创新设计高考数学二轮复习浙江专用习题 专题七 数学思想方法 第2讲 含答案

第2讲转化思想在解三角形中的应用转化思想是高中生必备的灵活性思维方式，也是解决数学问题的有效途径之一，其要点在于将陌生的问题情形转化为熟悉的情形，将复杂、抽象的数学问题简单化、直观化，或从不同角度切入以分析问题，逐步探索出解决问题的有效方法。

解三角形作为高中数学教学的重要内容之一，对于学生数学思维品质有着较高要求，需要学生运用三角形相关知识，结合已有条件求出三角形的三个边或三个角，其中便涉及到对转化思想的运用，例如将题干内的抽象语言转化为直观的图形、“爪型”问题的相关求解、边角互化的应用及三角形内角转化在解三角形中都有广泛的重要应用，而本文会重点就转化思想在解三角形中的几类应用展开详细讲解。

【应用一】转化思想在解三角形边角互化中的应用形如我们在学习解三角形时，会学习正弦定理及其变化的相关应用，对于基础型的“对边对角”类型，我们可以利用正弦定理直接求解，但有时也会遇到形如“cos cos sin b C c B a A +=、cos sin 0a C C b c --=、222sin sin sin sin sin A C A C B ++=、()()2sin sin sin sin sin A B A B C +-=”等类型的等式来求对应角的问题，那么此时我们该如何求解呢？我们不妨重新学习一下正弦定理，基本公式为R Cc B b A a 2sin sin sin ===（其中R 为ABC ∆外接圆的半径），可变形为①CR c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===②,2sin ,2sin ,2sin Rc C R b B R a A ===③CB A c b a sin :sin :sin ::=其实上面3个变形已经解释了边角互化的本质，即R 2能否被抵消掉，能同时被抵消则可以实现边角互化。

我们在做题过程中遇见“边是一次”时，通常边化角；遇见“正弦乘积是二次或边与正弦乘积是二次”时，通常角化边后用余弦定理求解；例如下面这两道例题：本题是模考或高考中解三角形较常规的题型，解题关键突破口在于利用正弦定理进行边角互化求角，通过刚才分析，我们发现这是边为一次的齐次类型，我们可以边化角，即得到sin cos sin sin sin A B A B B C =+，此时我们发现有三个角，于是我们可以利用三角形内角和为︒180，进行角度转化，那么要替换哪个角呢？通过观察我们发现，B A 、角的正余弦值是乘积关系，于是我们可以替换C 角，即()sin cos sin sin sin A B A B B A B =++1cos A A =+，利用辅助角公式化简即可求值。

专题一善用数学思想高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合；二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学意识，重在领会、运用，属于思维的X畴，用以对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等．数学思想与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得，与此同时，它们又直接对知识的形成起到指导作用．因此，在平时的学习中，我们应对数学思想方法进行认真的梳理与总结，逐个认识它们的本质特征，逐步做到自觉地、灵活地将其运用于所需要解决的问题之中．第一讲函数与方程思想__数形结合思想一、函数与方程思想函数与方程思想的含义函数与方程思想在解题中的应用函数的思想，就是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的数学思想．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的数学思想. 1函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．2数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．3解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．4立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.———————[典例示X]—————应用一解决数列、不等式问题[例1] 已知数列{a n}是各项均为正数的等差数列．(1)若a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列，求数列{a n}的通项公式a n；(2)在(1)的条件下，数列{a n}的前n项和为S n，设b n＝1S n＋1＋1S n＋2＋…＋1S2n，若对任意的n∈N *，不等式b n ≤k 恒成立，某某数k 的最小值．[解] (1)因为a 1＝2，a 23＝a 2·(a 4＋1)， 又因为{a n }是正项等差数列，故d ≥0， 所以(2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d )，(列出方程) 解得d ＝2或d ＝－1(舍去)， 所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n . (2)因为S n ＝n (n ＋1)， 所以b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n＝1n ＋1n ＋2＋1n ＋2n ＋3＋…＋12n 2n ＋1＝1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －12n ＋1 ＝1n ＋1－12n ＋1＝n 2n 2＋3n ＋1＝12n ＋1n＋3， 令f (x )＝2x ＋1x(x ≥1)，(构造函数)则f ′(x )＝2－1x2，当x ≥1时，f ′(x )>0恒成立，所以f (x )在[1，＋∞)上是增函数， 故当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝3， 即当n ＝1时，(b n )max ＝16，要使对任意的正整数n ，不等式b n ≤k 恒成立， 则须使k ≥(b n )max ＝16，所以实数k 的最小值为16.———[即时应用]—————————— 1.(1)设a ＞0，b ＞0.( ) A ．若2a ＋2a ＝2b＋3b ，则a ＞b B ．若2a ＋2a ＝2b＋3b ，则a ＜b C ．若2a －2a ＝2b－3b ，则a ＞b D ．若2a －2a ＝2b－3b ，则a ＜b(2)f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则a ＝________. 解析：(1)由2a＋2a ＝2b＋3b ， 整理得，(2a＋2a )－(2b＋2b )＝b >0， 令f (x )＝2x ＋2x ，显然f (x )是单调递增函数， 由f (a )－f (b )>0可得a >b ，选A.(2)若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x ＞0即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝31－2xx4，所以g (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而a ≥4；当x ＜0即x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x3，设g (x )＝3x 2－1x3，且g (x )在区间[－1,0)上单调递增，因为g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上a ＝4.答案：(1)A (2)4——————————[典例示X]————————— 应用二 解决解析几何、立体几何问题[例2] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，如图所示，设左顶点为A ，上顶点为B ，且OF ―→·FB ―→＝AB ―→·BF ―→.(1)求椭圆C 的方程；(2)若过F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，试确定FM ―→·FN ―→的取值X 围． [解] (1)由已知，A (－a,0)，B (0，b )，F (1,0)， 则由OF ―→·FB ―→＝AB ―→·BF ―→，得b 2－a －1＝0. ∵b 2＝a 2－1，∴a 2－a －2＝0，(列出方程) 解得a ＝2. ∴a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)①若直线l 斜率不存在，则l ：x ＝1， 此时M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，N ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，FM ―→·FN ―→＝－94.②若直线l 斜率存在，设l ：y ＝k (x －1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y23＝1消去y 得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，(列出方程) ∴x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.∴FM ―→·FN ―→＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2) ＝(1＋k 2)[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1] ＝－94－11＋k2.(转化为函数) ∵k 2≥0，∴0<11＋k 2≤1，∴3≤4－11＋k 2<4，∴－3≤FM ―→·FN ―→<－94.综上所述，FM ―→·FN ―→的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，－94. ——————————[即时应用]——————————2.(1)已知正四棱锥S ­ABCD 中，SA ＝23，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为( ) A ．1B. 3 C ．2 D ．3(2)(2016·某某高考)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD ＝DA ，PB ＝BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是________．解析：(1)设正四棱锥S ­ABCD 的底面边长为a (a ＞0)，则高h ＝ SA 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＝12－a 22，所以体积V ＝13a 2h ＝1312a 4－12a 6.设y ＝12a 4－12a 6(a ＞0)，则y ′＝48a 3－3a 5.令y ′＞0，得0＜a ＜4；令y ′＜0，得a ＞4.故函数y 在(0,4]上单调递增，在[4，＋∞)上单调递减．可知当a ＝4时，y 取得最大值，即体积V 取得最大值，此时h ＝12－a 22＝2，故选C.(2)在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°， ∴AC ＝22＋22－2×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2 3.设CD ＝x ，则AD ＝23－x ， ∴PD ＝23－x ， ∴V P ­BCD ＝13S △BCD ·h≤13×12BC ·CD ·sin 30°·PD ＝16x (23－x )≤16⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23－x 22 ＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝12， 当且仅当x ＝23－x ，即x ＝3时取“＝”， 此时PD ＝3，BD ＝1，PB ＝2，满足题意． 故四面体PBCD 的体积的最大值为12.答案：(1)C (2)12二、数形结合思想数形结合思想的含义数形结合思想在解题中的应用 数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确.1构建函数模型并结合其图象求参数的取值X 围或解不等式．2 构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数的零点的X 围．3构建解析几何模型求最值或X 围．4构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系.——————————[典例示X]———————— 应用一 处理方程根、函数零点问题[例3] (1)(2017·某某模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x12，x ≤0，log 5x ，x >0，函数g (x )是周期为2的偶函数且当x ∈[0,1]时，g (x )＝2x－1，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数是( )A ．5B ．6C ．7D ．8(2)已知定义在R 上的奇函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当0＜x ≤1时，f (x )＝log12x ，则方程f (x )－1＝0在(0,6)内的所有根之和为( )A ．8B ．10C ．12D ．16[解析] (1)在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象如图所示，由图象可知当x >0时，有4个零点，当x ≤0时，有2个零点，所以一共有6个零点，故选B.(2)∵奇函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (x )＝f (2－x )＝－f (－x )，即f (x )＝－f (x ＋2)＝f (x ＋4)，∴f (x )是周期函数，其周期T ＝4.当0＜x ≤1时，f (x )＝log 12x ，故f (x )在(0,6)上的函数图象如图所示．由图可知方程f (x )－1＝0在(0,6)内的根共有4个，其和为x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝2＋10＝12，故选C.[答案] (1)B (2)C———————————[即时应用]——————————3.(1)已知函数f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋1，g (x )＝mx ，若对于任一实数x ，f (x )与g (x )至少有一个为正数，则实数m 的取值X 围是( )A ．(0,2)B ．(0,8)C ．(2,8)D ．(－∞，0)(2)(2018届高三·某某五校联考)已知直线(1－m )x ＋(3m ＋1)y －4＝0所过定点恰好落在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ，0＜x ≤3，|x －4|，x ＞3的图象上，若函数h (x )＝f (x )－mx ＋2有三个不同的零点，则实数m 的取值X 围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1 D ．(1，＋∞)解析：(1)m ＝0时结论显然不成立；当m <0时，二次函数的对称轴－b 2a ＝4－m2m <0，如图①，x >0时显然不成立；当0<m ≤4时，－b 2a ＝4－m2m >0，如图②，此时结论显然成立；当m >4时，如图③，－b 2a ＝4－m 2m<0时，只要Δ＝4(4－m )2－8m ＝4(m －8)(m －2)<0即可，即4<m <8，故有0<m <8，选B.(2)由(1－m )x ＋(3m ＋1)y －4＝0，得x ＋y －4－m (x －3y )＝0，∴由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，x －3y ＝0，可得直线过定点(3,1)，∴log a 3＝1，∴a ＝3.令f (x )－mx ＋2＝0，得f (x )＝mx －2，在同一坐标系上作出y 1＝f (x )与y 2＝mx －2的图象，易得12＜m ＜1.答案：(1)B (2)B——————————[典例示X]———————— 应用二 求解参数的X 围及最值问题[例4] (1)若存在实数a ，对任意的x ∈[0，m ]，都有(sin x －a )(cos x －a )≤0恒成立，则实数m 的最大值为( )A.π4 B.π2C.3π4D.5π4(2)若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值X 围是________．[解析] (1)在同一坐标系中，作出y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象， 当m ＝π4时，要使不等式恒成立，只有a ＝22，当m >π4时，在x ∈[0，m ]上，必须要求y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象不在y ＝a ＝22的同一侧．所以m 的最大值是3π4，选C.(2)作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意及图象知应有2a ≤2－2a ，故a ≤12.[答案] (1)C (2)⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 ———————————[即时应用]—————————— 4.(1)对实数a和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x－x 2)，x ∈R.若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值X 围是( )A ．(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32B ．(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞(2)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0) (m >0)．若圆C 上存在点P ，使得 ∠APB ＝90°，则 m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4解析：(1)∵f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2) ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤32，x －x 2，x <－1或x >32.作出其图象，从图象可以看出；c ≤－2时，y ＝f (x )与y ＝c有两个公共点，即函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点；同样的，－1<c <－34也满足要求，故选B.(2)根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m ，因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O的最大距离．因为|OC |＝ 32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6.答案：(1)B (2)B[数学思想专练(一)]一、选择题1．