北师大高中数学选修21培优新方案同步课时跟踪检测十九 曲线与方程 含解析

§4曲线与方程4．1曲线与方程知识点.曲线的方程与方程的曲线[填一填]一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么这条曲线叫作方程的曲线，这个方程叫作曲线的方程．[答一答]到两坐标轴距离相等的点满足的方程是x－y＝0 吗？为什么？提示：到两坐标轴距离相等的点满足的方程不只是x－y＝0，还有x＋y＝0，以方程x－y＝0 的解为坐标的点都在曲线上，但曲线上的点的坐标不都是这个方程的解，有些是方程x＋y＝0 的解，所以方程x－y＝0 不是已知曲线的方程，曲线也不是该方程的曲线．1．曲线的方程，方程的曲线的定义的几个注意点：(1)只有满足了定义中的两个条件，才能称“方程f(x，y)＝0 是曲线C的方程”和“曲线C是方程f(x，y)＝0 的曲线”．(2)方程f(x，y)＝0 无实数解，则曲线C不存在；若方程f(x，y)＝0只有有限个实数解，则曲线C是一些孤立的点；若方程f(x，y)＝0 可分解成f1(x，y)·f2(x，y)……f n(x，y)＝0，则曲线C是由f1(x，y)＝0，f2(x，y)＝0，……f n(x，y)＝0 表示的曲线的全体构成的．(3)坐标系建立以后，平面上的点M与实数对(x，y)建立了一一对应关系，点的运动形成了曲线C.与之对应的实数对x与y的约束关系，就形成了方程f(x，y)＝0，即(4)定义的实质是平面曲线的点集{M|P(M)}和方程f(x，y)＝0 的解集{(x，y)|f(x，y)＝0}之间的一一对应关系，由曲线和方程的这一对应关系．既可以通过方程研究曲线的性质，又可以求出曲线的方程．2．求曲线方程的步骤的实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为代数方程，即：解析化数学符号语坐标化文字语言中的几何条件――→言中的等式――→等价变形简化了的x、y的数学符号语言中含动点坐标x，y的代数方程x，y＝0 ――→(1)研究曲线的组成和范围，即看一下所求的曲线是由哪些基本曲Earlybird线组成的．在某些情况下可以根据方程求得方程所表示曲线的大致范围；(2)研究曲线与坐标轴是否相交．如果相交，求出交点的坐标，因为曲线与坐标轴的交点是确定曲线位置的关键点；(3)研究曲线的对称性；(4)研究曲线的变化趋势，即y随x的增大或减小的变化情况；(5)根据方程画出曲线的大致形状，在画曲线时，可充分利用曲线的对称性，通过列表描点的方法，先画出曲线在一个象限的图像，然后根据对称性画出整条曲线．类型一曲线与方程的定义【例1】(1)设方程f(x，y)＝0 的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0 的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是()A．坐标满足方程f(x，y)＝0 的点都不在曲线C上B．曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C．坐标满足方程f(x，y)＝0 的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0(2)试说明过点P(5，－1)且平行于x轴的直线l和方程|y|＝1 所代表的曲线之间的关系．【思路探究】(1)本题考查命题形式的等价转换．(2)“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．其中“曲线上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0 的解”，即纯粹性；“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，即完备性．这是判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则．本题中曲线上的每一点都满足方程，即满足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不满足完备性．【解析】(1)题中所给命题不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故选项A，C 错误，选项B 显然错误，故选D.(2)解：如图所示，过点P且平行于x轴的直线l的方程为y＝－1，因而在直线l上的点的坐标都满足|y|＝1，所以直线l上的点都在方程|y|＝1 表示的曲线上．但是以|y|＝1 这个方程的解为坐标的点不会都在直线l上，因此方程|y|＝1 不是直线l的方程，直线l只是方程|y|＝1 所表示曲线的一部分．【答案】(1)D(2)见解析规律方法在解曲线与方程概念的有关问题时，都必须同时满足两层含义：曲线上点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上．这是识别曲线和方程关系的基本依据．(1)若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0 的解”是正确的，则下列命题正确的是(B)A．方程f(x，y)＝0 的曲线是CB．方程f(x，y)＝0 的曲线不一定是CC．f(x，y)＝0 是曲线C的方程D．以方程f(x，y)＝0 的解为坐标的点都是在曲线C上解析：本题重在考查曲线和方程的定义．只有正确地理解曲线与方程的定义，才能准确作答．易知选项A，C，D 错误．(2)已知A(2,0)，B(0,2)，能不能说线段AB的方程是x＋y－2＝0？为什么？解：不能说线段AB的方程是x＋y－2＝0，如点(－3,5)的坐标是方程x＋y－2＝0 的一个解，但点(－3,5)不在线段AB上，所以线段AB的方程不是x＋y－2＝0，而是x＋y－2＝0(0≤x≤2)．类型二曲线的组成【例2】(1)方程(x＋y－1) x－1＝0 表示什么曲线？(2)方程2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0 表示什么曲线？【思路探究】由曲线的方程研究曲线的特点，类似于用函数的解析式研究函数的图像，可由方程的特点入手分析．【解】(1)由方程(x＋y－1) x－1＝0 可得：Error!或x－1＝0，即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1，∴方程表示直线x＝1 和射线x＋y－1＝0(x≥1)．(2)方程的左边配方得2(x－1)2＋(y＋1)2＝0，而2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，∴Error!∴Error!∴方程表示的图形为点A(1，－1)．规律方法曲线的方程是曲线的代数体现，判断方程表示什么曲线，可根据方程的特点利用配方、因式分解等方法对已知方程变形，转化为我们熟知的曲线方程，在变形时，应保证变形过程的等价性．说明方程(x＋y－1) x2＋y2－4＝0 所表示的图形．解：由(x＋y－1) x2＋y2－4＝0，得Error!或x2＋y2－4＝0，即Error!或x2＋y2＝4.1 2由圆x2＋y2＝4 的圆心到直线x＋y－1＝0 的距离d＝＝<2，2 2得直线与圆相交，∴Error!表示直线在圆x2＋y2＝4 外的部分．故原方程表示圆心在原点，半径为2 的圆和斜率为－1，纵截距为1 的直线在圆x2＋y2＝4 外的部分．类型三求曲线的方程【例3】如图，已知F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的动点，→→→→过点P作l的垂线，垂足为Q，且QP·＝·，求动点P的轨迹方QF FP FQ程．→→【思路探究】本题可设出P(x，y)，则Q(－1，y)．然后由QP·QF→→＝FP·得出P(x，y)满足的关系式，整理后即可得P的轨迹方程．FQ→→【解】设点P(x，y)，则Q(－1，y)，QP＝(x＋1,0)，＝(2，－QF →→→→→→y)，FP＝(x－1，y)，＝(－2，y)，由·＝·，∴(x＋FQ QP QF FP FQ1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，∴2x＋2＝－2x＋2＋y2，即动点P的轨迹方程为y2＝4x.要注意最后一步，如果有不符合题意的特殊点要加以说明．一般情况下，求出曲线方程后的证明可以省去．Earlybird(2)直接法、定义法、代入法是求曲线方程的基本方法．已知在Rt△ABC中，|AB|＝2a(a>0)，求直角顶点C的轨迹方程．解：以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)，设顶点C(x，y)．方法1：由△ABC是直角三角形可知|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，即(2a)2＝(x＋a)2＋y2＋(x－a)2＋y2，化简得x2＋y2＝a2.依题意可知x≠±a.故所求直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．方法2：由△ABC是直角三角形可知AC⊥BC，所以k AC·k BC＝－y y1(AC，BC的斜率是显然存在的)，即·＝－1(x≠±a)．化简得直x＋a x－a角顶点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．方法3：连接OC，由△ABC是直角三角形可知|OC|＝|OA|＝|OB|，且点C与点A，B都不重合，所以x2＋y2＝a(x≠±a)．化简得直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．——易错警示——求轨迹方程漏条件致错【例4】等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边的一个端点是B(3,5)，求另一端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．【误解】设另一端点C的坐标为(x，y)，依题意得|AC|＝|AB|，即x－42＋y－22＝4－32＋2－52，两边平方，得22为半径的圆．【正解】设另一个端点C的坐标为(x，y)，依题意得|AC|＝|AB|，即x－42＋y－22＝4－32＋2－52，两边平方，得(x－4)2＋(y－x＋3 y＋52)2＝10.令＝4，＝2，得x＝5，y＝－1.因为A，B，C三点不2 2共线，所以轨迹不包括点(3,5)，(5，－1)．故另一个端点C的轨迹方程是(x－4)2＋(y－2)2＝10，且其轨迹不包括点(3,5)，(5，－1)，这是以A(4,2)为圆心，以10为半径的圆，且除去点(3,5)，(5，－1)．规律方法上述求得的轨迹方程忽视了A，B，C不共线这个隐含条件，因为A，B，C为三角形的顶点，所以A，B，C三点不共线，即B，C不能重合，且B，C不能为圆A的一直径的两个端点．点M与已知点P(2,2)连线的斜率是它与点Q(－2,0)连线的斜率的2 倍，求点M的轨迹方程．解：设点M的坐标为(x，y)，当x＝2 时，直线PM的斜率不存在；当x＝－2 时，直线MQ的斜率不存在，均不合题意；当x≠±2 时，由y－2 y已知得＝2×，化简整理得，点M的轨迹方程为xy＋2x－6y＋x－2 x＋24＝0(x≠±2)．1．一条线段长为10，两端点A，B分别在x轴和y轴上滑动，M→→点在线段AB上，且AM＝4 ，则点M满足的方程为(B)MBA．x2＋16y2＝64 B．16x2＋y2＝64C．x2＋16y2＝8 D.16x2＋y2＝8＝4MB，得A(5x,0)，B(0，y)．又由|AB|＝10，得(5x)2＋( y)2＝100，整4 4Earlybird理得16x2＋y2＝64.2．▱ABCD的顶点A，C的坐标分别为(3，－1)，(2，－3)，顶点D在直线3x－y＋1＝0 上移动，则顶点B满足的方程为(A) A．3x－y－20＝0 B．3x－y－10＝0C．3x－y－12＝0 D.3x－y－9＝0解析：设AC，BD交于点P，∵点A，C的坐标分别为(3，－1)，(2，－3)．5∴P点坐标为( ，－2)．2设B为(x，y)，则D为(5－x，－4－y)，∵点D在直线3x－y＋1＝0 上，∴15－3x＋4＋y＋1＝0，即3x－y－20＝0.3．平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与斜线AB 垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹为(A)A．一条直线B．一个圆C．一个椭圆 D.抛物线解析：设l转到l1 位置时l1∩α＝C1，由l⊥AB，l1⊥AB，知AB⊥平面ACC1，且由l，l1 确定的平面交α于CC1，故当l转动时，l与平面α的交点在直线CC1 上．4．如图，已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆O：x2＋y2＝1，动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ>0)，求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线？解：设MN切圆于点N，则动点M组成的集合是P＝{M|MN|＝λ|MQ|，Earlybirdλ>0}，∵圆的半径|ON|＝1，∴|MN|2＝|MO|2－|ON|2＝|MO|2－1.设点M的坐标为(x，y)，则x2＋y2－1＝λx－22＋y2，整理得(λ2－1)(x2＋y2)－4λ2x＋(1＋4λ2)＝0.经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P，故这个方程为所求的轨迹方程．5当λ＝1 时，方程化为x＝，它表示一条直线，该直线与x轴垂直45 2λ 2 1＋3λ2且交x轴于点( ，0)；当λ≠1 时，方程化为(x－)2＋y2＝，4 λ2－1 λ2－122λ 2 1＋3λ 2它表示圆，该圆的圆心坐标为( ，0)，半径为.λ2－1 |λ2－1|Earlybird。

姓名，年级：时间：课时跟踪检测（十七）双曲线及其标准方程一、基本能力达标1．双曲线x225－错误!＝1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为( ）A．1或21 B．14或36C．2 D．21解析：选D 设双曲线的左右焦点分别为F1，F2,不妨设｜PF1|＝11,根据双曲线的定义知｜|PF1｜－|PF2｜|＝2a＝10，所以|PF2|＝1或｜PF2|＝21,而1＜c－a＝7－5＝2,故舍去｜PF2｜＝1,所以点P到另一个焦点的距离为21，故选D。

2．已知双曲线过点P1错误!和P2错误!，则双曲线的标准方程为（)A。

错误!－错误!＝1 B。

错误!－错误!＝1C.错误!－错误!＝1 D。

错误!－错误!＝1解析：选B 因为双曲线的焦点位置不确定,所以设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1（mn<0）．因为P1错误!,P2错误!两点在双曲线上，所以错误!解得错误!于是所求双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1.3．k〈2是方程错误!＋错误!＝1表示双曲线的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：选A ∵k<2⇒方程错误!＋错误!＝1表示双曲线,而方程错误!＋错误!＝1表示双曲线⇒（4－k)（k－2)<0⇒k<2或k〉4⇒/ k<2.4．设F1,F2是双曲线错误!－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，错误!·错误!的值为（)A．2 B．3C．4 D．6解析：选B 设点P(x0,y0），依题意得|F1F2｜＝2错误!＝4,S△PF1F2＝错误!|F1F2|·|y0|＝2,∴｜y0|＝1.又错误!－y错误!＝1，∴x错误!＝3（y错误!＋1)＝6.∴错误!·错误!＝（－2－x0，－y）·(2－x0，－y0)＝x错误!＋y错误!－4＝3.5．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线错误!－错误!＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．解析:由题易知，双曲线的右焦点为(4，0），点M的坐标为（3,错误!)或（3，－错误!)，则点M到此双曲线的右焦点的距离为4.答案:46．已知双曲线C：错误!－错误!＝1的焦距为10，点P(2,1）在直线y＝错误!x上，则C的方程为________．解析：点P（2,1)在直线y＝错误!x上，则1＝错误!，a＝2b①.双曲线的焦距为10,则有a2＋b2＝52，将①代入上式可得b2＝5，从而a2＝20,故双曲线C的方程为x220－错误!＝1.答案：错误!－错误!＝17．已知双曲线C1：x2－错误!＝1.求与双曲线C1有相同的焦点,且过点P（4,错误!）的双曲线C2的标准方程．解:双曲线C1的焦点坐标为(错误!，0),（－错误!，0)，设双曲线C2的标准方程为错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0），则错误!解得错误!所以双曲线C2的标准方程为错误!－y2＝1。

