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大学概率论随机事件与概率ppt课件

大学概率论随机事件与概率ppt课件
设10件产品中有3件次品现无放回的抽取2件在第一次抽到次品的条件下northuniversitychina上一页上一页下一页下一页回回结结录录第一章随机事件与概率概率统计电子教案二乘法公式12131211nnpapaapaaapaaanorthuniversitychina上一页上一页下一页下一页回回结结录录第一章随机事件与概率概率统计电子教案1212paaaa1212paapaa无放回取球求northuniversitychina上一页上一页下一页下一页回回结结录录第一章随机事件与概率概率统计电子教案ababababnorthuniversitychina上一页上一页下一页下一页回回结结录录第一章随机事件与概率概率统计电子教案第i个人摸到黑球i12
随机现象的统计规律性
随机现象在相同条件下进行大量观察或试验时出现 的结果的规律性.
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
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《概率统计》电子教案
第一章 随机事件与概率
概率论是一门研究客观世界随机现象统计
规律的 数学分支学科.
数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、
7. 研究化学反应的时变率，要以《马尔
可夫过程》 来描述;
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
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《概率统计》电子教案
第一章 随机事件与概率
8. 许多服务系统，如电话通信、船舶
装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、
水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都
可用一类概率模型来描述，其涉及到 的知
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
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《概率统计》电子教案

北邮概率论讲议 第9讲

北邮概率论讲议 第9讲

2
tx
根据控制收敛定理，有：
G x lim Gx 2x Gx
x0
2x

1

lim
eit xx sintx
t dt
1

e itx t dt
2 x0
tx
2
同理：G x
2 x1 l l
it
2020/1/6
北京邮电大学电子工程学院
13
定理 4 .1 .2 设F1x，F2x是两个分布函数，1t， 2 t 是 其 相 应 的 特 征 函 数 ，则 ：
F1x F2x 1t 2t
证明：“”设F1x F2 x，则有：
2020/1/6
北京邮电大学电子工程学院
15
推 论 若 t 是特征函数，则有唯一的分布函数F x 存在，使得 t 是F x的特征函数。
综上所述，我们知道分布函数Fx1 1t，因此对
分布函数的研究可以转化为对特征函数的研究。
2020/1/6
北京邮电大学电子工程学院
北京邮电大学电子工程学院
17
证明：令：Gx 1 F x F x 0
2
（1）首先证明G' x 存在，且G' x 1 e itx t dt
2
先证G x 存在，且G x 1 e itx t dt
1 t


e
itx
dF1
x



e
itx
dF2
x
2
t
“”设1t 2t ，则有：
F1x2 0 F1 x2 0 F1 x1 0 F1 x1 0

北邮概率统计课件3

北邮概率统计课件3
公式
在统计学、决策理论、机器学习等领域中经常用到条件期望，特别是在回归分析和预测中。
应用场景
离散型条件方差
应用场景
在统计学、决策理论、机器学习等领域中经常用到条件方差，特别是在回归分析和预测中。
定义
在离散型随机变量中，给定某些信息后，随机变量的方差称为条件方差。
公式
$Var(X|Y=y) = sum (x-mu)^2 times P(X=x|Y=y)$，其中 $mu$ 是条件期望 $E(X|Y=y)$。
当事件A和事件B相互独立时，条件概率等于联合概率，即P(B|A)=P(B)。
条件分布与联合分布的关系
联合分布描述了多个事件同时发生的概率，而条件分布描述了在某个特定事件发生时，其他事件发生的概率。 联合分布和条件分布在描述事件之间的概率关系时是互补的，它们一起构成了完整的概率描述。 在实际应用中，条件分布在贝叶斯推断、统计决策等领域有广泛的应用。
在统计推断、贝叶斯推断、马尔科夫链蒙特卡洛方法等领域中，条件概率密度函数有着广泛的应用。
连续型条件期望
条件期望是在给定某个随机变量或随机向量取值的条件下，另一个随机变量的期望值。对于连续型随机变量，条件期望描述了在给定另一随机变量值的条件下，该随机变量的期望值。
定义
在统计推断、回归分析、时间序列分析等领域中，条件期望有着广泛的应用。
PART TWO
离散型条件分布
3.1关键技术 3.2技术难点 3.3案例分析
离散型条件概率
定义
在离散型随机变量中，给定某些信息后，随机事件发生的概率称为条件概率。
公式
$P(A|B) = frac{P(A cap B)}{P(B)}$，其中 $P(A cap B)$ 是事件 $A$ 和 $B$ 同时发生的概率，$P(B)$ 是事件 $B$ 发生的概率。

