勾股定理的应用及方法

勾股定理及应用1．勾股定理的基本概念Rt△ABC 中，△A ，△B ，△C 的对边长分别为a ，b ，c 则222c b a =+，222b c a -=，222a c b -=（c 为三角形的斜边）2．勾股定理的证明 如图，小正方形的面积421)(22⨯-+=ab b a c ，化简即222c b a =+． b aa c c bc cb aa b3．勾股定理的逆定理（1）如果一个三角形的三边满足222c b a =+，222b c a -=，222a c b -=之一，那么这个三角形一定是直角三角形．（2）满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．常用的勾股数组：3、4、5； 6、8、10；5、12、13等；若a ，b ，c 为一组勾股数，那么ka ，kb ，kc （k≠0，k 为常数）也是勾股数．4．勾股定理及逆定理的综合应用运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决一些实际问题．例题精讲知识点一：勾股定理的基本概念例1．如图，Rt△ABC中，△C=90°，AC=3，BC=4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1+S2+S3+S4等于（）A．14B．16C．18 D．20（2）由线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形的是（）A．a=7，b=24，c=25B．a=，b=4，c=5C．a=，b=1，c=D．a=，b=，c=（3）下列说法：△若a，b，c为一组勾股数，那么4a，4b，4c仍是勾股数；△如果直角三角形的两边是3，4，那么斜边必是5；△如果一个三角形的三边是12，25，21，那么此三角形必是直角三角形；△一个等腰直角三角形的三边是a，b，c（a＜b=c），那么a2：b2：c2=2：1：1，其中正确的是（）A．△△ B．△△C．△△D．△△训练1．（1）如图，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=5，S2=6，则AB的长为．（2）如图，Rt△ABC中，△C=90°，AC=2，BC=4，分别以AC、BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为．（3）已知三组数据：△2，3，4；△3，4，5；△1，，2．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有（）A．△B．△△C．△△ D．△△（4）观察以下几组勾股数，并寻找规律：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…请你写出有以上规律的第（n）组勾股数：．知识点二：勾股定理计算例2．（1）已知一个直角三角形的两条边的长分别为3和5，则第三条边的长为．（2）点A、B、C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离是．（3）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，若AB=5，AC=4，则BD=．（4）一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，△这个梯子的顶端距地面有多高？△如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？训练2．（1）如图，方格纸中有三个格点A、B、C，则点A到BC的距离为=．（2）若直角三角形的两小边为5、12，则第三边为．（3）如图，△ABC中，△C=90°，AC=BC，AD是△BAC的平分线，DE△AB于E，若AB=12cm，则△DBE的周长等于．（4）如图，将长为2.5米长的梯子AB斜靠在墙上，BE长0.7米．△求梯子上端到墙的底端E的距离（即AE的长）；△如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4米（即AC=0.4米），则梯脚B将外移（即BD长）多少米？知识点三：勾股定理应用例4．（1）如图，有一圆柱体，它的高为8cm，底面周长为12cm．在圆柱的下底面A点处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是．（2）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=9，BB′=5，B′C′=6，在线段AB的三等分点E（靠近点A）处有一只蚂蚁，B′C′中点F处有一米粒，则蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为．（3）已知：如图，四边形ABCD中，AB△BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD 的面积．训练4．（1）如图，在长、宽都是3，高是8的长方体外部，若蚂蚁要从顶点A 爬到顶点B ，那么它爬行的最短距离是多少？（2）如图一个圆柱，底圆周长6cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，则从A 到B 蚂蚁爬行最短距离为多少？（3）如图，凸四边形ABCD 的四边AB ．BC 、CD ．和DA 的长分别是3，4，12，和13，∠ABC=90°，求四边形ABCD 的面积．例5．（1）如图，在四边形ABCD 中，AB=AD=3，DC=4，△A=60°，A BA B△D=150°，试求BC的长度．（2）如图，一个工人拿一个2．5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0．7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0．4米，梯子的底部向外滑多少米？*训练5-1．如图，四边形ABCD中，AB△BC，△BCD=150°，△BAD=60°，AB=4，BC=2，求CD的长．训练5-2．如图，一个梯子AB长2．5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1．5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0．9米，则梯子顶端A下落了知识点四：勾股定理拓展例6．（1）如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在边BC的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，则EC的长为cm．（2）如图，在一张长方形ABCD纸张中，一边BC折叠后落在对角线BD上，点E为折痕与边CD的交点，若AB=5，BC=12，求图中阴影部分的面积．训练6．（1）如图，长方形纸片ABCD，沿折痕AE折叠边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，S△ABF=24，则EC的长为．（2）如图，长方形纸片ABCD中，BC=，DC=1，将它沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，则图中阴影部分的面积是多少？（3）如图所示，把一张矩形纸片沿对角线折叠，重合部分是什么图形，试说明理由．①若AB=4，BC=8，求AF．②若对折使C在AD上，AB=6，BC=10，求AE，DF的长．。