§4曲线与方程4．1 曲线与方程学习目标 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.理解方程的曲线和曲线的方程的概念.3.了解用坐标法研究几何问题的常用思路与方法.4.掌握根据已知条件求曲线方程的方法．知识点一曲线的方程和方程的曲线的概念在直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这个方程叫作曲线的方程；这条曲线叫作方程的曲线．知识点二坐标法思想及求曲线方程的步骤思考曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解，能否说f(x，y)＝0是曲线C的方程？试举例说明．答案不能．还要验证以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点是否都在曲线上．例如曲线C 为“以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分”与方程“x2＋y2＝4”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是x2＋y2＝4.梳理(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线C的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质．(3)求曲线的方程的步骤如果曲线l上的点的坐标满足方程F(x，y)＝0，则1．曲线l的方程是F(x，y)＝0.(×)2．方程F(x，y)＝0的曲线是l.(×)3．坐标不满足方程F(x，y)＝0的点不在曲线l上．(√)4．坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线l上．(×)类型一曲线的方程与方程的曲线解读例1 (1)设方程f(x，y)＝0的解集非空，若命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是假命题，则下列命题为真命题的是( )A．坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B．曲线C上的点的坐标不满足f(x，y)＝0C．坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0(2)“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点”是“曲线C的方程是f(x，y)＝0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点曲线与方程的概念题点点在曲线上的应用答案(1)D (2)B解析(1)命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”为假命题，则命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是真命题．故选D.(2)由曲线C的方程是f(x，y)＝0，得以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点，但反过来不成立，故选B.反思与感悟(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．跟踪训练1 分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．考点 曲线与方程的概念题点 点在曲线上的应用解 (1)过点A (2,0)平行于y 轴的直线上的点的坐标都是方程|x |＝2的解，但以方程|x |＝2的解为坐标的点不都在过点A (2,0)且平行于y 轴的直线上．因此，|x |＝2不是过点A (2,0)且平行于y 轴的直线的方程．(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy ＝5，但以方程xy ＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy ＝5.(3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的坐标都满足x ＋y ＝0；反之，以方程x ＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x ＋y ＝0.类型二 曲线与方程的应用例2 已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在上述方程表示的曲线上；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m 2，－m 在上述方程表示的曲线上，求m 的值． 考点 曲线与方程的概念题点 点在曲线上的应用解 (1)∵12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，∴点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上．(2)∵点M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10，解得m ＝2或m ＝－185. 引申探究本例中曲线方程不变，若点N (a,2)在圆外，求实数a 的取值范围．解 结合点与圆的位置关系，得a 2＋(2－1)2＞10，即a 2＞9，解得a ＜－3或a ＞3，故所求实数a 的取值范围为(－∞，－3)∪(3，＋∞)．反思与感悟 判断曲线与方程关系的问题时，可以利用曲线与方程的定义，也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断．跟踪训练2 若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )(a ∈R )，求k 的取值范围． 考点 曲线与方程的概念题点 点在曲线上的应用解 ∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )，∴a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0，∴k ＝－2a 2－2a ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋122＋12， ∴k ≤12， ∴k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，12. 类型三 求曲线的方程命题角度1 直接法求曲线的方程例3 一个动点P 到直线x ＝8的距离是它到点A (2,0)的距离的2倍．求动点P 的轨迹方程．考点 求曲线方程的方法题点 直接法求曲线方程解 设P (x ，y )，则|8－x |＝2|PA |，则|8－x |＝2(x －2)2＋(y －0)2，化简，得3x 2＋4y 2＝48，故动点P 的轨迹方程为3x 2＋4y 2＝48.引申探究若本例中的直线改为“y ＝8”，求动点P 的轨迹方程．解 设P (x ，y )，则P 到直线y ＝8的距离d ＝|y －8|，又|PA |＝(x －2)2＋(y －0)2，故|y －8|＝2(x －2)2＋(y －0)2， 化简，得4x 2＋3y 2－16x ＋16y －48＝0.故动点P 的轨迹方程为4x 2＋3y 2－16x ＋16y －48＝0.反思与感悟 直接法求动点轨迹的关键及方法(1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系；②找出所求动点满足的几何条件．(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明． 特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化．跟踪训练3 已知两点M (－1,0)，N (1,0)，且点P 使MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列，求点P 的轨迹方程．考点 求曲线方程的方法题点 直接法求曲线方程解 设点P (x ，y )，由M (－1,0)，N (1,0)，得PM →＝－MP →＝(－1－x ，－y )，PN →＝－NP →＝(1－x ，－y )，MN →＝－NM →＝(2,0)．∴MP →·MN →＝2(x ＋1)，PM →·PN →＝x 2＋y 2－1， NM →·NP →＝2(1－x )．于是，MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－1＝12[2(x ＋1)＋2(1－x )]，2(1－x )－2(x ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝3，x >0.∴点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝3(x >0)．命题角度2 相关点法求曲线的方程例4 动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B (3,0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程．考点 求曲线方程的方法题点 坐标转移法求曲线方程解 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)， 因为P 为MB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋32，y ＝y 02，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －3，y 0＝2y ，又因为M 在曲线x 2＋y 2＝1上，所以(2x －3)2＋4y 2＝1.所以点P 的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1.反思与感悟 相关点法求解轨迹方程的步骤(1)设动点P (x ，y )，相关动点M (x 0，y 0)．(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝f (x ，y )，y 0＝g (x ，y ).(3)代入相关动点的轨迹方程．(4)化简、整理，得所求轨迹方程．跟踪训练4 已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝9.过原点作圆C 的弦OP ，求OP 的中点Q 的轨迹方程．考点 求曲线方程的方法题点 相关点法求曲线方程解 设P (x 1，y 1)，Q (x ，y )， 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 12，y ＝y 12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y . 又因为点P 在圆C 上，所以x 21＋(y 1－3)2＝9， 所以4x 2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －322＝9， 即x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －322＝94(x ≠0).1．若命题“曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是真命题，则下列命题为真命题的是( )A．方程f(x，y)＝0所表示的曲线是曲线CB．方程f(x，y)＝0所表示的曲线不一定是曲线CC．f(x，y)＝0是曲线C的方程D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上考点曲线与方程的概念题点点在曲线上的应用答案 B解析“曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，但以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点不一定在曲线C上，故A，C，D都为假命题，B为真命题．2．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)( ) A．在直线l上，但不在曲线C上B．在直线l上，也在曲线C上C．不在直线l上，也不在曲线C上D．不在直线l上，但在曲线C上考点曲线与方程的概念题点点在曲线上的应用答案 B解析将M(2,1)代入直线l和曲线C的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2＝2，所以点M既在直线l上，又在曲线C上，故选B.3．等腰三角形底边的两个顶点分别是B(2,1)，C(0，－3)，则另一个顶点A的轨迹方程是( )A．x－2y＋1＝0(x≠0) B．y＝2x－1C．x＋2y＋1＝0(y≠1) D．x＋2y＋1＝0(x≠1)考点求曲线的方程的方法题点直接法求曲线方程答案 D解析设A(x，y)，依题意，知|AB|＝|AC|，所以(x－2)2＋(y－1)2＝x2＋(y＋3)2，化简得x＋2y＋1＝0.又因为A，B，C三点不能共线，所以x≠1，故选D.4．到直线4x＋3y－5＝0的距离为1的点的轨迹方程为________________．考点求曲线的方程的方法题点几何法求曲线方程答案4x＋3y－10＝0和4x＋3y＝0解析设该点坐标为(x，y)，则|4x＋3y－5|＝1，即|4x＋3y－5|＝5，5∴所求轨迹方程为4x＋3y－10＝0和4x＋3y＝0.5．M为直线l：2x－y＋3＝0上的一动点，A(4,2)为一定点，又点P在直线AM上运动，且AP→＝3PM→，求动点P的轨迹方程．考点求曲线方程的方法题点坐标转移法求曲线方程解设点M，P的坐标分别为M(x0，y0)，P(x，y)，由题设及向量共线条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＝4＋3x 0，4y ＝3y 0＋2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝4x －43，y 0＝4y －23，因为点M (x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上，所以2×4x －43－4y －23＋3＝0， 即8x －4y ＋3＝0，从而点P 的轨迹方程为8x －4y ＋3＝0.1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．一、选择题1．方程|x |＋|y |＝|xy |＋1表示的曲线是( )A ．一条直线B ．一个正方形C ．一个圆D ．四条直线考点 曲线和方程的概念题点 由方程研究曲线的对称性答案 D解析 由|x |＋|y |＝|xy |＋1，得(|x |－1)(|y |－1)＝0，即x ＝±1或y ＝±1，因此该方程表示四条直线．2．已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为( ) A.π3B.53πC.π3或53πD.π3或π6考点 曲线和方程的概念题点 点在曲线上的应用答案 C解析 由(cos α－2)2＋sin 2α＝3，得cos α＝12. 又因为0≤α<2π，所以α＝π3或α＝53π. 3．方程|x |－|y |＝0表示的图形是下图中的( )考点 曲线和方程的概念题点 由方程研究曲线的对称性答案 C解析 由|x |－|y |＝0知，y ＝±x ，即表示一、三象限角平分线或二、四象限角平分线．4．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，若动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所围成的面积为( )A ．9πB．8πC．4πD．π考点 曲线与方程的意义题点 曲线与方程的综合应用答案 C解析设P(x，y)，∵|PA|＝2|PB|，∴(x＋2)2＋y2＝4(x－1)2＋4y2，∴(x－2)2＋y2＝4，∴点P的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，∴所围成的面积S＝π·22＝4π.5．在平面直角坐标系中，动点P(x，y)到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点P的轨迹为曲线W，则有下列命题：①曲线W关于原点对称；②曲线W关于x轴对称；③曲线W关于y轴对称；④曲线W关于直线y＝x对称．其中真命题的个数是( )A．1B．2C．3D．4考点曲线与方程的意义题点曲线与方程的综合应用答案 A6．过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|等于( ) A．26B．8C．46D．10考点求曲线方程的方法题点几何法求曲线方程答案 C解析由已知，得AB→＝(3，－1)，BC→＝(－3，－9)，则AB→·BC→＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以AB→⊥BC→，即AB⊥BC，故过三点A，B，C的圆以AC为直径，得其方程为(x －1)2＋(y＋2)2＝25，令x＝0得(y＋2)2＝24，解得y1＝－2－26，y2＝－2＋26，所以|MN|＝|y1－y2|＝46，故选C.7．已知两点A(2，0)，B(－2，0)，点P为平面内一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，且PA→·PB→＝2PQ→2，则动点P的轨迹方程为( )A．x2＋y2＝2 B．y2－x2＝2C．x2－2y2＝1 D．2x2－y2＝1考点求曲线方程的方法题点定义法求曲线方程答案 B解析设动点P的坐标为(x，y)，则点Q的坐标为(0，y)，PQ→＝(－x,0)，PA→＝(2－x，－y)，PB→＝(－2－x，－y)，PA→·PB→＝x2－2＋y2.由PA→·PB→＝2PQ→2，得x2－2＋y2＝2x2，所以所求动点P的轨迹方程为y2－x2＝2.二、填空题8．方程(x－1)2＋y－2＝0表示的是____________．考点讨论方程的曲线类型题点其他类型的曲线与方程答案点(1,2)解析由(x－1)2＋y－2＝0，知(x－1)2＝0且y－2＝0，即x＝1且y＝2，所以(x－1)2＋y－2＝0表示的是点(1,2)．9．已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的一动点，过点P作l的垂线，垂足为Q，且QP→·QF→＝FP→·FQ→，则动点P的轨迹C的方程是________．考点求曲线方程的方法题点 坐标转移法求曲线方程答案 y 2＝4x (x ≥0)解析 设点P (x ，y )，则Q (－1，y )．由QP →·QF →＝FP →·FQ →，得(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，所以2(x ＋1)＝－2(x －1)＋y 2，化简得y 2＝4x (x ≥0)．10．若点A (1,1)，B (2，m )都在方程ax 2＋xy －2＝0表示的曲线上，则m ＝________. 考点 曲线与方程的概念题点 点在曲线上的应用答案 －1解析 ∵A (1,1)，B (2，m )都在方程ax 2＋xy －2＝0表示的曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1－2＝0，4a ＋2m －2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，m ＝－1. 11．点A (1，－2)在曲线x 2－2xy ＋ay ＋5＝0上，则a ＝________.考点 曲线与方程的概念题点 点在曲线上的应用答案 5解析 由题意可知点(1，－2)是方程x 2－2xy ＋ay ＋5＝0的一组解，即1＋4－2a ＋5＝0，解得a ＝5.三、解答题12．已知A (－3,0)，B ，C 两点分别在y 轴和x 轴上运动，点P 为BC 延长线上一点，并且满足AB →⊥BP →，BC →＝12BP →，试求动点P 的轨迹方程． 考点 求曲线方程的方法题点 直接法求曲线方程解 设P (x ，y )，B (0，y ′)，C (x ′，0)，则BC →＝(x ′，－y ′)，BP →＝(x ，y －y ′)，由BC →＝12BP →，得(x ′，－y ′)＝12(x ，y －y ′)， 即x ′＝x 2，y ′＝－y ，∴B (0，－y )， 又A (－3,0)，∴AB →＝(3，－y )，BP →＝(x,2y )，由AB →⊥BP →，得AB →·BP →＝0，∴3x －2y 2＝0，即动点P 的轨迹方程为y 2＝32x .13．过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．考点 求曲线方程的方法题点 坐标转移法求曲线方程解 方法一 如图所示，设点A (a,0)，B (0，b )，M (x ，y )．因为M 为线段AB 的中点，所以a ＝2x ，b ＝2y ，即A (2x,0)，B (0,2y )．因为l 1⊥l 2，所以k AP ·k PB ＝－1.而k AP ＝4－02－2x (x ≠1)，k PB ＝4－2y 2－0，所以21－x ·2－y 1＝－1(x ≠1)， 整理，得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．因为当x ＝1时，A ，B 的坐标分别为(2,0)，(0,4)，所以线段AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程x ＋2y －5＝0.综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.方法二 ∴l 1⊥l 2，OA ⊥OB ，∵OAPB 四点共圆，AB 为直径，∴|MO |＝|MP |，设M (x ，y ) 则x 2＋y 2＝(x －2)2＋(y －4)2，整理得：x ＋2y －5＝0.四、探究与拓展14．方程x 2|x |＋y 2|y |＝1表示的图形是( ) A ．一条直线B ．两条平行线段C ．一个正方形D ．一个正方形(除去四个顶点)考点 讨论方程的曲线类型题点 其他类型的曲线与方程答案 D解析 由方程可知，方程表示的图形关于坐标轴和原点对称，且x ≠0，y ≠0.当x ＞0，y ＞0时，方程可化为x ＋y ＝1，表示第一象限内的一条线段(去掉两端点)，因此原方程表示的图形是一个正方形(除去四个顶点)，故选D.15．已知直角坐标平面上点Q (2,0)和圆O ：x 2＋y 2＝1，M 为直角坐标平面内一动点，过点M 作圆O 的切线，切点为N ，若|MN |与|MQ |的比值等于常数λ(λ＞0)，求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．考点 求曲线方程的方法题点 直接法求曲线方程解 连接ON ，OM ，易知ON ⊥MN ，设M (x ，y )．∵圆O 的半径是1，∴|MN |2＝|OM |2－|ON |2＝|OM |2－1.由题意知，|MN ||MQ |＝λ(λ＞0)， ∴|MN |＝λ|MQ |， 即x 2＋y 2－1＝λ(x －2)2＋y 2，整理得(λ2－1)(x 2＋y 2)－4λ2x ＋(1＋4λ2)＝0.∵λ＞0，∴当λ＝1时，方程化为x ＝54，该方程表示一条直线； 当λ≠1时，方程化为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －2λ2λ2－12＋y 2＝1＋3λ2(λ2－1)2， 该方程表示以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2λ2λ2－1，0为圆心，以1＋3λ2|λ2－1|为半径的圆．。