(2018届高三·某某五校联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝4，S 10＝110，则S n ＋64a n的最小值为( )A ．7B ．8 C.152D.172解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1＋d ＝4，S 10＝10a 1＋10×92d ＝110，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2，所以a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，S n ＝2n ＋n n －12×2＝n 2＋n ，所以S n ＋64a n ＝n 2＋n ＋642n ＝n 2＋32n ＋12≥2n 2·32n ＋12＝172，当且仅当n 2＝32n，即n ＝8时取等号，故选D. 2．若关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1，x 2满足－1≤x 1<0<x 2<2，则k 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－34，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 解析：选B 构造函数f (x )＝x 2＋2kx －1，∵关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1，x 2满足－1≤x 1<0<x 2<2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f －1≥0，f 0<0，f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2k ≥0，－1<0，4k ＋3>0，∴－34<k ≤0.3．设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R)，又函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧gx ＋x ＋4，x <g x ，g x －x ，x ≥g x .则f (x )的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．[－94，＋∞)D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞) 解析：选D 依题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2＋x ＋4，x <x 2－2，x 2－2－x ，x ≥x 2－2，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.画出f (x )的图象，如图所示，从图中可以看出f (x )的值域为(2，＋∞)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0.4．已知f (x )＝e x －e －x＋1，若f (a )＋f (a －2)<2，则实数a 的取值X 围是( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，2) C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选A 设g (x )＝e x－e －x，显然有f (x )＝g (x )＋1，且g (x )为奇函数，在R 上是增函数， 因为f (a )＋f (a －2)<2，所以g (a )＋g (a －2)<0，所以g (a )<－g (a －2)＝g (2－a )，所以a <2－a ，所以a <1，选A.5．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的定义域为D ，若所有点(s ，f (t ))(s ，t ∈D )构成一个正方形区域，则a 的值为( )A ．－2B ．－4C ．－8D ．不能确定解析：选B 根据二次函数性质及复合函数的性质，如示意图，设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的两个零点为x 1，x 2，则一定有|x 1－x 2|＝f max (x )，故 b 2－4aca 2＝ 4ac －b24a，a 2＝－4a ，a ＝－4，选B.6．定义域为R 的偶函数f (x )满足对任意x ∈R ，有f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，且当x ∈[2,3]时，f (x )＝－2x 2＋12x －18，若函数y ＝f (x )－log a (x ＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，则a 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22C.⎝⎛⎭⎪⎫0，55 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，66 解析：选A ∵f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，令x ＝－1，则f (1)＝f (－1)－f (1)， ∵f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (1)＝f (－1)，∴f (1)＝0. ∴f (x )＝f (x ＋2)，即函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数， 又∵当x ∈[2,3]时，f (x )＝－2x 2＋12x －18，令g (x )＝log a (x ＋1) ，则f (x )与g (x )在[0，＋∞)的部分图象如图所示．y ＝f (x )－log a (x ＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，可化为f (x )与g (x )的图象在(0，＋∞)上至少有三个交点，g (x )在(0，＋∞)上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 3>－2，解得0＜a ＜33，故选A. 二、填空题7．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，y ≤3，x －y ≤1，若z ＝kx ＋y 的最大值为5，且k 为负整数，则k ＝________.解析：利用线性规划的知识画出不等式组表示的可行域如图所示： 其中点A (－2,3)，B (4,3)，C (1,0)，根据线性规划知识可得，目标函数的最优解必在交点处取得，则－2k ＋3＝5或4k ＋3＝5或k ＋0＝5，又k 为负整数，所以k ＝－1.答案：－18．(2017·某某模拟)在直角△ABC 中，AB ＝2，AC ＝23，斜边BC 上有异于端点的两点E ，F ，且EF ＝1，则AE ―→·AF ―→的取值X 围是________．解析：建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设E (x,23－3x )，Fx ＋12，332－3x ，其中0<x <32，所以AE ―→·AF ―→＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋()23－3x ⎝⎛⎭⎪⎫332－3x ＝4x 2－10x ＋9.设f (x )＝4x 2－10x ＋9⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <32，则其图象的对称轴为x ＝54，其值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫114，9，所以AE ―→·AF ―→的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫114，9.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫114，99.如图，设直线m ，n 相交于点O ，且夹角为30°，点P 是直线m 上的动点，点A ，B 是直线n 上的定点．若|OA ―→|＝|AB ―→|＝2，则PA ―→·PB ―→的最小值是________．解析：以OB 所在直线为x 轴，过O 且垂直于AB 的直线为y 轴，建立如图的坐标系，则A (2,0)，B (4,0)，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，33a ，则PA ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫2－a ，－33a ，PB ―→＝4－a ，－33a ，所以PA ―→·PB ―→＝(2－a )(4－a )＋13a 2＝43a 2－6a ＋8＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫a －942＋54≥54，所以PA ―→·PB ―→的最小值为54.答案：54三、解答题10．已知函数f (x )＝|4x －x 2|－a ，当函数有4个零点时，求a 的取值X 围． 解：∵函数f (x )＝|4x －x 2|－a 有4个零点， ∴方程|4x －x 2|＝a 有4个不同的解． 令g (x )＝|4x －x 2|＝⎩⎪⎨⎪⎧4－x －22， 0≤x ≤4，x －22－4，x <0或x >4.作出g (x )的图象，如图所示，由图象可以看出， 当h (x )＝a 与g (x )有4个交点时，0<a <4， ∴a 的取值X 围为(0,4)．11．已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得，2,2＋d,2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0， 解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ， 显然2n <60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立． 当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋4n －2]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41. 12.已知椭圆C 的离心率为32，点A ，B ，F 分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且S △ABF ＝1－32. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l ：y ＝kx ＋m 被圆O ：x 2＋y 2＝4所截得的弦长为23，若直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，求△OMN 面积的最大值．解：(1)由题意，知椭圆C 的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知得e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以a 2＝4b 2，即a ＝2b ，① 可得c ＝3b .②S △ABF ＝12|AF ||OB |＝12(a －c )b ＝1－32.③ 联立①②③，解得b ＝1，a ＝2， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意，知圆心O 到直线l 的距离d ＝22－32＝1，即|m |1＋k2＝1，故有m 2＝1＋k 2，④ 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m消去y 并整理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋k 2x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0. 因为Δ＝4k 2－m 2＋1＝3k 2>0，所以k ≠0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，所以|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k 2＋12－4×4m 2－44k 2＋1＝164k 2－m 2＋14k 2＋12，⑤ 将④代入⑤，得|x 1－x 2|2＝48k 24k 2＋12，故|x 1－x 2|＝43|k |4k 2＋1，|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝43k 2k 2＋14k 2＋1， 故△OMN 的面积S ＝12|MN |×d ＝23k 2k 2＋14k 2＋1. 令t ＝4k 2＋1>1，则S ＝23×t －14×⎝⎛⎭⎪⎫t －14＋1t2＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －132＋49. 所以当t ＝3，即k ＝±22时，S max ＝32×49＝1. 第二讲分类讨论、转化与化归思想 一、分类讨论思想分类讨论思想的含义 分类讨论思想在解题中的类型分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础1 由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等．类型一 由参数引起的分类讨论 [例1] 已知函数f (x )＝x ＋a x(x >0)．(1)若a <0，试用定义证明：f (x )在(0，＋∞)上单调递增；(2)若a >0，当x ∈[1,3]时，不等式f (x )≥2恒成立，求a 的取值X 围． [解] (1)证明：若a <0，设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫1－a x 1x 2. 因为x 1－x 2<0,1－ax 1x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)若a >0，则f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增． ①若0<a ≤1，则f (x )在[1,3]上单调递增，f (x )min ＝f (1)＝1＋a . 所以1＋a ≥2，即a ≥1，所以a ＝1.②若1<a <9，则f (x )在[1，a ]上单调递减，在[a ，3]上单调递增，f (x )min ＝f (a )＝2a .所以2a ≥2，即a ≥1，所以1<a <9.③若a ≥9，则f (x )在[1,3]上单调递减，f (x )min ＝f (3)＝3＋a3.所以3＋a3≥2，即a ≥－3，所以a ≥9.综合①②③得a 的取值X 围为[1，＋∞)．——————————[即时应用]—————————1.已知函数f (x )＝sin x ，g (x )＝mx －x 36(m ∈R)．(1)求曲线y ＝f (x )在点P ⎝⎛⎭⎪⎫π4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4处的切线方程；(2)求函数g (x )的单调递减区间．解：(1)由题意得所求切线的斜率k ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos π4＝22，切点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，22，则切线方程为y －22＝22⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，即x －2y ＋1－π4＝0.(2)g ′(x )＝m －12x 2.①当m ≤0时，g ′(x )≤0，则g (x )的单调递减区间是(－∞，＋∞)； ②当m ＞0时，令g ′(x )＜0， 解得x ＜－2m 或x ＞2m ，则g (x )的单调递减区间是(－∞，－2m ) ，(2m ，＋∞)． 综上所述，m ≤0时，g (x )的单调递减区间是(－∞，＋∞)；m ＞0时，g (x )的单调递减区间是(－∞，－2m )，(2m ，＋∞)．——————————[典例示X]———————— 类型二 由概念、法则、公式引起的分类讨论[例2] 已知数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为2的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解] (1)由已知条件可得S n n＝1＋(n －1)×2＝2n －1， ∴S n ＝2n 2－n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－n －[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3， 当n ＝1时，a 1＝1，而4×1－3＝1，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)可得b n ＝(－1)na n ＝(－1)n(4n －3)， 当n 为偶数时，T n ＝－1＋5－9＋13－17＋…＋(4n －3)＝4×n2＝2n ，当n 为奇数时，n ＋1为偶数，T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝2(n ＋1)－(4n ＋1)＝－2n ＋1.综上，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ，n ＝2k ，k ∈N *，－2n ＋1，n ＝2k －1，k ∈N *.————————————[即时应用]—————————2.(1)若函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.(2)设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n >0(n ＝1,2，3，…)，则q 的取值X 围为________． 解析：(1)若a >1，有a 2＝4，a －1＝m ，故a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意，若0<a <1，有a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意．(2)因为{a n }是等比数列，S n >0，可得a 1＝S 1>0，q ≠0. 当q ＝1时，S n ＝na 1>0；当q ≠1时，S n ＝a 11－q n1－q>0，即1－q n1－q >0(n ∈N *)，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－q >0，1－q n>0，或⎩⎪⎨⎪⎧1－q <0，1－q n<0，即－1<q <1或q >1，故q 的取值X 围是(－1,0)∪(0，＋∞)． 答案：(1)14(2)(－1,0)∪(0，＋∞)二、转化与化归思想转化与化归思想的含义 转化与化归思想在解题中的类型转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种方法．化归与转化的原则有：熟悉化、简单化、直观化以及正难则反等；化归与转化的方法常见的有：直接转化法、换元法、1在三角函数中，涉及三角式的变形，一般通过转化与化归将复杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的作用，主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化等．2 在函数、不等式等问题中常将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式等．