1.关联速度

第五讲关联速度所谓关联速度就是两个通过某种方式联系起来的速度．比如一根杆上的两个速度通过杆发生联系，一根绳两端的速度通过绳发生联系．常用的结论有：1，杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方向的分速度．2，接触物系接触点速度的相关特征是：沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同．3，线状相交物系交叉点的速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和．4，如果杆（或张紧的绳）围绕某一点转动，那么杆（或张紧的绳）上各点相对转动轴的角速度相同·类型1质量分别为ｍ1、ｍ2和ｍ3的三个质点Ａ、Ｂ、Ｃ位于光滑的水平桌面上，用已拉直的不可伸长的柔软轻绳ＡＢ和ＢＣ连接，∠ＡＢＣ＝π－α，α为锐角，如图５-１所示．今有一冲量Ｉ沿ＢＣ方向作用于质点Ｃ，求质点Ａ开始运动时的速度．图5-1 图5-２类型2绳的一端固定，另一端缠在圆筒上，圆筒半径为Ｒ，放在与水平面成α角的光滑斜面上，如图５-２所示．当绳变为竖直方向时，圆筒转动角速度为ω（此时绳未松弛），试求此刻圆筒轴Ｏ的速度、圆筒与斜面切点Ｃ的速度。

类型3直线ＡＢ以大小为ｖ1的速度沿垂直于AB的方向向上移动，而直线CD以大小为ｖ2的速度沿垂直于ＣＤ的方向向左上方移动，两条直线交角为α，如图5-３所示．求它们的交点Ｐ的速度大小与方向．（全国中学生力学竞赛试题）图5-３图5-４以上三例展示了三类物系相关速度问题．类型1求的是由杆或绳约束物系的各点速度；类型2求接触物系接触点速度；类型3则是求相交物系交叉点速度．三类问题既有共同遵从的一般规律，又有由各自相关特点所决定的特殊规律，我们若能抓住它们的共性与个性，解决物系相关速度问题便有章可循．首先应当明确，我们讨论的问题中，研究对象是刚体、刚性球、刚性杆或拉直的、不可伸长的线等，它们都具有刚体的力学性质，是不会发生形变的理想化物体，刚体上任意两点之间的相对距离是恒定不变的；任何刚体的任何一种复杂运动都是由平动与转动复合而成的．如图5-４所示，三角板从位置ＡＢＣ移动到位置Ａ′Ｂ′Ｃ′，我们可以认为整个板一方面做平动，使板上点Ｂ移到点Ｂ′，另一方面又以点Ｂ′为轴转动，使点Ａ到达点Ａ′、点Ｃ到达点Ｃ′．由于前述刚体的力学性质所致，点Ａ、Ｃ及板上各点的平动速度相同，否则板上各点的相对位置就会改变．这里，我们称点Ｂ′为基点．分析刚体的运动时，基点可以任意选择．于是我们得到刚体运动的速度法则：刚体上每一点的速度都是与基点速度相同的平动速度和相对于该基点的转动速度的矢量和．我们知道转动速度ｖ＝ｒω，ｒ是转动半径，ω是刚体转动角速度，刚体自身转动角速度则与基点的选择无关．根据刚体运动的速度法则，对于既有平动又有转动的刚性杆或不可伸长的线绳，每个时刻我们总可以找到某一点，这一点的速度恰是沿杆或绳的方向，以它为基点，杆或绳上其他点在同一时刻一定具有相同的沿杆或绳方向的分速度（与基点相同的平动速度）．因此，我们可以得到下面的结论．结论1杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方向的分速度．我们再来研究接触物系接触点速度的特征．由刚体的力学性质及“接触”的约束可知，沿接触面法线方向，接触双方必须具有相同的法向分速度，否则将分离或形变，从而违反接触或刚性的限制．至于沿接触面的切向接触双方是否有相同的分速度，则取决于该方向上双方有无相对滑动，若无相对滑动，则接触双方将具有完全相同的速度．因此，我们可以得到下面的结论．结论2接触物系接触点速度的相关特征是：沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同．相交物系交叉点速度的特征是什么呢?我们来看交叉的两直线ａ、ｂ，如图5-５所示，设直线ａ不动，当直线ｂ沿自身方向移动时，交点Ｐ并不移动，而当直线ｂ沿直线ａ的方向移动时，交点Ｐ便沿直线ａ移动，因交点Ｐ亦是直线ｂ上一点，故与直线ｂ具有相同的沿直线ａ方向的平移速度．同理，若直线ｂ固定，直线ａ移动，交点Ｐ的移动速度与直线ａ沿直线ｂ方向平动的速度相同．根据运动合成原理，当两直线ａ、ｂ各自运动，交点Ｐ的运动分别是两直线沿对方直线方向运动的合运动．于是我们可以得到下面的结论．图5-５结论3线状相交物系交叉点的速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和．这样，我们将刚体的力学性质、刚体运动的速度法则运用于三类相关速度问题，得到了这三类相关速度特征，依据这些特征，并运用速度问题中普遍适用的合成法则、相对运动法则，解题便有了操作的章法．下面我们对每一类问题各给出3道例题，展示每一条原则在不同情景中的应用．例1如图5-６所示，杆ＡＢ的Ａ端以速度ｖ做匀速运动，在杆运动时恒与一静止的半圆周相切，半圆周的半径为Ｒ，当杆与水平线的交角为θ时，求杆的角速度ω及杆上与半圆相切点Ｃ的速度．图5-6分析与解考察切点Ｃ的情况．由于半圆静止，杆上点Ｃ速度的法向分量为零，故点Ｃ速度必沿杆的方向．以点Ｃ为基点，将杆上点Ａ速度ｖ分解成沿杆方向分量ｖ1和垂直于杆方向分量ｖ2（如图5-７所示），则ｖ1是点Ａ与点Ｃ相同的沿杆方向平动速度，ｖ2是点Ａ对点Ｃ的转动速度，故可求得点Ｃ的速度为图5-7ｖＣ＝ｖ1＝ｖ·ｃｏｓθ，又ｖ2＝ｖ·ｓｉｎθ＝ω·ＡＣ．由题给几何关系知，Ａ点对Ｃ点的转动半径为：ＡＣ＝Ｒ·ｃｏｔθ，代入前式中即可解得：ω＝(ｖｓｉｎ2θ)/(Ｒｃｏｓθ)．例2如图5-8所示，合页构件由三个菱形组成，其边长之比为3∶2∶1，顶点Ａ3以速度ｖ沿水平方向向右运动，求当构件所有角都为直角时，顶点Ｂ2的速度ｖB2．图5-8分析与解顶点Ｂ2作为Ｂ2Ａ1杆上的一点，其速度是沿Ｂ2Ａ1杆方向的速度ｖ1及垂直于Ｂ2Ａ1杆方向速度ｖ1′的合成；同时作为杆Ｂ2Ａ2上的一点，其速度又是沿Ｂ2Ａ2杆方向的速度ｖ2及垂直于Ｂ2Ａ2杆方向的速度ｖ2′的合成．由于两杆互成直角的特定条件，由图5-９显见，ｖ2＝ｖ1′，ｖ1＝ｖ2′．故顶点Ｂ2的速度可通过ｖ1、ｖ2速度的矢量和求得，而根据杆的约束的特征，得图5-9ｖ1＝(/２)ｖＡ1；ｖ2＝(/２)ｖＡ2，于是可得由几何关系可知ｖＡ1∶ｖＡ2∶ｖＡ3＝Ａ0Ａ1∶Ａ0Ａ2∶Ａ0Ａ3＝３∶５∶６，则ｖＡ1＝ｖ/２，ｖＡ2＝(５/６)ｖ，由此求得ｖB2＝(/６)ｖ．