高考数学(文科)-轨迹方程问题的探讨-专题练习有答案

1．【解析】由题知 ， ，由 ，得 ，即 ，
点轨迹为抛物线．故选D．
2．【解析】设交点P(x,y）,A1(－3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,－y0)
∵A1．P1．P共线，∴ ∵A2．P2．P共线，∴
解得x0=
3．
4．【解析】设过B．C异于l的两切线分别切⊙O′于D．E两点，两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|
2017年高考数学（文科）专题练习
轨迹方程问题的探讨
答 案
一、练高考
1~2．CD
3．
4．（Ⅰ）见解析；
（Ⅱ） ．
5．（Ⅰ） （ ）
（ ）
二、练模拟
1~4．CDAC
5．
6．（1） ；
（2）
7．（1） ；
（2） 或
三、练原创
1~2．DC
3．
4．动点P的轨迹方程为
5．（1） ．此即为M的轨迹方程.
2017年高考数学（文科）专题练习
(ⅰ)当m＞n时，焦点坐标为(± ,0)，准线方程为x=± ,离心率e= ；
(ⅱ)当m＜n时，焦点坐标为(0,± ),准线方程为y=± ,离心率e= .
则 ，而 ，∴ =1，
则 ，
∴双曲线方程为 ．
6．
7．【解析】（1）因为 ，
所以动点 的轨迹为椭圆，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
∴ ，∴ ，
∴动点 的轨迹方程为 ；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