北邮概率统计课件2.2离散型随机变量的概率分布(分布律)

北邮概率统计课件2.2离散型随机变量的概率分布(分布律)
4 5 4 5 5 5 0
0.98
2013-8-9
概率统计
北邮概率统计课件
(2). 二项分布 若用X表示 n 重贝努利概型中事件A 发生的次数， 它的分布 律为：
k Pn (k) Cn pk(1 p n k )
k ,2 0,1
n
则称 X 服从参数为 n, p (0<p<1) 的二项分布，
2013-8-9
概率统计
北邮概率统计课件
2 贝努利概型: 设随机试验 E 只有两种可能的结果
P( A) p, P( A) 1 p q (0 p 1)
且在每次试验中 A与A 出现的概率 为：
0 .
则称这样的 n 次重复独立试验概型 为：n 重贝努利概型. 例5. 设生男孩的概率为 p， 生女孩的概率为 q=1-p， 令 X 表示随机抽查出生的4个婴儿 中“男孩”的个数.
Pk
0
...
n=10,p=0.7
n
2013-8-9
概率统计
北邮概率统计课件
当(n+1)p为整数时 概率P(X=k) 在k=(n +1)p 和 k=(n+1)p-1处 达到最大值.
Pk
.. 0
.. n
n=13,p=0.5
当 (n+1)p 不为整数时，概率 P(X=k) 在 k=[(n+1)p] 达到最大值
p p p (1 p)(1 p) (1 p) p (1 p)
k k n k
2013-8-9 北邮概率统计课件
n k
概率统计
由于现在只考虑事件A 在n 次试验中发生 k 次而不论
k Cn 种不同的发生方式. 在哪 k 次发生,所以它应有

北邮概率论讲议-第6讲

北邮概率论讲议-第6讲

F| y | x
y f x, v dv
f
x,v dv
y f x,v f x dv
为
x条件下的条件分布函数。并称f| y | x
f x, y f x
为 x条件下的条件分布密度。
2024/9/22
11
例：设二维随机变量旳联合密度为：
f (x,
y)
e y 0
x x
x x x x
x x
y
f
f
u, v dvdu u, v dvdu
2024/9/22
10
利用中值定理，有：
y f x,v dv
F| y | x
f x, v dv
定 义 2. 4. 6 若f
x,
y是 , 的分布密度，且
f
x,
y dy
0，
f x, y在 x, y处连续，定义：
y
dx1 f x1 , z x1 dz
y
f
x1 ,
z
x1
dx1
dz
所以的分布密度是：
f y f x1 , y x1 dx1
2024/9/22
17
若1, 2相互独立，则=1+2旳分布密度为：
f y
f
x1 , y x1 dx1
j 1
2024/9/22
21
定理2.5.3 设n维随机变量 =(1, ,n )的分布密度为f ( x1,
n元函数g j ( x1, , xn )( j 1, , n)满足条件： （1）存在惟一的反函数，即方程组
, xn ),
y j g j ( x1, , xn )( j 1, , n) (2.5.5) 如果有解就存在惟一的实数解x j x j ( y1, , yn )( j 1, , n); (2)g j ( x1, , xn )和x j ( y1, , yn )都是连续函数；

北邮概率论讲议 第9讲

北邮概率论讲议 第9讲

北京邮电大学电子工程学院
5
例7
设1，
的联合概率密度为：
2
f
x,
y
1 4
1
xy
x2 y2
0
x 1, y 1 其它
以 i(t)表i的特征函数，i=1，2，且 = 1 +
2的特征函数为 (t) ，证明： (t) = 1(t)
2 (t) ，但1， 2不独立。
该例子说明特征函数的性质（4）的逆不成立。
北京邮电大学电子工程学院
12
证明：因涉及到Fubini定理等知识，因此略
由逆转公式，在F x的连续点上（令x2 x）， 当x1沿F x的连续点 ，有：
F x 1 lim lim l eitx1 eitx t dt
，
k
则的特征
k 1
n
函数为 t k t k 1
证明：当n 2时证明结论成立
t E eit E eit12 E e e it1 it2
E eit1 E eit2 1 t 2 t
一般情况可用数学归纳法证明，略
2020/6/24
北京邮电大学电子工程学院
2020/6/24
北京邮电大学电子工程学院
6
证明：1，
的边沿分布密度为：
2
f1
x
1
1
1
4
1
xy
x2 0
y2
dy
1 2
x 1 其它
1
f2
y
1 4
1
xy
x2
y2
1
0
dy
1 2
y 1 其它
即1，2均在 1,1均匀分布，但：
f1 x f2 y
1 4

