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知识归纳：圆本章重点1．圆的定义：(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆．(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合．2．判定一个点P是否在⊙O上．设⊙O的半径为R，OP＝d，则有d>r点P在⊙O 外；d＝r点P在⊙O 上；d<r点P在⊙O 内．3．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角．弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半．4．圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．垂径定理及推论：(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夹的弧相等．5．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三边高线的交点．6．切线的判定、性质：(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线．(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径．②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点．③经过切点作切线的垂线经过圆心．(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长．(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．7．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角．(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等．8．直线和圆的位置关系：设⊙O 半径为R，点O到直线l的距离为d．(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R．(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d＝R．(3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交d<R．9．两圆的性质：(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线．(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点．10．圆中有关计算：圆的面积公式：，周长C＝2πR．圆心角为n°、半径为R的弧长．圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积．弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算．圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为，侧面积为2πRl，全面积为．圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl ，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有．重点、热点垂径定理及推论；圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理. 运用圆内接四边形的性质解有关计算和证明题.。
第二十四章 圆一、圆的有关概念及表示方法 （一）圆的定义1、描述性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。
其固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。
2、集合性定义：圆可以看成是所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。
（二）圆的表示方法：以点O 为圆心的圆，记作⨀O ，读作“圆O ”。
（三）圆具有的特性1、圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径r ）。
2、到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。
注：（1）确定一个圆需要两个因素：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
（2）同一个圆中的所有半径都相等，所以圆上任意两点和圆心[三点不共线(直径)]构成的三角形都是等腰三角形。
（四）圆的有关概念1、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。
以AC 为端点的弦，记作：弦AC 。
注：圆中有无数条弦，其中直径是最长的弦，但弦不一定是直径。
2、弧2.1圆上任意两点间的部分叫做圆弧、简称弧。
以A 、B 为端点的弧记作⨀AB ，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”。
2.2圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
大于半圆的弧叫做优弧，如图中的⨀ABC 。
小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的⨀AC。
注：（1）在一个圆中，任意一条弦都对着两条弧，任意一条弧只对着一条弦。
（2）弧包括优弧、劣弧、半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧。
3、同圆或等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。
同圆或等圆的半径相等。
4、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
等弧是全等的，不仅仅是弧的长度相等。
5、同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆。
二、圆的有关性质 （一）垂直于弦的直径1、圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
名称 文字语言 符号语言 图示垂径 定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
⼈教版数学九年级上册第⼆⼗四章《圆》知识点及练习题（附答案）《圆》章节知识点复习和练习附参考答案⼀、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离⼤于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离⼩于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆⼼，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、⾓的平分线：到⾓两边距离相等的点的轨迹是这个⾓的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平⾏于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平⾏线距离相等的点的轨迹是：平⾏于这两条平⾏线且到两条直线距离都相等的⼀条直线。