北师大版高中数学选修1-2课时跟踪检测（10套，附解析）一、回归分析1．已知两个有线性相关关系的变量的相关系数为r，则r取下列何值时，两个变量的线性相关关系最强( )A．－0.91 B．0.25C．0.6 D．0.86解析：选A 在四个r值中，|－0.91|最接近1，故此时，两个变量的线性相关关系最强．2．根据如下样本数据A．a>0，b>0 B．a>0，b<0C．a<0，b>0 D．a<0，b<0解析：选B 由表中数据画出散点图，如图．由散点图可知b<0，a>0，选B.3.设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i，y i)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是( )A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(x，y)C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kgD．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg解析：选D 由于回归直线的斜率为正值，故y与x具有正的线性相关关系，选项A中的结论正确；回归直线过样本点的中心，选项B中的结论正确；根据回归直线斜率的意义易知选项C中的结论正确；由于回归分析得出的是估计值，故选项D中的结论不正确．4．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝0.76，a ＝y －b x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元解析：选B 由题意知，x ＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y ＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴a ＝8－0.76×10＝0.4，∴当x ＝15时，y ＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．5．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为________．解析：根据样本相关系数的定义可知， 当所有样本点都在直线上时， 相关系数为1. 答案：16．某咖啡厅为了了解热饮的销售量y (个)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的销售量与气温，并制作了对照表：________．解析：∵x ＝14(18＋13＋10－1)＝10，y ＝14(24＋34＋38＋64)＝40，∴40＝－2×10＋a ，∴a ＝60，当x ＝－4时，y ＝－2×(－4)＋60＝68.答案：687．某种产品的广告费用支出x 与销售额y 之间有如下的对应数据(单位：万元).(1)(2)求回归方程；(3)据此估计广告费用支出为10万元时，销售额y 的值． 解：(1)作出散点图如下图．(2)由散点图可知，样本点近似地分布在一条直线附近，因此，x ，y 之间具有线性相关关系．由表中的数据可知，x －＝15×(2＋4＋5＋6＋8)＝5，y －＝15×(30＋40＋60＋50＋70)＝50.所以b ＝∑i ＝15x i －x－y i －y－∑i ＝15x i －x－2＝6.5，a ＝y －－b x －＝50－6.5×5＝17.5，因此线性回归方程为y ＝17.5＋6.5x .(3)x ＝10时，y ＝17.5＋10×6.5＝82.5(万元)． 即当支出广告费用10万元时，销售额为82.5万元．8．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)解：(1)x ＝16(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，y ＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，从而a ＝y ＋20x ＝80＋20×8.5＝250, 故y ＝－20x ＋250.(2)由题意知， 工厂获得利润z ＝(x －4)y ＝－20x 2＋330x －1 000＝－20⎝⎛⎭⎪⎫x －3342＋361.25，所以当x ＝334＝8.25时，z max ＝361.25(元)．即当该产品的单价定为8.25元时，工厂获得最大利润．9．在钢铁碳含量对于电阻的效应研究中，得到如下数据表：解：由已知数据得x －＝17×∑i ＝17x i ≈0.543，y －＝17×145.2≈20.74，∑i ＝17x 2i ＝2.595，∑i ＝17y 2i ＝3 094.72，∑i ＝17x i y i ＝85.45.∴b ≈85.45－7×0.543×20.742.595－7×0.5432≈12.46， a ＝20.74－12.46×0.543≈13.97.线性回归方程为y ＝13.97＋12.46x . 下面利用相关系数检验是否显著．∑i ＝17x i y i －7x － y －＝85.45－7×0.543×20.74≈6.62，∑i ＝17x 2i －7x －2＝2.595－7×(0.543)2≈0.531， ∑i ＝17y 2i －7y －2＝3 094.72－7×(20.74)2＝83.687. ∴r ＝6.620.531×83.687≈0.993.由于r 接近于1，故钢铁碳含量对电阻的效应线性相关关系显著．二、条件概率与独立事件1．抛掷一颗骰子一次，A 表示事件：“出现偶数点”，B 表示事件：“出现3点或6点”，则事件A 与B 的关系是( )A ．相互互斥事件B ．相互独立事件C ．既相互互斥又相互独立事件D ．既不互斥又不独立事件解析：选B A ＝{2,4,6}，B ＝{3,6}，A ∩B ＝{6}，所以P (A )＝12，P (B )＝13，P (AB )＝16＝12×13，所以A 与B 是相互独立事件． 2．把一枚硬币抛掷两次，事件A ＝“第一次出现正面”，事件B ＝“第二次出现反面”，则P (B |A )的值为( )A.12 B ．14 C.13D ．1解析：选A P (B )＝P (A )＝12，P (AB )＝14，P (B |A )＝P ABP A ＝1412＝12.3．某农业科技站对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地取出一粒，则这粒水稻种子发芽能成长为幼苗的概率为( )A ．0.02B ．0.08C ．0.18D ．0.72解析：选D 设“这粒水稻种子发芽”为事件A ，“这粒水稻种子发芽又成长为幼苗”为事件AB ，“这粒种子能成长为幼苗”为事件B |A ，则P (A )＝0.8，P (B |A )＝0.9，由条件概率公式，得P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.9×0.8＝0.72.4．甲射手击中靶心的概率为13，乙射手击中靶心的概率为12，甲、乙两人各射击一次，那么56等于( )A ．甲、乙都击中靶心的概率B ．甲、乙恰好有一人击中靶心的概率C ．甲、乙至少有一人击中靶心的概率D ．甲、乙不全击中靶心的概率解析：选D 设“甲、乙都击中靶心”为事件A ，则P (A )＝13×12＝16，甲、乙不全击中靶心的概率为P (A )＝1－P (A )＝1－16＝56.5．有一个数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，两人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．解析：甲、乙两人都未能解决为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝12×23＝13，问题得到解决就是至少有1 人能解决问题． ∴P ＝1－13＝23.答案：13 236．盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为________．解析：法一：设A ＝{第一次取到新球}，B ＝{第二次取到新球}，则n (A )＝6×9＝54，n (AB )＝6×5＝30，∴P (B |A )＝n AB n A ＝3054＝59.法二：在第一次取到新球的条件下，盒中装有9只乒乓球，其中5只新球，则第二次也取到新球的概率为P ＝59.答案：597．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A ，B ，C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6，0.5，0.5.假设各盘比赛结果相互独立．求红队至少两名队员获胜的概率．解：设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，则D ，E ，F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5， 由对立事件的概率公式知，P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5.红队至少两人获胜的事件有DE F ，D E F ，D EF ，DEF .由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DE F )＋P (D E F )＋P (D EF )＋P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.8．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．(1)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； (2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率．解：设“只购买甲种商品”为事件A ，“只购买乙种商品”为事件B ，“购买甲、乙两种商品中的一种”为事件C ，“至少购买甲、乙两种商品中的一种”为事件D .(1)因为C ＝(A B )＋(A B )，所以P (C )＝P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝0.5×(1－0.6)＋(1－0.5)×0.6＝0.5. (2)因为D ＝A B ，所以P (D )＝P (A B )＝P (A )P (B )＝0.5×0.4＝0.2. 所以P (D )＝1－P (D )＝1－0.2＝0.8.9．2018年某中学对参加“社会实践活动”的全体志愿者进行学分考核，因该批志愿者表现良好，学校决定考核只有合格和优秀两个等次．若某志愿者考核为合格，授予1个学分；考核为优秀，授予2个学分，假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为45，23，23，他们考核所得的等次相互独立．(1)求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率； (2)求在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和至多为4分的概率． 解：(1)记“甲考核为优秀”为事件A ，“乙考核为优秀”为事件B ，“丙考核为优秀”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件D .则P (D )＝1－P (A B C )＝1－P (A )P (B )P (C )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝4445.(2)由题意，得在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为3分的概率为P (AB C )＝P (A )P (B )P (C )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－45×⎝⎛⎭⎪⎫1－23×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＝145，在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为4分的概率为P (A B C )＋P (AB C )＋P (A B C )＝45×⎝⎛⎭⎪⎫1－23×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－45×23×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－45×⎝⎛⎭⎪⎫1－23×23＝845.所以在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和至多为4分的概率为145＋845＝15.三、独立性检验 独立性检验的基本思想及应用1．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到下表：由χ2＝n a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d算得，χ2＝30－260×50×60×50≈7.8.附表：A ．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别无关”解析：选C 因为χ2≈7.8>6.635，所以有99%以上的把握认为有关．2．两个分类变量X 和Y, 值域分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}, 其样本频数分别是a ＝10, b ＝21, c ＋d ＝35. 若X 与Y 有关系的可信程度不小于95%, 则c 等于( )A ．3B ．7C ．5D ．6解析：选A 列表如下：故χ2＝≥3.841. 把选项A、B、C、D代入验证可知选A.＋c－c3．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )表1表3表4A．成绩C．智商D．阅读量解析：选D 因为χ21＝－216×36×32×20＝52×8216×36×32×20，χ22＝－216×36×32×20＝52×112216×36×32×20，χ23＝－216×36×32×20＝52×96216×36×32×20，χ24＝－216×36×32×20＝52×408216×36×32×20，则有χ24>χ22>χ23>χ21，所以阅读量与性别关联的可能性最大．4．在研究性别与吃零食这两个分类变量是否有关系时，下列说法中正确的序号是________．①若χ2>6.635，则我们有99%的把握认为吃零食与性别有关系，那么在100个吃零食的人中必有99人是女性；②由独立性检验可知，在有99%的把握认为吃零食与性别有关系时，如果某人吃零食，那么此人是女性的可能性为99%；③由独立性检验可知，在有99%的把握认为吃零食与性别有关系时，是指每进行100次这样的推断，平均有1次推断错误．解析：χ2是指确定有多大的把握认为“两个分类变量吃零食与性别有关系”的随机变量值，所以由独立性检验可知，当有99%的把握认为吃零食与性别有关系时，是指每进行100次这样的推断，平均有1次推断错误，故填③.答案：③5．下列是关于出生男婴与女婴调查的列联表：那么A＝________，BD＝________，E＝________.解析：由45＋E＝98得E＝53，由98＋D＝180可知D＝82.由A＋35＝D知A＝47.所以B＝45＋47＝92.C＝E＋35＝88.答案：47 92 88 82 536．为探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠，在照射后14天内的结果如下表所示.2≈________.解析：χ2＝－220×30×25×25≈5.333.答案：5.3337．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外的27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外的33人主要的休闲方式是运动．(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；(2)能否有95%的把握认为性别与休闲方式有关系．解：(1)2×2列联表为：(2)计算χ2＝－270×54×64×60≈6.201.因为6.201>3.841，所以有95%的把握认为“性别与休闲方式有关”．8．某地区甲校高二年级有1 100人，乙校高二年级有900人，为了统计两个学校高二年级在学业水平考试中的数学学科成绩，采用分层抽样的方法在两校共抽取了200名学生的数学成绩，如表．(已知本次测试合格线是50分，两校合格率均为100%)甲校高二年级数学成绩：(2)若数学成绩不低于80分为优秀，低于80分为非优秀，根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并回答能否有95%的把握认为“两个学校的数学成绩有差异”？解：(1)所以x＝10，y＝15.甲校的平均分为1110×(55×10＋65×25＋75×35＋85×30＋95×10)≈75.乙校的平均分为190×(55×15＋65×30＋75×25＋85×15＋95×5)≈71.(2)数学成绩不低于80分为优秀，低于80分为非优秀，得到列联表如下：所以χ2＝110×90×60×140≈4.714，又因为4.714>3.841，故有95%的把握认为“两个学校的数学成绩有差异”．9．某学生对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示他们的饮食指数(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)．(1)根据茎叶图，帮助这位同学说明其30位亲属的饮食习惯；(2)根据以上数据完成如下2×2列联表；(3)解：(1)由茎叶图，可知30位亲属中50岁以上的人饮食多以蔬菜为主，50岁以下的人饮食多以肉类为主．(2)2×2列联表如下所示：(3)由题意，知χ2＝12×18×20×10＝10>6.635，故有99%以上的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关系．四、流程图1．下列关于流程图的说法中不正确的是( )A．流程图用来描述一个动态过程B．算法框图是一种特殊的流程图C．流程图只能用带箭头的流程线表示各单元的先后关系D．解决某一问题的流程图的画法是唯一的解析：选D A，C均符合流程图的特征，算法框图是一种特殊的流程图，故B正确．2．某人带着包裹进入超市购物的流程图如图所示，则在空白处应填( )进入超市―→存放包裹―→在货架上选择物品―→付款―→―→离开超市A．退换物品B．归还货车C．取回包裹D．参加抽奖答案：C3.如图所示，已知集合A＝{x|框图中输出的x的值}，集合B＝{y|框图中输出的y的值}．全集U＝Z，Z为整数集．当x＝－1时，(∁U A)∩B＝( )A．{－3，－1,5}B．{－3，－1,5,7}C．{－3，－1,7}D．{－3，－1,7,9}解析：选D 根据程序框图功能知：y＝－3，x＝0；y＝－1，x＝1；y＝1，x＝2；…；y＝9，x＝6.所以A＝{0,1,2,3,4,5,6}．B＝{－3，－1,1,3,5,7,9}．则(∁U A)∩B＝{－3，－1,7,9}．4.执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝－1，则输出的S等于( )A．2 B．3C．4 D．5解析：选B 运行程序框图，a＝－1，S＝0，K＝1，K≤6成立；S＝0＋(－1)×1＝－1，a＝1，K＝2，K≤6成立；S＝－1＋1×2＝1，a＝－1，K＝3，K≤6成立；S＝1＋(－1)×3＝－2，a＝1，K＝4，K≤6成立；S＝－2＋1×4＝2，a＝－1，K＝5，K≤6成立；S＝2＋(－1)×5＝－3，a＝1，K＝6，K≤6成立；S＝－3＋1×6＝3，a＝－1，K＝7，K≤6不成立，输出S＝3.5．某工程的工序流程图如图，则该工程的总工时最多为________天．解析：因为各个不同工序中用时最多的是①→②→④→⑥→⑦，即9天．答案：96．执行如图所示的程序框图，若输入n＝3，则输出T＝________.解析：输入n＝3，则i＝0，S＝0，T＝0，i≤n成立，故i＝1，S＝0＋1＝1，T＝0＋1＝1，此时i＝1≤n成立，故i＝2，S＝1＋2＝3，T＝1＋3＝4，此时i＝2≤n成立，故i＝3，S＝3＋3＝6，T＝4＋6＝10，此时i＝3≤n成立，故i＝4，S＝6＋4＝10，T＝10＋10＝20，此时i＝4≤n不成立，故输出T＝20.答案：207．如图是某工厂加工某种零件的一个工序操作流程图．按照这个工序流程图，回答下列问题： (1)一件成品最多经过几道加工和检验程序； (2)导致废品的产生有几种不同的情形．解：由流程图可得：(1)最多经过“粗加工”“检验”“返修加工”“返修检验”“精加工”“最后检验”六道加工和检验程序．(2)三种不同情形：①返修加工―→返修检验不合格． ②检验――→合格精加工―→最后检验不合格． ③返修检验――→合格精加工―→最后检验不合格．8．求两底面半径分别为1和4，高为4的圆台的表面积及体积，写出解决该问题的一个算法，并画出程序框图．解：算法步骤如下：第一步 r 1＝1，r 2＝4，h ＝4. 第二步 计算l ＝r 2－r 12＋h 2.第三步 计算S 1＝πr 21，S 2＝πr 22，S 3＝π(r 1＋r 2)l . 第四步 计算S ＝S 1＋S 2＋S 3，V ＝13(S 1＋S 1S 2＋S 2)h .第五步 输出S 和V . 该算法的程序框图如下：9．高考成绩公布后，考生如果认为公布的高考成绩与本人估算的成绩不符，可以在规定的时间内申请查分，其步骤如下：①本人填写《查分登记表》，交县(区)招生办申请查分，县(区)招生办呈交市招生办，再报省招生办．②省招生办复查，若无误，则查分工作结束后通知市招生办；若有误，则再具体认定并改正，也在查分工作结束后通知市招生办．③市招生办接通知后通知县(区)招生办，再由县(区)招生办通知考生．试画出该事件的流程图．解：流程图如图所示．五、结构图1．下列关于流程图和结构图的说法中不正确的是( )A．流程图用来描述一个动态过程B．结构图是用来刻画系统结构的C．流程图只能用带箭头的流程线表示各单元的先后关系D．结构图只能用带箭头的连线表示各要素之间的从属关系或逻辑上的先后关系解析：选D 结构图一般由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线(或方向箭头)构成，故D不正确．2．把平面内两条直线的位置关系填入结构图中的M，N，E，F中，顺序较为恰当的是( )①平行②垂直③相交④斜交A．①②③④B．①④②③C．①③②④D．②①④③解析：选C 平行无交点，而垂直、相交、斜交都有交点，垂直与斜交是并列的，都隶属于相交．3．下图是“集合”的知识结构图，如果要加入“子集”，则应该放在( )A．“集合的概念”的下位B．“集合的表示”的下位C．“基本关系”的下位D．“基本运算”的下位解析：选C 子集是集合与集合之间的关系，故应为“基本关系”的下位．4．下图是一商场某一个时间制订销售计划时的局部结构图，则“计划”受影响的主要要素有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C 共有“策划部”“政府行为”“社会需求”，三个要素影响计划的执行．5．我国是华南虎的故乡，且华南虎是所有老虎的祖先，现在我国野生华南虎的数量已不足20只，弥足珍贵，老虎属于猫科动物，猫科动物的分类(如图所示)．据图回答：华南虎属于________科，________属．解析：该结构图是按从左到右的顺序画出的，从左到右第二层是科类，第三层是属类，分类由大到小，逐层细化，单线观察：猫科动物-豹亚科-豹属-虎种-华南虎，和华南虎相连的第二层是豹亚科，第三层是豹属．答案：豹亚豹6．下列关于结构图的说法中，正确的是________．①结构图只能是从左向右分解；②结构图只能是从上向下分解；③结构图只能是从下向上分解；④结构图一般呈“树”形结构；⑤结构图有时呈“环”形结构．解析：结构图分解方向一般依据具体情况选择从上向下或从左向右．答案：④⑤7．一家新技术公司计划研制一个名片管理系统，希望系统能够具备以下功能：(1)用户管理：能修改密码，显示用户信息，修改用户信息．(2)用户登录．(3)名片管理：能够对名片进行删除、添加、修改、查询．(4)出错信息处理．请根据这些要求画出该系统的结构图．解：由题意可得：8．如图所示是某大学的学校组织结构图，由图回答下列问题：(1)学生工作处的下位要素是什么？(2)学生工作处与其下位要素是什么关系？解：(1)由题图可知学生工作处的下位要素包括工业工程系、城建环保工程系、电气工程系、计算机工程系、机械工程系、汉教部．(2)学生工作处与其下位要素的关系是从属关系．9．画出三角函数的知识结构图．解：三角函数的知识结构图如下：六、归纳推理1．观察下列数列的特点：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，则第100项是( )A．10 B．13C．14 D．100解析：选C ∵＋2＝91，∴从第92项到第105项都是14，故选C.2.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是( )11 11 2 11 3 3 11 4 a 4 11 5 10 10 5 1A．2 B．4C ．6D ．8解析：选C 由杨辉三角形可以发现：每一行除1外，每个数都是它肩膀上的两数之和．故a ＝3＋3＝6.3．观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内适合的图形为( )A ．■ C ．□D ．○解析：选A 图形涉及三种符号□、○、△，其中符号○与△各有3个，且各自有二黑一白，所以□缺一个黑色符号，即应画上■才合适．4．设凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋( ) A.π2B ．π C.32π D ．2π解析：选B 三角形内角和为π，四边形为2π，五边形为3π，…，故f (k ＋1)＝f (k )＋π.5．已知x ∈(0，＋∞)，有下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x3＋27x 3≥4成立，观察上面各式，按此规律若x ＋ax4≥5，则正数a ＝________.解析：观察给出的各个不等式，不难得到x ＋11x ≥2，x ＋22x 2≥3，x ＋33x3≥4，从而第4个不等式为x ＋44x 4≥5，所以当x ＋a x4≥5时，正数a ＝44.答案：446．如图①是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图②的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图②中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列{a n }的通项公式为a n ＝__________.解析：根据OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1和题图②中的各直角三角形，由勾股定理，可得a 1＝OA 1＝1，a 2＝OA 2＝OA 21＋A 1A 22＝12＋12＝2，a 3＝OA 3＝OA 22＋A 2A 23＝22＋12＝3，…，故可归纳推测出a n ＝n . 答案：n7．观察等式：1＋3＝4＝22,1＋3＋5＝9＝32,1＋3＋5＋7＝16＝42，你能得出怎样的结论？ 解：通过观察发现：等式的左边为正奇数的和，而右边是整数(实际上就是左边奇数的个数)的完全平方．因此可推测得出：1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n －1)＝n 2(n ≥2，n ∈N ＋)．8．已知a ，b 为正整数，设两直线l 1：y ＝b －ba x 与l 2：y ＝b ax 的交点为P 1(x 1，y 1)，且对于n ≥2的自然数，两点(0，b )，(x n －1,0)的连线与直线y ＝b ax 交于点P n (x n ，y n )．(1)求P 1，P 2的坐标； (2)猜想P n 的坐标(n ∈N ＋)．解：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b －b ax ，y ＝ba x ，得P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b2.过(0，b )，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0两点的直线方程为2x a ＋y b ＝1，与y ＝b a x 联立解得P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3. (2)由(1)可猜想P n ⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋1，b n ＋1.9．一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图①②③④分别是制作该作品前四步所对应的图案，按照如此规律，第n 步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为f (n )．(1)求出f (2)，f (3)，f (4)，f (5)的值；(2)利用归纳推理，归纳出f (n ＋1)与f (n )的关系式； (3)猜想f (n )的表达式，并写出推导过程． 解：(1)图①中只有一个小正方形，得f (1)＝1；图②中有3层，以第2层为对称轴，有1＋3＋1＝5(个)小正方形，得f (2)＝5； 图③中有5层，以第3层为对称轴，有1＋3＋5＋3＋1＝13(个)小正方形，得f (3)＝13； 图④中有7层，以第4层为对称轴，有1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝25(个)小正方形，得f (4)＝25；第五步所对应的图形中有9层，以第5层为对称轴，有1＋3＋5＋7＋9＋7＋5＋3＋1＝41(个)小正方形，得f(5)＝41.(2)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，f(5)＝41，∴f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，…，∴f(n)－f(n－1)＝4×(n－1)＝4n－4.∴f(n＋1)与f(n)的关系式为f(n＋1)－f(n)＝4n.(3)猜想f(n)的表达式为f(n)＝2n2－2n＋1.由(2)可知f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，……f(n)－f(n－1)＝4×(n－1)＝4n－4，将上述n－1个式子相加，得f(n)－f(1)＝4[1＋2＋3＋4＋…＋(n－1)]，则f(n)＝2n2－2n＋1.七、类比推理1．下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适( )A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形解析：选C 从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适．2．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝2Sa＋b＋c；类比这个结论可知：四面体P­ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，四面体P­ABC的体积为V，则r＝( )A.VS1＋S2＋S3＋S4B.2VS1＋S2＋S3＋S4C.3VS1＋S2＋S3＋S4D.4VS1＋S2＋S3＋S4解析：选C 设内切球的球心为O，所以可将四面体P­ABC分为四个小的三棱锥，即O­ABC，O­PAB，O­PAC，O­PBC，而四个小三棱锥的底面积分别是四面体P­ABC的四个面的面积，高是内切球的半径，所以V ＝13S 1r ＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r ，∴r ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.3．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( )A ．a 1a 2a 3…a 9＝29B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29C ．a 1a 2…a 9＝2×9D ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9解析：选D 类比等比数列{b n }中b 1b 2b 3…b 9＝b 95，可得在等差数列{a n }中a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 5＝9×2.4．类比三角形中的性质： ①两边之和大于第三边； ②中位线长等于底边长的一半； ③三内角平分线交于一点． 可得四面体的对应性质：①任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；②过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的14；③四面体的六个二面角的平分面交于一点． 其中类比推理方法正确的有( ) A ．① B ．①② C ．①②③D ．都不对解析：选C 以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．5．在△ABC 中，D 为BC 的中点，则AD ―→＝12()AB ―→＋AC ―→ ，将命题类比到四面体中去，得到一个命题为：______________________________________.．解析：平面中线段的中点类比到空间为四面体中面的重心，顶点与中点的连线类比顶点和重心的连线．答案：在四面体A ­BCD 中，G 是△BCD 的重心，则AG ―→＝13()AB ―→＋AC ―→＋AD ―→ 6．运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一条固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为k ，那么甲的面积是乙的面积的k 倍．你可以从给出的简单图形①②中体会这个原理．现在图③中的两个曲线方程分别是x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b＞0)与x 2＋y 2＝a 2，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为__________．解析：由于椭圆与圆截y 轴所得线段之比为b a， 即k ＝b a，所以椭圆面积S ＝πa 2·b a＝πab . 答案：πab7．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，在空间中，给出四面体性质的猜想．解：如图，在Rt △ABC 中，cos 2A ＋cos 2B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＝a 2＋b2c 2＝1.于是把结论类比到四面体P ­A ′B ′C ′中，我们猜想，三棱锥P ­A ′B ′C ′中，若三个侧面PA ′B ′，PB ′C ′，PC ′A ′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.8．在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和．(1)写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明； (2)写出该结论一个更为一般的情形(不必证明)．解：(1)在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和，则数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．证明如下：∵等差数列{a n }的公差d ＝3， ∴(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝10d ＋10d ＋…＋10d ＝100d ＝300，10个同理可得：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列，且公差为300. (2)在公差为d 的等差数列{a n }中， 若S n 是{a n }的前n 项和， 则对于任意k ∈N ＋， 数列S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，S 4k －S 3k 也成等差数列，且公差为k 2d .9．先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a 1，a 2∈R ，a 1＋a 2＝1，求证a 21＋a 22≥12.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2， 则f (x )＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋a 21＋a 22＝2x 2－2x ＋a 21＋a 22. 因为对一切x ∈R ，恒有f (x )≥0，所以Δ＝4－8(a 21＋a 22)≤0，所以a 21＋a 22≥12.(1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，请写出上述结论的推广式； (2)类比上述证法，对你推广的结论加以证明． 解：(1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1， 求证：a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥1n.(2)证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2，则f (x )＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝nx 2－2x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n . 因为对一切x ∈R ，恒有f (x )≥0， 所以Δ＝4－4n (a 21＋a 22＋…＋a 2n )≤0. 所以a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥1n.八、数学证明1．下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数解析：选B 对于A ，小前提与结论互换，错误；对于B ，符合演绎推理过程且结论正确；对于C 和D ，均为大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式．故选B.2．“9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故此奇数是3的倍数”，上述推理是( )A ．小前提错B ．结论错C ．正确的D ．大前提错解析：选C ∵大前提，小前提，推理形式都正确， ∴结论正确．3．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足的条件是( )A ．a 2＜b 2＋c 2B ．a 2＝b 2＋c 2C ．a 2＞b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2解析：选C 由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＜0，∴b 2＋c 2－a 2＜0，∴a 2＞b 2＋c 2.4．在证明f (x )＝2x ＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f (x )＝2x ＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f (x )＝2x ＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是( )A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③解析：选A 根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f (x )＝2x ＋1满足增函数的定义；结论是f (x )＝2x ＋1为增函数，故①④正确．5.如图，α⊥β，α∩β＝l ，P ∈α，PO ⊥l 交l 于O ，则可以得到的结论是________．。