高考数学轨迹问题专题练习题讲解第1讲 轨迹问题一．选择题（共12小题）1．方程|1|x −=所表示的曲线是( ) A ．一个圆B ．两个圆C ．半个圆D ．两个半圆【解答】解：将方程|1|x − 得22(1)(1)1x y −+−=，其中02x 剟，02y 剟．因此方程|1|x −表示以(1,1)C 为圆心，半径1r =的圆． 故选：A ．2．方程||1x −=( ) A ．两个半圆B ．一个圆C ．半个圆D ．两个圆【解答】解：两边平方整理得：22(||1)2x y y −=−， 化简得22(||1)(1)1x y −+−=，由||10x −…得||1x …，即1x …或1x −…， 当1x …时，方程为22(1)(1)1x y −+−=， 表示圆心为(1,1)且半径为1的圆的右半圆； 当1x −…时，方程为22(1)(1)1x y ++−=， 表示圆心为(1,1)−且半径为1的圆的左半圆综上所述，得方程||1x −= 故选：A ．3．在数学中有这样形状的曲线：22||||x y x y +=+．关于这种曲线，有以下结论： ①曲线C 恰好经过9个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任意两点之间的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“花瓣”形状区域的面积大于5． 其中正确的结论有( ) A ．①③B ．②③C ．①②D ．①②③【解答】解：①曲线C 经过的整点有(0,0)，(1,0)，(1,0)−，(0,1)，(0,1)−，(1,1)，(1,1)−，(1,1)−，(1,1)−−，恰有9个点，即①正确；②点(1,1)和(1,1)−−均在曲线C 上，而这两点间的距离为2，即②错误； ③由于图形是对称的，所以只需考虑第一象限内的部分即可．此时有，22x y x y +=+，整理得，22111()()222x y −+−=，是以11(,)22为半径的圆，作出曲线在第一象限的图形如图所示，面积211111122224AOB C S S S ππ∆=+=⨯⨯+⋅⋅=+圆，故曲线C 的面积为14()2524ππ⨯+=+>，即③正确．故选：A ．4．双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy 中，把到定点1(,0)F a −，2(,0)F a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹称为双纽线C 、已知点0(P x ，0)y 是双纽线C 上一点，下列说法中正确的有( )①双纽线经过原点O ； ②双纽线C 关于原点O 中心对称；③022a ay −剟；④双纽线C 上满足12||||PF PF =的点P 有两个． A ．①②B ．①②③C ．②③D ．②③④【解答】解；根据双纽线C 2a =， 将0x =，0y =代入，符合方程，所以①正确；用(,)x y −−替换方程中的(,)x y ，原方程不变，所以双纽线C 关于原点O 中心对称，②正确； 根据三角形的等面积法可知，1212011||||sin 2||22PF PF F PF a y ∠=⨯⨯，即012||sin 22a ay F PF =∠…，亦即022a ay −剟，③正确； 若双纽线C 上点P 满足12||||PF PF =，则点P 在y 轴上，即0x =，代入方程， 解得0y =，所以这样的点P 只有一个，④错误． 故选：B ．5．双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy 中，把到定点1(,0)F a −，2(,0)F a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹称为双纽线C ．已知点0(P x ，0)y 是双纽线C 上一点，下列说法中正确的有( )①双纽线C 关于原点O 中心对称；②022a a y −剟；③双纽线C 上满足12||||PF PF =的点P 有两个；④||PO ． A ．①②B ．①②④C ．②③④D ．①③【解答】解：根据双纽线C 2a =，用(,)x y −−替换方程中的(,)x y ，原方程不变，所以双纽线C 关于原点O 中心对称，①正确； 根据三角形的等面积法可知，1212011||||sin 2||22PF PF F PF a y ∠=⨯⨯，即012||sin 22a ay F PF =∠…，亦即022a ay −剟，②正确； 若双纽线C 上点P 满足12||||PF PF =，则点P 在y 轴上，即0x =，代入方程， 解得0y =，所以这样的点P 只有一个，③错误；因为121()2PO PF PF =+，所以2221121221||[||2||||cos ||]4PO PF PF PF F PF PF =+∠+由余弦定理可得，2221121224||2||||cos ||a PF PF PF F PF PF =−∠+22222121212||||||cos cos 2PO a PF PF F PF a a F PF a =+∠=+∠…，所以|PO ，④正确．故选：B ．6．如图，设点A 和B 为抛物线22(0)y px p =>上除原点以外的两个动点，已知OA OB ⊥，OM AB ⊥，则点M 的轨迹方程为( )A ．2220x y px +−=（原点除外）B ．2220x y py +−=（原点除外）C ．2220x y px ++=（原点除外）D ．2220x y py ++=（原点除外）【解答】解：设(,)M x y ，直线AB 的方程为y kx b =+， 由OM AB ⊥得x k y=−， 联立22y px =和y kx b =+消去y 得222(22)0k x x kb p b +−+=，所以2122b x x k=，所以22121212122()()()pby y kx b kx b k x x kb x x b k=++=+++=，由OA OB ⊥得12120x x y y +=，所以2220b pbk k +=，所以2b kp =−， 所以(2)y kx b k x p =+=−，把xk y =−代入得2220(0)x y px y +−=≠，故选：A ．7．如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线422x y +=围成的平面区域的直径为( )A B ．3 C ．D ．4【解答】解：曲线422x y +=围成的平面区域，关于x ，y 轴对称，设曲线上的点(,)P x y ，可得3||2OP ． 所以曲线422x y +=围成的平面区域的直径为：3． 故选：B ．8．由曲线222||2||x y x y +=+围成的图形面积为( ) A ．24π+B ．28π+C ．44π+D ．48π+【解答】解：根据对称性，曲线222||2||x y x y +=+围成的图形面积等于在第一象限围成面积的4倍， 当0x …且0y …时222||2||x y x y +=+等价为2222x y x y +=+， 即22220x y x y +−−=， 即22(1)(1)2x y −+−=，圆心(1,1)C ，半径R ， 则ACO ∆的面积12112S =⨯⨯=，BCO ∆的面积1S =，在第一象限部分的面积211122S ππ=++⨯=+，则四个象限的面积为44(2)84S ππ=+=+， 故选：D ．9．如图，平面直角坐标系中，曲线（实线部分）的方程可以是( )A ．22(||1)(1)0x y x y −−−+=B ．( 22)(1)0x y −+=C ．2(||1)(10x y x −−−+=D ．(2)(10x −+=【解答】解：如图曲线表示折线段的一部分和双曲线，选项A 等价于||10x y −−=或2210x y −+=，表示折线||1y x =−的全部和双曲线，故错误； 选项B 等价于22||1010x y x y −−⎧⎨−+=⎩…，或||10x y −−=，||10x y −−=表示折线||1y x =−的全部，故错误； 选项C 等价于22||1010x y x y −−=⎧⎨−+⎩…或2210x y −+=，22||1010x y x y −−=⎧⎨−+⎩…表示折线||1y x =−在双曲线的外部 （包括有原点）的一部分，2210x y −+=表示双曲线，符合题中图象，故正确； 选项D 等价于22||1010x y x y −−=⎧⎨−+⎩…或22||1010x y x y −−⎧⎨−+=⎩…， 22||1010x y x y −−=⎧⎨−+⎩…表示表示折线||1y x =−在双曲线的外部（包括有原点）的一部分，22||1010x y x y −−⎧⎨−+=⎩…表示双曲线在x 轴下方的一部分，故错误． 故选：C ．10．已知点集22{(,)|1}M x y y xy =−…，则平面直角坐标系中区域M 的面积是( ) A ．1B ．34π+C ．πD ．22π+【解答】解：当0xy …时，只需要满足21x …，21y …即可；当0xy >时，对不等式两边平方整理得到221x y +…，所以区域M 如下图．易知其面积为22π+．故选：D ．11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为22322()x y x y +=．给出下列四个结论： ①曲线C 有四条对称轴；②曲线C 上的点到原点的最大距离为14； ③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴 围成的矩形面积最大值为18；④四叶草面积小于4π． 其中，所有正确结论的序号是( )A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②④【解答】解：四叶草曲线方程为22322()x y x y +=，将x 换为x −，y 不变，可得方程不变，则曲线关于y 轴对称；将y 换为y −，x 不变，可得方程不变，则曲线关于x 轴对称；将x 换为y ，y 换为x ，可得方程不变，则曲线关于直线y x =对称；将x 换为y −，y 换为x −，可得方程不变，则曲线关于直线y x =−对称； 曲线C 有四条对称轴，故①正确；由y x =与22322()x y x y +=联立，可得y x ==或y x ==C 上的点到原点的最大距离为12=，故②错误； 设曲线C 第一象限上任意一点为(,)x y ，(0,0)x y >>，可得围成的矩形面积为xy ，由222x y xy +…， 则223223()8()x y x y xy +=…，即18xy …，当且仅当x y =取得最大值，故③正确； 易得四叶草曲线在以原点为圆心，12为半径的圆内，故四叶草面积小于4π，则④正确． 故选：C ．12．曲线C 为：到两定点(2,0)M −、(2,0)N 距离乘积为常数16的动点P 的轨迹．以下结论正确的个数为( )（1）曲线C 一定经过原点； （2）曲线C 关于x 轴、y 轴对称； （3）MPN ∆的面积不大于8；（4）曲线C 在一个面积为64的矩形范围内． A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：设(,)P x y 22(2)16x −+，对于（1），原点(0,0)代入方程，得2216⨯≠，即方程不成立， 则曲线C 一定经过原点，命题错误；对于（2），以x −代替x ，y −代替y 22(2)16x −−成立，16也成立，即曲线C 关于x 、y 轴对称，命题正确；对于（3），0x =，y =±MPN ∆的最大面积为1482⨯⨯=，命题正确；对于（4），令0y =，可得x =±，根据距离乘积为16可以得出x 的取值只可能在−到同理y 的取值只可能在−所以曲线C 在一个面积为= 综上，正确的命题有（2）（3），共2个． 故选：B ．二．多选题（共2小题）13．数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素．如我们熟悉的∞符号，我们把形状类似∞的曲线称为“∞曲线”．经研究发现，在平面直角坐标系xOy 中，到定点(,0)A a −，(,0)B a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹C 是“∞曲线”．若点0(P x ，0)y 是轨迹C 上一点，则下列说法中正确的有( ) A ．曲线C 关于原点O 中心对称 B ．0x 的取值范围是[a −，]aC ．曲线C 上有且仅有一个点P 满足||||PA PB =D ．22PO a −的最大值为22a【解答】解：在平面直角坐标系xOy 中，到定点(,0)A a −，(,0)B a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹C 是“∞曲线”． 故点(P x ，0)y 满足2a ，点(M x −，0)y −代入2a ，得2a ，故A 正确；对于B ：设x 轴上0x 范围的最大值为m x ，所以2()()m m x a x a a −+=，解得m x =，故0x 的范围为[]．故B 错误； 对于C ：若PA PB =，则点P 在AB 的垂直平分线上，即0P x =，设点(0,)P P y ，所以22a =，所以0P y =，即仅原点满足，故C 正确；对于2D a =， 化简得2222222()220x y a x a y +−+=，根据cos x ρθ=，sin y ρθ=，得到222cos 2a ρθ=， 所以2PO 的最大值为22a ，22PO a −的最大值为2a ，故D 错误．故选：AC ．14．在平面直角坐标系xOy 中，(,)P x y 为曲线22:422||4||C x y x y +=++上一点，则( ) A ．曲线C 关于原点对称B ．[1x ∈−C ．曲线C 围成的区域面积小于18D ．P 到点1(0,)2【解答】解：当0x >，0y >时，曲线C 的方程为22422||4||x y x y +=++， 去掉绝对值化简可得22(1)1()142x y −+−=，将2214x y +=的中心平移到1(1,)2位于第一象限的部分， 因为点(,)x y −，(,)x y −，(,)x y −−都在曲线C 上， 所以曲线C 的图象关于x 轴、y 轴和坐标原点对称， 作出图象如图所示，由图可知曲线C关于原点对称，故选项A正确；令2214xy+=中的0y=，解得2x=，向右平移一个单位可得到横坐标为3，根据对称性可知33x−剟，故选项B错误；令2214xy+=中的0x=，解得1y=，向上平移12个单位可得纵坐标的最大值为32，曲线C第一象限的部分被包围在矩形内，矩形面积为39322⨯=，所以曲线C围成的区域面积小于94182⨯=，故选项C正确；令22(1)1()142xy−+−=中的0x=，可得12 y=所以到点1(0,)2，故选项D正确．故选：ACD．三．填空题（共6小题）15．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y xy+=+就是其中之一（如图），给出下列三个结论：①曲线C恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C③曲线C所围成的“花形”区域的面积小于4．其中，所有正确结论的序号是②．【解答】解：①令0x =，方程化为：21y =，解得1y =±，可得点(0,1)±；令0y =，方程化为：21x =，解得1x =±，可得点(1,0)±；令x y =±，方程化为：21x =，解得1x =±，可得点(1,1)±±．由此可得：曲线C 恰好经过8个整点，因此不正确． ②221||2||xy x y xy +=+…，方程化为：||1xy …，∴曲线C 上任意一点到原点的距离d ==，即曲线C③由四个点(1,1)±±作为正方形的顶点，可得正方形的面积为4，曲线C 所围成的“花形”区域的面积大于4．其中，所有正确结论的序号是②． 故答案为：②．16．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一（如图），给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是 ①② ．【解答】解：根据题意，曲线22:1||C x y x y +=+，用(,)x y −替换曲线方程中的(,)x y ，方程不变，所以曲线C 关于y 轴对称，对于①，当0x …时，221||x y x y +=+，即为，2222112x y x y xy ++=++…，可得222x y +…， 所以曲线经过点(0,1)，(0,1)−，(1,0)，(1,1)，再根据对称性可知，曲线还经过点(1,0)−，(1,1)−，故曲线恰好经过6个整点，①正确；对于②，由上可知，当0x …时，222x y +…，即曲线C再根据对称性可知，曲线C ②正确；对于③，因为在x 轴上方，图形面积大于四点(1,0)−，(1,0)，(1,1)，(1,1)−围成的矩形面积122⨯=， 在x 轴下方，图形面积大于三点(1,0)−，(1,0)，(0,1)−围成的等腰直角三角形的面积12112⨯⨯=，所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于3，③错误． 故答案为：①②．17．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322:()16C x y x y +=恰好是四叶玫瑰线．给出下列结论： ①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2； ③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程22322()16(0)x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限． 其中正确结论的序号是 ②④ ．【解答】解：22223222()16()2x y x y x y ++=…，224x y ∴+…（当且仅当222x y ==时取等号）， 则②正确；将224x y +=和22322()16x y x y +=联立， 解得222x y ==，即圆224x y +=与曲线C相切于点，(，(，， 则①和③都错误；由0xy <，得方程22322()16x y x y +=表示的曲线C 在第二象限和第四象限，故④正确． 故答案为：②④．18．曲线C 是平面内到定点(1,0)A 的距离与到定直线1x =−的距离之和为3的动点P 的轨迹．则曲线C 与y 轴交点的坐标是(0, ；又已知点(B a ，1)(a 为常数），那么||||PB PA +的最小值d （a ）= ． 【解答】解：（1）设动点(,)P x y|1|3x +=， ①当4x <−时，|1|3x +>，无轨迹；②当41x −−剟4x +，化为231015(1)2y x x =+−−厖，与y 轴无交点；③当1x >−2x −，化为223y x =−+，3(1)2x −<…． 令0x =，解得y =综上①②③可知：曲线C 与y轴的交点为(0,； （2）由（1）可知：231015,(1)2323,(1)2x x y x x ⎧+−−⎪⎪=⎨⎪−+−<⎪⎩剟…．如图所示，令1y =，则10151x +=，或231x −+=， 解得 1.4x =−或1．①当 1.4a −…或1a …时，||||||PA PB AB +…，d ∴（a）||AB ==； ②当11a −<<时，当直线1y =与2323(1)2y x x =−+−<…相交时的交点P 满足||||PA PB +取得最小值， 此抛物线的准线为2x =，∴直线1y =与准线的交点(2,1)Q ，此时d （a ）||2QB a ==−；③当 1.41a −<−…时，当直线1y =与231015(1)2y x x =+−−剟相交时的交点P 满足|||PA PB +取得最小值，此抛物线的准线为4x =−，∴直线1y =与准线的交点(4,1)Q −，此时d （a ）||4QB a ==+．综上可知：d （a） 1.414, 1.412,1 1.a a a a a a −=+−<−⎨⎪−−<<⎪⎩或剠…19．已知点(A B ，动点P 满足APB θ∠=且2||||cos 12PA PB θ=，则点P 的轨迹方程为2213x y += ． 【解答】解：由2||||cos 12PA PB θ=，(0,)θπ∈，则1cos ||||12PA PB θ+=，||AB = 所以|||||||||cos 2PA PB PA PB θ+=，而在三角形ABP 中22222||||||||||8cos 2||||2||||PA PB AB PA PB PA PB PA PB θ+−+−==，所以可得22||||||||62PA PB PA PB ++=，而222||||(||||)2||||PA PB PA PB PA PB +=+−，所以可得2(||||)12PA PB +=，所以||||PA PB +=||AB ，所以可得P的轨迹为椭圆，且长轴长2a =2c =x 轴上，中心在原点的椭圆，即a =c =2221b a c =−=，所以P 的轨迹方程为：2213x y +=，故答案为：2213x y +=．20．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同动点A 、B 满足AO BO ⊥（如图所示）．则AOB ∆得重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程为2233y x =+；【解答】解：显然直线AB 的斜率存在，记为k ，AB 的方程记为：y kx b =+，(0)b ≠，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，将直线方程代入2y x =得：20x kx b −−=，则有：△240k b =+>①，12x x k +=②，12x x b =−③，又211y x =，222y x =212y y b ∴=；AO BO ⊥，12120x x y y ∴+=，得：20b b −+=且0b ≠，1b ∴=，代入①验证，满足；故21212()22y y k x x k +=++=+； 设AOB ∆的重心为(,)G x y ，则1233x x k x +==④，212233y y k y ++==⑤， 由④⑤两式消去参数k 得：G 的轨迹方程为2233y x =+． 故答案为：2233y x =+． 四．解答题（共5小题）21．如图，直线1l 和2l 相交于点M ，12l l ⊥，点1N l ∈．以A ，B 为端点的曲线段C 上的任一点到2l 的距离与到点N 的距离相等．若AMN ∆为锐角三角形，||AM =||3AN =，且||6BN =．建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程．【解答】解：法一：如图建立坐标系，以1l 为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以2l 为准线的抛物线的一段，其中A ，B 分别为C 的端点． 设曲线段C 的方程为22(0)y px p =>，(A B x x x 剟，0)y >， 其中A x ，B x 分别为A ，B 的横坐标，||p MN =． 所以(2p M −，0)，(2pN ，0)．由||AM =||3AN =得 2()2172A A p x px ++=，① 2()292A A p x px −+=．② 由①，②两式联立解得4A x p =．再将其代入①式并由0p >解得421 2.A Ap p x x ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 因为AMN ∆是锐角三角形，所以2A px >，故舍去22Ap x =⎧⎨=⎩ 所以4p =，1A x =．由点B 在曲线段C 上，得||42B px BN =−=． 综上得曲线段C 的方程为 28(14,0)y x x y =>剟．解法二：如图建立坐标系，分别以1l 、2l 为x 、y 轴，M 为坐标原点．作1AE l ⊥，2AD l ⊥，2BF l ⊥，垂足分别为E 、D 、F ． 设(A A x ，)A y 、(B B x ，)B y 、(N N x ，0)． 依题意有||||||3A x ME DA AN ====，||A y DM =，由于AMN ∆为锐角三角形，故有 ||||N x ME EN =+||4ME = ||||6B x BF BN ===．设点(,)P x y 是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合 {(x ，222)|()N y x x y x −+=，A B x x x 剟，0}y >．故曲线段C 的方程为28(2)(36y x x =−剟，0)y >．22．已知双曲线2212x y −=的左、右顶点分别为1A 、2A ，点1(P x ，1)y ，1(Q x ，1)y −是双曲线上不同的两个动点．求直线1A P 与2A Q 交点的轨迹E 的方程．【解答】解：由题设知1||x 1(A 0)，2A 0)， 直线1A P 的斜率为1k =，∴直线1A P 的方程为y x =，⋯①同理可得直线2A Q 的方程为y x ．⋯②将①②两式相乘，得222121(2)2y y x x =−−．⋯③点1(P x ，1)y 在双曲线2212x y −=上，∴221112x y −=，可得22211111(2)22x y x =−=−，⋯④ 将④代入③，得21222211(2)12(2)122x y x x x −=−=−−，整理得2212x y +=，即为轨迹E 的方程． 点P 、Q 不重合，且它们不与1A 、2A 重合，x ∴≠，轨迹E的方程为221(2x y x +=≠23．设圆C与两圆22(4x y ++=，22(4x y +=中的一个内切，另一个外切，求圆心C 的轨迹L 的方程．【解答】解：（1）两圆的半径都为2，两圆心为1(F 0)、2F 0)， 由题意得：12||2||2CF CF +=−或21||2||2CF CF +=−，2112||||||42||2CF CF a F F c ∴−==<=，可知圆心C 的轨迹是以原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴为4，焦距为 因此2a =，c =2221b c a =−=， 所以轨迹L 的方程为2214x y −=．24．已知椭圆221(0)259x y a b +=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，Q 是椭圆外的动点，满足1||10FQ =．点P 是线段1F Q 与该椭圆的交点，点T 在线段2F Q 上，并且满足20PT TF =，2||0TF =． （Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明14||55F P x =+； （Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使△12F MF 的面积9S =，求12F MF ∠的正切值；若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：设点P 的坐标为(,)x y ． 记1122||,||F P r F P r ==，则12r r = 由22121211410,16,55r r r r x F P r x +=−===+得；（Ⅱ）解：设点T 的坐标为(,)x y ．当||0PT =时，点(5,0)和点(5,0)−在轨迹上． 当200PT TF ≠≠且时，由20PT TF =，得2PT TF ⊥． 又2||||PQ PF =，所以T 为线段2F Q 的中点． 在△12QF F 中，11||||52OT FQ ==，所以有2225x y +=． 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是2225x y +=；（Ⅲ）结论：在点T 的轨迹C 上，存在点M 使△12F MF 的面积9S =，此时12F MF ∠的正切值为2． 理由如下：C 上存在点0(M x ，0)y 使9S =的充要条件是22000254||9x y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，显然09||54y =<，∴存在点M ，使9S =； 不妨取094y =，则10(4MF x =−−，9)4−，20(4MF x=−，9)4−， 121212||||cos MF MF MF MF F MF =∠0(4x =−−，09)(44x −−，9)4−220916()4x =−+21 / 21 2209()164x =+− 25169=−=， 又12121||||sin 92S MF MF F MF =∠=， 121212121||||cos ||||sin 2MF MF F MF MF MF F MF ∴∠=∠， 12tan 2F MF ∴∠=．。

