山东省济南市八年级下学期数学期末试题(二)

2022—2023年度第二学期八年级期末学情调研检测数学试题注意事项：答题前考生务必在答题卡上的规定位置将自己的学校、姓名、准考证号等内容填写准确.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分；共150分，考试时间为120分钟.请将所有答案填写在答题卡上，填在试卷或其他位置不得分；选择题答案用2B 铅笔涂写，非选择题部分用0.5mm 黑色签字笔直接写在答题卡相应区域；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔.本考试不允许使用计算器.考试结束后，试卷不交，请妥善保存，只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分，共40分）1. 下列计算正确的是（ ）A.B.C. D. 【答案】C 【解析】【分析】分别化简二次根式判断即可．【详解】解：AB，故该选项错误；C 、，故该选项正确；D 、，故该选项错误；故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确利用二次根式运算法则是解题的关键．2. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则m 的值为（ ）A.B. 1C. 或1D. 0或1【答案】B【解析】=3=-+=21)3+==3=+=21)+=2210mx x m +-+=1-1-1-【分析】把代入方程，解方程即可求解．【详解】解：把代入方程，得，解得：或，当时，此方程不是关于x 的一元二次方程，故．故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程，一元二次方程的定义，讨论当时，此方程不是关于x 的一元二次方程是解决本题的关键．3.中字母x 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】根据二次根式的被开方数是非负数得到，求解即可．【详解】解：由题意，得，解得，．故选：A ．的式子叫二次根式．关键是掌握二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．4. 如图，用直尺和圆规作菱形，作图过程如下：①作锐角；②以点为圆心，以任意长度为半径作弧，与的两边分别交于点，；③分别以点，为圆心，以的长度为半径作弧，两弧相交于点，分别连接，，则四边形即为菱形，其依据是（ ）A. 一组邻边相等的四边形是菱形B. 四条边相等的四边形是菱形C. 对角线互相垂直平行四边形是菱形D. 每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形【答案】B的=1x -=1x -2110m m --+=0m =1m =0m =1m =0m =3x ≤3x ≥3x ≠3x <30x -≥30x -≥3x ≤0)a ≥ABCD A ∠A A ∠B D B D AD C DC BC ABCD【分析】由作图过程可知，根据菱形的判定定理分析判断即可．【详解】解：由作图过程可知，，所以依据是“四条边相等的四边形是菱形”．故选：B ．【点睛】本题主要考查了尺规作图和菱形的判定定理，理解并掌握菱形的判定定理是解题关键．5. 如图，在中，点D ，E 分别在边，上，若，，，则的长为（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】根据可得，根据，即可求出的长，即可得．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解题关键是掌握平行线分线段成比例．6. 某超市一月份的营业额为300万元，第一季度的营业额共1200万元，如果平均每月增长率为，则由题意可列方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D的AD AB DC BC ===AD AB DC BC ===ABC V AB AC DE BC ∥23AD DB =4cm AE =AC 6cm 8cm 10cm 12cmDE BC ∥2=3AD AE DB EC =4cm AE =AC DE BC ∥2=3AD AE DB EC =4cm AE =33==4=6(cm)22EC AE ⨯4610(cm)AC AE EC =+=+=x 2300(1)1200x +=30030021200x +⨯=30030031200x +⨯=23001(1)(1)1200x x ⎡⎤++++=⎣⎦【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，然后根据一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=1200列方程即可．【详解】解：∵一月份的营业额为300万元，平均每月增长率为x ，∴二月份的营业额为，∴三月份的营业额为，∴可列方程为．即．故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7. 如图，在直角坐标系中，菱形顶点A ，B ，C 在坐标轴上，若点B 的坐标为，，当恰好第一次落在线段上时，的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】过点作于E ，利用菱形的性质和相似三角形的判定于性质证明得到，然后分别求得、、，进而求得、即可求解．【详解】解：如图，为绕点O 顺时针旋转得到的三角形，过点作于E ，则，，，300(1)x +()()()2300113001x x x ⨯+⨯+=⨯+()()2300300130011200x x +⨯++⨯+=23001(1)(1)1200x x ⎡⎤++++=⎣⎦ABCD ()1,0-60ABC ∠=︒A 'OD B'12⎛⎝12⎫⎪⎪⎭⎛ ⎝B 'B E OB '⊥AOD EOB 'V V ∽AD AO ODB E EO OB ==''AO =22AD AB OB ===OD =B E 'OE A OB ''△AOB V B 'B E OB '⊥90OEB '∠=︒OB OB '=90A OB AOB ∠=∠=''︒∵∴∵四边形是菱形， ∴，，∵点A ，B ，C 在坐标轴上，∴，又，∴，，∴，又∴，∴，∵，∴，∴，在中，在中，，∴，，∴，故选：D ．【点睛】本题考查了菱形的性质、含30度角直角三角形的性质、勾股定理、坐标与图形的性质、相似三角形的判定与性质、旋转的性质等知识，熟练掌握旋转的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．8. 若直角三角形的两边长分别为a 、b，则该直角三角形的第三边长为（ ）90AOD AOB EOB AOB '''∠+∠=∠+∠=︒AOD EOB '∠=∠ABCD AB AD BC ==AD BC ∥AO BC ⊥()1,0B -AO AD ⊥1OB OB '==90OAD OEB '∠=∠=︒AOD EOB '∠=∠AOD EOB 'V V ∽AD AO ODB E EO OB ==''60ABC ∠=︒9030BAO ABC ∠=︒-∠=︒22AD AB OB ===Rt AOB △AO ===Rt OAD △OD ===AD OB B E OD '⋅'===AO OB OE OD '⋅===B ⎛' ⎝40b +-=A. 5B. 5C. 4D.或4【答案】B 【解析】【分析】根据二次根式和绝对值的非负性求出a 、b的值，再利用勾股定理进行求值即可．，∴，即，，∴，，，故选：B ．【点睛】本题考查勾股定理的应用、绝对值和二次根式的非负性，讨论边长为4的边是直角边还是斜边是解题的关键．9. 如图，由两个正三角形组成的菱形内放入标记为①，②，③，④的四种不同大小的小正三角形5个，其中编号①的有2个．设未被覆盖的浅色阴影部分的周长为，深色阴影部分的周长为，若要求出的值，只需知道其中两个小正三角形的边长，则这两个小三角形的编号为（ ）A. ①②B. ②③C. ①③D. ②④【答案】C 【解析】【分析】设标记为①，②，③，④的小正三角形的边长分别为，菱形的边长为，分别求得,即可求解．【详解】解：设标记为①，②，③，④的小正三角形的边长分别为，菱形的边长为，∴，40b +-=2690a a -+=()230a -=40b -=3a =4b =5==1C 2C 12C C -1234,,,a a a a b 12,C C 1234,,,a a a a b 14b a a =+依题意，，，∴，故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角的性质，整式的加减，熟练掌握菱形的性质与等边三角的性质是解题的关键．10. 如图，在中，，，于点D ，P 是上的一个动点，以为直角顶点向右作等腰，连接，则的最小值为（ ）A. 1B.C. 2D. 【答案】C 【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质及角的和差关系证明，得出E 点的运动轨迹为直线，可得当 时，有最小值，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【详解】∵，得出∴，∵在 中， ∴，∴ 连接，∵，∴，∵，1C ()311313432a a a a b a a =-+++-+⎡⎤⎣⎦134322a a a =++2C 1144b a a a =-++1442a a =+12C C -132a a =-+Rt ABC △90ACB ∠=︒4AC BC ==CD AB ⊥AB P Rt CPE △DE DE 1~CDP CBE V V BE DE BE ⊥DE CD AB ⊥90CDP ∠=︒Rt ABC △90,4ACB AC BC ∠=︒==AB ==12BD AB ==BE BC CECD CP ==BC CECD PC=45PCE DCB ∠=∠=∴，∴， ∴，∴， ∴E 点的运动轨迹为直线，∴当最短时，，即当 时，有最小值，这时是等腰直角三角形，∴， ∴的最小值是2，故答案为：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质以线段的最值问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键．第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请直接写答案.）11.的结果是________．【解析】【分析】先把二次根式进行化简再进行二次根式的混合运算即可．【详解】解：原式PCD BCE ∠=∠CDP CBE V V ∽90CBE CDP ∠=∠=︒45ABE ABC ∠=∠=︒BE DE DE BE ⊥DE BE ⊥DE BDE △2DE =DE =-=-=-=【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简及二次根式的运算法则是解题的关键．12. 已知，是方程的两个根，则的值为______．【答案】【解析】【分析】先把方程转化为一般式，再根据根与系数的关系得到，，再把进行通分得到，再利用整体代入进行计算即可．【详解】解：转化为一般式为：，根据题意可得：，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、整体代入求值，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系得到，是解题的关键．13. P 为线段AB 的黄金分割点，PA <PB ，AB =4，则PA =_______．