4f =4sin 42π=. 故答案为：4．【考点】三角函数的图象平移.8．设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0,)+∞上是单调减函数，且()23(2)0f x x f -+>，则实数x的取值范围是_________ 【答案】(1,2)【解析】根据题意，由函数的奇偶性和单调性分析可得函数()f x 在R 上为减函数，则()23(2)0f x x f -+>可以转化为232x x -<-，解可得x 的取值范围，即可得答案．【详解】解：根据题意，()f x 是在R 上的奇函数，且在区间[0,)+∞上是单调减函数， 则其在区间(,0)-∞上递减， 则函数()f x 在R 上为减函数，()()22223(2)03(2)(3)(2)32f x x f f x x f f x x f x x -+>⇒->-⇒->-⇒-<-，解得：12x <<；即实数x 的取值范围是(1,2)； 故答案为：(1,2)． 【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是分析函数在整个定义域上的单调性． 9．在锐角三角形ABC 中3sin 5A =，1tan()3A B -=-，则3tan C 的值为_________.【答案】79【解析】由题意可得tan A ，进而可得tan B ，而tan tan()C A B =-+，由两角和与差的正切公式可得． 【详解】解：∵在锐角三角形ABC 中3sin 5A =， 24cos 1sin 5A A ∴=-=， sin 3tan cos 4A A A ∴==， 31tan tan()1343tan tan[()]311tan tan()9143A A B B A A B A A B +--∴=--===+--⨯， 313tan tan 7949tan tan()3131tan tan 3149A B C A B A B ++∴=-+=-=-=--⨯， 3tan 79C ∴=故答案为：79． 【点睛】本题考查两角和与差的正切公式，属中档题．10．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和3(1)(*)n n S na n n n N =--∈且211a =.则1a 的值________ 【答案】5【解析】由3(1)(*)n n S na n n n N =--∈，且211a =．取2n =即可得出． 【详解】解：∵3(1)(*)n n S na n n n N =--∈，且211a =．12226a a a ∴+=-，即1265a a =-=．故答案为：5. 【点睛】本题考查了递推式的简单应用，是基础题. 11．设正实数x ，y 满足x yxy x y+=-，则实数x 的最小值为______. 21.【解析】由正实数x ，y 满足x y xy x y +=-，化为()2210xy x y x +-+=，可得()222212121401010x x x y y x y y ⎧∆=--≥⎪⎪-⎪+=>⎨⎪=>⎪⎪⎩，计算即可． 【详解】解：由正实数x ，y 满足x yxy x y+=-， 化为()2210xy xy x +-+=，∴()222212121401010x x x y y x y y ⎧∆=--≥⎪⎪-⎪+=>⎨⎪=>⎪⎪⎩，化为426101x x x ⎧-+≥⎨>⎩， 解得21x ≥．因此实数x 21．故答案为：21+． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实数根与判别式、根与系数的关系、一元二次不等式的解法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．12．如图正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F 分别为棱11,B B C C 上的点（异于端点）且//EF BC ，则四棱锥1A AEFD -的体积为___________.【答案】9【解析】由11113A AED E A AD A AD V V S AB --∆==⋅，由此能求出四棱锥1A AEFD -的体积． 【详解】 解：连接DE ，∵正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F 分别为棱11,B B C C 上的点（异于端点），且//EF BC ，11A AED A FED V V --∴=，1111111111193662A AED E A AD A AD A ADD ABCD A C D V V S AB S AB V --∆-∴==⋅=⋅==，∴四棱锥1A AEFD -的体积19A AEFD V -=．故答案为：9． 【点睛】本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，是中档题．13．已知向量,,a b c r r r 满足0a b c ++=r r r 且a r 与b r 的夹角的正切为12-，b r 与c r 的夹角的正切为13-，||2b =r ，则a c ⋅r r的值为___________.【答案】45【解析】可设,,AB a BC b CA c ===u u u r u u u r u u u r r r r ，由题意可得11tan ,tan 23B C ==，由两角和的正切公式，可得tan A ，再由同角的基本关系式可得sin ,sin B C ，再由正弦定理可得AB ，AC ，由数量积的定义即可得到所求值． 【详解】解：可设,,AB a BC b CA c ===u u u r u u u r u u u r r r r，由题意可得11tan ,tan 23B C ==， 则11tan tan 23tan tan()1111tan tan 123B C A B C B C ++=-+=-=-=---⨯， 即为135A ︒=，又,B C 为锐角，22sin 1sin cos 1,cos 2B B B B +==， 可得5sin 5B =， 同理可得10sin C =， 由正弦定理可得2sin135510︒==r r，即有2102555c a ==r r ，则2102524||||cos 4525a c c a ︒⋅=⋅⋅==u u rr r r ．故答案为：45． 【点睛】本题考查向量的数量积的定义，考查正弦定理和三角函数的化简和求值，以及运算求解能力，属于中档题．14．已知()(2)(3),()22x f x m x m x m g x =-++=-，若同时满足条件：①,()0x R f x ∀∈<或()0<g x ；②(,4),()()0x f x g x ∃∈-∞-<.则m 的取值范围是________________.【答案】()4,2m ∈--【解析】根据()220xg x =-<可解得x<1,由于题目中第一个条件的限制，导致f(x)在1x ≥是必须是()0f x <，当m=0时，()0f x =不能做到f(x)在1x ≥时()0f x <，所以舍掉，因此，f(x)作为二次函数开口只能向下，故m<0,且此时2个根为122,3x m x m ==--，为保证条件成立，只需1221{31x m x m =<=--<1{24m m <⇒>-，和大前提m<0取交集结果为40m -<<；又由于条件2的限制，可分析得出在(,4),()x f x ∃∈-∞-恒负，因此就需要在这个范围内g(x)有得正数的可能，即-4应该比12x x 两个根中较小的来的大，当(1,0)m ∈-时，34m --<-，解得交集为空，舍．当m=-1时，两个根同为24->-，舍．当(4,1)m ∈--时，24m <-，解得2m <-，综上所述，(4,2)m ∈--．【考点定位】本题考查学生函数的综合能力，涉及到二次函数的图像开口，根大小，涉及到指数函数的单调性，还涉及到简易逻辑中的“或”，还考查了分类讨论思想．二、解答题15．已知ABC ∆的面积为3()18AC AB CB ⋅-=u u u r u u u r u u u r ，向量(tan tan ,sin 2)m A B C =+u r和向量(1,cos cos )n A B =r是共线向量.（1）求角C ；（2）求ABC ∆的边长c .【答案】(1) 3C π=(2) 36【解析】（1）利用向量共线的条件，建立等式，再利用和角的正弦公式化简等式，即可求得角C ；（2）由()18AC AB CB ⋅-=u u u r u u u r u u u r 得：2()18AC AB BC AC ⋅+==u u u r u u u r u u u r u u u r ，进而利用ABC ∆的面积为93，及余弦定理可求ABC ∆的边长c ． 【详解】（1）因为向量(tan tan ,sin 2)m A B C =+r 和(1,cos cos )n A B =r是共线向量， 所以cos cos (tan tan )sin 20A B A B C +-=， 即sin cos cos sin 2sin cos 0A B A B C C +-=， 化简sin 2sin cos 0C C C -=， 即sin (12cos )0C C -=.因为0C π<<，所以sin 0C >，从而1cos ,2C =3C π=.（2）()18AC AB CB ⋅-=u u u r u u u r u u u r Q ，18()AC AB CB ∴=⋅-u u u r u u u r u u u r 2||AC AC AC =⋅=u u u r u u u r u u u r 则||1832AC ==u u u r32AC =因为ABC V 的面积为93， 所以1sin 932CA CB C ⋅= 即132sin 9323CB π⨯=解得62CB =在ABC V 中，由余弦定理得2222cos AB CA CB CA CB C =+-⋅221(32)(62)232622=+-⨯54=，所以5436AB ==【点睛】本题重点考查正弦、余弦定理的运用，考查向量知识的运用，解题的关键是正确运用正弦、余弦定理求出三角形的边．16．如图，四棱锥P－ABCD的底面为矩形，且AB＝2，BC＝1，E，F分别为AB，PC中点.（1）求证：EF∥平面PAD；（2）若平面PAC⊥平面ABCD，求证：平面PAC⊥平面PDE.【答案】证明：（1）方法一：取线段PD的中点M，连结FM，AM．因为F为PC的中点，所以FM∥CD，且FM＝12 CD．因为四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，所以EA∥CD，且EA＝12 CD．所以FM∥EA，且FM＝EA．所以四边形AEFM为平行四边形．所以EF∥AM．……………………… 5分又AM⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD．………7分方法二：连结CE并延长交DA的延长线于N，连结PN．因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC，所以∠BCE＝∠ANE，∠CBE＝∠NAE．又AE＝EB，所以△CEB≌△NEA．所以CE＝NE．又F为PC的中点，所以EF∥NP．………… 5分又NP⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD．……………7分方法三：取CD的中点Q，连结FQ，EQ．在矩形ABCD中，E为AB的中点，所以AE＝DQ，且AE∥DQ．所以四边形AEQD为平行四边形，所以EQ∥AD．又AD⊂平面PAD，EQ⊄平面PAD，所以EQ∥平面PAD．………………2分因为Q，F分别为CD，CP的中点，所以FQ∥PD．又PD⊂平面PAD，FQ⊄平面PAD，所以FQ∥平面PAD．又FQ，EQ⊂平面EQF，FQ∩EQ＝Q，所以平面EQF∥平面PAD．…………… 5分因为EF⊂平面EQF，所以EF∥平面PAD．……………………………… 7分（2）设AC，DE相交于G．在矩形ABCD中，因为AB＝2BC，E为AB的中点.所以DAAE＝CDDA＝2．又∠DAE＝∠CDA，所以△DAE∽△CDA，所以∠ADE＝∠DCA．又∠ADE＋∠CDE＝∠ADC＝90°，所以∠DCA＋∠CDE＝90°．由△DGC的内角和为180°，得∠DGC＝90°．即DE⊥AC．……………………… 10分因为平面PAC⊥平面ABCD 因为DE⊂平面ABCD，所以DE⊥平面PAC，又DE⊂平面PDE，所以平面PAC⊥平面PDE．………………………… 14分【解析】略17．如图，OM，ON是两条海岸线，Q为海中一个小岛，A为海岸线OM上的一个码头．已知，，Q到海岸线OM，ON的距离分别为3 km，km．现要在海岸线ON上再建一个码头，使得在水上旅游直线AB经过小岛Q．（1）求水上旅游线AB的长；（2）若小岛正北方向距离小岛6 km处的海中有一个圆形强水波P，从水波生成t h时的半径为（a 为大于零的常数）．强水波开始生成时，一游轮以km/h的速度自码头A开往码头B，问实数a在什么范围取值时，强水波不会波及游轮的航行．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由条件建立直角坐标系较为方便表示：，直线的方程为．由Q到海岸线ON的距离为km，得，解得，再由两直线交点得，利用两点间距离公式得（2）由题意是一个不等式恒成立问题：设小时时，游轮在线段上的点处，而不等式恒成立问题往往利用变量分离将其转化为对应函数最值问题：试题解析：（1）以点为坐标原点，直线为轴，建立直角坐标系如图所示．则由题设得：，直线的方程为．由，及得，∴．∴直线的方程为，即，由得即，∴，即水上旅游线的长为．（2）设试验产生的强水波圆，由题意可得P（3，9），生成小时时，游轮在线段上的点处，则，∴．强水波不会波及游轮的航行即，当时 ，当.，，当且仅当时等号成立，所以，在时恒成立，亦即强水波不会波及游轮的航行．【考点】函数实际应用，不等式恒成立18．在平面直角坐标系xOy 中已知椭圆222:1(0)3x y E a b a +=>>过点61,2⎛ ⎝⎭，其左、右焦点分别为12F F 、，离心率为22.（1）求椭圆E 的方程；（2）若A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P . （i ）求证：OP OM ⋅uu u r uuu r为定值；（ii ）设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，问：直线MQ 是否过定点，并说明理由.【答案】(1) 22142x y += (2) （i ）证明见解析，定值为4 （ii ）直线MQ 过定点(0,0)O .【解析】（1）由题意得离心率公式和点满足的方程，结合椭圆的,,a b c 的关系，可得,a b ，进而得到椭圆方程；（2）（i ）设()02,,M y ()11,P x y ，求得直线MA 的方程，代入椭圆方程，解得点P 的坐标，再由向量的数量积的坐标表示，计算即可得证；（ii ）直线MQ 过定点O （0，0）．先求得PB 的斜率，再由圆的性质可得MQ ⊥PB ，求出MQ 的斜率，再求直线MQ 的方程，即可得到定点． 【详解】解：（1）易得22312122a b c a⎧⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎩，且222c a b =-， 解得2242a b ⎧=⎨=⎩，，所以椭圆E 的方程为22142x y +=（2）设()02,,M y ()11,P x y ， ①易得直线MA 的方程为：0042y yy x =+， 代入椭圆22142x y +=得，2222000140822y y y x x ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭， 由()201204828y x y --=+得，()20120288y x y --=+，从而012088y y y =+， 所以示()()20002200288,2,88y y OP OM y y y ⎛⎫-- ⎪⋅=⋅ ⎪++⎝⎭u u u r u u u u r ()22002200488488y y y y --=+=++， ②直线MQ 过定点(0,0)O ，理由如下：依题意，()2020020882288PBy y k y y y +==---+， 由MQ PB ⊥得，02MQ y k =， 则MQ 的方程为：00(2)2y y y x -=-，即02yy x =，所以直线MQ 过定点(0,0)O . 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，同时考查向量的数量积的坐标表示和直线和圆的位置关系，属于中档题． 19．已知数列{}n a 满足：123a a a k ===（常数0k >），111n n n n K a a a a -+-+=()*3,n n N ≥∈.数列{}n b 满足：21n n n n a a b a +++=()*n N ∈. （1）求1,b 2,b 3,b 4b 的值； （2）求出数列{}n b 的通项公式；（3）问：数列{}n a 的每一项能否均为整数？若能，求出k 的所有可能值；若不能，请说明理由.【答案】(1) 132b b ==，2421k b b k +==；(2) 41122nn k b k k+-=+（）； (3) k 为1，2时数列{}n a 是整数列.【解析】（1）经过计算可知：45621,2,4a k a k a k k=+=+=++，由数列{}n b 满足：21n n n n a a b a +++=（n＝1，2，3，4…），从而可求1,b 2,b 3,b 4b ；（2）由条件可知121n n n n a a k a a +--=+．得211n n n n a a k a a +-+=+，两式相减整理得2n n b b -=，从而可求数列{}n b 的通项公式；（3）假设存在正数k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数，则由（2）可知：2122122222211n n n n n n a a a k a a a k +-+=-⎧⎪+⎨=+-⎪⎩，由1a k Z =∈，624Z a k k =++∈，可求得1,2k =．证明1,2k =时，满足题意，说明1,2k =时，数列{}n a 是整数列． 【详解】（1）由已知可知：45621,2,4a k a k a k k=+=+=++， 把数列{}n a 的项代入21n n n n b a a a =+++求得132b b ==，2421k b b k+==； （2）由121n n n n k a a a a --++=3,n n N ≥∈*（） 可知：121n n n n a a k a a +--=+① 则：211n n n n a a k a a +-+=+② ①−②有：2211n n n nn n a a a a a a +-+-++=，即：2n n b b -=2123n n b b --∴==…13122a a b a +===，222n n b b -== (242321)a a kb a k++===，41122nn k b k k+-∴=+（）； （3）假设存在正数k 使得数列{}n a 的每一项均为整数，则由（2）可知：2122122222211n n n n n n a a a k a a a k +-+=-⎧⎪+⎨=+-⎪⎩③， 由1a k Z =∈，624Z a k k=++∈，可知1k =，2. 当1k =时，213k k+=为整数，利用123,,a a a Z ∈结合③式可知{}n a 的每一项均为整数； 当2k =时，③变为2122122222512n n n n n n a a a a a a +-+=-⎧⎪⎨=+-⎪⎩④ 用数学归纳法证明21n a -为偶数，2n a 为整数.1n =时结论显然成立，假设n k =时结论成立，这时21n a -为偶数，2n a 为整数，故212212n n n a a a +-=-为偶数，22n a +为整数，1n k ∴=+时，命题成立.故数列{}n a 是整数列.综上所述k 为1，2时数列{}n a 是整数列. 【点睛】本题考查了等差数列的基本性质和数列的递推公式，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，注意分类讨论思想和转化思想的运用，属于难题． 20．设函数()()ln ,f x x a x x a =--+a R ∈. （1）若0a =求函数()f x 的单调区间；（2）若0a <试判断函数()f x 在区间()22,e e -内的极值点的个数，并说明理由；（3）求证：对任意的正数a 都存在实数t 满足：对任意的(,)x t t a ∈+，()1f x a <-. 【答案】(1) 单调递减区间为(0,1)单调递增区间为(1,)+∞. (2) 见解析 (3)证明见解析【解析】（1）求解()ln f x x '=，利用()0,()0f x f x ''><，解不等式求解单调递增区间，单调递减区间；（2）'()ln af x x x=-，其中0x >， 再次构造函数令()ln g x x x a =-，分析()g x 的零点情况．()ln 1g x x '=+，令1()0,g x x e'==，列表分析得出()g x 单调性，求其最小值， 分类讨论求解①若1a e≤-，②若212a e e -<<-，③若220,()a f x e -≤<的单调性，()f x 最大值，最小值，确定有无零点问题；（3）先猜想(1,1),()1x a f x a ∈+<-恒成立．再运用导数判断证明．令'1()ln 1,1,()10G x x x x G x x=-+≥=-≤，求解最大值，得出()(1)0G x G <=即可． 【详解】（1）当0a =时，()ln f x x x x =-，()ln f x x '=， 令()0f x '=，1x =，列表分析x (0,1)1(1,)+∞()f x '− 0 + ()f x单调递减单调递增故()f x 的单调递减区间为(0,1)单调递增区间为(1,)+∞.（2）()()ln f x x a x x a =--+，()ln f x x ax '=-，其中0x >， 令()ln g x x x a =-，分析()g x 的零点情况.()ln 1g x x '=+ 令()0g x '=，1x e=，列表分析 x(0,1e)1e(1,)e +∞()g x '− 0 +()g x单调递减 单调递增min 11()()g x g a e e ==--，而11()1n 1f ae ae e e'=-=--，222()2(2)f e ae ae -'=--=-+22221()2(2)a f e e a e e '=-=-，①若1a e≤-则()ln 0af x x x '=-≥，故()f x 在22(,)e e -内没有极值点；②若212a e e -<<-，则11()1n 0f ae e e '=-<，22()(2)0f e ae -'=-+> 2221()(2)0f e e a e'=->因此()f x '在22(,)e e -有两个零点，()f x 在22(,)e e -内有两个极值点；③若220a e -≤<则11()10f n ae e e '=-<，22()(2)0f e ae -'=-+≤，2221()(2)0f e e a e'=->， 因此()f x '在22(,)e e -有一个零点，()f x 在22(,)e e -内有一个极值点；综上所述当1(,]a e∈-∞-时，()f x 在22(,)e e -内没有极值点；当212,a e e ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，()f x 在22(,)e e -内有两个极值点； 当22,0a e ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()f x 在22(,)e e -内有一个极值点. （3）猜想：(1,1)x a ∈+，()1f x a <-恒成立. 证明如下：由（2）得()g x 在1(,)e+∞上单调递增，且(1)0g a =-<，(1)(1)ln(1)g a a a a +=++-. 因为当1x >时，1ln 1(*)x x>-，所以1(1)(1)(1)01g a a a a +>+--=+ 故()g x 在(1,1)a +上存在唯一的零点，设为0x .由x 0(1,)x0x0(,1)x a +()f x '− 0 + ()f x单调递减单调递增知(1,1)x a ∈+，()max{(1),(1)}f x f f a <+.又(1)ln(1)1f a a +=+-，而1x >时，ln 1(**)x x <-， 所以(1)(1)111(1)f a a a f +<+--=-=. 即(1,1)x a ∈+，()1f x a <-.所以对任意的正数a ，都存在实数1t =， 使对任意的(,)x t t ∈+∞， 使()1f x a <-. 补充证明(*): 令1()1n 1F x x x =+-，1x ≥.22111()0x F x x x x-'=-=≥， 所以()F x 在[1,)+∞上单调递增.所以1x >时，()(1)0F x F >=，即1ln 1x x>-. 补充证明(**)令()ln 1G x x x =-+，1x ≥.1()10G x x'=-≤， 所以()G x 在[1,)+∞上单调递减.所以1x >时，()(1)0G x G <=，即ln 1x x <-. 【点睛】本题主要考查导数与函数单调性的关系，会熟练运用导数解决函数的极值与最值问题．求函数的单调区间，应该先求出函数的导函数，令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间，考查了不等式与导数的结合，难度较大． 21．已知二阶矩阵，矩阵属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为.求矩阵.【答案】【解析】运用矩阵定义列出方程组求解矩阵 【详解】由特征值、特征向量定义可知，，即，得 同理可得解得，，，.因此矩阵【点睛】本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单 22．在极坐标系中，已知1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及ABC ∆的面积．【答案】l 的极坐标方程及cos 53πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,203ABC ∆的面积. 【解析】将1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭转化为直角坐标系下的坐标形式，然后求出线段AB 的中点与直线AB 的斜率，进而求出直线l 在直角坐标系下的方程，再转化为极坐标方程；在直角坐标系下，求出点C 到直线AB 的距离、线段AB 的长度，从而得出ABC ∆的面积. 【详解】解：以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xoy 在平面直角坐标系xoy 中，1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的坐标为13993(),(22A B线段AB 的中点为553(2A ，3AB k =故线段AB 中垂线的斜率为133AB k k --==， 所以AB 的中垂线方程为：5335)2y x --=- 化简得：3100x +-=， 所以极坐标方程为cos 3sin 100ρθρθ+-=， 即cos()53πρθ-=，令0y =，则10x =，故在平面直角坐标系xoy 中，C （10,0）点C 到直线AB ：3y x =的距离为1035331d ==+ 线段8AB =，故ABC ∆的面积为15382032S =⨯=【点睛】本题考查了直线的极坐标方程问题，解题时可以将极坐标系下的问题转化为平面直角坐标系下的问题，从而转化为熟悉的问题.23．已知实数,a b 满足2a b +≤，求证：22224(2)a a b b a +-+≤+．【答案】证明见解析【解析】对2222a a b b +-+进行转化，转化为含有2a b +≤形式，然后通过不等关系得证.【详解】 解：因为2a b +≤， 所以2222a a b b +-+ 2222a b a b =-++()()()2a b a b a b =-+++2a b a b=+-+()22a b a a b=+-++22a b a a b≤++++()22222244242a a a a≤++=+=+≤+,得证.【点睛】本题考查了绝对值不等式问题，解决问题的关键是要将要证的形式转化为已知的条件，考查了学生转化与化归的能力.24．如图，在四棱锥P ABCD-中，已知棱AB，AD，AP两两垂直，长度分别为1，2，2.若DC ABλ=u u u r u u u r （Rλ∈），且向量PCuuu r与BDu u u r夹角的余弦值为1515.（1）求λ的值；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.【答案】（1）2λ=；（210.【解析】试题分析：（1）以A为坐标原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A xyz-，写出,PCu u u r，BDu u u r的坐标，根据空间向量夹角余弦公式列出关于λ的方程可求；（2）设岀平面PCD的法向量为(),,n x y z=r，根据n PCn DC⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩r u rr u r，进而得到⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u rr u rn PCn DC，从而求出nr，向量PBu r的坐标可以求出，从而可根据向量夹角余弦的公式求出cos,n PB<>r u r，从而得PB和平面PCD所成角的正弦值.试题解析：（1）依题意，以A为坐标原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A xyz-(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2)B D P，因为DC ABλ=u u u r u u u r，所以(,2,0)Cλ，从而(,2,2)PCλ=-u u u r，则由15cos,15PC BD=u u u r u u u r，解得10λ=（舍去）或2λ=.（2）易得(2,2,2)PC=-u u u r，(0,2,2)PD=-u u u r，设平面PCD的法向量(,,)n x y z=r，则0⋅=r u u u rn PC，0⋅=r u u u rn PD，即0x y z+-=，且0y z-=，所以0x=，不妨取1y z==，则平面PCD 的一个法向量(0,1,1)n=r，又易得(1,0,2)PB=-u u u r，故10cos,5=⋅=-u u u r rPB n PB n，所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为105.考点: 1、空间两向量夹角余弦公式；2、利用向量求直线和平面说成角的正弦.25．已知数列{}n a的通项公式为1515225n nna⎡⎤⎛⎫⎛⎥=-⎪⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎦，n N∈，记1212n n nS C a C a=++…nn nC a+.（1）求1,S2S的值；（2）求所有正整数n，使得n S能被8整除.【答案】(1) 11S=；23S=；(2) {}*|3,n n k k N=∈【解析】（1）运用二项式定理，化简整理，再代入计算即可得到所求值；（2）通过化简得到213n n nS S S++=-，再由不完全归纳找规律得到结论，即可得到所求结论．【详解】解：（1）1212n n n n n n S C a C a C a =++⋯+2121515225n n C C ⎡⎛⎛+ =⋅+⋅+ ⎝⎭⎝…212151515n n n n n C C C ⎫⎛+--⎪ +⋅-⋅+⎪ ⎝⎭⎝⎭⎭⎝…15n n n C ⎤⎫-⎥⎪+⋅⎥⎪⎝⎭⎭⎦1515115n n ⎡⎤⎛⎛+-⎥=-+ ⎥⎝⎭⎝⎭⎦ 3535225n n ⎡⎤⎛⎛+⎢⎥=- ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即有1S 515==； 2S 3535==； （2）35355n n S n ⎡⎤+-⎢⎥=-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 23535225n S n n +⎡⎤+-=+-+⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎦ 3535353535352222225n n n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛+⎢⎥⎢⎥-⋅+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦13n n S S +=-，即213n n n S S S ++=-，*n N ∈，因此2n S +除以8的余数，完全由1,n n S S +除以8的余数确定，因为11,a =21a =，所以11111S C a ==，12221223S C a C a =+=，3213918S S S =-=-=，432324321,S S S =-=-=543363855S S S =-=-=，654316521144,S S S =-=-=7535643255377S S =-=-=，87631131144987,S S S =-=-=987329613772584S S S =-=-= 由以上计算及213n n n S S S ++=-可知，数列{}n S 各项除以8的余数依次是： 1，3，0，5，7，0，1，3，0，5，7，0，…,它是一个以6为周期的数列，从而n S 除以8的余数等价于n 除以3的余数， 所以3,n k =*k N ∈，即所求集合为：{}*|3,n n k k N=∈.【点睛】本题考查数列通项的运用，解决问题的关键是运用二项式定理，本题属于难题．。

数学 第1页（共14页） 2020年3月高三第一次在线大联考（江苏卷）数学I（满分：160分 考试时间：120分钟）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{|125}=∈-<A x x R ，{2,1,1,2}=--B ，则=I A B ____________．2．设复数z 满足(1i)42i +=-z ，其中i 是虚数单位，若z 是z 的共轭复数，则=z ____________．3．国家禁毒办于2019年11月5日至12月15日在全国青少年毒品预防教育数字化网络平台上开展2019年全国青少年禁毒知识答题活动，活动期间进入答题专区，点击“开始答题”按钮后，系统自动生成20道题.已知某校高二年级有甲、乙、丙、丁、戊五位同学在这次活动中答对的题数分别是17,20,16,18,19，则这五位同学答对题数的方差是____________．4．函数()ln(1)=-f x x ____________．5．如图是一个算法的流程图，若输出y 的值是5，则输入x 的值为____________．6．在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,2)作倾斜角为135︒的直线l ，已知直线l 与圆2220+-=x y x 相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于____________．7．某膳食营养科研机构为研究牛蛙体内的维生素E 和锌、硒等微量元素（这些元素可以延缓衰老，还能起到抗癌的效果）对人体的作用，现从4只雌蛙和2只雄蛙中任选2只牛蛙进行抽样试验，则选出的2只牛蛙中至少有1只雄蛙的概率是____________．8．已知x 为实数，向量(2,1)=-a ，(1,)=x b ，且⊥a b ，则|2|+=a b ____________．9．已知π4cos()25-=-α，且π(,0)2∈-α，则2π2cos )4+-αα的值是____________． 10．有一道描述有关等差与等比数列的问题:有四个和尚在做法事之前按身高从低到高站成一列，已知前三。

