九年级数学上册 22.3 实际问题与一元二次方程教案 新人教版

《实际问题与一元二次方程——几何动点问题》

教学目标

1.能根据问题中数量关系列一元二次方程，体会数学建模的优越性.

2.使学生进一步掌握利用一元二次方程解决几何中的动点问题，体会几何问题代数化.

3.进一步提高学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力，培养学生主动探索事物之间内在联系的学习习惯。

教学重难点

1.动点的四个要素在题目中的变化，使学生进一步掌握利用一元二次方程解决几何中的动点问题.

2. 进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力.

教学过程

（一）知识回顾

1.回顾列一元二次方程解实际问题的一般步骤.

2.回顾前几节课刚刚学过的利用一元二次方程可以解决的几类实际问题，引出新课——用一元二次方程解决几何动点问题.

（二）一起探究

1.设计问题内容：如图所示，在直角三角ABC中，∠B=90,AB=6cm,BC=8cm,点P、Q同时从点B出发，分别沿BC和BA向点C、A移动，点P 的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，当两个点中的一个点到达顶点后，两点停止运动。设两点的运动时间为t，用含有t的代数式表示△BPQ的面积.

2.设计思考问题：

（1）有几个动点？

（2）动点的起点、终点、运动方向、速度分别是什么？

（3）图中有哪些线段可以用t表示，试着在导学卡中写出来.

3.设计动点表格（在学生的导学卡中）

动点 起点 终点 运动方向 速度

P

Q

4.设计说明：本教学环节主要引导学生重点掌握题中动点的四个要素，同时让学生体会用字母表示所需要的线段，进而写出三角形面积的表达式.

（三）考场实战

本环节是在上面一个环节的基础上，作两个变动：一个是由列代数式到列方程的变动；另一个是动点要素的变动.主要培养学生认真审题，建立数学模型的能力.

1. 问题设计：(2015·杭州上城区期末)如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=6 cm，BC=8 cm，点P从点A出发，以1 cm/s的速度沿AB边向点B移动，与此同时,点Q从点C出发,以2 cm/s的速度沿CB边向点B移动，如果P，Q同时出发，经过几秒，△PBQ的面积等于8平方厘米？

课 题 课 题22.2.4一元二次方程根与系数的关系

教材分析 本节课在教材中是初中数学八年级第一学期一元二次方程中的重要内容之一，它是在研究一元二次方程的求根公式之后对于一元二次方程根与系数关系的进一步的拓展与研究。

学情分析 本节课从探究一元二次方程根与系数问题出发，让学生经历研究到加以验证的过程，再通过一些例题和作业的练习对这个关系式加以增强与巩固。让他们能够通过独立思考与合作探究的过程养成分析问题解决问题的能力并且同时培养学生的团队合作精神。

教学目标 知识与技能：巩固一元二次方程的解法、根的判别式等知识，掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用，会运用根与系的关系解决相关数学问题和实际问题。

过程与方法：：培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力。

情感、态度与价值观：渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神和全面辩证地认识事物的能力。

教学重点 根与系数的关系的推导、运用。

教学难点 正确归纳、理解、运用根与系数的关系，培养学生探索和发现意识。

教学方法 自主学习、合作探究与教师引导相结合

学习方法 通过观察、比较、思考、探索、交流、应用等活动，灵活地运用旧知识去研究新问题

教学准备 课件

课时安排 一课时

教学过程 一、回顾旧知：

1.一元二次方程的一般形式是什么？

2.一元二次方程的求根公式是什么？

3.一元二次方程根的情况怎样确定？

4.求一个一元二次方程，使它的两个根分别为

①2和3;②-4和7;③3和-8;④-5和-2

①(x-2)(x-3)=0 x2-5x+6=0

②(x+4)(x-7)=0 x2-3x-28=0

③(x-3)(x+8)=0 x2+5x-24=0

④(x+5)(x+2)=0 x2+7x+10=0

思考：从求这些方程的过程中你发现根与各项系数之间有什么关系？

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亿库教育网 22.3实际问题与一元二次方程（1）

教学内容

本节课主要学习建立一元二次方程的数学模型解决传播问题。

教学目标

知识技能

1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．

2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．

数学思考

经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。

解决问题

通过解决传播问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识．

情感态度

通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．

重难点、关键

重点：列一元二次方程解有关传播问题的应用题

难点：发现传播问题中的等量关系

关键：建立一元二次方程的数学模型解传播问题

教学准备

教师准备：制作课件，精选习题

学生准备：复习有关知识，预习本节课内容

教学过程

一、 复习引入

【问题】

下表是某一周甲、乙两种股票每天每股的收盘价（收盘价：股票每天交易结果时的价格）：

星期 一 二 三 四 五

甲 12元 12.5元 12.9元 12.45元 12.75元

乙 13.5元 13.3元 13.9元 13.4元 13.75元

某人在这周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天的收盘价计算（不计手续费、税费等），则在他帐户上，星期二比星期一增加200元，•星期三比星期二增加1300元，这人持有的甲、乙股票各多少股？ 亿库教育网

亿库教育网 老师点评分析：一般用直接设元，即问什么就设什么，即设这人持有的甲、乙股票各x、y张，由于从表中知道每天每股的收盘价，因此，两种股票当天的帐户总数就是x或y乘以相应的每天每股的收盘价，再根据已知的等量关系；星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，便可列出等式．

1 小专题(二) 一元二次方程的实际问题

类型1 变化率问题

变化率问题常用公式:a(1±x)n＝b(其中a是起始量,x是平均变化率,n是变化的次数,b是终止量)．起始量经过一次变化后达到a(1±x)；第二次变化后达到a(1±x)2；第三次变化后达到a(1±x)3；…依次类推．

1．(日照中考)某县为大力推进义务教育均衡发展,加强学校标准化建设,计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造和更新.2014年县政府已投资5亿元人民币,若每年投资的增长率相同,预计2016年投资7.2亿元人民币,那么每年投资的增长率为( )

A．20% B．40% C．－220% D．30%

2．(咸宁中考改编)随着市民环保意识的增强,烟花爆竹销售量逐年下降．咸宁市2013年销售烟花爆竹20万箱,到2015年烟花爆竹销售量为9.8万箱．求咸宁市2013年到2015年烟花爆竹年销售量的平均下降率．

3．某农场去年种植了10亩地的南瓜,亩产量为2 000 kg,根据市场需要,今年该农场扩大了种植面积,并且全部种植了高产的新品种南瓜,已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍,今年南瓜的总产量为60 000 kg,求南瓜亩产量的增长率．

4．为落实国务院房地产调控政策,使“居者有其屋”,某市加快了廉租房的建设力度.2014年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米,预计到2016年底三年累计投资9.5亿元人民币建设廉租房,若在这两年内每年投资的增长率相同．

(1)求每年市政府投资的增长率；

(2)若这两年内的建设成本不变,求到2016年底共建设多少万平方米廉租房．

1 5．脐橙是赣南的大产业,也是农民致富的大产业．“赣南脐橙”已成为中央电视台上榜品牌．我市近几年,通过各种途径,大力发展脐橙果业,脐橙总产量每年也在不断增加(如图所示)．

(1)根据图中所提供的信息回答下列问题:2012年底脐橙的总产量为________万吨,比2011年底增加了________%；在所统计的这几年中,增长速度最快的是________年；