新人教版高中数学必修三 第二章统计教案：2.1随机抽样

1 2.1 随机抽样

【知识要点】

1. 总体、个体、样本、随机抽样等概念的理解

a. 总体、个体：我们一般把所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合看成总体，构成总体的每一个元素作为个体。

b. 从总体中随机抽取若干个体进行考察，这若干个个体构成的集合叫总体的样本。

c. 每一个个体被抽到的机会是均等的，满足这样的条件的抽样是随机抽样。

2. a. 简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（nN），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样，这样抽取的样本，叫做简单随机样本。

b. 常用的简单随机抽样方法：（1）抽签法：先把总体中的所有个体（共有N个）编号（号码可以从1到N），并把号码写在形状、大小相同的号签上，然后将这些号签放在一个容器里，进行均匀搅拌，抽签时，每次从中抽出1个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本。 （2）随机数表法：将总体中的个体编号，选定开始的数字，然后获取样本号码。

3.a. 系统抽样：将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取一些个体，得到所需要的样本，这样的抽样叫做系统抽样。

b. 系统抽样的步骤：（1）编号 （2）分段 （3）确定起始个体编号 （4）按照事先确定的规则抽取样本。

4. a. 分层抽样：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法就叫做分层抽样。

b. 分层抽样的操作步骤：（1）将总体按一定标准进行分层 （2）计算各层的个体数与总体的个体数的比 （3）按各层个体数占总体个体数的比确定各层应抽取的样本容量 （4）在每一层进行抽样（可用简单随机抽样或系统抽样）

5. 三种抽样方法的比较：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同特点是在抽样过程中每一个个体被抽取的机会相等，体现了这些抽样方法的客观性和公平性。其中简单随机抽样是最简单和最基本的抽样方法，在进行系统抽样和分层抽样时都要用到简单随机抽样方法，抽样方法经常交叉起来应用，对于个体数量很多的总体，可采用系统抽样，系统中的每一均衡部分，又可采用简单随机抽样。

【知识应用】

1. 方法：总体就是所有考察对象的全体，而其中的每个考察对象是个体，在总体中抽取的一部分个体就是样本。随机抽样必须要是每个个体被抽到的机会是均等的，否则不是随机抽样。

【J】例1 现从80件产品中随机抽出20件进行质量检验，下列说法正确的（ ）

2 A 80件产品是总体 B 20件产品是样本

C 样本容量是80 D 样本容量是20

【L】例2从60个产品中抽取6个进行检查,则总体个数为______,样本容量为______.

【C】例3 为了分析高三年级的八个班400名学生第一次高考模拟考试的数学成绩，决定在八个班钟每班随机抽取12份试卷进行分析，这个问题中样本容量是（ ）

A 8 B 400 C 96 D 96名学生的成绩

【C】例4 为了了解所加工的一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是（ ）

A 总体 B个体 C 总体的一个样本 D样本容量

2. 方法：a. 判断抽样是否为简单随机抽样，只要根据简单随机抽样的四个特点进行判断：（1）不放回 （2）总体数量有限 （3）逐个抽取 （4）等可能性

b. 利用抽签法抽取样本时应注意：（1）编号时，如果已有编号可不必重新编号 （2）号签要求大小、形状完全相同 （3）号签要搅拌均匀 （4）要逐一不放回抽取。

c. 利用随机数表法抽样时：（1）编号要求数位相同 （2）第一个数字的抽取是随机的 （3）读数的方向是任意的，且事先定好的。

【J】例1 下面抽取样本的方式是简单随机抽样吗？为什么?

