中考数学考点研究与突破【5】二次根式及其运算(含答案)

考点03 二次根式数学中考中，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算、坡比的应用几个方面；取值范围类考点多出选择填空等小题，而化简计算则多以简答题形式考察，还常和锐角三角函数、实数概念结合出题，属于中考必考题；考向一、二次根式的相关概念；考向二、二次根式的性质与化简考向三、二次根式的运算；考向四、二次根式的应用考向一：二次根式的相关概念1.平方根与二次根式【易错警示】1．下列式子一定是二次根式的是（ ）A．B．C．D．【分析】直接利用二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式分别分析得出答案．【解答】解：A、，a有可能小于0，故不一定是二次根式，不合题意；B、，若﹣1＜b＜1，a＞1时，无意义，不合题意；C、，（a﹣1）2≥0，故一定是二次根式，符合题意；D、，若﹣1＜a＜1时，无意义，不合题意；故选：C．2．12的平方根为　±　．【分析】由平方根的概念即可求解．【解答】解：12的平方根为±，故答案为：±．3．的算术平方根是（ ）A．5B．﹣5C．D．【分析】一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．【解答】解：∵＝5，∴的算术平方根是．故选：C．4．若（a +）2与|b ﹣1|互为相反数，则a +b 的值是（ ）A ．B ．+1C ．﹣1D ．1﹣【分析】先根据非负数的性质求出a ，b 的值，进而可得出结论．【解答】解：∵（a +）2与|b ﹣1|互为相反数，∴（a +）2+|b ﹣1|＝0，∴a +＝0，b ﹣1＝0，∴a ＝﹣，b ＝1，∴a +b ＝+1．故选：B ．5．已知n 是一个正整数，且是整数，那么n 的最小值是（ ）A ．6B ．36C ．3D ．2【分析】先把＝2，从而判断出6n 是完全平方数，所以得出答案正整数n 的最小值是6．【解答】解：＝2，则6n 是完全平方数，∴正整数n 的最小值是6，故选：A ．2..同类二次根式与最简二次根式【易错警示】、都是二次根式。

