2020中考数学阅读理解题试题汇编

阅读理解（二）（24题）典型例题： 例1、进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为n ，即可称n 进制．现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0~9进行记数，特点是逢十进一．对于任意一个用n ()10n ≤进制表示的数，通常使用n 个阿拉伯数字0~()1n −进行记数，特点是逢n 进一．我们可以通过以下方式把它转化为十进制：例如：五进制数()252342535469=⨯+⨯+=，记作5(234)69=， 七进制数()271361737676=⨯+⨯+=，记作7(136)76=． （1）请将以下两个数转化为十进制：5(331)= ，7(46)= ；（2）若一个正数可以用七进制表示为()7abc ，也可以用五进制表示为()5cba ，请求出这个数并用十进制表示．例2、如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差，那么称这个自然数为智慧数，例如： 223-516=，16就是一个智慧数，小明和小王对自然数中的智慧数进行了如下的探索： 小明的方法是一个一个找出来的：220-00=，220-11=，221-23=，220-24=，222-35=，223-47=，221-38=，224-59=，225-611=，。

小王认为小明的方法太麻烦，他想到:设k 是自然数，由于12)1)(1)122+=−+++=−+k k k k k k k （（。

所以，自然数中所有奇数都是智慧数。

问题：(1) 根据上述方法，自然数中第12个智慧数是______(2) 他们发现0，4，8是智慧数，由此猜测4k(3≥k 且k 为正整数)都是智慧数，请你参考小王的办法证明4k （3≥k 且k 为正整数)都是智慧数。

(3) 他们还发现2，6，10都不是智慧数，由此猜测4k+2(k 为自然数)都不是智慧数，请利用所学的知识判断26是否是智慧数，并说明理由。

例3、如果一个多位自然数的任意两个相邻数位上，左边数位上的数总比右边数位上的数大1，那么我们把这样的自然数叫做“妙数”．例如：321，6543，98，…，都是“妙数”．（1） 若某个“妙数”恰好等于其个位数的153倍，则这个“妙数”为；（2） 证明：任意一个四位“妙数”减去任意一个两位“妙数”之差再加上1得到的结果一定能被11整除；（3） 在某个三位“妙数”的左侧放置一个一位自然数m 作为千位上的数字，从而得到一个新的四位自然数A ，且m 大于自然数A 百位上的数字．是否存在一个一位自然数n ，使得自然数(9)A n +各数位上的数字全都相同？若存在，请求出m 和n 的值；若不存在，请说明理由．例4、连续整数之间有许多神奇的关系，如：32+42=52，这表明三个连续整数中较小两个数的平方和等于最大数的平方，称这样的正整数组为“奇幻数组”，进而推广：设三个连续整数为a ，b ，c （a ＜b ＜c ）若a 2+b 2=c 2，则称这样的正整数组为“奇幻数组”；若a 2+b 2<c 2，则称这样的正整数组为“魔幻数组”；若a 2+b 2>c 2，则称这样的正整数组为“梦幻数组”。

2020中考数学题型训练：阅读理解题1．定义一种运算☆，其规则为a☆b＝1a＋1b，根据这个规则，计算2☆3的值是()A.56 B.15C．5 D．62．定义：f(a，b)＝(b，a)，g(m，n)＝(－m，－n)．例如：f(2,3)＝(3,2)，g(－1，－4)＝(1,4)，则g[f(－5,6)]＝()A．(－6,5) B．(－5，－6)C．(6，－5) D．(－5,6)3．对于非零的两个实数a，b，规定a⊕b＝1b－1a.若2⊕(2x－1)＝1，则x的值为()A.56 B.54 C.32D．－164．文文设计了一个关于实数运算的程序，按此程序，输入一个数后，输出的数比输入的数的平方小1.若输入7，则输出的结果为()A．5 B．6 C．7 D．85．定义：平面内的直线l1与l2相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线l1，l2的距离分别为a，b，则称有序非负实数对(a，b)是点M的“距离坐标”．根据上述定义，距离坐标为(2,3)的点的个数是()A．2个B．1个C．4个D．3个6．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)．已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b,2b ＋c,2c＋3d,4d.例如：明文1,2,3,4对应的密文是5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为()A．4,6,1,7 B．4,1,6,7C．6,4,1,7 D．1,6,4,77．新定义：[a，b]为一次函数y＝ax＋b(a≠0，a，b为实数)的“关联数”．若“关联数”[1，m－2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程1x－1＋1m＝1的解为________．8．小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的学生．一天，他在解方程时，有这样的想法：x2＝－1这个方程在实数范围内无解，如果存在一个数i2＝－1，那么方程x2＝－1可以变为x2＝i2，则x＝±i，从而x＝±i是方程x2＝－1的两个根．小明还发现i具有如下性质：i1＝i，i2＝－1，i3＝i2·i＝(－1)i＝－i，i4＝(i2)2＝(－1)2＝1，i5＝i4·i＝i，i6＝(i2)3＝(－1)2＝1，i7＝i6·i＝－i，i8＝(i4)2＝1，……请你观察上述等式，根据发现的规律填空：i 4n ＋1＝________，i 4n ＋2＝________，i 4n ＋3＝__________，i 4n ＝________(n 为自然数)．9．阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是＝ad －bc .例如：＝1×4－2×3＝－2，＝(－2)×5－4×3＝－22. (1)按照这个规定，请你计算的值； (2)按照这个规定，请你计算：当x 2－4x ＋4＝0时，的值．10．给出下列命题：命题1：直线y ＝x 与双曲线y ＝1x 有一个交点是(1,1)； 命题2：直线y ＝8x 与双曲线y ＝2x 有一个交点是；命题3：直线y ＝27x 与双曲线y ＝3x 有一个交点是；命题4：直线y ＝64x 与双曲线y ＝4x 有一个交点是；……(1)请你阅读、观察上面的命题，猜想出命题n (n 为正整数)； (2)请验证你猜想的命题n 是真命题．a cb d a cb d1 23 42 43 5-5 67 81 21 23x xx x +--1,42⎛⎫⎪⎝⎭1,93⎛⎫⎪⎝⎭1,164⎛⎫⎪⎝⎭11．先阅读理解下列例题，再按要求完成下列问题． 例题：解一元二次不等式6x 2－x －2>0. 解：把6x 2－x －2分解因式， 得6x 2－x －2＝(3x －2)·(2x ＋1)．又6x 2－x －2>0，∴(3x －2)(2x ＋1)>0.由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有： (1)或(2)解不等式组(1)，得x >23， 解不等式组(2)，得x <－12.∴(3x －2)(2x ＋1)>0的解集为x >23或x <－12.因此，一元二次不等式6x 2－x －2>0的解集为x >23或x <－12.(1)求分式不等式5x ＋12x －3<0的解集；(2)通过阅读例题和解答问题(1)，你学会了什么知识和方法？12．知识迁移当a ＞0，且x ＞0时，因为≥0，所以x －2 a ＋a x ≥0，从而x ＋a x ≥2 a (当x ＝a 时，取等号)．记函数y ＝x ＋ax ( a ＞0，x ＞0)．由上述结论，可知：当x ＝ a 时，该函数有最小值为2 a .直接应用已知函数y 1＝x (x ＞0)与函数y 2＝1x (x ＞0)，则当x ＝________时，y 1＋y 2取得最小值为________．变形应用已知函数y 1＝x ＋1(x ＞－1)与函数y 2＝(x ＋1)2＋4(x ＞－1)，求y 2y 1的最小值，并指出取得该最小值时相应的x 的值．实际应用已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，共360元；二是燃油费，每千米1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001.设汽车一次运输路程为x 千米，求当x 为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？320,210,x x ->⎧⎨+>⎩320,210,x x -<⎧⎨+<⎩2参考答案1．A2．A 解析：∵f (－5,6)＝(6，－5)，∴g [f (－5,6)]＝g (6，－5)＝(－6,5)，故选A. 3．A 4.B 5.C 6.C7．x ＝3 8.i －1 －i 19．解：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪5 67 8＝5×8－7×6＝－2. (2)由x 2－4x ＋4＝0，得x ＝2. ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1 2x x －1 2x －3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 41 1＝3×1－4×1＝－1.10．解：(1)直线y ＝n 3x 与双曲线y ＝n x 有一个交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，n 2.(2)验证如下：将点⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，n 2代入y ＝n 3x ，右边＝n 3·1n＝n 2＝左边，∴左边＝右边．∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，n 3在直线y ＝n 3x 上．同理可证，点⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，n 2在直线y ＝n x 上，∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，n 2是两函数的交点．11．解：(1)由有理数的除法法则“两数相除，异号得负”，有： (1)⎩⎨⎧ 5x ＋1>0，2x －3<0， 或(2)⎩⎨⎧5x ＋1<0，2x －3>0.解不等式组(1)，得－15<x <32，解不等式组(2)，得不等式组(2)无解．因此，分式不等式5x ＋12x －3<0的解集为－15<x <32.(2)通过阅读例题和解答问题(1)，学会了解一元二次不等式、分式不等式的一种方法．12．解：直接应用：1 2.变形应用：y 2y 1＝(x ＋1)2＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1≥4，∴y 2y 1的最小值是4，此时x ＋1＝4x ＋1，(x ＋1)2＝4，x ＝1.实际应用：设该汽车平均每千米的运输成本为y ，则y ＝360＋1.6x ＋0.001x 2，故平均每千米的运输成本为y x ＝0.001x ＋360x ＋1.6＝0.001x ＋0.360.001x ＋1.6.由题意，可得当0.001x ＝0.36，即x ＝600时，y x 取得最小值．此时yx ≥20.36＋1.6＝2.8.答：当汽车一次运输路程为600千米时，其平均每千米的运输成本最低，最低是2.8元．。

2020年中考数学冲刺专题卷10 阅读理解问题一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（2019·广东中考真题）定义一种新运算：1an n nbn xdx a b -⋅=-⎰，例如：222khxdx k h ⋅=-⎰，若m252mxdx --=-⎰，则m =（ ）A ．-2B ．25-C ．2D ．25【答案】B 【解析】 根据题意得，5211m11(5)25m x dx m m m m---⎰-=-=-=-， 则25m =-， 经检验，25m =-是方程的解， 故选B.2．（2019·广西中考真题）定义：形如a bi +的数称为复数（其中a 和b 为实数，i 为虚数单位，规定21i =-），a 称为复数的实部，b 称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．例如2222(13)1213(3)16916986i i i i i i i +=+⨯⨯+=++=+-=-+，因此，2(13)i +的实部是﹣8，虚部是6．已知复数2(3)mi -的虚部是12，则实部是（ ）A ．﹣6B ．6C ．5D ．﹣5【答案】C 【解析】∵222222(3)323()9696mi mi mi mi m i m mi -=-⨯⨯+=-+=-- ∴复数2(3)mi -的实部是29m -，虚部是6m -，∴612m -=， ∴2m =-，∴2299(2)945m -=--=-=． 故选：C ．3．（2019·广东中考模拟）定义一种新的运算：a •b =2a b a +，如2•1=2212+⨯=2，则（2•3）•1=（ ） A ．52 B ．32 C ．94D ．198【答案】B 【解析】 ∵2a ba b a+⋅=， ∴（2•3）•12232+⨯=•1 =4•14421+⨯=32=， 故选B ．4．（2019·北京）定义运算“※”：aa b a ba b b a b b a⎧>⎪⎪-=⎨⎪<⎪-⎩，※， ．若5※x =2，则x 的值为（ ） A ．52B ．52或10 C ．10 D ．52或152【答案】B 【解析】当x ＜5时，55x =-2，解得：x 52=，经检验，x 52=是原分式方程的解； 当x ＞5时，5xx =-2，解得：x =10，经检验，x =10是原分式方程的解；综上所述：x 52=或10． 故选B ．5．（2019·安徽中考模拟）定义新运算f ：f （x ，y ）＝-yx y，则f （a ，b ）﹣f （b ，a ）＝（ ） A ．0 B ．a 2﹣b 2 C ．-+a ba b D ．+-a ba b【答案】C 【解析】 原式=---a b b ab a =-+a ba b. 故选：C ．6．把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现用等式A M =（i ，j ）表示正奇数M 是第i 组第j 个数（从左往右数），如A 7=（2，3），则A 2017= A ．（45，77） B ．（45，39）C ．（32，48）D ．（32，25）【答案】C【解析】2017是第2017110092+=个奇数，设2017在第n 组，则1+3+5+7+…+（2n –1）≥1009，即(121)2n n+-≥1009，解得：n 2≥1009．当n =31时，n 2=961<1009；当n =32时，n 2=1024>1009．∴第1009个数在第32组．∵第32组的第一个数为：(13561)211923++++⨯+=L ，∴2017是第32组的201719231482-+=个数．∴A 2017=（32，48）．故选C ． 7．（2019·浙江中考模拟）对于不为零的两个实数m ，n ，我们定义：m ⊗n ＝()()m n m n n m n m-⎧⎪⎨-<⎪⎩…，那么函数y ＝x ⊗3的图象大致是（ ）A ．B．C．D．【答案】B【解析】当x≥3时，y＝x﹣3，图象是一次函数的一段，当x＜3时，3yx=-，图象是反比例函数的一部分；结合解析式，可知B．故选：B．8．在平面直角坐标系中，对于平面内一点（m，n）规定以下两种变换，①f（m，n）=（m，–n），如f（2，1）=（2，–1）；②g（m，n）=（–m，–n），如g（2，1）=（–2，–1）．按照以上变换，则经过点f[g（3，4）]，点g[f（–3，2）]的直线方程为A．y=–13x+3 B．y=13x+3C．y=–13x–3 D．y=13x–3【答案】A【解析】根据题意得：f[g（3，4）]=f（–3，–4）=（–3，4），点g[f（–3，2）]=g（–3，–2）=（3，2），设直线方程的解析式为y=kx+b，得到3432k bk b-+=+=⎧⎨⎩，解得133kb=-=⎧⎪⎨⎪⎩，故选A．二、填空题（本大题共4个小题，每小题6分，共24分）9．规定a※b=a2+（b-1），则[（-2）※6]※（+2）的值为__________．【答案】82【解析】根据题意可得：（-2）※6=（-2）2+（6-1）=4+5=9，因此[（-2）※6]※（+2）=9※（+2）=92+（2-1）=81+1=82，故答案为：82．10．规定：log a b （a >0，a ≠1，b >0）表示a ，b 之间的一种运算．现有如下的运算法则：log an n a =，log N M =log log n n MN（n >0，n ≠1，N >0，N ≠1，M >0）．例如：log 223=3，log 25=1010log 5log 2，则100log 1000= ．【答案】32【解析】100log 1000=1010log 1000log 100=310210log 10log 10=32．故答案为：32．11．（2019·江苏初一期中）对于实数a 、b ，定义运算：()(0)0bb a a b a a b a a b a -⎧>≠⎪∆=⎨≤≠⎪⎩，，，，例如-321232424168，∆==∆==，照此定义的运算方式计算：()()()2441⎡⎤⎡⎤∆-⨯-∆-⎣⎦⎣⎦=_____________.【答案】14-【解析】根据题意得：2 ∆ (−4)=41216-=，(−4) ∆ (−1)1(4)4=-=-，则[2 ∆ (−4)]×[(−4) ∆ (−1)]()114.164=⨯-=-故答案为1.4-12．（2019·湖北中考真题）对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为()x ，即当n 为非负整数时，若0.50.5n x n -≤<+，则()x n =．如()1.341=，()4.865=．若()0.516x -=，则实数x 的取值范围是__________．【答案】1315x ≤<． 【解析】依题意得：60.50.5160.5x -≤-<+ 解得1315x ≤<．故答案是：1315x ≤<．三、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．（2019·贵州中考真题）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J ．Nplcr ，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr ，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若x a N =（0a >且1x ≠），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，比如指数式4216=可以转化为对数式24log 16=，对数式52log 25=，可以转化为指数式2525=． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log ()log log a a a M N M N ⋅=+（0a >，1a ≠，0M >，0N >），理由如下：设log a M m =，log a N n =，则m M a =，n N a =，∴m n m n M N a a a +⋅=⋅=，由对数的定义得log ()a m n M N +=⋅ 又∵log log a a m n M N +=+ ∴log ()log log a a a M N M N ⋅=+ 根据阅读材料，解决以下问题：（1）将指数式4381=转化为对数式________； （2）求证：log log log aa a MM N N=-（0a >，1a ≠，0M >，0N >） （3）拓展运用：计算666log 9log 8log 2+-=________． 【答案】（1）34log 81=；（2）详见解析；（3）2. 【解析】（1）34log 81=（或3log 814=），故答案为：34log 81=； （2）证明：设log a M m =，log a N n =，则m M a =，n N a =，∴m m n n M a a N a-==，由对数的定义得log aM m n N -=， 又∵log log a a m n M N -=-，∴log log log aa a MM N N=-； （3）666log 9log 8log 2+-66log (982)log 362=⨯÷==． 故答案为：2．14．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF ，BE 是△ABC 的中线，AF ⊥BE ，垂足为P ．像△ABC 这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC =a ，AC b =，AB c =．（1）【特例探索】如图1，当∠ABE =45°，22c =时，a =__________，b =__________； 如图2，当∠ABE =30°，4c =时，a =__________，b =__________． （2）【归纳证明】请你观察（1）中的计算结果，猜想222,,a b c 三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系． （3）【拓展应用】如图4，在平行四边形ABCD 中，点E ，F ，G 分别是AD ，BC ，CD 的中点，BE ⊥EG ，AD =217，AB =6．求AF 的长．【解析】（1）图1：a =25b =252：a =213，b =272分） 对于图1，易证：PEF PBA ∽△△，且相似比为12EF AB =， 所以等腰直角PBA △和PEF △中，2PA PB ==，2EF =，1PE PF ==，22125AE BF ==+=，所以25a b ==；对于图2，PEF PBA ∽△△，且相似比为12FE AB =， 等腰直角PBA △和PEF △中，2PA =，23PB =，3PE =，1PF =， 根据勾股定理得，347AE =+=，12113BF =+=， 所以a =213，b =27． （2）猜想：a 2+b 2=5c 2．（3分） 设PE =m ，PF =n ，那么PB =2m ，PA =2n ．根据勾股定理得：AE 2=PE 2+PA 2=m 2+（2n ）2=m 2+4n 2， ∴AC 2=（2AE ）2=4AE 2=4（m 2+4n 2）=4m 2+16n 2=b 2，（5分） 同理BC 2=（2BF 2）=4BF 2=4（n 2+4m 2）=4n 2+16m 2=a 2，∴a 2+b 2=（4n 2+16m 2）+（4m 2+16n 2）=20m 2+20n 2=5（4m 2+4n 2）， 又∵AB 2=PA 2+PB 2=（2n ）2+（2m ）2=4m 2+4n 2=c 2，∴a 2+b 2=5c 2．（7分） （3）连接AC ，交BE 于点P ，取AB 中点H ，连接FH ，交BE 于点Q ． ∵E ，G 分别是AD ，CD 的中点，∴EG 是△ACD 的中位线，∴EG ∥AC ，又∵BE ⊥EG ，∴∠1=90°，∴∠2=90°， 同理FH 是△ABC 的中位线，FH ∥AC ，∴∠3=∠2=90°，（9分） 又可以证得△ARE ≌△FRB ，∴AR =FR ，∴BR 和FH 都是△ABF 的中线并且BR ⊥FH ，∴△ABF 是“中垂三角形”，（11分） ∴2225AB AF BF +=，∴2226517)AF +=⨯，∴AF =7．（12分）15．（2015·浙江初三月考）对于二次函数y=x 2-3x+2和一次函数y=-2x+4，把y=t （x 2-3x+2）+（1-t ）（-2x+4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t 是不为零的实数，其图象记作抛物线E ． 现有点A （2，0）和抛物线E 上的点B （-1，n ），请完成下列任务： 【尝试】（1）当t=2时，抛物线E的顶点坐标是.（2）点A 抛物线E上；（填“在”或“不在”）（3）n= .．【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，这个定点的坐标是.【应用1】二次函数y=-3x2+5x+2是二次函数y=x2-3x+2和一次函数y=-2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．【应用2】以AB为一边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上，若抛物线E经过点A、B、C，求出所有符合条件的t的值．【答案】（1，-2）．点A（2，0）在抛物线E上．6．抛物线E必过定点（2，0）、（-1，6）．二次函数y=-3x2+5x+2不是二次函数y=x2-3x+2和一次函数y=-2x+4的一个“再生二次函数”．所有t的值为：-54；58，-12，52．【解析】【尝试】（1）将t=2代入抛物线E中，得：y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=2x2-4x=2（x-1）2-2，∴此时抛物线的顶点坐标为：（1，-2）．（2）将x=2代入y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4），得y=0，∴点A（2，0）在抛物线E上．（3）将x=-1代入抛物线E的解析式中，得：n=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=6．【发现】将抛物线E的解析式展开，得：y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=t（x-2）（x+1）-2x+4∴抛物线E 必过定点（2，0）、（-1，6）． 【应用1】将x=2代入y=-3x 2+5x+2，y=0，即点A 在抛物线上． 将x=-1代入y=-3x 2+5x+2，计算得：y=-6≠6， 即可得抛物线y=-3x 2+5x+2不经过点B ，二次函数y=-3x 2+5x+2不是二次函数y=x 2-3x+2和一次函数y=-2x+4的一个“再生二次函数”． 【应用2】如图，作矩形ABC 1D 1和ABC 2D 2，过点B 作BK ⊥y 轴于点K ，过B 作BM ⊥x 轴于点M ， 易得AM=3，BM=6，BK=1，△KBC 1∽△MBA ，则：1C KAM BM BK =即1361C K = 求得 C 1K=12所以点C 1（0，132）．易知△KBC 1≌△GAD 1，得AG=1，GD 1=12， ∴点D 1（3，12）． 易知△OAD 2∽△GAD 1，12AD G OD AGO =， 由AG=1，OA=2，GD 1=12， 求得 OD 2=1， ∴点D 2（0，-1）．易知△TBC 2≌△OD 2A ，得TC 2=AO=2，BT=OD 2=1，所以点C2（-3，5）．∵抛物线E总过定点A（2，0）、B（-1，6），∴符合条件的三点可能是A、B、C或A、B、D当抛物线E经过A、B、C1时，将C1（0，132）代入y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4），求得t1=-54；当抛物线E经过A、B、D1，A、B、C2，A、B、D2时，可分别求得t2=58，t3=-12，t4=52．∴满足条件的所有t的值为：-54；58，-12，52．第11 页共11 页。

