集合推理题解题技巧

数学高考集合大题知识点数学是一门抽象思维和逻辑推理的学科，而在数学的高考中，集合题是不可或缺的一部分。

集合是一种数学构造，是由一定规则下的对象的聚集体。

在高考中，集合大题常常要求考生运用集合的基本概念和运算性质解决问题。

下面我们来详细讨论一下数学高考集合大题的知识点。

一、集合的基本概念集合的基本概念包括元素、空集和全集。

元素是构成集合的个体，可以是数、字母、图形等；空集指没有任何元素的集合；全集是指讨论问题所涉及的所有个体所构成的集合。

二、集合的表示方法集合可以通过两种方式表示：列举法和描述法。

列举法是将集合的元素一一列举出来并用大括号括起来，例如{1, 2, 3}；描述法是通过描述集合元素的某种特点或性质来表示集合，例如{x｜x是正整数且小于4}表示集合{1, 2, 3}。

三、包含关系和子集集合A包含集合B表示为B⊆A，当且仅当集合B的所有元素都是集合A的元素。

如果集合B是集合A的子集且集合A不等于集合B，表示为B⊂A。

例如，对于集合A={1, 2, 3, 4}和集合B={1, 2}来说，B⊆A，但B⊂A。

四、集合的运算常见的集合运算有并、交、差和补运算。

并运算表示将两个集合中的元素合并成一个集合。

用符号∪表示，例如集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∪B={1, 2, 3, 4}。

交运算表示取两个集合中共同具有的元素构成的集合。

用符号∩表示，例如集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∩B={2, 3}。

差运算是将一个集合中减去另一个集合的元素后所得到的集合。

用符号-表示，例如集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A-B={1}。

补运算表示一个集合与全集的差集。

用符号'表示，例如集合A={1, 2, 3}，全集U={1, 2, 3, 4, 5}，则A'={4, 5}。

五、集合的应用集合的概念和运算在实际生活中有着广泛的应用。

浙江事业单位行测判断推理备考之逻辑分析法：集合题型最新招考公告、备考资料就在浙江事业单位考试网/zhejiang/集合题型的一般特点是：在题目中出现“所有”、“有些”、“某个”、“每一个”、“没有一个”等集合型的叙述或题干提供的概念间的范围有重合的部分。

