新浙教版九年级数学下册第一章《解直角三角形(2)》优课件

1 28.2.2 应用举例

第2课时 利用仰俯角解直角三角形

1．使学生掌握仰角、俯角的意义，并学会正确地判断；(重点)

2．初步掌握将实际问题转化为解直角三角形问题的能力．(难点)

一、情境导入

在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形．当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．今天我们就学习和仰角、俯角有关的应用性问题．

二、合作探究

探究点：利用仰(俯)角解决实际问题

【类型一】

利用仰角求高度

星期天，身高均为1.6米的小红、小涛来到一个公园，用他们所学的知识测算一座塔的高度．如图，小红站在A处测得她看塔顶C的仰角α为45°，小涛站在B处测得塔顶C的仰角β为30°，他们又测出A、B两点的距离为41.5m，假设他们的眼睛离头顶都是10cm，求塔高(结果保留根号)．

解析：设塔高为xm，利用锐角三角函数关系得出PM的长，再利用CPPN＝tan30°，求出x的值即可．

解：设塔底面中心为O，塔高xm，MN∥AB与塔中轴线相交于点P，得到△CPM、△CPN是直角三角形，则x－（1.6－0.1）PM＝tan45°，∵tan45°＝1，∴PM＝CP＝x－1.5.在Rt△CPN中，CPPN＝tan30°，即x－1.5x－1.5＋41.5＝33，解得x＝833＋894. 2 答：塔高为833＋894m.

方法总结：解决此类问题要了解角与角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形．当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第7题

【类型二】 利用俯角求高度

如图，在两建筑物之间有一旗杆EG，高15米，从A点经过旗杆顶部E点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°.若旗杆底部G点为BC的中点，求矮建筑物的高CD.

【知识梳理】

一、锐角三角函数的概念

如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的 边AB记为c，叫做斜边．

锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinAaAc的对边斜边；

锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosAbAc的邻边斜边；

锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanAaAAb的对边的邻边.

同理sinBbBc的对边斜边；cosBaBc的邻边斜边；tanBbBBa的对边的邻边．

要点诠释：

(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．

(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．

(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．

(4)由锐角三角函数的定义知：

当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0．

锐角三角函数

ABCabc二、特殊角的三角函数值

利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：

锐角

30°

45°

1

60°

要点诠释：

(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．

第一章 解直角三角形 复习

教学目标：

1、复习巩固所学的锐角三角函数与直角三角形及其应用等有关知识、方法；

2、发展学生的数学应用意识，培养分析问题和解决问题的能力。

教学重点：锐角三角函数的概念、计算和解直角三角形。

教学难点：解直角三角形的实际应用

教学过程：

一、知识梳理

引导学生回忆本章所学知识，用图表的方式加以梳理概括。

着重说明以下几点：

1、本章的重点是锐角的三角函数的概念、计算以及解直角三角形的一般方法。

2、注意对锐角三角函数概念的理解，要准确记忆30°、45°、60°角的三角函数值，有关锥度、坡度、方向角、仰角、俯角等概念的理解与应用。

二、例题教学：

例1、如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，CD⊥AB，D为垂足，CD=5，BD=2，

求：(1) tanA; (2)cos∠ACD;(3)AC的长。

注意：角之间的转化，如∠ACD=∠B，∠A=∠BCD。

例2、在△ABC中，∠C=90°，AB= ,3D为AC上一点，且∠DBC=30°，COS∠ABC=53.

求BC和AD的长。

注意：求AD的长的关键在于求BC，因此解此类问题应从两Rt△的公共边入手。

例3 、已知：△ABC中，∠A=30°，∠C-∠B=60°，AC=22 ，求△ABC的面积。

注意：画CD⊥AB，将解一般三角形问题转化为解直角三角形问题；在本题中，求公共直边CD成为求解的关键。

例4．北部湾海面上，一艘解放军军舰正在基地A的正东方向且距离A地40海里的B处训练。突然接到基地命令，要该舰前往C岛，接送一名病危的渔民到基地医院救治。已知C岛在A的北偏东方向60°，且在B的北偏西45°方向，军舰从B处出发，平均每小时行驶20海里，需要多少时间才能把患病渔民送到基地医院?(精确到0.1小时)

例5．如图，城市规划期间，要拆除一电线杆AB，已知距电线杆水平距离14米的D处有一大坝，背水坡的坡度i＝2:1，坝高CF为2米，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽为2米的人行道．请问：在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上，以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域)。

第一章 解直角三角形

1、锐角三角函数

（1）锐角A的对边与斜边 的比叫做A的正弦，记作Asin；caAA斜边的对边sin

（2）锐角A的邻边与斜边 的比叫做A的余弦，记作Acos；cbAA斜边的邻边cos

（3）锐角A的对边与邻边 的比叫做A的正切，记作Atan；baAAA的邻边的对边tan

特殊的三角函数值

度数

三角函数 030 045 060

sin 21 22

23

cos 23 22 21

tan 33 1 3

互余两角的正弦值、余弦值和正切值之间的关系

若090BA，则BAcossin，即)90cos(sin0AA；

BAsincos，即)90sin(cos0AA； BAtan1tan

正切与正余弦之间的关系： AAAcossintan

同角的正余弦关系：1cossin22AA

2、有关三角函数的计算

用计算器求相应的三角函数的值

3、解直角三角形

概念：在直角三角形中，除了直角外的5个元素，只要知道其中的2个元素（至少要有一个是边），求其它3个元素的过程叫解直角三角形。

依据：（1）三边间的关系：勾股定理222cba

（2）锐角间的关系：090BA；

（3）边角间的关系：caAsin，cbAcos，baAtan；

cbBsin，cabcos，abbtan； （4）面积公式：chabSABC2121

直角三角形可解的条件及可直接解的直角三角形的解

（1） 已知两边或已知一边及一锐角，则此三角形可解，即在已知的两个条件中，至少有一个是边。

（2） 可直接解求解的直角三角形分为以下四种情况：

① 已知两条直角边a，b其解法为

22bac，由baAtan得A，AB090.