轨迹方程的求法一、知识复习轨迹方程的求法常见的有1直接法；2定义法；3待定系数法4参数法5交轨法；6相关点法注意：求轨迹方程时注意去杂点,找漏点.一、知识复习例1：点P－3,0是圆x2+y2－6x－55=0内的定点,动圆M与已知圆相切,且过点P,求圆心M的轨迹方程;例2、如图所示,已知P 4,0是圆x 2+y 2=36内的一点,A 、B 是圆上两动点,且满足∠APB =90°,求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.解：设AB 的中点为R ,坐标为x ,y ,则在Rt △ABP 中,|AR |=|PR |.又因为R 是弦AB 的中点,依垂径定理：在Rt △OAR 中,|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－x 2+y 2 又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有x －42+y 2=36－x 2+y 2,即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上,而当R 在此圆上运动时,Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Qx ,y ,Rx 1,y 1,因为R 是PQ 的中点,所以x 1=2,241+=+y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.例3、如图, 直线L 1和L 2相交于点M, L 1⊥L 2, 点N ∈L 1. 以A, B 为端点的曲线段C 上的任一点到L 2的距离与到点N 的距离相等. 若∆AMN 为锐角三角形, |AM|= 错误!, |AN| = 3, 且|BN|=6. 建立适当的坐标系,求曲线段C 的方程.解法一：如图建立坐标系,以l 1为x 轴,MN 的垂直平分线为y 轴,点O 为坐标原点;依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点,以l 2为准线的抛物线的一段,其中A ,B 分别为C 的端点;设曲线段C 的方程为)0,(),0(22>≤≤>=y x x x p px y B A ,其中x A,x B 分别为A ,B 的横坐标,P=|MN|;)2(92)2()1(172)2(3||,17||)0,2(),0,2(22=+-=++==-A A A A px px px px AN AM p N p M 得由所以 由①,②两式联立解得p x A 4=;再将其代入①式并由p>0解得⎩⎨⎧⎩⎨⎧====2214A A x p x p 或 因为△AMN 是锐角三角形,所以Ax p >2,故舍去⎩⎨⎧==22A x p∴p=4,x A =1由点B 在曲线段C 上,得42||=-=pBN x B ;综上得曲线段C 的方程为)0,41(82>≤≤=y x x y解法二：如图建立坐标系,分别以l 1、l 2为作AE ⊥l 1,AD ⊥l 2,BF ⊥l 2垂足分别为E 、D 、F 设Ax A , y A 、Bx B , y B 、Nx N , 0 依题意有)0,63)(2(8}0,,)(|),{(),(6||||4||||||||||22||||||3|||||22222222>≤≤-=>≤≤=+-====++=+=∆=+======y x x y C y x x x x y x x y x P C y x P NB BE x AE AM ME EN ME x AMN DA AM DM y AN DA ME x B A N B N A A 的方程故曲线段属于集合上任一点则由题意知是曲线段设点为锐角三角形故有由于例4、已知两点)2,0(),2,2(Q P -以及一条直线ι：y =x ,设长为2的线段AB 在直线λ上移动,求直线PA 和QB 交点M 的轨迹方程．解：PA 和QB 的交点Mx ,y 随A 、B 的移动而变化,故可设)1,1(),,(++t t B t t A , 则PA ：),2)(2(222-≠++-=-t x t t y QB ：).1(112-≠+-=-t x t t y 消去t ,得.082222=+-+-y x y x当t =－2,或t =－1时,PA 与QB 的交点坐标也满足上式,所以点M 的轨迹方程是.0822222=+--+-y x x y x例5、设点A 和B 为抛物线 y 2=4pxp ＞0上原点以外的两个动点,已知OA ⊥OB ,OM ⊥AB ,求点M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.解法一：设Mx ,y ,直线AB 的方程为y =kx +b 由OM ⊥AB ,得k =－yx由y 2=4px 及y =kx +b ,消去y ,得k 2x 2+2kb －4px +b 2=0 所以x 1x 2=22kb , y 1y 2=kpb 4,由OA ⊥OB ,得y 1y 2=－x 1x 2所以k pk4=－22kb , b =－4kp故y =kx +b =kx －4p , 得x 2+y 2－4px =0x ≠0故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0x ≠0,它表示以2p ,0为圆心,以2p 为半径的圆,去掉坐标原点.解法二：设Ax 1,y 1,Bx 2,y 2,Mx ,y依题意,有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=---=--⋅-=⋅==112121212122112221211144x x y y x x y y x x y y x y x yx y px y px y①－②得y 1－y 2y 1+y 2=4px 1－x 2 若x 1≠x 2,则有2121214y y px x y y +=-- ⑥ ①×②,得y 12·y 22=16p 2x 1x 2 ③代入上式有y 1y 2=－16p 2⑦⑥代入④,得yxy y p -=+214 ⑧ ⑥代入⑤,得py x y y x x y y y y p442111121--=--=+所以211214)(44y px y y p y y p --=+ 即4px －y 12=yy 1+y 2－y 12－y 1y 2 ⑦、⑧代入上式,得x 2+y 2－4px =0x ≠0 当x 1=x 2时,AB ⊥x 轴,易得M 4p ,0仍满足方程.故点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0x ≠0它表示以2p ,0为圆心,以2p 为半径的圆,去掉坐标原点.① ②③ ④ ⑤|轨 迹 方 程练习11．08、山东文22已知曲线1C ：||||1(0)x y a b a b+=>>所围成的封闭图形的面积为 45,曲线1C 的内切圆半径为253,记2C 为以曲线1C 与坐标轴的交点为顶点的椭圆．1求椭圆2C 的标准方程； 2设AB 是过椭圆2C 中心的任意弦,L 是线段AB 的 垂直平分线,M 是L 上异于椭圆中心的点．①若||MO ＝λ||OA O 为坐标原点,当点A 在椭圆2C 上运动时,求点M 的轨迹方程；②若M 是L 与椭圆2C 的交点,求AMB ∆的面积的最小值．解：1由题意得22245253ab ab a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩⇒4522==b a ，⇒椭圆方程：2254x y +＝1．2若AB 所在的斜率存在且不为零,设 AB 所在直线方程为y ＝kxk≠0,A A A y x ，．①由22154,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩⇒2222220204545A A k x y k k ==++， ⇒2222220(1)||45AAk OA x y k+=+=+． 设Mx,y,由|MO|＝λ|OA|λ≠0⇒|MO|2＝λ2|OA|2⇒2222220(1)45k x y k λ++=+．因为L 是AB 的垂直平分线,所以直线L 的方程为y ＝1x k -⇒k ＝x y-,代入上式有：22222222222220(1)20()4545x x y y x y x y x yλλ+++==++⨯,由022≠+y x ⇒2225420x y λ+=, 当k ＝0或不存时,上式仍然成立.,综上所述,M 的轨迹方程为22245x y λ+=,λ≠0．②当k 存在且k ≠0时,2222220204545AA k x y k k ==++，⇒|OA|2＝222220(1)45A A k x y k ++=+． 由221541x y y xk ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩⇒2222220205454M M k x y k k ==++，⇒22220(1)||54k OM k +=+． ⇒222222111120(1)20(1)4554k k OAOMk k +=+++++＝209． 222119||||20OA OB OA OM≤+=⨯⇒||||OB OA ⨯≥940．||||21OB OA S AMB ⨯⨯⨯=∆＝||||OB OA ⨯≥40,当且仅当4＋5k 2＝5＋4k 2时,即k ＝±1时等号成立．当1400229AMB k S ∆==⨯=>，； 当k 不存在时,140429AMB S ∆==>．综上所述,AMB ∆的面积的最小值为409．2．07、江西理21设动点P 到点(10)A -，和(10)B ，的距离分别为1d 和2d ,2APB θ∠=,且存在常数(01)λλ<<,使得212sin d d θλ=．1证明：动点P 的轨迹C 为双曲线,并求出C 的方程；2过点B 作直线与双曲线C 的右支于M N ，两点,试确定λ的范围,使OM ·ON ＝0,其中点O 为坐标原点．解：1在PAB △中,2AB =,即222121222cos 2d d d d θ=+-, 2212124()4sin d d d d θ=-+,即2121244sin 212d d d d θλ-=-=-<常数,点P 的轨迹C 是以A B ，为焦点,实轴长221a λ=-的双曲线,方程为：2211x y λλ-=-． 2设11()M x y ，,22()N x y ，①当MN 垂直于x 轴时,MN 的方程为1x =,(11)M ，,(11)N -，在双曲线上．即2111511012λλλλλ-±-=⇒+-=⇒=-, 因为01λ<<,所以512λ-=． ②当MN 不垂直于x 轴时,设MN 的方程为(1)y k x =-．由2211(1)x y y k x λλ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩得： 2222(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ⎡⎤--+---+=⎣⎦,由题意知：2(1)0k λλ⎡⎤--≠⎣⎦ ⇒21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--,2122(1)()(1)k x x kλλλλ--+=-- ⇒22212122(1)(1)(1)k y y k x x k λλλ=--=--． 由OM ·ON ＝0,且M N ，在双曲线右支上,所以2121222122212(1)0(1)5121011231001x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-⎧+=⎧-⎧=⎪>-⎪⎪⎪+-+>⇒⇒⇒<<+--⎨⎨⎨⎪⎪⎪>+->>⎩⎩⎪-⎩． 由①②知32215<≤-λ．3．09、海南已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点,焦点在x 轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．1求椭圆C 的方程；2若P 为椭圆C 上的动点,M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点,2OP e OMe 为椭圆C 的离心率,求点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线．解：Ⅰ设椭圆长半轴长及分别为a,c ．由已知得⎩⎨⎧=+=-71c a c a ⇒a ＝4,c ＝3⇒椭圆C 的方程为221167x y +=． 2设Mx,y,P 0x ,0y ． 其中0x ∈－4,4,0x ＝x ．有22001167x y +=……① 由OP e OM=得：2240022x y e x y +=+＝169． 故22220016()9()x y x y +=+下面是寻找关系式0x ＝fx,y,0y ＝gx,y 的过程又⎪⎩⎪⎨⎧-==167112220220x y x x ……………………………………②②式代入①：22001167x y +=并整理得：47(44)3y x =±-≤≤,所以点M 的轨迹是两条平行于x 轴的线段．轨 迹 方 程练习24．09、重庆理已知以原点O 为中心的椭圆的一条准线方程为433y =,离心率32e =,M 是椭圆上的动点． 1若C 、D 的坐标分别是0,√3、0,－√3,求||MC ·||MD 的最大值；2如图,点A 的坐标为1,0,点B 是圆221x y +=上的点,点N 是点M 椭圆上的点在x 轴上的射影,点Q 满足条件：OQ ＝OM ＋ON ,QA ·BA ＝0．求线段QB 的中点P 的轨迹方程．解：1设椭圆方程为：22221x y a b +=a ＞b ＞0．准线方程3y =＝c a 2,2e =＝ac ⇒2=a ,32=c 1=⇒b ⇒椭圆方程为：2214y x +=．所以：C 、D 是椭圆2214y x +=的两个焦点⇒||MC ＋||MD ＝4．||MC ·||MD ≤4)2||||(2=+MD MC ,当且仅当||MC ＝||MD ,即点M 的坐标为(1,0)±时上式取等号⇒||MC ·||MD 的最大值为4．2设M(,),(,)m m B B x y B x y ,(,)Q Q Q x y ,N 0，m x ⇒4422=+m m y x ,122=+B B y x ． 由OQ ＝OM ＋ON⇒m Q x x 2=,m Q y y =⇒4)2(2222=+=+m m Q Qy x y x ………①由QA ·BA ＝0 ⇒Q Q y x --，1·B B y x --，1＝Q x -1B x -1＋B Q y y ＝0 ⇒=+B Q B Q y y x x 1-+B Q x x …………②记P 点的坐标为P x ,P y ,因为P 是BQ 的中点⇒B Q P x x x +=2,B Q P y y y +=2⇒2222)2()2(BQ B Q P P y y x x y x +++=+＝)22(412222B Q B Q B Q B Q y y x x y y x x +++++ ＝)]1(25[41-++B Q x x ＝)245(41-+P x ⇒P P P x y x +=+4322 ⇒动点P 的方程为：1)21(22=+-y x ．5．09、安徽已知椭圆22a x ＋22by ＝1a ＞b ＞0的离心率为33．以原点为圆心,以椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切．1求a 与b 的值；2设该椭圆的左,右焦点分别为1F 和2F ,直线1L 过2F 且与x 轴垂直,动直线2L 与y 轴垂直,2L 交1L 于点p.求线段1PF 的垂直平分线与直线2L 的交点M 的轨迹方程,并指明曲线类型解：1e ＝33⇒22a b ＝32．又圆心0,0到直线y ＝x ＋2的距离d ＝半径b ＝22112+, ∴2b ＝2,2a ＝3．12322=+y x 21F －1,0、2F 1,0,由题意可设P 1,tt ≠0.那么线段1PF 的中点为N0,2t ． 2L 的方程为：y ＝t,设M M M y x ,是所求轨迹上的任意点.下面求直线MN 的方程,然后与直线2L 的方程联立,求交点M 的轨迹方程直线1PF 的斜率k ＝2t ,∴线段1PF 的中垂线MN 的斜率＝－t2． 所以：直线MN 的方程为：y －2t ＝－t 2x ．由⎪⎩⎪⎨⎧+-==22t x t y t y ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=t y t x MM 42, 消去参数t 得：M M x y 42-=,即： x y 42-=,其轨迹为抛物线除原点．又解：由于MN ＝－x,2t －y,1PF ＝－x,2t －y ．∵MN ·1PF ＝0, ∴⎪⎩⎪⎨⎧==---ty y t x t x 0)2(·)2,(，,消参数t 得：x y 42-=x ≠0,其轨迹为抛物线除原点．6．07湖南理20已知双曲线222x y -=的左、右焦点分别为1F ,2F ,过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点．直接法求轨迹1若动点M 满足1111F M F A F B FO =++其中O 为坐标原点,求点M 的轨迹方程；2在x 轴上是否存在定点C ,使CA ·CB 为常数 若存在,求出点C 的坐标；若不存在,请说明理由．解：1由条件知1(20)F -，,2(20)F ，,设11()A x y ，,22()B x y ，．设()M x y ，,则1(2)F M x y =+，,111(2)F A x y =+，,1221(2)(20)F B x y FO =+=，，，, 由1111F M F A F B FO =++⇒121226x x x y y y +=++⎧⎨=+⎩ ⇒12124x x x y y y+=-⎧⎨+=⎩⇒AB 的中点坐标为422x y -⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 当AB 不与x 轴垂直时,1212024822y y y y x x x x --==----, 即1212()8y y y x x x -=--． 又因为A B ，两点在双曲线上,所以22112x y -=,22222x y -=,两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+,即1212()(4)()x x x y y y --=-．将1212()8y y y x x x -=--代入上式,化简得22(6)4x y --=． 当AB 与x 轴垂直时,122x x ==,求得(80)M ，,也满足上述方程． 所以点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=． 2假设在x 轴上存在定点(0)C m ，,使CA ·CB 为常数． 当AB 不与x 轴垂直时,设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=． 则12x x ，是上述方程的两个实根,所以212241k x x k +=-,2122421k x x k +=-,于是CA ·CB 22221212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+-++++22222222(1)(42)4(2)411k k k k m k m k k +++=-++-- 222222(12)2442(12)11m k m m m m k k -+-=+=-++--． 因为CA ·CB 是与k 无关的常数,所以440m -=,即1m =,此时CA ·CB ＝－1．当AB 与x 轴垂直时,点A B ，的坐标可分别设为(2,(2,此时CA ·CB ＝1,√2·1,－√2＝－1．故在x 轴上存在定点(10)C ，,使CA ·CB 为常数．。