姓名，年级：时间：课时跟踪检测（九） 空间向量与平行关系一、基本能力达标1．已知向量a ＝（2,4,5)，b ＝（3，x ，y ）分别是直线l 1,l 2的方向向量,若l 1∥l 2，则( ) A ．x ＝6,y ＝15 B ．x ＝3，y ＝错误! C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6,y ＝错误!解析：选D ∵l 1∥l 2，设a ＝λb ，∴(2,4,5)＝λ（3，x ，y ），∴x ＝6，y ＝错误!。

2．已知l ∥π，且l 的方向向量为（2，m ，1)，平面π的法向量为错误!，则m ＝（ ） A ．－8 B ．－5 C ．5D ．8解析：选A ∵l ∥π,∴直线l 的方向向量与平面π的法向量垂直．∴2＋错误!＋2＝0，m ＝－8.3．若平面α,β的一个法向量分别为m ＝错误!,n ＝错误!,则( ) A ．α∥βB ．α⊥βC ．α与β相交但不垂直D ．α∥β或α与β重合解析：选D ∵n ＝－3m ，∴m ∥n,∴α∥β或α与β重合． 4.如图，在平行六面体ABCD 。

A 1B 1C 1D 1中，点M ,P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点,平行六面体的各棱长均相等．给出下列结论：①A 1M ∥D 1P ； ②A 1M ∥B 1Q ； ③A 1M ∥平面DCC 1D 1; ④A 1M ∥平面D 1PQB 1.这四个结论中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C ∵错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!，错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!，∴A 1M ，――→∥D 1P ，――→，从而A 1M ∥D 1P ，可得①③④正确． 又B 1Q 与D 1P 不平行，故②不正确．5．已知两直线l 1与l 2的方向向量分别为v 1＝(1，－3，－2),v 2＝（－3,9,6)，则l 1与l 2的位置关系是________．解析：∵v2＝－3v1,∴l1∥l2或l1与l2重合．答案：平行或重合6．若平面π1的一个法向量为n1＝（－3,y,2），平面π2的一个法向量为n2＝(6，－2，z)，且π1∥π2，则y＋z＝________.解析:∵π1∥π2，∴n1∥n2。

