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第36讲怎样解立体几何中的最值问题一、知识与方法解答立体几何中的有关最值或范围问题,通常用函数思想方法.通过设出适当的变量、建立函数关系,转化为求函数的最值(或值域)的问题,解题时要弄清哪些是定值,哪些是变量,变量的取值范围是什么,如何根据题意建立函数关系,如何求函数的最值等.要重视立体几何中通过构造函数模型或几何模型解题的训练,重视空间想象能力以及计算能力的培养.二、典型例题【例1】()1如图3106-,在正三棱柱111ABC A B C -中,各棱的长均为2,M 是1AA 的中点,N 是BC 的中点,点M 在棱柱表面上运动到点N ,应如何运动,才能使点M 运动的路程最短,并求出最短路程;(2) 在正三棱锥P ABC -中,,2AB a PA a ==,过A 作平面分别交平面PBC 于DE .当截面ADE 的周长最小时,ADES=_______,P 到截面ADE 的距离为_______.【分析】求解点在几何体表面上运动路程最短的问题,通常将几何体表面展开成平面图形,化归为平面图形内两点间的距离,有时侯对如何将几何体展开成平面图形可以有不同的展开角度,所以还要分类讨论获得正确的结果.第()2问又把问题引向深入,解决面积和点到截面的距离问题. 【解析】(1)观察图3106-,从点M 运动到点N 的路程最短可能情况有两种:(1)经面1A B 和面1BC 到N ,其最短路程是侧面展开图(图3107-)中的线段MN 的长,由已知条件可求得1,3,AM AN MN ===.(2)经面1A C 和下底面到点N ,其最短路程如展开图(图3-108)中的线段MN 的长.1,120MA NA MAN ∠===.2222cos1204MN AM AN AM AN ∴=+-⋅⋅=+即MN =4 310,+<∴点M 在棱柱表面上运动到点N (2) 将三棱锥的侧棱PA 剪开,当ADE 的周长最小时,其展开图如图3109-所示,ADE 的周长即是展开图中线段AA '的长,易证ABDO PAB .又22PA AB a ==,故2AD AB BD a ===.33,24PD PD PB BD a DE BC a PB =-==⋅=.在ADE 中,DE 上的高AH ==.于是21;2ADESAH DE a =⋅= 从P 向底面作高PO ,则PO ===.于是231312P ABC V a -==. 又22916PDE PBCSPD SPB ==得，3399 .1616A PDE A PBC V V --=== 则313A PDE P ADE ADEV V d S --==⋅=,解得d =. 【例2】(1)如图3110-所示,在圆锥中,母线长为2,底面半径为12.一只虫子从底面圆周上一点A 出发沿圆锥表面爬行一周后又回到A 点,则这只虫子爬行的最短路程是多少?(2) 如图3111-所示.圆台的上底面半径为2?cm ,下底面半径为4?cm ,母线长为6?cm .求轴截面相对顶点,A C 在圆台侧面上的最短距离.【分析】空间图形→平面图形，第（1)问，将圆锥侧面沿母线SA 展开得到扇形，弧所对的弦长即为所求的最短距离．第（2)问，展开圆台侧面，A ,C 两点所成线段长即为所求的最短距离。
问题29立体几何中的最值问题一、考情分析立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体,涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从两个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是直接法,即根据几何体的结构特征或平面几何中的相关结论,直接判断最值. 纵观近几年高考对于组合体的考查,重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力,才能顺利解答.从实际教学来看,这部分知识是学生掌握最为模糊,看到就头疼的题目.分析原因,除了这类题目的入手确实不易之外,主要是学生没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．二、经验分享1.解决立体几何中的最值问题常见方法有：(1)建立函数法是一种常用的最值方法，很多情况下，我们都是把这类动态问题转化成目标函数，最终利用代数方法求目标函数的最值.解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法；二次数的配方法、公试法；有界函数界值法（如三角函数等）及高阶函数的拐点导数法等.(2)公理与定义法通常以公理与定义作依据，直接推理问题的最大值与最小值，一般的公理与定理有：两点之间以线段为最短，分居在两异面直线上的两点的连线段中，以它们的公垂线段为短.球面上任意两点间的连线中以过这两点与球心的平面所得圆的劣弧长为最短等.如果直接建立函数关系求之比较困难，而运用两异面直线公垂线段最短则是解决问题的捷径.(3)解不等式法是解最值问题的常用方法、在立体几何中同样可利用不等式的性质和一些变量的特殊不等关系求解：如最小角定理所建立的不等关系等等.(4)展开体图法是求立体几何最值的一种特殊方法，也是一种常用的方法，它可将几何题表面展开，也可将几何体内部的某些满足条件的部分面展开成平面，这样能使求解问题，变得十分直观，由难化易.(5)变量分析法是我们要透过现象看本质，在几何体中的点、线、面，哪些在动，哪些不动，要分析透彻，明白它们之间的相互关系，从而转化成求某些线段或角等一些量的求解最值总题的方法.除了上述5种常用方法外，还有一些使用并不普遍的特殊方法，可以让我们达到求解最值问题的目的，这就是：列方程法、极限思想法、向量计算法等等其各法的特点与普遍性，大家可以通过实例感受其精彩内涵与思想方法所在.2.决定棱锥体积的量有两个，即底面积和高，当研究其体积的最值问题时，若其中有一个量确定，则只需另一个量的最值；若两个量都不确定，可通过设变量法，将体积表示为变量的函数解析式，利用函数思想确定其最值；将空间问题转化为平面问题是转化思想的重要体现，通过旋转到一个平面内，利用两点之间距离最短求解3.解决几何体体积最值问题的方法(1) 根据条件建立两个变量的和或积为定值,利用基本不等式求体积的最值；通过建立相关函数式,将所求的最值问题转化为函数的最值问题求解,此法应用最为广泛；由图形的特殊位置确定最值,如垂直求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．4.解题时，通常应注意分析题目中所有的条件，首先应该在充分理解题意的基础上，分析是否能用公理与定义直接解决题中问题；如果不能，再看是否可将问题条件转化为函数，若能写出确定的表意函数，则可用建立函数法求解；再不能，则要考虑其中是否存在不等关系，看是否能运用解等不式法求解；还不行则应考虑是否可将其体图展开成平面，这样依次从本文所标定的方法顺序思考，必能找到解题的途径三、题型分析(一) 距离最值问题1.空间中两点间距离的最值问题A C与BD上,求MN的最小值. 【例1】正方体的棱长为1,M、N分别在线段11【分析】方法一,该题可以结合正方体的结构特征,将其转化为两异面直线的距离来求；方法二,可设出变量,构建相应的函数,利用函数的最值求解；方法三,建立空间直角坐标系,利用点的坐标以及距离公式表示出目标函数,然后利用函数方法求解最值.A C与BD是异面直线,所以当MN是两直线的共垂线段时,MN 【解析】方法一（定义转化法）因为直线11取得最小值.取11A C 的中点P ,BD 的中点Q .则线段PQ 就是两异面直线11A C 与BD 的共垂线段.下证明之.在矩形11BDD B 中,PQ 为中位线,所以1//PQ BB ,又因为1BB ⊥平面ABCD ,所以PQ ⊥平面ABCD又因为BD ⊆平面ABCD ,所以PQ BD ⊥.同理可证11PQ A C ⊥,而, ,所以线段PQ 就是两异面直线11A C 与BD 的共垂线段,且1PQ =.由异面直线公垂线段的定义可得,故MN 的最小值为1.方法二：（参数法）如图,取11A C 的中点P ,BD 的中点Q .则线段PQ 就是两异面直线11A C 与BD 的共垂线段.由正方体的棱长为1可得1PQ =.连结AC ,则11//AC A C ,所以BQC ∠为两异面直线11A C 与BD 所成角.在正方形ABCD 中,AC BD ⊥,所以.过点M 作MH AC ⊥,垂足为H ,连结NH ,则//MH PQ ,且. 设PM m =,QN t =,则QH m =.