2020中考全国120份试卷分类汇编材料阅读题、定义新1、（2020年潍坊市）对于实数x ，我们规定[]x 表示不大于x 的最大整数，例如[]12.1=，[]33=，[]35.2-=-，若5104=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+x ，则x 的取值可以是（ ）.A.40B.45C.51D.56 答案：C ．考点:新定义问题.点评:本题需要学生先通过阅读掌握新定义公式，再利用类似方法解决问题.考查了学生观察问题，分析问题，解决问题的能力.2、（5-&函数的综合与创新·2020东营中考）若定义：(,)(,)f a b a b =-，(,)(,)g m n m n =-，例如(1,2)(1,2)f =-，(4,5)(4,5)g --=-，则((2,3))g f -=（ ）A ．(2,3)-B ．(2,3)-C ．(2,3)D ．(2,3)--6.B.解析：由题意得f(2,3)=(-2,-3),所以g(f(2,-3))=g(-2,-3)=(-2,3),故选B.3、（2020四川宜宾）对于实数a 、b ，定义一种运算“⊗”为：a ⊗b =a 2+ab ﹣2，有下列命题：①1⊗3=2；②方程x ⊗1=0的根为：x 1=﹣2，x 2=1； ③不等式组的解集为：﹣1＜x ＜4； ④点（，）在函数y =x ⊗（﹣1）的图象上． 其中正确的是（ ）A ．①②③④B ．①③C ．①②③D ．③④考点：二次函数图象上点的坐标特征；有理数的混合运算；解一元二次方程－因式分解法；解一元一次不等式组；命题与定理． 专题：新定义．分析：根据新定义得到1⊗3=12+1×3﹣2=2，则可对①进行判断；根据新定义由x ⊗1=0得到x 2+x ﹣2=0，然后解方程可对②进行判断；根据新定义得，解得﹣1＜x ＜4，可对③进行判断；根据新定义得y =x ⊗（﹣1）=x 2﹣x ﹣2，然后把x =代入计算得到对应的函数值，则可对④进行判断．解答：解：1⊗3=12+1×3﹣2=2，所以①正确； ∵x ⊗1=0， ∴x 2+x ﹣2=0，∴x 1=﹣2，x 2=1，所以②正确；∵（﹣2）⊗x ﹣4=4﹣2x ﹣2﹣4=﹣2x ﹣2，1⊗x ﹣3=1+x ﹣2﹣3=x ﹣4， ∴，解得﹣1＜x ＜4，所以③正确； ∵y =x ⊗（﹣1）=x 2﹣x ﹣2，∴当x =时，y =﹣﹣2=﹣，所以④错误． 故选C ． 点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足二次函数的解析式．也考查了阅读理解能力、解一元二次方程以及解一元一次不等式组． 4、（2020•舟山）对于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），定义一种运算：A ⊕B=（x 1+x 2）+（y 1+y 2）．例如，A （﹣5，4），B （2，﹣3），A ⊕B=（﹣5+2）+（4﹣3）=﹣2．若互不重合的四点C ，D ，E ，F ，满足C ⊕D=D ⊕E=E ⊕F=F ⊕D ，则C ，D ，E ，F 四点（ ） A ． 在同一条直线上 B ． 在同一条抛物线上 C ． 在同一反比例函数图象上 D ． 是同一个正方形的四个顶点考点： 一次函数图象上点的坐标特征． 专题： 新定义． 分析： 如果设C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），E （x 5，y 5），F （x 6，y 6），先根据新定义运算得出（x 3+x 4）+（y 3+y 4）=（x 4+x 5）+（y 4+y 5）=（x 5+x 6）+（y 5+y 6）=（x 4+x 6）+（y 4+y 6），则x 3+y 3=x 4+y 4=x 5+y 5=x 6+y 6，若令x 3+y 3=x 4+y 4=x 5+y 5=x 6+y 6=k ，则C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），E （x 5，y 5），F （x 6，y 6）都在直线y=﹣x+k 上． 解答： 解：∵对于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），A ⊕B=（x 1+x 2）+（y 1+y 2），如果设C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），E （x 5，y 5），F （x 6，y 6）， 那么C ⊕D=（x 3+x 4）+（y 3+y 4）， D ⊕E=（x 4+x 5）+（y 4+y 5）， E ⊕F=（x 5+x 6）+（y 5+y 6）， F ⊕D=（x 4+x 6）+（y 4+y 6）， 又∵C ⊕D=D ⊕E=E ⊕F=F ⊕D ，∴（x 3+x 4）+（y 3+y 4）=（x 4+x 5）+（y 4+y 5）=（x 5+x 6）+（y 5+y 6）=（x 4+x 6）+（y 4+y 6）， ∴x 3+y 3=x 4+y 4=x 5+y 5=x 6+y 6， 令x 3+y 3=x 4+y 4=x 5+y 5=x 6+y 6=k ， 则C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），E （x 5，y 5），F （x 6，y 6）都在直线y=﹣x+k 上， ∴互不重合的四点C ，D ，E ，F 在同一条直线上． 故选A ． 点评： 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，以及学生的阅读理解能力，有一定难度．5、（2020达州）已知()()11f x x x =⨯+，则()()11111112f ==⨯+⨯()()11222123f ==⨯+⨯……已知()()()()1412315f f f f n ++++=，求n 的值。

2020中考数学试题分类汇编阅读理解〔2018珠海〕１。

我们常用的数是十进制数，运算机程序使用的是二进制数 〔只有数码0和1〕，它们两者之间能够互相换算，如将(101)2, (1011)2换算成十进制数应为：5104212021)101(0122=++=⨯+⨯+⨯= 1121212021)1011(01232=⨯+⨯+⨯+⨯=按此方式，将二进制(1001)2换算成十进制数的结果是_______________. 9〔2018年镇江市〕28．〔2018江苏 镇江〕深化明白得〔本小题总分值9分〕对非负实数x 〝四舍五入〞到个位的值记为,><x即：当n 为非负整数时，假如.,2121n x n x n >=<+<≤-则 如：<0>=<0.48>=0，<0.64>=<1.493>=1，<2>=2，<3.5>=<4.12>=4，…试解决以下咨询题：〔1〕填空：①><π= 〔π为圆周率〕； ②假如x x 则实数,312>=-<的取值范畴为 ； 〔2〕①当><+>=+<≥x m m x m x :,,0求证为非负整数时；②举例讲明><+>>=<+<y x y x 不恒成立；〔3〕求满足x x x 的所有非负实数34>=<的值； 〔4〕设n 为常数，且为正整数，函数1412+<≤+-=n x n x x x y 在的自变量范畴内取值时，函数值y 为整数的个数记为k n k a 的所有整数满足>=<;的个数记为b .求证：.2n b a == 答案：〔1〕①3；〔1分〕②9447<≤x ； 〔2分〕 〔2〕①证明：[法一]设n n x n n x ,2121,+<≤->=<则为非负整数； 〔3分〕 m n m n m x m n +++<+≤-+且又,21)(21)(为非负整数，.><+=+>=+∴<x m m n m x 〔4分〕[法二]设b x k b k x ,,的整数部分为+=为其小数部分.)3(..,,)(,,5.001分为其小数部分的整数部分为时当><+>=+∴<+>=+∴<++++=+∴>=<<≤x m m x km x m b x m k m b k m x m k x b)4(.:.,1.,,)(,1,5.02分综上所述为其小数部分的整数部分为则时当><+>=+<><+>=+∴<++>=+∴<++++=++>=<≥x m m x x m x m k m m x b x m k m b k m x m k x b ②举反例：0.60.7112,0.60.7 1.31,<>+<>=+=<+>=<>=而><+>>=<+∴<>+>≠<<+>∴<y x y x ,7.06.07.06.0不一定成立.〔5分〕〔3〕[法一]作x y x y 34,=>=<的图象，如图28 〔6分〕 〔注：只要求画出草图，假如没有把有关点画成空心点，不扣分〕),2,23(),1,43(),0,0(34点点图象交于点的图象与x y x y =>=< .23,43,0=∴x 〔7分〕[法二],,34,34,0为整数设为整数k k x x x =≥)7(.23,43,0,2,1,0,20)6(,0,214321,43.43分分则=∴=∴≤≤≥+<≤-∴>=∴<=x k k k k k k k k k x〔4〕n x x x y ,)21(4122-=+-=函数 为整数，当x y n x n 随时,1+<≤的增大而增大，2222)21()21(,)211()21(+<≤--+<≤-∴n y n n y n 即， ①,2,2,,3,2,1,,4141222222y n n n n n n n n n n y y n n y n n 个共为整数+-+-+-+-=∴++<≤+-∴ .2n a =∴ ② 〔8分〕,,0n k k >=<>那么,)21()21(,212122+<≤-∴+<≤-n k n n k n ③ 比较①，②，③得：.2n b a == 〔9分〕23. 〔2018年金华〕 (此题10分〕点P 的坐标为〔m ，0〕，在x 轴上存在点Q 〔不与P 点重合〕，以PQ 为边作正方形PQMN ，使点M 落在反比例函数y = 2x-的图像上.小明对上述咨询题进行了探究，发觉不论m 取何值，符合上述条件的正方形只有．．两个，且一个正方形的顶点M 在第四象限，另一个正方形的顶点M 1在第二象限. 〔1〕如下图，假设反比例函数解析式为y = 2x-，P 点坐标为〔1， 0〕，图中已画出一符合条件的一个正方形PQMN ，请你在图中画出符合条件的另一个正方形PQ 1M 1N 1，并写出点M 1的坐标；〔温馨提示：作图时，不忘 了用黑色字迹的钢笔或签字 笔描黑喔！〕M 1的坐标是 ▲(第23题〔2〕 请你通过改变P 点坐标，对直线M 1 M 的解析式y ﹦kx ＋b 进行探究可得 k ﹦ ▲ ， 假设点P 的坐标为〔m ，0〕时，那么b ﹦ ▲ ；〔3〕 依据(2)的规律，假如点P 的坐标为〔6，0〕，请你求出点M 1和点M 的坐标．解：〔1〕如图；M 1 的坐标为〔－1，2〕 ……2分 〔2〕1-=k ，m b = …………………4分〔各2分〕 〔3〕由〔2〕知，直线M 1 M 的解析式为6+-=x y 那么M (x ，y )满足2)6(-=+-⋅x x 解得1131+=x ，1132-=x ∴ 1131-=y ，1132+=y∴M 1，M 的坐标分不为〔113-，113+〕，〔113+，113-〕．……………4分〔2018年眉山〕6．以下命题中，真命题是 A ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B ．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形 C ．圆的切线垂直于通过切点的半径D ．垂直于同一直线的两条直线互相垂直答案：C北京22. 阅读以下材料：小贝遇到一个有味的咨询题：在矩形ABCD 中，AD =8cm ，AB =6cm 。