江苏省南通市海安市2020届高三下学期3月月考数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．.） 1.已知集合{}1,0,3A =-，{1,2,3}B =，则A B =_________.【答案】{3} 【解析】由交集的定义{3}A B ⋂=，应填答案{3}．2.已知复数z 满足()12i z i -=+,则复数z 的模为_______.10【解析】 【分析】由已知得21i z i+=-,将其整理成1322z i =+,即可求出模.【详解】解:由题意知, ()()()()2121313111222i i i i z i i i i ++++====+--+ 所以223211022z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为:102. 【点睛】本题考查了复数的运算,考查了复数的模.本题的易错点在于化简时,错把2i 当成了1来计算.3.某人5次上班途中所用的时间（单位：分钟）分别为12，8，10，11，9.则这组数据的平均数为_______. 【答案】10 【解析】 【分析】代入求解平均数的公式计算即可.【详解】解:平均数()112810119105=⨯++++=. 故答案为:10.【点睛】本题考查了平均数的计算.易错点为计算出错. 4.如图，是一个算法的流程图，则输出的b 的值为_______.【答案】4 【解析】 【分析】根据流程框图进行循环计算,跳出循环时b 的值即为所求.【详解】解:第一次循环:2,2b a ==;第二次循环:4,3b a ==.此时3a < 不成立 故答案为:4.【点睛】本题考查了程序框图.对于循环结构是常考的题型,一般做法为根据框图,计算每次循环的结果,注意,临界即跳出循环时的计算结果.通常循环框图常和数列求和综合到一块.5.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221x y -=的右焦点与抛物线()220y px p =>的焦点重合，则p 的值为_______. 【答案】22【解析】【分析】求出双曲线的右焦点),令2p=即可求出p 的值.【详解】解:双曲线2112c =+=,即右焦点为).即抛物线()220y px p =>的焦点为)所以2p=,解得p =.故答案为: 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程,考查了抛物线的方程.易错点是误把p 当做了抛物线焦点的横坐标.6.已知一个口袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只红球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色相同的概率为____． 【答案】0.4 【解析】 【分析】从中一次随机摸2只球，写出基本事件总数n 和这2只球颜色相同包含的基本事件数m ，由古典概型概率公式计算即可．【详解】一个口袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只红球． 从中一次随机摸出2只球，基本事件总数n ＝25C ＝10，这2只球颜色相同包含的基本事件个数m ＝2232C C +＝4，∴这2只球颜色相同的概率为p ＝410m n ==0.4． 故答案为0.4．【点睛】本题考查古典概型概率的求法,考查运算求解能力，是基础题．7.现有一个橡皮泥制作的圆锥，底面半径为1，高为4.若将它制作成一个总体积不变的球，则该球的表面积为_______. 【答案】4π 【解析】 【分析】求出圆锥的体积,则由题意,设球的半径为r ,可得34433r π=π,求出球的半径,进而可求球的表面积.【详解】解:由题意知,圆锥的体积为2141433ππ⨯⨯⨯=.设球的半径为r 则34433r π=π,解得1r =.所以表面积为244r ππ=. 故答案为:4π.【点睛】本题考查了圆锥的体积,考查了球的体积,考查了球的表面积.结合方程的思想,根据题意求出球的半径.对于球的问题,一般都要首先明确半径的大小.8.已知等比数列{}n a 的前n 项的和为n S ,11a =,639S S =,则3a 的值为_______. 【答案】4 【解析】 【分析】由639S S =可得()33319S q S +=,进而可求出公比的值,即可求3a 的值.【详解】解:()3333612345612312331S a a a a a a a a a a q a q a q S q =+++++=+++++=+639S S = ()33319S q S ∴+= 解得,2q.所以2314a a q ==.故答案为:4.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式,考查了等比数列的前n 项和.等比数列问题,一般可采用基本量法进行求解,但是这种方法计算量比较大.因此,对于等比数列的问题,一般首先考虑利用性质简化计算. 9.已知1e ，2e 是夹角为60两个单位向量，1232a e e =+，122b e ke =-()k R ∈，且a ⋅()8ab -=则k 的值为_______.【答案】67- 【解析】 【分析】由题意知()()()121212323228a a b e e e e e ke ⋅-=+⋅+-+=,进而可求k 的值.【详解】解:()()()()()121212121232322322a a b e e e e e ke e e e k e ⋅-=+⋅+-+=+⋅++⎡⎤⎣⎦()()()()221122733822+338cos60221182e k e e k e k k k =++⋅+=++++=+=. 解得67k =-. 故答案为:67-. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积.对于向量的数量积问题,若题目中无向量的坐标,则在求数量积时,一般套用定义求解;若题目中已知了向量的坐标,求数量积时一般代入数量积的坐标公式.10.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:280C x y x ++-=,直线():1,l y k x k R =-∈过定点A ，与圆C 交于点,B D ,过点A 作BC 的平行线交CD 于点E ,则AEC ∆的周长为_______. 【答案】5 【解析】 【分析】由题意得1,0A ,圆心为()1,0C -,半径为3r =,由平行可知EA EDCB CD=,化简后可得EA CE r +=,进而可求三角形的周长.【详解】解:当1x = 时,0y = 与k 无关,则1,0A .圆()2222:2819C x y x x y ++-=++=所以,圆的圆心为()1,0C -,半径为3r =.则由题意知,ED r CE =-EA 与CB 平行 EA ED CB CD ∴= 即 EA r CEr r-= EA CE r ∴+= 则AEC ∆的周长235AC AE CE AC r =++=+=+=. 故答案为:5.【点睛】本题考查了直线过定点的问题,考查了圆的标准方程.本题的关键在于,由平行得比例关系.若联立直线与圆的方程,求解各点的坐标,这种思路也可以求出最后答案,但计算量太大.11.如图，已知两座建筑物,AB CD 的高度分别为15m 和9m ，且AB BC CD >>，从建筑物AB的顶部A 看建筑物CD 的张角为CAD ∠，测得6tan 13CAD ∠=，则,B C 间的距离_______m .【答案】12 【解析】 【分析】由()tan tan 6BCBAD DAC BAC ∠==∠+∠,可得613156611315BC BC BC +=-⨯,进而可求,B C 间的距离.【详解】解:由题意知()tan tan 6BC BCBAD DAC BAC AB CD ∠===∠+∠-6tan tan 1315661tan tan 11315BCBC DAC BAC BCDAC BAC +∠+∠==-∠⨯∠-⨯,整理得 22391800BC BC -+= ,解得12BC =或152BC = .9BC CD >=，12BC ∴=故答案为:12. 【点睛】本题考查了三角恒等变换的应用.难点在于已知正切值的使用.有的同学可能由正切值求出正弦和余弦,结合正弦定理和余弦定理列出方程进行求解.由于本题所给的正切值求出的正弦余弦值数比较大,因此这种思路计算量较大,效率不高而且容易做错.12.设曲线()0+1my m x =>在,1x t t =≠-处的切线为l ，则点()2,1P t -到l 的最大距离为_______. 2【解析】 【分析】求出切线方程为()2120mx t y mt m ++--=,从而则()2,1P t - 到l 的距离可用t 表示出来,结合基本不等式即可求解. 【详解】解:()2'1my x =-+ ()21l mk t ∴=-+ 则切线方程为()()211m m y x t t t -=--++ 整理得()2120mx t y mt m ++--=.则()2,1P t - 到l 的距离()()()()()242224222212121111t m m t m d m m t t t ++++===++++++ ()()222121m t m t ++≥+,当且仅当()()22211m t t +=+即1t =± 时等号成立2112d ∴≤+=即d ≤故答案为.【点睛】本题考查了切线的求解,考查了点到直线的距离,考查了基本不等式.求最值常见的思路有导数法、函数图像法、函数单调性法、基本不等式法.本题的难点是对距离进行变形整理. 13.已知函数3cos()2y x ππ=+，55,66x t t ⎡⎫⎛⎫∈>⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭既有最小值也有最大值，则实数t 的取值范围是_______. 【答案】31326t <≤或52t > 【解析】 【分析】由诱导公式可知3cos sin 2y x x πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭,令m x π=,结合函数图像,讨论最大值为12和1两种情况,进而求出t 的取值范围. 【详解】解:3cos sin 2y x x πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭ 令m x π=.则由55,66x t t ⎡⎫⎛⎫∈>⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭可得5,6m t ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭则5sin ,,6y m m t ππ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭.要使其既有最小值又有最大值 若最大值为12 则31326t πππ<≤,解得31326t <≤若最大值为1,则52t ππ>,解得52t >.综上所述: 31326t <≤或52t >. 故答案为:31326t <≤或52t >. 【点睛】本题考查了诱导公式,考查了三角函数最值问题.本题的易错点是漏解,只考虑了最大值为1的情况.本题的难点是分界点能否取得的判断.14.已知函数1()1f x x =-，11()(())k k f x f f x +=，5k ≤，k *∈N .若函数()ln k y f x x =-恰有3个不同的零点，则k 的取值集合为_______. 【答案】{3,5} 【解析】 【分析】由题意写出12345(),(),(),(),()f x f x f x f x f x 的解析式,根据图像的平移变换,分别画出它们的图像,判断哪个函数图像与ln y x = 图像有三个交点,即为所求.【详解】解:由题意知1()1f x x =-,2()11f x x =--,3()111f x x =---,4()1111f x x =----,5()11111f x x =-----.则其函数图像为由图像可知,当3k =或5时, 函数()ln k y f x x =-恰有3个不同的零点. 故答案为: {3,5}.【点睛】本题考查了函数的图像变换,考查了函数的零点.若函数()()()f x g x h x =-,则函数()f x 的零点个数就等同于函数(),()g x h x 图像的交点个数.本题的难点是画含绝对值的函数图像.对于()y f x =,首先画出()y f x = 的图像,然后将x 轴下方的图像向上翻折即可;对于()y f x = 的图像,首先画出()y f x = 的图像,然后将y 轴右侧向左翻折.二、解答题（本大题共6小题，共计90分.请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15.在平面直角坐标系xOy 中，设向量()()[]3sin ,sin ,cos ,sin ,0,a x x b x x x π==∈.（1）若a b =，求x 的值；（2）求a b ⋅的最大值及取得最大值时x 的值. 【答案】(1)6π或56π;(2)最大值32,3x π=. 【解析】 【分析】(1)求出||,||a b ,由||||a b =可得1|sin |2x =,结合[0,]x π∈可求出所求. (2) 1sin 262a b x π⎛⎫⋅=-+ ⎪⎝⎭,结合[0,]x π∈和正弦函数的图像,即可分析出最值及取得最大值时x 的值.【详解】解:(1)因为(3sin ,sin ),(cos ,sin )a x x b x x == 所以2222||3sin sin 2|sin |,||cos sin 1a x x x b x x =+==+= 因为||||a b =,所以1|sin |2x =.因为[0,]x π∈,所以1sin 2x =于是6x π=或56π.(2)23sin cos sin a b x x x ⋅=+112cos 222x x =-+1sin 262x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 因为[0,]x π∈,所以112,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,于是113sin 22622x π⎛⎫-≤-+≤ ⎪⎝⎭. 所以当226x ππ-=,即3x π=时,a b ⋅取最大值32. 【点睛】本题考查了向量的模,考查了向量的数量积,考查了三角恒等变换,考查了三角函数的最值.对于()sin y A ωx φ=+ 型的函数,在求最值、对称轴、对称中心、单调区间时,一般都是采取整体的思想进行计算.16.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1A A 的中点.求证：（1）AC//平面1EDB ； （2）平面1EDB ⊥平面1B BD .【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析. 【解析】 【分析】(1)取1B D 的中点F ,连,OF EF ,通过证明//AC EF 从而证明线面平行.(2)通过AC BD ⊥,1B B AC ⊥推出1EF BB ⊥,EF BD ⊥,从而证明EF ⊥平面1B BD ,进而可证面面垂直.【详解】证明:(1)在正方体1111ABCD A B C D -中,设AC 与BD 相交于点O ,则O 为BD 的中点取1B D 的中点F ,连,OF EF .所以1OF//BB ,112OF BB =. 在正方体1111ABCD A B C D -中,1111,//AA BB AA BB =.又点E 是1A A 的中点 所以,//AE OF AE OF =.于是四边形AEFO 是平行四边形,从而//AC EF . 又因为AC ⊄平面1EDB ,EF ⊂平面1EDB ,所以//AC 平面1EDB .(2)在正方体1111ABCD A B C D -中,1B B ⊥平面ABCD ,而AC ⊂平面ABCD , 所以1B B AC ⊥.又在正方体1111ABCD A B C D -中,四边形ABCD 为正方形 所以AC BD ⊥.由(1)知,//EF AC ,于是1EF BB ⊥,EF BD ⊥.又1B B ⊂平面1B BD ,BD ⊂平面1B BD ,1B B BD B ⋂=,所以EF ⊥平面1B BD . 又因为EF ⊂平面1EDB ,所以平面1EDB ⊥平面1B BD .【点睛】本题考查了线面平行的判定,考查了面面垂直的判定.线面平行或者面面平行的判定,一般都归结为证明线线平行;线面垂直或者面面垂直的判定,一般都归结为证明线线垂直.此类问题如果采用逻辑推理的方法无法证明,有时也可以建立空间直角坐标系,运用空间向量证明平行和垂直.17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知,A B 两点分别为椭圆22221,0x y a b a b+=>>的右顶点和上顶点，且7AB =，右准线l 的方程为4x =.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点A 的直线交椭圆于另一点P ，交l 于点Q .若以PQ 为直径的圆经过原点，求直线PQ 的方程.【答案】(1)22143x y +=3230x y --=3230x y +-=.【解析】 【分析】(1)由右准线l 的方程为4x =以及7AB =可列出方程组22222247a c a b c a b ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪+=⎪⎩解得即可求出椭圆的方程.(2) 设PQ 的方程为(2)y k x =-,与椭圆方程联立,求出2228612,4343k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭;联立(2)4y k x x =-⎧⎨=⎩可得(4,2)Q k ,由OP OQ ⊥可知0OP OQ ⋅=,从而可求出k =进而可求直线的方程.【详解】解:(1)设椭圆的焦距为2(0)c c >.由题意得22224a c a b c ⎧=⎪⎪⎪=+⎨=⎩,解得224,3a b ==.所以椭圆的标准方程为:22143x y +=.(2)由题意得直线PQ 不垂直于x 轴,设PQ 的方程为(2)y k x =-联立22(2),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,消y 得()2222431616120k x k x k +-+-=.又直线PQ 过点(2,0)A ,则方程必有一根为2,则228643P k x k -=+.代入直线(2)y k x =-,得点2228612,4343k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.联立(2)4y k x x =-⎧⎨=⎩,所以(4,2)Q k . 又以PQ 为直径的圆过原点,所以OP OQ ⊥.则222228612824420434343k k k OP OQ k k k k ---⋅=⋅+⋅==+++,解得23k =,所以k =. 所以直线PQ0y --=0y +-=.【点睛】本题考查了椭圆的准线方程,考查了椭圆的性质,考查了直线与椭圆相交问题,考查了向量的数量积.本题第二问的难点在于圆过原点这一条件得运用.一般若题目中已知圆过某点,则一般等量关系为:圆心到该点的距离为半径或者圆上两点与已知点的连线垂直.18.下图是一块平行四边形园地ABCD ，经测量，20,10,AB m BC m ==120ABC ∠=.拟过线段AB 上一点E 设计一条直路EF （点F 在四边形ABCD 的边上，不计直路的宽度），将该园地分为面积之比为3:1的左，右两部分分别种植不同花卉.设,EB x EF y ==（单位：m ）.（1）当点F 与点C 重合时，试确定点E 的位置； （2）求y 关于x 的函数关系式；（3）试确定点,E F 的位置，使直路EF 的长度最短.【答案】(1)E 是AB 的中点;(2)2222525010100001001020x x x y x x x ⎧-+≤<⎪=⎨++≤≤⎪⎩;(3) 当2.5EB m =,7.5FC m =时,EF 最短,其长度为53.【解析】 【分析】 (1)由14BEC ABCD S S ∆=可知1124EB h AB h ⋅=⋅,从而证明E 是AB 的中点. (2)求出平行四边形的面积为1003ABCDS=,进而可求253EBF S ∆=从而用x 可将BF表示出来,利用余弦定理即可得到y 关于x 的函数关系式.(3)当 010x ≤<,由二次函数的性质可求最值;当1020x ≤≤时,由基本不等式可求最值. 【详解】解:(1)当点F 与点C 重合时,由题设知,14BEC ABCDS S ∆=.于是1124EB h AB h ⋅=⋅,其中h 为平行四边形AB 边上的高. 得12EB AB =,即点E 是AB 的中点.(2)因为点E 在线段AB 上,所以020x ≤≤.当1020x ≤≤时,由(1)知 点F 在线段BC 上.因为20,10,120AB m BC m ABC ︒==∠=所以3sin 201010032ABCDSAB BC ABC =⋅⋅∠=⨯⨯=. 由1sin1202532EBF S x BF ︒∆=⋅⋅=,100BF x=.所以EBF ∆中,由余弦定理得 2222100100100002cos120100y EF x x x x x x ︒⎛⎫==+-⋅⋅=++ ⎪⎝⎭当010x ≤<时,点F 在线段CD 上,由1()10sin 602532EBCF S x CF ︒=+⨯⨯=四边形得10CF x =-.当BE CF ≥时,EF =当BE CF <时,EF =化简均为y EF ==综上,0101020x y x ⎧≤<=≤≤. (3)当010x ≤<时,y ==于是当52x =时,min y =,此时15102CF x =-=. 当1020x ≤≤时,y =≥=当且仅当22100=00x x，即10x =时，取等号 综上： 当E 距点 2.5B m ，F 距点7.5C m 时，EF最短，其长度为.【点睛】本题考查了函数模型的应用,考查了余弦定理,考查了基本不等式.本题的易错点是没有讨论自变量的取值,从而造成了漏解.求最值时,常用的方法有:导数法、函数图像法、函数单调性法、基本不等式法.19.已知函数()y f x =的定义域为D ，若满足,()()x D x f x f x ∀∈⋅≥，则称函数()f x 为“L 型函数”.（1）判断函数xy e =和ln y x =是否为“L 型函数”，并说明理由；（2）设函数()(1)ln (1)ln ,0f x x x x a a =+-->，记()g x 为函数()f x 的导函数. ①若函数()g x 的最小值为1，求a 的值；②若函数()f x 为“L 型函数”，求a 的取值范围.【答案】(1)xy e =不是,ln y x =是,理由见解析;(2)①a e =;②20a e <≤. 【解析】 【分析】(1)分别求出两个函数的定义域,判断,()()x D x f x f x ∀∈⋅≥即可.(2) ①求出1()()ln 1ln ,(0,)g x f x x a x x'==++-∈+∞,再求()g x ',通过导数探究当x 取何值时,()g x 取最小值,令最小值为1,即可求出a 的值.②由题意(0,),(1)()(1)[(1)ln (1)ln ]0x x f x x x x x a ∀∈+∞-=-+--≥恒成立,分别讨论当20a e <≤和2a e >时,通过探究()f x 的单调性判断是否使得不等式恒成立,从而求出a 的取值范围.【详解】解:(1)对于函数xy e =,定义域为R ,显然000e e ⋅≥不成立,所以xy e =不是“L 型函数”;对于函数ln y x =,定义域为(0,)+∞.当01x <<时,ln 0x <,所以(1)ln 0x x ->,即ln ln x x x >; 当1x ≥时,ln 0x ≥,所以(1)ln 0x x -≥,即ln ln x x x ≥.所以(0,)x ∀∈+∞,都有ln ln x x x ≥.所以函数ln y x =是“L 型函数”. (2)①因为11()()ln ln ln 1ln ,(0,)x g x f x x a x a x x x+'==+-=++-∈+∞ 所以22111()x g x x x x-'=-=.当(0,1)x ∈时,()0g x '<,所以()g x 在(0,1)上为减函数; 当(1,)x ∈+∞时,()0g x '>,所以()g x 在(1,)+∞上为增函数. 所以min ()(1)2ln g x g a ==-.所以2ln 1a -=,故a e =. ②因为函数()(1)ln (1)ln f x x x x a =+--为“L 型函数”,所以(0,),(1)()(1)[(1)ln (1)ln ]0x x f x x x x x a ∀∈+∞-=-+--≥(*). (ⅰ)当2ln 0a -≥,即20a e <≤时,由①得()0g x ≥,即()0f x '≥. 所以()f x 在(0,)+∞上为增函数,又(1)0f =,当(0,1)x ∈时,()0f x < 所以(1)()0x f x ->;当[1,)x ∈+∞时,()0f x ≥,所以(1)()0x f x -≥. 所以(0,)x ∀∈+∞,适合(*)式.(ⅱ)当2ln 0a -<,即2a e >时,(1)0g <,1()10g a a=+>. 所以由零点存在性定理得0(1,)x a ∃∈,使()00g x =,又()g x 在(1,)+∞上为增函数 所以当()01,x x ∈时,()0<g x ,所以()f x 在()01,x 上为减函数又(1)0f =,所以当()01,x x ∈时,()0f x <,所以(1)()0x f x -<,不适合(*)式. 综上得,实数a 的取值范围为20a e <≤.【点睛】本题考查了不等式的性质,考查了函数的最值,考查了不等式恒成立问题.本题的难点在于最后一问,学生往往想不起来通过函数的单调性等来判断函数在某一区间的正负问题. 20.已知数列{}n a 的首项为1，各项均为正数，其前n 项和为n S ，112n nn n na a S a a ++=-,n *∈N .（1）求2a ,3a 的值;（2）求证：数列{}n a 为等差数列；（3）设数列{}n b 满足11b =，1n n n b b a +=，求证：111ni ib =≥∑. 【答案】(1)22a =,33a =;(2)证明见解析;(3)证明见解析. 【解析】 【分析】(1)令1,2n n == 即可求出2a ,3a 的值; (2)由112n n n n na a S a a ++=-得1112(2)n n n n n a a S n a a ---=≥-两式相减进行整理可得11(2)n n n n a a a a n +--=-≥,即可证明{}n a 为等差数列.(3)由(2)可知1n n b b n +=,11(2)n n b b n n -=-≥两式相减整理得111(2)n n nb b n b +-=-≥,则当2n ≥时,12111231111111nn n i i n b b b b b b b b b b +==++++=--++∑,通过放缩即可证明; 当1n =时,111b ≥.从而可证.【详解】解:(1)令1n =得,211212a a S a a =-,又11a =,解得22a =;令2n =得,122322a a S a a =-,即()1123222a a a a +=-,从而33a =.(2)因为112n n n n na a S a a ++=- ①;所以1112(2)n n n n n a a S n a a ---=≥- ② ①-②得,11112n n n n n n n n n a a a aa a a a a +-+-=---.因为数列{}n a 的各项均为正数,所以0n a >.从而11112n n n n n n a a a a a a +-+-=---.去分母得,()()()()1111112n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +----+--=---化简并整理得,21120n n n n n a a a a a +--+=,即112(2)n n n a a a n --=+≥,所以11(2)n n n n a a a a n +--=-≥.所以数列{}n a 等差数列.(3)由(2)知,1n n b b n += ③.当1n =时,211b b =,又11b =,所以21b =. 由③知,11(2)n n b b n n -=-≥ ④.③-④得,111(2)n n n n b b b b n +--=≥即()111(2)n n n b b b n +--=≥,依题意,0n b ≠,所以111(2)n n n b b n b +-=-≥. 当2n ≥时,112311111ni i nb b b b b ==++++∑ 31425321111n n n n b b b b b b b b b b b -+-=+-+-+-++-+-12111n n b b b b b +=--++1≥1=,当1n =时,111b ≥,原不等式也成立.综上得,111ni ib =≥∑. 【点睛】本题考查了由递推公式求项,考查了等差数列的定义,考查了放缩法,考查了数列求和.本题难点在于整理出111(2)n n nb b n b +-=-≥,从而对所证式子进行化简.涉及到n S 和n a 的递推公式时,一般代入公式11,1,2n nn a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 进行求解.。

