数列知识点归纳

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专业.整理高三总复习----数列

一、数列的概念

（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；

数列中的每个数都叫这个数列的项。记作na，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位

置的叫第2项，……，序号为n的项叫第n项（也叫通项）记作na；

数列的一般形式：1a，2a，3a，……，na，……，简记作na。

例：判断下列各组元素能否构成数列

（1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9;

(2)2010年各省参加高考的考生人数。

（2）通项公式的定义：如果数列}{

na的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就

叫这个数列的通项公式。

例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，…

②：

51

41

31

21

1，，，，…

数列①的通项公式是na= n（n7，nN），

数列②的通项公式是na= 1

n（nN）。

说明：

①na表示数列，na表示数列中的第n项，na= fn表示数列的通项公式；

②同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，na= (1)n=1,21

()

1,2nk

kZ

nk；

③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，……

（3）数列的函数特征与图象表示：

序号：1 2 3 4 5 6

项：4 5 6 7 8 9

上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列

实质上是定义域为正整数集N（或它的有限子集）的函数()fn当自变量n从1开始依次取值时对应的一系列

函数值(1),(2),(3),fff……，()fn，……．通常用

na来代替fn，其图象是一群孤立点。

例：画出数列12na

n的图像.

（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关

系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。

例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？

（1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, …

1. 等差数列的定义与性质

定义：（为常数），，

推论公式：

等差中项：成等差数列,

等差数列前项和：

性质：是等差数列

（1）若，则（下标和定理） 注意：要求等式左右两边项数相等

（2）数列12212,,nnnaaa仍为等差数列，仍为等差数列，公差为dn2；

（3）若三个成等差数列，可设为；

（4）若是等差数列，且前项和分别为，则；

（5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）

的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，

即：当，解不等式组可得达到最大值时的值.

当，由可得达到最小值时的值.

(6)项数为偶数n2的等差数列，有

),)(()()(11122212为中间两项nnnnnnnaaaanaanaanS

ndSS奇偶， 1nnaaSS偶奇.

（7）项数为奇数12n的等差数列，有)()12(12为中间项nnnaanS,

naSS偶奇， .1nnSS偶奇

2. 等比数列的定义与性质

定义：（为常数，），.推论公式：

等比中项：成等比数列，或.等比数列中奇数项同号，偶数项同号

等比数列前n项和公式：

性质：是等比数列 （1）若，则(下标和定理) 注意：要求等式左右两边项数相等。

（2）仍为等比数列,公比为nq。

. （3）是正项等比数列，则

注意：由求时应注意什么？

时，；

时，.

3.求数列通项公式的常用方法

（1)定义法求通项公式(已知数列为等差数列或等比数列）

（2）已知的关系与n或的关系时与nnas，求。 )2()1(11nssnsannn

例：?数列的前项和．求数列的通项公式;

解：当时 ，

当时 数列的通项公式为．

练习：设数列的前项和为，且．求数列的通项公式。 （3）求差（商）法

1数列知识点和常用的解题方法归纳

一、 等差数列的定义与性质

 定义：为常数，aaddaand

nnn111()

等差中项：，，成等差数列xAyAxy2



前项和nSaan

nann

d

nn

1

121

2

性质：是等差数列a

n

（）若，则；1mnpqaaaa

mnpq

（）数列，，仍为等差数列；2

212aakab

nnn

SSSSS

nnnnn，，……仍为等差数列；

232

（）若三个数成等差数列，可设为，，；3adaad

（）若，是等差数列，为前项和，则；421

21abSTna

bS

Tnnnnm

mm

m



（）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为52aSanbnabn

nn

0的二次函数）

SSanbna

nnn的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界2

项，即：

当，，解不等式组可得达到最大值时的值。ada

aSnn

nn1

1000

0







当，，由可得达到最小值时的值。ada

aSnn

nn1

1000

0







如：等差数列，，，，则aSaaaSn

nnnnn

1831

123

（由，∴aaaaa

nnnnn

12113331



又·，∴Saa

aa

313

2223311

3





∴·

Saanaann

nnn









121

221

31

218n27）

2二、等比数列的定义与性质

定义：（为常数，），a

aqqqaaqn

nnn1

110

等比中项：、、成等比数列，或xGyGxyGxy2

前项和：（要注意）nSnaq

aq

qqnn







1

11

1

11()

()!

性质：是等比数列a

n

（）若，则··1mnpqaaaa

mnpq

（），，……仍为等比数列2

232SSSSS

nnnnn

三、求数列通项公式的常用方法

1、公式法

数列知识点总结大全

一、数列的概念与定义

1. 数列的概念：数列是按照一定规律排列的一组数的集合，数列中的每个数称为数列的项。

2. 数列的定义：数列可以用一个通项公式或者递推公式来表示，通项公式指明了数列的第n个项与n的关系，递推公式则指明了数列的第n+1项与第n项的关系。

二、常见的数列类型

1. 等差数列：如果一个数列中任意相邻两项的差都相等，那么这个数列就是等差数列。等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

2. 等比数列：如果一个数列中任意相邻两项的比值都相等，那么这个数列就是等比数列。等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。

3. 调和数列：如果一个数列中任意相邻两项的倒数之差都相等，那么这个数列就是调和数列。调和数列的通项公式为an=1/(1+d(n-1))，其中d为公差。

三、数列的性质

1. 有限数列与无限数列：有限数列指数列中的项是有限个，无限数列指数列中的项是无限个。

2. 数列的奇偶性：如果数列的每一项的奇偶性相同，则称该数列为奇数列或偶数列。

3. 数列的首项和公差：首项指数列中的第一个元素，公差指等差数列中相邻两项之差。

4. 数列的前n项和：数列的前n项和可以用求和公式来表示，对于等差数列和等比数列有相应的公式。

5. 数列的递推公式：递推公式指明了数列的第n+1项与第n项的关系，可以通过递推公式求出数列的任意一项。

四、数列的应用

1. 等差数列与等比数列的求和：等差数列和等比数列的前n项和在数学和物理问题中有广泛的应用，它们可以帮助我们简化复杂的计算。

2. 数学归纳法：数学归纳法是证明数学命题的一种方法，在数列中的应用尤其广泛。

3. 数列的模型应用：数列模型可以用来描述自然界和社会现象中的变化规律，比如人口增长、物种演化等。

五、数列的判断与证明 1. 数列的判断：如何判断一个数列是等差数列、等比数列、调和数列等，需要根据数列的性质和通项公式进行分析。