模块综合检测(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( ) A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1 B ．若－1<x <1，则x 2<1 C ．若x >1或x <－1，则x 2>1 D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1解析：选D 命题“若p 则q ”的逆否命题为“若綈q 则綈p ”．故应选D.2．命题p ：若a·b ＞0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：若函数f (x )在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( )A ．“p 或q ”是真命题B ．“p 或q ”是假命题C ．綈p 为假命题D ．綈q 为假命题解析：选B ∵当a ·b ＞0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角，∴命题p 是假命题；命题q是假命题，例如f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≤0，－x ＋2，x ＞0，综上可知，“p 或q ”是假命题，选B.3．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：选D 抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，椭圆x 23p ＋y 2p＝1的焦点坐标为(±2p ，0)．由题意得p2＝2p ，解得p ＝0(舍去)或p ＝8.4．设a ，b 为向量，则“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选C a ，b 为向量，设a 与b 的夹角为θ.由|a ·b |＝||a |·|b |cos θ |＝|a ||b |从而得|cos θ|＝1，cos θ＝±1，所以θ＝0或π，能够推得a ∥b ，反之也能够成立，为充分必要条件．5.x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标为( )A ．±34B.33C.32D.34解析：选A 设F 1为椭圆x 212＋y 23＝1的左焦点，F 2为右焦点，PF 1与y 轴的交点为M .∵M 是PF 1的中点，∴MO ∥PF 2，∴PF 2⊥x 轴． 又半焦距c ＝12－3＝3，∴设P (x ，y )，则x ＝3，代入椭圆方程得912＋y 23＝1，解得y ＝±32.∴M 点纵坐标为±34.6．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 解析：选D 双曲线x 24－y 212＝－1，即y 212－x 24＝1的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．所以对椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1而言，a 2＝16，c 2＝12.∴b 2＝4，因此方程为y 216＋x 24＝1.7.已知正四面体A －BCD 中，AE ＝14AB ，CF ＝14CD ，则直线DE和BF 夹角的余弦值为( )A.413 B.313 C ．－413D ．－313解析：选A 设正四面体的棱长为4.∵正四面体A －BCD 中，相邻两棱夹角为60°，对棱互相垂直．又ED ―→＝EA ―→＋AD ―→＝14BA―→＋AD ―→，BF ―→＝BC ―→＋CF ―→＝BC ―→＋14CD ―→，∴ED ―→·BF ―→＝14BA ―→·BC ―→＋14AD ―→·CD ―→＝4，|ED ―→|2＝116BA 2―→＋12BA ―→·AD ―→＋AD 2―→＝1－4＋16＝13.|ED ―→|＝13，同理|BF ―→|＝13. ∴cos 〈ED ―→，BF ―→〉＝ED ―→·BF ―→| ED ―→||BF ―→|＝413.8．已知抛物线y 2＝8x ，过点P (3,2)引抛物线的一弦，使它恰在点P 处被平分，则这条弦所在的直线l 的方程为( )A ．2x －y －4＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x ＋y ＋4＝0解析：选A 设l 交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，两式相减得：得(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)， 又P (3,2)是AB 的中点，∴y 1＋y 2＝4， ∴直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2，∴直线l 的方程为2x －y －4＝0.9．正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则二面角A -BD -C 的正弦值为( ) A.55B.33C.255D.63解析：选C 取BC 中点O ，连接AO ，DO .建立如图所示坐标系，设BC ＝1，则A ⎝⎛⎭⎫0，0，32， B ⎝⎛⎭⎫0，－12，0，D ⎝⎛⎭⎫32，0，0. ∴OA ―→＝⎝⎛⎭⎫0，0，32，BA ―→＝⎝⎛⎭⎫0，12，32，BD ―→＝⎝⎛⎭⎫32，12，0.由于OA ―→＝⎝⎛⎭⎫0，0，32为平面BCD 的一个法向量，可进一步求出平面ABD 的一个法向量n ＝(1，－3，1)，∴cos 〈n ，OA ―→〉＝55， ∴sin 〈n ，OA ―→〉＝255.10．双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn ≠0)的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( )A.316B.38C.163D.83解析：选A 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)， 故双曲线x 2m －y 2n ＝1中，m >0，n >0且m ＋n ＝c 2＝1.① 又双曲线的离心率e ＝c m ＝ m ＋nm＝2，② 联立方程①②，解得⎩⎨⎧m ＝14，n ＝34.故mn ＝316.11．在正棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝2，直线AC 与平面A 1BC 的夹角为θ，平面ABC 与平面A 1BC 的夹角为φ，则θ与φ的大小关系是( )A ．θ>φB ．θ<φC ．θ＝φD ．大小不确定解析：选B 建立空间直角坐标系，如图．则B (3，1,0)，C (0,2,0)，A 1(0,0,2)，BC ―→＝(－3，1,0)，A 1C ―→＝(0,2，－2)，AC ―→＝(0,2,0)． 设平面A 1BC 的一个法向量为n ＝(1，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧－3＋y ＝0，2y －2z ＝0，得y ＝z ＝3，n ＝(1，3，3)， ∴sin θ＝|cos 〈AC ―→，n 〉|＝2327＝217.又AA 1―→＝(0,0,2)是平面ABC 的一个法向量， ∴cos φ＝|cos 〈AA 1―→，n 〉|＝2327＝217，sin φ＝1－cos 2φ＝277>sin θ.∴φ>θ.12．若点P 为共焦点的椭圆C 1和双曲线C 2的一个交点，F 1，F 2分别是它们的左、右焦点，设椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，若PF 1―→·PF 2―→＝0，则1e 21＋1e 22＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 设椭圆的方程为x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)，双曲线的方程为x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2＞0，b 2＞0)，它们的半焦距为c ，不妨设P 为它们在第一象限的交点，因为PF 1―→·PF 2―→＝0，故|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2①.由椭圆和双曲线的定义知，⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，解得|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2，代入①式，得(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2＝4c 2，即a 21＋a 22＝2c 2，所以1e 21＋1e 22＝a 21c 2＋a 22c2＝a 21＋a 22c 2＝2. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上) 13．命题“存在x ∈R ，使2x 2－3ax ＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵存在x ∈R ,2x 2－3ax ＋9＜0为假命题， ∴任意x ∈R ,2x 2－3ax ＋9≥0为真命题， ∴Δ＝9a 2－4×2×9≤0，即a 2≤8， ∴－22≤a ≤2 2. 答案：[－22，2 2 ]14．设点O (0,0,0)，A (1，－2,3)，B (－1,2,3)，C (1,2，－3)，若OA ―→与BC ―→的夹角为θ，则cos θ＝________.解析：OA ―→＝(1，－2,3)，BC ―→＝(2,0，－6)， ∴cos θ＝OA ―→·BC ―→| OA ―→||BC ―→|＝－43535.答案：－4353515．已知点A (－1，－2)在抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线上，记C 的焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线与抛物线交于M ，N 两点，则|MN |＝________.解析：因为点A (－1，－2)在抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线上，所以－p2＝－1，p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x ，焦点F (1,0)，当x ＝1时，y ＝±2，则M (1,2)，N (1，－2)或N (1,2)，M (1，－2)，所以|MN |＝2－(－2)＝4.答案：416．(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A ―→＝AB ―→，F 1B ―→·F 2B ―→＝0，则C 的离心率为________．解析：法一：由F 1A ―→＝AB ―→，得A 为F 1B 的中点． 又∵O 为F 1F 2的中点， ∴OA ∥BF 2.又F 1B ―→·F 2B ―→＝0，∴∠F 1BF 2＝90°. ∴OF 2＝OB ，∴∠OBF 2＝∠OF 2B .又∵∠F 1OA ＝∠BOF 2，∠F 1OA ＝∠OF 2B ， ∴∠BOF 2＝∠OF 2B ＝∠OBF 2， ∴△OBF 2为等边三角形．如图所示，不妨设B 为⎝⎛⎭⎫c2，－32c .∵点B 在直线y ＝－b a x 上，∴ba ＝3，∴离心率e ＝ca ＝1＋b 2a2＝2. 法二：∵F 1B ―→·F 2B ―→＝0，∴∠F 1BF 2＝90°.在Rt △F 1BF 2中，O 为F 1F 2的中点，∴|OF 2|＝|OB |＝c .如图，作BH ⊥x 轴于H ，由l 1为双曲线的渐近线，可得|BH ||OH |＝b a ，且|BH |2＋|OH |2＝|OB |2＝c 2，∴|BH |＝b ，|OH |＝a ，∴B (a ，－b )，F 2(c,0)．又∵F 1A ―→＝AB ―→，∴A 为F 1B 的中点． ∴OA ∥F 2B ，∴b a ＝bc －a ，∴c ＝2a ，∴离心率e ＝ca ＝2.答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知命题p ：方程x 22＋y 2m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：任意x ∈R ,4x 2－4mx ＋4m －3≥0.若(綈p )且q 为真，求m 的取值范围．解：p 真时，m >2.q 真时，4x 2－4mx ＋4m －3≥0在R 上恒成立． Δ＝16m 2－16(4m －3)≤0，解得1≤m ≤3. ∵(綈p )且q 为真，∴p 假，q 真．∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1≤m ≤3，即1≤m ≤2. ∴所求m 的取值范围为[1,2]．18．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝4x ，F 是抛物线C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)如果l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程； (2)设|FA |＝2|BF |，求直线l 的方程． 解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)∵y 2＝4x ，∴F (1,0)，又∵直线l 的斜率为1，∴直线l 的方程为y ＝x －1，代入y 2＝4x ，得x 2－6x ＋1＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝6，x 1·x 2＝1，易得AB 的中点，即圆心的坐标为(3,2)，又|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8，∴圆的半径r ＝4， ∴所求的圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16. (2)∵|FA |＝2|BF |，∴FA ―→＝2BF ―→，而FA ―→＝(x 1－1，y 1)，BF ―→＝(1－x 2，－y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1－1＝2(1－x 2)，y 1＝－2y 2， 易知直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ， 则直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x ， 得k 2x 2－(2k 2＋4)·x ＋k 2＝0，由根与系数的关系得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1·x 2＝1，∵x 1－1＝2(1－x 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，x 2＝12，∴k ＝±22， ∴直线l 的方程为y ＝±22(x －1)．19．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅲ)图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB ＝1，BE ＝BF ＝2，∠FBC ＝60°.将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连接DG ，如图2.(1)证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； (2)求图2中的二面角B -CG -A 的大小．解：(1)证明：由已知得AD ∥BE ，CG ∥BE ， 所以AD ∥CG ，所以AD ，CG 确定一个平面， 从而A ，C ，G ，D 四点共面．由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，且BE ∩BC ＝B ， 所以AB ⊥平面BCGE . 又因为AB ⊂平面ABC ， 所以平面ABC ⊥平面BCGE . (2)作EH ⊥BC ，垂足为H .因为EH ⊂平面BCGE ，平面BCGE ⊥平面ABC ， 所以EH ⊥平面ABC .由已知，菱形BCGE 的边长为2，∠EBC ＝60°， 可求得BH ＝1，EH ＝ 3.以H 为坐标原点，HC ―→的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H -xyz ，则A (－1,1,0)，C (1,0,0)，G (2,0，3)， CG ―→＝(1,0，3)，AC ―→＝(2，－1,0)．设平面ACGD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧CG ―→·n ＝0， AC ―→·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3z ＝0，2x －y ＝0.所以可取n ＝(3,6，－3)．又平面BCGE 的法向量可取m ＝(0,1,0)，所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m|n ||m |＝32.因此二面角B -CG -A 的大小为30°.20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝4x ，F 为其焦点，点E 的坐标为(2,0)，设M 为抛物线C 上异于顶点的动点，直线MF 交抛物线C 于另一点N ，连接ME ，NE 并延长分别交抛物线C 于点P ，Q .(1)当MN ⊥x 轴时，求直线PQ 与x 轴交点的坐标；(2)当直线MN ，PQ 的斜率存在且分别记为k 1，k 2时，求证：k 1＝2k 2.解：(1)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1,0)．当MN ⊥x 轴时，直线MN 的方程为x ＝1.将x ＝1代入抛物线方程y 2＝4x ，得y ＝±2.不妨设M (1,2)，N (1，－2)，则直线ME 的方程为y ＝－2x ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋4，y 2＝4x ，解得x ＝1或x ＝4，于是得P (4，－4)．同理得Q (4,4)，所以直线PQ 的方程为x ＝4.故直线PQ 与x 轴的交点坐标为(4,0)．(2)证明：设直线MN 的方程为x ＝my ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0，于是y 1y 2＝－4 ①，从而x 1x 2＝y 214·y 224＝1 ②.设直线MP 的方程为x ＝ty ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋2，y 2＝4x ，得y 2－4ty －8＝0. 所以y 1y 3＝－8 ③，x 1x 3＝4 ④. 同理y 2y 4＝－8 ⑤，x 2x 4＝4 ⑥.由①②③④⑤⑥，得y 3＝2y 2，x 3＝4x 2，y 4＝2y 1，x 4＝4x 1.从而k 2＝y 4－y 3x 4－x 3＝2y 1－2y 24x 1－4x 2＝12·y 1－y 2x 1－x 2＝12k 1，即k 1＝2k 2. 21．(本小题满分12分)(2019·北京高考)如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD ∥BC ，PA ＝AD ＝CD ＝2，BC ＝3，E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且PF PC ＝13.(1)求证：CD ⊥平面PAD ；(2)求二面角F -AE -P 的余弦值；(3)设点G 在PB 上，且PG PB ＝23.判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由． 解：(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD .又因为AD ⊥CD ，PA ∩AD ＝A ，所以CD ⊥平面PAD .(2)过点A 作AD 的垂线交BC 于点M .因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AM ，PA ⊥AD .以A 为坐标原点，AM ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)，B (2，－1,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)．因为E 为PD 的中点，所以E (0,1,1)．所以AE ―→＝(0,1,1)， PC ―→＝(2,2，－2)， AP ―→＝(0,0,2)．所以PF ―→＝13PC ―→＝⎝⎛⎭⎫23，23，－23， 所以AF ―→＝AP ―→＋PF ―→＝⎝⎛⎭⎫23，23，43.设平面AEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AE ―→＝0，n ·AF ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，23x ＋23y ＋43z ＝0. 令z ＝1，则y ＝－1，x ＝－1.于是n ＝(－1，－1,1).又因为平面PAD 的一个法向量为p ＝(1,0,0)，所以cos 〈n ，p 〉＝n ·p|n ||p |＝－33. 由图知，二面角F -AE -P 为锐角，所以二面角F -AE -P 的余弦值为33. (3)直线AG 在平面AEF 内，理由如下：因为点G 在PB 上，且PG PB ＝23，PB ―→＝(2，－1，－2)， 所以PG ―→＝23PB ―→＝⎝⎛⎭⎫43，－23，－43， 所以AG ―→＝AP ―→＋PG ―→＝⎝⎛⎭⎫43，－23，23. 由(2)知，平面AEF 的一个法向量n ＝(－1，－1,1)，所以AG ―→·n ＝－43＋23＋23＝0. 所以直线AG 在平面AEF 内．22．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅱ)已知点A (－2,0)，B (2,0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为－12.记M 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连接QE 并延长交C 于点G .①证明：△PQG 是直角三角形；②求△PQG 面积的最大值．解：(1)由题设得y x ＋2·y x －2＝－12， 化简得x 24＋y 22＝1(|x |≠2)， 所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上不含长轴端点的椭圆．(2)①证明：设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx (k >0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 22＝1得x ＝±21＋2k 2 . 设u ＝21＋2k 2，则P (u ，uk )，Q (－u ，－uk )，E (u,0)． 于是直线QG 的斜率为k 2，其方程为y ＝k 2(x －u )．由⎩⎨⎧ y ＝k 2(x －u )，x 24＋y 22＝1消去y ，得(2＋k 2)x 2－2uk 2x ＋k 2u 2－8＝0.(*) 设G (x G ，y G )，则－u 和x G 是方程(*)的解，故x G ＝u (3k 2＋2)2＋k 2，由此得y G ＝uk 32＋k 2. 从而直线PG 的斜率为uk 32＋k 2－uk u (3k 2＋2)2＋k 2－u ＝－1k . 所以PQ ⊥PG ，即△PQG 是直角三角形． ②由①得|PQ |＝2u1＋k 2，|PG |＝2uk k 2＋12＋k 2， 所以△PQG 的面积S ＝12|PQ ||PG |＝8k (1＋k 2)(1＋2k 2)(2＋k 2)＝8⎝⎛⎭⎫1k ＋k 1＋2⎝⎛⎭⎫1k ＋k 2. 设t ＝k ＋1k ，则由k >0得t ≥2，当且仅当k ＝1时取等号．因为S ＝8t 1＋2t2在[2，＋∞)上单调递减， 所以当t ＝2，即k ＝1时，S 取得最大值，最大值为169. 因此，△PQG 面积的最大值为169.。

课时跟踪检测（十八） 双曲线的简单性质一、基本能力达标1．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±12x解析：选C 由题意知，2b ＝2,2c ＝23，则b ＝1，c ＝3，a ＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .2．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( ) A ．－14B ．－4C ．4 D.14解析：选A双曲线标准方程为：y 2－x 2－1m＝1， ∴a 2＝1，b 2＝－1m.由题意b 2＝4a 2，∴－1m ＝4，∴m ＝－14.3．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1 B.y 24－x 24＝1 C.y 24－x 28＝1 D.x 28－y 24＝1 解析：选B由方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，2a ＋2b ＝2·2c ，a 2＋b 2＝c 2，得a ＝2，b ＝2.∵双曲线的焦点在y 轴上， ∴双曲线的标准方程为y 24－x 24＝1.4．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为( )A. 6B. 3C. 2D.33解析：选B 由题意，得|F 1F 2|＝2c ，|MF 2|＝233c ，|MF 1|＝433c .由双曲线定义得|MF 1|－|MF 2|＝233c ＝2a ，所以e ＝c a ＝ 3.5．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率为e ，e ∈(1,2)，则k 的取值范围是________．解析：由题意知k <0，且a ＝2，c ＝4－k ，∴1<4－k2<2，解得－12<k <0. 答案：(－12,0)6．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.法二：∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上， 故可设双曲线方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由已知条件可得⎩⎨⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.答案：x 24－y 2＝17．根据以下条件，求双曲线的标准方程． (1)过P (3，－5)，离心率为2；(2)与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且离心率e ＝52.解：(1)若双曲线的焦点在x 轴上， 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．∵e ＝2，∴c 2a 2＝2即a 2＝b 2.①又过点P (3，－5)有：9a 2－5b 2＝1，②由①②得：a 2＝b 2＝4， 双曲线方程为x 24－y 24＝1.若双曲线的焦点在y 轴上，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．同理有：a 2＝b 2，③ 5a 2－9b 2＝1，④ 由③④得a 2＝b 2＝－4(不合题意，舍去)． 综上所述，双曲线的标准方程为x 24－y 24＝1.(2)由椭圆方程x 29＋y 24＝1，知长半轴a 1＝3，短半轴b 1＝2， 半焦距c 1＝a 21－b 21＝5，所以焦点是F 1(－5，0)，F 2(5，0)．因此双曲线的焦点也为(－5，0)和(5，0)， 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题设条件及双曲线的性质，有 ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，c a ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.即双曲线方程为x 24－y 2＝1.8．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率． 解：直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.于是有|b ·0＋a ·0－ab |a 2＋b 2＝34c ，所以ab ＝34c 2，两边平方，得a 2b 2＝316c 4. 又b 2＝c 2－a 2，所以16a 2(c 2－a 2)＝3c 4， 两边同时除以a 4，得3e 4－16e 2＋16＝0， 解得e 2＝4或e 2＝43.又b >a ，所以e 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2>2，则e ＝2.于是双曲线的离心率为2. 二、综合能力提升1．若双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y ＝－x ，则双曲线的方程为( )A ．y 2－x 2＝96B ．y 2－x 2＝160C ．y 2－x 2＝80D ．y 2－x 2＝24解析：选D 设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±43)，所以λ<0，且－2λ＝(43)2，得λ＝－24.故选D.2．若中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6B. 5C.62D.52解析：选D 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意，知过点(4，－2)的渐近线方程为y ＝－b a x ，所以－2＝－ba ×4，即a ＝2b .设b ＝k (k >0)，则a ＝2k ，c ＝5k ，所以e ＝c a ＝5k 2k ＝52.故选D. 3．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D. 2解析：选D 不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°，∴M 点的坐标为()2a ，3a .∵M 点在双曲线上，∴4a 2a 2－3a 2b 2＝1，a ＝b ，∴c ＝2a ，e ＝ca ＝ 2.故选D.4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是__________．解析：由题意，知b a ≥3，则b 2a 2≥3，所以c 2－a 2≥3a 2，即c 2≥4a 2，所以e 2＝c 2a 2≥4，所以e ≥2. 答案：[2，＋∞)5．求满足下列条件的双曲线的标准方程．(1)与双曲线y 24－x 23＝1具有相同的渐近线，且过点M (3，－2)；(2)过点(2,0)，与双曲线y 264－x 216＝1离心率相等；(3)与椭圆x 225＋y 216＝1有公共焦点，离心率为32.解：(1)设所求双曲线方程为y 24－x 23＝λ(λ≠0)．由点M (3，－2)在双曲线上得44－93＝λ，得λ＝－2.故所求双曲线的标准方程为x 26－y 28＝1.(2)当所求双曲线的焦点在x 轴上时， 可设其方程为x 264－y 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝116，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1；当所求双曲线的焦点在y 轴上时， 可设其方程为y 264－x 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－14<0(舍去)．综上可知，所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(3)法一：由椭圆方程可得焦点坐标为(－3,0)，(3,0)， 即c ＝3且焦点在x 轴上．设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．因为e ＝c a ＝32，所以a ＝2，则b 2＝c 2－a 2＝5，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.法二：因为椭圆焦点在x 轴上， 所以可设双曲线的标准方程为x 225－λ－y 2λ－16＝1(16<λ<25)． 因为e ＝32，所以λ－1625－λ＝94－1，解得λ＝21.故所求双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.6．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1―→·MF 2―→＝0； (3)在(2)的条件下，求△F 1MF 2的面积． 解：(1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m 3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点(3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3， 故kMF 1·kMF 2＝－1， ∴MF 1⊥MF 2，∴MF 1―→·MF 2―→＝0. 法二：∵MF 1―→＝(－3－23，－m )， MF 2―→＝(23－3，－m )，∴MF 1―→·MF 2―→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2. ∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1―→·MF 2―→＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43，△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝6.。