考点03 分式与二次根式一、分式 1．分式的定义（1）一般地，整式A 除以整式B ，可以表示成A B 的形式，如果除式B 中含有字母，那么称A B为分式．（2）分式AB中，A 叫做分子，B 叫做分母． 【注意】①若B ≠0，则AB有意义；②若B =0，则AB无意义；③若A =0且B ≠0，则AB=0．2．分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． 用式子表示为(0)A A C C B B C ⋅=≠⋅或(0)A A C C B B C÷=≠÷，其中A ，B ，C 均为整式． 3．约分及约分法则 （1）约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分． （2）约分法则把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分．【注意】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式． 4．最简分式分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．【注意】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式． 5．通分及通分法则 （1）通分根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分． （2）通分法则把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式； ③若分母是多项式，则先分解因式，再通分．【注意】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母． 6．最简公分母几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 7．分式的运算 （1）分式的加减①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减． 用式子表示为：a c a cb b b±±=． ②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减． 用式子表示为：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=． （2）分式的乘法乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 用式子表示为：a c a cb d b d⋅⋅=⋅． （3）分式的除法除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘． 用式子表示为：a c a d a db d bc b c⋅÷=⋅=⋅． （4）分式的乘方乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：()(nn n a a n b b=为正整数，0)b ≠．（5）分式的混合运算含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的． 二、二次根式1．二次根式的有关概念 （1）二次根式的概念形如)0(≥a a开方数．【注意】被开方数a 只能是非负数．即要使二次根式a 有意义，则a ≥0． （2）最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． （3）同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式． 2．二次根式的性质（1）a ≥ 0（a ≥0）； （2）)0()(2≥=a a a ；（3(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；（40,0)a b =≥≥；（50,0)a b ≥>． 3．二次根式的运算 （1）二次根式的加减合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式． （2）二次根式的乘除 0,0)a b =≥≥；0,0)a b≥>．（3）二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．考向一分式的有关概念1．分式的三要素：（1）形如AB的式子；（2）,A B均为整式；（3）分母B中含有字母．2．分式的意义：（1）有意义的条件是分式中的字母取值不能使分母等于零，即0B≠．（2）无意义的条件是分母为0．（3）分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0．典例1x的取值范围是A．x≥4B．x>4 C．x≤4D．x<4 【答案】D4-x>0，解得：x<4，即x的取值范围是：x<4，故选D．【名师点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．1．若分式21xx-在实数范围内无意义，则x的取值范围是A．x≠1 B．x=1C．x=0 D．x>1考向二分式的基本性质分式基本性质的应用主要反映在以下两个方面：（1）不改变分式的值，把分式的分子、分母中各项的系数化为整数；（2）分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．典例2 分式233x yxy+中的x、y的值都扩大到原来的2倍，则分式的值为A．扩大为原来2倍B．缩小为原来的12倍C．不变D．缩小为原来的14倍【答案】B【解析】∵若x、y的值都扩大到原来的2倍，则为()()()2234623123 12432323x yx y x y x y xy xy xy xy++++===⋅∴把分式233x yxy+中的x、y的值都扩大到原来的2倍，则分式的值为原来的12，故选B．【名师点睛】本题考查了分式的基本概念和性质的相关知识．这类题目的一个易错点是：在没有充分理解题意的情况下简单地通过分式的基本性质得出分式值不变的结论．对照分式的基本性质和本题的条件不难发现，本题不符合分式基本性质所描述的情况，不能直接利用其结论．因此，在解决这类问题时，要注意认真理解题意．2．下列变形正确的是A．ab=22ab++B．0.220.1a b a bb b++=C．ab–1=1ab-D．ab=22(1)(1)a mb m++考向三分式的约分与通分1．约分与通分都是根据分式的基本性质，对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值；2．约分是针对一个分式而言，约分可使分式变得简单；3．通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式．典例3 关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确A．21 1x x +-约分的结果是1xB ．分式211x -与11x -的最简公分母是x -1 C ．22xx 约分的结果是1 D ．化简221x x --211x -的结果是1【答案】D 【解析】A 、211x x +-=11x -，故本选项错误； B 、分式211x -与11x -的最简公分母是x 2-1，故本选项错误； C 、22x x =2x ，故本选项错误；D 、221x x --211x -=1，故本选项正确，故选D ．【名师点睛】本题主要考查分式的通分和约分，这是分式的重要知识点，应当熟练掌握． 3．下列分式中，是最简分式的是A ．2xyxB ．222x y-C ．22x y x y +-D ．22xx + 考向四 分式的运算（1）分式的加减运算：异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母．（2）分式的乘除运算：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去．（3）分式的乘方运算，先确定幂的符号，遵守“正数的任何次幂都是正数，负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数”的原则．（4）分式的混合运算有乘方，先算乘方，再算乘除，有时灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．注意运算顺序，计算准确．典例4 化简：2291(1)362m m m m -÷---．【解析】2291(1)362m m m m -÷--- 33m m+=．【名师点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．4．先化简，再求值：2221()211x xx x x x+÷--+-，其中x=4．考向五二次根式的概念与性质1．二次根式的意义：首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，这样就转化为解不等式或不等式组问题，如有分母时还要注意分式的分母不为0．2．利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．典例5 函数yA．x>0且x≠0B．x≥0且x≠12C．x≥0D．x≠12【答案】B【解析】根据题意得，x≥010≠，∴x≥0且x≠12．故选B．【名师点睛】本题考查了函数自变量取值范围的求法．要使得本题函数式子有意义，必须满足被开方数是非负数且分母不为零．5．已知：x>4=__________．典例6 下列二次根式是最简二次根式的是A B C D【答案】C【解析】A=，故原选项不是最简二次根式；B=C是最简二次根式；D =4，故原选项不是最简二次根式， 故选C ．6；．其中是最简二次根式的有 A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个考向六 二次根式的运算1．二次根式的运算（1）二次根式的加减法就是把同类二次根式进行合并．（2）二次根式的乘除法要注意运算的准确性；要熟练掌握被开方数是非负数．（3）二次根式混合运算先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）． 2．比较分式与二次根式的大小（1）分式：对于同分母分式，直接比较分子即可，异分母分式通常运用约分或通分法后作比较； （2）二次根式：可以直接比较被开方数的大小，也可以运用平方法来比较． 典例7 下列计算正确的是A =B 6=C 5=D 4=【答案】A【解析】A 、原式-B 、原式CD 、原式，错误， 故选A ．7．计算：（1（2）（–2．典例8 比较大小：__________5（填“>” “<”或“=”）． 【答案】>【解析】因为2228,525==，28>25，所以>5．故答案为：>．【名师点睛】比较二次根式的大小，可以转化为比较被开方数的大小，也可以将两个数平方，计算出结果，再比较大小．8．设a b 1，c，则a ，b ，c 之间的大小关系是 A ．c >b >a B ．a >c >b C ．b >a >cD ．a >b >c1(2)a -有意义，则实数a 的取值范围是 A ．1a ≥B ．2a ≠C ．1a ≥-且2a ≠D ．a >22．若分式293x x -+的值为零，则x 值为A ．x =±3B ．x =0C ．x =-3D ．x =33．下列式子是最简二次根式的是ABCD ．4．在化简分式23311x x x-+--的过程中，开始出现错误的步骤是 A ．33(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x -+-+-+-B ．331(1)(1)x x x x --++-C ．22(1)(1)x x x --+-D ．21x -- 5．下列关于分式的判断，正确的是A ．当x =2时，12x x +-的值为零 B ．当x ≠3时，3x x -有意义C ．无论x 为何值，31x +不可能得整数值D ．无论x 为何值，231x +的值总为正数6．计算33a a a +-的结果是 A ．6a a + B ．6a a-C ．1aD ．17a 的值为 A ．1 B ．2C ．23D ．328．化简2211x ax ÷--的结果是21x +，则a 的值是A ．1B ．-1C ．2D ．-29．已知 1x <，则化简的结果是 A ．1x - B ．1x - C ．1x --D ．1x +10．下列运算中错误的是AB ．＋C2D 11．若分式11x x -+的值为0，则x 的值为 A ．1B ．−1C ．±1D ．无解12 A ．2B ．21x - C ．23x -D ．41x x --13．若x 、y ()2210y -=，则x y +的值等于A ．1B ．32 C ．2D ．5214a=，则1x x+的值为 A ．22a - B ．2a C ．24a -D ．不确定15．16最接近的整数是__________．17．比较大小：>、<、或=”）18．计算（-2）（-2）的结果是__________．19．已知a ，b 互为倒数，代数式222a ab b a b+++_____________．20．若1112a b -=，则a b abab a b--=-__________．21．计算：（10)a ≥；（2．22．先化简，再求值：22(1)a b a b a b -÷--，其中1a =，1b =． 23．先化简：22144(1)1m m m m m-+-÷--，再从-1≤m ≤2中选取合适的整数代入求值． 24．先化简，再求值：22121(1)1121m m m m m --÷-+--+，其中m 为一元二次方程230x x +-=的根． 25．先化简，再求代数式21211a aa a a -÷-+-的值，其中a =2cos30°．1．（2019•常州）若代数式13x x +-有意义，则实数x 的取值范围是A ．x =-1B ．x =3C ．x ≠-1D ．x ≠32．（2019x 的取值范围是 A ．x >0 B ．x ≥-1 C ．x ≥1D ．x ≤13．（2019•黄石）若式子2x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 A ．x ≥1且x ≠2B ．x ≤1C ．x >1且x ≠2D ．x <14．（2019•山西）下列二次根式是最简二次根式的是A BCD5．（2019•贵港）若分式211x x -+的值等于0，则x 的值为A ．±1B ．0C ．-1D ．16．（2019=A ．B ．4CD ．7．（2019•扬州）分式13x-可变形为 A ．13x + B ．13x -+ C ．13x -D ．13x --8．（2019•江西）计算1a ÷（21a-）的结果为 A ．a B ．-aC ．31a -D ．31a 9．（2019·天津）计算2211a a a +++的结果是 A ．2B ．22a +C ．1D ．41aa + 10．（2019•临沂）计算21a a --a -1的正确结果是A ．11a -- B ．11a - C ．211a a ---D ．211a a --11．（2019•北京）如果m +n =1，那么代数式22221()()m n m n m mn m++⋅--的值为 A ．-3B ．-1C ．1D ．312．（2019•河北）如图，若x 为正整数，则表示22(2)1441x x x x +-+++的值的点落在 A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④13．（2019·重庆A 卷）估计 A ．4和5之间 B ．5和6之间 C ．6和7之间D ．7和8之间14．（2019有意义时，x 应满足的条件是__________．15．（2019的结果是__________．16=__________．17．（2019•吉林）计算：22yx·x y =__________．18．（2019·天津）计算1)的结果等于__________．19．（2019·南充）计算：2111x x x+=--__________．20．（2019•武汉）计算221164a a a ---的结果是__________．21．（20192）2 22．（2019•益阳）化简：2244(4)2x x x x+--÷． 23．（2019•深圳）先化简（132x -+）2144x x x -÷++，再将x =-1代入求值．24．（2019•河南）先化简，再求值：2212(1)244x x xx x x +--÷--+，其中x ． 25．（2019•烟台）先化简（x +373x --）2283x xx -÷-，再从0≤x ≤4中选一个适合的整数代入求值．26．（2019•安顺）先化简2221(1)369x x x x -+÷--+，再从不等式组24324x x x -<⎧⎨<+⎩的整数解中选一个合适的x 的值代入求值．1．【答案】B 【解析】∵分式21xx-在实数范围内无意义， ∴1-x =0，即x =1， 故选B ． 2．【答案】D【解析】A ．a b ≠22a b ++，故A 错误； B ．0.20.1a b b +=210a b b +，故B 错误；C ．a b -1=a b b-，故C 错误，故选D ． 3．【答案】D 【解析】A 、2xy x =yx，错误； B 、222x y -=1x y-，错误；C 、22x y x y +-=1x y-，错误；D 、22xx +是最简分式，正确． 故选D ．4．【解析】2221()211x x x x x x+÷--+-=2(+1)2(111)()()x x x x x x x --÷--=2()(+1)111)(x x x x x x -⋅-+=21x x -， 当x =4时，原式=2416413=-．5．【答案】B【解析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件知，必须101x x -≥⇒≥．故选B ．6．【答案】B==，=，∴ 故选B ．7．【解析】（1）原式162．（2）原式=（–4）÷2=4÷2=12． 8．【答案】D【解析】a −1），b −1，c）×−1），，∴a >b >c ．故选D ．1．【答案】C【解析】由题意得：a+1≥0，且a–2≠0，解得，1a≥-且2a≠．故选C．2．【答案】D【解析】∵分式293xx-+的值为零，∴x2-9=0且x+3≠0．解得：x=3．故选D．3．【答案】C【解析】A=B，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；CD、=故选C．4．【答案】B【解析】∵正确的解题步骤是：23311xx x-+--33(1)(1)(1)(1)(1)x xx x x x-+=-+-+-333(1)(1)x xx x---=+-，∴开始出现错误的步骤是331(1)(1)x xx x--++-．去括号是漏乘了．故选B．5．【答案】1【解析】∵x>4，∴x-4>0，∴原式=44xx--=1，故答案为：1．【名师点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 6．【答案】D 【解析】33331a a a a a++--==，故选D ． 7．【答案】D【解析】1+4a a =-，解得32a =，故选D ． 8．【答案】A 【解析】22122111111x x a x x x x +=÷==--+--，∴a =1，故选A ． 9．【答案】B【解析】∵x <1，∴x -1<0x -1|=1-x ．故选：B ． 10．【答案】B【解析】A ．原式，所以A 选项的计算正确；B ．和B 选项的计算错误C ．原式=2，所以C 选项的计算正确；D ．原式=4，所以D 选项的计算正确． 故选B ． 11．【答案】A【解析】∵分式11x x -+的值为0，∴|x |−1=0，且x +1≠0，解得：x =1．故选A ．12．【答案】B（13x -−11x -）•（x −3）=13x -•（x −3）−11x -•（x −3）=1−31x x --=21x -．故选B ． 13．【答案】B【解析】()2210y -=，∴()2121022101x x y y ⎧-=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨-=⎪⎪⎩=⎩．∴13122x y +=+=．故选B ． 14．【答案】Ax +2+1x =a ²，∴x +1x=a ²−2，故选A ． 15==．16．【答案】4<<，，故答案为：4． 17．【答案】<，因为12<18，所以18．【答案】-16【解析】原式=-（）（）=-（20-4）=-16． 故答案为：-16． 19．【答案】1【解析】对待求值的代数式进行化简，得()ab a b a b +⋅+ab =，∵a ，b 互为倒数，∴ab =1，∴原式=1．故答案为：1． 20．【答案】–32【解析】∵1112a b -=，∴a −b =−2ab ．∴原式=−22ab ab ab ab --=−2+12=−32． 故答案为：−32．21．【解析】（1）原式=4a 2．（2）原式． 22．【解析】22(1)a b a b a b-÷-- a b =+，当1a =，1b =时，原式11=23．【解析】原式=2-2(1)1(2)m m m m m -⋅-- =2mm -， 根据分式有意义的条件可知：m =-1， ∴原式=13． 24．【解析】原式=()()()22122111111m m m m m m m --+--÷++-- =()()()()21121112m m m m m m m ---⋅++-- =()1111m m m m --++ =()()11m m m m --+=()11m m + =21m m+．由m 是方程230x x +-=的根，得到23m m +=， 所以原式=13． 25．【解析】原式=2111(1)1a a a a --+÷-- =211(1)a a a a --⨯-，=1a． ∵a=2= ∴原式3=．1．【答案】D 【解析】∵代数式13x x +-有意义，∴x -3≠0，∴x ≠3．故选D ． 2．【答案】C【解析】由题意，得x -1≥0，解得x ≥1，故选C ． 3．【答案】A【解析】依题意，得x -1≥0且x -200，解得x ≥1且x ≠2．故选A ． 4．【答案】D 【解析】A 2=，故A 不符合题意； B 7=，故B 不符合题意； C =C 不符合题意；D D 符合题意．故选D ．5．【答案】D 【解析】21(1)(1)11x x x x x -+-==++x -1=0，∴x =1，经检验：x =1是原分式方程的解，故选D ． 6．【答案】B4==．故选B ．7．【答案】D 【解析】分式13x -可变形为：13x --．故选D ． 8．【答案】B 【解析】原式1a =·（-a 2）=-a ，故选B ． 9．【答案】A【解析】原式=222(1)211a a a a ++==++，故选A ． 10．【答案】B 【解析】原式()211a a a =-+-22111a a a a -=---11a =-．故选B ． 11．【答案】D【解析】原式=2()m n m n m m n ++--·（m +n ）（m -n ）=3()m m m n -·（m +n ）（m -n ）=3（m +n ）， 当m +n =1时，原式=3．故选D ．12．【答案】B 【解析】∵2222(2)1(2)111441(2)111x x x x x x x x x x ++-=-=-=+++++++， 又∵x 为正整数，∴12≤x <1，故表示22(2)1441x x x x +-+++的值的点落在②，故选B ． 13．【答案】C【解析】，又因为，所以，故选C ． 14．【答案】x >8有意义时，x -8>0，解得x >8．故答案为：x >8． 15．【答案】3，故答案为：3．16．【答案】【解析】原式==．故答案为：17．【答案】12x【解析】22y x ·12x y x =，故答案为：12x． 18．【答案】2【解析】原式=3-1=2．故答案为：2．19．【答案】x +1 【解析】2111x x x +--=2111x x x ---211x x -=-()()111x x x +-=-1x =+，故答案为：x +1． 20．【答案】14a + 【解析】原式()()()()244444a a a a a a +=-+-+-()()2444a a a a --=+-()()444a a a -=+-14a =+． 故答案为：14a +． 21．【解析】原式63⨯=7．22．【解析】原式=2(2)2(2)(2)x x x x x -⋅+- =242x x -+． 23．【解析】原式21(2)21x x x x -+=⨯+-=x +2，将x =-1代入得：原式=x +2=1．24．【解析】原式=212(2)()22(2)x x x x x x x +---÷--- =322x x x -⋅- =3x ，当x时，原式25．【解析】（x +373x --）2283x xx -÷-=（29733x x x ----）2283x xx -÷- (4)(4)3x x x +-=-·32(4)x x x -- 42x x +=，当x =1时，原式145212+==⨯．26．【解析】原式232(3)3(1)(1)x x x x x -+-=⨯-+- =31x x -+，解不等式组24324x x x -<⎧⎨<+⎩①②得-2<x <4， ∴其整数解为-1，0，1，2，3， ∵要使原分式有意义， ∴x 可取0，2．∴当x =0时，原式=-3， （或当x =2时，原式=13-）．。