专题复习——求轨迹方程例1. 的的中点求线段为定点上的动点是椭圆点M AB ，a ，，A by a x B )02(12222=+ 轨迹方程。

例2. 求椭圆的左顶离心率为轴为准线并且以动椭圆过定点，，y ，，M 21)21( 点A 的轨迹方程。

例3. 过点P （2，4）作两条互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。

例4. 已知定点A （2，0），点Q 是圆x 2＋y 2＝1的动点，∠AOQ 的平分线交AQ 于M ，当Q 点在圆上移动时，求动点M 的轨迹方程。

例5. 如图，给出定点A （a ，0），（a>0）与定直线l ：x ＝－1，点B 是l 上动点，∠BOA 的角平分线交AB 于点C ，求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值关系。

【模拟试题】1. 长为3a （a>0）的线段AB 的两端点A 、B 分别在y 轴、x 轴上运动，P 点分线段AB 或正比2：1，求点P 的轨迹方程。

2. △ABC 的顶点B 、C 双曲线191622=-y x 的焦点，点C 在抛物线y ＝4x 2上运动，求△ABC 的重心G 的轨迹方程。

3. 自双曲线122=-y x 上的动点A 引直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为B ，求线段AB 中点M 的轨迹方程。

4. 已知定点A （－1，0），B （2，0），P 为动点，且∠PBA ＝2∠PAB ，求动点P 的轨迹方程。

5. 以双曲线222=-y x 的右准线l 为左准线，以双曲线的右焦点F 为左焦点的椭圆C 的短轴顶点为B ，求BF 中点M 的轨迹方程。

答案：例一; 分析：题中涉及了三个点A 、B 、M ，其中A 为定点，而B 、M 为动点，且点B 的运动是有规律的，显然M 的运动是由B 的运动而引发的，可见M 、B 为相关点，故采用相关点法求动点M 的轨迹方程。

解：设动点M 的坐标为（x ，y ），而设B 点坐标为（x 0，y 0）则由M 为线段AB 中点，可得 ⎩⎨⎧=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+y y a x x y y x a x 22220220000 即点B 坐标可表为（2x －2a ，2y ） 上在椭圆点又1)(222200=+by a x ，y x B ，by a a x b y a x 1)2()22(12222220220=+-=+∴从而有 14)(42222=+-by a a x M ，的轨迹方程为得动点整理 。

轨迹方程问题汇总11. 已知点 M( — 3, 0)、N(3, 0)、B(1 , 0),O O 与 MN 相切于点 B ,过 的两直线相交于点 P ,贝U P 点的轨迹方程为 __________ .解析:如图，|PM| — | PN|=| PA|+| AM| — |Pq — | CN|=| MA| — | NC|=| MB| P>V J C• P 点的轨迹是以M 、N 为焦点的双曲线的右支,(B 3,a=1,b 2=l8l.2 2•方程为———=1(x>1).182答案:x 2 — Z=1(x>1)812. 点M 到一个定点F(0, 2)的距离和它到一条定直线 y=8的距离之比是 轨迹方程是 ___________ .xd U=X 0=2X 222y0 =y= 2y .2•••椭圆方程为22yx+ =1.16 12 2 X2答案：t +=116 1216.(本小题满分10分)设F 1、F 2是双曲线一点，过F 1作/ F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为/— y 2=4的左、右两个焦点,M ,求点M 的轨迹方程.P 是双曲线上任意N延长F 1M 与PF>相交于点N ,设N(X o ,y o ). 由已知可得M 为F I N 的中点，M 、N 与O O 相切—| NB|=4 — 2=2.1 : 2，贝U M 点的解析:根据椭圆第二定义可知，椭圆焦点为 (0,2), y=— =8,e=-. c 2又I NR|=| PN| —| P巨|=| PF1| —| PF2|=2 a=4, •••(x o— 2 .,2 )2+y o2=16.•••(2x+2 2 —2、. 2 )2+(2y)2=16.「. x2+y2=4.评注:适当运用平面几何知识把条件进行转化，会给我们解题带来方便17.(本小题满分12分)如图，某农场在P处有一堆肥，今要把这堆肥料沿道路PA或PB送到庄稼地ABCD中去，已知PA=100 m , PB=150 m，/ APB=60° .能否在田地ABCD中确定一条界线，使位于界线一侧的点，沿道路PA送肥较近；而另一侧的点，沿道路PB送肥较近？如果能，请说出这条界线是一条什么曲线，并求出其方程P又d=£—x,且2 w d w 3解:设M 是这种界线上的点， 则必有 | MA|+| PA=| MB|+| PB|, 即 | MA| — | MB|=| PB| — | PA=50.•这种界线是以 A 、B 为焦点的双曲线靠近 B 点的一支.建立以AB 为x 轴，AB 中点2 2为原点的直角坐标系，则曲线为 笃—与=1,a 2b 21其中 a=25,c=- | AB|• c=25 .. 7 ,b 2=c 2— a 2=3750.2•••所求曲线方程为— 625| PF=w d w 3232(1)求动点P 的轨迹方程;——. 一 1 — 一(2)若 PF • OF =—，求向量OP 与OF 的夹角.32解:⑴根据椭圆的第二定义知，点 P 的轨迹为椭圆.由条件知c=1,— =2/. a —2.c畤=护子满足冋=子止2 2/ P 点的轨迹为—+^=1.2 12y 3750=1(x > 25,y > 0). 18.(本小题满分 12分)已知点F(1, 0)，直线l:x=2.设动点 P 到直线l 的距离为d,且2 < 2-x w31< x w 4322 3X 221 V V 4+y =1( w x w ).3X 221 4P 点的轨迹方程为 —+y =1(-w x w —),.•• F (1,O )、P(X 0,y o ).3OF =(1,0), OP =(x o ,y o ), PF =(1 — x o , - y o ).•- PF • OF =!,. 1-x o =!.33._2 历 ..x o — 一 ,y o = 土3 3• ■ 亠 ■ 又 OP • OF =| OP | • | OF | • COS B , 2 .cos 0 = 沧==.3== — TH .菽弔74+7心 1 11\9 9.0 =arccos11 '1.【苍山诚信中学 文科】21.(本小题满分12分)如图所示，已知圆 C : (x 1) y =8,定点A(1,0), M 为圆上一动点，点 P 在AM 上,点N 在CM 上，且满足AM 二2AP, NP AM = 0,点N 的轨迹为曲线E.(I) 求曲线E 的方程；(II) 过点A 且倾斜角是45的直线I 交曲线E 于两点 H 、Q ,求 |HQ|.【解】(1) AM =2AP,NP AM = 0..NP 为AM 的垂直平分线，.|NA|=|NM|.……2分 又|CN | | NM |=2 2 |CN | | AN |=2.2 2..动点N 的轨迹是以点 C (- 1, 0) , A (1, 0)为焦点的椭圆. 且椭圆长轴长为 2a=2、.2,焦距 2c=2.. a =2,c =1,b 2 =1. ..................... 分2.曲线E 的方程为—y 2 =1. ............................. 分2.轨迹方程为 (2)由(1)可知,.1 • x o +O • y o = .. x 02. 2 yo-1 • cos 0 .(2)直线l的斜率k二tan45 =1.直线I 的方程为y = x —1. ............................. 分・8工y = x 一1 由 t x2 2消去 y 得3x 2 _4x = 0. ................. 分0 ——+ y =1.2设 H(X i ,yJ,Q(X 2, y 2).:]HQ | = J i + k 2 区—x 2 |= p'1 +k 2、:区 +x 2)2 —4X t X 2 = V 2 J (?)2 =彳/5.12 分V 3 32 22.【09届苍山 文科】22.(本小题满分 12分)设椭圆 C ：笃•爲=1(a b 0)过点ab31(1,2),F 1,F 2分别为椭圆C 的左、右两个焦点，且离心率(1) 求椭圆C 的方程；(2) 已知A 为椭圆C 的左顶点，直线I 过右焦点F 2与椭圆C 交于M 、N 两点。

高(Gao)三数学轨迹方程50题及答案求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数(Shu)法、交轨法，待定(Ding)系数法。