勾股定理计算方法技巧勾股定理是初中数学中的基础知识，也是数学中的一项重要定理。

它可以用来计算三角形的边长和角度，是很多数学问题的基础。

在本文中，我们将探讨一些应用勾股定理进行计算的方法和技巧。

一、理解勾股定理勾股定理是指直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边平方和的定理。

即：a + b = c。

其中，a、b为直角边，c为斜边。

这个定理的证明可以通过几何方法或者代数方法进行。

二、应用勾股定理计算边长1. 已知两条直角边，求斜边当已知两条直角边的长度时，可以使用勾股定理计算斜边的长度。

例如，已知一个直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm，求斜边的长度。

根据勾股定理，斜边的平方等于3+4=9+16=25，因此斜边的长度为5cm。

2. 已知斜边和一条直角边，求另一条直角边当已知斜边和一条直角边的长度时，可以使用勾股定理计算另一条直角边的长度。

例如，已知一个直角三角形的斜边为5cm，其中一条直角边为3cm，求另一条直角边的长度。

根据勾股定理，另一条直角边的平方等于5-3=25-9=16，因此另一条直角边的长度为4cm。

三、应用勾股定理计算角度在直角三角形中，勾股定理不仅可以用来计算边长，还可以用来计算角度。

根据勾股定理，可以得到以下公式：sinθ = a/ccosθ = b/ctanθ = a/b其中，θ为直角三角形中的角度，a、b、c分别为三角形中的边长。

1. 求角度的方法例如，已知一个直角三角形的斜边为5cm，其中一条直角边为3cm，求另一条直角边与斜边的夹角。

首先根据勾股定理计算出另一条直角边的长度为4cm。

然后，根据sinθ = a/c，可得：sinθ = 3/5θ = arcsin(3/5)通过计算，得到θ的值约为36.87度。

因此，另一条直角边与斜边的夹角约为36.87度。

2. 求正弦、余弦、正切的值以求正弦为例，已知一个直角三角形的斜边为5cm，其中一条直角边为3cm，求另一条直角边与斜边的夹角的正弦值。

勾股定理的应用计算斜边长度及角度勾股定理是数学中的一条基本定理，它提供了计算直角三角形中边长关系的方法。

根据勾股定理，斜边的长度可以通过另外两边的长度来计算，同时也可以利用已知的边长计算出两个角的大小。

本文将介绍勾股定理的应用，以及如何计算斜边长度及角度。

一、勾股定理概述勾股定理又称毕达哥拉斯定理，它由古希腊数学家毕达哥拉斯提出。

勾股定理的表达式为：c² = a² + b²。

其中，c表示直角三角形的斜边，a和b分别表示直角三角形的两条直角边。

根据勾股定理，我们可以通过已知的两边长度来计算出斜边的长度，或者通过已知的斜边长度计算出两个角的大小。

二、计算斜边长度假设我们已知直角三角形的两个直角边a和b的长度，下面是计算斜边c的步骤：1. 将已知的两个直角边长度代入勾股定理的表达式，得到c² = a² +b²。

