哈工大概率论参考问题详解习题

n n m∑ Xi （1）Y1 = i =1 m∑ X i2 ； 2 i n+m （2） Y2 = i =1 n+m n n i = n +1 ∑X n ∑ X i2 i = n +1 解∑X i =1 i ~ N (0, nσ 2 ，1 nσ n ∑X i =1 i ~ N (0,1, n+m i = n +1 X i ~ N (0, σ 2 ，所以n X i2 1 ~ χ 2 (1 ，2 2 σ σ 1 nσ 1 σ2 n ∑X 2 i ~ χ 2 ( m ，m∑ Xi （1）Y1 = i =1 n+m ∑X i =1 2 i i = 2 i n+m i = n +1 ~ t (m; /m n n i = n +1 ∑X ∑X 1 n 2 ∑X /n σ 2 i =1 i n =1 （2）Y2 = n + m = ~ F (n, m. 1 n +m 2 2 n ∑ Xi ∑ Xi / m σ 2 i = n+1 i = n +1 m∑ X i2 13 ．设 X 1 ,⋯ , X n , X n +1 是来自总体N ( µ , σ 2 的样本，X = 1 n ∑ Xi ，n i =1 S *2 = 1 n X −X ( X i − X 2 ，试求统计量T = n +1 * ∑ n i =1 S n −1 的分布。

n +1 解于是X n+1 − X ~ N (0, n +1 2 nS *2 σ ，2 ~ χ 2 (n − 1 n σ X n+1 − X ~ N (0,1 n +1 σ n X n+1 − X X − X n −1 n + 1/ nσ ~ t (n − 1 . T = n +1 * = S n +1 nS *2 /(n − 1 σ2 14．设样本 X 1 ,⋯ , X n 和 Y1 ,⋯ , Yn 分别来自相互独立的总体N ( µ1 , σ 12 和1 2 N ( µ 2 , σ ，已知σ 1 = σ 2 ,α 和β 是两个实数，求随机变量 2 2 ·87·α ( X − µ1 + β (Y − µ 2 2 (n1 − 1 S12 + (n2 − 1 S 2 α2 β 2 ( + n1 + n2 − 2 n1 n2 的分布解所以α ( X − µ1 ~ N (0, 2 α 2σ 12 β 2σ 2 ，β (Y − µ 2 ~ N (0, ，又σ 1 = σ 2n1 n2 α ( X − µ + β (Y − µ 2 ~ N (0, ( α ( X − µ + β (Y − µ 2 α2 β2 + σ n1 n2 而所以α2 β 2 2 + σ n1 n2 ~ N (0,1 2 (n1 − 1 S12 + (n2 − 1 S 2 ~ χ 2 (n1 + n2 − 2 2 σ α ( X − µ1 + β (Y − µ 2 2 ⎛α2 β 2 ⎞ (n1 − 1 S12 + (n2 − 1 S 2 + ⎜⎟ n1 + n2 − 2 ⎝ n1 η2 ⎠ [α ( X − µ1 + B(Y − µ 2 ] / = ~ t (n1 + n2 − 2 . 2 (n1 − 1 S12 + (n2 − 1 S 2 /(n1 + n2 − 2 σ2 15．从正态总体 N (3.4, 6 2 中抽取容量为 n 的样本，如果要求样本均值位于区间（1.4, 5.4）内的概率不小于 0.95，问样本容量 n 至少应多大？解α2 β 2 + σ n1 n2 0.95 ≤ P(1.4 < = 2Φ ( 1 n 5.4 − 3.4 1.4 − 3.4X i < 5.4 = Φ ( n − Φ( n ∑ n i =1 6 6 n −1 3 即Φ( n n ≥ 0.975 ，查正态分表得≥ 1.96 即n ≥ 34.57 . 3 3 故样本容量至少应为 35。