2020年3月高三第三次在线大联考（江苏卷）数学I 试卷（满分：160分 考试时间：120分钟）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{2,}A b =，{2,3,5}B =，{2,3}A B =I ，则实数b 的值为 ． 2．i 是虚数单位，复数z 满足2ii 32iz +=-，则z = ． 3．已知双曲线2221(0)9x y a a -=>的焦距为10，则a = ．4．某单位A ，B ，C 三个部门的人数分别为240，80，160，为了解他们在“钉钉”平台上打卡的情况，用分层抽样的方法从中抽取容量为36的样本，则应从B 部门中抽取的人数为 ． 5．执行如图所示的伪代码，则输出的s = ．6．将一枚质地均匀且各面分别标有数字1,2,3,4的正四面体连续抛掷两次，记面朝下的数字依次为a 和b ，则点(,)a b 在直线2y x =上的概率为 ．7．已知函数3log ,0,()1,0,x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩若()(27)0f m f +=，则实数m 的取值等于 ．8．已知各项均不相等的数列{}n a 为等差数列，且1410,,a a a 恰为等比数列{}n b 的前三项.若6k a b =，则k = ．9．设实数,a b 满足22341,a ab b -+=则2a b +的最大值为 ． 10．在直角三角形ABC 中，已知一个锐角为π12，顶点A 、B 、C 在一个半径为6的球面上，且斜边过球O 的球心，P 为球面上一点，若PA PB PC ==,则三棱锥P ABC -的体积是 ．11．已知平面四边形ABCD 中，||4,BC =u u u r 22||||8AB AD -=u u u r u u u r ，且1,2AC BD ⋅=-u u u r u u u r 则||CD =u u u r ．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 为圆O :221x y +=上一点，且位于第一象限，直线2A P 交y 轴于点M ，直线21A B 交直线2B P 于点N ，连接MN .设直线2B P 的斜率为1k ，直线MN 的斜率为2k ,则12112k k -的值是 ．13．已知锐角ABC △的面积为1，内角A ,B ,C 所对的边分别为,,,a b c 且,a b c >>则()()a b c a b c +--+的取值范围是 ．14．已知函数3e ,1,()(1),1,xx f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪--<⎩若函数()()()g x f x ax a =-∈R 有2个零点，则a 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，点E 在棱PD 上，,AE CD ⊥PB PD ⊥，平面ABE ⊥平面,PAD CD ∥平面.ABE（1）求证：CD ∥平面PAB ； （2）求证：PD ⊥平面P AB .如图，单位圆O 与x 轴正半轴交于点A ，点B ，C 在圆O 上，且点11(,)3B y -在第二象限，点C 在第三象限.（1）若,AOB BOC ∠=∠求点C 的坐标；（2）若,,AOB BOC COA ∠∠∠的弧度数成等差数列，求cos COA ∠的值.17．（本小题满分14分）由于多种因素影响，某地猪肉价格节节攀升，该地方政府为落实“迅速采取有力措施稳定生猪生产，确保猪肉供应和市场基本稳定”这一重要指示，决定对宰杀生猪的定点厂家提供政府补贴，平衡猪肉的市场价格.设猪肉的市场价格为x 元/千克，政府补贴为a 元/千克，根据市场调查，当1636x ≤≤时，猪肉市场日供应量p 万千克近似地满足关系：368(1636,0)10p x a x a =+-≤≤≥，日需求量q 万千克近似地满足关系：22880(1636,).(4)q m x m x =+≤≤∈+R 已知猪肉市场价格为26元/千克时，日需求量为13.2 万千克，定义猪肉市场日供应量与日需求量相等时的市场价格为猪肉市场的平衡价格. （1）将政府补贴a 表示为市场平衡价格x 的函数，并求出该函数的值域； （2）为使市场的平衡价格不高于28元/千克，政府补贴应至少为每千克多少元? 18．（本小题满分16分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为12,,F F 点A 是椭圆上的任意一点，12||||AF AF ⋅的最大值为4，且椭圆C 的两条准线间的距离为8. （1）求椭圆C 的标准方程.（2）设点3(,)(0)2P t t <是椭圆上一点，圆2223:(1)(0).2E x y r r ++=<<①若直线:10m x y -+=，直线n 过点P ，且n m ⊥，直线n 被圆E 6r 的值. ②过点P 作两条直线12,l l 与圆E 相切且分别交椭圆于点M ,N ，求直线MN 的斜率.已知函数2()ln (0)f x x x ax a =-+>.（1）求出一个a 的值，使得曲线()y f x =与x 轴相切，并求此时切点的坐标； （2）讨论函数()f x 在区间(0,1)上的零点个数. 20．（本小题满分16分）若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得12n m a a a a ⋅⋅⋅=成立，则称数列{}n a 是“Q 数列”. （1）已知数列{}n a 的通项公式为1*2(),n n a n n -=+∈N 证明：数列{}n a 不是“Q 数列”.（2）已知在数列{}n b 中，*12(1)()3(1)(,1),n n q b b b q n q -++⋅⋅⋅+=-∈≠N 试问：是否存在常数q 使得数列{}n b 是“Q 数列”？若存在，求出q 的值（写出两个即可）；若不存在，请说明理由.数学Ⅱ（附加题）（满分：40分考试时间：30分钟）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知α∈R ，矩阵111α-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的一个特征值为2.（1）求α的值；（2）求矩阵A 的逆矩阵1-A .B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点ππ(1,),),36A B 圆C 经过点A ，圆心C 为直线π1sin()62ρθ+=与极轴的交点.（1）求圆C 的极坐标方程;（2）若P 是圆C 上一动点，求线段PB 长度的最大值. C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设x ∈R ，解不等式2|1||1|1x x x ++->.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）由数字0,1,2,3,4组成一个五位数α.（1）若α的各数位上数字不重复，求α是偶数的概率；（2）若α的各数位上数字可以重复，记随机变量X 表示各数位上数字是0的个数，求X 的分布列及数学期望.23．（本小题满分10分）已知0()(1)(),()nn k n n k f x k x n f x +*==+∈∑N 的展开式中含n x 的项的系数记为n S .（1）求3;S（2）求证：221(1)C .n n n S n ++=+2020年3月高三第三次在线大联考（江苏卷）数学 全解全析1．3 【解析】由{2,3}A B =I ,可知2A ∈且3A ∈，所以3b =. 2．2i - 【解析】由题意得2i 23i z +=+，则2i z =+，那么2i z =-.3．4 【解析】因为双曲线的焦距为10，所以5c =，因为2222,9,a b c b +==所以216,a =又0a >，所以 4.a = 4．6 【解析】由题意得，应从B 部门中抽取的人数为8036624080160⨯=++.5．21 【解析】执行题中的伪代码，可知：第一次循环，3,2;s i ==第二次循环，7,3;s i ==第三次循环，13,4;s i ==第四次循环，21,5,s i ==此时终止循环.故输出s 的值是21.6．18 【解析】根据题意易知(,)a b 的所有可能情况有：（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个，若点(,)a b 在直线2y x =上，则2b a =，而满足2b a =的(,)a b 的情况有：（1,2），（2,4），共2个,故所求概率为18.7．127或2- 【解析】∵33log ,0,()(27)log 273,1,0,x x f x f x x >⎧=∴==⎨-≤⎩又()(27)0,f m f +=()(27) 3.f m f ∴=-=-当0m >时，由3()log 3,f m m ==-得1;27m =当0m ≤时，由()13,f m m =-=-得 2.m =- 8．94 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为数列{}n a 的各项均不相等，所以0d ≠，因为1410,,a a a 恰为等比数列{}n b 的前三项，所以24110,a a a =即2111(3)(9),a d a a d +=+得13,a d =所以(2)k a k d =+，易知等比数列{}n b 的公比4162,3a dq a d===所以561296,b a d =⋅=所以(2)96,94.k d d k +== 9．【解析】因为22341a ab b -+=，所以22413,a b ab +=+所以2272(2)171(),22a b a b ab ++=+≤+⨯即2(2)8,a b +≤解得2a b -+≤当且仅当a b ==2a b +取得最大值10．36 【解析】因为斜边过球O 的球心,所以直角三角形ABC 所在的圆是过球心的一个大圆,所平面ABC 上的射影为ABC △的外心O ,连接PO ,则PO ⊥平面ABC ,且6,PO =所以P ABC V -=11．3 【解析】解法一：()()AC BD AD DC BC CD ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =2AD BC AD CD DC BC CD ⋅+⋅+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r12=-①，又2()()AC BD AB BC BA AD AB AB AD BC BA ⋅=+⋅+=-+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r BC AD +⋅u u u r u u u r 12=-②，①+②得22()()AD BC CD DC BC CD AB AB AD BC BA AD ⋅++⋅--+⋅+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1=-，∴221AD BD DC BC CD AB AB AD BC BD ⋅+⋅--+⋅+⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，22()()1AD BD AB CD AB BC BD DC ∴⋅+--+⋅+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,22221AD BC CD AB ∴+--=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，又||4,BC =u u u r 22||||8AB AD -=u u u r u u u r ，2||9,|| 3.CD CD ∴==u u u r u u u r解法二：∵22||||8AB AD -=u u u r u u u r ，∴22()()8,AC CB AC CD +-+=u u u r u u u r u u u r u u u r 即2222228AC CB AC CB AC CD AC CD ++⋅---⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,222()8CB AC CB CD CD ∴+⋅--=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，2228.CB AC DB CD ∴+⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u r又||4,BC =u u u r 12AC BD ⋅=-u u u r u u u r ，2||9,|| 3.CD CD ∴==u u u r u u u r12．12- 【解析】解法一：由题意可知212(1,0),(0,1),(0,1)A B B -，因为直线2B P 的斜率为1k ，所以直线2B P的方程为11y k x =+，由12211y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得211221121(,),11k k P k k --++则直线2A P 的方程为111(1),1k y x k -=-+令0,x =则111,1k y k -=+即111(0,)1k M k -+，易知直线21A B 的方程为1,y x =-由111y x y k x =-⎧⎨=+⎩，得11112(,)11k N k k +--， 所以直线MN 的斜率1111121111112211k k k k k k k k +---+==+-，所以12111.22k k -=- 解法二：由题意可知212(1,0),(0,1),(0,1)A B B -,设0000(,),01,01P x y x y <<<<，则0101y k x -=,所以直线2B P 的方程为0011.y y x x -=+易知直线21A B 的方程为1,y x =-则由00111y x y y x x =-⎧⎪-⎨=+⎪⎩，得000000021(,)11x x y N x y x y +--+-+,易知直线2A P 的方程为00(1).1y y x x =--则00(0,),1y M x -又22001,x y +=所以00201,1x y k x +-=-则12111.22k k -=-13． 【解析】因为ABC △是锐角三角形，且,a b c >>所以π2A B C >>>,故ππ.32A <<记ABC △的面积为,()(),S T a b c a b c =+--+则由三角形的面积公式及余弦定理可得1sin ,2S bc A =22222(1cos ),T a b c bc bc A =--+=-所以4(1cos )sin T A T S A -==4=⋅22sin 24tan 22sin cos22A A A A = 43(,4)∈. 14．227e (,)(e,){}44-∞-+∞U U 【解析】当1x ≥时,2e e (1)(),()0,x x x f x f x x x -'==≥所以()f x 在[1,)+∞上单调递增，作出()y f x =的大致图象如图所示：①当直线y ax =与曲线e (1)x y x x =≥相切时，设切点为111e (,)x A x x .由1x ≥时，e ()x f x x =，2e (1)(),x x f x x -'=得121e x x =1121e (1),x x x -解得12x =，此时2e .4a =结合图象可知，当2e 4a =时，若1x ≥，则方程()f x ax =有1个根，若1x <，则方程()f x ax =也有1个根.故()()g x f x ax =-在R 上有2个零点.因为(1)e f =，所以曲线e (1)xy x x=≥的左端点的坐标为(1,e)，由图象可知，当e a >时，()()g x f x ax =-有2个零点.②当直线y ax =与曲线3(1)(1)y x x =--<相切时，设切点为322(,(1)),B x x --由332(1)3y x x x =--=-+ 31x -+，得223633(1)y x x x '=-+-=--，所以32222(1)3(1),x x x --=--解得212x =-，此时27.4a =-由图可得，当274a <-时，直线y ax =与曲线3(1)(1)y x x =--<有2个不同的交点，即()()g x f x ax =-有2个零点.综上可得，当274a <-或e a >或2e 4a =时，函数()()g xf x ax =-()a ∈R 有2个零点.15．（本小题满分14分）【解析】（1）因为CD ∥平面,ABE CD ⊂平面ABCD ，平面ABCD I 平面ABE AB =，所以.CD AB ∥（3分）因为CD ⊄平面,PAB AB ⊂平面PAB ， 所以CD ∥平面PAB .（6分） （2）因为,,CD AB AE CD ⊥∥ 所以,AB AE ⊥（8分）又平面ABE ⊥平面PAD ,平面ABE I 平面,PAD AE AB =⊂平面,ABE 所以AB ⊥平面PAD .（10分） 因为PD ⊂平面,PAD 所以,AB PD ⊥（12分）又,PB PD PB ⊥⊂平面,PAB AB ⊂平面,,PAB PB AB B =I 所以PD ⊥平面PAB .（14分） 16．（本小题满分14分）【解析】（1）设,AOB BOC α∠=∠=因为点11(,)3B y -在单位圆O 上，所以1cos .3α=-（2分）因为点B 在第二象限，所以sin α=（4分） 所以2217cos22cos 12()1,39αα=-=⨯--=-1sin 22sin cos 2()3ααα==-=（6分）所以点C 的坐标为7(,9-.（7分）（2）因为,,AOB BOC COA ∠∠∠的弧度数成等差数列，所以2,AOB COA BOC ∠+∠=∠ 又2πAOB COA BOC ∠+∠+∠=, 所以2π.3BOC ∠=（9分） 设,AOB β∠=则242π(π)π,33COA ββ∠=-+=-（10分）由题得1cos ,sin 3ββ=-=所以4cos cos(π)3COA β∠=-44cos πcos sin πsin 33ββ=+11()(23=-⨯-+=（14分）17．（本小题满分14分）【解析】（1）因为当猪肉市场价格为26 元/千克时，日需求量为13.2万千克， 所以2288013.2,30m +=解得10.m =（1分）根据题意，由232880,6810,10(4)p q x a x =+-=++得 所以24803(1636)(4)20x a x x =+-≤≤+.（3分） 设4(2040),x t t +=≤≤所以216480(2040),520ta t t =+-≤≤ 所以396010,20a t '=--<所以a 是关于t 的减函数，（5分） 所以当20t =时，max 166171555a =+-=；当40t =时，min 216480403,540202a =+-= 所以函数24803(1636)(4)20x a x x =+-≤≤+的值域为317[]25，.（7分） （2）由（1）得24803(1636),28(4)20x a x x x =+-≤≤=+时248028331,3,3220160a =+-=（10分） 由（1）易知a 是关于x 的减函数，所以欲使28,x ≤则需331.160a ≥（13分） 答：要使市场的平衡价格不高于28元/千克，政府补贴应至少为331160元/千克.（14分） 18．（本小题满分16分）【解析】（1）易知221212||||||||().2AF AF AF AF a +⋅≤=由题意知24a =，所以2a =，（2分）又椭圆C 的两条准线间的距离为8，所以228a c =，解得1c =，故23b =. 所以所求椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（4分） （2）由点3(,)2P t 是椭圆上一点得，223()2143t +=，所以1,t =±又0t <，所以1,t =-即3(1,)2P -.（6分）①因为直线:10m x y -+=，直线n 过点P ，且,n m ⊥ 所以直线n 的方程为3(1)2y x -=-+，即102x y +-=，（7分）又直线n 被圆E ，所以2221|1|,r --+=得r .（9分） ②显然直线12,l l 的斜率存在且不为0，分别设为12,k k ，由于直线12,l l 与圆2223(1)(0)2x y r r ++=<<相切，所以12k k =-.（10分）由题意得直线113:(1)2l y k x -=+，联立方程，得2211433(1)2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩，可得222111133(34)8()4()12022k x k k x k +++++-=，（12分）设1122(,),(,)M x y N x y ，则1112138()2134k k x k +-=-+，即211121412334k k x k --+=+, 同理211221412334k k x k -++=+，则211121222112486,,3434k k x x x x k k --+-=+=++（14分） 所以2111211211122118612()2()23434k k y y k x x k k k k k -+-=++=+=++， 所以直线MN 的斜率121211122112341.24234k y y k k k x x k -+===---+ 故直线MN 的斜率为1.2-（16分）19．（本小题满分16分）【解析】（1）2121()2,x ax f x x a x x-++'=-+=设切点坐标为(,0)b ，则切线的斜率为221()b ab f b b-++'=，（2分）易知2()0,0ln ,f b b b ab '==-+且所以2ln 10b b +-=，注意到2()ln 1h b b b =+-在(0,)+∞上单调递增，且(1)0h =. 所以可知1a b ==满足以上两个等式，（4分）所以当1a =时，曲线()y f x =与x 轴相切，此时切点的坐标为(1,0).（5分）（2）对于方程22210,80x ax a ∆-++==+>，则两根分别为00x =>，10x =<.（6分）①当01x =时，1,a =当01x <<时，()0,()f x f x '>单调递增.因为(1)0,f =所以当01x <<时，()0f x <恒成立，即()f x 无零点.（8分） ②当01(1)0,1x f a '>>>时，，当01x <<时，()0,()f x f x '>单调递增， 因为1(1)10,0e e 1,a f a --=-><<<所以22(e )e e (e 1)e 0,a a a a a f a a a -----=--+=--< 所以()f x 在(0,1)上有1个零点.（12分） ③当001x <<时，(1)0,01,f a '<<<当00x x <<时，()0,f x '>当01x x <<时，()0,f x '<所以()f x 在(0,1)上的最大值2max 0000()()ln ,f x f x x x ax ==-+ 又20021,ax x =-所以222000000()ln 21ln 1,f x x x x x x =-+-=+-由（1）知2ln 1y x x =+-在(0,1)上单调递增，且1x =时，0,y =所以0()0,f x < 所以()f x 在(0,1)上无零点，综上，当01a <≤时，()f x 无零点；当1a >时，()f x 有一个零点.（16分） 20．（本小题满分16分）【解析】（1）假设数列{}n a 是“Q 数列”，则对任意正整数n ，总存在正整数m 满足011(12)(22)(2)n m n a -++⋅⋅⋅+=，（1分） 取1,n =存在1m =满足条件，（2分）取2,n =存在正整数2,m ≥满足01(12)(22),m a ++=即1182,82.m m m m --=+-= 因为2,m ≥所以186,22,m m --≤≥ 所以1226m -≤≤，所以23,m =或（4分） 因为2131822832---≠-≠且，所以假设不成立，故数列{}n a 不是“Q 数列”.（6分） （2）因为*12(1)()3(1)(,1),n n q b b b q n q -++⋅⋅⋅+=-∈≠N 所以1*121(1)()3(1)(,2,1),n n q b b b q n n q ---++⋅⋅⋅+=-∈≥≠N 所以1*(1)3()(,2,1),n n n q b q q n n q --=-∈≥≠N 所以1*3(,2,1),n n b q n n q -=∈≥≠N （8分）又1(1)3(1)(1)q b q q -=-≠，所以13,b =所以13(*,1).n n b q n q -=∈≠N 所以(1)12(1)21233n nn n n nb b b q q-++⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅==，（10分）若{}n b 是“Q 数列”，则对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得(1)1233n nn m q q--=成立，即(1)(1)123n nm nq----=成立，（12分） ①当(1)(1)1,2n n m n ---=-即(1)2n nm +=时,可取3q =，此时满足题意；（14分） ②当(1)(1)1,2n n m n ---=-即2(1)34(2)122n n n n m n --+=+-=≥时，可取1,3q =此时满足题意. 综上，存在常数3q =或13q =使得数列{}n b 是“Q 数列”.（16分）注：常数q 可取其他值，只要正确均给分，少写一个，扣1分. 21A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）【解析】（1）矩阵A 的特征多项式为11()(1)()11f λλλλαλα-==--+--，（2分） 则(2)0,f =解得3α=.（5分） （2）由（1）知矩阵1113-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，所以det()13(1)14,=⨯--⨯=A 所以13144.1144-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A （10分） 21B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）【解析】（1）在π1sin()62ρθ+=中，令0,θ=得1,ρ=所以圆心C 的坐标为（1,0）.（2分）连接AC ，因为圆C 经过点π(1,),3A所以圆C 的半径||1AC =，（4分） 于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为2cos .ρθ=（5分） （2）连接,,OB BC在OBC △中，||BC ==（8分）所以PB 1.（10分） 21C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）【解析】当1x ≤-时，原不等式可化为2(1)(1)1x x x --+->，解得31;2x -<≤-（3分）当11x -<<时，原不等式可化为2(1)(1)1x x x ++->，解得112x -<<-或01x <<；（6分）当1x ≥时，原不等式可化为2(1)(1)1x x x ++->， 解得 1.x ≥（9分）综上，原不等式的解集为31{|22x x -<<-或0}x >.（10分）22．（本小题满分10分）【解析】（1）由0,1,2,3,4组成的五位数共有5454A A 96-=（个）,其中是偶数的，第一类，个位是0，有44A 24=（个）;（2分）第二类，个位是2或4，有113233C C A 36=(个)，所以α是偶数的概率为24365.968P +==（5分） （2）因为首位一定不为0，第2位至第5位，各数位上数字为0的概率均是15，且相互独立，所以X 1~(4,).5B （6分）所以4411()C ()(1),0,1,2,3,4,55i ii P X i i -==-=所以X 的概率分布列为（8分）14()4.55E X =⨯=（10分）23．（本小题满分10分）【解析】（1）当3n =时，4563()(1)2(1)3(1)f x x x x =+++++，其展开式中含3x 的项的系数为3333456C 2C 3C 4206084.S =++=++=（4分）（2）因为1()!()!C (1)(1)C ,!!(1)!(1)!nn n k n k n k n k k k n n k n k n +++++=⋅=+⋅=+⋅-⋅+ 122()(1)2(1)(1)(1),n n n k n n f x x x k x n x +++=++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++（6分）所以()n f x 的展开式中含n x 的项的系数为122C 2C C C n n n nn n n n k n S k n +++=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+1111122(1)(C C C C )n n n n n n n k n n +++++++=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+21112232(1)[(C C )C C ]n n n n n n n n n +++++++=++++⋅⋅⋅+211332(1)[(C C )C ]n n n n n n n +++++=+++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅2122(1)(C C )n n n n n ++=++221(1)C .n n n ++=+（10分）。

海安中学2020届高三阶段测试三数 学 试 卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．设全集{1U =，2，3，4，5}，若{1UA =，2，4}，则集合A = ．解：全集{1U =，2，3，4，5}， 若{1UA =，2，4}，则集合{3A =，5}． 故答案为：{3，5}．2．已知复数z 满足(2)1(z i i i -=+为虚数单位），则z 的模为 ． 解：复数z 满足(2)1(z i i i -=+为虚数单位），21()(1)22i i i z i i +-+∴=+=+-213i i =+-=-，||z ∴=，3．已知一组数据123,,,n a a a a 的平均数为a ，极差为d ，方差为2S ，则数据12+1a ，22+1a ，32+1a ，2+1n a 的方差为_____.故答案为：24S4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ．解：模拟执行伪代码，可得：111111111100(1)()()11223101122310111111S =+++⋯+=-+-+⋯+-=-=⨯⨯⨯．故答案为：1011． 5．从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中无重复的个数为 ．解：从0、2中选一个数字0，则0不只能排在百位，从1、3、5中选两个数字之一排在百位，共有122312A A =种； 从0、2中选一个数字2，从1、3、5中选两个数字全排列，共有233318C A =种； 故共有121830+=种． 故答案为：30．6．在平面直角坐标系xoy 中，若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>线C 的渐近线方程为 ．解：因为22()1()10c b a a =+=，所以3ba =，所以渐近线方程为3y x =±．故答案为：3y x =±． 7．将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后得到函数4sin(2)3y x π=-的图象，则()4f π的值为 ．解：由将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后得到函数4sin(2)3y x π=-的图象， 可得把函数4sin(2)3y x π=-的图象向左平移6π个单位后得函数()f x 的图象，故()4sin(2)4sin 233f x x x ππ=+-=，则()4sin 442f ππ==，故答案为：4．8．设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0，)+∞上是单调减函数，且2(3)f x x f -+（2）0>，则实数x 的取值范围是 ．解：根据题意，()f x 是在R 上的奇函数()f x ，且在区间[0，)+∞上是单调减函数， 则其在区间(,0])-∞上递减， 则函数()f x 在R 上为减函数，2(3)f x x f -+（2）20(3)f x x f >⇒->-（2）22(3)(2)32f x x f x x ⇒->-⇒-<-，解可得：12x <<；即实数x 的取值范围是(1,2)；故答案为：(1,2)．9．在锐角三角形ABC中，3sin5A=，1tan()3A B-=-，则3tan C的值为．解：锐角三角形ABC中，3sin5A=，1tan()3A B-=-，A B∴<，4cos5A==，sin3tancos4AAA==．3tan1tan tan4tan()331tan tan1tan4BA BA BA B B---=-==++，13tan9B∴=．则tan tan3tan3tan()3791tan tanA BC A BA B+=-+=-=-，故答案为：79．10．设nS为数列{}na的前n项和，若*3(1)()n nS na n n n N=--∈，且211a=，则20S的值为．解：由2122232(21)S a a a=+=-⨯-，211a=，可得15a=．解法1：当2n时，由1n n na S S-=-，得13(1)[(1)3(1)(2)]n n na na n n n a n n-=-------，1(1)(1)6(1)n nn a n a n-∴---=-，即*16(2,)n na a n n N--=∈，∴数列{}na是首项15a=，公差为6的等差数列，202019205612402S⨯∴=⨯+⨯=．解法2：当2n时，由13(1)()3(1)n n n nS na n n n S S n n-=--=---，可得1(1)3(1)n nn S nS n n---=-，∴131n nS Sn n--=-，∴数列{}nSn是首项151S=，公差为3的等差数列，∴2053196220S=+⨯=，201240S∴=．11.设正实数x，y满足x yxyx y+=-，则实数x的最小值为．解：由正实数x，y满足x yxyx y+=-，化为22(1)0xy x y x+-+=，∴22221212(1)401010x x x y y x y y ⎧=--⎪-⎪+=>⎨⎪=>⎪⎩，化为426101x x x ⎧-+⎨>⎩， 解得21x+．因此实数x1．1．12．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F 分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ，则四棱锥1A AEFD -的体积为 ．解：连接DE ，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F 分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ， ∴11A AED A FED V V --=，∴11113A AED E A AD A ADV V SAB --==111111119662A ADD ABCD A C D S AB V -===， ∴四棱锥1A AEFD -的体积19A AEFD V -=．故答案为：9．13．已知向量a ，b ，c 满足0a b c ++=，且a 与b 的夹角的正切为12-，b 与c 的夹角的正切为13-，||2b =，则a c 的值为 ．解：可设ABa =，BCb =，CAc =，由题意可得1tan 2B =，1tan 3C =， 则11tan tan 23tan tan()1111tan tan 123B C A B C B C ++=-+=-=-=---⨯， 即为135A =︒，又B ，C 为锐角，22sin cos 1B B +=，sin 1cos 2B B =，可得sin B =同理可得sin C =由正弦定理可得2sin1355==︒ 即有210||5c =，25||5a =， 则2102524||||cos455525a c c a =︒==．故答案为：45．14．已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件： ①x R ∀∈，()0f x <或()0g x <； ②(,4)x ∃∈-∞-，()()0f x g x <． 则m 的取值范围是 ． 解：对于①()22x g x =-，当1x <时，()0g x <，又①x R ∀∈，()0f x <或()0g x <()(2)(3)0f x m x mx m ∴=-++<在1x 时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x 轴交点都在(1,0)的左面 则03121m m m <⎧⎪--<⎨⎪<⎩40m ∴-<<即①成立的范围为40m -<<又②(,4)x ∈-∞-，()()0f x g x < ∴此时()220x g x =-<恒成立()(2)(3)0f x m x m x m ∴=-++>在(,4)x ∈-∞-有成立的可能，则只要4-比1x ，2x 中的较小的根大即可，()i 当10m -<<时，较小的根为3m --，34m --<-不成立， ()ii 当1m =-时，两个根同为24->-，不成立，()iii 当41m -<<-时，较小的根为2m ，24m <-即2m <-成立．综上可得①②成立时42m -<<-． 故答案为：(4,2)--．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（本小题满分14分）已知ABC ∆的面积为，且()18AC AB CB -=，向量(tan tan ,sin 2)m A B C =+和向量(1,cos cos )n A B =是共线向量．（1）求角C ；（2）求ABC ∆的边长c ． 解：（1）//m n ，(tan tan )cos cos sin 2A B A B C ∴+=，即sin cos cos sin sin2A B A B C +=，sin()sin 2A B C ∴+=，sin 2sin cos C C C ∴= sin 0C ≠，∴1cos 2C =， (0,)C π∈ ∴3C π=（2）由()18AC AB CB -=得：2()18AC AB BC AC +==，∴113sin 3293222b ab C a ====∴a =2222cos 54c a b ab C ∴=+-=，∴c =16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，且AB =1BC =，E ，F 分别为AB ，PC 中点．（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）若平面PAC ⊥平面ABCD ，求证：平面PAC ⊥平面PDE ．证明：（1）方法一：取线段PD 的中点M ，连接FM ，AM ．因为F 为PC 的中点，所以//FM CD ，且12FM CD =．因为四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点，所以//EA CD ，且12EA CD =．所以//FM EA ，且FM EA =． 所以四边形AEFM 为平行四边形． 所以//EF AM ．又AM ⊂平面PAD ，EF ⊂/平面PAD ，所以//EF 平面PAD ． 方法二：连接CE 并延长交DA 的延长线于N ，连接PN ． 因为四边形ABCD 为矩形，所以//AD BC ， 所以BCE ANE ∠=∠，CBE NAE ∠=∠．又AE EB =，所以CEB NEA ∆≅∆．所以CE NE =． 又F 为PC 的中点，所以//EF NP ．⋯（5分）又NP ⊂平面PAD ，EF ⊂/平面PAD ，所以//EF 平面PAD ． 方法三：取CD 的中点Q ，连接FQ ，EQ ．在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，所以AE DQ =，且//AE DQ ． 所以四边形AEQD 为平行四边形，所以//EQ AD ．又AD ⊂平面PAD ，EQ ⊂/平面PAD ，所以//EQ 平面PAD ． 因为Q ，F 分别为CD ，CP 的中点，所以//FQ PD ． 又PD ⊂平面PAD ，FQ ⊂/平面PAD ，所以//FQ 平面PAD ． 又FQ ，EQ ⊂平面EQF ，FQEQ Q =，所以平面//EQF 平面PAD ．因为EF ⊂平面EQF ，所以//EF 平面PAD ． （2）设AC ，DE 相交于G ．在矩形ABCD 中，因为AB ，E 为AB 的中点．所以DA CDAE DA= 又DAE CDA ∠=∠，所以DAE CDA ∆∆∽，所以ADE DCA ∠=∠． 又90ADE CDE ADC ∠+∠=∠=︒，所以90DCA CDE ∠+∠=︒． 由DGC ∆的内角和为180︒，得90DGC ∠=︒．即DE AC ⊥． 因为平面PAC ⊥平面ABCD因为DE ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥平面PAC ， 又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE ．17．（本小题满分14分）如图，OM ，ON 是两条海岸线，Q 为海中一个小岛，A 为海岸线OM 上的一个码头．已知tan 3MON ∠=-，6OA km =，Q 到海岸线OM ，ON 的距离分别为3km ．现要在海岸线ON 上再建一个码头，使得在水上旅游直线AB 经过小岛Q ． （1）求水上旅游线AB 的长；（2）若小岛正北方向距离小岛6km 处的海中有一个圆形强水波P ，从水波生成th 时的半径为r a =为大于零的常数）．强水波开始生成时，一游轮以/h 的速度自码头A 开往码头B ，问实数a 在什么范围取值时，强水波不会波及游轮的航行．解：（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立直角坐标系如图所示． 则由题设得：(6,0)A ，直线ON 的方程为3y x =-，0(Q x ，03)(0)x >．=00x > 得03x =，(3,3)Q ∴． ∴直线AQ 的方程为(6)y x =--，即60x y +-=，由360y xx y =-⎧⎨+-=⎩ 得39x y =-⎧⎨=⎩ 即(3,9)B -，∴AB ==即水上旅游线AB 的长为． （2）设试验产生的强水波圆P ，由题意可得(3,9)P ，生成t 小时时，游轮在线段AB 上的点C 处，则AC =，102t，(618,18)C t t ∴-． 强水波不会波及游轮的航行即2210,2PC r t ⎡⎤>∈⎢⎥⎣⎦对恒成立．2222(183)(189)9PC t t r at =-+->=，当0t = 时，上式恒成立，当10,0,2t t ⎛⎤≠∈ ⎥⎝⎦时即时，()101017248.7248,0,2a t g t t t t t ⎛⎤<+-=+-∈ ⎥⎝⎦令，10()724824548g t t t=+--，当且仅当1(0,]2t 时等号成立，所以，在048a << 时r PC < 恒成立，亦即强水波不会波及游轮的航行．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点，其左、右焦点分别为1F 、2F，离心率为2． （1）求椭圆E 的方程；（2）若A 、B 分别为椭圆E 的左、右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P ．()i 求证：OP OM 为定值；()ii 设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，问：直线MQ 是否过定点，并说明理由． 解：（1）由题意可得2213122a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩且222a b c -=，解得2a =，b =，即有椭圆方程为22142x y +=； （2）()i 证明：由(2,0)A -，(2,0)B ，MB AB ⊥， 设0(2,)M y ，1(P x ，1)y ， 可得00:42y y MA y x =+， 代入椭圆方程可得，2222000(1)40822y y y x x +++-=，由201204(8)28y x y --=+，可得201202(8)8y x y -=-+，00011208428y y yy x y ==+=+，则200022004(8)8488y y OP OM y y y -=-+=++为定值； ()ii 直线MQ 过定点(0,0)O ．理由如下：由题意可得2001222100088282(8)2(8)PBy y y k x y y y +==-+---+02y =-， 由PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ， 可得MQ PB ⊥，即有02MQ y k =． 则直线0:0(2)2y MQ y y x -=-， 即02y y x =， 故直线MQ 过定点(0,0)O ． 19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足：123a a a k ===（常数0)k >，*112(3,)n n n n k a a a n n N a -+-+=∈．数列{}n b 满足：*21()n n n n a a b n N a +++=∈． （1）求1b ，2b ，3b ，4b 的值； （2）求出数列{}n b 的通项公式；（3）问：数列{}n a 的每一项能否均为整数？若能，求出k 的所有可能值；若不能，请说明理由．解：（1）由已知可知：41a k =+，52a k =+，624a k k=++． 把数列{}n a 的项代入21n n n n a a b a +++=，求得132b b ==，2421k b b k+==；（2）由*112(3,)n n n n k a a a n n N a -+-+=∈，可知：121n n n n a a k a a +--=+．⋯① 则：211n n n n a a k a a +-+=+．⋯② ①-②有：2211n n n nn n a a a a a a +-+-++=，即：2n n b b -= ∴132123122n n a a b b b a --+==⋯===，242222321n n a a k b b b a k-++==⋯===． ∴41(1)22nn k b k k+-=+；（3）假设存在正数k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数， 则由（2）可知：2122122212221n n n n n n a a a k a a a k +-++=-⎧⎪+⎨=-⎪⎩，⋯③ 由1a k Z =∈，624a k Z k =++∈，可知1k =，2．当1k =时，213k k+=为整数，利用1a ，2a ，3a Z ∈，结合③式，可知{}n a 的每一项均为整数；当2k =时，③变为2122122212252n n n n n n a a a a a a +-++=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，⋯④ 用数学归纳法证明21n a -为偶数，2n a 为整数．1n =时，结论显然成立，假设n k =时结论成立，这时21n a -为偶数，2n a 为整数，故212212n n n a a a +-=-为偶数，22n a +为整数，1n k ∴=+时，命题成立． 故数列{}n a 是整数列．综上所述，k 为1，2时，数列{}n a 是整数列． 20．（本小题满分16分）设函数()()f x x a lnx x a =--+，a R ∈． （1）若0a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若0a <，试判断函数()f x 在区间2(e -，2)e 内的极值点的个数，并说明理由； （3）求证：对任意的正数a ，都存在实数t ，满足：对任意的(,)x t t a ∈+，()1f x a <-． 解：（1）当0a =时，()f x xlnx x =-，()f x lnx '=， 令()0f x '=，1x =，列表分析故()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞． （2）()()f x x a lnx x a =--+，()af x lnx x'=-，其中0x >，令()g x xlnx a =-，分析()g x 的零点情况．()1g x lnx '=+，令()0g x '=，1x e=，列表分析11()()min g x g a e e==--，而11()1f ln ae ae e e '=-=--，222()2(2)f e ae ae -'=--=-+，221()2(2)22a f e e a e e '=-=-，①若1a e -，则()0a f x lnx x '=-，故()f x 在2(e -，2)e 内没有极值点；②若122a e e -<<-，则11()0f ln ae e e '=-<，22()(2)0f e ae -'=-+>，221()(2)02f e e a e '=->，因此()f x '在2(e -，2)e 有两个零点，()f x 在2(e -，2)e 内有两个极值点； ③若202a e -<，则11()0f ln ae e e '=-<，22()(2)0f e ae -'=-+，221()(2)02f e e a e '=->，因此()f x '在2(e -，2)e 有一个零点，()f x 在2(e -，2)e 内有一个极值点；综上所述，当(a ∈-∞，1]e -时，()f x 在2(e -，2)e 内没有极值点；当1(a e ∈-，2)2e -时，()f x 在2(e -，2)e 内有两个极值点；当2[2a e ∈-，0)时，()f x 在2(e -，2)e 内有一个极值点． （3）猜想：(1,1)x a ∈+，()1f x a <-恒成立． 证明如下：由（2）得()g x 在1(e ，)+∞上单调递增，且g （1）0a =-<，(1)(1)(1)g a a ln a a +=++-．因为当1x >时，11(*)lnx x >-，所以1(1)(1)(1)01g a a a a +>+--=+．故()g x 在(1,1)a +上存在唯一的零点，设为0x ． 由知，(1,1)x a ∈+，(){f x max f <（1），(1)}f a +． 又(1)(1)1f a ln a +=+-，而1x >时，1(**)lnx x <-， 所以(1)(1)111f a a a f +<+--=-=（1）． 即(1,1)x a ∈+，()1f x a <-．所以对任意的正数a ，都存在实数1t =，使对任意的(,)x t t a ∈+，使()1f x a <-． 补充证明(*): 令1()1F x lnx x =+-，1x ．111()022x F x x x x -'=-=， 所以()F x 在[1，)+∞上单调递增．所以1x >时，()F x F >（1）0=，即11lnx x>-． 补充证明(**)令()1G x lnx x =-+，1x ．1()10G x x'=-， 所以()G x 在[1，)+∞上单调递减．所以1x >时，()G x G <（1）0=，即1lnx x <-．海安中学2020届高三阶段测试三数学附加题21．[选做题，本题包括三小题，请选定其中两题，并在相应区域作答] A.已知二阶矩阵[]a b A c d =，矩阵A 属于特征值11λ=-的一个特征向量为11[]1a =-，属于特征值24λ=的一个特征向量为13[]2a =．求矩阵A ．解：由特征值、特征向量定义可知，111A αλα=， 即1111111a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11a b c d -=-⎧⎨-=⎩ 同理可得3212328a b c d +=⎧⎨+=⎩ 解得2a =，3b =，2c =，1d =．因此矩阵2321A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． B ．在极坐标系中，已知(A 1，3π )，(B 9，3π)，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及ABC ∆的面积． 解：由题意，线段AB 的中点坐标为(5,)3π，设点(,)P ρθ为直线l 上任意一点， 在直角三角形OMP 中，cos()53πρθ-=，所以，l 的极坐标方程为cos()53πρθ-=，令0θ=，得10ρ=，即(10,0)C ．（8分）所以，ABC ∆的面积为：1(91)10sin 23π⨯-⨯⨯=．22．已知实数a ，b 满足||2a b +，求证：22|22|4(||2)a a b b a +-++． 证明：由||||||2b a a b -+，可得||||2b a +，22|22||()()2()|a a b b a b a b a b +-+=+-++|||2|2|2|a b a b a b =+-+-+，要证22|22|4(||2)a a b b a +-++，即证|2|2(||2)a b a -++， 由于|2|||||2a b a b -+++，即证||||22(||2)a b a +++， 即为||||2b a +，显然成立．故原不等式成立．23．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2．若DC AB λ=，且向量PC 与BD ． （1）求实数λ的值；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．解：以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系； 则：(0A ，0，0)，(1B ，0，0)，(0D ，2，0)，(0P ，0，2)；DC AB λ=， 可得(C λ，2，0)．（1）(PC λ=，2，2)-，(1BD =-，2，0)，向量PC 与BD ．4814+=+，解得10λ=（舍去）或2λ=．实数λ的值为2．；（2）(2PC =，2，2)-，(0PD =，2，2)-，平面PCD 的法向量(n x =，y ，)z ． 则0n PC =且0n PD =，即：0x y z +-=，0y z -=，0x ∴=，不妨去1y z ==， 平面PCD 的法向量(0n =，1，1)．又(1PB =，0，2)．故cos ,||||n PB n PB n PB <>==-．直线PB 与平面PCD ．24．已知数列{}n a 的通项公式为]n nn a -，*n N ∈．记1212nn n n n n S C a C a C a =++⋯+．（1）求1S ，2S 的值；（2）求所有正整数n ，使得n S 能被8整除．解：（1）1212nn nn n n S C a C a C a =++⋯+ 122151515()())222nn nn n C C C +++=++⋯+- 122151515(()())]222nn nn n C C C ---++⋯+(1]n n=+-+]n n =-， 即有151S ==；2353S ==；（2）]n nn S =-，222]]n n n n n S +++=-=-1]3n nn n S S +--=-， 即213n n n S S S ++=-，*n N ∈，因此2n S +除以8的余数，完全由1n S +，n S 除以8的余数确定， 因为11a =，21a =，所以11111S C a ==，12221223S C a C a =+=，3213918S S S =-=-=， 432324321S S S =-=-=，543363855S S S =-=-=， 654316521144S S S =-=-=，765343255377S S S =-=-=， 87631131144987S S S =-=-=，987329613772584S S S =-=-=，由以上计算及213n n n S S S ++=-可知，数列{}n S 各项除以8的余数依次是： 1，3，0，5，7，0，1，3，0，5，7，0，⋯，它是一个以6为周期的数列，从而n S 除以8的余数等价于n 除以3的余数， 所以3n k =，*k N ∈，即所求集合为：{|3n n k =，*}k N ∈．。