3．2双曲线的简单性质学习目标1.了解双曲线的简单性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.了解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题．知识点双曲线的性质1．双曲线x2a2－y2b2＝1与y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的形状相同．(√)2．双曲线x2a2－y2b2＝1与y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线相同．(×) 3．实轴长与虚轴长相等的双曲线的离心率为2.(√)类型一双曲线的性质例1求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．考点双曲线的简单性质题点由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线解双曲线的方程化为标准形式是x29－y24＝1，∴a 2＝9，b 2＝4，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13.又双曲线的焦点在x 轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，焦点坐标为(－13，0)，(13，0)，实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4，离心率e ＝ca ＝133，渐近线方程为y ＝±23x .引申探究求双曲线nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．解把方程nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)化为标准方程为x2m －y2n＝1(m >0，n >0)，由此可知，实半轴长a ＝m ，虚半轴长b ＝n ，c ＝m ＋n ，焦点坐标为(m ＋n ，0)，(－m ＋n ，0)，离心率e ＝ca ＝m ＋nm＝1＋nm ，顶点坐标为(－m ，0)，(m ，0)，所以渐近线方程为y ＝±n mx ，即y ＝±mn mx .反思与感悟由双曲线的方程研究性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键．(2)由标准方程确定焦点位置，确定a ，b 的值．(3)由c 2＝a 2＋b 2求出c 的值，从而写出双曲线的简单性质．跟踪训练1求双曲线9y 2－16x 2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．考点双曲线的简单性质题点由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线解把方程9y 2－16x 2＝144化为标准方程为y242－x232＝1.由此可知，实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3，c ＝a2＋b2＝42＋32＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)，离心率e ＝ca ＝54，渐近线方程为y ＝±43x .类型二 由双曲线的性质求标准方程例2(1)已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为()A.x24－y24＝1B.y24－x24＝1C.x28－y24＝1D.y28－x24＝1考点双曲线的简单性质题点由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线答案B解析由已知，得双曲线的焦点在y 轴上，从而可设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵一个顶点为(0,2)，∴a ＝2.又实轴长与虚轴长之和等于焦距的2倍，∴2a ＋2b ＝22c .又a 2＋b 2＝c 2，∴b 2＝4，∴所求双曲线的方程为y24－x24＝1.(2)求与双曲线x216－y29＝1有共同的渐近线，并且经过点A (23，－3)的双曲线的方程．考点双曲线的简单性质题点由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线 解双曲线x216－y29＝1的渐近线方程为y ＝±34x .当所求双曲线的焦点在x 轴上时，设所求双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．因为b a ＝34，所以b ＝34a .①因为点A (23，－3)在所求双曲线上，所以12a2－9b2＝1.②联立①②得方程组无解．当所求双曲线的焦点在y 轴上时，设所求双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，因为a b ＝34，所以a ＝34b .③因为点A (23，－3)在所求双曲线上，所以9a2－12b2＝1.④由③④，得a 2＝94，b 2＝4，所以所求双曲线的方程为y294－x24＝1.反思与感悟(1)根据双曲线的某些性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧①焦点在x 轴上的双曲线的标准方程可设为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)．②焦点在y 轴上的双曲线的标准方程可设为y2a2－x2b2＝1(a >0，b >0)．③与双曲线x2a2－y2b2＝1共焦点的双曲线方程可设为x2a2－λ－y2b2＋λ＝1(λ≠0，－b 2<λ<a 2)．④与双曲线x2a2－y2b2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．⑤渐近线为y ＝kx 的双曲线方程可设为k 2x 2－y 2＝λ(λ≠0)．⑥渐近线为ax ±by ＝0的双曲线方程可设为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)．跟踪训练2(1)求与双曲线y24－x23＝1有共同的渐近线，且经过点M (3，－2)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝233，过点A (0，－b )和B (a,0)的直线与原点的距离为32，求此双曲线的标准方程．考点由双曲线的简单性质求方程题点已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程 解(1)设所求双曲线的方程为y24－x23＝λ(λ≠0)．∵点M (3，－2)在双曲线上，∴44－93＝λ，即λ＝－2.∴双曲线的标准方程为x26－y28＝1.(2)∵e ＝233，∴c a ＝233，∴a2＋b2a2＝43，∴a 2＝3b 2.①又∵直线AB 的方程为bx －ay －ab ＝0，∴d ＝|ab|a2＋b2＝32，即4a 2b 2＝3(a 2＋b 2)．②解①②组成的方程组，得a 2＝3，b 2＝1.∴双曲线的标准方程为x23－y 2＝1.类型三 求双曲线的离心率例3已知F 1，F 2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率．考点双曲线的离心率与渐近线题点求双曲线的离心率解设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c2a2－y2b2＝1，那么y ＝±b2a.由|PF 2|＝|QF 2|，∠PF 2Q ＝90°，知|PF 1|＝|F 1F 2|，所以b2a＝2c ，所以b 2＝2ac ，所以c 2－2ac －a 2＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－2×c a －1＝0，即e 2－2e －1＝0，所以e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)，所以双曲线的离心率为1＋2.反思与感悟求双曲线离心率的三种方法(1)若可求得a ，c ，则直接利用e ＝ca求解．(2)若已知a ，b ，可直接利用e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2求解．(3)若得到的是关于a ，c 的齐次方程pc 2＋q ·ac ＋r ·a 2＝0(p ，q ，r 为常数，且p ≠0)，则转化为关于e 的方程pe 2＋q ·e ＋r ＝0求解．跟踪训练3设双曲线x2a2－y2b2＝1(b ＞a ＞0)的焦距为2c ，直线l 过点A (a,0)，B (0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，则双曲线的离心率为________．考点双曲线的离心率与渐近线题点求双曲线的离心率答案2解析如图所示，在△OAB 中，|OA |＝a ，|OB |＝b ，|OE |＝34c ，|AB |＝a2＋b2＝c .因为|AB |·|OE |＝|OA |·|OB |，所以c ·34c ＝ab ，即34(a 2＋b 2)＝ab ，两边同除以a 2，得34⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－b a ＋34＝0，解得ba ＝3或b a ＝33(舍去)，所以e ＝c a＝a2＋b2a2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2.1．已知双曲线方程为x 2－8y 2＝32，则()A ．实轴长为42，虚轴长为2B ．实轴长为82，虚轴长为4C ．实轴长为2，虚轴长为42D ．实轴长为4，虚轴长为82考点双曲线的简单性质题点由双曲线方程求a ，b ，c答案B解析双曲线方程x 2－8y 2＝32化为标准方程为x232－y24＝1，可得a ＝42，b ＝2，所以双曲线的实轴长为82，虚轴长为4.2．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±12x 的是()A ．x 2－y24＝1B.x24－y 2＝1C.y24－x 2＝1D ．y 2－x24＝1 考点由双曲线的简单性质求方程题点已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程答案D解析由选项知，焦点在y 轴上的双曲线有y24－x 2＝1与y 2－x24＝1，而y24－x 2＝1的渐近线方程是y ＝±2x ，y 2－x24＝1的渐近线方程是y ＝±12x ，故选D.3．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为()A.73B.54C.43D.53考点双曲线的离心率与渐近线 题点渐近线与离心率的关系答案D解析∵双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，∴3b ＝4a ，∴9(c 2－a 2)＝16a 2，∴e ＝ca ＝53，故选D.4．设双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的离心率e ＝________.考点双曲线的离心率与渐近线 题点渐近线与离心率的关系答案52或5解析当焦点在x 轴上时，b a ＝12，所以e 2＝1＋b2a2＝1＋14＝54，所以e ＝52；当焦点在y 轴上时，a b ＝12，所以e 2＝1＋b2a2＝1＋4＝5，所以e ＝5.5．已知F 是双曲线C ：x 2－y28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．考点双曲线的简单性质题点由双曲线方程研究其他问题答案126解析设左焦点为F 1，|PF |－|PF 1|＝2a ＝2，∴|PF |＝2＋|PF 1|，△APF 的周长为|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2＋|PF 1|，△APF 周长最小即为|AP |＋|PF 1|最小，当A ，P ，F 1三点共线时最小(P 在A ，F 1之间)，过AF 1的直线方程为x－3＋y66＝1，与x 2－y28＝1联立，解得P 点坐标为(－2,26)，此时S ＝－S ＝12|F 1F |·y A －12|F 1F |·y P ＝126.1．随着x 和y 趋向于无穷大，双曲线将无限地与渐近线接近，但永远没有交点；由渐近线方程可确定a 与b 或b 与a 的比值，但无法确定焦点位置．2．求渐近线的方程，常把双曲线的方程右边的常数写成0，分解因式即得渐近线方程，若已知渐近线方程mx ＋ny ＝0，求双曲线的方程，常将双曲线的方程设为x2n2－y2m2＝λ(λ≠0)求解．3．与双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的双曲线系的方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0，a ＞0，b ＞0)．一、选择题1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是()A ．2B ．22C ．4D ．42考点双曲线的简单性质题点由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线答案C解析将双曲线化成标准形式为x24－y28＝1，得2a ＝4.2．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为()A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x考点双曲线的离心率与渐近线 题点渐近线与离心率的关系答案B解析由e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，得⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2.故渐近线方程为y ＝±2x ，故选B.3．设F 1，F 2是双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为()A.2B.32C.3D.62考点双曲线的简单性质 题点求双曲线的离心率答案C解析不妨设|PF 1|＞|PF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ， 则∠PF 1F 2是△PF 1F 2的最小内角，且为30°， ∴|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos 30°，∴(2a )2＝(4a )2＋(2c )2－2×4a ×2c ×32，化为e 2－23e ＋3＝0，解得e ＝3.4．设双曲线x2a ＋y29＝1的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为()A ．－4B ．－3C ．2D ．1 考点双曲线的简单性质题点由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线答案A解析∵方程表示双曲线，∴a <0，标准方程为y29－x2－a＝1，∴渐近线方程为y ＝±3－ax ， ∴3－a ＝32，解得a ＝－4.5．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则其标准方程为()A.x29－y29＝1B.y29－x29＝1C.y218－x218＝1D.x218－y218＝1 考点由双曲线的简单性质求方程 题点已知双曲线的焦距求方程答案D解析∵等轴双曲线的一个焦点为F 1(－6,0)，∴c ＝6，∴2a 2＝36，a 2＝18，∴双曲线的标准方程为x218－y218＝1.6．已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则双曲线C 的渐近线方程为()A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x考点双曲线的简单性质题点求双曲线的渐近线方程答案C解析已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，故有a2＋b2a2＝54，所以b2a2＝14，解得b a ＝12.故双曲线C 的渐近线方程为y ＝±12x ，故选C.7．设F 为双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过点F 且斜率为－1的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若AB→＝－3AF →，则双曲线C 的离心率e 等于()A.103B.52C.5D.343考点双曲线的简单性质 题点求双曲线的离心率答案D解析设F (c,0)，则过双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 且斜率为－1的直线l 的方程为y ＝－(x －c )，而渐近线方程是y ＝±bax ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝c －x ，y ＝－bax ，得B ⎝⎛⎭⎪⎫ac a －b ，－bc a －b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝c －x ，y ＝bax ，得A ⎝⎛⎭⎪⎫ac a ＋b ，bc a ＋b ，AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫2abc a2－b2，－2abc a2－b2，AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫bc a ＋b ，－bc a ＋b ，由AB →＝－3AF →，得⎝⎛⎭⎪⎫2abc a2－b2，－2abc a2－b2＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋b ，－bc a ＋b ，则2abca2－b2＝－3·bca ＋b，即b ＝53a ，则c ＝a2＋b2＝343a ，则e ＝ca ＝343，故选D.二、填空题8．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±x ，且经过点(2，1)，则该双曲线的方程为________．考点由双曲线的简单性质求方程题点已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程答案x 2－y 2＝1解析∵双曲线的渐近线方程是y ＝±x ， ∴a ＝b ，∴双曲线的方程为x 2－y 2＝a 2，又双曲线经过点(2，1)，代入方程可得a 2＝1， 故该双曲线的方程是x 2－y 2＝1.9．已知双曲线y 2－x2m＝1(m ＞0)的离心率e ∈(1,2)，则m 的取值范围是________．考点双曲线的离心率与渐近线 题点双曲线离心率的取值范围答案(0,3)解析由双曲线y 2－x2m＝1(m ＞0)知，a ＝1，b ＝m ，所以e ＝ca＝1＋m ，又e ∈(1,2)，所以1＜1＋m ＜2，解得0＜m ＜3.10．已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，由F 2向双曲线C 的一条渐近线作垂线，垂足为H ，若△F 1HF 2的面积为b 2，则双曲线C 的渐近线方程为________．考点双曲线的简单性质题点由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线答案y ＝±x解析设过F 2(c,0)与渐近线bx －ay ＝0垂直的直线为l ，则l 的方程为y ＝－ab(x －c )，则错误!的解即为H 点的坐标，可得H ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2c ，ab c .又△F 1HF 2的面积为b 2，所以＝12×2c ×abc ＝b 2，解得a ＝b ，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x .11．过双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F (－c,0)(c ＞0)作圆x 2＋y 2＝a24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若OE →＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率为________．考点双曲线的简单性质 题点求双曲线离心率答案102解析如图，设双曲线的右焦点为M ，连接PM .∵OE ⊥PF ，∴在Rt △OEF 中，|EF |＝c2－a24.又OE →＝12(OF →＋OP →)，∴E 是PF 的中点，∴|PF |＝2|EF |＝2c2－a24，|PM |＝2|OE |＝a .由双曲线的定义知，|PF |－|PM |＝2a ，∴2c2－a24－a ＝2a ，∴e ＝ca ＝102.三、解答题12．已知双曲线的一条渐近线为x ＋3y ＝0，且与椭圆x 2＋4y 2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．考点由双曲线的简单性质求方程题点已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程 解椭圆方程为x264＋y216＝1，可知椭圆的焦距为83.①当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a2＋b2＝48，b a ＝33，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝36，b2＝12.∴双曲线的标准方程为x236－y212＝1；②当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a >0，b >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a2＋b2＝48，a b ＝33，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝12，b2＝36.∴双曲线的标准方程为y212－x236＝1. 由①②可知，双曲线的标准方程为x236－y212＝1或y212－x236＝1.13．已知点A (0,1)，点P 在双曲线C ：x22－y 2＝1上．(1)当|P A |最小时，求点P 的坐标；(2)过点A 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若△OMN 的面积为23，求直线l 的方程．考点双曲线的简单性质题点由双曲线方程研究其他问题 解(1)设P (x ，y )，则|P A |＝错误!＝错误!＝错误!，当y ＝13时，|P A |最小，故所求点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫±253，13.(2)由题知直线l 的斜率存在，故可设l 的方程为y ＝kx ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，与双曲线方程联立得(1－2k 2)x 2－4kx －4＝0，则Δ＝16(1－k 2)＞0且－41－2k2＜0，即k 2＜12.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4k1－2k2，x 1x 2＝－41－2k2，∴|x 1－x 2|＝错误!＝错误!，S △OMN ＝12×1×|x 1－x 2|＝12·41－k21－2k2＝23，解得k 2＝14或k 2＝23(舍去)，即k ＝±12，∴l 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.四、探究与拓展14．已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为()A.2B.32 C.3D ．2考点双曲线的简单性质 题点求双曲线的离心率答案A解析因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b2a.又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF1||MF2|＝13，即|MF 2|＝3|MF 1|.由双曲线的定义，得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b2a，所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2， 所以离心率e ＝ca＝2.15．已知双曲线C ：x2a2－y 2＝1(a ＞0)，直线l ：x ＋y ＝1，双曲线C 与直线l 有两个不同的交点A ，B ，直线l 与y 轴的交点为P .(1)求离心率e 的取值范围；(2)若PA →＝512PB →，求a 的值．考点双曲线的简单性质题点由双曲线方程研究其他问题解(1)由双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x2a2－y2＝1，x ＋y ＝1有两个不同的解，消去y 并整理，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，①∴错误!解得－2＜a ＜2且a ≠±1. 又∵a ＞0，∴0＜a ＜2且a ≠1.∵双曲线的离心率e ＝1＋a2a ＝1a2＋1， ∵0＜a ＜2且a ≠1，∴e ＞62且e ≠2，∴双曲线C 的离心率e 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫62， 2∪(2，＋∞)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易得P (0,1)．∵PA →＝512PB →，∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)，由此可得x 1＝512x 2.∵x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，∴x 1＋x 2＝1712x 2＝－2a21－a2，x 1x 2＝512x 2＝－2a21－a2，消去x 2得－2a21－a2＝28960，即a 2＝289169.又∵a ＞0，∴a ＝1713.。

