高三第二轮复习教案不等式问题的题型与方法

第13章不等式【专题要点】（1）不等关系与不等式的性质是不等式的理论基础，是证明不等式和求解不等式的主要依据，也是高考的重要内容，在高考中一般不单独命题，而是以其他知识（如函数、集合、充要条件等）为载体进行考查，主要体现它的基础性和工具性。

若直接考查，则常以选择题和填空题形式出现(2)不等式的解法①要理解“三个二次”之间的关系，熟练掌握一元一次不等式的解法、一元二次不等式的解法，这是解其它不等式的基础。

会解含参数的一元二次不等式②会解绝对值不等式,能将分式不等式转化为整式不等式（组）求解。

(3)简单的线性规划能从实际问题中抽象出二元一次不等式组。

理解二元一次不等式组表示平面的区域，能够准确的画出可行域。

能够将实际问题抽象概括为线性规划问题，培养应用线性规划的知识解决实际问题的能力。

(4)均值定理理解均值不等式的概念，掌握均值不等式的证明过程。

能够利用均值不等式求函数的最值问题。

能利用均值不等式解答实际问题。

(5)不等式的综合应用能够运用不等式的性质、定理，不等式的解法及不等式的证明有关的数学问题和实际问题。

【考纲要求】(1)了解日常生活中的不等关系，了解不等式的有关概念及其分类；(2)掌握不等式的性质及其应用；明确各个性质中结论成立的前提条件。

(3)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图。

(4)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；了解线性规划的意义并会简单应用。

(5)掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单应用。

(6)掌握用比较法、分析法、综合法证明简单的不等式。

【知识纵横】【教法指引】1.从近几年高考题目来看，不等式的性质和解不等式问题多以一个选择题的形式出现，且多与集合、简易逻辑、函数知识相结合，难度较低；在复习复习时应高度重视，对每一条性质，要弄清楚条件和结论，注意条件加强和放宽后，条件和结论之间发生的变化；记住了不等式运算法则的结论形式，还要掌握运算法则的条件，避免由于忽略某些限制条件而造成解题失误，掌握证明不等式性质的方法，可以进一步提高逻辑推理能力,在解不等式时,可结合函数的定义域,值域和单调性.2.均值不等式是历年高考的重点考查内容，考查方式多样，在客观题中出现，一般只有一个选择或填空，考查直接，难度较低；在解答题中出现，其应用X围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，难度较高,利用均值不等式解决问题的关键是要注意定理成立的三个条件“一正二定三相等”.3.不等式证明也是高考的一个重点内容，且多以解答题的一个分支出现，常与函数、导数、数列、解析几何等知识结合，题目往往非常灵活，难度高。

高考数学第二轮专题复习不等式教案一、本章知识结构：实数的性质二、高考要求（1）理解不等式的性质及其证明。

（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理，并会简单应用。

（3）分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。

（4）掌握某些简单不等式的解法。

（5）理解不等式|a|﹣|b| ≤|a+b|≤|a| +|b|。

三、热点分析1.重视对基础知识的考查，设问方式不断创新.重点考查四种题型：解不等式，证明不等式，涉及不等式应用题，涉及不等式的综合题，所占比例远远高于在课时和知识点中的比例.重视基础知识的考查，常考常新，创意不断，设问方式不断创新，图表信息题，多选型填空题等情景新颖的题型受到命题者的青眯，值得引起我们的关注.2.突出重点，综合考查，在知识与方法的交汇点处设计命题，在不等式问题中蕴含着丰富的函数思想，不等式又为研究函数提供了重要的工具，不等式与函数既是知识的结合点，又是数学知识与数学方法的交汇点，因而在历年高考题中始终是重中之重.在全面考查函数与不等式基础知识的同时，将不等式的重点知识以及其他知识有机结合，进行综合考查，强调知识的综合和知识的内在联系，加大数学思想方法的考查力度，是高考对不等式考查的又一新特点.3.加大推理、论证能力的考查力度，充分体现由知识立意向能力立意转变的命题方向.由于代数推理没有几何图形作依托，因而更能检测出学生抽象思维能力的层次.这类代数推理问题常以高中代数的主体内容——函数、方程、不等式、数列及其交叉综合部分为知识背景，并与高等数学知识及思想方法相衔接，立意新颖，抽象程度高，有利于高考选拔功能的充分发挥.对不等式的考查更能体现出高观点、低设问、深入浅出的特点，考查容量之大、功能之多、能力要求之高，一直是高考的热点.4.突出不等式的知识在解决实际问题中的应用价值，借助不等式来考查学生的应用意识.不等式部分的内容是高考较为稳定的一个热点,考查的重点是不等式的性质、证明、解法及最值方面的应用。

2013年高考数学二轮复习专题教案 不等式【考纲考情分析】一、不等式（1）不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。