图5-10上述解析，我们是选取了速度为沿杆方向的某一点为基点来考察顶点Ｂ2的速度的．当然我们也可以选取其他合适的点为基点来分析．如图5-１０所示，若以Ａ1、Ａ2点为基点，则Ｂ2点作为Ｂ2Ａ1杆上的点，其速度是与Ａ1点相同的平动速度ｖＡ1和对Ａ1点的转动速度ｖｎ1之合成，同时Ｂ2点作为Ｂ2Ａ2杆上的点，其速度是与Ａ2点相同的平动速度ｖＡ2和对Ａ2点的转动速度ｖｎ2之合成，再注意到题给的几何条件，从矢量三角形中由余弦定理得而由矢量图可知ｖn1＝(/２)（ｖA2－ｖA1），代入前式可得ｖB2＝(/６)ｖ．两解殊途同归．例3如图5-11所示，物体Ａ置于水平面上，物体Ａ上固定有动滑轮Ｂ,Ｄ为定滑轮，一根轻绳绕过滑轮Ｄ、Ｂ后固定在Ｃ点，ＢＣ段水平．当以速度ｖ拉绳头时，物体Ａ沿水平面运动，若绳与水平面夹角为α，物体Ａ运动的速度是多大?图5-11分析与解首先根据绳约束特点，任何时刻绳ＢＤ段上各点有与绳端Ｄ相同的沿绳ＢＤ段方向的分速度ｖ，再看绳的这个速度与物体Ａ移动速度的关系：设物体Ａ右移速度为ｖx，则相对于物体Ａ(或动滑轮B的轴心)，绳上Ｂ点的速度为ｖx，即ｖBA＝ｖx，方向沿绳BD方向；而根据运动合成法则，在沿绳BD方向上，绳上B点速度是相对于参照系Ａ(或动滑轮B的轴心)的速度ｖx与参照系Ａ对静止参照系速度ｖxｃｏｓα的合成，即ｖ＝ｖBA＋ｖxｃｏｓα；由上述两方面可得ｖx＝ｖ/(１＋ｃｏｓα)．例4如图5-１２所示，半径为Ｒ的半圆凸轮以等速ｖ０沿水平面向右运动，带动从动杆ＡＢ沿竖直方向上升，Ｏ为凸轮圆心，Ｐ为其顶点．求当∠ＡＯＰ＝α时，ＡＢ杆的速度．图5-12 图5-13分析与解这是接触物系相关速度问题．由题可知，杆与凸轮在Ａ点接触，杆上Ａ点速度ｖＡ是竖直向上的，轮上Ａ点的速度ｖ0是水平向右的，根据接触物系触点速度相关特征，两者沿接触面法向的分速度相同，如图5-13所示，即ｖＡｃｏｓα＝ｖ0ｓｉｎα，则ｖＡ＝ｖ0ｔａｎα．故ＡＢ杆的速度为ｖ0ｔａｎα．例5如图5-14所示，缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光滑钉子Ａ上，以恒定的速度ｖ拉绳，当绳与竖直方向成α角时，求线轴中心Ｏ的运动速度ｖO．设线轴的外径为Ｒ，内径为ｒ，线轴沿水平面做无滑动的滚动．分析与解当线轴以恒定的速度v拉绳时，线轴沿顺时针方向运动．从绳端速度ｖ到轴心速度ｖO，是通过绳、轴相切接触相关的．考察切点Ｂ的速度：本题中绳与线轴间无滑动，故绳上Ｂ点与轴上Ｂ点速度完全相同，即无论沿切点法向或切向，两者均有相同的分速度．图5-１５是轴上Ｂ点与绳上Ｂ点速度矢量图：轴上Ｂ点具有与轴心相同的平动速度ｖO 及对轴心的转动速度ｒω（ω为轴的角速度），那么沿切向轴上Ｂ点的速度为ｒω－ｖO sinα；而绳上Ｂ点速度的切向分量正是沿绳方向、大小为速度ｖ，于是有关系式，即图5-14图5-15 ｒω－ｖO ｓｉｎα＝ｖ．① 又由于线轴沿水平地面做纯滚动，故与水平地面相切点Ｃ的速度为零，则轴心速度为ｖO ＝Ｒω，② 由①、②两式可解得ｖO ＝(Ｒｖ)/(ｒ－Ｒｓｉｎα)．若绳拉线轴使线轴逆时针转动，ｖO ＝(Ｒｖ)/(ｒ－Ｒｓｉｎα)，自行证明．例6如图5-１６所示，线轴沿水平面做无滑动的滚动，并且线端Ａ点速度为ｖ，方向水平．以铰链固定于点Ｂ的木板靠在线轴上，线轴的内、外径分别为ｒ和Ｒ．试确定木板的角速度ω与角α的关系．图5-16 图5-17 分析与解设木板与线轴相切于Ｃ点，则板上Ｃ点与线轴上Ｃ点有相同的法向速度ｖn ，而板上Ｃ点的这个法向速度正是Ｃ点关于Ｂ轴的转动速度，如图５-17所示，即ｖn ＝ω·ＢＣ＝ω·Ｒｃｏｔ(α/２)．①现在再来考察线轴上Ｃ点的速度：它应是Ｃ点对轴心Ｏ的转动速度ｖＣn和与轴心相同的平动速度ｖO的矢量和，而ｖＣn是沿Ｃ点切向的，则Ｃ点法向速度ｖn应是ｖn＝ｖOｓｉｎα．②又由于线轴为刚体且做纯滚动，故以线轴与水平面切点为基点，应有ｖ/(Ｒ＋ｒ)＝ｖO/Ｒ．③将②、③两式代入①式中，得ω＝(１－ｃｏｓα)/(Ｒ＋ｒ)ｖ．例7如图5-18所示，水平直杆ＡＢ在圆心为Ｏ、半径为ｒ的固定圆圈上以匀速ｕ竖直下落，试求套在该直杆和圆圈的交点处一小滑环Ｍ的速度，设ＯＭ与竖直方向的夹角为φ．图5-18分析与解当小环从圆圈顶点滑过圆心角为φ的一段弧时，据交叉点速度相关特征，将杆的速度ｕ沿杆方向与圆圈切线方向分解，则Ｍ的速度为ｖ＝ｕ/ｓｉｎφ．例8如图5-１９所示，直角曲杆ＯＢＣ绕Ｏ轴在如图5-19所示的平面内转动，使套在其上的光滑小环沿固定直杆ＯＡ滑动．已知ＯＢ＝10ｃｍ，曲杆的角速度ω＝０.５ｒａｄ／ｓ，求φ＝６０°时，小环Ｍ的速度．图5-19 图5-20分析与解本题首先应该求出交叉点Ｍ作为杆ＢＣ上一点的速度ｖ，而后根据交叉点速度相关特征，求出该速度沿ＯＡ方向的分量即为小环速度．由于刚性曲杆ＯＢＣ以Ｏ为轴转动，故其上与ＯＡ直杆交叉点的速度方向垂直于转动半径ＯＭ、大小是ｖ＝ω·Ｍ＝10ｃｍ／ｓ．将其沿ＭＡ、ＭＢ方向分解成两个分速度，如图5-20所示，即得小环Ｍ的速度为：ｖＭ＝ｖＭＡ＝ｖ·ｔａｎφ＝10cm／s．例9如图5-21所示，一个半径为Ｒ的轴环Ｏ1立在水平面上，另一个同样的轴环Ｏ2以速度ｖ从这个轴环旁通过，试求两轴环上部交叉点Ａ的速度ｖＡ与两环中心之距离ｄ之间的关系．轴环很薄且第二个轴环紧邻第一个轴环．图5-21 图5-22分析与解轴环Ｏ2速度为ｖ，将此速度沿轴环Ｏ1、Ｏ2的交叉点Ａ处的切线方向分解成ｖ1、ｖ2两个分量，如图5-22，由线状相交物系交叉点相关速度规律可知，交叉点Ａ的速度即为沿对方速度分量ｖ1．注意到图5-22中显示的几何关系便可得。

关联”速度问题模型归类例析绳、杆等有长度的物体，在运动过程中，如果两端点的速度方向不在绳、杆所在直线上，两端的速度通常是不样的，但两端点的速度是有联系的，称之为“关联”速度。

关联速度”问题特点：沿杆或绳方向的速度分量大小相等。

绳或杆连体速度关系：①由于绳或杆具有不可伸缩的特点，则拉动绳或杆的速度等于绳或杆拉物的速度。

②在绳或杆连体中，物体实际运动方向就是合速度的方向。

③当物体实际运动方向与绳或杆成一定夹角时，可将合速度分解为沿绳或杆方向和垂直于绳或杆方向的两个分速度。

关联速度”问题常用的解题思路和方法：先确定合运动的方向，即物体实际运动的方向，然后分析这个合运动所产生的实际效果，即一方面使绳或杆伸缩的效果；另一方面使绳或杆转动的效果，以确定两个分速度的方向，沿绳或杆方向的分速度和垂直绳或杆方向的分速度，而沿绳或杆方向的分速度大小相同。