(结果保留根号)【答案】##【解析】【分析】根据黄金分割的定义得到，然后把AB =4代入计算即可．【详解】解：∵点P 是线段AB 的黄金分割点，PA <PB ，AB =4∴，∴．故答案为：．1x 2x222x x =+1211+x x 1-122x x +=122x x =-1211x x +1212x x x x +222x x =+2220x x --=122x x +=122x x =-121212112===12x x x x x x ++--1-122x x +=122x x =-6-6-PB AB =42PB AB ===42)6PA AB PB =-=--=-6-14. 如图，在中，，点D 是的中点，，则_____．【答案】4【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可求解．【详解】∵，D 为中点，∴，∴，∵，∴．故答案为：4．【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键．15. 已知，为实数，且满足，记的最大值为，最小值为，则___________．【答案】【解析】【分析】根据题意得出，进而根据关于的方程有实数解，得出，即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，∵已知，为实数，且满足，∴关于的方程有实数解，ABC V 90ACB ∠=︒AB 2CD =AB =90ACB ∠=︒AB 12CD AB =2AB CD =2CD =24AB CD ==x y 2244x xy y -+=224u x xy y =+-M m M m +=815222424u x xy y x =+-=-y 22(40)4y xy x -+-=26415x ≤2244x xy y -+=2244x xy y -=-222424u x xy y x =+-=-x y 2244x xy y -+=y 22(40)4y xy x -+-=∴，∴，的最大值为，的最大值为：，即 ，当时，的最小值为：，即，．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键．16. 如图，在矩形中，，，点E 为边上一点，将沿翻折到处，延长交于点G ，延长交于点H ，且，则的长是______．【答案】【解析】【分析】过E 作于M ，根据矩形性质和折叠性质，结合勾股定理求得，，证明，求得，，设，证明四边形是矩形，得到，，在中，，，由勾股定理求解即可．【详解】解：过E 作于M ，则∵四边形是矩形，22(1640)x x ∆=--≥26415x ≤∴2x 6415∴224u x =-2⨯64154-=6815M =68150x =224u x =-4-4m =-M m ∴+=815815ABCD 10AD =8AB =AD ABE V BE FBE V EF BC BF CD FH CH =DE 325EM BC ⊥94FH CH ==941844BH =+=BFG BCH △∽△415BG =95FG =AE EF m ==ABME 8EM AB ==BM AE m ==Rt EMG V 415MG BG BM m =-=-95EG EF FG m =+=+EM BC ⊥90EMB EMG ∠=∠=︒ABCD∴，，∵沿翻折到处，∴，，，设，则，在中，由勾股定理得，∴，则，∴，，∵，，∴，∴，即，∴，， 设，∵∴四边形是矩形，∴，，在中，，，由勾股定理得，则，解得，∴．故答案为：．【点睛】本题考查矩形的判定与性质、翻折性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，综合运用相关知识求解是解答的关键．三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. ．【答案】990AABC C ∠=∠=∠=︒10BC AD ==ABE V BE FBE V EF AE =8BF AB ==90EFB BFG A ∠=∠=∠=︒FH CH x ==8BH x =+Rt BCH △222BC CH BH +=()222108x x +=+94x =94FH CH ==941844BH =+=FBG CBH =∠∠BFG BCH ∠=∠BFG BCH △∽△BG FG BF BH CH BC ==8441910544BG FG ===415BG =95FG =AE EF m ==90A ABM EMB ∠=∠=∠=︒ABME 8EM AB ==BM AE m ==Rt EMG V 415MG BG BM m =-=-95EG EF FG m =+=+222EM MG EG +=222419855m m ⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭325m =325AE =3252÷-++【分析】根据二次根式混合运算的运算顺序和运算法则进行计算即可．【详解】解：原式．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算的运算顺序和运算法则，以及完全平方公式．18. 解方程：【答案】x 1＝2，x 2＝．【解析】【分析】先根据完全平方公式因式分解，再运用平方差公式因式分解解答即可．【详解】解：（2-x ）（3x -8）=02-x =0或3x -8=0则x 1＝2，x 2＝．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，正确进行因式分解成为解答本题的关键．19. 如图，在中，，点D 在边上，交于点E ，如果，求的长．【答案】23=-+++423=-+++9=()222a b a ab b ±=±+2269(52)x x x -+=-832269(52)x x x -+=-()223(52)x x -=-()223(52)0x x --=-()()3(52)3(52)0x x x x ⎡⎤⎡⎤-----=⎣⎦⎣⎦+83ABC V 10,8AB AC ＝＝AB DE BC ∥AC 4BD =AE 4.8AE =【分析】由，可证，根据对应边成比例即可得出答案．【详解】解：，，，，，，即，解得：；故答案：．【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，本题三角形相似判定方法是由一组平行线得到两组同位角相等，两组对应角相等的三角形相似，相似三角形的性质是对应边成比例．20. 已知关于的一元二次方程（1）若是方程的一个根，求的值和方程的另一根（2）若、是方程的两个实数根，且满足，求的值【答案】（1），方程的另一根为（2）【解析】【分析】（1）将代入，求得的值，然后利用根与系数的关系可以求出另外一个根；（2），即，把两根的和与积代入，即可得到关于的方程，从而求得的值．【小问1详解】解：∵是方程的一个根，∴解得：，设方程的另一个根是，那么，∴，为DE BC ∥ADE ABC △△∽ 10,4AB BD ==∴6AD AB BD =-= DE BC ∥,ADE ABC AED ACB ∴∠=∠∠=∠∴ADE ABC △△∽∴AD AE AB AC=∴6108AE = 4.8AE = 4.8AE =x 2240x x m ++=1x =m 1x 2x 222212121220x x x x x x ++-=m 6m =-3-4m =-1x =m 222212121220x x x x x x ++-=2212120()()x x x x +-=m m 1x =240m ++=6m =-1x 112x +=-13x =-即方程的另一根为；【小问2详解】解：∵、是方程的两个实数根，∴，，又∵，∴，即，得，又∵，得，∴．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，解题的关键是掌握它们并熟练应用．21. 如图，在菱形中，，是对角线上任意一点，是线段延长线上一点，且，连接．．（1）如图1，当是线段的中点，且时，求的面积；（2）如图2，当点不是线段的中点时，求证：；【答案】（1（2）见解析【解析】【分析】（1）根据菱形性质证明是等边三角形，又因为是线段的中点，且即可求出的面积；（2）作交于，利用可证明，即可得出最后结论．【小问1详解】解：四边形菱形，是3-1x 2x 2240x x m ++=122x x +=-122m x x =222212121220x x x x x x ++-=2212120()()x x x x +-=2404m -=4m =±2480m =->V 2m <4m =-ABCD 60ABC ∠=︒E AC F BC CF AE =BE EF E AC 2AB =ABC V E AC BE EF =ABC V E AC 2AB =ABC V EG BC ∥AB G SAS BGE ECF ≌V V BE EF = ABCD∴，∵，是等边三角形，又是线段的中点，，，，的面积；【小问2详解】如图2，作交于，是等边三角形，是等边三角形，，，，，，，，在和中，，，．【点睛】本题考查的是菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、灵活运用相关的判定定理和性质定理是解题的关键．22. 小明在做作业的过程中发现一个计算题目“”处印刷不清楚，“计算：AB BC =60ABC ∠=︒ABC ∴V E AC BE AC ∴⊥11122AE AC AB ===BE ∴==ABC ∴V 12AC BE =⨯⨯=EG BC ∥AB G ABC V AGE ∴V BG CE ∴=EG BC ∥ 60ABC ∠=︒120BGE ∴∠=︒60ACB ∠=︒ 120ECF ∴∠=︒BGE ECF ∴∠=∠BGE △ECF △GE CF BGE ECF BG CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩BGE ECF ∴V V ≌BE EF ∴=■”（1）他把“”处的数字猜成10，请你帮他计算出结果；（2）他妈妈说：“你可能猜错了，我看到该题目的标准答案是5．”请通过计算说明“”处的数字到底是多少？【答案】（1）4（2），见解析【解析】【分析】（1）把10代入列式，再计算即可；（2）设“”处的数字是，再建立方程求解即可．【小问1详解】解：由题意得： 他计算出的结果为4；【小问2详解】设“”处的数字是，则，∴，解得：，∴“”处的数字是．【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，方程思想的应用，熟记二次根式的混合运算的运算顺序是解本题的关键．23. 观察下列运算：由；(⎛-÷ ⎝■■5(⎛-÷ ⎝■a ((((4⎛÷=-÷=-÷= ⎝■a (⎛-÷ ⎝(a ⎛=-÷ ⎝65a =-655a -=5a =■51)1+=1=-由；由；…（1______；（2）请你用含n （n 为正整数）关系式表示上述各式子的变形规律；（3）利用（2）中你发现的规律计算：．【答案】（1（2（3【解析】【分析】（1）根据所给示例写出即可；（2（3）利用（1）中规律先将每一个分数化为差的形式，再合并同类二次根式，最后合并计算即可．【小问1详解】解：由，；【小问2详解】【小问3详解】的1==1===1+++ =-=1===1+++ 11=+-．键．24. 瑞安某商场购进一批单价为元的日用商品，如果以单价元销售，每天可售出件；根据销售经验，销售单价每提高元，销售量每天就相应减少件，设这种商品的销售单价为元．（1）该商品每天的销售量：______（用含的代数式表示）；（2）若该商场当天销售这种商品所获得的利润为元，求的值；（3）当商品的销售单价定为多少元时，该商店销售这种商品获得的利润最大？