(1)直(Zhi)接法(Fa)直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.(2)定义法若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程. (4)参数法若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.（5）交轨法若动点是受某一参量影响的两动曲线的交点，我们可以以消去这个参量得到动点轨迹方程.(6)待定系数法求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.一、选择题：1、方程y=表示的曲线是： （ ） A 、双曲线 B 、半圆 C 、两条射线 D 、抛物线2、方程[(x －1)2+(y+2)2](x 2－y 2)=0表示的图形是： （ ） A 、两条相交直线 B 、两条直线与点（1，－2） C 、两条平行线 D 、四条直线3、动点p 与定点A(－1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为－1，则p 点的轨迹方程是： （ ） A 、x 2+y 2=1 B 、x 2+y 2=1(x ≠±1） C 、x 2+y 2=1(x ≠1） D 、y=4、一动点到两坐标轴的距离之和的2倍，等于该点到原点距离的平方，则动点的轨迹方程是： （ ）A 、x 2+y 2=2(x+y)B 、x 2+y 2=2|x+y|C 、x 2+y 2=2(|x|+|y|)D 、x 2+y 2=2(x －y)5、动点P 到直线x=1的距离与它到点A （4，0）的距离之比为2，则P 点的轨迹是：（ ）A 、中心在原点的椭圆 B 、中心在（5，0）的椭圆 C 、中点在原点的双曲线 D 、中心在（5，0）的双曲线6、已知圆x 2+y 2=4，过A （4，0）作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程是 （ ） A 、(x －2)2+y 2=4 B 、(x －2)2+y 2=4(0≤x ＜1) C 、(x －1)2+y 2=4 D 、(x －1)2+y 2=4(0≤x ＜1)7、已知M （－2，0），N （2，0），|PM|－|PN|=4，则动点P 的轨迹是： （ ） A 、双曲线 B 、双曲线左支 C 、一条射线 D 、双曲线右支8、若一动圆与两圆x 2+y 2=1, x 2+y 2－8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为： （ ） A 、抛物线 B 、圆 C 、双曲线的一支 D 、椭圆9、点M 到F （3，0）的距离比它到直线x+4=0 的距离小1，则点M 的轨迹方程是：（ ） A 、y 2=12x B 、y 2=12x(x>0) C 、y 2=6x D 、y 2=6x(x>0)10、已知圆x 2+y 2=1，点A （1，0），△ABC 内接于圆，且∠BAC=60°，当B 、C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是 （ ）A 、x 2+y 2=B 、x 2+y 2=C 、x 2+y 2=21(x<21)D 、x 2+y 2=41（x<41)11、抛物线过点M （2，－4），且以x 轴为准线，此抛物线顶点的轨迹方程是 （ ）A、(x－2)2+(y+4)2=16B、(x－2)2+4(y+2)2=16 (0)yC、(x－2)2－(y+4)2=16D、(x－2)2+4(y+4)2=1612、椭(Tuo)圆(Yuan)C与椭(Tuo)圆关于(Yu)直线x+y=0对(Dui)称，椭圆C的方程是（）A、 B、C、 D、13、设A1、A2是椭圆=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为 ( )A. B.C. D.14、中心在原点，焦点在坐标为(0，±5)的椭圆被直线3x－y－2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为 ( )15、已知⊙O：x2+y2=a2, A(－a, 0), B(a, 0), P1, P2为⊙O上关于x轴对称的两点，则直线AP1与直线BP2的交点P的轨迹方程为（）A、x2+y2=2a2B、x2+y2=4a2C、x2－y2=4a2D、x2－y2=a2二、填空题：16、动圆与x轴相切，且被直线y=x所截得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹方程为。

轨迹问题专题一.综述(一)求动点的轨迹方程的基本步骤:⒈依据题目建立适当的坐标系，设出动点M（x,y）的坐标.⒉写出点M的集合(几何关系）.⒊将几何关系转化为代数关系,列出方程f(x,y)=0,化简方程为最简形式.4.检验特殊点,进行必要的文字说明.(二)高考中常见的求轨迹方程的方法有:1.直译法与定义法,2.相关点法;3.参数法;4.交轨法(三)求轨迹方程一般以解答题第一问的形式出现,偶尔也会在小题中考查.二.例题精讲破解规律例1.设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明EA+EB 为定值，并写出点E的轨迹方程.分析:题目中要求证明EA+EB为定值,容易知道,E的轨迹是椭圆,根据条件求出相关的参数即可.AM = λ AD , DN = λ DC , λ ∈[0,1], AN 交 BM 于点 Q .若点 Q 的轨迹是曲线 P 的现学现用 2: 设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C ： x + y 2 = 1 上，过 M 做 x 轴点评:平面几何相关知识是解决本题的关键,平时学习中要加以重视.规律总结: (1)直译法求轨迹方程:题目给出的条件可以直接得到一个关于动点坐 标的关系式,化简即可.(2)定义法求轨迹方程 :轨迹方程问题中 ,若能得到与我们所学过的圆锥曲线定义 相符的结论,可以根据相应圆锥曲线的定义求出相关的参数,从而得到方程. (3)定义法求轨迹方程本质上还是直译法,只是我们利用了直译法得到的结论.现 学 现 用 1: 如 图 ， 矩 形 ABCD 中 ，A (-2,0 ),B (2,0 ),C (2,2 ),D (-2,2 ) 且uuuuv uuuv uuuv uuuv一部分，曲线 P 关于 x 轴、 y 轴、原点都对称,求曲线 P 的轨迹方程.例 2. 已知线段 AB 的端点 B 的坐标是 (6,5 )，端点 A 在圆 C : (x - 4)2 + ( y - 3)2 = 4 1上运动.求线段 AB 的中点 P 的轨迹 C 的方程；2规律总结:相关点法求轨迹方程: 题中涉及了两个动点 N 、M ,且点 N 的运动是有规律的(轨迹方程已知)，而 M 的运动是由 N 的运动而引发的，这样的题目可采 用相关点法求动点 M 的轨迹方程.基本方法是设 M 的坐标,再反解出 N 的坐标, 然后带入 N 所在曲线的轨迹方程,整理即可.22现学现用 3: 已知 F , F 为椭圆 C : x + y = 1 的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上移动4 3uuur uuuur的垂线，垂足为 N ，点 P 满足 NP = 2 NM .求点 P 的轨迹方程；例 3: 已知抛物线 C ： y 2 = 2 x 的焦点为 F ，平行于 x 轴的两条直线 l , l 分别交 C 1 2于 A ，B 两点，交 C 的准线于 P ，Q 两点．（Ⅰ）若 F 在线段 AB 上， R 是 PQ 的中点，证明 AR ∥FQ ；（Ⅱ）若 △PQF 的面积是 △ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程.点评:本题考查抛物线定义与几何性质、直线与抛物线位置关系、轨迹求法规律总结: 当动点坐标 x 、y 之间的直接关系难以找到时,往往先寻找 x 、y 与某 一变量(或多个)的关系,再消去参变量 ,得到方程,即为动点的轨迹方程 ,这种求轨 迹方程的方法叫做参数法2 21 2时， ∆PF F 的内心 I 的轨迹方程为__________．1 2三.课堂练习 强化技巧A B O1.已知|AB|=3，，分别在x轴和y轴上运动，为原点，OP=1OA+2OB，33则点P的轨迹方程为()．A.x2+y2=1B.x2+y2=1C.x2+y2=1D.x2+y2=144992.若动圆P与圆M:x2+(y+2)2=1和圆N:x2+(y+3)2=λ(1≤λ≤4)都外切，则动圆P的圆心的轨迹（）A.是椭圆B.是一条直线C.是双曲线的一支D.与λ的值有关3.已知直线l过抛物线C：y2=4x的焦点，l与C交于A，B两点，过点A，B分别作C的切线，且交于点P，则点P的轨迹方程为________.四.课后作业巩固内化1.设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，uuuv uuuv点Q与点P关于y轴对称，O为原点，若P为AB的中点，且OQ⋅AB=1，则点P的轨迹方程为__________．2.已知A(1,1),B(−1,1)，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直44线BM的斜率的差是1，则点M的轨迹C的方程是___________．23.．点P是圆C:(x+2)2+y2=4上的动点，定点F(2,0)，线段PF的垂直平分线与直线CP的交点为Q，则点Q的轨迹方程是___．4.如下图，在平面直角坐标系xOy中，直线l:y=x与直线l:y=-x之间的阴影12部分即为W，区域W中动点P(x,y)到l,l的距离之积为1.求点P的轨迹C的方12程；5.已知动圆G过定点F(4,0)，且在y轴上截得的弦长为8.求动圆G的圆心点G 的轨迹方程；6.在平面直角坐标系xOy中，设动点P到两定点M(-2,0)，N(1,0)的距离的比值为2的轨迹为曲线C．求曲线C的方程；7.已知动点E到点A(2,0)与点B(-2,0)的直线斜率之积为-1，点E的轨迹为4曲线C．求C的方程；8.平面直角坐标系xOy中，圆x2+y2+2x-15=0的圆心为M.已知点N(1,0)，且T为圆M上的动点，线段T N的中垂线交T M于点P.求点P的轨迹方程；9.设M,N,T是椭圆x2+y2=1上三个点，M,N在直线x=8上的射影分别为1612（1）若直线MN 过原点O ，直线MT, NT 斜率分别为k , k ，求证：k k 为定值； （2）若M, N 不是椭圆长轴的端点，点L 坐标为(3, 0)，ΔM N L 与ΔMNL 面积之比M 1, N 1．1 2 1 211为 5，求MN 中点K 的轨迹方程．10. 已知椭圆 Γ: x 2 + y 2 = 1(a > b > 0)的右焦点与短轴两端点构成一个面积为a 2b 22 的等腰直角三角形，O 为坐标原点．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设点A 在椭圆Γ上，点B 在直线y = 2上，且OA ⊥ OB ，求证： 1 +OA 21 OB 2为定值；（3）设点C 在椭圆Γ上运动，OC ⊥ OD ，且点O 到直线CD 的距离为常数√3，求动点的轨迹方程．轨迹问题专题答案一.综述(一)求动点的轨迹方程的基本步骤:⒈依据题目建立适当的坐标系，设出动点M（x,y）的坐标.⒉写出点M的集合(几何关系）.⒊将几何关系转化为代数关系,列出方程f(x,y)=0,化简方程为最简形式.4.检验特殊点,进行必要的文字说明.(二)高考中常见的求轨迹方程的方法有:1.直译法与定义法,2.相关点法;3.参数法;4.交轨法(三)求轨迹方程一般以解答题第一问的形式出现,偶尔也会在小题中考查.二.例题精讲破解规律例1.设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明EA+EB 为定值，并写出点E的轨迹方程.分析:题目中要求证明EA+EB为定值,容易知道,E的轨迹是椭圆,根据条件求出相关的参数即可.答案: x + y = 1（ y ≠ 0 ） + = 1 （ y ≠ 0 ）. AM = λ AD , DN = λ DC , λ ∈[0,1], AN 交 BM 于点 Q .若点 Q 的轨迹是曲线 P 的22 4 3解析:因为 | AD |=| AC | ， EB // AC ，故 ∠EBD = ∠ACD = ∠ADC ，所以 | EB |=| ED | ，故 | EA | + | EB |=| EA | + | ED |=| AD | .又圆 A 的标准方程为 ( x + 1)2 + y 2 = 16 ，从而 | AD |= 4 ，所以 | EA | + | EB |= 4 . 由题设得 A(-1,0) ， B(1,0) ， | AB |= 2 ，由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为：x 2 y 24 3点评:平面几何相关知识是解决本题的关键,平时学习中要加以重视.规律总结: (1)直译法求轨迹方程:题目给出的条件可以直接得到一个关于动点坐 标的关系式,化简即可.(2)定义法求轨迹方程 :轨迹方程问题中 ,若能得到与我们所学过的圆锥曲线定义 相符的结论,可以根据相应圆锥曲线的定义求出相关的参数,从而得到方程. (3)定义法求轨迹方程本质上还是直译法,只是我们利用了直译法得到的结论. 现 学 现 用 1: 如 图 ， 矩 形 ABCD 中 ，A (-2,0 ),B (2,0 ),C (2,2 ),D (-2,2 ) 且uuuuv uuuv uuuv uuuv一部分，曲线 P 关于 x 轴、 y 轴、原点都对称,求曲线 P 的轨迹方程.解析：设 Q (x, y )，由 AM = λ AD , DN = λ DC ,求得 M (-2,2 λ ), N (4λ - 2,2 ), 1λ ,∴ k1 ⎛ λ ⎫ 1 ,⋅ - ⎪ =-=-∴ y ⋅ y = - ，整理得 + y 2 = 1(-2 ≤ x ≤ 0,0 ≤ y ≤ 1) .uuuuv uuuv uuuv uuuv∵ kQA = k AN = 2λ 2Q A ⋅ k QB = 2λ ⎝ 2 ⎭ 41 x2 x + 2 x - 2 44可知点 Q 的轨迹为第二象限的 1 椭圆，由对称性可知曲线 P 的轨迹方程为4x 24+ y 2 = 1 .例 2. 已知线段 AB 的端点 B 的坐标是 (6,5 )，端点 A 在圆 C : (x - 4)2 + ( y - 3)2 = 4 1上运动.求线段 AB 的中点 P 的轨迹 C 的方程；2分析：设点 P 的坐标为 (x, y )，点 A 的坐标为 (x , y )，根据 B 点坐标，和点 P 是 0 0线段 AB 的中点，得 x = 2 x - 6 ， y = 2 y - 5 ，再由点 A 在圆 C 上运动，求得点 0 01A 的轨迹方程，进而可求得点 P 的轨迹 C 的方程； 2答案: (x - 5)2 + ( y - 4)2 = 1解析：设点 P 的坐标为 (x, y )，点 A 的坐标为 (x , y )，由于点 B 的坐标为 (6,5 )， 0 0且点 P 是线段 AB 的中点，所以 x = x 0 + 6 ， y = y 0 + 52 2于是有 x = 2 x - 6 ， y = 2 y - 5 ①因为点 A 在圆 C 上运动，所以点 A 的坐标满足 C 的方程 (x - 4)2 + ( y - 3)2 = 41 1即：(x- 4)2 + ( y - 3)2 = 4 ②把①代入②，得 (2 x - 6 - 4)2 + (2 y - 5 - 3)2 = 4整理，得 (x - 5)2 + ( y - 4)2 = 1所以点 P 的轨迹 C 的方程为 (x - 5)2 + ( y - 4)2 = 1 .2现学现用 2: 设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C ： x + y 2 = 1上，过 M 做 x 轴⎧⎪ x - x ' = 0 ( x - x ', y) = 2(0, y ') 即 ⎨ ⇒⎨y ⎪⎩ y = 2 y ' ⎪ 代入椭圆方程 x+ y '2 = 1 ，得到 x 2 + y 2 = 2（ 2规律总结:相关点法求轨迹方程: 题中涉及了两个动点 N 、M ,且点 N 的运动是有规律的(轨迹方程已知)，而 M 的运动是由 N 的运动而引发的，这样的题目可采 用相关点法求动点 M 的轨迹方程.基本方法是设 M 的坐标,再反解出 N 的坐标, 然后带入 N 所在曲线的轨迹方程,整理即可.22uuur uuuur的垂线，垂足为 N ，点 P 满足 NP = 2 NM .求点 P 的轨迹方程；uuur uuuur解析:设 P( x , y) ， M ( x ', y ') ， N ( x ',0) NP = 2 NM⎧ x ' = x ⎪ y ' =⎩2'2 2∴点 P 的轨迹方程 x 2 + y 2 = 2 。