一、填空题（每小题3 分，共5 小题，满分15 分）1. 若事件A B 、满足()()P AB P A B =，且()P A p =，则()P B = .2. 随机向量(,)X Y 的分布列为且(0)0.4P XY ≠=，(0|0)3P Y X ≤≤=，则其中未知参数(,,)a b c = .3. 已知随机变量X 和Y 的联合概率密度为(23),0,0,(,)0,x y Aex y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩其它. 则()E XY = .4. 设随机向量(,)X Y 服从二元正态分布221212(,;,;)N μμσσρ，其中1=1μ，2=2μ，21=2σ， 22=8σ，=0.2ρ， 则有-2X Y 亦服从正态分布，为N ( __ __ ，_______)5. 某旅行社随机访问了25名游客，得知其平均消费额80x =元，样本标准差12s =元，若已知旅行者消费额服从正态分布，则评价消费额μ的95%置信区间为 .(0.0250.0250.05(24) 2.0639(25 2.0595 1.70)8)1(25t t t ===，；)75.0584.95二、选择题（每小题3 分，共5 小题，满分15 分）1. 设0()1P A <<，()0P B >，且(|)(|)P B A P B A =，则必有（ ） （A ）(|)(|)P A B P A B =； （B ）(|)(|)P A B P A B ≠；（C ）()()()P AB P A P B =； （D ）()()()P AB P A P B ≠. 2. 下列函数可作为连续型随机变量的概率密度（ ）.（A ）3sin ()20 x x f x ππ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他； （B ）3sin ()2 0 x x g x ππ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其他；（C ）3cos ()2 0 x x x ππϕ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他； （D ）31cos ()2 0 x x h x ππ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其他.3. 设随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则随着σ的增大，概率(||)P X μσ-<将（ ） （A ）单调增大； （B ）单调减少；（C ）保持不变； （D ）增减不定. 4. 假设随机变量X 服从指数分布，250X X Y <<⎧=⎨⎩，，其它的分布函数（ ）（A ）是连续函数； （B ）至少有两个间断点； （C ）是阶梯函数； （D ）恰好有一个间断点.5. 设总体X 服从参数为λ的泊松分布， X 和2S 分别为样本均值和样本方差，下列不是无偏估计的是（ ） （A ）X ； （B ）22133X S -； （C ）211+22X S ； （D ）24133X S -.三、（8分）甲袋中有2个白球3个黑球，乙袋中有3个白球2个黑球，从甲袋中取出一个放入乙袋，再从乙袋中任取一个，若放入乙袋的球和从乙袋中取出的球是同色的，求放入乙袋的是黑球的概率.四、（8分）设二维连续型随机变量(,)X Y 的概率密度函数为,0;(,)0,y e x y f x y -⎧<<=⎨⎩其它，求（1）在X x =条件下，Y 的条件概率密度函数；（2）在01X <<条件下，Y 的条件分布函数；（3）Z Y X =-的概率密度函数. 五、（8分）设随机变量X 与Y 的联合密度函数为24,(,);(,)0,xy x y G f x y ∈⎧=⎨⎩其他， 其中G 为坐标轴与直线10x y +-=所围的三角形区域，计算()E X ，()D X ，以及X 与Y 的相关系数ρ.六、（12分）设总体的概率密度函数为3()3,;(;)0,x e x f x x θθθθ--⎧>=⎨≤⎩，12,,,n X X X 为来自此总体的样本，求1）θ的矩估计1θ与最大似然估计2θ；2）判断1θ与2θ是否为无偏估计，如果不是请相应给出修正后的无偏估计；（3）比较（2）中无偏估计的有效性.七、（4分）某射手的射击命中率为3/4， 现对一目标连续射击，直到第二次命中为止，令X 表示第二次为止所用的射击次数，求X 的概率分布，并计算X 的期望.答案：一、填空题（每小题3 分，共5 小题，满分15 分） 1．1-p ；2. (0.1, 0.2, 0.1)；3. 16； 4. (-3, 30.8) ； 5. 75.0584.95二、填空题（每小题3 分，共5 小题，满分15 分） 1. C ； 2. B ； 3. C ； 4. D ； 5. B三、（8分）解：设{}A =从甲袋取的是黑球；{}B =从乙袋取的是黑球；{}D =乙袋放入和取出的是同色球有33()()956(|)3324()()175656P AD P AB P A D P D P AB AB ⨯====+⨯+⨯ 四、（8分）解：（1）当0X ≤时，()=0X f x ；当0X >时，0()=y x X f x e dy e +∞--=⎰；因此0()=00x X e x f x x -⎧>⎨≤⎩，.当0Y ≤时，()=0Y f y ； 当0Y >时，0()=yy y X f x e dx ye --=⎰；因此0()=00y Y ye y f y y -⎧>⎨≤⎩，。

