2020版试吧高中全程训练计划数学理天天练9

天天练 29 空间向量与立体几何小题狂练○29 小题是基础 练小题 提分快 一、选择题1．[2019·台州模拟]在空间直角坐标系O －xyz 中，z 轴上到点A (1,0,2)与点B (2，－2,1)距离相等的点C 的坐标为( )A ．(0,0，－1)B ．(0,0,1)C ．(0,0，－2)D ．(0,0,2) 答案：C解析：设C (0,0，z )，由点C 到点A (1,0,2)与点B (2，－2,1)的距离相等，得12＋02＋(z －2)2＝(2－0)2＋(－2－0)2＋(z －1)2，解得z ＝－2，故C (0,0，－2)．2．设三棱锥OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点G 是△ABC 的重心，那么OG→等于( ) A ．a ＋b －c B ．a ＋b ＋c C.12(a ＋b ＋c ) D.13(a ＋b ＋c )答案：D解析：如下图，OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋13(AB →＋AC →)＝OA →＋13(OB→－OA →＋OC →－3．已知A ∈α，P ∉α，PA→＝⎝⎛⎭⎪⎫－32，12，2，平面α的一个法向量n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，－2，那么直线PA 与平面α所成的角为( )A ．30° B．45° C ．60° D ．150° 答案：C解析：设PA 与平面α所成的角为θ，那么sin θ＝⎪⎪⎪⎪cos 〈PA →·n 〉＝|PA →·n ||PA →||n |＝14＋21＋2·14＋2＝32.∵θ∈[0°，90°]，∴θ＝60°，应选C. 4．已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的三视图如下图，那么异面直线D 1C 与AC 1所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 答案：D解析：由三视图可知几何体为直四棱柱，底面为直角梯形且两底边长别离为1,2，高为1，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的高为2.连接DC 1，易患AD ⊥D 1C ，DC 1⊥D 1C ，AD ∩DC 1＝D ，因此D 1C ⊥平面ADC 1，因此D 1C ⊥AC 1，因此异面直线D 1C 与AC 1所成的角为90°. 5.[2019·衡阳模拟]如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，E ，F 别离为AB ，BC 的中点，那么异面直线EF 与AB 1所成角的余弦值为( )A.33B.32C.22D.12 答案：D解析：连接AC ，B 1C ，∵E ，F 别离为AB ，BC 的中点，∴EF ∥AC ，∴∠B 1AC 为异面直线EF 与AB 1所成的角．在△AB 1C 中，∵AB 1，AC ，B 1C 为面对角线，∴AB 1＝AC ＝B 1C ，∴∠B 1AC ＝π3，∴cos ∠B 1AC ＝12.6．[2019·陕西质检]已知△ABC 与△BCD 均为正三角形，且AB ＝4.假设平面ABC ⊥平面BCD ，且异面直线AB 和CD 所成的角为θ，那么cos θ＝( )A ．－154 B.154C ．－14 D.14答案：D解析：解法一 取BC 的中点O ，连接OA ，OD ，因此OA ⊥OC ，OD ⊥OC ，因为平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD ＝BC ，因此OA ⊥平面BCD ，因此OA ，OD ，OC 两两垂直，以O 为坐标原点，OD ，OC ，OA 所在直线别离为x 轴、y 轴、z 轴成立如下图的空间直角坐标系O －xyz ，因为AB ＝4，因此B (0，－2,0)，D (23，0,0)，C (0,2，0)，A (0,0,23)，因此AB→＝(0，－2，－23)，CD →＝(23，－2,0)，那么cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →·CD →|AB →|·|CD →|＝ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪0×23＋(－2)×(－2)＋(－23)×002＋(－2)2＋(－23)2×(23)2＋(－2)2＋02＝416＝14.解法二 如图，取BC 的中点O ，取BD 的中点E ，取AC 的中点F ，连接OA ，OE ，OF ，EF ，那么OE ∥CD ，OF ∥AB ，那么∠EOF 或其补角为异面直线AB 与CD 所成的角，依题得OE ＝12CD ＝2，OF ＝12AB ＝2，过点F 作FG ⊥BC 于点G ，易患FG ⊥平面BCD ，且FG ＝12OA ＝3，G 为OC 的中点，那么OG ＝1，又OE ＝2，∠EOG ＝120°，因此由余弦定理得EG ＝OG 2＋OE 2－2OG ·OE cos ∠EOG ＝ 12＋22－2×1×2×cos120°＝7，由勾股定理得EF 2＝FG 2＋EG 2＝(3)2＋(3)2＝10，在△OEF 中，由余弦定理得cos ∠EOF ＝OE 2＋OF 2－EF 22OE ·OF ＝22＋22－102×2×2＝－14，因为θ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，因此cos θ＝14.7．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝2，BC ＝3，D ，E 别离是AC 1和BB 1的中点，那么直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 答案：A 解析：由已知AB 2＋BC 2＝AC 2，那么AB ⊥BC .别离以BC ，BA ，BB 1为x ，y ，z 轴成立空间直角坐标系B －xyz ，如下图，设AA 1＝2a ，那么A (0,1,0)，C (3，0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，a ，E (0,0，a )，因此ED →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，平面BB 1C 1C 的一个法向量为n ＝(0,1,0)，cos〈ED→，n〉＝ED→·n|ED→||n|＝12⎝⎛⎭⎪⎫322＋⎝⎛⎭⎪⎫122＋02×1＝12，〈ED→，n〉＝60°，因此直线DE与平面BB1C1C所成的角为30°.应选A.8．已知二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD别离在那个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，那么该二面角的大小为()A．150°B．45°C．120°D．60°答案：D解析：如图，AC⊥AB，BD⊥AB，过A在平面ABD内作AE∥BD，过D作DE∥AB，连接CE，因此DE∥AB且DE⊥平面AEC，∠CAE即二面角的平面角．在直角三角形DEC中，CE＝213，在三角形ACE中，由余弦定理可得cos∠CAE＝CA2＋AE2－CE22CA×AE＝12，因此∠CAE＝60°，即所求二面角的大小为60°.二、非选择题9．向量a＝(2,0,5)，b＝(3,1，－2)，c＝(－1,4,0)，那么a＋6b－8c＝________.答案：(28，－26，－7)解析：a＋6b－8c＝(2,0,5)＋6(3,1，－2)－8(－1,4,0)＝(2,0,5)＋(18,6，－12)－(－8,32,0)＝(28，－26，－7)．10．[2019·南宁二中、柳州高中两校联考]在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，AA1＝1，那么异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为________．答案：210解析：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，连接AD1，B1D1(图略)，易知∠B1AD1确实是异面直线AB1与BC1所成的角．因为AB＝3，BC＝2，AA1＝1，因此AB1＝32＋12＝10，AD1＝22＋12＝5，B1D1＝22＋32＝13.在△AB1D1中，由余弦定理，得cos∠B1AD1＝(10)2＋(5)2－(13)22×10×5＝210.11.正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为22，那么AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为________．答案：π6解析：以C 为原点成立坐标系C －xyz ，得以下坐标：A (2,0,0)，C 1(0,0,22)．点C 1在侧面ABB 1A 1内的射影为点C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，22.因此AC1→＝(－2,0,22)，AC 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，22，设直线AC 1与平面ABB 1A 1所成的角为θ，那么cos θ＝AC 1→·AC 2→|AC 1→||AC 2→|＝1＋0＋823×3＝32.又θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，因此θ＝π6.12.如图，已知AB 为圆锥PO 的底面直径，PA 为母线，点C 在底面圆周上，假设PA ＝AB ＝2，AC ＝BC ，那么二面角P －AC －B 的正切值是________．答案： 6解析：取AC 的中点D ，连接OD ，PD ，那么OD ⊥AC ，PD ⊥AC ，∴∠PDO 是二面角P －AC －B 的平面角．∵PA ＝AB ＝2，AC ＝BC ，∴PO ＝3，OD ＝22，∴二面角P －AC －B 的正切值tan ∠PDO ＝POOD ＝ 6.图(1)解法一 如图(1)，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的一侧补上一个相同的长方体A ′B ′BA —A 1′B 1′B 1A 1.连接B 1B ′，由长方体性质可知，B 1B ′∥AD 1，因此∠DB 1B ′为异面直线AD 1与DB 1所成的角或其补角．连接DB ′，由题意，得DB ′＝12＋(1＋1)2＝5，B ′B 1＝12＋(3)2＝2，DB 1＝12＋12＋(3)2＝ 5.在△DB ′B 1中，由余弦定理，得DB ′2＝B ′B 21＋DB 21－2B ′B 1·DB 1·cos ∠DB 1B ′， 即5＝4＋5－2×25cos ∠DB 1B ′，∴ cos ∠DB 1B ′＝55. 应选C.图(2)解法二 如图(2)，别离以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴成立空间直角坐标系D －xyz .由题意，得A (1,0,0)，D (0,0,0)，D 1 (0,0，3)，B 1 (1,1，3)，∴ AD1→＝(－1,0，3)，DB 1→＝(1,1，3)， ∴ AD 1→·DB 1→＝－1×1＋0×1＋(3)2＝2， |AD1→|＝2，|DB 1→|＝5， ∴ cos 〈AD 1→，DB 1→〉＝AD 1→·DB 1→|AD 1→|·|DB 1→|＝225＝55. 应选C.4.[2019·南昌模拟]如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝π2，AB ＝AC ＝2，AA 1＝6，那么直线AA 1与平面AB 1C 1所成的角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案：A解析：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，∠BAC ＝π2，即AB ⊥AC ，以A 为坐标原点，AC→，AB →，AA 1→的方向别离为x ，y ，z 轴正方向成立空间直角坐标系A －xyz ，那么A (0,0,0)，B 1(0,2，6)，C 1(2,0，6)，A 1(0,0，6)，AA1→＝(0,0，6)，AB1→＝(0,2，6)，AC 1→＝(2,0，6)．设平面AB 1C 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，那么⎩⎨⎧n ·AB1→＝0，n ·AC 1→＝0，得⎩⎨⎧2y ＋6z ＝0，2x ＋6z ＝0，令x ＝1，那么y ＝1，z ＝－63，因此n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，1，－63.设直线AA 1与平面AB 1C 1所成角为θ，那么sin θ＝|cos 〈n ，AA1→〉|＝12，因此θ＝π6.5．如图，在三棱锥A －SBC 中，棱SA ，SB ，SC 两两垂直，且SA ＝SB ＝SC ，那么二面角A －BC －S 的正切值为( )A ．1 B.22C. 2 D ．2 答案：C 解析：解法一 由题意，SA ⊥平面SBC ，且AB ＝AC ＝SA 2＋SB 2.如图，取BC 的中点D ，连接SD ，AD ，那么SD ⊥BC ，AD ⊥BC ，故∠ADS 是二面角A －BC －S解析：如图，取AC，A1C1的中点别离为M，M1，连接MM1，BM，过点D作DN∥BM交MM1于点N，那么易证DN⊥平面AA1C1C，连接AN，那么∠DAN为AD与平面AA1C1C所成的角．在直角三角形DNA中，sin∠DAN＝DNAD＝322＝64.8．[2019·丽水模拟]如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AD＝1，AB＝2，点E是AB上一点，当二面角P－EC－D为π4时，AE＝()A．1 B.12C．2－ 2 D．2－ 3答案：D解析：如图，过点D作DF⊥CE于F，连接PF，因为PD⊥平面ABCD，因此PD⊥CE，又PD∩DF＝D，因此CE⊥平面PDF，因此PF⊥CE，可得∠PFD为二面角P－EC－D的平面角，即∠PFD＝π4，故在Rt△PDF中，PD＝DF＝1，因为在矩形ABCD中，△EBC∽Rt△CFD，因此DFBC＝CDEC，得EC＝CD·BCDF＝2，在Rt△BCE 中，依照勾股定理，得BE＝CE2－BC2＝3，因此AE＝AB－BE＝2－3，应选D.二、非选择题9．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC.那么二面角C－PB－D的大小为________．答案：60° 解析：以点D 为坐标原点成立如下图的空间直角坐标系D －xyz ，设PD ＝DC ＝1，那么D (0,0,0)，P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，因此DP→＝(0,0,1)，PC →＝(0,1，－1)，DB →＝(1,1,0)，BC →＝(－1,0,0)，设平面PBD 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由n 1·DP →＝0，n 1·DB→＝0得⎩⎨⎧z 1＝0，x 1＋y 1＝0，令x 1＝1，得n 1＝(1，－1,0)．设平面PBC 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由n 2·PC →＝0，n 2·BC→ ＝0得 ⎩⎨⎧y 2－z 2＝0，－x 2＝0，令y 2＝1得n 2＝(0,1,1)．设二面角C －PB －D 的大小为θ，那么cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝12，又由题可知θ为锐角，因此θ＝60°.10．如图为一正方体的平面展开图，在那个正方体中，有以下四个结论： ①AF ⊥GC ；②BD 与GC 成异面直线且夹角为60°； ③BD ∥MN ；④直线BG 与平面ABCD 所成的角为45°. 其中正确结论的个数为________． 答案：2解析：将平面展开图还原为正方体如下图，关于①，由图形知AF 与GC 异面垂直，故①正确．关于②，BD 与GC 显然成异面直线，连接MB ，MD ，那么BM ∥GC ，因此∠MBD 为异面直线BD 与GC 所成的角或其补角，在等边三角形BDM 中，∠MBD ＝60°，因此异面直线BD 与GC 所成的角为60°，故②正确．关于③，BD 与MN为异面直线，因此③错误．关于④，由题意得GD⊥平面ABCD，因此∠GBD为直线BG与平面ABCD所成的角，但在直角三角形BDG中，∠GBD≠45°，因此④错误．11．[2019·陕西西安模拟]如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为边长为2的正方形，E，F别离为PC，AB的中点．(1)求证：EF∥平面PAD；(2)假设PA⊥BD，EF⊥平面PCD，求直线PB与平面PCD所成角的大小．解析：证明设PD的中点为Q.连接AQ，EQ，那么EQ綊12CD，∵AF綊12CD，∴EQ綊AF，∴四边形AFEQ为平行四边形．∴EF∥AQ.∵EF⊄平面PAD，AQ⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD.(2)由(1)知，EF∥AQ，∵EF⊥平面PCD，∴AQ⊥平面PCD.∵PD，CD⊂平面PCD，∴AQ⊥CD，AQ⊥PD.∵AQ⊥CD，AD⊥CD，AQ∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.又∵PA⊂平面PAD，∴PA⊥CD.∵PA⊥BD，CD∩BD＝D，∴PA⊥平面ABCD.由题意，AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB→，AD→，AP→的方向别离为x轴，y。

天天练13 三角函数的性质小题狂练⑬一、选择题1．[2019·天津河东区模拟]函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ，x ∈R是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数 答案：C解析：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos2x ，显然函数是偶函数，且最小正周期T ＝2π2＝π.故选C.2．[2019·云南大理模拟]函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6在x ＝θ处取得最大值，则tan θ＝( )A ．－33 B.33 C ．－ 3 D. 3 答案：D解析：由题意，函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6在x ＝θ处取得最大值，∴θ＝2k π＋π3(k ∈Z )，∴tan θ＝ 3.故选D.3．[2019·河北大名县一中月考]函数y ＝sin x cos x ＋32cos2x 的最小正周期和振幅分别是( )A ．π，1B ．π，2C ．2π，1D ．2π，2 答案：A解析：y ＝sin x cos x ＋32cos2x ＝12sin2x ＋32cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.最小正周期为2π2＝π，振幅为1.故选A.4．[2018·全国卷Ⅲ]函数f (x )＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为( )A.π4B.π2C ．πD ．2π 答案：C解析：由已知得f (x )＝tan x1＋tan 2x ＝sin x cos x 1＋sin x cos x2＝sin x cos x cos 2x ＋sin 2xcos 2x＝sin x ·cos x ＝12sin 2x ，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.故选C.5．[2019·沈阳监测]函数f (x )＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的单调递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π8 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，π4 答案：C 解析：f (x )＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x ＝sin2x ＋1＋2cos 2x ＝sin2x ＋cos2x ＋2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2.解法一 令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z ，∴结合选项知函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π8，故选C.解法二 ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4，当π4<2x ＋π4<π2时，函数f (x )单调递增，此时x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π8，故选C.6．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为4π，且对任意的x ∈R ，有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3成立，则f (x )图象的一个对称中心是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0 答案：A解析：由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，由|φ|<π2，得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3.令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x＝2k π－2π3(k ∈Z )，故f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，0(k ∈Z )，当k ＝0时，f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0，故选A.7．[2019·宁夏银川一中第六次月考]下列函数中，最小正周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2答案：D 解析：由题意得，函数的周期为π，只有C ，D 满足题意，函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为增函数，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数，故选D. 8．已知函数①y ＝sin x ＋cos x ，②y ＝22sin x cos x ，则下列结论正确的是( )A ．两个函数的图象均关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0成中心对称图形B ．两个函数的图象均关于直线x ＝－π4成轴对称图形C ．两个函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4上都是单调递增函数D ．两个函数的最小正周期相同 答案：C解析：①y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋k π，0，k ∈Z ，对称轴为x ＝π4＋k π，k ∈Z ，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z ，最小正周期为2π；②y ＝2sin2x图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12k π，0，k ∈Z ，对称轴为x ＝π4＋12k π，k ∈Z ，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π，k ∈Z ，最小正周期为π.故选C.二、非选择题 9．[2019·常州八校联考(一)]在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos2x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan2x 中，最小正周期为π的所有函数的序号为________．答案：①③ 解析：①y ＝cos|2x |＝cos2x ，最小正周期为π；②y ＝cos2x ，最小正周期为π，由图象知y ＝|cos2x |的最小正周期为π2；③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π；④y ＝tan2x 的最小正周期T ＝π2.因此①③的最小正周期为π.10．[2019·上海长宁区延安中学模拟]函数y ＝tan2x －π3的单调递增区间为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋k π2，5π12＋k π2(k ∈Z )解析：函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，令－π2＋k π<2x －π3<π2＋k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π2<x <5π12＋k π2，k ∈Z .所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋k π2，5π12＋k π2(k ∈Z )．11．[2019·江西师大附属中学月考]已知函数f (x )＝sin ωx ＋π6，其中ω>0.若|f (x )|≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12对x ∈R 恒成立，则ω的最小值为________．答案：4解析：由题意得π12ω＋π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝24k ＋4(k ∈Z )，由ω>0知，当k ＝0时，ω取到最小值4.12．[2019·南昌模拟]已知f (x )＝cos2x ＋a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．答案：(－∞，－4]解析：f (x )＝cos2x ＋a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝1－2sin 2x －a sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是增函数，y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上单调递增且sin x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.令t ＝sin x ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则y ＝－2t 2－at ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，则－a 4≥1，因而a ∈(－∞，－4].课时测评⑬一、选择题1．[2019·北京西城模拟]函数f (x )＝sin(x ＋φ)的图象记为曲线C .则“f (0)＝f (π)”是“曲线C 关于直线x ＝π2对称”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：在函数f (x )＝sin(x ＋φ)中，若f (0)＝f (π)，则sin φ＝sin(π＋φ)，所以sin φ＝0，φ＝k π，k ∈Z ，所以曲线C 关于直线x ＝π2对称，充分性成立；若曲线C 关于直线x ＝π2对称，则f (0)＝f (π)成立，即必要性成立．所以“f (0)＝f (π)”是“曲线C 关于直线x ＝π2对称”的充分必要条件．故选C.2．[2018·全国卷Ⅱ]若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]是减函数，则a 的最大值是( )A.π4B.π2C.3π4 D ．π 答案：C解析：∵ f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4， ∴ 当x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4单调递增，－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4单调递减， ∴ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4是f (x )在原点附近的单调减区间，结合条件得[0，a ]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，∴ a ≤3π4，即a max ＝3π4. 故选C.3．[2019·沈阳质检]已知f (x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x ，则f (x )的最小正周期和一个单调递增区间为( )A ．2π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，7π8B ．π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，7π8C ．2π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8D ．π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8 答案：D 解析：f (x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝1－cos2x ＋sin2x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，则f (x )的最小正周期T ＝π，由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z 得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π，k ∈Z ，结合选项知，f (x )的一个单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8.4.[2019·广东韶关六校联考]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若将f (x )图象上的所有点向右平移π6个单位长度得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4，k ∈ZB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π4，2k π＋π4，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π6，k ∈Z 答案：A解析：由图可知A ＝2，T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，∴ω＝2ππ＝2. ∵由图可得点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，2在函数图象上，∴2sin2×π12＋φ＝2，∴2×π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z .由|φ|<π2，可得φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，得到图象的函数解析式为g (x )＝2sin2x －π6＋π3＝2sin2x .由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z ，∴函数g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4，k ∈Z .故选A.5．[2019·河北衡水中学月考]将函数f (x )＝sin2x 图象上的所有点向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )的图象．若g (x )在区间[0，a ]上单调递增，则a 的最大值为( )A.π8B.π4C.π6D.π2 答案：D解析：f (x )的图象向右平移π4个单位长度得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝－cos2x 的图象．根据余弦函数的图象可知，当0≤2x ≤π，即0≤x ≤π2时，g (x )单调递增，故a 的最大值为π2.6．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2，f (x 1)＝1，f (x 2)＝0，若|x 1－x 2|min ＝12，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，则f (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16＋2k ，56＋2k ，k ∈ZB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56＋2k ，16＋2k ，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56＋2k π，16＋2k π，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16＋2k ，76＋2k ，k ∈Z 答案：B解析：设f (x )的最小正周期为T ，由f (x 1)＝1，f (x 2)＝0，|x 1－x 2|min ＝12，得T 4＝12⇒T ＝2，即ω＝2π2＝π.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12π＋φ＝12，即cos φ＝12，又0<φ<π2，所以φ＝π3，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3.由－π2＋2k π≤πx ＋π3≤π2＋2k π，得－56＋2k ≤x ≤16＋2k ，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56＋2k ，16＋2k ，k ∈Z .故选B.7．[2019·河南漯河高级中学模拟]已知函数y ＝sin π3x ＋π6在[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 答案：B解析：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6的周期T ＝6，当x ＝0时，y ＝12，当x ＝1时，y ＝1，所以函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6在[0，t ]上至少取得2次最大值，有t －1≥T ，即t ≥7，所以正整数t 的最小值为7.故选B.8．[2019·四川绵阳高中第一次诊断]已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)图象上最高点与相邻最低点的距离是 17.若将y＝f (x )的图象向右平移16个单位长度得到y ＝g (x )的图象，则函数y＝g (x )图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝56B ．x ＝13C ．x ＝12 D ．x ＝0 答案：B解析：由题意得f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3.故函数f (x )的最大值为2，由(17)2－42＝1可得函数f (x )的周期为T ＝2×1＝2，所以ω＝π，因此f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3.将y ＝f (x )的图象向右平移16个单位长度得到的图象对应的函数的解析式为g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫x －16＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，验证知，当x ＝13时，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝2，为函数的最大值，故直线x ＝13为函数y ＝g (x )图象的一条对称轴．故选B. 二、非选择题9．[2019·江苏南京调研]函数f (x )＝sin π－x 2sin x2的最小正周期为________． 答案：2π解析：f (x )＝sin π－x 2sin x 2＝cos x 2sin x 2＝12sin x .故函数f (x )＝sin π－x 2sin x2的最小正周期T ＝2π.10．[2019·山东德州模拟]已知函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)－cos(2x ＋θ)(－π<θ<0)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，记f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上的最大值为n ，且f (x )在[m π，n π](m <n )上单调递增，则实数m 的最小值是________．答案：2312解析：因为f (x )＝3sin(2x ＋θ)－cos(2x ＋θ)＝2sin2x ＋θ－π6的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＝0.又－π<θ<0，所以π6＋θ＝0，即θ＝－π6，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，0≤f (x )≤2，即n ＝2，令－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，即－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z )，当k ＝2时，[m π，2π]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤23π12，29π12，即实数m 的最小值是2312. 11．[2017·浙江卷，18]已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23·sin x cos x (x ∈R )．(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3的值； (2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．解析：本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识，同时考查运算求解能力．(1)由sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－23×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝2. (2)由cos2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin2x ＝2sin x ·cos x 得f (x )＝－cos2x －3sin2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 所以f (x )的最小正周期是π.由正弦函数的性质得π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z .所以，f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．。

