三余弦定理与三正弦定理

复习指津　ＺＨＯＮＧＸＵＥ　ＪＩＡＯＸＵＥ　ＣＡＮＫＡＯ　

三棱柱中正弦定理与余弦定理的证明及应用　

广西柳州市鹿寨中学（５４５６００）谢忠　

众所周知，三角形与四面体都各有其正弦定理与余　

弦定理，三棱柱中亦有正弦定理与余弦定理，即在三棱　柱ＡＢＣ—Ａ　Ｂ　Ｃ　中，有：　正弦定理：三棱柱的三个侧面面积的比等于其相对　

二面角的正弦的比：　

一　一　ｓｉｎ（ＡＡ１）　ｓｉｎ（ＢＢ１）　ｓｉｎ（ＣＣ１）’　余弦定理：三棱柱的任一侧面面积的平方等于其他　

两个侧面面积的平方和，再减去这两个侧面面积与其所　

夹二面角余弦的积的两倍：　Ｓ　一Ｓ；＋Ｓ；一２Ｓ２Ｓ３ｃｏｓ（ＡＡ１）．　（其余二式略写）　

这里，Ｓ　，Ｓ　，Ｓ。分别表示侧棱ＡＡ１，ＢＢ　，ＣＣ　所对　侧面的面积，（ＡＡ　）表示以侧棱ＡＡ　为棱的二面角，　

（ＢＢ　）表示以侧棱ＢＢ　为棱的二面角，（ＣＣ　）表示以侧　棱ＣＣ１为棱的二面角．　

Ｃ　

Ｃ　

图１　证明：三棱柱ＡＢＣ—Ａ　Ｂ　Ｃ　如图１．任取一与它的　

侧棱垂直的平面ａ，设Ａ，Ｂ，Ｃ在ａ的射影分别为Ａ　，Ｂ　，　

Ｃ　．　在△Ａ　Ｂ　Ｃ　中由正弦定理与余弦定理得　

一　一　．①　ｓｉｎＡ　ｓｉｎＢ　ｓｉｎＣ＇　

Ｂ　Ｃ　。一Ａ　Ｃ　。＋Ａ　Ｂ　一２Ａ　Ｃ　・Ａ　Ｂ　ｃｏｓＡ　．　②　

在①中各分子乘以三棱柱的侧棱长ｚ即得　

一　一　ｓｉｎ（ＡＡ１）　ｓｉｎ（ＢＢ１）　ｓｉｎ（ＣＣ１）‘　在②中两边遍乘Ｚ　即得　

Ｓ　一Ｓ；＋Ｓ；－－２Ｓ２Ｓ３ｃｏｓ（ＡＡ１）．　正、余弦定理证毕．定理的应用举例如下：　

【例１】求证：平行六面体的两个对棱截面面积的　

平方和等于四个侧面面积的平方和．　

Ｃ　

图２　证明：如图２，在三棱柱和ＡＢＣ—Ａ１Ｂ　Ｃ　和ＡＢＤ—　

Ａ　Ｂ　Ｄ　中用余弦定理得：　

ｓＥ　一　＋ｓＬ　一２　Ｓｍ　ｃｏｓ（ＡＡ　），③　

ｓｈ．一　＋　一２　，Ｓ　．ＣＯＳＥ＇Ｋ－（ＡＡ　）］．④　

注意　一ＳｃＤ　，　＝Ｓｍ　，　

③＋④即得　

创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日

创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日 1.设A为面上一点，过A的直线AO在面上的射影为AB，AC为面上的一条直线，那么∠OAC,∠BAC,∠OAB三角的余弦关系为： 之吉白夕凡创作

创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日

cos∠OAC=cos∠BAC×cos∠OAB (cos∠BAC和cos∠OAB只能是锐角）

通俗点说就是，斜线与平面内一条直线夹角的余弦值=斜线与平面所成角1的余弦值射影与平面内直线夹角的余弦值．

三余弦定理（又叫最小角定理或爪子定理）

定理证明：如上图，自点O作OB⊥AB于点B，过B作BC⊥AC于C，连OC，则易知△ABC、△AOC、△ABO均为直角三角形．OAACABACOAABcos,cos,cos21

辅助记忆：这三个角中，角是最大的，其余弦值最小，等于另外两个角的余弦值之积。斜线与平面所成角1是斜线与平面内所有直线所成的角中最小的角。

2.设二面角M－AB－N的度数为，在平面M上有一条射线AC，它和棱AB所成角为，和平面N所成的角为，则sin=sin·sin（如图） 创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日