哈工大概率论练习题第一章随机事件与概率4.已知P(A)=P(B)=P(C)=0.25, P(AB)=0, P(AC)=P(BC)=1/16,则A,B,C 都不发生的概率为_____5. 设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1/9,A 发生B 不发生的概率与B 发生而A 不发生的概率要等，则P(A)=____6. 设A,B,C 两两独立，则A,B,C 相互独立充分必要条件是（）A. A 与BC 独立B.AB 与A ∪C 独立C. AB 与AC 独立D. A ∪B 与A ∪C 相独立7. 设事件A,B 满足P(A)=0.5, P(B)=0.6, P(B|A )=0.6, 则P （A ∪B ）=_____8. 事件 A,B 满足P(A)=P(B)=0.5,P(A| B )=P(B)，则下列正确的是（）A. P(AB)=0.25B. P(A-B)=0.75C. P(A B -)=0.5D. P(A ∪B ) =19. 设事件A,B 仅发生一个的概率为0.3, 且P(A)+P(B)=0.5,则A,B 至少有一个不发生的概率为_____10. 设事件A,B 相互独立，事件B,C 互不相容，事件A 与C 不能同时发生，且P(A)=P(B)=0.5, P(C)=0.2,则事件A,B 和C 中仅C 发生或仅C 不发生的概率为_____11. 设A,B,C 为三个事件且A,B 相互独立，则以下结论中不正确的是（）A. 若P(C)=1,则AC 与BC 也独立B. 若P(C)=1, 则A ∪C 与B 也独立C. 若P(C)=1,则A-C 与A 也独立D. 若C 属于B,则A 与C 也独立12. 若事件A,B,C 相互独立，且P(A)=0.25,P(B)=0.5,P(C)=0.4,则A,B,C 至少有一个不发生的概率是_______13. 设事件A 和B 满足P(B|A)=1,则（）A. A 是必然事件B. P (A|B ) =0C. B ?AD. A ?B14. 在投掷一枚均匀硬币的4次独立试验中，若已知至少1次已经反面朝上，则这时得到至少 3次正面朝上的概率为______15. 已知P （B ）>0,A 1A 2=￠,则下列各式中不正确的是（）A. P(A 1A 2|B)=0B. P(A 1∪ A 2|B)=P(A 1|B)+P(A 2|B)C. P (1A 2A |B)=1D. P(1A ∪2A ｜B)=116.设A,B 为两事件，且P(A)=P,P(AB)=P(AB ),则P(B)=_____17.设A,B 为两个事件，P(A)≠P(B)>0,且B 属于A,则（）一定成立 A. P(A|B)=1 B.P(B|A)=1 C. P(B|A ) =1 D. P(A|B )=018. 已知P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B|A)=0.8则P(A ∪B)=_____19. 设事件A 与BA 互不相容，且P(A)=P, P(B)=q, 求下列事件的概率,则P(A B )=______20. 5人以上以摸彩的方式决定谁能得一张电影票，今设Ai 表示第 i 个人摸到(i=0,1,2,3,4,5)，则下列结果中有一个是对的，它是（）A. P(A 3|1A 2A )=1/3B. P(1A A 2)=1/5C. P(1A A 2)=1/4D. P(A 5)=1/521.若P(A|C )≥P(B|C),P(A|C )≥P(B|C ) 则下列（）成立A. P(A) ≥P(B)B. P(A)=P(B)C. P(A)≤P(B)D.P(A)=P(B)+P(C)22. 设相互独立的三个事件A,B,C 满足条件：P(A)=0.4 ,P(B)=0.5 ,P(C)=0.5,则P(A-C|AB ∪C)=______23.设AB ?C,则（）成立 A. C ?AB B. A ?C 且B ?C C.B A ? C ? D.A C ?或B ?C24. 已知P(A)=P(B)=P(C)=0.25,P(AB)=P(AC)=P(BC)=1/8,P(ABC)=1/16,则A,B,C 恰有一个发生的概率为_______25. 设A,B 为任意两个事件，则下列关系成式立的是（）A. (A ∪B )-B=AB. (A ∪B )-B ?AC. (A ∪B )-B ?AD. (A-B) ∪B=A26. 设事件A,B 满足P(B|A)=P(B |A )=0.2,P(A)=1/3,则P(B)=____27. 对于任意两事件A,B ，与A ∪B=B 不等价的是（）A. A ?BB. B ?AC. A B =￠D. A B=￠28. 设事件A,B 满足：P(B|A)=P(B |A )=1/3,则P(B)=______29. 设0<p(a)<1,0<p(b)<="">A. A 与B 独立B. P(B|A)=P(B|A )C. A 与B 互不相容D.P(A|B )=P(A|B)30. 在区间（0，1）中随意地取两个数则“两数之和小于6/5”的概率为_______31. 在一张打上方格的纸上随机地投一枚硬币，若方格的长度为a,硬币的直径为2b(2b<a)且硬币落在每一处的是等可能的则硬币与方格线不相交的概率为_____< p="">32. 在有三个小孩的家庭中,已知至少有一个女孩子,求该家庭中至少有一个男孩子的概率_______33. 两人约定上午9点到10点在公园见面，试求一人要等另一个人半小时以上的概率_____34. 随机事件A ?B,0<p(a)<="">A. P(A ∪B)=P(A)B. P(AB)=P(A)C. P(B-A)=P(B)-P(A)D. P(B|A)=P(B)第二章条件概率与独立性1. 某炮台上有三门炮，假定第一门炮的命中率为0.4,第二门炮的命中率为0.3，第三门炮的命中率为0.5,今三门炮向同一目标各发射一发炮弹，结果有两弹中靶，求第一门炮中靶的概率？2.甲袋中有2个白球，3个黑球，乙袋中有3个白球2个黑球，从甲袋中取出一个放入乙袋，再从乙袋中任取一个，若放入乙袋的球和从乙袋中取出的球是同色的，求放入乙袋的是黑球的概率？3.袋中有8个正品，2个次品，任取3个，取后不入回，若第3次取到的次品，求前2次取到的是正品概率。

