2019~2020上学期高二数学第16周测试题

2019-2020年高二第一学期期中测试试卷（数学）考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1、本试卷包含选择题（第1题～第8题，共8题）、填空题（第9题～第16题，共8题）、解答题（第17题～第22题，共6题）三部分。

满分为160分，考试时间为120分钟。

2、答题前，请您务必将自己的班级、姓名、学号填写在答题卡上。

一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1、已知等差数列的通项公式为 , 则它的公差为（A）（B）（C） 2 （D）32、已知数列,3,, … ,,那么9是数列的(A)第12项 (B)第13项 (C)第14项(D)第15项3、一个三角形的两内角分别为300和450，若450角所对边长为8，则300角所对边长为（A）4 （B）（C）（D）4、不等式的解集为(A) 或 (B)(C)或 (D)5、在等差数列中，，则该数列的前13项之和为（A）（B）（C）（D）6、a,b,c成等比数列，那么关于x的方程(A)一定有两个不相等的实数根 (B)一定有两个相等的实数根(C)一定没有实数根 (D)以上三种情况均可出现7、下列命题中正确的是(A)若,且,则 (B) 若且则(C) 若且,则 (D) 若则8、在数列中，，，设为数列的前项和，则（A）（B）（C）（D）二、填空题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上.9、在△中，若，则△是▲三角形10、等差数列的前项和为30,前项和为100,则它的前项和是▲11、等差数列的首项，公差，如果成等比数列，那么公差等于▲12、数列的前项和，则它的通项公式是▲ .13、不等式的解集为▲14、已知△ABC的周长为9，且，则cosC的值为▲15、若实数x,y满足不等式组，则目标函数z=2x＋y的最大值为▲16、已知,,则的最大值是▲三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17、（本题满分12分）在中，是三角形的三内角，是三内角对应的三边，已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求角的大小．18、（本题满分12分）已知M是关于x的不等式2x2+(3a－7)x+3＋a－2a2<0解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集.19、（本题满分14分）航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10000m,速度为180km（千米）/h（小时）飞机在A处先看到山顶C的俯角为150，经过420s（秒）后又在B处看到山顶C的俯角为450，求山顶的海拔高度（取＝1.4,＝1.7）．20、（本题满分14（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．21、（本题满分14分）数列{a n}是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负。

高二数学2019年春期开学周周练试卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的4个选项中只有一个是正确的，请将所选选项的字母填写在答题卷相应的位置上) 1．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 22．在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6等于( ) A ．40 B ．42 C ．43 D ．453．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．44．(2010年浙江)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝( )A ．11B ．5C ．－8D ．－115．若x 、y 是正实数，则(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y 的最小值为( )A ．6B ．9C ．12D ．156．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB→与AC →的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7．设命题p ：∃x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m ≤0，则¬p 是( )A ．∃x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m >0B ．不存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m >0C ．对于∀x ∈Z ，都有x 2＋2x ＋m ≤0D ．对于任意x ∈Z ，都有x 2＋2x ＋m >08．若点P 在椭圆x 22＋y 2＝1上，F 1、F 2分别是椭圆的两焦点，且∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是( )A ．2B ．1 C.32 D.339．曲线()xf x e =在点()()1,1f 处的切线方程为（ ）A. 0ex y -=B. 0ex y +=C. 10ex y --=D. 20ex y e --=10．甲、乙、丙三人各买了一辆不同品牌的新汽车，汽车的品牌为奇瑞、传祺、吉利.甲、乙、丙让丁猜他们三人各买的什么品牌的车，丁说：“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞，丙买的不是吉利.”若丁的猜测只对了一个，则甲、乙所买汽车的品牌分别是（ ） A. 吉利，奇瑞 B. 吉利，传祺 C. 奇瑞，吉利 D. 奇瑞，传祺 11．（理科做）用反证法证明命题“已知为整数，若不是偶数，则都不是偶数”时，下列假设中正确的是（ ） A. 假设都是偶数 B. 假设中至多有一个偶数 C. 假设都不是奇数 D. 假设中至少有一个偶数12．（理科做）用数学归纳法证明“()221*111,1n n a a a aa n N a++-++++=≠∈-，在验证1n =时，等式左边是 （ ）A. 1B. 1a +C. 21a a ++D. 231a a a +++第Ⅱ卷（非选择题部分）二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把下列各题的正确答案填写在答题卷相应的位置上)13．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，bc ＝30，S △ABC ＝1523，则∠A ＝________.14．(2010年广东)若向量a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x ＝________.15．直线y ＝x －1被抛物线y 2＝4x 截得线段的中点坐标是____________． 16．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面AB 1C 与平面A 1C 1D 间的距离为 。

2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设，则一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通过取特殊值，即可判断出ABC的正误，利用不等式的性质即可判断出D的正误．【详解】因为，选项A中，取，，可知，因此不正确；选项B中，取，，可知和不存在，因此不正确；选项C中，取，，可知，因此不正确；选项D中，由，根据不等式的性质，可知正确.故选：D.【点睛】本题考查了不等式的基本性质、特殊值法判断不等式是否成立，属于简单题.2.若数列满足，，则（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】【分析】根据数列的递推关系，逐步求解，得到答案.【详解】因为，，所以，，故选：C.【点睛】本题考查根据数列递推公式求数列中的项，属于简单题.3.若，，且，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据基本不等式，求出的最大值，得到答案.【详解】因为，，且，由基本不等式得，所以，当且仅当时，等号成立.故选：B.【点睛】本题考查根据基本不等式求积的最大值，属于简单题.4.若数列满足，则的前项和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，根据裂项相消法求出其前项的和.【详解】因为所以前项和.故选：C.【点睛】本题考查裂项相消法求数列的和，属于简单题.5.设是任意实数，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据基本不等式和取特殊值，分别判断充分性和必要性，从而得到答案.【详解】根据基本不等式可知，所以由可以得到，当，，时，满足，但不满足所以由不能得到，所以“”是“”的充分而不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查基本不等式的应用，充分而不必要条件的判断，属于简单题.6.已知地球运行的轨道是焦距为，离心率为的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最小距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据离心率得到椭圆的，根据椭圆的几何性质，得到最小距离，从而得到答案.【详解】因为地球椭圆轨道的焦距为，离心率为，所以由，得，而太阳在这个椭圆的一个焦点上，所以地球到太阳的最小距离为.故选：C.【点睛】本题考查椭圆离心率的定义，椭圆上的点到焦点的距离，属于简单题.7.若椭圆的右焦点关于直线的对称点在此椭圆上，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用直线斜率以及对称点的性质，求出到两焦点的距离，再利用椭圆的性质可求出与之间的关系，然后求解离心率，得到答案.【详解】设椭圆的左焦点为，连接，，设与直线交于点，由题意可知为线段的中点，所以，又因，所以，，在中，，，可得，，故，，根据椭圆的定义，得，即，得，所以，所以椭圆离心率.故选：D.【点睛】本题考查椭圆的定义和几何性质，点关于直线的对称点，属于中档题.8.若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据是函数的零点，得到的大小关系，从而得到成等差数列和等比数列的情况，得到关于的方程，求出的值，从而得到【详解】因为是函数的两个不同的零点，所以，，可得都是正数，由，可得，所以，不妨假设，这三个数可适当排序后成等差数列，则需按从大到小或从小到大排列，为的等差中项，即或成等差数列，所以，这三个数可适当排序后成等比数列，则需为的等比中项，即或成等比数列，即所以解得，，（舍去负值）从而得到，，所以.故选：A.【点睛】本题考查等差中项和等比中项的性质，一元二次方程根与系数的关系，属于中档题.二、填空题共6小题，每题5分，共30分.9.不等式的解集为________________.【答案】.【解析】试题分析：将原不等式变形为，∴不等式的解集为.考点：解一元二次不等式.10.命题“”的否定是____________．【答案】【解析】根据全称命题的否定为特称命题可得：“”的否定是，故答案为.11.椭圆上点的纵坐标的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】将椭圆化为标准方程，从而得到答案.【详解】椭圆的标准方程为，从而得到点的纵坐标的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆上点的范围，属于简单题.12.