可以根据基本的集合概念和逻辑常识解决该类题型，解这种题型的重点放在集合的“部分与全体”上，同时要善于分辨可能重合的部分和绝不会重合的部分。

最直观的办法是根据题干提供的条件画个小图，题目即可迎刃而解。

例1：所有切实关心教员福利的校长，都被证明是管理得法的校长;而切实关心教员福利的校长，都首先把注意力放在解决中青年教员的住房上。

因此，那些不首先把注意力放在解决中青年教员住房上的校长，都不是管理得法的校长。

为使上述论证成立，以下哪项必须为真?A.中青年教员的住房问题，是教员的福利中最为突出的问题。

B.所有管理得法的校长，都是关心教员福利的校长。

C.中青年教员的比例，近年来普遍有了大的增长。

D.所有首先把注意力放在解决中青年教员住房上的校长，都是管理得法的校长。

E.老年教员普遍对自己的住房善比较满意。

【答案】B。

【解题分析】题干只断定：所有关心教员福利的校长，都是管理得法的校长。

由此推不出：所有管理得法的校长，都是关心教员福利的校长。

为使题干的论证成长，B项必须为真，否则，如果有校长管理得法，但是却不关心教员福利，那么，他完全可能不首先把注意力放在解决中青年教员住房上。

这样，题干的结论就不能成立。

例2：某大学一寝室中住着若干个学生。

其中，一个是哈尔滨，两个是北方人，一个是广东人，两个在法律系，三个是进修生。

该寝室中恰好住了8个人。

如果题干中关于身份的介绍涉及了寝室中所有的人，则以下各项关于该寝室的断定都不与题干矛盾，除了A.该校法律系每年都招收进修生。

B.该校法律系从未招收过进修生。

C.来自广东的室友在法律系就读。

D.来自哈尔滨的室友在财政金融系就读。

E.该室的三个进修生都是南方人。

高考理科数学考前必记的60个知识点集合(1)集合之间关系的判断方法①A真含于B⇔A⊆B且A≠B，类比于a<b⇔a≤b且a≠b.②A⊆B⇔A真含于B或A＝B，类比于a≤b⇔a<b或a＝b.③A＝B⇔A⊆B且A⊇B，类比于a＝b⇔a≤b且a≥b.(2)集合间关系的两个重要结论①A⊆B包含A＝B和A B两种情况，两者必居其一，若存在x∈B且x∉A，说明A≠B ，只能是A B.②集合相等的两层含义：若A⊆B且B⊆A，则A＝B；若A＝B，则A⊆B且B⊆A.[提醒]1任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.2对于集合A，B，C，如果A⊆B且B⊆C，则有A⊆C.3含有n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．4集合中元素的三大特性：确定性、互异性、无序性．常见关键词及其否定形式关键词等于大于小于是一定是都是至少有一个至多有一个存在否定词不等于不大于不小于不是不一定是不都是一个也没有至少有两个不存在命题(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假性原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假[提醒]1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3在判断一些命题的真假时，如果不容易直接判断，则可以判断其逆否命题的真假．(3)含有一个量词的命题的否定全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如下所述：命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，非p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M非p(x) 充分、必要条件(1)充分条件与必要条件的相关概念①如果p⇒q，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件．②如果p⇒q，但q⇒/ p，那么p是q的充分不必要条件．③如果p⇒q，且q⇒p，那么p是q的充要条件．④如果q⇒p，且p⇒/ q，那么p是q的必要不充分条件．⑤如果p⇒/ q，且q⇒/ p，那么p是q的既不充分也不必要条件．(2)充分、必要条件与集合的对应关系从逻辑观点看从集合观点看p是q的充分条件(p⇒q)A⊆Bp是q的必要条件(q⇒p)A⊇Bp是q的充分不必要条件(p⇒q，q⇒/ p)A真含于Bp是q的必要不充分条件(q⇒p，p⇒/ q)A真包含Bp是q的充要条件(p⇔q)A＝B函数的定义域及相关的6个结论(1)如果f(x)是整式函数，那么函数的定义域是R.(2)如果f(x)是分式函数，那么函数的定义域是使分母不等于0的实数的集合．(3)如果f(x)是偶次根式函数，那么函数的定义域是使被开方数大于或等于0的实数的集合．(4)如果f(x)是对数函数，那么函数的定义域是使真数大于0的实数的集合．(5)如果f(x)是由几个代数式构成的，那么函数的定义域是使各式子都有意义的实数的集合．(6)如果f(x)是从实际问题中得出的函数，则要结合实际情况考虑函数的定义域．函数的值域求函数值域常用的7种方法(1)配方法：二次函数及能通过换元法转化为二次函数的函数类型．(2)判别式法：分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为x2A(y)＋xB(y)＋C(y)＝0的形式，再利用判别式加以判断．(3)换元法：无理函数、三角函数(用三角代换)等，如求函数y＝2x－3＋13－4x的值域．(4)数形结合法：函数和其几何意义相联系的函数类型，如求函数y＝3－sin x2－cos x的值域．(5)不等式法：利用几个重要不等式及推论求最值，如a2＋b2≥2ab，a＋b≥2ab(a，b为正实数)．(6)有界性法：一般用于三角函数类型，即利用sin x∈[－1，1]，cos x∈[－1，1]等．(7)分离常数法：适用于解析式为分式形式的函数，如求y＝x＋1x－1的值域．指数函数与对数函数(1)指数函数与对数函数的对比区分表解析式y＝a x(a>0且a≠1)y＝log a x(a>0且a≠1)定义域R(0，＋∞)值域(0，＋∞)R图象关系指数函数对数函数奇偶性非奇非偶非奇非偶单调性0<a<1时，在R上是减函数；0<a<1时，在(0，＋∞)上是减函数；a>1时，在R上是增函数a>1时，在(0，＋∞)上是增函数[提醒]直线x＝1与所给指数函数图象的交点的纵坐标即底数，直线y＝1与所给对数函数图象的交点的横坐标即底数．(2)比较幂值大小的方法①若指数相同，底数不同，则考虑幂函数．②若指数不同，底数相同，则考虑指数函数．③若指数与底数都不同，则考虑借助中间量，这个中间量的底数与所比较的一个数的底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小．(3)常见抽象函数的性质与对应的特殊函数模型的对照表抽象函数的性质特殊函数模型①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)(x∈R，y∈R)；②f(x－y)＝f(x)－f(y)(x∈R，y∈R)正比例函数f(x)＝kx(k≠0)①f (x )f (y )＝f (x ＋y )(x ，y ∈R )； ②f （x ）f （y ）＝f (x －y )(x ，y ∈R ，f (y )≠0) 指数函数f (x ) ＝a x (a >0，a ≠1)①f (xy )＝f (x )＋f (y )(x >0，y >0)；②f (xy)＝f (x )－f (y )(x >0，y >0)对数函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)①f (xy )＝f (x )f (y )(x ，y ∈R )； ②f (x y )＝f （x ）f （y ）(x ，y ∈R ，y ≠0)幂函数f (x )＝x n函数零点的判断方法(1)利用零点存在定理判断法：如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0.这个c 也就是方程f (x )＝0的根．口诀：函数零点方程根，数形本是同根生，函数零点端点判，图象连续不能忘．(2)代数法：求方程f (x )＝0的实数根．(3)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 导数(1)基本初等函数的导数公式①(sin x )′＝cos x ，(cos x )′＝－sin x .②(ln x )′＝1x (x >0)，(log a x )′＝1x ln a(x >0，a >0，且a ≠1)．③(e x )′＝e x ，(a x )′＝a x ln a (a >0，且a ≠1)． (2)导数的四则运算法则 ①(u ±v )′＝u ′±v ′⇒[f 1(x )＋f 2(x )＋…＋f n (x )]′ ＝f ′1(x )＋f ′2(x )＋…＋f ′n (x )．②(u v )′＝v u ′＋v ′u ⇒(c v )′＝c ′v ＋c v ′＝c v ′(c 为常数)． ③⎝⎛⎭⎫u v ′＝v u ′－v ′u v 2(v ≠0)．[提醒] 1若两个函数可导，则它们的和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．2利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(x n )′＝nx n －1中n ∈Q *，(cos x )′＝－sin x . 3注意公式不要用混，如(a x )′＝a x ln a ，而不是(a x )′＝xa x －1.4导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形，即[u (x )±v (x )±…±w (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )±…±w ′(x )．5一般情况下，[f (x )g (x )]′≠f ′(x )g ′(x )，[f (x )·g (x )]′≠f ′(x )＋g ′(x )，⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′≠f ′（x ）g ′（x ），⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′≠f ′(x )－g ′(x )．6。