⼆、点与圆的位置关系1、点在圆内 ? d r < ? 点C 在圆内；2、点在圆上 ? d r = ? 点B 在圆上；3、点在圆外 ? d r > ? 点A 在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ? d r > ? ⽆交点；2、直线与圆相切 ? d r = ? 有⼀个交点；3、直线与圆相交 ? d r < ? 有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）? ⽆交点 ? d R r >+；外切（图2）? 有⼀个交点 ? d R r =+；相交（图3）? 有两个交点 ? R r d R r -<<+；内切（图4）? 有⼀个交点 ? d R r =-；内含（图5）? ⽆交点 ? d R r <-；A五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆⼼，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的⼀条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另⼀条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径②AB CD ⊥③CE DE = ④弧BC =弧BD ⑤弧AC =弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。
、选择题
《圆》练习
题
1若一直角三角形的斜边长为c,内切圆半径是r，则内切圆的面积与
三角形面积之比是( )
(A) —^( B) 旦(C) ' —( D)
c+2r c+r 2c + r c +r
AB
2、已知AB是半圆的直径，BC切半圆于B点，BC= =r, AC交半圆于D点，DE丄AB
2
于E,则DE的长为( )
(A) 3r (B)(C)」r (D) -r
5 2 3 5
3、等腰三角形中，AB=AC , BC=4 , △ ABC的内切圆的半径为1,则AB的长为(
(A) 2 ( B) 3 (C) 2 • .3 (D)10
3
4、如图，四边形ABCD内接于半圆O,AB为直径，AB=4 , AD=DC=1，则BC的长为()
(A) —(B) ?15 (C) 2.. 3 (D)—
2 4
5、如果O O i和。
O2相交于C、D , CB是O O i的直径，过
B作O O i的切线交CE的延长线于A , AFD是割线，
交O O2于F、D , BC=FD=2 , CE= ,3，则AF 的长为( )
(A)〈3 ( B )亠(C)壬(D )4
3 3 3 3
6、已知O O的半径为r, AB、CD为O O的两条直径，且弧
AC=60°,P为弧BC上的任意一点，PA、PD分别交CD、
AB 于E、F,贝U AE • AP+DF • DP 等于( )
(A) 3r2( B) 2、3r2(C) 4r2( D) 3、2r2
7、如图1,凸五边形ABCDE内接于半径为1的O O,
ABCD是矩形,AE=ED,且BE和CE把AD三等分. 则此五
边形ABCDE的面积是：
(C) -3
5
(D)T
&如右图中的圆与三个半圆都相切，且两个较小半圆半径 都为1,又都与大半圆相切，则阴影部分图形的面积为( )
(A )1( B )—( C ) n ( D — 2 9 9
9、如右图，以半圆的一条弦 AN 为对称轴将弧 AN 折叠过 来和直
径 MN 交于B 点，如果 MB : BN=2 : 3,且MN=10， 则弦AN 的
长为( )
(A )3 -5( B )4.5( C )4、、3( D )5 3
O O 的切线，B 是切点，弦BC // OA ，连结AC ,则阴影 部分的面积等于(
) (A ) — ( B ) (C ) 3 ( D ) -
9 6 6 8
4 8 11、如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这 20个 点中选取的正多边形的个数有(
) (A ) 4 个(B ) 8 个(C ) 12 个(D ) 24 个
12、 如果边长顺次为 25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么
此圆的周长为( )
(A ) 62 n ( B ) 63 n ( C ) 64 n ( D ) 65 n
13、 设AB 为O O 的一条弦，CD 为O O 的一条直径，且与弦 AB 相
交，记M #S^AB —S^AB I , N =2S©A B ，则( )
(A ) M>N (B ) M=N ( C ) M<N ( D ) M 、N 大小关系不确定
14、如图，半圆 O 的直径在梯形 ABCD 的底边AB 上，且与其 余三
边BC 、CD 、DA 相切，若BC=2 , DA=3 ,则AB 的长()
(A )等于4 ( B )等于5 (C )等于6 (D )不能确定
15、如右图，P 为半O O 直径BA 延长线上一点，PC 切半O O 于C ,
且 PA ： PC=2： 3,贝U sin /ACP 的值为(
) (A ) - ( B ) (C )亠丄3 ( D )无法确定
3
13 13
二、填空题 16、扇形OAB 的弦AB=18，半径为6的圆C 恰与OA 、OB
和弧AB 相切，圆D 又与圆C 、OA 和OB 相切，则圆D 的半径为
_____________________________________________________________
17、已知如图，AB 为半圆的直径，C 、D 为半圆弧上的两点，若弧
CD=弧BD ,
10、如图, A 是半径为1的圆O 外的一点,
OA=2，AB 是 面积为16(5，则AP 的长为 ________________
DC与BA的延长线交于P,如果，AP : CP=3: 4,^ ADB的18、如图，设半圆的圆心O在直角△ ABC的斜边AB上,
且与两直角边相切于D、丘，若厶ABC的面积为S, 斜边长
为C,则圆的半径为_______________________ 。
19、如图1,AB是半圆0的直径，四边形CDMN
和DEFG都是正方形，其中C,D,E在AB上,
F,N在半圆上若AB=10,则正方形CDMN的面积与正方形
DEFG的面积之和是__________________ .
20、如图，MON中，/ MON=90°,过线段MN中点A
作AB // ON交M弧MN于点B,则/ BON= ________ 度。
B
21、一个半径为1cm的圆，在边长为6cm的正六边形内任意挪动（圆
可以与正六边形的
边相切），则圆在正六边形内不能达到的部分的面积为
________________________________________________________________ cm2。
22、设P是正方形ABCD的外接圆的劣弧AD上任意一点，则PA+PC 与PB的比值为____ 。
23、如图，A、B、C、D四点在同一圆周上，且BC=CD=4 , AE=6，线段BE和DE
的长都是正整数，则BD的长等于_____________ 。
24、已知PAB、PCD 为O O 的两条割线，PA=8, AB=10 , CD=7 ,
/ P=600，则O O的半径为___________ 。
25、把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，
使它们两两外切，若要用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完
全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于_______________ 。
三、解答题
26. 已知CA = CB = CD,过A, C, D三点的圆交AB于点F.求
证：CF为/ DCB 的平分线.
27、在厶ABC中，AB = 40, AC = 60,以A为圆心，AB长为半径作圆交BC与D ,
且D在BC边上，若BD和DC的长均为正整数，求BC的长.
28、已知如图，圆内接四边形ABCD , AB=AD , PB=BO ,
CE 丄PE, CD=18，求DE。