、绳相关联问题1.一绳一物模型1）所拉的物体做匀速运动例 1 如图 1 所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为厂，当轻绳与水平面的夹角为e 时，船的速度为u,此时人的拉力大小为T,则此时小结人拉绳行走的速度即绳的速度，易错误地采用力的分解法则，将人拉绳行走的速度。

即按图 3 所示进行分解，则水错选 B 选项.平分速度为船的速度，得人拉绳行走的速度为u /cos e ，会2)匀速拉动物体例2 如图 4 所示，在河岸上利用定滑轮拉绳索使小船靠岸，拉绳的速度为v，当拉船头的绳索与水平面的夹角为a时，船的速度是多少？解析方法1——微元分析法取小角度e ,如图5所示，设角度变化e 方法2——运动等效法因为定滑轮右边的绳子既要缩短又要偏转，所以定滑轮右边绳上的 A 点的运动情况可以等效为：先以滑轮为网心，以AC为半径做圆周运动到达B,再沿BC直线运动到D。

做圆周运动就有垂直绳子方向的线速度，做直线运动就有沿着绳子方向的速度，也就是说船的速度（即绳上 4 点的速度）的两个分速度方向是：一个沿绳缩短的方向，另一个垂直绳的方2.两绳一物模型例3 如图7 所示，两绳通过等高的定滑轮共同对称地系住个物体 A ，两边以速度v 匀速地向下拉绳，当两根细绳与竖直方向的夹角都为60。

第五章 抛体运动 专题1 关联速度模型课程标准核心素养1. 能利用运动的合成与分解的知识，分析关联速度问题.2. 建立常见的绳关联模型和杆关联模型的解法．1、物理观念：理解关联速度模型。

2、科学思维：探究关联速度的分解方法。

3、科学探究：实际速度为合速度，按运动的效果分解速度。

4、科学态度与责任：能按运动分解思想解决关联速度问题。

知识点01 关联速度1．两物体通过不可伸长的轻绳(杆)相连，当两物体都发生运动，且物体运动的方向不在绳(杆)的直线上，两物体的速度是关联的．(下面为了方便，统一说“绳”)．2．处理关联速度问题的方法：首先认清哪个是合速度、哪个是分速度．物体的实际速度一定是合速度，分解时两个分速度方向应取沿绳方向和垂直绳方向． 3．常见的速度分解模型情景图示定量结论v ＝v ∥＝v 物cos θv 物′＝v ∥＝v 物cos θv ∥＝v ∥′即v 物cos θ＝v 物′cos α目标导航知识精讲v ∥＝v ∥′即v 物cos α＝v 物′cos β【即学即练1】如图所示，人用轻绳通过光滑轻质定滑轮拉穿在光滑竖直杆上的物块A ，人以速度v 0向左匀速拉绳，某一时刻，定滑轮右侧绳与竖直杆的夹角为θ，左侧绳与水平面的夹角为α，此时物块A 的速度v 1为( ) A ．v 0sin αcos θ B.v 0sin αsin θ C ．v 0cos αcos θ D.v 0cos αcos θ【答案】 D 【解析】将人、物块的速度分别分解，如图所示，人和A 沿绳方向的分速度大小相等，可得 v 0cos α＝v 1cos θ，所以v 1＝v 0cos αcos θ，D 正确． 【即学即练2】如图所示，一轻杆两端分别固定质量为m A 和m B 的小球A 和B (A 、B 均可视为质点)．将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，当轻杆到达位置2时球A 与球形容器球心等高，其速度大小为v 1，已知此时轻杆与水平面成θ＝30°角，球B 的速度大小为v 2，则( ) A ．v 2＝12v 1B ．v 2＝2v 1C ．v 2＝v 1D ．v 2＝3v 1【答案】 C 【解析】小球A 与球形容器球心等高，速度v 1方向竖直向下，速度分解如图所示，有v 11＝v 1sin 30°＝12v 1，由几何知识可知小球B 此时速度方向与杆成α＝60°角，因此v 21＝v 2cos 60°＝12v 2，两球沿杆方向的速度相等，即v 21＝v 11，解得v 2＝v 1，故选C.考法01 与绳子联系的关联速度【典例1】如图，汽车甲用绳以速度v 1拉着汽车乙前进，乙的速度为v 2，甲、乙都在水平面上运动，则此时甲、乙两车的速度之比为( ) A ．cos α∶1 B ．1∶cos α C ．sin α∶1D ．1∶sin α能力拓展【答案】 A 【解析】将汽车乙的速度分解为沿绳方向和垂直于绳方向，如图，沿绳方向的分速度等于汽车甲的速度，所以v 2cos α＝v 1，则甲、乙两车的速度之比为cos α∶1. 故选A.考法02 与杆联系的关联速度【典例2】如图所示，一个长直轻杆两端分别固定小球A 和B ，竖直放置，两球质量均为m ，两球半径忽略不计，杆的长度为L .由于微小的扰动，A 球沿竖直光滑槽向下运动，B 球沿水平光滑槽向右运动，当杆与竖直方向的夹角为θ时(图中未标出)，关于两球速度v A 和v B 的关系，下列说法正确的是( ) A ．若θ＝30°，则A 、B 两球的速度大小相等 B ．若θ＝60°，则A 、B 两球的速度大小相等 C ．v A ＝v B tan θ D ．v A ＝v B sin θ 【答案】 C 【解析】当杆与竖直方向的夹角为θ时，根据运动的分解可知(如图所示)，沿杆方向两分速度大小相等，v A cos θ＝v B sin θ，即v A ＝v B tan θ.当θ＝45°时，v A ＝v B ，故选C.题组A 基础过关练1．如图所示，一辆货车利用跨过光滑定滑轮的轻质缆绳提升一箱货物，已知货箱的质量为M ，货物的质量为m ，货车以速度v 向左做匀速直线运动，重力加速度为g ，则在将货物提升到图示的位置时，下列说法正确的是（ ）A ．缆绳中的拉力F T 等于（M +m ）gB ．货箱向上运动的速度大于vC ．货箱向上运动的速度等于cos vθD ．货箱向上运动的速度一直增大【答案】D【解析】BC ．将货车的速度进行正交分解，如图所示由于绳子不可伸长，货箱和货物整体向上运动的速度和货车速度沿着绳子方向的分量相等，故v 1=v cosθ则货箱向上运动的速度小于v ，故BC 错误；AD ．由于θ不断减小，cos θ增大，故v 1增大，所以货箱和货物整体向上做加速运动，加速度向上，故拉力T F 大于()M m g +，故A 错误，D 正确。