习 题 一1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：（1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’；（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’；（4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’；（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。

解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。

（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S =(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}；{(4,6),(5,5),(6,4)}A =；{(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。

（3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)}{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A =（4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。

习题五1．假设有10只同种电器元件，其中两只废品，从这批元件中任取一只，如果是废品，则扔掉重新取一只，如仍是废品，则扔掉再取一只，试求在取到正品之前，已取出的废品只数的数学期望和方差。

解设X为已取出的废品只数，则X的分布为X012P8184521 45即P所以，2．假设一部机器在一天解设一周所获利润为T（万元），则T的可能值为又设X为机器一周类似地可求出T的分布为（万元）X（毫米）服从正态分布所以一周3．假设自动线加工的某种零件的内径1)，内径小于·55·10或大于12为不合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T（元）与零件的若若问平均即两边取对数得即时，平均利润最大.4．从学校到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是数学期望.解即25，设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律、分布函数和X~，分布律为·56 ·XP02712515412523612538 125X的分布函数为12512512512555．设随机变量服从几何分布，其分布列为，求EX与DX 解1 EX其中k由函数的幂级数展开有所以k1，1. p因为所以2，·57·解2设则（1）–（2）得（1）（2）1，所以从而，得，，22232n，，于是所以，ppp12q12q，故得X的方差为·58 ·6．设随机变量X分别具有下列概率密度，求其数学期望和方差. （1）（2）（3）1；2其他（4）其他1，（因为被积函数为奇函数）解（1）EX（2）EX212123x3x411（3）22所以，12281232（4）EX1x01331213211281211443412·59·所以7．在习题三第4题中求E解因X的分布为XP01211421831 8所以8．设随机变量X的概率密度为其他3已知，求4（1）a,b,c的值（2）随机变量Y解（1）的数学期望和方差解方程组，，12422·60 ·得1，，，（2）9．游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第5分钟，25分钟和55分钟从底层起行。