2. 对上述等式两边开方，得到c = √(a² + b²)。

通过以上步骤，我们可以得到直角三角形斜边的长度。

三、计算角度大小如果我们已知直角三角形的斜边c和一个直角边a的长度，下面是计算另一个直角边b以及两个角的大小的步骤：1. 将已知的斜边长度和直角边长度代入勾股定理的表达式，得到c²= a² + b²。

2. 先求解另一个直角边的长度b。

移项后得到b² = c² - a²，再开方得到b = √(c² - a²)。

3. 通过已知两边的长度，我们可以计算出直角三角形中另外两个角的正弦、余弦和正切值。

a. 正弦：sinθ = 对边长度/斜边长度b. 余弦：cosθ = 临边长度/斜边长度c. 正切：tanθ = 对边长度/临边长度通过求解上述三个公式，我们可以得到两个角的大小。

四、实例演示以一个直角三角形为例，已知直角边a = 3，直角边b = 4，我们来计算斜边c的长度以及两个角的大小。

勾股定理的应用举例与解题方法勾股定理是一条著名的数学定理，它在几何学和代数学中具有广泛的应用。

本文将通过举例和解题方法来探讨勾股定理的应用。

一、求解直角三角形的边长勾股定理最常见的应用就是求解直角三角形的边长。

直角三角形是指一个角度为90度的三角形。

在这种三角形中，直角边即为斜边相对的两条边。

根据勾股定理，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

举例1：已知一个直角三角形的一条直角边长度为5，另一条直角边长度为12，求斜边的长度。

解题方法：根据勾股定理可以得到：斜边的平方 = 直角边1的平方 + 直角边2的平方代入已知条件可得：斜边的平方 = 5² + 12² = 25 + 144 = 169开方得到斜边的长度为13。

因此，该直角三角形的斜边长度为13。

二、验证三条边是否构成直角三角形通过勾股定理，我们还可以验证三条边是否构成直角三角形。

举例2：已知三条边的长度分别为3、4、5，判断它们是否构成直角三角形。

解题方法：按照勾股定理，如果三条边的平方和等于斜边的平方，那么它们所构成的就是直角三角形。

代入已知条件可得：3² + 4² = 9 + 16 = 25而斜边的平方为5² = 25由此可见，两者相等，所以这三条边构成了直角三角形。

三、解决几何问题勾股定理不仅可以用于解决三角形问题，还可以应用于其他几何问题。

举例3：已知一个矩形的两条边长分别为5和12，求对角线的长度。

解题方法：由于矩形的对角线可以看作是直角三角形的斜边，我们可以利用勾股定理来求解。

根据勾股定理可以得到：对角线的平方 = 矩形的一条边长的平方 +矩形的另一条边长的平方代入已知条件可得：对角线的平方 = 5² + 12² = 25 + 144 = 169开方得到对角线的长度为13。