已知数列的前项和，且，则______.【答案】【解析】【分析】由，得到关于的方程，得到的值.【详解】因为，所以，所以，解得.故答案为：.【点睛】本题考查数列前项和与通项的关系求数列中的项，属于简单题.13.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】问题转化为对恒成立，根据基本不等式，得到的最小值，从而得到答案.【详解】因为不等式对恒成立，所以问题转化对恒成立，即，因为，由基本不等式，得，当且仅当，即时取等号，所以得到.故答案为：.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，利用基本不等式求和的最小值，属于简单题.14.定义“等积数列”：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的乘积都等于同一个不为零的常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做等积数列的公积.已知数列是，公积为的等积数列，则______；数列的前项和______.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】根据等积数列的定义，得到，，，，，得到为周期为的数列，从而得到数列的第三项以及前项的和.【详解】数列是等积数列，，公积为，所以，，，所以前项的和，有个，个，所以，得到当为偶数时，，有个，个，所以，得到当为奇数时，所以故答案为：，.【点睛】本题考查数列的新定义，数列的周期性，属于中档题.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）已知，求证：.（2）已知，当取什么值时，的值最小？最小值是多少？【答案】（1）证明见解析；（2）时，最小值是.【解析】【分析】（1）通过作差法，进行证明；（2）配凑基本不等式形式，利用基本不等式，得到和的最小值.【详解】（1）因为，所以，所以.（2）当时，，，当且仅当，即时，等号成立，所以当时，的值最小，最小值是.【点睛】本题考查作差法证明不等式，根据基本不等式求和的最小值，属于简单题.16.设是等差数列，，且，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求的前项和的最小值；（3）若是等差数列，与的公差不相等，且，问：和中除第5项外，还有序号相同且数值相等的项吗？（直接写出结论即可）【答案】（1）；（2），或时，取得最小值；（3）和中除第5项外，没有序号相同且数值相等的项.【解析】【分析】（1）根据等差数列的基本量和等比中项的性质，得到关于公差的方程，从而得到通项公式；（2）根据（1）所得的通项，从而得到前项的和；（3）设的通项，根据列出方程组，得到方程组无解，得到答案.【详解】（1）设等差数列的公差为，.因为，，成等比数列，所以，即有，解得，则.（2）由（1）中等差数列的通项，所以的前项和，由于为自然数，可得或时，取得最小值.（3）设和中除第5项外，还有序号相同且数值相等的项，设为第项，和相同，则，设根据与的公差不相等，可知由，得，即，由和相同，得到则，即整理得，因为且，所以方程无解.故和中除第5项外，没有序号相同且数值相等的项.【点睛】本题考查等比中项的应用，等差数列通项中基本量的计算，等差数列的和的最小值，属于中档题.17.已知函数，.（1）当时，求的解集；（2）求使的的取值范围；（3）写出“函数在上的图象在轴上方”的一个充分条件.（直接写出结论即可）【答案】（1）；（2）当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为；（3）.【解析】【分析】（1）根据解一元二次不等式，得到答案；（2）按，，进行分类讨论，得到满足的的取值范围；（3）由（2）可知满足题意.【详解】（1）当时，，所以不等式，即为所以解集为.（2）由，可得，即，所以当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为（3）由（2）可知，当时，，恒成立，所以“函数在上的图象在轴上方”的一个充分条件为.【点睛】本题考查解不含参的一元二次不等式，分类讨论解一元二次不等式，写出充分条件，属于简单题.18.已知椭圆两个焦点分别是，，且椭圆经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）当取何值时，直线与椭圆有两个公共点；只有一个公共点；没有公共点？【答案】（1）；（2）时，直线与椭圆有两个公共点；或时，直线与椭圆只有一个公共点；或时，直线与椭圆没有公共点.【解析】【分析】（1）根据椭圆的焦点，得到，将点代入椭圆方程，得到的方程，解出的值，从而得到答案；（2）直线与椭圆联立，根据与的关系，得到关于的不等式，得到答案.【详解】（1）设椭圆的标准方程为，因为椭圆的焦点分别是，，所以，将点代入椭圆方程得，根据，得到，，所以椭圆的标准方程为.（2）直线与椭圆联立，，得，则，①当，即，解得，方程有两个不同的实数根，即直线与椭圆有两个公共点；②当，即，解得或，方程有两个相同的实数根，即直线与椭圆只有一个公共点；③当，即，解得或，方程没有实数根，即直线与椭圆没有公共点；【点睛】本题考查根据椭圆上的点求椭圆方程，考查了根据直线与椭圆的位置关系求参数的范围，属于中档题.19.设是等比数列，，.（1）求的通项公式；（2）求；（3）在和之间插入个数，其中，，使这个数成等差数列.记插入的个数的和为，求的最大值.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据得到公比，再结合，得到的通项；（2）由（1）得到的通项，然后根据等比数列的求和公式，得到答案；（3）根据个数成等差数列，得到，再由，从而解得的值，得到的最大值.【详解】（1）设等比数列的公比为，所以，因为，所以；（2），所以；（3）因为，所以，因为在和之间插入个数，这个数成等差数列，所以，设的第项最大，则，即，解得，所以或时，取得最大值，.【点睛】本题考查等比数列通项的求法，等比数列前项和的求法，求数列中的最大项，属于中档题.20.已知椭圆经过点，离心率为.过原点的直线与椭圆有两个不同的交点.（1）求椭圆长半轴长；（2）求最大值；（3）若直线分别与轴交于点，求证：的面积与的面积的乘积为定值.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆过点得到的值，结合离心率得到的值，得到答案；（2）根据椭圆的几何特点，得到与轴重合时，最大，从而得到答案；（3）根据对称性设，，表示出直线、，得到、坐标，从而表示出的面积与的面积，得到面积的乘积为定值.【详解】（1）因为椭圆过点，所以，因为离心率为，所以，而，所以，所以求椭圆长半轴长为；（2）由（1）可得椭圆的标准方程为，过原点的直线与椭圆有两个不同的交点，可知当为长轴时候最长，此时.（3）由对称性可知、两点关于原点对称，所以设，则，不妨假设，则直线的方程为，令，得到，所以，同理，所以，所以而在椭圆上，所以，即，所以.所以的面积与的面积的乘积为定值.【点睛】本题考查椭圆几何性质，求椭圆的长轴长，直线与椭圆的关系，椭圆中的定值问题，属于中档题.2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设，则一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通过取特殊值，即可判断出ABC的正误，利用不等式的性质即可判断出D的正误．【详解】因为，选项A中，取，，可知，因此不正确；选项B中，取，，可知和不存在，因此不正确；选项C中，取，，可知，因此不正确；选项D中，由，根据不等式的性质，可知正确.故选：D.【点睛】本题考查了不等式的基本性质、特殊值法判断不等式是否成立，属于简单题.2.若数列满足，，则（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】【分析】根据数列的递推关系，逐步求解，得到答案.【详解】因为，，所以，，故选：C.【点睛】本题考查根据数列递推公式求数列中的项，属于简单题.3.若，，且，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据基本不等式，求出的最大值，得到答案.【详解】因为，，且，由基本不等式得，所以，当且仅当时，等号成立.故选：B.【点睛】本题考查根据基本不等式求积的最大值，属于简单题.4.若数列满足，则的前项和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，根据裂项相消法求出其前项的和.【详解】因为所以前项和.故选：C.【点睛】本题考查裂项相消法求数列的和，属于简单题.5.设是任意实数，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据基本不等式和取特殊值，分别判断充分性和必要性，从而得到答案.【详解】根据基本不等式可知，所以由可以得到，当，，时，满足，但不满足所以由不能得到，所以“”是“”的充分而不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查基本不等式的应用，充分而不必要条件的判断，属于简单题.6.已知地球运行的轨道是焦距为，离心率为的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最小距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据离心率得到椭圆的，根据椭圆的几何性质，得到最小距离，从而得到答案.【详解】因为地球椭圆轨道的焦距为，离心率为，所以由，得，而太阳在这个椭圆的一个焦点上，所以地球到太阳的最小距离为.故选：C.【点睛】本题考查椭圆离心率的定义，椭圆上的点到焦点的距离，属于简单题.7.若椭圆的右焦点关于直线的对称点在此椭圆上，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用直线斜率以及对称点的性质，求出到两焦点的距离，再利用椭圆的性质可求出与之间的关系，然后求解离心率，得到答案.【详解】设椭圆的左焦点为，连接，，设与直线交于点，由题意可知为线段的中点，所以，又因，所以，，在中，，，可得，，故，，根据椭圆的定义，得，即，得，所以，所以椭圆离心率.故选：D.【点睛】本题考查椭圆的定义和几何性质，点关于直线的对称点，属于中档题.8.若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据是函数的零点，得到的大小关系，从而得到成等差数列和等比数列的情况，得到关于的方程，求出的值，从而得到【详解】因为是函数的两个不同的零点，所以，，可得都是正数，由，可得，所以，不妨假设，这三个数可适当排序后成等差数列，则需按从大到小或从小到大排列，为的等差中项，即或成等差数列，所以，这三个数可适当排序后成等比数列，则需为的等比中项，即或成等比数列，即所以解得，，（舍去负值）从而得到，，所以.故选：A.【点睛】本题考查等差中项和等比中项的性质，一元二次方程根与系数的关系，属于中档题.二、填空题共6小题，每题5分，共30分.9.不等式的解集为________________.【答案】.【解析】试题分析：将原不等式变形为，∴不等式的解集为.考点：解一元二次不等式.10.命题“”的否定是____________．【答案】【解析】根据全称命题的否定为特称命题可得：“”的否定是，故答案为.11.椭圆上点的纵坐标的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】将椭圆化为标准方程，从而得到答案.【详解】椭圆的标准方程为，从而得到点的纵坐标的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆上点的范围，属于简单题.12.已知数列的前项和，且，则______.【答案】【解析】【分析】由，得到关于的方程，得到的值.【详解】因为，所以，所以，解得.故答案为：.【点睛】本题考查数列前项和与通项的关系求数列中的项，属于简单题.13.