2020届江苏省南通市海安高级中学高三阶段测试三数学试题一、填空题1 •设全集U {1,2,3,4,5},若e u A {1,2,4}，则集合A ______________【答案】{3,5}.【解析】直接求根据Q J A{1,2,4}求出集合A即可.【详解】解：因为全集u {1,2,3,4,5}若Qj A {1,2, 4},则集合A {3,5}.故答案为：{3,5}.【点睛】本题考查补集的运算，是基础题2.已经复数z满足（z 2）i 1 i （i是虚数单位），则复数z的模是【解析】【详解】Q(z 2)i 1 i ,z 口2 口3 i, i iz 10, 故答案为.,10.3•已知一组数据a i,a2,a3，…，a.的平均数为a,极差为d,方差为S2，则数据2a1 1, 2a2 1, 2a3 1，…，2a. 1 的方差为_____________________ .【答案】4S2【解析】根据在一组数据的所有数字上都乘以同一个数字，得到的新数据的方差是原来数据的平方倍，得到结果.【详解】解：T数据a!,a2,a3，…，a n的方差为S2, •••数据2a1 1,2a2 1,2比1，…，2a. 1 的方差是S2 22 4S2, 故答案为：4S2.【点睛】此题主要考查了方差，关键是掌握方差与数据的变化之间的关系.4 •如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为__________ .»***-•** ----- ---{ ;I Forj From i T Q IO Stqi!:I ■―—I: 曙H) ；* ):End For :< I'Prints :____ *_________________ —10【答案】101111 1 1 10 【解析】由题设提供的算法流程图可知：S 1 -1 2 2 3 10 11 11 1110应填答案10•115 .从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为______ 。

海安中学2020届高三阶段测试三数 学 试 卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．设全集{1U =，2，3，4，5}，若{1U A =ð，2，4}，则集合A = ． 2．已知复数z 满足(2)1(z i i i -=+为虚数单位），则z 的模为 ． 3．已知一组数据123,,,n a a a a 的平均数为a ，极差为d ，方差为2S ，则数据12+1a ，22+1a ，32+1a ，2+1n a 的方差为_____.4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ．5．从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中无重复的个数为 ．6．在平面直角坐标系xoy 中，若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>线C 的渐近线方程为 ． 7．将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后得到函数4sin(2)3y x π=-的图象，则()4f π的值为 ．8．设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0，)+∞上是单调减函数，且2(3)f x x f -+（2）0>，则实数x 的取值范围是 ． 9．在锐角三角形ABC 中，3sin 5A =，1tan()3A B -=-，则3tan C 的值为 ． 10．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若*3(1)()n n S na n n n N =--∈，且211a =，则20S 的值为 ． 11.设正实数x ，y 满足x yxy x y+=-，则实数x 的最小值为 ． 12．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F 分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ，则四棱锥1A AEFD -的体积为 ．13．已知向量a ，b ，c 满足0a b c ++=，且a 与b 的夹角的正切为12-，b 与c 的夹角的正切为13-，||2b =，则a c 的值为 ．14．已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件： ①x R ∀∈，()0f x <或()0g x <； ②(,4)x ∃∈-∞-，()()0f x g x <． 则m 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（本小题满分14分）已知ABC ∆的面积为，且()18AC AB CB -=，向量(tan tan ,sin 2)m A B C =+和向量(1,cos cos )n A B =是共线向量．（1）求角C ；（2）求ABC ∆的边长c ．如图，四棱锥P ABCDBC=，E，F分别为AB，PC中-的底面为矩形，且AB=1点．（1）求证：//EF平面PAD；（2）若平面PAC⊥平面ABCD，求证：平面PAC⊥平面PDE．17．（本小题满分14分）如图，OM，ON是两条海岸线，Q为海中一个小岛，A为海岸线OM上的一个码头．已知tan3=，Q到海岸线OM，ON的距离分别为3km．现MONOA km∠=-，6要在海岸线ON上再建一个码头，使得在水上旅游直线AB经过小岛Q．（1）求水上旅游线AB的长；（2）若小岛正北方向距离小岛6km处的海中有一个圆形强水波P，从水波生成th时的半径为r a=为大于零的常数）．强水波开始生成时，一游轮以/h的速度自码头A开往码头B，问实数a在什么范围取值时，强水波不会波及游轮的航行．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点，其左、右焦点分别为1F 、2F． （1）求椭圆E 的方程；（2）若A 、B 分别为椭圆E 的左、右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P ． ()i 求证：OP OM 为定值；()ii 设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，问：直线MQ 是否过定点，并说明理由．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足：123a a a k ===（常数0)k >，*112(3,)n n n n k a a a n n N a -+-+=∈…．数列{}n b 满足：*21()n n n n a a b n N a +++=∈． （1）求1b ，2b ，3b ，4b 的值； （2）求出数列{}n b 的通项公式；（3）问：数列{}n a 的每一项能否均为整数？若能，求出k 的所有可能值；若不能，请说明理由．设函数()()f x x a lnx x a =--+，a R ∈． （1）若0a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若0a <，试判断函数()f x 在区间2(e -，2)e 内的极值点的个数，并说明理由； （3）求证：对任意的正数a ，都存在实数t ，满足：对任意的(,)x t t a ∈+，()1f x a <-．海安中学2020届高三阶段测试三数学附加题21．[选做题，本题包括三小题，请选定其中两题，并在相应区域作答] A.已知二阶矩阵[]a b A c d =，矩阵A 属于特征值11λ=-的一个特征向量为11[]1a =-，属于特征值24λ=的一个特征向量为13[]2a =．求矩阵A ．B ．在极坐标系中，已知(A 1，3π )，(B 9，3π)，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及ABC ∆的面积．22．已知实数a ，b 满足||2a b +…，求证：22|22|4(||2)a a b b a +-++…．23．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2．若D C A B λ=，且向量PC 与BD ． （1）求实数λ的值；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．24．已知数列{}n a 的通项公式为]n nn a -，*n N ∈．记1212nn n n n n S C a C a C a =++⋯+．（1）求1S ，2S 的值；（2）求所有正整数n ，使得n S 能被8整除．。

海安中学2020届高三阶段测试三数 学 试 卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．设全集{1U =，2，3，4，5}，若{1U A =ð，2，4}，则集合A = ． 解：全集{1U =，2，3，4，5}， 若{1U A =ð，2，4}， 则集合{3A =，5}． 故答案为：{3，5}．2．已知复数z 满足(2)1(z i i i -=+为虚数单位），则z 的模为 ． 解：Q 复数z 满足(2)1(z i i i -=+为虚数单位），21()(1)22i i i z i i +-+∴=+=+- 213i i =+-=-，||9110z ∴=+=，故答案为：10．3．已知一组数据123,,,n a a a a L 的平均数为a ，极差为d ，方差为2S ，则数据12+1a ，22+1a ，32+1a ，L 2+1n a 的方差为_____.故答案为：24S4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ．解：模拟执行伪代码，可得：111111111100(1)()()11223101122310111111S =+++⋯+=-+-+⋯+-=-=⨯⨯⨯．故答案为：1011． 5．从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中无重复的个数为 ．解：从0、2中选一个数字0，则0不只能排在百位，从1、3、5中选两个数字之一排在百位，共有122312A A =种； 从0、2中选一个数字2，从1、3、5中选两个数字全排列，共有233318C A =种； 故共有121830+=种． 故答案为：30．6．在平面直角坐标系xoy 中，若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>线C 的渐近线方程为 ．解：因为22()1()10c ba a =+=，所以3b a =，所以渐近线方程为3y x =±．故答案为：3y x =±． 7．将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后得到函数4sin(2)3y x π=-的图象，则()4f π的值为 ．解：由将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后得到函数4sin(2)3y x π=-的图象， 可得把函数4sin(2)3y x π=-的图象向左平移6π个单位后得函数()f x 的图象，故()4sin(2)4sin 233f x x x ππ=+-=，则()4sin 442f ππ==，故答案为：4．8．设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0，)+∞上是单调减函数，且2(3)f x x f -+（2）0>，则实数x 的取值范围是 ．解：根据题意，()f x 是在R 上的奇函数()f x ，且在区间[0，)+∞上是单调减函数， 则其在区间(,0])-∞上递减， 则函数()f x 在R 上为减函数，2(3)f x x f -+（2）20(3)f x x f >⇒->-（2）22(3)(2)32f x x f x x ⇒->-⇒-<-，解可得：12x <<；即实数x 的取值范围是(1,2)；故答案为：(1,2)．9．在锐角三角形ABC中，3sin5A=，1tan()3A B-=-，则3tan C的值为．解：锐角三角形ABC中，3sin5A=，1tan()3A B-=-，A B∴<，4cos5A=，sin3tancos4AAA==．3tan1tan tan4tan()331tan tan1tan4BA BA BA B B---=-==++Qg，13tan9B∴=．则tan tan3tan3tan()3791tan tanA BC A BA B+=-+=-=-g，故答案为：79．10．设nS为数列{}na的前n项和，若*3(1)()n nS na n n n N=--∈，且211a=，则20S的值为．解：由2122232(21)S a a a=+=-⨯-，211a=，可得15a=．解法1：当2n…时，由1n n na S S-=-，得13(1)[(1)3(1)(2)]n n na na n n n a n n-=-------，1(1)(1)6(1)n nn a n a n-∴---=-，即*16(2,)n na a n n N--=∈…，∴数列{}na是首项15a=，公差为6的等差数列，202019205612402S⨯∴=⨯+⨯=．解法2：当2n…时，由13(1)()3(1)n n n nS na n n n S S n n-=--=---，可得1(1)3(1)n nn S nS n n---=-，∴131n nS Sn n--=-，∴数列{}nSn是首项151S=，公差为3的等差数列，∴2053196220S=+⨯=，201240S∴=．11.设正实数x，y满足x yxyx y+=-，则实数x的最小值为．解：由正实数x，y满足x yxyx y+=-，化为22(1)0xy x y x +-+=，∴22221212(1)401010xx x y y x y y ⎧=--⎪-⎪+=>⎨⎪=>⎪⎩V …，化为426101x x x ⎧-+⎨>⎩…， 解得21x +…．因此实数x 的最小值为21+． 故答案为：21+．12．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F 分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ，则四棱锥1A AEFD -的体积为 ．解：连接DE ，Q 正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F 分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ， ∴11A AED A FED V V --=，∴11113A AED E A AD A AD V V S AB --==V g111111119662A ADD ABCD A C D S AB V -===g ， ∴四棱锥1A AEFD -的体积19A AEFD V -=．故答案为：9．13．已知向量a r ，b r ，c r 满足0a b c ++=r r r r ，且a r 与b r 的夹角的正切为12-，b r 与c r的夹角的正切为13-，||2b =r ，则a c r rg 的值为 ．解：可设AB a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，CA c =u u u r r，由题意可得1tan 2B =，1tan 3C =， 则11tan tan 23tan tan()1111tan tan 123B C A B C B C ++=-+=-=-=---⨯， 即为135A =︒，又B ，C 为锐角，22sin cos 1B B +=，sin 1cos 2B B =， 可得5sin B =， 同理可得10sin C =， 由正弦定理可得2sin135510==︒r r， 即有210||c =r ，25||a =r ，则2102524||||cos455a c c a =︒==r r r rg g g g g ．故答案为：45．14．已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件： ①x R ∀∈，()0f x <或()0g x <； ②(,4)x ∃∈-∞-，()()0f x g x <． 则m 的取值范围是 ．解：对于①()22x g x =-Q ，当1x <时，()0g x <， 又Q ①x R ∀∈，()0f x <或()0g x <()(2)(3)0f x m x m x m ∴=-++<在1x …时恒成立 则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x 轴交点都在(1,0)的左面则03121m m m <⎧⎪--<⎨⎪<⎩40m ∴-<<即①成立的范围为40m -<<又Q ②(,4)x ∈-∞-，()()0f x g x < ∴此时()220x g x =-<恒成立()(2)(3)0f x m x m x m ∴=-++>在(,4)x ∈-∞-有成立的可能，则只要4-比1x ，2x 中的较小的根大即可，()i 当10m -<<时，较小的根为3m --，34m --<-不成立， ()ii 当1m =-时，两个根同为24->-，不成立，()iii 当41m -<<-时，较小的根为2m ，24m <-即2m <-成立．综上可得①②成立时42m -<<-． 故答案为：(4,2)--．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（本小题满分14分）已知ABC ∆的面积为93()18AC AB CB -=u u u r u u u r u u u r g ，向量(tan tan ,sin 2)m A B C =+r和向量(1,cos cos )n A B =r是共线向量．（1）求角C ；（2）求ABC ∆的边长c ．解：（1）Q //m n r r，(tan tan )cos cos sin 2A B A B C ∴+=，即sin cos cos sin sin2A B A B C +=，sin()sin 2A B C ∴+=，sin 2sin cos C C C ∴= sin 0C ≠Q ，∴1cos 2C =，(0,)C π∈Q ∴3C π=（2）由()18AC AB CB -=u u u r u u u r u u u rg 得：2()18AC AB BC AC +==u u u r u u u r u u u r u u u r g ，∴11332sin 329322b S ab C a ====V g g ， ∴62a =，2222cos 54c a b ab C ∴=+-=，∴36c =16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，且2AB =，1BC =，E ，F 分别为AB ，PC 中点．（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）若平面PAC ⊥平面ABCD ，求证：平面PAC ⊥平面PDE ．证明：（1）方法一：取线段PD 的中点M ，连接FM ，AM ．因为F 为PC 的中点，所以//FM CD ，且12FM CD =．因为四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点，所以//EA CD ，且12EA CD =．所以//FM EA ，且FM EA =． 所以四边形AEFM 为平行四边形． 所以//EF AM ．又AM ⊂平面PAD ，EF ⊂/平面PAD ，所以//EF 平面PAD ． 方法二：连接CE 并延长交DA 的延长线于N ，连接PN ． 因为四边形ABCD 为矩形，所以//AD BC ， 所以BCE ANE ∠=∠，CBE NAE ∠=∠．又AE EB =，所以CEB NEA ∆≅∆．所以CE NE =． 又F 为PC 的中点，所以//EF NP ．⋯（5分）又NP ⊂平面PAD ，EF ⊂/平面PAD ，所以//EF 平面PAD ． 方法三：取CD 的中点Q ，连接FQ ，EQ ．在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，所以AE DQ =，且//AE DQ ． 所以四边形AEQD 为平行四边形，所以//EQ AD ．又AD ⊂平面PAD ，EQ ⊂/平面PAD ，所以//EQ 平面PAD ． 因为Q ，F 分别为CD ，CP 的中点，所以//FQ PD ． 又PD ⊂平面PAD ，FQ ⊂/平面PAD ，所以//FQ 平面PAD ．又FQ ，EQ ⊂平面EQF ，FQ EQ Q =I ，所以平面//EQF 平面PAD ． 因为EF ⊂平面EQF ，所以//EF 平面PAD ． （2）设AC ，DE 相交于G ．在矩形ABCD 中，因为2AB BC =，E 为AB 的中点．所以2DA CDAE DA==． 又DAE CDA ∠=∠，所以DAE CDA ∆∆∽，所以ADE DCA ∠=∠． 又90ADE CDE ADC ∠+∠=∠=︒，所以90DCA CDE ∠+∠=︒． 由DGC ∆的内角和为180︒，得90DGC ∠=︒．即DE AC ⊥． 因为平面PAC ⊥平面ABCD因为DE ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥平面PAC ， 又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE ．17．（本小题满分14分）如图，OM ，ON 是两条海岸线，Q 为海中一个小岛，A 为海岸线OM 上的一个码头．已知tan 3MON ∠=-，6OA km =，Q 到海岸线OM ，ON 的距离分别为3km 610．现要在海岸线ON 上再建一个码头，使得在水上旅游直线AB 经过小岛Q ．（1）求水上旅游线AB 的长；（2）若小岛正北方向距离小岛6km 处的海中有一个圆形强水波P ，从水波生成th 时的半径为3(r at a =为大于零的常数）．强水波开始生成时，一游轮以182/km h 的速度自码头A 开往码头B ，问实数a 在什么范围取值时，强水波不会波及游轮的航行．解：（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立直角坐标系如图所示． 则由题设得：(6,0)A ，直线ON 的方程为3y x =-，0(Q x ，03)(0)x >． 061010=00x > 得03x =，(3,3)Q ∴． ∴直线AQ 的方程为(6)y x =--，即60x y +-=，由360y x x y =-⎧⎨+-=⎩ 得39x y =-⎧⎨=⎩ 即(3,9)B -，∴22(36)992AB =--+即水上旅游线AB 的长为92km ． （2）设试验产生的强水波圆P ，由题意可得(3,9)P ，生成t 小时时，游轮在线段AB 上的点C 处，则 182AC t =，102t剟，(618,18)C t t ∴-． 强水波不会波及游轮的航行即2210,2PC r t ⎡⎤>∈⎢⎥⎣⎦对恒成立．2222(183)(189)9PC t t r at =-+->=，当0t = 时，上式恒成立，当10,0,2t t ⎛⎤≠∈ ⎥⎝⎦时即时，()101017248.7248,0,2a t g t t t t t ⎛⎤<+-=+-∈ ⎥⎝⎦令，10()724824548g t t t=+-…，当且仅当51(0,]2t 时等号成立， 所以，在024548a << 时r PC < 恒成立，亦即强水波不会波及游轮的航行．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点6)，其左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为22． （1）求椭圆E 的方程；（2）若A 、B 分别为椭圆E 的左、右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P ． ()i 求证：OP OM u u u r u u u u rg为定值； ()ii 设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，问：直线MQ 是否过定点，并说明理由． 解：（1）由题意可得22131222ab c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩且222a b c -=，解得2a =，2b =，即有椭圆方程为22142x y +=； （2）()i 证明：由(2,0)A -，(2,0)B ，MB AB ⊥， 设0(2,)M y ，1(P x ，1)y ， 可得00:42y yMA y x =+， 代入椭圆方程可得，2222000(1)40822y y y x x +++-=，由201204(8)28y x y --=+，可得201202(8)8y x y -=-+，00011208428y y yy x y ==+=+， 则200022004(8)8488y y OP OM y y y -=-+=++u u u r u u u u r gg 为定值；()ii 直线MQ 过定点(0,0)O ．理由如下：由题意可得2001222100088282(8)2(8)PBy y y k x y y y +==-+---+g 02y =-， 由PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ， 可得MQ PB ⊥，即有02MQ y k =． 则直线0:0(2)2y MQ y y x -=-， 即02y y x =， 故直线MQ 过定点(0,0)O ． 19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足：123a a a k ===（常数0)k >，*112(3,)n n n n k a a a n n N a -+-+=∈…．数列{}n b 满足：*21()n n n n a a b n N a +++=∈． （1）求1b ，2b ，3b ，4b 的值； （2）求出数列{}n b 的通项公式；（3）问：数列{}n a 的每一项能否均为整数？若能，求出k 的所有可能值；若不能，请说明理由．解：（1）由已知可知：41a k =+，52a k =+，624a k k=++． 把数列{}n a 的项代入21n n n n a a b a +++=，求得132b b ==，2421k b b k+==；（2）由*112(3,)n n n n k a a a n n N a -+-+=∈…，可知：121n n n n a a k a a +--=+．⋯① 则：211n n n n a a k a a +-+=+．⋯② ①-②有：2211n n n nn n a a a a a a +-+-++=，即：2n n b b -= ∴132123122n n a a b b b a --+==⋯===，242222321n n a a k b b b a k -++==⋯===． ∴41(1)22nn k b k k+-=+；（3）假设存在正数k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数，则由（2）可知：2122122212221n n n n n n a a a k a a a k +-++=-⎧⎪+⎨=-⎪⎩，⋯③ 由1a k Z =∈，624a k Z k =++∈，可知1k =，2．当1k =时，213k k+=为整数，利用1a ，2a ，3a Z ∈，结合③式，可知{}n a 的每一项均为整数；当2k =时，③变为2122122212252n n n n n n a a a a a a +-++=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，⋯④ 用数学归纳法证明21n a -为偶数，2n a 为整数．1n =时，结论显然成立，假设n k =时结论成立，这时21n a -为偶数，2n a 为整数，故212212n n n a a a +-=-为偶数，22n a +为整数，1n k ∴=+时，命题成立． 故数列{}n a 是整数列．综上所述，k 为1，2时，数列{}n a 是整数列． 20．（本小题满分16分）设函数()()f x x a lnx x a =--+，a R ∈． （1）若0a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若0a <，试判断函数()f x 在区间2(e -，2)e 内的极值点的个数，并说明理由； （3）求证：对任意的正数a ，都存在实数t ，满足：对任意的(,)x t t a ∈+，()1f x a <-． 解：（1）当0a =时，()f x xlnx x =-，()f x lnx '=， 令()0f x '=，1x =，列表分析故()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞．（2）()()f x x a lnx x a =--+，()af x lnx x'=-，其中0x >，令()g x xlnx a =-，分析()g x 的零点情况．()1g x lnx '=+，令()0g x '=，1x e=，列表分析11()()min g x g a e e==--，而11()1f ln ae ae e e '=-=--，222()2(2)f e ae ae -'=--=-+，221()2(2)22a f e e a e e '=-=-，①若1a e -„，则()0a f x lnx x '=-…，故()f x 在2(e -，2)e 内没有极值点；②若122a e e -<<-，则11()0f ln ae e e '=-<，22()(2)0f e ae -'=-+>，221()(2)02f e e a e '=->，因此()f x '在2(e -，2)e 有两个零点，()f x 在2(e -，2)e 内有两个极值点； ③若202a e -<„，则11()0f ln ae e e '=-<，22()(2)0f e ae -'=-+„，221()(2)02f e e a e '=->，因此()f x '在2(e -，2)e 有一个零点，()f x 在2(e -，2)e 内有一个极值点；综上所述，当(a ∈-∞，1]e-时，()f x 在2(e -，2)e 内没有极值点；当1(a e ∈-，2)2e -时，()f x 在2(e -，2)e 内有两个极值点；当2[2a e ∈-，0)时，()f x 在2(e -，2)e 内有一个极值点． （3）猜想：(1,1)x a ∈+，()1f x a <-恒成立． 证明如下：由（2）得()g x 在1(e ，)+∞上单调递增，且g （1）0a =-<，(1)(1)(1)g a a ln a a +=++-．因为当1x >时，11(*)lnx x >-，所以1(1)(1)(1)01g a a a a +>+--=+．故()g x 在(1,1)a +上存在唯一的零点，设为0x ． 由知，(1,1)x a ∈+，(){f x max f <（1），(1)}f a +．又(1)(1)1f a ln a +=+-，而1x >时，1(**)lnx x <-， 所以(1)(1)111f a a a f +<+--=-=（1）． 即(1,1)x a ∈+，()1f x a <-．所以对任意的正数a ，都存在实数1t =，使对任意的(,)x t t a ∈+，使()1f x a <-． 补充证明(*): 令1()1F x lnx x =+-，1x …．111()022x F x x x x -'=-=…，所以()F x 在[1，)+∞上单调递增．所以1x >时，()F x F >（1）0=，即11lnx x>-． 补充证明(**)令()1G x lnx x =-+，1x …．1()10G x x'=-„， 所以()G x 在[1，)+∞上单调递减．所以1x >时，()G x G <（1）0=，即1lnx x <-．海安中学2020届高三阶段测试三数学附加题21．[选做题，本题包括三小题，请选定其中两题，并在相应区域作答]A.已知二阶矩阵[]a b A c d =，矩阵A 属于特征值11λ=-的一个特征向量为11[]1a =-，属于特征值24λ=的一个特征向量为13[]2a =．求矩阵A ．解：由特征值、特征向量定义可知，111A αλα=， 即1111111a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11a b c d -=-⎧⎨-=⎩同理可得3212328a b c d +=⎧⎨+=⎩ 解得2a =，3b =，2c =，1d =．因此矩阵2321A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． B ．在极坐标系中，已知(A 1，3π )，(B 9，3π)，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及ABC ∆的面积． 解：由题意，线段AB 的中点坐标为(5,)3π，设点(,)P ρθ为直线l 上任意一点， 在直角三角形OMP 中，cos()53πρθ-=，所以，l 的极坐标方程为cos()53πρθ-=，令0θ=，得10ρ=，即(10,0)C ．（8分）所以，ABC ∆的面积为：1(91)10sin 23π⨯-⨯⨯=22．已知实数a ，b 满足||2a b +„，求证：22|22|4(||2)a a b b a +-++„． 证明：由||||||2b a a b -+剟，可得||||2b a +„，22|22||()()2()|a a b b a b a b a b +-+=+-++|||2|2|2|a b a b a b =+-+-+g „，要证22|22|4(||2)a a b b a +-++„， 即证|2|2(||2)a b a -++„，由于|2|||||2a b a b -+++„， 即证||||22(||2)a b a +++„， 即为||||2b a +„，显然成立． 故原不等式成立．23．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2．若DC AB λ=u u u r u u u r ，且向量PC u u u r 与BD u u u r 夹角的余弦值为15．（1）求实数λ的值；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．解：以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系； 则：(0A ，0，0)，(1B ，0，0)，(0D ，2，0)，(0P ，0，2)；DC AB λ=u u u r u u u r ，可得(C λ，2，0)．（1）(PC λ=u u u r ，2，2)-，(1BD =-u u u r ，2，0)，向量PC u u u r 与BD u u u r 15．215814λ=++g 10λ=（舍去）或2λ=．实数λ的值为2．；（2）(2PC =u u u r ，2，2)-，(0PD =u u u r ，2，2)-，平面PCD 的法向量(n x =r，y ，)z ．则0n PC =u u u r r g 且0n PD =u u ur r g ，即：0x y z +-=，0y z -=，0x ∴=，不妨去1y z ==， 平面PCD 的法向量(0n =r，1，1)．又(1PB =u u u r ，0，2)．故10cos ,||||n PB n PB n PB <>==u u u r r u u u r g ru u u r r ．直线PB 与平面PCD 10．24．已知数列{}n a 的通项公式为1515[(()]5n nn a +--，*n N ∈．记1212nn n n n n S C a C a C a =++⋯+．（1）求1S ，2S 的值；（2）求所有正整数n ，使得n S 能被8整除．解：（1）1212nn nn n n S C a C a C a =++⋯+ 122151515()()5nn n n n C C C +++=+⋯+-g g122151515((()]nn n n n C C C ---++⋯+g g1515(1]5n n+-=+-+ 3535[()(]5n n +-=-， 即有1515S ==g ；23535S =g ；（2）3535[((]5n nn S +-=-， 22235353535[((][()(]55n n n n n S ++++-+-=-=-g 135353535()[()(]3n nn n S S ++-+---=-，即213n n n S S S ++=-，*n N ∈，因此2n S +除以8的余数，完全由1n S +，n S 除以8的余数确定， 因为11a =，21a =，所以11111S C a ==，12221223S C a C a =+=，3213918S S S =-=-=， 432324321S S S =-=-=，543363855S S S =-=-=， 654316521144S S S =-=-=，765343255377S S S =-=-=， 87631131144987S S S =-=-=，987329613772584S S S =-=-=，由以上计算及213n n n S S S ++=-可知，数列{}n S 各项除以8的余数依次是： 1，3，0，5，7，0，1，3，0，5，7，0，⋯，它是一个以6为周期的数列，从而n S 除以8的余数等价于n 除以3的余数， 所以3n k =，*k N ∈，即所求集合为：{|3n n k =，*}k N ∈．。