（推荐）关联速度的问题
关联速度是指在数据分析中，计算两个或多个变量之间关系的速度。

以下是几种提高关联速度的方法：
1. 数据压缩：对于大型数据集，可以使用数据压缩技术来减少数
据的体积，从而提高关联分析的速度。

2. 并行计算：使用并行计算技术可以将计算任务分配给多个处理
器或计算机进行并行处理，从而加快关联分析的速度。

3. 使用索引：在进行关联分析时，可以使用索引来加快数据的检
索速度，从而提高关联分析的效率。

4. 数据预处理：在进行关联分析之前，对数据进行预处理，如去
除重复项、缺失值处理等，可以减少数据的量，从而提高关联分
析的速度。

5. 采样方法：对于大型数据集，可以使用采样方法来获取一个较
小的数据子集，然后对子集进行关联分析，从而提高关联速度。

6. 使用高效的算法：选择适合的关联算法是提高关联速度的关键。

一些高效的关联算法如Apriori算法、FP-Growth算法等。

7. 数据分区：将数据划分为多个分区，然后对每个分区进行独立
的关联分析任务，最后将结果合并，可以提高关联速度。

8. 内存优化：合理利用内存可以减少磁盘读写的次数，从而提高
关联分析的速度。

关联速度伸长速度计算公式在物理学和工程学中，关联速度和伸长速度是两个重要的概念。

关联速度指的是两个物体之间的相对速度，而伸长速度则是指物体在某一方向上的速度变化率。

在很多情况下，我们需要计算这两个速度之间的关系，因此有必要了解它们之间的计算公式。

首先，让我们来看一下关联速度的定义。

关联速度是指两个物体相对于彼此的速度。

在一维空间中，如果物体A相对于物体B的速度是v1，而物体B相对于物体C的速度是v2，那么物体A相对于物体C的关联速度就是v1+v2。

在二维或三维空间中，我们可以使用矢量来表示物体的速度，关联速度的计算方法也是类似的。

接下来，让我们来看一下伸长速度的定义。

伸长速度是指物体在某一方向上的速度变化率。

如果一个物体在某一方向上的位移是Δx，时间是Δt，那么它在这个方向上的伸长速度就是Δx/Δt。

如果我们知道一个物体在某一方向上的伸长速度，我们就可以推算出它在这个方向上的位移和时间。

现在，让我们来看一下关联速度和伸长速度之间的计算公式。

假设有两个物体A和B，它们之间的关联速度是v，而物体A在某一方向上的伸长速度是u。

那么，根据定义，我们可以得到以下的计算公式：v = u + w。

其中，v是关联速度，u是伸长速度，w是另一个物体相对于物体A的速度。

这个公式告诉我们，一个物体在某一方向上的伸长速度和它与另一个物体的关联速度之间存在着简单的线性关系。

在实际应用中，我们经常需要根据关联速度和伸长速度来解决各种问题。

例如，当两个物体相互靠近或者远离时，我们需要计算它们之间的关联速度；当一个物体在某一方向上的速度发生变化时，我们需要计算它在这个方向上的伸长速度。

因此，了解关联速度和伸长速度之间的计算公式是非常重要的。

除了上面介绍的简单情况，实际问题中可能会涉及到更复杂的情况。

例如，当物体在不同方向上的速度都发生变化时，我们就需要使用矢量来表示它们的速度，然后再根据矢量的运算规则来计算它们的关联速度和伸长速度。

所谓关联速度就是两个通过某种方式联系起来的速度．比如一根杆上的两个速度通过杆发生联系，一根绳两端的速度通过绳发生联系．常用的结论有：1，杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方向的分速度．2，接触物系接触点速度的相关特征是：沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同．3，线状相交物系交叉点的速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和．4，如果杆（或张紧的绳）围绕某一点转动，那么杆（或张紧的绳）上各点相对转动轴的角速度相同·类型1 质量分别为ｍ1、ｍ2和ｍ3的三个质点Ａ、Ｂ、Ｃ位于光滑的水平桌面上，用已拉直的不可伸长的柔软轻绳ＡＢ和ＢＣ连接，∠ＡＢＣ＝π－α，α为锐角，如图５-１所示．今有一冲量Ｉ沿ＢＣ方向作用于质点Ｃ，求质点Ａ开始运动时的速度．（全国中学物理竞赛试题）图5-1 图5-２类型2 绳的一端固定，另一端缠在圆筒上，圆筒半径为Ｒ，放在与水平面成α角的光滑斜面上，如图５-２所示．当绳变为竖直方向时，圆筒转动角速度为ω（此时绳未松弛），试求此刻圆筒轴Ｏ的速度、圆筒与斜面切点Ｃ的速度．（全国中学生奥林匹克物理竞赛试题）类型3 直线ＡＢ以大小为ｖ1的速度沿垂直于AB的方向向上移动，而直线CD以大小为ｖ2的速度沿垂直于ＣＤ的方向向左上方移动，两条直线交角为α，如图5-３所示．求它们的交点Ｐ的速度大小与方向．（全国中学生力学竞赛试题）图5-３图5-４以上三例展示了三类物系相关速度问题．类型1求的是由杆或绳约束物系的各点速度；类型2求接触物系接触点速度；类型3则是求相交物系交叉点速度．三类问题既有共同遵从的一般规律，又有由各自相关特点所决定的特殊规律，我们若能抓住它们的共性与个性，解决物系相关速度问题便有章可循．首先应当明确，我们讨论的问题中，研究对象是刚体、刚性球、刚性杆或拉直的、不可伸长的线等，它们都具有刚体的力学性质，是不会发生形变的理想化物体，刚体上任意两点之间的相对距离是恒定不变的；任何刚体的任何一种复杂运动都是由平动与转动复合而成的．如图5-４所示，三角板从位置ＡＢＣ移动到位置Ａ′Ｂ′Ｃ′，我们可以认为整个板一方面做平动，使板上点Ｂ移到点Ｂ′，另一方面又以点Ｂ′为轴转动，使点Ａ到达点Ａ′、点Ｃ到达点Ｃ′．由于前述刚体的力学性质所致，点Ａ、Ｃ及板上各点的平动速度相同，否则板上各点的相对位置就会改变．这里，我们称点Ｂ′为基点．分析刚体的运动时，基点可以任意选择．于是我们得到刚体运动的速度法则：刚体上每一点的速度都是与基点速度相同的平动速度和相对于该基点的转动速度的矢量和．我们知道转动速度ｖ＝ｒω，ｒ是转动半径，ω是刚体转动角速度，刚体自身转动角速度则与基点的选择无关．根据刚体运动的速度法则，对于既有平动又有转动的刚性杆或不可伸长的线绳，每个时刻我们总可以找到某一点，这一点的速度恰是沿杆或绳的方向，以它为基点，杆或绳上其他点在同一时刻一定具有相同的沿杆或绳方向的分速度（与基点相同的平动速度）．因此，我们可以得到下面的结论．结论1 杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方向的分速度．我们再来研究接触物系接触点速度的特征．由刚体的力学性质及“接触”的约束可知，沿接触面法线方向，接触双方必须具有相同的法向分速度，否则将分离或形变，从而违反接触或刚性的限制．至于沿接触面的切向接触双方是否有相同的分速度，则取决于该方向上双方有无相对滑动，若无相对滑动，则接触双方将具有完全相同的速度．因此，我们可以得到下面的结论．结论2 接触物系接触点速度的相关特征是：沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同．相交物系交叉点速度的特征是什么呢?我们来看交叉的两直线ａ、ｂ，如图5-５所示，设直线ａ不动，当直线ｂ沿自身方向移动时，交点Ｐ并不移动，而当直线ｂ沿直线ａ的方向移动时，交点Ｐ便沿直线ａ移动，因交点Ｐ亦是直线ｂ上一点，故与直线ｂ具有相同的沿直线ａ方向的平移速度．同理，若直线ｂ固定，直线ａ移动，交点Ｐ的移动速度与直线ａ沿直线ｂ方向平动的速度相同．根据运动合成原理，当两直线ａ、ｂ各自运动，交点Ｐ的运动分别是两直线沿对方直线方向运动的合运动．于是我们可以得到下面的结论．