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】问题转化为对恒成立，根据基本不等式，得到的最小值，从而得到答案.【详解】因为不等式对恒成立，所以问题转化对恒成立，即，因为，由基本不等式，得，当且仅当，即时取等号，所以得到.故答案为：.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，利用基本不等式求和的最小值，属于简单题.14.定义“等积数列”：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的乘积都等于同一个不为零的常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做等积数列的公积.已知数列是，公积为的等积数列，则______；数列的前项和______.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】根据等积数列的定义，得到，，，，，得到为周期为的数列，从而得到数列的第三项以及前项的和.【详解】数列是等积数列，，公积为，所以，，，所以前项的和，有个，个，所以，得到当为偶数时，，有个，个，所以，得到当为奇数时，所以故答案为：，.【点睛】本题考查数列的新定义，数列的周期性，属于中档题.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）已知，求证：.（2）已知，当取什么值时，的值最小？最小值是多少？【答案】（1）证明见解析；（2）时，最小值是.【解析】【分析】（1）通过作差法，进行证明；（2）配凑基本不等式形式，利用基本不等式，得到和的最小值.【详解】（1）因为，所以，所以.（2）当时，，，当且仅当，即时，等号成立，所以当时，的值最小，最小值是.【点睛】本题考查作差法证明不等式，根据基本不等式求和的最小值，属于简单题.16.设是等差数列，，且，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求的前项和的最小值；（3）若是等差数列，与的公差不相等，且，问：和中除第5项外，还有序号相同且数值相等的项吗？（直接写出结论即可）【答案】（1）；（2），或时，取得最小值；（3）和中除第5项外，没有序号相同且数值相等的项.【解析】【分析】（1）根据等差数列的基本量和等比中项的性质，得到关于公差的方程，从而得到通项公式；（2）根据（1）所得的通项，从而得到前项的和；（3）设的通项，根据列出方程组，得到方程组无解，得到答案.【详解】（1）设等差数列的公差为，.因为，，成等比数列，所以，即有，解得，则.（2）由（1）中等差数列的通项，所以的前项和，由于为自然数，可得或时，取得最小值.（3）设和中除第5项外，还有序号相同且数值相等的项，设为第项，和相同，则，设根据与的公差不相等，可知由，得，即，由和相同，得到则，即整理得，因为且，所以方程无解.故和中除第5项外，没有序号相同且数值相等的项.【点睛】本题考查等比中项的应用，等差数列通项中基本量的计算，等差数列的和的最小值，属于中档题.17.已知函数，.（1）当时，求的解集；（2）求使的的取值范围；（3）写出“函数在上的图象在轴上方”的一个充分条件.（直接写出结论即可）【答案】（1）；（2）当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为；（3）.【解析】【分析】（1）根据解一元二次不等式，得到答案；（2）按，，进行分类讨论，得到满足的的取值范围；（3）由（2）可知满足题意.【详解】（1）当时，，所以不等式，即为所以解集为.（2）由，可得，即，所以当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为（3）由（2）可知，当时，，恒成立，所以“函数在上的图象在轴上方”的一个充分条件为.【点睛】本题考查解不含参的一元二次不等式，分类讨论解一元二次不等式，写出充分条件，属于简单题.18.已知椭圆两个焦点分别是，，且椭圆经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）当取何值时，直线与椭圆有两个公共点；只有一个公共点；没有公共点？【答案】（1）；（2）时，直线与椭圆有两个公共点；或时，直线与椭圆只有一个公共点；或时，直线与椭圆没有公共点.【解析】【分析】（1）根据椭圆的焦点，得到，将点代入椭圆方程，得到的方程，解出的值，从而得到答案；（2）直线与椭圆联立，根据与的关系，得到关于的不等式，得到答案.【详解】（1）设椭圆的标准方程为，因为椭圆的焦点分别是，，所以，将点代入椭圆方程得，根据，得到，，所以椭圆的标准方程为.（2）直线与椭圆联立，，得，则，①当，即，解得，方程有两个不同的实数根，即直线与椭圆有两个公共点；②当，即，解得或，方程有两个相同的实数根，即直线与椭圆只有一个公共点；③当，即，解得或，方程没有实数根，即直线与椭圆没有公共点；【点睛】本题考查根据椭圆上的点求椭圆方程，考查了根据直线与椭圆的位置关系求参数的范围，属于中档题.19.设是等比数列，，.（1）求的通项公式；（2）求；（3）在和之间插入个数，其中，，使这个数成等差数列.记插入的个数的和为，求的最大值.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据得到公比，再结合，得到的通项；（2）由（1）得到的通项，然后根据等比数列的求和公式，得到答案；（3）根据个数成等差数列，得到，再由，从而解得的值，得到的最大值.【详解】（1）设等比数列的公比为，所以，因为，所以；（2），所以；（3）因为，所以，因为在和之间插入个数，这个数成等差数列，所以，设的第项最大，则，即，解得，所以或时，取得最大值，.【点睛】本题考查等比数列通项的求法，等比数列前项和的求法，求数列中的最大项，属于中档题.20.已知椭圆经过点，离心率为.过原点的直线与椭圆有两个不同的交点.（1）求椭圆长半轴长；（2）求最大值；（3）若直线分别与轴交于点，求证：的面积与的面积的乘积为定值.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆过点得到的值，结合离心率得到的值，得到答案；（2）根据椭圆的几何特点，得到与轴重合时，最大，从而得到答案；（3）根据对称性设，，表示出直线、，得到、坐标，从而表示出的面积与的面积，得到面积的乘积为定值.【详解】（1）因为椭圆过点，所以，因为离心率为，所以，而，所以，所以求椭圆长半轴长为；（2）由（1）可得椭圆的标准方程为，过原点的直线与椭圆有两个不同的交点，可知当为长轴时候最长，此时.（3）由对称性可知、两点关于原点对称，所以设，则，不妨假设，则直线的方程为，令，得到，所以，同理，所以，所以而在椭圆上，所以，即，所以.所以的面积与的面积的乘积为定值.【点睛】本题考查椭圆几何性质，求椭圆的长轴长，直线与椭圆的关系，椭圆中的定值问题，属于中档题.。

河南省正阳县第二高级中学2019-2020学年高二数学上学期周练试题（三）理一.选择题：1、在△ABC 中，若c.cosC=b.cosB ，则ABC ∆的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等边三角形2、 在△ABC中，01,60AB AC A ==∠=，则△ABC 的面积为（ ）A．34C3.在△ABC中，222a c b +=+则∠A 等于（ ）A ．60° B．45° C．120° D．150°4、不等式22790x x --≤的解集为A ，2350x x -<的解集为B ，则‘x A ∈’是‘x B ∈’的________条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要5、设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则53S a =（ ） A ．2 B ．314C ．152D ．172 6. 若0,0≥≥y x ，且21x y xy ++=，则xy 的最大值为AB ．5- C ． 2 D.17.下列命题正确的是（ ）A ．已知实数、，则“a b >”是“22a b >”的必要不充分条件B ．“存在0R x ∈，使得2010x -<”的否定是“对任意R x ∈，均有210x ->”C ．A 为ABC ∆的一个内角，则4sin sin A A+的最小值为5 D ．设m ，n 是两条直线，α，β是空间中两个平面．若m α⊂，n β⊂，m n ⊥，则αβ⊥8、已知等差数列{a n }中，若a 3+3a 6+a 9=120，则2a 7﹣a 8的值为（ ）A ．24B ．﹣24C ．20D ．﹣209、命题“若a 2＜b＜a”的逆否命题为（ ）A ．若a 2≥b，则或B ．若a 2＞b ，则a或aC ．若或，则a 2≥b D ．若a或a，则a 2＞b 10、已知正数,x y 满足⎩⎨⎧≥+-≤-05302y x y x ，则y x z )21(4⋅=-的最小值为（ ） A ．1 B ．3241 C ．161 D ．321 11、若不等式组20510080x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，表示的平面区域为D ，则将D 绕原点旋转一周所得区域的面积为（ ）A ．30πB ．28πC ．26πD ．25π12、已知x ，y 满足41y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则22223y xy x x -+的取值范围为 ． A.[2,6] B.[1,3] C.[1,2] D.[3,6]二.填空题（20分）：13．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 8=8，a 3=4．则3n n a S n-的最小值为_______． 14、若x y 、满足约束条件0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则z x y =-+的最小值为 ．15、已知正数,a b 的等比中项是2，且11,+m b n a a b =+=，则m n +的最小值是 16、已知集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥+≤-+00042),(y x y x y x y x 表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P(x,y)，则点P三.解答题：17、（10分）在锐角△ABC 中，角C B 、、A 的对边分别为c b a ,,， B c a C b cos )2(cos ⋅-=⋅.（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）求C A sin sin +的取值范围.18、（12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知sin cos c A C =.（1）求C ；（2）若c =sinC+sin(B-A)=3sin2A ，求ABC ∆的面积.19、（12分）已知各项都不相等的等差数列{a n }的前7项和为70，且a 3为a 1和a 7的等比中项． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }满足b n+1﹣b n =a n ，n ∈N *且b 1=2，求数列1{}nb 的前n 项和T n ．20. 已知命题0:[0,2]p x ∃∈，2log (2)2x m +<；命题:q 关于的方程22320x x m -+=有两个相异实数根.（1）若()p q ⌝∧为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围.21.某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．公司如何合理安排生产计划，可使每天生产的甲、乙两种产品，共获得最大利润？22.在正项等比数列{}n a 中，14a =, 364a =.