【答案】（1）件（2）或（3）元【解析】【分析】（1）根据销售单价每提高元，销售量每天就相应减少件，计算即可；（2）根据“利润值=（销售单价购进单价）销售量”，列出一元二次方程，即可求解；（3）设销售的总利润为元，根据题意列出函数关系式，再利用配方法求得结果．【小问1详解】根据题意得，该商品每天的销售量为，故答案为：件；【小问2详解】根据题意得，，解得或；【小问3详解】设销售的总利润为元，根据题意得，，∵当时，有最大值，答：当商品的销售单价定为元时，该商店销售这种商品获得的利润最大．==69180120x ()9x ≥x 700x ()20360x -+131112120-⨯y ()180********x x --=-+()20360x -+()()620360700x x --+=13x =11y ()()2262036020480216020(12)720y x x x x x =--+=-+-=--+2020(12)x -≤-∴12x =y 12【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用和配方法的应用，正确理解题意、正确列出一元二次方程是解题关键．25. 如图，E 为菱形边上一点，过点作于，交于，连接．过点作，交的延长线于点M ．（1）若，求证：；（2）在（1）的条件下，若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）3【解析】【分析】（1）设，则，由菱形的性质得到，再证，即可得出结论；（2）先证，再由勾股定理得，然后证，得，即可得出结论．【小问1详解】解：证明：设，则，四边形是菱形，，，，，，，，，；【小问2详解】由（1）可知，，，，ABCD BC E EG AD ⊥G BD F DE D DM BD ⊥BC 4A DEG ∠=∠2M DEG ∠=∠5AB =4BE =EF DEG α∠=4A α∠=902ABD CBD BDC α∠=∠=∠=︒-2M α∠=6DM EM EC CM ==+=8BD =FBE MBD △∽△EF BE DM BD=DEG α∠=4A α∠= ABCD AD BC ∴∥ABD CBD ∠=∠1801804ABC A α∴∠=︒-∠=︒-ABD CBD BDC ∠=∠=∠902ABD CBD BDC α∴∠=∠=∠=︒-DM BD ⊥ 90BDM ∴∠=︒9090(902)2M CBD αα∴∠=︒-∠=︒-︒-=2M DEG ∴∠=∠9090(902)2CDM BDC αα∠=︒-∠=︒-︒-=M CDM ∴∠=∠5CD CM ∴==，，，，，，，，，，，，即，解得：，即的长为3．【点睛】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．26. 如图1，在正方形中，点E 、F 分别在上，且分别与交于点G 、H ，过点G 作，垂足为M ，交于点N ．（1）求证：；（2）若，求证：；（3）如图2，过点G 作，垂足为Q ，交于点P ．若，求的值．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3【解析】EG AD ⊥ 90BEG ∴∠=︒1801809090DEM BEG DEG αα∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-=︒-180180(90)290EDM DEM M ααα∴∠=︒-∠-∠=︒-︒--=︒-DEM EDM ∴∠=∠156DM EM EC CM ∴==+=+=5510BM BC CM ∴=+=+=8BD ∴===90BEF BDM ∠=∠=︒ FBE MBD ∠=∠FBE MBD ∴△∽△∴EF BE DM BD =468EF =3EF =EF ABCD BC CD 、BE DF AE AF =，、BD GN AF ⊥AD AH GN =45EAF ∠=︒AH BG AF CF=GQ AD ⊥AF 4GM MN =AP GP【分析】（1）由正方形的性质可得，证明，则，由，，可得，则，进而可得，，；（2）如图1，连接，，，证明，则，由，可得； （3）由（1）知，，，设，，则，，，证明，则，即，解得，证明，则，进而可得的值．【小问1详解】证明：∵四边形是正方形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；【小问2详解】证明：如图1，连接，90AB AD ABE ADF =∠=∠=︒，()SAS ABE ADF △≌△BAE DAF ∠=∠90MAN MNA ∠+∠=︒90BAE GAN BAD ∠+∠=∠=︒GAN GNA ∠=∠AG GN =AGH AHG ∠=∠AG AH =AH GN =AC BAC EAF ∠=∠BAG CAF ∠=∠ABG ACF V V ∽AG BG AF CF =AG AH =AH BG AF CF=AG GN =AQ NQ AQG NQG =∠=∠，AQ NQ a ==MN b =2AN a =4GM b =5GN b =GNQ ANM V V ∽GN NQ AN MN =52b a a b =a b =APQ GPM V V ∽4AP AQ a GP GM b ==AP GPABCD 90AB AD ABE ADF =∠=∠=︒，BE DF =()SAS ABE ADF △≌△BAE DAF ∠=∠GN AF ⊥90AM N ∠=︒90MAN MNA ∠+∠=︒90BAE GAN BAD ∠+∠=∠=︒GAN GNA ∠=∠AG GN =ABD BAE ADB DAF ∠+∠=∠+∠AGH AHG ∠=∠AG AH =AH GN =AC在正方形中，，∴，∴，在正方形中，，∴，∴，∵，∴；【小问3详解】解：由（1）知，，∵，∴，设，，∵，∴，，，∵，∴，∵，，∴，∴，即，解得，∵，ABCD 4545BAC EAF ∠=︒∠=︒，BAC EAF ∠=∠BAG CAF ∠=∠ABCD 45ABG ACF ∠=∠=︒ABG ACF V V ∽AG BG AF CF=AG AH =AH BG AF CF =AG GN =GQ AD ⊥AQ NQ AQG NQG =∠=∠，AQ NQ a ==MN b =4GM MN =2AN a =4GM b =5GN b =GN AF ⊥90AMG AMN ∠=∠=︒90GQN AMN ∠=∠=︒GNQ ANM ∠=∠GNQ ANM V V ∽GN NQ AN MN =52b a a b =a b =90GPM APQ AQP GMP ∠=∠∠=∠=︒，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等角对等边，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．APQ GPM V V ∽4AP AQ a GP GM b ===AP GP。

山东省济南市2020年八年级第二学期期末经典数学试题一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图所示，点A是反比例函数y＝kx的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接AC、BC．若△ABC的面积为5，则k的值为( )A．5 B．﹣5 C．10 D．﹣102．如图，菱形的边长为2，∠ABC=45°，则点D的坐标为（）A．（2，2）B．（2+2，2）C．（2，2）D．（2，2）3．如图的图形中只能用其中一部分平移可以得到的是（）A．B．C．D．4．如图为一△ABC,其中D．E两点分别在AB、AC上,且AD=31,DB=29,AE=30,EC=32.若∠A=50°,则图中∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系,下列何者正确?()A ．∠1>∠3B ．∠2=∠4C ．∠1>∠4D ．∠2=∠35．直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是（ ） A ．13 B ．9 C ．8.5 D ．6.56．已知一次函数(2)4y a x =--，y 随着x 的增大而增大，则a 的取值范围是（ ）A ．2a >B ．2a ≥C ．2a <D ．2a ≤ 7．若分式31x +在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是( ) A ．1x >- B ．1x <- C ．1x =- D ．1x ≠-8．如图，在正方形ABCD 中，点P 在AC 上，PE ABPF BC ⊥⊥，，垂足分别为E ，3F EF =，，则PD 的长为( )A ．1.5B ．2C ．2.5D ．39．下面是任意抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子所得结果，其中发生的可能性很大的是（ ） A ．朝上的点数为 2B ．朝上的点数为 7C ．朝上的点数为3的倍数D ．朝上的点数不小于2 10．如图，A 、B 两点在反比例函数1k y x =的图象上，C 、D 两点在反比例函数2k y x=的图象上，AC y ⊥轴于点E ，BD y ⊥轴于点F ，4AC =，2BD =，6EF =，则12k k -的值是( )A ．8B ．6C ．4D ．10二、填空题 11．如图，□ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，若AO+BO=5，则AC+BD 的长是________．12．如图所示，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB ，CD 于点E ，F ，如果矩形的面积为1，那13．一元二次方程()21410k x x+++=有实数根，则k的取值范围为____．14．若数m使关于x的不等式组2122274xxx m-⎧≤-+⎪⎨⎪+>-⎩,有且仅有三个整数解，则m的取值范围是______．15．已知边长为5cm的菱形，一条对角线长为6cm，则另一条对角线的长为________cm．16．如图，在△ABE中，∠E＝30°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB＝AC，则∠B＝________．17．一次函数y＝kx+b与y＝2x+1平行，且经过点（﹣3，4），则表达式为：_____．三、解答题18．如图所示，点P的坐标为（1，3），把点P绕坐标原点O逆时针旋转90°后得到点Q．（1）写出点Q的坐标是________；（2）若把点Q向右平移a个单位长度，向下平移a个单位长度后，得到的点(,)M m n落在第四象限，求a的取值范围；（3）在（2）条件下，当a取何值，代数式2+25m n+取得最小值.19．（6分）矩形ABCO中，O（0，0），C（0，3），A（a，0），（a≥3），以A为旋转中心顺时针旋转矩形ABCO得到矩形AFED．（1）如图1，当点D 落在边BC 上时，求BD 的长（用a 的式子表示）；（2）如图2，当a ＝3时，矩形AFED 的对角线AE 交矩形ABCO 的边BC 于点G ，连结CE ，若△CGE 是等腰三角形，求直线BE 的解析式；（3）如图3，矩形ABCO 的对称中心为点P ，当P ，B 关于AD 对称时，求出a 的值，此时在x 轴、y 轴上是否分别存在M ，N 使得四边形EFMN 为平行四边形，若存在直接写出M ，N 坐标，不存在说明理由． 20．（6分）如图，△ABC 的中线BD ，CE 交于点O ，F ，G 分别是BO ，CO 的中点．（1）填空：四边形DEFG 是 四边形．（2）若四边形DEFG 是矩形，求证：AB ＝AC ．（3）若四边形DEFG 是边长为2的正方形，试求△ABC 的周长．21．