专题14 阅读理解问题一、选择题1．（2020年湖北省十堰市第9题）如图，10个不同的正偶数按下图排列，箭头上方的每个数都等于其下方两数的和，如，表示a1=a2+a3，则a1的最小值为（）A．32 B．36 C．38 D．40【答案】D.【解析】考点：数字的变化类2．（2020年江西省第6题）如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A ．当E ，F ，G ，H 是各边中点，且AC=BD 时，四边形EFGH 为菱形B ．当E ，F ，G ，H 是各边中点，且AC ⊥BD 时，四边形EFGH 为矩形C ．当E ，F ，G ，H 不是各边中点时，四边形EFGH 可以为平行四边形D ．当E ，F ，G ，H 不是各边中点时，四边形EFGH 不可能为菱形【答案】D【解析】考点：中点四边形3. （2020年山东省潍坊市第11题）定义[]x 表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]=1，[-1.4]=-2，[-3]=-3.函数的图象如图所示，则方程[]221x x =的解为（ ）. A.0或2 B.0或2C.1或2-D.2或2-【答案】B【解析】考点：1、解一元二次方程﹣因式分解法；2、实数大小比较；3、函数的图象4. （2020年湖南省岳阳市第8题）已知点A 在函数11y x =-（0x >）的图象上，点B 在直线21y kx k =++（k 为常数，且0k ≥）上，若A ，B 两点关于原点对称，则称点A ，B 为函数1y ，2y 图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为A ．有1对或2对B ．只有1对 C.只有2对 D ．有2对或3对【答案】A ．【解析】试题解析：设A （a ，-1a）， 由题意知，点A 关于原点的对称点B （（a ，-1a ），）在直线y 2=kx+1+k 上， 则1a=-ak+1+k ， 整理，得：ka 2-（k+1）a+1=0 ①，即（a-1）（ka-1）=0，∴a -1=0或ka-1=0，则a=1或ka-1=0，若k=0，则a=1，此时方程①只有1个实数根，即两个函数图象上的“友好点”只有1对；若k≠0，则a=1k ，此时方程①有2个实数根，即两个函数图象上的“友好点”有2对，综上，这两个函数图象上的“友好点”对数情况为1对或2对，故选A ．考点：反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；关于原点对称的点的坐标．5．（2020年湖南省长沙市第11题）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（ ）A ．24里B ．12里C ．6里D ．3里【答案】C 考点：等比数列 二、填空题1. （2020年山东省威海市第15题）阅读理解：如图1，⊙O 与直线b a ,都相切.不论⊙O 如何转动，直线b a ,之间的距离始终保持不变（等于⊙O 的半径）.我们把具有这一特性的图形称为“等宽曲线”.图2是利用圆的这一特性的例子.将等直径的圆棍放在物体下面，通过圆棍滚动，用较小的力就可以推动物体前进.据说，古埃及就是利用只有的方法将巨石推到金字塔顶的.拓展应用：如图3所示的弧三角形（也称为莱洛三角形）也是“等宽曲线”.如图4，夹在平行线d c ,之间的莱洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变.若直线d c ,之间的距离等于cm 2，则莱洛三角形的周长为 cm .【答案】2π【解析】试题分析：由等宽曲线的定义知AB=BC=AC=2cm ，即可得∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，因此可知AB 在以点C 为圆心、2为半径的圆上，根据弧长公式可求得AB 的长为60221803ππ⨯=，则莱洛三角形的周长为23π×3=2π，故答案为：2π．考点：新定义下弧长的计算2. （2020年贵州省六盘水市第15题）定义：}{ac b A ,,=，}{c B =，},,{c b a AUB =,,A B a b c ，若}1{-=M ，}1,1,0{-=N ，则MN ．【答案】{}1,0,1- .考点：新定义运算．3.（2020年贵州省六盘水市第20题）计算1491625…的前29项的和是. 【答案】8555.试题分析：因为22222123......29......n ++++++=(1)(21)6n n n ++ ，当n=29时，原式=29(291)(2291)85556⨯+⨯⨯+=. 考点：数列．4. （2020年湖南省岳阳市第15题）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，认为圆内接正多边形边数无限增加时，周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率π的近似值．设半径为r 的圆内接正n 边形的周长为L ，圆的直径为d ．如右图所示，当6n =时，L 632r d rπ≈==，那么当12n =时，L dπ≈= ．（结果精确到0.01，参考数据：sin15cos750.259=≈）【答案】3.10.【解析】∵Rt△A BC 中，cosA=AC AB， 即0.259=131()2rAB-， ∴AB≈0.517r，∴L=12×0.517r=6.207r，又∵d=2r， ∴L d π≈=6.2072r r≈3.10. 考点：正多边形和圆；解直角三角形．三、解答题1. （2020年湖北省宜昌市第20题）阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,,a b c ，称为勾股数.世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：()()22221,2,1.2a m n b mn c m n ⎧=-⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩其中0m n >>，mn 是互质的奇数. 应用，当1n =时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长.【答案】直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4 Ⅱ、当b=5时，即m=5，代入①③得，a=12，c=13，Ⅲ、当c=5时，12（m2+1）=5，解得：m=±3，∵m＞0，∴m=3，代入①②得，a=4，b=3，综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4．考点：1、勾股数；2、勾股定理2．（2020年江西省第23题）我们定义：如图1，在△ABC看，把AB点绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β=180°时，我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．特例感知：（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD= BC；②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为．猜想论证：（2）在图1中，当△A BC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．拓展应用（3）如图4，在四边形ABCD，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=2，DA=6．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．【答案】（1）①12②4（2）AD=12BC（3）存在故答案为．②如图3中，∵∠BAC=90°，∠BAC+∠B′AC′=180°，∴∠B′AC′=∠BAC=90°，∵AB=AB′，AC=AC′，∴△BAC≌△B′AC′，∴BC=B′C′，∵B′D=DC′，∴AD=12B′C′=12BC=4，故答案为4．（3）存在．理由：如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN．连接DF交PC于O．∵∠ADC=150°，∴∠MDC=30°，在Rt△DCM中，∵CD=23，∠DCM=90°，∠MDC=30°，∴CM=2，DM=4，∠M=60°，在Rt△BEM中，∵∠BEM=90°，BM=14，∠MBE=30°，∴EM=1BM=7，2∴DE=EM﹣DM=3，∵AD=6，∴AE=DE，∵BE⊥AD，∴PA=PD，PB=PC，考点：四边形综合题3. （2020年湖南省郴州市第24题）设,a b 是任意两个实数，用max{,}a b 表示,a b 两数中较大者，例如：max{1,1}1--=-，max{1,2}2,max{4,3}4==，参照上面的材料，解答下列问题：（1）max{5,2}= ，max{0,3}= ；（2）若max{31,1}1x x x +-+=-+ ，求x 的取值范围；（3）求函数224y x x =--与2y x =-+的图象的焦点坐标，函数224y x x =--的图象如下图所示， 请你在下图中作出函数2y x =-+的图象，并根据图象直接写出2max{2,24}x x x -+-+ 的最小值.【答案】(1)5；3．（2）x ≤0；（3）﹣1．【解析】（3）联立两函数解析式成方程组，2242y x x y x ⎧=--⎨=-+⎩ ，解得：24x y =-⎧⎨=⎩ ，或31x y =⎧⎨=-⎩， ∴交点坐标为（﹣2，4）和（3，﹣1）．画出直线y=﹣x+2，如图所示，观察函数图象可知：当x=3时，max{﹣x+2，x 2﹣2x ﹣4}取最小值﹣1．考点：阅读理解题.4．（2020年山东省日照市第21题）阅读材料：在平面直角坐标系xOy 中，点P （x 0，y 0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=． 例如：求点P 0（0，0）到直线4x+3y ﹣3=0的距离．解：由直线4x+3y ﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，∴点P 0（0，0）到直线4x+3y ﹣3=0的距离为d==． 根据以上材料，解决下列问题：问题1：点P 1（3，4）到直线y=﹣x+的距离为 ；问题2：已知：⊙C 是以点C （2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C 与直线y=﹣x+b 相切，求实数b 的值； 问题3：如图，设点P 为问题2中⊙C 上的任意一点，点A ，B 为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S △ABP 的最大值和最小值．【答案】（1）4；（2）b=5或15；（3）最大值为4，最小值为2.试题分析：（1）根据点到直线的距离公式就是即可；（2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题;（3）求出圆心C 到直线3x+4y+5=0的距离，求出⊙C 上点P 到直线3x+4y+5=0的距离的最大值以及最小值即可解决问题．考点：一次函数综合题．5．（2020年湖南省长沙市第25题）若三个非零实数z y x ,,满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数z y x ,,构成“和谐三数组”．（1）实数1，2，3可以构成“和谐三数组”吗？请说明理由．（2）若),1(),,1(),,(321y t M y t N y t M +-三点均在函数y=xk （k 为常数，0≠k ）的图象上，且这三点的纵坐标321,,y y y 构成“和谐三数组”，求实数t 的值；（3）若直线)0(22≠+=bc c bx y 与x 轴交于点)0,(1x A ，与抛物线)0(332≠++=a c bx ax y 交于),(),,(3322y x C y x B 两点．①求证：A ，B ，C 三点的横坐标x1，x2，x3构成“和谐三组数”；②若a ＞2b ＞3c ，x2=1，求点P （，）与原点O 的距离OP 的取值范围.【答案】（1）不可以（2）t=-4，-2或2（3）21022OP ≤＜且OP ≠1 【解析】 （2）M （t ，k t ），N （t+1，1k t +），R （t+3，3k t +） k t ，1k t +，3k t +组成“和谐三组数” ①若k t =1k t ++3k t +，得t=-4 ②若13t t t k k k++=+，得t=-2 ③若31t t t k k k ++=+，得t=2 综上，t=-4，-2或2（3）①令y=2bx+2c=0∴x 1=-b c 联立22233y bx c y ax bx c =+⎧⎨=++⎩ ∴20ax bx c ++=∴由韦达定理可得2323b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩∴2323231111x x b x x x x c x ++==-=⋅ ∴123x x x ，，构成“和谐三组数”考点：阅读理解题6．（2020年浙江省杭州市第20题）在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3．（1）设矩形的相邻两边长分别为x ，y ．①求y 关于x 的函数表达式；②当y ≥3时，求x 的取值范围；（2）圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？【答案】（1）①y=3x②x≤1（2）10【解析】（2）∵一个矩形的周长为6，∴x+y=3，∴x+3x=3，整理得：x2﹣3x+3=0，∵b2﹣4ac=9﹣12=﹣3＜0，∴矩形的周长不可能是6；∵一个矩形的周长为10，∴x+y=5，∴x+3x=5，整理得：x2﹣5x+3=0，∵b2﹣4ac=25﹣12=13＞0，∴矩形的周长可能是10．考点：1、反比例函数的应用，2、一元二次方程的解法中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．方程x 2﹣3x ＝0的根是（ ）A ．x ＝0B ．x ＝3C ．10x =，23x =-D ．10x =，23x =【答案】D【解析】先将方程左边提公因式x ，解方程即可得答案．【详解】x 2﹣3x ＝0，x （x ﹣3）＝0，x 1＝0，x 2＝3，故选：D ．【点睛】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：配方法、直接开平方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．2．如图1，在等边△ABC 中，D 是BC 的中点，P 为AB 边上的一个动点，设AP=x ，图1中线段DP 的长为y ，若表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示，则△ABC 的面积为（ ）A ．4B ．23C ．12D ．43【答案】D【解析】分析： 由图1、图2结合题意可知，当DP ⊥AB 时，DP 最短，由此可得DP 最短=y 最小33，过点P 作PD ⊥AB 于点P ，连接AD ，结合△ABC 是等边三角形和点D 是BC 边的中点进行分析解答即可. 详解：由题意可知：当DP ⊥AB 时，DP 最短，由此可得DP 最短=y 最小33，过点P 作PD ⊥AB 于点P ，连接AD ，∵△ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上的中点，∴∠ABC=60°，AD ⊥BC ，∵DP ⊥AB 于点P ，此时3∴BD=332sin 602PD =÷=， ∴BC=2BD=4，∴AB=4，∴AD=AB·sin ∠B=4×sin60°=23，∴S △ABC=12AD·BC=1234432⨯⨯=. 故选D.点睛：“读懂题意，知道当DP ⊥AB 于点P 时，DP 最短=3”是解答本题的关键.3．将抛物线23y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ） A ．23(2)3y x =++ B ．23(2)3y x =-+ C ．23(2)3y x =+- D ．23(2)3y x =--【答案】A【解析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】将抛物线23y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，根据抛物线的平移规律可得新抛物线的解析式为23(2)3y x =++，故答案选A ．4．如图，扇形AOB 中，OA=2，C 为弧AB 上的一点，连接AC ，BC ，如果四边形AOBC 为菱形，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．233π-B ．2233π-C ．433π-D ．433π-【答案】D【解析】连接OC ，过点A 作AD ⊥CD 于点D ，四边形AOBC 是菱形可知OA=AC=2，再由OA=OC 可知△AOC 是等边三角形，可得∠AOC=∠BOC=60°，故△ACO 与△BOC 为边长相等的两个等边三角形，再根据锐角三角函数的定义得出AD=OA•sin60°=2×32=3，因此可求得S阴影=S扇形AOB﹣2S△AOC=21202360π⨯﹣2×12×2×3=43π﹣23．故选D．点睛：本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式及菱形的性质是解答此题的关键．5．△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则cosB的值为( )A．55B．255C．12D．2【答案】A【解析】解：在直角△ABD中，BD=2，AD=4，则AB=22222425BD AD+=+=，则cosB=25525BDAB==．故选A．6．《九章算术》是中国古代数学专著，《九章算术》方程篇中有这样一道题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”这是一道行程问题，意思是说：走路快的人走100步的时候，走路慢的才走了60步；走路慢的人先走100步，然后走路快的人去追赶，问走路快的人要走多少步才能追上走路慢的人？如果走路慢的人先走100步，设走路快的人要走 x 步才能追上走路慢的人，那么，下面所列方程正确的是()A．x x10060100-=B．x x10010060-=C．x x10060100+=D．x x10010060+=【答案】B【解析】解：设走路快的人要走x 步才能追上走路慢的人，根据题意得：10010060x x-=．故选B．点睛：本题考查了一元一次方程的应用．找准等量关系，列方程是关键．7．如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有看到的棱都应表现在俯视图中．【详解】从上往下看，该几何体的俯视图与选项D所示视图一致．故选D．【点睛】本题考查了简单组合体三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．8．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（）A．21.7米B．22.4米C．27.4米D．28.8米【答案】A【解析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根据tan24°=AMEM，构建方程即可解决问题.【详解】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．在Rt△CDN中，∵140.753CNDN==，设CN=4k，DN=3k，∴CD=10，∴（3k）2+（4k）2=100，∴k=2，∴CN=8，DN=6，∵四边形BMNC是矩形，∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，在Rt△AEM中，tan24°=AM EM，∴0.45=866AB，∴AB=21.7（米），故选A．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．9．某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是（）A．19B．16C．13D．23【答案】C【解析】分析：将三个小区分别记为A、B、C，列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多少即可．详解：将三个小区分别记为A、B、C，列表如下：A B CA （A，A）（B，A）（C，A）B （A，B）（B，B）（C，B）C （A，C）（B，C）（C，C）由表可知，共有9种等可能结果，其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有3种，所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为31 = 93.故选：C．点睛：此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．10．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示互为倒数的点是（）A ．点A 与点B B ．点A 与点DC ．点B 与点D D ．点B 与点C【答案】A【解析】试题分析：主要考查倒数的定义和数轴，要求熟练掌握．需要注意的是： 倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数． 倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 根据倒数定义可知，-2的倒数是-12，有数轴可知A 对应的数为-2，B 对应的数为-12，所以A 与B 是互为倒数． 故选A ．考点：1．倒数的定义；2．数轴． 二、填空题（本题包括8个小题）11．对于任意实数m 、n ，定义一种运算m ※n=mn ﹣m ﹣n+3，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：3※5=3×5﹣3﹣5+3=1．请根据上述定义解决问题：若a ＜2※x ＜7，且解集中有两个整数解，则a 的取值范围是_____． 【答案】45a ≤<【解析】解：根据题意得：2※x=2x ﹣2﹣x+3=x+1， ∵a ＜x+1＜7，即a ﹣1＜x ＜6解集中有两个整数解， ∴a 的范围为45a ≤<， 故答案为45a ≤<． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，准确理解题意正确计算是本题的解题关键．12．如果关于x 的方程2x 2x m 0-+=（m 为常数）有两个相等实数根，那么m ＝______． 【答案】1【解析】析：本题需先根据已知条件列出关于m 的等式，即可求出m 的值． 解答：解：∵x 的方程x 2-2x+m=0（m 为常数）有两个相等实数根 ∴△=b 2-4ac=（-2）2-4×1?m=0 4-4m=0 m=1 故答案为113．因式分解：a 2b ＋2ab ＋b ＝ ． 【答案】b2【解析】该题考查因式分解的定义首先可以提取一个公共项b ，所以a 2b ＋2ab ＋b ＝b （a 2＋2a ＋1）再由完全平方公式（x 1+x 2）2=x 12+x 22+2x 1x 2 所以a 2b ＋2ab ＋b ＝b （a 2＋2a ＋1）=b 214．若x=2-1， 则x 2+2x+1=__________. 【答案】2【解析】先利用完全平方公式对所求式子进行变形，然后代入x 的值进行计算即可. 【详解】∵x=2-1，∴x 2+2x+1=(x+1)2=(2-1+1)2=2， 故答案为：2. 【点睛】本题考查了代数式求值，涉及了因式分解，二次根式的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键. 15．若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为__________． 【答案】433【解析】根据题意画出草图，可得OG=2，60OAB ∠=︒，因此利用三角函数便可计算的外接圆半径OA.【详解】解：如图，连接OA 、OB ，作OG AB ⊥于G ； 则2OG =，∵六边形ABCDEF 正六边形， ∴OAB 是等边三角形， ∴60OAB ∠=︒，∴43sin 603OG OA ===︒ ∴正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为433． 43【点睛】本题主要考查多边形的内接圆和外接圆，关键在于根据题意画出草图，再根据三角函数求解，这是多边形问题的解题思路.16．如图，⊙O 的半径为2，AB 为⊙O 的直径，P 为AB 延长线上一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为C ．若PC=23，则BC 的长为______．【答案】2【解析】连接OC ，根据勾股定理计算OP=4，由直角三角形30度的逆定理可得∠OPC=30°，则∠COP=60°，可得△OCB 是等边三角形，从而得结论． 【详解】连接OC ，∵PC 是⊙O 的切线， ∴OC ⊥PC ， ∴∠OCP=90°， ∵3OC=2，∴22OC PC +222(23)+=4， ∴∠OPC=30°， ∴∠COP=60°， ∵OC=OB=2，∴△OCB 是等边三角形， ∴BC=OB=2， 故答案为2 【点睛】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17．一个布袋里装有10个只有颜色不同的球，这10个球中有m 个红球，从布袋中摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.3左右，则m 的值约为__________． 【答案】3【解析】在同样条件下，大量重复实验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出等式解答. 【详解】解:根据题意得，10m＝0.3，解得m ＝3. 故答案为:3. 【点睛】本题考查随机事件概率的意义，关键是要知道在同样条件下，大量重复实验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近.18．如图，点A ，B 在反比例函数ky x（k ＞0）的图象上，AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足C ，D 分别在x 轴的正、负半轴上，CD=k ，已知AB=2AC ，E 是AB 的中点，且△BCE 的面积是△ADE 的面积的2倍，则k 的值是______．【答案】【解析】试题解析：过点B 作直线AC 的垂线交直线AC 于点F ，如图所示．∵△BCE 的面积是△ADE 的面积的2倍，E 是AB 的中点， ∴S △ABC =2S △BCE ，S △ABD =2S △ADE ，∴S △ABC =2S △ABD ，且△ABC 和△ABD 的高均为BF ， ∴AC=2BD ， ∴OD=2OC ． ∵CD=k ， ∴点A 的坐标为（3k ，3），点B 的坐标为（-23k ，-32），∴AC=3，BD=32， ∴AB=2AC=6，AF=AC+BD=92， ∴CD=k=22229376()22AB AF -=-=． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及勾股定理．构造直角三角形利用勾股定理巧妙得出k 值是解题的关键. 三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，已知抛物线的顶点为A （1，4)，抛物线与y 轴交于点B （0，3），与x 轴交于C 、D 两点.点P 是x 轴上的一个动点．求此抛物线的解析式；求C 、D 两点坐标及△BCD 的面积；若点P 在x 轴上方的抛物线上，满足S △PCD =12S △BCD ，求点P 的坐标. 【答案】 (1)y=﹣（x ﹣1）2+4；(2)C （﹣1，0），D （3，0）；6；(3)P （1032），或P （110，32） 【解析】（1）设抛物线顶点式解析式y=a （x-1）2+4，然后把点B 的坐标代入求出a 的值，即可得解； （2）令y=0，解方程得出点C ，D 坐标，再用三角形面积公式即可得出结论；（3）先根据面积关系求出点P 的坐标，求出点P 的纵坐标，代入抛物线解析式即可求出点P 的坐标． 【详解】解：(1)、∵抛物线的顶点为A （1，4）， ∴设抛物线的解析式y=a （x ﹣1）2+4， 把点B （0，3）代入得，a+4=3， 解得a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣（x ﹣1）2+4；(2)由（1）知，抛物线的解析式为y=﹣（x ﹣1）2+4； 令y=0，则0=﹣（x ﹣1）2+4，∴x=﹣1或x=3， ∴C （﹣1，0），D （3，0）； ∴CD=4，∴S△BCD=12CD×|y B|=12×4×3=6；(3)由(2)知，S△BCD=12CD×|y B|=12×4×3=6；CD=4，∵S△PCD=12S△BCD，∴S△PCD=12CD×|y P|=12×4×|y P|=3，∴|y P|= 32，∵点P在x轴上方的抛物线上，∴y P＞0，∴y P= 32，∵抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4；∴32=﹣（x﹣1）2+4，∴x=1±102，∴P（1+ 102，32），或P（1﹣102，32）．【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.20．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H 分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）【答案】（1）证明见解析；（2）四边形EFGH是菱形，证明见解析；（3）四边形EFGH是正方形.【解析】（1）如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH=FG即可．（2）四边形EFGH是菱形．先证明△APC≌△BPD，得到AC=BD，再证明EF=FG即可．（3）四边形EFGH是正方形，只要证明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得∠ACP=∠BDP，即可证明∠COD=∠CPD=90°，再根据平行线的性质即可证明．【详解】（1）证明：如图1中，连接BD．∵点E，H分别为边AB，DA的中点，∴EH∥BD，EH=12 BD，∵点F，G分别为边BC，CD的中点，∴FG∥BD，FG=12 BD，∴EH∥FG，EH=GF，∴中点四边形EFGH是平行四边形．（2）四边形EFGH是菱形．证明：如图2中，连接AC，BD．∵∠APB=∠CPD，∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠APC=∠BPD，在△APC和△BPD中，∵AP=PB，∠APC=∠BPD，PC=PD，∴△APC≌△BPD，∴AC=BD．∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，∴EF=12AC，FG=12BD，∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形．（3）四边形EFGH是正方形．证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．∵△APC≌△BPD，∴∠ACP=∠BDP，∵∠DMO=∠CMP，∴∠COD=∠CPD=90°，∵EH∥BD，AC∥HG，∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形．考点：平行四边形的判定与性质；中点四边形．21．探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次若参加聚会的人数为3，则共握手次：；若参加聚会的人数为5，则共握手次；若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手次；若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数．拓展：嘉嘉给琪琪出题：“若线段AB上共有m个点（含端点A，B），线段总数为30，求m的值．”琪琪的思考：“在这个问题上，线段总数不可能为30”琪琪的思考对吗？为什么？【答案】探究：（1）3，1；（2）(1)2n n-；（3）参加聚会的人数为8人；拓展：琪琪的思考对，见解析.【解析】探究：（1）根据握手次数=参会人数×（参会人数-1）÷2，即可求出结论；（2）由（1）的结论结合参会人数为n，即可得出结论；（3）由（2）的结论结合共握手28次，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；拓展：将线段数当成握手数，顶点数看成参会人数，由（2）的结论结合线段总数为2，即可得出关于m 的一元二次方程，解之由该方程的解均不为整数可得出琪琪的思考对．【详解】探究：（1）3×（3-1）÷2=3，5×（5-1）÷2=1．故答案为3；1．（2）∵参加聚会的人数为n（n为正整数），∴每人需跟（n-1）人握手，∴握手总数为()12n n-．故答案为()12n n-．（3）依题意，得：()12n n-=28，整理，得：n2-n-56=0，解得：n 1=8，n 2=-7（舍去）． 答：参加聚会的人数为8人． 拓展：琪琪的思考对，理由如下： 如果线段数为2，则由题意，得：()12m m -=2，整理，得：m 2-m-60=0， 解得m 1=12+m 2=2（舍去）．∵m 为正整数， ∴没有符合题意的解， ∴线段总数不可能为2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，用含n 的代数式表示出握手总数；（3）（拓展）找准等量关系，正确列出一元二次方程．22．已知关于x 的方程220x ax a ++-=.当该方程的一个根为1时，求a 的值及该方程的另一根；求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根. 【答案】（1）12，32-；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可. （2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可. 试题解析：（1）设方程的另一根为x 1，∵该方程的一个根为1，∴1111{211a x a x +=--⋅=.解得132{12x a =-=.∴a 的值为12，该方程的另一根为32-.（2）∵()()222241248444240a a a a a a a ∆=-⋅⋅-=-+=-++=-+>，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2. 一元二次方程根根的判别式；3.配方法的应用.23．如图，有四张背面相同的卡片A 、B 、C 、D ，卡片的正面分别印有正三角形、平行四边形、圆、正五边形（这些卡片除图案不同外，其余均相同）．把这四张卡片背面向上洗匀后，进行下列操作：若任意抽取其中一张卡片，抽到的卡片既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是 ；若任意抽出一张不放回，然后再从余下的抽出一张．请用树状图或列表表示摸出的两张卡片所有可能的结果，求抽出的两张卡片的图形是中心对称图形的概率．【答案】（1）14；（2）16.【解析】（1）既是中心对称图形又是轴对称图形只有圆一个图形，然后根据概率的意义解答即可；（2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．【详解】（1）∵正三角形、平行四边形、圆、正五边形中只有圆既是中心对称图形又是轴对称图形，∴抽到的卡片既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是14；（2）根据题意画出树状图如下：一共有12种情况，抽出的两张卡片的图形是中心对称图形的是B、C共有2种情况，所以，P（抽出的两张卡片的图形是中心对称图形）21 126．【点睛】本题考查了列表法和树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24．如图，已知A（3，0），B（0，﹣1），连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BA＝BC，连接AC．如图1，求C点坐标；如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接BP，作等腰直角△BPQ，连接CQ，当点P在线段OA上，求证：PA＝CQ；在（2）的条件下若C、P，Q三点共线，求此时∠APB的度数及P点坐标．【答案】（1）C（1，-4）．（2）证明见解析；（3）∠APB=135°，P（1，0）．【解析】（1）作CH ⊥y 轴于H ，证明△ABO ≌△BCH ，根据全等三角形的性质得到BH=OA=3，CH=OB=1，求出OH ，得到C 点坐标；（2）证明△PBA ≌△QBC ，根据全等三角形的性质得到PA=CQ ；（3）根据C 、P ，Q 三点共线，得到∠BQC=135°，根据全等三角形的性质得到∠BPA=∠BQC=135°，根据等腰三角形的性质求出OP ，得到P 点坐标．【详解】（1）作CH ⊥y 轴于H ，则∠BCH+∠CBH=90°，∵AB ⊥BC ，∴∠A BO+∠CBH=90°，∴∠ABO=∠BCH ，在△ABO 和△BCH 中，ABO BCH AOB BHC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABO ≌△BCH ，∴BH=OA=3，CH=OB=1，∴OH=OB+BH=4，∴C 点坐标为（1，﹣4）；（2）∵∠PBQ=∠ABC=90°，∴∠PBQ ﹣∠ABQ=∠ABC ﹣∠ABQ ，即∠PBA=∠QBC ，在△PBA 和△QBC 中，BP BQ PBA QBC BA BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PBA ≌△QBC ，。