（2）一元二次不等式①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。

②通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。

③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序。

（3）二元一次不等式组与简单线性规划问题①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组。

②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。

③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。

（4）基本不等式：)0(2≥≥+b a ab b a ， ①了解基本不等式的证明过程。

②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。

【专题知识网络】不等式的性质一元二次不等式（求解问题）基本不等式线性规划（最值问题）【剖析高考真题】(2012年高考湖南卷)设 a ＞b ＞1，0c < ，给出下列三个结论：[www.z#zste&*p~.c@om] ① c a ＞c b；② c a ＜c b ； ③ log ()log ()b a a c b c ->-， 其中所有的正确结论的序号是__.[中*国教育@^出A ．①B.① ②C.② ③D.① ②③（2011年高考广东卷）不等式2210x x -->的解集是( )．A ．1(,1)2- B ．(1,)+∞C ．(,1)(2,)-∞+∞D ．1(,)(1,)2-∞-+∞【答案】D ．【解析】21210(1)(21)02x x x x x -->⇒-+>⇒<-或1x >，则不等式的解集为1(,)(1,)2-∞-+∞ ．(2012年高考浙江卷)若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是A.245B. 285C.5D.6【答案】C【解析】 x+3y=5xy ， 135y x+=， 113131213(34)()()555x y x y y x y x +⋅+=++≥1132555⨯=.(2012年高考陕西卷)小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b （a<b ），其全程的平均时速为v ，则 （ ）C.2a b + D.v=2a b + 【答案】A.【解析】设甲乙两地相距s ，则小王用时为b s a s +，所以b a ab bs a s s v +=+=22，b a <<0 ，2b a ab +<∴、a b ab b a ab =>+222.abb a 12<+∴，ab v a <<∴.故选A.(2012年高考广东卷)已知变量x ，y 满足约束条件1110 x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为A. 3B. 1C. 5-D. 6-(2012年高考安徽卷)若x ，y 满足约束条件 02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则y x z -=的最小值是A ．-3B ．0C ．32D ．3【答案】A【解析】约束条件对应ABC ∆边际及内的区域：3(0,3),(0,),(1,1)2A B C 则[3,0]t x y =-∈-。

沪教版（上海）高中数学度高三数学二轮复习函数方程专题之函数与不等式② 教学目标 理解并充分掌握基本的函数与不等式题型之间的转换问题，即函数题型用不等式来解，不等式题型用函数来做的思想．知识梳理函数与不等式（方程）是相互联系的，在一定条件下，他们可以相互转化，例如解方程()0f x =就是求函数的零点，解不等式()()f x g x >，就是当两个函数的函数值的大小关系确定后，求自变量的取值范围。

正确理解函数与不等式（方程）的这种对立统一关系，有利于提高综合运用知识分析问题和解决问题的能力．典例精讲例1．（★★★）已知函数()24f x mx =+，若在[2,1]-上存在唯一零点，则实数m 的取值范围是___________．解：由题意得：(2)(1)0f f -⋅≤，即(,2][1,)m ∈-∞-+∞例2．（★★★）函数3()log (3)1f x x =+-的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为___________． 解：由题意得点A 的坐标为(2,1)--,代入直线方程得：21m n +=．∴121244()(2)2244248n m n m m n m n m n m n m n +=++=+++=++≥+=，当且仅当4n m m n=．即1412m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立． 例3．（★★★）已知2()221f x x mx m =+++．（1）若函数有两个零点，且其中一个在区间(1,0)-，另一个在区间(1,2)内，求m 的取值范围（2）若函数的两个零点均在区间(0,1)内，求m 的取值范围．解：（1）(1)0122101(0)0210512(,)5(1)012210626(2)044210f m m m f m m f m m m f m m ->-++>⎧⎧⎧<-⎪⎪⎪<+<⎪⎪⎪⇒⇒⇒∈--⎨⎨⎨<+++<⎪⎪⎪>-⎪⎪⎪⎩>+++>⎩⎩． （2）221(22)1,2(1)x m x x m x --+=--=+.令1,(1,2)t x t =+∈. 所以221(1)11221212(2)()12222t t t m t t t t t t----+-=⋅=⋅=--+=-++. 所以212(1),222(1)3,122t m m m t +=--≤--<-<≤-. 课堂检测1．（★★）使2log ()1x x -<+成立的x 的取值范围是___________．解：结合函数图象可知：(1,0)x ∈-2．（★★★）设函数2()|45|f x x x =--，若在区间[1,5]-上，3y kx k =+的图像位于函数()f x 图像的上方，则实数k 的取值范围是___________．解：由题意得：2345kx k x x +>-++在区间[1,5]-上恒成立． 即：2453x x k x -++>+在区间[1,5]-上恒成立， 由2453x x x -+++在[1,5]-上的最大值为2，得出2k >． 3．（★★★）三位同学合作学习，对问题“已知不等式222xy ax y ≤+，对于[1,2],[2,3]x y ∈∈恒成立，求a 的取值范围”提出了各自的解题思路．甲说：“可视x 为变量，y 为常量来分析” ．乙说：“寻找x 与y 的关系，再作分析”．丙说：“把字母a 单独放在一边，再作分析”．参考上述思路，或自己的其他解法，可求出实数a 的取值范围是___________．解：原式⇔ 22()y y a x x≥-在[1,2],[2,3]x y ∈∈上恒成立， 令[1,3]y t x=∈，则函数22t t -在[1,3]的最大值为1-，则1a ≥-． 4．（★★★★）已知二次函数2()f x ax bx c =++和一次函数()g x bx =-，其中,,a b c 满足a b c >>，0(,,)a b c a b c R ++=∈．（1）求证：两函数的图像交于不同的两点A 、B ；（2）求线段AB 在x 轴上的射影11A B 的长的取值范围．解：（1）222220444()y ax bx c ax bx c b ac b ac y bx⎧=++⇒++=⇒∆=-⇒∆=-⎨=-⎩． 因为a b c >>且0a b c ++=，所以0a >且0c <，20b ac ->，即0∆>．所以两函数图像有两个交点． （2）22221124()()13||221()2()24b ac a c ac c c c A B a a a a -+-===++=++ 因为0()()a b c b a c a a c c ++=⇒=-+⇒>-+>， 所以1(2,)2c a ∈--．故11||(3,23)A B ∈． 回顾总结1．在写不等式解集的时候一定要注意答案要写__________集合或区间形式．。