第一讲概率论与随机过程概率论与随机过程精品课件完美版

第一讲概率论与随机过程概率论与随机过程精品课件完美版


知识到哪里去?
如何运用概率论与随机过程的理论知识解决通信 中的实际问题？

举例说明
..\2005\应用举例.ppt
2017/11/2 北京邮电大学电子工程学院 3
第一章 概率空间
首先，回顾初等概率论的一些基本概念：

随机试验 E ，满足如下条件： 在相同条件下可重复进行； 一次试验结果的随机性——不可预知性； 全体可能结果的可知性。 样本空间Ω——随机试验所有可能的结果组成的集合。 样本点 ——Ω中的元素。 随机事件——样本空间Ω的子集合，称为事件。 基本事件——Ω中每个样本点所构成的单点集。 必然事件——Ω本身。 不可能事件——不包含任何元素的空集合Φ。
2017/11/2 北京邮电大学电子工程学院 10
第一节 集合代数和σ -代数
二、包含某一集合类的最小σ -代数
C是由Ω的一些子集组成的非空集合类，那么至 少存在一个σ -代数包含C。为什么？
。 由于 F 是一个σ -代数，且C F
是否存在最小的σ -代数？若存在，是否唯一？
2017/11/2
F的结构？在F上的概率如何构造？这是本章将要讨论的主 要问题，为此我们必须引入测度论的概念。
2017/11/2 6
北京邮电大学电子工程学院
第一节 集合代数和σ -代数
一、集合代数和σ -代数
定义1.1.1 设Ω是任一非空集合， A是由Ω的一些子集组成 的非空集合类，若A满足：
1. Ω A ；
2. 若AA ，有 A A （余运算封闭）； 3. 若 A, B ∈ A ，有 A B A （有限并运算封闭）； 则称A是Ω上的一个集合代数，简称集代数。 容易证明集代数对有限交运算也封闭，即：

北邮概率统计课件 1.1随机试验

北邮概率统计课件 1.1随机试验

11/13
12/13
第一章
概率论的基本概念
§1
随机试验
13/13
科学实验 或者对某一事物的某一特征进行观察
E1: 抛一枚硬币，观察正面 H、反面 T 出现的情况 E2 : 将一枚硬币连抛三次，观察正面 H出现的次数 E3: 掷一颗骰子，观察出现的点数 E4 : 从一批产品中抽取 n 件，观察次品出现的数量 E5 : E6 :
第一章 概率论的基本概念
4/13
概率论最早是从赌博(博弈)游戏开始的. 博弈游戏产生于人类已有数千年历史了.考古工作者 在公元前3500年的一座埃及古墓中发现古埃及人在一种 “猎犬与豺狼”的板盘游戏中,用投掷距骨的结果决定猎 犬与豺狼移动的步数. 骰子是在距骨之后发现的,伊拉克北部曾发现一颗陶 制的骰子,据推断距今已有3000年历史.它对面的点数是2 和3,4和5,1和6.现在人们使用的对面点数之和为7的骰子 大约出现在公元前1400年左右.纸牌的出现更晚一些.这些 器具不仅用于赌博,还用于占卜和算命. 公元960年意大利主教韦伯尔德(Wibold)把人的品德 归纳为56种,算命者掷3颗骰子,主教就告诉他的品德是什 么.这说明当时人们已经会计算排列组合问题了.
第一章
概率论的基本概念
对某厂生产的电子产品进行寿命测试 观察某地区的日平均气温和日平均降水量
这些试验有什么特点 试验前无法预知结果
第一章 概率论的基本概念
§1
随机试验
14/13
试验可以在相同的条件下重复进行 试验的结果可能不止一个，但试验前知道所 有可能的全部结果 在每次试验前无法确定会出现那个结果 具有上述特征的试验称为随机试验 ,简称试验 EN
(r / 2) 2 p 1 r2 4