考点跟踪突破5 二次根式及其运算一、选择题(每小题6分，共30分)1．(·金华)在式子1x －2，1x －3，x －2，x －3中，x 可以取2和3的是( C )A .1x －2B .1x －3C .x －2D .x －3 2．(·安徽)设n 为正整数，且n ＜65＜n ＋1，则n 的值为( D ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．83．(·泸州)已知实数x ，y 满足x －1＋|y ＋3|＝0，则x ＋y 的值为( A ) A ．－2 B ．2 C ．4 D ．－4 4．(·白银)下列计算错误的是( B ) A .2×3＝ 6 B .2＋3＝ 5 C .12÷3＝2 D .8＝2 2 5．(·内江)按如图所示的程序计算，若开始输入的n 值为2，则最后输出的结果是( C )A ．14B ．16C ．8＋5 2D ．14＋ 2 二、填空题(每小题6分，共30分) 6．(·衡阳)化简：2(8－2)＝__2__．7．已知：一个正数的两个平方根分别是2a －2和a －4，则a 的值是__2__．8．(·江西)当x ＝－4时，6－3x 的值是__32__． 9．(·福州)计算：(2＋1)(2－1)＝__1__． 10．(·杭州)已知a(a －3)＜0，若b ＝2－a ，则b 的取值范围是__2－3＜b ＜2__． 三、解答题(共40分)11．(6分)(·济宁)(2－3)·(2＋3)－2|－32|－(－2)0.解：原式＝·(2＋3)－3－1＝2＋3－3－1＝112．(12分)(1)(·成都)先化简，再求值：(a a －b －1)÷ba 2－b 2，其中a ＝3＋1，b ＝3－1；解：原式＝ba －b×（a ＋b ）（a －b ）b ＝a ＋b ，当a ＝3＋1，b ＝3－1时，原式＝2 3(2)先化简，再求值：1－2a ＋a 2a －1－a 2－2a ＋1a 2－a－1a ，其中a ＝2－ 3.解：∵a ＝2－3，∴a －1＝2－3－1＝1－3＜0，∴原式化简得（1－a ）2a －1－（a －1）2a （a －1）－1a ＝a －1－1－a a （a －1）－1a＝a －1＋1a －1a ＝a －1＝1－ 313．(7分)已知x ，y 为实数，且满足1＋x －(y －1)1－y ＝0，求x －y 的值． 解：∵1＋x －(y －1)1－y ＝0，∴1＋x ＋(1－y)1－y ＝0，∴x ＋1＝0，y －1＝0，解得x ＝－1，y ＝1，∴x －y ＝(－1)－1＝－1－1＝－214．(7分)已知m ＝－1，求m 5－2m 4－m 3的值．解：∵m ＝－1＝＋1，∴m －1＝，(m －1)2＝，∴原式＝m 3(m 2－2m －)＝m 3(m 2－2m＋1－)＝m 3＝015．(8分)已知a ，b 为有理数，m ，n 分别表示5－7的整数部分和小数部分，且amn ＋bn 2＝1，求2a ＋b 的值．解：∵4＜7＜9，即2＜7＜3，∴2＜5－7＜3，∴m ＝2，n ＝(5－7)－2＝3－7，将m ，n 代入amn ＋bn 2＝1，得a ×2×(3－7)＋b ×(3－7)2＝1，(6－27)a ＋(16－67)b －1＝0，(6a ＋16b －1)＋(－2a －6b)7＝0，∵a ，b 为有理数，∴⎩⎨⎧6a ＋16b －1＝0，－2a －6b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝32，b ＝－12.∴2a ＋b ＝2×32＋(－12)＝3－12＝52第一章 数与式自我测试一、选择题(每小题3分，共30分) 1．(·宜宾)下列运算的结果中，是正数的是( C )A ．(－)－1B ．－()－1C ．(－1)×(－)D ．(－)÷ 2．(·泰安)PM2.5是指大气中直径≤0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为( B )A ．2.5×10－7B ．2.5×10－6C ．25×10－7D ．0.25×10－53．(·丽水)在数23，1，－3，0中，最大的数是( B )A.23B ．1C ．－3D ．0 4．(·淄博)如果分式x 2－12x ＋2的值为0，则x 的值是( A )A ．1B ．0C ．－1D ．±1 5．(·东营)16的算术平方根是( D ) A ．±4 B ．4 C ．±2 D ．2 6．(·安徽)(－2)×3的结果是( C ) A ．－5 B ．1 C ．－6 D ．6 7．(·长沙)下列计算正确的是( D ) A .2＋5＝7 B ．(ab 2)2＝ab 4 C ．2a ＋3a ＝6a D ．a ·a 3＝a 4 8．(·潍坊)若代数式x ＋1（x －3）2有意义，则实数x 的取值范围是( B )A ．x ≥－1B ．x ≥－1且x ≠3C ．x ＞－1D ．x ＞－1且x ≠3 9．(·菏泽)下列计算中，正确的是( B ) A ．a 3·a 2＝a 6 B ．(π－3.14)0＝1C ．(13)－1＝－3 D .9＝±310．(·南昌)如图①，将一个边长为a 的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“”的图案，如图②所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图③所示，则新矩形的周长可表示为( B )A ．2a －3bB ．4a －8bC ．2a －4bD ．4a －10b二、填空题(每小题4分，共24分) 11．(·广安)实数m ，n 在数轴上的位置如图所示，则|n －m|＝__m －n__．12．(·株洲)分解因式：x 2＋3x(x －3)－9＝__(4x ＋3)(x －3)__．13．(·白银)化简：x 2x －2＋42－x＝__x ＋2__．14．(·攀枝花)若分式方程2＋1－kx x －2＝12－x有增根，则k ＝__1__．15．(·梅州)已知a ＋b ＝4，a －b ＝3，则a 2－b 2＝__12__． 16．(·咸宁)观察分析下列数据：0，－3，6，－3，23，－15，32，…，根据数据排列的规律得到第16个数据应是__－35__．(结果需化简)三、解答题(共46分)17．(6分)(·东营)计算：(23)－1＋(π－3.14)0－2sin 60°－12＋|1－33|.解：原式＝32＋1－2×32－23－(1－33)＝32＋1－3－23－1＋33＝3218．(6分)(·福州)先化简，再求值：(x ＋2)2＋x(2－x)，其中x ＝13.解：原式＝6x ＋4，把x ＝13代入得原式＝619．(6分)(·北京)已知x 2－4x －1＝0，求代数式(2x －3)2－(x ＋y)(x －y)－y 2的值．解：代数式化简得4x 2－12x ＋9－x 2＋y 2－y 2＝3x 2－12x ＋9＝3(x 2－4x ＋3)，∵x 2－4x ＝1，代入得原式＝1220．(6分)(·衢州)如图，将长和宽分别是a ，b 的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x 的正方形．(1)用含a ，b ，x 的代数式表示纸片剩余部分的面积；(2)当a ＝6，b ＝4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．解：(1)ab －4x 2(2)依题意得：ab －4x 2＝4x 2，将a ＝6，b ＝4，代入上式得x 2＝3，解得x ＝3(x ＝－3舍去)，∴正方形边长为 321．(6分)(·铁一中模拟)先化简，再求值：(1－1x ＋2)÷x 2＋2x ＋12x 2－8，其中x 满足(x ＋2)(x－1)＝0.解：原式＝(x ＋2x ＋2－1x ＋2)÷x 2＋2x ＋12x 2－8＝(x ＋2x ＋2－1x ＋2)×2x 2－8x 2＋2x ＋1＝2（x －2）x ＋1，解方程(x ＋2)(x －1)＝0得，x ＋2＝0或x －1＝0，所以x 1＝－2，x 2＝1，其中x ＝－2使分式1x ＋2分母为0，无意义，∴x ＝－2(舍去)，把x ＝1代入2（x －2）x ＋1得，原式＝－122．(8分)(·北京)符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：f(1)＝1＋21，f(2)＝1＋22，f(3)＝1＋23，f(4)＝1＋24，……(1)利用以上运算的规律写出f(n)＝__1＋2n__；(n 为正整数)(2)计算：f(1)·f(2)·f(3)·…·f(100)的值．解：(2)f(1)·f(2)·f(3)·…·f(100)＝(1＋21)(1＋22)(1＋23)…(1＋2100)＝31×42×53×…×102100＝101×1022＝515123．(8分)(·上海)解方程：x ＋1x －1－2x 2－1＝1x ＋1.解：去分母得：(x ＋1)2－2＝x －1，整理得：x 2＋x ＝0，即x(x ＋1)＝0，解得：x ＝0或x ＝－1，经检验x ＝－1是增根，分式方程的解为x ＝0。

