中考数学培优：等腰三角形存在性问题
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中考数学培优：等腰三角形存在性问题
【例题讲解】
例题1.如图，直线l1、12相交于点A,点B是直线外一点,在直线l1、12上找一点C，使
△ABC为一个等腰三角形.满足条件的点C有个.
【提示】
①以B为圆心,线段BA长为半径作圆,与l1、12交点即为满足条件点C；
②以A为圆心,线段BA长为半径作圆，与l1、12交点即为满足条件点C；
③作线段AB的垂直平分线，与l1、12交点即为满足条件点C.(此方法简称为“两圆一线”)
【巩固训练】
1、一次函数y=4
3x+4分别交x轴、y轴于A、B两点,在坐标轴上取一点C,使△ABC为等腰三角形,则这样
的点C最多有个。
2、已知△ABC的三条边长分别为3,4,6,在△ABC所在平面内画一条直线,将△ABC分割成两个三角形,使其
中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画()
A.6条B.7条C.8条D.9条
例题2.一次函数y=4
3x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在y轴上取一点C,使得AC=BC,求出C点坐标？
【代数法、几何法均可解】
解：如图所示,直线AB的解析式为y=4
3x+4,
当y=0时,x=－3,则A(－3.0);当x=0时,y=4,则B(0,4)。
设C点坐标为(x.0),在Rt△AOB中,由勾股定理得2222345OAOB,
在Rt△BOC中,由勾股定理得BC=22224OCOBx。
①当以AB为底时,AC=BC,则3+x=224x,整理得6x=7,解得x=7
6,则(7
6,0);
②当以BC为底时,可得AC=AB,则35x,解得x=2或－8,则C(2,0)或(－8,0);
③当以AC为底时,可得AB=BC,即得224x=5,整理得x2=9,解得x=±3,
则C(3,0)或(－3,0)(舍去)。
综上所述,满足条件的点C的坐标是(7
6,0)或(2,0)或(3,0)或(－8,0)
例题3.如图,直线x=－4与x轴交于点E,一开口向上的抛物线过原点交线段OE于点A,交直线x=－4于点B,过B且平行于x轴的直线与抛物线交于点C,直线OC交直线AB于D,且AD:BD=1：3.
(1)求点A的坐标；
(2)若△OBC是等腰三角形,求此抛物线的函数关系式.
解:(1)如图过点D作DF⊥x轴于点F.由题意可知OF=AF则2AF+AE=4①
∵DF∥BE,∴△ADF∽△ABE,∴1
2AFAD
AEAB,即AE=2AF②
①与②联立解得AE=2,AF=1.∴点A的坐标为(－2,0);
(2)∵抛物线过原点(0,0),∴可设此抛物线的解析式为y=ax2+bx
∵抛物线过原点(0,0)和A点(－2,0),∴对称轴为直线x＝20
2＝－1
∵B、C两点关于直线x=－1对称B点横坐标为－4,∴C点横坐标为2,∴BC＝2－(－2)＝6
∵抛物线开口向上,∴∠OAB>90°,OB>AB=OC.
∴当△OBC是等腰三角形时分两种情况讨论:
①当OB=BC时设B(－4,y1),
则16+y12=36解得y1=25(负值舍去).
将A(－2,0),B(－4,25)代入y=ax2+bx得420
16425ab
ab
,解得5
4
5
2a
b
∴此抛物线的解析式为y
=5
4x2+5
2x
②当OC=BC时设C(2,y2),则4+y22=36解得y2=42(负值舍去)
将A(－2,0),C(2,42)代入y=ax2+bx,得420
4242ab
ab
,解得2
2
2a
b
∴此抛物线的解析式为y=2
2x2+2x
例题4.如图甲,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4cm,BC=3cm.如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动,
同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动,它们的速度均为1cm/s.连接PQ,设运动时间为t(s)(0
解答下列问题：
(1)设△APQ的面积为S,请写出S关于t的函数表达式？
(2)如图乙,连接PC,将△POC沿QC翻折,得到四边形PQP'C,当四边形PQP'C为菱形时,求t的值；
(3)当t为何值时,△APQ是等腰三角形？
解:(1)如图1,过点P作PH⊥AC于H,
∵∠C=90°,∴AC⊥BC,∴PH∥BC,∴△APH∽△ABC,∴PHAP
BCAB,
∵AC=4cm,BC=3cm,∴AB=5cm∴5
35PHt
,∴PH＝3－3
5t，
∴△AQP的面积为:S=1
2×AQ×PH=1
2×t×(3－3
5t)=23518()
1025t
∴当t为5
2秒时,S最大值为18
5cm2.