因此，该矩形的对角线长度为13。

四、应用于物理问题勾股定理还可以应用于物理问题的求解中。

举例4：一个投射角度为45度的物体以10 m/s的速度抛出，求物体在水平方向上的飞行距离。

三角形中的勾股定理及其应用勾股定理是数学中的一个重要定理，它描述了直角三角形中三条边之间的关系。

根据勾股定理，直角三角形中最长的边，即斜边的平方等于两个直角边平方的和。

这一定理被广泛应用于几何学、物理学和工程学等领域，有助于解决直角三角形相关的问题和计算。

勾股定理的一种简单表述是：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边平方的和。

用数学符号表示为：c² = a² + b²，其中c是斜边的长度，a和b是两个直角边的长度。

勾股定理的应用非常广泛，下面将介绍其中一些常见的应用。

1. 测量直角三角形的边长：当我们已知一个直角三角形的两个直角边的长度时，可以通过勾股定理计算斜边的长度。

这对于工程测量和建筑设计等领域非常重要。

2. 判断三角形的形状：根据勾股定理，如果一个三角形的三条边满足c² = a² + b²，那么这个三角形就是一个直角三角形。

通过这一定理，我们可以判断任意三条边的长度是否构成直角三角形。

3. 计算角度：勾股定理可以用来计算直角三角形中的角度。

根据a²+ b² = c²，我们可以通过三角函数的逆运算，如正弦、余弦和正切等，求得角度的数值。

4. 解决问题：勾股定理在解决实际问题中有着重要的应用。

例如，在导航和航海中，我们可以利用勾股定理计算两个位置之间的直线距离。

在炮弹轨迹的分析和设计中，勾股定理可以帮助预测炮弹的轨迹和距离。

通过深入理解和应用勾股定理，可以进一步拓展我们对三角形性质的认识，并解决更为复杂的问题。

例如，我们可以探索勾股定理在多边形中的应用，以及勾股定理的扩展形式，如海伦公式等。

除了勾股定理本身，我们还可以讨论一些与之相关的概念和定理，进一步加深对三角形的理解。

例如，我们可以介绍正弦定理和余弦定理，它们可以用来计算非直角三角形中的边长和角度。

总结起来，勾股定理作为数学中一项重要而实用的定理，不仅有助于理解和解决直角三角形相关的问题，还在物理学、工程学和导航等实际应用中发挥着重要作用。

勾股定理的应用与证明勾股定理是数学中的重要定理，被广泛应用于各个领域。

本文将介绍勾股定理的应用，并对其证明方法进行探讨。

一、勾股定理的应用勾股定理是解决直角三角形问题的基础，常被应用于以下方面：1. 测量和测绘：在地理测量和测绘学中，勾股定理被用于计算地面上两点间的直线距离。

此外，勾股定理还可应用于测量斜坡的高度、测量建筑物的高度以及绘制地图等。

2. 工程和建筑：在工程和建筑领域，勾股定理可用于计算构建斜面或倾斜物体的长度、高度和角度。

例如，在设计一座大桥时，工程师需要根据两座桥塔之间的距离和高度，以及斜杆的角度，来计算桥索的长度。

3. 电子技术：在电子电路设计中，勾股定理可用于计算电路中的电流、电压和电阻之间的关系。

特别是在直流电路中，应用勾股定理可以更方便地计算电流、电压和电阻的数值。

4. 计算机图形学：在计算机图形学中，勾股定理被广泛应用于三维空间中的几何计算。

通过勾股定理，可以快速计算出点与点之间的距离，从而实现三维图形的绘制和渲染。

二、勾股定理的证明方法勾股定理有多种证明方法，其中最著名的有三种：几何证明、代数证明和进一步发展的解析几何证明。

1. 几何证明：勾股定理最初由古希腊数学家毕达哥拉斯提出，并有他名字命名。

几何证明是最早的一种证明方法，通过构造直角三角形，利用几何图形的性质来证明。

这种证明方法直观清晰，易于理解。

2. 代数证明：代数证明是利用代数运算和方程的性质来证明勾股定理。

一种常见的代数证明方法是基于平方差公式，假设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，则根据平方差公式得到方程a^2 + b^2 = c^2，进而证明了勾股定理。