图5-５结论3 线状相交物系交叉点的速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和．这样，我们将刚体的力学性质、刚体运动的速度法则运用于三类相关速度问题，得到了这三类相关速度特征，依据这些特征，并运用速度问题中普遍适用的合成法则、相对运动法则，解题便有了操作的章法．下面我们对每一类问题各给出3道例题，展示每一条原则在不同情景中的应用．例1 如图5-６所示，杆ＡＢ的Ａ端以速度ｖ做匀速运动，在杆运动时恒与一静止的半圆周相切，半圆周的半径为Ｒ，当杆与水平线的交角为θ时，求杆的角速度ω及杆上与半圆相切点Ｃ的速度．图5-6分析与解考察切点Ｃ的情况．由于半圆静止，杆上点Ｃ速度的法向分量为零，故点Ｃ速度必沿杆的方向．以点Ｃ为基点，将杆上点Ａ速度ｖ分解成沿杆方向分量ｖ1和垂直于杆方向分量ｖ2（如图5-７所示），则ｖ1是点Ａ与点Ｃ相同的沿杆方向平动速度，ｖ2是点Ａ对点Ｃ的转动速度，故可求得点Ｃ的速度为图5-7ｖＣ＝ｖ1＝ｖ·ｃｏｓθ，又ｖ2＝ｖ·ｓｉｎθ＝ω·ＡＣ．由题给几何关系知，Ａ点对Ｃ点的转动半径为ＡＣ＝Ｒ·ｃｏｔθ，代入前式中即可解得ω＝(ｖｓｉｎ2θ/(Ｒｃｏｓθ．例2 如图5-8所示，合页构件由三个菱形组成，其边长之比为3∶2∶1，顶点Ａ3以速度ｖ沿水平方向向右运动，求当构件所有角都为直角时，顶点Ｂ2的速度ｖB2．图5-8分析与解顶点Ｂ2作为Ｂ2Ａ1杆上的一点，其速度是沿Ｂ2Ａ1杆方向的速度ｖ1及垂直于Ｂ2Ａ1杆方向速度ｖ1′的合成；同时作为杆Ｂ2Ａ2上的一点，其速度又是沿Ｂ2Ａ2杆方向的速度ｖ2及垂直于Ｂ2Ａ2杆方向的速度ｖ2′的合成．由于两杆互成直角的特定条件，由图5-９显见，ｖ2＝ｖ1′，ｖ1＝ｖ2′．故顶点Ｂ2的速度可通过ｖ1、ｖ2速度的矢量和求得，而根据杆的约束的特征，得图5-9ｖ1＝(/２ｖＡ1；ｖ2＝(/２ｖＡ2，于是可得由几何关系可知ｖＡ1∶ｖＡ2∶ｖＡ3＝Ａ0Ａ1∶Ａ0Ａ2∶Ａ0Ａ3＝３∶５∶６，则ｖＡ1＝ｖ/２，ｖＡ2＝(５/６ｖ，由此求得ｖB2＝(/６ｖ．图5-10上述解析，我们是选取了速度为沿杆方向的某一点为基点来考察顶点Ｂ2的速度的．当然我们也可以选取其他合适的点为基点来分析．如图5-１０所示，若以Ａ1、Ａ2点为基点，则Ｂ2点作为Ｂ2Ａ1杆上的点，其速度是与Ａ1点相同的平动速度ｖＡ1和对Ａ1点的转动速度ｖｎ1之合成，同时Ｂ2点作为Ｂ2Ａ2杆上的点，其速度是与Ａ2点相同的平动速度ｖＡ2和对Ａ2点的转动速度ｖｎ2之合成，再注意到题给的几何条件，从矢量三角形中由余弦定理得而由矢量图可知ｖn1＝(/２（ｖA2－ｖA1），代入前式可得ｖB2＝(/６ｖ．两解殊途同归．例3 如图5-11所示，物体Ａ置于水平面上，物体Ａ上固定有动滑轮Ｂ,Ｄ为定滑轮，一根轻绳绕过滑轮Ｄ、Ｂ后固定在Ｃ点，ＢＣ段水平．当以速度ｖ拉绳头时，物体Ａ沿水平面运动，若绳与水平面夹角为α，物体Ａ运动的速度是多大?图5-11分析与解首先根据绳约束特点，任何时刻绳ＢＤ段上各点有与绳端Ｄ相同的沿绳ＢＤ段方向的分速度ｖ，再看绳的这个速度与物体Ａ移动速度的关系：设物体Ａ右移速度为ｖx，则相对于物体Ａ(或动滑轮B的轴心，绳上Ｂ点的速度为ｖx，即ｖBA＝ｖx，方向沿绳BD方向；而根据运动合成法则，在沿绳BD方向上，绳上B点速度是相对于参照系Ａ(或动滑轮B的轴心的速度ｖx与参照系Ａ对静止参照系速度ｖxｃｏｓα的合成，即ｖ＝ｖBA＋ｖxｃｏｓα；由上述两方面可得ｖx＝ｖ/(１＋ｃｏｓα．例4 如图5-１２所示，半径为Ｒ的半圆凸轮以等速ｖ０沿水平面向右运动，带动从动杆ＡＢ沿竖直方向上升，Ｏ为凸轮圆心，Ｐ为其顶点．求当∠ＡＯＰ＝α时，ＡＢ杆的速度．图5-12 图5-13分析与解这是接触物系相关速度问题．由题可知，杆与凸轮在Ａ点接触，杆上Ａ点速度ｖＡ是竖直向上的，轮上Ａ点的速度ｖ0是水平向右的，根据接触物系触点速度相关特征，两者沿接触面法向的分速度相同，如图5-13所示，即ｖＡｃｏｓα＝ｖ0ｓｉｎα，则ｖＡ＝ｖ0ｔａｎα．故ＡＢ杆的速度为ｖ0ｔａｎα．例5 如图5-14所示，缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光滑钉子Ａ上，以恒定的速度ｖ拉绳，当绳与竖直方向成α角时，求线轴中心Ｏ的运动速度ｖO．设线轴的外径为Ｒ，内径为ｒ，线轴沿水平面做无滑动的滚动．分析与解当线轴以恒定的速度v拉绳时，线轴沿顺时针方向运动．从绳端速度ｖ到轴心速度ｖO，是通过绳、轴相切接触相关的．考察切点Ｂ的速度：本题中绳与线轴间无滑动，故绳上Ｂ点与轴上Ｂ点速度完全相同，即无论沿切点法向或切向，两者均有相同的分速度．图5-１５是轴上Ｂ点与绳上Ｂ点速度矢量图：轴上Ｂ点具有与轴心相同的平动速度ｖO及对轴心的转动速度ｒω（ω为轴的角速度），那么沿切向轴上Ｂ点的速度为ｒω－ｖOsinα；而绳上Ｂ点速度的切向分量正是沿绳方向、大小为速度ｖ，于是有关系式，即图5-14 图5-15ｒω－ｖOｓｉｎα＝ｖ．①又由于线轴沿水平地面做纯滚动，故与水平地面相切点Ｃ的速度为零，则轴心速度为ｖO＝Ｒω，②由①、②两式可解得ｖO＝(Ｒｖ/(ｒ－Ｒｓｉｎα．若绳拉线轴使线轴逆时针转动，ｖO＝(Ｒｖ/(ｒ－Ｒｓｉｎα，请读者自行证明．例6 如图5-１６所示，线轴沿水平面做无滑动的滚动，并且线端Ａ点速度为ｖ，方向水平．以铰链固定于点Ｂ的木板靠在线轴上，线轴的内、外径分别为ｒ和Ｒ．试确定木板的角速度ω与角α的关系．图5-16 图5-17分析与解设木板与线轴相切于Ｃ点，则板上Ｃ点与线轴上Ｃ点有相同的法向速度ｖn，而板上Ｃ点的这个法向速度正是Ｃ点关于Ｂ轴的转动速度，如图５-17所示，即ｖn＝ω·ＢＣ＝ω·Ｒｃｏｔ(α/２．①现在再来考察线轴上Ｃ点的速度：它应是Ｃ点对轴心Ｏ的转动速度ｖＣn和与轴心相同的平动速度ｖO的矢量和，而ｖＣn是沿Ｃ点切向的，则Ｃ点法向速度ｖn应是ｖn＝ｖOｓｉｎα．②又由于线轴为刚体且做纯滚动，故以线轴与水平面切点为基点，应有ｖ/(Ｒ＋ｒ＝ｖO/Ｒ．③将②、③两式代入①式中，得ω＝(１－ｃｏｓα/(Ｒ＋ｒｖ．例7 如图5-18所示，水平直杆ＡＢ在圆心为Ｏ、半径为ｒ的固定圆圈上以匀速ｕ竖直下落，试求套在该直杆和圆圈的交点处一小滑环Ｍ的速度，设ＯＭ与竖直方向的夹角为φ．图5-18分析与解当小环从圆圈顶点滑过圆心角为φ的一段弧时，据交叉点速度相关特征，将杆的速度ｕ沿杆方向与圆圈切线方向分解，则Ｍ的速度为ｖ＝ｕ/ｓｉｎφ．例8 如图5-１９所示，直角曲杆ＯＢＣ绕Ｏ轴在如图5-19所示的平面内转动，使套在其上的光滑小环沿固定直杆ＯＡ滑动．已知ＯＢ＝10ｃｍ，曲杆的角速度ω＝０.５ｒａｄ／ｓ，求φ＝６０°时，小环Ｍ的速度．图5-19 图5-20分析与解本题首先应该求出交叉点Ｍ作为杆ＢＣ上一点的速度ｖ，而后根据交叉点速度相关特征，求出该速度沿ＯＡ方向的分量即为小环速度．由于刚性曲杆ＯＢＣ以Ｏ为轴转动，故其上与ＯＡ直杆交叉点的速度方向垂直于转动半径ＯＭ、大小是ｖ＝ω·Ｍ＝10ｃｍ／ｓ．将其沿ＭＡ、ＭＢ方向分解成两个分速度，如图5-20所示，即得小环Ｍ的速度为ｖＭ＝ｖＭＡ＝ｖ·ｔａｎφ＝10cm／s．例9 如图5-21所示，一个半径为Ｒ的轴环Ｏ1立在水平面上，另一个同样的轴环Ｏ2以速度ｖ从这个轴环旁通过，试求两轴环上部交叉点Ａ的速度ｖＡ与两环中心之距离ｄ之间的关系．轴环很薄且第二个轴环紧邻第一个轴环．图5-21 图5-22分析与解轴环Ｏ2速度为ｖ，将此速度沿轴环Ｏ1、Ｏ2的交叉点Ａ处的切线方向分解成ｖ1、ｖ2两个分量，如图5-22，由线状相交物系交叉点相关速度规律可知，交叉点Ａ的速度即为沿对方速度分量ｖ1．注意到图5-22中显示的几何关系便可得。