（6分）已知矩形,8ABCD AB =，4,AD E =为CD 边上一点，5CE =，点P 从B 点出发，以每秒1个单位的速度沿着BA 边向终点A 运动，连接PE ，设点P 运动的时间为t 秒，则当t 的值为__________时，PAE ∆是以PE 为腰的等腰三角形．22．（8分）某校对各个班级教室卫生情况的考评包括以下几项：门窗，桌椅，地面，一天，两个班级的各项卫生成绩分别如表：（单位：分）门窗 桌椅 地面 一班85 90 95 二班 95 85 90（1）两个班的平均得分分别是多少；（2）按学校的考评要求，将黑板、门窗、桌椅、地面这三项得分依次按25%、35%、40%的比例计算各班的卫生成绩，那么哪个班的卫生成绩高？请说明理由．23．（8分）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O ，AB ＝6cm ， ∠BAO ＝30°，点F 为AB 的中点.（1）求OF 的长度；（2）求AC 的长.24．（10分）某校开展“涌读诗词经典，弘扬传统文化”诗词诵读活动，为了解八年级学生在这次活动中的诗词诵背情况，随机抽取了30名八年级学生，调查“一周诗词诵背数量”，调查结果如下表所示： 一周诗词诵背数量(首)2 3 4 5 6 7 人数(人) 1 3 5 9 10 2(1)计算这30人平均每人一周诵背诗词多少首；(2)该校八年级共有6600名学生参加了这次活动，在这次活动中，估计八年级学生中一周诵背诗词6首以上(含6首)的学生有多少人.25．（10分）为了比较甲、乙两种水稻秧苗是否出苗整齐，每种秧苗各取5株并量出每株的长度如下表所示（单位：厘米）通过计算平均数和方差，评价哪个品种出苗更整齐． 编号1 2 3 4 5 甲12 13 14 15 16 乙 13 14 16 12 10参考答案一、选择题（每题只有一个答案正确）1．D【解析】【分析】连结OA ，如图，利用三角形面积公式得到OAB ABC SS 5==，再根据反比例函数的比例系数k 的几何意义得到1k 52=，然后去绝对值即可得到满足条件的k 的值． 【详解】解：连结OA ，如图，AB x ⊥轴，，OAB ABC S S 5∴==， 而OAB 1S k 2=， 1k 52∴=， k 0<，k 10∴=-．故选D ．【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k 的几何意义：在反比例函数k y x=图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值k ．2．B【解析】【分析】根据坐标意义，点D 坐标与垂线段有关，过点D 向X 轴垂线段DE ，则OE 、DE 长即为点D 坐标．【详解】过点D 作DE ⊥x 轴，垂足为E ，则∠CED=90°，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB//CD ，∴∠DCE=∠ABC=45°，∴∠CDE=90°-∠DCE=45°=∠DCE ，∴CE=DE ，在Rt △CDE 中，CD=2，CD 2+DE 2=CD 2，∴2，∴2，∴点D 坐标为（2，2），【点睛】本题考查了坐标与图形性质、菱形的性质、等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等，正确添加辅助线是解题的关键.3．B【解析】【分析】根据平移的性质，对选项进行一一分析，排除错误答案．【详解】A、图形为轴对称所得到，不属于平移；B、图形的形状和大小没有变化，符合平移性质，是平移；C、图形为旋转所得到，不属于平移；D、最后一个图形形状不同，不属于平移．故选B．【点睛】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，以致选错．4．D【解析】【分析】本题需先根据已知条件得出AD与AC的比值，AE与AB的比值，从而得出△ADE∽△ACB，最后即可求出结果．【详解】∵AD=31，BD=29，AE=30，EC=32，∴AB=31+29=60，AC=30+32=62，∴3161==22ADAC，3061==02AE AB ， ∴=AD AE AC AB， ∵∠A=∠A ，∴△ADE ∽△ACB ，∴∠2=∠3，∠1=∠4，故选：D.【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，解题关键在于得出AD 与AC 的比值5．D【解析】【分析】根据题意首先利用勾股定理列式求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行解答即可．【详解】解：由勾股定理得，斜边13=， 所以斜边上的中线长113 6.52=⨯=. 故选：D.【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及勾股定理，熟记相关性质是解题的关键． 6．A【解析】【分析】根据自变量系数大于零列不等式求解即可.【详解】由题意得a-2>0,∴a>2.故选A.【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，对于一次函数y=kx+b （k 为常数，k≠0）,当k>0时，y 随x 的增大而增大；当k<0时，y 随x 的增大而减小.【解析】【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案．【详解】解：由分式有意义的条件可知：x 10+≠，x 1∴≠-，故选：D ．【点睛】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型.8．D【解析】【分析】作辅助线PB ，求证BP DP =，然后证明四边形BFPE 是矩形，3PD EF BP ===【详解】如图，连接PB .在正方形ABCD 中，45AB ADBAC DAC =∠=∠=︒，. ∵45AP APBAP DAP AB AD =∠=∠=︒=，，， ∴()ABP ADP SAS ≌，∴BP DP =.∵90PE ABPF BC ABC ⊥⊥∠=︒，，， ∴四边形BFPE 是矩形，∴EF PB =.∴3PD EF ==.故选D.【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理（SAS ）以及矩形对角线相等的性质，从而求出PD 的长度9．D【解析】【分析】分别求得各个选项中发生的可能性的大小，然后比较即可确定正确的选项．A、朝上点数为2的可能性为16；B、朝上点数为7的可能性为0；C、朝上点数为3的倍数的可能性为21 63 ；D、朝上点数不小于2的可能性为5 6 .故选D.【点睛】主要考查可能性大小的比较：只要总情况数目（面积）相同，谁包含的情况数目（面积）多，谁的可能性就大，反之也成立；若包含的情况（面积）相当，那么它们的可能性就相等．10．A【解析】【分析】由反比例函数的性质可知S△AOE＝S△BOF＝12k1，S△COE＝S△DOF＝﹣12k2，结合S△AOC＝S△AOE+S△COE和S△BOD＝S△DOF+S△BOF可求得k1﹣k2的值．【详解】解：连接OA、OC、OD、OB，如图：由反比例函数的性质可知S△AOE＝S△BOF＝12|k1|＝12k1，S△COE＝S△DOF＝12|k2|＝﹣12k2，∵S△AOC＝S△AOE+S△COE，∴12AC•OE＝12×4OE＝2OE＝12（k1﹣k2）…①，∵S△BOD＝S△DOF+S△BOF，∴12BD•OF＝12×（EF﹣OE）＝12×2（6﹣OE）＝6﹣OE＝12（k1﹣k2）…②，由①②两式解得OE＝2，则k1﹣k2＝1．故选：A．【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是利用参数，构建方程组解决问题，属于中考常二、填空题11．1；【解析】【分析】根据平行四边形的性质可知：AO=OC ，BO=OD ，从而求得AC+BC 的长．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形∴OC=AO ，OB=OD∵AO=BO=2∴OC+OD=2∴AC+BD=AO+BO+CO+DO=1故答案为：1．【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题关键是得出OC+OD=2．12．14【解析】 试题分析：阴影面积是矩形ABCD 的14．用角边角证△EOB ≌△DOF ，图中阴影面积其实就是△AOB 的面积；因为矩形对角线相等且平分，所以很容易得出△AOB 面积是矩形面积的3/3．考点：3．矩形性质；3．三角形全等．13．3k ≤【解析】【分析】根据根的判别式求解即可．【详解】∵一元二次方程()21 410k x x +++=有实数根 ∴()24410k =-⨯+≥△ 解得3k ≤故答案为：3k ≤．【点睛】本题考查了一元二次方程根的问题，掌握根的判别式是解题的关键．14．114m -<≤-【解析】【分析】先解不等式组，求出解集，再根据“有且仅有三个整数解的条件”确定m 的范围.【详解】 解：解不等式组2122274x x x m-⎧≤-+⎪⎨⎪+>-⎩ 得：437m x +-< 由有且仅有三个整数解即：3,2,1. 则：4017m +-< 解得：114m -<≤-【点睛】本题考查了一元一次不等式组，利用不等式的解得出关于m 的不等式组是解题关键.15．8【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，得已知对角线的一半是1．根据勾股定理，得要求的对角线的一半是4，则另一条对角线的长是8.【详解】解：在菱形ABCD 中，AB=5，AC=6，因为对角线互相垂直平分，所以∠AOB=90°，AO=1，在RT △AOB 中，4=，∴BD=2BO=8.【点睛】注意菱形对角线的性质：菱形的对角线互相垂直平分．熟练运用勾股定理．16．60°【解析】分析：根据线段的垂直平分线的性质得到CA=CE ，根据等腰三角形的性质得到∠CAE=∠E ，根据三角形的外角的性质得到∠ACB=2∠E ，根据等腰三角形的性质得到∠B 即可．详解：∵MN 是AE 的垂直平分线，∴CA=CE ，∴∠CAE=∠E ，∴∠ACB=2∠E ，∵AB=AC ，∴∠B=∠ACB=2∠E=60°，故答案为：60°点睛：本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．17．y=2x+1【解析】【分析】【详解】解：已知一次函数y=kx+b与y=2x+1平行，可得k=2，又因函数经过点（-3，4），代入得4=-6+b，解得，b=1，所以函数的表达式为y=2x+1．三、解答题18．（1）Q(-3，1)（2）a>3（3）0【解析】【分析】(1)如图，作PA⊥x轴于A，QB⊥x轴于B，则∠PAO=∠OBQ=90°，证明△OBQ≌△PAO(AAS)，从而可得OB=PA，QB=OA，继而根据点P的坐标即可求得答案；(2)利用点平移的规律表示出Q′点的坐标，然后根据第四象限点的坐标特征得到a的不等式组，再解不等式即可；(3)由(2)得，m=-3+a，n=1-a，代入所求式子得225=-（），继而根据偶次方的非负性即可求a4m n++2得答案.【详解】(1)如图，作PM⊥x轴于A，QN⊥x轴于B，则∠PAO=∠OBQ=90°，∴∠P+∠POA=90°，由旋转的性质得：∠POQ=90°，OQ=OP，∴∠QOB+∠POA=90°，∴∠QOB=∠P，∴△OBQ≌△PAO(AAS)，∴OB=PA，QB=OA，∵点P的坐标为(1，3)，∴OB=PA=3，QB=OA=1，∴点Q的坐标为(-3，1)；(2)把点Q(-3，1)向右平移a个单位长度，向下平移a个单位长度后，得到的点M的坐标为(-3+a，1-a)，而M在第四象限，所以-30 10aa+>⎧⎨-<⎩，解得a>3，即a的范围为a>3；(3)由(2)得，m=-3+a，n=1-a，∴2225(3)2(1)5m n a a++=-+-+269225a a a=-++-+2816a a=-+24a=-（），∵240a-≥（），∴当a=4时，代数式225m n++的最小值为0.