江苏省海安高级中学2020届高三阶段性测试（三）数学Ⅰ参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．锥体的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1. 设全集U ={1，2，3，4，5}．若U A =ð{1，2，5}，则集合A = ▲ ． 2. 已知复数z 满足(z 2)i 1i -=+(i 为虚数单位)，则复数z 的实部是 ▲ ．3. 已知样本数据1234a a a a ，，，的方差为2，则数据123421212121a a a a ++++，，，的方差为 ▲ ．4. 右图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ▲ ．5. 从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，则该三位数为奇数的概率为 ▲ ．6. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为10，则双曲线C 的渐近线方程为 ▲ ．7. 将函数f (x )的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的图象，则()π4f 的值为 ▲ ．8. 设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0 )+∞，上是单调减函数，且2(3)f x x -(2)f +0>，则实数x 的取值范围是 ▲ ．9. 在锐角三角形ABC 中，若3sin 5A =，1tan()3A B -=-，则3tan C 的值为 ▲ ．（第4题）10. 设S n 为数列{}n a 的前n 项和．若S n ＝na n －3n (n －1)（n ∈N *），且211a =，则S 20的值为 ▲ ． 11. 设正实数x ，y 满足x yxy x y+=-，则实数x 的最小值为 ▲ ． 12. 如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ， 则四棱锥1A AEFD -的体积为 ▲ ．13．已知向量a ，b ，c 满足++=0a b c ，且a 与b 的夹角的正切为12-，b 与c 的夹角的正切为13-，2=b ，则⋅a c 的值为 ▲ ．14．已知()()()23f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件：①x ∀∈R ，()0f x <或()0g x <；②()4x ∃∈-∞-，，()()0f x g x ⋅<，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知△ABC的面积为()18AC AB CB ?=u u u r u u u r u u u r，向量(tan tan sin 2)A B C =+,m 和 (1cos cos )A B =,n 是共线向量.（1）求角C 的大小； （2）求△ABC 的三边长.16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知底面ABCD 为矩形，且 AB ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，P A ⊥DE ． （1）求证：EF ∥平面P AD ； （2）求证：平面P AC ⊥平面PDE ．C1（第12题）C（第16题）AOBPQMN（第17题）17．（本题满分14分）如图，OM ，ON 是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM 为东西方向），Q 为景区内一景点，A 为道路OM 上一游客休息区．已知tan ∠MON ＝－3，OA ＝6(百米)，Q 到直线OM ，ON 的距离分别为3(百米)，6105(百米)．现新修一条自A 经过Q 的有轨观光直路并延伸至道路ON 于点B ，并在B 处修建一游客休息区． （1）求有轨观光直路AB 的长；（2）已知在景点Q 的正北方6 百米的P 处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9 分钟．表演时，喷泉喷洒区域以P 为圆心，r 为半径变化，且t 分钟时，r =百米)（0≤t ≤9，0＜a ＜1）．当喷泉表演开始时，一观光车S （大小忽略不计）正从休息区B 沿（1）中的轨道BA 以2(百米/分钟)的速度开往休息区A ，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．18．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>过点(1，其离心率．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若A ，B 分别是椭圆E 的左，右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P ．①求证：OP OM ⋅u u u r u u u u r为定值；②设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，求证：直线MQ 经过定点．19．（本题满分16分）已知数列{}n a 满足：123a a a k ===（常数k ＞0），112n n n n k a a a a -+-+=（n ≥3，*n ∈N ）．数列{}n b 满足：21n n n n a a b a +++=（*n ∈N ）． （1）求b 1，b 2的值； （2）求数列{}n b 的通项公式；（3）是否存在k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数? 若存在，求出k 的所有可能值；若不存在，请说明理由．20．（本题满分16分）设函数f (x )＝(x －a )ln x －x ＋a ，a ∈R ． （1）若a ＝0，求函数f (x )的单调区间；（2）若a ＜0，且函数f (x )在区间()22e e -，内有两个极值点，求实数a 的取值范围； （3）求证：对任意的正数a ，都存在实数t ，满足：对任意的x ∈(t ，t ＋a )， f (x )＜a －1．数学Ⅰ参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1. 【答案】{3，5}2. 【答案】33. 【答案】84. 【答案】10115. 【答案】35 6. 【答案】y ＝±3x 7. 【答案】48. 【答案】（1，2）9. 【答案】7910. 【答案】1 24011. 【答案112. 【答案】913．【答案】4514．【答案】()42--，二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）解：（1）因为向量(tan tan sin 2)A B C =+，m 和(1cos cos )A B =，n 是共线向量，所以()cos cos tan tan sin 20A B A B C +-=， ……2分 即sin A cos B +cos A sin B －2sin C cos C =0，化简得sin C －2sin C cos C =0，即sin C (1－2cos C )=0. ……4分 因为0πC <<，所以sin C >0，从而1cos 2C =，π.3C = ……6分（2）()()218AC ABCB AC BC BA AC =?=?=u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，于是AC =. ……8分因为△ABC 的面积为1sin 2CA CB C ?，即1πsin 23CB ，解得CB = …… 11分 在△ABC 中，由余弦定理得((2222212cos 254.2AB CA CB CA CB C=+-?+-创所以AB = …… 14分16．（本题满分14分）证明：（1）取PD 中点G ，连AG ，FG ， 因为F ，G 分别为PC ，PD 的中点，所以FG ∥CD ，且FG ＝12C D ． ……2分又因为E 为AB 中点，所以AE //CD ，且AE ＝12C D ． ……4分所以AE //FG ，AE ＝FG ．故四边形AEFG 为平行四边形． 所以EF //AG ，又EF ⊄平面P AD ，AG ⊂平面P AD ，故EF //平面P A D ． ……6分（2）设AC ∩DE ＝H ，由△AEH ∽△CDH 及E 为AB 中点得AG CG ＝AE CD ＝12，又因为AB ＝2，BC ＝1，所以AC ＝3，AG ＝13AC ＝33．所以AG AE ＝AB AC ＝23，又∠BAD 为公共角，所以△GAE ∽△BA C ．所以∠AGE ＝∠ABC ＝90︒，即DE ⊥A C ． ……10分 又DE ⊥P A ，P A ∩AC ＝A ，所以DE ⊥平面P A C ． ……12分 又DE ⊂平面PDE ，所以平面P AC ⊥平面PDE ． ……14分17．（本题满分14分）解：（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．则由题设得：A (6，0)，直线ON 的方程为()()003 30y x Q x x =->，，．03x =，所以()3 3Q ，． ……2分 故直线AQ 的方程为()6y x =--，由360y x x y =-⎧⎨+-=⎩，得39x y =-⎧⎨=⎩，，即()3 9B -，，故AB == …… 5分答：水上旅游线AB 的长为． ……6分 （2）将喷泉记为圆P ，由题意可得P (3，9)，生成t 分钟时，观光车在线段AB 上的点C 处， 则BC ＝2t ，0≤t ≤9，所以C (－3＋t ，9－t )．若喷泉不会洒到观光车上，则PC 2＞r 2对t ∈[0，9]恒成立，即PC 2＝(6－t )2＋t 2＝2t 2－12t ＋36＞4at ， ……10分 当t ＝0时，上式成立，当t ∈(0，9]时，2a ＜t ＋18t －6，(t ＋18t －6)min ＝62－6，当且仅当t ＝32时取等号，因为a ∈(0，1)，所以r ＜PC 恒成立，即喷泉的水流不会洒到观光车上．……13分 答：喷泉的水流不会洒到观光车上． ……14分18．解：（1）设椭圆焦距为2c，所以223121 a b c a ⎧⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎩，且222c a b =-， 解得224 2 a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，所以椭圆E 的方程为22142x y +=； ……4分（2）设0(2 )M y ，，11( )P x y ，， ①易得直线MA 的方程为：0042y yy x =+， 代入椭圆22142x y +=得，()2222000140822y y y x x +++-=， 由()201204828y x y --=+得，()20120288y x y --=+，从而012088y y y =+， ……8分所以()20002200288 (2 )88y y OP OM y y y --⎛⎫⋅=⋅ ⎪++⎝⎭u u u r u u u u r ，， ()22002200488488y y y y --=+=++． ……10分 ②直线MQ 过定点(0 0)O ，，理由如下：依题意，()02020208822828PB y y k y y y +==----+，由MQ PB ⊥得，02MQ y k =， 则MQ 的方程为：00(2)2y y y x -=-，即02yy x =， 所以直线MQ 过定点(0 0)O ，． ……16分 19．（本题满分16分）解：（1）由已知得，41a k =+，所以1312=2a a b a +=，2423121a a k k kb a k k ++++===． ……2分 （2）由条件可知：()1213n n n n a a k a a n +--=+≥，①所以()21+12n n n n a a k a a n +-=+≥.② ……4分 ①－②得122111n n n n n n n n a a a a a a a a +-+--+-=-. 即：121121n n n n n n n n a a a a a a a a +-+-+-+=+． 因此：2211n n n nn n a a a a a a +-+-++=， ……6分故()23n n b b n -=≥，又因为12b =，221k b k+=，所以221n n b k n k⎧⎪=⎨+⎪⎩，为奇数，为偶数． ……8分（3）假设存在k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数，则k 为正整数． ……10分由（2）知21221222122(123)21n n n n n n a a a n k a a a k +-++=-⎧⎪=⎨+=-⎪⎩L ，，③ 由162Z 4Z a k a k k=∈=++∈，，所以k =1或2， ……12分检验：当1k =时，312=+kk 为整数， 利用123Z a a a ∈，，结合③，{a n }各项均为整数； ……14分 当2k =时③变为21221222122(123)52n n n n n n a a a n a a a +-++=-⎧⎪=⎨=-⎪⎩L ，， 消去2121n n a a +-，得：222223(2)n n n a a a n +-=-≥ 由24Z a a ∈，，所以偶数项均为整数，而2221252n n n a a a ++=-，所以21n a +为偶数，故12a k ==，故数列{}n a 是整数列. 综上所述，k 的取值集合是{}12，. ……16分 20．（本题满分16分）解：（1）当a ＝0时，f (x )＝x ln x －x ，f’(x )＝ln x ，令f’(x )＝0，x ＝1，列表分析x(0，1)1(1，＋∞)故f (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)． ……3分（2）f (x )＝(x －a )ln x －x ＋a ，f’(x )＝ln x －ax，其中x ＞0，令g (x )＝x ln x －a ，分析g (x )的零点情况．g’(x )＝ln x ＋1,令g’(x )＝0，x ＝1e，列表分析g (x )min ＝g (1e )＝－1e －a ， ……5分而f’(1e )＝ln 1e－a e ＝－1－a e ，()2e f -'＝－2－a e 2＝－(2＋a e 2)，f’(e 2)＝2－a e 2＝1e2(2e 2－a )，①若a ≤－1e ，则f’(x )＝ln x －ax ≥0，故f (x )在()22e e -，内没有极值点，舍；②若－1e ＜a ＜－2e 2，则f’(1e )＝ln 1e－a e ＜0，f’(e －2)＝－(2＋a e 2)＞0，f’(e 2)＝1e2(2e 2－a )＞0，因此f’(x )在()22e e -，有两个零点，设为1x ，2x ，所以当()21e x x -∈，时，f (x )单调递增，当()12x x x ∈，时，f (x )单调递减， 当()22e x x ∈，时，f (x )单调递增，此时f (x )在()22e e -，内有两个极值点；③若－2e 2≤a ＜0，则f’(1e )＝ln 1e －a e ＜0，f’(e －2)＝－(2＋a e 2)≤0，f’(e 2)＝1e2(2e 2－a )＞0，因此f’(x )在()22e e -，有一个零点，f (x )在()22e e -，内有一个极值点；综上所述，实数a 的取值范围为(－1e ，－2e 2)． ……10分（3）存在1t =：x ∈(1，1＋a )，f (x )＜a －1恒成立． ……11分证明如下：由（2）得g (x )在(1e ，＋∞)上单调递增，且g (1)＝－a ＜0，g(1＋a )＝(1＋a )ln(1＋a )－a ．因为当x ＞1时，ln x ＞1－1x (*)，所以g(1＋a )＞(1＋a )(1－1a ＋1)－a ＝0．故g (x )在(1，1＋a )上存在唯一的零点，设为x 0．由知，x ∈(1，1＋a )，f (x )＜max{f (1)，f (1＋a )}． ……13分又f (1＋a )＝ln(1＋a )－1，而x ＞1时，ln x ＜x －1(**)， 所以f (1＋a )＜(a ＋1)－1－1＝a －1＝f (1)． 即x ∈(1，1＋a )，f (x )＜a －1．所以对任意的正数a ，都存在实数t ＝1，使对任意的x ∈(t ，t ＋a )，使 f (x )＜a －1． ……15分补充证明（*）：令F (x )＝ln x ＋1x －1，x ≥1．F’(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2≥0，所以F (x )在[1，＋∞)上单调递增．所以x ＞1时，F (x )＞F (1)＝0，即ln x ＞1－1x ．补充证明（**）令G (x )＝ln x －x ＋1，x ≥1．G’(x )＝1x －1≤0，所以G (x )在[1，＋∞)上单调递减．所以x ＞1时，G (x )＜G (1)＝0，即ln x ＜x －1．……16分。

2020年高考数学（3月份）模拟测试试卷一、填空题（共14小题）1．已知集合A＝{﹣1，0，3}，B＝{1，2，3}，则A∩B＝．2．已知复数z满足（1﹣i）z＝2+i，则复数z的模为．3．某人5次上班途中所用的时间（单位：分钟）分别为12，8，10，11，9．则这组数据的平均数为．4．如图，是一个算法的流程图，则输出的b的值为．5．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x2﹣y2＝1的右焦点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点重合，则p的值为．6．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球．现从中一次摸出2只球，则摸出的2只球颜色相同的概率为．7．现有一个橡皮泥制作的圆锥，底面半径为1，高为4．若将它制作成一个总体积不变的球，则该球的表面积为．8．已知等比数列{a n}的前n项的和为S n，a1＝1，S6＝9S3，则a3的值为．9．已知，是夹角为60°的两个单位向量，＝3+2，＝2﹣k（k∈R），且•（﹣）＝8，则k的值为．10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2+2x﹣8＝0，直线l：y＝k（x﹣1）（k∈R）过定点A，与圆C交于点B，D，过点A作BC的平行线交CD于点E，则△AEC的周长为．11．如图，已知两座建筑物AB，CD的高度分别为15m和9m，且AB＞BC＞CD，从建筑物AB的项部A看建筑物CD的张角为∠CAD，测得tan∠CAD＝，则B，C间的距离m．12．设曲线y＝（m＞0）在x＝t（t≠﹣1）处的切线为l，则点P（2t，﹣1）到l的最大距离为．13．已知函数y＝cos（+πx），x∈[，t）（t＞）既有最小值也有最大值，则实数t 的取值范围是．14．已知函数f1（x）＝|x﹣1|，f k+1（x）＝f1（f k（x）），k≤5，k∈N*．若函数y＝f k（x）﹣lnx恰有3个不同的零点，则k的取值集合为．二、解答题（共6小题）15．在平面直角坐标系xOy中，设向量＝（sin x，sin x），＝（cos x，sin x），x∈[0，π]．（1）若||＝||，求x的值；（2）求•的最大值及取得最大值时x的值．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱A1A的中点．求证：（1）AC∥平面EDB1；（2）平面EDB1⊥平面B1BD．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B两点分别为椭圆+＝1（a＞b＞0）的右顶点和上顶点，且AB＝，右准线l的方程为x＝4．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点A的直线交椭圆于另一点P，交l于点Q．若以PQ为直径的圆经过原点，求直线PQ的方程．18．（16分）图为一块平行四边形园地ABCD，经测量，AB＝20米，BC＝10米，∠ABC ＝120°，拟过线段AB上一点E设计一条直路EF（点F在四边形ABCD的边上，不计路的宽度），将该园地分为面积之比为3：1的左、右两部分分别种植不同的花卉，设EB＝x，EF＝y（单位：米）（1）当点F与点C重合时，试确定点E的位置；（2）求y关于x的函数关系式，并确定点E、F的位置，使直路EF长度最短．19．（16分）已知函数y＝f（x）的定义域为D，若满足∀x∈D，x•f（x）≥f（x），则称函数f（x）为“L型函数”．（1）判断函数y＝e x和y＝lnx是否为“L型函数”，并说明理由；（2）设函数f（x）＝（x+1）lnx﹣（x﹣1）lna（a＞0），记g（x）为函数f（x）的导函数．①若函数g（x）的最小值为1，求a的值；②若函数f（x）为“L型函数”，求a的取值范围．20．（16分）已知数列{a n}的首项为1，各项均为正数，其前n项和为S n，2S n＝（n∈N*）．（1）求a2，a3的值；（2）求证：数列{a n}为等差数列；（3）设数列{b n}满足b1＝1，b n+1b n＝a n，求证：≥2﹣1．参考答案一、填空题（共14小题）1．已知集合A＝{﹣1，0，3}，B＝{1，2，3}，则A∩B＝{3}．解：集合A＝{﹣1，0，3}，B＝{1，2，3}，则A∩B＝{﹣1，0，3}∩{1，2，3}＝{3}．故答案为：{3}．2．已知复数z满足（1﹣i）z＝2+i，则复数z的模为．解：由（1﹣i）z＝2+i，得z＝，∴|z|＝||＝＝．故答案为：．3．某人5次上班途中所用的时间（单位：分钟）分别为12，8，10，11，9．则这组数据的平均数为10．解：数据12，8，10，11，9的平均数为：＝×（12+8+10+11+9）＝10，故答案为：10．4．如图，是一个算法的流程图，则输出的b的值为4．解：a＝1，b＝1，第一次执行循环体后，b＝2，a＝2，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，b＝4，a＝3，满足退出循环的条件；故输出b值为4，故答案为：4．5．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x2﹣y2＝1的右焦点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点重合，则p的值为2．解：由双曲线的方程可得：c2＝a2+b2＝1+1＝2，所以右焦点的坐标为：（，0），由题意可得：＝，解得p＝2，故答案为：2．6．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球．现从中一次摸出2只球，则摸出的2只球颜色相同的概率为．解：一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，基本事件总数n＝＝10，摸到同色球包含的基本事件个数m＝，∴摸到同色球的概率p＝＝．故答案为：．7．现有一个橡皮泥制作的圆锥，底面半径为1，高为4．若将它制作成一个总体积不变的球，则该球的表面积为4π．解：根据题意求出圆锥的体积为，设球的半径为r，利用体积相等整理得，解得r＝1．所以．故答案为：4π．8．已知等比数列{a n}的前n项的和为S n，a1＝1，S6＝9S3，则a3的值为4．解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵a1＝1，S6＝9S3，∴＝9×，可得：q3＝8，解得q＝2．则a3＝22＝4．故答案为：4．9．已知，是夹角为60°的两个单位向量，＝3+2，＝2﹣k（k∈R），且•（﹣）＝8，则k的值为﹣．解：∵，是夹角为60°的两个单位向量，＝3+2，＝2﹣k（k∈R），∴•（﹣）＝﹣＝（3+2）2﹣（3+2）•（2﹣k）＝9+12•+4﹣[6+（4﹣3k）•﹣2k]＝9+12×1×1×cos60°+4﹣[6+（4﹣3k）×1×1×cos60°﹣2k]＝19﹣（8﹣）＝11+＝8；∴k＝﹣．故答案为：﹣．10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2+2x﹣8＝0，直线l：y＝k（x﹣1）（k∈R）过定点A，与圆C交于点B，D，过点A作BC的平行线交CD于点E，则△AEC的周长为5．解：圆C：x2+y2+2x﹣8＝0的圆心为（﹣1，0），半径为R＝3，直线l：y＝k（x﹣1）（k∈R）过定点A（1，0）如图，因为AE∥BC，CB＝CD＝R＝3，∴∠CBD＝∠EAD＝∠EDA，即AE＝ED，∴CA+AE+EC＝CA+ED+EC＝AC+CD＝2+3＝5，则三角形AEC的周长为5，故答案为：5．11．如图，已知两座建筑物AB，CD的高度分别为15m和9m，且AB＞BC＞CD，从建筑物AB的项部A看建筑物CD的张角为∠CAD，测得tan∠CAD＝，则B，C间的距离12m．解：过A作AE∥BC，交CD的延长线于E，设∠EAD＝α，∠CAD＝β，由题意可得，AB＝15，CD＝9，DE＝6，tanβ＝，AE＝BC＝x，Rt△ADE中，tan，tanβ＝，Rt△ABC中，∠BCD＝α+β，tan（α+β）＝＝，整理可得，2x2﹣39x+180＝0，解可得x＝12或x＝，因为BC＞CD＝9，故BC＝12，故答案为：12．12．设曲线y＝（m＞0）在x＝t（t≠﹣1）处的切线为l，则点P（2t，﹣1）到l的最大距离为．解：根据条件可得y′＝﹣，则当x＝t时，y＝，y′＝﹣，所以切线l：y﹣＝﹣（x﹣t），化为mx+（t+1）2y﹣m（2t+1）＝0，即为m（x﹣2t﹣1）+（t+1）2y＝0，可得切线恒过定点（2t+1，0），点P（2t，﹣1）到l的最大距离为定点（2t，﹣1）和（2t+1，0）的距离，可得最大距离为＝，故答案为：．13．已知函数y＝cos（+πx），x∈[，t）（t＞）既有最小值也有最大值，则实数t 的取值范围是＜t≤或t＞．解：因为：x∈[，t），（t＞），所以：π≤πx＜tπ，可得：π+≤+πx＜+tπ，可得：≤+πx＜tπ+，若函数y＝cos（+πx），x∈[，t）（t＞）既有最小值也有最大值，当3π＜tπ+≤π，即：＜t≤时，有最大值cos（）＝，最小值cos（3π）＝﹣1，当tπ+＞4π，即t＞，有最大值cos（4π）＝1，最小值cos（3π）＝﹣1，综上所述，＜t≤或t＞．故答案为：＜t≤或t＞．14．已知函数f1（x）＝|x﹣1|，f k+1（x）＝f1（f k（x）），k≤5，k∈N*．若函数y＝f k（x）﹣lnx恰有3个不同的零点，则k的取值集合为{3，5}．解：函数y＝f k（x）﹣lnx恰有3个不同的零点，即为方程f k（x）﹣lnx＝0有三个实根，作出y＝lnx和y＝f k（x）的图象，考虑它们的交点个数．由f1（x）＝|x﹣1|与y＝lnx只有一个交点（1，0）；由f2（x）＝||x﹣1|﹣1|的对称轴为x＝1，零点为0，2，与y＝lnx有两个交点；由f3（x）＝|||x﹣1|﹣1|﹣1|的对称轴为x＝1，零点为﹣1，1，3，且ln3＞1，故y＝f3（x）与y＝lnx有三个交点；由f4（x）＝||||x﹣1|﹣1|﹣1|﹣1|的对称轴为x＝1，零点为﹣2，0，2，4，与y＝lnx有两个交点；由f5（x）＝|||||x﹣1|﹣1|﹣1|﹣1|﹣1|的对称轴为x＝1，零点为﹣3，﹣1，1，3，5，且ln3＞1，故y＝f5（x）与y＝lnx有三个交点．综上可得k＝3，5，符合题意．故答案为：{3，5}．二、解答题（共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．在平面直角坐标系xOy中，设向量＝（sin x，sin x），＝（cos x，sin x），x∈[0，π]．（1）若||＝||，求x的值；（2）求•的最大值及取得最大值时x的值．解：（1）∵＝（sin x，sin x），＝（cos x，sin x），∴＝3sin2x+sin2x＝4sin2x，＝cos2x+sin2x＝1；∵||＝||，∴|sin x|＝；∵x∈[0，π]．∴x＝或．（2）•＝sin x cos x+sin2x＝sin2x﹣cos2x+＝sin（2x﹣）+；∵x∈[0，π]．∴2x﹣∈[﹣，]，∴0≤sin（2x﹣）+≤；∴当2x﹣＝，即x＝时，•取最大值．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱A1A的中点．求证：（1）AC∥平面EDB1；（2）平面EDB1⊥平面B1BD．【解答】证明：（1）如图所示，连接BD1，与DB1相交于点M，设AC∩BD＝O，连接OM．则OM D1D，∴OM AE，∴四边形AOME是平行四边形，∵AO⊄平面EDB1，EM⊂平面EDB1；∴AC∥平面EDB1．（2）由AO⊥BD，B1B⊥AO，BD∩B1B＝B，∴AO⊥平面B1BD．又EM∥AO，∴EM⊥平面B1BD．又EM⊂平面EDB1，∴平面EDB1⊥平面B1BD．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B两点分别为椭圆+＝1（a＞b＞0）的右顶点和上顶点，且AB＝，右准线l的方程为x＝4．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点A的直线交椭圆于另一点P，交l于点Q．若以PQ为直径的圆经过原点，求直线PQ的方程．解：（1）设椭圆的焦距为2c（c＞0）．，解得：，所以椭圆的标准方程为：．（2）由题意得直线PQ不垂直x轴，设PQ：y＝k（x﹣2）．联立可得（4k2+3）x2﹣16k2x+16k2﹣12＝0．∴，∴P（）．联立，可得Q（4，2k）．因为以PQ为直径的圆经过原点，所以．解得k＝．∴PQ直线方程为：＝0，或＝0．18．（16分）图为一块平行四边形园地ABCD，经测量，AB＝20米，BC＝10米，∠ABC ＝120°，拟过线段AB上一点E设计一条直路EF（点F在四边形ABCD的边上，不计路的宽度），将该园地分为面积之比为3：1的左、右两部分分别种植不同的花卉，设EB＝x，EF＝y（单位：米）（1）当点F与点C重合时，试确定点E的位置；（2）求y关于x的函数关系式，并确定点E、F的位置，使直路EF长度最短．解：（1）当点F与点C重合时，S△BEC＝S▱ABCD，即•EB•h＝AB•h，其中h为平行四边形AB边上的高，得EB＝AB，即点E是AB的中点．（2）∵点E在线段AB上，∴0≤x≤20，当10≤x≤20时，由（1）知，点F在线段BC上，∵AB＝20m，BC＝10m，∠ABC＝120°，∴S▱ABCD＝AB•BC•sin∠ABC＝20×10×＝100．由S△EBF＝x•BF•sin120°＝25，得BF＝，∴由余弦定理得，y＝EF＝＝，当0≤x＜10时，点F在线段CD上，由S四边形EBCF＝（x+CF）×10×sin60°＝25得CF＝10﹣x，当BE≥CF时，EF＝，当BE＜CF时，EF＝，化简均为y＝EF＝2，综上所述，y＝；当0≤x＜10时，y＝2，当x＝时，y有最小值y min＝5，此时CF＝；当10≤x≤20时，y＝≥10＞5，故当点E距点B2.5m，点F距点C7.5m时，EF最短，其长度为5．19．（16分）已知函数y＝f（x）的定义域为D，若满足∀x∈D，x•f（x）≥f（x），则称函数f（x）为“L型函数”．（1）判断函数y＝e x和y＝lnx是否为“L型函数”，并说明理由；（2）设函数f（x）＝（x+1）lnx﹣（x﹣1）lna（a＞0），记g（x）为函数f（x）的导函数．①若函数g（x）的最小值为1，求a的值；②若函数f（x）为“L型函数”，求a的取值范围．解：（1）对于函数y＝e x，定义域为R，显然0•e0≥e0不成立，所以数y＝e x不是L型函数；对于函数y＝lnx，定义域（0，+∞），当0＜x＜1时，lnx＜0，所以（x﹣1）lnx＞0，即xlnx＞lnx，当x＞1时，lnx＞0，所以（x﹣1）lnx＞0，即xlnx＞lnx，当x＝1时，lnx＝0，所以（x﹣1）lnx＝0，即xlnx＝lnx，综上可得，xlnx≥lnx，（2）①∵g（x）＝f′（x）＝lnx+，x＞0，∴＝，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，故当x＝1时，g（x）取得最小值g（1）＝2﹣lna＝1，故a＝e，②∵函数f（x）为“L型函数”，∴x＞0时，（x﹣1）f（x）＝（x﹣1）[（x+1）lnx﹣（x﹣1）lna]≥0，（*），（i）当2﹣lna≥0即0＜a≤e2时，由①可得g（x）≥0，即f′（x）≥0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（1）＝0，所以当x∈（0，1）时，f（x）＜0，（x﹣1）f（x）＞0，当x∈[1，+∞）时，f（x）≥0，（x﹣1）f（x）≥0，所以任意x＞0时，适合（*）式，（ii）当2﹣lna＜0即a＞e2时，g（1）＜0，g（a）＝1+＞0，由零点判定定理可知，存在x0∈（1，a）使g（x0）＝0，又g（x）在（1，+∞）上单调递增，故当x∈（1，x0）时，g（x）＜0，所以f（x）在x∈（1，x0）时单调递减，且f（1）＝0，所以当x∈（1，x0）时，f（x）＜0，（x﹣1）f（x）＜0不适合（*）式，综上可得，a的范围（0，e2]．20．（16分）已知数列{a n}的首项为1，各项均为正数，其前n项和为S n，2S n＝（n∈N*）．（1）求a2，a3的值；（2）求证：数列{a n}为等差数列；（3）设数列{b n}满足b1＝1，b n+1b n＝a n，求证：≥2﹣1．解：（1）数列{a n}的首项为1，各项均为正数，其前n项和为S n，2S n＝（n∈N*）．当n＝1时，，解得a2＝2，当n＝2时，，整理得a3＝3．（2）证明：由于2S n＝①，当n≥2时，②，①﹣②整理得，去分母化简得：2a n＝a n﹣1+a n+1，所以数列{a n}为等差数列；（3）证明：数列{b n}满足b1＝1，b n+1b n＝a n＝n③，当n＝1时，b2b1＝1，又b1＝1，故b2＝1，由③知，b n b n﹣1＝n﹣1（n≥2）④，由③﹣④得，b n+1b n﹣b n b n﹣1＝1（n≥2），即b n（b n+1﹣b n﹣1）＝1（n≥2），依题意，b n≠0，故，∴当n≥2时，＝＝＝b n+b n+1﹣1，当n＝1时，1≥1也成立．综上，≥2﹣1．。