3 在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几数形结合法、构造法、坐标法、类比法、特殊化方法、等价问题法、加强命题法等等.何等知识的交汇题目时，常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化． 4在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解．5在解决解析几何、立体几何问题时常常在数与形之间进行转化.—————————[典例示X]———————— 类型一 形与数的转化[例3] (2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．[解] (1)如图，由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t .又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ， 故直线ON 的方程为y ＝ptx ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝2t 2p.因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点． 理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0， 解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其他公共点．———————————[即时应用]———————————3.(1)(2016·全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34(2)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，点E 为AD 的中点，现分别沿BE ，CE 将△ABE ，△DCE 翻折，使得点A ，D 重合于F ，此时二面角E ­BC ­F 的余弦值为________．解析：(1)如图所示，由题意得A (－a,0)，B (a,0)，F (－c,0)． 设E (0，m )，由PF ∥OE ，得|MF ||OE |＝|AF ||AO |，则|MF |＝ma －ca.①又由OE ∥MF ，得12|OE ||MF |＝|BO ||BF |，则|MF |＝ma ＋c2a.② 由①②得a －c ＝12(a ＋c )，即a ＝3c ，∴e ＝c a ＝13.故选A.(2)如图所示，取BC 的中点P ，连接EP ，FP ，由题意得BF ＝CF ＝2，∴PF ⊥BC ，又EB ＝EC ，∴EP ⊥BC ，∴∠EPF 为二面角E ­BC ­F 的平面角，而FP ＝FB 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC 2＝72，在△EPF 中，cos ∠EPF ＝EP 2＋FP 2－EF 22EP ·FP ＝4＋74－942×2×72＝74. 答案：(1)A (2)74—————————[典例示X]————————— 类型二 常量与变量的转化[例4] 设y ＝(log 2x )2＋(t －2)log 2x －t ＋1，若t 在[－2,2]上变化时，y 恒取正值，求x的取值X 围．[解] 设y ＝f (t )＝(log 2x －1)t ＋(log 2x )2－2log 2x ＋1， 当x ＝2时，f (t )＝0，所以x ≠2， 故f (t )是一次函数，当t ∈[－2,2]时，f (t )>0恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧f－2>0，f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧log 2x 2－4log 2x ＋3>0，log 2x2－1>0，解得log 2x <－1或log 2x >3. ∴0<x <12或x >8，∴x 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(8，＋∞)． ———————————[即时应用]——————————4.(1)对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式x 2＋px >4x ＋p －3成立的x 的取值X 围是________．(2)设f (x )是定义在R 上的单调递增函数，若f (1－ax －x 2)≤f (2－a )对任意a ∈[－1,1]恒成立，则x 的取值X 围为________．解析：(1)设f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3， 当x ＝1时，f (p )＝0，所以x ≠1. 要使f (p )在0≤p ≤4上恒正，等价于⎩⎪⎨⎪⎧f 0>0，f 4>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －3x －1>0，x 2－1>0，解得x >3或x <－1.(2)∵f (x )是R 上的增函数． ∴1－ax －x 2≤2－a ，a ∈[－1,1]．即(x －1)a ＋x 2＋1≥0，对a ∈[－1,1]恒成立． 令g (a )＝(x －1)a ＋x 2＋1.则⎩⎪⎨⎪⎧g－1＝x 2－x ＋2≥0，g 1＝x 2＋x ≥0，解得x ≥0或x ≤－1.即实数x 的取值X 围是(－∞，－1]∪[0，＋∞)．答案：(1)(－∞，－1)∪(3，＋∞) (2)(－∞，－1]∪[0，＋∞)[数学思想专练(二)]一、选择题1．设常数a ∈R ，集合A ＝{x |(x －1)(x －a )≥0}，B ＝{x |x ≥a －1}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值X 围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选B 当a >1时，则集合A ＝{x |x ≤1或x ≥a }，则A ∪B ＝R ，可知a －1≤1，即a ≤2，故1<a ≤2；当a ＝1时，则集合A ＝R ，显然A ∪B ＝R ，故a ＝1； 当a <1时，则集合A ＝{x |x ≥1或x ≤a }， 由A ∪B ＝R ，可知a －1≤a ，显然成立，故a <1； 综上可知，a 的取值X 围是a ≤2.故选B 项．2．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选B ∵b cos C ＋c cos B ＝b ·b 2＋a 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac ＝b 2＋a 2－c 2＋c 2＋a 2－b 22a＝2a22a ＝a ＝a sin A ，∴sin A ＝1. ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π2，即△ABC 是直角三角形．3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则f (x )≤2时x 的取值X 围是( )A ．[0，＋∞) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：选A 当x ≤1时，21－x≤2⇒x ≥0；当x >1时，1－log 2x ≤2⇒log 2x ≥－1＝log 2 2－1⇒x ≥2－1＝12. 综上得，x 的取值X 围为[0，＋∞)．4．设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于( )A.12或32B.23或2C.12或2 D.23或32解析：选A 不妨设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t ，其中t ≠0，若该曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6t ＝2a ，|F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 6t ＝12；若该曲线为双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2t ＝2a ，|F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 2t ＝32.5．如果正整数a 的各位数字之和等于6，那么称a 为“好数”(如：6,24,2 013等均为“好数”)，将所有“好数”从小到大排成一列a 1，a 2，a 3，…，若a n ＝2 013，则n ＝( )A ．50B ．51C ．52D ．53解析：选B 本题可以把数归为“四位数”(含0 006等)，因此比2 013小的“好数”为0×××，1×××，2 004，共三类数，其中第一类可分为：00××，01××，…，0 600，共7类，共有7＋6＋…＋2＋1＝28个数；第二类可分为：10××，11××，…，1 500，共6类，共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个数，第三类：2 004,2 013，…，故2 013为第51个数，故n ＝51，选B.6．(2017·某某模拟)点P 是底边长为23，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN 是该棱柱内切球的一条直径，则PM ―→·PN ―→的取值X 围是( )A ．[0,2]B ．[0,3]C ．[0,4]D ．[－2,2]解析：选C 由题意知内切球的半径为1，设球心为O ，则PM ―→·PN ―→＝(PO ―→＋OM ―→)·(PO ―→＋ON ―→)＝PO ―→2＋PO ―→·(OM ―→＋ON ―→)＋OM ―→·ON ―→＝|PO ―→|2－1，且1≤|OP |≤5，∴PM ―→·PN ―→∈[0,4]．二、填空题7．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c ，使得f (c )>0，则实数p 的取值X 围为________．解析：如果在[－1,1]内没有值满足f (c )>0，则⎩⎪⎨⎪⎧f－1≤0，f 1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32，解得p ≤－3或p ≥32，取补集为－3<p <32，即为满足条件的p 的取值X 围．答案：⎝⎛⎭⎪⎫－3，32 8．(2017·某某模拟)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因此|OM |的最小值为点O 到直线x ＋y －2＝0的距离，所以|OM |min ＝|－2|2＝ 2.答案： 29．(2017·某某质检)过点M (2，－2p )作抛物线x 2＝2py (p >0)的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB 的中点的纵坐标为6，则p 的值是________．解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意得，y ′＝x p ，切线MA 的方程是y －y 1＝x 1p(x －x 1)，即y ＝x 1p x －x 212p.又点M (2，－2p )位于直线MA 上，于是有－2p ＝x 1p ×2－x 212p，即x 21－4x 1－4p 2＝0； 同理有x 22－4x 2－4p 2＝0，因此x 1，x 2是方程x 2－4x －4p 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4p 2. 由线段AB 的中点的纵坐标是6，得y 1＋y 2＝12，即x 21＋x 222p ＝x 1＋x 22－2x 1x 22p ＝12，16＋8p 22p＝12，解得p ＝1或p ＝2. 答案：1或2 三、解答题10．已知a ∈R ，函数f (x )＝23x ＋12，h (x )＝x ，解关于x 的方程log 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤32fx －1－34＝log 2h (a－x )－log 2h (4－x )．解：原方程可化为log 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤32⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －16－34 ＝log 2a －x －log 24－x ，即log 4(x －1)＝log 2a －x －log 24－x ＝log 2a －x4－x， ①当1<a ≤4时，1<x <a ，则x －1＝a －x4－x，即x 2－6x ＋a ＋4＝0，Δ＝36－4(a ＋4)＝20－4a >0， 此时x ＝6±20－4a2＝3±5－a ，∵1<x <a ，此时方程仅有一解x ＝3－5－a . ②当a >4时，1<x <4，由x －1＝a －x 4－x，得x 2－6x ＋a ＋4＝0，Δ＝36－4(a ＋4)＝20－4a ，若4<a <5，则Δ>0，方程有两解x ＝3±5－a ； 若a ＝5时，则Δ＝0，方程有一解x ＝3；③由函数有意义及②知，若a ≤1或a >5，原方程无解． 综合以上讨论，当1<a ≤4时，方程仅有一解x ＝3－5－a ； 当4<a <5，方程有两解x ＝3±5－a ； 当a ＝5时，方程有一解x ＝3； 当a ≤1或a >5时，原方程无解．11．(2017·某某模拟)在正项数列{a n }中，a 1＝3，a 2n ＝a n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值，判断a n 与2的大小关系并证明； (2)求证：|a n －2|<14|a n －1－2|(n ≥2)；(3)求证：|a 1－2|＋|a 2－2|＋…＋|a n －2|<43.解：(1)a 2＝a 1＋2＝5，a 3＝a 2＋2＝5＋2.由题设，a 2n －4＝a n －1－2，(a n －2)(a n ＋2)＝a n －1－2. 因为a n ＋2>0，所以a n －2与a n －1－2同号． 又a 1－2＝1>0，所以a n －2>0(n ≥2)，即a n >2. (2)证明：由题设，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n －2a n －1－2＝1a n ＋2，由(1)知，a n >2，所以1a n ＋2<14，因此⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n －2a n －1－2<14，即|a n －2|<14|a n －1－2|(n ≥2)．(3)证明：由(2)知，|a n －2|<14|a n －1－2|，因此|a n －2|<14n －1|a 1－2|＝14n －1(n ≥2)．因此|a 1－2|＋|a 2－2|＋…＋|a n －2|<1＋14＋142＋…＋14n －1＝1－14n1－14＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n <43.12．已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1，过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x 21＋y 21＝λ，3x 22＋y 22＝λ，两式相减得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.由题意，知x 1≠x 2， 所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3x 1＋x 2y 1＋y 2. 因为N (1,3)是弦AB 的中点， 所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝6， 所以k AB ＝－1.所以弦AB 所在直线的方程为y －3＝－(x －1)，即x ＋y －4＝0. 又N (1,3)在椭圆内， 所以λ>3×12＋32＝12.所以λ的取值X 围是(12，＋∞)．(2)因为弦CD 垂直平分弦AB ，所以弦CD 所在直线的方程为y －3＝x －1，即x －y ＋2＝0， 将其代入椭圆的方程， 整理得4x 2＋4x ＋4－λ＝0.①设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，弦CD 的中点为M (x 0，y 0)， 则x 3，x 4是方程①的两个根．所以x 3＋x 4＝－1，x 0＝12(x 3＋x 4)＝－12，y 0＝x 0＋2＝32，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.所以点M 到直线AB 的距离d ＝－12＋32－412＋12＝322.所以以弦CD 的中点M 为圆心且与直线AB 相切的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝92.。