天天练26空间点、线、面的位置关系小题狂练○26一、选择题1．下列说法正确的是()A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面答案：D解析：由异面直线的定义可知D正确．2．如图，正方体或四面体中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四点不共面的是()答案：D解析：A选项中，在正方体中，连接PS，QR，则PS∥QR，所以这四点共面；B选项中，在正方体中，连接PS，QR，则PS∥QR，所以这四点共面；C选项中，在四面体中，连接PS，QR，则PS∥QR，所以这四点共面；D选项中，在四面体中，连接PS，QR，则PS，QR异面，所以这四点不共面．故选D.3．[2019·益阳市、湘潭市调研]下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有()A．①③B．②③C．②④D．②③④答案：C解析：由题意，可知题图①中，GH∥MN，因此直线GH与MN共面；题图②中，连接GN，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；题图③中，连接MG，则GM∥HN，因此直线GH与MN共面；题图④中，连接GN，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，所以直线GH与MN异面．故选C.4．[2019·银川模拟]已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m⊥α，n⊥β，且β⊥α，则下列结论一定正确的是()A．m⊥n B．m∥nC．m与n相交D．m与n异面答案：A解析：若β⊥α，m⊥α，则直线m与平面β的位置关系有两种：m⊂β或m∥β.当m⊂β时，又n⊥β，所以m⊥n；当m∥β时，又n⊥β，所以m⊥n.故m⊥n，选A.5．[2019·山西临汾模拟]已知平面α及直线a，b，下列说法正确的是()A．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行B．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直C．若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行D．若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直答案：D解析：若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不一定平行；若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线可能垂直；若直线a，b平行，这两条直线可能都和平面α相交(不平行)；若直线a，b垂直，则直线a，b不平行，而这两条直线与平面α都垂直等价于直线a，b平行，因此若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直．故选D.6．设l，m，n表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①若l⊥α，m⊥α，则l∥m；②若m⊂β，n是l在平面β内的射影，l⊥m，则n⊥m；③若m⊂α，n∥m，则n∥α；④若γ⊥α，γ⊥β，则α∥β.其中真命题为()A．①②B．①②③C．②③④D．①③④答案：A解析：由直线与平面垂直的性质定理可得，垂直于同一个平面的两条直线相互平行，所以①为真命题；易得②为真命题；根据直线与平面平行的判定定理，平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行，③中缺少条件n⊄α，所以得到的结论可能为n∥α，也可能为n⊂α，所以③为假命题；若α⊥γ，β⊥γ，则得到的结论可能为β∥α，也可能为β，α相交，所以④为假命题．7．[2019·成都市高中毕业班第二次诊断性检测]已知m，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是()A．若m⊂α，则m⊥βB．若m⊂α，n⊂β，则m⊥nC．若m⊄α，m⊥β，则m∥αD．若α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α答案：C解析：选项A中，若m⊂α，则直线m和平面β可能垂直，也可能平行或相交，故选项A不正确；选项B中，直线m与直线n的关系不确定，可能平行，也可能相交或异面，故选项B 不正确；选项C中，若m⊥β，则m∥α或m⊂α，又m⊄α，故m∥α，选项C正确；选项D中，缺少条件n⊂β，故选项D不正确，故选C.8．[2019·宁夏银川一中模拟]已知P是△ABC所在平面外的一点，M，N分别是AB，PC的中点，若MN＝BC＝4，P A＝43，则异面直线P A与MN所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°答案：A解析：如图．取AC中点D，连接DN，DM，由已知条件可得DN＝23，DM＝2.在△MND中，∠DNM为异面直线P A与MN所成的角，则cos∠DNM＝16＋12－42×4×23＝32，∴∠DNM＝30°.二、非选择题9．[2019·湖南五校联考]已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β.其中正确的命题是________．答案：①④解析：对于①，若α∥β，m⊥α，l⊂β，则m⊥l，故①正确；对于②，若α⊥β，则m∥l或m⊥l或m与l异面，故②错误；对于③，若m⊥l，则α⊥β或α与β相交，故③错误；对于④，若m∥l，m⊥α，则l⊥α，又l⊂β，所以α⊥β，故④正确．10．[2019·陕西西安模拟]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________．答案：③④解析：A，M，C1三点共面，且在平面AD1C1B中，但C∉平面AD1C1B，C1∉AM，因此直线AM与CC1是异面直线，同理，AM与BN也是异面直线，AM与DD1也是异面直线，①②错，④正确；M，B，B1三点共面，且在平面MBB1中，但N∉平面MBB1，B∉MB1，因此直线BN与MB1是异面直线，③正确．11．如图所示，在三棱锥C－ABD中，E，F分别是AC和BD的中点．若CD＝2AB＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角是______________．答案：30°解析：如图，取CB的中点G，连接EG，FG.则EG∥AB，FG∥CD，∴EF与CD所成的角为∠EFG.又∵EF ⊥AB ，∴EF ⊥EG .在Rt △EFG 中，EG ＝12AB ＝1，FG ＝12CD ＝2，∴sin ∠EFG ＝12，∴∠EFG ＝30°，∴EF 与CD 所成的角为30°.12．[2019·日照模拟]如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是长方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，给出下列结论：①A 、M 、O 三点共线；②A 、M 、O 、A 1不共面；③A 、M 、C 、O 共面；④B 、B 1、O 、M 共面．其中正确结论的序号为________．答案：①③解析：连接A 1C 1、AC ，则A 1C 1∥AC ，∴A 1、C 1、C 、A 四点共面，∴A 1C ⊂平面ACC 1A 1.∵M ∈A 1C ，∴M ∈平面ACC 1A 1，又M ∈平面AB 1D 1，∴M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上，同理O 、A 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上，∴A 、M 、O 三点共线，故①正确．由①易知②错误，③正确．易知OM 与BB 1为异面直线，故④错误．课时测评○26一、选择题1．经过两条异面直线a，b外的一点P作与a，b都平行的平面，则这样的平面()A．有且仅有一个B．恰有两个C．至多有一个D．至少有一个答案：C解析：(1)当点P所在位置使得a，P(或b，P)确定的平面平行b(或a)时，过点P作不出与a，b都平行的平面；(2)当点P所在位置使得a，P(或b，P)确定的平面与b(或a)不平行时，可过点P作a′∥a，b′∥b.因为a，b为异面直线，所以a′，b′不重合且相交于点P.因为a′∩b′＝P，a′，b′确定的平面与a，b都平行，所以可作出一个平面与a，b都平行．综上，选C.2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是() A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C1答案：D解析：只有直线B1C1与直线EF在同一平面内，且两者是相交的，直线AA1，A1B1，A1D1与直线EF都是异面直线．3．将下面的平面图形(图中每个点是正三角形的顶点或边的中点)沿虚线折成一个正四面体后，直线MN与PQ是异面直线的是()A．①②B．②④C．①④D．①③答案：C解析：图②翻折后N与Q重合，两直线相交；图③翻折后两直线平行，因此选C.4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：①若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β；②若m∥α，α⊥β，则m⊥β；③若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；④若m∥α，m⊥β，则α⊥β.其中正确命题的序号是()A．①④B．②③C．②④D．③④答案：D解析：①α与β可能相交，m，n都与α，β的交线平行即可，故该命题错误；②当α⊥β，m∥α时，m⊂β也可能成立，故该命题错误；③当m⊥α，m⊥n时，n⊂α或n∥α，又n⊥β，所以α⊥β，故该命题正确；④显然该命题正确．综上，选D.5．[2019·衡阳模拟]若直线l与平面α相交，则()A．平面α内存在直线与l异面B．平面α内存在唯一一条直线与l平行C．平面α内存在唯一一条直线与l垂直D．平面α内的直线与l都相交答案：A解析：当直线l与平面α相交时，这条直线与该平面内任意一条不过交点的直线均为异面直线，故A正确；该平面内不存在与直线l平行的直线，故B错误；该平面内有无数条直线与直线l垂直，所以C错误，平面α内的直线与l可能异面，故D错误，故选A.6．[2019·湖南常德模拟]一个正方体的展开图如图所示，A，B，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中()A．AB∥CD B．AB与CD相交C．AB⊥CD D．AB与CD所成的角为60°答案：D解析：如图，把展开图中的各正方形按图(1)所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图(2)所示的直观图，可得选项A，B，C不正确．图(2)中，DE∥AB，∠CDE 为AB与CD所成的角，△CDE为等边三角形，∴∠CDE＝60°.∴正确选项为D.7.如图，过正方体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面CB1D1平行的直线有()A．18条B．20条C．21条D．22条答案：C解析：设各棱的中点如图所示(各点连线略)，其中与D1B1平行的有F1G1，E1H1，FG，EH，NL，共5条；与CD1平行的有G1M，GN，LE1，KE，H1F，共5条；与CB1平行的有F1M，FL，HK，NH1，GE1，共5条．分别取CB1，B1D1，CD1的中点如图，连接CO，D1P，B1T，与CO平行的有GH1，FE1，共2条；与D1P平行的有H1L，NF，共2条；与B1T平行的有E1N，GL，共2条．故与平面CB1D1平行的直线共有5＋5＋5＋2＋2＋2＝21(条)．8．[2019·内蒙古赤峰模拟]已知l，m，n为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥lD．若α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α答案：C解析：对于选项A，若m∥α，n∥α，则m与n可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误．对于选项B，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，设平面ABCD为平面α，平面CDD′C′为平面β，直线BB′为直线m，直线A′B为直线n，则m⊥α，n∥β，α⊥β，但直线n与m不垂直，故B错误．对于选项C，设过m 的平面γ与α交于a，过m的平面θ与β交于b，∵m∥α，m⊂γ，α∩γ＝a，∴m∥a，同理可得m∥b.∴a∥b.∵b⊂β，a⊄β，∴a ∥β.∵α∩β＝l ，a ⊂α，∴a ∥l ，∴l ∥m .故C 正确．对于选项D ，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，设平面ABCD 为平面α，平面ABB ′A ′为平面β，平面CDD ′C ′为平面γ，则α∩β＝AB ，α∩γ＝CD ，BC ⊥AB ，BC ⊥CD ，但BC ⊂平面ABCD ，故D 错误．故选C.二、非选择题9．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP 与BD 所成的角为________．答案：π3 解析：如图，将原图补成正方体ABCD －QGHP ，连接GP ，AG ，则GP ∥BD ，所以∠APG 为异面直线AP 与BD 所成的角，在△AGP 中，AG ＝GP ＝AP ，所以∠APG ＝π3.10．[2019·宜昌调研]如图，在棱长均相等的四棱锥P －ABCD 中，O 为底面正方形的中心，M ，N 分别为侧棱P A ，PB 的中点，有下列结论：①PC ∥平面OMN ；②平面PCD ∥平面OMN ；③OM ⊥P A ；④直线PD 与MN 所成角的大小为90°.其中正确结论的序号是____．(写出所有正确结论的序号)答案：①②③解析：如图，连接AC，易得PC∥OM，所以PC∥平面OMN，结论①正确．同理PD∥ON，所以平面PCD∥平面OMN，结论②正确．由于四棱锥的棱长均相等，所以AB2＋BC2＝P A2＋PC2＝AC2，所以PC⊥P A，又PC∥OM，所以OM⊥P A，结论③正确．由于M，N分别为侧棱P A，PB的中点，所以MN∥AB，又四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD，又三角形PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60°，所以直线PD与MN所成的角即∠PDC，故④错误．故正确的结论为①②③.11．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线；(3)DE，BF，CC1三线交于一点．证明：(1)如图所示．因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)在正方体AC1中，设A1CC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β.所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．(3)∵EF∥BD且EF<BD，∴DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，点M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，∴M∈CC1.∴DE，BF，CC1三线交于点M.。