Ch1摸球问题、几何概型1. 袋中有5个白球和3个黑球，从中任取2个球，则取得的两球恰有一黑球的概率为 。

（07’）1、10把钥匙中有3把能打开门锁，今任取两把钥匙，则打不开门锁的概率为 。

（08’）3. 在区间)1,0(中随机的取两个数，则这两个数之差的绝对值小于21的概率为 。

（07’）2、在区间()1,0之间随机地取两个数，则事件{两数的最大值大于23}发生的概率 为 。

（08’）1、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意拨号，则拨号不超过三次而接通电话的概率为 。

（09’）(A ) 101 (B ) 103 (C ) 109 (D ) 811、在区间[0,]L 之间随机地投两点，则两点间距离小于2L的概率为 。

（09’）1、设两事件A ，B 满足条件)()(B A P AB P =，且)10()(<<=p p A P ，则)(B P = 。

(06’)1. 10件产品中有8件正品，2件次品，任选两件产品，则恰有一件为次品的概率为 .(10’)2. 在区间()1,0中随机地取两个数，则事件{两数之和大于54}的概率为(10’).1. 设,A B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=，则必有 。

（07’） (A )()()P A B P A ⋃> (B )()()P A B P B ⋃>(C )()()P A B P A ⋃=(D )()()P A B P B ⋃=1. 设,A B 为两个随机事件，若事件,A B 的概率满足0()1,0()1P A P B ，且有等式()()P A B P A B 成立，则事件B A ,_______.(10’)(A ) 互斥 (B ) 对立 (C ) 相互独立 (D ) 不独立三、计算题1、设B A ,为两事件，4.0)(,6.0)(,7.0)(===A B P B P A P ，求)(B A P ⋃。

(06’) （05’）已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件B 的概率6.0)(=B P ，条件概率8.0)(=A B P ，求)(B A P 。

习 题 六1．某厂生产玻璃板，以每块玻璃上的泡疵点个数为数量指标，已知它服从均值为λ的泊松分布，从产品中抽一个容量为n 的样本12,,,n X X X ，求样本的分布.解 样本12(,,,)n X X X 的分量独立且均服从与总体相同的分布，故样本的分布为11221(,,,)()nn ni i i P X k X k X k P X k ======∏1!ikni i e k λλ-==∏112!!!ni i n k n e k k k λλ=-∑=0,1,i k =，1,2,,,i n =2．加工某种零件时，每一件需要的时间服从均值为1/λ的指数分布，今以加工时间为零件的数量指标，任取n 件零件构成一个容量为n 的样本，求样本分布。

解 零件的加工时间为总体X ，则~()X E λ，其概率密度为,0,()0,0.x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩于是样本12(,,,)n X X X 的密度为1121,0(,,,)0,.ni i ix nnx i n i e x f x x x e λλλλ=--=⎧∑⎪>==⎨⎪⎩∏其它 1,2,,i n = 3．一批产品中有成品L 个，次品M 个，总计N L M =+个。

今从中取容量为2的样本（非简单样本），求样本分布，并验证：当,/NM N p →∞→时样本分布为（6.1）式中2n =的情况。

解 总体~(01)X -，即(0),(1)LM P X P X NN====于是样本12(,)X X 的分布如下121(0,0)1L L P X X N N -===⋅-，12(0,1)1L MP X X N N ===⋅- 12(1,0)1M L P X X N N ===⋅-，121(1,1)1M M P X X N N -===⋅- 若N →∞时M p N →，则1Lp N→-，所以2002012(0,0)(1)(1)P X X p p p +-==→-=- 012112(0,1)(1)(1)P X X p p p p +-==→-=- 102112(1,0)(1)(1)P X X p p p p +-==→-=-2112212(1,1)(1)P X X p p p +-==→=- 以上恰好是（6.1）式中2n =的情况.4．设总体X 的容量为100的样本观察值如下：15 20 15 20 25 25 30 15 30 25 1530253530352035302520 30 20 25 35 30 25 20 30 25 35 25 15 25 35 25 25 30 35 25 35 20 30 30 15 30 40 30 40 15 25 40 20 25 20 15 20 25 25 40 25 25 40 35 25 30 20 35 20 15 35 25 25 30 25 30 25 30 43 25 43 22 20 23 20 25 15 25 20 25 30433545304530454535作总体X 的直方图解 样本值的最小值为15，最大值为45取14.5a =，45.5b =，为保证每个小区间内都包含若干个观察值，将区间[14.5,45.5]分成8个相等的区间。