在Rt QNH ∆中,, 在Rt MHN ∆中,.显然,当0m n ==时,2MN 取得最小值1,即MN 的最小值为1.方法三：（向量法）如图,以D 为坐标原点,分别以射线DA 、DC 、1DD 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.设DN m =,1A M n =.则,即；,即.所以,故当2m n ==时,2MN 取得最小值1,即MN 的最小值为1.【点评】空间中两点距离的最值,最基本的方法就是利用距离公式建立目标函数,根据目标函数解析式的结构特征求解最值.对于分别在两个不同对象上的点之间距离的最值,可以根据这两个元素之间的关系,借助立体几何中相关的性质、定理等判断并求解相应的最值.如【典例1】中的两点分别在两条异面直线上,显然这两点之间距离的最小值即为两异面直线的公垂线段的长度.另外注意直线和平面的距离,两平面的距离等的灵活运用.【小试牛刀】【湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测】设正方体的棱长为，为的中点，为直线上一点，为平面内一点，则，两点间距离的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】结合题意，绘制图形结合题意可知OE是三角形中位线，题目计算距离最短，即求OE与两平行线的距离，，所以距离d，结合三角形面积计算公式可得，解得，故选B。
重点辅导Җ㊀北京㊀陶㊀军(特级教师)㊀㊀立体几何中的最值问题是高中数学的难点,这类问题包括求长度㊁角度㊁面积和体积等最值,而有关线段长度的最值问题是最基本的问题,求解这类问题的通法是几何法和向量法,本文进行例析．例１㊀如图１所示,在棱长为２的正方体A B C D ＧA １B １C １D １中,E ,F 分别为B C ,C C １的中点,点P 是侧面B C C １B １上一点,A １P ʊ平面A E F ,则线段A １P 长度的最小值是．图１分析１㊀因为点A １是定点,欲求线段A １P 长度的最小值,所以需确定动点P 的位置．因为直线A １P 绕点A １转动时总和平面A E F 保持平行,所以动直线A １P 形成的平面与侧面B C C １B １相交,点P 就在它们的交线l 上．因为交线l 平行于平面A E F ,侧面B C C １B １与平面A E F 的交线是E F ,所以l ʊE F ．怎样找到交线l 的位置呢?只需先找到点P ,它是侧面B C C １B １上的一个点．考虑到E 为B C 的中点,取B １C １的中点P １,可知A １P １ʊA E ,则A １P １ʊ平面A E F ,而过点P １且与E F 平行的直线是唯一的,就是交线l ,显然l 过线段B １B 的中点P ２,点P 的轨迹是线段P １P ２,所以求线段A １P 长度的最小值转化为求点A １到P １P ２的距离．解法１(几何法)㊀如图２所示,取B １C １的中点P １,因为P １E ʊA １A ,且P １E ＝A １A ,所以四边形P １E A A １是平行四边形,所以A １P １ʊA E ．取线段B １B 的中点P ２,则P １P ２ʊF E ,又因为A E 与E F 相交于点E ,所以平面A １P １P ２ʊ平面A E F ,由于点P 在平面A １P １P ２上,又在侧面B C C １B １上,故点P 的轨迹是线段P １P ２．在等腰әA １P １P ２中,A １P １＝A １P ２＝５,P １P ２＝２．取P １P ２的中点M ,则A １M ʅP １P ２,于是A １M ＝A １P ２１－P １M ２＝３２２,所以线段A １P 长度的最小值是３２２．图２分析２㊀因为点A １是定点,线段A １P 的长度由动点P 的位置决定,确定点P 的位置可以引入坐标,为此考虑建立适当的空间直角坐标系,设出动点P 的坐标,列出长度的表达式,借助函数的思想求A １P 的最小值．解法２(向量法)㊀如图３所示,以点D 为原点,D A ,D C ,D D １分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则A １(２,０,２),因为点P 是侧面B C C １B １上一点,可设点P 的坐标(x ,２,z )(０ɤx ɤ２,０ɤz ɤ２),故|A １P ң|(x －２)２＋４＋(z －２)２．图３设平面A E F 的法向量n ＝(x ０,y ０,z ０),因为A (２,０,０),E (１,２,０),F (０,２,１),A E ң＝(－１,２,０),E F ң＝(－１,０,１),所以n A E ң＝－x ０＋２y ０＝０,n E F ң＝－x ０＋z ０＝０．{令y ０＝１,则x ０＝z ０＝２,n ＝(２,１,２)．因为A １P ʊ平面A E F ,所以n 与A １P ң＝(x －２,２,z －２)垂直,故n A １P ң＝２(x －２)＋２＋２(z －２)＝０,化简得x ＋z ＝３,因为０ɤz ɤ２,所以０ɤ３－x ɤ２,且０ɤx ɤ２,解得１ɤx ɤ２．把z ＝３－x 代入|A １P ң|的表３１重点辅导达式,整理得|A １P ң|＝２(x －３２)２＋９２,x ɪ[１,２],故当x ＝３２时,|A １P ң|取得最小值３２２．例２㊀如图４所示,在棱长为２的正方体A B C D ＧA １B １C １D １中,E 为B C 的中点,点P 在线段D １E 上,点P 到直线C C １的距离的最小值为．图４分析１㊀求点P 到直线C C １的距离的最小值,就是找点P 到直线C C １的垂线段P Q 长度的最小值．求线段P Q 的长度涉及空间上两个动点长度的距离问题,不易处理．注意到C C １ʅ平面A B C D ,P Q ʅC C １,则P Q ʊ平面A B C D ．因此,我们可以把P Q 正投影在平面A B C D 上,点P 在平面A B C D 上的正投影H 落在线段D E 上,点Q 在平面A B C D 上的正投影是点C ,于是P Q ＝H C ,求P Q 的最小值转化为在平面A B C D 上求定点C 与线段D E 上的动点H 之间距离的最小值,就是求定点C 到D E 的距离．解法１(几何法)㊀如图５所示,过点P 作P Q ʅC C １,Q 为垂足,因为C C １ʅ平面A B CD ,所以P Q ʊ平面A B C D ,过点P 作PH ʅDE ,H 为垂足,则PH ʅ平面A B C D ,所以PH ʊQ C ,且P Q ʊH C ,Q C ʅH C ,故四边形P Q C H 是矩形,P Q ＝H C ,在R t әC D E 中,当C H ʅD E 时,C H 长度最小,因为C E ＝１,C D ＝２,D E ＝５,所以C H ＝１ˑ２５＝２５５,故点P 到直线C C １的距离的最小值为２５５．图５分析２㊀设点P 到直线C C １的距离为P Q ,因为P ,Q 分别在线段D １E 和C C １上,故可以引入两个变量控制点P ,Q 的位置．设E P ң＝λE D １ң(０ɤλɤ１),C Q ң＝μC C １ң(０ɤμɤ１),根据正方体的特殊性建立适当的空间直角坐标系,利用向量的坐标运算推出点P ,Q 的坐标,进而用λ,μ表示P Q ң,利用P Q ң C C １ң＝０找出λ,μ的关系式,代入P Q 长度的表达式,转化为一元函数求最值．解法２(向量法)㊀如图６所示,以D 为原点,D A ,D C ,D D １分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则D １(０,０,２),E (１,２,０),C １(０,２,２),C (０,２,０),E D １ң＝(－１,－２,２),由于点P 在线段D １E 上,可设E P ң＝λE D １ң(０ɤλɤ１),即E P ң＝(－λ,－２λ,２λ),由此得点P 的坐标为(,,)．图６过点P 作P Q 垂直于C C １,Q 为垂足,设点Q 的坐标(０,２,m ),P Q ң＝(λ－１,２λ,m －２λ),C C １ң＝(０,０,２),因为P Q ңʅC C １ң,所以P Q ң C C １ң＝０,即２(m －２λ)＝０,m ＝２λ,P Q ң＝(λ－１,２λ,０),|P Q ң|＝(λ－１)２＋(２λ)２＋０２＝５(λ－１５)２＋４５,λɪ[０,１]．当λ＝１５,P Q 取得最小值２５５．综上所述,利用几何法求线段长度的最值,要点是先用立体几何知识确定动点的轨迹,再用平面几何知识求最值;利用向量法求线段长度的最值,要点是建立适当的坐标系,设出动点坐标,建立线段长度的表达式,借助向量知识把题目中的几何条件合理转化为代数条件,找到动点坐标的关系,把线段长度的表达式转化为一元函数,用函数的思想求最值．(作者单位:北京市怀柔区第一中学)４１。