一、选择题1.等比数列 { a n} 中， a3＝7，前 3 项之和 S3＝ 21，则公比 q 的值是 ()1A.1B.－211C.1 或－2D.－1 或2分析当公比 q＝ 1 时， a1＝ a2＝a3＝ 7， S3＝3a1＝21，切合要求 .12a1（1－q3）1当 q≠1 时，a q ＝7，＝21，解之得，q＝－2或 q＝1(舍去 ).综上可知，1－q1q＝1 或－2.答案 Cx2y22.过双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞ 0)上随意一点 P，引与实轴平行的直线，交两渐→ →的值为()近线于 R，Q 两点，则 PR·PQA.a2B.b22＋ b2分析当直线 PQ 与 x 轴重合时，→→＝，应选|PR＝A.||PQ| a答案A函数x＋x3－2 在区间 (0，1)内的零点个数是 ()3.f(x)＝ 2A.0B.1C.2D.3分析法一函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数即函数y1＝2x－ 2与 y2＝－ x3的图象在区间 (0，1)内的交点个数 .作图，可知在 (0，＋∞)内最多有一个交点，故清除 C， D 项；当 x＝0 时， y1＝－ 1＜y2＝ 0，当 x＝1 时， y1＝0＞y2＝－ 1，所以在区间 (0，1)内必定会有一个交点，所以 A 项错误 .选 B.法二由于 f(0)＝1＋0－2＝－ 1，f(1)＝2＋ 13－＝，所以·＜又函数f(x)2 1f(0) f(1) 0.在(0， 1)内单一递加，所以f(x)在 (0，1)内的零点个数是 1.答案 B已知函数f(x)＝ln x－13 －1，g(x)＝－x2＋2bx－4，若对随意的x1∈(0，2)，4.4x＋4x随意的 x2∈[1， 2]，不等式 f(x1≥ 2 恒成立，则实数b 的取值范围是())g(x )14A. －∞，2B.(1 ，＋∞ )1414C.1，2D.1，2分析依题意，问题等价于f(x1 )min≥g(x2)max，13f(x)＝ln x－4x＋4x－1(x＞0)，1134x－ x2－3所以 f′(x)＝x－4－4x2＝4x2.由 f′(x)＞0，解得 1＜ x＜ 3，故函数 f(x)单一递加区间是 (1，3)，同理得 f(x)的单一递减区间是 (0，1)和(3，＋∞)，故在区间 (0，2)上， x＝1 是函数 f(x)的极小值点，1这个极小值点是独一的，所以f(x1)min＝f(1)＝－2.函数 g(x2)＝－ x22＋2bx2－4，x2∈[1 ， 2].当 b＜1 时， g(x2)max＝ g(1)＝2b－ 5；当 1≤b≤2 时， g(x2)max＝g(b)＝b2－4；当 b＞2 时， g(x2)max＝ g(2)＝4b－ 8.故问题等价于b＜1，1≤ b≤ 2，b＞2，1或 1 2或1－2≥2b－ 5－2≥b －4－2≥ 4b－8.解第一个不等式组得b＜1，14解第二个不等式组得1≤b≤2，第三个不等式组无解 .14综上所述， b 的取值范围是 －∞，2.应选 A.答案A二、填空题5.若数列 {a n } 的前 n 项和 S n ＝3n － 1，则它的通项公式 a n ＝ ________.n n － 1 n －1分析 当 n ≥2 时， a n ＝ S n －S n －1＝3 －1－(3 －1)＝ 2×3 ；当 n ＝1 时， a 1＝S 1＝2，也知足式子 a n ＝ 2× 3n －1，答案n －12× 3在△ 中，点 ， →→→→→→→ABC M N 知足AM ＝2MC ，BN ＝NC ，若 MN ＝ xAB ＋yAC ，则 x ＝6. ________，y ＝________. 分析不如设 AC ⊥AB ，有 AB ＝4，AC ＝3，以 A 为坐标原点， AB ，AC 所在直线分别为 x 轴， y 轴成立平面直角坐标系，如下图.3则 A(0，0)，B(4，0)， C(0， 3)，M(0， 2)，N 2，2 ，→ 1 →→那么MN ＝ 2，－2 ，AB ＝ (4，0)， AC ＝ (0，3)，→→→ 2，－1＝ x(4， 0)＋ y(0 ， ，由MN ＝xAB ＋ yAC ，可得 2 3)114x ＝2，x ＝2，即 2，－2＝(4x ， 3y)，则有1，解得13y ＝－ 2y ＝－ .61 1答案 2 －6设2 2的两个焦点， P 为椭圆上一点 .已知 P ， F 1，F 2 是一F 1，F 2 为椭圆 x ＋ y ＝17. 9 4个直角三角形的三个极点，且 |PF 1 ＞2，则|PF 1|的值为 ________.| |PF||PF 2|分析 若∠PF 2F 1＝90°，则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，∵ |PF 1|＋|PF 2|＝ 6， |F 1F 2|＝2 5，144|PF| 712.解得 |PF 1|＝ 3 ， |PF 2|＝ 3， ∴|PF 2|＝ 若∠F 2PF 1＝90°，则|F 1F 2 |2＝ |PF 1|2＋|PF 2|2＝ |PF 1|2＋(6－ |PF 1|)2，|PF 1|解得 |PF 1|＝4，|PF 2|＝2，∴|PF 2|＝2.|PF 1| 7综上所述， |PF 2|＝2 或2.7 答案2 或2xx 28.已知 a 为正常数，若不等式1＋x ≥ 1＋ 2－ 2a 对全部非负实数 x 恒成立，则a的最大值为 ________.分析 原不等式即x 2≥ 1＋ x－＋ ≥ ，(*)2a21x(x 0)令 1＋x ＝t ，t ≥ 1，则 x ＝t 2－1，（t 2－ 1）2≥1＋t 2－1t 2－2t ＋1 （ t －1）2所以 (*) 式可化为2a2 －t ＝2＝2对 t ≥1 恒成立，所以 （ t ＋1）2 ≥1 对 t ≥1 恒成立，又 a 为正常数，所以 a ≤ [(t ＋1)2] min ＝ ，故a4a 的最大值是 4.答案4三、解答题9.数列 { a n } 中， a 1＝ 8， a 4＝2，且知足 a n ＋ 2－2a n ＋1＋a n ＝0.(1)求数列的通项公式；(2)设 S n ＝ |a 1|＋ |a 2|＋ ＋ |a n |，求 S n .解 (1)a n ＋ 2－ 2a n ＋ 1＋ a n ＝0，所以 a n ＋ 2－a n ＋1 ＝a n ＋ 1－a n ，所以 { a n＋1－ a n} 为常数列，所以 { a n} 是以 a1为首项的等差数列，设 a n＝a1＋(n－ 1)d，a4＝a1＋ 3d，2－ 8所以 d＝ 3 ＝－2，所以a n＝10－2n.(2)由于 a n＝ 10－2n，令 a n＝0，得 n＝ 5.当 n＞5 时， a n＜0；当 n＝5 时， a n＝ 0；当 n＜5 时， a n＞0.所以当 n＞5 时，S n＝|a1 |＋|a2|＋＋ |a n|＝a1＋ a2＋＋ a5－(a6＋a7＋＋ a n)＝T5－ (T n－ T5)＝ 2T5－ T n＝n2－ 9n＋40，T n＝a1＋ a2＋＋ a n，当 n≤5 时，S n＝|a1 |＋|a2|＋＋ |a n|2＝a1＋ a2＋＋ a n＝T n＝ 9n－n .29n－ n（n≤5），ax10.已知函数 g(x)＝x＋1(a∈R)，f(x)＝ln(x＋1)＋g(x).(1)若函数 g(x)过点 (1， 1)，求函数 f(x)的图象在 x＝ 0 处的切线方程；(2)判断函数 f(x)的单一性 .解(1)由于函数 g(x)过点 (1，1)，所以 1＝a，解得 a＝2，所以 f(x)＝ ln(x＋1)1＋12x12x＋3＋x＋1.由 f′(x)＝x＋1＋（x＋1）2＝（x＋1）2，则f′(0)＝3，所以所求的切线的斜率为 3.又 f(0)＝ 0，所以切点为 (0， 0)，故所求的切线方程为y＝3x.ax(2)由于 f(x)＝ln(x＋1)＋x＋1(x＞－ 1)，1a（x＋1）－ ax x＋1＋a所以 f′(x)＝x＋1＋（x＋1）2＝（x＋1）2.①当 a≥ 0 时，由于 x＞－ 1，所以 f′(x)＞0，故 f(x)在 (－1，＋∞ )上单一递加；f ′（x ）＜ 0，②当 a ＜ 0 时，由 得－ 1＜x ＜－ 1－a ，x ＞－ 1，故 f(x)在 (－1，－ 1－ a)上单一递减；f ′（x ）＞ 0， 由得 x ＞－ 1－ a ， x ＞－ 1， 故 f(x)在 (－1－a ，＋∞ )上单一递加 .综上，当 a ≥0 时，函数 f(x)在(－1，＋∞ )上单一递加； 当 a ＜0 时，函数 f(x)在 (－1，－ 1－a)上单一递减， 在(－1－a ，＋∞ )上单一递加 .22 2＝4 3x 的焦点 F 重合，且已知椭圆 x 2y 211. a ＋b ＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点与抛物线 y 椭圆短轴的两个端点与点 F 组成正三角形 . (1)求椭圆的方程；(2)若过点 (1， 0)的直线 l 与椭圆交于不一样的两点 P ， Q ，试问在 x 轴上能否存在→ →E 的坐标，并求出这个定值；定点 E(m ，0)，使 PE · 恒为定值？若存在，求出QE若不存在，请说明原因 .解 (1)由题意，知抛物线的焦点为 F( 3， 0)，所以 c ＝ a 2－b 2＝ 3.由于椭圆短轴的两个端点与 F 组成正三角形，3所以 b ＝ 3× 3 ＝ 1.2可求得 a ＝2，故椭圆的方程为 x4 ＋ y 2 ＝1.(2)假定存在知足条件的点 E ，当直线 l 的斜率存在时设其斜率为k ，则 l 的方程为 y ＝k(x －1).2x2＋y ＝ 1，y ＝ k （ x － 1），得(4k 2＋ 1)x 2－8k 2x ＋ 4k 2－ 4＝ 0，设 P(x 1，y 1)，Q(x 2， y 2)，所以 x 1 ＋x 2＝8k 2，x 1 2 ＝4k 2 －44k 22＋1.＋1x4k→ →则PE ＝(m －x 1，－ y 1)，QE ＝(m －x 2，－ y 2)，→ →所以 PE ·QE ＝ (m －x 1)(m －x 2)＋y 1y 22＝m －m(x 1＋ x 2)＋x 1x 2＋ y 1y 2＝m 2－m(x 1＋ x 2)＋x 1x 2＋ k 2(x 1－ 1)(x 2－1)28k 2m 4k 2－4 2 4k 2－4 8k 2 ＝m －4k 2＋1＋4k 2＋1＋k 4k 2＋1－ 4k 2＋1＋1 （ 4m 2－8m ＋ 1） k 2＋（ m 2－4）＝4k 2＋1221212（ 4m －8m ＋ 1） k ＋ 4 ＋（ m －4）－ 4（4m － 8m ＋ 1）＝4k 2＋ 1172m －124→ →为定值，令 2m － 17 要使 PE ·＝ 0，QE417→→ 33即 m ＝ 8 ，此时 PE ·QE ＝64.当直线 l 的斜率不存在时，不如取 P 1， 3 ，Q 1，－ 3 ，2 2由17，0 ，可得 → ＝ 93→9 3 ，E 8PE8，－2 ， QE ＝ 8，2 →→81333所以 PE ·QE ＝ 64－4＝64.综上，存在点 E17 → → 为定值 338，0 ，使 PE ·64.QE。

一、选择题.等比数列{}中，＝，前项之和＝，则公比的值是( ).－或－.－或解析当公比＝时，＝＝＝，＝＝，符合要求.当≠时，＝，＝，解之得，＝－或＝(舍去).综上可知，＝或－.答案.过双曲线－＝(＞，＞)上任意一点，引与实轴平行的直线，交两渐近线于，两点，则·的值为( )＋解析当直线与轴重合时，＝＝，故选.答案.函数()＝＋－在区间(，)内的零点个数是( )解析法一函数()＝＋－在区间(，)内的零点个数即函数＝－与＝－的图象在区间(，)内的交点个数.作图，可知在(，＋∞)内最多有一个交点，故排除，项；当＝时，＝－＜＝，当＝时，＝＞＝－，因此在区间(，)内一定会有一个交点，所以项错误.选.法二因为()＝＋－＝－，()＝＋－＝，所以()·()＜.又函数()在(，)内单调递增，所以()在(，)内的零点个数是.答案.已知函数()＝－＋－，()＝－＋－，若对任意的∈(，)，任意的∈[，]，不等式()≥()恒成立，则实数的取值范围是( ).(，＋∞)解析依题意，问题等价于()≥()，()＝－＋－(＞)，所以′()＝－－＝.由′()＞，解得＜＜，故函数()单调递增区间是(，)，同理得()的单调递减区间是(，)和(，＋∞)，故在区间(，)上，＝是函数()的极小值点，这个极小值点是唯一的，所以()＝()＝－.函数()＝－＋－，∈[，].当＜时，()＝()＝－；当≤≤时，()＝()＝－；当＞时，()＝()＝－.故问题等价于或或解第一个不等式组得＜，解第二个不等式组得≤≤，第三个不等式组无解.综上所述，的取值范围是.故选.答案二、填空题.若数列{}的前项和＝－，则它的通项公式＝.解析当≥时，＝－＝－－(－－)＝×－；当＝时，＝＝，也满足式子＝×－，－∴数列{}的通项公式为＝×－.答案×－.在△中，点，满足＝，＝，若＝＋，则＝，＝.解析不妨设⊥，有＝，＝，以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，如图所示.则(，)，(，)，(，)，(，)，，那么＝，＝(，)，＝(，)，由＝＋，可得＝(，)＋(，)，即＝(，)，则有，解得答案－.设，为椭圆＋＝的两个焦点，为椭圆上一点.已知，，是一个直角三角形的三个顶点，且＞。

[数学思想专练(四)]一、选择题1．若a >2，则关于x 的方程13x 3－ax 2＋1＝0在(0,2)上恰好有( )A ．0个根B ．1个根C ．2个根D ．3个根解析：选B 设f (x )＝13x 3－ax 2＋1，则f ′(x )＝x 2－2ax ＝x (x －2a )，当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )在(0,2)上为减函数．又f (0)f (2)＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫83－4a ＋1＝113－4a <0，所以f (x )＝0在(0,2)上恰好有1个根．2.如图所示，已知三棱锥P ­ABC ，PA ＝BC ＝234，PB ＝AC ＝10，PC ＝AB ＝241，则三棱锥P ­ABC 的体积为( )A ．40B ．80C ．160D ．240解析：选C 因为三棱锥P ­ABC 的三组对边两两相等，则可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)．把三棱锥P ­ABC 补成一个长方体AEBG ­FPDC ，易知三棱锥P ­ABC 的各边分别是此长方体的面对角线，不妨令PE ＝x ，EB ＝y ，EA ＝z ，则由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝100，x 2＋z 2＝136，y 2＋z 2＝164⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝8，z ＝10.从而知V P ­ABC ＝V AEBG ­FPDC －V P ­AEB －V C ­ABG －V B ­PDC －V A ­FPC ＝V AEBG ­FPDC －4V P ­AEB ＝6×8×10－4×16×6×8×10＝160.3．定义运算：(a ⊕b )⊗x ＝ax 2＋bx ＋2.若关于x 的不等式(a ⊕b )⊗x <0的解集为{x |1<x <2}，则关于x 的不等式(b ⊕a )⊗x <0的解集为( )A ．(1,2)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23∪(1，＋∞)解析：选D 1,2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两实根，1＋2＝－b a ，1×2＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3.所以(－3⊕1)⊗x ＝－3x 2＋x ＋2<0，即3x 2－x －2>0，解得x <－23或x >1.4．已知OA ＝(cos θ1,2sin θ1)，OB ＝(cos θ2，2sin θ2)，若OA '＝(cos θ1，sin θ1)，OB '＝(cos θ2，sin θ2)，且满足OA '·OB '＝0，则S △OAB 等于( )A.12 B ．1 C ．2D ．4解析：选B 由条件OA '·OB '＝0，可得cos (θ1－θ2)＝0.利用特殊值，如设θ1＝π2，θ2＝0，代入，则A (0,2)，B (1,0)，故面积为1.5．已知函数f (x )＝4sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x －23cos 2x ＋1且给定条件p ：“π4≤x ≤π2”，又给定条件q ：“|f (x )－m |<2”，且p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．(3, 5)B ．(－2,2)C ．(1,3)D ．(5,7)解析：选D f (x )＝4sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x －23cos 2x ＋1 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －23cos 2x ＋1＝2sin 2x －23cos 2x ＋3 ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3.令t ＝2x －π3，当π4≤x ≤π2时，f (x )＝g (t )＝4sin t ＋3，π6≤t ≤2π3， ∴当π4≤x ≤π2时，f (x )max ＝7，f (x )min ＝5.∵p 是q 的充分条件，∴对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，|f (x )－m |<2恒成立，即m －2<f (x )<m ＋2恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧m －2<f x min，m ＋2>f xmim，即⎩⎪⎨⎪⎧m －2<5，m ＋2>7，解得5<m <7.6．抛物线y ＝x 2上的所有弦都不能被直线y ＝m (x －3)垂直平分，则常数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞B.⎝⎛⎭⎪⎫－3，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(－1，＋∞)解析：选 A 若抛物线上两点(x 1，x 21)，(x 2，x 22)关于直线y ＝m (x －3)对称，则满足⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋x 222＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－3，x 21－x 22x 1－x 2＝－1m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋x 22＝m x 1＋x 2－，x 1＋x 2＝－1m ，消去x 2，得2x 21＋2mx 1＋1m2＋6m ＋1＝0. ∵x 1∈R ，∴Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2－8⎝ ⎛⎭⎪⎫1m2＋6m ＋1>0，即(2m ＋1)(6m 2－2m ＋1)<0. ∵6m 2－2m ＋1>0， ∴m <－12.即当m <－12时，抛物线上存在两点关于直线y ＝m (x －3)对称，所以如果抛物线y ＝x 2上的所有弦都不能被直线y ＝m (x －3)垂直平分，那么m ≥－12.二、填空题7. 若x ，y ∈R ，集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝(x ，y )x a －yb＝1，a >0，b >0，当A ∩B 有且只有一个元素时，a ，b 满足的关系式是________．解析：A ∩B 有且只有一个元素可转化为直线x a －y b＝1与圆x 2＋y 2＝1相切，故圆心到直线的距离为|ab |b 2＋a2＝1.∵a >0，b >0，∴ab ＝a 2＋b 2. 答案：ab ＝a 2＋b 28．(2013·呼和浩特模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n ＋a n ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a 1＋1＋1a 2＋1＋…＋1a 2 013＋1＝________.解析：因为1a n ＋1＝1a na n ＋＝1a n －1a n ＋1，所以1a n ＋1＝1a n －1a n ＋1，所以1a 1＋1＋1a 2＋1＋…＋1a 2 013＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2 013－1a 2 014＝1a 1－1a 2 014，又a 1＝1，所以1a 2 014∈(0,1)，所以1a 1－1a 2 014∈(0,1)，故⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a 1－1a 2 014＝0.答案：09．在各棱长都等于1的正四面体OABC 中，若点P 满足OP ＝x OA ＋y OB ＋z OC (x ＋y ＋z ＝1)，则|OP |的最小值等于________．解析：因为点P 满足OP ＝x OA ＋y OB ＋z OC (x ＋y ＋z ＝1)，所以点P 与A 、B 、C 共面，即点P 在平面ABC 内，所以|OP |的最小值等于点O 到平面ABC 的距离，也就是正四面体的高，为63. 答案：63三、解答题10．在长方形AA 1B 1B 中，AB ＝2AA 1＝4，C ，C 1分别是AB ，A 1B 1的中点(如图(1))．将此长方形沿CC 1对折，使二面角A 1­CC 1­B 为直二面角，D ，E 分别是A 1B 1，CC 1的中点(如图(2))．(1)求证：C 1D∥平面A 1BE ； (2)求证：平面A 1BE⊥平面AA 1B 1B ； (3)求异面直线C 1D 与BE 所成角的正弦值． 解：(1)证明：取A 1B 的中点F ，连接DF ，EF. 因为D ，F 分别是A 1B 1，A 1B 的中点，所以DF 是△A 1BB 1的中位线．所以DF∥BB 1∥CC 1，且DF ＝12BB 1＝12CC 1.又因为E 是CC 1的中点， 所以C 1E ＝12CC 1.所以DF∥C 1E ，且DF ＝C 1E. 所以四边形C 1EFD 是平行四边形． 所以C 1D∥EF.又EF ⊂平面A 1BE ，C 1D ⊄平面A 1BE ， 所以C 1D∥平面A 1BE.(2)证明：因为CC 1⊥A 1C 1，CC 1⊥B 1C 1且A 1C 1∩B 1C 1＝C 1， 所以CC 1⊥平面A 1C 1B 1.因为BB 1∥CC 1，所以BB 1⊥平面A 1C 1B 1. 因为C 1D ⊂平面A 1C 1B 1，所以BB 1⊥C 1D.又A 1C 1＝C 1B 1，且D 是A 1B 1的中点，所以C 1D⊥A 1B 1. 因为A 1B 1∩BB 1＝B 1，所以C 1D⊥平面AA 1B 1B. 由(1)知EF∥C 1D. 所以EF⊥平面AA 1B 1B. 