2023年中考数学高频考点训练——二次根式的混合运算一、综合题1．计算（1-÷（2）先化简211(1)11x x x --÷+-，再从1-，0，1中选择合适的x 值代入求值.2．先观察下列各等式及其验证过程，然后解答问题：①验证：==；②验证：=；解答下列问题：（1）按上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；（2）针对上述各式所反映的一般规律，写出用(n n 为自然数，且2)n ≥表示的等式，并给出证明．3．观察下列式子：第1个式子：1121===-；第2个式子：＝＝＝3232--＝﹣；第3个式子：＝＝＝4343-＝﹣；…（1）仿照写出：=的计算过程；（2）根据上述规律求2020++的值．4．计算：（12．（2-14．（3）用含药30%和75%的两种防腐药水，配制含药50%的防腐药水36千克，两种药水各需多少千克？（4）甲，乙两位同学在解方程组3421ax y x by +=⎧⎨-=-⎩时，甲把字母a 看错了得到方程组的解为43x y =⎧⎨=⎩，乙把字母b 看错了得到方程组的解为22x y =-⎧⎨=⎩．求a ，b 的符合题意值及求原方程组的解．5．解答下列各题：（1）计算：（2）设实数的整数部分为a ，小数部分为b ，求(2a+b)(2a-b)的值.6．已知1+，1-，求下列代数式的值：（1）ab ；（2）a 2+ab+b 2；（3）b a a b+.7．观察下面等式：)()))222121212113121=====--；（1）仿照上面化简过程化去下列各式分母中的根号：，（2）猜想：=（n 为正整数）；（3）利用上面的规律计算：+8．阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；1==.以上这种化简过程叫做分母有理化.还可以用以下方法化简：221==.（1）请用其中一种方法化简；（2）化简：+.9．如图所示，两个等腰直角三角形拼成一个四边形，已知AB=，求：（1）△ABD 的面积．（2）四边形ABCD 的周长．10．已知22a b ==，.求下列式子的值：（1）22a b ab +（2）223a ab b -+11．已知312x =，312y -=，m xy =，22n x y =-.（1）求m ，n 的值；（2）若72m -=+，2n =，求+的值.12．利用平方根去括号可以用一个无理数构造一个整系数方程．例如：1a =时，移项-1a =，两边平方得()221a -=，所以a 2-2a+1=2，即a 2-2a-1=0。