2017-2018学年高中数学北师大版选修2-1同步配套课时跟踪训练目录课时跟踪训练(一) 命题 (1)课时跟踪训练(二)充分条件与必要条件 (4)课时跟踪训练(三)全称量词与存在量词 (8)课时跟踪训练(四)逻辑联结词“且”“或”“非” (11)课时跟踪训练(五)从平面向量到空间向量 (15)课时跟踪训练(六)空间向量的运算 (18)课时跟踪训练(七)空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理 (22)课时跟踪训练(八)空间向量运算的坐标表示 (26)课时跟踪训练(九)空间向量与平行关系 (29)课时跟踪训练(十)空间向量与垂直关系 (33)课时跟踪训练(十一)直线间的夹角、平面间的夹角 (38)课时跟踪训练(十二)直线与平面的夹角 (43)课时跟踪训练(十三)距离的计算 (48)课时跟踪训练(十四)椭圆及其标准方程 (54)课时跟踪训练(十五)椭圆的简单性质 (58)课时跟踪训练(十六)抛物线及其标准方程 (62)课时跟踪训练(十七)抛物线的简单性质 (65)课时跟踪训练(十八)双曲线及其标准方程 (68)课时跟踪训练(十九)双曲线的简单性质 (71)课时跟踪训练(二十)曲线与方程 (75)课时跟踪训练(二十一)圆锥曲线的共同特征直线与圆锥曲线的交点 (78)课时跟踪训练(一) 命 题1．命题“若x ＞1，则x ＞－1”的否命题是( ) A ．若x ＞1，则x ≤－1 B ．若x ≤1，则x ＞－1 C ．若x ≤1，则x ≤－1 D ．若x ＜1，则x ＜－12．给出下列三个命题：( )①“全等三角形的面积相等”的否命题； ②“若lg x 2＝0，则x ＝－1”的逆命题；③“若x ≠y ，或x ≠－y ，则|x |≠|y |”的逆否命题． 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．33．(湖南高考)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π44．已知命题“若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0”，则下列结论正确的是( ) A ．真命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0或b ＞0” B ．真命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0且b ＞0” C ．假命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0或b ＞0” D ．假命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0且b ＞0”5．已知命题：弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．若把上述命题改为“若p ，则q ”的形式，则p 是____________________________，q 是__________________________．6．命题“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题为________________，为________(填“真、假”)命题．7．把命题“两条平行直线不相交”写成“若p ，则q ”的形式，并写出其逆命题、否命题、逆否命题．8．证明：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.答 案1．选C 原命题的否命题是对条件“x ＞1”和结论“x ＞－1”同时否定，即“若x ≤1，则x ≤－1”，故选C.2．选B ①的否命题是“不全等的三角形面积不相等”，它是假命题；②的逆命题是“若x ＝－1，则lg x 2＝0”，它是真命题；③的逆否命题是“若|x |＝|y |，则x ＝y 且x ＝－y ”，它是假命题，故选B.3．选C 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”． 4．选B 逆否命题“若a ＞0且b ＞0，则ab ＞0”，显然为真命题，又原命题与逆否命题等价，故原命题为真命题．否命题为“若ab ＞0，则a ＞0且b ＞0”，故选B.5．答案：一条直线是弦的垂直平分线 这条直线经过圆心且平分弦所对的弧 6．答案：若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4 真7．解：原命题：若直线l 1与l 2平行，则l 1与l 2不相交； 逆命题：若直线l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行； 否命题：若直线l 1与l 2不平行， 则l 1与l 2相交； 逆否命题：若直线l 1与l 2相交，则l 1与l 2不平行．8．证明：法一：原命题的逆否命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )”．∵a ＋b <0，∴a <－b ，b <－a . 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．法二：假设a＋b<0，则a<－b，b<－a，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾．因此假设不成立，故a＋b≥0.课时跟踪训练(二) 充分条件与必要条件1．“1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像关于直线x ＝1对称的充要条件是( ) A ．m ＝－2 B ．m ＝2 C ．m ＝－1D ．m ＝13．已知命题p ：“a ，b ，c 成等差数列”，命题q ：“a b ＋cb ＝2”，则命题p 是命题q的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．“a ＞3”是“函数f (x )＝ax ＋2在区间[－1,2]上存在零点”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．直线l ：x －y ＋m ＝0与圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝2有公共点的充要条件是_________ _______________．6．在下列各项中选择一项填空： ①充分不必要条件 ②必要不充分条件 ③充要条件④既不充分也不必要条件(1)记集合A ＝{－1，p,2}，B ＝{2,3}，则“p ＝3”是“A ∩B ＝B ”的________； (2)“a ＝1”是“函数f (x )＝|2x －a |在区间[12，＋∞)上为增函数”的________．7．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)?(1)p ：△ABC 中，b 2＞a 2＋c 2，q ：△ABC 为钝角三角形； (2)p ：△ABC 有两个角相等，q ：△ABC 是正三角形； (3)若a ，b ∈R ，p ：a 2＋b 2＝0，q ：a ＝b ＝0； (4)p ：△ABC 中，A ≠30°，q ：sin A ≠12.8．求方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不相等的负实根的充要条件．答 案1．选A 当1＜x ＜2时，必有x ＜2；而x ＜2时，如x ＝0，推不出1＜x ＜2，所以“1＜x ＜2”是“x ＜2”的充分不必要条件．2．选A 函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像关于x ＝1对称⇔－m2＝1⇔m ＝－2.3．选A 若a b ＋cb ＝2，则a ＋c ＝2b ，由此可得a ，b ，c 成等差数列；当a ，b ，c 成等差数列时，可得a ＋c ＝2b ，但不一定得出a b ＋cb ＝2，如a ＝－1，b ＝0，c ＝1.所以命题p 是命题q 的必要不充分条件，故选A.4．选A 当a ＞3时，f (－1)f (2)＝(－a ＋2)(2a ＋2)＜0，即函数f (x )＝ax ＋2在区间[－1,2]上存在零点；但当函数f (x )＝ax ＋2在区间[－1,2]上存在零点；不一定是a ＞3，如当a ＝－3时，函数f (x )＝ax ＋2＝－3x ＋2在区间[－1,2]上存在零点．所以“a ＞3”是“函数f (x )＝ax ＋2在区间[－1,2]上存在零点”的充分不必要条件，故选A.5．解析：直线l 与圆C 有公共点⇔|－1＋m |2≤2⇔|m －1|≤2⇔－1≤m ≤3.答案：m ∈[－1,3]6．解析：(1)当p ＝3时，A ＝{－1,2,3}，此时A ∩B ＝B ；若A ∩B ＝B ，则必有p ＝3.因此“p ＝3”是“A ∩B ＝B ”的充要条件．(2)当a ＝1时，f (x )＝|2x －a |＝|2x －1|在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上是增函数；但由f (x )＝|2x －a |在区间[12，＋∞)上是增函数不能得到a ＝1，如当a ＝0时，函数f (x )＝|2x －a |＝|2x |在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上是增函数．因此“a ＝1”是“函数f (x )＝|2x －a |在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上为增函数”的充分不必要条件． 答案：(1)③ (2)①7．解：(1)△ABC 中，∵b 2＞a 2＋c 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＜0，∴B 为钝角，即△ABC 为钝角三角形，反之若△ABC 为钝角三角形，B 可能为锐角，这时b 2＜a 2＋c 2. ∴p ⇒q ，q ⇒/ p ，故p 是q 的充分不必要条件． (2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立， ∴p ⇒/ q ，q ⇒p ，故p 是q 的必要不充分条件．(3)若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，故p ⇒q ；若a ＝b ＝0，则a 2＋b 2＝0，即q ⇒p ，所以p 是q 的充要条件．(4)转化为△ABC 中sin A ＝12是A ＝30°的什么条件．∵A ＝30°⇒sin A ＝12，但是sin A ＝12⇒/ A ＝30°，∴△ABC 中sin A ＝12是A ＝30°的必要不充分条件．即p 是q 的必要不充分条件．8．解：①当a ＝0时，方程为一元一次方程，其根为x ＝－12，不符合要求；②当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0为一元二次方程，有两个不相等的负实根的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧4－4a >0，－2a <0，1a >0，解得0<a <1.所以ax 2＋2x ＋1＝0有两个不相等的负实根的充要条件是0<a <1.课时跟踪训练(三)全称量词与存在量词1．将命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题为()A．对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立B．存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy成立C．对任意x＞0，y＞0，都有x2＋y2≥2xy成立D．存在x＜0，y＜0，使x2＋y2≤2xy成立2．“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于()A．存在x∈R，使得f(x)＞0成立B．存在x∈R，使得f(x)≤0成立C．对任意x∈R，使得f(x)＞0成立D．对任意x∈R，f(x)≤0成立3．下列命题为真命题的是()A．对任意x∈R，都有cos x＜2成立B．存在x∈Z，使log2(3x－1)＜0成立C．对任意x＞0，都有3x＞3成立D．存在x∈Q，使方程2x－2＝0有解4．给出四个命题：①末位数字是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，使x＞0；④对于任意实数x,2x＋1都是奇数．下列说法正确的是() A．四个命题都是真命题B．①②是全称命题C．②③是特称命题D．四个命题中有两个假命题5．下列命题中全称命题是__________；特称命题是________．①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．6．命题“偶函数的图像关于y轴对称”的否定是_________________________________ ______________________________．7．写出下列命题的否定并判断其真假．(1)有的四边形没有外接圆；(2)某些梯形的对角线互相平分；(3)被8整除的数能被4整除．8．(1)若命题“对于任意实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 恒成立”是真命题，求实数m 的取值范围；(2)若命题“存在实数x ，使不等式sin x ＋cos x >m 有解”是真命题，求实数m 的取值范围．答 案1．选A 本题中的命题仅保留了结论，省略了条件“任意实数x ，y ”，改成全称命题为：对任意实数x ，y ，都有x 2＋y 2≥2xy 成立．2．选A “关于x 的不等式f (x )＞0有解”等价于“存在实数x ，使得f (x )＞0成立”，故选A.3．选A A 中，由于函数y ＝cos x 的最大值是1，又1＜2，所以A 是真命题；B 中，log 2(3x －1)＜0⇔0＜3x －1＜1⇔13＜x ＜23，所以B 是假命题；C 中，当x ＝1时，31＝3，所以C 是假命题；D 中，2x －2＝0⇔x ＝2∈/ Q ，所以D 是假命题，故选A.4．选C ①④为全称命题；②③为特称命题；①②③为真命题；④为假命题． 5．解析：①③是全称命题，②④是特称命题． 答案：①③ ②④6．解析：本题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图像关于y 轴对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y 轴对称”改为“关于y 轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图像关于y 轴不对称”．答案：有些偶函数的图像关于y 轴不对称7．解：(1)命题的否定：所有的四边形都有外接圆，是假命题． (2)命题的否定：任一个梯形的对角线不互相平分，是真命题． (3)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题． 8．解：(1)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ， ∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≥－2， 又∵任意x ∈R ，sin x ＋cos x >m 恒成立， ∴只要m <－2即可．∴所求m 的取值范围是(－∞，－2)． (2)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－2，2]． 又∵存在x ∈R ，使sin x ＋cos x >m 有解，∴只要m <2即可，∴所求m 的取值范围是(－∞，2)．课时跟踪训练(四)逻辑联结词“且”“或”“非”1．已知命题p，q，若命题綈p是假命题，命题p∨q是真命题，则()A．p是真命题，q是真命题B．p是假命题，q是真命题C．p是真命题，q可能是真命题也可能是假命题D．p是假命题，q可能是真命题也可能是假命题2．对命题p：1∈{1}，命题q：1∉∅，下列说法正确的是()A．p且q为假命题B．p或q为假命题C．非p为真命题D．非q为假命题3．命题“若a∉A，则b∈B”的否定是()A．若a∉A，则b∉B B．若a∉A，则b∈BC．若a∈A，则b∉B D．若b∉A，则a∈B4．已知命题p：若(x－1)(x－2)≠0，则x≠1且x≠2；命题q：存在实数x，使2x＜0.下列选项中为真命题的是()A．綈p B．綈p或qC．綈q 且p D．q5．分别用“p或q”，“p且q”，“非p”填空：(1)命题“非空集A∩B中的元素既是A中的元素，也是B中的元素”是________的形式；(2)命题“非空集A∪B中的元素是A中的元素或B中的元素”是________的形式；(3)命题“非空集∁U A的元素是U中的元素但不是A中的元素”是________的形式．6．已知p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，若綈p是假命题，则a的取值范围是______________________．7．在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p是“第一次击中飞机”，命题q是“第二次击中飞机”．试用p，q以及逻辑联结词“或”“且”“非”表示下列命题：(1)命题s：两次都击中飞机；(2)命题r：两次都没击中飞机；(3)命题t：恰有一次击中了飞机；(4)命题u：至少有一次击中了飞机．8．已知p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．答案1．选C由于綈p是假命题，所以p是真命题，由于命题p或q一真则真，所以q可能是真命题也可能是假命题，故选C.2．选D由已知易得命题p和q均是真命题，所以p且q为真命题，p或q为真命题，非p为假命题，非q为假命题，故选D.3．选A命题的否定只否定其结论，为：若a∉A，则b∉B.故应选A.4．选C很明显命题p为真命题，所以綈p为假命题；由于函数y＝2x，x∈R的值域是(0，＋∞)，所以q是假命题，所以綈q是真命题．所以綈p或q为假命题，綈q且p为真命题，故选C.5．解析：(1)命题可以写为“非空集A∩B中的元素是A中的元素，且是B中的元素”，故填p且q；(2)“是A中的元素或B中的元素”含有逻辑联结词“或”，故填p或q；(3)“不是A中的元素”暗含逻辑联结词“非”，故填非p.答案：p且q p或q非p6．解析：綈p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上不是减函数．∵綈p为假，则p为真，即函数在(－∞，4]上为减函数，∴－(a－1)≥4，即a≤－3，∴a的取值范围是(－∞，－3]．答案：(－∞，－3]7．解：(1)两次都击中飞机表示：第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题s表示为p且q.(2)两次都没击中飞机表示：第一次没有击中飞机且第二次没有击中飞机，所以命题r 表示为綈p且綈q.(3)恰有一次击中了飞机包含两种情况：一是第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，此时表示为p且綈q，二是第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，此时表示为綈p且q，所以命题t表示为( p且綈q)或(綈p且q)．(4)法一：命题u表示：第一次击中飞机或第二次击中飞机，所以命题u表示为p或q.法二：綈u：两次都没击中飞机，即是命题r，所以命题u是綈r，从而命题u表示为綈(綈p且綈q)．法三：命题u表示：第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，或者第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，或者第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题u表示为(p且綈q)或(綈p且q)或(p且q)．8．解：由“p或q”是真命题，“p且q”是假命题可知p，q一真一假．p为真命题时，Δ＝a2－16≥0，∴a≥4或a≤－4；q 为真命题时，对称轴x ＝－a4≤3，∴a ≥－12.当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≥4或a ≤－4，a <－12，得a <－12；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧－4<a <4，a ≥－12，得－4<a <4.综上所述，a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．课时跟踪训练(五) 从平面向量到空间向量1．空间向量中，下列说法正确的是( )A ．如果两个向量的长度相等，那么这两个向量相等B ．如果两个向量平行，那么这两个向量的方向相同C ．如果两个向量平行， 并且它们的模相等，那么这两个向量相等D ．同向且等长的有向线段表示同一向量 2．下列说法中正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相同，方向相同或相反B ．若a 是b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．如果两个向量平行，则这两向量相等D ．在四边形ABCD 中，AB ＝DC3．在四边形ABCD 中，若AB ＝DC ，且|AC |＝|BD|，则四边形ABCD 为( ) A ．菱形 B ．矩形 C ．正方形D ．不确定4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面ACC 1A 1的法向量是( )A ．BDB ．1BCC ．1BD D ．1A B5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以A 1为起点，以正方体的其余顶点为终点的向量中，与向量1BC垂直的向量有________．6.如图正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AD ，BC ，CC 1的中点，则〈EF ，GH〉＝________.7.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1顶点为起点或终点的向量中：(1)写出与1BB相等的向量；(2)写出与BA相反的向量；(3)写出与BA平行的向量．8.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，11A B＝a ，11A D ＝b ，1A A ＝c ，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1，A 1A 的中点，求〈PQ ，EF 〉，〈PQ ，GH〉，〈GH ，FE 〉．答 案1．选D 只有两个向量方向相同且长度相等，才能为相等向量．故D 正确． 2．选B 模相等的两向量，方向不一定相同或相反；相反向量模相等，方向相反；平行向量并不一定相等；若AB ＝DC，则四边形ABCD 是平行四边形．3．选B 若AB ＝DC，则AB ＝DC ，且AB ∥DC ，∴四边形ABCD 为平行四边形，又|AC |＝|BD|，即AC ＝BD ，∴四边形ABCD 为矩形． 4．选A ∵BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1， ∴BD ⊥面ACC 1A 1，故BD为平面ACC 1A 1的法向量．5．解析：A 1B 1⊥面BCC 1B 1，∴11A B ⊥1BC；A 1D ⊥AD 1，而AD 1∥BC 1，∴1A D ⊥1BC.答案：11A B 1A D6．解析：连接DB ，BC 1，DC 1，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， △BDC 1为等边三角形．∵E ，F ，G ，H 分别是AB ，AD ，BC ，CC 1的中点， ∴EF ∥BD ，GH ∥BC 1.∴〈EF ，GH 〉＝〈BD ，1BC〉＝60°.答案：60°7．解：(1) 1CC ，1DD ，1AA . (2)DC ，11D C ，11A B ，AB .(3)AB ，CD，DC ，11D C ，11C D ，11A B ，11B A .8．解：由题意知，六边形EFGHPQ 为正六边形，所以〈PQ ，EF 〉＝∠HPQ ＝2π3；〈PQ ，GH 〉＝∠FGH ＝2π3；〈GH ，FE 〉等于∠QEF 的补角，即〈GH ，FE 〉＝π3.课时跟踪训练(六) 空间向量的运算1．如图，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，设AB ＝a ， AD＝b ，1AA ＝c ，则下列与向量A C相等的表达式是( )A ．－a ＋b ＋cB ．－a －b ＋cC ．a －b －cD ．a ＋b －c2．已知i ，j ，k 是两两垂直的单位向量，a ＝2i －j ＋k ，b ＝i ＋j －3k ，则a·b ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．