(1) 求数列{}n a 的通项公式n a ; (2) 记4log =n n b a ,求数列{}n b 的前n 项和n S ;(3) 记24,y m λλ=-+-对于（2）中的n S ，不等式n y S ≤对一切正整数n 及任意实数λ恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案：1-6 CBBBBB 7-12 CACCAA13.-4 14.0 15.5 16.332π17. (第一问5分，第二问5分)解：（1）由正弦定理知2sin ,2sin ,2sin ,a R A b R B c R C ===把他们带入到已知条件中并移项化简得，12cosB =，故B=60° （2）依题意，0sin sin sin sin()sin sin(60)A C A A B A A +=++=++)3A π+由23c A π=-及△ABC 是锐角三角形知62A ππ<<，故3(sin sin )(2A C +∈ 18.(第一问4分，第二问8分) （1）用正弦定理可以求出C=60°（2）A=90°或b=3a,故ABC S ∆=19.（第一问6分，第二问6分）（1）22n a n =+（2）易求2n b n n =+，因此用裂项求和可以得到1n n T n =+ 20.（第一问6分，第二问6分）（1）1(]2；（2）13(][,)2+∞. 21.（列出不等式组给6分，正确化成斜截式并求出最优解再给6分）设生产x 桶甲产品，乙种y 产品，可以获得z 元利润，依题意可得不等式组21221200x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，其中目标函数z=300x+400y ，画出可行域根据直线斜率的几何意义值最优解为（4,4），因此生产4桶甲产品，4桶乙产品可获得最大利润2800元22.（第一问2分，第二问4分，第三问6分）（1）4n n a =（2）(1)2n n n S +=（3）3m ≥。

20192020年高二数学上学期周考卷（十三）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设集合A={x|1≤x≤3}，集合B={x|x²3x+2=0}，则A∩B=（）A. {1, 2}B. {2}C. {1}D. ∅2. 函数f(x)=x²2x+1的定义域为R，则f(x)的值域为（）A. [0, +∞)B. (∞, 0]C. (∞, 1]D. [1, +∞)3. 已知等差数列{an}的公差为2，且a1+a3+a5=21，则a4的值为（）A. 7B. 9C. 11D. 134. 若向量a=(2, 3)，向量b=(1, 2)，则2a3b的模长为（）A. 5B. 10C. 15D. 205. 在三角形ABC中，a=8, b=10, sinA=3/5，则三角形ABC的面积S为（）A. 12B. 24C. 36D. 486. 若函数f(x)=x²2x+1在区间[1, 3]上的最小值为m，最大值为M，则m与M的差为（）A. 0B. 2C. 4D. 67. 已知函数f(x)=lg(2x1)，则f(x)的反函数为（）A. f1(x)=1/2(x+1)B. f1(x)=1/2(10^x+1)C. f1(x)=10^x+1D. f1(x)=10^x18. 在平面直角坐标系中，点A(2, 3)关于原点的对称点A'的坐标为（）A. (2, 3)B. (2, 3)C. (2, 3)D. (3, 2)9. 若直线y=2x+1与圆(x1)²+(y2)²=4相交，则交点的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 310. 已知函数f(x)=|x1|+|x+2|，则f(x)在区间[3, 3]上的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 已知数列{an}的通项公式为an=n²n，则a1+a2+a3+a4+a5=__________。

2019-2020年高二上学期周日（1.10）考试数学试题 含答案一、选择题：（本大题共12个小题,每题只有一个正确答案，每题5分,共60分）. 1.设:12,:21x p x q <<>，则p 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也必要条件 2.命题“存在0x R ∈，使得020x ≤”的否定是（ ）A ．不存在0x R ∈，使得020x > B ．存在0x R ∈，使得020x >C ．对任意x R ∈，20x> D ．对任意x R ∈，20x≤4.设{}n a 是等差数列，下列结论中正确的是（ ）A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a >．若10a <，则2123()()0a a a a -->5．已知函数ln (),()1ln k xf x k R x=∈+，且(2)1f =，则1()2f 的值等于（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．与k 有关6．若在曲线(,)0f x y =（或()y f x =）上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线(,)0f x y =或()y f x =的“自公切线”．下列方程：①221x y -=；②2y x x =-；③3sin 4cos y x x =+；④1x += ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④7．若,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则1y x -的最大值为（ ）A ．2B ．12C ．3D ．1 8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆222()x a y a -+=截得的弦长，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B 9．已知(1,sin ),(cos 2,2sin 1),(,)2a b πααααπ==-∈，若15a b =，则tan()4πα+的值（ ） A ．23 B ．13- C ．27 D ．17- 10 ．在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（ ）A ．45π B ．34π C ．(6π- D ．54π 11．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ）A ．2 B ．3 C ．6 D ．612．已知F 是抛物线2y x =的焦点，点,A B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB =（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．8D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.曲线ln y kx x =+在点(1,)k 处的切线平行于x 轴，则k =________．14.双曲线22116x y m-=的离心率为54，则m 等于________． 15.给出下列命题：①半径为2，圆心角的弧度为12的扇形面积为12；②若αβ、为锐角，1tan()2αβ+=，1tan 3β=，则24παβ+=；③函数()f x 值域为(],0-∞等价于()0f x ≤恒成立；④已知,a b 为实数，则22ab>是22log log a b >的必要而不充分条件其中真命题的序号是________．16.已知函数()()y f x x R =∈，对函数()()y g x x I =∈，定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为函数()()y h x x I =∈，()y h x =满足：对任意x I ∈，两个点(,()),(,())x h x x g x 关于点(,())x f x 对称，若()h x 是()g x =()3f x x b =+的“对称函数”，且()()h x g x >恒成立，则实数b 的取值范围是________． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分）17.（本小题满分10分）已知0a >且1a ≠，设命题:p 对数函数log a y x =在R +上单调递减，命题:q 曲线2(23)1y x a x =+-+与x 轴交于不同的两点，如果“p q ∨”为真，且“p q ∧”为假，求a 的取值范围．18.（本小题满分12分）已知A 点坐标为(1,0)-，B 点坐标为(1,0)，且动点M 到A 点的距离是4，线段MB 的垂直平分线l 交线段MA 于点P ． （1）求动点P 的轨迹C 方程；（2）若P 是曲线C 上的点，求k PA PB =的最大值和最小值．19.（本小题满分12分）某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[)50,60，第二组[)60,70，…,第五组[)90,100，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数； （2）从测试成绩在[)[]50,6090,100内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为,m n ，求事件“10m n ->”概率．20.（本小题满分12分）已知函数32()()f x ax x a R =+∈在43x =-处取得极值． （1）确定a 的值；（2）若()()xg x f x e =，讨论()g x 的单调性．21.（本小题满分12分）直三棱柱111ABC A B C -中，11AA AB AC ===，,E F 分别是1,CC BC 的中点，11AE A B ⊥，D 为棱11A B 上的点．（1）证明：DF AE ⊥；（2）是否存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为14？若存在，说明点D 的位置，若不存在，说明理由．22.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(22A -，离心率为2，点12,F F 分别为其左右焦点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若24y x =上存在两个点,M N ，椭圆上有两个点,P Q 满足2,,M N F 三点共线，2,,P Q F 三点共线，且PQ MN ⊥，求四边形PMQN 面积的最小值．参考答案1—5 ACCCA 6—10CABDA 11—12 DB13．-1；14．9； 15．②④；16．)+∞ 17．解：∵1x y a =+，单调递减，∴:01P a <<18．解：∵曲线2(23)1y x a x =+-+与x 轴交于不同的两点∴2(23)40a ∆=-->，∴51:22q a a ><或 ∵“p q ∨”为真，且“p q ∧”为假，∴p 真q 假，或p 假q 真当p 真q 假时，011522a a <<⎧⎪⎨≤≤⎪⎩得，112a ≤<， 当p 假q 真时，15122a a a >⎧⎪⎨><⎪⎩或得，52a >，所以15122a a ≤<>或 18．（1）∵4PA PB PA PM +=+=；又2AB =，∴P 的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆，∵24,22a c ==，∴2223b a c =-=，所求轨迹方程为22143x y +=． （2）解：设点00(,)P x y 则2200143x y +=，∴当00x =时，max 4k =，∴当02x =±时，min 3k = ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分19．解：(1)由直方图知，成绩在[)60,80内的人数为：5010(0.180.040)29⨯⨯+=． 所以该班在这次数学测试中成绩合格的有29人．