模拟考(一) 高考仿真模拟冲刺卷(A)第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·陕西一检]设集合M ＝{x ||x －1|≤1}，N ＝{x |y ＝lg(x 2－1)}，则M ∩∁R N ＝( )A ．[1,2]B ．[0,1]C ．(－1,0)D ．(0,2)答案：B解析：M ＝{x ||x －1|≤1}＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{x |y ＝lg(x 2－1)}＝{x |x ＞1或x ＜－1}，∴M ∩∁R N ＝{x |0≤x ≤1}，故选B.2．[2019·陕西模拟]已知复数z 满足z (1－i)2＝1＋i(i 为虚数单位)，则|z |为( )A.12B.22C. 2 D ．1答案：B解析：因为复数z 满足z (1－i)2＝1＋i ，所以z ＝1＋i(1－i )2＝1＋i －2i ＝－12＋12i ，所以|z |＝22，故选B.3．要计算1＋12＋13＋…＋12 017的结果，如图所示的程序框图的判断框内可以填( )A ．n <2 017B ．n ≤2 017C ．n ＞2 017D ．n ≥2 017答案：B 解析：通过分析知，判断框内为满足循环的条件，第1次循环，S ＝1，n ＝1＋1＝2，第2次循环，S ＝1＋12，n ＝2＋1＝3，……当n ＝2 018时，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S 的值．所以结合选项知，判断框内的条件应为n ≤2 017.故选B.4．[2019·广西柳州高中模拟]根据如下样本数据( )得到了回归方程y＝bx ＋a ，则( ) A ．a >0，b >0 B ．a <0，b >0C ．a >0，b <0D ．a <0，b <0答案：C解析：由表格数据可知y 与x 是负相关关系，所以b <0，且当x ＝0时，y >0，所以a >0，故选C.5．[2019·江西红色七校联考]下列说法正确的是( )A ．a ∈R ，“1a <1”是“a >1”的必要不充分条件B ．“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的必要不充分条件C ．命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋2x 0＋3<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3>0”D ．命题p ：“∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤2”，则綈p 是真命题答案：A解析：当a >1时，1a <1；而1a <1时，如a ＝－1，1a <1，但“a >1”不成立，所以a ∈R ，“1a <1”是“a >1”的必要不充分条件，故A 正确．p ∧q 为真命题时，p ，q 均为真命题，p ∨q 为真命题时，p ，q 中至少有一个为真命题，所以“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的充分不必要条件，故B 错误．命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋2x 0＋3<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3≥0”，故C 错误．命题p ：“∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤2”是真命题，所以綈p 是假命题，故D 错误．故选A.6．[2018·全国卷Ⅰ]在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°，则该长方体的体积为( )A ．8B ．6 2C ．8 2D ．8 3答案：C解析：如图，连接AC 1，BC 1，AC .∵ AB ⊥平面BB 1C 1C ，∴ ∠AC 1B 为直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角，∴ ∠AC 1B ＝30°.又AB ＝BC ＝2，在Rt △ABC 1中，AC 1＝2sin 30°＝4，在Rt △ACC 1中，CC 1＝ AC 21－AC 2＝42－(22＋22)＝22，∴ V 长方体＝AB ×BC ×CC 1＝2×2×22＝8 2.故选C.7．[2019·江西联考]已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x －y ＋m 2≥0，x ＋y －1≥0，若目标函数z ＝－2x ＋y 的最大值不超过4，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3，3)B ．[0，3]C ．[－3，0]D ．[－3，3]答案：D解析：将z ＝－2x ＋y 化为y ＝2x ＋z ，作出可行域和目标函数在z ＝0时的直线y ＝2x (如图所示)，当直线y ＝2x ＋z 向左上方平移时，直线y ＝2x ＋z 在y 轴上的截距z 增大，由图象可知，当直线y ＝2x ＋z 过点A 时，z 取得最大值，联立⎩⎨⎧ x －y ＋m 2＝0，x ＋y －1＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－m 22，1＋m 22，则－2×1－m 22＋1＋m 22≤4，解得－3≤m ≤3，故选D.8．已知数列{a n }，{b n }，其中{a n }是首项为3，公差为整数的等差数列，且a 3>a 1＋3，a 4<a 2＋5，a n ＝log 2b n ，则{b n }的前n 项和S n ＝( )A ．8(2n －1)B ．4(3n －1)C.83(4n －1)D.43(3n －1)答案：C解析：设数列{a n }的公差为d (d ∈Z )，由题意，得a n ＝3＋(n－1)d ，由a 3>a 1＋3，a 4<a 2＋5可得⎩⎨⎧2d >3，2d <5，所以d ＝2，所以a n ＝2n ＋1.因为a n ＝log 2b n ，即2n ＋1＝log 2b n ，所以b n ＝22n ＋1＝8×4n －1，所以数列{b n }是以8为首项，4为公比的等比数列，所以S n ＝8(1－4n )1－4＝83(4n －1)，故选C. 9．[2019·河南开封模拟]函数f (x )＝x 2ln|x ||x |的图象大致是( )答案：D 解析：由解析式可知函数为偶函数，当x >0时，f (x )＝x ln x ，f ′(x )＝1＋ln x ，即0<x <1e 时，函数f (x )单调递减；当x >1e ，函数f (x )单调递增．故选D.10．[2019·四川绵阳南山中学二诊]若圆x 2＋y 2＋4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的斜率的取值范围是( )A ．[2－3，2＋3]B ．[－2－3，3－2]C ．[－2－3，2＋3]D ．[－2－3，2－3]答案：B解析：圆x 2＋y 2＋4x －4y －10＝0可化为(x ＋2)2＋(y －2)2＝18，则圆心为(－2,2)，半径为32，则由圆x 2＋y 2＋4x －4y －10＝0上至少有三个不同点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，得圆心到直线l ：ax ＋by ＝0的距离d ≤32－22＝2，即|－2a ＋2b |a 2＋b 2≤2，则a 2＋b 2－4ab ≤0，若b ＝0，则a ＝0，故不成立，故b ≠0，则上式可化为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2－4·a b ≤0，由直线l 的斜率k ＝－a b ，则上式可化为k 2＋4k ＋1≤0，解得－2－3≤k ≤－2＋ 3.故选B.11．[2019·广西两校联考(二)]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则当角B 取得最大值时，△ABC 的周长为( )A ．2＋ 3B ．2＋ 2C ．3D ．3＋ 2答案：A解析：解法一 由题意可得，sin B ＋2sin C cos A ＝0，即sin(A ＋C )＋2sin C cos A ＝0，得sin A cos C ＝－3sin C cos A ，即tan A ＝－3tan C .又cos A ＝－b 2c <0，所以A 为钝角，于是tan C >0.从而tan B＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C1－tan A tan C ＝2tan C 1＋3tan 2C ＝21tan C ＋3tan C，由基本不等式，得1tan C ＋3tan C ≥21tan C ×3tan C ＝23，当且仅当tan C ＝33时等号成立，此时角B 取得最大值，且tan B ＝tan C ＝33，tan A ＝－3，即b ＝c ，A ＝120°，又bc ＝1，所以b ＝c ＝1，a ＝3，故△ABC 的周长为2＋ 3.解法二 由已知b ＋2c cos A ＝0，得b ＋2c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝0，整理得2b 2＝a 2－c 2.由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋3c 24ac ≥23ac 4ac ＝32，当且仅当a ＝3c 时等号成立，此时角B 取得最大值，将a ＝3c 代入2b 2＝a 2－c 2可得b ＝c .又bc ＝1，所以b ＝c ＝1，a ＝3，故△ABC 的周长为2＋ 3.故选A.12．[2019·安徽淮南模拟]已知函数f (x )＝x 2e x ，若函数g (x )＝[f (x )]2－kf (x )＋1恰有4个零点，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫4e 2＋e 24，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫8e 2，2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4e 2＋e 24 答案：B解析：f ′(x )＝2x e x ＋x 2e x ＝x (x ＋2)e x ，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝－2.∴当x <－2或x >0时，f ′(x )>0；当－2<x <0时，f ′(x )<0. ∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值f (－2)＝4e 2，当x ＝0时，f (x )取得极小值f (0)＝0.∵f (x )＝x 2e x ≥0，∴作出f (x )的大致图象如右图所示．令f (x )＝t ，则当t ＝0或t >4e 2时，关于x 的方程f (x )＝t 只有1个解；当t ＝4e 2时，关于x 的方程f (x )＝t 有2个解；当0<t <4e 2时，关于x 的方程f (x )＝t 有3个解．∵g (x )＝[f (x )]2－kf (x )＋1恰有4个零点，∴关于t 的方程t 2－kt ＋1＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4e 2上有1个解，在⎝ ⎛⎭⎪⎫4e 2，＋∞∪{0}上有1解，显然t ＝0不是方程t 2－kt ＋1＝0的解， ∴关于t 的方程t 2－kt ＋1＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4e 2和⎝ ⎛⎭⎪⎫4e 2，＋∞上各有1个解，∴16e 4－4k e 2＋1<0，解得k >4e 2＋e 24.故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在相应题号后的横线上．13．[2019·云南玉溪模拟]若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其表面积为________．答案：6＋2 3解析：根据几何体的三视图，得出该几何体是高为1的正三棱柱，其底面为边长等于2的正三角形，∴它的表面积为3×2×1＋2×12×22×32＝6＋2 3.14．在△ABC 中，若(AB→－2AC →)⊥AB →，(AC →－2AB →)⊥AC →，则△ABC 的形状为________．答案：等边三角形解析：(AB →－2AC →)⊥AB →⇒(AB →－2AC →)·AB →＝0，即AB →·AB→－2AC →·AB →＝0.(AC →－2AB →)⊥AC →，即(AC →－2AB →)·AC →＝0，即AC →·AC →－2AB →·AC →＝0，所以AB →·AB →＝AC →·AC →＝2AB →·AC→，即|AB →|＝|AC →|，而cos A ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，所以∠A ＝60°，所以△ABC 为等边三角形． 15．[2019·广东广州联考]过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点．若|AF |＝6，|BF |＝3，则p 的值为________．答案：4解析：由题意，得1|AF |＋1|BF |＝2p ＝12，所以p ＝4.16．[2019·湖北荆州质检]函数f (x )＝ln x －12x 2－x ＋5的单调递增区间为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12 解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，再由f ′(x )＝1x －x －1>0可解得0<x <5－12.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(一)必考题：共60分17．(本小题满分12分)[2019·江西南昌三校第三次联考]已知A ，B ，C 是△ABC 的内角，a ，b ，c 分别是其对边长，向量m ＝(3，cos A ＋1)，n ＝(sin A ，－1)，m ⊥n .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，cos B ＝33，求b 的值．解析：(1)∵m ⊥n ，∴m ·n ＝3sin A ＋(cos A ＋1)×(－1)＝0，∴3sin A －cos A ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12. ∵0<A <π，∴－π6<A －π6<5π6，∴A －π6＝π6，∴A ＝π3.(2)在△ABC 中，A ＝π3，a ＝2，cos B ＝33，∴sin B ＝1－cos 2B ＝1－13＝63.由正弦定理知a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B sin A ＝2×6332＝423， ∴b ＝423.18．(本小题满分12分)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，得到数据分组区间为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的人数分别为2,3,11,14,11,9.(1)估计该企业的职工对该部门评分不低于80分的概率；(2)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求这2人评分都在[40,50)的概率．解析：(1)∵50名受访职工评分不低于80分的频率为11＋950＝0.4.∴该企业职工对该部门评分不低于80分的概率估计值为0.4.(2)受访职工评分在[50,60)的有3人，分别记为A 1，A 2，A 3. 受访职工评分在[40,50)的有2人，分别记为B 1，B 2.从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别是{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}．又所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B 1，B 2}，故所求概率P ＝110.19．(本小题满分12分)[2017·全国卷Ⅰ]如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面P AB ⊥平面P AD ； (2)若P A ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P －ABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积．解析：(1)证明：由已知∠BAP ＝∠CDP ＝90°，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD .因为AB ∥CD ，所以AB ⊥PD . 又AP ∩DP ＝P ，所以AB ⊥平面P AD .因为AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD . (2)如图，在平面P AD 内作PE ⊥AD ，垂足为E . 由(1)可知，AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥PE ，AB ⊥AD ，可得PE ⊥平面ABCD .设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝22x . 故四棱锥P －ABCD 的体积V P －ABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13x 3.由题设得13x 3＝83，故x ＝2.从而结合已知可得P A ＝PD ＝AB ＝DC ＝2，AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝2 2.可得四棱锥P －ABCD 的侧面积为12P A ·PD ＋12P A ·AB ＋12PD ·DC ＋12BC 2sin60°＝6＋2 3. 20．(本小题满分12分)[2018·全国卷Ⅲ]已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m ＞0)．(1)证明：k ＜－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋F A →＋FB →＝0.证明：|F A →|，|FP→|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差． 证明：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1.两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0.由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m .①由题设得0＜m ＜32，故k ＜－12. (2)由题意得F (1,0)．设P (x 3，y 3)，则 (x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0,0)． 由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1， y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m ＜0.又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，|FP →|＝32，于是|F A →|＝ (x 1－1)2＋y 21＝ (x 1－1)2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝2－x 12.同理|FB →|＝2－x 22.所以|F A →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.故2|FP →|＝|F A →|＋|FB →|，即|F A →|，|FP→|，|FB →|成等差数列． 设该数列的公差为d ，则2|d |＝||FB →|－|F A →||＝12|x 1－x 2|＝12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2.②将m ＝34代入①得k ＝－1，所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋14＝0.故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝32128.所以该数列的公差为32128或－32128. 21．(本小题满分12分)[2019·贵州凯里一中模拟]已知f (x )＝2x ln x －mx ＋2e . (1)若方程f (x )＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，e 上有实数根，求实数m 的取值范围；(2)若y ＝f (x )在[1，e]上的最小值为－4＋2e ，求实数m 的值．解析：(1)方程f (x )＝0可化为2x ln x ＝mx －2e .令g (x )＝2x ln x ，则g ′(x )＝2(ln x ＋1)．由g ′(x )＞0可得x ＞1e ；由g ′(x )＜0可得0＜x ＜1e .∴g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，∴g (x )的极小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－2e ， 而g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－ln2，g (e)＝2e ，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＜g (e)． 由条件可知点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2e 与(e,2e)连线的斜率为2e 2＋2，可知点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2e 与⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－ln2连线的斜率为8e －4ln2，而2e 2＋2＞8e －4ln2，结合图象(图略)可得0≤m ＜2e 2＋2时，函数y ＝g (x )与y ＝mx －2e 有交点．∴方程f (x )＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，e 上有实数根时，实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2e 2＋2.(2)由f (x )＝2x ln x －mx ＋2e 可得f ′(x )＝2ln x －m ＋2， ①若m ≥4，则f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立，即f (x )在[1，e]上单调递减，则f (x )的最小值为f (e)＝2e －m e ＋2e ＝－4＋2e ，故m＝2＋4e ，不满足m ≥4，舍去；②若m ≤2，则f ′(x )≥0在[1，e]上恒成立，即f (x )在[1，e]上单调递增，则f (x )的最小值为f (1)＝－m ＋2e ＝－4＋2e ，故m ＝4，不满足m ≤2，舍去；③若2＜m ＜4，则x ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫1，e m －22时，f ′(x )＜0；x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤e m －22，e 时，f ′(x )＞0. ∴f (x )在⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫1，e m －22上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤e m －22，e 上单调递增， ∴f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫e m －22＝－2e m －22＋2e ＝－4＋2e ， 解得m ＝2ln2＋2，满足2＜m ＜4.综上可知，实数m 的值为2ln2＋2.(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[2019·福州模拟]在直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝sin α(α为参数，t >0)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l ：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2.(1)若l 与曲线C 没有公共点，求t 的取值范围；(2)若曲线C 上存在点到l 的距离的最大值为62＋2，求t 的值．解析：(1)因为直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，即ρcos θ＋ρsin θ＝2，所以直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝2.因为曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝sin α(α为参数，t >0)，所以曲线C 的普通方程为x 2t 2＋y 2＝1(t >0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x 2t2＋y 2＝1，消去x 得，(1＋t 2)y 2－4y ＋4－t 2＝0，因为l 与曲线没有公共点，即0<t 2<3， 所以Δ＝16－4(1＋t 2)(4－t 2)<0， 又t >0，所以0<t <3， 故t 的取值范围为(0，3)．(2)由(1)知直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0， 故曲线C 上的点(t cos α，sin α)到l 的距离 d ＝|t cos α＋sin α－2|2，故d 的最大值为t 2＋1＋22，由题设得t 2＋1＋22＝62＋2，解得t ＝±2， 又t >0，所以t ＝ 2. 23．(本小题满分10分)[2018·全国卷Ⅲ]选修4—5：不等式选讲 设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值．解析：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ＜－12，x ＋2，－12≤x ＜1，3x ，x ≥1.y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5.。

天天练5 基本初等函数小题狂练⑤一、选择题1．[2019·杭州模拟]若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴为x ＝2，则( )A ．f (2)<f (1)<f (4)B ．f (1)<f (2)<f (4)C ．f (2)<f (4)<f (1)D ．f (4)<f (2)<f (1) 答案：A解析：∵二次函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象开口向上，∴在对称轴处取得最小值，且离对称轴越远，函数值越大．∵函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴为x ＝2，∴f (2)<f (1)<f (4)，故选A. 2．[2019·昆明模拟]已知函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,4)B ．[0,4]C ．(0,4]D ．[0,4) 答案：B解析：因为函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，所以m ≥0，当m ＝0时，函数f (x )＝1，其定义域是实数集R ；当m >0时，则Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4.综上所述．实数m 的取值范围是0≤m ≤4.3．[2018·全国卷Ⅲ]下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A ．y ＝ln(1－x )B ．y ＝ln(2－x )C ．y ＝ln(1＋x )D ．y ＝ln(2＋x ) 答案：B解析：函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝f (a －x )的图象关于直线x ＝a2对称，令a ＝2可得与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是函数y ＝ln(2－x )的图象．故选B.4．[2019·丰台模拟]已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象过坐标原点，且满足f (－x )＝f (－1＋x )，则函数f (x )在[－1,3]上的值域为( )A ．[0,12] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，12 答案：B解析：因为函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象过坐标原点，所以f (0)＝0，所以b ＝0.因为f (－x )＝f (－1＋x )，所以函数f (x )的图象的对称轴为直线x ＝－12，所以a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12上为减函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，3上为增函数，故当x ＝－12时，函数f (x )取得最小值－14.又f (－1)＝0，f (3)＝12，故函数f (x )在[－1,3]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12，故选B.5．[2019·辽宁省实验中学分校月考]函数y ＝16－2x 的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4) 答案：C解析：函数y ＝16－2x 中，因为16－2x ≥0，所以2x ≤16.因此2x ∈(0,16]，所以16－2x ∈[0,16)．故y ＝16－2x ∈[0,4)．故选C.6．[2019·云南昆明第一中学月考]已知集合A ＝{x |(2－x )(2＋x )>0}，则函数f (x )＝4x －2x ＋1－3(x ∈A )的最小值为( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4 答案：D解析：由题知集合A ＝{x |－2<x <2}．又f (x )＝(2x )2－2×2x －3，设2x＝t ，则14<t <4，所以f (x )＝g (t )＝t 2－2t －3＝(t －1)2－4，且函数g (t )的对称轴为直线t ＝1，所以最小值为g (1)＝－4.故选D.7．[2019·福建连城朋口中学模拟]若函数y ＝log a (2－ax )在x ∈[0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0,2)D ．(1，＋∞) 答案：B解析：令u ＝2－ax ，因为a >0，所以u 是关于x 的减函数，当x ∈[0,1]时，u min ＝2－a ×1＝2－a .因为2－ax >0在x ∈[0,1]时恒成立，所以u min >0，即2－a >0，a <2.要使函数y ＝log a (2－ax )在x ∈[0,1]上是减函数，则y ＝log a u 在其定义域上必为增函数，故a >1.综上所述，1<a <2.故选B. 8.[2019·重庆第八中学月考]函数f (x )＝ax ＋bx 2＋c的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，c >0B ．a >0，c <0C ．a <0，c >0D ．a <0，c <0 答案：A解析：由f (0)＝0，得b ＝0，f (x )＝axx 2＋c .由x >0时，f (x )>0，且f (x )的定义域为R ，故a >0，c >0.故选A.二、非选择题9．(lg2)2＋lg5×lg20＋( 2 016)0＋0.02723-×⎝⎛⎭⎪⎫13－2＝________.答案：102解析：(lg2)2＋lg5×lg20＋( 2 016)0＋0.027－23×⎝⎛⎭⎪⎫13－2＝(lg2)2＋lg5×(2lg2＋lg5)＋1＋[(0.3)3]23-×9＝(lg2＋lg5)2＋1＋10.09×9＝1＋1＋100＝102.10．若函数y＝x2＋bx＋2b－5(x<2)不是单调函数，则实数b 的取值范围为________．答案：(－4，＋∞)解析：函数y＝x2＋bx＋2b－5的图象是开口向上，以直线x＝－b2为对称轴的抛物线，所以此函数在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－b2上单调递减．若此函数在(－∞，2)上不是单调函数，只需－b2<2，解得b>－4，所以实数b的取值范围为(－4，＋∞)．11．[2019·江西自主招生]方程log3(1＋2·3x)＝x＋1的解为__________________．答案：0解析：由方程log3(1＋2·3x)＝x＋1可得1＋2·3x＝3x＋1，化简可得3x＝1，故x＝0.12．[2019·浙江新昌中学、台州中学等校联考]约翰·纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数．后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即a b＝N⇔b＝log a N.现在已知2a＝3,3b＝4，则ab＝________.答案：2解析：∵2a＝3,3b＝4，∴a＝log23，b＝log34，∴ab＝log23·log34＝ln3ln2·ln4ln3＝ln4ln2＝2.课时测评⑤一、选择题1．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x 2＋x －2，则f (0)＋f (1)＝( )A ．1B ．3C ．－3D ．－1 答案：A解析：由于函数f (x )为奇函数，故f (1)＝－f (－1)＝－(2－1－2)＝1，f (0)＝0，所以f (0)＋f (1)＝1.故选A.2．[2019·江西赣州模拟]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，f (x ＋4)，x ≤0，则f (－2 018)＝( ) A ．0 B ．1 C ．log 23 D ．2 答案：B解析：∵x ≤0时，f (x )＝f (x ＋4)， ∴x ≤0时函数是周期为4的周期函数．∵－2 018＝－504×4－2，∴f (－2 018)＝f (－2)． 又f (－2)＝f (－2＋4)＝f (2)＝log 22＝1.故选B.3．若函数y ＝f (x )的定义域为[2,4]，则y ＝f (log 12x )的定义域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 B ．[4,16] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤116，14 D ．[2,4] 答案：C解析：令log 12x ＝t ，则y ＝f (log 12x )＝f (t )，因为函数y ＝f (x )的定义域是[2,4]，所以y ＝f (t )的定义域是[2,4]，即2≤t ≤4，所以2≤log 12x ≤4，解得116≤x ≤14，所以y ＝f (log 12x )的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤116，14. 4．[2019·福州名校联考]已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 答案：C解析：由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.5．[2019·广西两校联考(二)]已知函数f (x )＝121,02,0x x log x x ⎧⎫⎛⎫≤⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎪⎪>⎪⎪⎩⎭则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 216＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案：D解析：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 1214＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 216＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1221log 6＝2－21log 6＝22log 6＝6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 216＝2＋6＝8.6．[2019·西安质检]若(2m ＋1)12>(m 2＋m －1)12，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－5－12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，＋∞ C ．(－1,2) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2答案：D解析：通解 因为函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≥0，m 2＋m －1≥0，2m ＋1>m 2＋m －1.解2m ＋1≥0，得m ≥－12；解m 2＋m －1≥0，得m ≤－5－12或m ≥5－12； 解2m ＋1>m 2＋m －1，得－1<m <2. 综上所述，5－12≤m <2.优解 分别取m ＝－2,2,0检验，可排除A ，B ，C ，从而选D.7．[2019·河南周口模拟抽测调研]已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213-，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3513-，c ＝log 3232，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <a <bB ．c <b <aC ．a <b <cD ．b <a <c 答案：B解析：∵y ＝x 13-是单调递减函数，且0<12<35，∴a >b >1.∵c ＝log 3232＝1，∴c <b <a .故选B.8．[2018·全国卷Ⅰ]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x ＞0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0) 答案：D解析：方法1：①当⎩⎨⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)＜f (2x )即为2－(x ＋1)＜2－2x ，即－(x ＋1)＜－2x ，解得x ＜1.因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎨⎧ x ＋1≤0，2x ＞0时，不等式组无解．③当⎩⎨⎧ x ＋1＞0，2x ≤0，即－1＜x ≤0时，f (x ＋1)＜f (2x )即1＜2－2x ，解得x ＜0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎨⎧x ＋1＞0，2x ＞0，即x ＞0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，0)． 故选D.方法2：∵ f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤0，1，x ＞0，∴ 函数f (x )的图象如图所示．由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x .此时x ≤－1.当2x ＜0且x ＋1＞0时，f (2x )＞1，f (x ＋1)＝1， 满足f (x ＋1)＜f (2x )． 此时－1＜x ＜0.综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1,0)＝(－∞，0)．故选D.二、非选择题9．已知函数f(x)是R上的奇函数，且满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈(0,1]时，f(x)＝2x－1，则方程f(x)＝log7|x－2|解的个数是________．答案：7解析：由于函数f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0.由f(x＋2)＝－f(x)，可得f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)的周期T＝4.在同一直角坐标系中作出函数y＝f(x)和y＝log7|x－2|的图象，从图象中不难看出，其交点个数为7.10．[2019·山东烟台海阳一中模拟]已知函数f(x)＝2|x－2|－1在区间[0，m]上的值域为[0,3]，则实数m的取值范围为________．答案：[2,4]解析：函数f(x)＝2|x－2|－1的对称轴为直线x＝2，且在(－∞，2]上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．由于函数f(x)＝2|x－2|－1在区间[0，m]上的值域为[0,3]且函数关于直线x＝2对称，f(0)＝f(4)＝3，f(2)＝0，所以结合图象可知m∈[2,4]．11．已知函数f(x)＝e x－e－x(x∈R且e为自然对数的底数)．(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切实数x都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．解析：(1)因为f(x)＝e x－(1e)x，且y＝e x是增函数，y＝－(1e)x是增函数，所以f(x)是增函数．由于f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－e x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(2)由(1)知f (x )是增函数和奇函数，所以f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 恒成立⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 恒成立⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 恒成立⇔t 2＋t ≤x 2＋x 对一切x ∈R 恒成立⇔(t ＋12)2≤(x ＋12)2min ⇔(t ＋12)2≤0⇔t ＝－12.即存在实数t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切实数x 都成立．。