一、选择题1．（2018北京东城区一模）如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为入口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB=CG=EF；弯道为以点O为圆心的一段弧，且»BC，»CD，»DE所对的圆心角均为90°．甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以10m/s的速度行驶，从不同出口驶出.其间两车到点O的距离y（m）与时间x(s)的对应关系如图2所示．结合题目信息，下列说法错误．．的是A.甲车在立交桥上共行驶8sB. 从F口出比从G口出多行驶40mC.甲车从F口出，乙车从G口出D.立交桥总长为150m答案C2、136,426；（答案不唯一）3.（2018北京昌平区初二年级期末）阅读下面计算1111+++133557911+⨯⨯⨯⨯L的过程，然后填空．解：∵1111=13213-⨯（），1111=35235-⨯（），…，1111=9112911-⨯（），∴1111 +++ 133557911+⨯⨯⨯⨯L=111111111111 +++) 2132352572911 ---+-L（）（）（）（=111111111++)2133557911--+-+-L （=1112111-（）=511. 以上方法为裂项求和法，请参考以上做法完成： （1）11+2446⨯⨯=； （2）当111613355713x ++++=⨯⨯⨯L 时，最后一项x =.答案：4．（2018北京市海淀区八年级期末）阅读材料小明遇到这样一个问题：求计算(2)(23)(34)x x x +++所得多项式的一次项系数．小明想通过计算(2)(23)(34)x x x +++所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法．他决定从简单情况开始，先找(2)(23)x x ++所得多项式中的一次项系数．通过观察发现：也就是说，只需用2x +中的一次项系数1乘以23x +中的常数项3，再用2x +中的常数项2乘以23x +中的一次项系数2，两个积相加13227⨯+⨯=，即可得到一次项系数．延续上面的方法，求计算(2)(23)(34)x x x +++所得多项式的一次项系数．可以先用2x +的一次项系数1，23x +的常数项3，34x +的常数项4，相乘得到12；再用23x +的一次项系数2，2x +的常数项2，34x +的常数项4，相乘得到16；然后用34x +的一次项系数3，2x +的常数项2，23x +的常数项3，相乘得到18．最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46． 参考小明思考问题的方法，解决下列问题：（1）计算(21)(32)x x ++所得多项式的一次项系数为．11611131143⨯，或（2）计算(1)(32)(43)x x x ++-所得多项式的一次项系数为．（3）若计算22(1)(3)(21)x x x x a x ++-+-所得多项式的一次项系数为0，则a =_________． （4）若231x x -+是422x ax bx +++的一个因式，则2a b +的值为． （1）7．-----------------------------------------------------------------------1分（2）．--------------------------------------------------------------------------3分 （3）．-----------------------------------------------------------------------5分 （4）．-------------------------------------------------------------------7分5.（2018北京市怀柔区初二期末）在学习了“求简单随机事件发生的可能性大小”知识后，小敏，小聪，小丽三人分别编写了一道有关随机事件的试题并进行了解答.小敏，小聪，小丽编写的试题分别是下面的（1）（2）（3）. （1）一个不透明的盒子里装有4个红球，2个白球，除颜色外其它都相同，搅均后，从中随意摸出一个球，摸出红球的可能性是多少？解：P （摸出一个红球）=42=63. （2）口袋里装有如图所示的1角硬币2枚、5角硬币2枚、 1 元 硬币1枚.搅均后，从中随意摸出一枚硬币，摸出1角硬币的可能性是多少？解：P （摸出1角的硬币）=25. （3）如图，是一个转盘，盘面上有5个全等的扇形区域，每个区域显示有不同的颜色，轻轻转动转盘，当转盘停止后，指针对准红色区域的可能性 是多少？解：P （指针对准红色区域）=15. 根据以上材料回答问题：小敏，小聪，小丽三人中，谁编写的试题及解答是正确的，并简要说明其他两人所编试题或解答的不足之处.答：第一个小敏的试题及答案是正确的.小聪的试题中，因为1角、5角、1元的硬币大小不同,不符合每个结果发生的可能性都相同的条件，因此不能用上述求随机事件可能性的方法解答.小丽的试题中，因为轻轻转动转盘时,指针指向每个区域机会不等，不具有随机性，也不符合每个结果发生的可能性都相同的条件，因此也不能用上述解答方法解答.7-3-15-绿白蓝黄红6．（2018北京市门头沟区八年级期末）阅读材料，并回答问题：小明在学习分式运算过程中，计算1122x x -+-的解答过程如下： 解：1122x x -+-① ()()()()222222x x x x x x -+=-+--+②()()22x x =--+③22x x =---④4.=-⑤问题：（1）上述计算过程中，从步开始出现了错误（填序号）；（2）发生错误的原因是：；（3）在下面的空白处，写出正确的解答过程：解：（1）从第③步开始出现错误；………………………………………………………1分 （2）略；………………………………………………………………………………2分 （3）1122x x -+- ()()()()222222x x x x x x -+=-+--+()()()()2222x x x x --+=+-…………………………………………………………………3分()()422x x -=+-……………………………………………………………………4分24.4x =--…………………………………………………………………………5分 7．（2018北京市门头沟区八年级期末）阅读材料：我们定义：如果一个数的平方等于1-，记作21i =-，那么这个i 就叫做虚数单位.虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数.一个复数可以表示为a bi +（a ，b 均为实数）的形式，其中a 叫做它的实部，b叫做它的虚部.复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似. 例如计算：()()()()53453483.i i i i i ++-=++-=- 根据上述材料，解决下列问题： （1）填空：3i =，4i =； （2）计算：()22i +；（3）将11ii+-化为a bi +（a ，b 均为实数）的形式（即化为分母中不含i 的形式）. 解：（1）填空：3i i =-，41i =；………………………………………………………2分（2）计算：()2224444134i i i i i +=++=+-=+；…………………………………5分（3）化简：()()()()22211121212.1111112i i i i i ii i i i i +++++-=====--+---………………………8分 8．（2018北京市石景山区初二期末）阅读下列材料：在学习“可化为一元一次方程的分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于x 的分式方程14ax =-的解为正数，求a 的取值范围． 经过独立思考与分析后，小杰和小哲开始交流解题思路如下：小杰说：解这个关于x 的分式方程，得4x a =+. 由题意可得40a +>，所以4a >-，问题解决． 小哲说：你考虑的不全面，还必须保证4x ≠，即44a +≠才行. （1）请回答：的说法是正确的，并简述正确的理由是； （2）参考对上述问题的讨论，解决下面的问题：若关于x 的方程233m xx x-=--的解为非负数，求m 的取值范围． 解：（1）小哲；理由：分式方程的解一定要保证最简公分母不为零，否则分式方程中的分式没有意义．⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分（2）原方程233m x x x -=--可化为233m xx x +=--．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分 去分母得：()23m x x +=-⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分解得：6x m =+∵原方程的解为非负数，∴03x x ≥⎧⎨≠⎩⋯⋯⋯⋯⋯5分即：6063m m +≥⎧⎨+≠⎩，解得63m m ≥-≠-且．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分9．（2018北京市西城区八年级期末）阅读材料：课堂上，老师设计了一个活动：将一个4×4的正方形网格沿着网格线．．．．．划分成两部分（分别用阴影和空白表示），使得这两部分图形是全等的，请同学们尝试给出划分的方法．约定：如果两位同学的划分结果经过旋转、翻折后能够重合，那么就认为他们的划分方法相同．小方、小易和小红分别对网格进行了划分，结果如图1、图2、图3所示．小方说：“我们三个人的划分方法都是正确的．但是将小红的整个图形（图3）逆时针旋转90°后得到的划分方法与我的划分方法（图1）是一样的，应该认为是同一种方法，而小易的划分方法与我的不同．”老师说：“小方说得对．”完成下列问题：（1）图4的划分方法是否正确？答：_______________．（2）判断图5的划分方法与图2小易的划分方法是否相同，并说明你的理由； 答：____________________________________________________________________．（3）请你再想出一种与已有方法不同的划分方法，使之满足上述条件，并在图6中画出来．解：（1）不正确；………………………………………………………………………1分 （2） 相同，…………………………………………………………………………2分理由合理即可，如：因为将图5沿直线翻折后得到的划分方法与图2的划分方法相同；…………………………………………………………………………3分 （35分10．（2018北京延庆区八年级第一学区期末）阅读下面的解答过程，然后作答： 有这样一类题目：将b a 2+化简，若你能找到两个数 m 和n ，使a n m =+22且 mn=b ，则b a 2+可变为mn n m 222++，即变成2)(n m +，从而使得b a 2+化简。