又因为EF ⊂平面A 1BE ， 所以平面A 1BE⊥平面AA 1B 1B.(3)由(1)知C 1D∥EF，所以∠BEF 为异面直线C 1D 与BE 所成的角． 由A 1C 1＝2，C 1E ＝12CC 1＝1，得A 1E ＝5，同理BE ＝ 5.由AA 1＝2，AB ＝22，得A 1B ＝23，BF ＝12A 1B ＝ 3.又EF⊥A 1B ，所以sin ∠BEF＝BF BE ＝35＝155.即异面直线C 1D 与BE 所成角的正弦值为155. 11．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－p2(p >0)．若抛物线C ：y 2＝2px 上的点到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值为2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若以抛物线上任意一点M 为切点的直线l 与直线l 2交于点N .试问x 轴上是否存在定点Q ，使点Q 在以MN 为直径的圆上？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．解：(1)当直线l 1与抛物线无公共点时，由定义知l 2为抛物线的准线，抛物线焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0. 由抛物线定义知抛物线上的点到直线l 2的距离等于其到焦点F 的距离．所以抛物线上的点到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值为焦点F 到直线l 1的距离．所以2＝|2p ＋6|5，则p ＝2.当直线l 1与抛物线有公共点时，把直线l 1的方程与抛物线方程联立，消去x 得关于y 的方程2y 2－3py ＋6p ＝0，由Δ＝9p 2－48p ≥0且p >0，得p ≥489，此时抛物线上的点到直线l 2的最小距离为p 2≥249>2，不满足题意．所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设M (x 0，y 0)，由题意知直线l 的斜率存在，设为k ，且k ≠0，所以直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，代入y 2＝4x 消去x 得ky 2－4y ＋4y 0－ky 20＝0， 由Δ＝16－4k (4y 0－ky 20)＝0，得k ＝2y 0，所以直线l 的方程为y －y 0＝2y 0(x －x 0)．令x ＝－1，又由y 2＝4x 0得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，y 20－42y 0. 设Q (x 1,0)，则QM ＝(x 0－x 1，y 0)，QN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－x 1，y 20－42y 0. 由题意知QM ·QN ＝0， 即(x 0－x 1)(－1－x 1)＋y 20－42＝0.把y 20＝4x 0代入上式， 得(1－x 1)x 0＋x 21＋x 1－2＝0. 因为对任意的x 0等式恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＝0，x 21＋x 1－2＝0，所以x 1＝1，即在x 轴上存在定点Q (1,0)，使点Q 在以MN 为直径的圆上．。

专题七数学思想方法第1讲函数与方程思想、数形结合思想练习一、选择题1.直线3x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m等于( )A.3或－ 3B.－3或3 3C.－33或 3D.－33或3 3解析圆的方程(x－1)2＋y2＝3，圆心(1，0)到直线的距离等于半径⇒|3＋m|3＋1＝3⇒|3＋m|＝23⇒m＝3或m＝－3 3.答案 C2.已知函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，则方程f(x)＝lg x解的个数是( )A.5B.7C.9D.10解析由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为[0，1]的函数.又f(x)＝lg x，则x∈(0，10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数.由图象可知共9个交点.答案 C3.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为( )A.(－1，1)B.(－1，＋∞)C.(－∞，－1)D.(－∞，＋∞)解析f′(x)＞2转化为f′(x)－2＞0，构造函数F(x)＝f(x)－2x，得F(x)在R上是增函数.又F(－1)＝f(－1)－2×(－1)＝4，f(x)＞2x＋4，即F(x)＞4＝F(－1)，所以x＞－1.答案 B4.已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )A. 2B.2 2C. 3D.2解析 如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则CA →＝a －c ，CB →＝b －c .由题意知CA →⊥CB →，∴O ，A ，C ，B 四点共圆.∴当OC 为圆的直径时，|c |最大，此时，|OC →|＝ 2. 答案 A5.当0＜x ≤12时，4x＜log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 C.(1，2) D.(2，2)解析 利用指数函数和对数函数的性质及图象求解. ∵0＜x ≤12，∴1＜4x ≤2，∴log a x ＞4x＞1，∴0＜a ＜1，排除答案C ，D ；取a ＝12，x ＝12，则有412＝2，log 1212＝1，显然4x＜log a x 不成立，排除答案A ；故选B. 答案 B 二、填空题6.(2015·全国Ⅱ卷改编)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为________.解析 如图，设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则|AB |＝2a ，由双曲线的对称性，可设点M (x 1，y 1)在第一象限内，过M 作MN ⊥x 轴于点N (x 1，0)，∵△ABM 为等腰三角形，且∠ABM ＝120°， ∴|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBN ＝60°，∴y 1＝|MN |＝|BM |sin∠MBN ＝2a sin 60°＝3a ，x 1＝|OB |＋|BN |＝a ＋2a cos 60°＝2a .将点M (x 1，y 1)的坐标代入x 2a 2－y 2b 2＝1，可得a 2＝b 2，∴e ＝c a＝a 2＋b 2a 2＝ 2. 答案27.已知e 1，e 2是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量b 满足|b |＝2，b·e 1＝1，b ·e 2＝1，则对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|的最小值为________.解析 |b －(x e 1＋y e 2)|2＝b 2＋x 2e 21＋y 2e 22－2x b ·e 1－2y b ·e 2＋2xy e 1·e 2＝4＋x 2＋y 2－2x －2y ＝(x －1)2＋(y －1)2＋2≥2，当且仅当x ＝1，y ＝1时，|b －(x e 1＋y e 2)|2取得最小值2，此时|b －(x e 1＋y e 2)|取得最小值 2. 答案28.设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆C ：(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是________. 解析 设直线l 的方程为x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 把直线l 的方程代入抛物线方程y 2＝4x 并整理得y 2－4ty －4m ＝0，则Δ＝16t 2＋16m ＞0，y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m ，那么x 1＋x 2＝(ty 1＋m )＋(ty 2＋m )＝4t 2＋2m ，则线段AB 的中点M (2t 2＋m ，2t ).由题意可得直线AB 与直线MC 垂直，且C (5，0). 当t ≠0时，有k MC ·k AB ＝－1，即2t －02t 2＋m －5·1t＝－1，整理得m ＝3－2t 2， 把m ＝3－2t 2代入Δ＝16t 2＋16m ＞0， 可得3－t 2＞0，即0＜t 2＜3.由于圆心C 到直线AB 的距离等于半径， 即d ＝|5－m |1＋t2＝2＋2t21＋t2＝21＋t 2＝r ，所以2＜r ＜4，此时满足题意且不垂直于x 轴的直线有两条. 当t ＝0时，这样的直线l 恰有2条，即x ＝5±r ，所以0＜r ＜5. 综上，可得若这样的直线恰有4条，则2＜r ＜4. 答案 (2，4) 三、解答题9.已知数列{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5. (1)求{a n }的通项a n ；(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值.解 (1)设{a n }的公差为d ，由已知条件，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，a 1＋4d ＝－5，解得a 1＝3，d ＝－2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5. (2)S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－n 2＋4n ＝4－(n －2)2.所以n ＝2时，S n 取到最大值4.10.椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，短轴长为2，离心率为22，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝3PB →. (1)求椭圆C 的方程； (2)求m 的取值范围.解 (1)设椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，设c ＞0，c 2＝a 2－b 2，由题意，知2b ＝2，c a ＝22， 所以a ＝1，b ＝c ＝22. 故椭圆C 的方程为y 2＋x 212＝1.即y 2＋2x 2＝1.(2)当直线l 的斜率不存在时，由题意求得m ＝±12；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，l 与椭圆C 的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，2x 2＋y 2＝1，得(k 2＋2)x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0， Δ＝(2km )2－4(k 2＋2)(m 2－1) ＝4(k 2－2m 2＋2)＞0，(*) x 1＋x 2＝－2km k 2＋2，x 1x 2＝m 2－1k 2＋2.因为AP →＝3 PB →，所以－x 1＝3x 2. 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2x 2，x 1x 2＝－3x 22.所以3(x 1＋x 2)2＋4x 1x 2＝0.所以3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2km k 2＋22＋4·m 2－1k 2＋2＝0.整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0，即k 2(4m 2－1)＋(2m 2－2)＝0.当m 2＝14时，上式不成立；当m 2≠14时，k 2＝2－2m 24m 2－1，由(*)式，得k 2＞2m 2－2， 又k ≠0，所以k 2＝2－2m24m 2－1＞0.解得－1＜m ＜－12或12＜m ＜1.综上，所求m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－1，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. 11.设函数f (x )＝ax 3－3ax ，g (x )＝bx 2－ln x (a ，b ∈R )，已知它们在x ＝1处的切线互相平行.(1)求b 的值；(2)若函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ≤0，g （x ），x ＞0，且方程F (x )＝a 2有且仅有四个解，求实数a 的取值范围.解 函数g (x )＝bx 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)， (1)f ′(x )＝3ax 2－3a ⇒f ′(1)＝0，g ′(x )＝2bx －1x⇒g ′(1)＝2b －1， 依题意得2b －1＝0，所以b ＝12.(2)x ∈(0，1)时，g ′(x )＝x －1x＜0，即g (x )在(0，1)上单调递减，x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＝x －1x＞0，即g (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，g (x )取得极小值g (1)＝12；当a ＝0时，方程F (x )＝a 2不可能有四个解；当a ＜0，x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＜0，即f (x )在(－∞，－1)上单调递减，x ∈(－1，0)时，f ′(x )＞0，即f (x )在(－1，0)上单调递增，所以当x ＝－1时，f (x )取得极小值f (－1)＝2a ， 又f (0)＝0，所以F (x )的图象如图(1)所示， 从图象可以看出F (x )＝a 2不可能有四个解. 当a ＞0，x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＞0，即f (x )在(－∞，－1)上单调递增，x ∈(－1，0)时，f ′(x )＜0，即f (x )在(－1，0)上单调递减，所以当x ＝－1时，f (x )取得极大值f (－1)＝2a . 又f (0)＝0，所以F (x )的图象如图(2)所求，从图(2)看出，若方程F (x )＝a 2有四个解，则12＜a 2＜2a ，得22＜a ＜2， 所以，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫22，2.。

第2讲分类讨论思想、转化与化归思想高考定位分类讨论思想，转化与化归思想近几年高考每年必考, 解析般体现在几何、函数与导数解答题中,难度较大.思忍II述〔应用点拔I詈■■■■■:■■■■■■■■■■■■■臆■題1.中学数学中可能引起分类讨论的因素(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等.(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列｛勺｝的前斤项和公式等.(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等.(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等.(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等.2.常见的转化与化归的方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决, 这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.常见的转化方法有：(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幕等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题.'(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径.(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的.(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题结论适合原问题.(6)构造法：“构造” 一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题.(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径.(8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定.(9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决.(10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看作集合A,而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集通过解决全集C7及补集［泌获得原问题的解决，体现了正难则反的原则.热点一分类讨论思想的应用［应用1］由性质、定理、公式的限制引起的分类■ 【例1一1】(1)设数列｛如的前〃项和为S/已知2S 尸3+,则数列仏｝的通项热点聚焦丨分类突破♦•••••• • ••••• ♦•・••••••••♦••••■ •••••• •••••••••(2)已知实数aHO ，函数沧尸 2x~\~a, x<l,—x —2a ，％三若 则 的值为解析⑴由2S“ = 3" + 3得：当〃 =1 时，2S] = 3】+ 3 = 2°],解得％二 3 ；当心2时，a n= S n— S n-1- |[(3n+ 3) — (3n_ 1+ 3)] = 3n^1,由于”=1 时，如=3 不适合上式，〔3, n—\,•••数列｛给｝的通项公式为给=3 , n 刁2.(2)当a>0 时，1—a<l, l+a>l,这时/(I—a) = 2(1—a)~ha = 2—a,—(1 +a) —2a =—1 —3ci.3由得2 — a= — l—3a,解得ci=—Q,不合题意，舍去；当avO 时，1—a>l 91+G V1,这时—a)——(1—a) — 2a =— 1—a,夬1+a) = 2(l+d)+a = 2 + 3a.由f(l—a)=f(l3+a)得一1 —a = 2 +3a, 解得a——才3综上可知，a的值为一才⑶川=1, 3合木⑴3"匕心2⑵—习探究提高由性质、定理、公式的限制引起的分类整合法往往是因为有的数学定理、公式、性质是分类给出的,在不同的条件下结论不一致的情况下使用，如等比数列的前〃项和公式、函数的单调性等.［应用2］由数学运算要求引起的分类【例1-2】（1）不等式Ixl + I2x+3I$2的解集是（）A.（―°°, —|）U（1，+°°）（5 }B.（一_1）吨，+,(5C・一°°, —o U ［―1, +°°)f5 )D. (一®+°°J⑵已知mGR，则函数» = (4-3m)x2-2^ + m在区间［0,1］上的最大值为_3解析(1)原不等式可转化为f <_2， —x — (2x+3)三2, 解得兀£ —扌或一1 WxWO 或x>0, 故原不等式的解集为 .，-|]u[-l, +-).