天天练3 函数的概念及表示小题狂练③一、选择题1．[2019·惠州二调]已知函数f (x )＝x ＋1x －1，f (a )＝2，则f (－a )＝( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4 答案：D解析：解法一 由已知得f (a )＝a ＋1a －1＝2，即a ＋1a ＝3，所以f (－a )＝－a －1a －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a －1＝－3－1＝－4.解法二 因为f (x )＋1＝x ＋1x ，设g (x )＝f (x )＋1＝x ＋1x ，易判断g (x )＝x ＋1x 为奇函数，故g (x )＋g (－x )＝x ＋1x －x －1x ＝0，即f (x )＋1＋f (－x )＋1＝0，故f (x )＋f (－x )＝－2，所以f (a )＋f (－a )＝－2，故f (－a )＝－4.2．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B解析：①中当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．故选B.3．[2019·河南豫东、豫北十所名校段测]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，0＜x ≤9，f (x －4)，x ＞9，则f (13)＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的值为()A ．1B ．0C ．－2D ．2 答案：B解析：因为f (13)＝f (13－4)＝f (9)＝log 39＝2，2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2log 313＝－2，所以f (13)＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2－2＝0.故选B.4．[2019·山东潍坊青州段测]函数f (x )＝ln(x －1)＋12－x的定义域为( )A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2] 答案：A解析：函数f (x )＝ln(x －1)＋12－x 的定义域为⎩⎨⎧x －1＞0，2－x ＞0的解集，解得1＜x ＜2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)．故选A. 5．[2019·福建省六校联考]下列函数中，满足f (x 2)＝[f (x )]2的是( )A ．f (x )＝ln xB ．f (x )＝|x ＋1|C ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝e x 答案：C解析：解法一 对于函数f (x )＝x 3，有f (x 2)＝(x 2)3＝x 6，[f (x )]2＝(x 3)2＝x 6，所以f (x 2)＝[f (x )]2，故选C.解法二 因为f (x 2)＝[f (x )]2，对选项A ，f (22)＝ln4，[f (2)]2＝(ln2)2，排除A ；对选项B ，则有f (12)＝|12＋1|＝2，[f (1)]2＝|1＋1|2＝4，排除B ；对选项D ，则有f (12)＝e ，[f (1)]2＝e 2，排除D.故选C.6．[2019·重庆二诊]如图所示，对应关系f 是从A 到B 的映射的是( )答案：D解析：A 到B 的映射为对于A 中的每一个元素在B 中都有唯一的元素与之对应，所以不能出现一对多的情况，因此D 表示A 到B 的映射．7．已知函数y ＝f (x ＋2)的定义域是[－2,5)，则y ＝f (3x －1)的定义域为( )A ．[－7,14)B ．(－7,14] C.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，83 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，83 答案：D解析：因为函数y ＝f (x ＋2)的定义域是[－2,5)，所以－2≤x ＜5，所以0≤x ＋2＜7，所以函数f (x )的定义域为[0,7)，对于函数y ＝f (3x －1)，0≤3x －1＜7，解得13≤x ＜83，故y ＝f (3x －1)的定义域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，83，故选D.8．[2019·山东德州模拟]设函数y ＝9－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(3－x )的定义域为B ，则A ∩∁R B ＝( )A ．(－∞，3)B ．(－∞，－3)C ．{3}D ．[－3,3) 答案：C解析：由9－x 2≥0解得－3≤x ≤3，可得A ＝[－3,3]，由3－x >0解得x <3，可得B ＝(－∞，3)，因此∁R B ＝[3，＋∞)．∴A ∩(∁R B )＝[－3,3]∩[3，＋∞)＝{3}．故选C.二、非选择题9．[2018·全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝log2(x 2＋a )．若f (3)＝1，则a ＝________.答案：－7解析：∵ f (x )＝log2(x 2＋a )且f (3)＝1，∴ 1＝log2(9＋a )，∴9＋a ＝2，∴ a ＝－7.10．[2019·南阳模拟]已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3x ，则f (x )的解析式为________．答案：f (x )＝－x －2x (x ≠0)解析：由题意知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3x ，即f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，用1x 代换上式中的x ，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2f (x )＝3x ，联立得，⎩⎨⎧f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2f (x )＝3x ，解得f (x )＝－x －2x (x ≠0)．11．[2019·河南开封模拟]f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3(x 2－1)，x ≥2，则f (f (2))的值为________．答案：2解析：∵当x ≥2时，f (x )＝log 3(x 2－1)，∴f (2)＝log 3(22－1)＝1<2，∴f (f (2))＝f (1)＝2e 1－1＝2.12．[2019·湖北黄冈浠水县实验高中模拟]已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12解析：∵函数f (x )的定义域为(－1,0)，∴由－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12.∴函数f (2x ＋1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12.课时测评③一、选择题1．下列各组函数中表示同一函数的是( )A ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝1，g (x )＝x 2C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，g (t )＝|t |D ．f (x )＝x ＋1，g (x )＝x 2－1x －1答案：C解析：选项A 中，f (x )＝x 2的定义域是R ，g (x )＝(x )2的定义域是{x |x ≥0}，故f (x )与g (x )不表示同一函数，排除A ；选项B 中，f (x )与g (x )定义域相同，但对应关系和值域不同，故f (x )与g (x )不表示同一函数，排除B ；选项D 中，f (x )＝x ＋1的定义域为R ，g (x )＝x 2－1x －1的定义域为{x |x ≠1}，故f (x )与g (x )不表示同一函数，排除D ；选项C 中，f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0可化为f (x )＝|x |，所以其与g (t )＝|t |表示同一函数．故选C.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x >0，x ，x ≤0，若f (a )＋f (3)＝5，则实数a ＝( )A ．2B ．－1C ．－1或0D ．0 答案：B解析：解法一 因为f (a )＋f (3)＝5，又f (3)＝23－2＝6，所以f (a )＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －2＝－1，a >0或⎩⎨⎧a ＝－1，a ≤0，解得a ＝－1，故选B.解法二 因为f (3)＝23－2＝6，f (2)＝22－2＝2，所以f (2)＋f (3)＝2＋6＝8≠5，所以a ≠2，排除A ；因为f (0)＝0，所以f (0)＋f (3)＝0＋6＝6≠5，所以a ≠0，排除C ，D.故选B.3．函数f (x )＝(x －2)0＋23x ＋1的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13 C ．R D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2∪(2，＋∞)答案：D解析：要使函数f (x )有意义，只需⎩⎨⎧x ≠2，3x ＋1>0，所以x >－13且x ≠2，所以函数f (x )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2∪(2，＋∞)，故选D.4．[2019·湖南邵阳模拟]设函数f (x )＝log 2(x －1)＋2－x ，则函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2的定义域为( )A ．[1,2]B ．(2,4]C ．[1,2)D ．[2,4) 答案：B解析：∵函数f (x )＝log 2(x －1)＋2－x 有意义，∴⎩⎨⎧x －1>0，2－x ≥0，解得1<x ≤2，∴函数的f (x )定义域为(1,2]，∴1<x2≤2，解得x ∈(2,4]，则函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2的定义域为(2,4]．故选B.5．[2019·陕西西安长安区质量检测大联考]已知函数f (x )＝－x 2＋4x ，x ∈[m,5]的值域是[－5,4]，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,2]C ．[－1,2]D ．[2,5] 答案：C解析：∵f (x )＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，∴当x ＝2时，f (2)＝4，由f (x )＝－x 2＋4x ＝－5，解得x ＝5或x ＝－1，∴结合图象可知，要使函数在[m,5]上的值域是[－5,4]，则－1≤m ≤2.故选C.6．[2019·新疆乌鲁木齐一诊]函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <2，－log 3(x －1)，x ≥2，则不等式f (x )>1的解集为( )A ．(1,2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43 D ．[2，＋∞) 答案：A解析：当x <2时，不等式f (x )>1即e x －1>1， ∴x －1>0，∴x >1，则1<x <2；当x ≥2时，不等式f (x )>1即－log 3(x －1)>1，∴0<x －1<13，∴1<x <43，此时不等式无解． 综上可得，不等式的解集为(1,2)．故选A. 7．[2019·定州模拟]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x 2，x <0，－e x ，x ≥0，若f (f (t ))≤2，则实数t 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[0，ln2] B ．[ln2，＋∞)C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12 D ．[－2，＋∞) 答案：A解析：令m ＝f (t )，则f (m )≤2，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，log 2m 2≤2或⎩⎨⎧ m ≥0，－e m≤2，即－2≤m <0或m ≥0，所以m ≥－2，则f (t )≥－2，即⎩⎨⎧t <0，log 2t 2≥－2或⎩⎨⎧t ≥0，－e t ≥－2，即t ≤－12或0≤t ≤ln2，所以实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[0，ln2]．故选A.8．[2019·福建福清校际联盟模拟]定义函数f (x )，g (x )如下表：则满足f (g (x ))>A ．0或1 B ．0或2 C ．1或7 D ．2或7 答案：D解析：由表格可以看出，当x ＝0时，g (0)＝2，f (g (0))＝f (2)＝0，同理g (f (0))＝g (1)＝1，不满足f (g (x ))>g (f (x ))，排除A ，B.当x ＝1时，f (g (1))＝f (1)＝2，g (f (1))＝g (2)＝7，不满足f (g (x ))>g (f (x ))，排除C.当x ＝2时，f (2)＝0，g (2)＝7，f (g (2))＝f (7)＝7，同理g (f (2))＝g (0)＝2，满足f (g (x ))>g (f (x ))．当x ＝7时，f (g (7))＝f (0)＝1，g (f (7))＝g (7)＝0，满足f (g (x ))>g (f (x ))．故选D.二、非选择题9．[2019·唐山五校联考]函数y ＝110x－2的定义域为________．答案：(lg2，＋∞)解析：依题意，10x >2，解得x >lg2，所以函数的定义域为(lg2，＋∞)．10．已知函数f (3x ＋2)＝x 2－3x ＋1，则函数f (x )的解析式为________．答案：f (x )＝19x 2－13x 9＋319解析：设t ＝3x ＋2，则x ＝t －23，所以f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t －232－3·t －23＋1＝19t 2－13t 9＋319，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝19x 2－13x 9＋319.11．对于每个实数x ，设f (x )取y ＝4x ＋1，y ＝x ＋2，y ＝－2x ＋4三个函数中的最小值，用分段函数写出f (x )的解析式，并求f (x )的最大值．解析：由直线y ＝4x ＋1与y ＝x ＋2求得交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，73；由直线y ＝x ＋2与y ＝－2x ＋4，求出交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，83.由图象可看出：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4⎝⎛⎭⎪⎫x ≥23x ＋2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<x <234x ＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≤13f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝83.。

天天练 11 定积分与微积分大体定理小题狂练⑪ 小题是基础 练小题 提分快 一、选择题1．已知条件p ：t ＝π2，q ：⎠⎜⎛0t sin x d x ＝1，那么p 是q 的( ) A ．充分没必要要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也没必要要条件答案：A解析：由⎠⎜⎛0t sin x d x ＝(－cos x)⎪⎪⎪t0＝－cos t ＋1＝1得cos t ＝0，∴t＝π2＋k π(k∈N )，于是p 是q 的充分没必要要条件．应选A.2．[2019·广东七校联考]由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的平面图形的面积为( )A.329B ．2－ln3C ．4＋ln3D ．4－ln3 答案：D 解析：＝4－ln 3，应选D .3．[2019·福建连城二中模拟]假设a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，那么a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a<c<b B ．a<b<c C ．c<b<a D ．c<a<b 答案：D＋x)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ＋x 22⎪⎪⎪1＝e 2－12，应选D .6．[2019·沈阳质量监测]由曲线y ＝x 2，y ＝x 围成的封锁图形的面积为( )A .16B .13C .23 D ．1答案：B解析：由题意可知所求面积(如图阴影部份的面积)为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛23x 32－13x 3)1＝13. 7．[2019·山西朔州模拟]已知分段函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 2，x ≤0，e －x，x>0，则⎠⎛13f(x －2)d x ＝( )A ．3＋1e B ．2－e C .73－1e D ．2－1e 答案：C解析：⎠⎛13f(x －2)d x ＝⎠⎛12f(x －2)d x ＋⎠⎛23f(x －2)d x ＝⎠⎛12(x 2－4x ＋5)d x ＋⎠⎛23e －x ＋2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－2x 2＋5x 21＋(－e－x ＋2) 32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫13×23－2×22＋5×2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13×13－2×12＋5×1＋[(－e －3＋2)－(－e －2＋2)]＝73－1e ，应选C .答案：1－342解析：因为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3⎪⎪⎪10＝16，因此∫1－k 0[(x －x 2)－kx]d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－k 2x 2－13x 3⎪⎪⎪⎪1－k 0＝(1－k )36＝112，因此(1－k)3＝12，解得k ＝1－312＝1－342.课时测评⑪ 综合提能力 课时练 赢高分 一、选择题1．[2019·山东临沂模拟]已知等差数列{a n }中，a 5＋a 7＝ ∫π0sin x d x ，那么a 4＋2a 6＋a 8的值为( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 答案：C解析：∵a 5＋a 7＝2a 6＝∫π0sin x d x ＝－cos x π0＝2，∴a 6＝1.依照等差数列的性质，a 4＋2a 6＋a 8＝4a 6＝4，应选C . 2.[2019·兰州模拟]曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝14所围成的图形(如图中阴影部份所示)的面积为( )A .23B .13C .12D .14 答案：D解析：令x 2＝14，得x ＝12或x ＝－12(舍去)，因此所求的阴影部份的面积为120⎰⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x 2d x ＋112⎰⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－14d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －x 33⎪⎪⎪ 120＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－14x ⎪⎪⎪112＝14.应选D . 3．[2019·河北唐山联考]曲线y ＝x －1x ＋1与其在点(0，－1)处的切线及直线x ＝1所围成的封锁图形的面积为( )A ．1－ln 2B ．2－2ln 2C ．2ln 2－1D ．ln 2 答案：C解析：因为y ＝x －1x ＋1，因此y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝2(x ＋1)2，那么曲线y ＝x －1x ＋1在(0，－1)处的切线的斜率k ＝2，切线方程为y ＝2x －1，那么曲线y ＝x －1x ＋1与其在点(0，－1)处的切线及直线x ＝1所围成的封锁图形的面积S ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎪⎫2x －1－x －1x ＋1d x ＝∫10⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －1－1＋2x ＋1d x ＝[x 2－2x ＋2ln (x ＋1)]⎪⎪⎪10＝2ln 2－1.应选C . 4．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ∈[－1，1)，x 2－1，x ∈[1，2]，，那么⎠⎛－12f(x)d x 的值为( )A .π2＋43B .π2＋3 C .π4＋43 D .π4＋3 答案：A解析：依照定积分的性质可得⎠⎜⎛－12f(x)d x ＝⎠⎜⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ，依照定积分的几何意义可知，⎠⎜⎛－111－x 2d x 表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的12，即⎠⎜⎛－111－x 2d x ＝π2，∴⎠⎜⎛－12f(x)d x ＝π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝π2＋43，应选A .5.[2019·河南安阳月考]如图是函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6在一个周期内的图象，那么阴影部份的面积是( )C.32D.32－34答案：B解析：S＝6π-⎰cos⎝⎛⎭⎪⎫2x－5π6d x＋236ππ⎰cos⎝ ⎛⎭⎪⎫2x－5π6d x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12sin⎝⎛⎭⎪⎫2x－5π6⎪⎪⎪π6＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤12sin⎝⎛⎭⎪⎫2x－5π6⎪⎪⎪⎪2π3π6＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12sin⎝⎛⎭⎪⎫－π2－12sin⎝⎛⎭⎪⎫－5π6＋12sinπ2－12sin⎝⎛⎭⎪⎫－π2＝14＋1＝54.应选B.6．[2019·辽宁阜新实验中学模拟]曲线y＝x3－3x和y＝x围成的图形面积为()A．4 B．8C．10 D．9答案：B解析：由⎩⎨⎧y＝x3－3x，y＝x，解得x1＝0，x2＝2，x3＝－2，因此围成图形的面积为2⎠⎛2(x－x3＋3x)d x＝2⎠⎛2(4x－x3)d x＝2⎝⎛⎭⎪⎫2x2－x44⎪⎪⎪2＝8.应选B.7．如图，阴影部份的面积是()A．32 B．16C.323D.83答案：C解析：由题意得，阴影部份的面积S＝1-3⎰(3－x2－2x)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x3－x2＋3x⎪⎪⎪⎪1－3＝323.8．[2019·河南商丘一中模拟]假设f(x)＝x2＋21⎰f(x)d x，那么10⎰f(x)d x＝() A．－1 B．－13C.13D．1，即⎠⎛1f(x)d x ＝－13.应选B . 二、非选择题9．已知物体以速度v(t)＝2t 2(单位：m /s )做直线运动，那么它在t ＝0 s 到t ＝3 s 内所走过的路程为________．答案：18解析：∵v(t)＝2t 2，∴物体在t ＝0 s 到t ＝3 s 内所走过的路程S ＝⎠⎛032t 2d t ＝23t 3⎪⎪⎪30＝18.10．[2019·吉林省实验中学模拟]假设f(x)＝那么f(2018)＝________.答案：712解析：当x ≤0时，f(x)＝2x ＋60π⎰cos 3x d x ＝2x＋sin 3x 3⎪⎪⎪π60＝2x＋13，因此f(2 018)＝f(2)＝f(－2)＝14＋13＝712.11．求曲线f(x)＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，54π与x 轴围成的图形的面积． 解析：关于f(x)＝sin x ，当x ∈[0，π]时，f(x)≥0，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π，54π时，f(x)＜0，那么所求面积为S ＝∫π0sin x d x ＋54ππ⎰ (－sin x )d x ＝－cos xπ0＋cos x 54ππ＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋1＝3－22.。