中考数学5年真题（2019-2023）专题汇总解析—二次根式考点1二次根式一、单选题1．（2023）A．25与30之间B．30与35之间C．35与40之间D．40与45之间【答案】D【详解】解∶∵160020232025<<．即4045<，40与45之间．故选D．【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，正确估算无理数的取值范围是解题关键．2．（2023年江苏省无锡市中考数学真题）实数9的算术平方根是（）A．3B．3±C．19D．9-【答案】A【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．3=，故选：A．【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．3．（2023年重庆市中考数学真题（A卷）的值应在（）A ．7和8之间B ．8和9之间C ．9和10之间D ．10和11之间【答案】B【分析】先计算二次根式的混合运算，再估算结果的大小即可判断．=4=+∵2 2.5<<，∴45<<，∴849<+<，故选：B ．【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．4．（2019·广东·的结果是()A ．4-B ．4C ．4±D ．2【答案】B【分析】根据算术平方根的定义进行求解即可.，故选B.【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键.5．（2020·广西贵港·在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（）A ．1x <-B ．1x ≥-C ．0x ≥D ．1x ≥【答案】B【分析】根据二次根式的被开方数为非负数即可得出的取值范围．∴x＋1≥0∴x≥﹣1故选：B【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解答本题的关键是掌握二次根式有意义：被开方数为非负数．6．（2020·山东聊城·÷）．A．1B．53C．5D．9【答案】A【分析】利用二次根式的乘除法则计算即可得到结果．÷==1=，故选：A．【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．7．（2023年辽宁省大连市中考数学真题）下列计算正确的是（）A．0=B．+=C=D)26=-【答案】D【分析】根据零指数幂，二次根式的加法以及二次根式的性质，二次根式的混合运算进行计算即可求解．【详解】解：A.)1=，故该选项不正确，不符合题意；B.=C.=D.)26=-，故该选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了零指数幂，二次根式的加法以及二次根式的性质，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．8．（2021·广东·统考中考真题）若0a =，则ab =（）AB ．92C ．D ．9【答案】B【分析】根据一个实数的绝对值非负，一个非负实数的算术平方根非负，且其和为零，则它们都为零，从而可求得a 、b 的值，从而可求得ab 的值．【详解】∵0a ≥0≥，且0a =∴0a =0==即0a =，且320a b -=∴a =b∴92ab ==故选：B ．【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，一般地，几个非负数的和为零，则这几个非负数都为零．9．（2022·河北·统考中考真题）下列正确的是（）A23=+B 23=⨯CD 0.7=【答案】B【分析】根据二次根式的性质判断即可．【详解】解：23=≠+，故错误；=⨯，故正确；23=≠≠，故错误；0.7故选：B．【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．10．（2023()A．点P B．点Q C．点R D．点S【答案】B<<【详解】解：∵479<<，<<23Q，故选：B．11．（2023年河北省中考数学真题）若a b===（）A．2B．4C D【答案】A【分析】把a b【详解】解：∵a b==2==，故选：A．【点睛】本题考查了求二次根式的值，掌握二次根式的乘方和乘除运算是解题的关键．12．（2019·四川资阳·统考中考真题）设x=x的取值范围是（）A．23x<<B．34x<<C．45x<<D．无法确定【答案】B【分析】根据无理数的估计解答即可．【详解】解：∵91516<<，∴34<<，故选B．【点睛】此题考查估算无理数的大小，关键是根据无理数的估计解答．13．（2021·广东·统考中考真题）设6a，小数部分为b，则(2a b+的值是（）A．6B．C．12D．【答案】A的整数部分可确定a的值，进而确定b的值，然后将a与b的值代入计算即可得到所求代数式的值．【详解】∵34<<，∴263<<，∴62a=，∴小数部分624b==∴(((22244416106a b+=⨯+-=+-=-=．故选：A．【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定6a与小数部分b的值是解题关键．二、填空题14．（2019·江苏苏州·x的取值范围为.【答案】6x≥【分析】根据根式有意义的条件，得到不等式，解出不等式即可.-60x≥，解出得到6x≥.【点睛】本题考查根式有意义的条件，能够得到不等式是解题关键.15．（2020·广西·=．【分析】利用二次根式的性质化简，再相减．==【点睛】本题考查了二次根式的减法，解题的关键是掌握二次根式的化简及性质．16．（2021·天津·统考中考真题）计算1)的结果等于．【答案】9【分析】根据二次根式的混合运算法则结合平方差公式计算即可．【详解】21)19=-=．故答案为9．【点睛】本题考查二次根式的混合运算．掌握二次根式的混合运算法则是解答本题的关键．17．（2023年湖北省武汉市数学真题）写出一个小于4的正无理数是．【分析】根据无理数估算的方法求解即可．<4<．．【点睛】本题主要考查了无理数的估算，准确计算是解题的关键．18．（2023x 的取值范围是．【答案】13x ≥-【分析】根据二次根式有意义的条件得到130x +≥，解不等式即可得到答案．∴130x +≥，解得13x ≥-，故答案为：13x ≥-【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，熟知被开方式为非负数是解题的关键．19．（2019·河南·12--=＝．【答案】112【分析】本题涉及二次根式化简、负整数指数幂两个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．12--122=-112=．故答案为11 2．【点睛】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、二次根式等考点的运算．20．（2021·安徽·统考中考真题）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，1-，它介于整数n和1n+之间，则n的值是．【答案】11即可完成求解．2.236≈；1 1.236≈；因为1.236介于整数1和2之间，所以1n=;故答案为：1．分即可；该题题干前半部分涉及到数学文化，后半部分为解题的要点，考查了学生的读题、审题等能力．21．（20231+=．【答案】3【分析】根据求一个数的立方根，有理数的加法即可求解．1+=213+=，故答案为：3．【点睛】本题考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．22．（2023年上海市中考数学真题）已知关于x2=，则x=【答案】18【分析】根据二次根式的性质，等式两边平方，解方程即可．【详解】解：根据题意得，140x -≥，即14x ≥，2=，等式两边分别平方，144x -=移项，18x =，符合题意，故答案为：18．【点睛】本题主要考查二次根式与方程的综合，掌握含二次根式的方程的解法是解题的关键．23．（2023年黑龙江省绥化市中考数学真题）若式子x有意义，则x 的取值范围是．【答案】5x ≥-且0x ≠/0x ≠且5x ≥-【分析】根据分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，列出不等式计算即可．【详解】∵式子∴50x +≥且0x ≠，∴5x ≥-且0x ≠，故答案为：5x ≥-且0x ≠．【点睛】本题考查了分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．24．（2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学真题）在函数12y x +-中，自变量x 的取值范围是．【答案】1x >且2x ≠【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件得出10,20x x ->-≠，即可求解．【详解】解：依题意，10,20x x ->-≠∴1x >且2x ≠，故答案为：1x >且2x ≠．【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键．三、解答题25．（2019·福建·统考中考真题）先化简，再求值：(x －1)÷(x －21xx-),其中x【答案】1x x -，1+2【分析】先化简分式，然后将x 的值代入计算即可．【详解】解：原式＝（x−1）÷221x x x-+()()211xx x =-⋅-1x x =-当x ＋1时，12=+【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．26．（2022·福建·统考中考真题）先化简，再求值：2111aa a -⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭，其中1a =．【答案】11a -．【分析】根据分式的混合运算法则化简，再将a 的值代入化简之后的式子即可求出答案．【详解】解：原式()()111a a a a a+-+=÷()()111a a a a a +=⋅+-11a =-．当1a =时，原式2=．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．27．（2023年安徽中考数学真题）先化简，再求值：2211x x x +++，其中1x =．【答案】1x +【分析】先根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．【详解】解：2211x x x +++()211x x +=+1x =+，当1x =-时，∴原式11+=．【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．28．（20232133-⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】6-【分析】根据立方根、负整数指数幂及二次根式的运算可进行求解．【详解】解：原式2293=-+6=-．【点睛】本题主要考查立方根、负整数指数幂及二次根式的运算，熟练掌握立方根、负整数指数幂及二次根式的运算是解题的关键．29．（2023年吉林省长春市中考数学真题）先化简．再求值：2(1)(1)a a a ++-，其中3a =．【答案】31a +1+【分析】根据完全平方公式以及单项式乘以单项式进行化简，然后将字母的值代入进行计算即可求解．【详解】解：2(1)(1)a a a ++-2221a a a a =+++-31a =+当a =311==【点睛】本题考查了整式乘法的化简求值，实数的混合运算，熟练掌握完全平方公式以及单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键．30．（2023年内蒙古通辽市中考数学真题）计算：21tan 453-⎛⎫+︒-⎪⎝⎭【答案】0【分析】根据负整数次幂、特殊角的三角函数值、算术平方根化简，然后在计算即可．【详解】解：21tan 453-⎛⎫+︒-⎪⎝⎭9110=+-，0=．【点睛】本题主要考查了负整数次幂、特殊角的三角函数值、算术平方根等知识点，掌握基本的运算法则是解答本题的关键．31．（2019·河南·统考中考真题）先化简，再求值：22121244x x x x x x +-⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，其中x =【答案】3x【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x 的值代入计算可得．【详解】解：原式212(2)22(2)x x x x x x x +--⎛⎫=-÷ ⎪---⎝⎭322x x x-=⋅-3x=，当x ===．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．32．（2023年辽宁省营口市中考数学真题）先化简，再求值：524223m m m m-⎛⎫++⋅⎪--⎝⎭，其中tan 45m =︒．【答案】26--m ，原式16=-【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后根据特殊角三角函数值和二次根式的性质求出m 的值，最后代值计算即可．【详解】解：524223m m m m-⎛⎫++⋅⎪--⎝⎭()22245223m m m m m-⎛⎫-=-⋅⎪---⎝⎭()222923m m m m--=⋅--()()()332223m m m m m+--=⋅--()23m =-+26m =--，∵tan 45m =︒，∴415m =+=，∴原式25610616=-⨯-=--=-．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，求特殊角三角函数值，化简二次根式等等，正确计算是解题的关键．33．（2023·重庆九龙坡·的值应在（）A ．2和3之间B ．3和4之间C ．4和5之间D ．