3. 解析几何证明：解析几何证明是通过引入坐标系和向量的概念，将直角三角形的顶点表示为坐标点，利用向量运算和距离公式来证明勾股定理。

这种证明方法在数学上更为严格，但也更为抽象一些。

三、结语勾股定理作为数学中的重要定理，不仅具有理论意义，更有广泛的实际应用。

勾股定理及其应用勾股定理，也被称为毕达哥拉斯定理，是数学中一个重要的几何定理，被广泛应用于各个领域。

本文将介绍勾股定理的原理和证明，并介绍其在实际应用中的一些重要示例。

一、勾股定理的原理和证明勾股定理是一个关于直角三角形斜边与两个直角边的关系定理。

它的表述可以归纳为：在直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方和。

设直角三角形的斜边长度为c，两个直角边的长度分别为a和b。

根据勾股定理，有c² = a² + b²。

证明该定理的方法多种多样，其中一种比较简单的方法是利用面积关系进行证明。

假设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c。

将该三角形移动到一个边长为a、边宽为b的矩形内，如图1所示。

[图1：勾股定理证明过程的示意图]显然，通过镜像方式将三角形补全，可以构成一个边长为c、边宽为c的正方形，如图2所示。

[图2：利用镜像补全三角形后构成正方形]由于正方形的面积等于边长的平方，我们可以得到两个式子：面积1 = a * b面积2 = c * c由于直角三角形的面积1等于正方形的面积2，我们可以得到：a *b =c * c进一步变换可得：c² = a² + b²上述证明过程说明了勾股定理的原理，并证明了定理的正确性。

二、勾股定理的应用示例勾股定理在实际生活中有着广泛的应用，下面将介绍其中一些重要的示例。

1. 测量直角三角形的边长勾股定理可以被用于测量直角三角形的边长。

当我们已知一个直角三角形的两个直角边的长度时，可以通过勾股定理计算出斜边的长度。

例如，如果直角三角形的两个直角边的长度分别为3和4，可以使用勾股定理计算出斜边的长度：c² = 3² + 4²c² = 9 + 16c² = 25c = 5因此，该直角三角形的斜边长度为5。

2. 建筑和工程应用勾股定理在建筑和工程领域中具有重要的应用。

勾股定理及其应用勾股定理是中国古代数学的一大发明，也是数学中最基础、最重要的定理之一。

它描述了直角三角形中三边的关系，被广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域。

本文将介绍勾股定理的原理以及它在实际问题中的应用。

一、勾股定理的原理勾股定理可以用数学公式表示为：在直角三角形中，直角边的平方等于两条直角边的平方和。

设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，根据勾股定理可以得出以下公式：a² + b² = c²这个公式是勾股定理的基本表达式，它是通过对直角三角形的三边进行数学推导得出的。