天天练26 空间几何体小题狂练○26小题是基础练小题提分快一、选择题1．以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；④一个平面截圆锥，取得一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3答案：B解析：命题①错，因为这条边假设是直角三角形的斜边，那么得不到圆锥；命题②错，因为这条腰必需是垂直于两底的腰；命题③对；命题④错，必需用平行于圆锥底面的平面截圆锥才能够．应选B.2．[2019·江西临川二中、新余四中联考]用斜二测画法画出一个水平放置的平面图形的直观图，为如下图的一个正方形，那么原先的图形是( )答案：A解析：由题意知直观图是边长为1的正方形，对角线长为2，因此原图形为平行四边形，且位于y轴上的对角线长为2 2.3．[2018·全国卷Ⅲ]中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部份叫榫头，凹进部份叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．假设如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，那么咬合时带卯眼的木构件的俯视图能够是()答案：A解析：由题意可知带卯眼的木构件的直观图如下图，由直观图可知其俯视图应选A.4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点(如右图所示)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部份，那么剩余几何体的正视图为()答案：C解析：过点A，E，C1的平面与棱DD1，相交于点F，且F是棱DD1的中点，截去正方体的上半部份，剩余几何体的直观图如以下图所示，那么其正视图应为选项C.5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一个几何体的三视图，那么该几何体的体积为()A ．3 B.113C ．7 D.233答案：B解析：由三视图可知该几何体是由一个长方体切去一个三棱锥所得，长方体的长、宽、高别离为2,1,2，体积为2×1×2＝4，切去的三棱锥的体积为13×12×1×2×1＝13，因此该几何体的体积为4－13＝113. 6．[2019·淮北月考]一个多面体的三视图如下图，那么该多面体的表面积为( )A ．21＋ 3B ．18＋ 3C ．21D ．18 答案：A解析：由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如下图，因此该几何体的表面积为6×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－12＋2×34×(2)2＝21＋ 3.应选A.7．[2019·天津红桥区模拟]某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积是( )A.223πB.π2C.23π D ．π 答案：C 解析：由三视图知，几何体是以半径为1，母线长为3的半圆锥，几何体的体积V ＝13×12×π×12×32－12＝23π.应选C.8．[2019·四川成都七中诊断]一个棱锥的三视图如下图，那么该棱锥的外接球的体积是( )A ．9π B.9π2C ．36πD ．18π 答案：B解析：由三视图可知，棱锥为三棱锥，放在长方体中，为如下图的三棱锥A －BCD .该三棱锥的外接球确实是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线的长，因此球的半径R ＝12×22＋22＋12＝32，那么外接球的体积V ＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝9π2.应选B.二、非选择题9．已知在梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2，将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体的表面积为________．答案：(5＋2)π解析：由题意得几何体如下图，旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱挖去一个底面半径为1，高为1的圆锥，因此几何体的表面积为一个圆柱底面与圆柱侧面、圆锥侧面之和，即π×12＋2π×1×2＋π×1×12＋12＝(5＋2)π.10．[2019·天津滨海新区联考]一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为________．答案：4＋6π解析：由三视图可知，几何体由半个圆柱和一个三棱锥的组合体，故体积为12π×22×3＋13×12×4×2×3＝4＋6π.11．如图是一个几何体的三视图，假设其正视图的面积等于8 cm 2，俯视图是一个面积为4 3 cm 2的正三角形，那么其侧视图的面积等于________．答案：4 3 cm 2解析：易知三视图所对应的几何体为正三棱柱，设其底面边长为a ，高为h ，那么其正视图的长为a ，宽为h ，故其面积为S 1＝ah ＝8；①而俯视图是一个底面边长为a 的正三角形，其面积为S 2＝34a 2＝4 3.②由②得a ＝4，代入①得h ＝2.侧视图是一个长为32a ，宽为h 的矩形，其面积为S 3＝32ah ＝4 3 (cm 2)．12．[2019·贵州遵义模拟]已知边长为3的正三角形的三个极点都在球O 的表面上，且球心O 到平面ABC 的距离为该球半径的一半，那么该球的表面积为________．答案：16π3解析：如图，设OO ′⊥平面ABC ，垂足是点O ′.设球的半径为r .∵边长为3的正三角形ABC 的三个极点都在球O 的表面上，且球心O 到平面ABC 的距离为该球半径的一半，∴AO ′＝23×3×32＝1，OA ＝r ，OO ′＝12r .∵OA 2＝O ′A ＋OO ′2，即r 2＝1＋r 24，解得r 2＝43，∴球O 的表面积S ＝4πr 2＝16π3.课时测评○26 综合提能力 课时练 赢高分 一、选择题1．[2019·四川资阳联考]给出以下几个命题，其中正确命题的个数是( ) ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，那么这两点的连线是圆柱的母线； ②底面为正多边形，且有相邻的两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱； ③棱台的上、下底面能够不相似，但侧棱长必然相等；④假设有两个侧面垂直于底面，那么该四棱柱为直四棱柱． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案：B解析：①错误，只有这两点的连线平行于轴线时才是母线；②正确；③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，可是侧棱长不必然相等；④平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且相互平行，故④不正确．应选B.2．[2019·福州适应性测试]在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图，那么相应的侧视图能够为( )答案：D解析：由俯视图和正视图可知，该几何体可看成是由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的，且三棱锥的一个面恰为半圆锥的最大轴截面，故相应的侧视图能够为选项D.3.[2019·保定模拟]一只蚂蚁从正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的极点A 处动身，经正方体的表面，按最短线路爬行到极点C 1的位置，那么以下图形中能够表示正方体及蚂蚁最短爬行线路的正视图是( )A ．①②B ．①③C ．③④D ．②④ 答案：D解析：蚂蚁由点A 经正方体的表面，按最短线路爬行到极点C 1的位置，假设把平面BCC 1B 1展开到与平面ABB 1A 1在同一个平面内，在矩形中连接AC 1，会通过BB 1的中点，故现在的正视图为②.假设把平面ABCD 展开到与平面CDD 1C 1在同一个平面内，在矩形中连接AC 1，会通过CD 的中点，现在正视图为④. 其他几种展形方式对应的正视图在题中没有显现或已在②④中了．应选D.4．[2019·黑龙江哈尔滨三中模拟]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，那么该几何体的体积为( )A ．4B ．2 C.43 D.23 答案：D解析：由三视图可知，几何体为三棱锥，底面为腰长为2的等腰直角三角形，高为1，那么该几何体的体积为13×12×2×2×1＝23.应选D.5．[2019·宁夏吴忠联考]某几何体的三视图如下图，且该几何体的体积是32，那么正视图中的x 是( )A ．2B ．4.5C ．1.5D ．3 答案：C解析：由三视图可知，几何体为四棱锥，其底面为直角梯形，面积S ＝12×(1＋2)×2＝3.由该几何体的体积V ＝13×3x ＝32，解得x ＝1.5.应选C.6．[2018·全国卷Ⅲ]设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，那么三棱锥D -ABC 体积的最大值为( )A ．12 3B ．18 3C ．24 3D ．54 3 答案：B解析：由等边△ABC 的面积为93可得34AB 2＝93，因此AB ＝6，因此等边△ABC 的外接圆的半径为r ＝33AB ＝2 3.设球的半径为R ，球心到等边△ABC 的外接圆圆心的距离为d ，那么d ＝R 2－r 2＝16－12＝2.因此三棱锥D -ABC 高的最大值为2＋4＝6，因此三棱锥D -ABC 体积的最大值为13×93×6＝18 3.应选B.7．[2019·安徽马鞍山模拟]某几何体的三视图如下图，那么该几何体的外接球的表面积为( )A ．25πB ．26πC ．32πD ．36π 答案：C解析：由三视图可知，该几何体是以俯视图的图形为底面，一条侧棱与底面垂直的三棱锥．如图，三棱锥A －BCD 即为该几何体，且AB ＝BD ＝4，CD ＝2，BC ＝23，那么BD 2＝BC 2＋CD 2，即∠BCD ＝90°.故底面外接圆的直径2r ＝BD ＝4.易知AD 为三棱锥A －BCD 的外接球的直径．设球的半径为R ，那么由勾股定理得4R 2＝AB 2＋4r 2＝32，故该几何体的外接球的表面积为4πR 2＝32π.应选C. 8．[2019·长春质量监测]《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何？刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部份为其三视图，设网格纸上每一个小正方形的边长为1)，那么该刍甍的体积为( )A ．4B ．5C ．6D ．12 答案：B 解析：如图，由三视图可还原得几何体ABCDEF ，过E ，F 别离作垂直于底面的截面EGH 和FMN ，将原几何体拆分成两个底面积为3，高为1的四棱锥和一个底面积为32，高为2的三棱柱，因此V ABCDEF ＝2V 四棱锥E －ADHG ＋V 三棱柱EHG －FNM ＝2×13×3×1＋32×2＝5，应选B.二、非选择题9．[2019·福建莆田九中模拟]在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱长为23，在底面△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，那么此直三棱柱的外接球的表面积为________． 答案：16π解析：由题意可知，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面△ABC 的外接圆的半径R ＝3sin60°×12＝1.两个底面中心的连线的中点与极点的连线确实是球的半径，外接球的半径为(3)2＋12＝2，外接球的表面积为4π×22＝16π.10．[2018·全国卷Ⅱ]已知圆锥的极点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，假设△SAB 的面积为515，那么该圆锥的侧面积为________．答案：402π解析：如图，∵SA 与底面成45°角，∴△SAO 为等腰直角三角形．设OA ＝r ，那么SO ＝r ，SA ＝SB ＝2r .在△SAB 中，cos ∠ASB ＝78，∴sin ∠ASB ＝158，∴S △SAB ＝12SA ·SB ·sin ∠ASB＝12(2r )2·158＝515， 解得r ＝210， ∴SA ＝2r ＝45， 即母线长l ＝45，∴S 圆锥侧＝πr ·l ＝π×210×45＝402π. 11．如下图，四边形A ′B ′C ′D ′是一平面图形的水平放置的斜二测画法的直观图，在斜二测直观图中，四边形A′B′C′D是一直角梯形，A′B′∥C′D′，A′D′⊥C′D′，且B′C′与y′轴平行，假设A′B′＝6，D′C′＝4，A′D′＝2.求那个平面图形的实际面积．解析：依照斜二测直观图画法规那么可知，该平面图形是直角梯形，且AB＝6，CD＝4维持不变．由于C′B′＝2A′D′＝2 2.因此CB＝4 2.故平面图形的实际面积为12×(6＋4)×42＝20 2.。

天天练 25 大体不等式及简单的线性计划小题狂练○25 小题是基础 练小题 提分快 一、选择题1．[2019·山东临汾月考]不等式y (x ＋y －2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影部份表示)是( )答案：C解析：由y ·(x ＋y －2)≥0，得⎩⎨⎧y ≥0，x ＋y －2≥0或⎩⎨⎧y ≤0，x ＋y －2≤0，因此不等式y ·(x ＋y －2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域是C 项，应选C.2．已知0<x <1，那么x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34 D.23 答案：B解析：∵0<x <1，∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋(1－x )22＝34.当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时，等号成立．3．[2019·长春质量监测]已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，那么x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12 D ．16＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx ，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，应选B. 4．假设直线mx ＋ny ＋2＝0(m >0，n >0)被圆(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1截得的弦长为2，那么1m ＋3n 的最小值为( )A ．4B ．6C ．12D ．16 答案：B 解析：由题意，圆心坐标为(－3，－1)，半径为1，直线被圆截得的弦长为2，因此直线过圆心，即－3m －n ＋2＝0,3m ＋n ＝2.因此1m ＋3n ＝12(3m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋3n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫6＋n m ＋9m n ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋2n m ×9m n ＝6，当且仅当n m ＝9m n 时取等号，因此1m ＋3n 的最小值为6，应选B.5．[2019·湖南永州模拟]已知三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边别离是a ，b ，c ，假设c sin B ＋bsin C＝2a ，那么△ABC 是( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形 答案：C解析：∵c sin B ＋bsin C ＝2a ，由正弦定理可得，2sin A ＝sin C sin B ＋sin B sin C ≥2sin C sin B ·sin B sin C＝2，即sin A ≥1，∴sin A ＝1，当且仅当sin C sin B ＝sin Bsin C，即B ＝C 时，等号成立，∴A＝π2，b ＝c ，∴△ABC 是等腰直角三角形，应选C. 6．[2019·开封模拟]已知实数x ，y 知足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋2y ＋2≥0，x ≤1，则z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y的最大值是( )A.132B.116 C ．32 D ．64 答案：C解析：解法一 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部份所示，设u ＝x－2y，由图知，当直线u＝x－2y通过点A(1,3)时，u取得最小值，即u min＝1－2×3＝－5，现在z＝⎝⎛⎭⎪⎫12x－2y取得最大值，即z max＝⎝⎛⎭⎪⎫12－5＝32，应选C.解法二由题易知z＝⎝⎛⎭⎪⎫12x－2y的最大值在可行域的极点处取得，只需求出极点A，B，C的坐标别离代入z＝⎝⎛⎭⎪⎫12x－2y，即可求得最大值．联立得⎩⎨⎧x＝1，x－y＋2＝0，解得A(1,3)，代入可得z＝32；联立得⎩⎨⎧x＝1，x＋2y＋2＝0，解得B⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，代入可得z＝116；联立得⎩⎨⎧x－y＋2＝0，x＋2y＋2＝0，解得C(－2,0)，代入可得z＝4.通过比较可知，在点A(1,3)处，z＝⎝⎛⎭⎪⎫12x－2y取得最大值32，应选C.7．假设实数x，y知足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－4≤0，2x－3y－8≤0，x≥1，目标函数z＝kx－y的最大值为12，最小值为0，那么实数k＝()A．2 B．1C．－2 D．3答案：D解析：作出可行域如图中阴影部份所示，目标函数z＝kx－y可化为y＝kx－z，假设k≤0，那么z的最小值不可能为0，假设k>0，当直线y＝kx－z过点(1,3)时，z 取最小值0，得k＝3，现在直线y＝kx－z过点(4,0)时，z取得最大值12，符合题意，故k＝3.8．[2019·云南红河州统一检测]设x，y知足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x－y－6≤0，x－y＋2≥0，x≥0，y≥0，假设目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为2，那么2a＋3b的最小值为()A．25 B．19C．13 D．5二、非选择题9．已知x<54，那么f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为________．答案：1解析：因为x<54，因此5－4x>0，那么f(x)＝4x－2＋14x－5＝－⎝⎛⎭⎪⎪⎫5－4x＋15－4x＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，等号成立．故f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为1.10．[2019·广东清远模拟]若x>0，y>0，且1x＋9y＝1，那么x＋y的最小值是________．答案：16解析：因为x>0，y>0，且1x＋9y＝1，因此x＋y＝(x＋y)⎝⎛⎭⎪⎫1x＋9y＝10＋9xy＋yx≥10＋29xy·yx＝16，当且仅当9x2＝y2，即y＝3x＝12时等号成立．故x＋y的最小值是16.11．[2018·全国卷Ⅰ]若x，y知足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x－2y－2≤0，x－y＋1≥0，y≤0，则z＝3x＋2y的最大值为________．答案：6解析：作出知足约束条件的可行域如图阴影部份所示．由z＝3x＋2y得y＝－32x＋z2.需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，那么在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B 的利润之和的最大值为________元．答案：216 000解析：由题意，设产品A生产x件，产品B生产y件，利润z＝2 100x＋900y，线性约束条件为⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1.5x＋0.5y≤150，x＋0.3y≤90，5x＋3y≤600，x≥0，y≥0，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部份所示，又由x∈N，y∈N，可知取得最大值时的最优解为(60,100)，因此z max＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．7．[2019·太原模拟]已知点(x，y)所在的可行域如图中阴影部份所示(包括边界)，假设使目标函数z＝ax＋y取得最大值的最优解有无数多个，那么a的值为()A．4 B.14C.53 D.35答案：D解析：因为目标函数z＝ax＋y，因此y＝－ax＋z，易知z是直线y＝－ax＋z在y轴上的截距．分析知当直线y＝－ax＋z的斜率与直线AC的斜率相等时，目标函数z＝ax＋y取得最大值的最优解有无数多个，现在－a＝225－21－5＝－35，即a＝35，应选D.8．[2019·湖北联考]已知实数x，y知足⎩⎪⎨⎪⎧x≥7－3x，x＋3y≤13，x≤y＋1，则z＝⎝⎛⎭⎪⎫12|2x－3y＋4|的最小值为()A.128 B.132C.148 D.164答案：D解析：由题意得，作出不等式组表示的平面区域，如下图，设m＝2x－3y＋4，在直线2x－3y＋4＝0上方并知足约束条件的区域使得m的值为负数，在点A处m取得最小值，联立⎩⎨⎧y＝7－3x，x＋3y＝13，解得x＝1，y＝4，现在m min＝2×1－3×4＋4＝－6，那么|m|max＝6，在直线2x－3y＋4＝0下方并知足约束条件的区域使得m的值为正数，在点C处m取得最大值，联立⎩⎨⎧y＝7－3x，x＝y＋1，解得x＝2，y＝1，即C(2,1)，现在m max＝5，|m|max＝5，故|m|max＝6，故z＝⎝⎛⎭⎪⎫12|2x－3y＋4|在点A(1,4)处取得最小值，最小值为z＝⎝⎛⎭⎪⎫126＝164，应选D.二、非选择题9．[2018·全国卷Ⅱ]若x，y知足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y－5≥0，x－2y＋3≥0，x－5≤0，则z＝x＋y的最大值为________．答案：9解析：由不等式组画出可行域，如图(阴影部份)．x＋y取得最大值⇔斜率为－1的直线x＋y＝z(z看做常数)的横截距最大，由图可得直线x＋y＝z过点C时z取得最大值．由⎩⎨⎧x＝5，x－2y＋3＝0得点C(5,4)，∴z max＝5＋4＝9.10．[2019·郑州模拟]已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x－y＋1≥0，x＋y－1≥0，3x－y－3≤0表示的平面区域为D，假设直线y＝kx＋1将区域D分成面积相等的两部份，那么实数k的值是________．答案：13解析：区域D如图中的阴影部份所示，直线y＝kx＋1通过定点C(0,1)，若是其把区域D划分为面积相等的两个部份，那么直线y＝kx＋1只要通过AB的中点即可．由方程组⎩⎨⎧x＋y－1＝0，3x－y－3＝0，解得A(1,0)．由方程组⎩⎨⎧x－y＋1＝0，3x－y－3＝0，解得B(2,3)．。

天天练18 平面向量的数量积及应用小题狂练⑱一、选择题1．[2019·遂宁模拟]给出下列命题： ①AB →＋BA →＝0；②0·AB →＝0；③若a 与b 共线，则a ·b ＝|a ||b |；④(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：A解析：①∵AB →＝－BA →，∴AB →＋BA →＝－BA →＋BA →＝0，∴该命题正确；②∵数量积是一个实数，不是向量，∴该命题错误；③∵a 与b 共线，当方向相反时，a ·b ＝－|a ||b |，∴该命题错误；④当c 与a 不共线，且a ·b ≠0，b ·c ≠0时，(a ·b )·c ≠a ·(b ·c )，∴该命题错误．故正确命题的个数为1.故选A.2．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2，－5)．若向量c 满足c ⊥(a ＋b )，且b ∥(a －c )，则c ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫118，3316B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－118，3316C.⎝ ⎛⎭⎪⎫118，－3316D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－118，－3316 答案：A解析：设出c 的坐标，利用平面向量的垂直关系和平行关系得出两个方程，联立两个方程求解即可．设c ＝(x ，y )，由c ⊥(a ＋b )，得c ·(a ＋b )＝(x ，y )·(3，－2)＝3x －2y ＝0， ①又b ＝(2，－5)，a －c ＝(1－x,3－y )，且b ∥(a －c )，所以2(3－y )－(－5)×(1－x )＝0. ②联立①②，解得x ＝118，y ＝3316，所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫118，3316.故选A.3．[2018·全国卷Ⅱ]已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( )A ．4B ．3C ．2D ．0 答案：B解析：a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2|a |2－a ·b . ∵ |a |＝1，a ·b ＝－1，∴ 原式＝2×12＋1＝3. 故选B.4．[2019·安徽马鞍山模拟]已知平面向量a ＝(2,1)，b ＝(m ，－2)，且a ⊥b ，则|a －b |＝( )A. 5 B ．5 C.10 D ．10 答案：C解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝(2,1)·(m ，－2)＝2m －2＝0，∴m ＝1，∴b ＝(1，－2)，∴a －b ＝(1,3)，则|a －b |＝1＋9＝10，故选C.5．[2019·长郡中学选考]在菱形ABCD 中，A (－1,2)，C (2,1)，则BA →·AC→＝( ) A ．5 B ．－5 C ．－10 D ．－102 答案：B解析：设菱形ABCD 的对角线交于点M ，则BA→＝BM →＋MA →，BM →⊥AC →，MA →＝－12AC →，又AC →＝(3，－1)，所以BA →·AC →＝(BM →＋MA →)·AC →＝－12AC →2＝－5.6．[2019·沈阳质量检测(一)]已知平面向量a ＝(－2，x )，b ＝(1，3)，且(a －b )⊥b ，则实数x 的值为( )A ．－2 3B ．2 3C ．4 3D ．6 3 答案：B解析：由(a －b )⊥b ，得(a －b )·b ＝0，即(－3，x －3)·(1，3)＝－3＋3x －3＝0，即3x ＝6，解得x ＝23，故选B.7．已知AB →＝(2,1)，点C (－1,0)，D (4,5)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A ．－322 B ．－3 5 C.322 D ．3 5 答案：C解析：因为点C (－1,0)，D (4,5)，所以CD →＝(5,5)，又AB→＝(2,1)，所以向量AB →在CD →方向上的投影为|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322. 8．[2019·泰安质检]已知非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，则a 与2a －b 夹角的余弦值为( )A.77B.78C.714D.5714 答案：D 解析：不妨设|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，则|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝2＋2a ·b ＝1，所以a ·b ＝－12，所以a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝52，又|a |＝1，|2a －b |＝(2a －b )2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝7，所以a 与2a－b 夹角的余弦值为a ·(2a －b )|a |·|2a －b |＝521×7＝5714.二、非选择题9．[2019·河南南阳一中考试]已知向量a ，b 的夹角为120°，且|a |＝1，|2a ＋b |＝23，则|b |＝________.答案：4解析：∵|2a ＋b |＝23，|a |＝1，∴(2a ＋b )2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝4＋4×1×|b |×cos120°＋b 2＝4－2|b |＋b 2＝12，整理得b 2－2|b |－8＝0，解得|b |＝4或|b |＝－2(舍去)，∴|b |＝4.10．[2019·长春质量监测(一)]已知平面内三个不共线向量a ，b ，c 两两夹角相等，且|a |＝|b |＝1，|c |＝3，则|a ＋b ＋c |＝________.答案：2 解析：由平面内三个不共线向量a ，b ，c 两两夹角相等，可得夹角均为2π3，所以|a ＋b ＋c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c＝1＋1＋9＋2×1×1×cos 2π3＋2×1×3×cos 2π3＋2×1×3×cos 2π3＝4，所以|a ＋b ＋c |＝2.11．[2019·益阳市、湘潭市调研]已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a ＋b ＝(1，3)，记向量a ，b 的夹角为θ，则tan θ＝________. 答案：－15 解析：∵|a |＝1，|b |＝2，a ＋b ＝(1，3)，∴(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝5＋2a ·b ＝1＋3，∴a ·b ＝－12，∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－14，∴sin θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－142＝154，∴tan θ＝sin θcos θ＝－15. 12．[2019·湖北四地七校联考]已知平面向量a ，b 的夹角为120°，且|a |＝1，|b |＝2.若平面向量m 满足m ·a ＝m ·b ＝1，则|m |＝________.答案：213解析：如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，A (1,0)，B (－1，3)．设m ＝(x ，y )，由m ·a ＝m ·b ＝1，得⎩⎨⎧x ＝1，－x ＋3y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝233.∴|m |＝12＋⎝⎛⎭⎪⎫2332＝213.课时测评⑱一、选择题 1．已知|a |＝3，|b |＝5，且a ＋λb 与a －λb 垂直，则λ＝( ) A.35 B ．±35C ．±45D ．±925 答案：B解析：根据a ＋λb 与a －λb 垂直，可得(a ＋λb )·(a －λb )＝0，整理可得a 2－λ2·b 2＝0，即λ2＝|a |2|b |2＝3252＝925，所以λ＝±35，选B.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2,1)，则AD →·AC→＝( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 答案：A解析：因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AC→＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，所以AD →·AC →＝2×3＋(－1)×1＝5，故选A.3．[2019·安徽蚌埠模拟]已知非零向量m ，n 满足3|m |＝2|n |，〈m ，n 〉＝60°.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2 答案：B解析：∵非零向量m ，n 满足3|m |＝2|n |，〈m ，n 〉＝60°，∴cos 〈m ，n 〉＝12.又∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝t m ·n ＋n 2＝t |m ||n |×12＋|n |2＝t 3|n |2＋|n |2＝0，解得t ＝－3.故选B. 4．[2019·辽宁葫芦岛第六高级中学模拟]已知在△ABC 中，G 为重心，记a ＝AB→，b ＝AC →，则CG →＝( ) A.13a －23b B.13a ＋23b C.23a －13b D.23a ＋13b 答案：A解析：∵G 为△ABC 的重心，∴AG →＝13(AB →＋AC →)＝13a ＋13b ，∴CG →＝CA →＋AG →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b .故选A.5．[2019·河南天一大联考测试]已知在等边三角形ABC 中，BC ＝3，BN →＝2BM →＝23BC →，则AM →·AN →＝( ) A ．4 B.389C ．5 D.132 答案：D解析：根据题意，AM →·AN →＝AB →＋13BC →AC →＋13CB →＝AB →·AC →＋13AB →·CB →＋13AC →·BC →－19BC →2＝|AB →|·|AC →|cos π3＋13BC →·(AC →－AB →)－19BC →2＝92＋29BC →2＝132.故选D.6．[2019·广东五校协作体模拟]已知向量a ＝(λ，1)，b ＝(λ＋2,1)．若|a ＋b |＝|a －b |，则实数λ的值为( )A ．－1B ．2C ．1D ．－2 答案：A解析：根据题意，对于向量a ，b ，若|a ＋b |＝|a －b |，则|a ＋b |2＝|a －b |2，变形可得a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2，即a ·b ＝0.又由向量a ＝(λ，1)，b ＝(λ＋2,1)，得λ(λ＋2)＋1＝0，解得λ＝－1.故选A.7．[2019·上饶模拟]已知向量OA →，OB →的夹角为60°，|OA →|＝|OB→|＝2，若OC →＝2OA →＋OB →，则△ABC 为( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 答案：C解析：根据题意，由OC→＝2OA →＋OB →，可得OC →－OB →＝BC →＝2OA→，则|BC →|＝2|OA →|＝4，由AB →＝OB →－OA →，可得|AB →|2＝|OB →－OA →|2＝OB →2－2OA →·OB →＋OA 2＝4，故|AB →|＝2，由AC →＝OC →－OA →＝(2OA →＋OB →)－OA →＝OA →＋OB →，得|AC →|2＝|OA →＋OB →|2＝OA →2＋2OA →·OB →＋OB→2＝12，可得|AC →|＝2 3.在△ABC 中，由|BC →|＝4，|AB →|＝2，|AC →|＝23，可得|BC →|2＝|AB →|2＋|AC →|2，则△ABC 为直角三角形．故选C.8．[2019·福州四校联考]已知向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，向量c 与a ＋b 共线，则|a ＋c |的最小值为( )A ．1 B.12 C.34 D.32 答案：D解析：解法一 ∵向量c 与a ＋b 共线，∴可设c ＝t (a ＋b )(t ∈R )，∴a ＋c ＝(t ＋1)a ＋t b ，∴(a ＋c )2＝(t ＋1)2a 2＋2t (t ＋1)a ·b＋t 2b 2.∵向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，∴(a ＋c )2＝(t ＋1)2－t (t ＋1)＋t 2＝t 2＋t ＋1≥34，∴|a ＋c |≥32，∴|a ＋c |的最小值为32，故选D.解法二 ∵向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，∴向量a ，b 的夹角为120°.在平面直角坐标系中，不妨设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，则a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.∵向量c 与a ＋b 共线，∴可设c ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32(t ∈R )，∴a ＋c ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋t 2，32t ，∴|a ＋c |＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋t 22＋3t 24＝t 2＋t ＋1≥32，∴|a ＋c |的最小值为32，故选D.二、非选择题9．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，D 为BC 的中点，则AB →·AD→＝________.答案：6解析：解法一 由题意知，AC ＝BC ＝2，AB ＝22，∴AB →·AD→＝AB →·(AC →＋CD →)＝AB →·AC →＋AB →·CD →＝|AB →|·|AC →|cos45°＋|AB →|·|CD →|＝cos45°＝22×2×22＋22×1×22＝6.解法二 建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得A (0,2)，B (－2,0)，D (－1,0)，∴AB →＝(－2,0)－(0,2)＝(－2，－2)，AD→＝(－1,0)－(0,2)＝(－1，－2)，∴AB →·AD →＝－2×(－1)＋(－2)×(－2)＝6.10．[2019·安徽皖西高中教学联盟模拟]平面向量a 满足(a ＋b )·b ＝7，|a |＝3，|b |＝2，则向量a 与b 的夹角为________．答案：π6解析：∵(a ＋b )·b ＝7，∴a ·b ＋b 2＝7，∴a ·b ＝7－4＝3，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝323＝32，〈a ，b 〉∈(0，π) ∴〈a ，b 〉＝π6.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A 2，cos A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A 2，－cos A 2，且2m ·n ＋|m |＝22，AB →·AC→＝1. (1)求角A 的大小；(2)求△ABC 的面积S .解析：(1)因为2m ·n ＝2sin A 2cos A 2－2cos 2A 2＝sin A －(cos A ＋1)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4－1，又|m |＝1，所以2m ·n ＋|m |＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4＝22，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4＝12.因为0<A <π，所以－π4<A －π4<3π4，所以A －π4＝π6，即A ＝5π12.(2)cos A ＝cos 5π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π4＝cos π6cos π4－sin π6sin π4＝6－24，因为AB →·AC →＝bc cos A ＝1，所以bc ＝6＋ 2. 又sin A ＝sin 5π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π4＝6＋24，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12(6＋2)×6＋24＝2＋32.。