高中数学立体几何中的最值问题在高中数学的学习中，立体几何一直是一个重点和难点，而其中的最值问题更是让许多同学感到头疼。
这类问题往往需要我们综合运用空间想象力、几何知识以及数学方法来求解。
接下来，让我们一起深入探讨立体几何中的最值问题。
一、常见类型及解法1、距离最值问题（1）两点间距离最值在立体几何中，求两点间距离的最值，常常需要我们将空间中的两点转化到同一平面内。
例如，在长方体中，求异面直线上两点的最短距离，就需要通过平移将其转化为共面直线，然后利用平面几何中的知识求解。
（2）点到直线距离最值求点到直线的距离最值时，通常要找到点在直线上的投影。
如果直线是某一平面的斜线，那么可以通过作垂线找到投影，再利用勾股定理计算距离。
（3）点到平面距离最值对于点到平面的距离最值，一般可以利用空间向量法。
先求出平面的法向量，然后通过向量的数量积来计算点到平面的距离。
2、面积最值问题（1）三角形面积最值在立体几何中，涉及三角形面积的最值问题，可能需要考虑三角形的边长关系或者角度大小。
例如，已知三角形的两边及其夹角，当夹角为直角时，面积最大。
（2）四边形面积最值对于四边形，如平行四边形，其面积可以表示为底边乘以高。
当底边长度固定时，高取得最大值时面积最大；或者当四边形的对角线相互垂直时，面积等于对角线乘积的一半。
3、体积最值问题（1）柱体体积最值对于柱体，如圆柱、棱柱，其体积等于底面积乘以高。
当底面积不变时，高最大则体积最大；反之，高最小时体积最小。
（2）锥体体积最值锥体体积为三分之一底面积乘以高。
在求解锥体体积最值时，需要关注底面积和高的变化。
二、例题分析例 1：在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E、F 分别是棱AB、BC 的中点，求点 A1 到直线 EF 的距离。
解：连接 A1C1、C1F、EF，因为 A1C1 平行于 EF，所以点 A1 到直线 EF 的距离等于点 A1 到直线 C1F 的距离。
立体几何最值问题立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是空间图形的性质和数量关系。
在立体几何中，我们经常遇到最值问题，即寻找某个量的最大值或最小值。
本文将介绍立体几何中最值问题的几个方面：1.立体几何位置关系立体几何中的位置关系是指空间中点、线、面之间的相对位置。
解决位置关系问题需要运用空间想象和逻辑推理。
在立体几何中最值问题中，位置关系往往与距离、角度等问题交织在一起，需要综合考虑多种因素。
2.立体几何中的距离立体几何中的距离是指空间中两点之间的直线距离，或者是点与线、线与面之间的距离。
在解决最值问题时，我们需要考虑如何利用距离公式来计算最短路径、最大距离等。
3.立体几何中的体积立体几何中的体积是指空间中封闭图形的体积，或者是两个平面图形之间的距离。
计算体积需要运用体积公式，而解决最大或最小面积问题则需要考虑如何调整图形的形状和大小。
4.立体几何中的最短路径立体几何中的最短路径问题是指寻找空间中两点之间的最短距离。
解决这类问题需要运用距离公式和几何定理，有时还需要借助对称、旋转等技巧。
5.立体几何中的最大/最小面积立体几何中的最大/最小面积问题通常涉及到平面图形在空间中的展开和折叠。
解决这类问题需要运用面积公式和平面几何定理，同时要注意图形的对称性和边长之间的关系。
6.立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题是指空间中两条直线或两个平面之间的夹角。
解决这类问题需要运用角度公式和空间向量，同时要注意图形的对称性和边长之间的关系。
7.立体几何中的轨迹问题立体几何中的轨迹问题是指一个点或一条线在空间中按照一定规律移动所形成的轨迹。
解决这类问题需要运用轨迹方程和运动学原理，同时要注意轨迹的形状和大小随时间的变化情况。
立体几何中的最值问题考点动向高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此，将是有中等难度的考题．此类问题，可以充分考查图形推理与代数推理，同时往往也需要将问题进行等价转化，比如求一些最值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练．例１如图６－１，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面为直角三角形，1906ACB AC BC CC ∠===，，．P 是1BC 上一动点，则1CP PA +的最小值为 ．解析 考虑将立体几何问题通过图形变换，转化为平面几何问题解答．解 连结1A B ，沿1BC 将1CBC △展开与11A BC △在同一个平面内，如图６－２所示，连1A C ，则1A C 的长度就是所求的最小值．通过计算可得1190A C C ∠=︒，又145BC C ∠=︒故11135A C C ∠=︒，由余弦定理可求得1AC = 例２ 如图６－３，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，DAB ∠为直角，2AB CD AD CD AB ==，∥，E F ，分别为PC CD ，的中点．（I ）试证：CD ⊥平面BEF ；（II ）设PA k AB =，且二面角E BD C --的平面角大于30︒，求k 的取值范围．·A1A 11图６－１AC PB1A1C1B图６－２C BC图６－３解析 对（I ），可以借助线面垂直的判定定理，或者借助平面的法向量及直线的方向向量解答；对（II ），关键是确定出所求二面角的平面角．解法１（I ）证：由已知DF AB ∥且DAB ∠为直角， 故ABFD 是矩形，从而CD BF ⊥．又PA ⊥底面ABCD ，CD AD ⊥，故由三垂线定理知CD PD ⊥． 在PDC △中，E ，F 分别为PC ，CD 的中点，故EF PD ∥，从而CD EF ⊥，由此得CD ⊥面BEF ．（II ）连接AC 交BF 于G ，易知G 为AC 的中点，连接EG ，则在PAC △中易知EG PA ∥．又因PA ⊥底面ABCD ，故EG ⊥底面ABCD ． 在底面ABCD 中，过G 作GH BD ⊥，垂足为H ，连接EH ，由三垂线定理知EH BD ⊥，从而EHG ∠为二面角E BD C --的平面角． 设AB a =，则在PAC △中，有1122EG PA ka ==．以下计算GH ，考虑底面的平面图（如图６－５），连接GD ，因1122BD S BD GH GB DF ==△G ， 故GB DFGH BD =．在ABD △中，因AB a=，2AD a =，得BD =．而1122GB FB AD a ===，DF AB =， 从而得55GB AB GH a BD a===．因此1tan 2kaEG EHG k GH ===． ~故0k >知EHG ∠是锐角，故要使30EHG >∠，必须3tan 3023>=， 解之得，k 的取值范围为15k >．BC图６－４图６－５解法２（I ）如图６－６，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，设AB a =，则易知点A ，B ，C ，D ，F 的坐标分别为()000A ，，，()00B a ，，，()220C a a ，，，()020D a ，，，()20F a a ，，．从而(200)(020)DC a BF a ==，，，，，，0DC BF =，故DC BF ⊥． 设PA b =，则(00)P b ，，，而E 为PC 中点，故2b E a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，从而02b BE a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，．0DC BE =，故DC BE ⊥．由此得CD BEF ⊥面．（II ）设E 在xOy 平面上的投影为G ，过G 作GH BD ⊥垂足为H ，由三垂线定理知EH BD ⊥．从而EHG ∠为二面角E BD C --的平面角．由PA k AB =得(00)P ka ，，，2ka E a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，(0)G a a ，，．