（2）由直方图知，成绩在[)50,60内的人数为：50100.0042⨯⨯=，设成绩为x y 、成绩在[)90,100的人数为50100.0063⨯⨯=，设成绩为a b c 、、， 若[),50,60m n ∈时，只有xy 一种情况，若[),90,100m n ∈时，有,,ab bc ac 三种情况，若,m n 分别在[)50,60和[)90,100内时，有xa xb xc ya yb yc 共有6种情况，所以基本事件总数为10种，事件“10m n ->”所包含的基本事件个数有6种，∴63(10)105P m n ->==． 20．解：（1）对()f x 求导得2()32f x ax x '=+． ∵32()()f x ax x a R =+∈在43x =-处取得极值，∴4()03f '-=，∴16432()093a+-=，∴12a =； （2）由（1）得321()()2xg x x x e =+， ∴232311()(2)()(1)(4)222xxx g x x x e x x e x x x e '=+++=++， 令()0g x '=，解得0,14x x x ==-=-或， 当4x <-时，()0g x '<，故()g x 为减函数； 当41x -<<-时，()0g x '>，故()g x 为增函数； 当10x -<<时，()0g x '<，故()g x 为减函数； 当0x >时，()0g x '>，故()g x 为增函数；综上知()g x 在(,4)-∞-和(1,0)-内为减函数，在(4,1)--和(0,)+∞内为增函数． 21．（1）证明：∵1111,//AE A B A B AB ⊥， ∴AB AE ⊥,又∵1AB AA ⊥，1AE AA A ⋂=， ∴AB ⊥面11A ACC ，又∵AC ⊂面11A ACC ， ∴AB AC ⊥，以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则11111(0,0,0),(0,1,),(,,0),(0,0,1),(1,0,1)222A E F AB ，设(,,)D x y z ，111AD AB λ=，且[]0,1λ∈，即：(,,1)(1,0,0)x y z λ-=，∴(,0,1)D λ，∴11(,,1)22DF λ=--，∴1(0,1,)2AE =，∴11022DF AE =-=，∴DF AE ⊥． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）设面DEF 的法向量为(,,)n x y z =，则00n FE n DF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∵111(,,)222FE =-，11(,,1)22DF λ=--，∴111022211()022x y z x y z λ⎧-++=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩，即：32(1)122(1)x z y z λλλ⎧=⎪-⎪⎨+⎪=⎪-⎩，令2(1)z λ=-，∴(3,12,2(1))n λλ=+-．由题可知面ABC 的法向量(0,0,1)m =，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分∵平面DEF 与平面ABC ∴14cos(,)14m n m nm n===，∴1724λλ==或．又∵[]0,1λ∈，∴74λ=舍去． ∴点D 为11A B 中点． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22．试题解析：（1）由题意得：2c a =，得bc =，因为2222(221(0)a b a b+=>>，得1c =，所以22a =，所以椭圆C 方程为2212x y +=． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）当直线MN 斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，易得4,MN PQ S ===当直线MN 斜率存在时，设直线方程为：(1)(0)y k x k =-≠与24y x =联立得2222(24)0k x k x k -++=；令1122(,),(,)M x y N x y ，1212242,1x x x x k +=+=． 244MN k =+， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ∵PQ MN ⊥，∴直线PQ 的方程为：1(1)y x k =--，将直线与椭圆联立得，222(2)4220k x x k +-+-=，令3344(,),(,)P x y Q x y ，34242x x k +=+，2342222k x x k -=+;22)2k PQ k +=+, …………………………………………………8分∴四边形PMQN 面积2222)(2)k S k k +=+， 令21,(1)k t t +=>，上式22221)(1)(1)11S t t t t ====+>-+--所以S ≥最小值为 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。

2019-2020学年高二数学上学期期中试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.已知集合,,则=( )A. B. C. D.2. 已知,,,则a,b,c的大小关系为( )A. B. C. D.3. 命题“,”的否定是( )A. ,B. ,C. ,D. ,已知直线,直线,且,则m的值为（）A. B. C. 或 D. 或5. 已知是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则6. 在中,若点D满足,则( )A. B. C. D.7. 为了得到函数的图象,可以将函数的图象A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向右平移个单位D. 向左平移个单位8. 若x,,且,则的最小值是A. 5B.C.D.9. 设D为椭圆上任意一点,,,延长AD至点P,使得,则点P的轨迹方程为( )A. B.C. D.已知圆,直线l：,若圆上恰有4个点到直线l的距离都等于1,则b的取值范围为( )B. C. D.已知,分别是椭圆的左、右焦点,P为椭圆上一点,且为坐标原点,若,则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.12. 设函数的定义域为,若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则实数的范围是（）A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 一个骰子连续投2次,点数积大于21的概率为_________．14. 过圆上一点作圆的切线, 则该切线的方程为_________．已知A,B,C,D是同一球面上的四个点,其中是正三角形,平面ABC,,则该球的体积为_________．已知棱长为的正方体中，点分别是的中点，又分别在线段上，且.设平面平面，现有下列结论：①平面；②；③与平面不垂直；④当变化时，不是定直线.其中不成立的结论是 .（填写所有不成立结论的编号）解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（本小题满分10分）设等差数列的前n项和为,若,．求数列的通项公式；设,若的前n项和为,证明：．（本小题满分12分）某学校随机抽取部分学生调查其上学路上所需时间单位：分钟,并将所得数据制成频率分布直方图如图,若上学路上所需时间的范围为,样本数据分组为,．求直方图中a的值；如果上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿,若招收学生1200人,请估计所招学生中有多少人可以申请住宿；求该校学生上学路上所需的平均时间．（本小题满分12分）如图,正三棱柱中,各棱长均为4,M、N分别是的中点．求证：平面；求直线AB与平面所成角的余弦值．（本小题满分12分）已知以点C为圆心的圆经过点和,且圆心在直线上．Ⅰ求圆C的方程；Ⅱ设点P在圆C上,求的面积的最大值．（本小题满分12分）已知椭圆,四点,,,中恰有三点在椭圆C上求C的方程；设直线l不经过点，且与C相交于两点.若直线与直线的斜率的和为,证明：l过定点．22.（本小题满分12分）设为实数，函数，.（1）求证：不是上的奇函数；（2）若是上的单调函数，求实数的值；（3）若函数在区间上恰有个不同的零点，求实数的取值范围.2018级高二上学期期中考试数学卷参考答案选择题123456789101112C C BD D D B A B D A A填空题14. 15. 16. ④三、填空题17.解：等差数列的公差为d,由,得,又由,得,由上可得等差数列的公差,；证明：由题意得．所以．18.解：由,解得．上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿,招收学生1200人,估计所招学生中有可以申请住宿人数为：．该校学生上学路上所需的平均时间为：．19.证明：因为且M为BC的中点,所以,又在正三棱柱中,因为平面平面ABC,平面ABC,且平面平面,所以平面,因为平面,所以,因为M,N分别为BC,的中点,所以,又因为,,所以≌,所以,,所以,所以,又因为平面,平面,,所以平面．解：设,由可知平面,所以AO为斜线AB在平面内的射影,所以为AB与平面所成的角,由题可知,所以为等腰三角形,作于E,则E为AB的中点,所以,由等面积法可知,在中,,所以,所以直线AB与平面所成的角的余弦值为．解：Ⅰ依题意,所求圆的圆心C为AB的垂直平分线和直线的交点,中点为斜率为1,垂直平分线方程为即分联立,解得,即圆心,半径分所求圆方程为分Ⅱ,分圆心到AB的距离为分到AB距离的最大值为分面积的最大值为分解：根据椭圆的对称性,,两点必在椭圆C上,又的横坐标为1,椭圆必不过,,,三点在椭圆C上．把,代入椭圆C,得：,解得,,椭圆C的方程为；证明：当斜率不存在时,设l：,,,直线与直线的斜率的和为,,解得,此时l过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足．当斜率存在时,设l：,,,,联立,整理,得,, ,则,,又,,此时,存在k,使得成立,直线l的方程为,当时,,过定点．22．解：（1）假设是上的奇函数，则对任意的，都有（*）取，得，即，解得，此时，所以，，从而，这与（*）矛盾，所以假设不成立，所以不是上的奇函数；（2）①当时，对称轴，所以在上单减，在上单增，在上单减，不符；②当时，对称轴，所以在上单减，在上单增，在上单减，不符；③当时，对称轴，所以在上单调递减，在上单调递减，所以是上的单调减函数．综上，．（3）①当时，由（2）知，是上的单调减函数，至多个零点，不符；②当时，由（2）知，，所以在上单调递减，所以在上至多个零点，不符；③当时，由（2）知，，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．因为在区间上恰有个零点，所以，，，解得或又，故综上，实数的取值范围是2019-2020学年高二数学上学期期中试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.已知集合,,则=( )A. B. C. D.2. 已知,,,则a,b,c的大小关系为( )A. B. C. D.3. 命题“,”的否定是( )A. ,B. ,C. ,D. ,已知直线,直线,且,则m的值为（）A. B. C. 或 D. 或5. 已知是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则6. 在中,若点D满足,则( )A. B. C. D.7. 为了得到函数的图象,可以将函数的图象A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向右平移个单位D. 向左平移个单位8. 若x,,且,则的最小值是A. 5B.C.D.9. 