北邮概率统计课件34相互独立的随机变量

北邮概率统计课件34相互独立的随机变量
F ( x, y )

x a
x


y
f ( x, y ) dxdy
y d c

b


y
c
1 dxdy (b a )(d c )
o
a

x
( x a )( y c ) (b a )(d c )
2019/2/8
概率统计Biblioteka 课件当 x b , c y d时:
所求为 ：P( |X - Y | 5 ) 及 P( X < Y )
2019/2/8
概率统计
课件
解: P(| X-Y| 5)
y
60
40

= P( -5 X -Y 5 )
[
15 45 x5 x 5
x y 5 x y5
1 dy] dx 1800
10
=1/6
2 1 2 3 4 12
2019/2/8
概率统计
课件
P11 P( X 1,Y 1) P ( X 1) P (Y 1)
1 1 1 3 4 12
X
Y
1
2
3
依次可得 (X,Y) 的联合分布律为:
0 1
2 12 1 12
4 12 2 12
2 12 1 12
2019/2/8
概率统计
课件
★ 在某一分钟的任何时刻，信号进入收音机是等可 能的. 若收到两个互相独立的这种信号的时间间隔 小于0.5 秒，则信号将产生互相干扰. 求：发生两信号互相干扰的概率.
★ 把长度为a 的线段在任意两点折断成为三线段 求：它们可以构成三角形的概率. 长度为a

北邮概率论1-4(new)