专题4.2 三角形一、单选题1．【四川省眉山市2018年中考数学试题】将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（）.A．45° B．60° C．75° D．85°【答案】C【解析】分析：先根据三角形的内角和得出∠CGF=∠DGB=45°，再利用∠α=∠D+∠DGB可得答案．详解：如图，点睛：本题主要考查三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理和三角形外角的性质．2．【山东省聊城市2018年中考数学试卷】如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在处的处，折痕为.如果，，，那么下列式子中正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】分析:根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论.详解:点睛：本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键. 3．【台湾省2018年中考数学试卷】如图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，则∠BAE的度数为何？（）A． 115 B． 120 C． 125 D． 130【答案】C【解析】分析：根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等，进而得出∠B=∠E，利用多边形的内角和解答即可．详解：∵三角形ACD为正三角形，∴AC=AD，∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°，∵AB=DE，BC=AE，∴△ABC≌△DEA，∴∠B=∠E=115°，∠ACB=∠EAD，∠BAC=∠ADE，∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°﹣115°=65°，∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°，故选：C．点睛：此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等．4．【湖北省襄阳市2018年中考数学试卷】如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（）A． 16cm B． 19cm C． 22cm D． 25cm【答案】B【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．5．【湖北省黄石市2018年中考数学试卷】如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（）A．75° B．80° C．85° D．90°【答案】A点睛：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．解决问题的关键是三角形外角性质以及角平分线的定义的运用．6．【贵州省（黔东南，黔南，黔西南）2018年中考数学试题】下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（）A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙【答案】B【解析】分析：根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等．点睛：本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．7．【山东省淄博市2018年中考数学试题】如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC 交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（）A． 4 B． 6 C． D． 8【答案】B【解析】分析：根据题意，可以求得∠B的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得BC的长．详解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，∴∠AMN=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，∴∠ACB=2∠B，NM=NC，∴∠B=30°，∵AN=1，∴MN=2，∴AC=AN+NC=3，∴BC=6，故选：B．点睛：本题考查30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．8．【四川省达州市2018年中考数学试题】如图，AB∥CD，∠1=45°，∠3=80°，则∠2的度数为（）A．30° B．35° C．40° D．45°【答案】B点睛：此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质和三角形的外角性质解答．9．【湖北省荆门市2018年中考数学试卷】如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC 边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（）A． B． C． 1 D． 2【答案】C【详解】连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图，∵△ACB为到等腰直角三角形，∴AC=BC=AB=，∠A=∠B=45°，∵O为AB的中点，∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，∵∠POQ=90°，∠COA=90°，∴∠AOP=∠COQ，在Rt△AOP和△COQ中，∴Rt△AOP≌△COQ，∴AP=CQ，易得△APE和△BFQ都为等腰直角三角形，∴PE=AP=CQ，QF=BQ，∴PE+QF=（CQ+BQ）=BC==1，∵M点为PQ的中点，∴MH为梯形PEFQ的中位线，【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、梯形的中位线、点运动的轨迹，通过计算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹是解题的关键.10．【河北省2018年中考数学试卷】尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：则正确的配对是（）A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅲ B．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣ⅠC．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅰ D．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ【答案】D【解析】【分析】分别利用过直线外一点作这条直线的垂线作法以及线段垂直平分线的作法和过直线上一点作这条直线的垂线、角平分线的作法分别得出符合题意的答案．【详解】Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线，观察可知图②符合；Ⅱ、作线段的垂直平分线，观察可知图③符合；Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线，观察可知图④符合；Ⅳ、作角的平分线，观察可知图①符合，所以正确的配对是：①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ，故选D．【点睛】本题主要考查了基本作图，正确掌握基本作图方法是解题关键．11．【山东省东营市2018年中考数学试题】如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC．给出下列结论：①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④BE2=2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（）A．①②③④ B．②④ C．①②③ D．①③④【答案】A点睛：本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．12．【浙江省台州市2018年中考数学试题】如图，等边三角形ABC边长是定值，点O是它的外心，过点O任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E．将△BDE沿直线DE折叠，得到△B′DE，若B′D，B′E分别交AC于点F，G，连接OF，OG，则下列判断错误的是（）A．△ADF≌△CGEB．△B′FG的周长是一个定值C．四边形FOEC的面积是一个定值D．四边形OGB'F的面积是一个定值【答案】DB、根据△DOF≌△GOF≌△GOE，得DF=GF=GE，所以△ADF≌△B'GF≌△CGE，可得结论；C、根据S四边形FOEC=S△OCF+S△OCE，依次换成面积相等的三角形，可得结论为：S△AOC=S△ABC（定值），可作判断；D、方法同C，将S四边形OGB'F=S△OAC-S△OFG，根据S△OFG=•FG•OH，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F 的面积也变化，可作判断．详解：A、连接OA、OC，∵点O是等边三角形ABC的外心，∴AO平分∠BAC，∴点O到AB、AC的距离相等，由折叠得：DO平分∠BDB'，∴点O到AB、DB'的距离相等，∴点O到DB'、AC的距离相等，∴FO平分∠DFG，∠DFO=∠OFG=（∠FAD+∠ADF），由折叠得：∠BDE=∠ODF=（∠DAF+∠AFD），∴∠OFD+∠ODF=（∠FAD+∠ADF+∠DAF+∠AFD）=120°，∴∠DOF=60°，B、∵△DOF≌△GOF≌△GOE，∴DF=GF=GE，∴△ADF≌△B'GF≌△CGE，∴B'G=AD，∴△B'FG的周长=FG+B'F+B'G=FG+AF+CG=AC（定值），故选项B正确；C、S四边形FOEC=S△OCF+S△OCE=S△OCF+S△OAF=S△AOC=S△ABC（定值），故选项C正确；点睛：本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的性质和判定、角平分线的性质和判定、三角形和四边形面积及周长的确定以及折叠的性质，有难度，本题全等的三角形比较多，要注意利用数形结合，并熟练掌握三角形全等的判定，还要熟练掌握角平分线的逆定理的运用，证明FO平分∠DFG是本题的关键，13．【浙江省台州市2018年中考数学试题】如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（）A． B． 1 C． D．【答案】B【解析】分析：只要证明BE=BC即可解决问题；详解：∵由题意可知CF是∠BCD的平分线，∴∠BCE=∠DCE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠DCE=∠E，∠BCE=∠AEC，∴BE=BC=3，∵AB=2，∴AE=BE-AB=1，故选：B．点睛：本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．14．【河北省2018年中考数学试卷】已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（）A．作∠APB的平分线PC交AB于点CB．过点P作PC⊥AB于点C且AC=BCC．取AB中点C，连接PCD．过点P作PC⊥AB，垂足为C【答案】B【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判断方法是解本题的关键．二、填空题15．【吉林省长春市2018年中考数学试卷】如图，在△ABC中，AB=AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD．若∠A=32°，则∠CDB的大小为_____度．【答案】37【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．16．【山东省东营市2018年中考数学试题】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=3，AC=10，则△ACD的面积是_____．【答案】15【解析】分析：作DQ⊥AC，由角平分线的性质知DB=DQ=3，再根据三角形的面积公式计算可得．详解：如图，过点D作DQ⊥AC于点Q，由作图知CP是∠ACB的平分线，∵∠B=90°，BD=3，∴DB=DQ=3，∵AC=10，∴S△ACD=•AC•DQ=×10×3=15，故答案为：15．点睛：本题主要考查作图-基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质．17．【黑龙江省哈尔滨市2018年中考数学试题】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为_____．【答案】130°或90°．【解析】分析：根据题意可以求得∠B和∠C的度数，然后根据分类讨论的数学思想即可求得∠ADC的度数．点睛：本题考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答．18．【江苏省徐州巿2018年中考数学试卷】如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，AC=5cm，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于_____cm．【答案】7【解析】【分析】根据勾股定理，可得BC的长，根据翻折的性质，可得AE与CE的关系，根据三角形的周长公式，可得答案．【详解】在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，AC=5cm，由勾股定理，得BC==4，由翻折的性质，得CE=AE，△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=3+4=7，故答案为：7．【点睛】本题考查了翻折的性质、勾股定理等，利用翻折的性质得出CE与AE的关系是解题的关键．19．【湖南省邵阳市2018年中考数学试卷】如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处．若AE=，则BC的长是_____．【答案】【点睛】本题考查了等腰三角形的判断和性质、折叠的性质以及三角形内角和定理的运用，证明△BCE是等腰三角形是解题的关键．20．【湖北省襄阳市2018年中考数学试卷】已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=，AD=1，AB=2AC，则BC 的长为_____．【答案】或【解析】【分析】分两种情况：△ABC是锐角三角形，△ABC是钝角三角形，分别画出符合条件的图形，然后分别根据勾股定理计算AC和BC即可．【详解】分两种情况：当是锐角三角形，如图1，当是钝角三角形，如图2，同理得：AC=2，AB=4，∴BC=；综上所述，BC的长为或，故答案为：或．【点睛】本题考查了三角形的高、勾股定理的应用，在直角三角形中常利用勾股定理计算线段的长，要熟练掌握，运用分类讨论思想进行解答是关键.21．【2018年湖南省湘潭市中考数学试卷】如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD=_________．【答案】30°点睛：考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．22．【广西壮族自治区桂林市2018年中考数学试题】如图，在ΔABC中，∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是__________【答案】3【解析】分析：由已知条件，利用三角形的内角和定理及角平分线的性质得到各角的度数，根据等腰三角形的定义及等角对等边得出答案．详解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．∵BD平分∠ABC交AC于D，∴∠ABD=∠DBC=36°，∵∠A=∠ABD=36°，∴△ABD是等腰三角形．∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，∴△BDC是等腰三角形．∴共有3个等腰三角形．故答案为：3．点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；求得角的度数是正确解答本题的关键．23．【江苏省泰州市2018年中考数学试题】已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为_____．【答案】5点睛：此题主要是考查了三角形的三边关系，同时注意整数这一条件．24．【江苏省淮安市2018年中考数学试题】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是_____．【答案】【解析】分析：连接AD由PQ垂直平分线段AB，推出DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，根据AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题；详解：连接AD．点睛：本题考查基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．三、解答题25．【浙江省杭州市临安市2018年中考数学试卷】阅读下列题目的解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4（A）∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）（B）∴c2=a2+b2（C）∴△ABC是直角三角形问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：；（2）错误的原因为：；（3）本题正确的结论为：．【答案】（1）C；（2）没有考虑a=b的情况；（3）△ABC是等腰三角形或直角三角形．【解析】【分析】（1）根据题目中的书写步骤可以解答本题；（2）根据题目中B到C可知没有考虑a=b的情况；（3）根据题意可以写出正确的结论．【点睛】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，写出相应的结论，注意考虑问题要全面．26．【湖北省武汉市2018年中考数学试卷】如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF．【答案】证明见解析.【解析】【分析】求出BF=CE，根据SAS推出△ABF≌△DCE，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论．【详解】∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，∴BF=CE，在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（SAS），∴∠GEF=∠GFE，∴EG=FG．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．27．【广西壮族自治区桂林市2018年中考数学试题】如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF.(1)求证：ΔABC≌△DEF；(2)若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度数.【答案】（1）证明见解析；（2）37°【解析】分析：（1）先证明AC=DF，再运用SSS证明△ABC≌△DEF；（2）根据三角形内角和定理可求∠ACB=37°，由（1）知∠F=∠ACB，从而可得结论.点睛：本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．28．【陕西省2018年中考数学试题】如图，AB∥CD，E、F分别为AB、CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC、BF相交与点G、H，若AB＝CD，求证：AG＝DH．【答案】证明见解析.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.29．【浙江省台州市2018年中考数学试题】如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D，E分别在AC，BC 上，且CD=CE．（1）如图1，求证：∠CAE=∠CBD；（2）如图2，F是BD的中点，求证：AE⊥CF；（3）如图3，F，G分别是BD，AE的中点，若AC=2，CE=1，求△CGF的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）S△CFG=．【解析】分析：（1）直接判断出△ACE≌△BCD即可得出结论；（2）先判断出∠BCF=∠CBF，进而得出∠BCF=∠CAE，即可得出结论；（3）先求出BD=3，进而求出CF=，同理：EG=，再利用等面积法求出ME，进而求出GM，最后用面积公式即可得出结论．详解：（1）在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD，∴∠CAE=∠CBD；（2）如图2，（3）如图3，∵AC=2，∴BC=AC=2，∵CE=1，∴CD=CE=1，在Rt△BCD中，根据勾股定理得，BD==3，∵点F是BD中点，∴CF=DF=BD=，同理：EG=AE=，连接EF，过点F作FH⊥BC，∵∠ACB=90°，点F是BD的中点，∴FH=CD=，∴S△CEF=CE•FH=×1×=，点睛：此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的中位线定理，三角形的面积公式，勾股定理，作出辅助线求出△CFG的边CF上的是解本题的关键．30．【湖北省荆门市2018年中考数学试卷】如图，在Rt△ABC中，（M2，N2），∠BAC=30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD．（1）求证：△ADE≌△CDB；（2）若BC=，在AC边上找一点H，使得BH+EH最小，并求出这个最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）BH+EH的最小值为3．【解析】【分析】（1）只要证明△DEB是等边三角形，再根据SAS即可证明；（2）如图，作点E关于直线AC点E'，连接BE'交AC于点H．则点H即为符合条件的点．（2）如图，作点E关于直线AC点E'，连接BE'交AC于点H，则点H即为符合条件的点，由作图可知：EH=HE'，AE'=AE，∠E'AC=∠BAC=30°，∴∠EAE'=60°，∴△EAE'为等边三角形，∴E E'=EA=AB，∴∠AE'B=90°，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=，∴AB=2，A E'=AE=，∴B E'= =3，∴BH+EH的最小值为3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，轴对称中的最短路径问题、勾股定理等，熟练掌握相关的性质与判定定理、利用轴对称添加辅助线确定最短路径问题是解题的关键.31．【山东省淄博市2018年中考数学试题】（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是__________；位置关系是__________．（2）类比思考：如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．（3）深入研究：如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．【答案】（1）MG=NG； MG⊥NG；（2）成立，MG=NG，MG⊥NG；（3）答案见解析详解：（1）连接BE，CD相交于H，如图1，∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°∴∠CAD=∠BAE，∴△ACD≌△AEB（SAS），∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°，（2）连接CD，BE，相交于H，如图2，同（1）的方法得，MG=NG，MG⊥NG；（3）连接EB，DC并延长相交于点H，如图3.同（1）的方法得，MG=NG，同（1）的方法得，△ABE≌△ADC，∴∠AEB=∠ACD，∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE=∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°=90°，∴∠DHE=90°，同（1）的方法得，MG⊥NG．∴△GMN是等腰直角三角形.点睛：此题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的中位线定理，正确作出辅助线用类比的思想解决问题是解本题的关键．32．【黑龙江省哈尔滨市2018年中考数学试题】已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点C，∠BGE=∠ADE．（1）如图1，求证：AD=CD；（2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍．【答案】（1）证明见解析；（2）△ACD、△ABE、△BCE、△BHG．【解析】分析：（1）由AC⊥BD、BF⊥CD知∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，根据∠BGE=∠ADE=∠CGF得出∠DAE=∠GCF 即可得；（2）设DE=a，先得出AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a，据此知S△ADC=2a2=2S△ADE，证△ADE≌△BGE得BE=AE=2a，再分别求出S△ABE、S△ACE、S△BHG，从而得出答案．（2）设DE=a，则AE=2DE=2a，EG=DE=a，∴S△ADE=AE×DE=×2a×a=a2，∵BH是△ABE的中线，∴AH=HE=a，∵AD=CD、AC⊥BD，∴CE=AE=2a，则S△ADC=AC•DE=•（2a+2a）•a=2a2=2S△ADE；点睛：本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质．。