设D为椭圆上任意一点,,,延长AD至点P,使得,则点P的轨迹方程为( )A. B.C. D.已知圆,直线l：,若圆上恰有4个点到直线l的距离都等于1,则b的取值范围为( )B. C. D.已知,分别是椭圆的左、右焦点,P为椭圆上一点,且为坐标原点,若,则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.12. 设函数的定义域为,若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则实数的范围是（）A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 一个骰子连续投2次,点数积大于21的概率为_________．14. 过圆上一点作圆的切线, 则该切线的方程为_________．已知A,B,C,D是同一球面上的四个点,其中是正三角形,平面ABC,,则该球的体积为_________．已知棱长为的正方体中，点分别是的中点，又分别在线段上，且.设平面平面，现有下列结论：①平面；②；③与平面不垂直；④当变化时，不是定直线.其中不成立的结论是 .（填写所有不成立结论的编号）解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（本小题满分10分）设等差数列的前n项和为,若,．求数列的通项公式；设,若的前n项和为,证明：．（本小题满分12分）某学校随机抽取部分学生调查其上学路上所需时间单位：分钟,并将所得数据制成频率分布直方图如图,若上学路上所需时间的范围为,样本数据分组为,．求直方图中a的值；如果上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿,若招收学生1200人,请估计所招学生中有多少人可以申请住宿；求该校学生上学路上所需的平均时间．（本小题满分12分）如图,正三棱柱中,各棱长均为4,M、N分别是的中点．求证：平面；求直线AB与平面所成角的余弦值．（本小题满分12分）已知以点C为圆心的圆经过点和,且圆心在直线上．Ⅰ求圆C的方程；Ⅱ设点P在圆C上,求的面积的最大值．（本小题满分12分）已知椭圆,四点,,,中恰有三点在椭圆C上求C的方程；设直线l不经过点，且与C相交于两点.若直线与直线的斜率的和为,证明：l过定点．22.（本小题满分12分）设为实数，函数，.（1）求证：不是上的奇函数；（2）若是上的单调函数，求实数的值；（3）若函数在区间上恰有个不同的零点，求实数的取值范围.2018级高二上学期期中考试数学卷参考答案选择题123456789101112 C C B D D D B A B D A A 填空题14. 15. 16. ④三、填空题17.解：等差数列的公差为d,由,得,又由,得,由上可得等差数列的公差,；证明：由题意得．所以．18.解：由,解得．上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿,招收学生1200人,估计所招学生中有可以申请住宿人数为：．该校学生上学路上所需的平均时间为：．19.证明：因为且M为BC的中点,所以,又在正三棱柱中,因为平面平面ABC,平面ABC,且平面平面,所以平面,因为平面,所以,因为M,N分别为BC,的中点,所以,又因为,,所以≌,所以,,所以,所以,又因为平面,平面,,所以平面．解：设,由可知平面,所以AO为斜线AB在平面内的射影,所以为AB与平面所成的角,由题可知,所以为等腰三角形,作于E,则E为AB的中点,所以,由等面积法可知,在中,,所以,所以直线AB与平面所成的角的余弦值为．解：Ⅰ依题意,所求圆的圆心C为AB的垂直平分线和直线的交点,中点为斜率为1,垂直平分线方程为即分联立,解得,即圆心,半径分所求圆方程为分Ⅱ,分圆心到AB的距离为分到AB距离的最大值为分面积的最大值为分解：根据椭圆的对称性,,两点必在椭圆C上,又的横坐标为1,椭圆必不过,,,三点在椭圆C上．把,代入椭圆C,得：,解得,,椭圆C的方程为；证明：当斜率不存在时,设l：,,,直线与直线的斜率的和为,,解得,此时l过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足．当斜率存在时,设l：,,,,联立,整理,得,, ,则,,又,,此时,存在k,使得成立,直线l的方程为,当时,,过定点．22．解：（1）假设是上的奇函数，则对任意的，都有（*）取，得，即，解得，此时，所以，，从而，这与（*）矛盾，所以假设不成立，所以不是上的奇函数；（2）①当时，对称轴，所以在上单减，在上单增，在上单减，不符；②当时，对称轴，所以在上单减，在上单增，在上单减，不符；③当时，对称轴，所以在上单调递减，在上单调递减，所以是上的单调减函数．综上，．（3）①当时，由（2）知，是上的单调减函数，至多个零点，不符；②当时，由（2）知，，所以在上单调递减，所以在上至多个零点，不符；③当时，由（2）知，，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．因为在区间上恰有个零点，所以，，，解得或又，故综上，实数的取值范围是。

2019-2020学年高二数学上学期周练试题四理一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.执行左下图所示的程序框图，则输出的值为( )A. 4B. 5C. 6D. 72.如上图所示的茎叶图为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的，，，，为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）A. ，B. ，C. ，D. ，3.现有200根相同的圆钢（即圆柱形钢筋），把它们堆放成一个三角形垛，使剩余的圆钢最少，那么剩余的圆钢有（）A．20根B．15根C．10根D．9根4.等比数列{an}的首项a1=4，前n项和为Sn，若S6=9S3，则数列{log2 an }的前10项和为（）A. 65B. 75C. 90D. 1105.某班进行了一次数学测试，全班学生的成绩都落在区间[50，100]内，其成绩的频率分布直方图如图所示，则该班学生这次数学测试成绩的中位数的估计值为（）A. 81.5B. 82C. 81.25D. 82.56.已知△ABC的三边长成等差数列，公差为2，且最大角的正弦值为，则该三角形的周长是（）A．9 B．12 C．15 D．187.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，设A（a1009，1），B （2，﹣1），C（2，2）为坐标平面上三点，O为坐标原点，若向量与在向量方向上的投影相同，则S2017为（）A．﹣2016 B．﹣2017 C．2017 D．0 8.两个相关变量满足如下关系：225根据表格已得回归方程：=9.4x+9.2，表中有一数据模糊不清，请推算该数据是( )A．37 B．38.5 C．39 D．40.59.若直线xcosα+ysinα﹣1=0与圆（x﹣1）2+（y﹣sinα）2=相切，α为锐角，则斜率k=（）A．B．C．D．10.若直线与圆有两个不同交点，则点与圆的位置关系是（）A．点在圆上 B．点在圆内 C. 点在圆外 D．不能确定11.对一切实数x，若不等式x4+(a -1)x2+1≥0恒成立，则a的取值范围是（）A.a ≥-1B.a ≥0C.a ≤3D.a ≤112．正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，关于直线A1O，下列说法正确的是（）A. B. C. 平面 D. 平面13.设实数x，y满足，向量=（2x﹣y，m），=（﹣1，1）．若∥，则实数m的最大值为．14. .在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=9上有且仅有四个点到直线12x﹣5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是．15.我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举.这个伟大创举与古希腊的算法—“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入时，输出的a=_____.16.在正三棱锥中，分别是棱的中点，且,若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是 .三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明或演算步骤)17. （本小题满分10分）已知，，分别为三个内角，，的对边，向量，且．（1）求角的大小；（2）若，且面积为，求边的长．18. （本小题满分12分）某工厂新研发了一种产品，该产品每件成本为5元，将该产品按事先拟定的价格进行销售，得到如下数据：（1）求销量y（件）关于单价x（元）的线性回归方程；（2）若单价定为10元，估计销量为多少件；（3）根据销量y关于单价x的线性回归方程，要使利润P最大，应将价格定为多少？参考公式：，.参考数据：，19. （本小题满分12分）等差数列{an}的首项，公差，前n项和Sn满足.（1）求数列{an}的通项公式；（2）若，数列的前n项和为Tn，试比较的大小.20. (本小题12分)某县一中计划把一块边长为20米的等边△ABC的边角地开辟为植物新品种实验基地，图中DE需要把基地分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC 上.（1）设，使用x表示y的函数关系式；（2）如果ED是灌溉输水管道的位置，为了节约，ED的位置应该在哪里？求出ED的最小值.21. （本小题满分12分）如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形, PD=DC ,PD⊥平面ABCD,点E是PC的中点,点F在PB上,EF⊥PB.(1) 求证: PA∥平面EDB.(2) 求证: PB⊥DF.22. （本小题满分12分）已知圆C圆心坐标为点为坐标原点，x轴、y轴被圆C截得的弦分别为OA、OB.（1）证明：△OAB的面积为定值；（2）设直线与圆C交于M，N两点，若，求圆C的方程.高二上学期理A数学周练四试题答案1.C 解，故选C.2.B 解：由程序框图可知，框图统计的是成绩不小于和成绩不小于且小于的人数，由茎叶图可知，成绩不小于的有个，成绩不小于且小于的有个，故，．3.C4.A 解：设公比为，由，知，且，即，即，所以。