XX届高考数学第二轮考点不等式问题的题型与方法专题复习教案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址第9－12课时课题：不等式问题的题型与方法一．复习目标：．在熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简单不等式的解法．通过不等式解法的复习，提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力；2．掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式；3．通过复习不等式的性质及常用的证明方法，使学生较灵活的运用常规方法证明不等式的有关问题；4．通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力；5．能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题．6．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识．．二．考试要求：．理解不等式的性质及其证明。

2．掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。

3．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。

4．掌握简单不等式的解法。

5．理解不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|。

三．教学过程：（Ⅰ）基础知识详析．解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化．在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一．通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰．2．整式不等式的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用．3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰．通过复习，感悟到不等式的核心问题是不等式的同解变形，能否正确的得到不等式的解集，不等式同解变形的理论起了重要的作用．4．比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法，比较法的一般步骤是：作差→变形→判断符号．5．证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强，这对发展分析综合能力、正逆思维等，将会起到很好的促进作用．在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法．通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的．6．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．7．不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用．因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用．在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明．不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中．诸如集合问题，方程的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。

专题21 不等式选讲预测高考对不等式选讲的考查仍以绝对值不等式的解法、性质为主，解含两个绝对值号的不等式是解答题题型的主流，并配以不等式的证明和函数图象的考查.一、含有绝对值不等式的解法1.|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法(1)假设c>0，那么|ax＋b|≤c等价于－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c等价于ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a，b的值解出即可.(2)假设c<0，那么|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R.2.|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解.(1)零点分区间法的一般步骤①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排列，把实数集分为假设干个区间；③由所分区间去掉绝对值符号得假设干个不等式，解这些不等式，求出解集；④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集.(2)利用绝对值的几何意义由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|<c(c>0)或|x－a|－|x－b|>c(c>0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观.3.|f(x)|>g(x)，|f(x)|<g(x)(g(x)>0)型不等式的解法(1)|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x).(2)|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x).知识点二不等式的证明1.证明不等式的常用结论(1)绝对值的三角不等式定理1：假设a，b为实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0，等号成立.定理2：设a，b，c为实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.推论1：||a|－|b||≤|a＋b|.推论2：||a|－|b||≤|a－b|.(2)三个正数的算术—几何平均不等式：如果a，b，c∈R＋，那么≥，当且仅当a＝b＝c 时等号成立.(3)基本不等式(基本不等式的推广)：对于n个正数a1，a2，…，a n，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即≥，并且仅当a1＝a2＝…＝a n时等号成立.(4)一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，…，a n，b1，b2，b3，…，b n是实数，那么(a＋a＋…＋a)·(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋a n b n)2，并且仅当b i＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1，2，…，n)时，等号成立.2.证明不等式的常用方法(1)比较法一般步骤：作差—变形—判断—结论.为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以判断其正负.(2)综合法利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法.即“由因导果〞的方法.(3)分析法证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法.即“执果索因〞的方法.(4)反证法和放缩法①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫作反证法.②证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种方法叫作放缩法.考点一解绝对值不等式例1．[2017课标1，理]函数f〔x〕=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.〔1〕当a=1时，求不等式f〔x〕≥g〔x〕的解集；〔2〕假设不等式f〔x〕≥g〔x〕的解集包含[–1，1]，求a的取值X围.[答案]〔1〕；〔2〕.〔2〕当时，.所以的解集包含，等价于当时.又在的最小值必为与之一，所以且，得.所以的取值X围为.[变式探究][2016高考新课标1卷]〔本小题总分值10分〕,选修4—5：不等式选讲函数.〔I〕在答题卡第〔24〕题图中画出的图像；〔II〕求不等式的解集．[答案]〔I〕见解析〔II〕[解析]⑴如下图：(2015·某某，16)假设函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，那么实数a＝________.解析由绝对值的性质知f(x)的最小值在x＝－1或x＝a时取得，假设f(－1)＝2|－1－a|＝5，a＝或a＝－，经检验均不合适；假设f(a)＝5，那么|x＋1|＝5，a＝4或a＝－6，经检验合题意，因此a＝4或a＝－6.答案 4或－6[变式探究]不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为________．考点二不等式的证明例2．[2017课标II，理23]。