2020年中考数学二轮复习专题 阅读理解题1．阅读理解类试题具有如下一些特点：（1）既能考查同学们的文字阅读能力，又可考查大家获取数学信息的能力和抽象概括的能力；（2）一般由“阅读”和“问题”两部分构成，必须先通过自学，理解其内容，把握其本质，才可能会解答试题中提出的“问题”.2．解答步骤：“阅读一分析一理解一创新应用”.3．解题策略：理清阅读材料的脉络，归纳总结知识要点，构建相应的数学模型来完成解答. 考点一、定义运算型【例1】（2019·广东中考模拟）对于实数a ，b ，定义运算“※”如下：a ※b =a 2﹣ab ，例如，5※3=52﹣5×3=10．若（x +1）※（x ﹣2）=6，则x 的值为_____．【答案】1【解析】由题意得，（x +1）2﹣（x +1）（x ﹣2）=6，整理得，3x +3=6，解得，x =1，故答案为1．考点二、 新公式应用型【例2】（2019·湖南中考真题）从1-，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作,k k a b ）构成一个数组{},K k k M a b =（其中1,2,,k S =L ，且将{},k k a b 与{},k k b a 视为同一个数组），若满足：对于任意的{},i i i M a b =和{},(,1,1)j i j M a b i j i S j S =≠≤≤≤≤都有i i j j a b a b +≠+，则S 的最大值（ ） A ．10B ．6C ．5D ．4 【答案】C【解析】∵110,121-+=-+=，143,123-+=+=，145,246+=+=，∴i i a b +共有5个不同的值．又∵对于任意的{},i i i M a b =和{},(,1,1)j i j M a b i j i S j S =≠≤≤≤≤都有i i j j a b a b +≠+， ∴S 的最大值为5．故选：C ．考点三、新概念应用型【例3】（2019·四川中考真题）箭头四角形,模型规律:如图1，延长CO 交AB 于点D ，则1BOC B A C B ∠∠+∠∠+∠+∠＝＝．．因为凹四边形ABOC 形似箭头，其四角具有“BOC A B C ∠∠+∠+∠＝”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用:（1）直接应用：①如图2，A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠= ．②如图3，ABE ACE ∠∠、的2等分线（即角平分线）BF CF 、交于点F ，已知12050BEC BAC ∠=∠=o o ，，则BFC ∠=③如图4，i i BO CO 、分别为ABO ACO ∠∠、的2019等分线12320172018i =⋯（，，，，，）．它们的交点从上到下依次为1232018O O O O ⋯、、、、．已知BOC m BAC n ∠=∠=o o ，，则1000BO C ∠= 度 （2）拓展应用：如图5，在四边形ABC D 中，2BC CD BCD BAD =∠=∠，．O 是四边形ABCD 内一点，且OA OB OD ==．求证：四边形OBCD 是菱形．【答案】（1）①2α，②85o ，③1000101920192019m n ⎛⎫+⎪⎝⎭o o ；（2）见解析. 【解析】（1）①如图2，在凹四边形ABO C 中，A B C BOC α∠+∠+∠∠＝＝，在凹四边形DOEF 中，D E F DOE α∠+∠+∠∠＝＝，2A B C D E F α∴∠+∠+∠+∠+∠+∠＝；②如图3，BEC EBF ECF F F ABF ACF A ∠∠+∠+∠∠∠+∠+∠Q ＝，＝，且EBF ABF ECF ACF ∠∠∠∠＝，＝， BEC F A F ∴∠∠-∠+∠＝， BEC A 2F ∠+∠∴∠=， 120,50BEC BAC ︒︒∠=∠=Q ， 85F ∴∠o ＝；③如图4，由题意知100010001000101920192019ABO ABO OBO ABO ∠∠∠=∠＝，, 100010001000101920192019ACO ACO OCO ACO ∠∠∠∠＝，＝， 100010001000100010002019BOC OBO OCO BO C ABO ACO BO C ∴∠∠+∠+∠∠+∠+∠＝＝（）， 10001000100010002019BO C ABO ACO BAC ABO ACO BAC ∠∠+∠+∠∠+∠+∠＝＝（）， 则100020191000ABO ACO BO C BAC ∠+∠=∠∠（﹣）， 代入100010192019BOC ABO ACO BO C ∠∠+∠+∠＝（）得100010001019201920191000BOC BO C BAC BO C ∠⨯∠∠+∠＝（﹣） 解得：100010001019201910192019201910002019BO C BOC BAC BOC BAC ∠∠+∠=∠+∠＝（） BOC m BAC n ∠∠o o Q ＝，＝，10001000101920192019BO C m n ∴∠+o o ＝；故答案为：①2α；②85o ；③（1000101920192019m n +o o ）； （2）如图5，连接OC ，OA OB OD Q ＝＝，OAB OBA OAD ODA ∴∠∠∠∠＝，＝，2BOD BAD ABO ADO BAD ∴∠∠+∠+∠∠＝＝，2BCD BAD ∠∠Q ＝，BCD BOD ∴∠∠＝，BC CD OA OB OD Q ＝，＝＝，OC 是公共边， OBC ODC SSS ∴∆∆≌（）， BOC DOC BCO DCO ∴∠∠∠∠＝，＝，BOD BOC DOC BCD BCO DCO ∠∠+∠∠∠+∠Q ＝，＝，∴1122BOC BOD BCO BCD ∠∠∠∠＝，＝，又BOD BCD ∠∠＝，BOC BCO ∴∠∠＝，BO BC ∴＝，又OB OD BC CD ＝，＝，OB BC CD DO ∴＝＝＝，∴四边形OBCD 是菱形．1．（2019·广西中考真题）定义：形如a bi +的数称为复数（其中a 和b 为实数，i 为虚数单位，规定21i =-），a 称为复数的实部，b 称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．例如2222(13)1213(3)16916986i i i i i i i +=+⨯⨯+=++=+-=-+，因此，2(13)i +的实部是﹣8，虚部是6．已知复数2(3)mi -的虚部是12，则实部是（ ）A ．﹣6B ．6C ．5D ．﹣52．（2019·湖南中考模拟）规定：在平面直角坐标系中，如果点P 的坐标为(,)m n ，向量OP uuu r可以用点P 的坐标表示为：(,)OP m n u u u v =.已知：11(,)OA x y =u u u r ，22(,)OB x y =u u u r ，如果12120x x y y ⋅+⋅=，那么OA u u u r 与OBuuu r 互相垂直.下列四组向量，互相垂直的是（ ）A ．(3,2)OC =u u u r ，(2,3)OD =-u u u rB ．(21,1)OE =-u u u r ，(21,1)OF =+u u u rC ．0(3,2018)OG =u u u r ，1(,1)3OH =--u u u rD ．31(8,)2OM =-u u u u r ，2((2),4)ON =u u u r 3．（2019·湖北中考真题）对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为()x ，即当n 为非负整数时，若0.50.5n x n -≤<+，则()x n =．如()1.341=，()4.865=．若()0.516x -=，则实数x 的取值范围是__________．4．（2019·山东中考模拟）对于实数a ，b ，定义符号min{a ，b }，其意义为：当a ≥b 时，min{a ，b }=b ；当a <b 时，min{a ，b }=a ．例如：min={2，–1}=–1，若关于x 的函数y =min{2x –1，–x +3}，则该函数的最大值为（ ）A ．23B ．1C ．43D ．535．（2019·山东中考真题）对于任意实数a 、b ，定义关于“⊗”的一种运算如下：2a b a b ⊗=+.例如3423410⊗=+=×.（1）求2(5)⊗-的值；（2）若()2x y ⊗-=，且21y x ⊗=-，求x y +的值.6．．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做对垂四边形.观察发现：如图1，对垂四边形ABCD 四边存在数量为：2222AD BC AB CD +=+.发现应用：（1）如图2，若AE ，BD 是ABC ∆的中线，AE BD ⊥，垂足为O ，4AC =，6BC =，求AB =______.知识应用：（2）如图3，分别以Rt ABC ∆的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连接CE ，BG ，GE ，已知2AC =，3AB =，求GE 的长.拓展应用：（3）如图4，在ABCD Y 中，点E 、F 、G 分别是AD ，BC ，CD 的中点，BE EG ⊥，4=AD ，3AB =，求AF 的长.7．【例4】（2019·贵州中考真题）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J ．Nplcr ，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr ，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若x a N =（0a >且1x ≠），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，比如指数式4216=可以转化为对数式24log 16=，对数式52log 25=，可以转化为指数式2525=． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log ()log log a a a M N M N ⋅=+（0a >，1a ≠，0M >，0N >），理由如下：设log a M m =，log a N n =，则m M a =，n N a =，∴m n m n M N a a a +⋅=⋅=，由对数的定义得log ()a m n M N +=⋅又∵log log a a m n M N +=+∴log ()log log a a a M N M N ⋅=+根据阅读材料，解决以下问题：（1）将指数式4381=转化为对数式________；（2）求证：log log log a a a M M N N=-（0a >，1a ≠，0M >，0N >） （3）拓展运用：计算666log 9log 8log 2+-=________．1．【答案】C【解析】【分析】先利用完全平方公式得出（3-mi ）2=9-6mi +m 2i 2，再根据新定义得出复数（3-mi ）2的实部是9-m 2，虚部是-6m ，由（3-mi ）2的虚部是12得出m =-2，代入9-m 2计算即可．【详解】解：∵222222(3)323()9696mi mi mi mi m i m mi -=-⨯⨯+=-+=--∴复数2(3)mi -的实部是29m -，虚部是6m -，∴612m -=，∴2m =-，∴2299(2)945m -=--=-=．故选：C ．【点睛】本题考查了新定义，完全平方公式，理解新定义是解题的关键．2．【答案】A【解析】A.()32230,⨯-+⨯= OC u u u v 与OD u u u v 互相垂直.B.()()21211120,-++⨯=≠ OE uuu v , O F u u u v 不垂直. C.()0132018120,3⎛⎫⨯-+⨯-=-≠ ⎪⎝⎭ OG u u u v , O H u u u v不垂直. D.()23182420,2⎛⎫⨯+-⨯=≠ ⎪⎝⎭OM u u u u v , O N u u u v 不垂直. 故选A.3．【答案】1315x ≤<．【解析】依题意得：60.50.5160.5x -≤-<+解得1315x ≤<．故答案是：1315x ≤<．【点睛】本题考查的是一元一次不等式，正确掌握题意是解题的关键.4．【答案】D【解析】当2x ﹣1≥﹣x +3时，x ≥43，∴当x ≥43时，y =min{2x ﹣1，﹣x +3}=﹣x +3，当2x ﹣1＜﹣x +3时，x ＜43，∴当x ＜43时，y =min{2x ﹣1，﹣x +3}=2x ﹣1，综上所述，y =min{2x ﹣1，﹣x +3}的最大值是当x =43所对应的y 的值，如图所示，当x =43时，y =﹣43+3=53，故选D ．点睛：本题考查了新定义、一元一次不等式及一次函数的交点问题，认真阅读理解其意义，并利用数形结合的思想解决函数的最值问题．5．【答案】（1）1-；（2）13x y +=. 【解析】（1）()252251⊗-=⨯-=- （2）由题意得2241x y y x -=⎧⎨+=-⎩ 7949x y ⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=-⎪⎩∴13x y +=. 6．【答案】（1）2655；（2）3GE =；（3）11AF =. 【解析】（1）连接DE根据题意可知2222AD BC AB CD +=+∴2222DE AB AD BE +=+∵AE ，BD 是ABC ∆的中线 ∴12DE AB =∴22221232AB AB ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭∴5134AB = ∴2655AB =； （2）连接CG 和BE ，在Rt MPA ∆中，2AC =，3AB =，∴1BC =. ∵四边形ACFG 和四边形ABDE 都是正方形，∴AC AG =，AB AE =，90CAG BAE ∠=∠=︒， 在BAG ∆和EAC ∆中，AC AG =，AB AE =，BAG CAE ∠=∠， ∴()BAG EAC SAS ∆≅∆.∴CE GB =，ABG AEC ∠=∠，∴ABG AEC ∠=∠，∴BG CE ⊥，∴2222GE BC BE CG +=+， ∴2222162GE +=+，∴3GE =；（3）连接AC 和EF 相交于点M ，AF 与BE 相交于点N ，连接MN .∵点E 、F 、G 分别是AD ，BC ，CD 的中点，∴//EG AC ，BF =AE∵BE EG ⊥，∴AC BE ⊥，∵ABCD Y∴AD ∥BC∴四边形ABFE 为平行四边形，M ，N 为EF 和AF 的中点. ∴12MN AE =， ∵4=AD ，3AB =，∴32EM FM ==，2AE =，1MN =， ∴2222AE MN AN EM +=+，∴112AN =，∴211AF AN ==. 【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的性质与正方形的性质，综合性强，难度较大，读懂题意理解2222AD BC AB CD +=+这个规律并学会应用是解题的关键.7．【答案】（1）34log 81=；（2）详见解析；（3）2.【解析】（1）34log 81=（或3log 814=），故答案为：34log 81=；（2）证明：设log a M m =，log a N n =，则m M a =，n N a =， ∴mm n n M a a N a-==，由对数的定义得log a M m n N -=， 又∵log log a a m n M N -=-， ∴log log log a a a M M N N=-； （3）666log 9log 8log 2+-66log (982)log 362=⨯÷==．故答案为：2．。

2020中考数学题型训练：阅读理解题1．定义一种运算☆，其规则为a☆b＝1a＋1b，根据这个规则，计算2☆3的值是()A.56 B.15C．5 D．62．定义：f(a，b)＝(b，a)，g(m，n)＝(－m，－n)．例如：f(2,3)＝(3,2)，g(－1，－4)＝(1,4)，则g[f(－5,6)]＝()A．(－6,5) B．(－5，－6)C．(6，－5) D．(－5,6)3．对于非零的两个实数a，b，规定a⊕b＝1b－1a.若2⊕(2x－1)＝1，则x的值为()A.56 B.54 C.32D．－164．文文设计了一个关于实数运算的程序，按此程序，输入一个数后，输出的数比输入的数的平方小1.若输入7，则输出的结果为()A．5 B．6 C．7 D．85．定义：平面内的直线l1与l2相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线l1，l2的距离分别为a，b，则称有序非负实数对(a，b)是点M的“距离坐标”．根据上述定义，距离坐标为(2,3)的点的个数是()A．2个B．1个C．4个D．3个6．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)．已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b,2b ＋c,2c＋3d,4d.例如：明文1,2,3,4对应的密文是5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为()A．4,6,1,7 B．4,1,6,7C．6,4,1,7 D．1,6,4,77．新定义：[a，b]为一次函数y＝ax＋b(a≠0，a，b为实数)的“关联数”．若“关联数”[1，m－2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程1x－1＋1m＝1的解为________．8．小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的学生．一天，他在解方程时，有这样的想法：x2＝－1这个方程在实数范围内无解，如果存在一个数i2＝－1，那么方程x2＝－1可以变为x2＝i2，则x＝±i，从而x＝±i是方程x2＝－1的两个根．小明还发现i具有如下性质：i1＝i，i2＝－1，i3＝i2·i＝(－1)i＝－i，i4＝(i2)2＝(－1)2＝1，i5＝i4·i＝i，i6＝(i2)3＝(－1)2＝1，i7＝i6·i＝－i，i8＝(i4)2＝1，……请你观察上述等式，根据发现的规律填空：i 4n ＋1＝________，i 4n ＋2＝________，i 4n ＋3＝__________，i 4n ＝________(n 为自然数)．9．阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是＝ad －bc .例如：＝1×4－2×3＝－2，＝(－2)×5－4×3＝－22. (1)按照这个规定，请你计算的值； (2)按照这个规定，请你计算：当x 2－4x ＋4＝0时，的值．10．给出下列命题：命题1：直线y ＝x 与双曲线y ＝1x 有一个交点是(1,1)； 命题2：直线y ＝8x 与双曲线y ＝2x 有一个交点是；命题3：直线y ＝27x 与双曲线y ＝3x 有一个交点是；命题4：直线y ＝64x 与双曲线y ＝4x 有一个交点是；……(1)请你阅读、观察上面的命题，猜想出命题n (n 为正整数)； (2)请验证你猜想的命题n 是真命题．a cb d a cb d1 23 42 43 5-5 67 81 21 23x xx x +--1,42⎛⎫⎪⎝⎭1,93⎛⎫⎪⎝⎭1,164⎛⎫⎪⎝⎭11．先阅读理解下列例题，再按要求完成下列问题． 例题：解一元二次不等式6x 2－x －2>0. 解：把6x 2－x －2分解因式， 得6x 2－x －2＝(3x －2)·(2x ＋1)．又6x 2－x －2>0，∴(3x －2)(2x ＋1)>0.由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有： (1)或(2)解不等式组(1)，得x >23， 解不等式组(2)，得x <－12.∴(3x －2)(2x ＋1)>0的解集为x >23或x <－12.因此，一元二次不等式6x 2－x －2>0的解集为x >23或x <－12.(1)求分式不等式5x ＋12x －3<0的解集；(2)通过阅读例题和解答问题(1)，你学会了什么知识和方法？12．知识迁移当a ＞0，且x ＞0时，因为≥0，所以x －2 a ＋a x ≥0，从而x ＋a x ≥2 a (当x ＝a 时，取等号)．记函数y ＝x ＋ax ( a ＞0，x ＞0)．由上述结论，可知：当x ＝ a 时，该函数有最小值为2 a .直接应用已知函数y 1＝x (x ＞0)与函数y 2＝1x (x ＞0)，则当x ＝________时，y 1＋y 2取得最小值为________．变形应用已知函数y 1＝x ＋1(x ＞－1)与函数y 2＝(x ＋1)2＋4(x ＞－1)，求y 2y 1的最小值，并指出取得该最小值时相应的x 的值．实际应用已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，共360元；二是燃油费，每千米1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001.设汽车一次运输路程为x 千米，求当x 为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？320,210,x x ->⎧⎨+>⎩320,210,x x -<⎧⎨+<⎩2参考答案1．A2．A 解析：∵f (－5,6)＝(6，－5)，∴g [f (－5,6)]＝g (6，－5)＝(－6,5)，故选A. 3．A 4.B 5.C 6.C7．x ＝3 8.i －1 －i 19．解：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪5 67 8＝5×8－7×6＝－2. (2)由x 2－4x ＋4＝0，得x ＝2. ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1 2x x －1 2x －3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 41 1＝3×1－4×1＝－1. 10．解：(1)直线y ＝n 3x 与双曲线y ＝n x 有一个交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，n 2.(2)验证如下：将点⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，n 2代入y ＝n 3x ，右边＝n 3·1n＝n 2＝左边，∴左边＝右边．∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，n 3在直线y ＝n 3x 上．同理可证，点⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，n 2在直线y ＝n x 上，∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，n 2是两函数的交点．11．解：(1)由有理数的除法法则“两数相除，异号得负”，有： (1)⎩⎨⎧ 5x ＋1>0，2x －3<0， 或(2)⎩⎨⎧5x ＋1<0，2x －3>0.解不等式组(1)，得－15<x <32，解不等式组(2)，得不等式组(2)无解．因此，分式不等式5x ＋12x －3<0的解集为－15<x <32.(2)通过阅读例题和解答问题(1)，学会了解一元二次不等式、分式不等式的一种方法．12．解：直接应用：1 2.变形应用：y 2y 1＝(x ＋1)2＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1≥4，∴y 2y 1的最小值是4，此时x ＋1＝4x ＋1，(x ＋1)2＝4，x ＝1.实际应用：设该汽车平均每千米的运输成本为y ，则y ＝360＋1.6x ＋0.001x 2，故平均每千米的运输成本为y x ＝0.001x ＋360x ＋1.6＝0.001x ＋0.360.001x ＋1.6.由题意，可得当0.001x ＝0.36，即x ＝600时，y x 取得最小值．此时yx ≥20.36＋1.6＝2.8.答：当汽车一次运输路程为600千米时，其平均每千米的运输成本最低，最低是2.8元．。