(2)如图2,连接PP',PP'交QC于E,
当四边形PQP'C为菱开时,PE垂直平分QC,即PE⊥AC,QE=EC,
∴△APE∽△ABC,∴AEAP
ACAB,∴AE=(5)444
55APACtt
AB
∴QE=AE－AQ=4
5t+4－t=9
5t+4，QE=1
2QC=1
2(4－t)=1
2t+2∴9
5t+4＝1
2t+2，∴解得:t＝20
13，
∵0＜20
13＜4.
∴当四边形PQP'C为菱形时,t值是20
13秒;
(3)由(1)知,PD=33
5t,与(2)同理得:QD=AD－AQ=94
5t
∴PQ
＝222223918(3)(4)1825
555PDQDtttt
在△APQ中,①当AQ=AP,即=5－t时,解得:t1=5
2，②当PQ=AQ,
即2181825
5tt=t时,解得:t2=25
13,t3=5.
③当PQ=AP
即2181825
5tt=5－t时,解得:t4=0,t5=40
13
∵0
∴当t为5
2s或25
13s或40
13s时,△APQ是等腰三角形.
例题5.已知,如图,在Rt△ABC中,AC=6,AB=8,D为边AB上一点,连接CD,过点D作DE⊥DC交BC与E,把
△BDE沿DE翻折得△DEB1,连接B1C
(1)证明:∠ADC=∠B1DC；
(2)当B1E/∥AC时,求折痕DE的长；
(3)当△B1CD为等腰三角形时,求AD的长.
解:(1)证明由折叠的性质得:∠BDE=∠B1DE,
∵DE⊥DC,∴∠ADC=180°－90°－∠BDE=90°－∠BDE,∠B1DC=90°－∠B1DE，
∴∠ADC=∠B1DC
(2)解延长B1E交AB于F.
∵B1E∥AC,∠A=90°,∴B1F⊥AB,∴∠EB1D+∠BDB1=90°.
∵∠B=∠EB1D,∴∠B+∠BDB1=90°,∴∠BGD=90°,
在△BDC和△B1FD中,1
1
1BEBD
BGDBFD
BDDB
∴△BDG≌△B1FD.∴DF=DG,
在△ADC和△GDC中,90ADCCDG
ADGC
DCDC
o,∴△ADC≌△GDC,∴DG=AD.
∴DF=AD=DG,
设DF=AD=DG=x,∴BF＝8－2x,
∵EF∥AC,∴△BFE∽△BAC,∴EFBF
ACAB,∴EF＝123
2x
，
∵△EFD∽△ACD,∴DFEF
ACAD,∴123
2
6x
x
x
，
解得:x=3,∴BF=3,EF＝3
2，∴DE
＝35
2.
(3)解设AD=x,则CD=236x,BD=8－x，
∵△B1CD是等腰三角形,①当B1D=B1C时则∠B1DC=∠B1CD,∴DB1=BD=8－x,
如图2过B1作B1F⊥CD,则DF=CF=1
2CD=236
2x,
∵∠ADC=∠B1DC,∠B1FD=∠A=90°,∴△CDA∽△B1DC,∴1BDDF
CDAD,即2
236
82
36x
x
xx
，∴3x2－16x+36=0,此方程无实数根.
∴B1D≠BC.
②B1D=CD时，∴B1D=CD=BD=8－x.∴(8－x)2=x2+6，∴x＝7
4,∴AD＝7
4.
③当CD=BC时如图2过C作CH⊥DB,则DH=B1H=1
2DB1=1
2BD=1
2(8－x)
在△ACD和△CHD中，90ADCCDH
ACHD
CDCD
o∴△ACD≌△CHD,∴AD=DH=x
∴x＝1
2(8－x),∴x=8
3,∴AD=8
3,
综上所述:当△B1CD是等腰三角形时AD的长为7
4或8
3.【巩固训练】
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以△ABC的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在△ABC的其他边
上,则可以画出不同的等腰三角形的个数最多为()
A.4B.5C.6D.7
2.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,若点P在AD边上,连接BP、PC,使得△BPC是一个等腰三角形.
(1)用尺规作图画出符合要求的点P.(保留作图痕迹,不要求写做法)
(2)求出PA的长.
3.如图,在边长为4的正方形ABCD中,请画出以A为一个顶点,另外两个顶点在正方形ABCD的边上,且含边
长为3的所有大小不同的等腰三角形.(要求:只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)
4.如图,一长度为10的线段AC的两个端点A、C分别在y轴和x轴的正半轴上滑动,以A为直角顶点,AC为
直角边在第一象限内作等腰直角△ABC,连接BO.
(1)求OB的最大值；
(2)在AC滑动过程中,△OBC能否恰好为等腰三角形？若能,求出此时点A的坐标;若不能,请说明理由.