2013高考数学二轮复习精品资料专题05 不等式教学案（学生版）【2013考纲解读】从近几年高考题目来看，不等式的性质和解不等式问题多以一个选择题的形式出现，且多与集合、简易逻辑、函数知识相结合，难度较低。

了解不等式（组）的实际背景；会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型，通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系，会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图；会从实际情境中抽象出二元一次不等式组，了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。

学会运用数形结合、分类讨论等数学思想方法分析和解决有关不等式问题，形成良好的思维品质,培养判断推理和逻辑思维能力。

【知识网络构建】4．二元一次不等式(组)和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等；(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；③求出目标函数的最大值或者最小值．【高频考点突破】考点一不等式的解法一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a与ax2＋bx＋c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，则其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．即x<x1或x>x2⇔(x－x1)(x－x2)>0(x1<x2)；x1<x<x2⇔(x－x1)(x －x2)<0(x1<x2)．例1.已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为 ( )A．[2－2，2＋2] B．(2－2，2＋2)C．[1,3] D．(1,3)【变式探究】解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)．【方法技巧】(1)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．(2)解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因．确定好分类标准，有理有据、层次清楚地求解.考点二 线性规划实质上是数形结合思想的一种具体体现，即将最值问题直观、简便地寻找出来．它还是一种较为简捷的求最值的方法，具体步骤如下：(1)根据题意设出变量，建立目标函数； (2)列出约束条件；(3)借助图形确定函数最值的取值位置，并求出最值； (4)从实际问题的角度审查最值，进而作答． 例2.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z ＝ ()A ．4 650元B ．4 700元C ．4 900元D ．5 000元【方法技巧】解决线性规划问题首先要作出可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，数形结合找出目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.考点三 基本不等式基本不等式：a ＋b2≥ab .(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)应用：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．例3.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 ( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件【变式探究】设0＜a ＜b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b 2B ．a ＜ab ＜a ＋b2＜bC ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b 2 D.ab ＜a ＜a ＋b2＜b【难点探究】难点一 一元二次不等式的解法例1.已知p ：x 0∈R，mx 20＋1≤0，q ：x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0.若p ∧q 为真命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[－2,0)C ．(－2,0)D ．[0,2]【点评】 在线性约束条件下，线性约束条件所表示的区域一般是一个多边形区域或者一个以直线为边界的无限区域，如果目标函数是线性的，则可以根据目标函数的几何意义确定目标函数取得最大值和最小值的位置，如本题中的目标函数z ＝－x ＋y 变换后即y ＝x ＋z ，则目标函数z 的几何意义即直线y ＝x ＋z 在y 轴上的截距，截距最大(小)时的位置就是目标函数取得最大(小)值的位置，在一些含有参数的线性规划问题中这个思想显得更为重要。

2019-2020年高三第二轮复习数学不等式学案一、考试要求：能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题 二 考点扫描不等式应用问题体现了一定的综合性．这类问题大致可以分为两类： 一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件利用不等式解应用题的基本步骤：10审题，20建立不等式模型，30解数学问题，40作答。

三、小题训练1、xx 天津卷理第9题）设是函数的反函数，则使成立的x 的取值范围为（） A ． B ． C ． D ． 2．设、、、均为正数,且、为常数,、为变量.若,则的最大值为 ( )A. B. C. D. 3.（xx 全国，6）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过1600元的部分不必纳税，超过1600元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算：某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（ ） A.1600～1700元 B.1700～xx 元C.xx ～2300元 D.2300～3600元 4．如果则的最小值是 ( )A. 2 B. C. D. 四．典型例题例1. 已知函数b lg x )2a (lg x )x (f 2+++=满足且对于任意, 恒有成立.(1) 求实数的值;(2) 解不等式.例2．某单位用木料制作框架, 框架的下部是边长分别为x 、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm 2. 问x 、y 分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?例3．（xx 年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？例4某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200平方米的三级污水处理池（如图），由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果，四周围池壁建造单价为每米长400元，中间两道隔墙建造单价为每米长248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。