2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题1.抛物线的焦点是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先判断焦点的位置，再从标准型中找出即得焦点坐标.【详解】焦点在轴上，又，故焦点坐标为，故选D.【点睛】求圆锥曲线焦点坐标，首先要把圆锥曲线的方程整理为标准方程，从而得到焦点的位置和焦点的坐标.2.“”是“直线与直线垂直”的（）．A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】当直线与直线垂直时，，即，∴“”是“直线与直线垂直”的既不充分也不必要条件．3.若双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，且，则等于( )A. 11B. 9C. 5D. 3【答案】B【解析】【分析】由双曲线定义可构造方程求得结果.【详解】由双曲线定义可知：又故选：【点睛】本题考查双曲线定义的应用，属于基础题.4.直线被圆(为参数)截得的弦长为( )A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】将圆的参数方程化为普通方程，可确定圆心和半径；利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离；根据垂径定理求得弦长.【详解】由圆的参数方程可得圆的普通方程为：圆是以为圆心，为半径的圆圆心到直线距离弦长为故选：【点睛】本题考查直线被圆截得的弦长问题的求解，涉及到参数方程化普通方程、点到直线距离公式和垂径定理的应用，属于常考题型.5.如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将代入椭圆方程求得，可表示出，由垂直关系可知，从而构造出关于的齐次方程，由求得结果.【详解】将代入椭圆方程得：，又椭圆焦点，故选：【点睛】本题考查椭圆离心率的求解问题，关键是能够利用垂直关系构造出关于的齐次方程，从而根据求得离心率.6.设α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题中正确的为（）A. 若m∥n，n⊂α，则m∥αB. 若m∥α，n⊂α，则m∥nC. 若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD. 若m⊥β，m⊂α，则α⊥β【答案】D【解析】分析】在A中，m与α相交、平行或m⊂α；在B中，m与n平行或异面；在C中，m与β相交、平行或m⊂β；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【详解】由α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，得：在A中，若m∥n，n⊂α，则m与α相交、平行或m⊂α，故A 错误；在B中，若m∥α，n⊂α，则m与n平行或异面，故B错误；在C中，若α⊥β，m⊂α，则m与β相交、平行或m⊂β，故C 错误；在D中，若m⊥β，m⊂α，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．7.已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为（）A 4 B. 8 C. 16 D. 32【答案】B【解析】【详解】F（2，0）,K（-2，0），过A作AM⊥准线，则|AM|=|AF|，∴|AK|=|AM|，三角形APM为等腰直角三角形，设A（m2，2m）（m＞0）,由得，解得则△AFK的面积=4×2m•=4m=8,故选：B.【此处有视频，请去附件查看】8.已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A. B. C. 1 D. 2【答案】A【解析】【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理，正弦定理即可得到结论．【详解】法1：设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，，半焦距为，则，设，，且，椭圆离心率为，双曲线离心率为，在中，由余弦定理得：，由椭圆和双曲线定义可得：，，，令，当时，，即由双曲线的对称性可知，当时，结论一致，的最大值为.法2：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，，半焦距为，则，则a1+a2＝m，则，由正弦定理得＝，即＝sin（120°﹣θ）≤＝.故选：A．【点睛】本题考查椭圆和双曲线离心率的求解问题，涉及到椭圆和双曲线定义、余弦，正弦定理的应用、函数最值的求解等知识，属于中档题.二、填空题9.已知直线的参数方程为为参数，则直线的倾斜角为_____________．【答案】【解析】【分析】先消去参数，化为普通方程，然后求解斜率，可得倾斜角.【详解】因为，所以，两式相除可得，斜率为，故倾斜角为.【点睛】本题主要考查直线的参数方程，掌握常用消参的方法是求解的关键.10.若圆与圆相切，则实数______.【答案】或9.【解析】分析：首先将圆C的方程化为标准方程，根据两圆相切，得到两圆心之间的距离要么等于两半径和，要么等于两半径差，得出相应的等量关系式，从而求得相应的结果.详解：圆C：可化为，因为与圆C相切，所以或，所以或，故答案是或点睛：该题考查的是有关两圆的位置关系的问题，根据两圆相切，得到两圆内切或外切，从而得到两圆心之间的距离所满足的关系式，从而求得结果，在解题的过程中，需要注意相切应分为外切和内切两种情况.11.若方程表示的是焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】根据椭圆标准方程的形式和焦点位置可构造不等式求得结果.【详解】由题意得：，解得：的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查根据椭圆焦点所在轴求解参数范围的问题，属于基础题.12.直线与双曲线相交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是_____.【答案】【解析】分析】由中点坐标公式可知，；利用点差法可求得直线斜率，进而得到直线方程.【详解】设，为中点，由两式作差可得：直线斜率直线方程为：，即故答案为：【点睛】本题考查根据弦中点求解直线方程的问题，关键是能够熟练应用点差法，将直线的斜率与中点坐标之间的关系表示出来，从而求得直线斜率.13.已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程是_____.【答案】【解析】【分析】由圆方程得到圆心和半径，根据两圆关于直线对称可知圆心关于直线对称，半径相同；由点关于直线对称点的求解方法构造方程求得圆的圆心，进而得到圆的标准方程.【详解】由圆的方程可知圆的圆心为，半径为设圆的圆心为与关于直线对称，解得：圆的圆心为，半径为圆的标准方程为：故答案为：【点睛】本题考查圆关于直线的对称圆的求解，关键是明确两圆关于直线对称则圆心关于直线对称，半径相同，进而利用点关于直线对称点的求解方法求得对称圆的圆心.14.已知椭圆：的两个焦点分别为和，短轴的两个端点分别为和，点在椭圆上，且满足，当变化时，给出下列三个命题：①点的轨迹关于轴对称；②的最小值为2；③存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个，其中，所有正确命题的序号是__________．【答案】①②【解析】分析：运用椭圆的定义可得也在椭圆上，分别画出两个椭圆的图形，即可判断①正确；由图象可得当的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，的值取得最小，即可判断②正确；通过的变化，可得③不正确.详解：椭圆的两个焦点分别为和，短轴的两个端点分别为和，设，点在椭圆上，且满足，由椭圆定义可得，，即有在椭圆上，对于①，将换为方程不变，则点的轨迹关于轴对称，故①正确.；对于②，由图象可得，当满足，即有，即时，取得最小值，可得时，即有取得最小值为，故②正确；对于③，由图象可得轨迹关于轴对称，且，则椭圆上满足条件的点有个，不存在使得椭圆上满足条件的点有个，故③不正确.，故答案为①②.点睛：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的定义以及椭圆的简单性质，属于难题. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、离心率等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.三、解答题15.已知动点与平面上点，的距离之和等于.(1)试求动点轨迹方程.(2)设直线与曲线交于、两点，当时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由椭圆定义可知所求轨迹为，的椭圆，进而求得，从而得到所求轨迹；（2）将直线方程代入椭圆方程，得到韦达定理的形式；由弦长公式可构造方程求得，进而得到结果.【详解】（1）由椭圆定义可知点轨迹是以为焦点的椭圆，且，动点的轨迹方程为：（2）将直线代入椭圆方程得：则设，，，解得：直线的方程为：【点睛】本题考查轨迹方程的求解、弦长公式的应用；关键是能够熟练掌握椭圆的定义，进而得到动点所满足的方程，属于基础题.16.如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，，且，.(1)若点为上一点且，证明：平面.(2)求二面角的大小.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）作，根据比例关系可知，从而可证得四边形为平行四边形，进而得到，由线面平行判定定理可证得结论；（2）根据垂直关系可以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）作交于，连接又且且四边形为平行四边形平面，平面平面（2）平面，平面又，则可以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系则，，，，，设平面法向量则，令，则，设平面的法向量则，令，则，二面角为锐二面角二面角的大小为【点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；关键是能够熟练掌握空间向量法求解立体几何中的角度问题的方法；需注意的是，法向量的夹角可能为二面角，也可能为二面角的补角.17.在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与圆相切，与椭圆相交于两点，求证：是定值.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用离心率可得，进而得到；将点代入椭圆方程可求得，从而得到椭圆方程；（2）①当直线斜率不存在时，可求得坐标，从而得到，得到；②当直线斜率存在时，设直线方程为，由直线与圆相切可得到；将直线方程与椭圆方程联立可得到韦达定理的形式，从而表示出，整理可得，得到；综合两种情况可得到结论.【详解】（1）由题意得：，即椭圆方程为将代入椭圆方程得：椭圆的方程为：（2）①当直线斜率不存在时，方程为：或当时，，，此时当时，同理可得②当直线斜率存在时，设方程为：，即直线与圆相切，即联立得：设，，代入整理可得：综上所述：为定值【点睛】本题考查根据椭圆上的点求解椭圆方程、直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解；求解定值问题的关键是能够将所求量表示为韦达定理的形式，进而通过整理化简，消去变量得到常数，从而得到结果.18.设、分别为椭圆的左右顶点，设点为直线上不同于点的任意一点，若直线、分别与椭圆相交于异于、的点、.（1）判断与以为直径的圆的位置关系（内、外、上）并证明.（2）记直线与轴的交点为，在直线上，求点，使得.【答案】（1）点在以为直径的圆内，证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）设，，由在椭圆上可得且；由三点共线可得，表示出，可整理得到，从而可知为锐角，得到为钝角，从而得到在以为直径的圆内；（2）设，，由三点共线得到；根据可知，从而构造出关于的方程，求得，进而得到，求得点坐标.【详解】（1）点在以为直径的圆内．证明如下：由已知可得，，设，，在椭圆上，…①又点异于顶点，由三点共线可得：，即，…②将①代入②化简可得：为锐角，为钝角在以为直径的圆内（2）设，由三点共线可得：，即又等价于，，，解得：，【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到点与圆的位置关系的判定、共线向量的坐标表示等知识；关键是能够通过三点共线构造方程，从而减少变量的个数，进而利用已知条件中的等量关系求得结果.2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题1.抛物线的焦点是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先判断焦点的位置，再从标准型中找出即得焦点坐标.【详解】焦点在轴上，又，故焦点坐标为，故选D.【点睛】求圆锥曲线焦点坐标，首先要把圆锥曲线的方程整理为标准方程，从而得到焦点的位置和焦点的坐标.2.“”是“直线与直线垂直”的（）．A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】当直线与直线垂直时，，即，∴“”是“直线与直线垂直”的既不充分也不必要条件．3.