【判断】逻辑判断-集合推理（讲义）例1（2014北京）某公司有些新入职职工拥有博士学位。

该公司所有拥有博士学位的职工都被董事长单独接见过，而该公司所有甲省的职工都没有被董事长单独接见过。

如果以上陈述为真，则以下哪项也一定为真？A.有些新入职职工不是甲省的B.所有新入职职工都是甲省的C.有些新入职职工没有被董事长单独接见过D.有些拥有博士学位的职工是甲省的例2（2017江西）所有刑事侦查专业的大四学生毕业后都当警察了，有的警察是党员，刑事侦查专业的大四学生都不是警察。

由此可以推出的是（ ）。

A.有的党员是刑事侦查专业的大学毕业生B.有的党员不是刑事侦查专业的大四学生C.有的刑事侦查专业的大四学生是党员D.有的刑事侦查专业的大四学生不是党员例3（2018北京）有些参加语言学暑期高级讲习班的学生获得过青年语言学奖。

所有中文专业的三年级硕士生都参加了语言学暑期高级讲习班。

所有中文专业的一年级硕士生都没有参加语言学暑期高级讲习班。

如果以上陈述为真，可以推出A.有些获得过青年语言学奖的学生是中文专业的三年级硕士生B.有些中文专业的三年级硕士生获得过青年语言学奖C.有些获得过青年语言学奖的学生不是中文专业的一年级硕士生D.有些中文专业的一年级硕士生获得过青年语言学奖例4（2018国考）某公司30岁以下的年轻员工中有一部分报名参加了公司在周末举办的外语培训班。