第1页，总27页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………江苏省南通市海安高级中学2020届高三阶段测试三数学试题题号 一 二 总分 得分评卷人 得分一、填空题 本大题共14道小题。

1.如图正四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1的体积为27，点E ，F 分别为棱11,B B C C 上的点（异于端点）且//EF BC ，则四棱锥1A AEFD -的体积为___________.答案及解析：1.9 【分析】由11113A AED E A AD A AD V V S AB --∆==⋅，由此能求出四棱锥1A AEFD -的体积． 【详解】解：连接DE ，答案第2页，总27页∵正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F 分别为棱11,B B C C 上的点（异于端点），且//EF BC ，11A AED A FED V V --∴=，1111111111193662A AED E A AD A AD A ADD ABCD A C D V V S AB S AB V --∆-∴==⋅=⋅==，∴四棱锥1A AEFD -的体积19A AEFD V -=． 故答案为：9．【点睛】本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，是中档题． 2.设全集{1,2,3,4,5}U =,若{1,2,4}U C A =，则集合A =_________.答案及解析：2.{3,5}. 【分析】 直接求根据{1,2,4}UA =求出集合A 即可.【详解】解：因为全集{1,2,3,4,5}U =若{1,2,4}UA =，则集合A ={3,5}. 故答案为：{3,5}.【点睛】本题考查补集的运算，是基础题. 3.已知S n 为数列{a n }的前n 项和3(1)(*)n n S na n n n N =--∈且211a =.则1a 的值________答案及解析：3.5 【分析】由3(1)(*)n n S na n n n N =--∈，且211a =．取2n =即可得出．。

2020届江苏省南通市海安高级中学高三下学期3月线上考试数学试题一、填空题1．已知集合{}02,{1}M x x N x x =<<=>，则M N =________________.【答案】{|12}x x <<【解析】根据交集的定义，即得解. 【详解】集合{}02,{1}M x x N x x =<<=> 根据交集定义，{|12}M N x x =<<【点睛】本题考查了集合交集的运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 2．复数()z i 1i =-的共轭复数在复平面内对应的点位于第______象限． 【答案】四【解析】利用复数代数形式的乘法运算化简，求出z 的坐标得答案． 【详解】()z i 1i 1i =-=+，z 1i ∴=-，则复数()z i 1i =-的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为()1,1-，位于第四象限． 故答案为四． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 3．为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[]40,80中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[)40,60内的汽车有______辆.【答案】80【解析】试题分析：时速在区间[40,60)内的汽车有200(0.010.03)1080.⨯+⨯=【考点】频率分布直方图4．袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于______．【答案】3 5【解析】分析：通过枚举法写出摸出2个球的所有情况，再找出摸出1个黑球和1个白球的情况，由此能求出概率.详解：设3个黑球用A，B，C表示；2个白球用甲，乙表示，摸出2个球的所有情况：（A，B）、（A，C）、（A，甲）、（A，乙）、（B，C）、（B，甲）、（B，乙）、（C，甲）、（C，乙）、（甲，乙）共10种，其中摸出1个黑球和1个白球的情况有6种，所以，摸出1个黑球和1个白球的概率为63105 P==.故答案为3 5 .点睛：本题考查利用古典概型的概率公式求事件的概率，解题时要注意枚举法的合理运用.5．在一次知识竞赛中，抽取5名选手，答对的题数分布情况如表，则这组样本的方差为______．答对题数48910人数分布1121【答案】22 5【解析】根据表中数据计算平均数和方差即可．【详解】根据表中数据，计算平均数为()1x 48921085=⨯++⨯+=， 方差为(22222122s [(48)(88)(98)2108)55⎤=⨯-+-+-⨯+-=⎦． 故答案为：225．【点睛】本题考查了平均数与方差的计算问题，熟记计算公式，准确计算是关键，是基础题． 6．如图所示的算法流程图中，最后输出值为______．【答案】25【解析】分析：由流程图可知，该算法为先判断后计算的当型循环，模拟执行程序，即可得到答案. 详解：程序执行如下2018T <Ti15Y 5 10Y 5015Y750 20Y 1500025故2018T <不成立时，25i =. 故答案为25.点睛：本题考查了循环结构的程序框图，正确判断循环的类型和终止循环的条件是解题关键7．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．①若m α⊂，m β⊥，则αβ⊥，②若m α⊂，αβn ⋂=，αβ⊥，则m n ⊥；③若m α⊂，n β⊂，α//β，则m //n ； ④若m //α，m β⊂，αβn ⋂=，则m //n ．上述命题中为真命题的是______(填写所有真命题的序号)． 【答案】①④【解析】①由线面垂直的判定定理可知正确；m ②与n 可能平行可能相交；m ③与n 可能平行或异面；④由线面平行的性质定理可知正确． 【详解】选项①正确，由线面垂直的判定定理可知：若m α⊂，m β⊥，则αβ⊥； 选项②错误，若m α⊂，αβn ⋂=，αβ⊥，则m 与n 可能平行可能相交； 选项③错误，若m α⊂，n β⊂，α//β，则m 与n 可能平行或异面；选项④正确，由线面平行的性质定理可知：若m //α，m β⊂，αβn ⋂=，则m //n ． 故答案为：①④ 【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及线面位置关系的确定，熟记基本定理，准确推理是关键，属基础题．8．公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何”.题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快(每天增加的数量相同)，已知第一天织布5尺，一个月(30天)共织布9匹3丈，则该女子每天织尺布的增加量为______尺.(1匹4=丈，1丈10=尺) 【答案】1629【解析】分析：设该女子织布每天增加d 尺，由等差数列前n 项和公式求出d 即可. 详解：设该女子织布每天增加d 尺，由题意知，15a =尺，3010(943)390S =⨯+=尺 又由等差数列前n 项和公式得3013029303902S a ⨯=+=，解得1629d =尺 故答案为1629点睛：本题考查等差数列的实际应用，解题时要认真审题，注意等差数列性质的合理运用.9．若πcos α2cos α4⎛⎫=+⎪⎝⎭，则πtan α8⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．【答案】13【解析】πcos α2cos α4⎛⎫=+⎪⎝⎭，可得ππππcos α2cos α8888⎛⎫⎛⎫+-=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，利用和差公式、同角三角函数基本关系式及其倍角公式即可得出． 【详解】πcos α2cos α4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππππcos α2cos α8888⎛⎫⎛⎫∴+-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππππππππcos αcos sin αsin 2cos αcos 2sin αsin 88888888⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化为：ππππcos αcos 3sin αsin 8888⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ππ3tan αtan 188⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，2π2tanπ8tan 1π41tan 8==-，解得πtan 18=．π121tanα83321（）+⎛⎫∴+==⎪-⎝⎭，故答案为213+【点睛】本题考查了余弦和正切和差公式、同角三角函数基本关系式及其倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．如图，已知O为矩形ABCD内的一点，且OA2=，OC4=，AC5=，则OB OD⋅=______．【答案】52-【解析】建立坐标系，设()O m,n，()C a,b，根据条件得出O，C的坐标之间的关系，再计算OB OD⋅的值．【详解】以A为原点，以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，设()O m,n，()B a,0，()D0,b，则()C a,b，OA2=，OC4=，AC5=，222222a b25m n4()()16m a n b⎧+=⎪∴+=⎨⎪-+-=⎩，整理可得：13am bn2+=．又()OB a m,n=--，()OD m,b n=--，()()()22135OB OD m m a n n b m n am bn 422∴⋅=-+-=+-+=-=-． 故答案为52-． 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系是突破点，准确计算是关键，属于中档题．11．已知关于x 的方程()x x a 1-=在()2,∞-+上有三个相异实根，则实数a 的取值范围是______． 【答案】5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】分析：将方程问题转换为函数()f x x a =-与1()g x x=的图象在()2,-+∞上有三个不同交点.根据函数图象可以求出答案. 详解：方程()1x x a -=在()2,-+∞上有3个相异实根，∴函数()f x x a =-与1()g x x=的图象在()2,-+∞上有三个不同交点， 在坐标系中画出函数的图象，由图象可知，在(2,0)x ∈-上，函数()y f x =与()y g x =有两个不同的交点，在(0,)x ∈+∞上，函数()y f x =与()y g x =有一个交点1,0()=1,0x xg x x x⎧>⎪⎪⎨⎪->⎪⎩，联立1y x y x a ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，整理得210x ax -+=，24a ∆=-∴240(2)(2)a g f ⎧∆=->⎨>⎩，即240122a a⎧->⎪⎨>--⎪⎩，解得522a -<<-∴实数a 的取值范围为5(,2)2--故答案为5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭点睛：本题主要考查方程的根与函数图象交点的关系，考查数形结合的思想以及分析问题解决问题的能力. 12．已知a 0>，b 0>，且111a b +=，则b3a 2b a++的最小值等于______． 【答案】11【解析】分析：构造基本不等式模型1132()(32)b ba b a b a a b a++=+++，化简整理，应用基本不等式，即可得出答案.详解：111a b+=， ∴1132()(32)53()b b b aa b a b a a b a a b++=+++=++0a >，0b >，∴0ba >，0ab>，∴2b aa b+≥，当且仅当2a b ==时取等号. 325611ba b a ++≥+=.∴32ba b a++的最小值等于11.故答案为11.点睛：本题考查基本不等式的性质与应用，同时考查了整体思想与转化思想的运用. 13．如图，已知AC 8=，B 为AC 的中点，分别以AB ，AC 为直径在AC 的同侧作半圆，M ，N 分别为两半圆上的动点(不含端点A ，B ，C)，且BM BN ⊥，则AM CN ⋅的最大值为______．【答案】4【解析】以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，求得A ，B ，C 的坐标，可得以AB 为直径的半圆方程，以AC 为直径的半圆方程，设出M ，N的坐标，由向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变换可得α2β=，再由余弦函数、二次函数的图象和性质，计算可得最大值． 【详解】以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，可得()A 0,0，()B 4,0，()C 8,0，以AB 为直径的半圆方程为22(x 2)y 4(x 0,y 0)-+=>>， 以AC 为直径的半圆方程为22(x 4)y 16(x 0,y 0)-+=>>， 设()M 22cos α,2sin α+，()N 44cos β,4sin β+，0α<，βπ<，BM BN ⊥，可得()()BM BN 22cos α,2sin α4cos β,4sin β0⋅=-+⋅=，即有()8cos β8cos αcos βsin αsin β0-++=， 即为cos βcos αcos βsin αsin β=+， 即有()cos βcos αβ=-，又0α<，βπ<，可得αββ-=，即α2β=， 则()()AM CN 22cos α,2sin α44cos β,4sin β⋅=+⋅-+()88cos α8cos β8cos αcos βsin αsin β=--+++288cos α16cos β16cos β16cos β=--+=-2116(cos β)42=--+，可得1cos β02-=，即πβ3=，2πα3=时，AM CN ⋅的最大值为4．故答案为4． 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了圆的方程与应用问题，建立平面直角坐标系，用坐标表示向量是解题的关键．14．若关于x 的不等式3230x x ax b -++<对任意的实数[]1,3x ∈及任意的实数[]2,4b ∈恒成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】(),2∞--【解析】由题意可得323x x ax b -+<-先对b 恒成立，即为3234x x ax -+<-，再由参数分离和函数的导数，求得单调性和最值，即可得到所求a 的范围． 【详解】关于x 的不等式3230x x ax b -++<对任意的实数[]1,3x ∈ 及任意的实数[]2,4b ∈恒成立，先看成b 的一次函数 ，可得323b min x x ax -+<-（）即为3234x x ax -+<-，可得243a x x x <--恒成立， 设()243f x x x x=--，[]1,3x ∈，()()()222222432x x x f x x x x -++=-+='，可得12x <<时，()'0f x >，()f x 递增；23x <<时，()'0f x <，()f x 递减，又()12f =-，()433f =-， 可得()f x 在[]1,3的最小值为2-， 可得2a <-．即有a 的范围是(),2∞--． 故答案为：(),2∞--． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和构造函数，运用导数求单调性和最值，考查转化思想和运算能力，属于中档题．二、解答题15．已知ABC 内接于单位圆，且()()112tanA tanB ++=，()1求角C ()2求ABC 面积的最大值．【答案】（1）34C π=（2 【解析】()1变形已知条件可得1tanA tanB tanA tanB +=-⋅，代入可得()11tanA tanBtanC tan A B tanAtanB+=-+=-=--，可得C 值；()2由正弦定理可得c ，由余弦定理和基本不等式可得ab 的取值范围，进而可得面积的最值． 【详解】()()()1112tanA tanB ++=1tanA tanB tanA tanB ∴+=-⋅，()11tanA tanBtanC tan A B tanAtanB+∴=-+=-=--，()3C 0,4C ππ∈∴=()2ABC 的外接圆为单位圆，∴其半径1R =由正弦定理可得2c RsinC ==由余弦定理可得2222c a b abcosC =+-，代入数据可得222a b =+(22ab ab ≥+=，当且仅当a=b 时，“=”成立ab ∴≤ABC ∴的面积11222S absinC =≤=，B AC ∴ 【点睛】本题考查两角和与差的正切，涉及正余弦定理和三角形的面积公式，基本不等式的应用，熟记定理，准确计算是关键，属中档题．16．如图，在四面体ABCD 中，AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上，且AFACλ=.（1）若//EF 平面ABD ，求实数λ的值； （2）求证：平面BCD ⊥平面AED . 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）由线面平行的性质得出//EF AB ，可以判断点F 为AC 的中点，从而求出λ的值；（2）由AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点，得到BC AE ⊥，BC DE ⊥，由面面垂直的判断定理即可证明平面BCD ⊥平面AED . 【详解】（1）因为//EF 平面ABD ，得EF ⊂平面ABC ， 平面ABC平面=ABD AB ，所以//EF AB ，又点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上， 所以点F 为AC 的中点， 由AFAC λ=，得1=2λ； （2）因为AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点， 所以BC AE ⊥，BC DE ⊥，又=AE DE E ⋂，AE ⊂平面AED ，DE ⊂平面AED ， 所以BC ⊥平面AED ， 又BC ⊂平面BCD ， 所以平面BCD ⊥平面AED . 【点睛】本题主要考查线面平行的性质和面面垂直的证明，考查学生空间想象能力，属于基础题. 17．如图，长方形材料ABCD 中，已知23AB =4=AD .点P 为材料ABCD 内部一点，PE AB ⊥于E ，PF AD ⊥于F ，且1PE =，3PF =. 现要在长方形材料ABCD 中裁剪出四边形材料AMPN ，满足150MPN ∠=︒，点M 、N 分别在边AB ，AD 上.（1）设FPN θ∠=，试将四边形材料AMPN 的面积表示为θ的函数，并指明θ的取值范围；（2）试确定点N 在AD 上的位置，使得四边形材料AMPN 的面积S 最小，并求出其最小值.【答案】(1)见解析;(2)当23AN =时，四边形材料AMPN 的面积S 最小，最小值为32+. 【解析】分析：（1）通过直角三角形的边角关系，得出NF 和ME ，进而得出四边形材料AMPN 的面积的表达式，再结合已知尺寸条件，确定角θ的范围.（2）根据正切的两角差公式和换元法，化简和整理函数表达式，最后由基本不等式，确定面积最小值及对应的点N 在AD 上的位置.详解：解：（1）在直角NFP ∆中，因为3PF =FPN θ∠=， 所以3tan NF θ=， 所以()1113tan 322NAP S NA PF θ∆=⋅= 在直角MEP ∆中，因为1PE =，3EPM πθ∠=-，所以tan 3ME πθ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 所以113tan 1223AMP S AM PE πθ∆⎡⎤⎛⎫=⋅=-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎦，所以NAP AMP S S S ∆∆=+ 31tan tan 223πθθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（2）因为31tan tan 223S πθθ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭3tan 2θ=令1t θ=，由0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得[]1,4t ∈，所以24233S t t ⎫==++⎪⎝⎭ 2233≥=+当且仅当3t =时，即2tan 3θ=时等号成立，此时，AN =，min 2S =+答：当AN =时，四边形材料AMPN 的面积S 最小，最小值为2+. 点睛：本题考查三角函数的实际应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，注意换元法和基本不等式的合理运用.换元法求函数的值域，通过引入新变量（辅助式，辅助函数等），把所有分散的已知条件联系起来，将已知条件和要求的结果结合起来，把隐藏在条件中的性质显现出来，或把繁琐的表达式简化，之后就可以利用各种常见的函数的图象和性质或基本不等式来解决问题.常见的换元方法有代数和三角代换两种.要特别注意原函数的自变量与新函数自变量之间的关系.18．已知椭圆E ：2229(0)x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与E 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．()1若3m =，点K 在椭圆E 上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF ⋅的范围；()2证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； ()3若l 过点,3m m ⎛⎫⎪⎝⎭，射线OM 与椭圆E 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时直线l 斜率；若不能，说明理由． 【答案】（1）[]7,1- （2）见证明；（3）见解析【解析】()13m =，椭圆E ：2219x y +=，两个焦点()1F -，()2F ，设(),K x y ，求出12KF KF ⋅的表达式，然后求解范围即可．()2设A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，利用点差法转化求解即可．()3直线l 过点,3mm ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 不过原点且与椭圆E 有两个交点的充要条件是0k >且1.3k ≠设(),P P P x y ，设直线()()0,03ml y k x m m k =-+≠≠：，代入椭圆方程，通过四边形OAPB 为平行四边形，转化求解即可． 【详解】()13m =，椭圆E ：2219x y +=，两个焦点()1F -，()2F设(),K x y，()1F K x y =+，()2F K x y =-，()()2221212881KF KF FK F K x y x y x y y ⋅=⋅=+⋅-=+-=-+， 11y -≤≤，12KF KF ∴⋅的范围是[]7,1-()2设A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则222112222299.x y m x y m ⎧+=⎨+=⎩两式相减， 得()()()()1212121290x x x x y y y y +-++-=，()()()()12121212190y y y y x x x x +-+=+-，即190OM l k k +⋅=，故19OM l k k ⋅=-； ()3设(),P P P x y ，设直线()()0,03m l y k x m m k =-+≠≠：，即3m l y kx km =-+：， 由()2的结论可知19OM y x k =-：，代入椭圆方程得，2222991P m k x k =+， 由()3m y k x m =-+与19y x k =-，联立得222933,9191m km k m km M k k ⎛⎫- ⎪-- ⎪++ ⎪⎝⎭若四边形OAPB 为平行四边形，那么M 也是OP 的中点，所以2M p x x =，即2222229394()9191k m km m k k k -=++，整理得29810k k -+=解得，k =．经检验满足题意所以当k =时，四边形OAPB 为平行四边形. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，点差法，直线与椭圆的交点，考查分析问题解决问题的能力，准确转化平行四边形是关键，是中档题19．已知函数f （x ）=ae x ，g （x ）=ln x -ln a ，其中a 为常数，且曲线y =f （x ）在其与y 轴的交点处的切线记为l 1，曲线y =g （x ）在其与x 轴的交点处的切线记为l 2，且l 1∥l 2． （1）求l 1，l 2之间的距离；（2）若存在x 使不等式()x mf x -成立，求实数m 的取值范围； （3）对于函数f （x ）和g （x ）的公共定义域中的任意实数x 0，称|f （x 0）-g （x 0）|的值为两函数在x 0处的偏差．求证：函数f （x ）和g （x ）在其公共定义域内的所有偏差都大于2．【答案】（1；（2）()0-∞，；（3）见解析【解析】（1）先根据导数的几何意义求出两条切线，然后利用平行直线之间的距离公式求出求l 1，l 2之间的距离；（2）利用分离参数法，求出h （x ）=x e x 的最大值即可； （3）根据偏差的定义，只需要证明()()f x g x -的最小值都大于2． 【详解】（1）f ′（x ）=ae x ，g ′（x ）=1x， y =f （x ）的图象与坐标轴的交点为（0，a ）， y =g （x ）的图象与坐标轴的交点为（a ，0）， 由题意得f ′（0）=g ′（a ），即a =1a， 又∵a ＞0，∴a =1． ∴f （x ）=e x ，g （x ）=ln x ，∴函数y =f （x ）和y =g （x ）的图象在其坐标轴的交点处的切线方程分别为： x -y +1=0，x -y -1=0，∴.（2）由()x m f x -x x me-，故m ＜x x 在x ∈[0，+∞）有解，令h （x ）=x x ，则m ＜h （x ）max ， 当x =0时，m ＜0；当x ＞0时，∵h ′（x ）=1-）e x ，∵x ＞0，，e x ＞1，∴e x ，故h ′（x ）＜0，即h （x ）在区间[0，+∞）上单调递减， 故h （x ）max =h （0）=0，∴m ＜0， 即实数m 的取值范围为（-∞，0）． （3）解法一：∵函数y =f （x ）和y =g （x ）的偏差为：F （x ）=|f （x ）-g （x ）|=e x -ln x ，x ∈（0，+∞）， ∴F ′（x ）=e x -1x，设x =t 为F ′（x ）=0的解， 则当x ∈（0，t ），F ′（x ）＜0；当x ∈（t ，+∞），F ′（x ）＞0， ∴F （x ）在（0，t ）单调递减，在（t ，+∞）单调递增，∴F （x ）min=e t -ln t =e t -ln1t e =e t+t ，∵F ′（1）=e -1＞0，F ′（12）＜0，∴12＜t ＜1，故F （x ）min =e t +t 12+12=2，即函数y =f （x ）和y =g （x ）在其公共定义域内的所有偏差都大于2． 解法二：由于函数y =f （x ）和y =g （x ）的偏差：F （x ）=|f （x ）-g （x ）|=e x -ln x ，x ∈（0，+∞）， 令F 1（x ）=e x -x ，x ∈（0，+∞）；令F 2（x ）=x -ln x ，x ∈（0，+∞），∵F 1′（x ）=e x -1，F 2′（x ）=1-1x=1x x -， ∴F 1（x ）在（0，+∞）单调递增，F 2（x ）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，∴F 1（x ）＞F 1（0）=1，F 2（x ）≥F 2（1）=1， ∴F （x ）=e x -ln x =F 1（x ）+F 2（x ）＞2，即函数y =f （x ）和y =g （x ）在其公共定义域内的所有偏差都大于2. 【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义解决曲线的切线问题，利用导数求解函数的最值问题,属于难度题.20．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S a +=，*n N ∈．()1求数列{}n a 的通项公式；()2设数列{}n b 满足：对于任意的*n N ∈，都有11213211()333n n n n n a b a b a b a b n ---+++⋯+=+-成立．①求数列{}n b 的通项公式；②设数列n n n c a b =，问：数列{}n c 中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．【答案】(1)113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，*n N ∈.(2)①21n b n =-，*n N ∈.②见解析.【解析】分析：（1）当2n ≥时，类比写出1123n n S a --+=，两式相减整理得113n n a a -=，当1n =时，求得10a ≠，从而求得数列{}n a 的通项公式.；（2）①将113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭代入已知条件，用与（1）相似的方法，变换求出数列{}n b 的通项公式；②由n c 的通项公式分析，得12345c c c c c =>>>>…，假设存在三项s c ，p c ，r c 成等差数列，且s p r <<，则2p s r c c c =+，即()1112212121333p s r p s r ------=+，根据数列{}n c 的单调性，化简得722p ≤<，将2p =或3p =代入已知条件，即可得到结论.详解：解：（1）由23n n S a +=， ① 得()11232n n S a n --+=≥， ② 由①-②得120n n n a a a -+-=，即()1123n n a a n -=≥， 对①取1n =得，110a =≠，所以0n a ≠，所以113n n a a -=为常数， 所以{}n a 为等比数列，首项为1，公比为13，即113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，*n N ∈.（2）①由113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得对于任意*n N ∈有2111211111333333n n n n n b b b b n ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ③则()()2221231111131323333n n n n n b b b b n n -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ④则()23111231111112233333n n n n n b b b b n n -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+-≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ⑤由③-⑤得()212n b n n =-≥，对③取1n =得，11b =也适合上式， 因此21n b n =-，*n N ∈. ②由（1）（2）可知1213n n n n n c a b --==， 则()11412121333n n n n nn n n c c +--+--=-=， 所以当1n =时，1n n c c +=，即12c c =，当2n ≥时，1n n c c +<，即{}n c 在2n ≥且*n N ∈上单调递减， 故12345c c c c c =>>>>…，假设存在三项s c ，p c ，r c 成等差数列，其中s ，p ，*r N ∈，由于12345c c c c c =>>>>…，可不妨设s p r <<，则2p s r c c c =+（），即()1112212121333p s r p s r ------=+，因为s ，p ，*r N ∈且s p r <<，则1s p ≤-且2p ≥， 由数列{}n c 的单调性可知，1s p c c -≥，即12212333s p s p ----≥， 因为12103r r r c --=>，所以()11122212121233333p s r p p s r p --------=+>， 即()122212333p p p p ---->，化简得72p <， 又2p ≥且*p N ∈，所以2p =或3p =，当2p =时，1s =，即121c c ==，由3r ≥时，21r c c <=，此时1c ，2c ，r c 不构成等差数列，不合题意，当3p =时，由题意1s =或2s =，即1s c =，又359p c c ==，代入（）式得19r c =，因为数列{}n c 在2n ≥且*n N ∈上单调递减，且519c =，4r ≥，所以5r =， 综上所述，数列{}n c 中存在三项1c ，3c ，5c 或2c ，3c ，5c 构成等差数列.点睛：本题考查了数列递推关系、等比数列与等差数列的定义、通项公式，涉及到等差和等比数列的判断，数列的单调性等知识的综合运用，考查分类讨论思想与逻辑推理能力，属于难题.已知数列{}n a 的前n 项和n S 与n a 的关系式，求数列的通项公式的方法如下： （1）当1n =时， 11a S =求出1a ；（2）当2n ≥时，用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用1n n S S --(2)n ≥便可求出当2n ≥时n a 的表达式；（3）对1n =时的结果进行检验，看是否符合2n ≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与2n ≥两段来写．21．如图，四边形ABCD 内接于圆O ，弧AB 与弧AD 长度相等，过A 点的切线交CB 的延长线于E 点.求证：2AB BE CD =⋅.【答案】证明见解析【解析】连结AC ，证明ABE CDA ∆∆，再利用相似比即可得到答案.【详解】 连结AC ，因为EA 切圆O 于A ，所以EAB ACB ∠=∠.因为弧AB 与弧AD 长度相等，所以ACD ACB ∠=∠，AB AD =. 于是EAB ACD ∠=∠.又四边形ABCD 内接于圆O ，所以ABE D ∠=∠. 所以ABE CDA ∆∆.于是AB BECD DA=，即AB DA BE CD ⋅=⋅， 所以2AB BE CD =⋅.【点睛】本题考查平面几何中圆与三角形相似，考查逻辑推理能力，属于基础题. 22．已知矩阵2132A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，列向量x X y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，47B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且AX B =. （1）求矩阵A 的逆矩阵1A -； （2）求x ，y 的值. 【答案】（1）12132A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦（2）12x y =⎧⎨=⎩ 【解析】（1）求出二阶矩阵对应的行列式值不为0，进而直接代入公式求得逆矩阵；（2）由AX B =可得1214327X A B --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，计算矩阵的乘法，即可得答案.【详解】 （1）由2132A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()det 223110A =⨯-⨯=≠，所以A 可逆，从而12132A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.（2）由AX B =得到121413272X A B --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴12 xy=⎧⎨=⎩.【点睛】本题考查公式法求矩的逆矩阵及矩阵的乘法计算，考查运算求解能力，属于基础题.23．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线4cos:3sinxCyθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，Rθ∈），直线32:32xly⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t为参数，t R∈），求曲线C上的动点P到直线l的距离的最小值..【解析】试题分析：根据已知中直线的参数方程，消参求出直线的一般式方程，代入点到直线距离公式，结合三角函数的图象和性质，可得曲线C上的动点P到直线l的距离的最小值．试题解析：将直线l的参数方程化为普通方程为60x y--=.因为点P在曲线4cos:3sinxCyθθ=⎧⎨=⎩上，所以可设(4cos,3sin)Pθθ.因为点P到直线l距离d=其中3tan,4φφ=是锐角，所以当cos()1θφ+=时，mind=P到直线l的距离最小值为2. 24．已知x、y、z均为正数，求证：111x y zyz zx xy x y z≥＋＋＋＋【答案】证明见解析【解析】【详解】∵x，y，z都是为正数，∴12()x y x yyz zx z y x z+=+≥．同理，可得2y zzx xy x+≥，2z xxy yz y+≥．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111xy z yz zx xy x y z++≥++． 25．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，4CA =，4CB =，122CC =，90ACB ∠=︒，点M 在线段11A B 上.（1）若113A M MB =，求异面直线AM 和1A C 所成角的余弦值； （2）若直线AM 与平面1ABC 所成角为30，试确定点M 的位置. 【答案】（1）3939（2）点M 是线段11A B 的中点. 【解析】（1）以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，1CC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，得到(3,3,22AM =-，(14,0,22CA =，再代入向量夹角公式计算，即可得答案；（2）设(,42M x x -，得(4,4,22AM x x =--，直线AM 与平面1ABC 所成角为30，得到关于x 的方程，解方程即可得到点M 的位置. 【详解】以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，1CC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()000C,,，()4,0,0A ，(14,0,22A ，(10,4,22B .（1）因为113A M MB =，所以(1,3,22M . 所以(14,0,22CA =，(3,3,22AM =-.所以11139cos ,2426CA AM CA AM CA AM⋅===⋅.所以异面直线AM 和1A C 39.（2）由()4,0,0A ，()0,4,0B ，()10,0,22C ， 知()4,4,0AB =-，()14,0,22AC =-.设平面1ABC 的法向量为(),,n a b c =，由100n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得4404220a b a c -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令1a =，则1b =，2c =，所以平面1ABC 的一个法向量为()1,1,2n =.因为点M 在线段11A B 上，所以可设(),4,22M x x -，所以()4,4,22AM x x =--，因为直线AM 与平面1ABC 所成角为30，所以1cos ,sin 302n AM =︒=.由cos ,n AM n AM n AM ⋅=，得()()()()221141422224482x x x x ⋅-+⋅-+⋅=⋅-+-+⋅，解得2x =或6x =.因为点M 在线段11A B 上，所以2x =， 即点()2,2,22M 是线段11A B 的中点.【点睛】本题考查利用向量法求异面直线所成的角、已知线面角确定点的位置，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.26．在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点为F 的抛物线24x y =上有两个动点A 、B ，且满足AF FB λ=，过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M . （1）求：OA OB ⋅的值； （2）证明：FM AB ⋅为定值. 【答案】（1）3-（2）证明见解析【解析】（1）设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将向量,OA OB 分别用坐标表示出来，再进行向量数量积的坐标运算，即可得答案； （2）求出两切线交点M 的坐标为12,12x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭，再代入FM AB ⋅进行坐标运算，即可得到定值 【详解】（1）设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫⎪⎝⎭，∵焦点()0,1F ，∴211,14x AF x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，222,14x FB x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∵AF FB λ=，∴2212121144x x x x λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭-=⎧⎪⎨⎪⎩消λ得22211211044x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简整理得()1212104x x x x ⎛⎫-+=⎪⎝⎭， ∵12x x ≠，∴124x x =-，∴221212144x x y y =⋅=.∴12123OA OB x x y y ⋅=+=-（定值）. （2）抛物线方程为214y x =，∴1'2y x =， ∴过抛物线A 、B 两点的切线方程分别为()2111124x y x x x =-+和()2222124x y x x x =-+，即211124x y x x =-和222124x y x x =-，联立解出两切线交点M 的坐标为12,12x x +⎛⎫-⎪⎝⎭， ∴221221212,24x x x x FM AB x x ⎛⎫+-⎛⎫⋅=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22222121022x x x x -=--=（定值）. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系中的定值问题，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意坐标法思想的应用.。