A.110B.25C.12D.710 答案：C解析：由题意知共有10个几何体，其中旋转体为球和圆台，共5个，依照古典概型，从中任取一个几何体，那么该几何体是旋转体的概率P ＝510＝12.应选C.7．[2019·吉林长春质检]据统计，某城市的火车站春运期间日接送旅客人数X (单位：万)服从正态散布X ～N (6，0.82)，那么日接送人数在6万到6.8万之间的概率为(P (|X －μ|<σ)＝0.682 6，P (|X －μ|<2σ)＝0.954 4，P (|X －μ|<3σ)＝0.997 4)( )A ．0.682 6B ．0.954 4C ．0.997 4D ．0.341 3 答案：D解析：因为μ＝6，σ＝0.8，因此P (6<X <6.8)＝P (5.2<X <6.8)2＝0.682 62＝0.341 3.应选D.8．[2019·贵阳检测]在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝12，BC ＝13，一只小蚂蚁从△ABC的内切圆的圆心处开始随机爬行，当蚂蚁(在三角形内部)与△ABC 各边距离不小于1时，其行动是平安的，那么这只小蚂蚁在△ABC 内任意爬行时，其行动是平安的概率为( )A.14B.49C.12D.23 答案：A解析：设△ABC 内切圆的半径为r ，那么12×5×12＝5＋12＋132×r ，∴r ＝2，由题意，与△ABC 各边距离等于1的点组成的图形△A ′B ′C ′与△ABC 相似，△A ′B ′C ′内切圆的半径为1，∴△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为12，∴△A ′B ′C ′与△ABC 的面积之比为14，∴这只小蚂蚁在△ABC 内任意爬行时，其行动是平安的概率是14，应选A.二、非选择题9．一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，那么目标受损但未完全击毁的概率为________．答案：0.4 解析：∵一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，∴P (目标未受损)＝0.4，P (目标受损)＝1－0.4＝0.6，目标受损分为完全击毁和未完全击毁两种情形，它们是对立事件，P (目标受损)＝P (目标受损但未完全击毁)＋P (目标受损且击毁)，即0.6＝P (目标受损但未完全击毁)＋0.2，∴P (目标受损但未完全击毁)＝0.6－0.2＝0.4.10.如图，在等腰直角△ABC 中，过直角极点C 作射线CM 交AB 于M ，那么使得AM 小于AC 的概率为________．答案：34解析：当AM ＝AC 时，△ACM 为以A 为极点的等腰三角形，∠ACM ＝180°－45°2＝67.5°.当∠ACM <67.5°时，AM <AC ，因此AM 小于AC 的概率P ＝∠ACM 的度数∠ACB 的度数＝67.5°90°＝34. 11．[2019·沈阳监测]已知随机变量ξ～N (1，σ2)，假设P (ξ>3)＝0.2，那么P (ξ≥－1)＝________.答案：0.8解析：∵ξ～N (1，σ2)，∴μ＝1，∵P (ξ>3)＝0.2， ∴P (ξ<－1)＝0.2，∴P (ξ≥－1)＝1－0.2＝0.8.12．[2019·河南南阳月考]据某地域气象台统计，以后一周该地域下雨的概率是415，起风的概率是25，既起风又下雨的概率为110，设A 为下雨，B 为起风，那么P (B |A )等于________．答案：38解析：由题意可知P (AB )＝110，P (A )＝415，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝110415＝38.课时测评○37 综合提能力 课时练 赢高分 一、选择题解析：由题意可知，10位成员中利用移动支付的人数X 服从二项散布，即X ～B (10，p )，因此DX ＝10p (1－p )＝2.4，因此p ＝0.4或0.6.又因为P (X ＝4)＜P (X ＝6)，因此C 410p 4(1－p )6＜C 610p 6(1－p )4，因此p ＞0.5，因此p ＝0.6.应选B.5．欧阳修在《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技术之精湛，假设铜钱直径2 cm ，中间有边长为1 cm 的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计)，那么油恰好落入孔中的概率是( )A.14πB.12πC.1πD.2π 答案：C解析：依照几何概型的求解方式可知，用正方形的面积除以圆的面积即为所求概率，故P ＝S 正方形S 圆＝1π.应选C.6．[2019·河北石家庄模拟]设X ～N (1，σ2)，其正态散布密度曲线如下图，且P (X ≥3)＝0.022 8，那么向正方形OABC 中随机抛掷20 000个点，那么落入阴影部份的点的个数的估量值为( )附：[随机变量ξ服从正态散布N (1，σ2)，那么P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4]．A ．12 076B ．13 174C ．14 056D ．7 539 答案：B解析：由题意，得P (X ≤－1)＝P (X ≥3)＝0.022 8， ∴P (－1<x <3)＝1－0.022 8×2＝0.954 4， ∵P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4，∴1－2σ＝－1，故σ＝1，∴P (0<X <1)＝12P (0<X <2)＝0.341 3，故估量落入阴影部份的点的个数为20 000×(1－0.341 3)＝13 174，应选B.7．[2019·湖南永州模拟]袋中有大小完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地前后摸出两球，设“第一次摸得红球”为事件A ，“摸得的两球同色”为事件B ，那么P (B |A )为( )A.14B.12C.13D.34 答案：A解析：依题意，P (A )＝C 12C 15＝25，P (AB )＝C 12C 11C 15C 14＝110，那么条件概率P (B |A )＝P (AB )P (A )＝11025＝14，应选A. 8．[2019·成都测试]小明在花店定了一束鲜花，花店许诺将在第二天早上7：30～8：30之间将鲜花送到小明家．假设小明第二天离开家去公司上班的时刻在早上8：00～9：00之间，那么小明在离开家之前收到鲜花的概率是( )A.18B.14C.34D.78 答案：D解析：如图，设送花人抵达小明家的时刻为x ，小明离家去上班的时刻为y ，记小明离家前能收到鲜花为事件A .(x ，y )能够看成平面中的点，实验的全数结果所组成的区域为Ω＝{(x ，y )|7.5≤x ≤8.5,8≤y ≤9}，这是一个正方形区域，面积为S Ω＝1×1＝1，事件A 所组成的区域为A ＝{(x ，y )|y ≥x ，7.5≤x ≤8.5,8≤y ≤9}，即图中的阴影部份，面积为S A ＝1－12×12×12＝78.这是一个几何概型，因此P (A )＝S A S Ω＝78，应选D.二、非选择题9．[2019·成都诊断]从1,2,3,4,5这五个数中随机抽取两个不同的数，那么这两个数的和为偶数的概率是________．答案：25解析：∵从五个数中随机抽取两个不同的数有C 25。

天天练22 数列求和小题狂练○22一、选择题1．[2019·广东中山华侨中学模拟]已知等比数列{a n }中，a 2·a 8＝4a 5，等差数列{b n }中，b 4＋b 6＝a 5，则数列{b n }的前9项和S 9等于( )A ．9B ．18C ．36D ．72 答案：B解析：∵a 2·a 8＝4a 5，即a 25＝4a 5，∴a 5＝4， ∵a 5＝b 4＋b 6＝2b 5＝4，∴b 5＝2. ∴S 9＝9b 5＝18，故选B.2．[2019·广东中山一中段考]数列112，214，318，4116，…，n 12n ，…的前n 项和等于( )A.12n ＋n 2＋n 2 B ．－12n ＋n 2＋n 2＋1C ．－12n ＋n 2＋n 2 D ．－12n ＋1＋n 2－n 2答案：B解析：设数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋12n ，是一个等差数列与一个等比数列对应项的和的形式，适用分组求和，所以112＋214＋318＋4116＋…＋n 12n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋18＋…＋12n ＝n (1＋n )2＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝n 2＋n 2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .故选B.3．[2019·山东济南月考]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，点(a 1 008，a 1 010)在直线x ＋y －2＝0上，则S 2 017＝( )A ．4 034B ．2 017C ．1 008D ．1 010 答案：B解析：因为点(a 1 008，a 1 010)在直线x ＋y －2＝0上，所以a 1 008＋a 1 010＝2，S 2 017＝(a 1＋a 2 017)×2 0172＝(a 1 008＋a 1 010)×2 0172＝2×2 0172＝2 017，故选B. 4．[2019·甘肃张掖月考]数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1n ＋1＋n 的前2 017项的和为( )A. 2 018＋1B. 2 018－1C. 2 017＋1D. 2 017－1 答案：B解析：通过已知条件得到1n ＋1＋n ＝n ＋1－n ，裂项累加得S 2 017＝2 017＋1－ 2 017＋2 016＋1－ 2 016＋…＋2－1＝ 2 018－1，故选B.5．[2019·资阳诊断]已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋2，n 是奇数，2a n ，n 是偶数，则数列{a n }的前20项和为( )A ．1 121B ．1 122C ．1 123D ．1 124 答案：C解析：由题意可知，数列{a 2n }是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a 2n －1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{a n }的前20项和为1×(1－210)1－2＋10×1＋10×92×2＝1 123.选C.6．[2019·辽宁省实验中学模拟]已知数列{a n }中，a 1＝2，a n＋1－2a n ＝0，b n ＝log 2a n ，那么数列{b n }的前10项和等于( )A ．130B ．120C ．55D ．50答案：C解析：由题意知数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，得a n ＝2n ，所以b n ＝log 22n ＝n ，所以数列{b n }是首项为1，公差为1的等差数列，所以其前10项和S 10＝10×(1＋10)2＝55，故选C.7．[2019·河北“五个一名校联盟”(二)]已知数列{a n }满足：a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝1，a 2＝2，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 018＝( )A ．3B ．2C ．1D ．0 答案：A解析：∵a n ＋1＝a n －a n －1，a 1＝1，a 2＝2，∴a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2，a 6＝－1，a 7＝1，a 8＝2，…，故数列{a n }是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，故S 2 018＝336×0＋a 2 017＋a 2 018＝a 1＋a 2＝3.故选A.8．化简S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1的结果是( )A ．2n ＋1＋n －2B ．2n ＋1－n ＋2C ．2n －n －2D ．2n ＋1－n －2 答案：D解析：因为S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1，①2S n ＝n ×2＋(n －1)×22＋(n －2)×23＋…＋2×2n －1＋2n ，② 所以①－②得，－S n ＝n －(2＋22＋23＋…＋2n )＝n ＋2－2n ＋1，所以S n ＝2n ＋1－n －2.二、非选择题9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1－5＋9－13＋…＋(－1)n－1(4n －3)，则S 15＋S 22－S 31＝________.答案：－76解析：因为S n ＝1－5＋9－13＋…＋(－1)n －1(4n －3)，所以S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n2×(－4)，n 为偶数，n －12×(－4)＋4n －3，n 为奇数，S n ＝⎩⎨⎧－2n ，n 为偶数，2n －1，n 为奇数，S 15＝29，S 22＝－44，S 31＝61，S 15＋S 22－S 31＝－76. 10．[2019·福建莆田月考]设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＋a 3＋a 11＝6，则S 9＝________.答案：18解析：设等差数列{a n }的公差为d .∵a 1＋a 3＋a 11＝6，∴3a 1＋12d ＝6，即a 1＋4d ＝2，∴a 5＝2，∴S 9＝(a 1＋a 9)×92＝2a 5×92＝18.11．[2019·江苏徐州模拟]已知公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝6，若a 1，a 3，a 7成等比数列，则S 8的值为________．答案：88解析：由题意得a 23＝a 1a 7，∴(6＋d )2＝(6－d )(6＋5d )，∴6d2＝12d .∵d ≠0，∴d ＝2，所以a 1＝6－2＝4，S 8＝8×4＋12×8×7×2＝88.12．[2019·惠州调研(二)]已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－2a n ＝2n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.答案：n ·2n －1 解析：a n ＋1－2a n ＝2n两边同除以2n ＋1，可得a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝12，又a 12＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是以12为首项，12为公差的等差数列，∴a n 2n ＝12＋(n －1)×12＝n2，∴a n ＝n ·2n －1.课时测评○22一、选择题1．[2019·九江十校联考(一)]已知数列{a n }，若点(n ，a n )(n ∈N *)在经过点(10,6)的定直线l 上，则数列{a n }的前19项和S 19＝( )A ．110B ．114C ．119D ．120 答案：B解析：因为点(n ，a n )(n ∈N *)在经过点(10,6)的定直线l 上，故数列{a n }为等差数列，且a 10＝6，所以S 19＝(a 1＋a 19)×192＝2a 10×192＝19×a 10＝19×6＝114，选B. 2．[2019·辽宁沈阳质量监测]已知数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n＋1a n ＝2，则其前100项和为( ) A ．250 B ．200 C ．150 D ．100 答案：D解析：当n ＝2k －1时，a 2k ＋a 2k －1＝2，∴{a n }的前100项和＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 99＋a 100)＝50×2＝100，故选D. 3．[2019·益阳市、湘潭市调研]已知S n 为数列{a n }的前n 项和，若a 1＝2且S n ＋1＝2S n ，设b n ＝log 2a n ，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 2 017b 2 018的值是( )A.4 0352 018B.4 0332 017C.2 0172 018D.2 0162 017 答案：B解析：由S n ＋1＝2S n 可知，数列{S n }是首项为S 1＝a 1＝2，公比为2的等比数列，所以S n ＝2n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1.b n ＝log 2a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，n －1，n ≥2，当n ≥2时，1b n b n ＋1＝1(n －1)n ＝1n －1－1n ，所以1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 2 017b 2 018＝1＋1－12＋12－13＋…＋12 016－12 017＝2－12 017＝4 0332 017.故选B.4．[2019·黑龙江大庆模拟]中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了6天，共走378里．”请问第四天走了( )A ．12里B ．24里C ．36里D ．48里 答案：B 解析：设第一天走a 1里，则每天走的里数组成的数列{a n }是以a 1为首项，以12为公比的等比数列，由题意得S 6＝a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192(里)，∴a 4＝a 1×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝192×18＝24(里)，故选B.5．[2019·湖南郴州质量监测]在等差数列{a n }中，a 4＝5，a 7＝11.设b n ＝(－1)n ·a n ，则数列{b n }的前100项和 S 100＝( )A ．－200B ．－100C ．200D ．100 答案：D解析：因为数列{a n }是等差数列，a 4＝5，a 7＝11，所以公差d ＝a 7－a 47－4＝2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝2n －3，所以b n ＝(－1)n (2n －3)，所以b 2n －1＋b 2n ＝2，n ∈N *.因此数列{b n }的前100项和S 100＝2×50＝100，故选D.6．[2019·浙江杭州模拟]若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，令b n ＝1a 1＋a 2＋…＋a n ，则数列{b n }的前n 项和T n 为( )A.n ＋12(n ＋2)B.34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)C.n －1n ＋2D.34－2n ＋3(n ＋1)(n ＋2)答案：B 解析：因为a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n (n ＋2)，所以b n ＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋2，故T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)，故选B.7．[2019·合肥质检(一)]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若3S n ＝2a n －3n ，则a 2 018＝( )A ．22 018－1B ．32 018－6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫122 018－72 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫132 018－103 答案：A解析：∵3S n ＝2a n －3n ，∴当n ＝1时，3S 1＝3a 1＝2a 1－3，∴a 1＝－3.当n ≥2时，3a n ＝3S n －3S n －1＝(2a n －3n )－(2a n －1－3n ＋3)，∴a n ＝－2a n －1－3，∴a n ＋1＝－2(a n －1＋1)，∴数列{a n ＋1}是以－2为首项，－2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝－2×(－2)n －1＝(－2)n ，∴a n ＝(－2)n －1，∴a 2 018＝(－2)2 018－1＝22 018－1，故选A.8．[2019·大连模拟]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }为等比数列，且满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和为T n ，若T n <M 对一切正整数n 都成立，则M 的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10 答案：D解析：设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，由已知可得⎩⎨⎧q ＋6＋d ＝10，2d ＝2q ，解得d ＝q ＝2，所以a n ＝2n ＋1，b n ＝2n －1，则a n b n ＝2n ＋12n －1，故T n ＝3×120＋5×121＋7×122＋…＋(2n ＋1)×12n －1，由此可得12T n ＝3×121＋5×122＋7×123＋…＋(2n ＋1)×12n ，以上两式相减可得12T n ＝3＋2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫121＋122＋123＋…＋12n －1－(2n ＋1)×12n ＝3＋2－12n －2－2n ＋12n ，即T n ＝10－12n －3－2n ＋12n －1，又当n →＋∞时，12n －3→0，2n ＋12n －1→0，此时T n →10，所以M 的最小值为10，故选D.二、非选择题9．已知函数f (x )＝x a的图象过点(4,2)，令a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N *，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 017＝________.答案： 2 018－1解析：由f (4)＝2可得4a＝2，解得a ＝12，则f (x )＝x 12，∴a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n .S 2 017＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 017＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 017－ 2 016)＋( 2 018－ 2 017)＝ 2 018－1. 10．[2019·广东深圳月考]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝1，a 2＝2，S n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1(n ∈N *)，则S n ＝________.答案：2n －1解析：∵S n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1(n ∈N *)，∴S n ＋1＝S n ＋2－S n ＋1－(S n ＋1－S n )，则S n ＋2＋1＝2(S n ＋1＋1)．由a 1＝1，a 2＝2，可得S 2＋1＝2(S 1＋1)，∴S n ＋1＋1＝2(S n ＋1)对任意的n ∈N *都成立，∴数列{S n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，∴S n ＋1＝2n ，即S n ＝2n －1.11．[2019·江西南昌模拟]在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列．(1)求a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.解析：(1)∵a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列， ∴(2a 2＋2)2＝5a 3·a 1，整理得d 2－3d －4＝0，解得d ＝－1或d ＝4， 当d ＝－1时，a n ＝10－(n －1)＝－n ＋11； 当d ＝4时，a n ＝10＋4(n －1)＝4n ＋6. 所以a n ＝－n ＋11或a n ＝4n ＋6. (2)设数列{a n }前n 项和为S n ， ∵d <0，∴d ＝－1，a n ＝－n ＋11，当n ≤11时，a n ＝－n ＋11≥0，∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－12n 2＋212n ；当n ≥12时，a n ＝－n ＋11<0，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 11|＋|a 12|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 11－a 12－…－a n＝S 11－(S n －S 11)＝－S n ＋2S 11 ＝12n 2－212n ＋110.综上，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝⎩⎨⎧－12n 2＋212n ，n ≤11，12n 2－212n ＋110，n ≥12.。

周周测 4 集合、常用逻辑用语、函数与导数综合测试 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.