中考数学阅读理解题试题练习题1. 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文．己知某种加密规则为：明文a 、b 对应的密文为a －2b 、2a ＋b ．例如，明文1、2对应的密文是－3、4．当接收方收到密文是1、7时，解密得到的明文是（ ）．A ．－1，1B ．1，3C ． 3，1D ．1，1 2. 将4个数a b c d ，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a bc d，定义a bc dad bc =-，上述记号就叫做2阶行列式．若1111x x x x +--+ 6=，则x =__________．3. 阅读下列材料，并解决后面的问题．材料：一般地，n 个相同的因数a 相乘：nn a a a a 记为个⋅．如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为()38log 8log 22=即．一般地，若()0,10>≠>=b a a b a n且，则n 叫做以a 为底b 的对数，记为()813.log log 4==如即n b b a a ，则4叫做以3为底81的对数，记为)481log (81log 33=即．问题：（1）计算以下各对数的值： ===64log 16log 4log 222 ．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？64log 16log 4log 222、、之间又满足怎样的关系式？（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？（2分）()0,0,10log log >>≠>=+N M a a N M a a 且（4）根据幂的运算法则：m n mna a a +=⋅以及对数的含义证明上述结论．4. 先阅读下列材料，然后解答问题： 从A B C ，，三张卡片中选两张，有三种不同选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素组合，记作2332C 321⨯==⨯． 一般地，从m 个元素中选取n 个元素组合，记作：(1)(1)C (1)321nm m m m n n n --+=-⨯⨯⨯例：从7个元素中选5个元素，共有5776543C 2154321⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯种不同的选法．问题：从某学习小组10人中选取3人参加活动，不同的选法共有 种．5. 式子“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100”表示从1开始的100个连续自然数的和.由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100”表示为∑=1001n n，这里“∑”是求和符号.例如：“1＋3＋5＋7＋9＋……＋99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为∑=-501)12(n n ；又如“13＋23＋33＋43＋53＋63＋73＋83＋93＋103”可表示为∑=1013n n.同学们，通过对以上材料的阅读，请解答下列问题：①2＋4＋6＋8＋10＋……＋100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为 ； ②计算：∑=-512)1(n n＝ （填写最后的计算结果）.6. 定义：如果一个数的平方等于-1，记为i 2=-1,这个数i 叫做虚数单位。