习 题 三1．掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为p (01)p <<，若以X 表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求X 的分布列。

解 ()X k =表示事件：前1k -次出现正面，第k 次出现反面，或前1k -次出现反面，第k 次出现正面，所以 11()(1)(1),2,3,.k k P X k p p p p k --==-+-=2．袋中有b 个黑球a 个白球，从袋中任意取出r 个球，求r 个球中黑球个数X 的分布列。

解 从a b +个球中任取r 个球共有ra b C +种取法，r 个球中有k 个黑球的取法有kr kb aC C -，所以X 的分布列为()k r kb ara bC C P X k C -+==，max(0,),max(0,)1,,min(,)k r a r a b r =--+， 此乃因为，如果r a <，则r 个球中可以全是白球，没有黑球，即0k =；如果r a >则r 个球中至少有r a -个黑球，此时k 应从r a -开始。

3．一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率1(1,2,3)1i p i i ==+，以X 表示三个零件中合格品的个数，求X 的分布列。

|解 设i A =‘第i 个零件是合格品’1,2,3i =。

则1231111(0)()23424P X P A A A ===⋅⋅=， 123123123(1)()P X P A A A A A A A A A ==++123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++111121113623423423424=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=， 123123123(2)()P X P A A A A A A A A A ==++123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++1211131231123423423424=⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅=， 1231236(3)()23424P X P A A A ===⋅⋅=.即X 的分布列为，01231611624242424XP. 4．一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为12，以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X 的概率分布。

习 题 四1．一个袋子中装有四个球，它们上面分别标有数字1,2,2,3，今从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以,X Y 分别表示第一次，第二次取出的球上的标号，求(,)X Y 的分布列.解 (,)X Y 的分布列为其中 (1,1)(1)(1|1)P X Y P X P Y X =======(1,2)(1)(2|1)P X Y P X P Y X ======121436=⨯= 余者类推。

2．将一枚硬币连掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出(,)X Y 的分布列及边缘分布列。

解 一枚硬币连掷三次相当于三重贝努里试验，故1~(3,).2X B 331()(),0,1,2,32k P X k C k ===，于是(,)X Y 的分布列和边缘分布为其中(0,1)(0)(1|0)P X Y P X P Y X =======，13313(1,1)(1)(1|1)()128P X Y P X P Y X C =======⨯=，余者类推。

3．设(,)X Y 的概率密度为1(6),02,24,(,)80,.x y x y f x y ⎧--<<<<⎪=⎨⎪⎩其它又（1）{(,)|1,3}D x y x y =<<；（2）{(,)|3}D x y x y =+<。