—寸 WxWO,—兀+ (2x+3)三2兀＞0, x+ (2兀+3)三2.4 4⑵①当4一3加=0,即加=3时，函数夕=一2兀+亍4它在［0, 1］±是减函数，所以y m ax=»=5-4②当4一3加即加Hg时，y是二次函数.4 — 1当4—3加>0,即加V3时，二次函数y的图象开口向上，对称轴方程x=4ZT3m>0,它在［0, 1］上的最大值只能在区间端点取得(由于此处不涉及最小值，故不需讨论区间与对称轴的关系).几0)=加，几1) = 2 —2加，、/4 2 4 当 — 又 m<^, 时，y max = /n.4 2当加V2 — 2m ，又 加Vj 即 加V3时，『max = 2(l —m).当4 — 3加V0,即加〉扌时，二次函数y 的图象开口向下，又它的对称轴方程兀=孑土所以函数y 在[0, 1]±是减函数，于是ymax=f(0)=加.2-2m, m<|,>2 m,<0, 由①、②可知，这个函数的最大值为VmaxT2—2m, m<|,答案(1)C (2)y maxm,探究提高由数学运算要求引起的分类整合法，常见的类型有除法运算中除数不为零，偶次方根的被开方数为非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数问题，含有绝对值的不等式求解, 三角函数的定义域等,根据相应问题中的条件对相应的参数、关系式等加以分类分析，进而分类求解与综合.［应用3］由参数变化引起的分类【例 1 — 3］已知函数/S) = lnx+a(l—A：).(1)讨论/匕)的单调性；r ,二.(2)当有最大值，且最大值大于2a—2时，求°的取值范围.解(iy(x)的定义域为(0, +oo), /(X)=；-6Z.若aWO,贝lJf(x)>0,所以兀x)在(0, +oo)上单调递增.(1) 仃) ( 1 若t/>0,则当o,—时,/(%)>0；当+oo 时,/(%)<0,所以沧)在0,-\ Clj \Cl丿\ CI 上单调递增，在上单调递减.综上，知当dWO时，幷X)在(0, +°°)上单调递增；(il 「1 )当°>0时，兀X)在0,-上单调递增，在-，上单调递减.< Ct_ _Cl )⑵由⑴知，当aWO时，几劝在(0, +°°)上无最大值；1 仃) 1 ( 1)当a>0时，几劝在x=-处取得最大值，最大值为/ - =ln -+J1—- =-\na-\-a—l. Cl\CIJ Cl \ Cl)⑴因此/ —>2a — 2 等价于In a~\~a—IVO.令g(a)=ln a~\~a—1,则g@)在(0, + °°)_Jb 丿单调递增，g(l) = O・于是，当0VaV 1 时，g(d)VO；当a>l 时，g(a)>0・因此，Q的取值范围是(0, 1).探究提高由参数的变化引起的分类整合法经常用于某些含有参数的问题, 如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.热点二转化与化归思想［应用1］换元法【例2—1】已知实数°, b, c满足Q +Z?+ C =O,+ Z?2 + c2 = 1,贝【Jo的最大值是解析令b = x , c = y ,贝狀 + y = - a , x2 + y2 = 1 - a2.此时直线兀+y = —a与x2+y2— 1 ~a有交点,贝（J圆心到直线的距离寸1 解得/£彳，所以"的最大值为3.咎案坐探允提咼换兀法是一种变重代换,也是一种特殊的转化与化归方法,是用一种变数形式去取代另一种变数形式,是将生疏（或复杂）的式子（或数）,用熟悉（或简单）的式子（或字母）进行替换；化生疏为熟悉、复杂为简单、抽象为具体，使运算或推理可以顺利进行.［应用2］特殊与一般的转化【例2-2］过抛物线丁 =俶2@>0）的焦点尸作一直线交抛物线于p, Q两点，若线段PF与FQ的长度分别为°, q,贝寸+*等于（）1 4A. 2a B茲 C. 4a D.~解析抛物线y=ax\a>0）的标准方程为x2=^y（a>0）.（］\ 1 1 1焦点片6 詁取过焦点F的直线垂直于y轴，则PF\ = \QF\=^所以#+厂4仏答案C探究提高一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化, 可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律,从而达到成批处理问题的效果.［应用3］常量与变量的转化【例2 —3】对任意的lmlC2,函数/（兀）=加齐一2%+ 1 —加恒为负,贝吹的取值范围为解析对任意的lmlC2 ,有加界・2x + 1 - m < Of旦成立,即I加IW2时,(%2 - l)m - 2% + 1 < 0恒成立・设gO) = (%2 - l)m・2x + 1 ,则原问题转化为gO) < 0恒成立(加丘[-2,2]).2x2+2x—3>0,VxV迥乂，即实数兀的取值范2x2—2x—探究提高在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的参数，将其看作是“主元”，而把其它变元看作是常量，从而达到减少变元简化运算的目的•［应用4］正与反的相互转化( \【例2-4】若对于任意圧［1, 2］,函数在区间(/, 3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是________ .解析gG) = 3” + (加+4)兀一2,若g(x)在区间(笃3)上总为单调函数，则①0(兀)20 在(f, 3)上恒成立，或②gG)W0在(/, 3)上恒成立.2 _ 2由①得3“ + (加+4)x—2三0，即加+4三—一3x在兀W⑺ 3)上怛成立，•：加+4三；一X T 3"亘成立，则771 + 4^-1,2 一即加三一5；由②得加+4W——3兀在兀丘(九3)上怛成立，X2 37则加+4W§—9，艮卩mW—了・37 •••函数g(x)在区间⑺3)上总不为单调函数的加的取值范围为一y</n<-5. - (37 )答案 [' _5探究提高否定性命题,常要利用正反的相互转化，先从正面求解,再取正面答案的补集即可,—般地,题目若出现多种成立的情形,则不成立的情形相对很少, 从反面考虑较简单,因此，间接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命题情形的问题中.曲纳总结思维升华 1•分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”.用分类讨论的思维策略解数学 问题的操作过程：明确讨论的对象和动机f 确定分类的标准f 逐类进行讨论f 归 纳综合结论f 检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集).做 到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论. 常见的分类讨论问题有： ⑴集合：注意集合中空集讨论.--(2) 函数：对数函数或指数函数中的底数°, 一般应分°>1和OVaVl 的讨论；函数 y=ax 2-\~bx-\~c 有时候分a=O 和aHO 的讨论；对称轴位置的讨论；判别式的讨论. • •• ••••• •••••・• ・⑶数列：由S“求a“分”=1和斤＞1的讨论；等比数列中分公比g= 1和qHl的讨论.(4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论.(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论.(6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论；(7)平面解析几何：直线点斜式中k分存在和不存在，直线截距式中分b = 0和bHO的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论.(8)排列、组合、概率中的分类计数问题.(9)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.2.转化与化归思想遵循的原则：(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决. 总I(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律.(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决.。

专题七数学思想方法理高考数学以能力立意，一是考查数学的基础知识，基本技能；二是考查基本数学思想方法，考查数学思维的深度、广度和宽度，数学思想方法是指从数学的角度来认识、处理和解决问题，是数学意识，是数学技能的升华和提高，中学数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归和转化思想．(一)函数与方程思想函数思想，就是用函数与变量去思考问题分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的数学思想．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的数学思想．例1 (1)若a>1，则双曲线x2a2－y2a ＋2＝1的离心率e的取值范围是( )A．(1，2) B．(2，5)C．[2，5] D．(3，5)(2)若将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是________．思维升华函数与方程思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数有关理论．(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．跟踪演练1 (1)若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有( )A．x＋y≥0 B．x＋y≤0C．x－y≤0 D．x－y≥0(2)如图是函数y＝A sin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，－π<φ<π)在一个周期内的图象，则此函数的解析式是( )A ．y ＝2sin(2x ＋π3)B ．y ＝2sin(2x ＋2π3)C ．y ＝2sin(x 2－π3)D ．y ＝2sin(2x －π3)(二)数形结合思想数形结合思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质． 例2 (1)(2014·山东)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1,2)D ．(2，＋∞)(2)若实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，则yx的最小值是____________．思维升华 数形结合思想在解题中的应用(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围或解不等式． (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数的零点的范围． (3)构建解析几何模型求最值或范围．(4)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系．跟踪演练2 (1)已知奇函数f (x )的定义域是{x |x ≠0，x ∈R }，且在(0，＋∞)上单调递增，若f (1)＝0，则满足x ·f (x )<0的x 的取值范围是______________．(2)已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，则四边形PACB 面积的最小值为________． (三)分类与整合思想分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合．例3 (1)(2015·山东)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1B ．[0,1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1, ＋∞)(2)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________．思维升华 分类与整合思想在解题中的应用(1)由数学概念引起的分类．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等．(3)由数学运算和字母参数变化引起的分类．如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的限制，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论．有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．跟踪演练3 (1)(2014·课标全国Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC等于( ) A ．5 B. 5 C ．2D ．1(2)设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n >0(n ＝1,2,3，…)，则q 的取值范围是________________． (四)转化与化归思想转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题． 例4 (1)定义运算：(aD ○＋b )⊗x ＝ax 2＋bx ＋2，若关于x 的不等式(aD ○＋b )⊗x <0的解集为{x |1<x <2}，则关于x 的不等式(bD ○＋a )⊗x <0的解集为( ) A ．(1,2)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23∪(1，＋∞) (2)若f (x )是定义在R 上的函数，对任意实数x 都有f (x ＋3)≤f (x )＋3和f (x ＋2)≥f (x )＋2，且f (1)＝1，则f (2 016)＝________. 思维升华 转化与化归思想在解题中的应用(1)在三角函数中，涉及到三角式的变形，一般通过转化与化归将复杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的作用，主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化等．(2)换元法：是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要的方法．(3)在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时，常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化．(4)在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解． (5)在解决解析几何、立体几何问题时，常常在数与形之间进行转化．跟踪演练4 (1)(2014·安徽)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6等于( )A.12 B.32C ．0D ．－12(2)已知函数f (x )＝a xa x ＋a(a >0且a ≠1)，则f ⎝⎛⎭⎪⎫1100＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2100＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫99100的值为________．提醒：完成作业 专题七二轮专题强化练专题七数学思想方法A 组 专题通关1．已知a ＝213-，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋，x >3，2x －3＋1， x ≤3满足f (a )＝3，则f (a －5)的值为( )A ．log 23 B.1716 C.32D ．13．已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))等于( ) A ．－5 B ．－1 C ．3 D ．44．(2015·重庆月考)方程log 12(a －2x)＝2＋x 有解，则a 的最小值为( )A ．2B ．1 C.32D.125．(2015·杭州模拟)已知0<a <b <1，则( ) A.1b >1a B ．(12)a <(12)b C ．(lg a )2<(lg b )2D.1lg a >1lg b6．(2015·天津)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，x －2，x ＞2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R ，若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，＋∞B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，74C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，74D.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2 7．已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k 等于( ) A ．－12B.12C ．0D ．－12或08．等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是( ) A ．1 B ．－12C ．1或－12D ．－1或129．(2014·江西)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( ) A.45π B.34π C ．(6－25)πD.54π 10．如图所示，在单位正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线A 1B 上存在一点P ，使得AP ＋D 1P 最短，则AP ＋D 1P 的最小值是( )A ．2＋ 2B ．2＋2 2 C.2＋ 2D.2＋2 211．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |， 0<x ≤10，－12x ＋6， x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是__________．12．(2015·湖南)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x ＞a ，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是________．13．(2014·福建)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________．(单位：元)B 组 能力提高14．已知A ＝k π＋αsin α＋k π＋αcos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}15．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2， x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．416．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a ，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *. (1)设b n ＝S n －3n，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围．17．