设(0)H x y ，，，则(0)(20)GH x a y a BD a a =--=-，，，，，， 由0GH BD =得()2()0a x a a y a --+-=，即2x y a -=-． ①又因(0)BH x a y =-，，，且BH 与BD 的方向相同，故2x a ya a-=-， 即22x y a +=． ②由①②解得3455x a y a ==，，从而215055GH a a GH a ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，，，． (2tan 25kaEGEHG k GH===．由0k >知EHG ∠是锐角，由30EHG ∠>︒，得tan tan30EHG >︒，即23k >．图６－６故k的取值范围为k >． [规律小结]立体几何中的最值与范围，需要首先确定最值或范围的主体，确定题目中描述的相关变动的量，根据必要，可确定是利用几何方法解答，还是转化为代数（特别是函数）问题解答．其中的几何方法，往往是进行翻折变换，这时可以想象实际情形，认为几何体是利用硬纸等折成的，可以动手翻折的，在平时做练习时，不妨多动手试试，培养自己的空间想象能力，在考试时就可以不动手，动脑想就可以了．特别注意变动的过程，抓住变动的起始与终了等特殊环节．考点误区分析（１）这类问题容易成为难点，关键是学生的空间想象能力缺乏，或者对问题的转化方向不明确．因此，要注意常见的转化方向，如化立体几何问题为平面几何问题，或化立体几何问题为代数问题等，根据题目特征进行转化．（２）对题目所描述的情形没有清醒的认识也是造成错解的主要原因，注意产生量的变化的主要原因是什么，相关的数量和位置关系都做怎样的变化，抓住问题的关键，才能顺利解决问题．同步训练１．如图６－７，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ==12BB =， 90=∠ABC ，,E F分别为111,AA C B 的中点，沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度为 ．》２．有两个相同的直三棱柱，高为a2，底面三角形的三边长分别为)0(5,4,3>a a a a ．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是__________．３．如图６－８，正四面体ABCD 的棱长为1，棱AB ∥平面α，则正四面体上的所有点在平面αA图６－７1A 1E图６－８内的射影构成的图形面积的取值范围是 ．［参考答案］１．［解析］分别将111A B C △沿11A B 折到平面11ABB A 上；将111A B C △沿11A C 折到平面11ACC A 上；将11BCC B 沿1BB 折到平面11ABB A 上；将11BCC B 沿1CC 折到平面11ACC A 上，比较其中EF 长即可．． ２．［解析］可知，全面积最小的是四棱柱面积为22428a +，全面积最小的是三棱柱面积为21248a +，解2212482428a a +>+即可．［答案］3150<<a ． ３．［解析］当CD 所在的直线与平面α平行时，所求射影面积最大，为1122AB CD ⨯=；当CD 所在的直线与平面α．［答案］1]2．。
重难点突破：立体几何中最值问题全梳理模块一、题型梳理题型一 空间角的最值问题例题1： 如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点在线段上，分别为的中点．设异面直线与所成的角为，则的最大值为_________．【解析】AB 为x 轴，AD 为y 轴，AQ 为z 轴建立坐标系，设正方形边长为2．cos θ=令[]()0,2)f m m =∈，()f m '=[]0,2,()0m f m '∈∴<，max 2()(0)5f m f ==，即max 2cos 5θ=ABCD ADPQ M PQ ,E F ,AB BC EM AF θθcos例题2： 正四棱柱1111ABCD A B C D -中，4AB =，1AA =.若M 是侧面11BCC B 内的动点，且AM MC ⊥，则1A M 与平面11BCC B 所成角的正切值的最大值为___________.【分析】如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，设点(),4,M m n ，由AM MC ⊥得()2224m n -+=，证明11A MB 为1A M 与平面11BCC B 所成角，令22cos ,2sin m n θθ=+=，用三角函数表示出11tan A MB ∠，求解三角函数的最大值得到结果.【解析】如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，设点(),4,M m n ，则()()(14,0,0,0,4,0,4,4,A C B ()(),0,,4,4,CM m n AM m n ∴==-，又AM MC ⊥，得2240,AM CM m m n ⋅=-+=即()2224m n -+=；又11A B ⊥平面11BCC B ，11A MB ∴∠为1A M 与平面11BCC B 所成角，令[]22cos ,2sin ,0,m n θθθπ=+=∈，11111tan ∴∠==A B A MB B M==，∴当3πθ=时，11tan A MB ∠最大，即1A M 与平面11BCCB 所成角的正切值的最大值为2.故答案为：2【小结】本题主要考查了立体几何中的动点问题，考查了直线与平面所成角的计算.对于这类题，一般是建立空间直角坐标，在动点坐标内引入参数，将最值问题转化为函数的最值问题求解，考查了学生的运算求解能力和直观想象能力.题型二 空间距离的最值问题例题3： 的正三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆的边长为2，D 为棱11B C 的中点，若一只蚂蚁从点A 沿表面爬向点D ，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）A ．3B ．C ．D ．2【分析】将正三棱柱展开，化平面图形中的距离最短的问题.有三种选择，第一种是从A 点出发，经过BC 再到达点D .第二种是从A 点出发，经过11A B 再到达点D .第三种是从A 点出发，经过1BB ，最后到达点D .分别求出三种情况的距离，选其中较小的值，即为所求最短距离.【解析】如图1，将矩形11BCB C 翻折到与平面ABC 共面的位置11BCC B '',此时，爬行的最短距离为AD '=2，将111A B C △翻折到与平面11ABB A 共面的位置111A B C '，易知11A D AA '=1120D A A '∠=︒，此时爬行的最短距离3AD '=；如图3，将矩形11BCB C 翻折到与平面11ABB A 共面的位置11BC C B ''，此时，爬行的最短距离AD '=综上，小蚂蚁爬行的最短距离为3.故选：A.【小结】本题考查了空间想象能力，和平面几何的计算能力，解决本题的关键是依据“在平面内，两点之间线段最短”.属于中档题.例题4： 点D 是直角ABC ∆斜边AB 上一动点，3,4AC BC ==，将直角ABC ∆沿着CD 翻折，使'B DC ∆与ADC ∆构成直二面角，则翻折后'AB 的最小值是（ ）A B C ．D【分析】过点B ′作B E CD '⊥于点E ，连接,BE AE ，根据折叠性质设BCD B CD α∠=∠'=，用α表示出,,2B E CE ACE πα'∠=-，在AEC ∆中由余弦定理表示出2AE ，再在Rt AEB ∆'中，由勾股定理即可求得'AB 的最小值.【解析】过点B ′作B E CD '⊥于点E ，连接,BE AE ，如下图所示：设BCD B CD α∠=∠'=，则有4sin 4cos 2B E CE ACE πααα'==∠=-，，，在AEC ∆中，由余弦定理得，2222cos 2AE AC CE AC CE πα⎛⎫=+-⋅⋅- ⎪⎝⎭2916cos 24cos sin ααα=+-，在Rt AEB ∆'中，由勾股定理得，22222916cos 24cos sin 16sin AB AE B E αααα'+'+-+==2512sin 2α=-，∴当4πα=时，AB 'B ． 【小结】本题考查了立体几何中折叠问题的综合应用，余弦定理表示出边长，并由三角函数值域的有界性确定最值，属于中档题.题型三 球体的最值问题例题5： 将半径为r 的5个球放入由一个半径不小于3r 的球面和这个球的内接正四面体的四个面分割成的五个空间内，若此正四面体的棱长为r 的最大值为________.