新定义型、阅读理解型问题一、选择题1．（2020·遵义）构建几何图形解决代数问题是“数形结合“思想的重要性，在计算tan15°时，如图，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以tan15°＝ACCD12tan22.5°的值为（ ） A ．＋1 B ．－ 1 C ．D ．12{答案}B{解析}本题考查阅读理解能力，要求能用类比的方法解决问题．如图，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝22.5°，所以tan 22.5°＝ACCD－1．故选B .2．（2020·河南）定义运算:m ☆n =21mn mn .例如: 4☆2=4×22-4×2-1=7.则1☆x =0方程的根的情况为( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.只有一个实数根 {答案}A{解析}由定义新运算可得210x x ，∴△=411-14-1-2+=⨯⨯）（）（=5＞0，所以方程有两个不相等的实数根，因此本题选A ．3．（2020·枣庄）对于实数a 、b ，定义一种新运算“⊗”为：21a b a b ⊗=-，这里等式右边是实数运算．例如：21113138⊗==--．则方程()2214⊗-=--x x 的解是（ ） A ．x ＝4 B ．x ＝5 C ．x ＝6 D ．x ＝7{答案}B{解析}根据新定义运算，把方程转化为分式方程．因为211(2)(2)4x x x ⊗-==---，所以原方程可转化为12144x x =---，解得x ＝5．经检验，x ＝5是原方程的解． 4.（2020·淮安）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为"幸福数"．下列数中为"幸福数"的是（ ）A.205B.250C.502D.520{答案} DD{解析}设较小的奇数为x ，较大的为x +2，根据题意列出方程，求出解判断即可． 设较小的奇数为x ，较大的为x +2，根据题意得：（x +2）2﹣x 2＝（x +2﹣x ）（x +2+x ）＝4x +4， 若4x +4＝205，即x =2014，不为整数，不符合题意； 若4x +4＝250，即x =2464，不为整数，不符合题意； 若4x +4＝502，即x =4984，不为整数，不符合题意； 若4x +4＝520，即x ＝129，符合题意． 故选：D ．5．（2020·随州）将关于x 的一元二次方程0=q +px -x 2变形为q -px x 2=，就可以将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如=-=⋅=)(23q px x x x x …，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”，已知：0=1-x -x 2，且x ＞0，则3x +2x -x 34的值为（ ）A.51-B.53-C.51+D.53+ {答案}C{解析}本题考查了降次法、整体代入法、整式的化简求值，一元二次方程的解法.解答过程如下： ∵0=1-x -x 2，∴1x x 2+=，∴3x +2x -x 34=3x +1)2x (x -)1(x 2++=3x +2x -2x -12x x 22++=3x +x -12=3x +1)(x -1+ =3x +1-x -1=2x ，∵0=1-x -x 2，且x ＞0，∴x=251+， ∴原式=2×251+=51+.因此本题选C ． 6.(2020·潍坊)若定义一种新运算：(2)6(2)a b a b a b ab ab 例如：31312⊗=-=；545463⊗=+-=．则函数(2)(1)y x x =+⊗-的图象大致是（ ）A. B. C. D.{答案}A{解析}本题考查了一次函数的图象，在新定义下，求出函数关系式是解题的关键.根据(2)6(2)a b a b abab ab ，可得当22(1)x x 时，4x ≤，分两种情况当4x ≤时和当4x >时， (2)(1)(2)(1)213x x x x x x ,即：3y =; 当4x >时，(2)(1)(2)(1)621625x x xx xx x ，即：25y x =-，∴20k =>，∴当4x >时，25y x =-，函数图像y 随x 的增大而增大，A 选项符合题意，故选：A ．7．（2020·恩施）在实数范围内定义运算“☆”：1a b a b =+-☆，例如：232314=+-=☆．如果21x =☆，则x 的值是（ ）．A. 1-B. 1C. 0D. 2{答案}C{解析}根据题目中给出的新定义运算规则进行运算：2211☆=+-=+x x x ，又21x =☆，∴11x +=，∴0x =．故选：C ．二、填空题8．（2020·衢州）定义(1)a b a b =+※，例如232(31)248=⨯+=⨯=※，则(1)x x -※的结果为 ．{答案}21x -{解析}解析：根据题中的新定义得：(1)x x -※＝(1)(1+1)x x -⋅-＝21x -．9．（2020·枣庄）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S 可用公式S ＝a ＋21b －1（a 是多边形内的格点数，b 是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick ）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积S ＝________．{答案}6{解析}直接利用所给的公式计算即可．由图可知，五边形内部格点有4个，故a ＝4；五边形边上格点有6个，故b ＝6．∴S ＝a ＋21b －1＝4＋21×6－1＝6． 10．（2020·乐山）我们用符号[x ]表示不大于x 的最大整数．例如：[1.5]＝1，[－1.5]＝－2，那么： （1）当－1＜[x ]≤2时，x 的取值范围是________；（2）当－1≤x ＜2时，函数y ＝x 2－2a [x ]＋3的图象始终在函数y ＝[x ]＋3的图象下方，则实数a 的范围是________．{答案}（1）0≤x ≤3；（2）a ＜－1或a ≥32．{解析}（1）根据符号[x ]表示不大于x 的最大整数，得到－1＜[x ]≤2时[x ]＝0，1，2；当[x ]＝0时，0≤x ＜1；当[x ]＝1时，1≤x ＜2；当[x ]＝2时，2≤x ＜3；从而x 的取值范围是0≤x ＜3；（2）本题可根据题意构造新函数，采取自变量分类讨论的方式判别新函数的正负，继而根据函数性质反求参数．令y 1＝x 2－2a [x ]＋3，y 2＝[x ]＋3，y 3＝y 2－y 1，由题意可知：y 3＝－x 2＋(2a ＋1)[x ]＞0时，函数y ＝x 2－2a [x ]＋3的图象始终在函数y ＝[x ]＋3的图象下方．①当－1≤x ＜0时，[x ]＝－1，y 3＝－x 2－(2a ＋1)，此时y 3随x 的增大而增大，故当x ＝－1时，y 3有最小值－2a －2＞0，得a ＜－1；②当0≤x ＜1时，[x ]＝0，y 3＝－x 2，此时y 3≤0；③1≤x ＜2时，[x ]＝1，y 3＝－x 2+(2a ＋1)，此时y 3随x 的增大而减小，故当x ＝2时，y 3有最小值2a －3≥0，得a ≥32；综上所述，a ＜－1或a ≥32．11．(2020·青海)对于任意两个不相等的数a ，b ，定义一种新运算“⊕”如下：a ⊕b ，如：3⊕212⊕4＝______．{答案{解析}依题意可知12⊕4．12．（2020·宜宾）定义：分数n m （m ，n 为正整数且互为质数）的连分数123111a a a +++（其中a 1，a 2，a 3，…，为整数，且等式右边的每个分数的分子都为1），记作nm△11a +21a +31a +…， 例如：719＝1197＝1527+＝11275+＝112215++＝1121152++＝11211122+++，719的连分数为11211122+++，记作719△12+11+12+12，则 △11+12+13． {答案}710{解析}根据连分数的定义列式计算即可解答．11+12+13△111123++＝11173+＝1317+＝1107＝710．三、解答题13.(2020·宁波)(本题14分)定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.（1）如图1，∠E 是△ABC 中∠A 的遥望角，若∠A ＝a ，请用含a 的代数式表示∠E .（2）如图2，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD ＝BD ，四边形ABCD 的外角平分线DF 交⊙O 于点F ，连结BF 并延长交CD 的延长线于点E .求证：∠BEC 是△ABC 中∠BAC 的遥望角. （3）如图3，在（2）的条件下，连结AE ，AF ，若AC 是⊙O 的直径. ①求∠AED 的度数；②若AB ＝8，CD ＝5，求△DEF 的面积.{解析}（1）根据外角的性质及角平分线的概念求解；（2）根据圆内按四边形的性质，同弧或等弧所对圆周角的性质分别证明BE、CE为△ABC的内角及外角平分线即可；（3）①连结CF，根据遥望角的性质及同弧所对圆周角的性质证明∠BEC＝∠FAD，再由△FDE≌△FDA证明AD＝DE，最后由等腰直角三角形的性质求得∠AED的度数；②作AG⊥BE于点G，FM⊥CE于点M，根据相似三角形的判定证明△EGA∽△ADC，由相似三角形的性质及勾股定理求得△ACD边长，进而求得△DEF的面积．{答案}24.解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD．∴∠E＝∠ECD－∠EBD＝12(∠ACD－∠ABC)＝12∠A＝12a（2）如图，延长BC到点T.∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC＋∠FBC＝180°，又∵∠FDE＋∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线，∵AD＝BD，∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD＋∠BCD＝180°，∠DCT＋∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角.（3）①如图，连结CF.∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，∴∠BAC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BAC，∴∠BFC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BEC＋∠FCE，∴∠BEC＝∠FCE，∵∠FCE＝∠FAD，∴∠BEC＝∠FAD，又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，∴△FDE≌△FDA(AAS)，∴DE＝AD，∵∠AED＝∠DAE，∵AC是⊙O的直径∴∠ADC＝90°，∴∠AED＋∠DAE＝90°，∴∠AED＝∠DAE＝45°.②如图，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M.∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠FAC＝∠EBC＝12∠ABC＝45°，∵∠AED＝45°，∴∠AED＝∠FAC，∵∠FED＝∠FAD，∴∠AED－∠FED＝∠FAC－∠FAD，∴∠AEG＝∠CAD，∴∠EGA＝∠ADC＝90°，∴△EGA∽△ADC，∴AE：AC＝AG:CD∵在Rt△ABG中，AG＝2AB＝42，在Rt△ADE中，AE＝2AD，∴AD:AC＝45，在Rt△ADC中，AD2＋DC2＝AC2，∴设AD＝4x，AC＝5x，则有(4x)2＋52＝(5x)2，∴x＝53，∴ED＝AD＝203，∴CE＝CD＋DE＝353，∵∠BEC＝∠FCE，∴FC＝FE，∵FM⊥CE，∴EM＝12CE＝356，∴DM＝DE－EM＝56，∵∠FDM＝45° ,∴FM＝DM＝56，∴S△DEF＝12DE·FM＝259.14．（2020·黔西南州）规定:在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如:正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题:（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________；A．矩形 B．正五边形C．菱形 D．正六边形（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有:________（填序号）；（3）下列三个命题:①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形，其中真命题的个数有（）个；A．0 B．1 C．2 D．3（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整．{解析}本题考查了新定义“旋转对称图形”．（1）根据旋转对称图形的定义进行判断；（2）先分别求每一个图形中的旋转角，然后再进行判断；（3）根据旋转对称图形的定义进行判断；（4）利用旋转对称图形的定义进行设计．{答案}解:（1）B（2）（1）（3）（5）（3）C（4）如答图:15．（2020·重庆B卷）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”．定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．例如：426是“好数”，因为4,2,6都不为0，且4+2=6，6能被6整除;643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除．（1）判断312，675是否是“好数”?并说明理由；（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．{解析}本题是一道新定义问题，正确理解“好数”是解题的关键．（1）根据“好数”的定义进行判断即可；（2）设n=100a+10b+c,根据“好数”的定义可知6≤a≤9,1≤b≤4,1≤c≤9.由题意，得a=b+5①，a+b=mc②，将①代入，得2b+5=mc.所以2b+5，m,c都为奇数，进而分类讨论求解即可.{答案}解：（1）312是“好数”，675不是“好数”.理由如下：312是“好数”，因为3,1,2都不为0，且3+1=4,4能被2整除；675不是“好数”，因为6+7=13,13不能被5整除.（2）设n=100a+10b+c（a,b，c为整数且6≤a≤9,1≤b≤4,1≤c≤9）.由题意，得a+b=mc（m为正整数），a=b+5，∴2b+5=mc.又∵2b+5为奇数，∴m,c同时为奇数.当b=1时，a=6,mc=7，则m=7,c=1或m=1,c=7,此时“好数”有2个：611,617；当b=2时，a=7,mc=9，则m=9,c=1或m=1,c=9或m=3,c=3，此时“好数”,3个：721,729,723；当b=3时，a=8,mc=11，则m=11,c=1,此时“好数”有1个：831；当b=4时，a=9,mc=13，则m=13,c=1,此时“好数”有1个：941；所以共有“好数”2+3+1+1=7（个）.综上所述，百位数字比十位数字大5的所有“好数”共有7个.16．（2020·北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A´B´（A´，B´分别为点A，B的对应点），线段AA´长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB 到⊙O 的长度为1的弦12P P 和34PP ，则这两条弦的位置关系是 ；在点1234,,,P P P P 中，连接点A 与点 的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”；（2）若点A ，B都在直线y +上，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为1d ，求1d 的最小值； （3）若点A 的坐标为32,2⎛⎫⎪⎝⎭，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为2d ，直接写出2d 的取值范围．{解析}（1）根据圆的性质及“平移距离”的定义填空即可；（2）过点O 作OE ⊥AB 于点E ，交弦CD 于点F ，分别求出OE 、OF 的长，由1d OE OF =-得到1d 的最小值；（3）线段AB 的位置变换，可以看作是以点A 32,2⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O 上都存在两条对应线段A ´B ´和A ´´B ´´ ,满足它们平行且相等，由平移距离可知，AA ´的长度的最小值即为平移距离，因此当且仅当AA ´＝AA´´时，平移距离最大（否则谁小取谁）{答案}解： （1）平行；P 3；（2）如图，线段AB在直线y =+上，平移之后与圆相交，得到的弦为CD ，CD ∥AB ，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，交弦CD 于点F ，OF ⊥CD ，令0y =，直线与x 轴交点为（-2，0），直线与x 轴夹角为60°，∴2sin 60OE ︒==．由垂径定理得：OF ==，∴1d OE OF =-=；（3）线段AB 的位置变换，可以看作是以点A 32,2⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O 内找到与之平行，且长度为1的弦即可；点A 到O的距离为52AO ==． 如图，平移距离2d 的最小值即点A 到⊙O 的最小值：53122-=；如图，由平移距离可知，AA ´的长度的最小值即为平移距离，因此当且仅当AA ´＝AA´´时，平移距离最大，如图所示：由题意可知：△AA ´O ≌△AA ´´O ，可得∠AOA ´´＝120°，在Rt △A ´OC 中，A ´C，所以AA ´．∴232d ≤≤．17．（2020·常州）(10分)如图1，⊙I 与直线a 相离，过圆心I 作直线a 的垂线，垂足为H ，且交⊙I 于P 、Q 两点(Q 在P 、H 之间)．我们把点P 称为⊙I 关于直线a 的“远点”，把PQ ·PH 的值称为⊙I 关于直线a 的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点E 的坐标为(0，4)，半径为1的⊙O 与两坐标轴交于点A 、B 、C 、D ．①过点E 画垂直于y 轴的直线m ，则⊙O 关于直线m 的“远点”是点________(填“A ”“B ”“C ”或“D ”)，⊙O 关于直线m 的“特征数”为________；②若直线n 的函数表达式为y ＝3x ＋4，求⊙O 关于直线n 的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy ，直线l 经过点M (1，4)，点F 是坐标平面内一点，以F 为圆心，2为半径作⊙F ．若⊙F 与直线l 相离，点N (－1，0)是⊙F 关于直线l 的“远点”，且⊙F 关于直线l 的“特征数”是45，求直线l 的函数表达式．{答案}解：（1）根据定义得⊙O关于直线m的远点是D；（2）如图1，圆O关于直线m的特征数为DB×DE ＝[1－(－1)]·[4－（－1）]＝2×5＝10．②如图2，过O点作OA1⊥直线n于A1，延长A1O交圆O于点B1，设4y=+与y轴交于点C1，∴OC1＝4∵k∴直线4y=+与x轴的所夹锐角为60°．∴∠A1C1O＝90°－60°＝30°在Rt△A1C1O中，A1O＝12C1O＝2∵OB1＝1，∴⊙O关于直线n的特征数＝2B1O×A1B1＝2(2＋1)＝6 (2)如图3，设过M的直线l解析式为y＝k1x＋b1∴4＝k1＋b1，即k1＝4－b1，∴l的解析式为y＝(4－b1)x＋b1设⊙F与NF所在直线交D1，NF的延长线交y＝k1x＋b1于E1∵⊙F，∴NF＝FD1∵⊙F关于直线l的“特征数”是∴ND1·NE1＝1NE=即1NE由点N到直线l的距离公式得1NE==∴b1＝7或113经检验，b1＝7或113都是原方程的解，且符合题意．当b1＝7时，k1＝－3，此时直线l的函数表达式为y＝－3x＋7．当b1＝113时，k1＝13此时直线l的函数表达式为11137y x=+．综上所述，此时直线l的函数表达式为y＝－3x＋7或11137y x=+．图1 图2图3{解析}本题是新定义问题，直接应用定义就可以求出原点和特征数；（2）过点过O点作OA1⊥直线n于A1，延长A1O交圆O于点B1，然后求出B1O和A1B1的值后即可求出特征值；（3）如图3，先根据特征数和半径的值，求出点N到直线的距离，直线l要经过点M，又要到N l的解析式．18．（2020·山西）阅读与思考下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．任务:(1)填空:“办法一”依据的一个数学定理是;（2）根据“办法二”的操作过程，证明∠RCS＝90°;（3）①尺规作图:请在图③的木板上，过点C作出AB的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）;②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）．{解析}本题考查作图在实际中的应用.（1）由作图方法可知“办法一”依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理；（2）由“办法二”可知: QR＝QC，QS＝QC，根据等边对等角得∠QCR＝∠QRC，∠QCS＝∠QSC，根据三角形内角和定理可得结论．（3）①图略；②答案不唯一．第20题图③A BCx年x月x日星期日没有直角尺也能作出直角今天，我在书店一本书上看到下面材料:木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB，现根据木板的情况，要过AB上的一点C，作出AB的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢?办法一:如图①，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD＝30cm，然后分别以D，C为圆心，以50cm与40cm为半径画圆弧，两弧相交于点E，作直线CE，则∠DCE必为90°．办法二:如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M，N两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M与点C重合，用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q，保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在AB上，在木板上将点M对应的位置标记为点R．然后将RQ延长，在延长线上截取线段QS＝MN，得到点S，作直线SC，则∠RCS＝90°．我有如下思考:以上两种办法依据的是什么数学原理呢?我还有什么办法不用直角尺也{答案}解:（1）勾股定理的逆定理(或如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形) .（2）解:证明:由作图方法可知: QR ＝QC ，QS ＝QC ， ∴∠QCR ＝∠QRC ，∠QCS ＝∠QSC . 又∵∠SRC ＋∠RCS ＋∠RSC ＝180°，∴∠QCR ＋∠QCS ＋∠QRC ＋ ∠QSC ＝ 180°．. ∴2 （∠QCR ＋∠QCS ）＝ 180°．∴∠QCR ＋∠QCS ＝90°． 即∠RCS ＝ 90°．. （3）①如图，直线CP 即为所求，作图正确．.②答案不唯一，如:三边分别相等的两个三角形全等（或SSS ）;等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合（或等腰三角形三线合"）;到条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上等．……（8分）19．（2020·湖北荆州）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x 的值. 【问题】解方程：2224250x x xx【提示】可以用“换元法”解方程. t （t ≥0），则有222xx t ，原方程可化为：2450t t【续解】229t{解析}在解无理方程时最常用的方法是换元法，一般方法是通过观察确定用来换元的式子．本题用来换元t ，其两边分别平方后有222xx t ，这样原方程可变形为关于t 的一元二次方程，即可求得t 的值，再根据所设条件对t 的值进行讨论后作出取舍，即可求出x 的值． {答案}解：【续解】229t第20题图④∴23t ，即11t ，25t∵220t x x，∴221t x x ，则有221x x ，配方，得：212x解得：112x ，212x经检验：112x ，212x 是原方程的根.20．（2020·怀化）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形． （1）下面四边形是垂等四边形的是 ；（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，过点D 作BD 垂线交BC 的延长线于点E ，且∠DBC ＝45°，证明：四边形ABCD 是垂等四边形．（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD 内接于⊙O 中，∠BCD ＝60°．求⊙O 的半径．{答案}解：（1）①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四边形； ②矩形对角线相等但不垂直，故不是垂等四边形； ③菱形的对角线互相垂直但不相等，故不是垂等四边形； ④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形； 故选：④；（2）∵AC ⊥BD ，ED ⊥BD ， ∴AC ∥DE ， 又∵AD ∥BC ，∴四边形ADEC 是平行四边形， ∴AC ＝DE ， 又∵∠DBC ＝45°，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BD＝DE，∴BD＝AC，又∵BD⊥AC，∴四边形ABCD是垂等四边形；（3）如图，过点O作OE⊥BD，∵四边形ABCD是垂等四边形，∴AC＝BD，又∵垂等四边形的面积是24，∴12AC•BD＝24，解得，AC＝BD＝4√3，又∵∠BCD＝60°，∴∠DOE＝60°，设半径为r，根据垂径定理可得：在△ODE中，OD＝r，DE=2√3，∴r=DEsin60°=2√3√32=4，∴⊙O的半径为4．{解析}本题是一道圆的综合题，主要考查了平行四边形的性质、菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、新定义、圆周角定理、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用新定义解答问题．（1）根据垂等四边形的性质对每个图形判断即可；（2）根据已知条件可证明四边形ACED是平行四边形，即可得到AC＝DE，再根据等腰直角三角形的性质即可得到结果；（3）过点O作OE⊥BD，根据面积公式可求得BD的长，根据垂径定理和锐角三角函数即可得到⊙O的半径．21. （2020·张家界）阅读下面材料：对于实数,a b ，我们定义符号min{,}a b 的意义为：当a b <时，min{,}a b a =；当a b 时，min{,}a b b =，如：min{4,2}2,min{5,5}5-=-=．根据上面的材料回答下列问题： （1）min{1,3}-=______； （2）当2322min ,233x x x -++⎧⎫=⎨⎬⎩⎭时，求x 的取值范围． （1）﹣1 ；（2）x≥134{解析}本题考查的是一元一次不等式的应用，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键． （1）比较大小，即可得出答案； （2）根据题意判断出2x 3x+223－≥解不等式即可判断x 的取值范围． {答案}解：（1）由题意得min{1,3}-=﹣1 故答案为：﹣1； （2）由题意得：2x 3x+223－≥ 3（2x －3）≥2（x+2） 6x －9≥2x+4 4x≥13 X≥134∴x 的取值范围为x≥134． 22．（2020·长沙）我们不妨约定：若某函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H 函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H 点”，根据该约定，完成下列各题（1）在下列关于x 的函数中，是“H 函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”,不是“H 函数”的打“×” ①x y 2＝（ ） ②()0≠m xmy ＝（ ） ③13－＝x y （ ） （2）若点A （1，m ）与点B （n ，－4）关于x 的“H 函数”()02≠a c bx ax y ＋＋＝的一对“H 点”，且该函数的对称轴始终位于直线x ＝2的右侧，求a ,b ,c 的值或取值范围；（3）若关于x 的“H 函数”c bx ax y 322＋＋＝（a ,b ,c 是常数）同时满足下列两个条件：①0＝＋＋c b a ,②()()0322＜＋＋－＋a b c a b c ,求该“H 函数”截x 轴得到的线段长度的取值范围．的{解析}本题考查了审题能力，二次函数的性质、图形和系数的关系等．（1）正比函数是原点对称图形，所以①是“H 函数”，反比例函数一定是原点对称图形，所以②是“H 函数”，而最后③的图形是直线，但是不原点对称，所以③不是“H 函数”；（2）先求出A (1，4)，B (－1，－4)，根据二次函数的性质就能知道图像的开口向下，把A (1，4)，B (－1，－4)，代入关系式，加上对称轴公式，就能得到4＝a ＋b ＋c ,－4＝a －b ＋c , ab2－＞2，用代入消元法解出结果即可；（3）与（2）的方法近似，根据题意先设一对“H 点”（m ，n ）和（－m ，－n ）代入，再加上题里给的关系式0＝＋＋c b a ,()()0322＜＋＋－＋a b c a b c ，这样随不能求出具体数，但是能够得到系数之间的数量关系，这样这问求的()21221241x x x x x x －＋＝－，就能进行化简求值a c a b x x 342221⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛－＝－，最后要找到最大与最小值即可． {答案}答案 （1）√，√，×（2）解:由題意得A , B 两点关于原点对称 ∴A (1，4)，B (－1，－4)又∵函数的对称轴始终位于直线x ＝2的右侧， ∴A ，B 两点都在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大， ∴a ＜0将A ，B 两点代入原方程可得： 4＝a ＋b ＋c , －4＝a －b ＋c 解得 b ＝4,a ＝－c 又∵ab2－＞2 ∴－1＜a ＜0 ∵a ＝－c∴－1＜－c ＜0,解得 0＜c ＜1 又∵a ≠0，∴c ≠0綜上所述: b ＝4,－1＜a ＜0，0＜c ＜1（3）当y ＝0时，y ＝ax 2＋2bx ＋3c 可化为ax 2＋2bx ＋3c ＝0， ()21221241x x x x x x －＋＝－当在x 轴有两个交点时，（2b ）2－4×a ×3c ≥0，x 1＋x 2＝ab 2－，x 1·x 2＝a c 3∴a ca b x x 342221⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛－＝－，∵0＝＋＋c b a ,∴3234221＋＋＝－⎪⎭⎫ ⎝⎛a b x x又∵()()0322＜＋＋－＋a b c a b c ,解得－3＜ab＜1 ∵这是关于x 的“H 函数”，∴设（m ，n ）和（－m ，－n ）代入y ＝ax 2＋2bx ＋3c 中 可得n ＝am 2＋2bm ＋3c ，－n ＝am 2－2bm ＋3c ，两式相加得2am 2＋6c ＝0， ∵m 2＞0，∴ac26－＞0，又∵0＝＋＋c b a ,∴a b ＞－1，∴－1＜a b ＜1，∵3234221＋＋＝－⎪⎭⎫ ⎝⎛a b x x ∴2＜21x x －＜7223. (2020·湘潭)阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边△ABC 的重心为点O ，求△OBC 与△ABC 的面积． （2）性质探究：如图（二），已知△ABC 的重心为点O ，请判断OD OA 、OBC ABCSS是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值：如果不是，请说明理由．（3）性质应用：如图（三），在正方形ABCD 中，点E 是CD 的中点，连接BE 交对角线AC 于点M ．①若正方形ABCD 的边长为4，求EM 的长度； ②若1CMES=，求正方形ABCD 的面积．{解析}（1）连接DE ，利用相似三角形证明12OD AO =，运用勾股定理求出AD 的长，运用三角形面积公式求解即可；（2）根据（1）的证明可求解； （3）①证明△CME ∽△ABM 得12EM BM =，再运用勾股定理求出BE 的长即可解决问题； ②分别求出S △BMC 和S △ABM 即可. {答案}（1）连接DE ，如图，∵点O 是△ABC 的重心，AD ∴，BE 是BC ，A C 边上的中线，D E ∴，为BC ，AC 边上的中点，DE ∴为△ABC 的中位线，//DE AB ∴，12DE AB =，∴~ODE OAB ，12ODDEOA AB ∴==，2AB ∴=，1BD =AD ∴=，3OD =，1122233OBC S BC OD ∴=⨯⨯=⨯⨯=11222ABC S BC AD =⋅⋅=⨯=；（2）由（1）可知，12ODOA =是定值；112132OBC ABC BC ODS ODS AD BC AD ⋅===⋅是定值；（3）①∵四边形ABCD 是正方形，//CD AB ∴，4AB BC CD ÷==，∴CME AMBEMCEBM AB ∴=∵E 为CD 的中点，122CE CD ∴==BE ∴==12EM BM ∴= 13EM BE ∴=，即EM = ②∴1CME S =，且12ME BM = ∴2BMC S =， ∵12ME BM =， ∴214CME AMB S ME SBM ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴4S4AMB CME S ==， 246ABC BMC ABM S S S ∴=+=+=， 又ADC ABC S S =△△∴6ADC S =．∴正方形ABCD 的面积为：6+6=12．24．（2020·内江）我们知道，任意一个正整数x 都可以进行这样的分解：x m n =⨯（m ，n 是正整数，且m n ≤），在x 的所有这种分解中，如果m ，n 两因数之差的绝对值最小，我们就称m n ⨯是x 的最佳分解．并规定：()m f x n=． 例如：18可以分解成118⨯，29⨯或36⨯，因为1819263->->-，所以36⨯是18的最佳分解，所以()311862f ==． （1）填空：()6________f =；()9_________f =；（2）一个两位正整数t （10t a b =+，19a b ≤≤≤，a ，b 为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求()f t 的最大值； （3）填空：①()22357_____________f ⨯⨯⨯=；②()32357_____________f ⨯⨯⨯=；③()42357_____________f ⨯⨯⨯=；④()52357_____________f ⨯⨯⨯=．{答案}解：（1）6＝1×6＝2×3，∵6−1＞3−2，∴()6f ＝23；9=1×9=3×3，∵9−1＞3−3，∴()9f =1，故答案为：23；1； （2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：10b ＋a−10a−b ＝9（b−a ）＝54，∴b−a ＝6，∵1≤a≤b≤9，∴b ＝9，a ＝3或b ＝8，a ＝2或b ＝7，a ＝1， ∴t 为39，28，17；∵39＝1×39＝3×13，∴()39f ＝313；28＝1×28＝2×14＝4×7， ∴()28f ＝47；17＝1×17，∴()11717f =；∴()f t 的最大值47． （3）①∵22357⨯⨯⨯=20×21∴()220235721f ⨯⨯⨯=； ②32357⨯⨯⨯=28×30∴()3281423573015f ⨯⨯⨯==； ③∵42357⨯⨯⨯=56×30∴()4301523575628f ⨯⨯⨯==； ④∵52357⨯⨯⨯=56×60∴()5561423576015f ⨯⨯⨯==，故答案为：20141514,,,21152815． {解析}本题考查了因式分解的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的特点求解是解题的关键．（1）6＝1×6＝2×3，由已知可求()6f ＝23；9=1×9=3×3，由已知可求()9f =1； （2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：10b ＋a−10a−b ＝9（b−a ）＝54，得到b−a ＝6，可求t 的值，故可得到()f t 的最大值；（3）根据()m f x n=的定义即可依次求解．25．（2020·通辽）用※定义一种新运算：对于任意实数m 和n ，规定m ※n ＝m 2n ﹣mn ﹣3n ，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6． （1）求（﹣2（2）若3※m ≥﹣6，求m 的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．{解析}（1）根据定义进行列式计算；（2）根据定义列出不等式，再进行求解，然后把解集在数轴上表示出来．{答案}解：（1）（－2（－2）223（2）∵3※m=32 m－3 m－3 m =3 m，又∵3※m≥﹣6，∴3 m≥﹣6，得m≥﹣2．在数轴上表示如下：26．（7分）（2020•呼和浩特）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程x﹣＝0，就可以利用该思维方式，设＝y，将原方程转化为：y2﹣y＝0这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．已知实数x，y满足，求x2+y2的值．解：令xy＝a，x+y＝b，则原方程组可化为：，整理得：，②﹣①得：11a2＝275，解得：a2＝25，代入②可得：b＝4，∴方程组的解为：或，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝b2﹣2a，当a＝5时，x2+y2＝6，当a＝﹣5时，x2+y2＝26，因此x2+y2的值为6或26．27．（9分）（2020•遂宁）阅读以下材料，并解决相应问题：小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．请思考小明的方法解决下面问题：（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．解：（1）由y＝x2﹣4x+3函数可知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，∴函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”为y＝﹣x2﹣4x﹣3；（2）∵y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，∴，解得：，∴（m+n）2020＝（﹣2+3）2020＝1．（3）证明：当x＝0时，y＝2（x﹣1）（x+3））＝﹣6，∴点C的坐标为（0，﹣6）．当y＝0时，2（x﹣1）（x+3）＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣3，0）．∵点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，∴A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6）．设过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C1（0，6）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得：6＝﹣3a，解得：a＝﹣2，过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝﹣2（x+1）（x﹣3），即y＝﹣2x2+4x+6．∵y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，∴a1＝2，b1＝4，c1＝﹣6，a2＝﹣2，b2＝4，c2＝6，∴a1+a2＝2+（﹣2）＝0，b1＝b2＝4，c1+c2＝6+（﹣6）＝0，∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．。