第四讲不等式年份卷别考查角度及命题位置命题分析2018Ⅰ卷线性规划求最值·T131.选择、填空题中的考查以简单的线性规划与不等式性质为主，重点求目标函数的最值，有时也与其他知识交汇考查．2.基本不等式求最值及应用在课标卷考试中是低频点，很少考查．3.不等式的解法多与集合、函数、解析几何、导数交汇考查.Ⅱ卷线性规划求最值·T142017Ⅰ卷线性规划求最值·T14Ⅱ卷线性规划求最值·T5Ⅲ卷线性规划求最值·T132016Ⅰ卷一元二次不等式的解法、集合的交集运算·T1不等式比较大小、函数的单调性·T8线性规划的实际应用·T16Ⅱ卷一元二次不等式的解法、集合的并集运算·T2Ⅲ卷一元二次不等式的解法、集合的交集运算·T1不等式比较大小、函数的单调性·T6线性规划求最值·T13不等式性质及解法授课提示：对应学生用书第9页[悟通——方法结论]1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a与ax2＋bx＋c 同号，那么其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，那么其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．2．解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．3．解含参数不等式要正确分类讨论．[全练——快速解答]1．(2018·某某一模)a >b >0，c <0，以下不等关系中正确的是( ) A ．ac >bcB ．a c>b cC ．log a (a －c )>log b (b －c )D.aa －c >bb －c解析：法一：(性质推理法)A 项，因为a >b ，c <0，由不等式的性质可知ac <bc ，故A 不正确；B 项，因为c <0，所以－c >0，又a >b >0，由不等式的性质可得a －c >b －c>0，即1a c >1bc >0，再由反比例函数的性质可得a c <b c，故B 不正确； C 项，假设a ＝12，b ＝14，c ＝－12，那么log a (a －c )＝1＝0，log b (b －c )＝34>1＝0，即log a (a －c )<log b (b －c )，故C 不正确；D 项，a a －c －bb －c ＝a (b －c )－b (a －c )(a －c )(b －c )＝c (b －a )(a －c )(b －c )，因为a >b >0，c <0，所以a －c >b －c >0，b －a <0，所以c (b －a )(a －c )(b －c )>0，即a a －c －b b －c>0，所以aa －c >bb －c，故D 正确．综上，选D.法二：(特值验证法)由题意，不妨取a ＝4，b ＝2，c ＝－2. 那么A 项，ac ＝－8，bc ＝－4，所以ac <bc ，排除A ； B 项，a c ＝4－2＝116，b c ＝2－2＝14，所以a c <b c，排除B ；C 项，log a (a －c )＝log 4(4＋2)＝log 4 6，log b (b －c )＝log 2(2＋2)＝2，显然log 4 6<2，即log a (a －c )<log b (b －c )，排除C.综上，选D. 答案：D2．(2018·某某四校联考)不等式mx 2＋nx －1m <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－12或x >2，那么m －n ＝( )A.12 B ．－52C.52D ．－1解析：由题意得，x ＝－12和x ＝2是方程mx 2＋nx －1m ＝0的两根，所以－12＋2＝－n m 且－12×2＝－1m 2(m <0)，解得m ＝－1，n ＝32，所以m －n ＝－52. 答案：B 3．不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．(－∞，0]∪(2,4] B ．[0,2)∪[4，＋∞) C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)解析：①当x －2>0，即x >2时，不等式可化为(x －2)2≥4，所以x ≥4；②当x －2<0，即x <2时，不等式可化为(x －2)2≤4，所以0≤x <2.综上，不等式的解集是[0,2)∪[4，＋∞)．答案：B4．x ∈(－∞，1]，不等式1＋2x ＋(a －a 2)·4x>0恒成立，那么实数a 的取值X 围为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－2，14B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32D.(]－∞，6解析：根据题意，由于1＋2x＋(a －a 2)·4x >0对于一切的x ∈(－∞，1]恒成立，令2x＝t(0<t≤2)，那么可知1＋t ＋(a －a 2)t 2>0⇔a －a 2>－1＋tt2，故只要求解h (t)＝－1＋tt 2(0<t≤2)的最大值即可，h (t)＝－1t 2－1t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋122＋14，又1t ≥12，结合二次函数图象知，当1t ＝12，即t ＝2时，h (x )取得最大值－34，即a －a 2>－34，所以4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32，故实数a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.答案：C5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x ＋1)，x ≥0，－x 3，x <0，那么使得f (x )≤1成立的x 的取值X 围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，lg (x ＋1)≤1得0≤x ≤9，由⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 3≤1得－1≤x <0，故使得f (x )≤1成立的x 的取值X 围是[－1,9]．答案：[－1,9]1．明确解不等式的策略(1)一元二次不等式：先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集．(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解． 2．掌握不等式恒成立问题的解题方法(1)f (x )>a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )min >a ；f (x )<a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )max <a . (2)f (x )>g (x )对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )的图象在g (x )的图象的上方．(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的X 围，谁就是变量，求谁的X 围，谁就是参数．利用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等．基本不等式授课提示：对应学生用书第10页[悟通——方法结论]求最值时要注意三点：“一正〞“二定〞“三相等〞．所谓“一正〞指正数，“二定〞是指应用定理求最值时，和或积为定值，“三相等〞是指等号成立．[全练——快速解答]1．(2018·某某模拟)x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，那么x ＋y 的最小值为( ) A ．8B ．9 C ．12 D ．16解析：由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x＝1，那么x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4y ＋1x ＝4x y ＋yx＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝〞，应选B.答案：B2．(2017·高考某某卷)假设a ，b ∈R ，ab >0，那么a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．解析：因为ab >0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥24a 4b 4＋1ab ＝4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，ab ＝12时取等号，故a 4＋4b 4＋1ab的最小值是4.答案：43．(2017·高考某某卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，那么x 的值是________．解析：由题意，一年购买600x 次，那么总运费与总存储费用之和为600x×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30. 