该公司的部门经理一致同意在本周末开展野外拓展训练。

所有报名参加外语培训班的员工都反对在本周末开展拓展训练。

由此可以推出：A.所有部门经理年龄都在30岁以上B.该公司部门经理中有人报名参加了周末的外语培训班C.报名参加周末外语培训班的员工都是30岁以下的年轻人D.有些30岁以下的年轻员工不是部门经理例5（2015山东）所有来自中国的留学生，都住在校园内；所有住在校园内的学生，都必须参加运动会；有些中国留学生加入了学生会；有些心理学专业的学生也加入了学生会；所有心理学专业的学生都没有参加运动会。

逻辑推理三段论解集合推理
首先，让我们来了解一下三段论。

三段论是一种逻辑推理形式，由三个命题组成，一个前提命题、一个中间命题和一个结论命题。

三段论的形式可以表示为，“所有A都是B；某些C是A；所以某些
C是B”。

在集合推理中，我们可以将三段论应用于集合的关系。

首先，让我们来看一个例子，“所有人都是动物；某些学生是人；所以某些学生是动物”。

在这个例子中，我们可以将“人”和“动物”视为两个集合，而“学生”是它们的交集。

根据三段论的
形式，我们可以推断出结论，“某些学生是动物”。

在集合推理中，三段论可以帮助我们推断出集合之间的关系。

通过观察前提命题和中间命题，我们可以推断出结论命题，从而揭
示集合之间的包含关系或交集关系。

此外，三段论在集合推理中还可以帮助我们识别集合之间的相
互关系。

通过分析前提和结论，我们可以确定集合之间的相互包含
关系或者互不相交的关系。

总的来说，三段论在集合推理中是一种有用的工具，可以帮助
我们推断出集合之间的关系，识别集合的包含关系和交集关系，以及理清集合之间的相互关系。

通过运用三段论的逻辑推理形式，我们可以更好地理解和分析集合之间的关系。

解决实际问题的集合与逻辑推理在现代社会中，人们面临各种各样的问题，有些问题相对简单，可以通过常识或经验解决，而有些问题则需要运用集合与逻辑推理的方法进行分析与解决。