【点睛】本题考查了坐标与图形变换-旋转，象限内点的坐标特征，解不等式组，配方法在求最值中的应用等，综合性较强，熟练掌握相关知识是解题的关键.19．（1）BD29a-（2）y＝﹣x+6；（3）M 3320），N（0，32）【解析】【分析】（1）如图1，当点D落在边BC上时，BD2=AD2-AB2，即可求解；（2）分CG=EG、CE=GE、CE=CG三种情况分别求解；（3）①由点P为矩形ABCO的对称中心，得到322aP⎛⎫⎪⎝⎭，求得直线PB的解析式为3PBy xa=，得到直线AD 的解析式为：233a y x a =-+，解方程即可得到结论；②根据①中的结论得到直线AD 的解析式为39y x =-+，求得∠DAB=30°，连接AE ，推出A ，B ，E 三点共线，求得()93336322E F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，设M （m ，0），N （0，n ），解方程组即可得到结论．【详解】（1）如图1，在矩形ABCO 中，∠B＝90°当点D 落在边BC 上时，BD 2＝AD 2﹣AB 2，∵C（0，3），A （a ，0）∴AB＝OC ＝3，AD ＝AO ＝a ，∴BD＝29a -；（2）如图2，连结AC ，∵a＝3，∴OA＝OC ＝3，∴矩形ABCO 是正方形，∴∠BCA＝45°，设∠E CG 的度数为x ，∴AE＝AC ，∴∠AEC＝∠ACE＝45°+x，①当CG ＝EG 时，x ＝45°+x，解得x ＝0，不合题意，舍去；②当CE ＝GE 时，如图2，∠ECG＝∠EGC＝x∵∠ECG+∠EGC+∠CEG＝180°，∴x+x+（45°+x）＝180°，解得x ＝45°，∴∠AEC＝∠ACE＝90°，不合题意，舍去；③当CE ＝CG 时，∠CEG＝∠CGE＝45°+x，∵∠ECG+∠EGC+∠CEG＝180°，∴x+（45°+x）+（45°+x）＝180°，解得x ＝30°，∴∠AEC＝∠AC E ＝75°，∠CAE＝30°如图3，连结OB，交AC于点Q，过E作EH⊥AC于H，连结BE，∴EH＝12AE＝12AC，BQ＝12AC，∴EH＝BQ，EH∥BQ且∠EHQ＝90°∴四边形EHQB是矩形∴BE∥AC，设直线BE的解析式为y＝﹣x+b，∵点B（3，3）在直线上，则b＝6，∴直线BE的解析式为y＝﹣x+6；（3）①∵点P为矩形ABCO的对称中心，∴322aP⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∵B（a，3），∴PB的中点坐标为：4934a⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴直线PB的解析式为3PBy xa=，∵当P，B关于AD对称，∴AD⊥PB，∴直线AD的解析式为：233ay xa=-+，∵直线AD过点3944a⎛⎫⎪⎝⎭，，∴2291443aa=-+，解得：a3∵a≥3，∴a＝3②存在M，N；理由：∵a＝3∴直线AD 的解析式为y3，∴∴∠DAO＝60°，∴∠DAB＝30°，连接AE，∵AD＝OA＝33，DE＝OC＝3，∴∠EAD＝30°，∴A，B，E三点共线，∴AE＝2DE＝6，∴()9333322E F⎫⎪⎭，，，，设M（m，0），N（0，n），∵四边形EFMN是平行四边形，∴9333023602mn⎧=⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩，解得：3332mn⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，3320），N（0，32）．【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到正方形和等腰三角形性质、圆的基本知识，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．20．（1）平行；（2）见解析；（3）10+4.【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=12BC，FG∥BC，FG=12BC，那么DE∥FG，DE=FG，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得出四边形DEFG是平行四边形；（2）先由矩形的性质得出OD=OE=OF=OG ．再根据重心的性质得到OB=2OD ，OC=2OE ，等量代换得出OB=OC ．利用SAS 证明△BOE≌△COD，得出BE=CD ，然后根据中点的定义即可证明AB=AC ；（3）连接AO 并延长交BC 于点M ，先由三角形中线的性质得出M 为BC 的中点，由（2）得出AB=AC ，根据等腰三角形三线合一的性质得出AM⊥BC，再由三角形中位线定理及三角形重心的性质得出BC=2FG=1，AM=32AO=6，由勾股定理求出，进而得到△ABC 的周长． 【详解】（1）解：∵△ABC 的中线BD ，CE 交于点O ，∴DE∥BC，DE=12BC ， ∵F，G 分别是BO ，CO 的中点， ∴FG∥BC，FG=12BC ， ∴DE∥FG，DE=FG ，∴四边形DEFG 是平行四边形．故答案为平行；（2）证明：∵四边形DEFG 是矩形，∴OD=OE=OF=OG．∵△ABC 的中线BD ，CE 交于点O ，∴点O 是△ABC 的重心，∴OB=2OD，OC=2OE ，∴OB=OC．在△BOE 与△COD 中，OB OC BOE COD OE OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BOE≌△COD（SAS ），∴BE=CD，∵E、D 分别是AB 、AC 中点，∴AB=AC；（3）解：连接AO并延长交BC于点M．∵三角形的三条中线相交于同一点，△ABC的中线BD、CE交于点O，∴M为BC的中点，∵四边形DEFG是正方形，由（2）可知，AB=AC，∴AM⊥BC．∵正方形DEFG边长为2，F，G分别是BO，CO的中点，∴BC=2FG=1，BM=MC=12BC=2，AO=2EF=1，∴A M=32AO=6，22AM BM+2262+10∴△ABC的周长10+1．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线性质定理，矩形的性质，三角形重心的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，其中三角形的中位线性质定理为证明线段相等和平行提供了依据．21．2或23 6【解析】【分析】根据矩形的性质求出∠D=90°，AB=CD=8，求出DE后根据勾股定理求出AE；过E作EM⊥AB于M，过P作PQ⊥CD于Q，求出AM=DE=3，当EP=EA时，AP=2DE=6，即可求出t；当AP=AE=5时，求出BP=3，即可求出t；当PE=PA时，则x2=（x-3）2+42，求出x，即可求出t．【详解】∵四边形ABCD是长方形，∴∠D=90°，AB=CD=8，∵CE=5，∴DE=3，在Rt△ADE中,∠D=90°,AD=4,DE=3,由勾股定理得：AE=5过E作EM⊥AB于M，过P作PQ⊥CD于Q，则AM=DE=3，若△PAE 是等腰三角形，则有三种可能：当EP=EA 时，AP=2DE=6， 所以t=861-=2； 当AP=AE=5时，BP=8−5=3，所以t=3÷1=3；当PE=PA 时,设PA=PE=x,BP=8−x,则EQ=5−(8−x)=x−3，则()2234x x =-+ 解得：x=256， 则t=(8−256)÷1=236， 综上所述t=2或236时，△PAE 为等腰三角形。

2023—2024学年度下学期八年级数学学科参考答案及评分标准一、选择题(每小题3分，共计30分)二、填空题(每小题3分，共计30分)三、解答题（其中21题6分，22-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）21.（本题6分）解：22231x x x -+=+22410x x -+=......................................................................1分241a b c ==-=，，224(4)b ac D =-=--4×2×1=8＞0.....................................................2分方程有两个不等的实数根................................2分即12222222x x +-==，........................................................1分22.（本题8分）解：（1）如图1，正确画图（答案不唯一）...................................................4分（2）如图2，正确画图....................................................................4分12345678910ABBBCDCDAC题号1112131415答案x≠2-18x≥223题号1617181920答案5.8205±12②③（第22题答案图1）（第22题答案图2）23.（本题8分）解：（1）14.5.............................................................................2分+分（2）∠BCD 是直角，理由：连接BD.由勾股定理得，2222420BC =+=，222125CD =+=，2223425BD =+=......................................................................1分∴22220525BC CD BD +=+==.........................................................2分∴∠BCD 是直角...........................................................................1分24.（本题8分）解：（1）设(0)y kx b k =+≠根据题意，得0.2200.2822k b k b +=⎧⎨+=⎩...............................................................2分解得2515k b =⎧⎨=⎩.............................................................................2分2515y x ∴=+............................................................................1分（2）当0.3x m =时，250.31522.5()y m =⨯+=................................................2分∴当这种树的胸径为0.3m 时，其树高为22.5m ................................................1分25.（本题10分）解：（1）450.............................................................................2分6750....................................................................................2分（2）设销售单价定位x 元时，利润为8000元.