答案：30掌握基本不等式求最值的3种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：假设无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y ＝m ＋Ag (x )＋Bg (x )(A >0，B >0)，g (x )恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．简单的线性规划问题授课提示：对应学生用书第10页[悟通——方法结论] 平面区域的确定方法解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．[全练——快速解答]1．(2017·高考全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，那么z ＝x －y 的取值X 围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当直线z ＝x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值2，当直线z ＝x －y 过点B (0,3)时，z 取得最小值－3，所以z ＝x －y 的取值X 围是[－3,2]．答案：B2．平面上的单位向量e 1与e 2 的起点均为坐标原点O ，它们的夹角为π3.平面区域D 由所有满足OP →＝λe 1＋μe 2的点P 组成，其中⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ≤1，0≤λ，0≤μ，那么平面区域D 的面积为( )A.12B. 3C.32D.34解析：建立如下图的平面直角坐标系，不妨令单位向量e 1＝(1,0)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，设向量OP →＝(x ，y )，因为OP →＝λe 1＋μe 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ＋μ2，y ＝3μ2，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝x －3y3，μ＝23y 3，因为⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ≤1，λ≥0，μ≥0，所以⎩⎨⎧3x ＋y ≤3，3x －y ≥0，y ≥0表示的平面区域D 如图中阴影部分所示，所以平面区域D 的面积为34，应选D. 答案：D3．(2018·某某模拟)某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序．生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一X 桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时．生产一把椅子的利润为1 500元，生产一X 桌子的利润为2 000元．该厂每个月木工最多完成8 000个工作时、漆工最多完成1 300个工作时．根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是________元．解析：设该厂每个月生产x 把椅子，y X 桌子，利润为z 元，那么得约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋8y ≤8 000，2x ＋y ≤1 300，z ＝1 500x ＋2 000y .x ，y ∈N ，画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2 000，2x ＋y ≤1 300，x ≥0，y ≥0表示的可行域如图中阴影部分所示，画出直线3x ＋4y ＝0，平移该直线，可知当该直线经过点P 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2 000，2x ＋y ＝1 300，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝200，y ＝900，即P (200,900)，所以z max ＝1 500×200＋2 000×900＝2 100 000.故每个月所获得的最大利润为2 100 000元．答案：2 100 000解决线性规划问题的3步骤[练通——即学即用]1．(2018·湘东五校联考)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，且z ＝x ＋y 的最大值为6，那么(x ＋5)2＋y 2的最小值为( )A ．5B ．3 C. 5D. 3解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，平移直线y ＝－x ，由图形可知当直线y ＝－x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－x ＋z 的纵截距最大，此时z 最大，最大值为6，即x ＋y ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝6，x －y ＝0，得A (3,3)，∵直线y ＝k 过点A ，∴k ＝3.(x ＋5)2＋y 2的几何意义是可行域内的点与D(－5,0)的距离的平方，数形结合可知，(－5,0)到直线x ＋2y ＝0的距离最小，可得(x ＋5)2＋y 2的最小值为⎝⎛⎭⎪⎫|－5＋2×0|12＋222＝5.应选A. 答案：A2．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，2x ＋y ≤1，记z ＝4x ＋y 的最大值是a ，那么a ＝________.解析：如下图，变量x ，y 满足的约束条件的可行域如图中阴影部分所示．作出直线4x ＋y ＝0，平移直线，知当直线经过点A 时，z取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝1，x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，所以A (1，－1)，此时z ＝4×1－1＝3，故a ＝3.答案：33．(2018·高考全国卷Ⅰ)假设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，那么z ＝3x ＋2y 的最大值为________．解析：作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋z2.作直线l 0：y ＝－32x .平移直线l 0，当直线y ＝－32x ＋z2过点(2,0)时，z 取最大值，z max＝3×2＋2×0＝6.答案：6授课提示：对应学生用书第118页一、选择题1．互不相等的正数a ，b ，c 满足a 2＋c 2＝2bc ，那么以下等式中可能成立的是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．b >c >aD ．c >a >b解析：假设a >b >0，那么a 2＋c 2>b 2＋c 2≥2bc ，不符合条件，排除A ，D ； 又由a 2－c 2＝2c (b －c )得a －c 与b －c 同号，排除C ；当b >a >c 时，a 2＋c 2＝2bc 有可能成立，例如：取a ＝3，b ＝5，c ＝1.应选B. 答案：B2．b >a >0，a ＋b ＝1，那么以下不等式中正确的是() A ．log 3a >0B ．3a －b<13C ．log 2a ＋log 2b <－2D ．3⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥6解析：对于A ，由log 3a >0可得log 3a >log 31，所以a >1，这与b >a >0，a ＋b ＝1矛盾，所以A 不正确；对于B ，由3a －b<13可得3a －b <3－1，所以a －b <－1，可得a ＋1<b ，这与b >a >0，a ＋b ＝1矛盾，所以B 不正确；对于C ，由log 2a ＋log 2b <－2可得log 2(ab )<－2＝log 214，所以ab <14，又b >a >0，a ＋b ＝1>2ab ，所以ab <14，两者一致，所以C 正确；对于D ，因为b >a >0，a ＋b ＝1，所以3⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b >3×2b a ×ab＝6, 所以D 不正确，应选C. 答案：C3．在R 上定义运算：x y ＝x (1－y )．假设不等式(x －a )(x －b )>0的解集是(2,3)，那么a ＋b ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：由题知(x －a )(x －b )＝(x －a )[1－(x －b )]>0，即(x －a )[x －(b ＋1)]<0，由于该不等式的解集为(2,3)，所以方程(x －a )[x －(b ＋1)]＝0的两根之和等于5，即a ＋b ＋1＝5，故a ＋b ＝4.答案：C 4．a ∈R ，不等式x －3x ＋a≥1的解集为P ，且－2∉P ，那么a 的取值X 围为( ) A ．