关联速度的问题【专题概述】1、什么就是关联速度:用绳、杆相连的物体,在运动过程中,其两个物体的速度通常不同,但物体沿绳或杆方向的速度分量大小相等,即连个物体有关联的速度。

2、解此类题的思路:思路(1)明确合运动即物体的实际运动速度(2)明确分运动:一般情况下,分运动表现在:①沿绳方向的伸长或收缩运动;②垂直于绳方向的旋转运动。

解题的原则:速度的合成遵循平行四边形定则3、解题方法:把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)与平行于绳(杆)两个分量,根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。

常见的模型如图所示【典例精讲】1、绳关联物体速度的分解典例1(多选) 如图,一人以恒定速度v0通过定滑轮竖直向下拉小车在水平面上运动,当运动到如图位置时,细绳与水平成60°角,则此时( )A.小车运动的速度为v0B.小车运动的速度为2v0C.小车在水平面上做加速运动D.小车在水平面上做减速运动2、杆关联物体的速度的分解典例2如图所示,水平面上固定一个与水平面夹角为θ的斜杆A.另一竖直杆B以速度v水平向左匀速直线运动,则从两杆开始相交到最后分离的过程中,两杆交点P的速度方向与大小分别为( )A. 水平向左,大小为vB. 竖直向上,大小为vtanθC. 沿A杆向上,大小为v/cosθD. 沿A杆向上,大小为vcosθ3、关联物体的动力学问题典例3 (多选)如图所示,轻质不可伸长的细绳绕过光滑定滑轮C与质量为m的物体A连接,A放在倾角为 的光滑斜面上,绳的另一端与套在固定竖直杆上的物体B连接.现BC连线恰沿水平方向,从当前位置开始B以速度v0匀速下滑.设绳子的张力为F T,在此后的运动过程中,下列说法正确的就是( )A. 物体A做加速运动B. 物体A做匀速运动C. F T可能小于mgsinθD. F T一定大于mgsinθ【总结提升】有关联速度的问题,我们在处理的时候主要区分清楚那个就是合速度,那个就是分速度,我们只要把握住把没有沿绳子方向的速度向绳方向与垂直于绳的方向分解就可以了,最长见的的有下面几种情况情况一:从运动情况来瞧:A的运动就是沿绳子方向的,所以不需要分解A的速度,但就是B运动的方向没有沿绳子,所以就需要分解B的速度,然后根据两者在绳子方向的速度相等来求解两者之间的速度关系。

运动的合成与分解——“关联”速度问题●问题概述：绳、杆等有长度的物体,在运动过程中,其两端点的速度通常是不一样的,但两端点的速度是有联系的,称之为“关联”速度。

关联速度的关系——沿杆(或绳)方向的速度分量大小相等。

●关键点：1.绳子末端运动速度的分解,应按运动的实际效果进行。

2.速度投影定理:不可伸长的杆(或绳),尽管各点速度不同,但各点速度沿绳方向的投影相同。

●例题：如图所示,人用绳子通过定滑轮拉物体A,当人以速度v0匀速前进时,物体A将做( )A.匀速运动B.加速运动B.C.匀加速运动 D.减速运动解题探究:①物体A的运动有两个运动效果,分别是什么?②将该物体的速度沿哪两个方向分解?●规律总结求解绳(杆)拉物体运动的合成与分解问题的思路和方法:①先明确合运动的方向：物体的实际运动方向②然后弄清运动的实际效果：沿绳或者杆的伸缩效果；使绳子或者杆转动的效果。

③再确定两个分运动的方向：沿着绳子（杆）、垂直于绳子（杆）●常见的模型●巩固练习1、如图所示，人以水平速度v跨过定滑轮匀速拉动绳子，当拉小车的绳子与水平地面的夹角为β时，小车沿水平地面运动的速度为( )A．V B.vcosβC.vsinβD．v cosβ2、如图所示，纤绳以恒定速率v1沿水平方向通过定滑轮牵引小船靠向岸边，设小船速度为v2，则小船靠岸过程的运动情况是( )A．加速靠岸，v2＞v1 B．加速靠岸，v2＜v1C．减速靠岸，v2＞v1 D．匀速靠岸，v2＜v13、两根光滑的杆互相垂直地固定在一起,上面分别穿有一个小球,小球a、b间用一细直棒相连,如图所示。

当细直棒与竖直杆夹角为θ时,两小球实际速度大小之比为( )A.sinθB.cosθC.tanθD.cotθ4、如图所示，物体A以速度v沿杆匀速下滑，A用细绳通过定滑轮拉物体B，当绳与水平夹角为θ时，B的速度为（）A．v cosθ B．v sinθC．v/cosθ D．v/sinθ5、（不定项）如图所示，在水平地面上做匀速直线运动的小车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体，若小车和被吊的物体在同一时刻速度分别为1v 和2v ，绳子对物体的拉力为T ，物体所受重力为G ，则下面说法正确的是( )A ．物体做匀速运动，且v 1=v 2B ．B ．物体做加速运动，且v 1>v 2C ．物体做加速运动，且T>GD ．物体做匀速运动，且T ＝G6、如图所示，套在竖直细杆上的环A 由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B 相连。