已知奇函数f (x )的定义域为实数集R ，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，当0≤θ≤π2时，是否存在实数m ，使f (cos 2θ－3)＋f (4m －2m cos θ)>f (0)对所有的θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m ；若不存在，请说明理由．学生用书答案精析专题七 数学思想方法 例1 (1)B (2)38π解析 (1)e 2＝(c a )2＝a 2＋a ＋2a 2＝1＋(1＋1a )2，因为当a >1时，0<1a<1，所以2<e 2<5，即2<e < 5.(2)f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin(2x ＋π4)，将f (x )＝2sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位，得到y ＝2sin(2x ＋π4－2φ)的图象，由所得图象关于y 轴对称， 可知sin(π4－2φ)＝±1，即sin(2φ－π4)＝±1，故2φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋3π8，k ∈Z ， 又φ>0，所以φmin＝3π8. 跟踪演练1 (1)B (2)B解析 (1)把不等式变形为2x－5－x≤2－y－5y ，构造函数y ＝2x －5－x，其为R 上的增函数，所以有x ≤－y ，即x ＋y ≤0.(2)依函数图象，知y 的最大值为2，所以A ＝2.又T 2＝5π12－(－π12)＝π2， 所以T ＝π，又2πω＝π，所以ω＝2，所以y ＝2sin(2x ＋φ)．将(－π12，2)代入可得sin(－π6＋φ)＝1，故φ－π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，又－π<φ<π， 所以φ＝2π3.所以函数的解析式为y ＝2sin(2x ＋2π3)，故选B.例2 (1)B (2)2解析 先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的范围为(12，1)．(2)可行域如图所示．又yx的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k .由图知，过点A 的直线OA 的斜率最小．联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得A (1,2)，所以k OA ＝2－01－0＝2.所以yx 的最小值为2.跟踪演练2 (1)(－1,0)∪(0,1) (2)2 2解析 (1)作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x ·f (x )<0的x 的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．(2)如图，S Rt△PAC ＝12|PA |·|AC |＝12|PA |，当CP ⊥l 时，|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3， ∴此时|PA |min ＝ |PC |2－|AC |2＝2 2.所以(S 四边形PACB )min ＝2(S △PAC )min ＝2 2. 例3 (1)C (2)2或72解析 (1)由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1. 当a ≥1时，有2a≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23，故选C.(2)若∠PF 2F 1＝90°， 则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2， ∵|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25， 解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，∴|PF 1||PF 2|＝72. 若∠F 2PF 1＝90°， 则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2， 解得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2， ∴|PF 1||PF 2|＝2. 综上所述，|PF 1||PF 2|＝2或72.跟踪演练3 (1)B (2)(－1,0)∪(0，＋∞)解析 (1)∵S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，∴B ＝π4或3π4.当B ＝3π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1＋2＋2＝5，所以AC ＝5，此时△ABC 为钝角三角形，符合题意；当B ＝π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1＋2－2＝1，所以AC ＝1，此时AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意．故AC ＝ 5. (2)因为{a n }是等比数列，S n >0，可得a 1＝S 1>0，q ≠0.当q ＝1时，S n ＝na 1>0； 当q ≠1时，S n ＝a 1－q n1－q>0，即1－q n1－q>0(n ＝1,2,3，…)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧1－q >0，1－q n>0，①或⎩⎪⎨⎪⎧1－q <0，1－q n<0.②由①，得－1<q <1，由②，得q >1. 故q 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)． 例4 (1)D (2)2 016解析 (1)1,2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两实根，1＋2＝－b a ，1×2＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3，由(－3D ○＋1)⊗x ＝－3x 2＋x ＋2<0， 得3x 2－x －2>0， 解得x <－23或x >1.(2)∵f (x ＋1)≤f (x ＋3)－2≤f (x )＋3－2＝f (x )＋1，f (x ＋1)≥f (x ＋4)－3≥f (x ＋2)＋2－3≥f (x )＋2＋2－3＝f (x )＋1，∴f (x )＋1≤f (x ＋1)≤f (x )＋1. ∴f (x ＋1)＝f (x )＋1. ∴数列{f (n )}为等差数列．∴f (2 016)＝f (1)＋2 015×1＝2 016. 跟踪演练4 (1)A (2)992解析 (1)∵f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ， ∴f (x ＋2π)＝f (x ＋π)－sin x .∴f (x ＋2π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )． ∴f (x )是以2π为周期的周期函数． 又f (23π6)＝f (4π－π6)＝f (－π6)，f ⎝⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫－π6， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－12. ∵当0≤x <π时，f (x )＝0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝0，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12.故选A.(2)由于直接求解较困难，可探求一般规律， ∵f (x )＋f (1－x )＝a xa x ＋a ＋a 1－xa 1－x ＋a＝a xa x ＋a ＋aa ＋a x a＝a xa x ＋a ＋aa ＋a x ＝a ＋a xa x ＋a＝1， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫1100＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2100＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫99100＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫99100＋ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2100＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫98100 ＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫49100＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫51100＋ f ⎝⎛⎭⎪⎫50100＝1×49＋12＝992.二轮专题强化练答案精析专题七 数学思想方法1．C [0<a ＝2－13<20＝1，b ＝log 213<log 21＝0，c ＝log 1213>log 1212＝1，即0<a <1，b <0，c >1，所以c >a >b .]2．C [分两种情况分析，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3，2a －3＋1＝3①或者⎩⎪⎨⎪⎧a >3，log 2a ＋＝3②，①无解，由②得，a ＝7，所以f (a －5)＝22－3＋1＝32，故选C.]3．C [因为lg(log 2 10)＋lg(lg 2)＝lg(log 210×lg 2) ＝lg(lg 10lg 2×lg 2)＝lg 1＝0，所以lg(lg 2)＝－lg(log 210)． 设lg(log 210)＝t ， 则lg(lg 2)＝－t . 由条件可知f (t )＝5， 即f (t )＝at 3＋b sin t ＋4＝5， 所以at 3＋b sin t ＝1，所以f (－t )＝－at 3－b sin t ＋4＝－1＋4＝3.] 4．B [由log 12(a －2x )＝2＋x 得a ＝2x＋(12)2＋x ≥22x122＋x＝1，当且仅当x ＝－1时取等号． ∴a 的最小值为1.]5．D [∵0<a <b <1，∴a －1>b －1，故A 错误； 又y ＝(12)x是减函数，∴(12)a >(12)b，故B 错误； 又y ＝lg x 是增函数，∴lg a <lg b <0，∴(lg a )2>(lg b )2，1lg a >1lg b ，故C 错误，D 正确．故选D.]6．D [方法一 当x >2时，g (x )＝x ＋b －4，f (x )＝(x －2)2； 当0≤x ≤2时，g (x )＝b －x ，f (x )＝2－x ； 当x <0时，g (x )＝b －x 2，f (x )＝2＋x . 由于函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点， 所以方程f (x )－g (x )＝0恰有4个根．当b ＝0时，当x >2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2－5x ＋8＝0，无解； 当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为2－x －(－x )＝0，无解； 当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2＋x ＋2＝0，无解． 所以b ≠0，排除答案B.当b ＝2时，当x >2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为(x －2)2＝x －2，得x ＝2(舍去)或x ＝3，有一解；当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为2－x ＝2－x ，有无数个解；当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0可化为2－x 2＝x ＋2，得x ＝0(舍去)或x ＝－1，有一解． 所以b ≠2，排除答案A.当b ＝1时，当x >2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2－5x ＋7＝0，无解； 当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为1－x ＝2－x ，无解； 当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2＋x ＋1＝0，无解． 所以b ≠1，排除答案C.因此答案选D.方法二 记h (x )＝－f (2－x )在同一坐标系中作出f (x )与h (x )的图象如图，直线AB ：y ＝x －4，设直线l ：y ＝x ＋b ′.当直线l ∥AB 且与f (x )的图象相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ′，y ＝x －2，解得b ′＝－94，－94－(－4)＝74，所以曲线h (x )向上平移74个单位后，所得图象与f (x )的图象有两个公共点，向上平移2个单位后，两图象有无数个公共点，因此，当74＜b ＜2时，f (x )与g (x )的图象有4个不同的交点，即y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点．选D.]7．D [不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是直角三角形，只有直线y ＝kx ＋1与直线y ＝0垂直(如图①)或直线y ＝kx ＋1与直线y ＝2x 垂直(如图②)时，平面区域才是直角三角形．由图形可知斜率k 的值为0或－12.]8．C [当公比q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝7，S 3＝3a 1＝21，符合要求．当q ≠1时，a 1q 2＝7，a 1－q31－q＝21，解得q ＝－12或q ＝1(舍去)．综上可知，q ＝1或－12.]9．A [∵∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上． 设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，∴点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上，∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |. 又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45，∴圆C 的最小半径为25，∴圆C 面积的最小值为π(25)2＝45π.]10．C [设A 1P ＝x (0≤x ≤2)． 在△AA 1P 中，AP ＝12＋x 2－2×1×x ×cos 45°＝x 2－2x ＋1，在Rt △D 1A 1P 中，D 1P ＝1＋x 2.于是令y ＝AP ＋D 1P ＝x 2－2x ＋1＋x 2＋1， 下面求对应函数y 的最小值． 将函数y 的解析式变形， 得y ＝x －222＋－222＋x －2＋[0－－2，其几何意义为点Q (x,0)到点M (22，22)与点N (0，－1)的距离之和，当Q ，M ，N 三点共线时，这个值最小，且最小值为22－2＋22＋2＝2＋ 2.故选C.] 11．(10,12)解析 作出f (x )的大致图象．由图象知，要使f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设a <b <c ， 则－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6.∴lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∴abc ＝c . 由图知10<c <12，∴abc ∈(10,12)． 12．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析 函数g (x )有两个零点，即方程f (x )－b ＝0有两个不等实根，则函数y ＝f (x )和y ＝b 的图象有两个公共点．①若a <0，则当x ≤a 时，f (x )＝x 3，函数单调递增；当x >a 时，f (x )＝x 2，函数先单调递减后单调递增，f (x )的图象如图(1)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点． ②若0≤a ≤1，则a 3≤a 2，函数f (x )在R 上单调递增，f (x )的图象如图(2)实线部分所示，其与直线y ＝b 至多有一个公共点．③若a >1，则a 3>a 2，函数f (x )在R 上不单调，f (x )的图象如图(3)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点．综上，a <0或a >1.13．160解析 设该长方体容器的长为x m ， 则宽为4xm ．又设该容器的造价为y 元，则y ＝20×4＋2(x ＋4x)×10，即y ＝80＋20(x ＋4x)(x >0)．因为x ＋4x≥2x ·4x ＝4(当且仅当x ＝4x，即x ＝2时取“＝”)， 所以y min ＝80＋20×4＝160(元)． 14．C [当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；k 为奇数时， A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.∴A 的值构成的集合是{2，－2}．] 15．C [由f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2， 解得b ＝4，c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2， x >0.作出函数y ＝f (x )及y ＝x 的函数图象如图所示，由图可得交点有3个．]16．解 (1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n， 即S n ＋1＝2S n ＋3n， 由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n)．即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝S 1－3＝a －3， 因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *.(2)由(1)知S n ＝3n＋(a －3)2n －1，n ∈N *，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2，a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2[12(32)n －2＋a －3]，当n ≥2时，a n ＋1≥a n⇒12(32)n －2＋a －3≥0⇒a ≥－9.又a 2＝a 1＋3>a 1.综上，所求的a 的取值范围是[－9，＋∞)． 17．解 ∵f (x )在R 上为奇函数， 又在[0，＋∞)上是增函数， ∴f (x )在R 上为增函数，且f (0)＝0.由题设条件可得，f (cos 2θ－3)＋f (4m －2m cos θ)>0. 又由f (x )为奇函数，可得f (cos 2θ－3)>f (2m cos θ－4m )． ∵f (x )在R 上为增函数， ∴cos 2θ－3>2m cos θ－4m ， 即cos 2θ－m cos θ＋2m －2>0. 令cos θ＝t ，∵0≤θ≤π2，∴0≤t ≤1.于是问题转化为对一切0≤t ≤1， 不等式t 2－mt ＋2m －2>0恒成立． ∴t 2－2>m (t －2)，即m >t 2－2t －2恒成立．又∵t 2－2t －2＝(t －2)＋2t －2＋4≤4－22，∴m >4－22，∴存在实数m 满足题设的条件， 即m >4－2 2.。