高考动点轨迹方程的用求法〔含练习题及答案〕轨迹方程的经典求法一、定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程.例2:在4ABC 中,BC 24, AC, AB 上的两条中线长度之和为 39,求4ABC 的重心的轨迹方 程.：P 点轨迹为抛物线.应选D.、代入法：此方法适用于动点随曲线上点的变化而变化的轨迹问题 例3:△ ABC 的顶点B( 3,0) C(1,0),顶点A 在抛物线y轨迹方程.3 1 X O,一 、一 一 x一； 一,x 3x 2,①解：设G(x, y) , A(x 0, y o ),由重心公式,得3:,y 弛,V .3y.②3又「 A(x .,y .)在抛物线y x 2上,「. y .x 2 .③将①,②代入③,得3y (3x 2)2(y .),即所求曲线方程是y 3x 2 4x -(y 0).3解：以线段BC 所在直线为x 轴,线段BC 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系,如图1, M 为重2 心,那么有 BM CM — 3926 . 3「.M 点的轨迹是以B, C 为焦点的椭圆, 其中 c 12, a 13 . b ,a 2 c 2 5.2:所求^ABC 的重心的轨迹方程为 — 169 2y—i(y 0) . 25、直接法：直接根据等量关系式建立方程.例 1 :点 A( 2,0) B(3,0),动点 P(x,y)满足P A PBx 2 ,那么点P 的轨迹是(A.圆B.椭圆C,双曲线D.抛物线解析：由题知PA ( 2 x y) , PB(3x, y),由 PA PB x 2 ,得(2 x)(3x) y 2x 2,即x 2上运动,求 4ABC 的重心G 的6四、待定系数法：当曲线的形状时,一般可用待定系数法解决(1)求E 点轨迹方程;(2)过A 作直线交以A, B 为焦点的椭圆于M, N 两点,线段MN 的中点到y 轴的距离为公,5且直线MN 与E 点的轨迹相切,求椭圆方程.解：(1)设 E(x, y),由 AE -(AB AD)知 E 为 BD 中点,易知 D(2x 2,2y). 2又 AD 2 ,那么(2x 2 2)2 (2 y)2 4.即 E 点轨迹方程为 x 2 y 2 1(y 0); (2)设 M(x, y i ), N(x 2, v2 ,中点(x 0, y (o ). 22由题意设椭圆方程为xr1 ,直线MN 方程为y k(x 2).a a 4••・直线MN 与E 点的轨迹相切,,/k L 1,解得k 眄.k 1 3将yX3(x 2)代入椭圆方程并整理,得4(a 2 3)x 2 4a 2x 16a 2 3a 4 0, 3 2x 〔 x 2a一 x o ------------------- -2——,2 2(a 3)222又由题意知x o4,即 T-解得a 2 8.故所求的椭圆方程为 上 £ 1.5 2(a 3) 58 4五、参数法：如果不易直接找出动点坐标之间的关系,可考虑借助中间变量(参数),把例4:线段AA 2a ,直线l 垂直平分AA 于O ,在l 上取两点P, P ,使其满足解：如图2,以线段AA 所在直线为x 轴,以线段AA 的中垂线为y 轴建 立直角坐标系. 设点 P(0, t)(t 0), 那么由题意,得P 0彳.由点斜式得直线AP, A P 的方程分别为y -(x a), y —(x a).ata例5:A, B, D 三点不在一条直线上,且A( 2,0) , B(2,0) , A D 2, A E ^(A B A D).4,求直线AP 与AP 的交点M 的轨迹方程.两式相乘,消去t,得4x 2 a 2y 2 4a 2(y 0).这就是所求点M 的轨迹方程.评析：参数法求轨迹方程,关键有两点：一是选参,容易表示出动点；二是消参,消参的途 径灵活多变.配套练习、选择题1.椭圆的焦点是 F i 、F 2, P 是椭圆上的一个动点,如果延长 F i P 到Q,使得|PQ|二|PF 2|,那么动点 Q的轨迹是()二、填空题迹方程为4.高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上,且相距 10 m ,如果把两旗杆底部的坐标分别确定为 A(- 5,0)、B(5, 0),那么地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是三、解做题5.A 、B 、C 是直线l 上的三点,且|AB|=|BC|=6,.0'切直线l 于点A,又过B 、C 作.O'异于l 的 两切线,设这两切线交于点P,求点P 的轨迹方程.A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2一 .一 X 2.设A 1、A 2是椭圆一 92匕=1 的长轴两个端点,P i 、P 2是垂直于 A 1A 2的弦的端点,那么直线A i P i 与A 2P 2交点的轨迹方程为22A.L 工9 42 B.—92 C.—92D.—93. △ ABC 中,A 为动点,B 、B(-2a 1,0),C (2,0),且满足条件 sinC —sinB=^sinA,那么动点 A 的轨的交点为Q,求Q点的轨迹方程.. ..x2=1的实轴为A1A2,点P是双曲线上的一个动点,弓I A i QXA l P, A2QLA2P, A1Q与A2Q6.双曲线—ab22 2.「一 x y8.椭圆 - q=1(a>b>0),点P为其上一点,F i、F2为椭圆的焦点,/ F1PF2的外角平分线为1,点a bF2关于1的对称点为Q, F2Q交1于点R(1)当P点在椭圆上运动时,求R形成的轨迹方程；(2)设点R形成的曲线为C,直线1: y=k(x+J2a)与曲线C相交于A、B两点,当^ AOB的面积取得最大值时,求k的值.参考答案配套练习一、1.解析：|PF i|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,,|PF i|+|PF2|=|PF i|+|PQ|=2a,即|F i Q|=2a,.••动点Q到定点F i的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆答案：A2.解析:设交点P(x,y) ,A i(—3,0),A2(3,0),P i(X0,y o),P2(X0, —y o)A i、P i、P 共线,-一应—y—A2、P2、P 共线,x x0 x 3y Vo yx x0x 3解得x o=9,y o 型,代入得冬- 久-i,即止亡 i x x 9 49 4仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除谢谢6答案：C二、3.解析：由 sinC —sinB=』sinA,得 c — b=- a, 2 2・•・应为双曲线一支,且实轴长为 a ,故方程为285x+100=0.答案：4x 2+4y 2—85x+1..=.三、5.解：设过 B 、C 异于l 的两切线分别切..’于D 、E |BA|=|BD|, |PD|=|PE|, |CA|=|CE|,故 |PB|+|PC|=|BD |+|PD|+FC|=|BA|+|PE|+FC| 二|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+I2=I8>6=|BC|,故由椭圆定义知,点P 的轨迹是以 B 、C 为两焦点的椭圆,以 l所在的直线为x 轴,以BC 的中点为原点,建立坐标系,可求得动点P 的轨迹方程为 6.解:设 P(x o ,y o) (xw ± a),Q(x,y).「A i (—a,0),A 2(a,0).22 b 2x .2—aVJa 为2,即 b 2(-x 2)-a 2(---)2=a 2b 2yQ 点坐标为(x i , —y i ),又有 A i ( — m,0),A 2(m,0),22 2 答案:竽崇i(xJ)4.解析：设 P(x,y),依题意有 5 ,(x 5)2 y 2(x 5)2=,化简彳导P 点轨迹方程为4x 2+4y 2 -yy一八 x a由条件yx a y . x . ax . y . x . ay .x(x . a)22x a那么A i P 的方程为:y= -y I (xx i mm)A 2Q 的方程为：y=-必/-------- (x x i mm)m 2)i6x 2 * 2~ a i6y ar i(x ).3a 2 4两点,两切线交于点 P.由切线的性质知:2 2x y一 一 二i(yw0)8i 72而点P(x o ,y o )在双曲线上,化简得Q 点的轨迹方程为:a 2x 2—b 2y 2=a 4(xw ± a).7.解:⑴设P 点的坐标为(x i ,y i ),那么2n 八,2 〜2、 2 (x 1 m ). m21=1.此即为M 的轨迹方程. n(2)当mwn 时,M 的轨迹方程是椭圆.2 m 一 一 2 2e =lm__.e= ----------- , m8.解：(1)二.点F 2关于l 的对称点为Q,连接PQ,,/F 2PR=/QPR, |F 2R|=|QR|, |PQ|=|PF 2|又由于l 为/ F 1PF 2外角的平分线,故点 F i 、P 、Q 在同一直线上,设存在R(X 0,y o) ,Q(x i ,y i ),F i(— c,0),F 2(c,0).|F 1Q|=|F 2P|+|PQ|=|F 1P|+|PF 2|=2a,那么(x 1+c)2+y 12=(2a)2x 〔 c 2y 1 2得 x 1二2x .一 c,y 1=2y o .(2x o )2+(2y o )2=(2a)2, •1- x o 2+y o 2=a 2 故R 的轨迹方程为：x 2+y 2=a 2(yw 0)(2)如右图,••• S AAOB =1|QA| |OB| - sinAOB= a- sinAOB , 一 , .... 1c 当/AOB=90 时,S AAOB 最大值为-a 2. 此时弦心距|OC|二 I"2ak|1 k2 ,在 RtAAOC 中,/ AOC=45° ,|OC | | . 2ak |2 1 .3cos45 ——,k ——.22,离心率m n(ii)当mvn 时,焦点坐标为(0, 土 Jm ―n 7,准线方程为y= ±2n 2,n —2 ,离心率 m 2 2n m e= ------------- n又因点P 在双曲线上,2代入③并整理得 Jm(i )当m>n 时,焦点坐标为(土 J m ―n 2 ,0),准线方程为x=±xo又V .|OA| a1 k2 2 32 2x y7.双曲线—今=1(m>0,n>0)的顶点为A i、A2,与y轴平行的直线l交双曲线于点P、Q. m n(1)求直线A1P与A2Q交点M的轨迹方程；(2)当mwn时,求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率① X ②得：y2=_ 2yi2(x2x i m。