求{(,)}P X Y D ∈解 （1）13021{(,)}(6)8P x y D x y dxdxy ∈=--⎰⎰1194368228-⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦；13021{(,)}(6)8x P X Y D x y dxdy -∈=--⎰⎰ 11200113(1)[(3)4]82x x dx x dx ⎧⎫-----⎨⎬⎩⎭⎰⎰524.4．设(,)X Y 的概率密度为222(,(,)0,.C R x y R f x y ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其他求（1）系数C ；（2）(,)X Y 落在圆222()x y r r R +≤<内的概率.解 （1）22223201(R x y R CR dxdy C R C r drd ππθ+≤==-⎰⎰⎰⎰333233R R C R C πππ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦，∴ 33C Rπ=. （2）设222{(,)|}D x y x y r =+≤，所求概率为22233{(,)}(x y r P X Y D R dxdy R π+≤∈=⎰⎰322323232133r r r Rr R R R πππ⎡⎤⎡⎤=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 5．已知随机变量X 和Y 的联合概率密度为4,01,01(,)0,.xy x y f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它 求X 和Y 的联合分布函数.解1 设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则(,)(,)x y F x y f u v dudv -∞+∞=⎰⎰001001000,00,4,01,01,4,01,1,4,1,01,1,1, 1.x y x y x y uvdudv x y uydudy x y xvdxdv x y x y ⎧<<⎪⎪≤≤≤≤⎪⎪⎪=≤≤>⎨⎪⎪>≤≤⎪⎪>>⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰或22220,00,,01,01,,01,1,,1,01,1,1, 1.x y x y x y x x y y x y x y ⎧<<⎪≤≤≤≤⎪⎪=≤≤>⎨⎪>≤≤⎪⎪>>⎩或解2 由联合密度可见，,X Y 独立，边缘密度分别为2,01,()0,;X x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他 2,01,()0,.Y y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它 边缘分布函数分别为(),()X Y F x F y ，则20,0,()(),01,1, 1.x X X x F x f u du x x x -∞<⎧⎪==≤≤⎨⎪>⎩⎰20,0,()(),01,1, 1.y Y X y F y f v dv y y y -∞<⎧⎪==≤≤⎨⎪>⎩⎰设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则22220,00,,01,01(,)()(),01,1,,1,01,1,1, 1.X Y x y x y x y F x y F x F y x x y y x y x y ⎧<<⎪≤≤≤≤⎪⎪=⋅=≤≤>⎨⎪>≤≤⎪⎪>>⎩或6．设二维随机变量(,)X Y 在区域:01D x <<，|率密度。

哈工大概率论2022年秋季学期期末考题及答案哈工大2022年秋季学期概率论与数理统计试题一、填空题（每小题3分，共5小题，满分15分）1．设大事A 、B 互相自立，大事B 、C 互不相容，大事A 与C 不能同时发生，且()()0.5P A P B ==，()0.2P C =，则大事A ，B 和C 中仅C 发生或仅C 不发生的概率为__________ ．2．设随机变量X 听从参数为2的指数分布，则21e X Y-=-的概率密度为()Y f y =______ ____．3．设随机变量X 的概率密度为21e ,0()20, 0xx x f x x -?>?=??≤?，利用契比雪夫不等式估量概率≥+=0,00,11)(2x x x第1页/共10页x f . （B ）0,157(),1116160, 1x f x x x x =?≤? . 【】5．设12,,,n X X X 为来自总体2~(,)X N μσ的一个样本，统计量2)(1μ-=X Sn Y 其中X 为样本均值，2S 为样本方差，则【】（A ）2~(1)Y x n -（B ）~(1)Y t n -（C ）~(1,1)Y F n -（D ）~(1,1)Y F n -．三、（8分）假设某段时光内来到百货公司的顾客数听从参数为λ的Poisson 分布，而在百货公司里每个顾客购买电视机的概率均为p ，且顾客之间是否购买电视机互相自立，试求=A “该段时光内百货公司售出k 台电视机”的概率（假设每顾客至多购买一台电视机）。

四、（8分）设随机变量[]~0,1X U ，求（1）241Y X X =-+的概率密度()Y f y ；（2）X 与Y 的相关系数XY ρ.第2页/共10页五、（8分）设随机变量X 和Y 的分布列分离为X 0 1 Y —1 0 1P 1/3 2/3 P 1/3 1/3 1/3且1)(22==Y X P ，求（1）二维随机变量),(Y X 的概率分布；（2）XY Z =的概率分布；（3）X 与Y 的相关系数XY ρ.六、（12分）设随机变量X 与Y 互相自立,且分离听从正态分布)2,(σμN 和)22,(σμN ,其中σ为未知参数且0σ>. 记Y X Z -=.（1）求的概率密度Z 2(;)f z σ；（2）设12,,,n Z Z Z 为来自总体Z 的容易随机样本, 求2σ的最大似然估量2σ∧第3页/共10页;（3）证实2σ∧是2σ的无偏估量量。