根据题意，得[](40)50010(50)8000x x ---=.................................................2分解得126080x x ，==......................................................................1分当x=60时，销售量为500-10(60-50)=400（套），成本为400×40=16000＞10000...................1分当x=80时，销售量为500-10(80-50)=200（套），成本为200×40=8000＜10000....................1分∴x=80答：月销售成本不超过10000元的情况下，该商品的销售单价应定为每套80元可使月销售利润达到8000元......................................................................................1分26.（本题10分）解：（1）①∠DEF 的大小不发生变化，∠DEF=90°............................................1分理由：如图1，作EG⊥AB，EH⊥AD，垂足分别为点G、H.∵四边形ABCD 是正方形∴∠DAB=90°，∠BAC=∠DAC=12∠DAB=45°，AC⊥BD ∴EG=EH又∵EF=DE∴Rt△EFG≌Rt△EDH.............................................1分∴AG=AH，∠FEG=∠DEH 在四边形AGEH 中，∠GEH=360°-90°-90°-90°=90°∴∠DEF=∠DEH+∠FEH=∠FEG+∠FEH=∠GEH=90°..............................................1分∴∠DEF 的大小不发生变化，∠DEF=90°②AF=2OE..............................................................................1分理由：如图1，令AG=m，OE=2n ，则AH=m.在Rt△AEH 中∵∠AEH=90°-∠EAH=90°-45°=45°=∠EAH∴EH=AH=m∴22222AE AH EH m m m =+=+=.....................................................1分∴OA=AE+OE=222()m n m n +=+同理：在Rt△OAD 中，22()2()AD m n m n =⨯+=+∴DH=AD-AH=2(m+n)-m=m+2n=FG ∴AF=FG-AG=m+2n-m=2n∴AF=2OE......................1分（2）AF=CE理由：如图2，作EM⊥AB，EN⊥AD，垂足分别为点M、N.令AM=a，OE=b.∵四边形ABCD 是菱形∴AB=BC=AD ，∠BAC=∠DAC，AC⊥BD，AC=2OA......................1分∴EM=EN 又∵EF=DE∴Rt△EFM≌Rt△EDN.............................................1分∴FM=DN∵AB=BC，∠ABC=60°∴△ABC 为等边三角形∴∠DAC=∠BAC=60°，AC=AB∵∠EAM=∠EAN，∠EMA=∠ENA=90°，AE=AE ∴△AEM≌Rt△AEN∴AN=AM=a在Rt△AEN 中∵∠AEN=90°-∠EAN=90°-60°=30°∴AE=2AN=2a...........................1分∴OA=AE+OE=2a+b ∴AC=2OA=4a+2b=AD∴CE=AC-AE=4a+2b-2a=2a+2b∵FM=DN=AD-AN=4a+2b-a=3a+2b ∴AF=FM-AM=3a+2b-a=2a+2b=CE.............................1分27.（本题10分）解：（1）y=3x+3当x=0时，y=3×0+3=3∴C（0，3）当y=0时，0=3x+3∴x=-1∴B（-1，0）..........................................1分∴OB=1∴OA=3×1=3∴A（3，0）设直线AC 解析式为y=kx+b∴303bk b=⎧⎨=+⎩解得13k b =-⎧⎨=⎩（第26题答案图1）（第26题答案图2）∴直线AC 的解析式为y=-x+3...............................................................1分（2）如图1，∵点D 是线段AC 上一个动点，且横坐标为t∴D（t，-t+3）过点D 作DK⊥x 轴于K，则DK=-t+3..........................................................1分∵A（3，0），B（-1，0）∴AB=3-（-1）=4∴12ABC ABD S S S △△=-=×AB×OC-12×AB×DK=12×4×3-12×4×（-t+3）=2t.....................2分（3）过点D 作DR⊥x 轴于R，过点G 作GP⊥AE 于P，过点G 作直线l∥x 轴交y 轴于T，过点A 作AN⊥l于N，过点E 作EM⊥l 于M，交x 轴于L.∵AE∥BD，BF//AC ∴四边形ADBF 是平行四边形，∠DAR=∠FBO ∴AD=BF又∵∠ARD=∠BOF=90°∴△ADR≌△BFO∴AR=OB=1，OF=DR∴t=OR=OA-AR=3-1=2∴OF=DR=-t+3=1，S=2t=4∴F（0，-1）.................................................1分设直线AF 的解析式为y=mx+n∴103n m n -=⎧⎨=+⎩解得131m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴直线AF 的解析式为113y x =-由33113y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩解得3232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴E（32-，32-）∵MN∥AL ∴∠ALE+∠M=180°∴∠ALE=180°-90°=90°=∠M=∠N ∴四边形ALMN 为矩形∴AN=ML，MN=AL=3+32=92在Rt△AEL 中，2222333()(3)10222AE EL AL =+=++=∵454545432328AEG S S ==´=△∴12×3102×GP=458∴GP=3104...................1分∵GE=GA，GP⊥AE∴AP=EP=12AE=3104=GP ∴∠PEG=∠PGE，∠PAG=∠PGA，2222333(10)(10)5442EG EP GP =+=+=又∵∠PEG+∠PGE=90°，∠PAG+∠PGA=90°∴∠PGE=∠PGA=45°∴∠EGA=90°（第27题答案图1）（第27题答案图2）∴∠AGN+∠EGM=90°又∵∠GEM+∠EGM=90°∴∠AGN=∠GEM 又∵∠N=∠M=90°，AG=EG∴△AGN≌△GEM∴GN=EM，AN=MG 令EM=c，则GN=c，MG=AN=ML=c+32∵MG+GN=MN ∴c+32+c=92∴c=32∴MG=3=AN=ML ∴GT=MG-MT=3-32=32∵∠OLM=∠M=∠LOT=90°∴四边形OLMT 为矩形∴OT=ML=3∴G（32，-3）..............1分当点G，E，H 在同一条直线时，GH EH EG-=当点G，E，H 不在同一条直线时，在△EGH 中，GH EH EG -＜综上所述：GH EH EG -£=，GH EH -...........................1分此时点H 是直线EG 与x 轴的交点设直线EG 的解析式为y=ex+f∴3322332e f e f ⎧-=-+⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩解得1294e f ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴直线EG 的解析式为1924y x =--当y=0时，19024x =--∴x=92-∴H（92-，0）....................................1分（以上各解答题如有不同解法并且正确，请按相应步骤给分）。

2024届山东省济南市商河县八年级数学第二学期期末学业质量监测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每题4分，共48分）1．八年级一班要在赵研、钱进、孙兰、李丁四名同学中挑选一名同学去参加数学竞赛，四名同学在5次数学测试中成绩的平均数x 及方差S 2如下表所示：甲 乙 丙 丁 x85 93 93 86 S 2333.53.7如果选出一名成绩较好且状态稳定的同学去参赛，那么应选（ ） A ．赵研B ．钱进C ．孙兰D ．李丁2．反比例函数 y ＝（2m －1）22m x ，当 x ＞0 时，y 随 x 的增大而增大，则 m 的值是（ ）A ．m ＝±1B ．小于12的实数 C ．－1D ．13．如图，以原点O 为圆心，OB 长为半径画弧与数轴交于点A ，若点A 表示的数为x ，则x 的值为（ ）A ．B ．-C ．-2D ．2-4．下列交通标志是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，若∠B=50°，则∠AFE 的度数为（ ）A ．50°B ．60°C ．65°D ．70°6．下列四组线段中，不能构成直角三角形的是（ ） A ．4，5，6B ．6，8，10C ．7，24，25D ．5，3，47．到三角形三条边的距离相等的点是三角形（ ）的交点. A ．三条中线B ．三条角平分线C ．三条高D ．三条边的垂直平分线8．将一张正方形纸片，按如图步骤①，②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．9．某班组织了一次读书活动，统计了10名同学在一周内的读书时间，他们一周内的读书时间累计如表，则这10名同学一周内累计读书时间的中位数是（ ） 一周内累计的读书时间（小时） 5 8 10 14 人数（个） 1432A ．8B ．7C ．9D ．1010．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，点E 是BC 边上一点，将ABE ∆沿AE 折叠，使点B 落在点F 处.连结CF ，当CEF ∆为直角三角形时，BE 的长是（ ）A ．4B ．3C ．4或8D ．3或611．如图，在ABC 中，AB AC,A 50,AB ︒=∠= 的垂直平行线交AC 于D 点，则CBD ∠ 的度数为（ ）.A ．15︒B ．30C ．50︒D ．45︒12．若关于x 的方程x 2﹣2x +m ＝0的一个根为﹣1，则另一个根为（ ） A ．﹣3B ．﹣1C ．1D ．3二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，BC=8，则DE= ．14．图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱体铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）. 