【分析】计算正四面体的外接球半径3R =，内切圆半径为11r =，设1OO 与球面相交于点Q ，如图所示，画出剖面图，33R r =≥，1r r ≤，122O Q r =≥，解得答案.【解析】正四面体的棱长为根据对称性知，A 的投影为三角形BCD 的中心1O ，则123O D DM ==高14AO ==，设外接球半径为R ，故()22211R AO R DO =-+，解得3R =，设正四面体内切球半径为1r ，根据等体积法得到：((2211111sin 604sin 6043232r ⋅︒⨯=⨯︒⨯，故11r =， 根据题意33R r =≥，1r r ≤，1r ≤.设1OO 与球面相交于点Q ，如图所示，画出剖面图，1122O Q R OO r =-=≥，故1r ≤.综上所述：1r ≤，故r 的最大值为1.故答案为：1.【小结】本题考查了四面体的外接球内切球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.例题6： 已知点,,A B C 在半径为2的球面上，满足1AB AC ==，BC =S 是球面上任意一点，则三棱锥S ABC -体积的最大值为（ ）A B ．36+ C ．212+ D ．312+ 【分析】要使S ABC -体积的最大，需S 到平面ABC 距离最大，当S 为ABC 外接圆圆心与球心的延长线与球面的交点时取最大值，求出ABC 外接圆的半径，进而求出球心与ABC 外接圆圆心的距离，即可求解.【解析】设ABC 外接圆圆心为O '，三棱锥S ABC -外接球的球心为O ，1AB AC ==，设D 为BC 中点，连AD ，则AD BC ⊥，且O '在AD 上，12AD ==，设ABC 外接圆半径为r ，222231()()()242BC r AD r r =+-=+-，解得1,||r OO '=∴=要使S ABC -体积的最大，需S 到平面ABC 距离， 即S 为O O '2，所以三棱锥S ABC -体积的最大值为11112)2)3322ABC S ⨯=⨯⨯⨯=【小结】本题考查三棱锥体积的最值、多面体与球的“接”“切”问题，注意应用球的截面性质，属于中档题例题7： 已知四棱锥S ABCD -的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于2+，则球O 的体积等于（ ）A ．43πB ．83πC ．163πD ．223π 【分析】由条件可得球心O 为正方形ABCD 的中心，当此四棱锥的高为球的半径时，此四棱锥体积取得最大值. 设球O 的半径为R ,则AB ==，可得SBC ∆为等边三角形，根据条件可得1R =，从而得出答案.【解析】四棱锥S ABCD -的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内, 所以球心O 为正方形ABCD 的中心，当此四棱锥的高为球的半径时，此四棱锥体积取得最大值.此时四棱锥为正四棱锥.设球O 的半径为R ,则AB ==,SB ==，SBC ∆为等边三角形，则2213sin 6022SBC S SB R ∆==，所以此四棱锥的表面积为22422SBC ABCD S S R ∆+=+=+ 所以1R =.球O 的体积34433V R ππ== ，故选：A【小结】本题考查四棱锥的表面积和外接球的体积问题，属于中档题.例题8： 的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）A ．12B ．12C D 【解析】因为蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，又因为鸡蛋的体积为4π3，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离2d ==为1，而蛋巢的高度为12，故球体到蛋巢底面的最短距离为112⎛--= ⎝⎭. 【小结】本题主要考查折叠问题，考查球体有关的知识.在解答过程中，如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何体的问题时，可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面，然后利用弦长和勾股定理来解决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的.题型四 棱锥的最值问题例题9： 如图，三棱锥P ABC -的四个顶点恰是长､宽､高分别是m ，2，n 的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为__________．【分析】由题知，由三棱锥的体积得6mn =, 又三棱锥P ABC -的外接球直径是长方体的体对角线2R . 【解析】P ABC -的外接球直径是长方体的体对角线，∴R =，3334411=3386V R πππ==⨯ 1212=233P ABC ABC mn V S h -∆⋅=⨯⨯= ，6mn ∴=，222=12m n mn ∴+≥，当且仅当=m n =时，等号成立，3311=32463=6V πππ≥⨯，三棱锥外接球体积的最小值为323π，故答案为323π. 【小结】本题考查与球有关外接问题. 与球有关外接问题的解题规律:(1)直棱柱外接球的球心到直棱柱底面的距离恰为棱柱高的12. (2)正方体外接球的直径为正方体的体对角线的长．此结论也适合长方体，或由同一顶点出发的两两互相垂直的三条棱构成的三棱柱或三棱锥．(3)求多面体外接球半径的关键是找到由球的半径构成的三角形，解三角形即可．例题10： 有一个长方形木块，三个侧面积分别为8，12，24，现将其削成一个正四面体模型，则该正四面体模型棱长的最大值为（ ）A ．2 B．C ．4 D．【分析】先求长方体从同一顶点出发的三条棱的长度，从而可得正四面体模型棱长的最大值.【解析】设长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为,,a b c ，则81224ab ac bc =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故246a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，若能从该长方体削得一个棱长最长的正四面体模型，则该四面体的顶点必在长方体的面内，过正四面体的顶点作垂直于长方体的棱的垂面切割长方体，含正四面体的几何体必为正方体， 故正四面体的棱长为正方体的面对角线的长，而从长方体切割出一个正方体，使得面对角线的长最大，需以最小棱长2为切割后的正方体的棱长切割才可，故所求的正四面体模型棱长的最大值.故选：B.【小结】本题考查正四面体的外接，注意根据外接的要求确定出顶点在长方体的侧面内，从而得到正四面体的各顶点为某个正方体的顶点，从而得到切割的方法，本题属于中档题.例题11： 某三棱锥的三视图如图，且图中的三个三角形均为直角三角形，则x y +的最大值为________.【分析】根据三视图,利用勾股定理列出等式,再结合基本不等式求最值.【解析】由三视图之间的关系可知2210802x y =--,整理得22128x y +=,故22222()2()2562x x y x y x y y =++=++≤, 解得16x y +,当且仅当8x y ==时等号成立,故答案为:16【小结】本题考查三视图之间的关系应用,考查基本不等式,难度不大.例题12：如图，在三棱锥P ABC -中PA PB PC 、、两两垂直，且3,2,1PA PB PC ===，设M 是底面三角形ABC 内一动点，定义：()(,,)f M m n p =，其中m n p 、、分别是三棱锥M PAB -、三棱锥M PBC -、三棱锥M PAC -的体积。
立体几何中的最值问题、内接外切、球面距离1. 一条长为2,a b 的三条线段，则ab 的最大值为ABC ．52D ．3【答案】C【解析】构造一个长方体，让长为2的线段为体对角线，由题意知2222221,1,3a y b x x y =+=++=，即22222325a b x y +=++=+=，又2252a b ab =+≥，所以52ab ≤，当且仅当a b =时取等号，所以选C.2. 四棱锥P ABCD -的三视图如右图所示，四棱锥P ABCD -的五个顶点都在一个球面上，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为该球表面积为A.12pB.24pC.36pD.48p【答案】A3. 若三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA =1AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，则球O 的表面积为 （ ） A ．64π B ．16π C ．12π D ．4π【答案】B【解析】因为1AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，所以2212212cos603BC =+-⨯⨯=，所以BC =。