[2019·东北三省四市模拟]已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－1或x＞4}，B＝{x|－2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为( ) A．{x|－2≤x＜4} B．{x|x≤3或x≥4} C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤3} 答案：D

解析：由题意得，阴影部分所表示的集合为(∁UA)∩B＝{x|－1≤x≤3}，故选D. 2．[2017·北京卷，6]设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n＜0”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：由存在负数λ，使得m＝λn，可得m、n共线且反向，夹角为180°，则m·n＝－|m|·|n|<0，故充分性成立．由m·n<0，可得m，n的夹角为钝角或180°，故必要性不成立．故选A. 3．[2019·安徽马鞍山教学质量检测]已知函数f(x)＝

 1，x为有理数，0，x为无理数，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝( )

A．44 B．45 C．1 009 D．2 018 答案：A 解析：由442＝1 936,452＝2 025可得1，2，3，…，2 018中的有理数共有44个，其余均为无理数，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝44. 4．[2019·开封模拟]已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2 015)＝( )

A．5 B.12 C．2 D．－2 答案：D

解析：由f(x)＝－f(x＋2)，得f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2 015)＝f(503×4＋3)＝f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－(2＋0)＝－2，故选D. 5．[2019·吉林长春十一中、东北师大附中、吉林一中，重庆一中等联考]下列函数中既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( ) A．f(x)＝2x－2－x B．f(x)＝x2－1 C．f(x)＝log12|x| D．f(x)＝xsinx

天天练14 三角恒等变换小题狂练⑭一、选择题1．[2018·全国卷Ⅲ]若sin α＝13，则cos2α＝( ) A.89 B.79C ．－79D ．－89 答案：B解析：∵sin α＝13，∴cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79.故选B.2．[2019·成都一诊]已知α为第二象限角，且sin2α＝－2425，则cos α－sin α的值为( )A.75 B ．－75 C.15 D ．－15 答案：B解析：因为sin2α＝2sin αcos α＝－2425，即1－2sin αcos α＝4925，所以(cos α－sin α)2＝4925，又α为第二象限角，所以cos α<sin α，则cos α－sin α＝－75.故选B.3．化简2cos x ＋6sin x 等于( )A ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－xB ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－xC ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋xD ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x 答案：B解析：2cos x ＋6sin x ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3cos x ＋sin π3sin x＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x .故选B.4．cos12°cos18°－sin12°sin18°的值等于( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32 答案：D解析：cos12°cos18°－sin12°sin18°＝cos(12°＋18°)＝cos30°＝32，故选D.5．若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin2α的值为( )A ．－429B ．－229 C.229 D.429 答案：A解析：∵sin(π－α)＝13，即sin α＝13，又π2≤α≤π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－223，∴sin2α＝2sin αcos α＝－429.6．[2019·四川联考]已知角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且cos2α＋cos 2α＝0，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．－3－2 2B ．－1C ．3－2 2D ．3＋2 2 答案：A 解析：由题意结合二倍角公式可得2cos 2α－1＋cos 2α＝0，∴cos 2α＝13.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝33，∴sin α＝1－cos 2α＝63，∴tan α＝sin αcos α＝2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝2＋11－2＝－3－2 2.故选A.7．[2019·山西省名校联考]若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋cos α＝( )A ．－223B ．±223C ．－1D ．±1 答案：C解析：由cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋cos α＝12cos α＋32sin α＋cos α＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－1，故选C. 8．[2019·广西桂林、贺州模拟]若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，则sin2α的值为( ) A.118 B ．－1718 C.1718 D ．－118 答案：B解析：∵3cos2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α， ∴3(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝22(cos α－sin α)．∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α－sin α≠0，∴cos α＋sin α＝26. 两边平方可得1＋sin2α＝118，解得sin2α＝－1718.故选B. 二、非选择题 9．[2019·荆州模拟]计算：sin46°·cos16°－cos314°·sin16°＝________.答案：12解析：sin46°·cos16°－cos314°·sin16°＝sin46°·cos16°－cos46°·sin16°＝sin(46°－16°)＝sin30°＝12.10．[2018·全国卷Ⅱ]已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，则tan α＝________. 答案：32解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝15，解得tan α＝32.11．[2019·山西康杰中学月考]若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.答案：43解析：∵sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，∴tan α＝2.∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝－tan[(α－β)＋α]＝－tan (α－β)＋tan α1－tan (α－β)·tan α＝43.12．已知f (x )＝sin x －23sin 2x2，则当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3时，函数f (x )的最大值减去最小值等于________．答案：2解析：f (x )＝sin x －23sin 2x 2＝sin x －3(1－cos x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3时，x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，则f (x )的最大值与最小值分别为2－3，－3，因而f (x )的最大值减去最小值等于2.课时测评⑭一、选择题1．[2019·贵阳监测]sin 415°－cos 415°＝( ) A.12 B ．－12C.32 D ．－32 答案：D解析：sin 415°－cos 415°＝(sin 215°－cos 215°)(sin 215°＋cos 215°)＝sin 215°－cos 215°＝－cos30°＝－32.故选D.2．[2019·福建莆田第九中学模拟]若tan α＋1tan α＝103，α∈π4，π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值为( ) A ．－210 B.210 C.3210 D.7210 答案：A解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴tan α>1.∴由tan α＋1tan α＝103，解得tan α＝ 3.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin2α＋22cos2α＝22×2sin αcos α＋cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝22×2tan α＋1－tan 2α1＋tan 2α＝22×－21＋9＝－210.故选A.3．[2019·广州调研]已知α为锐角，cos α＝55，则tan α－π4＝( )A.13 B ．3C ．－13 D ．－3 答案：A解析：因为α是锐角，cos α＝55，所以sin α＝255，所以tan α＝sin αcos α＝2，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－tan π41＋tan αtan π4＝13，故选A. 4．[2019·广东潮州模拟]若cos2αsin α－cos α＝－12，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为( )A.12 B ．－12C.24 D ．－24 答案：C解析：∵cos2αsin α－cos α＝cos 2α－sin 2αsin α－cos α＝－(cos α＋sin α)＝－2·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－12，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝24.故选C. 5．已知在△ABC 中，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝－13，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋cos A ＝( )A.33 B ．－33C.233 D.－233 答案：B解析：因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝－13，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3－π2＝－13，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝－13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋cos A ＝sin A cos π6＋cos A sin π6＋cos A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝－33.故选B.6．[2019·河北沧州教学质量监测]若cos α＋2cos β＝2，sin α＝2sin β－3，则sin 2(α＋β)＝( )A ．1 B.12 C.14 D ．0 答案：A解析：由题意得(cos α＋2cos β)2＝cos 2α＋4cos 2β＋4cos αcos β＝2，(sin α－2sin β)2＝sin 2α＋4sin 2β－4sin αsin β＝3. 两式相加，得1＋4＋4(cos αcos β－sin αsin β)＝5，∴cos(α＋β)＝0，∴sin 2(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝1.7．[2019·丰台模拟]已知tan2α＝34，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，函数f (x )＝sin(x ＋α)－sin(x －α)－2sin α，且对任意的实数x ，不等式f (x )≥0恒成立，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值为( )A ．－255B ．－55C ．－235D ．－35 答案：A解析：由tan2α＝34，即2tan α1－tan 2α＝34，得tan α＝13或tan α＝－3.又f (x )＝sin(x ＋α)－sin(x －α)－2sin α＝2cos x sin α－2sin α≥0恒成立，所以sin α≤0，tan α＝－3，sin α＝－310，cos α＝110，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin αcos π4－cos αsin π4＝－255，故选A.8．[2019·嘉兴模拟]有四个关于三角函数的命题：①∃x 0∈R ，sin 2x 02＋cos 2x 02＝12；②∃x 0，y 0∈R ，sin(x 0－y 0)＝sin x 0－sin y 0；③∀x ∈[0，π], 1－cos2x2＝sin x ；④sin x ＝cos y⇒x ＋y ＝π2.其中假命题的序号为( ) A ．①④ B ．②④ C ．①③ D ．②③ 答案：A解析：因为sin 2x 2＋cos 2x 2＝1≠12，所以①为假命题；当x ＝y ＝0时，sin(x －y )＝sin x －sin y ，所以②为真命题；因为 1－cos2x2＝1－(1－2sin 2x )2＝|sin x |＝sin x ，x ∈[0，π]，所以③为真命题；当x ＝π2，y ＝2π时，sin x ＝cos y ，但x ＋y ≠π2，所以④为假命题．故选A.二、非选择题9．[2019·广西玉林陆川中学模拟]已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12π5＋θ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π10－θ＝0，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π5＋θ＝________. 答案：2解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12π5＋θ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π10－θ＝0， ∴sin 2π5cos θ＋cos 2π5sin θ＋2sin 11π10cos θ－cos 11π10sin θ＝0，∴sin 2π5cos θ＋cos 2π5sin θ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5sin θ－cos 2π5cos θ＝0.等式两边同时除以cos 2π5cos θ，得tan 2π5＋tan θ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫tan 2π5tan θ－1＝0，∴tan 2π5＋tan θ1－tan 2π5tan θ＝2，即tan 2π5＋θ＝2. 10．[2018·全国卷Ⅲ]函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为________．答案：3解析：由题意可知，当3x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )时，f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＝0. ∵x ∈[0，π]，∴3x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，196π，∴当3x ＋π6取值为π2，3π2，5π2时，f (x )＝0，即函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为3.11．[2019·江苏如东模拟]已知α，β都是锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．解析：(1)因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以－π2<α－β<π2.又因为tan(α－β)＝－13，所以－π2<α－β<0.由sin 2(α－β)＋cos 2(α－β)＝1和sin (α－β)cos (α－β)＝－13，解得sin(α－β)＝－1010. (2)由(1)可得，cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1－110＝31010.因为α为锐角，sin α＝35， 所以cos α＝1－sin 2α＝1－925＝45.所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝45×31010＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝91050.。

A ．－eB ．－1C ．1D ．e 答案：B解析：由题可得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x ，则f ′(1)＝2f ′(1)＋1，解得f ′(1)＝－1，所以选B.5．[2019·湖南长沙长郡中学模拟]等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215 答案：C解析：f ′(x )＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′，所以f ′(0)＝a 1a 2a 3…a 8＝(a 1a 8)4＝(2×4)4＝212.故选C. 6．下列函数中，导函数在(0，＋∞)上是单调递增函数的是( ) A ．y ＝3ln x －x B ．y ＝e x ＋xC ．y ＝3x ＋2D ．y ＝x 3－x 2＋2x 答案：B解析：对于A ，因为y ＝3ln x －x ，所以y ′＝3x －1在(0，＋∞)上是单调递减函数；对于B ，因为y ＝e x ＋x ，所以y ′＝e x ＋1在(0，＋∞)上是单调递增函数；对于C ，因为y ＝3x ＋2，所以y ′＝3在(0，＋∞)上是常函数；对于D ，因为y ＝x 3－x 2＋2x ，所以y ′＝3x 2－2x ＋2在(0，＋∞)上不单调．故选B.7.已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列选项正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3) 答案：C11．[2019·湖北孝感高中模拟]已知函数f(x)＝x3－x.(1)求曲线y＝f(x)在点M(1,0)处的切线方程；(2)如果过点(1，b)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数b的取值范围．解析：(1)f′(x)＝3x2－1，∴f′(1)＝2.故切线方程为y－0＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.(2)设切点为(x0，x30－x0)，则切线方程为y－(x30－x0)＝f′(x0)(x－x0)．又切线过点(1，b)，所以(3x20－1)(1－x0)＋x30－x0＝b，即2x30－3x20＋b＋1＝0.由题意，上述关于x0的方程有三个不同的实数解．记g(x)＝2x3－3x2＋b＋1，则g(x)有三个不同的零点，而g′(x)＝6x(x－1)，令g′(x)＝0得x＝0或x＝1，则结合图象可知g(0)g(1)<0即可，可得b∈(－1,0)．。

天天练24 基本不等式及简单的线性规划小题狂练○24一、选择题1．[2019·山东临汾一中月考]不等式y (x ＋y －2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影部分表示)是( )答案：C解析：由y ·(x ＋y －2)≥0，得⎩⎨⎧y ≥0，x ＋y －2≥0或⎩⎨⎧y ≤0，x ＋y －2≤0，所以不等式y ·(x ＋y －2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域是C 项，故选C.2．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34 D.23 答案：B解析：∵0<x <1，∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋(1－x )22＝34.当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时，等号成立．3．[2019·长春质量监测(一)]已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( )A ．8B ．9C ．12D ．16 答案：B解析：由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4y ＋1x ＝4x y ＋y x ＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx ，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B.4．若直线mx ＋ny ＋2＝0(m >0，n >0)被圆(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1截得的弦长为2，则1m ＋3n 的最小值为( )A ．4B ．6C ．12D ．16 答案：B解析：由题意，圆心坐标为(－3，－1)，半径为1，直线被圆截得的弦长为2，所以直线过圆心，即－3m －n ＋2＝0,3m ＋n＝2.所以1m ＋3n ＝12(3m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋3n ＝126＋n m ＋9m n ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋2n m ×9m n ＝6，当且仅当n m ＝9m n 时取等号，因此1m ＋3n 的最小值为6，故选B.5．[2019·湖南永州模拟]已知三角形ABC 的内角A ，B ，C的对边分别是a ，b ，c ，若c sin B ＋bsin C ＝2a ，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形 答案：C解析：∵c sin B ＋b sin C ＝2a ，由正弦定理可得，2sin A ＝sin Csin B ＋sin B sin C ≥2sin C sin B ·sin B sin C ＝2，即sin A ≥1，∴sin A ＝1，当且仅当sin Csin B ＝sin B sin C ，即B ＝C 时，等号成立，∴A ＝π2，b ＝c ，∴△ABC 是等腰直角三角形，故选C.6．[2019·开封模拟]已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋2y ＋2≥0，x ≤1，则z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y的最大值是( ) A.132 B.116 C ．32 D ．64 答案：C解析：解法一 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设u ＝x －2y ，由图知，当直线u ＝x －2y 经过点A (1,3)时，u 取得最小值，即u min ＝1－2×3＝－5，此时z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y取得最大值，即z max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5＝32，故选C.解法二 由题易知z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y的最大值在可行域的顶点处取得，只需求出顶点A ，B ，C 的坐标分别代入z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y，即可求得最大值．联立得⎩⎨⎧x ＝1，x －y ＋2＝0，解得A (1,3)，代入可得z ＝32；联立得⎩⎨⎧x ＝1，x ＋2y ＋2＝0，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，代入可得z ＝116；联立得⎩⎨⎧x －y ＋2＝0，x ＋2y ＋2＝0，解得C (－2,0)，代入可得z ＝4.通过比较可知，在点A (1,3)处，z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y取得最大值32，故选C.7．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≤0，2x －3y －8≤0，x ≥1，目标函数z ＝kx －y 的最大值为12，最小值为0，则实数k ＝( )A ．2B ．1C ．－2D ．3 答案：D解析：作出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝kx －y 可化为y ＝kx －z ，若k ≤0，则z 的最小值不可能为0，若k >0，当直线y ＝kx －z 过点(1,3)时，z 取最小值0，得k ＝3，此时直线y ＝kx －z 过点(4,0)时，z 取得最大值12，符合题意，故k ＝3.8．[2019·云南红河州统一检测]设x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为2，则2a ＋3b 的最小值为( )A ．25B ．19C ．13D ．5 答案：A解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分，当直线ax ＋by ＝z (a >0，b >0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值2，即2a ＋3b ＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b (2a ＋3b )＝13＋6⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥13＋6×2b a ·a b ＝25，当且仅当a ＝b ＝15时等号成立，所以2a ＋3b 的最小值为25，故选A.二、非选择题9．已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．答案：1解析：因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.10．[2019·广东清远模拟]若x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，则x ＋y 的最小值是________．答案：16解析：因为x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝10＋9x y ＋y x ≥10＋29x y ·y x ＝16，当且仅当9x 2＝y 2，即y ＝3x ＝12时等号成立．故x ＋y 的最小值是16.11．[2018·全国卷Ⅰ]若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．答案：6解析：作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋z2.作直线l 0：y ＝－32x .平移直线l 0，当直线y ＝－32x ＋z2 过点(2,0)时，z 取最大值，z max ＝3×2＋2×0＝6.12．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．答案：216 000解析：由题意，设产品A 生产x 件，产品B 生产y 件，利润z ＝2 100x ＋900y ，线性约束条件为⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由x ∈N ，y ∈N ，可知取得最大值时的最优解为(60,100)，所以z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．课时测评○24一、选择题1．[2019·河北卓越联盟联考]已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则实数a的取值范围为() A．(－7,24)B．(－∞，－7)∪(24，＋∞)C．(－24,7)D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)答案：A解析：由题意可知(－9＋2－a)(12＋12－a)<0，所以(a＋7)(a －24)<0，所以－7<a<24.故选A.2．[2019·甘肃诊断]已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数，则3x＋2y的最小值是()A.53 B.83C．8 D．24答案：C解析：因为a∥b，故3(y－1)＝－2x，整理得2x＋3y＝3，所以3x＋2y＝13(2x＋3y)⎝⎛⎭⎪⎫3x＋2y＝13⎝⎛⎭⎪⎫12＋9yx＋4xy≥13⎝⎛⎭⎪⎫12＋29yx·4xy＝8，当且仅当x＝34，y＝12时等号成立，所以3x＋2y的最小值为8，故选C.3．若正数x，y，a满足ax＋y＋6＝xy，且xy的最小值为18，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．4D ．9 答案：B解析：正数x ，y ，a 满足ax ＋y ＋6＝xy ，且ax ＋y ≥2axy ，当且仅当ax ＝y 时等号成立，所以xy ≥6＋2axy .令t ＝xy ，则t 2－2at －6≥0，由xy 的最小值为18得t ≥32，所以32为方程t 2－2at －6＝0的一个解，则18－62a －6＝0，得a ＝2.故选B.4．[2019·山东济宁模拟]已知a >0，b >0，并且1a ，12，1b 成等差数列，则a ＋9b 的最小值为( )A ．16B ．9C ．5D ．4 答案：A解析：∵1a ，12，1b 成等差数列，∴1a ＋1b ＝1，∴a ＋9b ＝(a ＋9b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝10＋a b ＋9b a ≥10＋2a b ·9b a ＝16，当且仅当a b ＝9b a 且1a ＋1b ＝1即a ＝4，b ＝43时等号成立，故选A.5．已知a ，b 为正实数，函数y ＝2a e x ＋b 的图象过点(0,1)，则1a ＋1b 的最小值是( )A ．3＋2 2B ．3－2 2C ．4D ．2 答案：A解析：因为函数y ＝2a e x ＋b 的图象过点(0,1)，所以2a ＋b ＝1.又a >0，b >0，所以1a ＋1b ＝2a ＋b a ＋2a ＋b b ＝3＋b a ＋2ab ≥3＋22，当且仅当b a ＝2a b ，即b ＝2a 时取等号，所以1a ＋1b 的最小值是3＋2 2.6．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤3，x ＋y ≤5，y ≥λ，若z ＝x ＋4y 的最大值与最小值之差为5，则实数λ的值为( )A ．3 B.73 C.32 D ．1 答案：A解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤3，x ＋y ≤5，y ≥λ所表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A (1,4)，B (λ－3，λ)．由z ＝x ＋4y ，得y＝－14x ＋z 4，作出直线y ＝－14x ，并平移，知当该直线经过点A 时，z 取得最大值，且最大值为1＋4×4＝17；当该直线经过点B 时，z 取得最小值，且最小值为λ－3＋4λ＝5λ－3.因为z ＝x ＋4y 的最大值与最小值之差为5，所以17－(5λ－3)＝20－5λ＝5，得λ＝3.故选A.7．[2019·太原模拟]已知点(x ，y )所在的可行域如图中阴影部分所示(包含边界)，若使目标函数z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无数多个，则a 的值为( )A ．4 B.14 C.53 D.35 答案：D解析：因为目标函数z ＝ax ＋y ，所以y ＝－ax ＋z ，易知z 是直线y ＝－ax ＋z 在y 轴上的截距．分析知当直线y ＝－ax ＋z 的斜率与直线AC 的斜率相等时，目标函数z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无数多个，此时－a ＝225－21－5＝－35，即a ＝35，故选D.8．[2019·湖北联考]已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥7－3x ，x ＋3y ≤13，x ≤y ＋1，则z＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|2x －3y ＋4|的最小值为( )A.128B.132C.148D.164 答案：D解析：由题意得，作出不等式组表示的平面区域，如图所示，设m ＝2x －3y ＋4，在直线2x －3y ＋4＝0上方并满足约束条件的区域使得m 的值为负数，在点A 处m 取得最小值，联立⎩⎨⎧y ＝7－3x ，x ＋3y ＝13，解得x ＝1，y ＝4，此时m min ＝2×1－3×4＋4＝－6，则|m |max ＝6，在直线2x －3y ＋4＝0下方并满足约束条件的区域使得m 的值为正数，在点C 处m 取得最大值，联立⎩⎨⎧ y ＝7－3x ，x ＝y ＋1，解得x ＝2，y ＝1，即C (2,1)，此时m max ＝5，|m |max ＝5，故|m |max ＝6，故z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|2x －3y ＋4|在点A (1,4)处取得最小值，最小值为z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝164，故选D.二、非选择题 9．[2018·全国卷Ⅱ]若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．答案：9解析：由不等式组画出可行域，如图(阴影部分)．x ＋y 取得最大值⇔斜率为－1的直线x ＋y ＝z (z 看做常数)的横截距最大，由图可得直线x ＋y ＝z 过点C 时z 取得最大值．由⎩⎨⎧ x ＝5，x －2y ＋3＝0得点C (5,4)， ∴ z max ＝5＋4＝9.10．[2019·郑州模拟]已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域为D ，若直线y ＝kx ＋1将区域D 分成面积相等的两部分，则实数k 的值是________．答案：13解析：区域D 如图中的阴影部分所示，直线y ＝kx ＋1经过定点C (0,1)，如果其把区域D 划分为面积相等的两个部分，则直线y ＝kx ＋1只要经过AB 的中点即可．由方程组⎩⎨⎧ x ＋y －1＝0，3x －y －3＝0，解得A (1,0)． 由方程组⎩⎨⎧ x －y ＋1＝0，3x －y －3＝0，解得B (2,3)． 所以AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，代入直线方程y ＝kx ＋1得，32＝32k ＋1，解得k ＝13.11．设函数f (x )＝x ＋a x ＋1，x ∈[0，＋∞)． (1)当a ＝2时，求函数f (x )的最小值；(2)当0<a <1时，求函数f (x )的最小值．解析：(1)当a ＝2时，f (x )＝x ＋2x ＋1＝x ＋1＋2x ＋1－1≥22－1，当且仅当x ＋1＝2x ＋1，即x ＝2－1时取等号，所以f (x )min ＝22－1.(2)当0<a <1时，任取0≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－a (x 1＋1)(x 2＋1). 因为0<a <1，(x 1＋1)(x 2＋1)>1，所以1－a (x 1＋1)(x 2＋1)>0， 因为x 1＜x 2，所以x 1－x 2＜0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，故f (x 1)<f (x 2)， 即f (x )在[0，＋∞)上为增函数． 所以f (x )min ＝f (0)＝a .。