5和6之间【答案】A【分析】根据二次根式的乘法进行计算，以及估算无理数的大小的方法解答即可．=6=∵91416<<，∴34<，∴43-<<-，∴263<<，故选：A ．【点睛】本题考查了估算无理数的大小和二次根式的运算．解题的关键是掌握二次根式的运算方法，以及估算无理数的大小的方法．34．（2023·辽宁丹东·统考二模）在函数y =x 的取值范围是（）A ．12x -<≤B ．21x -<≤C ．12x ≤≤D ．12x <≤【答案】D【分析】根据函数有意义的条件得到2010x x -≥⎧⎨->⎩,解不等式组即可得到自变量x 的取值范围．【详解】解：由题意得2010x x -≥⎧⎨->⎩，解不等式组得12x <≤，故选：D ．【点睛】此题考查了自变量的取值范围，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．35．（2023·安徽蚌埠·统考三模）下列运算正确的是（）A 3=B ．()3328a a -=-C =D ．112235+=【答案】B【分析】根据二次根式的性质，积的乘方法则，二次根式的加法运算法则，有理数的加法运算法则依次判断即可得出答案．【详解】解：A 333==B ．()3328a a -=-，故此选项符合题意；CD ．11522365+=≠，故此选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查二次根式的性质，积的乘方法则，二次根式的加法运算法则，有理数的加法运算法则．掌握相应的运算法则和性质是解题的关键．36．（2023·河北沧州·校考模拟预测）下列运算中，正确的是（）．A3=±B 2=C 2=D 8=-【答案】C【分析】利用二次根式的化简的法则对各项进行运算即可．【详解】解答：解：A 3=，故A 不符合题意；B 2=-，故B 不符合题意；C 2=，故C 符合题意；D 8=，故D 不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查二次根式的化简，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．37．（2023·四川泸州·四川省泸县第一中学校考三模）实数2的平方根为（）A ．2B ．2±C D ．【答案】D【分析】利用平方根的定义求解即可．【详解】∵2的平方根是．故选D ．【点睛】此题主要考查了平方根的定义，注意一个正数的平方根有2个，它们互为相反数．38．（2023·西南大学附中校考三模）估计(3-）A ．0和1之间B ．2和3之间C ．3和4之间D ．4和5之间【答案】A【分析】由题意知(34-，由1.4 1.5=<<=，可得4.2 4.5<<，0.240.5<<，然后判断作答即可．【详解】解：(34-⨯，∵1.4 1.5=<<=，∴4.2 4.5<<，∴0.240.5<<，∴估算(3-0和1之间，故选：A ．39．（2023·河北石家庄·校联考一模）下列计算正确的是（）A =B1=-C =D 23=【答案】C【分析】根据二次根式加法、二次根式减法、二次根式乘法、二次根式除法分别进行判断即可．【详解】解：AB 0-=，故选项错误，不符合题意；C =D 1=，故选项错误，不符合题意．故选：C ．【点睛】此题考查了二次根式的加法、减法、乘法、除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．40．（2023·江苏无锡·校考二模）函数y x的取值范围是（）A ．5x ≥-B ．5x ≤-C ．5x ≥D ．5x ≤【答案】C【详解】试题分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数x 50x 5-≥⇒≥.故选C.考点：1.函数自变量的取值范围；2.二次根式有意义的条件.41．（2023·湖南长沙·校联考二模）4的算术平方根是（）A ．2B ．2±C ．8D ．16【答案】A【分析】如果一个数x 的平方等于(0)a a ≥，那么这个数x 叫做a 的平方根，可以表示为平方根叫做a 的算术平方根．正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根．【详解】解：42=，故选：A ．【点睛】本题考查算术平方根的定义，明确平方根与算术平方根的区别与联系是本题的关键．42．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考一模）x）A ．0B ．2C ．3D ．5【答案】D【分析】根据二次根式有意义的条件进行求解即可．∴40x -≥，即4x ≥，∴四个选项中只有D 选项中的5符合题意，故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于零是解题的关键．43．（2023·甘肃平凉·的结果是．【答案】2【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．2=．故答案为：2．()()(0000a a a a a a ⎧⎪===⎨⎪-⎩＞）＜．44．（2021·黑龙江大庆·=【答案】4【分析】先算4(2)-，再开根即可．==4=故答案是：4．【点睛】本题考查了求一个数的4次方和对一个实数开根号，解题的关键是：掌握相关的运算法则．45．（2023·广东茂名·校考一模）已知实数x，y |4|0y -=，则1x y -=⎛⎫⎪⎝⎭．【答案】2【分析】根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性得出24x y ==，，进而根据负整数指数幂进行计算即可求解．40y -=0≥，40y -≥，∴20x -=，40y -=，∴24x y ==，，∴11112422x y ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭===．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了算术平方根和绝对值的非负性、负整数次幂等知识点，根据非负性正确求得x 、y 的值是解答本题的关键．46．（2023·福建福州·校考二模）已知2a =2b =22a b ab -的值等于．【答案】【分析】先求出a b -=1ab =，再由()22a b ab ab a b -=-进行求解即可．【详解】解：∵2a =2b =∴22a b -=++=((22431ab =+⨯-=-=，∴22a b ab -()ab a b =-1=⨯=故答案为：【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算、求代数式的值，正确得到a b -=1ab =是解题的关键47．（2023·山东聊城·x 的取值范围是．【答案】12x ≥【分析】根据二次根式有意义的条件可得210x -≥，即可．【详解】解：由题意得：210x -≥，解得：12x ≥，故答案为：12x ≥．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．48．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）计算)11-的结果等于．【答案】22【分析】直接利用平方差公式进行简便运算即可．【详解】解：)2211123122=-=-=，故答案为：22【点睛】本题考查的是二次根式的乘法运算，熟练的利用平方差公式进行简便运算是解本题的关键．49．（2023·陕西西安·校考模拟预测）－64的立方根是．【答案】-4【分析】直接利用立方根的意义，一个数的立方等于a ，则a 的立方根是这个数进行求解．【详解】解：根据立方根的意义，一个数的立方等于a ，则a 的立方根是这个数，可知-64的立方根为-4．故答案为：-4．【点睛】本题考查了立方根，解题的关键是掌握一个数的立方等于a ，则a 的立方根是这个数．50．（2023·云南昭通·x 的取值范围是．【答案】x＞8【分析】由分式的分母不等于零和二次根式的被开方数是非负数得到x﹣8＞0．【详解】解：由题意，得x﹣8＞0，解得x＞8．故答案是：x＞8．【点睛】考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，注意，二次根式在分母上，所以不能取到0．51．（2023·四川泸州·四川省泸县第一中学校考三模）函数y=x的取值范围是．【答案】x>3【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件.x30x3x>3x30x3-≥≥⎧⎧⇒⇒⎨⎨-≠≠⎩⎩．52．（2023·河南洛阳·统考一模）计算：22-=．【答案】74-【分析】先计算22-，再算减法．【详解】解：原式17244=-=-．故答案为：74-．【点睛】本题考查了实数的计算，掌握负整数指数幂、二次根式的化简是解决本题的关键．53．（2023·安徽蚌埠·统考三模）计算：212022--=．【答案】2023【分析】根据有理数的乘方，二次根根式的性质，化简绝对值进行计算即可求解．【详解】解：212022--=122022-++2023=，故答案为：2023．【点睛】本题考查了有理数的乘方，二次根根式的性质，化简绝对值，正确的计算是解题的关键．54．（2022·新疆·x的取值范围是．【答案】x≥3【分析】直接利用二次根式有意义的条件得到关于x的不等式，解不等式即可得答案.【详解】由题意可得：x—3≥0，解得：x≥3，故答案为：x≥3【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.55．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）计算=．【答案】【分析】先根据二次根式的性质化简，然后根据二次根式的加减法则求解即可．【详解】解：=-2=-=故答案为：【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减运算等知识点，灵活运用二次根式的的性质化简是解题的关键．x的取值范围是．56．（2023·云南昆明·一模）要使式子3有意义，x≥【答案】5【分析】二次根式中的被开方数是非负数，依此即可求解．x-≥，【详解】解：依题意有：50x≥．解得5x≥．故答案为：5【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，关键是熟悉二次根式中的被开方数是非负数的知识点．57．（云南省丽江市华坪县2020-2021=．【答案】6【分析】利用二次根式的乘法法则进行求解即可．==．6故答案为：6．【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则和二次根式的性质是解题的关键．58．（2023·山西·模拟预测）计算：=．【答案】【分析】先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可．【详解】解：3=⨯=+=故答案为：【点睛】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的化简，正确计算是解题的关键．59．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）如果2y=+，那么yx的值是．【答案】225【分析】根据二次根式有意义的条件，求出,x y的值，进而求出y x的值即可．【详解】解：∵2y=，∴150,150x x -≥-≥，∴15150x x -=-=，∴15,2x y ==，∴215225y x ==；故答案为：225．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值．熟练掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键．60．（江西省崇仁县第二中学2016-2017学年八年级上学期第二次月考数学试题）计算:=【答案】61．（2015年初中毕业升学考试（山东滨州卷）数学（带解析））计算的结果为．【答案】﹣1【分析】此题用平方差公式计算即可.【详解】22=-23=-1=-62．（2023·黑龙江哈尔滨·=．【答案】3【分析】根据二次根式的化简方法和运算法则进行计算．【详解】解：原式33==【点睛】本题考查二次根式的计算，在化简二次根式的基础上再把同类二次根式合并．63．（福建省永春县第一中学2017【分析】根据二次根式乘法，加减法运算法则计算即可．【详解】解：原式＝【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简方法是解题的关键．64．（2023·广东茂名·校考一模）先化简，再求值：2121211x x x x +⎛⎫÷+ ⎪-+-⎝⎭其中1x +．【答案】11x -；2【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，再约分，化简后将x 的值代入计算．【详解】解：212(1)211x x x x +÷+-+-211(1)1x x x x ++=÷--211(1)1x x x x +-=⋅-+11x =-，当1x =+时，原式=2=．【点睛】本题考查了分式化简求值，掌握分式的基本性质，将分式通分和约分进行化简是关键．65．（2023·四川泸州·011+()3-23－【答案】【分析】根据实数的混合运算法则即可求解．011+()3-23－=(1+32-=1+32-+【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知实数的性质及运算法则．66．（2023·安徽六安·1+【分析】先计算算术平方根．化简绝对值，求解立方根，再合并即可．1+=+-413=【点睛】本题考查是算术平方根的含义，化简绝对值，求解立方根，实数的混合运算，掌握“算术平方根与立方根的含义”是解本题的关键．67．（2022·新疆·统考中考真题）计算：20-+(2)|(3【分析】分别计算有理数的乘方、绝对值、二次根式及零指数幂，再进行加减即可．【详解】解：原式451=++=【点睛】本题考查有理数的乘方，绝对值和二次根式的化简及零指数幂的性质，属于基础题，正确运算是=．解题的关键．要熟练掌握：任何一个不等于零的数的零次幂都等于1a。