所以90ABC ∠=，即ABC ∆为直角三角形。
因为三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，所以斜边AC的中点是截面小圆的圆心'O ，即小圆的半径为12r AC ==.,因为,OA OS 是半径，所以三角形AOS 为等腰三角形，过O 作OM SA ⊥,则M 为中点，所以1'2OO AM SA ====所以半径2OA ====，所以球的表面积为2416R ππ=,选B.4. 已知正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的高为，外接球的体积是323p，则A 、B 两点的球面距离为____________. 【答案】23π【解析】因为正四棱柱外接球的体积为323p ，所以343233R pp =,即外接球的半径为2R =，所以正四棱柱的体对角线为24R =，设底面边长为x ，则222)2)4+=，解得底面边长2x =。
立体几何中的最值问题答案立体几何中的最值问题一、线段长度最短或截面周长最小问题例1. 正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，各棱长均为2，M 为AA 1中点，N 为BC 的中点，则在棱柱的表面上从点M 到点N 的最短距离是多少?并求之.解析： (1)从侧面到N ，如图1，沿棱柱的侧棱AA 1剪开，并展开，则MN ＝22AN AM +＝22)12(1++＝10(2)从底面到N 点，沿棱柱的AC 、BC 剪开、展开，如图2.则MN ＝??-+120cos 222AN AM AN AM ＝21312)3(122++＝34+∵34+＜10 ∴m in MN ＝34+.例2.如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1,而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直。
点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM=BN=a ).20(<（2）当a 为何值时，MN 的长最小；（3）当MN 长最小时，求面MNA 与面MNB 所成的二面角α的大小。
解析：（1）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE 于点Q ，连接PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且MP=NQ ，即MNQP 是平行四边形。
∴MN=PQ,由已知，CM=BN=a,CB=AB=BE=1,∴2==BF AC ,21,21a BQ a CP ==, 即2aBQ CP ==, ∴=+-==22)1(BQ CP PQ MN )20(21)22()2()21(222<<+-=+-a a a a （2）由（1）知: 2222==MN a 时，当，的中点时，分别移动到即BF AC N M ,, 22的长最小，最小值为MN(3)取MN 的中点G ，连接AG 、BG ，∵AM=AN,BM=BN ，∴AG ⊥MN,BG ⊥MN ，∴∠AGB 即为二面角α的平面角。
又46==BG AG ，所以由余弦定理有31464621)46()46(cos 22-=?-+=α。
3. 立体几何中的最值问题(一)求解立体几何的最值问题主要应用代数中的有关函数知识或不等式有关知识求解。
解题的关键是恰当地引入参变量（一元或二元），建立目标函数，然后由表达式的特点求最值；求曲面上的两点间距离或多面体中的折线的最短长度问题，可考虑展开后转化为平面上两点间的最短距离问题，然后用通常的解三角形的方法加以解决。
一、面积的最值问题1. 【湖南省怀化市2014届高三第二次模拟考试统一检测】在空间中有一棱长为a 的正四面体，其俯视图的面积的最大值为（ ）A .2a B .22a C .24D .24a2. （湖北省荆州市2013届高三3月质量检测（Ⅱ）数学（理）试题）在半径为R 的球内有一内接圆柱,设该圆柱底面半径为r ,当圆柱的侧面积最大时,rR 为 （ ）A ．14B ．12C ．2D3．（东北三省三校2013年3月高三第一次联合模拟）点A B C D 、、、在同一个球的球面上，AB BC ==2AC =，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为（ ）A ．1256π3B ．8πC ．254πD ．2516π4 ．（河北省武邑中学2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）如图,在三棱锥ABC P -中,PA ⊥底面ABC ,∠ACB = 90,AE ⊥PB 于E ,AF ⊥PC 于F ,若2==AB PA ,∠BPC =θ,则当AEF ∆的面积最大时,θtan 的值为（ ）A ．2B ．21 C ．2 D ．225.(河南省豫东、豫北十所名校2012届高三阶段性测试四理科)已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的外接球的表面积为16，则该长方体的表面积的最大值为（ ）A ．32B ．36C ．48D ．646. (湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知三棱锥P —ABC 的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足0=⋅，0=⋅，0=⋅，则三棱锥P —ABC 的侧面积的最大值为（ ）A ．2B ．1C ．21D ．417. 设圆柱轴截面的对角线长为定值，为使圆柱的侧面积最大，则轴截面的对角线与底面所成的角为（ ）A 、6πB 、4πC 、3πD 、125πFEPCBA8. 有一个棱长为a 的正方体骨架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地膨胀（仍保持为球的形状），则气球表面积的最大值为（ ）A 、2a πB 、22a πC 、23a πD 、24a π9. 已知圆锥的母线长为，l 底面半径为R ，如果过圆锥顶点的轴截面面积的最大值是221l ，则（ ）A 、22≤l R B 、22=l R C 、22≥l R D 、22<l R10、如果过圆锥顶点的面积最大的截面是轴截面，则圆锥的侧面展开图的圆心角的取值范围是（ ）A 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛π220，B 、()π20，C 、⎥⎦⎤ ⎝⎛π220， D 、(]π20，11. 圆锥的轴截面为正三角形，母线长为8，圆锥的内接圆柱的高为h ，当内接圆柱的侧面积最大时，h 的值是（ ）A 、334 B 、4 C 、33 D 、3212. 在正三棱锥P -ABC 中，AB =8，PC =54，动点ABM PC M ∆∈，则面积的最小值为（ ）A 、524B 、374C 、354D 、5551613. 【2014年呼伦贝尔市高考模拟统一考试(二)】设A 、B 、C 、D 是半径为2的球面上的四点，且满足,,AB AC AD AC AB AD ⊥⊥⊥，ABC ABD ACD S S S ∆∆∆++的最大值是 _______ .14【东北三省三校2014届高三第一次联合模拟】 正四面体ABCD 的棱长为4，E 为棱BC 的中点，过E 作其外接球的截面，则截面面积的最小值为 .答案：1－12 BCCD AABB CCDD 13. 8; 14. 4π3. 立体几何中的最值问题(二)二、体积的最值问题1. （2010全国卷2理数）（9）已知正四棱锥S ABCD -中，SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）A ．