2021年广东省新高考数学压轴题总复习
1．已知数列{a n}满足a1+a3＝12，a2＝6，1
2a n 为
1
a n+2
与
8
a n a n+2
的等差中项．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}满足b2n﹣1＝2S n﹣a n﹣1，b2n+b2n﹣1=1
2a n（a n+2），
求证：1
b1+
1
b2
+⋯+
1
b n
≥
5
3
−
1
n+1
（n≥2）．
（1）解：∵
1
2a n
为
1
a n+2
与
8
a n a n+2
的等差中项，∴
1
a n
=
1
a n+2
+
8
a n a n+2
，整理得：a n+2
﹣a n＝8，
∴a3﹣a1＝8，又a1+a3＝12，可解得：a1＝2，
∴数列{a n}中所有的奇数项是以a1＝2为首项，公差为8的等差数列，
∴a2n﹣1＝2+8（n﹣1）＝8n﹣6＝4（2n﹣1）﹣2，
又∵a2＝6，∴数列{a n}中所有的偶数项是以a2＝6为首项，公差为8的等差数列，∴a2n＝6+8（n﹣1）＝8n﹣2＝4×2n﹣2，
综上，a n＝4n﹣2；
（2）证明：由（1）可得：S n=n(2+4n−2)
2
=2n2，
∴b2n﹣1＝2S n﹣a n﹣1＝4n2﹣4n+1＝（2n﹣1）2，∴当n为奇数时，b n＝n2，
又∵b2n+b2n﹣1=1
2a n（a n+2），
∴b2n＝4n（2n﹣1）﹣b2n﹣1＝4n（2n﹣1）﹣（2n﹣1）2＝（2n）2﹣1，∴当n为偶数时，b n＝n2﹣1，
∴b n={n2−1，n为偶数n2，n为奇数
，
①当n＝2时，左边＝1+13=43，右边=43，不等式成立；
②假设当n＝k（k≥2）时，不等式成立，即1
b1+
1
b2
+⋯+
1
b k
≥
5
3
−
1
k+1
，
∵1
b k+1≥
1
(k+1)
，
∴当n＝k+1时，1
b1+
1
b2
+⋯+
1
b k
+
1
b k+1
≥
5
3
−
1
k+1
+
1
(k+1)2
，
要证当n ＝k +1时不等式成立，只需证1
(k+1)−
1k+1
≥−
1
k+2
即可，
只需证1(k+1)≥1k+1
−
1
k+2
， 只需证
1(k+1)2
≥
1
(k+1)(k+2)
，
只需证k +1≤k +2，这显然成立， 故当n ＝k +1时不等式也成立， 综上，
1b 1
+
1b 2
+⋯+
1b n
≥
53
−
1
n+1
（n ≥2）．
2．设数列{a n }与{b n }满足：{a n }的各项均为正数，b n ＝cos a n ，n ∈N *． （1）设a 2=
3π4，a 3=π
3
，若{b n }是无穷等比数列，求数列{b n }的通项公式； （2）设0＜a 1≤π
2．求证：不存在递减的数列{a n }，使得{b n }是无穷等比数列； （3）当1≤n ≤2m +1时，{b n }为公差不为0的等差数列且其前2m +1项的和为0；若对任意满足条件0＜a n ≤6π（1≤n ≤2m +1）的数列{a n }，其前2m +1项的和S 2m +1均不超过100π，求正整数m 的最大值． （1）解：由a 2=3π4，a 3=π
3， 可得b 2=cos
3π4=−√22，b 3=cos π3=1
2，公比为q =−√22
， 由b 22
=b 1⋅b 3解得b 1＝1，
数列{b n }的通项公式为b n =(−√2
2)n−1．
（2）证明：设存在递减的数列{a n }，使得{b n }是无穷等比数列， 则0＜a 2＜a 1＜π
2，此时cos a 2＞cos a 1＞0， 公比q =
cosa 2
cosa 1
＞1，cosa n =cosa 1⋅(q)n−1，考虑不等式cosa 1⋅q n−1＞1， 当n ＞1﹣log q （cos a 1）时，即n ≥1+[1﹣log q （cos a 1）]时，有cos a n ＞1（其中[x ]表示不超过x 的最大整数），
这与f （x ）＝cos x 的值域为[﹣1，1]矛盾， 所以假设不成立，得证； （3）解：
(b 1+b 2m+1)(2m+1)
2
=0，可得b 1+b 2m +1＝0，
由等差数列性质b i +b 2m+2−i =b 1+b 2m+1=0(1≤i ≤m +1，i ∈N ∗)，