北邮概率论1-4(new)
24
由此可以形象地把全概率公式看成为
“由原因推结果”，每个原因对结果的发 生有一定的“作用”，即结果发生的可能 性与各种原因的“作用”大小有关. 全概 率公式表达了它们之间的关系 .
A3 A1
B
A4 A2
A7
A5 A6
A8
诸Ai是原因 B是结果
25
贝叶斯公式：
设A1,A2,…,An是试验E的样本空间Ω 的一个划 分，且P(Ai)>0，i =1,2,…,n, B是任一事件且 P(B)>0, 则
n
P( Ai | B) P( Ai )P(B｜Ai ) P( Aj )P(B｜Aj )
j 1
i 1,2,, n
该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它 是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导 致B发生的每个原因的概率.
26
例 盒中12个新乒乓球，每次比赛从盒中任取3 个球，用后放回。第三次比赛时3个球，取到3个 新球的概率。
它的理论和实用意义在于: 在较复杂情况下直接计算P(B)不易,但B总是 伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai 往往可以简化计算.
23
我们还可以从另一个角度去理解 全概率公式. 某一事件B的发生有各种可能的原因
(i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai所引起，则 B发生的概率是
P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai) 每一原因都可能导致B发生，故 B发生的概率是各原因引起B发生概 率的总和，即全概率公式.
12
乘法公式应用举例 （波里亚罐子模型）
b个白球, r个红球
一个罐子中包含b个白球和r个红球. 随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中， 并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜 色的球. 这种手续进行四次，试求第一、 二次取到白球且第三、四次取到红球的概 率.
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b bc
9
三、概率乘法公式
由条件概率的定义：
P(A |
B)
P( AB) P(B)
若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB).
即 若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2)
将A、B的位置对调，有
若 它们(P2(可)A和)计>(30算),则式两P都个(B称事A为)件=乘P同(法A时)公P发(式B生|A,的) 利概用率 而 P(AB)=P(BA)
的球具有相同颜色的球.
b个白球, r个红球
解: 设Wi={第i次取出是白球}, i=1,2,3,4 Rj={第j次取出是红球}， j=1,2,3,4
于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第 一、第二个是白球，第三、四个是红球. ”
17
用乘法公式容易求出
P(W1W2R3R4)
=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)
14
例3 设某种动物由出生算起活到20年以上的 概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现 年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概 率是多少？ 解：设A={能活20年以上}，B={能活25年以上}
所求为P(B|A) . 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4
P(B | A) P( AB) P(B) 0.4 0.5 P( A) P( A) 0.8
已知事件B发生，此时试验 掷骰子
所有可能结果构成的集合就是B，
B中共有3个元素，它们的出现是 等可能的，其中只有1个在集A中， 于是P(A|B)= 1/3. 容易看到
P(A|B) 1 1 6 P( AB) 3 3 6 P(B)
2
2．条件概率的定义:
设(,ℱ,P)为一概率空间，A，B是两事件，且P(B)>0，
7
条件概率P(A|B)与P(A)的区别 每一个随机试验都是在一定条件下进行
的，设A是随机试验的一个事件，则P(A)是在 该试验条件下事件A发生的可能性大小.
而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加 “B发生”这个条件时A发生的可能性大小， 即P(A|B)仍是概率.
P(A)与P(A |B)的区别在于两者发生的条件不同, 它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.
P（A|B）=1−P（A|B） P(A1∪A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)−P(A1A2|B)等等
5
2．计算
一般有两种方法： (1)由条件概率定义：P(B|A)=P(AB)/P(A) （在原样本空间中求P(AB)、P(A)） (2)按古典概型公式： P(B|A)=NAB/NA （在缩小的样本空间中考虑）
8
条件概率P(A|B)与P(A)数值关系
条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B 发生”这个条件时A发生的可能性大小. 那么, 是否一定有:
P(A|B) P(A)?
或 P(A|B) P(A)?
在事件B发生的条件下事件A的条件概率 一般地不等于A的无条件概率. 但是，会不 会出现P(A)=P(A |B)的情形呢？这个问题留 待下一节讨论.
15
乘法公式应用举例 （波里亚罐子模型）
b个白球, r个红球
一个罐子中包含b个白球和r个红球. 随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中， 并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜 色的球. 这种手续进行四次，试求第一、 二次取到白球且第三、四次取到红球的概 率.
16
随机取一个球，观看颜色后放 回罐中，并且再加进c个与所抽出
故 P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A) (3)
10
推广到多个事件的乘法公式: 当P(A1A2…An-1)>0时，有 P (A1A2…An） =P(A1)P(A2|A1) …P(An| A1A2…An-1)
11
注意P(AB)与P(A | B)的区别： “B发生” 在P(AB)中是结果，
在P(A | B)中是条件！ 请看下面的例子
12
例2 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300 件是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个 是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这 个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？
设B={零件是乙厂生产}
A={是标准件}
300个
乙厂生产
所求为P(AB).
B
PAi
B
i1
i1
P
i 1
Ai
B
P
(
i 1
Ai
)
B
P(B)
(条 件 概 率 定 义)
P
（Ai
B）
i1
P(B)
PAi B
(运 算 法 则) i1 P(B)
P Ai B
i1 P(B)
P Ai | B
i 1
( Ai B, Aj B互 不 相 容)
4
概率的一切性质都适用于条件概率，例如： P（Φ|B）=0
第四节 条件概率
一、条件概率的定义及性质 1、概念及引例
在解决许多概率问题时，往往需要在 有某些附加信息(条件)下求事件的概率. 在事件B发生的条件下，事件A发生的概 率称为A对B的条件概率，记作P(A|B).
一般 P(A|B) ≠ P(A)
1
例如，掷一颗均匀股骰子，A={掷出2点}， B={掷出偶数点}， P(A )=1/6， P(A|B)=？
300个
乙厂生产
189个是
标准件
甲、乙共生产
1000 个
13
设B={零件是乙厂生产} 300个
A={是标准件}
乙厂生产
所求为P(AB) .
若改为“发现它是乙厂生产的, 问它是标准件的概率是多少?”
189个是
标准件
甲、乙共生产
1000 个
求的是 P(A|B) .
B发生, 在P(AB)中作为结果; 在P(A|B)中作为条件.
称
P(
A
|
B)
PAB PB
为在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率.
注 （1）若P(A)>0，同样可定义
P(B
|
A)
Байду номын сангаас
PAB PA
（2）条件概率P（•|B）满足概率定义的三条公理，
即 1. 对于每一事件A，有P（A/B）≥0;
3
2. P（|B）=1 3. 设A1，A2……两两不相容，则有
P Ai
6
例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问 “掷出点数之和不小于10”的概率是多少?
解: 设A={掷出点数之和不小于10}
B={第一颗掷出6点}
应用定义
解法1:
P(A |
B)
P( AB) P(B)
3 6
36 36
1 2
解法2: P( A | B) 3 1 62
在B发生后的 缩减样本空间
中计算