二、勾股定理的应用1. 解决几何问题勾股定理在几何学中有广泛的应用。

例如，可以通过已知直角边的长度来计算斜边的长度，或者通过已知斜边和一个直角边的长度来计算另一个直角边的长度。

通过勾股定理，我们可以解决诸如直角三角形的边长计算、角度计算等几何问题，对于建筑设计、地理测量等领域都有重要意义。

2. 测量地理距离在地理学中，我们often需要计算地球表面上两点之间的直线距离。

由于地球是球状的，所以实际距离不能直接通过直线距离计算得出。

但是在较小的地理范围内（例如一个城市、一个国家等），可以将地球表面近似为平面，这样就可以使用勾股定理来计算两点之间的近似直线距离。

3. 解决物理问题勾股定理也在物理学中得到了广泛的应用。

例如，在力学中，我们可以通过勾股定理计算一个斜面上物体的重力分量和斜面的角度之间的关系；在光学中，勾股定理可以用来计算光的传输路径和折射角度等。

4. 三角函数的应用勾股定理与三角函数之间存在紧密的关系。

通过勾股定理，我们可以定义正弦、余弦和正切等三角函数。

这些三角函数在科学计算、电子工程、信号处理等领域中有广泛的应用，例如在无线通信中，计算机图形学中，音频信号处理中等。

总结：勾股定理作为数学中的重要定理，不仅仅是理论的产物，更是实践中的有力工具。

它的应用广泛涉及到几何学、物理学、工程学等多个领域。

勾股定理16种经典证明方法与在实际生活中的应用ab c ab b a 214214222⨯+=⨯++【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即整理得 .【证法2】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF.222c b a =+ab 21∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º.∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形. 它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA.∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于.∴ . ∴ .【证法3】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2.∵ EF = FG =GH =HE = b ―a ,∠HEF = 90º.()2b a +()22214c ab b a +⨯=+222c b a =+ab 21∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于.∴ .∴ .【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴ AD ∥BC.∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于.∴ .∴ .【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P.∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD,∴ ∠EGF = ∠BED ，()2a b -()22214c a b ab =-+⨯222c b a =+ab 21221c ()221b a +()222121221c ab b a +⨯=+222c b a =+∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180º―90º= 90º.又∵ AB = BE = EG = GA = c ，∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD,∴ ∠ABC = ∠EBD.∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º.又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a.∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形.同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形.设多边形GHCBE 的面积为S ，则, ∴ .【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ） ，斜边长为c. 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上.过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P. 过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点F 作FN ⊥PQ ，垂足为N.∵ ∠BCA = 90º，QP ∥BC ，,21222ab S b a ⨯+=+abS c 2122⨯+=222c b a =+∴ ∠MPC = 90º，∵ BM ⊥PQ ，∴ ∠BMP = 90º，∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90º.∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º，∴ ∠QBM = ∠ABC ，又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c ，∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA.同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF.从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结BF 、CD. 过C 作CL ⊥DE ，交AB 于点M ，交DE 于点L.∵ AF = AC ，AB = AD ，∠FAB = ∠GAD ，∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ，∵ ΔFAB 的面积等于，ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，∴ 矩形ADLM 的面积 =.同理可证，矩形MLEB 的面积 =.∵ 正方形ADEB 的面积= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积221a 2a 2b∴ ，即 .【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在Rt ΔABCa 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作在ΔADC 和ΔACB 中，∵ ∠ADC = ∠ACB = 90∠CAD = ∠BAC ，∴ ΔADC ∽ ΔACB.AD ∶AC = AC ∶AB ，即 .同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB ，从而有 .∴ ，即 .【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c. 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R. 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P. 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H.∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º，∴ ∠DAH = ∠BAC.又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º，AD = AB = c ，∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA.∴ DH = BC = a ，AH = AC = b.由作法可知， PBCA 是一个矩形，所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA. 即PB = CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a.222b ac +=222c b a =+AB AD AC ∙=2AB BD BC ∙=2()222AB AB DB AD BC AC =∙+=+222c b a =+∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA ,Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA.∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º，∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . TF ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）.用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为①∵=，，∴ = . ②把②代入①，得= = .∴ .