集合与逻辑推理是一种系统化的思维方式，可以帮助人们从复杂的问题中抽象出有用的信息并进行推理分析，从而寻找到问题的解决方案。

本文将探讨解决实际问题时集合与逻辑推理的应用。

一、集合的基本概念在介绍集合与逻辑推理的应用之前，首先我们需要了解集合的基本概念。

集合是由一些特定对象构成的整体，这些对象可以是数字、字母、事物或概念等。

集合的元素是构成集合的个体，而元素的集合就是一个集合。

在集合中，元素可以重复出现，但在同一个集合中不能重复。

集合之间可以进行各种运算，如并集、交集、差集等。

二、集合与实际问题的应用解决实际问题时，我们经常需要对问题进行分类与分析。

这时，集合的概念就可以派上用场。

通过将问题中的元素抽象成集合中的元素，我们可以更清晰地理解问题的本质，并从中找到解决问题的线索。

例如，假设我们面临一个选课问题。

我们可以将所有可选的课程看作是一个集合C，而每个学生的选课情况可以看作是集合C中的某个子集。

通过对学生选课情况进行分析，我们可以得到哪些课程是热门课程（有大量学生选择）、哪些课程是冷门课程（几乎没有学生选择）以及哪些课程有互斥关系（不能同时选修）。

这样，学校可以根据分析结果来合理安排课程资源，满足学生们的需求。

三、逻辑推理的基本原理逻辑推理是一种基于逻辑规则进行推理分析的思维方式。

逻辑规则是人们对客观事物中的因果关系、条件关系等进行归纳总结得到的一种规则体系。

逻辑推理的基本原理包括：假设、前提、推断和结论。

通过对已知事实或条件进行逻辑推理，我们可以得出新的结论或解决方案。

以解决实际问题为例，假设我们面临一个出行问题，需要选择最佳路线。

通过对不同路线的优劣进行逻辑推理，我们可以根据不同条件（如交通拥堵情况、道路状况等）推断出哪一条路线最适合我们的需求，从而制定出最佳出行方案。

逻辑判断——集合推理【知识提炼】——“四组翻译”“三组换位”“两组推理”“同义替换”【注意】所有≥有的≥1 / 有的≠有的不一、“四组翻译”所有A 都是 B A→B所有A 都不是B A→—B有的A 是B 有的A→B有的A 不是 B 有的A→—B【注意】“有的”不适用于逆否等价二、“三组换位”所有A 都是B→有的B 是 A所有A 都不是B↔所有B 都不是A有的A 是B↔有的B 是A三、“两组推理”所有A 都是B→某个A 是B→有的A 是B所有A 都不是B→某个A 不是B→有的A 不是B四、“同义替换”原则：任何一句话都等同于它的矛盾命题前加一个负号方法：句子前面加负号所有有的互相换必然可能互相换肯定否定互相换【例子】①所有的粉笔老师都是瘦子，矛盾命题为“有的粉笔老师不是瘦子”，同义替换为“并非有的粉笔老师不是瘦子”②所有的中国人必然会说汉语，矛盾命题为“并非有的中国人可能不会说汉语”③有的男同学可能不会踢足球，矛盾命题为“并非所有男同学必然会踢足球”④并非有的面包不是香甜可口的，矛盾命题为“所有面包是香甜可口的”(2014 北京)某公司有些新入职职工拥有博士学位。

该公司所有拥有博士学位的职工都被董事长单独接见过，而该公司所有甲省的职工都没有被董事长单独接见过。

如果以上陈述为真，则以下哪项也一定为真：（A ）A.有些新入职职工不是甲省的B.所有新入职职工都是甲省的C.有些新入职职工没有被董事长单独接见过D.有些拥有博士学位的职工是甲省的→本题与翻译推理解题思路一样，先翻译题干：（1）有的新职工→博士；（2）博士→董事长单独见过；（3）甲省职工→-董事长单独见过。

串联起来，有的新职工→博士→接见，逆否条件（3）为接见→-甲省，即有的新职工→博士→接见→-甲省。

A 项：符合题干，当选。

B 项：题干中是有的新职工不是甲省，选项为所有的新职工都是甲省的，与题干不符，排除。

C 项：题干是有的新职工被接见过，选项为“有的……不是……”，有的是≠有的不是D 项：题干为所有博士都不是甲省的，选项表述错误，排除（2018 河南选调）行驶超过60 万千米的汽车都应当报废处理；有些行驶超过60万千米的汽车存在设计缺陷；在应当报废的汽车中有些不是T品牌汽车；所有T 品牌汽车都不存在设计缺陷。

逻辑推理题型归纳及例题解析集合或范围重合型解这种题型的重点放在集合的“部分与全体”上，最直观的办法是根据题干提供的条件画个小图，题目即可迎刃而解。

45-46基于以下题干:在某住宅小区的居民中，大多数中老年教员都办了人寿保险，所有买了四居室以上住房的居民都办了财产保险。

而所有办了人寿保险的都没办理财产保险。

45.如果上述断定是真的，以下哪项关于该小区居民的断定必定是真的：I. 有中老年教员买了四居室以上的新房。

II. 有中老年教员没办理财产保险。

III.买了四居室以上住房的居民都没办理人寿保险。

A.I、II和III。

B.仅I和II。

C.仅II和III。

D.仅I和III。

E.仅II。

[解题分析] 正确答案：C。

大多数中老年教员办了人寿保险，而所有办了人寿保险的居民都没办理财产保险，所以大多数中老年教员没办财产保险，这是Ⅱ。

买了四居室以上住房的居民都办了财产保险，而所有办了人寿保险的居民都没办理财产保险，所以，买了四居室以上住房的居民都没办理人寿保险(否则矛盾了)，这是Ⅲ。

中老年教员和四居室以上住房之间没有建立因果联系，推不出Ⅰ来。

46.如果在题干的断定中再增加以下断定：“所有的中老年教员都办理了人寿保险”，并假设这些断定都是真的，那么，以下哪项必定是假的？A.在买了四居室以上住房的居民中有中老年教员。

B.并非所有办理人寿保险的都是中老年教员。

C.某些中老年教员没买四居室以上的住房。

D.所有的中老年教员都没办理财产保险。

E.某些办理了人寿保险的没买四居室以上的住房。

[解题分析] 正确答案：A。

题干发生了一个变化，从“大多数中老年教员都办理了人寿保险”加强为“所有的中老年教员都办理了人寿保险”，这就意味着所有的中老年教员都没办理财产保险。

而买了四居室以上住房的居民都办了财产保险，这就是说“所有的中老年教员”和“买了四居室以上住房的居民”这两个集合没有任何交集。

所以这选项A“在买了四居室以上住房的居民中有中老年教员”就为假了。