江苏省海安高级中学2020届高三阶段性测试（三）数学Ⅰ参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．锥体的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1. 设全集U ={1，2，3，4，5}．若UA ={1，2，5}，则集合A = ▲ ．2. 已知复数z 满足(z 2)i 1i -=+(i 为虚数单位)，则复数z 的实部是 ▲ ．3. 已知样本数据1234a a a a ，，，的方差为2，则数据123421212121a a a a ++++，，，的方差为 ▲ ．4. 右图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ▲ ．5. 从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，则该三位数为奇数的概率为 ▲ ．6. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为10，则双曲线C 的渐近线方程为 ▲ ．7. 将函数f (x )的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的图象，则()π4f 的值为 ▲ ．8. 设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0 )+∞，上是单调减函数，且2(3)f x x -(2)f +0>，则实数x 的取值范围是 ▲ ．（第4题）9. 在锐角三角形ABC 中，若3sin 5A =，1tan()3A B -=-，则3tan C 的值为 ▲ ．10. 设S n 为数列{}n a 的前n 项和．若S n ＝na n －3n (n －1)（n ∈N *），且211a =，则S 20的值为 ▲ ．11. 设正实数x ，y 满足x yxy x y+=-，则实数x 的最小值为 ▲ ． 12. 如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ， 则四棱锥1A AEFD -的体积为 ▲ ．13．已知向量a ，b ，c 满足++=0a b c ，且a 与b 的夹角的正切为12-，b 与c 的夹角的正切为13-，2=b ，则⋅a c 的值为 ▲ ．14．已知()()()23f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件：①x ∀∈R ，()0f x <或()0g x <；②()4x ∃∈-∞-，，()()0f x g x ⋅<，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知△ABC的面积为18AC AB CB ，向量(tan tan sin 2)A B C ,m 和(1cos cos )A B ,n是共线向量.（1）求角C 的大小； （2）求△ABC 的三边长.16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知底面ABCD 为矩形，且AB ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA ⊥DE ．（1）求证：EF ∥平面PAD ；C1（第12题）EABC（第16题）AOBPQMN （第17题）（2）求证：平面PAC ⊥平面PDE ．17．（本题满分14分）如图，OM ，ON 是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM 为东西方向），Q 为景区内一景点，A 为道路OM 上一游客休息区．已知tan∠MON ＝－3，OA ＝6(百米)，Q 到直线OM ，ON 的距离分别为3(百米)，6105(百米)．现新修一条自A 经过Q 的有轨观光直路并延伸至道路ON于点B ，并在B 处修建一游客休息区． （1）求有轨观光直路AB 的长；（2）已知在景点Q 的正北方6 百米的P 处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9 分钟．表演时，喷泉喷洒区域以P 为圆心，r 为半径变化，且t 分钟时，r =百米)（0≤t ≤9，0＜a ＜1）．当喷泉表演开始时，一观光车S （大小忽略不计）正从休息区B 沿（1）中的轨道BA 以2(百米/分钟)的速度开往休息区A ，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．18．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)x y abab 过点(1，其离心率．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若A ，B 分别是椭圆E 的左，右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P ． ①求证：OP OM ⋅为定值；②设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，求证：直线MQ 经过定点．19．（本题满分16分）已知数列{}n a 满足：123a a a k ===（常数k ＞0），112n n n n k a a a a -+-+=（n ≥3，*n ∈N ）．数列{}n b 满足：21n n n n a a b a +++=（*n ∈N ）． （1）求b 1，b 2的值；（2）求数列{}n b 的通项公式；（3）是否存在k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数 若存在，求出k 的所有可能值；若不存在，请说明理由．20．（本题满分16分）设函数f (x )＝(x －a )ln x －x ＋a ，a ∈R ． （1）若a ＝0，求函数f (x )的单调区间；（2）若a ＜0，且函数f (x )在区间()22e e -，内有两个极值点，求实数a 的取值范围；（3）求证：对任意的正数a ，都存在实数t ，满足：对任意的x ∈(t ，t ＋a )， f (x )＜a －1．数学Ⅰ参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1. 【答案】{3，5} 2. 【答案】33. 【答案】84. 【答案】10115. 【答案】356. 【答案】y ＝±3x7. 【答案】48. 【答案】（1，2）9. 【答案】7910. 【答案】1 240 11. 1 12. 【答案】913．【答案】4514．【答案】()42--，二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）解：（1）因为向量(tan tan sin 2)AB C ，m和(1cos cos )A B ，n 是共线向量， 所以cos cos tan tan sin 20A B ABC， ……2分即sin A cos B +cos A sin B －2sin C cos C =0，化简得sin C －2sin C cos C =0，即sin C (1－2cos C )=0. ……4分 因为0πC ，所以sin C >0，从而1cos 2C，π.3C……6分 （2）218AC AB CB AC BCBAAC ，于是AC 32. ……8分因为△ABC 的面积为93193sin 2CA CB C ， 即1π9332sin 23CB ，解得6 2.CB …… 11分在△ABC 中，由余弦定理得2222212cos 32622326254.2AB CA CB CA CB C所以3 6.AB…… 14分16．（本题满分14分）证明：（1）取PD 中点G ，连AG ，FG ， 因为F ，G 分别为PC ，PD 的中点，所以FG ∥CD ，且FG ＝12C D ． ……2分又因为E 为AB 中点，所以AE⊄⊂⊂()()003 30y x Q x x =->，，03361010x +=03x =()3 3Q ，()6y x =--360y x x y =-⎧⎨+-=⎩，39x y =-⎧⎨=⎩，，()3 9B -，()2236992AB =--+AB92223121 2 a b c a ⎧⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎩，222c a b =-224 2 a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，E 22142x y 0(2 )M y ，11( )P x y ，MA 0042y y y x =+22142x y ()2222000140822y y y x x +++-=()201204828y x y --=+()20120288y x y --=+012088y y y =+()20002200288 (2 )88y y OP OM y y y --⎛⎫⋅=⋅ ⎪++⎝⎭，，()22002200488488y y y y --=+=++MQ (0 0)O ，()020*******22828PB y y k y y y +==----+MQ PB ⊥02MQ y k =MQ 00(2)2y y y x -=-02yy x =MQ (0 0)O ，41a k =+1312=2a ab a +=2423121a a k k kb a k k++++===()1213n n n n a a k a a n +--=+≥()21+12n n n n a a k a a n +-=+≥ ……4分①－②得122111n n n n n n n n a a a a a a a a +-+--+-=-. 即：121121n n n n n n n n a a a a a a a a +-+-+-+=+． 因此：2211n n n nn n a a a a a a +-+-++=， ……6分故()23n n b b n -=≥，又因为12b =，221k b k+=，所以221n n b k n k⎧⎪=⎨+⎪⎩，为奇数，为偶数． ……8分（3）假设存在k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数，则k 为正整数． ……10分由（2）知21221222122(123)21n n n n n n a a a n k a a a k +-++=-⎧⎪=⎨+=-⎪⎩，，由162Z 4Z a k a k k=∈=++∈，，所以k =1或2， ……12分检验：当1k =时，312=+kk 为整数， 利用123Z a a a ∈，，结合，{a n }各项均为整数； ……14分 当2k =时变为21221222122(123)52n n n n n n a a a n a a a +-++=-⎧⎪=⎨=-⎪⎩，， 消去2121n n a a +-，得：222223(2)n n n a a a n +-=-≥ 由24Z a a ∈，，所以偶数项均为整数，而2221252n n n a a a ++=-，所以21n a +为偶数，故12a k ==，故数列{}n a 是整数列. 综上所述，k 的取值集合是{}12，. ……16分 20．（本题满分16分）解：（1）当a ＝0时，f (x )＝x ln x －x ，f’(x )＝ln x ，令f’(x )＝0，x ＝1，列表分析x (0，1) 1 (1，＋∞)f’(x ) － 0 ＋ f (x )单调递减单调递增故f (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)． (3)分（2）f (x )＝(x －a )ln x －x ＋a ，f’(x )＝ln x －ax，其中x ＞0，令g (x )＝x ln x －a ，分析g (x )的零点情况．g’(x )＝ln x ＋1,令g’(x )＝0，x ＝1e，列表分析g (x )min ＝g (1e)＝－1e－a ， ……5分而f’(1e )＝ln 1e－a e ＝－1－a e ，()2e f -'＝－2－a e 2＝－(2＋a e 2)，f’(e 2)＝2－a e2＝1e2(2e 2－a )，①若a ≤－1e ，则f’(x )＝ln x －ax ≥0，故f (x )在()22e e -，内没有极值点，舍；②若－1e ＜a ＜－2e 2，则f’(1e )＝ln 1e－a e ＜0，f’(e －2)＝－(2＋a e 2)＞0，f’(e 2)＝1e2(2e 2－a )＞0，因此f’(x )在()22e e -，有两个零点，设为1x ，2x ，所以当()21e x x -∈，时，f (x )单调递增，当()12x x x ∈，时，f (x )单调递减， 当()22e x x ∈，时，f (x )单调递增，此时f (x )在()22e e -，内有两个极值点；③若－2e 2≤a ＜0，则f’(1e )＝ln 1e－a e ＜0，f’(e －2)＝－(2＋a e 2)≤0，f’(e 2)＝1e2(2e 2－a )＞0，因此f’(x )在()22e e -，有一个零点，f (x )在()22e e -，内有一个极值点；综上所述，实数a 的取值范围为(－1e ，－2e 2)． ……10分（3）存在1t =：x ∈(1，1＋a )，f (x )＜a －1恒成立． ……11分 证明如下：由（2）得g (x )在(1e，＋∞)上单调递增，且g (1)＝－a ＜0，g(1＋a )＝(1＋a )ln(1＋a )－a ．因为当x ＞1时，ln x ＞1－1x (*)，所以g(1＋a )＞(1＋a )(1－1a ＋1)－a ＝0．故g (x )在(1，1＋a )上存在唯一的零点，设为x 0．由知，x ∈(1，1＋a )，f (x )＜max{f (1)，f (1＋a )}． ……13分又f (1＋a )＝ln(1＋a )－1，而x ＞1时，ln x ＜x －1(**)， 所以f (1＋a )＜(a ＋1)－1－1＝a －1＝f (1)． 即x ∈(1，1＋a )，f (x )＜a －1．所以对任意的正数a ，都存在实数t ＝1，使对任意的x ∈(t ，t ＋a )，使 f (x )＜a－1． ……15分补充证明（*）：令F (x )＝ln x ＋1x －1，x ≥1．F’(x )＝1x －1x 2＝x －1x2≥0，所以F (x )在[1，＋∞)上单调递增．所以x ＞1时，F (x )＞F (1)＝0，即ln x ＞1－1x．补充证明（**）令G (x )＝ln x －x ＋1，x ≥1．G’(x )＝1x－1≤0，所以G (x )在[1，＋∞)上单调递减．所以x ＞1时，G (x )＜G (1)＝0，即ln x ＜x －1． ……16分。

绝密★启用前江苏省海安高级中学2020届高三年级上学期阶段性测试(三)数学试题(解析版)一、填空题：（本大题共14题，每题5分，计70分）1.设全集{1,2,3,4,5}U =,若{1,2,4}U A =，则集合A =_________. 【答案】{3,5}.【解析】【分析】直接求根据{1,2,4}U A =求出集合A 即可.【详解】解：因为全集{1,2,3,4,5}U =若{1,2,4}U A =，则集合A ={3,5}.故答案为：{3,5}. 【点睛】本题考查补集的运算,是基础题.2.已经复数z 满足(2)1z i i -=+（i 是虚数单位）,则复数z 的模是________．【答案】【解析】【详解】(2)1z i i -=+,11323,i i z i i i++∴=+==-z =.3.已知一组数据123,,a a a ,…,n a 的平均数为a ,极差为d ,方差为2S ,则数据121,a +221,a +321a +,…,21n a +的方差为___________.【答案】24S【解析】【分析】根据在一组数据的所有数字上都乘以同一个数字,得到的新数据的方差是原来数据的平方倍,得到结果．【详解】解： ∵数据123,,a a a ,…,n a 的方差为2S ,∴数据121,a +221,a +321a +,…,21n a +的方差是22224S S ⨯=,故答案为：24S .【点睛】此题主要考查了方差,关键是掌握方差与数据的变化之间的关系．4.如图是一个算法的伪代码,其输出的结果为_______．【答案】1011 【解析】 由题设提供的算法流程图可知:1111101122310111111S =++⋅⋅⋅+=-=⨯⨯⨯,应填答案1011． 5. 从0,2 中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为______． 【答案】18 【解析】 试题分析：分类讨论：从0、2中选一个数字0,则0只能排在十位；从0、2中选一个数字2,则2排在十位或百位,由此可得结论．解：从0、2中选一个数字0,则。