1B .C ．2D ．32. （2010全国卷1文理数）（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB =CD =2,则四面体ABCD 的体积的最大值为（ ）A B C ． D3.【湖北省稳派教育2014届高三上学期强化训练（三）数学（理）试题】在三棱锥ABC P -中，PC PB PA ,,两两垂直，且1,2,3===PC PB PA ，设M 是底面ABC ∆内一点，定义),,()(p n m M f =，其中p n m ,,分别是三棱锥PAB M -，三棱锥PBC M -，三棱锥PCA M -的体积，若),,21()(y x M f =，且81≥+y a x ，则正实数a 的最小值为（ ）A . 1B .2C .22D .44. 【陕西省西工大附中2014届高三第四次适应性训练】已知一个四面体有五条棱长都等于2，则该四面体的体积最大值为( )A ．12B ．1C ．22 D ．25. （北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D 中，点1P ，2P 分别是线段AB ，1BD （不包括端点）上的动点，且线段12P P 平行于平面11A ADD ，则四面体121PP AB 的体积的最大值是（ ） A ．124B ．112 C ．16D ．126.（河南省十所名校2013届高三第三次联考数学（理）试题）四面体ABCD 中,AD 与BC 互相垂直,AD =2BC =4,且AB +BD =AC +CD =2,则四面体ABCD 的体积的最大值是（ ）A ．4B ．2C ．5 D7.(吉林省实验中学2012届高三第六次模拟理科)已知正四棱锥S ABCD-中，SA=，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A．1 B C．2 D．38.(四川省成都市新都一中高2008级12月月考)已知一个四面体有五条棱长都等于2，则该四面体的体积最大值为( )A、12B、22C、1D、29. （2009湖南师大附中第五次月考）如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧面A1ABB1⊥BC，且A1Ｃ与底面成 45°角，AB=BC=2，则该棱柱体积的最小值为 ()A．34B．33C．4 Ｄ． 310.【湖南省衡阳市八中2014届高三上学期第三次月考试卷数学（理）】在三棱锥D-ABC中，已知BC丄AD，BC=2 ,AD=6,AB+BD=AC+CD=10，则三棱锥D一ABC的体积的最大值是__________.11. 【山东省东营市高三4月统一质量检测】已知直角梯形ABCD，AB AD⊥，CD AD⊥，222AB AD CD===，沿AC折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的体积为．12.【2012高考真题上海理14】如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，2=BC，若cAD2=，且aCDACBDAB2=+=+，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是。
ʏ廖子宜立体几何中的最值问题主要与空间图形的距离㊁角㊁面积㊁体积有关,是高考命题的热点㊂此类问题涉及知识面较广,灵活性较大,常用的求法有:二次函数性质法㊁基本不等式法㊁射影法㊁两点之间线段最短法㊁垂线段最短法㊁三角函数性质法等㊂一㊁二次函数性质法例1 如图1,一个圆锥的底面半径为2c m ,高为6c m ,其中有一个高为x c m 的内接圆柱㊂当x 取何值时,圆柱的侧面积最大?图1解:依题意得S 圆柱侧=2πr x =2π2-x 3x =4πx -2π3x 2,x ɪ(0,6)㊂当x =-4π2-2π3=3时,这个二次函数有最大值6π,故当圆柱的高为3c m 时,圆柱的侧面积最大,其最大值为6πc m 2㊂评注:二次函数y =a x 2+b x +c (a ʂ0),当a >0时,有最小值;当a <0时,有最大值㊂二㊁基本不等式法例2 已知圆柱的轴截面的周长L 为定值,则圆柱侧面积的最大值是㊂解:设圆柱的底面直径和高分别为d ,h ,则d +h =L 2,所以S 圆柱侧=πd h ɤπd +h 22=πL216(当且仅当d =h 时取等号)㊂故圆柱侧面积的最大值为πL216㊂评注:基本不等式为:a ,b ɪR +,a +b ȡ2a b ,当且仅当a =b 时等号成立㊂基本不等式逆用为:a ,b ɪR +,a b ɤa +b 22,当且仅当a =b 时等号成立㊂三㊁射影法例3 如图2,棱长为1的正方体A B C D -A 1B 1C 1D 1中,若G ,E 分别是B B 1,C 1D 1的中点,点F 是正方形A D D 1A 1的中心,则四边形B GEF 在正方体侧面及底面共6个面内的射影图形的面积的最大值是㊂图2解:显然,四边形B G E F 在前后侧面上的射影图形的面积相等㊂易知点E 在前面平面上的射影是A 1B 1的中点E 1,点F 在前面平面上的射影是A A 1的中点F 1,可得四边形B G E 1F 1的面积为12㊂同理可得,四边形B G E F 在左右侧面上的射影图形的面积相等且等于18;在上下底面上的射影图形的面积相等且等于38㊂故四边形B G E F 在前后侧面上的射影图形的面积最大,其最大值为12㊂评注:解题的关键是找到四边形B G E F 四个顶点在各个面上的射影点的位置,再根据正方体的性质计算其面积㊂四㊁两点之间线段最短法例4 如图3所示,已知圆柱的高为80c m ,底面半径为10c m ,轴截面上有P ,Q 两点,且P A =40c m ,B 1Q =30c m ,若一只蚂蚁沿着侧面从P 点爬到Q 点,则蚂蚁爬过的最短路径长为㊂91知识结构与拓展高一数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.图3解:将圆柱侧面沿母线A A 1展开,得到如图4所示的矩形㊂图4易得A 1B 1=10π㊂过点Q 作Q S ʅA A 1于点S ,在R tәP Q S 中,P S =80-40-30=10,Q S =A 1B 1=10π,所以P Q =P S 2+Q S 2=10π2+1,即蚂蚁爬过的最短路径长是10π2+1cm ㊂评注:求几何体表面上两点间的最小距离,可将几何体沿着某棱(母线)剪开后展开,画出其侧面展开图,把求曲线长问题转化为求平面上的线段长问题㊂五㊁垂线段最短法例5 如图5,在棱长为2的正方体A B C D -A 1B 1C 1D 1中,E 为B C 的中点,点P 在线段D 1E 上,则点P 到直线C C 1的距离的最小值为㊂图5解:过E 作E E 1ʅ底面A 1B 1C 1D 1交B 1C 1于E 1,过P 作P H ʅD 1E 1于H ㊂连接C 1H ,作P P 1ʅC C 1于P 1㊂易知四边形P P 1C 1H 是矩形,点P 在线段E D 1上运动,点P 到直线C C 1的距离是C 1H ㊂当C 1H 为R t әC 1D 1E 1的底边D 1E 1上的高时,C 1H 最小,记高为h ㊂依题意得C 1D 1=2,C 1E 1=1,所以D 1E 1=5㊂由12C 1D 1㊃C 1E 1=12D 1E 1㊃h ,可得h =255㊂故点P 到直线C C 1的距离的最小值为255㊂评注:当点P 在D 1E 上移动时(不含端点),四边形P P 1C 1H 一定是矩形;当点P 与D 1或E 重合时,点P 到直线C C 1的距离的最小值为C 1D 1或CE ,此时显然不是最小值㊂六㊁三角函数性质法例6 如图6所示,边长A C =3,B C =4,A B =5的三角形简易遮阳棚,其A ,B 是地面上南北方向两个定点,正西方向射出的太阳光线与地面成30ʎ角,当遮阳棚A B C 与地面的夹角等于时,才能保证所遮影面A B D 的面积最大㊂图6解:易知әA B C 为直角三角形㊂在平面A B C 内,由C 向A B 引垂线,垂足为Q ,则D Q 为C D 在地面上的射影,且A B ʅ平面C QD ㊂因为太阳光与地面成30ʎ角,所以øC D Q =30ʎ㊂在әC D Q 中,C Q =125,由正弦定理得C Q s i n 30ʎ=Q D s i nøQ C D ,所以Q D =245s i nøQ C D ㊂为使面A B D 的面积最大,需Q D 最大即可,只有当øQ C D =90ʎ时才可达到最大,从而øC Q D =60ʎ㊂故当遮阳棚A B C 与地面成60ʎ角时,才能保证所遮影面A B D 面积最大㊂评注:正弦函数y =s i n x 在0,π2上单调递增,在π2,π上单调递减㊂作者单位:福建省泉州市外国语学校(责任编辑 郭正华)2 知识结构与拓展 高一数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