速度关联问题常见模型与解题方法1. 速度与时间的关系1.1 速度、时间与距离的基本关系速度问题就像是生活中的“速食餐”，简单快捷但又能让你饱腹。

要搞懂速度问题，我们得知道几个基本概念：速度、时间和距离。

速度就像你开车的速度，时间是你开车的时长，距离则是你走过的路。

公式是这样的：距离等于速度乘以时间。

简单吧？比如说，你开车的速度是60公里每小时，开了2小时，那你就跑了120公里。

这个公式很基础，却是解题的“必杀技”。

1.2 常见的速度问题类型有时候，速度问题就像是刮风的日子，复杂又不确定。

比如说，两个小伙伴一起跑步，一个跑得快，一个跑得慢，他们要怎么才能赶到同一个地点？这时候，你得用到“相对速度”了。

相对速度就是两者之间的速度差。

比如说，甲和乙一前一后跑，甲的速度是5米每秒，乙的速度是3米每秒，那他们之间的相对速度就是2米每秒。

这种问题看似简单，但解决起来却需要耐心和细心。

2. 速度与其他因素的关系2.1 速度与加速度的关系说到加速度，这就像是在开车的时候突然踩油门，车子一下子就飞了起来。

加速度就是速度变化的快慢，越大表示速度变得越快。

公式是这样的：加速度等于速度变化量除以时间。

如果你车子的速度从0到60公里每小时用了5秒，那加速度就是12公里每小时每秒。

这种计算常见于物理题目里，不过有时候它就像是恶作剧一样，搞得你一头雾水。

2.2 速度与阻力的关系我们生活中常常会碰到阻力，比如走在风中感觉特别累，或者水里的游泳感觉有些费劲。

阻力就是影响速度的那个“无形敌人”。

在物理问题中，阻力会影响物体的速度，导致物体的运动变得缓慢。

阻力的计算有点儿复杂，通常需要考虑很多因素，比如物体的形状、表面光滑程度等。

不过，掌握了这些，你就能在遇到实际问题时得心应手。

3. 解题方法与技巧3.1 基本公式的应用速度问题最基础的解题方法就是用公式。

公式就像是你的“万用工具”，简单易懂却功能强大。

只要你把公式运用熟练了，各种速度问题就像是手到擒来的小猫咪。

高中物理关联速度教案教学目标：1. 掌握速度的定义和计算方法；2. 了解速度和加速度的关系；3. 能够应用速度和加速度的知识解决实际问题。

教学重点：1. 速度的定义和计算方法；2. 速度和加速度的关系。

教学难点：1. 理解速度和加速度的物理意义；2. 运用速度和加速度的知识解决复杂问题。

教学过程：一、导入（5分钟）通过展示一段视频或图片，引起学生对速度的兴趣，引出本节课的教学内容。

二、速度的定义和计算方法（15分钟）1. 讲解速度的定义：速度是描述一个物体在单位时间内所改变位置的量。

2. 介绍速度的计算方法：速度=位移÷时间，单位是米/秒。

3. 给出几个例题，让学生通过计算来求解物体的速度。

三、速度和加速度的关系（15分钟）1. 讲解速度和加速度的关系：速度是描述一个物体在单位时间内的位移变化情况，而加速度是描述速度在单位时间内的变化情况。

2. 解释速度和加速度的物理意义：速度表示物体运动的快慢和方向，加速度表示速度的变化率。

3. 通过实验或示意图展示速度和加速度的关系。

四、应用练习（15分钟）1. 给出几个复杂的问题，让学生运用速度和加速度的知识来解决。

2. 进行讨论和检查，帮助学生加深理解。

五、作业布置（5分钟）布置相关练习题目，要求学生独立完成，并在下节课前提交。

教学反思：通过这节课的教学，学生能够了解速度的基本概念，掌握速度和加速度的计算方法，并能够运用所学知识解决实际问题。

在教学过程中，要注重引导学生思考和讨论，激发他们的学习兴趣，提高学生的学习效果。

关联速度公式
关联速度公式是指在计算机网络中，从一个节点到另一个节点之间的数据传输速率。

这个速率通常是以每秒传输的比特数（bps）来计算的。

关联速度公式的计算包括数据包传输的时间、传输的数据量以及传输过程中出现的错误等多个因素。

在计算关联速度的过程中，需要使用以下公式：
速率= 数据包大小 ÷传输时间
其中，数据包大小指的是数据传输过程中，每个数据包所包含的数据量；传输时间则是数据包从发送端到接收端所需的时间。

在实际应用中，我们通常会通过测试来确定网络的关联速度。

测试方法一般包括以下步骤：
1. 选择合适的测试工具进行下载，例如Speedtest、iPerf等。

2. 确定用于测试的数据传输量。

一般情况下，可以选择一个文件或者一个网站进行测试。

3. 进行测试并记录测试结果。

在测试过程中，需要注意一些因素对测试结果的影响，如网络拥堵、
网络质量不佳等。

为了确保测试准确性，我们还可以进行多次测试，取平均值来评估网络的实际关联速度。

总之，关联速度公式是计算网络传输速度的重要公式，它能够帮助我们评估网络性能并提高网络通信质量。

关联速度模型的知识点总结1. 速度模型的定义速度模型是描述地球内部介质物理性质的一种模型，主要包括地震波速度、密度等信息。

地下介质是非均匀的，在地震波传播过程中，不同介质的物理性质会对地震波产生不同的影响，速度模型可以帮助我们了解地下介质的结构和性质，为地震成像、地质勘探等提供重要的信息。

2. 速度模型的构建方法速度模型的构建是地球物理勘探的重要环节，通常通过地震资料处理和解释来获得地下介质的速度信息。

构建速度模型的一般方法包括：（1）地面观测和数据采集：通过地震仪器在地面上进行观测和数据采集，获取地震波的传播信息；（2）数据处理和解释：对采集到的地震数据进行处理和解释，包括地震波反演、速度分析等方法，以获得地下介质的速度信息；（3）速度模型构建：根据处理和解释得到的地下介质速度信息，构建地下介质的速度模型，通常采用层状模型或者复杂模型来描述地下介质的速度分布。

3. 速度模型的应用领域速度模型在地球物理勘探和地下水资源开发等领域有着广泛的应用，具体应用包括：（1）地震勘探：在地震勘探中，速度模型主要用于地震成像和地震定位，通过对地下介质速度分布的分析，可以获得地下构造和岩层信息，为油气勘探和矿产勘探提供重要的地质信息；（2）地震成像：速度模型在地震成像过程中起着重要作用，通过对地下介质速度信息的分析，可以获得地震波的传播路径和反射界面的信息，从而实现地下介质的成像；（3）地下水资源开发：速度模型在地下水资源勘探和开发中也有重要应用，通过对地下介质速度分布的分析，可以预测地下水的分布和运移规律，为地下水资源的开发和管理提供重要的参考信息。

4. 速度模型的影响因素速度模型的构建和应用受到许多因素的影响，主要包括：（1）地质背景：地下介质的地质背景对速度模型的构建和应用有着重要影响，不同的地质背景会导致地下介质的速度分布和反射特征不同；（2）地震波类型：不同类型的地震波，在地下介质中的传播特点和速度分布也会有所不同，这对速度模型的构建和应用有一定影响；（3）数据质量：速度模型的构建和应用需要大量的地震数据支撑，数据的采集质量和处理方法会直接影响速度模型的准确性和可靠性；（4）模型参数：速度模型的构建需要估计不同地层的速度和密度等参数，这些参数的准确性和选择方法会影响速度模型的准确性和适用性。

物理关联速度
物理关联速度指的是在物理学中，两个物体之间存在的某种关联关系，可以通过比较它们之间的运动速度来确定。

这种速度可以用来描述两个物体之间的相对运动状态，以及它们之间的距离和时间的变化规律。

在物理学中，有许多不同类型的关联速度。

例如，当两个物体之间存在引力关系时，它们之间的关联速度就是它们之间的相对速度。

这个速度是由牛顿万有引力定律所描述的，可以用来计算它们之间的引力大小和方向。

另一个例子是电磁场的关联速度。

当两个带电粒子之间存在电磁相互作用时，它们之间的关联速度就是它们之间的相对速度。

这个速度可以用来描述它们之间的电荷大小和方向，以及它们之间产生的电磁力的大小和方向。

物理关联速度在许多领域都有应用，包括航天、机械工程、物理学等。

例如，在航天领域中，科学家们需要计算两个行星之间的关联速度，以确定它们之间的距离和轨道。

在机械工程中，工程师们需要计算两个运动部件之间的关联速度，以确保它们的运动是同步的。

因此，物理关联速度是物理学中非常重要的一个概念。

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专题03 关联速度模型1.“关联”速度关联体一般是两个或两个以上由轻绳或轻杆联系在一起，或直接挤压在一起的物体，它们的运动简称为关联运动。

一般情况下，在运动过程中，相互关联的两个物体不是都沿绳或杆运动的，即二者的速度通常不同，但却有某种联系，我们称二者的速度为“关联”速度。

2.“关联”速度分解的步骤(ⅰ)确定合运动的方向：物体实际运动的方向就是合运动的方向，即合速度的方向。

(ⅰ)确定合运动的两个效果。

用轻绳或可自由转动的轻杆连接的物体的问题―→⎩⎪⎨⎪⎧效果1：沿绳或杆方向的运动效果2：垂直绳或杆方向的运动相互接触的物体的问题―→⎩⎪⎨⎪⎧效果1：垂直接触面的运动效果2：沿接触面的运动(ⅰ)画出合运动与分运动的平行四边形，确定它们的大小关系。

3.常见的速度分解模型 (1)绳牵联模型单个物体的绳子末端速度分解：如图甲所示，v ⅰ一定要正交分解在垂直于绳子方向，这样v ⅰ的大小就是拉绳的速率，注意切勿将绳子速度分解。