（1）从无限多个个体中抽取50个个体作为样本

（2）箱子里共有100个零件，从中选取10个零件进行检验，从中任取一个零件进行检验后，再把它放回箱子里

（3）从50个个体中，一个性抽取5个个体作为样本

（4）从某班45名同学中指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动

【L】例2 某班有50名学生，要从中随机抽出6人参加一项活动，请分别用抽签法和随机数表法进行抽样并写出过程

【C】例3 要从10架钢琴中抽取4架进行质量检验，请你设计抽样方案（2种）

3 3. 方法：当总体中个体无差异且个体数目较大时，采用系统抽样抽取样本。采用系统抽样抽取样本时，要注意在每一段上仅抽取一个个体，并且抽取出的个体编号按从小到大顺序排列时，从第2个号码起，每个号码与前面一个号码的差都等于同一个常数，这个常数就是分段间隔，因此系统抽样又称为等距抽样。

【J】例1 要从1002个学生中抽取一个容量为20的样本，试用系统抽样的方法给出抽样过程。

【L】例2 下列抽样中不是系统抽样的是（ ）

A 从号码为1到15的15个球中任选3个作为样本，先在1到5号球中用抽签法抽出0i号，再将号码为0i+5，0i+10的球也抽出

B 工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间的过程中，检查人员从传送带上每5分钟抽取一件产品进行检验

C 搞某项市场调查，规定在商店门口随机地抽一个人进行询问，知道调查到事先规定的调查人数为止

D 某电影院调查观众的某一指标，通知每排（每排人数相等）座位号为14的观众留下来座谈

【C】例3某校高中三年级的295名学生已经编号为1,2 ，295，为了了解学生的学习情况，要按1:5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程。

4. 方法：分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成的情况，更充分地反映了总体的情况，它是等可能抽样，每个个体被抽样的可能性是nN。

【J】例1 某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况，从他们中抽取容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是（ ）

A 简单随机抽样 B 系统抽样

C 分层抽样 D 先从老年人中剔除1人，再用分层抽样

【L】例2 某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，为了了解政府机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请写出具体的抽样过程。

4 【C】例3 一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？

5. 方法：a. 抽样方法的选择：（1）通过比较三种抽样方法，可以发现它们之间的关系密切，无论采取哪一种方法，每个个体被抽到的可能性是一样的。

（2）对于系统抽样和分层抽样，如果Nn不是整数，那么可采用剔除法，但每个个体被抽到的可能性仍然相等。

b. 三种方法中数据之间的关系：（1）. 在简单随机抽样、系统抽样、分层抽样中，若总体个数为N，抽取的样本容量为n，则每个个体被抽到的概率P= nN。（2）若已知总体数，且样本容量已知，采用系统抽样（或分层抽样）方法进行抽样，如果要剔除一些个体，那么需要剔除的个体数为总体数除以样本容量所得的余数。

c. 使用范围：简单随机抽样：总体中的个体数较少。系统抽样：总体中的个体数较多。 分层抽样：总体由差异明显的几部分组成。

【J、L】例1 选择合适的抽样方法抽样，写出抽样过程

（1）有30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个入样。

（2）例2 有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取3个入样。

【C】例2 （1）有甲厂生产的300个篮球，抽取30个入样。

（2）有甲厂生产的300个篮球，抽取10个入样。

5 总结：

1. 熟悉总体、个体、样本、随机抽样的概念

2. 掌握简单随机抽样，系统抽样，分层抽样。

3. 能判断什么情况下用简单随机抽样，系统抽样，分层抽样。

4. 熟练运用三种抽样的方法步骤。

练习题：

1. 要从某汽车厂生产的100辆汽车中随机抽取10 辆进行测试，请选择合适的抽样方法，写出抽样过程。

2. 一企业有职工500人,其中不到35岁的有125人,35～49岁的有280人,50岁以上的有95人.为了解该单位职工年龄与身体状况的有关指标,从中抽100名职工作为样本,应该怎样抽取？

3. 某工厂生产的产品,用速度恒定的传送带将产品送入包装车间之前,质检员每隔3分钟从传送带上是特定位置取一件产品进行检测,这种抽样方法是

( )

A. 简单随机抽样 B. 系统抽样 C. 分层抽样 D. 其它抽样方法

4. 从个体总数N=500的总体中,抽取一个容量为n=20的样本,使用随机数表法进行抽选,要取三位数,写出你抽取的样本,并写出抽取过程.(起点在第几行,第几列,具体方法)

5. 总容量为160,若用随机数表法抽取一个容量为10的样本.下面对总体的编号正确的是( )

A. 1,2,…,106 B. 0,1,…,105

C.00,01,…,105 D. 000,001,…,105