求轨迹程求曲线的轨迹程常采用的法有直接法、定义法、代入法、参数法、交轨法，待定系数法。

(1)直接法 直接法是将动点满足的几条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹程.(2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.(3)相关点法 根据相关点所满足的程，通过转换而求动点的轨迹程.(4)参数法 若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数程. （5）交轨法 若动点是受某一参量影响的两动曲线的交点，我们可以以消去这个参量得到动点轨迹程.(6)待定系数法 求轨迹程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹程”是两个不同的概念.一、选择题：1、程y=122+--x x 表示的曲线是： （ ） A 、双曲线 B 、半圆 C 、两条射线 D 、抛物线2、程[(x －1)2+(y+2)2](x 2－y 2)=0表示的图形是： （ ） A 、两条相交直线 B 、两条直线与点（1，－2） C 、两条平行线 D 、四条直线3、动点p 与定点A(－1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为－1，则p 点的轨迹程是： （ ） A 、x 2+y 2=1 B 、x 2+y 2=1(x ≠±1） C 、x 2+y 2=1(x ≠1） D 、y=21x -4、一动点到两坐标轴的距离之和的2倍，等于该点到原点距离的平，则动点的轨迹程是： （ ） A 、x 2+y 2=2(x+y) B 、x 2+y 2=2|x+y| C 、x 2+y 2=2(|x|+|y|) D 、x 2+y 2=2(x －y) 5、动点P 到直线x=1的距离与它到点A （4，0）的距离之比为2，则P 点的轨迹是：（ ）A 、中心在原点的椭圆 B 、中心在（5，0）的椭圆 C 、中点在原点的双曲线 D 、中心在（5，0）的双曲线6、已知圆x 2+y 2=4，过A （4，0）作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹程是 （ ）A 、(x －2)2+y 2=4B 、(x －2)2+y 2=4(0≤x ＜1)C 、(x －1)2+y 2=4D 、(x －1)2+y 2=4(0≤x ＜1) 7、已知M （－2，0），N （2，0），|PM|－|PN|=4，则动点P 的轨迹是： （ ） A 、双曲线 B 、双曲线左支 C 、一条射线 D 、双曲线右支8、若一动圆与两圆x 2+y 2=1, x 2+y 2－8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为： （ ） A 、抛物线 B 、圆 C 、双曲线的一支 D 、椭圆9、点M 到F （3，0）的距离比它到直线x+4=0 的距离小1，则点M 的轨迹程是：（ ）A 、y 2=12xB 、y 2=12x(x>0)C 、y 2=6xD 、y 2=6x(x>0)10、已知圆x 2+y 2=1，点A （1，0），△ABC 接于圆，且∠BAC=60°，当B 、C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹程是 （ ）A 、x 2+y 2=21 B 、x 2+y 2=41 C 、x 2+y 2=21(x<21) D 、x 2+y 2=41（x<41) 11、抛物线过点M （2，－4），且以x 轴为准线，此抛物线顶点的轨迹程是 （ ） A 、(x －2)2+(y+4)2=16 (0)y ¹ B 、(x －2)2+4(y+2)2=16 (0)y ¹ C 、(x －2)2－(y+4)2=16 D 、(x －2)2+4(y+4)2=1612、椭圆C 与椭圆14)2(9)3(22=-+-y x 关于直线x+y=0对称，椭圆C 的程是（ ） A 、22(2)(3)149x y +++= B 、22(2)(3)194x y --+= C 、22(2)(3)194x y +++= D 、22(2)(3)149x y --+= 13、设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹程为 ( )A.14922=+y xB.14922=+x y C.14922=-y xD.14922=-x y 14、中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆程为 ( ) 12575 D. 17525C.1252752 B. 1752252A.22222222=+=+=+=+y x y x y x y x 15、已知⊙O ：x 2+y 2=a 2, A(－a, 0), B(a, 0), P 1, P 2为⊙O 上关于x 轴对称的两点，则直线AP 1与直线BP 2的交点P 的轨迹程为 （ ） A 、x 2+y 2=2a 2 B 、x 2+y 2=4a 2 C 、x 2－y 2=4a 2 D 、x 2－y 2=a2二、填空题：16、动圆与x 轴相切，且被直线y=x 所截得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹程为 。

3．（2024 上·广东广州·高二统考期末）已知两个定点 A1 2, 0 ，A2 2, 0 ，动点 M 满足直线 MA1 与直线 MA2
的斜率之积为定值
m 4
（
m
0
）.
(1)求动点 M 的轨迹方程，并说明随 m 变化时，方程所表示的曲线 C 的形状；
【答案】(1)答案见解析.
【分析】（1）由斜率之积表示出轨迹方程，再对 m 分类讨论确定曲线的类型即可.
2
2
3
9
即点 Q 的轨迹方程为 (x 2)2 y2 4 ( y 0) .
3
9
2．（2024 上·河南南阳·高二南阳市第五中学校校联考期末）已知圆 C 的圆心为直线 x y 2 0 与直线
3x y 6 0 的交点，且圆 C 的半径为 5 .
(1)求圆 C 的标准方程；
(2)若
P
为圆
【详解】（1）设动点 M x, y ，依题意有
y y m（, m 0, m 0）， x2 x2 4 整理，得 x2 y2 1, m 0 ，
4m ∴动点 M 的轨迹方程为： x2 y2 1,
4m
m 4, 0 时，轨迹是焦点在 x 轴上的椭圆，
m 4 时，轨迹是圆， m (, 4) 时，轨迹是焦点在 y 轴上的椭圆，
圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点 A(x1, y1), B(x2, y2 ) 的坐标
代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得 x1 x2 ， y1 y2 ， x1 x2 ， y1 y2 等关系式，由于
弦
AB
的中点
P(x,
y)
的坐标满足
2x
x1
x2
，

求动点的轨迹方程〔例题，习题与答案〕在中学数学教学和高考数学考试中，求动点轨迹的方程和曲线的方程是一个难点和重点内容〔求轨迹方程和求曲线方程的区别主要在于：求轨迹方程时，题目中没有直接告知轨迹的形状类型；而求曲线的方程时，题目中明确告知动点轨迹的形状类型〕。

求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法与交轨法等；求曲线的方程常用“待定系数法〞。

求动点轨迹的常用方法动点P 的轨迹方程是指点P 的坐标〔*,y 〕满足的关系式。

1. 直接法〔1〕依题意，列出动点满足的几何等量关系；〔2〕将几何等量关系转化为点的坐标满足的代数方程。

例题直角坐标平面上点Q 〔2，0〕和圆C ：122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长等与MQ ，求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线． 解：设动点M(*,y)，直线MN 切圆C 于N 。

依题意：MN MQ =，即22MN MQ = 而222NO MO MN-=,所以(*-2)2+y 2=*2+y 2-1化简得：*=45。

动点M 的轨迹是一条直线。

2. 定义法分析图形的几何性质得出动点所满足的几何条件，由动点满足的几何条件可以判断出动点的轨迹满足圆〔或椭圆、双曲线、抛物线〕的定义。

依题意求出曲线的相关参数，进一步写出轨迹方程。

例题：动圆M 过定点P 〔－4，0〕，且与圆C ：0822=-+x y x 相切，求动圆圆心M 的轨迹方程。

解：设M(*,y)，动圆Ｍ的半径为r 。

假设圆M 与圆C 相外切，则有 ∣MC ∣=r ＋4 假设圆M 与圆C 相内切，则有 ∣MC ∣=r-4 而∣MP ∣=r, 所以∣MC ∣-∣MP ∣=±4动点M 到两定点P(-4,0),C(4,0)的距离差的绝对值为4，所以动点M 的轨迹为双曲线。

其中a=2, c=4。

动点的轨迹方程为：3. 相关点法假设动点P(*，y)随曲线上的点Q(*0，y 0)的变动而变动，且*0、y 0可用*、y 表示，则将Q 点坐标表达式代入曲线方程，即得点P 的轨迹方程。

求轨迹方程求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法、交轨法，待定系数法。

(1)直接法直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.(2)定义法若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程. (4)参数法若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.（5）交轨法 若动点是受某一参量影响的两动曲线的交点，我们可以以消去这个参量得到动点轨迹方程. (6)待定系数法求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.一、选择题：1、方程y=122+--x x 表示的曲线是： （ ） A 、双曲线 B 、半圆 C 、两条射线 D 、抛物线2、方程[(x －1)2+(y+2)2](x 2－y 2)=0表示的图形是： （ ） A 、两条相交直线 B 、两条直线与点（1，－2） C 、两条平行线 D 、四条直线3、动点p 与定点A(－1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为－1，则p 点的轨迹方程是： （ ）A 、x 2+y 2=1B 、x 2+y 2=1(x ≠±1）C 、x 2+y 2=1(x ≠1）D 、y=21x -4、一动点到两坐标轴的距离之和的2倍，等于该点到原点距离的平方，则动点的轨迹方程是： （ ）A 、x 2+y 2=2(x+y)B 、x 2+y 2=2|x+y|C 、x 2+y 2=2(|x|+|y|)D 、x 2+y 2=2(x －y) 5、动点P 到直线x=1的距离与它到点A （4，0）的距离之比为2，则P 点的轨迹是：（ ）A 、中心在原点的椭圆 B 、中心在（5，0）的椭圆C 、中点在原点的双曲线D 、中心在（5，0）的双曲线6、已知圆x 2+y 2=4，过A （4，0）作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程是 （ ） A 、(x －2)2+y 2=4 B 、(x －2)2+y 2=4(0≤x ＜1) C 、(x －1)2+y 2=4 D 、(x －1)2+y 2=4(0≤x ＜1)7、已知M （－2，0），N （2，0），|PM|－|PN|=4，则动点P 的轨迹是： （ ） A 、双曲线 B 、双曲线左支 C 、一条射线 D 、双曲线右支8、若一动圆与两圆x 2+y 2=1, x 2+y 2－8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为： （ ） A 、抛物线 B 、圆 C 、双曲线的一支 D 、椭圆9、点M 到F （3，0）的距离比它到直线x+4=0 的距离小1，则点M 的轨迹方程是：（ ） A 、y 2=12x B 、y 2=12x(x>0) C 、y 2=6x D 、y 2=6x(x>0) 10、已知圆x 2+y 2=1，点A （1，0），△ABC 内接于圆，且∠BAC=60°，当B 、C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是 （ ） A 、x 2+y 2=21 B 、x 2+y 2=41 C 、x 2+y 2=21(x<21) D 、x 2+y 2=41（x<41) 11、抛物线过点M （2，－4），且以x 轴为准线，此抛物线顶点的轨迹方程是 （ ）A 、(x －2)2+(y+4)2=16 (0)y ¹B 、(x －2)2+4(y+2)2=16 (0)y ¹C 、(x －2)2－(y+4)2=16D 、(x －2)2+4(y+4)2=1612、椭圆C 与椭圆14)2(9)3(22=-+-y x 关于直线x+y=0对称，椭圆C 的方程是（ ） A 、22(2)(3)149x y +++= B 、22(2)(3)194x y --+= C 、22(2)(3)194x y +++= D 、22(2)(3)149x y --+= 13、设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为 ( )A.14922=+y xB.14922=+x y222214、中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为 ( ) 12575 D. 17525C.1252752 B. 1752252A.22222222=+=+=+=+y x y x y x y x15、已知⊙O ：x 2+y 2=a 2, A(－a, 0), B(a, 0), P 1, P 2为⊙O 上关于x 轴对称的两点，则直线AP 1与直线BP 2的交点P 的轨迹方程为 （ ） A 、x 2+y 2=2a 2 B 、x 2+y 2=4a 2 C 、x 2－y 2=4a 2 D 、x 2－y 2=a 2 二、填空题：16、动圆与x 轴相切，且被直线y=x 所截得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹方程为 。

综上,四边形 面积的取值范围为 .
二、练模拟
1．
2．【解析】由抛物线方程知其焦点为 ，所以 ．又 ，所以 ，所以 ，所以双曲线的方程为 ，故选D．
3．
在 中， ，∴
，∴渐近线方程为 ，故选A．
4．
5．【即 =4．
∴抛物线的准线方程为 ．
又抛物线的准线过双曲线 的一个焦点，
2017年高考数学（文科）专题练习
轨迹方程问题的探讨
答 案
一、练高考
1~2．CD
3．
4．（Ⅰ）见解析；
（Ⅱ） ．
5．（Ⅰ） （ ）
（ ）
二、练模拟
1~4．CDAC
5．
6．（1） ；
（2）
7．（1） ；
（2） 或
三、练原创
1~2．DC
3．
4．动点P的轨迹方程为
5．（1） ．此即为M的轨迹方程.
2017年高考数学（文科）专题练习
1．【解析】由题知 ， ，由 ，得 ，即 ，
点轨迹为抛物线．故选D．
2．【解析】设交点P(x,y）,A1(－3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,－y0)
∵A1．P1．P共线，∴ ∵A2．P2．P共线，∴
解得x0=
3．
4．【解析】设过B．C异于l的两切线分别切⊙O′于D．E两点，两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|
(ⅰ)当m＞n时，焦点坐标为(± ,0)，准线方程为x=± ,离心率e= ；
(ⅱ)当m＜n时，焦点坐标为(0,± ),准线方程为y=± ,离心率e= .