江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高三下学期3月线上考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则AB =______2．复数()z i 1i =-的共轭复数在复平面内对应的点位于第______象限．3．为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[]40,80中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[)40,60内的汽车有______辆.4．袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于______．5．在一次知识竞赛中，抽取5名选手，答对的题数分布情况如表，则这组样本的方差为______．6．如图所示的算法流程图中，最后输出值为______．7．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面. ①若m α⊂，m β⊥，则αβ⊥； ②若m α⊂，n αβ=，αβ⊥，则m n ⊥；③若m α⊂，n β⊂，//αβ，则//m n ④若//m α，m β⊂，n αβ=，则//m n .上述命题中为真命题的是______（填空所有真命题的序号）.8．公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何”.题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快(每天增加的数量相同)，已知第一天织布5尺，一个月(30天)共织布9匹3丈，则该女子每天织尺布的增加量为______尺.(1匹4=丈，1丈10=尺) 9．若πcos α2cos α4⎛⎫=+⎪⎝⎭，则πtan α8⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．10．如图，已知O 为矩形ABCD 内的一点，且OA 2=，OC 4=，AC 5=，则OB OD ⋅=______．11．已知关于x 的方程()x x a 1-=在()2,∞-+上有三个相异实根，则实数a 的取值范围是______．12．已知a 0>，b 0>，且111a b +=，则b3a 2b a++的最小值等于______． 13．如图，已知AC 8=，B 为AC 的中点，分别以AB ，AC 为直径在AC 的同侧作半圆，M ，N 分别为两半圆上的动点(不含端点A ，B ，C)，且BM BN ⊥，则AM CN ⋅的最大值为______．14．若关于x 的不等式3230x x ax b -++<对任意的实数[]1,3x ∈及任意的实数[]2,4b ∈恒成立，则实数a 的取值范围是______．二、解答题15．已知ABC ∆内接于单位圆，且()()1tan 1tan 2A B ++=， （1）求角C（2）求ABC 面积的最大值．16．如图，在四面体ABCD 中，AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上，且AFACλ=.（1）若//EF 平面ABD ，求实数λ的值； （2）求证：平面BCD ⊥平面AED .17．如图，长方形材料ABCD 中，已知AB =4=AD .点P 为材料ABCD 内部一点，PE AB ⊥于E ，PF AD ⊥于F ，且1PE =，PF =现要在长方形材料ABCD 中裁剪出四边形材料AMPN ，满足150MPN ∠=︒，点M 、N 分别在边AB ，AD 上.（1）设FPN θ∠=，试将四边形材料AMPN 的面积表示为θ的函数，并指明θ的取值范围；（2）试确定点N 在AD 上的位置，使得四边形材料AMPN 的面积S 最小，并求出其最小值.18．已知椭圆E ：2229(0)x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与E 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．()1若3m =，点K 在椭圆E 上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF ⋅的范围； ()2证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； ()3若l 过点,3m m ⎛⎫⎪⎝⎭，射线OM 与椭圆E 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时直线l 斜率；若不能，说明理由．19．已知函数f （x ）=ae x ，g （x ）=ln x -ln a ，其中a 为常数，且曲线y =f （x ）在其与y 轴的交点处的切线记为l 1，曲线y =g （x ）在其与x 轴的交点处的切线记为l 2，且l 1∥l 2． （1）求l 1，l 2之间的距离；（2）若存在x 使不等式()x mf x -成立，求实数m 的取值范围； （3）对于函数f （x ）和g （x ）的公共定义域中的任意实数x 0，称|f （x 0）-g （x 0）|的值为两函数在x 0处的偏差．求证：函数f （x ）和g （x ）在其公共定义域内的所有偏差都大于2．20．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S a +=，*n N ∈．()1求数列{}n a 的通项公式；()2设数列{}n b 满足：对于任意的*n N ∈，都有11213211()333n n n n n a b a b a b a b n ---+++⋯+=+-成立．①求数列{}n b 的通项公式；②设数列n n n c a b =，问：数列{}n c 中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．21．如图，四边形ABCD 内接于圆O ，弧AB 与弧AD 长度相等，过A 点的切线交CB 的延长线于E 点.求证：2AB BE CD =⋅.22．已知矩阵2132A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，列向量x X y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，47B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且AX B =.（1）求矩阵A 的逆矩阵1A -； （2）求x ，y 的值.23．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线4cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，R θ∈），直线32:32x l y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数，t R ∈），求曲线C 上的动点P 到直线l 的距离的最小值. 24．已知x 、y 、z 均为正数，求证：111x y z yz zx xy x y z≥＋＋＋＋ 25．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，4CA =，4CB =，1CC =，90ACB ∠=︒，点M 在线段11A B 上.（1）若113A M MB =，求异面直线AM 和1A C 所成角的余弦值； （2）若直线AM 与平面1ABC 所成角为30，试确定点M 的位置.26．在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点为F 的抛物线24x y =上有两个动点A 、B ，且满足AF FB λ=，过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M . （1）求：OA OB ⋅的值； （2）证明：FM AB ⋅为定值.参考答案1．{|12}x x << 【分析】直接由集合的交集运算，即可得到本题答案. 【详解】因为集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>， 所以{|12}AB x x =<<.故答案为：{|12}x x << 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属基础题. 2．四 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，求出z 的坐标得答案． 【详解】()z i 1i 1i =-=+，z 1i ∴=-，则复数()z i 1i =-的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为()1,1-，位于第四象限． 故答案为四． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 3．80 【解析】试题分析：时速在区间[40,60)内的汽车有200(0.010.03)1080.⨯+⨯= 考点：频率分布直方图 4．35【解析】分析：通过枚举法写出摸出2个球的所有情况，再找出摸出1个黑球和1个白球的情况，由此能求出概率.详解：设3个黑球用A ，B ，C 表示；2个白球用甲，乙表示，摸出2个球的所有情况：（A ，B ）、（A ，C ）、（A ，甲）、（A ，乙）、（B ，C ）、（B ，甲）、（B ，乙）、（C ，甲）、（C ，乙）、（甲，乙）共10种，其中摸出1个黑球和1个白球的情况有6种，所以，摸出1个黑球和1个白球的概率为63105P ==. 故答案为35. 点睛：本题考查利用古典概型的概率公式求事件的概率，解题时要注意枚举法的合理运用. 5．225【解析】 【分析】根据表中数据计算平均数和方差即可． 【详解】根据表中数据，计算平均数为()1x 48921085=⨯++⨯+=， 方差为(22222122s [(48)(88)(98)2108)55⎤=⨯-+-+-⨯+-=⎦． 故答案为：225．【点睛】本题考查了平均数与方差的计算问题，熟记计算公式，准确计算是关键，是基础题． 6．25 【解析】分析：由流程图可知，该算法为先判断后计算的当型循环，模拟执行程序，即可得到答案. 详解：程序执行如下故2018T <不成立时，25i =. 故答案为25.点睛：本题考查了循环结构的程序框图，正确判断循环的类型和终止循环的条件是解题关键 7．①④ 【分析】由平面与平面垂直的判定定理可知①正确；②中,m n 的关系无法确定垂直；③中两个平面平行，两个平面内的直线可能平行也可能异面；由直线与平面平行的性质定理可得④正确. 【详解】对于①，由平面与平面垂直的判定定理可知正确； 对于②，若m α⊂，n αβ=，αβ⊥，则,m n 可能平行，也可能相交，垂直；对于③，若m α⊂，n β⊂，//αβ，则,m n 可能平行，也可能异面； 对于④，由直线与平面平行的性质定理可得④正确. 故答案为：①④. 【点睛】本题主要考查空间直线与平面间的位置关系，借助已知定理和身边的实物模型能方便解决这类问题，侧重考查直观想象的核心素养. 8．1629【解析】分析：设该女子织布每天增加d 尺，由等差数列前n 项和公式求出d 即可. 详解：设该女子织布每天增加d 尺，由题意知，15a =尺，3010(943)390S =⨯+=尺又由等差数列前n 项和公式得3013029303902S a ⨯=+=，解得1629d =尺 故答案为1629点睛：本题考查等差数列的实际应用，解题时要认真审题，注意等差数列性质的合理运用. 9【分析】πcos α2cos α4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可得ππππcos α2cos α8888⎛⎫⎛⎫+-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用和差公式、同角三角函数基本关系式及其倍角公式即可得出． 【详解】πcos α2cos α4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππππcos α2cos α8888⎛⎫⎛⎫∴+-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππππππππcos αcos sin αsin 2cos αcos 2sin αsin 88888888⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化为：ππππcos αcos 3sin αsin 8888⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ππ3tan αtan 188⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，2π2tanπ8tan 1π41tan 8==-，解得πtan18=． π1tan α83⎛⎫∴+==⎪⎝⎭， 故答案为13【点睛】本题考查了余弦和正切和差公式、同角三角函数基本关系式及其倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．52-【分析】建立坐标系，设()O m,n ，()C a,b ，根据条件得出O ，C 的坐标之间的关系，再计算OB OD ⋅的值． 【详解】以A 为原点，以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，设()O m,n ，()B a,0，()D 0,b ，则()C a,b ，OA 2=，OC 4=，AC 5=，222222a b 25m n 4()()16m a n b ⎧+=⎪∴+=⎨⎪-+-=⎩，整理可得：13am bn 2+=．又()OB a m,n =--，()OD m,b n =--，()()()22135OB OD m m a n n b m n am bn 422∴⋅=-+-=+-+=-=-． 故答案为52-． 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系是突破点，准确计算是关键，属于中档题． 11．5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】分析：将方程问题转换为函数()f x x a =-与1()g x x=的图象在()2,-+∞上有三个不同交点.根据函数图象可以求出答案.详解：方程()1x x a -=在()2,-+∞上有3个相异实根，∴函数()f x x a =-与1()g x x=的图象在()2,-+∞上有三个不同交点， 在坐标系中画出函数的图象，由图象可知，在(2,0)x ∈-上，函数()y f x =与()y g x =有两个不同的交点，在(0,)x ∈+∞上，函数()y f x =与()y g x =有一个交点1,0()=1,0x xg x x x⎧>⎪⎪⎨⎪->⎪⎩，联立1y x y x a ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，整理得210x ax -+=，24a ∆=-∴240(2)(2)a g f ⎧∆=->⎨>⎩，即240122a a⎧->⎪⎨>--⎪⎩，解得522a -<<-∴实数a 的取值范围为5(,2)2--故答案为5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭点睛：本题主要考查方程的根与函数图象交点的关系，考查数形结合的思想以及分析问题解决问题的能力. 12．11 【解析】分析：构造基本不等式模型1132()(32)b ba b a b a a b a++=+++，化简整理，应用基本不等式，即可得出答案.详解：111a b+=， ∴1132()(32)53()b b b aa b a b a a b a a b++=+++=++0a >，0b >，∴0ba >，0ab>，∴2b aa b+≥，当且仅当2a b ==时取等号. 325611ba b a ++≥+=.∴32ba b a++的最小值等于11.故答案为11.点睛：本题考查基本不等式的性质与应用，同时考查了整体思想与转化思想的运用. 13．4 【分析】以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，求得A ，B ，C 的坐标，可得以AB 为直径的半圆方程，以AC 为直径的半圆方程，设出M ，N 的坐标，由向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变换可得α2β=，再由余弦函数、二次函数的图象和性质，计算可得最大值． 【详解】以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，可得()A 0,0，()B 4,0，()C 8,0，以AB 为直径的半圆方程为22(x 2)y 4(x 0,y 0)-+=>>， 以AC 为直径的半圆方程为22(x 4)y 16(x 0,y 0)-+=>>， 设()M 22cos α,2sin α+，()N 44cos β,4sin β+，0α<，βπ<，BM BN ⊥，可得()()BM BN 22cos α,2sin α4cos β,4sin β0⋅=-+⋅=，即有()8cos β8cos αcos βsin αsin β0-++=， 即为cos βcos αcos βsin αsin β=+， 即有()cos βcos αβ=-，又0α<，βπ<，可得αββ-=，即α2β=， 则()()AM CN 22cos α,2sin α44cos β,4sin β⋅=+⋅-+()88cos α8cos β8cos αcos βsin αsin β=--+++288cos α16cos β16cos β16cos β=--+=-2116(cos β)42=--+，可得1cos β02-=，即πβ3=，2πα3=时，AM CN ⋅的最大值为4．故答案为4． 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了圆的方程与应用问题，建立平面直角坐标系，用坐标表示向量是解题的关键． 14．(),2∞-- 【解析】 【分析】由题意可得323x x ax b -+<-先对b 恒成立，即为3234x x ax -+<-，再由参数分离和函数的导数，求得单调性和最值，即可得到所求a 的范围． 【详解】关于x 的不等式3230x x ax b -++<对任意的实数[]1,3x ∈ 及任意的实数[]2,4b ∈恒成立，先看成b 的一次函数 ，可得323b min x x ax -+<-（）即为3234x x ax -+<-，可得243a x x x <--恒成立， 设()243f x x x x=--，[]1,3x ∈，()()()222222432x x x f x x x x -++=-+='，可得12x <<时，()'0f x >，()f x 递增；23x <<时，()'0f x <，()f x 递减，又()12f =-，()433f =-， 可得()f x 在[]1,3的最小值为2-， 可得2a <-．即有a 的范围是(),2∞--． 故答案为：(),2∞--． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和构造函数，运用导数求单调性和最值，考查转化思想和运算能力，属于中档题．15．（1）34C π=；（2. 【分析】（1）变形已知条件可得tan tan 1tan tan A B A B +=-，代入可得tan tan tan tan()11tan tan A BC A B A B+=-+=-=--，可得C 值；（2）由正弦定理可得c ，由余弦定理和基本不等式可得ab 的取值范围，进而可得面积的最值． 【详解】 解：（1）(1tan )(1tan )2A B ++=tan tan 1tan tan A B A B ∴+=-，tan tan tan tan()11tan tan A BC A B A B+∴=-+=-=--，34C π∴=（2）ABC 得外接圆为单位圆，∴其半径1R =由正弦定理可得2sin c R C ==由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，代入数据可得222a b =+22(2ab ab +=，22ab∴+，当且仅当a b =时取等号，ABC ∴得面积122sin 222S ab C -==+，ABC ∴面积的最大值为：12【点睛】本题考查两角和与差的正切，涉及正余弦定理和三角形的面积公式，基本不等式的应用，熟记定理，准确计算是关键，属于中档题． 16．（1）见解析（2）见解析 【分析】（1）由线面平行的性质得出//EF AB ，可以判断点F 为AC 的中点，从而求出λ的值； （2）由AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点，得到BC AE ⊥，BC DE ⊥，由面面垂直的判断定理即可证明平面BCD ⊥平面AED . 【详解】（1）因为//EF 平面ABD ，得EF ⊂平面ABC ， 平面ABC平面=ABD AB ，所以//EF AB ，又点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上， 所以点F 为AC 的中点， 由AFAC λ=，得1=2λ； （2）因为AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点，所以BC AE ⊥，BC DE ⊥，又=AE DE E ⋂，AE ⊂平面AED ，DE ⊂平面AED ， 所以BC ⊥平面AED ， 又BC ⊂平面BCD ， 所以平面BCD ⊥平面AED . 【点睛】本题主要考查线面平行的性质和面面垂直的证明，考查学生空间想象能力，属于基础题.17．(1)见解析;(2)当AN =时，四边形材料AMPN 的面积S 最小，最小值为2+. 【解析】分析：（1）通过直角三角形的边角关系，得出NF 和ME ，进而得出四边形材料AMPN 的面积的表达式，再结合已知尺寸条件，确定角θ的范围.（2）根据正切的两角差公式和换元法，化简和整理函数表达式，最后由基本不等式，确定面积最小值及对应的点N 在AD 上的位置.详解：解：（1）在直角NFP ∆中，因为PF =FPN θ∠=，所以NF θ=，所以()11122NAP S NA PF θ∆=⋅= 在直角MEP ∆中，因为1PE =，3EPM πθ∠=-，所以tan 3ME πθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以11tan 1223AMP S AM PE πθ∆⎤⎛⎫=⋅=-⨯ ⎪⎥⎝⎭⎦，所以NAP AMP S S S ∆∆=+ 31tan tan 223πθθ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（2）因为31tan tan 223S πθθ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭3tan 2θ=令1t θ=，由0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得[]1,4t ∈，所以243S t t ⎫==+⎪⎝⎭2233≥=+，当且仅当3t =时，即2tan 3θ=时等号成立，此时，3AN =，min 23S =+，答：当AN =时，四边形材料AMPN 的面积S 最小，最小值为2. 点睛：本题考查三角函数的实际应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，注意换元法和基本不等式的合理运用.换元法求函数的值域，通过引入新变量（辅助式，辅助函数等），把所有分散的已知条件联系起来，将已知条件和要求的结果结合起来，把隐藏在条件中的性质显现出来，或把繁琐的表达式简化，之后就可以利用各种常见的函数的图象和性质或基本不等式来解决问题.常见的换元方法有代数和三角代换两种.要特别注意原函数的自变量与新函数自变量之间的关系.18．（1）[]7,1- （2）见证明；（3）见解析 【解析】 【分析】()13m =，椭圆E ：2219x y +=，两个焦点()1F -，()2F ，设(),K x y ，求出12KF KF ⋅的表达式，然后求解范围即可．()2设A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，利用点差法转化求解即可．()3直线l 过点,3m m ⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 不过原点且与椭圆E 有两个交点的充要条件是0k >且1.3k ≠设(),P P P x y ，设直线()()0,03m l y k x m m k =-+≠≠：，代入椭圆方程，通过四边形OAPB 为平行四边形，转化求解即可． 【详解】()13m =，椭圆E ：2219x y +=，两个焦点()1F -，()2F设(),K x y，()1F K x y =+，()2F K x y =-，()()2221212881KF KF FK F K x y x y x y y ⋅=⋅=+⋅-=+-=-+， 11y -≤≤，12KF KF ∴⋅的范围是[]7,1-()2设A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则222112222299.x y m x y m ⎧+=⎨+=⎩两式相减， 得()()()()1212121290x x x x y y y y +-++-=，()()()()12121212190y y y y x x x x +-+=+-， 即190OM l k k +⋅=，故19OM l k k ⋅=-； ()3设(),P P P x y ，设直线()()0,03m l y k x m m k =-+≠≠：，即3m l y kx km =-+：， 由()2的结论可知19OM y x k =-：，代入椭圆方程得，2222991P m k x k =+， 由()3m y k x m =-+与19y x k =-，联立得222933,9191m km k m km M k k ⎛⎫- ⎪-- ⎪++ ⎪⎝⎭若四边形OAPB 为平行四边形，那么M 也是OP 的中点，所以2M p x x =，即2222229394()9191k m km m k k k -=++，整理得29810k k -+=解得，k =．经检验满足题意所以当k =时，四边形OAPB 为平行四边形. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，点差法，直线与椭圆的交点，考查分析问题解决问题的能力，准确转化平行四边形是关键，是中档题19．（1；（2）()0-∞，；（3）见解析【分析】（1）先根据导数的几何意义求出两条切线，然后利用平行直线之间的距离公式求出求l 1，l 2之间的距离；（2）利用分离参数法，求出h （x ）=x e x 的最大值即可； （3）根据偏差的定义，只需要证明()()f x g x -的最小值都大于2． 【详解】（1）f ′（x ）=ae x ，g ′（x ）=1x， y =f （x ）的图象与坐标轴的交点为（0，a ）， y =g （x ）的图象与坐标轴的交点为（a ，0）， 由题意得f ′（0）=g ′（a ），即a =1a， 又∵a ＞0，∴a =1． ∴f （x ）=e x ，g （x ）=ln x ，∴函数y =f （x ）和y =g （x ）的图象在其坐标轴的交点处的切线方程分别为： x -y +1=0，x -y -1=0，.（2）由()x m f x -x x me-，故m ＜x x 在x ∈[0，+∞）有解，令h （x ）=x e x ，则m ＜h （x ）max ， 当x =0时，m ＜0；当x ＞0时，∵h ′（x ）=1-e x ，∵x ＞0，，e x ＞1，e x ，故h ′（x ）＜0，即h （x ）在区间[0，+∞）上单调递减，故h （x ）max =h （0）=0，∴m ＜0， 即实数m 的取值范围为（-∞，0）． （3）解法一：∵函数y =f （x ）和y =g （x ）的偏差为：F （x ）=|f （x ）-g （x ）|=e x -ln x ，x ∈（0，+∞）， ∴F ′（x ）=e x -1x，设x =t 为F ′（x ）=0的解， 则当x ∈（0，t ），F ′（x ）＜0；当x ∈（t ，+∞），F ′（x ）＞0， ∴F （x ）在（0，t ）单调递减，在（t ，+∞）单调递增，∴F （x ）min=e t -ln t =e t -ln1t e =e t+t ， ∵F ′（1）=e -1＞0，F ′（12）＜0，∴12＜t ＜1，故F （x ）min =e t +t=12+12=2，即函数y =f （x ）和y =g （x ）在其公共定义域内的所有偏差都大于2． 解法二：由于函数y =f （x ）和y =g （x ）的偏差：F （x ）=|f （x ）-g （x ）|=e x -ln x ，x ∈（0，+∞）， 令F 1（x ）=e x -x ，x ∈（0，+∞）；令F 2（x ）=x -ln x ，x ∈（0，+∞）， ∵F 1′（x ）=e x -1，F 2′（x ）=1-1x=1xx -， ∴F 1（x ）在（0，+∞）单调递增，F 2（x ）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增， ∴F 1（x ）＞F 1（0）=1，F 2（x ）≥F 2（1）=1， ∴F （x ）=e x -ln x =F 1（x ）+F 2（x ）＞2，即函数y =f （x ）和y =g （x ）在其公共定义域内的所有偏差都大于2. 【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义解决曲线的切线问题，利用导数求解函数的最值问题,属于难度题.20．(1)113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，*n N ∈.(2)①21n b n =-，*n N ∈.②见解析.【解析】分析：（1）当2n ≥时，类比写出1123n n S a --+=，两式相减整理得113n n a a -=，当1n =时，求得10a ≠，从而求得数列{}n a 的通项公式.；（2）①将113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭代入已知条件，用与（1）相似的方法，变换求出数列{}n b 的通项公式；②由n c 的通项公式分析，得12345c c c c c =>>>>…，假设存在三项s c ，p c ，r c 成等差数列，且s p r <<，则2p s r c c c =+，即()1112212121333p s r p s r ------=+，根据数列{}n c 的单调性，化简得722p ≤<，将2p =或3p =代入已知条件，即可得到结论. 详解：解：（1）由23n n S a +=， ① 得()11232n n S a n --+=≥， ② 由①-②得120n n n a a a -+-=，即()1123n n a a n -=≥， 对①取1n =得，110a =≠，所以0n a ≠，所以113n n a a -=为常数， 所以{}n a 为等比数列，首项为1，公比为13，即113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，*n N ∈.（2）①由113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得对于任意*n N ∈有2111211111333333n n n n n b b b b n ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ③则()()2221231111131323333n n n n n b b b b n n -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ④则()23111231111112233333n n n n n b b b b n n -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+-≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ⑤由③-⑤得()212n b n n =-≥，对③取1n =得，11b =也适合上式， 因此21n b n =-，*n N ∈. ②由（1）（2）可知1213n n n n n c a b --==，则()11412121333n n n n nn n n c c +--+--=-=， 所以当1n =时，1n n c c +=，即12c c =，当2n ≥时，1n n c c +<，即{}n c 在2n ≥且*n N ∈上单调递减， 故12345c c c c c =>>>>…，假设存在三项s c ，p c ，r c 成等差数列，其中s ，p ，*r N ∈，由于12345c c c c c =>>>>…，可不妨设s p r <<，则2p s r c c c =+（*），即()1112212121333p s r p s r ------=+， 因为s ，p ，*r N ∈且s p r <<，则1s p ≤-且2p ≥， 由数列{}n c 的单调性可知，1s p c c -≥，即12212333s p s p ----≥， 因为12103r r r c --=>，所以()11122212121233333p s r p p s r p --------=+>， 即()122212333p p p p ---->，化简得72p <， 又2p ≥且*p N ∈，所以2p =或3p =，当2p =时，1s =，即121c c ==，由3r ≥时，21r c c <=，此时1c ，2c ，r c 不构成等差数列，不合题意，当3p =时，由题意1s =或2s =，即1s c =，又359p c c ==，代入（*）式得19r c =， 因为数列{}n c 在2n ≥且*n N ∈上单调递减，且519c =，4r ≥，所以5r =， 综上所述，数列{}n c 中存在三项1c ，3c ，5c 或2c ，3c ，5c 构成等差数列.点睛：本题考查了数列递推关系、等比数列与等差数列的定义、通项公式，涉及到等差和等比数列的判断，数列的单调性等知识的综合运用，考查分类讨论思想与逻辑推理能力，属于难题.已知数列{}n a 的前n 项和n S 与n a 的关系式，求数列的通项公式的方法如下：（1）当1n =时， 11a S =求出1a ；（2）当2n ≥时，用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用1n n S S -- (2)n ≥便可求出当2n ≥时n a 的表达式；（3）对1n =时的结果进行检验，看是否符合2n ≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与2n ≥两段来写． 21．证明见解析 【分析】连结AC ，证明ABE CDA ∆∆，再利用相似比即可得到答案.【详解】 连结AC ，因为EA 切圆O 于A ，所以EAB ACB ∠=∠.因为弧AB 与弧AD 长度相等，所以ACD ACB ∠=∠，AB AD =. 于是EAB ACD ∠=∠.又四边形ABCD 内接于圆O ，所以ABE D ∠=∠. 所以ABE CDA ∆∆.于是AB BECD DA=，即AB DA BE CD ⋅=⋅， 所以2AB BE CD =⋅.【点睛】本题考查平面几何中圆与三角形相似，考查逻辑推理能力，属于基础题.22．（1）12132A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦（2）12x y =⎧⎨=⎩【分析】（1）求出二阶矩阵对应的行列式值不为0，进而直接代入公式求得逆矩阵；（2）由AX B =可得1214327X A B --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，计算矩阵的乘法，即可得答案.【详解】（1）由2132A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()det 223110A =⨯-⨯=≠，所以A 可逆，从而12132A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.（2）由AX B =得到121413272X A B --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ∴12x y =⎧⎨=⎩. 【点睛】本题考查公式法求矩的逆矩阵及矩阵的乘法计算，考查运算求解能力，属于基础题.23【分析】根据已知中直线的参数方程，消参求出直线的一般式方程，代入点到直线距离公式，结合三角函数的图象和性质，可得曲线C 上的动点P 到直线l 的距离的最小值． 【详解】直线l 的参数方程化为普通方程为60x y --=.因为点P 在曲线4cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩上，所以可设(4cos ,3sin )P θθ.因为点P 到直线l 距离d ==，其中3tan ,4φφ=是锐角，所以当cos()1θφ+=时，min 2d =，所以点P 到直线l 的距离最小值为2. 24．证明见解析 【详解】∵x ，y ，z 都是为正数，∴12()x y x y yz zx z y x z+=+≥． 同理，可得2y z zx xy x +≥，2z x xy yz y+≥．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111x y z yz zx xy x y z++≥++． 25．（1）39（2）点M 是线段11A B 的中点. 【分析】（1）以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，1CC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，得到(3,3,AM =-，(14,0,CA =，再代入向量夹角公式计算，即可得答案；（2）设(,4M x x -，得(4,4AM x x =--，直线AM 与平面1ABC 所成角为30，得到关于x 的方程，解方程即可得到点M 的位置.【详解】以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，1CC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()000C,,，()4,0,0A，(14,0,A，(10,4,B .（1）因为113A M MB =，所以(M .所以(14,0,CA =，(3,3,AM =-.所以111cos ,3924CA AM CA AM CA AM⋅===-.所以异面直线AM 和1A C. （2）由()4,0,0A ，()0,4,0B，(10,0,C ， 知()4,4,0AB =-，(1AC =-.设平面1ABC 的法向量为(),,n a b c=，由100n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得44040a b a-+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令1a =，则1b =，c =1ABC的一个法向量为(1,1,2n =.因为点M 在线段11A B 上，所以可设(,4M x x -，所以(4,4AM x x =--，因为直线AM 与平面1ABC 所成角为30，所以1cos ,sin 302n AM =︒=.由cos ,n AM n AM n AM ⋅=，得()()1141422x x ⋅-+⋅-+=，解得2x =或6x =.因为点M 在线段11A B 上，所以2x =，即点(2,2,M 是线段11A B 的中点.【点睛】本题考查利用向量法求异面直线所成的角、已知线面角确定点的位置，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力. 26．（1）3-（2）证明见解析 【分析】（1）设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将向量,OA OB 分别用坐标表示出来，再进行向量数量积的坐标运算，即可得答案； （2）求出两切线交点M 的坐标为12,12x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭，再代入FM AB ⋅进行坐标运算，即可得到定值 【详解】（1）设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫⎪⎝⎭，∵焦点()0,1F ，∴211,14x AF x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，222,14x FB x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵AF FB λ=，∴2212121144x x x x λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭-=⎧⎪⎨⎪⎩消λ得22211211044x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 化简整理得()1212104x x x x ⎛⎫-+=⎪⎝⎭， ∵12x x ≠，∴124x x =-，∴221212144x x y y =⋅=.∴12123OA OB x x y y ⋅=+=-（定值）. （2）抛物线方程为214y x =，∴1'2y x =， ∴过抛物线A 、B 两点的切线方程分别为()2111124x y x x x =-+和()2222124x y x x x =-+，即211124x y x x =-和222124x y x x =-，联立解出两切线交点M 的坐标为12,12x x +⎛⎫-⎪⎝⎭，∴221221212,24x x x x FM AB x x ⎛⎫+-⎛⎫⋅=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22222121022x x x x -=--=（定值）. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系中的定值问题，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意坐标法思想的应用.。

2020年江苏省南通市海安市高考数学模拟试卷（3月份）一、填空题（本大题共 14小题，每小题5分，共计70分•不需要写出解答过程，请将答 案填写在答题卡相应的位置上.）1. ___________________________________________________________ （5 分）已知集合 A { 1 , 0, 3}, B {1 , 2, 3}，则 A | B _______________________________ •2. ____________________________________________________ （ 5分）已知复数z 满足（1 i ）z 2 i ，则复数z 的模为 ________________________________________ .3.（5分）某人5次上班途中所用的时间（单位：分钟）分别为 12, 8, 10, 11, 9.则这组 数据的平均数为4. （ 5分）如图，是一个算法的流程图，则输出的25 . （ 5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x y 2 2 px （ p 0）的焦点重合，贝y p 的值为 ____ . 6.（ 5分）一只口袋内装有大小相同的 5只球，其中3只白球，2只黑球.现从中一次摸出2只球，则摸出的 2只球颜色相同的概率为 ______ . 7.（ 5分）现有一个橡皮泥制作的圆锥，底面半径为1,高为4 .若将它制作成一个总体积不变的球，则该球的表面积为 ______ .& （ 5分）已知等比数列{a n }的前n 项的和为S n , a 1 , S 6 9$，则玄彳的值为—.ir inrir ua r IT mrb 的值为9y 1的右焦点与抛物线9. （5分）已知e , e,是夹角为60的两个单位向量， a 3e 2e, , b 2e ke2（k R）, 且舌甜b） 8，则k的值为________ .2 210. （5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:x y 2x 8 0，直线l : y k（x 1）（k R）过定点A，与圆C交于点B , D，过点A作BC的平行线交CD于点E，贝U AEC的周长11. （5分）如图，已知两座建筑物 AB , CD 的高度分别为15m 和9m ，且AB BC CD ,CD 的张角为 CAD ，测得tan CAD -，贝U B , C 间的 13的取值范围是恰有3个不同的零点，则k 的取值集合为 ______ .二、解答题（本大题共 6小题，共计90分•请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字 说明，证明过程或演算步骤.）15. （ 14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设向量 a （Jsi nx , si nx ） , b （cosx,si n x ） , x [0 , ].（1）若山| |b |，求x 的值； （2 ）求a$的最大值及取得最大值时 x 的值.16. （14分）如图，在正方体 ABCD AB 1CP 中，E 是棱A 1 A 的中点.求证: （1） AC / / 平面 EDB 1 ； （2）平面EDB 1 平面B 1BD .从建筑物AB 的项部A 看建筑物1(m 0)t(t1）处的切线为13. （5分）已知函数cos(— 2x)，5 [6，t)(t5-）既有最小值也有最大值，则实数 t 614. （5分）已知函数f i (x) |x 1| ,f k 1 (x)f l (f k (x))，k, 5，k N .若函数 y f k (x) Inxx离为2 2x y17. ( 14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A ,B两点分别为椭圆1(a b 0) a b的右顶点和上顶点，且AB 7，右准线I的方程为x 4 .(1)求椭圆的标准方程；(2)过点A的直线交椭圆于另一点P，交I于点Q •若以PQ为直径的圆经过原点，求直线PQ的方程.18. ( 16分)图为一块平行四边形园地ABCD，经测量，AB 20米，BC 10米，ABC 120 , 拟过线段AB上一点E设计一条直路EF (点F在四边形ABCD的边上，不计路的宽度)，将该园地分为面积之比为3:1的左、右两部分分别种植不同的花卉，设EB x , EF y (单位：米)(1)当点F与点C重合时，试确定点E的位置；(2)求y关于x的函数关系式，并确定点E、F的位置，使直路EF长度最短.19. (16分)已知函数y f(x)的定义域为D，若满足x D , xgf(x)・・・f(x)，则称函数f(x) 为“ L型函数”.(1 )判断函数y e x和y Inx是否为“ L型函数”，并说明理由；(2)设函数f(x) (x 1)l nx (x 1)l na(a 0)，记g (x)为函数f (x)的导函数.①若函数g(x)的最小值为1，求a的值；②若函数f(x)为“ L型函数”，求a的取值范围.20 . ( 16分)已知数列｛a n ｝的首项为1 ,各项均为正数，其前n 项和为S n , a n i a n *2S n^Mn N ).an 1 an(1)求a 2, a 3的值；(2) 求证：数列｛a n ｝为等差数列；n1 ‘_(3) 设数列｛b n ｝满足 b 1 , bmb n a n ，求证：一…2. a n 1 . i 1 b i v。