【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c. 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.543212S S S S S c ++++=()[]()[]a b a a b b S S S -+∙-+=++21438abb 212-985S S S +=824321S ab b S S --=+812S S b --98812212S S S S b S S c ++--++=922S S b ++22a b +222c b a =+∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º，∴ ∠TBH = ∠ABE.又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º，BT = BE = b ，∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE.∴ HT = AE = a.∴ GH = GT ―HT = b ―a.又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º，∴ ∠GHF = ∠DBC.∵ DB = EB ―ED = b ―a ，∠HGF = ∠BDC = 90º，∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC. 即 .过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE= ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌Rt ΔABE. 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 .由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE.∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE ，∴ ∠FQM = ∠CAR.又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a ，∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC. 即.∵ ，，，又∵ ，，，27S S =58S S =64S S =543212S S S S S c ++++=612S S a +=8732S S S b ++=27S S =58S S =64S S =∴ ==，即 .【证法11】（利用切割线定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c. 如图，以B 为圆心a 为半径作圆，交AB 及AB 的延长线分别于D 、E ，则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90º，点C 在⊙B 上，所以AC 是⊙B 的切线. 由切割线定理，得=== ，即，∴ .【证法12】（利用多列米定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c （如图）. 过点A 作AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有，∵ AB = DC = c ，AC = BD = b ，∴ ，即 8736122S S S S S b a++++=+52341S S S S S ++++2c 222c b a =+ADAE AC ∙=2()()BD AB BE AB -+()()a c a c -+22a c -222a cb -=222c b a =+BD AC BC AD DC AB ∙+∙=∙222AC BC AB +=22b ac +=a b aa B ACD c∴ .【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c. 作Rt ΔABC 的内切圆⊙O ，切点分别为D 、E 、F （如图），设⊙O 的半径为r.∵ AE = AF ，BF = BD ，CD = CE ，∴ = = r + r = 2r,即 ，∴ .∴ ，即 ，∵ ，∴ ，又∵ = = == ，∴ ，∴ ，∴ ， ∴ .【证法14】（利用反证法证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D.假设，即假设 ，则由==可知 ，或者 . 即 AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：222c b a =+()()()BF AF CD BD CE AE AB BC AC +-+++=-+CD CE +r c b a 2=-+c r b a +=+2()()222c r b a +=+()222242c rc r ab b a ++=++ab S ABC 21=∆ABC S ab ∆=42AOC BOC AOB ABC S S S S ∆∆∆∆++=br ar cr 212121++()r c b a ++21()r c c r ++221rc r +2()ABC S rc r ∆=+442()ab rc r 242=+22222c ab ab b a +=++222c b a =+222c b a ≠+222AB BC AC ≠+AB AB AB ∙=2()BD AD AB +BDAB AD AB ∙+∙AD AB AC ∙≠2BD AB BC ∙≠2c b a r r r O F D B ABC ≠BC ：AB.在ΔADC 和ΔACB 中，∵ ∠A = ∠A ，∴ 若 AD ：AC ≠AC ：∠ADC ≠∠ACB.在ΔCDB 和ΔACB ∵ ∠B = ∠B ，∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB ，则∠CDB ≠∠ACB.又∵ ∠ACB = 90º，∴ ∠ADC ≠90º，∠CDB ≠90º.这与作法CD ⊥AB 矛盾.所以，的假设不能成立.∴ .【证法15】（辛卜松证明）222AB BC AC ≠+222c b a =+ab 21ab 21ab 21ab 212c2b 2a B C b a b a b a b a b ac c c cb ab ab b a b a设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c. 作边长是a+b 的正方形ABCD. 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 ；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 =.∴ ,∴ .【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c. 做两个边长分别为a 、b 的正方形（b>a ），把它们拼成如图所示形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b 上截取ED = a ，连结DA 、DC ，则 AD = c.∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ，∴ DM = EM ―ED = ―a = b.又∵ ∠CMD = 90º，CM = a ，∠AED = 90º， AE = b ，∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC.∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c.∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º，∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º，∴ ∠ADC = 90º.∴ 作AB ∥DC ，CB ∥DA ，则ABCD 是一个边长为c 的正方形.∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º，∴ ∠BAF=∠DAE.连结FB ，在ΔABF 和ΔADE 中，()ab b a b a 2222++=+()22214c ab b a +⨯=+22c ab +22222c ab ab b a +=++222c b a =+()a b +∵ AB =AD = c ，AE = AF = b ，∠BAF=∠DAE ，∴ ΔABF ≌ ΔADE.∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a.∴ 点B 、F 、G 、H 在一条直线上.在Rt ΔABF 和Rt ΔBCG 中，∵ AB = BC = c ，BF = CG = a ，∴ Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG.∵ ， ， ， ，∴ ===∴ .勾股定理在实际生活中的应用勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三边之间的数54322S S S S c +++=6212S S S b ++=732S S a +=76451S S S S S +===6217322SS S S S b a ++++=+()76132S S S S S ++++5432SS S S +++2c222c b a =+量关系，是我们在直角三角形中解决边长计算问题的重要理论依据，同时勾股定理在我们实际生活中应用也很广泛。