甲 乙两个物体的绳子末端速度分解：如图乙所示两个物体的速度都需要正交分解，其中两个物体的速度沿着绳子方向的分速度是相等的，即v A ⅰ＝v B ⅰ。

如图丙所示，将圆环的速度分解成沿绳方向和垂直于绳方向的分速度，B 的速度与A 沿绳方向的分速度相等，即v A ⅰ＝v B ⅰ。

丙 丁 (2)杆牵联模型如图丁所示，将杆连接的两个物体的速度沿杆和垂直于杆的方向正交分解，则两个物体沿杆方向的分速度大小相等，即v A ⅰ＝v B ⅰ。

【模型演练1】（2024上·甘肃兰州·高一兰州一中校考期末）如图在水平力F 作用下，物体B 沿水平面向左运动，物体A 恰好匀速下降。

以下说法正确的是（ ）【答案】C【详解】AB ．由于绳不可伸长，故B 沿绳方向的分速度等于A 的速度，即B A cos v v α=A 匀速下降过程，α在增大，故B v 增大，即物体B 正向左做加速运动，由三角函数关系可知，并不是匀加速运动，故AB 错误；C ．A 匀速下降，绳上拉力T 不变，B 在竖直方向平衡，满足B sin N m g T α=-可知N 减小，由f N μ=可知，地面对B 的摩擦力减小，故C 正确； D ．斜绳与水平方向成30°角时，代入关系式B A cos v v α=得示位置时，两绳子与水平面的夹角分别为30β=、60α=则（ ）A ．当β由30增大到45过程中，A 的平均速度小于vB ．当β由45增大到60过程中，A 的平均速度大于vC ．当β由30增大到45过程中，绳中拉力先减小后增大D ．当β由45增大到60过程中，绳中拉力先减小后增大 330tan 45hh h -=-2230sin 60h h h +=+221)0.8445tan 60hh h x --≈>的位移大，故A 的平均速度大于v ，故45增大到60过程中，有30增大到45过程中，．物体B以速度v向右匀速运动，根据平衡条件与53)3730增大到45过程中，绳中拉力先减小后增大，当45增60过程中，绳中拉力一直增大，故正确，D错误。

关联速度知识点总结一、速度的定义速度是一个矢量，它具有大小和方向。

在物理学中，速度通常用矢量表示，它的大小即速率，是描述物体单位时间内移动的距离；而方向则表示物体向着哪个方向移动。

通常用符号v表示速度，速度的单位可以是米/秒(m/s)、千米/小时(km/h)等。

二、不同类型的速度1. 瞬时速度瞬时速度是指物体在某一瞬间的速度。

即在某一时刻，我们可以通过计算物体在该时刻的位移和时间的比值，来得到物体在该时刻的瞬时速度。

用数学表示即为v=lim(Δs/Δt)，其中Δs表示位移，Δt表示时间。

当Δt趋近于0时，就是瞬时速度。

2. 平均速度平均速度是指物体在一段时间内的平均速度。

这段时间内，物体移动的总距离除以总时间，就得到了物体的平均速度。

用数学表示为v=Δs/Δt，其中Δs表示总位移，Δt表示总时间。

3. 相对速度相对速度是指两个物体之间相对运动的速度。

当两个物体互相靠近或远离时，它们之间的速度就是相对速度。

相对速度的计算方法比较简单，可以通过两个物体的速度相减来得到。

4. 绝对速度绝对速度是指物体相对于地面或其他基准点的速度。

通常情况下，我们讨论的速度都是相对于地面的速度，即绝对速度。

三、速度的计算1. 瞬时速度的计算：根据瞬时速度的定义，我们可以通过计算物体在某一时刻的位移和时间的比值，来得到物体在该时刻的瞬时速度。

2. 平均速度的计算：平均速度的计算比较简单，就是通过计算物体在一段时间内的总位移和总时间的比值来得到。

3. 相对速度的计算：相对速度的计算比较简单，可以通过两个物体的速度相减来得到。

四、与速度相关的其他物理量1. 位移位移是一个矢量，它描述了物体从一个位置到另一个位置的距离和方向。

位移和速度有着密切的关系，速度是位移与时间的比值。

2. 加速度加速度是描述物体速度变化的物理量，它是速度的变化率。

加速度和速度之间也有着密切的关系，即速度的变化率就是加速度。

3. 时间时间是一个描述事件发生顺序的物理量，速度是描述物体运动过程的物理量，它们之间的关系是物体运动的距离与所用时间的比值。

高一物理必修二【关联速度问题】专题1．“关联”速度关联体一般是两个或两个以上由轻绳或轻杆联系在一起的物体，它们的运动简称为关联运动。

一般情况下二者的速度通常不同，但却有某种联系，我们称二者的速度为“关联”速度。

2．“关联”速度分解的步骤(1)确定合运动的方向：物体实际运动的方向就是合运动的方向，即合速度的方向。

(2)确定合运动的两个效果效果1：沿绳或杆方向的运动；效果2：垂直绳或杆方向的运动。

(3)画出合运动与分运动的平行四边形，确定它们的大小关系。

3．常见的速度分解情形(如图所示)(多选)如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d。

现将小环从与定滑轮等高的A处由静止释放，当小环沿直杆下滑距离也为d时(图中B处)，下列说法正确的是(重力加速度为g)()A．小环刚释放时轻绳中的张力一定大于2mgB．小环到达B处时，重物上升的高度为(2－1)dC．小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于2 2D．小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于 2[思路点拨](1)由题图显示的几何关系，可找出重物上升的高度。

(2)小环实际上是沿杆下落，该运动是合运动，绳的运动是分运动。

(3)绳子绕过定滑轮与重物相连，所以重物上升速度的大小等于小环沿绳方向的分速度的大小。

[解析]小环释放后，其下落速度v增大，绳与竖直杆间的夹角θ减小，而v1＝v cos θ，故v1增大，由此可知小环刚释放时重物具有向上的加速度，绳中张力一定大于2mg，A项正确；小环到达B处时，绳与直杆间的夹角为45°，重物上升的高度h＝(2－1)d，B项正确；如图所示，将小环速度v进行正交分解，则v1＝v cos 45°＝22v，所以小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于2，C项错误，D项正确。

[答案]ABD[名师点评]“四步”巧解关联速度问题第一步：先确定合运动，物体的实际运动就是合运动；第二步：确定合运动的两个实际作用效果，一是使绳或杆伸缩的效果，二是使绳或杆转动的效果；第三步：按平行四边形定则进行分解，作出运动矢量图；第四步：根据沿绳(或杆)牵引方向的速度相等列方程。

9、速度关联问题 题型一、 杆端关联【例题1】如图所示，A 、B 两小球用轻杆连接，A 球只能沿内壁光滑的竖直槽运动，B 球处于光滑水平面内。

开始时杆竖直，A 、B 两球静止。

由于微小的扰动，B 开始沿水平面向右运动。

当轻杆与水平方向的夹角为θ时，A 球的速度v A 与B 球的速度v B 满足的关系是（ ）A. v A =v B ·cot θB. v A =v B ·tan θC. v A =v B ·sin θD. v A =v B ·cos θ〖变式1—1〗如图所示，A 、B 两小球用轻杆连接，A 球只能沿内壁光滑的竖直槽运动，B 球处于光滑水平面内。

开始时杆竖直，A 、B 两球静止。

由于微小的扰动，B 开始沿水平面向右运动。

在A 球下滑到底端的过程中，下列选项正确的是（ ）A.B 球的速度先增大后减小B. B 球的速度先减小后增大C.A 球到达竖直槽底部时，B 球的速度为0D. A 球到达竖直槽底部时，B 球的速度不为0〖变式1—2〗在光滑的水平面内建立如图所示的直角坐标系，长为L 的光滑细杆AB 的两个端点A 、B 被分别约束在x 轴和y 轴上运动，现让A 沿x 轴正方向以v 0匀速运动，已知P 点为杆的中点，当杆AB 与x 轴的夹角为θ时，下列关于P 点的运动轨迹或P 点的运动速度大小v 的表达式正确的是（ ）A ．P 点的运动轨迹是一条直线B ．P 点的运动轨迹是圆的一部分C ．P 点的运动速度大小v =v 0·tan θD ．P 点的运动速度大小v =v 02sin θ【例题2】如图所示，AB 杆以恒定角速度ω绕A 点由竖直位置开始顺时针旋转，并带动套在固定水平杆OC 上的小环M 运动。

则小环M 的速度大小变化情况是（小环仍套在AB 和OC 杆上）（ ）A.保持不变B. 一直增大C.一直减小D. 先增大后减小〖变式2—1〗如图所示的装置中，AB 杆水平固定，另一细杆可绕AB 杆上方距AB 杆高为h 的O 轴以角速度ω转动，两杆都穿过P 环。