现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y （厘米）与注水时间x （分钟）之间的关系如图2所示．①图2中折线ABC 表示___________槽中水的深度与注水时间之间的关系（选填“甲”或“乙”）；②点B 的纵坐标表示的实际意义是___________.15．若25a b b -=，则ba 等于______．16．如图，在平行四边形中，=5，=7，平分∠交边于点，则线段的长度为________．17．如图，分别以Rt ABC ∆的斜边AB ，直角边AC 为边向外作等边ABD ∆和ACE ∆，F 为AB 的中点，DE ，AB相交于点G .若∠BAC=30°，下列结论：①EF AC ⊥；②四边形ADFE 为平行四边形；③4AD AG =；④DBF EFA ∆≅∆.其中正确结论的序号是______.18．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好是9.4环，方差分别是2090S =甲．，21.22S =乙，20.43S =丙，21.68S 丁=，在本次射击测试中，成绩最稳定的是_____．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，直线11:21l y x =+与直线22:4l y mx =+相交于点(1,)P b ． （1）求b ，m 的值；（2）根据图像直接写出12y y >时x 的取值范围；（3）垂直于x 轴的直线x a =与直线1l ，2l 分别交于点C ，D ，若线段CD 长为2，求a 的值．20．（8分）如图1，在正方形ABCD 中，点E 是AB 上一点，点F 是AD 延长线上一点，且DF=BE ，连接CE 、CF ． （1）求证：CE=CF ．（2）在图1中，若点G 在AD 上，且∠GCE=45°，则GE=BE +GD 成立吗；为什么；（3）根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题，如图2，在四边形ABCD 中，AD ∥B C （BC ＞AD ），∠B=90°，AB=BC ，且∠DCE=45°． ①若AE=6，DE=10，求AB 的长； ②若AB=BC=9，BE=3，求DE 的长．21．（8分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =4，∠C =30°，点E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，作DP ∥AB 交EF 于点G ，∠PDC =90°，求线段GF 的长度．22．（10分）如图，在△ABC 中，AE 是∠BAC 的角平分线，交BC 于点E ，DE ∥AB 交AC 于点D ． (1)求证AD=ED ；(2)若AC=AB ，DE=3，求AC 的长．23．（10分）如图，BD 是平行四边形ABCD 的对角线，//AE CF ，分别交BD 于点,E F .求证：AE CF =.24．（10分）如图，已知直线1l 与2l 交x 轴于点A ，1l ，2l 分别交y 轴于点B ，C ，1l ，2l 的表达式分别为1312y x =-+，21146y x =-.（1）求ABC ∆的周长；（2）求12y y >时，x 的取值范围.25．（12分）如图，在矩形纸片ABCD 中，已知边AB ＝3，BC ＝5，点E 在边CD 上，连接AE ，将四边形ABCE 沿直线AE 折叠，得到多边形AB ′C ′E ，且B ′C ′恰好经过点D ．求线段CE 的长度．26．如图，平行四边形ABCD 中，点E F 、分别在AB CD 、上，且,BE DF EF =与AC 相交于点P ，求证：PA PC =．参考答案一、选择题（每题4分，共48分） 1、B 【解题分析】根据平均数和方差的意义解答. 【题目详解】从平均数看，成绩最好的是钱进、孙兰同学， 从方差看，钱进方差小，发挥最稳定，所以如果选出一名成绩较好且状态稳定的同学去参赛，那么应选钱进. 故选：B . 【题目点拨】本题考查了平均数和方差，熟悉它们的意义是解题的关键. 2、C 【解题分析】根据反比例函数的定义列出方程：m 2−2=−1求解，再根据它的性质列出不等式：2m−1<0决定解的取舍．【题目详解】根据题意，m2−2=−1，解得m=±1，又∵2m−1≠0，∴m≠12，∵y随x的增大而增大，2m−1<0，得m<12，∴m=−1.故选C.【题目点拨】本题考查反比例函数的性质，反比例函数的定义.根据反比例函数自变量x的次数为-1.k＞0时，在各自象限y随x的增大而减小；k＜0时，在各自象限y随x的增大而增大.3、B【解题分析】根据勾股定理列式求出x2，再利用平方根的相反数定义解答．【题目详解】由图可知，x2=12+22=5，则x1=−，x2＝（舍去）．故选：B．【题目点拨】考查了实数与数轴，主要是数轴上无理数的作法，需熟练掌握．4、C【解题分析】试题分析：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，故此选项错误．故选C．点睛：此题主要考查了轴对称图形的概念．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．5、C【解题分析】由菱形的性质和等腰三角形的性质可得∠BCA=∠BAC=65°，由三角形中位线定理可得EF∥BC，即可求解．【题目详解】解：∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC，且∠B=50°∴∠BCA=∠BAC=65°∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC∴∠AFE=∠BCA=65°故选：C．【题目点拨】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，以及三角形中位线的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是本题的关键．6、A【解题分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，即可解答．【题目详解】解：A、42+52≠62，故不是直角三角形，符合题意；B、62+82=102，能构成直角三角形，不符合题意；C、72+242=252，能构成直角三角形，不符合题意；D、32+42=52，能构成直角三角形，不符合题意．故选：A．【题目点拨】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．7、B【解题分析】到三角形三条边距离相等的点是三角形的内心．【题目详解】解：到三角形三条边距离相等的点是三角形的内心，即三个内角平分线的交点．故选：B．【题目点拨】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．8、B【解题分析】按照题目要求弄清剪去的是对角线互相垂直平分的四边形，即为菱形，又菱形的顶点在折痕上，可得正确答案；或动手操作，同样可得正确答案.【题目详解】解：由题意知，剪去的是对角线互相垂直平分的四边形，即为菱形，又菱形的顶点在折痕上，故选B.【题目点拨】本题考查了图形的折叠和动手操作能力，对此类问题，在不容易想象的情况下，动手操作不失为一种解决问题的有效方法.9、C【解题分析】试题分析：根据中位数的概念求解．∵共有10名同学，∴第5名和第6名同学的读书时间的平均数为中位数，则中位数为：=1．故选C．考点：中位数．10、D【解题分析】当△CEF为直角三角形时，有两种情况：①当点F落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=10，根据折叠的性质得∠AFE=∠B=90°，而当△CEF为直角三角形时，只能得到∠EFC=90°，所以点A、F、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点F处，则EB=EF，AB=AF=1，可计算出CF=4，设BE=x，则EF=x，CE=8-x，然后在Rt△CEF中运用勾股定理可计算出x．②当点F落在AD边上时，如图2所示．此时四边形ABEF为正方形．【题目详解】解：当△CEF为直角三角形时，有两种情况：①当点F落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，在Rt△ABC中，AB=1，BC=8，∴，∵∠B沿AE折叠，使点B落在点F处，∴∠AFE=∠B=90°，当△CEF为直角三角形时，只能得到∠EFC=90°，∴点A、F、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点F处，如图，∴EB=EF，AB=AF=1，∴CF=10-1=4，设BE=x，则EF=x，CE=8-x，在Rt△CEF中，∵EF2+CF2=CE2，∴x2+42=（8-x）2，解得x=3，∴BE=3；②当点F落在AD边上时，如图2所示．此时ABEF为正方形，∴BE=AB=1．综上所述，BE的长为3或1．故选D．【题目点拨】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．11、A【解题分析】根据等腰三角形的性质求出∠ABC=∠C=65°，根据线段的垂直平分线的性质得到AD=BD，得到答案．【题目详解】解：∵AB=AC，∠A=50°，∴∠ABC=∠C=65°，∵l垂直平分AB，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=50°，∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=65°-50°=15°．故选：A【题目点拨】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．12、D【解题分析】设方程另一个根为x1，根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+（-1）=2，解此方程即可．【题目详解】解：设方程另一个根为x1，∴x1+（﹣1）＝2，解得x1＝1．故选：D．【题目点拨】本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=-ba，x1•x2=ca．二、填空题（每题4分，共24分）13、1【解题分析】试题分析：已知D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，根据三角形的中位线定理得到DE=BC=1．考点：三角形中位线定理．14、乙乙槽中铁块的高度为14cm【解题分析】根据题目中甲槽向乙槽注水可以得到折线ABC是乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，点B表示的实际意义是乙槽内液面恰好与圆柱形铁块顶端相平.【题目详解】①根据题意可知图2中折线ABC表示乙槽中水的深度与注水时间之间的关系；②点B的纵坐标表示的实际意义是乙槽中铁块的高度为14cm，故答案为乙，乙槽中铁块的高度为14cm.【题目点拨】本题考查了实际问题与函数的图象，理解题意，准确识图是解决此类问题的关键.15、5 7【解题分析】依据比例的基本性质，即可得到5a=7b，进而得出ba=57.【题目详解】解：∵25a bb-=，∴5a-5b=2b，即5a=7b，∴ba=57，故答案为：5 7 .【题目点拨】本题主要考查了分式的值，解决问题的关键是利用比例的基本性质进行化简变形．16、1【解题分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，然后根据已知可求得DE的长度．