(－3，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，2)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[2，＋∞)解析：∵－2∉P ，∴－2－3－2＋a <1或－2＋a ＝0，解得a ≥2或a <－3.答案：D5．x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，x ≥0，y ≥0，那么z ＝8－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的最小值为( )A ．1 B.324C.116D.132解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，而z ＝8－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y＝2－3x －y，欲使z 最小，只需使－3x －y 最小即可．由图知当x ＝1，y ＝2时，－3x －y 的值最小，且－3×1－2＝－5，此时2－3x －y最小，最小值为132.应选D.答案：D6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，那么不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：由题意得，f (1)＝3，所以f (x )>f (1)，即f (xx <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0；当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1.综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．答案：A7．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝3x －2y 的最小值为0，那么实数m 等于( )A ．4B ．3C ．6D ．5解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z ＝3x －2y 所对应的直线经过点A 时，z 取得最小值0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x ＋y ＝m ，求得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 3，2m －13.故z 的最小值为3×1＋m 3－2×2m －13＝－m 3＋53，由题意可知－m 3＋53＝0，解得m ＝5.答案：D8．假设对任意正实数x ，不等式1x 2＋1≤ax恒成立，那么实数a 的最小值为( ) A ．1 B. 2 C.12 D.22解析：因为1x 2＋1≤a x ，即a ≥x x 2＋1，而x x 2＋1＝1x ＋1x≤12(当且仅当x ＝1时取等号)，所以a ≥12.答案：C9．(2018·某某一模)实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋3≥0，2x －y ＋2≤0，x ＋2y －4≤0，那么z ＝x 2＋y 2的取值X围为( )A ．[1,13]B ．[1,4]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，4解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由此得z ＝x 2＋y 2的最小值为点O 到直线BC ：2x －y ＋2＝0的距离的平方，所以z min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝45，最大值为点O 与点A (－2,3)的距离的平方，所以z max ＝|OA |2＝13，应选C.答案：C10．(2018·某某二模)假设关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，那么x 1＋x 2＋ax 1x 2的最小值是( ) A.63 B.233 C.433D.263解析：∵关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，∴Δ＝16a 2－12a 2＝4a 2>0，又x 1＋x 2＝4a ，x 1x 2＝3a 2， ∴x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋a 3a 2＝4a ＋13a ≥24a ·13a ＝433，当且仅当a ＝36时取等号．∴x 1＋x 2＋a x 1x 2的最小值是433. 答案：C11．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，那么租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元解析：设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ，那么约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，x ＋y ≤21，y －x ≤7，x ，y ∈N ，作出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点A (5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．答案：C12．(2018·某某模拟)点P (x ，y )∈{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋2y ≤2}，x ≥－2M (2，－1)，那么OM →·OP→(O 为坐标原点)的最小值为( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8解析：由题意知OM →＝(2，－1)，OP →＝(x ，y )，设z ＝OM →·OP →＝2x －y ，显然集合{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋2y ≤2}x ≥－2对应不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋2y ≤2x ≥－2所表示的平面区域．作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z ＝2x －y 对应的直线经过点A 时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2x ＋2y －2＝0得A (－2,2)，所以目标函数的最小值z min ＝2×(－2)－2＝－6，即OM →·OP →的最小值为－6，应选C.答案：C二、填空题13．(2018·某某模拟)假设a >0，b >0，那么(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b 的最小值是________．解析：(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝2＋2b a ＋a b ＋1＝3＋2b a ＋a b，因为a >0，b >0，所以(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ≥3＋22b a ×a b ＝3＋22，当且仅当2b a ＝ab，即a ＝2b 时等号成立．所以所求最小值为3＋2 2.答案：3＋2 214．(2018·高考全国卷Ⅱ)假设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，那么z ＝x ＋y的最大值为________．解析：由不等式组画出可行域，如图(阴影部分)，x ＋y 取得最大值⇔斜率为－1的直线x ＋y ＝z (z 看做常数)的横截距最大，由图可得直线x ＋y ＝z 过点C 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点C (5,4)，∴z max ＝5＋4＝9. 答案：915．(2018·某某模拟)假设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤4，那么z ＝y －2x ＋3的最小值为________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝y －2x ＋3表示区域内的点与点P (－3,2)连线的斜率．由图知当可行域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，那么有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍去)，所以z min ＝－125. 答案：－12516．a >b >1，且2log a b ＋3log b a ＝7，那么a ＋1b 2－1的最小值为________． 解析：令log a b ＝t ，由a >b >1得0<t<1,2log a b ＋3log b a ＝2t ＋3t ＝7，得t ＝12，即log a b＝12，a ＝b 2，所以a ＋1b 2－1＝a －1＋1a －1＋1≥2(a －1)·1a －1＋1＝3，当且仅当a ＝2时取等号. 故a ＋1b 2－1的最小值为3. 答案：3。