第4讲 轨迹与方程1．已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是( )A ．x 2＝－12yB ．x 2＝12yC ．y 2＝－12xD ．y 2＝12x2．当动点A 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点B (3,0)连线的中点M 的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(2x －3)2＋4y 2＝1 D.⎝⎛⎭⎫x ＋322＋y 2＝12 3．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为( )A.x 216＋y 212＝1B.x 212＋y 216＝1 C.x 248＋y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 4．已知椭圆的焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一个动点，延长F 1P 到点Q ，使|PQ |＝|PF 2|，则动点Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线一支D ．抛物线5．F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，过一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，则垂足Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线6．已知A ，B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的两个动点，线段AB 的长为2 3，P 是AB 的中点，则动点P 的轨迹C 的方程为____________．7．已知A ⎝⎛⎭⎫－12，0，B 是圆F ：⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为____________．8．打开“几何画板”进行如下操作：①用画图工具在工作区画一个圆C (C 为圆心)；②用取点工具分别在圆C 上和圆外各取一点A ，B ；③用构造菜单下对应命令作出线段AB 的垂直平分线；④作直线AC .设直线AC 与l 相交于点P ，当A 在圆C 上运动时，则点P 的轨迹是________．9．(2013年重庆)如图K12-4-1，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A ′两点，|AA ′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P ′，过P ，P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP ′Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程.图K12-4-110．(2012年辽宁)如图K12-4-2，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2，1＜t ＜3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点，点A 1，A 2分别为C 2的左，右顶点．(1)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积；(2)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．图K12-4-2第4讲 轨迹与方程1．A 2.C3．A 解析：抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，∴椭圆焦点在x 轴上且半焦距为2.∴2m ＝12，m ＝4.∴n 2＝42－22＝12.∴椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.故选A. 4．A 解析：|QF 1|＝|PF 1|＋|PQ |＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴动点Q 的轨迹是以F 1为圆心，2a 为半径的圆．5．A 解析：如图D70，∵PQ 平分∠F 1PF 2，且PQ ⊥AF 1，∴Q 为AF 1的中点，且|PF 1|＝|P A |.∴|OQ |＝12|AF 2|＝12(|PF 1|＋|PF 2|)＝a ， ∴点Q 的轨迹是以O 为圆心，a 为半径的圆．图D706.x 29＋y 2＝1 解析：设P (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵P 是线段AB 的中点，∴⎩⎨⎧ x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22. ①∵A ，B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的点， ∴y 1＝33x 1和y 2＝－33x 2. 代入①，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2＝2 3y ，y 1－y 2＝2 33x .② 又|AB →|＝2 3，∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝12.∴12y 2＋43x 2＝12，∴动点P 的轨迹C 的方程为x 29＋y 2＝1. 7．x 2＋y 234＝1 解析：依题意可知，|BP |＋|PF |＝2，|PB |＝|P A |，则|AP |＋|PF |＝2.由椭圆定义可知，点P 的轨迹为以A ，F 为焦点的椭圆． 8．双曲线 解析：由题意画出图形，如图D71.图D71∵线段AB 的垂直平分线为l ，∴P A ＝PB .∴PC －PB ＝PC －P A ＝AC (定值)． ∴由双曲线的定义知，点P 的轨迹是双曲线． 9．(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 左焦点F 1(－c,0)，将横坐标－c 代入椭圆方程，得y ＝±b 2a. 所以b 2a ＝2 ①，c a ＝22②，a 2＝b 2＋c 2 ③， 联立①②③，解得a ＝4，b ＝2 2.所以椭圆方程为x 216＋y 28＝1. (2)设Q (t,0)(t >0)，圆的半径为r ，直线PP ′方程为：x ＝m (m >t )，则圆Q 的方程为(x －t )2＋y 2＝r 2.由⎩⎪⎨⎪⎧(x －t )2＋y 2＝r 2，x 216＋y 28＝1得x 2－4tx ＋2t 2＋16－2r 2＝0. 由Δ＝0，即16t 2－4(2t 2＋16－2r 2)＝0，得t 2＋r 2＝8. ④ 把x ＝m 代入x 216＋y 28＝1，得y 2＝8⎝⎛⎭⎫1－m 216＝8－m 22. 所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫m ，8－m 22. 代入(x －t )2＋y 2＝r 2，得(m －t )2＋8－m 22＝r 2. ⑤ 由④⑤消去r 2，得4t 2－4mt ＋m 2＝0，即m ＝2t .S △PP ′Q ＝12|PP ′|(m －t )＝8－m 22×(m －t )＝8－2t 2×t ＝2(4－t 2)×t 2≤2×(4－t 2)＋t 22＝2 2. 当且仅当4－t 2＝t 2，即t ＝2时取等号．此时t ＋r ＝2＋6<4，椭圆上除P ，P ′外的点在圆Q 外，所以△PP ′Q 的面积S 的最大值为2 2，圆Q 的标准方程为：(x －2)2＋y 2＝6.当圆心Q 、直线PP ′在y 轴左侧时，由对称性可得圆Q 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝6，△PP ′Q 的面积S 的最大值仍为2 2.10．解：(1)设A (x 0，y 0)，则矩形ABCD 的面积S ＝4|x 0||y 0|. 由x 209＋y 20＝1，得y 20＝1－x 209. ∴x 20y 20＝x 20⎝⎛⎭⎫1－x 209＝－19⎝⎛⎭⎫x 20－922＋94. 当x 20＝92，y 20＝12时，S max ＝6. ∴当t ＝5时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为6.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，又A 1(－3,0)，A 2(3,0)，则直线A 1A 的方程为y ＝y 1x 1＋3(x ＋3)， ① 直线A 2B 的方程为y ＝－y 1x 1－3(x －3)． ② 由①②，得y 2＝－y 21x 21－32(x 2－32)． ③ 由点A (x 1，y 1)在椭圆C 2上，故可得x 2132＋y 21＝1，从而有y 21＝⎝⎛⎭⎫1－x 2132.代入③，得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)， ∴直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程为 x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．。

A．
x2 y 2 1 12 4 y2 D． x 2 1 3
B．
3． 【2016 届浙江省温州市高三一模】 如图， 已知 F1 ，F2 为双曲线 C :
x2 y 2 1(a 0, b 0) 的左、右焦点， a 2 b2
P 为第一象限内一点，且满足 | F2 P | a ， ( F1P F1F2 ) F2 P 0 ，线段 PF2 与双曲线 C 交于点 Q ，若
MPNQ 面积的取值范围．
二、练模拟 1．【广东省惠州市2017届高三第一次调研】双曲线 M :
x2 y 2 1(a 0, b 0) 实轴的两个顶点为 A, B ，点 a 2 b2
）
P 为双曲线 M 上除 A, B 外的一个动点，若 QA PA且QB PB ，则动点 Q 的运动轨迹为（
的距离为 点，交 C 的准线于 P, Q 两点． （I）若 F 在线段 AB 上， R 是 PQ 的中点，证明 AR / / FQ ； 9 （II）若△ PQF 的面积是△ ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程． 5． 【2016 高考新课标 1 卷】 设圆 x2 y 2 2 x 15 0 的圆心为 A ,直线 l 过点 B(1,0) 且与 x 轴不重合, l 交圆 A 于 C , D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E ． （I）证明 EA EB 为定值,并写出点 E 的轨迹方程； （ II ）设点 E 的轨迹为曲线 C1 , 直线 l 交 C1 于两点 , 过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P, Q 两点 , 求四边形

三、练原创 1．已知点 A(2，， · PB x 2 ，则点 P 的轨迹是（ 0) B(3， 0) ，动点 P( x，y) 满足 PA A．圆

纵观近几年高考轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，主要注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度.有的学生看到就头疼的题目.分析原因除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.求轨迹方程的基本方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等.1、直接法：也叫直译法，即根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简.这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧，它是求轨迹方程的基本方法.例1 一条线段AB 的长等于2a ,两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求AB 中点P 的轨迹方程？思路分析：此题中利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，得到OM=AB 21这一等量关系，是此题成功的关键所在.2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程.3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程.4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.2． 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程. 例2 已知ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足,sin 45sin sin C A B =+ 求点C 的轨迹思路分析：本题先用余弦定理化角的关系为边的关系，得到边的关系正好满足椭圆的定义，从而得到轨迹方程3. 用参数法求曲线轨迹方程参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t），y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0.例3．过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程.思路分析1：从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线l1引发的，可设出l1的斜率k作为参数，建立动点M坐标（x，y）满足的参数方程.||21||AB MP ，=由直角三角形的性质 2222)2()2(·21)4()2(y x y x +=-+-∴4.相关点法（代入法）如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程.例4 M是抛物线y2=x上一动点，O为原点，以OM为一边作正方形MNPO，求动点P的轨迹方程.点评：一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法.例5.点B是椭圆22221x ya b+=上的动点(2,0)A a为定点，求线段AB的中点M的轨迹方程.思路分析：题中涉及了三个点A、B、M，其中A为定点，而B、M为动点，且点B的运动是有规律的，显然M的运动是由B的运动而引发的，可见M、B为相关点，故采用相关点法求动点M的轨迹方程.解析：设动点M 的坐标为（x ，y ），而设B 点坐标为（x0，y0）则由M 为线段AB 中点，可得 ⎩⎨⎧=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+y y a x x y y x a x 22220220000即点B 坐标可表为（2x －2a ，2y ） 上在椭圆点又1)(222200=+b y a x ，y x B ，b y a a x b y a x 1)2()22(12222220220=+-=+∴从而有 14)(42222=+-b y a a x M ，的轨迹方程为得动点整理点评：代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系5 交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用.例6 如图，已知抛物线2:x y C =，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点. 求△APB 的重心G 的轨迹方程.所以243G G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：).24(31,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即点评：交轨法是参数法的简单处理方法，求两动曲线交点轨迹问题常用交轨法，即直接联立两动曲线方程消参数，而不必先解出动点轨迹参数方程，再消参数，值得我们重视的是在求轨迹时应注意充分利用平面几何知识.六、用点差法求轨迹方程点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差.求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程.点差法是解决椭圆与直线的关系中常用到的一种方法.点差法常见题型有求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线、定值问题.利用点差法可以减少很多的计算，所以在解有关的问题时用这种方法比较好.例7. 已知椭圆1222=+y x ， （1）求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；A引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程. （3）过()12，【反思提升】高考考查轨迹问题通常是以下两类：一类是容易题，以定义法、相关点法、待定系数法等为主，另一类是高难度的纯轨迹问题，综合考查各种方法.“轨迹”、“方程”要区分求轨迹方程，求得方程就可以了；若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线类型（定形、定位、定量）.处理轨迹问题成败在于：对各种方法的领悟与解题经验的积累.所以在处理轨迹问题时一定要善于根据题目的特点选择恰当的方法（什么情况下用什么方法上面已有介绍，这里不在重复）确定轨迹的范围是处理轨迹问题的难点，也是学生容易出现错误的地方，在确定轨迹范围时，应注意以下几个方面：①准确理解题意，挖掘隐含条件；②列式不改变题意，并且要全面考虑各种情形；③推理要严密，方程化简要等价；④消参时要保持范围的等价性；⑤数形结合，查“漏”补“缺”.在处理轨迹问题时，要特别注意运用平面几何知识，其作用主要有：①题中没有给出明显的条件式时，可帮助列式；②简化条件式；③转化化归.。