2024年中考数学复习专题讲义：二次根式知识点讲解1、二次根式的定义 一般地，形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式。

2、二次根式的基本性质①2a =(a ≥0)； a = (a ≥0)； a = (a 取全体实数)。

3、二次根式的乘除(1)二次根式的乘法：①ab b a =⋅； ②b a ab ⋅= (a ≥0， b ≥0)。

(2)二次根式的除法：= = (a ≥0， b ＞0)。

4、最简二次根式 最简二次根式满足的条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

5、二次根式的加减二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

专题练习一、选择题1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A ．√12B ．√8C ．√13D ．√0.22．若二次根式√x +2有意义，则x 的取值范围是（ ）．A ．x >−2B ．x ≥−2C ．x <−2D ．x ≥23．化简√(−3)2的结果是（ ）A ．−3B ．±3C ．3D ．94．估计(√27−√6)÷√3的值应在（ ）A ．0到1之间B ．1到2之间C ．2到3之间D ．3到4之间5．下列计算错误的是（ ）A ．3√2−√2=3B ．√60÷√5=2√3C ．√25a +√9a =8√aD ．√14×√7=7√26．若 x =√m −√n,y =√m +√n ，则 xy 的值是( ）.A ．2√mB ．m −nC ．m +nD ．2√n 7．计算：√12×√13−√8÷√2的结果是（ ） A ．2 B ．0 C ．-2 D ．−√28．用四张大小一样的长方形纸片拼成一个正方形 ABCD (如图)，它的面积是 48， 已知长方形的一边长 AE =3√3， 图中空白部分是一个正方形，则这个小正方形的周长为( )A ．2√3B ．4√3C ．8√3D ．16√3二、填空题9．化简√3= 10．若√a +√3=3√3，则a = ． 11．计算(2√2+1)(2√2−1)的结果等于 ．12．若二次根式√x+3x 有意义，则x 的取值范围为 ．13．当m ＝ 时，二次根式√m −2取到最小值．三、解答题14．计算 （1）√16÷√2−√13×√6； （2）32√4x +2√x 9−x √1x +4√x4．15．已知2x =+2y =（1）试求22x y +的值； （2）试求x y y x-的值． 16．某居民小区有一块形状为长方形ABCD 的绿地，长方形绿地的长BC 为√162m ，宽AB 为√128m （即图中阴影部分），长方形花坛的长为(√13+1)m ，宽为(√13−1)m ，（1）长方形ABCD 的周长是多少？（结果化为最简二次根式）（2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？17．已知x=2−√3，y=2+√3．（1）求x2+y2−xy的值；（2）若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax−by的值．参考答案1．C2．B3．C4．B5．A6．B7．B8．C9．√33 10．1211．712．x ≥−3且x ≠013．214．解：（1）原式=√16÷2−√13×6＝2√2−√2=√2；（2）原式＝3√x +23√x −√x +2√x=143√x ．15．（1）解：∵2x =， 2y =∴x+y=22+，xy=(22+=1 ∴()2222242114x y x y xy +=+-=-⨯= ；（2）解：∵2x =+，2y =-∴x+y=22+，x-y=((2222--=+=xy=(22=1∴()()22x y x yx y x yy x xy xy+---====16．（1）解：长方形ABCD的周长=2(√162+√128)=2(9√2+8√2)=34√2(m)，答：长方形ABCD的周长是34√2m；（2）解：购买地砖需要花费=50[9√2×8√2−(√13+1)(√13−1)]=50(144−13+1)=50×132=6600（元）答：购买地砖需要花费6600元．17．（1）解：∵x=2−√3，y=2+√3，∴xy=(2−√3)(2+√3)=4−3=1，(x−y)2=(2−√3−2−√3)2=(−2√3)2=12，∴x2+y2−xy=(x−y)2+xy=12+1=13；（2）解：∵1<3<4，∴1<√3<2，∴3<2+√3<4，∴2+√3的整数部分是3，∴b=3，∵1<√3<2，∴−2<−√3<−1，∴0<2−√3<1，∴2−√3的整数部分是0，小数部分=2−√3−0=2−√3，∴a=2−√3，∴ax−by=(2−√3)(2−√3)−3(2+√3)=7−4√3+6−3√3=13−7√3，∴ax−by的值为13−7√3．）解：①(30x -2)x -②0020x x -22))(2)x -，又232x -+30x -+代数式当2x =时，代数式。

中考数学专题复习第六讲：二次根式【基础知识回顾】 一、二次根式式子a （ ）叫做二次根式【赵老师提醒：①次根式a 必须注意a___o 这一条件，其结果也是一个非数即：a ___o②二次根式a （a ≥o ）中，a 可以表示数，也可以是一切符合条件的代数式】二、二次根式的性质：①（a ）2= （a ≥0）= （a ≥0 ,b ≥0）(a ≥0, b ≥0)【赵老师提醒：二次根式的性质注意其逆用：如比较23和的大小，可逆用（a ）2=a(a ≥0)将根号外的整数移到根号内再比较被开方数的大小】 三、最简二次根式：最简二次根式必须同时满足条件：1、被开方数的因数是 ，因式是整式2、被开方数不含 的因数或因式 四、二次根式的运算：1、二次根式的加减：先将二次根式化简，再将 的二次根式进行合并，合并的方法同合并同类项法则相同2、二次根式的乘除：= （a ≥0 ,b ≥0）（a ≥0，b ＞0） 3、二次根式的混合运算顺序：先算 再算 最后算【赵老师提醒：1、二次根式除法运算过程一般情况下是用将分母中的根号化= = 2、二次根式混合运算过程要特别注意两个乘法公式的运用 3、二次根式运算的结果一定要化成 】 【重点考点例析】考点一：二次根式有意义的条件（a ≥o ）（a ＜o ）例1 （2012•潍坊）如果代数式43x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≠3 B ．x ＜3 C ．x ＞3 D ．x ≥3思路分析：根据二次根式的意义得出x-3≥0，根据分式得出x-3≠0，即可得出x-3＞0，求出即可． 解：要使代数式43x -有意义， 必须x-3＞0， 解得：x ＞3． 故选C ．点评：本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件的应用，注意：分式B A中A ≠0，二次根式a 中a ≥0． 对应训练1．（2012•德阳）使代数式21xx -有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x≥0 B ．x≠12 C ．x≥0且x≠12D ．一切实数 1．C1．解：由题意得：2x-1≠0，x≥0， 解得：x≥0，且x≠12， 故选：C ．考点二：二次根式的性质例2 （2012•张家界）实数a 、b 在轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简2||a a b -+的结果为（ ）A ．2a+bB ．-2a+bC ．bD ．2a-b思路分析：现根据数轴可知a ＜0，b ＞0，而|a|＞|b|，那么可知a+b ＜0，再结合二次根式的性质、绝对值的计算进行化简计算即可． 解：根据数轴可知，a ＜0，b ＞0，原式=-a-[-（a+b ）]=-a+a+b=b ． 故选C ．点评：本题考查了二次根式的化简和性质、实数与数轴，解题的关键是注意开方结果是非负数、以及绝对值结果的非负性． 对应训练为 ． 1．-b2．解：∵由数轴可知：b ＜0＜a ，|b|＞|a|，=|a+b|+a =-a-b+a =-b ，故答案为：-b ．考点三：二次根式的混合运算思路分析：利用二次根式的分母有理化以及分数指数幂的性质和负整数指数幂的性质，分别化简，进而利用有理数的混合运算法则计算即可．=3． 点评：此题主要考查了二次根式的混合运算以及负整数指数幂的性质，熟练利用这些性质将各式进行化简是解题关键． 对应训练4=+考点四：与二次根式有关的求值问题222)(1)(x x x ++-思路分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x 的值代入进行计算即可．2(1)1)4x x x+0，(1)1)4x x x +=本题考查的是二次根式及分式的化简求值，解答此题的关键是当1，此题难度不大．对应训练A ．0B ．25C ．50D ．804．D分析：根据平方差公式求出1142-642=（114+64）×（114-64）=178×50，再提出50得出50×（178-50）=50×128，分解后开出即可．=80， 故选D ．点评：本题考查了平方差公式，因式分解，二次根式的运算等知识点的应用，解此题的关键是能选择适当的方法进行计算，本题主要考查学生的思维能力和应变能力，题目比较好，是一道具有代表性的题目．【聚焦山东中考】1．（2012•泰安）下列运算正确的是（ ）A 5=-B ．21()164--=C ．x 6÷x 3=x 2 D ．（x 3）2=x 5 1．B ．2.（2012•临沂）计算：= ． 2．03．7【备考真题过关】一、选择题A ．x ＞0B ．x≥-2C ．x≥2D ．x≤2 1．DA B ．5 C ．2 D ．22．AA ．3BC ．D ．3．C ．A ．5＜m ＜6B ．4＜m ＜5C ．-5＜m ＜-4D ．-6＜m ＜-5 4．A即5＜m ＜6， 故选A ．5．（2012•南充）下列计算正确的是（ ）A ．x 3+x 3=x 6B ．m 2•m 3=m 6C ．3=D = 5．D6．（2012•黔东南州）下列等式一定成立的是（ ）A ．945-=B ．5315⨯=C ．93=±D ．2(9)9--=6．B7．（2012•广西）使式子有意义的x 的取值范围是（ ）A ． x ≥﹣1B ． ﹣1≤x ≤2C ． x ≤2D ．﹣1＜x ＜2 考点： 二次根式有意义的条件。