创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日 三正弦定理

定理证明：如上图，过C作CO⊥平面N于点O，过O作直线OB⊥二面角的棱于点B，连OA，CB，则易知△CAO，△CBO，△ABC均为直角三角形．

于是，sin=ACCO，sin=BCCO，sin=ACBC

sin=sin·sin

如果将三余弦定理和三正弦定理联合起来使用，用于解答立体几何综合题，你会发现出乎意料地简单，甚至不必作任何辅助线！

例1 如图，已知A1B1C1－ABC是正三棱柱，D是AC中点，若AB1⊥BC1，求以BC1为棱，DBC1与CBC1为面的二面角α的度数.(1994年全国高考理科数学23题)

例2 已知Rt△ABC的两直角边AC=2，BC=3．P为斜边AB上一点，现沿CP将此直角三角形折成直二面角A－CP－B（如下图），当AB=√7时，求二面角P－AC－B大小．(上海市1986年高考试题，难度系数0.28)

灵活应用正、余弦定理解三角形

利用正余弦定理解三角形在近几年的高考中出现的频率比较频繁，因此，掌握好正、余弦定理在各种题型中的应用就显得尤其重要。下面就正、余弦定理的几种应用作一个归纳，希望能帮助同学们更好地掌握。

一、直接利用定理求边和角。

例1：在△ABC中，0060,30,366BAba，求边c的长。

解：∵ )(1800BAc=090 由正弦定理：CcBbAasinsinsin及等比定理得

0060sin30sin366sinsinsinBAbaCc

∴12)31(21)31(62321366c

二、配凑公式求边和角。

例2：若a，b，c分别表示△ABC的顶点A、B、C所对的边长，且（a+b+c）（a+b－c）=3ab，求cos（A+B）。

解： 由（a+b+c）（a+b－c）=3ab，得abcba3)(22

整理得：abcba222， 故cos（A+B）=－cosC =－2122222abababcba

三、利用定理求边和角的求值范围。

例3：①在锐角△ABC中，a=1，b=2则c的取值范围是多少？

②设a,a+1, a+2为钝角三角形的三边，则a的取值范围是__________.

解:①由余弦定理得: 2cCCabbacos45cos222

由0

②由余弦定理得: 0)1(2)2()1(cos222aaaaaC

30310322aaaa

四、利用定理判断三角形的形状。

例4：在△ABC，已知)sin()()sin()(2222BAbaBAba，判断△ABC的形状。

解：∵)sin()()sin()(2222BAbaBAba

∴)sincoscos)(sin()sincoscossin()(2222BABAbaBABAba

三角函数中的正弦定理与余弦定理

三角函数是数学中常用的一种函数，在几何学中也起着重要的作用。本文将探讨三角函数中的两个关键定理：正弦定理和余弦定理。这两个定理在解决各种三角形问题时非常有用，通过它们可以计算出未知的边长和角度。

一、正弦定理

正弦定理是一个关于三角形边长和角度之间关系的定理，它适用于所有的三角形。正弦定理表达的是三角形中一个角的正弦值与其对边的比例关系。

设三角形的三边分别为a、b、c，相应的角为A、B、C，那么正弦定理可以表示为：

a/sinA = b/sinB = c/sinC

这个定理的一种形式是：

a/sinA = 2R

其中，R是三角形外接圆的半径。

正弦定理的应用非常广泛，例如可以通过已知两边和一个角度，求解未知边长或者角度。同时，它也常用于解决三角形的面积问题。

二、余弦定理

余弦定理是另一个与三角形边长和角度之间关系的定理，与正弦定理相比，余弦定理更加灵活，适用于各种类型的三角形。余弦定理表达的是三角形中一个角的余弦值与其对边的平方和其他两边的乘积之间的关系。

设三角形的三边分别为a、b、c，相应的角为A、B、C，那么余弦定理可以表示为：

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosA

b^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosB

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC

余弦定理的应用非常广泛，可以通过已知三边求解未知角度或者通过已知两边和一个夹角求解未知边长。

三、正弦定理与余弦定理的关系

正弦定理和余弦定理在解决三角形问题时可以互相补充使用。根据正弦定理，我们可以求解任意一个角的正弦值，通过求解余弦，我们可以得知其他两个角的余弦值。进而，我们可以通过余弦定理求解三角形的边长。

例如，在解决三角形的边长问题时，我们可以首先使用正弦定理求解一个角的正弦值，然后使用余弦定理求解其他两个角的余弦值。通过已知角度的余弦值，我们可以应用余弦定理求解未知边长。