立体几何解析几何最值问题立体几何和解析几何都是数学中的分支领域，它们在研究物体的形状、位置和运动等方面有着不同的方法和应用。
在解析几何中，最值问题是其中一个重要的问题类型，它涉及到找到函数在特定区域内的最大值或最小值。
在立体几何中，我们研究的是空间中的物体，比如点、线、面、体等。
解析几何则是研究平面几何与坐标系统之间的关系，通常使用坐标点来表示点、线、曲线等。
解析几何中最值问题的解决方法通常是通过求导来进行。
我们可以将问题转化为一个函数，然后求该函数的导数，找到导数为0的点，再通过比较得出最大值或最小值。
这种方法在求解平面最值问题时非常有效。
而在立体几何中，最值问题通常涉及到体积、面积或长度等量的最大化或最小化。
解决这类问题可以利用几何性质和定理来进行推导和求解。
比如，要求一个几何体的体积的最大值，我们可以通过寻找几何体的特定形状的体积公式以及几何性质来得出最优解。
具体地说，在立体几何中，最值问题的解决方法可以归纳如下：1.求解体积最大问题：对于已知形状的几何体，我们可以通过推导体积公式，并利用一些方法来求解体积的最大值。
例如，求解一个长方体在给定表面积约束条件下的最大体积，我们可以设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，然后利用约束条件和体积公式写出等式，最后通过求解方程组可得到最优解。
2.求解表面积最小问题：类似地，我们可以通过推导表面积公式，并利用一些方法来求解表面积的最小值。
例如，求解一个包含给定体积的圆柱体的表面积最小值，我们可以设圆柱体的底面半径为r、高度为h，然后通过体积公式将h表示为r的函数，并利用表面积公式得到表面积的表达式，最后求解表面积的最小值。
3.求解长度最短问题：有时候我们需要找到连接两个点的最短路径，可以利用几何性质和定理求解。
例如，求解从一个点到直线的最短距离，我们可以利用点到直线的距离公式，并通过求导的方法求解最短距离的点。
总而言之，立体几何和解析几何最值问题的求解方法有所不同，但都可以通过推导公式、利用几何性质和定理以及求导等方法来解决。
立体几何中的最值问题四则1. 用配方法求距离的最值例1. 如图1，正方形ABCD 、ABEF 边长都是1，且平面ABCD 、ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM BN a a ==<<()02。
试求当a 为何值时，MN 的值最小。
图1分析：此题的解题关键是想用含a 的代数式表示距离，再用配方法求最值。
解：过M 作MH AB ⊥，垂足为H ，连结NH ，如图1所示。
在正方形ABCD 中，AB CB ⊥， 所以BC MH //，因为平面AC ⊥平面AE ，所以MH ⊥平面AE ，即MH NH ⊥。
因为CM BN a AB CB BE =====,1，所以AC BF ==2 即AM a =-2， MH AH a BH a ==-=12222,， 由余弦定理求得NH a =22。
所以MN MH NH =+22=-+=-+=-+<<()()()()12222212212022222a a a a a a当a =22时，MN =22，即M 、N 分别移到AC 、BF 的中点时，MN 的值最小，最小值为222. 结合实际找最值位置例2. 在一X 硬纸上，抠去一个半径为3的圆洞，然后把此洞套在一个底面边长为4，高为6的正三棱锥A —BCD 上，并使纸面与锥面平行，则能穿过这X 纸面的棱锥的高的最大值是________。
图2解：如图2所示，假设硬纸上的圆洞刚好卡在B'C'D'处。
设正三棱锥A BCD -的顶点A 在平面BCD 上的射影为A'，在平面B'C'D'上的射影为O 。
连结BA'、B'O 并延长分别交CD 、C'D'于E 、E'点，则平面B C D '''//平面BCD ，所以B E BE BC BC''''=， B E B O BE BA ''''==3232，， 即B O BA B C BC ''''=。
立体几何动点最值问题
立体几何动点最值问题是指在立体几何空间中，给定一些特定条件下，求一个动点的某个值的最大或最小值。
这类问题广泛应用于建筑设计、机械工程、地理测量等领域。
在解决立体几何动点最值问题时，通常需要利用几何性质和数学方法进行分析和求解。
下面以两个典型的问题为例进行拓展说明。
问题一：在一个正方体中，找到离一个定点最远的顶点。
解答：首先，我们找到这个正方体的中心点，然后根据对称性可以知道，离中心点最远的顶点就是通过连接中心点和一个面的对角线的顶点。
因此，我们可以通过计算这个对角线的长度，并找出最长的对角线来确定离定点最远的顶点。
问题二：在一个球体上，找到离球心最远的点。
解答：根据球体的几何性质，离球心最远的点是球体表面上的点。
因此，我们可以通过计算球心到球面上各点的距离，并找出最大距离的点来确定离球心最远的点。
在实际应用中，立体几何动点最值问题的解决往往需要结合具体的条件和约束条件进行分析和求解。
这些问题可能涉及到线段、面积、体积等几何量的计算，以及最优化等数学方法的运用。
因此，解决这类
问题需要理解立体几何的基本概念和性质，并熟练掌握相关的计算和求解技巧。
立体几何中最值问题求解策略
立体几何中最值问题令许多学生无从下手，本文试做一归纳总结，供同学们复习时参考。
策略一转化为求函数最值
例1 已知正方形ABCD、ABEF所在平面互相垂直，
,M为线段AC上一
动点，当M在什么位置时，M到直线BF的距离最短？
分析：本题是求点到线距离最值问题，实际上就是求异面直线AC、BF间距离。
可用代数中求最值的方法来解决。
解：作MH⊥AB于H,作HN⊥BF于N ,易知MH⊥平面ABEF.
由三垂线定理可知，MN⊥BF.
设AM=x,则
MH=AH=
2
2
x
,HN=
2
HB=
1
1
2
x
-
则MN2=MH2+HN2=22
11
(1)
22
x x
+-=2
322
()
433
x-+
所以当AM=
2
3
时，MN有最小值
3
策略二借助均值不等式求最值
例2 求半径为R的球内接正三棱锥体积的最大值。
解：如右图所示，设正三棱锥高
1
O A=h, 底面边长为a
由正三棱锥性质可知
1
O B=
3
a，又知OA=OB=R
则在Rt ABC
∆中，222
)()
3
a R h R
=--
∴23(2)
a h R h
=-
∴
V=22
13
(2)
3
a h R h
=-=3(2)
22
h h
R h
-
3
2
22
3
h h
R h
⎛⎫
++-
⎪
≤ ⎪
⎪
⎝⎭
3(当且仅当2
2
h
R h
=-，即
4
3
h R
=时，取等号)
∴正三棱锥体积最大值为3R
策略三 借助最小角定理建立不等关系
例3 l β∂--是直二面角，,,A B A β∈∂∈，B 不在l 上，设AB 与,β∂成的角分别是12,θθ，求 12θθ+的最大值。
解析：如图所示，过A 作L 垂线，垂足为C,易知AC β⊥
过B 作L 垂线，垂足为D,易知BD ⊥∂.所以2,ABC θ∠= 1BAD θ∠=，在Rt ABD ∆中，12
2
ABD DAB π
π
θ∠=-∠=
-
由最小角定理可知212
2
BAD π
π
θθ<-∠=
-，所以122
π
θθ+<。
当D 、C 重合时，122
π
θθ+=。
所以最大值为
2
π。
策略四 借助侧面展开图求最短路径
例4 长方体1111ABCD A B C D -中，AB=6,BC=5,14,CC =一只蚂蚁从1A
沿长方体表面到达C 处，求蚂蚁爬过的最短距离。
解：如左图所示,蚂蚁爬过的路径有三种，可由侧面展开的结果
比较而求得最值。
1.1
AC =、
=
2 1
AC ==
2
3 1
AC ==
显然第3种距离最短 。
3
策略五 利用极限思想
例5 1 三棱锥P-ABC中，若棱PA=x,其余棱长均为1，探讨x是否有最值；
解析：如图第1题：当P-ABC为三棱锥时，x的最小极限是
P、A重合，取值为0，若PBC
绕BC顺时针旋转，PA变大，
最大极限是P,A,B,C共面时，PA为菱形ABPC
第2题：若P在底面的射影为O,易知PO越小，侧棱越小。
故P、O重
合时，侧棱取最小极限值
3
可知两题所问均无最值。