天天练1 集合的概念与运算小题狂练①小题是基础练小题提分快一、选择题1．[2018·全国卷Ⅱ]已知集合A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，那么A∩B＝( ) A．{3} B．{5}C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7}答案：C解析：A∩B＝{1,3,5,7}∩{2,3,4,5}＝{3,5}．应选C.2．[2018·全国卷Ⅰ]已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，那么∁A＝()RA．{x|－1<x<2} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1}∪{x|x>2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}答案：B解析：∵x2－x－2>0，∴ (x－2)(x＋1)>0，∴x>2或x<－1，即A＝{x|x>2或x<－1}．在数轴上表示出集合A，如下图．由图可得∁R A＝{x|－1≤x≤2}．应选B.3．[2019·河南质检]已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,2,4}，B＝{2,4,6}，那么A∩(∁U B)＝()A．{1} B．{2}C．{4} D．{1,2}答案：A解析：因为∁U B＝{1,3,5}，因此A∩(∁U B)＝{1}．应选A.4．[2019·武邑调研]已知全集U＝R，集合A＝{x|0<x<9，x∈R}和B＝{x|－4<x<4，x∈Z}关系的Venn图如下图，那么阴影部份所表示集合中的元素共有()A．3个B．4个＝3.10．[2019·南昌模拟]已知集合A＝{1,2,3}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，那么集合B的子集的个数为________．答案：8解析：∵集合A＝{1,2,3}，集合B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，∴B＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，∴集合B有3个元素，∴集合B的子集个数为23＝8.11．[2019·石家庄质检]已知集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|y＝lg(x－2)}，那么A∩(∁B)＝________.R答案：(－2,2]解析：由题意得B＝{x|y＝lg(x－2)}＝(2，＋∞)，∴∁R B＝(－∞，2]，∴A∩(∁R B)＝(－2,2]．12．[2019·辽宁联考]已知集合P＝{x|x2－2x－8>0}，Q＝{x|x≥a}，P∪Q＝R，那么a的取值范围是________．答案：(－∞，－2]解析：集合P＝{x|x2－2x－8>0}＝{x|x<－2或x>4}，Q＝{x|x≥a}，假设P∪Q＝R，那么a≤－2，即a的取值范围是(－∞，－2]．课时测评①一、选择题1．[2018·全国卷Ⅱ]已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，那么A中元素的个数为()A．9B．8C．5D．4答案：A解析：将知足x2＋y2≤3的整数x，y全数列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．应选A.2．[2019·湖南联考]已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x≥0}，B＝{x|1<x≤3}，那么如下图的阴影部份表示的集合为()A．[0,1) B．(0,3]C．(0,1] D．[1,3]答案：C解析：因为A＝{x|x2－3x≥0}＝{x|x≤0或x≥3}，B＝{x|1<x≤3}，因此A∪B么()A．P∩Q＝{x∈R|－1<x<3}B ．P ∪Q ＝{x ∈R |－2<x <3}C ．P ∩Q ＝{x ∈R |－1≤x ≤3}D ．P ∪Q ＝{x ∈R |－2<x ≤3} 答案：D解析：由1＋xx －3≤0，得(1＋x )(x －3)≤0且x ≠3，解得－1≤x <3，故P ∩Q ＝{x ∈R |－1≤x <3}，P ∪Q ＝{x ∈R |－2<x ≤3}．应选D.8．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{y |y ＝sin x ，x ∈R }，那么图中阴影部份表示的集合为( )A ．[－1,2]B ．[－1,0)∪(1,2]C ．[0,1]D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 答案：B解析：由题意可知阴影部份对应的集合为[∁U (A ∩B )]∩(A ∪B )，A ＝{x |x 2－2x ≤0}＝{x |0≤x ≤2}＝[0,2]，B ＝{y |y ＝sin x ，x ∈R }＝{y |－1≤y ≤1}＝[－1,1]，∴A ∩B ＝[0,1]，A ∪B ＝[－1,2]，∴[∁U (A ∩B )]∩(A ∪B )＝[－1,0)∪(1,2]，应选B. 二、非选择题9．[2019·无锡联考]已知集合A ＝{x |(x －1)(x －a )≥0}，B ＝{x |x ≥a －1}，假设A ∪B ＝R ，那么实数a 的最大值为________．答案：2解析：当a >1时，A ＝(－∞，1]∪[a ，＋∞)，B ＝[a －1，＋∞)，假设A ∪B ＝R ，那么a －1≤1，∴1<a ≤2；当a ＝1时，易患A ＝R ，现在A ∪B ＝R ；当a <1时，A ＝(－∞，a ]∪[1，＋∞)，B ＝[a －1，＋∞)，假设A ∪B ＝R ，那么a －1≤a ，显然成立，∴a <1.综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]，那么实数a 的最大值为2. 10．[2019·内蒙古调研]已知集合A ＝{x |0<x <2}，集合B ＝{x |－1<x <1}，集合C ＝{x |mx ＋1>0}，假设A ∪B ⊆C ，那么实数m 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1解析：由A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x |－1<x <1}，得A ∪B ＝{x |－1<x <2}， ∵集合C ＝{x |mx ＋1>0}，A ∪B ⊆C ，①当m <0时，x <－1m ，∴－1m ≥2，∴m ≥－12，∴－12≤m <0；②当m ＝0时，成立；。

天天练30 椭圆的定义、标准方程及性质小题狂练○30一、选择题1．椭圆x 24＋y 2＝1的离心率为( ) A.12 B.32C.52 D ．2 答案：B解析：由题意得a ＝2，b ＝1，则c ＝3，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝32，故选B.2．[2019·佛山模拟]若椭圆mx 2＋ny 2＝1的离心率为12，则mn ＝( )A.34B.43C.32或233D.34或43 答案：D解析：若焦点在x 轴上，则方程化为x 21m ＋y 21n ＝1，依题意得1m －1n 1m＝14，所以m n ＝34；若焦点在y 轴上，则方程化为y 21n ＋x 21m＝1，同理可得m n ＝43.所以所求值为34或43.故选D.3．过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为( )A ．2B ．4C ．8D ．2 2答案：B解析：因为椭圆方程为4x 2＋y 2＝1，所以a ＝1.根据椭圆的定义，知△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝4.故选B.4．[2018·全国卷Ⅱ]已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )A ．1－32 B ．2－ 3C.3－12 D.3－1 答案：D解析：在Rt △PF 1F 2中，∠PF 2F 1＝60°，不妨设椭圆焦点在x 轴上，且焦距|F 1F 2|＝2，则|PF 2|＝1，|PF 1|＝3，由椭圆的定义可知，方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，2a ＝1＋3，2c ＝2，得a ＝1＋32，c ＝1，所以离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.故选D.5．[2019·河南豫北重点中学联考]已知点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，22是椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a >1)上的点，A ，B 是椭圆的左、右顶点，则△P AB 的面积为( )A ．2 B.24 C.12 D ．1 答案：D解析：由题可得1a 2＋12＝1，∴a 2＝2，解得a ＝2(负值舍去)，则S △P AB ＝12×2a ×22＝1，故选D.6．[2019·河南安阳模拟]已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1→·(OF 1→＋OP →)＝0(O为坐标原点)．若|PF1→|＝2|PF 2→|，则椭圆的离心率为( ) A.6－ 3 B.6－32C.6－ 5D.6－52 答案：A解析：以OF 1，OP 为邻边作平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则，由PF 1→·(OF1→＋OP →)＝0知此平行四边形的对角线互相垂直，则此平行四边形为菱形，∴|OP |＝|OF 1|，∴△F 1PF 2是直角三角形，即PF 1⊥PF 2.设|PF 2|＝x ，则⎩⎨⎧2x ＋x ＝2a ，(2x )2＋x 2＝(2c )2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2＋12x ，c ＝32x ，∴e ＝c a ＝32＋1＝6－3，故选A.7．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为( ) A ．2 B ．3C ．6D ．8 答案：C解析：由椭圆x 24＋y 23＝1可得F (－1,0)，点O (0,0)，设P (x ，y )(－2≤x ≤2)，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，－2≤x ≤2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.故选C.8．[2019·黑龙江大庆模拟]已知直线l ：y ＝kx 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)交于A ，B 两点，其中右焦点F 的坐标为(c,0)，且AF 与BF 垂直，则椭圆C 的离心率的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1B.⎝⎛⎦⎥⎤0，22C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1D.⎝⎛⎭⎪⎫0，22答案：C解析：由AF 与BF 垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，可得|OA |＝|OF |＝c ，由|OA |>b ，即c >b ，可得c 2>b 2＝a 2－c 2，即c 2>12a 2，可得22<e <1.故选C.二、非选择题9．[2019·河南开封模拟]如图，已知圆E ：(x ＋3)2＋y 2＝16，点F (3，0)，P 是圆E 上任意一点．线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q .则动点Q 的轨迹Γ的方程为________．答案：x 24＋y 2＝1解析：连接QF ，因为Q 在线段PF 的垂直平分线上，所以|QP |＝|QF |，得|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP |＝|PE |＝4.又|EF |＝23<4，得Q 的轨迹是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆即x 24＋y 2＝1.10．[2019·金华模拟]如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在x 轴上，且焦距为3的椭圆，则椭圆的短轴长为________． 答案： 5解析：方程x 2＋ky 2＝2可化为x 22＋y 22k＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋2k ＝2⇒2k ＝54，∴短轴长为2×52＝ 5.11．[2019·陕西检测]已知P 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2是其左、右焦点，∠F 1PF 2取最大值时cos ∠F 1PF 2＝13，则椭圆的离心率为________．答案：33解析：易知∠F 1PF 2取最大值时，点P 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与y轴的交点，由余弦定理及椭圆的定义得2a 2－2a23＝4c 2，即a ＝3c ，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝33.12．[2019·“超级全能生”联考]已知椭圆C ：x 28＋y 22＝1与圆M ：x 2＋y 2＋22x ＋2－r 2＝0(0<r <2)，过椭圆C 的上顶点P 作圆M 的两条切线分别与椭圆C 相交于A ，B 两点(不同于P 点)，则直线P A 与直线PB 的斜率之积等于________．答案：1解析：由题可得，圆心为M (－2，0)，P (0，2)．设切线方程为y ＝kx ＋ 2.由点到直线的距离公式得，d ＝|－2k ＋2|1＋k2＝r ，化简得(2－r 2)k 2－4k ＋(2－r 2)＝0，则k 1k 2＝1.课时测评○30一、选择题1．[2019·河北省五校联考]以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2答案：D解析：设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，12×2cb ＝1⇒bc ＝1,2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22，当且仅当b ＝c ＝1时，等号成立．故选D.2．[2019·深圳模拟]过点(3,2)且与椭圆3x 2＋8y 2＝24有相同焦点的椭圆方程为( )A.x 25＋y 210＝1B.x 210＋y 215＝1 C.x 215＋y 210＝1 D.x 210＋y 25＝1 答案：C 解析：椭圆3x 2＋8y 2＝24的焦点为(±5，0)，可得c ＝5，设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得9a 2＋4b 2＝1，又a 2－b 2＝5，得b 2＝10，a 2＝15，所以所求的椭圆方程为x 215＋y210＝1.故选C.3．一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为( )A.x 28＋y 26＝1B.x 216＋y 26＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 28＋y 24＝1 答案：A解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由点P (2，3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2×2c ，c a ＝12， 又c 2＝a 2－b 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，c 2＝a 2－b 2，c a ＝12得a 2＝8，b 2＝6，故椭圆方程为x 28＋y26＝1.故选A.4．[2018·全国卷Ⅱ]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23B.12C.13D.14 答案：D解析：如图，作PB ⊥x轴于点B .由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1， 由∠F 1F 2P ＝120°， 可得|PB |＝3，|BF 2|＝1， 故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2，tan ∠P AB ＝|PB ||AB |＝3a ＋2＝36，解得a ＝4，所以e ＝c a ＝14. 故选D.5．[2019·广西桂林柳州联考]已知点P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点．若PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 2F 1＝2，则椭圆的离心率e 为( )A.53B.13C.23D.12 答案：A解析：∵点P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 2F 1＝2，∴|PF 1||PF 2|＝2.设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝2x ，由椭圆定义知x ＋2x ＝2a ，∴x ＝2a 3，∴|PF 2|＝2a3，则|PF 1|＝4a 3.由勾股定理知|PF 2|2＋|PF 1|2＝|F 1F 2|2，解得c ＝53a ，∴e ＝c a ＝53.故选A.6．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为 ( )A ．6B ．5C ．4D ．3 答案：A解析：根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.故选A.7．[2019·贵州遵义联考]已知m 是两个数2,8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y2m ＝1的离心率为( )A.32或52B.32或 5C.32 D. 5 答案：B解析：由题意得m 2＝16，解得m ＝4或m ＝－4.当m ＝4时，曲线方程为x 2＋y 24＝1，故其离心率e 1＝c a ＝ 1－b 2a 2＝ 1－14＝32；当m ＝－4时，曲线方程为x 2－y 24＝1，故其离心率e 2＝ca ＝ 1＋b 2a 2＝ 1＋4＝ 5.所以曲线的离心率为32或 5.故选B.8．若椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a >b >0)和圆x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2有四个交点，其中c 为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率e 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫55，35B.⎝⎛⎭⎪⎫0，25C.⎝ ⎛⎭⎪⎫25，35D.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，55答案：A解析：由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外，则⎩⎨⎧a >b2＋c ，b <b2＋c ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧(a －c )2>14(a 2－c 2)，a 2－c 2<2c ，解得55<e <35.故选A.二、非选择题9．[2019·铜川模拟]已知椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆交于点A 、B ，当△F AB 的周长最大时，△F AB 的面积是________．答案：3 解析：如图，设椭圆的右焦点为E ，连接AE 、BE .由椭圆的定义得，△F AB 的周长为|AB |＋|AF |＋|BF |＝|AB |＋(2a －|AE |)＋(2a －|BE |)＝4a ＋|AB |－|AE |－|BE |.∵|AE |＋|BE |≥|AB |，∴|AB |－|AE |－|BE |≤0，∴|AB |＋|AF |＋|BF |＝4a ＋|AB |－|AE |－|BE |≤4a .当直线AB 过点E 时取等号，此时直线x ＝m ＝c ＝1，把x ＝1代入椭圆x 24＋y 23＝1得y ＝±32，∴|AB |＝3.∴当△F AB 的周长最大时，△F AB的面积是12×3×|EF |＝12×3×2＝3.10．[2019·辽宁沈阳东北育才学校月考]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 是C 的长轴的两个端点，点M 是C 上的一点，满足∠MAB ＝30°，∠MBA ＝45°.设椭圆C 的离心率为e ，则e 2＝________.答案：1－33 解析：由椭圆的对称性，设M (x 0，y 0)，y 0>0，A (－a,0)，B (a,0)．因为∠MAB ＝30°，∠MBA ＝45°，所以k BM ＝y 0x 0－a ＝－1，k AM ＝y 0x 0＋a ＝33.又因为x 20a 2＋y 20b 2＝1，三等式联立消去x 0，y 0可得b 2a 2＝33＝1－e 2，所以e 2＝1－33.11．[2019·云南昆明一中月考]已知中心在原点O ，焦点在x轴上的椭圆E 过点C (0,1)，离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)直线l 过椭圆E 的左焦点F ，且与椭圆E 交于A ，B 两点，若△OAB 的面积为23，求直线l 的方程．解析：(1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由已知，直线l 过左焦点F (－1,0)．当直线l 与x 轴垂直时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－22，B ⎝⎛⎭⎪⎫－1，22， 此时|AB |＝2，则S △OAB ＝12×2×1＝22，不满足条件．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 2)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k2. 因为S △OAB ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12|y 1－y 2|，由已知S △OAB ＝23得|y 1－y 2|＝43. 因为y 1＋y 2＝k (x 1＋1)＋k (x 2＋1)＝k (x 1＋x 2)＋2k ＝k ·－4k 21＋2k 2＋2k ＝2k 1＋2k2， y 1y 2＝k (x 1＋1)·k (x 2＋1)＝k 2(x 1x 2＋x 1＋x 2＋1)＝－k 21＋2k 2，所以|y1－y2|＝(y1＋y2)2－4y1y2＝4k2(1＋2k2)2＋4k21＋2k2＝43，所以k4＋k2－2＝0，解得k＝±1，所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.。