高三二轮复习教学案——不等式班级 学号 姓名1．若不等式2x 2－3x+a <0的解集为(m ，1)，则实数m 的值为_____________．2．已知不等式222y ax xy +≤对于任意]3,2[],2,1[∈∈y x 恒成立，则实数a 的取值范围是_______________3．设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥+-≥-+0935033011y x y x y x 表示的平面区域为D ，若指数函数y=a x的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是_______________4．设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≥x y y x x 0321，所表示的平面区域为Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9=0对称，对于Ω1中的任意一点A 与Ω2中的任意一点B ，则|AB|的最小值等于____________5．设偶函数f (x)满足f (x)=x 3－8 (x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}=_______________6．设m 为实数，函数f (x)=2x 2+(x －m)|x －m|，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)()(x x x x f x h（1）若f (1)≥4，求m 的取值范围（2）当m>0时，求证：h (x)在),[+∞m 上是单调递增函数（3）若h (x)对于任意]2,1[∈x ，不等式h (x)≥1恒成立，求实数m 的取值范围7．设函数f (x)=|2x －4|+1． (1)画出函数y=f (x)的图象；(2)若不等式f (x)≤a x 的解集非空，求a 的取值范围．8．设f (x)是定义在区间(1,∞+)上的函数，其导函数为f ’(x)．如果存在实数a 和函数h (x)，其中h (x)对任意的x ∈(1,∞+)都有h (x)>0，使得f ’(x)=h (x)(x 2－ax+1)，则称函数f (x)具有性质P(a)．(1)设函数)1(12ln )(>+++=x x b x x f ，其中b 为实数．①求证：函数f (x)具有性质P(b)； ②求函数f (x)的单调区间．(2)已知函数g (x)具有性质P(2)．给定x 1，x 2∈(1,∞+)，x 1<x 2，设m 为实数，α=mx 1+(1－m)x 2，β=(1－m) x 1+mx 2，且α>1，β>1，若|g(α)－g(β)|<|g(x 1)－g(x 2) |，求m 的取值范围．高三二轮复习教学案——不等式班级 学号 姓名1．已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是___________．2．设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤--≥+-0,0048022y x y x y x ，若目标函数z=abx+y (a >0,b >0)的最大值为8，则a+b 的最小值为___________． 3．已知函数1)(-+=x p x x f （p 为常数且p>0），若f(x)在区间),1(+∞上的最小值为4，则实数p 的值为________________4．已知函数f (x)=|log 2x|，正实数m ，n 满足m<n ，且f(m)=f(n)，若f (x)在区间[m 2，n]上的最大值为2，则n+m=__________．5．若二次函数f (x)=a x 2－4x+c 的值域为[0，+∞)，则4422+++a c c a 的最小值为_________6．若不等式kxy yx3410822≥+对于任意正实数x ，y 总成立的必要不充分条件是k ∈[m ，)∞+，则正整数m 只能取_________．7．某工厂统计资料显示，一种产品的次品率p 与日产量x (x ∈N*，80≤x ≤100，单位：件)之间的关系如下表所示：其中xn x p -=1)( (n 为常数)，已知生产一件正品盈利k 元，生产一件次品损失3k 元(为给定常数)．(1)求n 的值，并将该厂的盈利额y(元)表示为产量x(件)的函数； (2)为获取最大盈利，该厂的生产量应定为多少件?8．某建筑的主体支架形状如图，已知C 为AB 的中点，∠BCD=60°，为了稳固，要求CD 比BD 长0.5 m ，AB 至少长2.8 m ．已知建造支架的材料的价格一定，问怎样设计AB ，CD 的长度，使得建造成本最小(即AB+CD 最短)?9．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400 t ，最多为600 t ，月处理成本y(元)与月处理量x(t)之间的函数关系可近似的表示为：80000200212+-=x x y ，且每处理1吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低?(2)该单位每月能否获利?若获利，求出最大利润；若不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?。