2023中考数学真题汇编·05二次根式一、单选题1.（2023·是同类二次根式的是（）AB C D 2.（2023·x的取值范围是()A ．x <1B ．x ≤1C ．x >1D ．x ≥13.（2023·x 的取值范围在数轴上表示为（）A ．B ．C ．D ．4.（2023·有意义，则a 的值可以是（）A ．1 B ．0C ．2D ．65.（2023·辽宁大连）下列计算正确的是（）A ．0B ．CD 266.（2023·）A ．0,0a bB ．0,0a bC ．0,0a bD ．0,0a b7.（2023·山东临沂）设m m 所在的范围是（）A ．5mB ．54mC ．43mD ．3m8.（2023·山东）若代数式2x 有意义，则实数x 的取值范围是（）A ．2xB ．0xC ．2xD ．0x 且2x9.（2023·天津）sin 45 ）A ．1BC D ．210.（2023·河北）若a b （）A ．2B ．4C D11.（2023·湖北荆州）已知k ，则与k 最接近的整数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题12.（2023·湖北黄冈）请写出一个正整数mm _____________．13.（2023·湖南永州）已知x在实数的范围内没有意义．．．．的x 值是_______．14.（2023·x 应满足的条件是__________．15.（2023·x 的取值范围是__________．16.（2023·有意义，则实数x 的取值范围是______17.（2023·黑龙江绥化）若式子x有意义，则x 的取值范围是_______．18.（2023·黑龙江齐齐哈尔）在函数12y x 中，自变量x 的取值范围是______．19.（2023·江苏连云港）计算：2 __________．20.（2023·天津）计算的结果为________．21.（2023·山东聊城）计算： ______．22.（2023·上海）已知关于x2 ，则x ________三、解答题23.（2023·24.（2023·213325.（2023· 10220231 ．26.（2023·四川内江）计算：2202301(1)3tan 30(3)2|2【参考答案与解析】1.【答案】C【解析】解：A 2 B不是同类二次根式，不符合题意；C是同类二次根式，符合题意；D不是同类二次根式，不符合题意；故选：C ．2.【答案】D【解析】解：由题意得，x －1≥0，解得x ≥1．故选：D ．3.【答案】C【解析】解：根据题意得，10x ，解得1x ，在数轴上表示如下：故选：C ．4.【答案】D【解析】解：有意义，∴40a ，解得：4a ，则a 的值可以是6故选：D ．5.【答案】D【解析】解：A. 1 ，故该选项不正确，不符合题意；B. ，故该选项不正确，不符合题意；C.D.26 故选：D ．6.【答案】D【解析】解：根据二次根式有意义的条件，得000a b ab，0,0a b ，故选：D ．7.【答案】B【解析】解：m∵∴54 ，即54m ，故选：B ．8.【解析】解：∵代数式2x 有意义，∴020x x ，解得0x 且2x ，故选：D.9.【答案】B 【解析】解：222sin 45222故选：B ．10.【答案】A 【解析】解：∵a b2，故选：A ．11.【答案】B【解析】解：k53∵22.5=6.25，23=9∴532 ,∴与k 最接近的整数为3，故选：B ．二、填空题12.【答案】8【解析】解：∴8m 要是完全平方数，∴正整数m 的值可以为8，即864m 8 ，故答案为：8（答案不唯一）．13.【答案】1（答案不唯一）【解析】解：当30x 没有意义，解得3x ，x ∵为正整数，x 可取1，2，故答案为：1．14.【答案】4x 【解析】根据题意得：40x ，解得：4x ，故答案为：4x ．15.【答案】9x 【解析】解：∵∴90x ，解得：9x ，故答案为：9x ．16.【答案】3x 【解析】有意义，∴3030x x ≥，且，解得x 3＞，故答案为：x 3＞．17.【答案】5x 且0x /0x 且5x【解析】∵∴50x 且0x ，∴5x 且0x ，故答案为：5x 且0x ．18.【答案】1x 且2x 【解析】解：依题意，10,20x x∴1x 且2x ，故答案为：1x 且2x ．19.【答案】5【解析】解：2 5故答案为：5．20.【答案】1【解析】解：22761 故答案为：1.21.【答案】3【解析】解：333 .故答案为：3．22.【答案】18【解析】解：根据题意得，140x ，即14x ，2 ，等式两边分别平方，144x 移项，18x ，符合题意，故答案为：18．三、解答题23.【答案】24.【答案】解：原式2293 6 ．25.【答案】解： 102202313211211 4 .26.【答案】解：2202301(1)3tan 30(3)2|231431231412 4 ．。

专题10 二次根式考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一二次根式的有关概念和性质二次根式概念：一般地，我们把形如（?≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。

【注意】1.二次根式，被开方数a可以是一个具体的数，也可以是代数式。

2.二次根式是一个非负数。

3.二次根式与算术平方根有着内在联系，（?≥0）就表示a的算术平方根。

二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

二次根式的性质：1．含有两种相同的运算，两者都需要进行平方和开方。

2．结果的取值范围相同，两者的结果都是非负数。

3．当a≧0时，考查题型一利用二次根式非负性解题1．（2013·四川中考真题）已知实数x，y，m满足，且y为负数，则m的取值范围是（）A．m＞6 B．m＜6 C．m＞﹣6 D．m＜﹣6【答案】A【解析】根据算术平方根和绝对值的非负数性质，得：，解得：。

∵y为负数，∴6﹣m＜0，解得：m＞6。

故选A。

2．（2016·四川中考真题）若 +b2﹣4b+4=0，则ab的值等于（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【答案】D【解析】试题分析：由，得：a﹣1=0，b﹣2=0．解得a=1，b=2．ab=2．故选D．3．（2012·湖北中考真题）若与|x﹣y﹣3|互为相反数，则x+y的值为（）A．3 B．9 C．12 D．27【答案】D【解析】依题意得 .∴x＋y＝27.故选D.考查题型二判断二次根式有意义的取值范围1．（2013·四川中考真题）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A． B． C． D．且【答案】D【解析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须且x≠1。

故选D。

2．（2018·内蒙古中考真题）代数式中x的取值范围在数轴上表示为（）A． B．C． D．【答案】A【详解】由题意，得：3﹣x≥0且x﹣1≠0，解得：x≤3且x≠1，在数轴上表示如图：．故选A．3．（2018·山东中考真题）若式子有意义，则实数m的取值范围是A． B．且C． D．且【答案】D【详解】由题意可知：∴m≥﹣2且m≠1故选D．考查题型三根据二次根式性质进行化简1．（2012·湖南中考真题）实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为（）A．2a+b B．-2a+b C．b D．2a-b【答案】C【解析】试题分析：利用数轴得出a+b的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可：∵由数轴可知，b＞0＞a，且 |a|＞|b|，∴ .故选C．2．（2016·山东中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ 的结果是( )A．﹣2a-b B．2a﹣b C．﹣b D．b【答案】A【详解】由图可知：，∴ ，∴ .故选A.3．（2011·北京中考真题）如果，则a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】试题分析：根据二次根式的性质1可知：，即故答案为B. . 4．（2015·湖北中考真题）当1＜a＜2时，代数式＋|1－a|的值是( ) A．－1 B．1 C．2a－3 D．3－2a【答案】B【解析】试题解析：∵1＜a＜2，∴ =|a-2|=-（a-2），|a-1|=a-1，∴ +|a-1|=-（a-2）+（a-1）=2-1=1．故选A．5．（2011·四川中考真题）已知，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】试题解析：由，得，解得．2xy=2×2.5×（-3）=-15，故选A．知识点二二次根式的运算二次根式的乘法法则:【注意】1、要注意这个条件，只有a，b都是非负数时法则成立。