若双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，且，则等于( )A. 11B. 9C. 5D. 3【答案】B【解析】【分析】由双曲线定义可构造方程求得结果.【详解】由双曲线定义可知：又【点睛】本题考查双曲线定义的应用，属于基础题.4.直线被圆(为参数)截得的弦长为( )A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】将圆的参数方程化为普通方程，可确定圆心和半径；利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离；根据垂径定理求得弦长.【详解】由圆的参数方程可得圆的普通方程为：圆是以为圆心，为半径的圆圆心到直线距离弦长为故选：【点睛】本题考查直线被圆截得的弦长问题的求解，涉及到参数方程化普通方程、点到直线距离公式和垂径定理的应用，属于常考题型.5.如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】将代入椭圆方程求得，可表示出，由垂直关系可知，从而构造出关于的齐次方程，由求得结果.【详解】将代入椭圆方程得：，又椭圆焦点，故选：【点睛】本题考查椭圆离心率的求解问题，关键是能够利用垂直关系构造出关于的齐次方程，从而根据求得离心率.6.设α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题中正确的为（）A. 若m∥n，n⊂α，则m∥αB. 若m∥α，n⊂α，则m∥nC. 若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD. 若m⊥β，m⊂α，则α⊥β【答案】D【解析】分析】在A中，m与α相交、平行或m⊂α；在B中，m与n平行或异面；在C中，m与β相交、平行或m⊂β；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【详解】由α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，得：在A中，若m∥n，n⊂α，则m与α相交、平行或m⊂α，故A错误；在B中，若m∥α，n⊂α，则m与n平行或异面，故B错误；在C中，若α⊥β，m⊂α，则m与β相交、平行或m⊂β，故C错误；在D中，若m⊥β，m⊂α，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．7.已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为（）A 4 B. 8 C. 16 D. 32【答案】B【解析】【详解】F（2，0）,K（-2，0），过A作AM⊥准线，则|AM|=|AF|，∴|AK|=|AM|，三角形APM为等腰直角三角形，设A（m2，2m）（m＞0）,由得，解得则△AFK的面积=4×2m•=4m=8,故选：B.【此处有视频，请去附件查看】8.已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A. B. C. 1 D. 2【答案】A【解析】【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理，正弦定理即可得到结论．【详解】法1：设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，，半焦距为，则，设，，且，椭圆离心率为，双曲线离心率为，在中，由余弦定理得：，由椭圆和双曲线定义可得：，，，令，当时，，即由双曲线的对称性可知，当时，结论一致，的最大值为.法2：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，，半焦距为，则，则a1+a2＝m，则，由正弦定理得＝，即＝sin（120°﹣θ）≤＝.故选：A．【点睛】本题考查椭圆和双曲线离心率的求解问题，涉及到椭圆和双曲线定义、余弦，正弦定理的应用、函数最值的求解等知识，属于中档题.二、填空题9.已知直线的参数方程为为参数，则直线的倾斜角为_____________．【答案】【解析】【分析】先消去参数，化为普通方程，然后求解斜率，可得倾斜角.【详解】因为，所以，两式相除可得，斜率为，故倾斜角为.【点睛】本题主要考查直线的参数方程，掌握常用消参的方法是求解的关键.10.若圆与圆相切，则实数______.【答案】或9.【解析】分析：首先将圆C的方程化为标准方程，根据两圆相切，得到两圆心之间的距离要么等于两半径和，要么等于两半径差，得出相应的等量关系式，从而求得相应的结果.详解：圆C：可化为，因为与圆C相切，所以或，所以或，故答案是或点睛：该题考查的是有关两圆的位置关系的问题，根据两圆相切，得到两圆内切或外切，从而得到两圆心之间的距离所满足的关系式，从而求得结果，在解题的过程中，需要注意相切应分为外切和内切两种情况.11.若方程表示的是焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】根据椭圆标准方程的形式和焦点位置可构造不等式求得结果.【详解】由题意得：，解得：的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查根据椭圆焦点所在轴求解参数范围的问题，属于基础题.12.直线与双曲线相交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是_____.【答案】【解析】分析】由中点坐标公式可知，；利用点差法可求得直线斜率，进而得到直线方程.【详解】设，为中点，由两式作差可得：直线斜率直线方程为：，即故答案为：【点睛】本题考查根据弦中点求解直线方程的问题，关键是能够熟练应用点差法，将直线的斜率与中点坐标之间的关系表示出来，从而求得直线斜率.13.已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程是_____.【答案】【解析】【分析】由圆方程得到圆心和半径，根据两圆关于直线对称可知圆心关于直线对称，半径相同；由点关于直线对称点的求解方法构造方程求得圆的圆心，进而得到圆的标准方程.【详解】由圆的方程可知圆的圆心为，半径为设圆的圆心为与关于直线对称，解得：圆的圆心为，半径为圆的标准方程为：故答案为：【点睛】本题考查圆关于直线的对称圆的求解，关键是明确两圆关于直线对称则圆心关于直线对称，半径相同，进而利用点关于直线对称点的求解方法求得对称圆的圆心.14.已知椭圆：的两个焦点分别为和，短轴的两个端点分别为和，点在椭圆上，且满足，当变化时，给出下列三个命题：①点的轨迹关于轴对称；②的最小值为2；③存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个，其中，所有正确命题的序号是__________．【答案】①②【解析】分析：运用椭圆的定义可得也在椭圆上，分别画出两个椭圆的图形，即可判断①正确；由图象可得当的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，的值取得最小，即可判断②正确；通过的变化，可得③不正确.详解：椭圆的两个焦点分别为和，短轴的两个端点分别为和，设，点在椭圆上，且满足，由椭圆定义可得，，即有在椭圆上，对于①，将换为方程不变，则点的轨迹关于轴对称，故①正确.；对于②，由图象可得，当满足，即有，即时，取得最小值，可得时，即有取得最小值为，故②正确；对于③，由图象可得轨迹关于轴对称，且，则椭圆上满足条件的点有个，不存在使得椭圆上满足条件的点有个，故③不正确.，故答案为①②.点睛：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的定义以及椭圆的简单性质，属于难题. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、离心率等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.三、解答题15.已知动点与平面上点，的距离之和等于.(1)试求动点轨迹方程.(2)设直线与曲线交于、两点，当时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由椭圆定义可知所求轨迹为，的椭圆，进而求得，从而得到所求轨迹；（2）将直线方程代入椭圆方程，得到韦达定理的形式；由弦长公式可构造方程求得，进而得到结果.【详解】（1）由椭圆定义可知点轨迹是以为焦点的椭圆，且，动点的轨迹方程为：（2）将直线代入椭圆方程得：则设，，，解得：直线的方程为：【点睛】本题考查轨迹方程的求解、弦长公式的应用；关键是能够熟练掌握椭圆的定义，进而得到动点所满足的方程，属于基础题.16.如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，，且，.(1)若点为上一点且，证明：平面.(2)求二面角的大小.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）作，根据比例关系可知，从而可证得四边形为平行四边形，进而得到，由线面平行判定定理可证得结论；（2）根据垂直关系可以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）作交于，连接又且且四边形为平行四边形平面，平面平面（2）平面，平面又，则可以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系则，，，，，设平面法向量则，令，则，设平面的法向量则，令，则，二面角为锐二面角二面角的大小为【点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；关键是能够熟练掌握空间向量法求解立体几何中的角度问题的方法；需注意的是，法向量的夹角可能为二面角，也可能为二面角的补角.17.在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与圆相切，与椭圆相交于两点，求证：是定值.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用离心率可得，进而得到；将点代入椭圆方程可求得，从而得到椭圆方程；（2）①当直线斜率不存在时，可求得坐标，从而得到，得到；②当直线斜率存在时，设直线方程为，由直线与圆相切可得到；将直线方程与椭圆方程联立可得到韦达定理的形式，从而表示出，整理可得，得到；综合两种情况可得到结论.【详解】（1）由题意得：，即椭圆方程为将代入椭圆方程得：椭圆的方程为：（2）①当直线斜率不存在时，方程为：或当时，，，此时当时，同理可得②当直线斜率存在时，设方程为：，即直线与圆相切，即联立得：设，，代入整理可得：综上所述：为定值【点睛】本题考查根据椭圆上的点求解椭圆方程、直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解；求解定值问题的关键是能够将所求量表示为韦达定理的形式，进而通过整理化简，消去变量得到常数，从而得到结果.18.设、分别为椭圆的左右顶点，设点为直线上不同于点的任意一点，若直线、分别与椭圆相交于异于、的点、.（1）判断与以为直径的圆的位置关系（内、外、上）并证明.（2）记直线与轴的交点为，在直线上，求点，使得.【答案】（1）点在以为直径的圆内，证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）设，，由在椭圆上可得且；由三点共线可得，表示出，可整理得到，从而可知为锐角，得到为钝角，从而得到在以为直径的圆内；（2）设，，由三点共线得到；根据可知，从而构造出关于的方程，求得，进而得到，求得点坐标.【详解】（1）点在以为直径的圆内．证明如下：由已知可得，，设，，在椭圆上，…①又点异于顶点，由三点共线可得：，即，…②将①代入②化简可得：为锐角，为钝角在以为直径的圆内（2）设，由三点共线可得：，即又等价于，，，解得：，【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到点与圆的位置关系的判定、共线向量的坐标表示等知识；关键是能够通过三点共线构造方程，从而减少变量的个数，进而利用已知条件中的等量关系求得结果.。