±1D ．23.如图，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD .设M ，N 分别是BC ，CD 的中点，则AB ＋12(BD ＋BC)＝( )A ．ANB ．CNC ．BCD.12BC 4．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB ·AC ＝AC ·AD ＝AB ·AD＝0，则△BCD 为( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定5.如图，▱ABCD 的对角线AC 和BD 交于点E ，P 为空间任意一点，若PA ＋PB ＋PC ＋PD ＝x PE，则x ＝________.6．设a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且a ⊥b ，|a |＝1，|b |＝2，则|c |＝________.7．在四面体O －ABC 中，棱OA ，OB ，OC 两两互相垂直，且|OA |＝1，|OB |＝2，|OC|＝3，G 为△ABC 的重心，求OG ·(OA ＋OB ＋OC)的值．8．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使〈BA ，CD〉＝60°，求B ，D 间的距离．答 案1．选D A C ' ＝A A ' ＋AB ＋BC＝－c ＋a ＋b ＝a ＋b －c .2．选A a·b ＝(2i －j ＋k )(i ＋j －3k )＝2i 2－j 2－3k 2＝－2.3．选A AB ＋12(BD ＋BC )＝AB ＋BN ＝AN .4．选B BD ＝BA ＋AD ，BC ＝BA ＋AC ，CD ＝CA ＋AD，∴cos 〈BD ，BC 〉＝(BA ＋AD )·(BA ＋AC)|BA＋AD |·|BA ＋AC |＝2BA | BA ＋AD ||BA ＋AC |＞0，∴〈BD ，BC 〉为锐角，同理cos 〈CB ，CD〉＞0，∴∠BCD 为锐角，cos 〈DB ，DC〉＞0，∴∠BDC 为锐角，即△BCD 为锐角三角形．5．解析：过E 作MN ∥AB 分别交BC ，AD 于点M ，N .∴PA ＋PB ＋PC ＋PD ＝(PA ＋PD )＋(PB ＋PC )＝2PN ＋2PM ＝2(PN＋PM )＝4PE .答案：46．解析：∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－a －b . ∴|c |＝(－a －b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋4＝ 5. 答案： 57．解：∵OG ＝OA ＋AG ＝OA ＋13(AC ＋AB)＝13(OA＋OB ＋OC )． ∴OG ·(OA ＋OB ＋OC )＝13(OA ＋OB ＋OC )2＝13(|OA |2＋|OB |2＋|OC |2＋2OA ·OB ＋2OA ·OC ＋2OB ·OC )＝13(1＋4＋9)＝143.8．解：∵∠ACD ＝90°，∴AC ·CD ＝0.同理，BA ·AC＝0.∵BD ＝BA ＋AC＋CD ，∴BD 2＝BA 2＋2AC ＋CD 2＋2BA ·AC ＋2BA ·CD ＋2AC ·CD ＝2BA ＋2AC ＋2CD ＋2BA ·CD ＝3＋2×1×1×cos 〈BA ，CD〉＝4.∴|BD|＝2，即B ，D 间的距离为2.课时跟踪训练(七) 空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理1．在以下三个命题中，真命题的个数是( )①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面；②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线； ③若a ，b 是两个不共线的向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则a ，b ，c 构成空间的一个基底．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2.如图，已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E 是平面A ′B ′C ′D ′的中心，a ＝12AA ，b ＝12AB ，c ＝13AD ，AE＝x a ＋y b ＋z c ，则( )A ．x ＝2，y ＝1，z ＝32B ．x ＝2，y ＝12，z ＝12C ．x ＝12，y ＝12，z ＝1D ．x ＝12，y ＝12，z ＝323．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，则1AB 在1CB上的投影为( )A ．－22B.22C ．－ 2 D. 24.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是面BB 1C 1C 的中心，且1AA＝a ，AB＝b ，1AC ＝c ，则1A B ＝( )A.12a ＋12b ＋12c B.12a －12b ＋12c C.12a ＋12b －12c D ．－12a ＋12b ＋12c5.如图，在长方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝1，CC 1＝1，则1AC 在BA上的投影是________．6．在三棱锥O －ABC 中，OA ＝a ，OB ＝b ，OC＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE＝________(用a ，b ，c 表示)．7.已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为1的正方体，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出A ，B ，C ，D ，A 1，B 1，C 1，D 1各点的坐标，并写出DA ，DB ，DC ，1DC ，1DD ，1DA，1DB 的坐标表示．8.如右图，已知P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，G 为△PDC的重心，AB ＝i ，AD ＝j ，AP＝k ，试用基底i ，j ，k 表示向量PG ，BG .答 案1．选C ③中向量a ，b ，c 共面，故a ，b ，c 不能构成空间向量的一个基底，①②均正确．2．选A AE ＝AA ' ＋A E ' ＝AA ' ＋12(A B '' ＋A D '' )＝2a ＋b ＋32c .3．选B ∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，∴|1AB |＝2，|AC |＝2，|1B C|＝ 2.∴△AB 1C 是等边三角形．∴1AB 在1CB 上的投影为|1AB |cos 〈1AB ，1CB 〉＝2×cos 60°＝22.4．选D 1A D ＝11A C ＋1C D ＝AC ＋12(1C C ＋11C B)＝c ＋12(－1AA ＋CA ＋AB )＝c －12a ＋12(－c )＋12b＝－12a ＋12b ＋12c .5．解析：1AC 在BA 上的投影为|1AC |cos 〈1AC ，BA〉，在△ABC 1中，cos ∠BAC 1 ＝|AB ||AC 1|＝222＋12＋12＝26＝63， 又|1AC|＝ 6.∴|1AC |cos 〈1AC ·BA 〉＝6×⎝⎛⎭⎫－63＝－2. 答案：－26．解析：如图，OE ＝OA ＋AE ＝OA ＋12AD ＝OA ＋14(AB ＋AC)＝OA ＋14(OB －OA ＋OC －OA)．＝12OA＋14OB ＋14OC ＝12a ＋14b ＋14c . 答案：12a ＋14b ＋14c7．解：∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，∴A (1,0,0), B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)，C 1(0,1,1)，D 1(0,0,1)．∴DA ＝(1,0,0)，DB ＝(1,1,0)，DC ＝(0,1,0)，1DC＝(0,1,1)，1DD ＝(0,0,1)，1DA ＝(1,0,1)，1DB＝(1,1,1)．8．解：∵G 是△PDC 的重心，∴PG ＝23PN ＝13(PD ＋PC )＝13(PA＋AD ＋PA ＋AB ＋BC ) ＝13(－k ＋j －k ＋i ＋j )＝13i ＋23j －23k ， BG ＝BA ＋AP ＋PG＝－i ＋k ＋13i ＋23j －23k＝－23i ＋23j ＋13k .课时跟踪训练(八) 空间向量运算的坐标表示1．下列各组向量中不平行的是( ) A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4) B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0) C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0)D ．g ＝(－2,3,5)，h ＝(16，－24,40)2．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，c ＝(1，－x,2)，若(a ＋b )⊥c ，则x ＝( ) A ．4 B ．－4 C.12D ．－63．若a ＝(1，λ，－1)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 的夹角的余弦为19，则|a |＝( )A.94B.102C.32D. 64.如图，在空间直角坐标系中有四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝2，E 为PD 的中点，则|BE|＝( )A ．2 B. 5 C. 6 D ．2 25．已知向量a ＝(－1,0,1)，b ＝(1,2,3)，k ∈R ，若k a －b 与b 垂直，则k ＝________. 6．若空间三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (p,3，q ＋2)共线， 则p ＝________，q ＝________.7．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,2)，问是否存在实数x ，y ，使得AC ＝x AB＋y BC 成立？若存在，求x ，y 的值．8.如图，在长方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，|OA |＝2，|AB|＝3，|1AA|＝2，E 为BC 的中点．(1)求1AO 与1B E所成角的余弦值；(2)作O 1D ⊥AC 于D ，求O 1D 的长．答 案1．选D 对D 中向量g ，h ，16－2＝－243≠405，故g ，h 不平行．2．选B ∵a ＋b ＝(－2,1,3＋x )且(a ＋b )⊥c ， ∴－2－x ＋6＋2x ＝0，∴x ＝－4.3．选C 因为a·b ＝1×2＋λ×(－1)＋(－1)×2＝－λ，又因为a·b ＝|a||b |·cos 〈a ，b 〉＝2＋λ2×9×19＝132＋λ2，所以132＋λ2＝－λ.解得λ2＝14，所以|a |＝1＋14＋1＝32. 4．选C 由题意可得B (2,0,0)，E (0,1,1)，则BE ＝(－2,1,1)，|BE|＝ 6.5．解析：因为(k a －b )⊥b ， 所以(k a －b )·b ＝0， 所以k a·b －|b |2＝0，所以k (－1×1＋0×2＋1×3)－(12＋22＋32)2＝0， 解得k ＝7. 答案：76．解析：由A ，B ，C 三点共线，则有AB 与AC 共线，即AB＝λAC .又AB＝(1，－1,3)，AC ＝(p －1，－2，q ＋4)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ(p －1)，－1＝－2λ，3＝λ(q ＋4).所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，p ＝3，q ＝2.答案：3 27．解：∵AB＝(－1,1,0)，AC ＝(－1,0,2)，BC ＝(0，－1,2)．假设存在x ，y ∈R 满足条件，由已知得(－1,0,2)＝x (－1,1,0)＋y (0，－1,2)，即(－1,0,2)＝(－x ，x,0)＋(0，－y,2y )＝(－x ，x －y,2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－x ，0＝x －y ，2＝2y⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.即存在实数x ＝1，y ＝1使结论成立． 8．解：建立如图所示的空间直角坐标系．(1)由已知得A (2,0,0)，O 1(0,0,2)，B 1(2,3,2)，E (1,3,0)，所以1AO ＝(－2,0,2)，1B E＝(－1,0，－2)，所以cos 〈1AO ，1B E 〉＝1AO ·1B E|1AO ||1B E |＝－2210＝－1010.(2)因为1O D ⊥AC，AD ∥AC ，而C (0,3,0)，设D (x ，y,0)，则1O D＝(x ，y ，－2)，AD ＝(x －2，y,0)，AC ＝(－2,3,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋3y ＝0，x －2－2＝y 3⇒⎩⎨⎧x ＝1813，y ＝1213.所以D ⎝⎛⎭⎫1813，1213，0，所以O 1D ＝|1O D |＝228613.课时跟踪训练(九) 空间向量与平行关系1．已知向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( ) A ．x ＝6，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝1522．已知l ∥π，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面π的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，则m ＝( ) A ．－8 B ．－5 C ．5D ．83．若两个不同平面π1，π2的法向量分别为n 1＝(1,2，－2)，n 2＝(－3，－6,6)，则( ) A ．π1∥π2B ．π1⊥π2C ．π1，π2相交但不垂直D ．以上均不正确4．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是( )A ．－103B ．6C ．－6D.1035．已知两直线l 1与l 2的方向向量分别为v 1＝(1，－3，－2)，v 2＝(－3,9,6)，则l 1与l 2的位置关系是________．6．若平面π1的一个法向量为n 1＝(－3，y,2)，平面π2的一个法向量为n 2＝(6，－2，z )，且π1∥π2，则y ＋z ＝________.7.如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC＝π4，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点． 证明：直线MN ∥平面OCD .8.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．答 案1．选D ∵l 1∥l 2，设a ＝λb ， ∴(2,4,5)＝λ(3，x ，y )， ∴x ＝6，y ＝152.2．选A ∵l ∥π，∴直线l 的方向向量与平面π的法向量垂直． ∴2＋m2＋2＝0，m ＝－8.3．选A ∵n 1＝－13n 2，∴n 1∥n 2，∴π1∥π2.4．选B ∵α∥β，∴α的法向量与β的法向量也互相平行， ∴24＝3λ＝－1－2，∴λ＝6. 5．解析：∵v 2＝－3v 1， ∴l 1∥l 2或l 1与l 2重合． 答案：平行或重合6．解析：∵π1∥π2，∴n 1∥n 2.∴－36＝y －2＝2z.∴y ＝1，z ＝－4. ∴y ＋z ＝－3. 答案：－37．证明：作AP ⊥CD 于点P .如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．则A (0,0,0)，B (1,0,0)，P⎝⎛⎭⎫0，22，0，D ⎝⎛⎭⎫－22，22，0，O (0，0,2)，M (0,0,1)，N ⎝⎛⎭⎫1－24，24，0. MN ＝⎝⎛⎭⎫1－24，24，－1，OP ＝⎝⎛⎭⎫0，22，－2，OD ＝⎝⎛⎭⎫－22，22，－2.设平面OCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·OP ＝0，n ·OD ＝0.即⎩⎨⎧22y －2z ＝0，－22x ＋22y －2z ＝0，取z ＝2，解得n ＝(0,4，2)．∵MN ·n ＝(1－24，24，－1)·(0,4，2)＝0，∴MN ⊥n .又MN ⃘平面OCD ，∴MN ∥平面OCD .8．解：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则A 1(0,0,1)，B (1,0,0)，B 1(1,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫0，1，12， 1BA ＝(－1,0,1)，BE ＝⎝⎛⎭⎫－1，1，12.设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的一个法向量，则由n ·1BA＝0，n ·BE ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－x ＋y ＋12z ＝0. 所以x ＝z ，y ＝12z .取z ＝2，得n ＝(2,1,2)．设棱C 1D 1上存在点F (t,1,1)(0≤t ≤1)满足条件，又B 1(1,0,1)，所以1B F ＝(t －1,1,0)．而B 1F ⃘平面A 1BE ，于是B 1F ∥平面A 1BE ⇔1B F·n＝0⇔(t －1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t －1)＋1＝0⇔t ＝12⇔F 为C 1D 1的中点．这说明在棱C 1D 1上存在点F (C 1D 1的中点)，使B 1F ∥平面A 1BE .课时跟踪训练(十) 空间向量与垂直关系1．若直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2,3,2)，则( ) A ．l 1∥l 2 B ．l 1⊥l 2 C ．l 1与l 2相交但不垂直D ．不确定2．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面π的法向量为n ＝(－3,0，－6)，则( ) A ．l ∥π B ．l ⊥π C ．l πD ．l 与π斜交3.如图，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，AF ∶FD 等于( )A ．1∶2B ．1∶1C ．3∶1D ．2∶14．已知AB ＝(1,5，－2)，BC ＝(3,1，z )，若AB ⊥BC ，BP＝(x －1，y ，－3)，且BP⊥平面ABC ，则向量BP＝( )A.⎝⎛⎭⎫337，－157，－3 B.⎝⎛⎭⎫407，－157，－3 C.⎝⎛⎭⎫407，－2，－3D.⎝⎛⎭⎫4，407，－3 5．已知a ＝(1,2,3)，b ＝(1,0,1)，c ＝a －2b ，d ＝m a －b ，若c ⊥d ，则m ＝________. 6．在直角坐标系O －xyz 中，已知点P (2cos x ＋1,2cos 2x ＋2,0)和点Q (cos x ，－1,3)，其中x ∈[0，π]，若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________．7.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 于点F .(1)证明：P A ∥平面EDB ； (2)证明：PB ⊥平面EFD .8.三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为A 1B 1C 1，∠BAC ＝90°，A 1A ⊥平面ABC .A 1A ＝3，AB ＝AC ＝2A 1C 1＝2，D 为BC 中点．求证：平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.答 案1．选B ∵直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2,3,2)， ∴a·b ＝(1,2，－2)·(－2,3,2)＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0. ∴a ⊥b ，∴l 1⊥l 2.2．选B a ＝－13n ，∴a ∥n ，∴l ⊥π.3.选B 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，P A ＝a .则B (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫12，1，0，P (0,0，a )． 设点F 的坐标为(0，y,0)，则BF ＝(－1，y,0)，PE ＝⎝⎛⎭⎫12，1，－a .∵BF ⊥PE ，∴BF ·PE ＝0，解得y ＝12，则F 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，12，0， ∴F 为AD 中点，∴AF ∶FD ＝1∶1.4．选A AB ·BC ＝3＋5－2z ＝0，故z ＝4，由BP ·AB ＝x －1＋5y ＋6＝0，且BP ·BC＝3(x －1)＋y －12＝0，得x ＝407，y ＝－157.BP＝⎝⎛⎭⎫337，－157，－3. 5．解析：∵c ＝a －2b ，∴c ＝(1,2,3)－2(1,0,1)＝(－1,2,1)， ∵d ＝m a －b ，∴d ＝m (1,2,3)－(1,0,1)＝(m －1,2m,3m －1)． 又c ⊥d ，∴c ·d ＝0，即(－1,2,1)·(m －1,2m,3m －1)＝0， 即1－m ＋4m ＋3m －1＝0，∴m ＝0. 答案：06．解析：由OP ⊥OQ ，得OP ·OQ＝0.即(2cos x ＋1)·cos x ＋(2cos 2x ＋2)·(－1)＝0. ∴cos x ＝0或cos x ＝12.∵x ∈[0，π]，∴x ＝π2或x ＝π3.答案：π2或π37．证明：如图所示，建立空间直角坐标系，D 是坐标原点，设DC ＝a .(1)连接AC ，AC 交BD 于G ，连接EG .依题意得A (a,0,0)，P (0，0，a )，E ⎝⎛⎭⎫0，a 2，a2. ∵底面ABCD 是正方形， ∴G 是此正方形的中心． 故点G 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，0，且PA ＝()a ，0，－a ，EG ＝⎝⎛⎭⎫a 2，0，－a2. ∴PA＝2EG ，则P A ∥EG .又EG 平面EDB 且P A ⃘平面EDB . ∴P A ∥平面EDB .(2)依题意得B (a ，a,0)，PB＝(a ，a ，－a )， DE ＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，a2， 故PB ·DE ＝0＋a 22－a 22＝0.∴PB ⊥DE ，又EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ， ∴PB ⊥平面EFD .8．证明：如图，建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(0,0，3)，C 1(0,1，3)， ∵D 为BC 的中点， ∴D 点坐标为(1,1,0)．∴1AA＝(0,0，3)，AD ＝(1,1,0)， BC ＝(－2,2,0)，1CC＝(0，－1，3)．设平面A 1AD 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 平面BCC 1B 1的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·1AA ＝0，n 1·AD＝0， 得⎩⎨⎧3z 1＝0，x 1＋y 1＝0.令y 1＝－1，则x 1＝1，z 1＝0， ∴n 1＝(1，－1,0)．由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BC ＝0，n 2·1CC ＝0， 得⎩⎨⎧－2x 2＋2y 2＝0，－y 2＋3z 2＝0.令y 2＝1，则x 2＝1，z 2＝33， ∴n 2＝⎝⎛⎭⎫1，1，33. ∵n 1·n 2＝1－1＋0＝0，∴n 1⊥n 2. ∴平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.。