《数学思想方法和常用的解题技巧》巩固训练一、选择题1．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，则( )．A ．R <P <QB ．P <Q <RC ．Q <P <RD ．P <R <Q解析 取a ＝100，b ＝10，此时P ＝ 2，Q ＝32＝lg 1 000，R ＝lg 55＝lg 3 025，比较可知P <Q <R . 答案 B2．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5a 6＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( )． A ．8 B ．10 C ．12D ．2＋log 35解析 用特殊法．由条件，联想到构造一等比数列3，3，…，3，…，可知B 正确． 答案 B3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x ，x >0，2x ＋1，x ≤0的零点个数为( )．A ．0B ．1C ．2D ．3解析 当x >0时，可作出y ＝ln x ，y ＝x 2－2x 的图象如图所示．由图示可得函数f (x )＝lnx －x 2＋2x (x >0)有两个零点．当x <0时，f (x )＝2x ＋1有零点x ＝－12.综上，可得f (x )有3个零点．答案 D4．设0<x <π2，则“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 由0<x <π2，得0<sin x <1，故由x sin x <1，可得x sin 2x <x sin x <1，即“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的必要条件；而若x sin 2x <1，则x sin x <1sin x ，但1sin x>1，故不能得到x sin x <1，所以“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的必要而不充分条件．答案 B5．函数y ＝e x＋e－xe x －e－x 的图象大致为( )．解析 函数有意义，需使e x －e －x≠0，故得其定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，故排除C ，D ；又因为y ＝e x＋e －xe x －e －x ＝e 2x＋1e 2x－1＝1＋2e 2x －1，所以，当x >0时，函数为减函数，故选A. 答案 A6．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3(ω>0)的最小正周期为π，则f (x )的图象的一条对称轴方程是 ( )． A ．x ＝π12B ．x ＝π6C ．x ＝512πD ．x ＝π3解析 由2π2ω＝π，所以ω＝1，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，代入验证可知使sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＝±1，只有x ＝512π，选C.答案 C7．已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值X 围是 ( )． A ．(0,1) B ．(0,1] C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]解析 令m ＝0，由f (x )＝0，得x ＝13，适合，排除A ，B.令m ＝1，由f (x )＝0，得x ＝1；适合，排除C. 答案 D8．已知三个互不重合的平面α，β，γ，α∩β＝m ，n ⊂γ，且直线m ，n 不重合，由下列三个条件：①m ∥γ，n ⊂β；②m ∥γ，n ∥β；③m ⊂γ，n ∥β.能推得m ∥n 的条件是( )． A ．①或② B ．①或③ C ．只有②D ．②或③解析 构建长方体模型，如图，观察选项特点，可优先判断条件②；取平面α为平面ADD ′A ′，平面β为平面ABCD ，则直线m 为直线AD .因m ∥γ，故可取平面γ为平面A ′B ′C ′D ′，因为n ⊂γ且n ∥β，故可取直线n 为直线A ′B ′.则直线AD 与直线A ′B ′为异面直线，故m 与n 不平行．因此，可排除A ，C ，D ，选B.答案 B9．若动点P ，Q 在椭圆9x 2＋16y 2＝144上，且满足OP ⊥OQ ，则中心O 到弦PQ 的距离OH 必等于 ( )．A.203B.234 C.125D.415解析 选一个特殊位置(如图)，令OP ，OQ 分别在长、短正半轴上，由a 2＝16，b 2＝9，得OP ＝4，OQ ＝3，则OH ＝125.根据“在一般情况下成立，则在特殊情况下也成立”可知，答案C 正确．答案 C10．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为 ( )． A ．－5 B ．1 C ．2D ．3解析 如图阴影部分即为满足x －1≤0与x ＋y －1≥0的可行域．而直线ax －y ＋1＝0恒过点(0,1)，故看作该直线绕点(0,1)旋转，当a ＝－5时，则可行域不是一个封闭区域；当a ＝1时，封闭区域的面积是1；当a ＝2时，封闭区域的面积是32；当a ＝3时，封闭区域的面积恰好为2.答案 D11．同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于直线x ＝π3对称；③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是增函数”的一个函数是( )．A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 解析 对于函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6的周期是4π，所以排除A ；对于函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期为π，而cos2×π3＋π3＝－1，故x ＝π3是此函数的对称轴，但此函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上不是增函数，所以排除B ；对于函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的周期为π，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝1，故x ＝π3是此函数的对称轴，又由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，知此函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是增函数，故选C.答案 C12．设0<b <1＋a ，若关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中的整数恰有3个，则 ( )．A ．－1<a <0B ．0<a <1C ．1<a <3D ．3<a <6解析 取a ＝±12，代入原不等式得3x 2－8bx ＋4b 2>0，解得x <23b 或x >2b ，不符合条件，从而排除A ，B.取a ＝4代入原不等式得15x 2＋2bx －b 2<0，解得－b 3<x <b5，0<b <5，解集中的整数解少于3个，从而排除D ，故选C. 答案 C 二、填空题13．已知a ，b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a ，b 在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点． 在上面的结论中，正确结论的序号是________(写出所有正确的序号)．解析 用正方体ABCDA 1B 1C 1D 1实例说明A 1D 1与BC 1在平面ABCD 上的射影互相平行，AB 1与BC 1在平面ABCD 上的射影互相垂直，BC 1与DD 1在平面ABCD 上的射影是一条直线及其外一点． 答案 ①②④14．已知函数f (x )＝ln x －ax.若f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立，则a 的取值X 围是________．解析 ∵f (x )<x 2，∴ln x －a x<x 2，又x >1， ∴a >x ln x －x 3，令g (x )＝x ln x －x 3，h (x )＝g ′(x )＝1＋ln x －3x 2， h ′(x )＝1x －6x ＝1－6x 2x，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0恒成立，∴h (x )在(1，＋∞)上单调递减．∴h (x )<h (1)＝－2<0. ∴即g ′(x )<0∴g (x )在(1，＋∞)上单调递减． ∴g (x )<g (1)＝－1. ∴a >－1.答案 (－1，＋∞)15．过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为p ，q ，则1p ＋1q为________．解析 若用常规方法，运算量很大，不妨设PQ ∥x 轴，则p ＝q ＝12a ，∴1p ＋1q ＝4a .答案 4a16．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f (x )的命题：①f (x )是周期函数；②f (x )关于直线x ＝1对称；③f (x )在[0,1]上是增函数；④f (x )在[1,2]上是减函数；⑤f (2)＝f (0)．其中正确命题的序号是________． 解析 由f (x ＋1)＝－f (x )，可得f (x ＋2)＝f ((x ＋1)＋1)＝－f (x ＋1)＝－(－f (x ))＝f (x )，所以函数f (x )是周期函数，它的一个周期为2，所以命题①正确；由f (x ＋1)＝－f (x )，令x ＝－12，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，而函数f (x )为偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，解得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0.根据函数f (x )在[－1,0]上为增函数及f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，作出函数f (x )在[－1,0]上的图象，然后根据f (x )为偶函数作出其在[0,1]上的图象，再根据函数的周期性把函数图象向两方无限延展，即得满足条件的一个函数图象，如图所示 .由函数的图象显然可判断出命题②⑤正确，而函数f (x )在[0,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数，所以命题③④是错误的．综上，命题①②⑤是正确的． 答案 ①②⑤ 三、解答题17．设函数f (x )＝x －2x－a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝3时，求f (x )的极值； (2)讨论函数f (x )的单调性．解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．当a ＝3时，f ′(x )＝1＋2x 2－3x ＝x 2－3x ＋2x2＝x －1x －2x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝1或2.f ′(x )与f (x )随x 的变化如下表：x (0,1) 1 (1,2) 2 (2，＋∞) f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值在x ＝2处取得极小值，f (2)＝1－3ln 2.(2)f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2，令g (x )＝x 2－ax ＋2，其判别式Δ＝a 2－8，①当|a |≤22时，Δ≤0，f ′(x )≥0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当a <－22时，Δ>0，g (x )＝0的两根都小于0，所以在(0，＋∞) 上，f ′(x )>0. 故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．③当a >22时，Δ>0，g (x )＝0的两根为x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，且都大于0，f ′(x )与f (x )随x 的变化如下表：x (0，x 1) x 1(x 1，x 2) x 2(x 2，＋∞) f (x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值f (x )在 ⎛⎪⎫0，a －a 2－8， ⎛⎪⎫a ＋a 2－8，＋∞上单调递增，在 ⎛⎪⎫a －a 2－8，a ＋a 2－8上单调递减．综上，当a ≤22时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >22时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－82，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减．18．已知各项均为正数的等差数列{a n }的公差d 不等于0.a 1＝2，设a 1，a 3，a 7是公比为q 的等比数列{b n }的前三项．(1)求数列{a n b n }的前n 项和T n ；(2)将数列{a n }中与{b n }中相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{}，设其前n 项和为S n ，求S 2n －n －1－22n －1＋3·2n －1(n ≥2，n ∈N *)的值．解 因为a 1，a 3，a 7成等比数列，{a n }是公差d ≠0的等差数列，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，整理得a 1＝2d .又a 1＝2，所以d ＝1，b 1＝a 1＝2，q ＝b 2b 1＝a 3a 1＝a 1＋2da 1＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋1，b n ＝b 1·q n －1＝2n ，所以a n b n ＝(n ＋1)·2n .(1)用错位相减法，可求得{a n b n }的前n 项和T n ＝n ·2n ＋1.(2)新的数列{}的前2n－n －1项和为数列{a n }的前2n －1项和减去数列{b n }的前n 项和， 所以S 2n －n －1＝2n－12＋2n2－21－2n1－2＝(2n－1)(2n －1－1)，所以S 2n －n －1－22n －1＋3·2n －1＝1.19．已知函数f (x )＝13x 3－ax 2＋(a 2－1)x (a ∈R )．(1)若x ＝1为f (x )的极值点，求正数a 的值，并求出f (x )在[0,4]上的最值； (2)若f (x )在区间(0,2)上不单调，某某数a 的取值X 围． 解 (1)f ′(x )＝x 2－2ax ＋a 2－1， 由题意，f ′(1)＝0，即a 2－2a ＝0， 解得a ＝0(舍去)或a ＝2.当a ＝2时，f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝(x －1)(x －3)， 令f ′(x )>0，解得x <1或x >3；令f ′(x )<0， 解得1<x <3.f (x )的增区间为(－∞，1)，(3，＋∞)，减区间为(1,3)．于是f (x )在[0,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减；在[3,4]上单调递增，因此f (x )在[0,4]上的最大值为max{f (1)，f (4)}＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，43＝43；f (x )在[0,4]上的最小值为min{f (0)，f (3)}＝min {}0，0＝0.(2)函数f (x )在区间(0,2)上不单调⇔函数f ′(x )在(0,2)内存在零点，而f ′(x )＝0的两根为a －1，a ＋1，所以0<a －1<2，或0<a ＋1<2，即1<a <3或－1<a <1，所以实数a 的取值X 围是(1,3)∪(－1,1)．20．如图所示，已知直线l ：x ＝my ＋1过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0) 的右焦点F ，且交椭圆C 于A ，B 两点，点A ，F ，B 在直线x ＝a 2上的射影依次为点D ，K ，E .(1)若抛物线x 2＝43y 的焦点为椭圆C 的上顶点，求椭圆C 的方程； (2)连接AE ，BD ，证明：当m 变化时，直线AE ，BD 相交于一定点． (1)解 由题意，易知b ＝3，椭圆C 的右焦点F (1,0)， 则c ＝1，所以a ＝2.故所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 由题意，知F (1,0)，K (a 2,0)．先探索：当m ＝0时，直线l ⊥x 轴，此时四边形ABED 为矩形，由对称性，知AE ，BD 相交于FK 的中点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 22，0.猜想：当m 变化时，直线AE ，BD 相交于定点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 22，0.证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (a 2，y 1)，E (a 2，y 2)． 首先证明当m 变化时，直线AE 过定点N .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 2a 2＋y2b2＝1，消掉x ，得(a 2＋b 2m 2)y 2＋2mb 2y ＋b 2(1－a 2)＝0.则Δ＝4a 2b 2(a 2＋m 2b2－1)>0(a >1)，且y 1＋y 2＝－2mb 2a 2＋b 2m 2，y 1y 2＝b 21－a2a 2＋b 2m 2.又k AN ＝－y 1a 2－12－my 1，k EN ＝－y 21－a22，所以k AN －k EN ＝－y 1a 2－12－my 1－－y 21－a22＝a 2－12y 1＋y 2－my 1y 21－a 22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12－my 1 ＝a 2－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2mb 2a 2＋b 2m 2－m ·b 21－a 2a 2＋b 2m 21－a 22⎝⎛⎭⎪⎫a 2－12－my 1＝2m 1－a 2b 2－2m 1－a 2b 21－a2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12－my 1a 2＋b 2m 2＝0.所以k AN ＝k EN .所以A ，E ，N 三点共线．同理可证B ，D ，N 三点共线．所以当m 变化时，直线AE ，BD 相交于定点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 22，0.。