【题目详解】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AE∥BC，AD=BC=7cm，∴∠AEB=∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AE=AB=5cm，∴DE=AD-AE=7-5=1cm故答案为：1．【题目点拨】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出∠ABE=∠AEB．17、①②③④【解题分析】首先证明证明Rt△ADF≌Rt△BAC，结合已知得到AE=DF，然后根据内错角相等两直线平行得到DF∥AE，由一组对边平行且相等可得四边形ADFE是平行四边形，故②正确；由∠DAC=∠DAB+∠BAC=90°，可得∠AHE=90°，故①正确；由2AG=AF可知③正确；在Rt△DBF和Rt△EFA中，BD＝FE，DF＝EA，可证Rt△DBF≌Rt△EFA，故④正确.【题目详解】∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AD=BD=AB，AE=CE=AC，∠ADB=∠BAD=∠DBA=∠CAE=∠AEC=∠ACE=60°．∵F是AB的中点，∴∠BDF=∠ADF=30°，∠DFA=∠DFB=90°，BF=AF=12 AB．∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，AD=2AF．∴BC=12AB，∠ADF=∠BAC，∴AF=BF=BC．在Rt△ADF和Rt△BAC中AD＝BA ，AF＝BC，∴Rt△ADF≌Rt△BAC（HL），∴DF=AC，∴AE=DF．∵∠BAC=30°，∴∠BAC+∠CAE=∠BAE=90°，∴∠DFA=∠EAB，∴DF∥AE，∴四边形ADFE是平行四边形，故②正确；∴AD=EF，AD∥EF，设AC交EF于点H，∴∠DAC=∠AHE．∵∠DAC=∠DAB+∠BAC=90°，∴∠AHE=90°，∴EF⊥AC．①正确；∵四边形ADFE是平行四边形，∴2GF=2GA=AF．∴AD=4AG ．故③正确．在Rt △DBF 和Rt △EFA 中BD ＝FE ，DF ＝EA ，∴Rt △DBF ≌Rt △EFA （HL ）．故④正确，故答案为：①②③④．【题目点拨】本题解题的关键：运用到的性质定理有，直角全等三角形的判定定理HL ，平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，全等三角形对应边与对应角相等的性质，平行四边形对角线互相平分与两组对边平行且相等的性质.18、丙【解题分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【题目详解】甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9.4环，方差分别是0.90，1.22，0.43，1.68， ∴S 2丙<S 2甲<S 2乙<S 2丁，∴成绩最稳定的同学是丙.【题目点拨】本题考查方差的意义，方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据波动越小，学生们熟练掌握即可.三、解答题（共78分）19、（1）3b =，1m =-；（2）1x >；（3）13a =或53【解题分析】（1）将点(1,)P b 代入到直线11:21l y x =+中，即可求出b 的值，然后将点P 的坐标代入直线22:4l y mx =+中即可求出m 的值；（2）根据图象即可得出结论；（3）分别用含a 的式子表示出点C 和点D 的纵坐标，再根据CD 的长和两点之间的距离公式列出方程即可求出a ．【题目详解】解：（1）∵点(1,)P b 在直线1:21l y x =+上∴2113b =⨯+=∵点(1,3)P 在直线2:4l y mx =+上，∴34m =+∴1m =-（2）由图象可知：当12y y >时，1x >；（3）当x a =时，21C y a =+，当x a =时，4D y a =-∵2CD = ∴21(4)2a a +--= 解得13a =或53【题目点拨】此题考查的是一次函数的图象及性质，掌握根据直线上的点求直线的解析式、一次函数与一元一次不等式的关系和直角坐标系中两点之间的距离公式是解决此题的关键．20、（1）证明见解析；（2）成立；（3）①12；②7.1【解题分析】（1）先判断出∠B=∠CDF ，进而判断出△CBE ≌△CDE ，即可得出结论；（2）先判断出∠BCE=∠DCF ，进而判断出∠ECF=∠BCD=90°，即可得出∠GCF=∠GCE=41°，得出△ECG ≌△FCG 即可得出结论；（3）先判断出矩形ABCH 为正方形，进而得出AH=BC=AB ，①根据勾股定理得，AD=8，由（1）（2）知，ED=BE+DH ，设BE=x ，进而表示出DH=10-x ，用AH=AB 建立方程即可得出结论；②由（1）（2）知，ED=BE+DH ，设DE=a ，进而表示出DH=a-3，AD=12-a ，AE=6，根据勾股定理建立方程求解即可得出结论．【题目详解】解：（1）在正方形ABCD 中，∵BC=CD ，∠B=∠ADC ，∴∠B=∠CDF ，∴△CBE≌△CDF，∴CE=CF；（2）成立，由（1）知，△CBF≌△CDE，∴∠BCE=∠DCF，∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，∴∠ECF=∠BCD=90°，∵∠GCE=41°，∴∠GCF=∠GCE=41°，∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，∴△ECG≌△FCG，∴GE=GF，∴GE=DF+GD=BE+GD；（3）如图2，过点C作CH⊥AD交AD的延长线于H，∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠A=90°，∵∠CHA=90°，∴四边形ABCH为矩形，∵AB=BC，∴矩形ABCH为正方形，∴AH=BC=AB，①∵AE=6，DE=10，根据勾股定理得，AD=8，∵∠DCE=41°，由（1）（2）知，ED=BE+DH，设BE=x，∴10+x=DH，∴DH=10-x，∴8+10-x=x+6，∴x=6，∴AB=12；②∵∠DCE=41°，由（1）（2）知，ED=BE+DH，设DE=a，∴a=3+DH，∴DH=a-3，∵AB=AH=9，∴AD=9-（a-3）=12-a，AE=AB-BE=6，根据勾股定理得，DE2=AD2+AE2，即：（12-a）2+62=a2，∴a=7.1，∴DE=7.1．【题目点拨】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定，正方形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，判断出△ECG≌△FCG是解本题的关键．21、线段GF的长度是4【解题分析】根据题意得出DP=AB=4，由直角三角形中30º的角所对的直角边等于斜边的一半得到PC=8，再由F为DC的中点，GF∥PC，得到GF为△PDC的中位线，从而求出GF=PC=4.【题目详解】解：∵AD∥BC，DP∥AB，∴四边形ABPD是平行四边形，∴DP=AB=4，∵∠PDC=90º，∠C=30º，∴PC=2DP=2×4=8；∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴EF∥BC，即GF∥PC，∴GF是△PDC的中位线，∴GF=PC=4.故答案为：4.【题目点拨】本题考查了梯形中位线的判定与性质，三角形中位线的判定与性质，含30º角的直角三角形的性质.22、(1)证明见解析；(2)6.【解题分析】（1）由AE是∠BAC的角平分线可得∠DAE=∠BAE，由DE∥AB，可得∠DEA=∠EAB，则∠DEA=∠DAE，可得结论．（2）根据等腰三角形三线合一可得AE⊥BC，可证∠C=∠CED则CD=DE，即可求AC的长．【题目详解】证明：(1)∵AE是∠BAC的角平分线∴∠DAE=∠BAE，∵DE∥AB∴∠DEA=∠EAB，∴∠DAE=∠DEA，∴AD=DE-；(2)∵AB=AC，AE是∠BAC的角平分线∴AE⊥BC∴∠C+∠CAE=90°，∠CED+∠DEA=90°，∵∠CAE=∠DEA，∴∠C=∠CED，∴DE=CD，∴AD=DE=CD=3，∴AC=6.故答案为(1)证明见解析；(2)6.【题目点拨】本题考查等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，关键是利用这些性质解决问题．23、详见解析【解题分析】全等即可证明结论.根据平行四边形的性质，证明ADE CBF【题目详解】证明：四边形ABCD 是平行四边形，AD CB ∴=，//AD CB .ADE CBF ∴∠=∠.//AE CF .AED CFB ∴∠=∠.ADE CBF ∴≅.AE CF ∴=.【题目点拨】本题主要考查平行四边形的性质定理，关键在于寻找全等的三角形.24、（1）ABC ∆的周长=；（2）23x < 【解题分析】（1）先利用直线1l 、2l 表达式求出点A 、B 、C 坐标，再利用勾股定理求得AB 、AC 的长，即可求得ABC ∆的周长；（2）根据函数图象，即可得出.【题目详解】（1）由1312y x =-+，当0x =时，11y =，所以点()0,1B ，1OB = 由21146y =⨯-，当0x =时，216y =-.所以点10,6C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，16OC =， 所以17166BC =+= 由1312y x =-+，当10y =时，23x =，所以点2,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，23OA =，根据勾股定理，得：3AB ==, 6AC ==所以ABC ∆的周长76+= （2）12y y >时2l 在1l 下方，即A 点左侧区域，所以23x <【题目点拨】 本题考查利用一次函数图象与坐标轴交点求三角形面积问题，以及函数比较大小问题，熟练掌握求一次函数与x 轴y 轴交点是解题关键.25、4 3【解题分析】设CE=EC'=x，则DE=3−x，由△ADB''∽△DEC，可得ADDE=DB'EC′，列出方程即可解决问题；【题目详解】设CE=EC'=x，则DE=3−x，∵∠ADB'+∠EDC'=90°，∠B'AD+∠ADB'=90°，∴∠B'AD=∠EDC'，∵∠B'=∠C'=90°，AB'=AB=3，AD=5，∴DB'=225-3=4，∴△ADB'∽△DEC`，∴'=` AD DBDE EC，∴543-x x，∴x=43．∴CE=43．【题目点拨】此题考查翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质，解题关键在于利用勾股定理进行计算26、见解析【解题分析】连接AF，CE，由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB=CD，又由BE=DF，证得AE=CF，即可证得四边形AECF是平行四边形，从而证得结论．【题目详解】连接AF，CE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵BE=DF，∴AB-BE=CD-DF，∴AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴PA=PC．【题目点拨】本题考查了平行四边形的性质与判定．注意准确作出辅助线，证得四边形AECF是平行四边形是解此题的关键．。